Analisi della deformazione - Secondaparte

Tipo: lezione

Materia: Scienza delle costruzioni

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Indice

1 Le dilatazioni e direzioni principali della deformazione2 Tensore sferico e tensore deviatorico della deformazione3 La congruenza della deformazione4 Note

Le dilatazioni e direzioni principali della deformazione

In linea generale una generica terna di vettori ortogonali uscenti dal punto considerato non si mantengono tali in seguitoalla deformazione. Qualunque sia la deformazione, tuttavia, esiste in ogni caso almeno una terna di vettori che mantiene lareciproca ortogonalit dopo la deformazione, e le direzioni ad essi associate sono definite direzioni principali delladeformazione, mentre i valori dei coefficienti di dilatazione lineare relativi a queste direzioni sono chiamati dilatazioniprincipali della deformazione.

La ricerca delle dilatazioni e direzioni principali della deformazione si realizza ricercando gli autovalori e gli autovettori deltensore della deformazione. Tale ricerca da effettuarsi ponendo:

[1]

dove rappresenta gli autovettori e ognuno dei vettori cui corrisponde una direzione principale della deformazione e gliautovalori, che si possono dimostrare corrispondere al coefficiente di dilatazione lineare relativo al vettore

Il problema si riconduce alla risoluzione di

che altro non che una riformulazione della relazione precedente. Quest'ultima relazione si riconduce alla risoluzione delletre equazioni seguenti:

Oltre a questa si deve considerare la limitazione che debba essere dato che questi termini sono i

coseni direttori della direzione , i quali per definizione devono rispettare la limitazione precedente. Quest'ultima limitazioneelimina la possibile soluzione banale per cui . Perch esista soluzione alle equazioni precedenti deveaccadere che il determinante della matrice dei coefficienti sia nullo, cio:

Da quanto detto si ricava la seguente equazione, chiamata equazione secolare di Laplace:

in cui:

Dall'equazione secolare di Laplace si ricavano tre radici reali , che indichiamo con , e ad ognuna di essecorrisponde una terna di valori dei coseni direttori. Ogni terna di coseni direttori identifica una direzione principale delladeformazione. Di conseguenza si sono definite le tre direzioni e dilatazioni principali della deformazione. I valori delledilatazioni principali sono solitamente ordinati in modo che sia . Si pu dimostrare che le dilatazioniprincipali massima e minima rappresentano effettivamente i valori massimo e minimo della dilatazione lineare nel puntoconsiderato.

Queste quantit sono indipendenti dal sistema di riferimento utilizzato, e in base alla loro invarianza possibile anchedimostrare l'invarianza dei termini citati in precedenza, che vengono perci chiamati invarianti dideformazione lineare, quadratico e cubico rispettivamente.

Se come sistema di riferimento si considerasse la terna di vettori che definiscono le direzioni principali della deformazione, siavrebbe che gli scorrimenti mutui tra le tre direzioni considerate si annullerebbero per definizione di direzione principale delladeformazione. Il tensore della deformazione, dunque, si ridurrebbe a:

In alcuni casi pu accadere che si abbiano due o tutte e tre le dilatazioni principali uguali: nel primo caso saranno direzioniprincipali della deformazione tutte le direzioni ortogonali a quella con il valore di differente, mentre nel secondo caso tuttele direzioni uscenti dal punto saranno principali. Quest'ultimo caso definito idrostatico, dal momento che esattamente ilcaso che ricorre in un generico punto di un fluido in quiete.

Tensore sferico e tensore deviatorico della deformazione

In generale pu essere interessante decomporre il tensore della deformazione in due componenti, in modo che sia:

chiamato tensore sferico

chiamato tensore deviatorico

Il tensore sferico ha la caratteristica di avere invariante lineare uguale a quello del tensore originario, per cui in esso concentrata la variazione di volume della deformazione. D'altro canto per ogni coppia di direzioni che possibile considerarelo scorrimento mutuo sempre nullo, per cui il tensore sferico da solo caratterizza una omotetia dell'intorno del punto, ciouna trasformazione tale che sia conservata la forma e ne vengano mutate le dimensioni. Quest'ultima caratteristica facilmente comprensibile considerando che le tre dilatazioni principali sono tutte uguali tra loro, motivo per cui tutte ledirezioni sono direzioni principali della deformazione.

Il tensore deviatorico, al contrario, ha invariante lineare nullo, per cui ad esso non competono variazioni di volume. Alcontrario ad esso sono associate tutte le distorsioni dell'intorno. In ogni caso, comunque, esso mantiene le medesime

direzioni principali del tensore originario, mentre le dilatazioni principali differiscono di una quantit pari a .

La congruenza della deformazione

Finora ci si concentrati sulla possibilit di definire compiutamente la deformazione partendo dagli spostamenti . A questopunto, tuttavia, lecito chiedersi se dato un tensore di deformazione di componenti arbitrariamente scelti esso sia in grado didescrivere la deformazione. Si pu dimostrare che, perch ci sia possibile, le componenti del tensore di deformazione deve

soddisfare sei equazioni di congruenza, anche dette di Saint-Venant:

Note

Tale condizione consiste nel ricercare le direzioni che in seguito alla deformazione, a meno di traslazioni e rotazionirigide, mantengono la direzione che avevano nella configurazione indeformata

1.

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Categoria: Scienza delle costruzioni

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