ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO EM VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS PELO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

UNIVERSIDADE DA AMAZÔNIA

RAFAEL HENRIQUE VIANA ABREU

ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO EM

VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS PELO MÉTODO DAS

DIFERENÇAS FINITAS.

BELÉM/PA

DEZEMBRO – 2012

ii





Trabalho de conclusão de curso

apresentado ao curso de Engenharia

Civil da Universidade da Amazônia

como requisito para obtenção do

título de Bacharel em Engenharia

Civil.

Orientador: Prof. D.Sc. Selênio Feio

da Silva.

BELÉM/PA

DEZEMBRO – 2012

iii





Trabalho de conclusão de curso

apresentado ao curso de Engenharia

Civil da Universidade da Amazônia

como requisito para obtenção do

título de Bacharel em Engenharia

Civil.

Orientador: Prof. D.Sc. Selênio Feio

da Silva.

Banca examinadora:

Professor Selênio Feio da Silva, D. Sc.

(Orientador)

Professor Márcio Murilo Ferreira de Ferreira, M. Sc.

(Examinador Interno)

Professor Evaristo Clementino Rezende dos Santos Junior, M. Sc.

(Examinador Interno)

Apresentado em: / / /

Conceito: ____________

BELÉM/PA

DEZEMBRO – 2012

iv

Dedicado à minha Família,

em especial à minha mãe, Ana Cristina.

v

AGRADECIMENTOS

Agradeço a DEUS, que me dá saúde, fé e perseverança, guiando meus passos

conduzindo-me a grandes conquistas.

A Universidade da Amazônia (UNAMA) por me proporcionar uma formação

técnica, profissional e humana.

Aos professores do curso de Engenharia Civil pelos ensinamentos passados durante

os cinco anos de curso.

Agradecimento especial ao professor Selênio Feio da Silva pela dedicação e

paciência de ensinar e me orientar na iniciação científica e especialmente neste

trabalho de conclusão.

A minha família e em especial a minha avó Theresinha, minhas tias Dayse e

Carlaide, meu tio Mário, minha irmã Suzane e minha mãe Cristina, por terem me

ensinado através do convívio a tentar a cada dia ser uma pessoa melhor.

Aos amigos que fiz durante o curso que muito me ajudaram, incentivaram e

ensinaram: Alisson Lobato, Antônio David, Bernardo Pio, Fernando Mendonça,

João Pedro Carneiro, Pedro Secco, Renato Lobato, Virginia Pagno e Wellington

Costa.

Finalmente, um imensurável agradecimento a banca examinadora que aceitou o

convite feito para participar desta defesa de conclusão de curso.

vi

“Jamais considere seus estudos como uma obrigação,

mas como uma oportunidade invejável para aprender a

conhecer a influência libertadora da beleza do conhecimento,

para seu próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade

à qual seu futuro trabalho pertencer.”

Albert Einstein

vii

RESUMO

ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO EM VIBRAÇÃO LIVRE

DE VIGAS PELO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS.

Autor: Rafael Henrique Viana Abreu.

Orientador: Selênio Feio da Silva.

Trabalho de Conclusão de Curso – Engenharia Civil.

Belém-Pa, dezembro de 2012.

Neste trabalho serão fornecidos alguns conceitos gerais para a melhor compreensão

do que é uma estrutura, sua importância, suas classificações, além de demonstrar os tipos de

elementos estruturais e também os principais esforços que atuam nas estruturas quando

solicitadas.

Logo após, serão apresentados alguns conceitos básicos envolvidos no estudo de

vibrações mecânicas. Destacando-se algumas definições básicas necessárias para o

entendimento e desenvolvimento do trabalho.

Em seguida, serão apresentados alguns conceitos gerais referentes à classificação das

vigas, além da tipologia dos esforços atuantes nas vigas, descrevendo também, a teoria Euler

que será estudada no decorrer do trabalho. Ainda serão apresentados três principais modelos

de equações de vigas presentes na literatura, para o estudo em vibração livre de vigas.

Posteriormente, será fornecido a formulação básica da série de Taylor, que inicia o

Método das Diferenças Finitas (MDF). Também será mostrado as condições de contorno

presentes na viga, além da equação de Euler-Bernoulli para o comportamento dinâmico na

forma do método das diferenças finitas.

Finalmente, serão feitas aplicações do Método das Diferenças Finitas (MDF), na

resolução da equação de movimento de cinco tipos de vigas, em vibração livre e submetida

somente ao efeito de flexão (viga de Euler), visando mostrar a eficiência do MDF, a fim de

se perceber sua convergência para com as soluções analíticas exatas e os valores obtidos por

um software comercial de análise das frequências naturais, através da comparação de um

parâmetro denominado frequência adimensional.

Palavra-chave: Engenharia Estrutural. Viga de Euler. Vibração livre. Método das

Diferenças Finitas.

viii

ABSTRACT

ANALYSIS OF THE DYNAMIC BEHAVIOR IN FREE VIBRATION OF

BEAMS BY FINITE DIFFERENCE METHOD.

Author: Rafael Henrique Viana Abreu.

Advisor: Selênio Feio da Silva.

Thesis Work- Civil Engineering.

Belém-Pa, December 2012.

In this work will be provided some general concepts for a better understanding of

what a structure is, it's importance, it's ratings, and further demonstrate the types of structural

elements and also the main stresses that act on structures when requested.

Later, it is displayed some basic concepts related with the study of mechanical

vibrations. Rising some basic definitions necessary to the understanding and development of

the work.

Then, it is displayed some general concepts related to classification of beams,

besides of the typology of active stresses in the beams, describing also the Euler theory that

will be studied later in this work. Yet, there will be presented three main models of beams

equations in the literature, to study free vibration of beams.

After, it will be provided the basic formulation of Taylor's series, which starts the

Finite Difference Method (MDF). Also, it will be shown the boundary conditions within the

beam, and the Euler-Bernoulli equation for the dynamic behavior in the form of finite

difference method.

Finally, applications will be made of the Finite Difference Method (MDF) in

resolution of the motion equation of five types of beams, in free vibration subjected only to

the bending effect (Euler beam), in order to demonstrate the efficiency of MDF, to perceive

its convergence towards the exact analytical solutions and the values obtained by

commercial software of natural frequencies analysis by the comparison of a parameter called

dimensionless frequency.

Keyword: Structural Engineering. Euler beam. Free Vibration. Finite Difference Method.

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Templo Inca – Exemplo da técnica de talhar as pedras ........................... 4

Figura 2.2: Estrutura em forma de arco - Pont du Gard perto de Nîmes ...................... 5

Figura 2.3: Cúpula da Catedral de Florença ................................................................. 5

Figura 2.4: Representação geral dos elementos estruturais .......................................... 6

Figura 2.5: Representação de viga ................................................................................ 7

Figura 2.6: Representação de pilar ............................................................................... 7

Figura 2.7: Representação de tirante. ............................................................................ 8

Figura 2.8: Representação de arco. ............................................................................... 8

Figura 2.9: Representação de placa. ............................................................................. 9

Figura 2.10: Representação de chapa. .......................................................................... 9

Figura 2.11: Representação de casca. ......................................................................... 10

Figura 2.12: Representação de elemento espacial. ..................................................... 10

Figura 2.13: Representação de força. .......................................................................... 11

Figura 2.14: Representação de momento. ................................................................... 12

Figura 2.15: Representação de graus de liberdade espacialmente. ............................. 13

Figura 2.16: Representação de graus de liberdade no plano. ...................................... 13

Figura 2.17: Representação para apoio do 1º gênero. ................................................. 14



Figura 2.20: Estrutura Hipostática. ............................................................................. 16

Figura 2.21: Estrutura Hiperestática. .......................................................................... 17

Figura 2.22: Estrutura Isostática ................................................................................. 17

Figura 2.23: Classificação dos esforços presentes nas estruturas ............................... 18

Figura 2.24: Esforços externos – carregamento concentrado. Atual (a). Idealizado

(b). ............................................................................................................................... 18

Figura 2.25: Esforços externos ativos – carregamento distribuido. Atual (a).

Idealizado (b). ............................................................................................................. 19

Figura 2.26: Esforços internos solicitantes. Corpo recortado virtualmente (a).

Distribuição de forças ao longo da superfície recortada (b) ....................................... 20

Figura 2.27: Esforços internos solicitantes. Conjugado de esforços e (a).

Distribuição de forças a superfície recortada (b). Distribuição do conjugado de

momento da superfície recortada (c). Representação esforço normal (d).

x

Representação esforço cortante (e). Representação momento fletor (f). Representação

momento torsor (g).. ................................................................................................... 21

Figura 2.28: Esforço normal em um corpo sólido. Efeito efeitos de tração e

compressão.. ................................................................................................................ 22

Figura 2.29: Esforço cortante em um corpo sólido... .................................................. 22

Figura 2.30: Momento fletor em um corpo sólido. Estrutura antes do carregamento

(a). Estrutura com carregamento (b). Estrutura fletida (c) .......................................... 23

Figura 2.31: Momento torsor em um corpo sólido. Estrutura em repouso (a).

Estrutura sob efeito do momento torsor (b). ............................................................... 23

Figura 3.1: Ponte de Tacoma Narrows durante vibração induzida pelo vento, antes do

colapso. ...................................................................................................................... 25

Figura 3.2: Exemplos de vibração. Maquina vibrando (a). Estrutura vibrando (b). ... 26

Figura 3.3: Pêndulo simples em vibração livre ........................................................... 27

Figura 3.4: Rotor desbalanceado. ............................................................................... 27

Figura 3.5: Vibração livre amortecida ........................................................................ 28

Figura 3.6: Vibração livre não amortecida. ................................................................ 28

Figura 3.7: Sistema linear massa mola. ...................................................................... 29

Figura 3.8: Representação de graus de liberdade. Sistemas com um grau de liberdade

(a). Sistemas com dois graus de liberdade (b). Sistemas com três graus de liberdade

(c). ............................................................................................................................... 30

Figura 3.9: Sistema discreto de um grau de liberdade. ............................................... 31

Figura 4.1: Principais tipos de vigas. Biapoiada (a). Em balanço (b). Apoiada em

balanço (c). Continua (d). Apoiada engastada (e). Biengastada (f). ........................... 33

Figura 4.2: Cargas ( Concentradas ao longo da viga. .................................... 34

Figura 3.3: Cargas ( Distribuídas ao longo da viga. ...................................... 34

Figura 4.4: Viga em vibração transversal livre e um diagrama de corpo livre de um

pequeno elemento da viga, uma vez que é deformado por uma força distribuída por

unidade de comprimento, representada por ................................................... 35

Figura 4.5: Viga biapoiada (comportamento dinâmico em vibração livre). ............... 41

Figura 4.6: Viga engastada-livre (comportamento dinâmico em vibração livre). ...... 44

Figura 4.7: Viga engastada-deslizante (comportamento dinâmico em vibração livre)

.................................................................................................................................... 47

Figura 4.8: Viga engastada-apoiada (comportamento dinâmico em vibração livre) .. 49

Figura 4.9: Viga biengastada (comportamento dinâmico em vibração livre) ............. 51

xi

Figura 5.1: Interpretação geométrica para a derivada. ................................................ 57

Figura 5.2: Viga engastada. ........................................................................................ 59

Figura 5.3: Viga com apoio do 2º gênero. .................................................................. 60

Figura 5.4: Viga com a extremidade livre. ................................................................. 61

Figura 5.5: Viga com apoio deslizante. ...................................................................... 62

Figura 6.1: Viga biapoiada, discretizada com três nós em diferenças finitas

(comportamento dinâmico em vibração livre) ............................................................ 66

Figura 6.2: Viga biapoiada, discretizada com cinco nós em diferenças finitas


Figura 6.3: viga biapoiada, discretizada com sete nós em diferenças finitas

(comportamento dinâmico em vibração livre). ........................................................... 71

Figura 6.4: Viga biapoiada, discretizada com doze nós em diferenças finitas


Figura 6.5: Viga biapoiada, discretizada com vinte e dois nós em diferenças finitas


Figura 6.6: Viga biapoiada, discretizada com trinta e dois nós em diferenças finitas


Figura 6.7: Viga engastada-livre, discretizada com três nós em diferenças finitas


Figura 6.8: Viga engastada-livre, discretizada com cinco nós em diferenças finitas


Figura 6.9: Viga engastada-livre, discretizada com sete nós em diferenças finitas


Figura 6.10: Viga engastada-livre, discretizada com doze nós em diferenças finitas


Figura 6.11: Viga engastada-deslizante, discretizada com três nós em diferenças

finitas (comportamento dinâmico em vibração livre) ............................................... 101

Figura 6.12: Viga engastada-deslizante, discretizada com cinco nós em diferenças


Figura 6.13: Viga engastada-deslizante, discretizada com sete nós em diferenças


Figura 6.14: Viga engastada-deslizante, discretizada com doze nós em diferenças


xii

Figura 6.15: Viga engastada-apoiada, discretizada com três nós em diferenças finitas

(comportamento dinâmico em vibração livre). ......................................................... 111

Figura 6.16: Viga engastada-apoiada, discretizada com cinco nós em diferenças

finitas (comportamento dinâmico em vibração livre). .............................................. 113

Figura 6.17: Viga engastada-apoiada, discretizada com sete nós em diferenças finitas


Figura 6.18: Viga engastada-apoiada, discretizada com doze nós em diferenças

finitas (comportamento dinâmico em vibração livre). .............................................. 117

Figura 6.19: Viga biengastada discretizada com três nós em diferenças finitas


Figura 6.20: Viga biengastada discretizada com cinco nós em diferenças finitas


Figura 6.21: viga biapoiada discretizada com sete nós em diferenças finitas


Figura 6.22: Viga biengastada discretizada com doze nós em diferenças finitas

(comportamento dinâmico em vibração livre) .......................................................... 127

Figura 7.1: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da primeira

frequência natural de uma viga biapoiada ................................................................ 135

Figura 7.2: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da segunda

frequência natural de uma viga biapoiada. ............................................................... 135

Figura 7.3: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da terceira

frequência natural de uma viga biapoiada ................................................................ 136


frequência natural de uma viga engastada-livre........................................................ 138






frequência natural de uma viga engastada-deslizante ............................................... 141


frequência natural de uma viga engastada-deslizante ............................................... 141


frequência natural de uma viga engastada-deslizante. .............................................. 142

xiii


frequência natural de uma viga engastada-apoiada .................................................. 144






frequência natural de uma viga biengastada. ............................................................ 147

Figura 7.14: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da segunda e

terceira frequência natural de uma viga biengastada ................................................ 147


frequência natural de uma viga biengastada ............................................................. 148

Figura A.1: Tela de abertura do ANSYS .................................................................. 159

Figura A.2: Tela inicial do ANSYS .......................................................................... 160

Figura A.3: Janela para escolha do tipo de análise e adaptatividade do MEF .......... 161

Figura A.4: Definição do tipo de elemento ............................................................... 162

Figura A.5: Definição da seção transversal .............................................................. 162

Figura A.6: Definição das Propriedades do Material................................................ 163

Figura A.7: Definição dos pontos de inserção .......................................................... 164

Figura A.8: Definição dos Elementos de barra ......................................................... 164

Figura A.9: Janela para atribuição e aplicação das propriedades do elemento ......... 165

Figura A.10: Definição de divisões no elemento. ..................................................... 166

Figura A.11: Aplicação das Condições de contorno ................................................. 166

Figura A.12: Janela de definição do tipo de analise ................................................. 167

Figura A.13: Janela de definição da quantidade de raízes a serem extraídas ........... 168

Figura A.14: Janela de definição o intervalo dos valores ......................................... 168

Figura A.15: – Janela de confirmação da Solução .................................................... 169

Figura A.16: – Janela do comando Mode Shape ...................................................... 170

xiv

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1: Representação das condições de contorno nas extremidades. ................. 38

Tabela 4.2: Representação das condições de contorno nas extremidades e raízes da

equação de frequência, para uma viga biapoiada........................................................ 44


equação de frequência, para uma viga engastada com a extremidade livre................ 46

Tabela 4.4: representação das condições de contorno nas extremidades e raízes da

equação de frequência, para uma viga engastada com a extremidade deslizante. ...... 48

Tabela 4.5: representação das condições de contorno nas extremidades e raízes da

equação de frequência, para uma viga engastada-apoiada.......................................... 51


equação de frequência, para uma viga biengastada... ................................................. 53

Tabela 5.1: Representação esquemática para a diferencial central. ............................ 63

Tabela 5.2: Representação das condições de contorno para a diferencial central ...... 64

Tabela 7.1: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das da

frequências naturais para viga biapoiada, em vibração livre. ................................... 134


frequências naturais para viga engastada-livre, em vibração livre. .......................... 137


frequências naturais para viga engastada-deslizante, em vibração livre.. ................ 140


frequências naturais para viga engastada-deslizante, em vibração livre... ............... 143


frequências naturais para viga engastada-deslizante, em vibração livre... ............... 146

Tabela A.1: Tabela comparativa das da frequências naturais obtidas pelo ANSYS e

os valores determinados pelo SAVF para as vigas demonstradas neste trabalho... .. 171

Tabela A.2: Tabela demonstrativa da determinação dos fatores de correção das

frequências naturais obtidas pelo ANSYS para as vigas demonstradas neste

trabalho... .................................................................................................................. 172

xv

LISTA DE SIMBOLOS, NOMENCLATURAS E ABREVIAÇÕES

A - Seção Transversal

β - Frequência Natural Ponderada

- Compressão

- Derivada parcial em x

- 2ª derivada parcial em x



E - Módulo de elasticidade longitudinal

EDO - Equação Diferencial Ordinária

EDP - Equação Diferencial Parcial

- Erro percentual relativo

- Função Real

- Vetor conjugado das forças normal e cortante

- Fator de correção

- Esforço Horizontal

- Esforço Vertical

- Equação da flecha

- Modo de vibração

- Força gravitacional

G - Módulo de elasticidade transversal

- Vetor conjugado dos momentos fletor e torsor

h - Altura da seção transversal de uma viga

- Momento de inércia axial

- Coeficiente de cisalhamento

- Unidade de Comprimento

- Parâmetro de Forma de frequência de vibração

- Vetor resultante do momento

xvi

M - Momento Fletor

MDF - Método das Diferenças Finitas

MEF - Método dos Elementos Finitas

- Esforço normal

- Frequência Natural

- Frequência natural admensional

P - Carga concentrada

- Carregamento distribuído

q; -q - Esforços distribuídos de maneira aleatória

- Cargas distribuídas

- Esforço cortante ou de Cisalhamento

R, R1, R2 e Ra - Reações de apoio

- Vetor resultante das forças

- Massa especifica

SAVF - Solução Analitica para Vibrações Flexionais

- Momento Torsor

- Tração

- Função do Tempo

- Coeficiente de poisson

θ - Ângulo de rotação

- deflexão, deformação ou flecha

- Somatório contínuo (integral)

- Somatório discreto

xvii

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 1

1.1 GENERALIDADES ............................................................................................... 1

1.2 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ......................................................... 2

1.3 OBJETIVOS ........................................................................................................... 3

1.3.1 Objetivo Geral .................................................................................................... 3

1.3.2 Objetivo Específico ............................................................................................ 3

2. REVISÃO BÁSICA GERAL ................................................................................ 4

2.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 4

2.2 CONCEITO DE ESTRUTURA ............................................................................ 6

2.3 ELEMENTOS ESTRUTURAIS ............................................................................ 6

2.3.1 Elementos Lineares ........................................................................................... 7

2.3.1.1 Vigas ................................................................................................................ 7

2.3.1.2 Pilares ............................................................................................................... 7

2.3.1.3 Tirantes ............................................................................................................ 8

2.3.1.4 Arcos ................................................................................................................ 8

2.3.2 Elementos de Superfície ................................................................................... 8

2.3.2.1 Placas ............................................................................................................... 9

2.3.2.2 Chapas .............................................................................................................. 9

2.3.2.3 Cascas .............................................................................................................. 9

2.3.2 Elementos espaciais ......................................................................................... 10

2.4 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DOS CORPOS ............................................... 10

2.4.1 Grandezas Fundamentais ................................................................................ 11

2.4.1.1 Força .............................................................................................................. 11

2.4.1.2 Momento ......................................................................................................... 12

2.4.2 Graus de Liberdade ........................................................................................ 12

2.4.3 Vínculos ou apoios .......................................................................................... 14

2.4.3.1 Apoio articulado móvel ................................................................................. 14

2.4.3.2 Apoio Articulado Fixo ................................................................................... 15

2.4.3.3 Apoio Engastado ............................................................................................ 15

2.4.4 Estaticidade e Estabilidade ............................................................................. 15

2.4.4.1 Hipostáticidade .............................................................................................. 16

2.4.4.2 Hiperestáticidade ........................................................................................... 16

xviii

2.4.4.3 Isostáticidade ................................................................................................. 17

2.5 TIPOLOGIA DOS ESFORÇOS .......................................................................... 18

2.5.1 Esforços externos ............................................................................................. 18

2.5.1.1 Esforços ativos ................................................................................................ 19

2.5.1.2 Esforços reativos ............................................................................................. 19

2.5.2 Esforços internos .............................................................................................. 20

2.5.1.1 Esforços Internos Solicitantes ......................................................................... 20

2.5.1.2 Esforços Internos Resistentes ........................................................................ 24

3. INTRODUÇÃO BÁSICA AS VIBRAÇÕES MECÂNICAS ........................... 25

3.1 GENERALIDADE .............................................................................................. 25

3.2 CONCEITOS BÁSICOS DE VIBRAÇÕES ....................................................... 26

3.2.1 Vibração ........................................................................................................... 26

3.2.2 Vibração livre e forçada ................................................................................. 26

3.2.3 Vibração amortecida e não amortecida ......................................................... 27

3.2.4 Vibração linear e não linear ........................................................................... 28

3.2.5 Vibração determinística e aleatória .............................................................. 29

3.2.6 Graus de Liberdade ........................................................................................ 29

3.2.7 Sistemas discretos e contínuos ....................................................................... 30

4. ESTUDO GERAL BASICO DE VIGA ............................................................. 32

4.1 GENERALIDADE .............................................................................................. 32

4.2 CLASSIFICAÇÃO .............................................................................................. 33

4.2.1 Quanto aos Apoios .......................................................................................... 33

4.2.2 Quanto ao carregamento ................................................................................. 33

4.3 EQUAÇÃO DE VIBRAÇÃO EM FLEXÃO DA VIGA DE EULER-

BERNOULLI .............................................................................................................. 34

4.3.1 Solução Geral da Equação de Vibração em Flexão da Viga de Euler-Bernoulli .. 37

4.3.2 Viga de Vlasov .................................................................................................. 40

4.3.3 Viga de Timoshenko ....................................................................................... 40

4.4 APLICAÇÃO DA SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA VIBRAÇÃO FLEXIONAL

.................................................................................................................................... 41

4.4.1 Viga Biapoiada ................................................................................................. 41

4.4.2 Viga Engastada-livre ....................................................................................... 44

4.4.3 Viga Engastada-deslizante ............................................................................. 46

4.4.4 Viga Engastada-apoiada .................................................................................. 49

xix

4.4.5 Viga Biengastada .............................................................................................. 51

5. MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ........................................................ 54

5.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 54

5.2 FORMULAÇÃO BÁSICA .................................................................................. 55

5.2.1 Série de Taylor para funções de variáveis n .................................................. 55

5.2.2 Aproximação das derivadas por série de Taylor .......................................... 56

5.3 CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O MÉTODO DAS DIFERENÇAS

FINITAS (MDF) ......................................................................................................... 59

5.3.1 Condições no engaste ....................................................................................... 59

5.3.2 No apoio do 2º gênero ou 1º gênero ................................................................ 60

5.3.3 Na extremidade livre ....................................................................................... 61

5.3.4 No apoio deslizante .......................................................................................... 62

5.3.5 Esquema de solução ......................................................................................... 63

5.4 O MDF APLICADO AO COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VIGA DE

EULER EM VIBRAÇÃO LIVRE ............................................................................. 64

6. APLICAÇÃO DO MDF NA VIGA DE EULER EM VIBRAÇÃO LIVRE .... 66

6.1 VIGA BI-APOIADA ........................................................................................... 66

6.1.1 Discretização da viga utilizando uma malha com 3 nós ............................... 66



6.1.4 Discretização da viga utilizando uma malha com 12 nós ............................. 73




6.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE ............................................................................. 90





6.2.5 Discretização da viga utilizando malhas com 22, 32 e 42 nós ...................... 99

6.3 VIGA ENGASTADA-DESLIZANTE .............................................................. 100




xx

6.3.4 Discretização da viga com 12 nós ................................................................. 107

6.3.5 Discretização da viga com 22, 32, 42 e 52 nós .............................................. 109

6.4 VIGA ENGASTADA-APOIADA ..................................................................... 111




6.4.4 Discretização da viga utilizando uma malha com 12 nós ........................... 117

6.4.5 Discretização da viga utilizando malhas com 22, 32, 42, 52, 62 e 72 nós .. 119

6.5 VIGA BI-ENGASTADA ................................................................................... 121




6.5.4 Discretização da viga utilizando uma malha com 12 nós ........................... 126

6.5.5 Discretização da viga utilizando malhas com 22, 32, 42, 52, 62,72,82 e 92

nós ............................................................................................................................. 129

7. ANÁLISE DOS RESULTADOS ....................................................................... 133

7.1 VIGA BI-APOIADA ......................................................................................... 133

7.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE ........................................................................... 136

7.3 VIGA ENGASTADA-DESLIZANTE .............................................................. 139

7.4 VIGA ENGASTADA-APOIADA ..................................................................... 142

7.5 VIGA BI-ENGASTADA ................................................................................... 145

8. CONCLUSÕES .................................................................................................. 149

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 152

APÊNDICE A. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO, EM

VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS, VIA ANSYS. .................................................. 159

A.1 ROTEIRO RESUMIDO DE ANÁLISE VIA ANSYS ..................................... 159

A.2 PROCEDIMENTO DETALHADO DE ANÁLISE VIA ANSYS .................... 161

A.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS VIA ANSYS ............................................... 170

A.4 CONCLUSÕES ................................................................................................ 172

1

1. INTRODUÇÃO

1.1. GENERALIDADES

A análise da resistência dos materiais na área da mecânica dos sólidos é fundamental

no dimensionamento de estruturas na Engenharia Civil. A partir da análise estática,

determinam-se tensões e deformações nas estruturas sob carregamento, incluindo seu próprio

peso. Essas grandezas devem ficar numa faixa de valores permissíveis a fim de garantir a

segurança e a funcionalidade das estruturas. Considerável esforço é despendido pelos

engenheiros civis justamente para determinar os carregamentos a que estão sujeitas as

estruturas por eles dimensionadas. Poucos são os casos em que soluções analíticas podem ser

desenvolvidas nessa tarefa. Frequentes são os casos hiperestáticos e/ou com geometria

variável, nos quais ferramentas numéricas são praticamente indispensáveis (VAZ, 2008).

Embora a análise estática seja a primeira a ser realizada, em muitos casos, ainda que

necessária, ela não é suficiente para assegurar a integridade das estruturas. De fato, na prática,

os esforços costumam ser constituídos de uma parcela estática e outra dinâmica. Esses

esforços variáveis induzem vibrações, que além de alterar o quadro geral de tensões e

deformações causam interferências (ruídos) em equipamentos ou máquinas apoiadas nessas

estruturas, instabilidades de operação, aceleração no desgaste, redução na vida útil, etc.

Segundo VAZ (2008), a resposta dinâmica de uma estrutura às excitações harmônicas

depende, essencialmente, das propriedades como rigidez, massa e amortecimento que

influenciam a frequência natural e o modo de vibrar. Essas propriedades, por sua vez,

resultam da geometria, materiais e condições de vinculação ao meio externo. Assim, há

situações em que além da caracterização estática, os engenheiros devem investigar

características vibratórias e possíveis respostas dinâmicas sob variadas condições de

carregamento.

Em poucas palavras, pode-se definir resposta homogênea como aquela exibida por um

sistema quando sujeito a uma vibração livre devido às condições iniciais diferentes de zero ou

devido a uma excitação do tipo impulso. No campo das vibrações mecânicas, essa é sem

dúvida a principal característica a ser investigada nos sistemas em estudo, pois dela se extrai

as frequências, fatores de amortecimento e modos de vibração. O modo de vibrar, por sua vez,

refere-se ao aspecto geométrico “adimensional” da vibração livre, sendo importante para

caracterizar as regiões nodais e os ventres que se formam no movimento vibratório.

2

O ponto importante é que a amplitude do movimento resultante é inversamente

proporcional à diferença entre a frequência natural do sistema e a frequência da excitação

externa. Ou seja, frequências forçantes distantes da natural não induzem oscilações de grande

amplitude, enquanto que frequências próximas podem levar a deslocamentos proibitivos,

fenômeno este conhecido como ressonância. Posto isso, fica evidente a importância de bem

identificar as frequências naturais nas estruturas reais da engenharia, para daí analisar aquelas

que podem estar próximas das induzidas pelos carregamentos externos, a fim de se evitar os

fenômenos de ressonância.

Neste trabalho, a atenção será dada ao estudo do comportamento dinâmico da viga de

Euler-Bernoulli para determinar as frequências naturais, através do método das diferenças

finitas. Esse interesse se justifica devido ao bom número de estruturas que podem ser

aproximadas. Daí o interesse em se levar em consideração as principais mudanças de apoios,

a fim de uma avaliação mais acurada das possíveis respostas dinâmicas.

1.2 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

Equações diferenciais ordinárias (EDOs) e parciais (EDPs) aparecem em inúmeros

problemas da física-matemática. Em especial, na área de engenharia, todo cálculo mais

elaborado normalmente recai em uma equação diferencial. Como poucas equações

diferenciais (EDs) têm solução analítica possível ou viável, os métodos numéricos aparecem

como uma ferramenta extremamente eficiente para sua solução (FRANCO, 2010).

A solução de uma equação diferencial em um domínio implica no conhecimento dos

valores da(s) variável(eis) estudada(as) em todo o meio continuo. Segundo CARNAHAN

(1969), o método das diferenças finitas pode ser utilizado para resolver problemas de valor de

contorno ou valor inicial, envolvendo equações diferenciais ordinárias ou parciais. Assim,

este método pode ser usado para solucionar as equações de modelos a parâmetros

concentrados ou distribuídos.

Para isso, diz-se que o Método das Diferenças Finitas (MDF) consiste em resolver a

equação diferencial em pontos discretos. Estes pontos são igualmente espaçados, ou seja, a

malha é regular (SOUSA, 2006).

Em resumo, o objetivo do Método das Diferenças Finitas é transformar um problema

composto por equações diferenciais em formas discretizadas e posteriormente em um

problema formado por equações algébricas em função dos valores da variável em cada nó.

3

O conhecimento da solução, mesmo que de forma aproximada, em alguns pontos dá

uma boa idéia da solução contínua, à medida que essa nuvem de pontos é adensada o valor da

resposta numérica se aproxima do valor real.

1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo geral

Desenvolver e apresentar um estudo na área de engenharia estrutural que vislumbre o

entendimento dinâmico das estruturas civis de modo a auxiliar um ramo pouco estudado na

graduação, que são os métodos numéricos, através do Método das Diferenças Finitas, onde

será aplicado em um elemento estrutural bastante utilizado na construção civil, que são as

vigas. Para isso, será necessário o estudo das vigas de maneira que haja um entendimento de

seu comportamento, possibilitando posteriormente a aplicação do MDF

1.3.2 Objetivo específico

Rever os conceitos estruturais para dar subsídios para o estudo do MDF aplicados à

teoria das vigas;

Apresentar a equação que rege a teoria das vigas de Euler-Bernoulli para o

comportamento dinâmico em vibração livre;

Obter as condições de contorno nos vínculos dos apoios da viga de modo a levar os

problemas relacionados a um sistema;

Aplicar o método das diferenças finitas na equação da viga de Euler-Bernoulli, para o

comportamento dinâmico, em vibração livre;

Calcular os valores das frequências naturais em vigas, variando suas condições de

apoio, através da aplicação do MDF na teoria da viga de Euler-Bernoulli.

4

2. REVISÃO BÁSICA GERAL

Neste capítulo serão fornecidos alguns conceitos gerais para a melhor compreensão do

que é estrutura, importância, suas classificações, além de demonstrar os tipos de elementos

estruturais e também os principais esforços que atuam nas estruturas quando solicitadas.

2.1 INTRODUÇÃO

Há cerca de milhares de anos, tendo descoberto a agricultura e a pecuária, o homem

deixou de ser nômade, passando a residir em um local fixo; surgiram então os primeiros

edifícios permanentes e as primeiras aldeias.

Desde esta época, o homem vem erigindo construções que o abriguem, que permitam

a reunião de grandes comunidades irmanadas por um objetivo religioso, político ou de lazer,

que possibilitem a transposição de um rio ou a barragem de um curso d’água.

Segundo HOMRICH (2011) e NOVAES (2008), não havia regras para idealização de

ações, modelos de comportamento da estrutura e dos materiais, critérios de segurança. A

construção de novas estruturas era empírica (experimental) baseada em experiências prévias:

“ficou de pé, então é estável, pode-se fazer assim”.

As construções de madeira e com pedras naturais ou artificiais, isto é, em alvenaria,

são as mais antigas realizadas. Já havia construções em alvenaria nas mais antigas eras. De

acordo com PIMENTA (2006), no início, as pedras eram apenas empilhadas, mas logo se

desenvolveu a técnica de talhar as pedras, dando-lhes um melhor encaixe, conforme a figura

2.1.

Figura 2.1: Templo Inca – Exemplo da técnica de talhar as pedras

Fonte: florestaviagens, 2012.

5

De acordo com BRANDÃO (2010) NOVAES (2008), as primeiras formas estruturais

eram o conjunto de viga e pilares, chamado pórtico, largamente utilizado até hoje. A limitação

quanto aos materiais disponíveis, na época, levava a limitação dos vãos e necessidade de

vários pilares. Talvez, através da observação das estruturas da natureza, percebeu-se que a

forma em arco, por levar à melhor distribuição de esforços, permita a elaboração de

construções mais estáveis e de vãos maiores, conforme figura 2.2.

Figura 2.2: Estrutura em forma de arco - Pont du Gard perto de Nîmes

Fonte: PIMENTA, 2006

Dessa forma, tanto a aplicação do arco, quanto a das suas variações, como cúpulas e

abóbodas, era muito utilizada nas concepções das construções antigas, como ilustrado na

figura 2.3.

Figura 2.3: Cúpula da Catedral de Florença

Fonte: PIMENTA, 2006

Somente com a Revolução Industrial, a partir do século XIX (BRANDÃO, 2010;

NOVAES, 2008), é que a forma em pórtico volta a ser mais popularmente utilizada, pois com

o advento dos novos materiais, como o ferro fundido e posteriormente o aço e o concreto

armado, possibilitavam maiores vãos com estruturas em pórtico. Porém, a grande evolução na

6

engenharia de estruturas ocorreu a partir do século XX, com o desenvolvimento de novos

materiais e procedimentos de cálculo e da engenharia moderna. Essa evolução se desenvolve

até hoje e se traduz na engenharia moderna.

2.2 CONCEITO DE ESTRUTURA

Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças (estruturais), ligadas entre si

e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de

receber solicitações externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde

estas solicitações externas encontrarão seu sistema estático equilibrante (BEER, 1976

SUSSEKIND, 1994; MERIAN, 1997). Logo, toda estrutura deve proporcionar equilíbrio e

suporte às diversas ações, durante a sua vida útil, sem que ela perca a sua funcionalidade,

conforme a figura 2.4.

Figura 2.4: Representação geral dos elementos estruturais

Fonte: Eberick - ALTOQI, 2012.

2.3 ELEMENTOS ESTRUTURAIS

São cada uma das peças diferenciadas ainda que vinculadas nas quais pode ser

dividida uma estrutura, capaz de receber e transmitir esforços com segurança.

7

2.3.1 Elementos lineares (unidimensionais)

São aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a

maior dimensão da seção transversal, sendo também denominados barras.

De acordo com a sua função estrutural, recebem as designações de:

2.3.1.1 Vigas

Elementos lineares em que a flexão é preponderante. (NBR 6118, 2003)

Figura 2.5: Representação de viga

Fonte: ARAGÃO, 2012.

2.3.1.2 Pilares:

Elementos lineares de eixo reto, usualmente disposto na vertical, de forma que as

forças normais de compressão são preponderantes. (NBR 6118, 2003)

Figura 2.6: Representação de pilar.


8

2.3.1.3 Tirantes

Elementos lineares de eixo reto em que as forças normais de tração são

preponderantes. (NBR 6118, 2003)

Figura 2.7: Representação de tirante.


2.3.1.4 Arcos

Elementos lineares curvos, em que as forças normais de compressão são

preponderantes, agindo ou não simultaneamente com esforços solicitantes de flexão, cujas

ações estão contidas em seu plano. (NBR 6118, 2003)

Figura 2.8: Representação de arco.

Fonte: Elaborado pelo autor

2.3.2 Elementos de superfície (planos ou bidimensionais)

Elementos em que uma dimensão, usualmente chamada espessura, é relativamente

pequena em face das demais, podendo receber as designações apresentadas em 2.3.2.1 a

2.3.2.3.

9

2.3.2.1 Placas

Elementos de superfície plana, sujeitos principalmente a ações normais a seu plano. As

placas de concreto são usualmente denominadas lajes. Placas com espessura maior que 1/3 do

vão devem ser estudadas como placa espessa. (NBR 6118, 2003)

Figura 2.9: Representação de placa.


2.3.2.2 Chapas

Elementos de superfície plana, sujeitos principalmente a ações contidas em seu plano.

As chapas de concreto em que o vão for menor que três vezes a maior dimensão da seção

transversal são usualmente denominadas vigas-parede. (NBR 6118, 2003).

Figura 2.10: Representação de chapa.


2.3.2.3 Cascas

Elementos de superfície delgada, não plana. (NBR 6118, 2003)

10

Figura 2.11: Representação de casca.


2.3.3 Elementos espaciais (tridimensionais)

Elementos em que as três dimensões têm a mesma ordem de grandeza, como

representado na figura 2.12.

Figura 2.12: Representação de elemento espacial

Fonte: Elaborada pelo autor

2.4 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DOS CORPOS

Para um corpo, submetido a um sistema de forças estar em equilíbrio, é necessário que

elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo. Como a

tendência de translação é dada pela resultante das forças e a tendência de rotação, em tomo

de qualquer ponto, é dada pelo momento resultante destas forças em relação a este ponto,

basta que estes dois vetores e sejam nulos para que o corpo esteja em equilíbrio

(SUSSEKIND, 1994), conforme demonstrado pelas equações abaixo:

11

(2.1)

(2.2)

2.4.1 Grandezas Fundamentais

2.4.1.1 Força

É um dos conceitos fundamentais da física. Relacionado com as três leis de Newton, é

uma grandeza que tem a capacidade de vencer a inércia de um corpo, modificando-lhe a

velocidade.

As forças mais conhecidas são os pesos, que tem sempre sentido vertical para baixo,

como por exemplo, o peso proprio de uma viga, ou o peso de uma laje sobre esta mesma viga.

Segundo BENTO (2003), as forças podem ser classificadas em concentradas e

distribuidas. Na realidade todas as forças encontradas são distribuídas, ou seja, forças que

atuam ao longo de um trecho.

Quando um carregamento distribuído atua em uma região de área desprezível, e

chamado de força concentrada. A força concentrada, tratada como um vetor, uma idealização,

que em inúmeros casos nos traz resultados com precisão satisfatória. No estudo de tipos de

carregamentos, mais a diante, se retornará a este assunto.

A força é uma grandeza vetorial que necessita para sua definição de: intensidade,

direção e sentido, em relação a um ponto de aplicação, como na figura 2.13.

Figura 2.13: Representação de força.

Fonte: BENTO, 2003

12

2.4.1.2 Momento

Seja “F” uma força constante aplicada em um corpo, “d” a distância entre o ponto de

aplicação desta força a um ponto qualquer. Por definição, o momento “M” realizado pela

força “F” em relação ao ponto P e dado pelo produto vetorial, na figura 2.14:

Figura 2.14: Representação de momento.

Fonte: JUDICE, 2010

Resumidamente, momento representa a tendência de rotação em torno de um ponto

provocada por uma força.

2.4.2 Graus de liberdade

Sabe-se que a ação estática de um sistema de forças no espaço, em relação a um dado

ponto, é igual à de sua resultante e a de seu momento resultante em relação àquele ponto;

provocando, a primeira, uma tendência de translação e, o segundo, uma tendência de rotação

(SUSSEKIND, 1994). No espaço, uma translação pode ser expressa por suas componentes

segundo 3 eixos triortogonais e uma rotação, como a resultante de três rotações, cada uma em

torno de um desses eixos, diz-se que uma estrutura no espaço possui um total de 6 graus de

liberdade (3 translações e 3 rotações, segundo 3 eixos triortogonais), conforme ilustrado na

figura 2.15.

13

Figura 2.15: Representação de graus de liberdade espacialmente.


No Plano, uma translação pode ser expressa por suas componentes segundo 2 eixos

ortogonais e, uma resultante de rotação, em torno de um desses eixos, diz-se que uma

estrutura no plano possui um total de 3 graus de liberdade (2 translações e 1 rotação, segundo

2 eixos ortogonais), como mostrado na figura 2.16.

Figura 2.16: Representação de graus de liberdade no plano.


Evidente que estes graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar toda

tendência de movimento da estrutura, a fim de se possibilitar seu equilíbrio. Esta restrição é

dada por apoios, que devem impedir as diversas tendências possíveis de movimento, através

do aparecimento de reações destes apoios sobre a estrutura, nas direções dos movimentos que

eles impedem, isto é, dos graus de liberdade que eles restringem. Estas reações de apoio se

oporão às cargas aplicadas a estrutura, formando este conjunto de cargas e reações um sistema

14

de forças em equilíbrio, e regidas, portanto, pelos grupos de equações, para os diversos tipos

de sistemas de forças que podem ocorrer na prática.

2.4.3 Vínculos ou Apoios

Um vínculo (apoio) é qualquer condição que restringe a possibilidade de deslocamento

de um ponto do elemento ligado ao vínculo. O deslocamento de um ponto do elemento é

determinado através das componentes segundo os eixos cartesianos ortogonais. As translações

podem ser horizontais ou verticais e a rotação ocorre em torno do eixo perpendicular ao plano

considerado (PINTO, 2000).

A função básica dos vínculos ou apoios é de restringir o grau de liberdade das

estruturas por meio de reações nas direções dos movimentos impedidos, ou seja, restringir as

tendências de movimento de uma estrutura. Os vínculos têm a função física de ligar elementos

que compõem a estrutura, além da função estática de transmitir as cargas ou forças (GHISI,

2004).

As ligações podem ser internas, também chamadas de vínculos internos, ou então

externas, também chamados de apoios. A seguir será apresentado alguns tipos principais de

apoios, por ser de fundamental importância para a compreensão de esforços em vigas.

2.4.3.1 Apoio articulado móvel (simples ou 1º gênero ou 1º grau):

Este tipo de apoio restringe apenas uma translação, e a reação tem direção

perpendicular ao plano de rolamento (PINTO, 2000). Resumidamente, são apoios que

restringe um movimento, desta maneira teremos somente uma reação de apoio.

Figura 2.17: Representação para apoio do 1º gênero.

Fonte: BRANDÃO, 2010

15

2.4.3.2 Apoio Articulado Fixo (Articulação ou 2º gênero ou 2º grau):

Este tipo de apoio impede as duas translações no plano, e a direção da reação R é

indeterminada, sendo comum a utilização de duas componentes, horizontal e vertical, porém

permite a rotação da estrutura (PINTO, 2000).



2.4.3.3 Apoio Engastado (3º gênero ou 3º grau):

Este tipo de apoio impede todos os movimentos no plano, surgindo então três reações

de apoio: a vertical (R1), a horizontal (R2) e momento (M) (PINTO, 2000).



2.4.4 Estaticidade e Estabilidade

Como pode-se ver a função dos apoios é limitar os graus de liberdade de uma

estrutura. Três casos podem então ocorrer, conforme 2.4.3.1, 2.4.3.2 e 2.4.3.3.

16

2.4.4.1 Hipostaticidade

São estruturas que não possuem equilíbrio estático, logo não são estáveis, tendo por

isso algum movimento (grau de liberdade) não restringido (ROMÃO, 2003; BRANDÃO,

2010).

As reações nos apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os

movimentos possíveis da estrutura. Neste caso, evidentemente, tem-se mais equações do que

incógnitas, chegando-se a um sistema de equações impossível, nos casos gerais. A estrutura

será dita hipostática e terá equilíbrio instável. (Pode ocorrer uma situação de carregamento tal

que o próprio carregamento consiga impedir os graus de liberdade que os apoios não forem

capazes de impedir; será, então, um caso de equilíbrio, mas de equilíbrio instável, pois

qualquer que seja a deformação imposta à estrutura, ela tenderá a prosseguir até a sua ruína).

As estruturas hipostáticas são, então, inadmissíveis para as construções (SUSSEKIND, 1994).

Figura 2.20: Estrutura Hipostática.

Fonte: JUDICE, 2010

2.4.4.2 Hiperestaticidade

A estrutura será dita hiperestática, quando os apoios são em número superior ao

necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso, tem-se

menor número de equações do que de incógnitas, conduzindo a um sistema indeterminado. As

equações da Estática não serão, então, suficientes para a determinação das reações de apoio,

sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformações (SUSSEKIND,

1994).

17

Figura 2.21: Estrutura Hiperestática.

Fonte: JUDICE, 2010

2.4.4.3 Isostaticidade

A estrutura será dita isostática, quando os apoios são em número estritamente

necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso o número de

reações de apoio a determinar é igual ao número de equações de equilíbrio disponíveis,

chegando-se a um sistema de equações determinado que resolverá o problema.

(SUSSEKIND, 1994).

Figura 2.22: Estrutura Isostática.

Fonte: JUDICE, 2010

18

2.5 TIPOLOGIA DOS ESFORÇOS

A tipologia dos esforços atuantes em estruturas, está divida em esforços externos e

internos. O primeiro atua fora da estrutura (externo) enquanto o segundo age a nível

molecular (interno). Existem ainda para ambos os esforços subdivisões que serão descritas.

Figura 2.23: Classificação dos esforços presentes nas estruturas.

Fonte: Elaborada pelo autor.

2.5.1 Esforços Externos

Segundo SOUZA & SILVA (2005), os esforços externos são os que atuam no sistema

material em análise (por contato ou ação à distância) oriundos da ação de outro sistema (o

peso próprio, a ação do vento, esforços vinculares, são exemplos de esforços externos),

conforme as figura 2.24 e 2.25. São subdivididos em ativos e reativos.

Figura 2.24: Esforços externos – carregamento concentrado. Atual (a). Idealizado (b).

Fonte: CAMPOS, 2010.

19

2.5.1.1 Esforços ativos

Os esforços ativos serão classificados conforme a maneira que as ações atuam, em

função do tempo e relativamente ao tempo e espaço.

Segundo CAMPOS (2010) relação ao tempo, são classificadas em permanentes, que

agem permanentemente sobre a estrutura (cargas de paredes, telhados, empuxos de terra,

peso próprio) e acidentais, que não agem constantemente sobre a estrutura (cargas móveis

(veículos), ventos, pessoas).

Em relação ao tempo e ao espaço, são classificadas como fixas, que não se deslocam

sobre a estrutura e agem progressivamente de zero até o valor final (paredes e peso próprio), e

moveis, que são cargas que se locomovem sobre uma estrutura e agem quase que

imediatamente com o valor total (veículos) (CAMPOS, 2010).

Figura 2.25: Esforços externos ativos – carregamento distribuido. Atual (a). Idealizado (b).

Fonte: CAMPOS, 2010.

2.5.1.2 Esforços reativos

Os esforços reativos ou reações dos apoios, são os produzidos pelos vínculos, que se

opõe as cargas atuantes em uma estrutura, sendo determinados pelas equações que regem o

equilíbrio das forças sobre um corpo em repouso.

No apoio articulado móvel, o vetor reação é normal ao plano de rolamento, passando

pelo apoio (item 2.4.3.1). No apoio articulado fixo, o vetor reação deve passar pela rótula,

podendo ser decomposto segundo duas direções perpendiculares (item 2.4.3.2). No

engastamento, produz-se uma reação força que pode ser decomposta como a anterior e uma

reação momento (item 2.4.3.3).

20

2.5.2 Esforços Internos

Segundo BANACZEK, (2012), os esforços internos são as interações entre partes da

mesma estrutura.

Os esforços internos desenvolvidos no corpo sólido podem ser simplificados para

ações resultantes. Para tal, é importante a definição de um plano que secciona o corpo, um

sistema de coordenadas e uma convenção de sinais definida de uma forma coerente para

determinar os sentidos dos esforços de uma maneira equivalente nas duas faces da seção do

corpo (UFPR, 2012).

Podem ser esforços solicitantes, resultantes de força e momento que descrevem a

interação no plano da seção transversal, ou esforços resistentes (tensões) que descrevem a

interação entre as partículas (BANACZEK, 2012).

2.5.2.1 Esforços Internos Solicitantes

Como já citado, esforços internos solicitantes são os resultantes de força e momento

que descrevem a interação no plano da seção transversal. Segundo BRANDÃO (2010), estes

esforços internos geralmente são distribuídos de forma complexa sobre a seção (figura 2.26),

mas, no entanto as condições de equilíbrio são satisfeitas para cada parte separadamente.

(a)

(b)

Figura 2.26: Esforços internos solicitantes. Corpo recortado virtualmente (a). Distribuição de forças ao longo da

superfície recortada (b)

Fonte: BRANDÃO, 2010.

Para o caso de elementos em forma de barras (caso mais comumente tratado pela

Resistência dos Materiais) pode-se analisar os esforços internos atuantes em uma seção

transversal (perpendicular ao eixo da barra) e reconhecemos que a ação de uma parte da barra

21

sobre a outra pode ser reduzida a uma força e a um conjugado de momento . Ao se

decompor estes dois esforços na direção do eixo da barra (direção normal) e no plano da

seção (direção tangente), obtém-se os chamados esforços solicitantes (figura 2.27).

(a) (b) (c)

(d) (e) (f) (g)

N Q M T Figura 2.27: Esforços internos solicitantes. Conjugado de esforços e (a). Distribuição de forças a superfície

recortada (b). Distribuição do conjugado de momento da superfície recortada (c). Representação esforço normal

(d). Representação esforço cortante (e). Representação momento fletor (f). Representação momento torsor (g).

Fonte: SOUZA & SILVA, 2005.

As resultantes dos esforços internos solicitantes estão descritas abaixo.

a) Esforço Normal (N): É a componente da força que age perpendicular à seção

transversal. Tende a promover variação da distância que separa as seções,

permanecendo as mesmas paralelas uma à outra. Se for dirigida para fora do corpo,

provoca alongamento no sentido da aplicação da força, produz esforços de tração.

Q

N

M

T

22

Se for dirigida para dentro do corpo, provocando encurtamento no sentido de

aplicação da força, produz esforços de compressão. Por convenção, o esforço

normal será positivo quando de tração e negativo quando de compressão.

Figura 2.28: Esforço normal em um corpo sólido. Efeito efeitos de tração e compressão.

Fonte: UFPR, 2012.

b) Esforço Cortante ou de Cisalhamento (Q): É a componente da força contida no

plano da seção transversal que tende a deslizar uma porção do corpo em relação à

outra, provocando corte (deslizamento da seção em seu plano) perpendicularmente

ao eixo longitudinal. Por convenção, o esforço cortante é positivo quando,

calculado pelas forças situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido positivo

do eixo y e quando calculado pelas forças situadas do lado direito da seção, tiver o

sentido oposto ao sentido positivo do eixo y.

Figura 2.29: Esforço cortante em um corpo sólido.


c) Momento Fletor (M): É a componente do momento contida na seção transversal

(perpendiculares ao eixo), que quando solicitado, tende a dobrá-lo, fleti-lo ou

mudar sua curvatura. O momento fletor age no plano contém o eixo longitudinal,

ou seja, perpendicular à seção transversal. Como um momento pode ser substituído

por um binário, o efeito de M pode ser assimilado ao binário que provoca uma

23

tendência de alongamento em uma das partes da seção e uma tendência de

encurtamento na outra parte, deixando a peça fletida.

Figura 2.30: Momento fletor em um corpo sólido. Estrutura antes do carregamento (a).

Estrutura com carregamento (b). Estrutura fletida (c).


Resumidamente, para o momento fletor, deseja-se conhecer quais fibras

estão tracionadas e quais fibras estão comprimidas (para, no caso das vigas de

concreto armado, por exemplo, deve-se saber de que lado colocar as barras de aço,

que são o elemento resistente à tração).

d) Momento Torsor (T): É a componente do momento que tende a girar a seção

transversal em torno de eixo longitudinal, torcendo uma parte do corpo em relação

à outra. Por convenção, o momento torsor é positivo quando o vetor de seta dupla

que o representa estiver como que tracionando a seção.

(a) (b)

Figura 2.31: Momento torsor em um corpo sólido. Estrutura em repouso (a). Estrutura sob efeito do

momento torsor (b).

Fonte: SMITH, 2011.

24

2.5.2.2 Esforços Internos Resistentes

Como já citado, esforços internos resistentes (tensões) são os que descrevem a

interação entre as partículas. Segundo GHISI (2004), a distribuição dos esforços resistentes ao

longo de cada ponto da seção transversal é considerada uniforme, embora, talvez nunca se

verifique na realidade.

Segundo LEGGERINI (2007), se a tensão tem a direção perpendicular à seção de

referência e o seu efeito é o de provocar alongamento ou encurtamento das fibras

longitudinais do corpo, mantendo-as paralelas, essa é denominada de tensão normal (σ).

Se a tensão é desenvolvida no plano da seção de referência tendo o efeito de provocar

corte ou cisalhamento nesta seção, essa é denominada de tensão tangencial ou de

cisalhamento ( ) (LEGGERINI, 2007).

Para poder entender melhor os esforços internos resistentes, o aprofundamento maior

em conceitos como, propriedades mecânicas dos materiais, deformações e elasticidade, lei de

Hooke se faz necessário, porem não é objetivo deste trabalho.

25

3. INTRODUÇÃO BÁSICA A VIBRAÇÕES MECÂNICAS

Neste capítulo serão apresentados alguns conceitos básicos envolvidos no estudo de

vibrações mecânicas. Destaca-se algumas definições básicas necessárias para o

desenvolvimento do trabalho, como vibração livre e forçada, amortecida e não amortecida,

linear e não linear, determinística e aleatória, graus de liberdade e sistemas contínuos e

discretos

3.1 GENERALIDADE

De acordo com PICCOLI (2012), a maioria das atividades humanas envolve alguma

forma de vibração. Nós ouvimos porque o tímpano vibra, nós vemos porque ondas luminosas

se propagam.

No campo tecnológico, as aplicações de vibrações na engenharia são de grande

importância nos tempos atuais. Projetos de máquinas, fundações, estruturas, motores,

turbinas, sistemas de controle, e outros, exigem que questões relacionadas a vibrações sejam

levadas em conta. (PICCOLI, 2012).

Sempre que a frequência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide

com a frequência da força externa atuante, ocorre um fenômeno conhecido como ressonância

que ocasiona grandes deformações e falhas mecânicas. A literatura é rica de exemplos de

falhas em sistemas causados por vibrações excessivas em virtude de ressonância. Um destes

exemplos é o da ponte de Tacoma Narrows (figura 3.1), nos Estados Unidos.

Figura 3.1: Ponte de Tacoma Narrows durante vibração induzida pelo vento, antes do colapso.

Fonte: Wikipédia - Tacoma Narrows Brigde (1940).

26

A vibração também pode ser utilizada com proveito em várias aplicações industriais.

Esteiras transportadoras, peneiras, compactadores, misturadores, máquinas de lavar, utilizam

vibração em seu princípio de funcionamento. Vibração também pode ser utilizada em testes

de materiais, processos de usinagem, soldagem. Os ultra-sons são largamente utilizados

também em medicina (obstetrícia, destruição de cálculos renais, etc.). Também é empregada

para simular terremotos em pesquisas geológicas e para conduzir estudos no projeto de

reatores nucleares (PICCOLI, 2012).

3.2 CONCEITOS BÁSICOS DE VIBRAÇÕES

3.2.1 Vibração

É qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente, depois de um

intervalo de tempo. Na engenharia estes movimentos ocorrem em elementos de máquinas e

nas estruturas, quando estes estão submetidos a ações dinâmicas (DOS SANTOS, 2012).

(a) (b)

Figura 3.2: Exemplos de vibração. Maquina vibrando (a). Estrutura vibrando (b).

Fonte: UFPR, 2012; RODRIGUES, 2010.

3.2.2 Vibração Livre e Forçada

a) Vibração livre: é provocada por uma perturbação inicial que não persistente durante o

movimento vibratório. Tem-se como exemplo o pêndulo simples. Depois de deslocado

de sua posição de equilíbrio, o pêndulo simples permanece em movimento oscilatório

27

sem que nenhum efeito externo intervenha, como na figura 3.3 (DOS SANTOS,

2012).

Figura 3.3: Pêndulo simples em vibração livre.

Fonte: SÓFISICA, 2012.

b) Vibração forçada: é produzida por um efeito externo que persiste durante o tempo em

que o movimento vibratório existir. Como exemplo, tem-se o movimento de um rotor

desbalanceado, caso típico de uma vibração forçada (DOS SANTOS, 2012).

Figura 3.4: Rotor desbalanceado.

Fonte: CIMM, 2012.

3.3.3 Vibração amortecida e não amortecida

a) Vibração amortecida: é aquela em que a energia de vibração se dissipa com o tempo,

de forma que conjuntamente os níveis vibratórios diminuem (DOS SANTOS, 2012).

28

Figura 3.5: Vibração livre amortecida

Fonte: FISICADOSOM, 2012

b) Vibração não amortecida: é aquela em que a energia de vibração não se dissipa, de

forma que o movimento vibratório permanece imutável com o passar do tempo (DOS

SANTOS, 2012). Os sistemas em que ocorre a vibração não amortecida são sistemas

ideais, pois sempre alguma energia será dissipada em um sistema físico. Entretanto,

em muitos casos, o amortecimento é tão pequeno que é possível desprezá-lo, pois os

níveis vibratórios diminuem muito pouco durante o tempo em que o movimento é

observado e a análise do problema se torna matematicamente mais simples. A Figura

3.6 ilustra uma vibração não amortecida.

Figura 3.6: Vibração livre não amortecida

Fonte: FISICADOSOM, 2012

.

3.3.4 Vibração linear e não linear

a) Vibração linear: é aquela que ocorre em um sistema cujos componentes atuam

linearmente (PICCOLI, 2012). Como exemplo, a força da mola proporcional ao

deslocamento e a força de amortecimento proporcional à velocidade.

29

Figura 3.7: Sistema linear massa mola.

PICCOLI, 2012

b) Vibração não linear: é aquela em que um ou mais componentes do sistema não se

comporta linearmente, ou seja, a força produzida não apresenta uma relação linear

com a variável cinemática a que se associa, como por exemplo, relações quadráticas,

cúbicas, logarítmicas, exponenciais e senoidais (PICCOLI, 2012). Como exemplo,

tem-se a relação senoidal da figura 3.5.

3.3.5 Vibração determinística e aleatória

a) Vibração determinística: é aquela em que se pode prever todas as características do

movimento vibratório em qualquer instante de tempo (DOS SANTOS, 2012).

b) Vibração aleatória ou não determinística: é aquela em que não é possível prever o que

irá acontecer no movimento vibratório (DOS SANTOS, 2012).

3.3.6 Graus de Liberdade

Segundo PICCOLI (2012), é o número mínimo de coordenadas independentes

necessárias a descrever completamente o movimento de todas as partes que compõem um

sistema vibratório. A Figura 3.8 mostra exemplos esquemáticos de sistemas com um, dois e

três graus de liberdade.

30

Figura 3.8: Representação de graus de liberdade. Sistemas com um grau de liberdade (a). Sistemas com dois

graus de liberdade (b). Sistemas com três graus de liberdade (c).

PICCOLI, 2012

Se um sistema possui pelo menos um grau de liberdade, os valores das variáveis que

descrevem o estado do sistema (posição, velocidade, aceleração) devem ser especificados por

um sistema de coordenadas. Qualquer conjunto de coordenadas é chamado de conjunto de

coordenadas generalizadas (DA SILVA, 2009).

O número de graus de liberdade é sempre igual ao número de coordenadas utilizado

menos o numero de equações de restrição. Assim sendo, um movimento descrito em um

sistema de coordenadas generalizadas não apresenta equações de restrição (PICCOLI, 2012).

3.3.7 Sistemas discretos e contínuos

a) Sistemas discretos: São sistemas governados por equações diferenciais ordinárias, que

segundo PICCOLI (2012), podem ser separados em partes de forma que cada uma delas

possua um determinado número de graus de liberdade e o sistema global tenha um

número finito de graus de liberdade, sendo também chamados de sistemas com

31

parâmetros concentrados. A Figura 3.9 representa um sistema discreto de um grau de

liberdade, solicitado por uma força variável no tempo. O único movimento possível

do oscilador é o deslocamento horizontal, , da massa. O sistema encontra-se ligado

ao apoio por um elemento que desenvolve uma força , função do deslocamento e

da velocidade da massa M. A função , caracteriza o comportamento do oscilador;

a força P(t) caracteriza a solicitação.

Figura 3.9: Sistema discreto de um grau de liberdade.

CORREIA, 2007.

b) Sistemas contínuos: são governados por equações diferenciais parciais, e segundo

PICCOLI (2012), podem ser divididos, possuindo um número infinito de graus de

liberdade sendo também conhecidos como sistemas com parâmetros distribuídos. Têm

soluções exatas apenas em casos especiais, essencialmente quando os parâmetros que

caracterizam o sistema são uniformemente distribuídos. Exemplos de sistemas

contínuos são as aplicações deste trabalho.

Dados os conceitos básicos de vibração mecânica, listados nesse capitulo, pode-se

dizer que neste trabalho se estará trabalhando com a viga de Euler em vibração livre, não

amortecida, linear, determinística, para um sistema contínuo.

32

4. ESTUDO GERAL BÁSICO DA VIGA

Neste capítulo serão apresentados alguns conceitos gerais referentes à classificação

das vigas, além tipologia dos esforços atuantes nas vigas. O capítulo também descreve três

modelos de equações para vigas que aparecem na literatura, quando se estuda vibrações de

vigas, dando ênfase a equação de Euler-Bernoulli que será estudada no decorrer do trabalho,

fazendo uma breve descrição das hipóteses que devem ser consideradas em cada um desses

modelos. Demonstra-se ainda, a solução analítica para vibrações flexionais (SAVF), sua

dedução e aplicação.

4.1 GENERALIDADE

Segundo BASTOS (2005), vigas são estruturas lineares que trabalham em posição

horizontal ou inclinada, apoiadas em um ou mais apoios e que tem a função de suportar os

carregamentos transversais, em que a flexão é preponderante.

As vigas, geralmente barras retas e prismáticas, têm características geométricas

semelhantes aos elementos que constituem as treliças (barras), pois uma das dimensões é

muito superior às outras duas, porém, a viga é submetida a forças transversais e tem seu eixo

deformado verticalmente, ou seja, a configuração geométrica de seu eixo se modifica. A

forma de carregamento da viga faz com que ela seja solicitada, preponderantemente, pelo

momento fletor e pela força cortante. Em alguns casos, as vigas também podem ser solicitadas

axialmente.

São um dos elementos estruturais mais utilizados em pontes, passarelas, edifícios

principalmente pela facilidade de construção. De acordo com (BRANDÃO, 2010), não há

dúvida de que a viga é um dos mais importantes elementos estruturais e sua teoria básica deve

ser completamente entendida para o seu dimensionamento.

33

4.2 CLASSIFICAÇÃO

4.2.1 Quanto aos Apoios

Segundo (SUSSEKIND, 1994), vigas estaticamente determinadas, também chamadas

de Isostáticas, e como visto no capitulo 2,são aquelas que podem ter seus esforços

determinados apenas pelas equações de equilíbrio (Equação 4.1), sendo exemplificadas, nas

vigas (a), (b) e (c), na figura 4.1.

; ; . (4.1)

Também existem as vigas estaticamente indeterminada ou hiperestáticas. Em geral, as

equações de equilíbrio (Equação 4.1) fornecem condições necessárias, mas não suficientes,

para a determinação dos esforços no modelo estrutural. Para a determinação dos esforços em

estruturas hiperestáticas, é necessário fazer uso das outras condições, como a compatibilidade

deslocamentos e deformações. São exemplificadas nas vigas (d), (e) e (f), na figura 4.1.

Figura 4.1: Principais tipos de vigas. Biapoiada (a). Em balanço (b). Apoiada em balanço (c). Continua (d).

Apoiada engastada (e). Biengastada (f).

Fonte: MILFONT , 2010

4.2.2 Quanto ao Carregamento

Basicamente, existem dois tipos de carregamento externo que uma viga, cargas

concentradas e cargas distribuídas. Carregamento concentrado corresponde a aplicação de

uma carga em um único ponto sobre a estrutura (Figura 4.2) (PINTO, 2000).

34

Figura 4.2: Cargas ( Concentradas ao longo da viga.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Já o carregamento distribuído é expresso como uma força ao longo de uma unidade de

comprimento (Figura 4.3), sendo que a intensidade da força pode ser constante ou variável

(PINTO, 2000).

Figura 4.3: Cargas ( Distribuídas ao longo da viga.


Uma viga pode estar submetida a cargas concentradas, a cargas distribuídas ou

combinação de ambas. Quando se trabalha com cargas distribuídas, pode-se substituí-la por

uma carga concentrada, e assim facilitar bastante os demais cálculos.

4.3 EQUAÇÃO DE VIBRAÇÃO EM FLEXÃO DA VIGA DE EULER-BERNOULLI

Para obter a equação da viga segundo a teoria de Euler-Bernoulli, algumas hipóteses

devem ser consideradas.

A viga é tratada como modelo unidimensional, fazendo-se a hipótese que o

comprimento é bem maior que as dimensões da seção transversal. Segundo SILVA &

PEDROSO, (2005), para uma relação muito pequena, entre a altura ( ) da seção transversal

35

de uma viga e seu comprimento ( ), a viga e tratada como esbeltas ( , Teoria de

Euler).

Segundo SILVA & PEDROSO (2005), esta se caracteriza por considerar apenas os

efeitos de flexão (Caso elementar de flexão) devido à tensão normal. Segundo MIGOTTO

(2011), para a viga anteriormente descrita ser classificada como viga de Euler, ela deve ter

dimensão da seção transversal pequena comparada com o seu comprimento; existência de

uma linha neutra onde a viga não sofre nem tração nem compressão; ser de material elástico e

homogêneo; ter as seções planas, considerando que permanecem planas após a deformação e

a curvatura da viga ser assumida pequena; serem consideradas muito pequenas ou

desconsideradas as deformações por cisalhamento, a resistência inercial e a aceleração em

rotação (aceleração angular) das seções retas da viga.

Figura 4.4: Viga em vibração transversal livre e um diagrama de corpo livre de um pequeno elemento da viga,

uma vez que é deformado por uma força distribuída por unidade de comprimento, representada por

Fonte: INMAN (2001).

A Figura 4.4 ilustra uma viga em balanço com a direcção transversal da vibração

indicada (isto é, a deformação, , é na direção ). A viga é de secção transversal

rectangular largura , espessura e comprimento L. Também associada com a

flexão da viga, está a rigidez, , onde é o módulo de elasticidade (módulo de Young) e

36

é o momento de inércia na secção transversal em torno do "eixo ." Segundo INMAN

(2001), para a resistencia dos materiais, a viga sofre momento fletor , o qual está

relacionado com a deformação da viga, ou a deformação de flexão, , e é dada pela

equação (4.2) neste caso:

(4.2)

Segundo INMAN (2001) e MEIROVITCH (1986), o modelo de vibração de flexão

podem ser obtidos a partir do exame do diagrama de um elemento infinitesimal da viga, tal

como indicado na Figura 4.4. Assumindo que a deformação é suficientemente pequena de

modo que a deformação de corte ser muito menor do que (ou seja, de modo que os

lados do elemento não sejam fletidos). A soma das forças na direção , resulta na equação

(4.3):

(4.3)

Onde é a força de cisalhamento na extremidade esquerda do elemento ,

+ dx é força de cisalhamento na extremidade direita do elemento , é

o carregamento total externo aplicado ao elemento por unidade de comprimento, e o termo do

lado direito da igualdade é a força inercial do e1emento. Lembrando que a suposição de

deformação de corte muito pequena usada no equilíbrio de forças da equação (4.3) é

verdadeira se (Teoria de Euler).

Em seguida, os momentos que actuam sobre o elemento em torno do eixo que

passa pelo ponto são somados. Isso produz (Equação 4.4):

(4.4)

Na Equação 4.4, o lado esquerdo da equação é zero, uma vez que é assumido que a

inércia de rotação do elemento de dx é desprezível. Simplificando isso, gera-se (Equação 4.5):

(4.5)

Assumindo que é muito pequeno (mas não zero), é ainda menor, sendo quase

zero, pode-se dizer que (Equação 4.6):

37

(4.6)

Isto indica a proporção entre a força de cisalhamento e a variação do momento fletor.

Substituindo a Equação 4.6, na Equação 4.3, se obtem:

(4.7)

Fazendo outra substituição da Equação 4.2 em 4.7, e dividindo-se por dx, tem-se:

(4.8)

Finalmente, assumindo que em vibração livre não há força externa aplicada de modo a

que , produz-se a equação diferencial governante da viga de Euler para o

comportamento dinâmico (Equação 4.9):

(4.9)

4.3.1 Solução Analitica da Equação de Vibração em Flexão da Viga de Euler-Bernoulli

A chamada solução analítica para vibrações flexionais (SAVF), é uma equação a qual

se consegue definir, para todas as condições de contorno, as equações caracteristicas das

frequências, e em consequência as frequências ponderadas, e as deformadas modais.

O primeiro fator a se considerar no desenvolvimento da SAVF, são as condições de

contorno necessárias para resolver a equação diferencial governante (Equação 4.9). Segundo

INMAN (2001), as condições de contorno são obtidas através da análise da deformação

(flecha), rotação, momento fletor e o cortante, em cada extremidade da viga. As extremidades

da viga, basicamente, podem ser; livre, onde o cortante e momento serão nulos; apoiada ou

fixada sobre um suporte, impedido deflexão (flecha) e momento; engastada, impedido

deflexão e rotação; e apoiado sobre um apoio deslizante, em que o deslocamento é permitido,

mas não a rotação, além do cortante ser nulo. Essas considerações são representadas na tabela

4.1.

38

Tabela 4.1: Representação das condições de contorno nas extremidades.

Tipos de apoio Condições de contorno

Extremidade Engastada

Flecha no engaste é zero:

Rotação no engaste é zero:

Extremidade Apoiada

Flecha no apoio do 2º gênero é zero:

Momento no apoio do 2º gênero é zero:

Extremidade Livre

Momento na extremidade livre:

Cortante na extremidade livre:

Extremidade com Apoio Deslizante

Rotação no apoio deslizante é zero:

Cortante no apoio deslizante é zero:


De acordo com SZILARD (2004), outras condições de contorno são possíveis, ligando

as extremidades de uma viga a uma variedade de apoios, tais como aglomerados de massas,

molas e assim por diante.

Segundo INMAN (2001), além de satisfazer as quatro condições de contorno, a

equação diferencial governante para vibração livre (4.9), pode ser utilizada apenas se duas

39

condições iniciais são especificadas, deflexão inicial e perfis de velocidade (equação 4.10 e

4.11).

(4.10)

(4.11)

A solução da equação (4.9) sujeito a quatro condições de contorno e duas condições

iniciais prossegue fazendo-se a separação de variáveis, da forma , onde

. Está, sendo substituída na equação de movimento,

a equação (4.9), irá produzir:

(4.12)

Desenvolvendo a equação (4.12) e utilizando a transformada de Fourier, onde

, tem-se a relação:

(4.13)

Sendo por definição:

(4.14)

É com essa relação (Equação 4.13) que é possivel determinar as equações temporal e

espacial, necessarias para o desenvolvimento da solução analítica. Sendo que equação

temporal fica estabelecida como:

(4.15)

Sendo a equação (4.15), é o lado direito da equação (4.13). A equação temporal ainda

toma a forma de:

(4.16)

Onde as constantes A e B são as condições específicas iniciais (deflexão inicial e

velocidade), que serão substituidas e combinadas com a equação espacial.

A equação espacial vem da equação rearranjanda (4.13), o que produz:

(4.17)

40

E assumindo a solução para a equação (4.17) da forma , a solução analítica da

equação (4.17) pode ser calculada como na forma:

(4.18)

Finalmente, na equação (4.18), se obteve a solução analítica para vibrações flexionais

(SAVF). Onde as quatro constantes de integração , , e serão determinadas a partir

das quatro condições de contorno (flecha, rotação, momento e cortante).

Sendo , a frequência natural ponderada, que está relacionado com as frequências

naturais, pela equação (4.14), parâmetro que será usado na comparação entre os métodos

deste trabalho.

Existem outros modelos usados para estudar vibrações de uma viga, como os de

Timoshenko e Vlasov. Como já visto, neste trabalho, utilizando-se técnicas estudadas em

dinâmica dos corpos rígidos, serão utilizadas as preposições da teoria de Euler-Bernoulli para

vigas, porém se ira dar uma breve descrição dos demais modelos.

4.3.2 Viga de Vlasov

Segundo (MIGOTTO, 2011), no modelo de Vlasov o efeito causado pela força de

cisalhamento continua sendo desprezado, como no modelo de Euler-Bernoulli, porém

considera-se o efeito da inércia rotacional. Neste caso a equação (4.19) e dada por:

(4.19)

4.3.3 Viga de Timoshenko

Neste modelo dois efeitos negligenciados no modelo da viga de Euler-Bernoulli, são

Agora considerados: a inércia rotacional e a deformação de cisalhamento, causada pela força

de cisalhamento. As seções transversais planas permanecem planas, mas não necessariamente

perpendiculares ao eixo longitudinal da viga, pois há um giro da seção ao em relação a essa

perpendicular, ocasionado pelo cisalhamento (MIGOTTO, 2011). Associados ao cisalhamento

esta o coeficiente de cisalhamento, , e módulo de elasticidade transversal, .

41

A equação (4.20) da viga de Timoshenko é dada por (INMAN, 2001) e

(MEIROVITCH, 1986):

(4.20)

Nos casos em que as dimensões da viga não são pequenas em comparação com o

comprimento da viga (vigas curtas), o modelo de Timoshenko é o mais indicado para a teoria

das vigas.

4.4 APLICAÇÃO DA SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA VIBRAÇÃO FLEXIONAL

4.4.1 Viga Biapoiada

Como já descrito anteriormente neste capítulo, à solução analítica para vibrações

flexionais (SAVF), é uma equação a qual se consegue definir, para todas as condições de

contorno, as equações caracteristicas das frequências, e em consequência as frequências

naturais admensionais. Para encontrar essa equação caracteristicas das frequências, é

necessário identificar as condições de contorno em cada apoio (ver tabela 4.1), para

posteriormente substituí-las na equação analítica (equação 4.18). Para uma viga biapoiada, em

vibração livre, supondo um carregamento distribuído , módulo de elasticidade ,

momento de inércia e comprimento , como a da figura 4.5, tem-se:

Figura 4.5: Viga biapoiada (comportamento dinâmico em vibração livre).


Para as condições de contorno vistas na tabela 4.1, substituindo na solução analítica,

resulta em:

No primeiro apoio (2º gênero):

L

42

A primeira condição de contorno será flecha no apoio do 2º gênero igual zero,

, substituindo na equação (4.18), se obtém:

(4.21)

A segunda condição de contorno será momento no apoio do 2º gênero igual

zero, , substituindo na segunda derivada equação (4.18), se obtém:

(4.22)

No segundo apoio (1º gênero):

As condições de contorno são as mesmas do apoio inicial, sendo a primeira condição,

flecha no apoio do 1º gênero igual zero, , substituindo na equação (4.18), se obtém:

(4.23)

A segunda condição de contorno, assim como no apoio anterior, será momento no

apoio do 1º gênero igual zero, , substituindo na segunda derivada equação (4.18),

se obtém:

(6.24)

Estas quatro condições de contorno produziram as equações, (4.21), (4.22), (4.23) e

(4.24), onde os coeficientes , , e estão em evidencia. Estas podem ser escritas

como uma única equação vetorial, do tipo: , descrita abaixo:

43

(4.25)

Esta equação vetorial (4.25) pode ter uma solução diferente de zero para o vetor

, somente se o determinante da matriz coeficiente for nulo (ou seja, se a

matriz coeficiente é singular).

Definindo o determinante igual a zero, , produz-se a equação caracteristica da

frequência, para uma viga biapoiada, equação (4.26).

(4.26)

Nota-se que a equação (4.26) é transcendental, pois ela é satisfeita para um número

infinito de opções para , denotadando . Porém, nesse caso, tendo a relação da equação

(4.26), para que a iqualdade seja verdadeira, , assumirá os valores inteiros de , onde o

seno é iqual a zero, logo, tem-se:

(4.27)

Como visto no item 4.3.1, frequência natural ponderada, que está relacionada

com as frequências naturais, pela equação (4.14). Fazendo a substituição da equação (4.27),

na equação (4.14), obtem-se:

(4.28)

A equação (4.28) representa o valor analítico das frequências naturais da viga

biapoiada (figura 4.5). Onde é a frequência natural adimensional. As três primeiras

frequências naturais admensionais, para uma viga biapoiada, estão na tabela 4.2:

44

Tabela 4.2: Representação das condições de contorno nas extremidades e raízes da equação

de frequência, para uma viga biapoiada.

VIGA BIAPOIADA CONDIÇÕES DE

CONTORNO

RAÍZES DA EQUAÇÃO

DE FREQUÊNCIA,

Para maiores valores de :

Fonte: Elaborada pelo Autor.

4.4.2 Viga Engastada-livre

Analogamente ao anterior, será usado a solução geral para vibrações flexionais

(SGVF), agora em uma viga com a extremidade engastada e a outra livre, em vibração livre,

para definir, para todas as condições de contorno, as equações caracteristicas das frequências

e em consequência as frequências naturais admensionais. Supondo que a viga tem

carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e

comprimento , como a da figura 4.6, tem-se:

Figura 4.6: Viga engastada-livre (comportamento dinâmico em vibração livre).


Para as condições de contorno vistas na tabela 4.1, substituindo na solução geral,

resulta em:

No engaste:

A primeira condição de contorno será flecha no engaste igual zero, ,

substituindo na equação (4.18), se obtém:

L

L

45

(4.29)

A segunda condição de contorno será rotação no engaste igual zero, ,

substituindo na primeira derivada equação (4.18), se obtém:

(4.30)

Na extremidade livre:

A primeira condição de contorno será momento na extremidade livre igual


(4.31)

A segunda condição de contorno será cortante na extremidade livre igual

zero, , substituindo na terceira derivada equação (4.18), se obtém:

(4.32)


(4.32), e nas quatro equações, os coeficientes , , e estão em evidencia. Estes

podem ser escritos como uma única equação vetor, do tipo: , descrita abaixo:

(4.33)

Definindo o determinante, da equação vetorial (4.33), igual a zero, , produz-se

a equação caracteristica da frequência, para uma viga engastada e livre, equação (4.34).

46

(4.34)


infinito de opções para , denotadando . A solução pode ser visualizada graficamente

através da plotagem e , relacionando-os.

As três primeiras frequências naturais, para a viga engastada-livre, estão na tabela

(4.3) a seguir:


de frequência, para uma viga engastada com a extremidade livre..

VIGA ENGASTADA-

LIVRE

CONDIÇÕES DE

CONTORNO


DE FREQUÊNCIA,



4.4.3 Viga Engastada-deslizante

Igualmente aos exemplos anteriores, será empregada a solução geral para vibrações

flexionais (SGVF), agora em uma viga com a extremidade engastada e a outra deslizante, em

vibração livre, para definir, para todas as condições de contorno, as equações caracteristicas

das frequências, e em consequência as frequências naturais admensionais. Supondo que a viga

tem carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e

comprimento , como a da figura 4.7, tem-se:

L

47

Figura 4.7: Viga engastada-deslizante (comportamento dinâmico em vibração livre).



resulta em:

No engaste:



(4.35)



(4.36)

Na extremidade deslizante:

A primeira condição de contorno será rotação na extremidade deslizante igual


(4.37)

A segunda condição de contorno será cortante na extremidade deslizante igual

zero, , substituindo na terceira derivada equação (4.18), se obtém:

L

48

(4.38)




(4.39)



(4.40)




As três primeiras frequências naturais, para uma viga engastada com a extremidade

deslizante, estão na tabela (4.4):


de frequência, para uma viga engastada com a extremidade deslizante.

VIGA ENGASTADA-

DESLIZANTE

CONDIÇÕES DE

CONTORNO


DE FREQUÊNCIA,



L

49

4.4.4 Viga Engastada-apoiada

Usando a solução analítica para vibrações flexionais (SAVF), agora em uma viga com

a extremidade viga de Euler engastada-apoiada, em vibração livre, para definir, para todas as

condições de contorno, as equações caracteristicas das frequências, e em consequencia as

frequências ponderadas. Supondo que a viga tem carregamento distribuído , módulo de

elasticidade , momento de inércia e comprimento , como a da figura 4.8, tem-se:

Figura 4.8: Viga engastada-apoiada (comportamento dinâmico em vibração livre).



resulta em:

No engaste:



(4.41)



(4.42)

No segundo apoio (2º gênero):

L

50

A condição de contorno será flecha no apoio do 2º gênero igual zero, ,


(4.43)

A segunda condição de contorno será momento no apoio do 2º gênero igual


(4.44)




(4.45)


a equação caracteristica da frequência, para uma viga engastada e apoiada, equação (4.46).

(4.46)




As três primeiras frequências naturais, para a viga engastada-apoiada, estão na tabela

(4.5):

51


de frequência, para uma viga engastada-apoiada.

VIGA ENGASTADA-

LIVRE

CONDIÇÕES DE

CONTORNO


DE FREQUÊNCIA,



4.4.5 Viga Biengastada

Finalizando, será empregado, em uma viga de Euler biengastada, em vibração livre,m

a solução analítica para vibrações flexionais (SAVF), para definir, para todas as condições de

contorno, as equações caracteristicas das frequências, e em consequencia as frequências

ponderadas. Supondo que a viga tem carregamento distribuído , módulo de elasticidade

, momento de inércia e comprimento , como a da figura 4.9, tem-se:

Figura 4.9: Viga biengastada (comportamento dinâmico em vibração livre).



resulta em:

No primeiro engaste:



L

L

52

(4.47)



(4.48)

Na segundo engaste:

A primeira condição de contorno, assim como no outro engaste, será flecha no engaste

igual zero, , substituindo na equação (4.18), se obtém:

(4.49)

A segunda condição de contorno, também como no primeiro engaste, será rotação no

engaste igual zero, , substituindo na primeira derivada equação (4.18), se obtém:

(4.50)




(4.51)



(4.52)

53

Nota-se que a equação (4.52), é transcendental, pois assim como nas outras aplicações,

é satisfeita para um número infinito de opções para , denotadando . A solução pode ser

visualizada graficamente através da plotagem e , relacionando-os.

As três primeiras frequências naturais, para a viga biengastada, estão na tabela (4.6):


de frequência, para uma viga biengastada.

VIGA ENGASTADA-

LIVRE

CONDIÇÕES DE

CONTORNO


DE FREQUÊNCIA,



Os valores das frequências naturais adimensionais demonstrados neste capitulo, nas

tabelas (4.2), (4.3), (4.4), (4.5) e (4.6), pelo SAVF, serão utilizados como parâmetros de

comparação com os valores encontrados pelas aplicações realizadas pelo Método das

diferenças finitas (MDF).

L

54

5. MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS (MDF)

Será fornecida, neste capítulo, uma conceituação básica sobre o MDF, além da

formulação básica da série de Taylor, que inicia o Método das Diferenças Finitas (MDF).

Também será mostrada as condições de contorno presentes na viga, além de demonstrar a

equação de Euler para o comportamento dinâmico na forma de diferenças finitas.

5.1 INTRODUÇÃO

Equações diferenciais ordinárias (EDOs) e parciais (EDPs) aparecem em inúmeros

problemas da física-matemática. Em especial, na área de engenharia, todo cálculo um pouco

mais elaborado normalmente recai em uma equação diferencial. Como poucas equações

diferenciais (EDs) têm solução analítica possível ou viável, os métodos numéricos aparecem

como uma ferramenta extremamente eficiente para sua solução (FRANCO, 2010).

De acordo com CARNAHAN (1969), o método das diferenças finitas pode ser

utilizado para resolver problemas de valor de contorno ou valor inicial, envolvendo equações

diferenciais ordinárias ou parciais. Assim, este método pode ser usado para solucionar as

equações de modelos a parâmetros concentrados ou distribuídos. A técnica consiste em

substituir cada derivada ou diferencial das equações diferenciais por aproximação de

diferenças finitas ou acréscimos finitos das variáveis.

O objetivo do Método das Diferenças Finitas é transformar um problema composto

por equações diferenciais em um problema formado por equações algébricas. O primeiro

passo, nesta direção, é a chamada discretização do domínio da variável independente. A

discretização consiste em dividir o domínio de cálculo em um determinado número de

subdomínios. Para um domínio semi-infinito, existem infinitos subdomínios. Quando o

domínio é finito, o número de subdomínios também o é. Em qualquer caso, estipulam-se os

pontos que delimitam os subdomínios, que, no caso de um domínio finito (J), são iguais a

(J+1), em número (CARNAHAN, 1969).

Um passo necessário na solução de equações diferenciais por diferenças finitas é a

aproximação das derivadas presentes nestas equações, aplicadas a um dado ponto arbitrário.

Uma maneira simples de se obter estas aproximações, é por meio do uso da expansão de uma

função em série de Taylor, em torno de um dado ponto, como será mostrado no item 5.2.

55

5.2 FORMULAÇÃO BÁSICA

5.2.1 Série de Taylor para funções de variáveis n

A fórmula de Taylor é uma expansão de uma série de funções ao redor de um ponto. É

uma expansão de uma função real ao redor do ponto em que assume um valor

qualquer (" "). Neste caso, escreve-se a série da seguinte maneira:

(5.1)

A constante é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou

complexa. Se a = 0, a fórmula também é chamada de fórmula de Maclaurin. Segundo SILVA

& PEDROSO (2005), o último termo da fórmula de Taylor é denominado de resto , onde

o n termos, é dado por qualquer das formas seguintes:

a. Forma de Lagrange:

(5.2)

b. Forma de Cauchy:

(5.3)

Segundo LASKOSKI (2007), se o valor de for próximo de zero, então uma função

é aproximadamente igual a fórmula de Taylor, equação (5.1).

Segundo LOPES (2006), essas fórmulas poderão ser usadas se for vezes

diferenciável em a, com o valor de fixado estritamente entre a e x. Essas séries, chamadas

de séries de potências, convergem para todos os valores de x em algum intervalo de

convergência e divergem para todos os valores de x fora desse intervalo (SILVA &

PEDROSO, 2005).

56

5.2.2 Aproximação das derivadas por série de Taylor

A partir da equação (5.1), pode-se escrever (SILVA, 2008):

(5.4)

(5.5)

Trabalhando com dois termos das séries ( ), e operando as equações (5.4) menos

(5.5):

(5.6)

Segundo SILVA (2008), fazendo e usando a notação indicial, tem-se o

operador em diferenças finitas para a primeira derivada:

(5.7)

A equação (5.7) é conhecida como diferencial central, há também a diferencial para

frente e a diferencial para trás.

a. Diferencial para frente:

(5.8)

b. Diferencial para trás:

(5.9)

Sabe-se que a diferencial central tem a melhor acurácia para solução exata (SILVA,

2008). As equações (5.6) e (5.7) podem ser interpretadas geometricamente como mostra a

figura 5.1.

57

Figura 5.1: Interpretação geométrica para a derivada.

Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.

Para obter o operador em diferenças finitas para a segunda derivada deve-se somar as

equações (5.4) e (5.5) com os três primeiros termos da série ( ) (SILVA, 2008).

(5.10)

De forma análoga a anterior e usando a notação indicial, tem-se o operador em

diferenças finitas para a segunda derivada:

(5.11)

Para achar o operador em diferenças finitas para a terceira derivada deve-se partir da

equação (5.6), e nela substituir por , como mostrado a seguir.

Substituindo, tem-se:

58

(5.12)

Novamente, fazendo e usando a notação indicial, tem-se o operador em

diferenças finitas para a terceira derivada:

(5.13)

Finalmente se chega ao operador em diferenças finitas para a quarta derivada, que é o

operador necessário para o desenvolvimento, onde a partir da equação (5.10) se substitui

por ,como mostrado a seguir.


59

(5.14)

Por fim, ao fazer e usando a notação indicial, tem-se o operador em

diferenças finitas para a quarta derivada:

(5.15)

5.3 CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

(MDF)

Segundo MATHEWS (1992), no método das diferenças finitas, as condições de

contorno são caracterizadas por valores conhecidos, de variável dependente em mais de um

ponto e por uma equação diferencial que descreve o comportamento desta variável entre os

pontos de interesse. Segundo SILVA & PEDROSO (2005), têm a função de diminuir o

número de variáveis no sistema de equações, por meio de valores conhecidos em determinado

ponto da viga e/ou relacionar pontos fora da viga (nós artificiais da malha de diferenças

finitas) a pontos no seu interior, levando sempre a problemas de autovalores/autovetores para

problemas dinâmicos.

5.3.1 Condições no engaste

A seguir, figura 5.2 representa uma viga engastada com as diferenciais vistas

anteriormente.

Figura 5.2: Viga engastada.


60

No engaste, se tem duas condições evidentes, a flecha e a rotação no engaste igual

zero, logo, ficará representada como mostras a seguir, nas equações (5.16) e (5.17)

respectivamente.

a. Flecha no engaste é zero.

(5.16)

b. Rotação no engaste é zero.


(5.17)

5.3.2 Condições no apoio do 2º gênero ou 1º gênero

A figura 5.3 representa uma viga com apoio do 2º gênero com as diferenciais vistas

anteriormente. O mesmo valerá para o apoio do 1º gênero.

Figura 5.3: Viga com apoio do 2º gênero.


Assim como no engaste, a flecha no apoio do 2º gênero tem duas condições evidentes,

a flecha é igual zero, entretanto a rotação não será nula como no engaste, apesar disso o

momento será nulo. Como mostrado na equação (5.18) e (5.19)

61

a. Flecha no apoio do 2º gênero é zero.

(5.18)

b. Momento no apoio do 2º gênero é zero.


(5.19)

5.3.3 Condições na extremidade livre

Tem-se a seguir, a figura 5.4 que representa uma viga com extremidade livre.

Figura 5.4: Viga com a extremidade livre.


Na extremidade livre como não se tem apoio, a condição que se tem é de que o

cortante é nulo, e que assim como no apoio do 2º gênero o momento na extremidade livre

também será nulo, como mostrado nas equações (5.20) e (5.21).

a. Cortante na extremidade livre é zero.


62

(5.20)

b. Momento extremidade livre é zero.


(5.21)

5.3.4 Condições no apoio deslizante

A figura 5.5 representa uma viga com apoio deslizante.

Figura 5.5: Viga com apoio deslizante.


Igualmente como o engaste, a rotação no apoio deslizante será igual a zero, assim

como o cortante também será, podendo ser visto nas equações (5.22) e (5.23).

a. Rotação no apoio deslizante é zero.


(5.22)

63

b. Cortante no apoio deslizante é zero.


(5.23)

5.3.5 Esquema de solução

Para melhor compreensão das equações (5.9), (5.11), (5.13) e (5.15) estão

representadas esquematicamente na tabela 5.1, Para maior facilidade na busca das condições

de contorno definidas e deduzidas anteriormente foram também esquematizadas na tabela 5.2.

Tabela 5.1: Representação esquemática para a diferencial central.

Operador

Aproximado Célula (coeficientes)


64

Tabela 5.2: Representação das condições de contorno para a diferencial central.

Tipos de apoio Condições de contorno

Flecha no engaste é zero:

Rotação no engaste é zero:

Flecha no apoio do 2º gênero é zero:

Momento no apoio do 2º gênero é zero:

Momento na extremidade livre:

Cortante na extremidade livre:

Rotação no apoio deslizante é zero:

Cortante no apoio deslizante é zero:


5.4 O MDF APLICADO AO COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VIGA DE EULER

EM VIBRAÇÃO LIVRE

Como já visto anteriormente uma viga é descrita é classificada como viga de Euler

quando ela atende a algumas hipóteses, o comportamento dinâmico para o a equação

diferencial governante submetida a um carregamento fica definido na equação (5.24).

(5.24)

65

Segundo SILVA (2008), considerando o comportamento em vibração livre, tem-se

. Usando a transformada de Fourier .

(5.25)

Dividindo a equação (5.25) por , e substituindo os termos por ),

tem-se a equação (5.27).

(5.26)

(5.27)

Aplica-se o método das diferenças finitas (MDF) na equação (5.27), ver equação

(5.15) e tabela 5.1.

(5.28)

Multiplica-se a equação (5.28) por :

(5.29)

Onde:

(5.30)

A equação (5.29) representa a equação governante da viga de Euler para o

comportamento dinâmico por diferenças finitas (SILVA, 2008). Sendo , o parâmetro de

forma, o qual será relacionado com a equação 5.26, para se determinar , o parâmetro de

frequência natural, necessário para a determinação das frequências naturais adimensionais.

66

6. APLICAÇÃO DO MDF NA VIGA DE EULER EM VIBRAÇÃO LIVRE

Serão feitas agora aplicações do Método das Diferenças Finitas, na resolução da

equação de movimento para as seguintes vigas, respectivamente: biapoiada (Isostática),

engastada-livre (Isostática), engastada-deslizante (Hiperestática), engastada-apoiada

(Hiperestática) e biengastada (Hiperestática), em vibração livre, submetidas somente ao efeito

de flexão (viga de Euler), visando mostrar a eficiência do MDF. Se utilizará, inicialmente, em

todas as vigas uma malha (numero de nós na viga) de três nós, aumentando o número de nós,

a fim de se perceber a convergência do MDF, para com as soluções exatas das frequências

naturais.

6.1 VIGA BIAPOIADA

6.1.1 Discretização da viga utilizando uma malha com 3 nós

Utilizando-se agora a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de

equilíbrio dinâmico, visto no capítulo 5 (equação 5.30), da viga de Euler. Utiliza-se uma viga

de vinculação biapoiada (figura 6.1), isostática, com carregamento distribuído , módulo

de elasticidade , momento de inércia e comprimento . Com a utilização do MDF

pretende-se obter as soluções das frequências naturais fundamentais

Os nós virtuais presentes fora desta viga (figura 6.1) e nas vigas das próximas

aplicações serão obtidos através das condições de contorno descrito no capítulo 5 (tabela 5.2).

Figura 6.1: Viga biapoiada, discretizada com três nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em

vibração livre).


67

Deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo da viga, como

o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, será apenas no ponto ( ).

Substituindo na equação (5.29) , se obtêm:

(6.1)

Para as condições de contorno visto na tabela 5.2:

No primeiro apoio (2º gênero), ( :

(6.2)

(6.3)

No segundo apoio (1º gênero), ( )

(6.4)

(6.5)

Substituindo as condições de contorno, equações (6.2), (6.3), (6.4) e (6.5), na equação

(6.1) representativa dos nós, tem-se:

equação (6.1):

(6.6)

Nesse caso, tem-se o valor direto para que como visto no item 5.3, é o parâmetro de

forma da freqüência natural, definido por . Sabendo-se que , é representado

na equação (5.26), substituindo e desenvolvendo, em função do parâmetro de forma da

frequência natural, , produz-se:

68

(6.7)

Uma vez que , distância entre os nós internos, será sempre , onde será o

comprimento da viga, e é o número de intervalos entre nós internos, pode-se substituir na

equação (6.7).

(6.8)

Substituindo na equação (6.8), sabendo-se que , então:

(6.9)

A equação (6.9) representa a primeira frequência natural adimensional aproximada, na

flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças finitas, para uma malha de três nós.


Assim como no item anterior, neste próximo exemplo também se pretende calcular as

frequências naturais fundamentais. A viga da figura 6.2 tem as mesmas propriedades da

anterior (carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e

comprimento ) mudando apenas o número de nós que serão discretizados na mesma. Em

resumo, mostra-se a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio

dinâmico (equação 5.29) de uma viga de Euler.

Figura 6.2: Viga biapoiada, discretizada com cinco nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em

vibração livre).


69

Para cinco nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo

da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos

( ), ( ) e ( ).


(6.10)

Substituindo na equação (5.29) , têm-se:

(6.11)


(6.12)



(6.13)

(6.14)


(6.15)

(6.16)

Substituindo as condições de contorno, equações (6.13), (6.14), (6.15) e (6.16), nas

equações (6.10), (6.11) e (6.12), representativas dos nós, tem-se, as equações (6.17), (6.8) e

(6.19):

70

Primeira equação (6.10):

(6.17)

Segunda equação (6.11):

(6.18)

Terceira equação (6.12):

(6.19)

Analisando as equações (6.17), (6.18) e (6.19), tem-se, portanto um sistema de

autovalores (frequências naturais) e autovetores (deformação modais). Sistema esse do tipo:

, descrito abaixo:

(6.20)

A equação (6.27) pode ser lida também como:

Para não termos a solução trivial, o determinante da matriz deverá ser igual a zero,

originando o polinômio característico (equação 6.21):

(6.21)

As raízes do polinômio característico são:

Substituindo as raízes na equação (6.8), sabendo-se que , então:

(6.22)

71

(6.23)

(6.24)

Os valores das equações (6.22), (6.23) e (6.24), representam as três primeiras

frequências naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças

finitas, para uma malha de cinco nós.


No próximo exemplo (figura 6.3) se pretende usar a mesma viga dos exemplos

anteriores (carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e

comprimento ) diferenciando apenar a discretização que será de sete nós, também se

pretende calcular frequências naturais fundamentais usando o MDF.

Figura 6.3: viga biapoiada, discretizada com sete nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em

vibração livre).


Para sete nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo

da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos no

ientervalo de ( ) à ( ).


(6.25)


(6.26)


72

(6.27)


(6.28)


(6.29)



(6.30)

(6.31)


(6.32)

(6.33)


equações (6.25) à (6.29), representativas dos nós, tem-se as equações (6.34) à (6.38):


(6.34)


(6.35)


(6.36)

Quarta equação (6.28):

73

(6.37)

Quinta equação (6.29):

(6.38)

Analisando as equações (6.34) à (6.38), tem-se, portanto um sistema de autovalores e

autovetores, do tipo: , descrito abaixo:

Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as três primeiras

raízes na equação (6.8), sabendo-se que , então:

(6.39)

(6.40)

(6.41)



finitas, para uma malha de sete nós.


No exemplo a seguir (figura 6.4), usa-se uma discretização de doze nós na viga,

sabendo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia

e comprimento permanecem, se se pretende calcular frequências naturais fundamentais

usando o MDF.

74

Figura 6.4: Viga biapoiada, discretizada com doze nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em

vibração livre).


Para sete nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo


ientervalo de ( ) à ( ).


(6.42)


(6.43)


(6.44)


(6.45)


(6.46)


(6.47)


(6.48)


(6.49)


(6.50)


(6.51)


75


(6.52)

(6.53)


(6.54)

(6.55)


equações (6.42) à (6.51), representativas dos nós, tem-se, as equações (6.62) à (6.71):


(6.56)


(6.57)


(6.58)


(6.59)


(6.60)

Sexta equação (6.47):

(6.61)

Sétima equação (6.48):

76

(6.62)

Oitava equação (6.49):

(6.63)

Nona equação (6.50):

(6.64)

Décima equação (6.51):

(6.65)

Resumindo as equações (6.56) à (6.65), tem-se, portanto um sistema de autovalores e

autovetores, do tipo: , descrito abaixo:

Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as raízes na

equação (6.8), sabendo-se que , então:

(6.66)

(6.67)

(6.68)



finitas, para uma malha de doze nós.

77


Agora se usará uma discretização de vinte e dois nós na viga, considerando ainda que

o carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e

comprimento permanecem, se se pretende calcular frequências naturais fundamentais

usando o MDF.

Figura 6.5: Viga biapoiada, discretizada com vinte e dois nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico

em vibração livre).


Para vinte e dois nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao

longo da viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos

no ientervalo de ( ) à ( ).


(6.69)


(6.70)


(6.71)


(6.72)


(6.73)


(6.74)


(6.75)

78


(6.76)


(6.77)


(6.78)


(6.79)


(6.80)


(6.81)


(6.82)


(6.83)


(6.84)


(6.85)


(6.86)


(6.87)


(6.88)



(6.89)

79

(6.90)


(6.91)

(6.92)


equações (6.69) à (6.88), representativas dos nós, tem-se, as equações (6.99) à (6.118):


(6.93)


(6.94)


(6.95)


(6.96)


(6.97)


(6.98)


(6.99)


(6.100)


(6.101)


(6.102)

Décima primeira equação (6.79):

80

(6.103)

Décima segunda equação (6.80):

(6.104)

Décima terceira equação (6.81):

(6.105)

Décima quarta equação (6.82):

(6.106)

Décima quinta equação (6.83):

(6.107)

Décima sexta equação (6.84):

(6.108)

Décima sétima equação (6.85):

(6.109)

Décima oitava equação (6.86):

(6.110)

Décima nona equação (6.87):

(6.111)

Vigésima equação (6.88):

(6.112)

81

Analisan

do as eq

uaçõ

es (6.9

3) à (6

.112

), tem-se, p

ortan

to u

m sistem

a de au

tovalo

res e auto

veto

res, do tip

o:

, descrito

abaix

o:

82



(6.113)

(6.114)

(6.115)



finitas, para uma malha de vinte e dois nós.


Continuando com a viga biapoiada, usa-se uma discretização de trinta e dois nós na

viga, considerando ainda que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade ,

momento de inércia e comprimento permanecem, se se pretende calcular frequências

naturais fundamentais usando o MDF.

Figura 6.6: Viga biapoiada, discretizada com trinta e dois nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico



Para trinta e dois nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao


no ientervalo de ( ) à ( ).

83


(6.116)


(6.117)


(6.118)


(6.119)


(6.120)


(6.121)


(6.122)


(6.123)


(6.124)


(6.125)


(6.126)


(6.127)


(6.128)


(6.129)


(6.130)


(6.131)


84

(6.132)


(6.133)


(6.134)


(6.135)


(6.136)


(6.137)


(6.138)


(6.139)


(6.140)


(6.141)


(6.142)


(6.143)


(6.144)


(6.145)



(6.146)

85

(6.147)


(6.148)

(6.149)

Substituindo as condições de contorno, equações (6.146), (6.147), (6.148) e (6.149),

nas equações (6.116) à (6.145), representativas dos nós, tem-se:


(6.150)


(6.151)


(6.152)


(6.153)


(6.154)


(6.155)


(6.156)


(6.157)


(6.158)


86

(6.159)

Décima primeira equação (6.125):

(6.160)

Décima segunda equação (6.126):

(6.161)

Décima terceira equação (6.127):

(6.162)

Décima quarta equação (6.128):

(6.163)

Décima quinta equação (6.129):

(6.164)

Décima sexta equação (6.130):

(6.165)

Décima sétima equação (6.131):

(6.166)

Décima oitava equação (6.132):

(6.167)

Décima nona equação (6.133):

(6.168)

Vigésima equação (6.134):

(6.169)

Vigésima primeira equação (6.135):

(6.170)

Vigésima segunda equação (6.136):

(6.171)

Vigésima terceira equação (6.137):

(6.172)

Vigésima quarta equação (6.138):

(6.173)

Vigésima quinta equação (6.139):

(6.174)

Vigésima sexta equação (6.140):

87

(6.175)

Vigésima sétima equação (6.141):

(6.176)

Vigésima oitava equação (6.142):

(6.177)

Vigésima nona equação (6.143):

(6.178)

Trigésima equação (6.143):

(6.179)

Resumindo, a partir das equações (6.150) à (6.179), tem-se um sistema de autovalores

e autovetores, do tipo: , descrito abaixo:

88

89



(6.180)

(6.181)

(6.182)



finitas, para uma malha de trinta e dois nós.


Finalmente, emprega-se o MDF com malha de quarenta e dois nós, ainda supondo que

o carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e

comprimento . Sabe-se que ao substituir as condições de contorno nas devidas equações se

chega sistema de autovalores e autovetores, do tipo: . Resolvendo o

determinante, o polinômio característico e substituindo as três primeiras raízes encontradas na


(6.183)

(6.184)

(6.185)



finitas, para uma malha de quarenta e dois nós.

90

6.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE


Nesta aplicação, mostra-se agora a técnica de resolução por diferenças finitas para a

equação de equilíbrio dinâmico, visto no capítulo 5 (equação 5.30), da viga de Euler, onde

pretende-se obter as soluções das frequências naturais fundamentais. Utiliza-se uma viga de

vinculação engastada e extremidade livre (figura 6.7), isostática, com carregamento

distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento .



Figura 6.7: Viga engastada-livre, discretizada com três nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em

vibração livre).


.


o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos ( ) e ( ),

substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.186) e (6.187):

(6.186)

(6.187)


No engaste ( )

(6.188)

91

(6.189)

Na extremidade livre ( )

(6.190)

Sabendo-se pode-se substituir o mesmo:

(6.191)


nas equações (6.186) e (6.187) representativas dos nós, tem-se:


(6.192)


(6.193)

Tem-se, portanto um sistema de autovalores (frequências naturais) e autovetores

(deformação modais). Sistema esse do tipo: , descrito

abaixo:

(6.194)

A equação (6.194) pode ser lida também como:

92

Logo, para não termos a solução trivial, o determinante da matriz deverá ser igual a

zero, originando o polinômio característico, equação (6.195), para através de suas raízes se

obter as frequências naturais.

(

(6.195)

As raízes do polinômio característico são:

Como já visto, no item 5.3, , é o parâmetro de forma da freqüência natural, definido

por . Sabendo-se que , é representado na equação (5.26), substituindo e

desenvolvendo, em função do parâmetro da frequência natural, , sabendo que ,

distância entre os nós internos, será sempre , onde será o comprimento da viga, e é o

número de intervalos entre nós internos produz-se a equação (6.8):


(6.196)

(6.197)

Os valores das equações (6.196) e (6.197), representam as duas primeiras frequências

naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças finitas, para

uma malha de três nós.








93

Figura 6.8: Viga engastada-livre, discretizada com cinco nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em

vibração livre).




( ), ( ), ( ) e ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações

(6.211) à (6.214):

(6.198)

(6.199)

(6.200)

(6.201)


No engaste ( )

(6.202)

(6.203)


(6.204)

(6.205)


nas equações (6.198), (6.199), (6.200) e (6.201), representativas dos nós, tem-se as equações

(6.219) à (6.222).


(6.206)

94


(6.207)


(6.208)


(6.209)

Resumindo as equações (6.206) à (6.209), tem-se, portanto um sistema de autovalores



originando o polinômio característico, para através de suas raízes se obter as frequências

naturais.

Resolvendo o polinômio característico e substituindo as raízes na equação (6.8),

sabendo-se que , então:

(6.210)

(6.211)

(6.212)




95


Na próxima aplicação (figura 6.9) se pretende usar a mesma viga dos anteriores

(carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e

comprimento ) diferenciando apenar a discretização que será de sete nós, onde também se


Figura 6.9: Viga engastada-livre, discretizada com sete nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em

vibração livre).


Para sete nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo da

viga, como o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos no

ientervalo de ( ) à ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.213)

à (6.218):

(6.213)

(6.214)

(6.215)

(6.216)

(6.217)

(6.218)


No engaste ( )

(6.219)

(6.220)


(6.221)

96

(6.222)


nas equações (6.213) à (6.218), representativas dos nós, tem-se as equações (6.223) à (6.228).

(6.223)

(6.224)

(6.225)

(6.226)

(6.227)

(6.228)

Analisando as equações (6.223) à (6.228), tem-se, portanto um sistema de autovalores




(6.229)

(6.230)

(6.231)





Na aplicação a seguir (figura 6.10), usa-se uma discretização de doze nós na viga,


97


usando o MDF.

Figura 6.10: Viga engastada-livre, discretizada com doze nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em

vibração livre).


Para doze nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao longo



à (6.242):

(6.232)

(6.233)

(6.234)

(6.235)

(6.236)

(6.237)

(6.238)

(6.239)

(6.240)

(6.241)

(6.242)


No engaste ( )

(6.243)

(6.244)


98

(6.245)

(6.246)



(6.247)

(6.248)

(6.249)

(6.250)

(6.251)

(6.252)

(6.253)

(6.254)

(6.255)

(6.256)

(6.257)





(6.258)

(6.259)

99

(6.260)




6.2.5 Discretização da viga utilizando malhas com 22, 32 e 42 nós

Continuando com a viga engastada-livre, emprega-se o MDF com malhas de 22, 32 e

42 nós, ainda supondo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade ,

momento de inércia e comprimento . Sabe-se que ao substituir as condições de contorno

nas devidas equações se chega sistema de autovalores e autovetores, do tipo: .

Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as três primeiras raízes

encontradas na equação (6.8), tem-se:

Para uma malha com 22 nós, sabendo-se que , então:

(6.261)

(6.262)

(6.263)



finitas, para uma malha de 22 nós.


(6.264)

(6.265)

100

(6.266)





(6.267)

(6.268)

(6.269)




6.3 VIGA ENGASTADA-DESLIZANTE


A partir dessa aplicação, será empregado o MDF em vigas hiperestática, onde se

pretende mostrar que o MDF não se limita apenas a casos de vigas isostáticas. Se ira começar

com uma viga de Euler engastada com a extremidade deslizante. Nesta aplicação, mostra-se

agora a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio dinâmico da

viga de Euler, onde pretende-se obter as soluções das frequências naturais fundamentais.

Utiliza-se uma viga de vinculação engastada com a extremidade deslizante (figura 6.11),

hiperestática, com carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de

inércia e comprimento .



101

Figura 6.11: Viga engastada-deslizante, discretizada com três nós em diferenças finitas (comportamento

dinâmico em vibração livre).



o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, serão nos pontos ( ) e ( ),

substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.270) e (6.271):

(6.270)

(6.271)


No engaste ( )

(6.272)

(6.273)

Na extremidade deslizante ( )

(6.274)

(6.275)

102


nas equações (6.270) e (6.271) representativas dos nós, tem-se as equações (6.276) e (6.277).


(6.276)


(6.277)

Tem-se, portanto um sistema de autovalores (frequências naturais) e autovetores

(deformação modais). Sistema esse do tipo: , descrito abaixo:

Logo, para não termos a solução trivial, o determinante da matriz deverá ser igual a

zero, originando o polinômio característico, equação (6.278), para através de suas raízes se

obter as frequências naturais.

(

(6.278)



(6.279)

(6.280)

Os valores das equações (6.298) e (6.299), representam as duas primeiras frequências

naturais aproximadas, na flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças finitas, para

uma malha de três nós.

103


Assim como no item anterior, nesta aplicação também se pretende calcular as






Figura 6.12: Viga engastada-deslizante, discretizada com cinco nós em diferenças finitas (comportamento





( ), ( ), ( ) e ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações

(6.281) à (6.284):

(6.281)

(6.282)

(6.283)

(6.284)


No engaste ( )

(6.285)

(6.286)


104

(6.287)

(6.288)


nas equações (6.289), (6.290), (6.291) e (6.292), representativas dos nós, tem-se as equações

(6.289) à (6.292).


(6.289)


(6.290)


(6.291)


(6.292)





naturais.

105



(6.293)

(6.294)

(6.295)









Figura 6.13: Viga engastada-deslizante, discretizada com sete nós em diferenças finitas (comportamento






à (6.301):

106

(6.296)

(6.297)

(6.298)

(6.299)

(6.300)

(6.301)


No engaste ( )

(6.302)

(6.303)


(6.304)

(6.305)



(6.306)

(6.307)

(6.308)

(6.309)

(6.310)

(6.311)





(6.312)

107

(6.313)

(6.314)








usando o MDF.

Figura 6.14: Viga engastada-deslizante, discretizada com doze nós em diferenças finitas (comportamento






à (6.325):

(6.315)

(6.316)

(6.317)

(6.318)

108

(6.319)

(6.320)

(6.321)

(6.322)

(6.323)

(6.324)

(6.325)


No engaste ( )

(6.326)

(6.327)


(6.328)

(6.329)


equações (6.315) à (6.325), representativas dos nós, tem-se as equações (6.330) à (6.340).

(6.330)

(6.331)

(6.332)

(6.333)

(6.334)

(6.335)

(6.336)

(6.337)

(6.338)

(6.339)

(6.340)



109



(6.341)

(6.342)

(6.343)




6.3.5 Discretização da viga utilizando malhas com 22, 32, 42 e 52 nós

Dando prosseguimento a viga engastada com a extremidade deslizante, emprega-se o

MDF com malhas de 22, 32, 42 e 52 nós, ainda supondo que o carregamento distribuído ,

módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento . Sabe-se que ao substituir

as condições de contorno nas devidas equações se chega sistema de autovalores e autovetores,

do tipo: . Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo

as três primeiras raízes encontradas na equação (6.8), tem-se:


(6.344)

110

(6.345)

(6.346)





(6.347)

(6.348)

(6.349)





(6.350)

(6.351)

(6.352)





(6.353)

111

(6.354)

(6.355)




6.4 VIGA ENGASTADA-APOIADA


Nesta aplicação, mostra-se agora a técnica de resolução por diferenças finitas para a

equação de equilíbrio dinâmico da viga de Euler, onde pretende-se obter as soluções das

frequências naturais fundamentais. Utiliza-se uma viga de vinculação engastada com a

extremidade apoiada (figura 6.15), hiperestática, com carregamento distribuído , módulo

de elasticidade , momento de inércia e comprimento .



Figura 6.15: Viga engastada-apoiada, discretizada com três nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico




o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, será no ponto ( ), substituindo na

equação (5.29), obtém-se a equação (6.356):

(6.356)

112


No engaste ( )

(6.357)

(6.358)

Na extremidade apoiada ( )

(6.359)

(6.360)


na equação (6.356) representativa dos nós, tem-se:

(6.361)

Nesse caso, assim com no item 6.1, biapoiado, tem-se o valor direto para que como

visto anteriormente no item 5.3, é o parâmetro de forma da freqüência natural, definido por

. Sabendo-se que , é representado na equação (5.26), substituindo e

desenvolvendo, em função do parâmetro da frequência natural, , sabendo que ,

distância entre os nós internos, será sempre , onde será o comprimento da viga, e é o

número de intervalos entre nós internos produz-se a equação (6.8):


(6.362)

113

O valor da equação (6.362) representa a primeira freqüência natural aproximada, na

flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças finitas, para uma malha de cinco nós.








Figura 6.16: Viga engastada-apoiada, discretizada com cinco nós em diferenças finitas (comportamento



Para cinco nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao


( ), ( ) e ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.363) à

(6.365):

(6.363)

(6.364)

(6.365)


No engaste ( )

(6.366)

(6.367)


114

(6.368)

(6.369)


nas equações (6.363), (6.364) e (6.365), representativas dos nós, tem-se:


(6.370)


(6.371)


(6.372)

Resumindo as equações (6.370), (6.371) e (6.372), tem-se, portanto um sistema de

autovalores e autovetores, do tipo: , descrito abaixo:



naturais.



(6.373)

(6.374)

(6.375)

115









Figura 6.17: Viga engastada-apoiada, discretizada com sete nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico






à (6.380):

(6.376)

(6.377)

(6.378)

(6.379)

(6.380)


No engaste ( )

(6.381)

116

(6.382)


(6.383)

(6.384)



(6.385)

(6.386)

(6.387)

(6.388)

(6.389)





(6.390)

(6.391)

(6.392)




117





usando o MDF.

Figura 6.18: Viga engastada-apoiada, discretizada com doze nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico






à (6.402):

(6.393)

(6.394)

(6.395)

(6.396)

(6.397)

(6.398)

(6.399)

(6.400)

(6.401)

(6.402)


No engaste ( )

118

(6.403)

(6.404)


(6.405)

(6.406)



(6.407)

(6.408)

(6.409)

(6.410)

(6.411)

(6.412)

(6.413)

(6.414)

(6.415)

(6.416)





(6.417)

119

(6.418)

(6.419)




6.4.5 Discretização da viga utilizando malhas com 22, 32, 42, 52, 62 e 72 nós

Finalizando a viga engastada-apoiada, emprega-se o MDF com malhas de 22, 32, 42,

52, 62 e 72 nós, ainda supondo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade

, momento de inércia e comprimento . Sabe-se que ao substituir as condições de contorno

nas devidas equações se chega sistema de autovalores e autovetores, do tipo: .

Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as três primeiras raízes

encontradas na equação (6.8), tem-se:


(6.420)

(6.421)

(6.422)





(6.423)

120

(6.424)

(6.425)





(6.426)

(6.427)

(6.428)





(6.429)

(6.430)

(6.431)





(6.432)

121

(6.433)

(6.434)





(6.435)

(6.436)

(6.437)




6.5 VIGA BIENGASTADA


Como ultima aplicação, será empregado o MDF em uma viga de Euler biengastada, ou

seja, uma viga hiperestática. Nesta aplicação, assim como nas aplicações anteriores, mostra-se

agora a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio dinâmico da

viga de Euler, onde pretende-se obter as soluções das frequências naturais fundamentais.

Utiliza-se uma viga biengastada (figura 6.19), hiperestática, com carregamento distribuído

, módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento .



122

Figura 6.19: Viga biengastada discretizada com três nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em

vibração livre).



o MDF calcula os valores de forma pontual, nesse caso, será no ponto ( ).

(6.438)

No primeiro engaste ( :

(6.439)

(6.440)

No segundo engaste ( )

(6.441)

(6.442)


na equação (6.438) representativa dos nós, tem-se:

(6.443)

Nesse caso, assim como na viga biapoiada, tem-se o valor direto para equação

(6.443), já mencionado como parâmetro de forma da freqüência natural, definido por

.Sabendo-se que , é representado na equação (5.26), e que , distância entre os nós

internos, será sempre , onde será o comprimento da viga, e é o número de intervalos

entre nós internos, substituindo e desenvolvendo, em função do parâmetro da frequência

natural, , produz-se a equação (6.8):

Substituindo na equação (6.8), sabendo-se que , então:

123

(6.444)

O valor da equação (6.444), representa a primeira freqüência natural aproximada, na

flexão da viga de Euler, pelo método das diferenças finitas, para uma malha de três nós.


A viga da figura 6.20 tem as mesmas propriedades da anterior (carregamento

distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento ) mudando

apenas o número de nós que serão discretizados na mesma. Em resumo, mostra-se a técnica

de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio dinâmico (equação 5.29) de

uma viga de Euler, onde pretende calcular as frequências naturais fundamentais.

Figura 6.20: Viga biengastada discretizada com cinco nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em

vibração livre).




( ), ( ) e ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações (6.445),

(6.446) e (6.447).

(6.445)

(6.446)

(6.447)


No primeiro engaste ( :

(6.448)

(6.449)

124

No segundo engaste ( )

(6.450)

(6.451)


nas equações (6.445), (6.446) e (6.447), representativas dos nós, tem-se as equações (6.452),

(6.453) e (6.454).

(6.452)

(6.453)

(6.454)

Tem-se, portanto um sistema de autovalores e autovetores. Sistema esse do tipo:

, descrito abaixo:


originando o polinômio característico, para através de suas raízes obter as frequências

naturais.



(6.455)

(6.456)

(6.457)




125


A viga da figura 6.21 tem as mesmas propriedades da anterior (carregamento

distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento ) mudando

apenas o número de nós que serão discretizados na mesma.

Figura 6.21: viga biapoiada discretizada com sete nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em

vibração livre).


Para sete nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao


no intervalo de ( ) à ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações

(6.458) à (6.462).

(6.458)

(6.459)

(6.460)

(6.461)

(6.462)

No primeiro apoio (2ºgênero), ( :

(6.463)

(6.464)

No segundo apoio (1ºgênero), ( )

(6.465)

(6.466)

126


nas equações (6.458) à (6.462), representativas dos nós, tem-se as equações de (6.467) à

(6.471):

(6.467)

(6.468)

(6.469)

(6.470)

(6.471)

Tem-se, portanto um sistema de autovalores e autovetores, do tipo: ,

descrito abaixo:

Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo as três primeiras

raízes na equação (6.8), sabendo-se que , então:

(6.472)

(6.473)

(6.474)





No exemplo a seguir (figura 6.22), usa-se uma discretização de doze nós na viga,



usando o MDF.

127

Figura 6.22: Viga biengastada discretizada com doze nós em diferenças finitas (comportamento dinâmico em

vibração livre).


Para doze nós deseja-se calcular as frequências naturais em todos os pontos ao


no ientervalo de ( ) à ( ), substituindo na equação (5.29), obtem-se as equações

(6.475) à (6.484).

(6.475)

(6.476)

(6.477)

(6.478)

(6.479)

(6.480)

(6.481)

(6.482)

(6.483)

(6.484)


No primeiro apoio (2ºgênero), ( :

(6.485)

(6.486)

No segundo apoio (1ºgênero), ( )

(6.487)

(6.488)

128


nas equações (6.475) à (6.484), representativas dos nós, tem-se, as equações de (6.489) à

(6.498):

(6.489)

(6.490)

(6.491)

(6.492)

(6.493)

(6.494)

(6.495)

(6.496)

(6.497)

(6.498)

Tem-se, portanto um sistema de autovalores e autovetores, do tipo: ,

descrito abaixo:



(6.499)

(6.500)

(6.501)

129




6.5.4.1 Discretização da viga utilizando malhas com 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82 e 92 nós

Por fim, com a viga biengastada, emprega-se o MDF com malhas de 22, 32, 42, 52,

22, 32, 42, 52, 62, 72, 82 e 92 nós, ainda supondo que o carregamento distribuído ,

módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento . Sabe-se que ao substituir

as condições de contorno nas devidas equações se chega sistema de autovalores e autovetores,

do tipo: . Resolvendo o determinante, o polinômio característico e substituindo

as três primeiras raízes encontradas na equação (6.8), tem-se:


(6.502)

(6.503)

(6.504)





(6.505)

(6.506)

(6.507)

130





(6.508)

(6.509)

(6.510)





(6.511)

(6.512)

(6.513)





(6.514)

(6.515)

(6.516)

131





(6.517)

(6.518)

(6.519)





(6.520)

(6.521)

(6.522)





(6.523)

(6.524)

(6.525)

132




133

7. ANÁLISE DOS RESULTADOS

7.1 VIGA BIAPOIADA

Para se ter uma melhor comparação entre o valor analítico obtido pela solução

analítica para vibrações flexionais (SAVF) e os valores numéricos obtidos pelo Método das

Diferenças Finitas (MDF) mostra-se na tabela 7.1 uma comparação entre o SAVF e o MDF

com as malhas de 3, 5, 7, 12, 22, 32 e 42 nós, comparando ainda com um os valores obtidos

com outro método numérico, Métodos dos Elementos Finitos, através de um software

comercial de análise, ANSYS, versão 5.4. Utiliza-se na forma:

(7.1)

Logo a equação (7.1) representa de forma genérica o valor das frequências naturais

adimensionais, tanto para a viga desta aplicação, quanto para as outras vigas que serão

posteriormente mostradas.

A tabela 7.1 mostra que com o aumento do número de nós na viga se tem uma maior

aproximação do valor da frequência numérica, pelo MDF, em comparação ao valor analítico e

os valores obtidos pelo MEF. Nota-se que a malha com 3 nós só foi capaz de descrever a

primeira frequência natural. Contudo, nota-se que a partir da malha com 12 nós até a malha de

32 nós os valores convergem lentamente até o erro percentual ser quase anulado.

134

Tab

ela 7

.1: C

onverg

ência d

o M

étodo d

as Difere

nças F

initas n

o cá

lculo

das d

a frequências n

atura

is para v

iga b

iapo

iada, e

m v

ibração

livre.

F

req

uên

cia

s natu

rais (a

dim

en

sion

ais):

Solu

çã

o

An

alític

a:

SA

VF

Solu

çã

o

Nu

méric

a:

AN

SY

S (M

EF

)

Solu

çã

o N

um

éric

a: M

DF

Malh

a

(3 n

ós)

Malh

a

(5 n

ós)

Malh

a

(7 n

ós)

Malh

a

(12 n

ós)

Malh

a

(22 n

ós)

Malh

a

(32 n

ós)

Malh

a

(42 n

ós)

1 =

9,8

69

7

1

= 9

,86

97

2 =

39

,47

84

2 = 3

9,4

78

4

--------

3 =

88

, 82

64

3 =

88

,82

64

--------

=E

rro p

ercentu

al re

lativo

.

Fo

nte: E

labo

rada p

elo

Auto

r.

L

135

Onde valor do erro percentual pode ser achado por meio de:

Para melhor visualização da convergência do método numérico (MDF) para o valor

encontrado via ANSYS (MEF) e analítico (SAVF), mostra-se nos gráficos das figuras 7.1, 7.2

e 7.3.

Figura 7.1: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da primeira frequência natural de uma

viga biapoiada.


9,37

9,659,80 9,85 9,86

9,87

8,00

8,47

8,93

9,40

9,87

3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós

1

Malha

Primeira Frequência Natural para Viga Biapoiada

Método das Diferenças Finitas (MDF) Solução Analitica (SAVF)

Solução ANSYS (MEF)

36

38,4239,19 39,34

39,40

32,00

33,87

35,74

37,61

39,48


2

Malha

Segunda Frequência Natural para Viga Biapoiada



136

Figura 7.2: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da segunda frequência natural de uma

viga biapoiada.


Figura 7.3: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da terceira frequência natural de uma

viga biapoiada.


7.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE

Assim como na viga biapoiada se usou a frequência natural adimensional para se ter

uma melhor comparação entre os valores analíticos obtidos pela solução analítica para

vibrações flexionais e a solução do ANSYS (MEF), com os valores numéricos obtidos pelo

Método das Diferenças Finitas, também se usará na viga engastada-livre este artifício de

comparação. A fim de melhorar a visualização se criou a tabela 6.4, que mostra uma

comparação entre o SAVF , MEF e o MDF com as malhas de 3, 5, 7, 12, 22, 32 e 42 nós.

Nota-se que a malha com 3 nós, neste caso, consegui descrever as duas primeiras

frequências naturais, se diferenciando do item (7.1), biapoiado, onde a mesma malha

conseguiu apenas a primeira frequência natural. Observa-se ainda, que a partir da malha com

12 nós até a malha de 42 nós os valores continuam convergindo lentamente até o erro

percentual ser quase anulado (tabela 7.2).

72

83,52

87,35 88,1488,44

54,63

63,18

71,73

80,28

88,83


3

Malha

Terceira Frequência Natural para Viga Biapoiada



137

Tab

ela 7

.2: C

onverg

ência d

o M

étodo d

as Difere

nças F

initas n

o cá

lculo

das d

a frequências n

atura

is para v

iga e

ngastad

a-liv

re, em

vib

ração liv

re.

F

req

uên

cia

s natu

rais (a

dim

en

sion

ais):

Solu

çã

o

An

alític

a:

SA

VF

Solu

çã

o

Nu

méric

a:

AN

SY

S (M

EF

)

Solu

çã

o N

um

éric

a: M

DF

Malh

a

(3 n

ós)

Malh

a

(5 n

ós)

Malh

a

(7 n

ós)

Malh

a

(12 n

ós)

Malh

a

(22 n

ós)

Malh

a

(32 n

ós)

Malh

a

(42 n

ós)

1 =

3,5

16

0

1 =

3,5

16

0

2 =

22

,03

45

2 = 2

2,0

34

5

3 =

61

,69

72

3 = 6

1,6

97

2

--------

= E

rro p

ercentu

al relativ

o.

Fo

nte: E

labo

rada p

elo

Auto

r.

L

138



e 7.6.


viga engastada-livre.





3,34

3,443,49 3,51 3,51

3,52

2,93

3,08

3,22

3,37

3,52


1

Malha

Primeira Frequência Natural para Viga Engastada-livre



17,49

19,72

21,28 21,82 21,9421,99

10,93

13,70

16,48

19,26

22,03


2

Malha

Segunda Frequência Natural para Viga Engastada-livre



139




7.3 VIGA ENGASTADA-DESLIZANTE

Também se utilizou na viga engastada com a extremidade deslizante os mesmos

artifícios de comparação usados nas aplicações anteriores. A fim de melhorar a visualização

criou-se a tabela 7.3, que mostra uma comparação entre o SAVF, MEF e o MDF com as

malhas de 3, 5, 7, 12, 22, 32,42 e 52 nós.

Nota-se que a malha com 3 nós, neste caso, consegui descrever as duas primeiras

frequências naturais, se diferenciando do item (7.1), biapoiado, onde a mesma malha

conseguiu apenas a primeira frequência natural, e assemelhando-se ao item (7.2), engastada-

livre, onde a mesma malha conseguiu descrever as duas primeiras frequências naturais.

Observa-se ainda, foi necessária uma malha mais refinada do que a usada nas vigas

isostáticas, sendo que a partir da malha com 22 nós até a malha de 52 nós os valores

continuam convergindo muito lentamente até o erro percentual ser anulado.

49,37

57,42

60,46 61,1261,48

39,26

44,87

50,48

56,09

61,70


3

Malha

Terceira Frequência Natural para Viga Engastada-livre



140

Tab

ela 7

.3: C

onverg

ência d

o M

étodo d

as Difere

nças F

initas n

o cá

lculo

das d

a frequências n

atura

is para v

iga e

ngastad

a-desliz

ante, em

vib

ração liv

re.

F

req

uên

cia

s natu

rais (a

dim

en

sion

ais):

Solu

çã

o

An

alític

a:

SA

VF

Solu

çã

o

Nu

méric

a:

AN

SY

S (M

EF

)

Solu

çã

o N

um

éric

a: M

DF

Malh

a

(3 n

ós)

Malh

a

(5 n

ós)

Malh

a

(7 n

ós)

Malh

a

(12

nós)

Malh

a

(22

nós)

Malh

a

(32

nós)

Malh

a

(42

nós)

Malh

a

(52

nós)

1

= 5

,59

33

1 =

5,5

93

3

2 =

30

,22

58

2 = 3

0,2

25

8

3 =

74

,63

89

3 = 7

4,6

38

9

--------

=E

rro p

ercentu

al re

lativo

.

Fo

nte: E

labo

rada p

elo

Auto

r.

L

141



e 7.9.


viga engastada-deslizante.





5,26

5,445,55 5,58 5,59 5,59 5,59

4,48

4,76

5,04

5,32

5,59

3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós 52 nós

1

Malha

Primeira Frequência Natural para Viga Engastada-deslizante



24,24

27,27

29,28 29,91 30,10 30,16 30,18

14,28

18,27

22,25

26,24

30,23


2

Malha

Segunda Frequência Natural para Viga Engastada-deslizante



142




7.4 VIGA ENGASTADA-APOIADA

Assim como nas demais vigas se usou a frequência natural adimensional para se ter

uma melhor comparação entre os valores analíticos obtidos pela solução analítica para

vibrações flexionais e a solução do ANSYS (MEF), com os valores numéricos obtidos pelo

Método das Diferenças Finitas , também se usará na viga engastada-apoiada este artifício de

comparação. A fim de melhorar a visualização se criou a tabela 7.4, que mostra uma

comparação entre o SAVF, MEF e o MDF com as malhas de 3, 5, 7, 12, 22, 32, 42, 52, 62 e

72 nós.

Nota-se que a malha com 3 nós, neste caso, conseguiu descrever apenas a primeira

frequência natural, e assemelhando-se ao item 7.1, biapoiado. Observa-se ainda, foi necessária

uma malha mais refinada do que a usada nas vigas isostáticas, e na viga do item 7.3,

engastada-deslizante, sendo que a partir da malha com 32 nós até a malha de 72 nós os

valores continuam convergindo muito lentamente até o erro percentual ser anulado.

60,05

69,76

73,24 73,99 74,2774,40

46,95

53,87

60,79

67,72

74,64


3

Malha

Terceira Frequência Natural para Viga Engastada-deslizante



143

T

abela 7

.4: C

onverg

ência d

o M

étodo d

as Difere

nças F

initas n

o cá

lculo

das d

a frequências n

atura

is para v

iga e

ngastad

a-apo

iada, e

m v

ibra

ção liv

re.

F

req

uên

cia

s natu

rais (a

dim

en

sion

ais):

So

luçã

o

An

alítica

:

SA

VF

So

luçã

o

Nu

mérica

:

AN

SY

S (M

EF

)

So

luçã

o N

um

érica: M

DF

Ma

lha

(3 n

ós)

Ma

lha

(5 n

ós)

Ma

lha

(7 n

ós)

Ma

lha

(12

nó

s)

Ma

lha

(22

nó

s)

Ma

lha

(32

nó

s)

Ma

lha

(42

nó

s)

Ma

lha

(52

nó

s)

Ma

lha

(62

nó

s)

Ma

lha

(72

nó

s)

1

= 1

5,4

18

2

1 =

15

,41

82

2 =

49

,96

49

2 =

49

,96

49

--------

3 =

10

4,2

47

7

3 = 1

04

,24

77

--------

=E

rro p

ercentu

al re

lativo

.

Fo

nte: E

labo

rada p

elo

Auto

r.

L

144


encontrado via ANSYS (MEF) e analítico (SAVF), mostra-se nos gráficos das figuras 7.10,

7.11 e 7.12.


viga engastada-apoiada.





13,52

14,5115,14

15,34 15,38 15,40 15,41 15,41 15,41

9,80

11,20

12,61

14,01

15,42

3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós 52 nós 62 nós 72 nós

1

Malha

Primeira Frequência Natural para Viga Engastada-apoiada



42,78

47,62

49,30 49,66 49,79 49,85 49,8949,91

35,89

39,41

42,93

46,45

49,97


2

Malha

Segunda Frequência Natural para Viga Engastada-apoiada



145




7.5 VIGA BIENGASTADA

Para a viga biengastada o mesmo artifício de comparação das outras também foi

usado. A fim de melhorar a visualização se criou a tabela 7.5, que mostra uma comparação

entre o SAVF, MDF e o MDF com as malhas de 3, 5, 7, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82 e 92

nós.

Nota-se que a malha com 3 nós, neste caso, conseguiu descrever apenas a primeira

frequência natural, e assemelhando-se aos itens 7.1, biapoiado, e 7.4, engastada-apoiada.

Observa-se ainda, foi necessária uma malha mais refinada do que a usada nas aplicações nas

vigas até agora, sendo que a partir da malha com 32 nós até a malha de 92 nós os valores

continuam convergindo muito lentamente até o erro percentual ser anulado.

77,98

95,24

101,65 103,04 103,55 103,80 103,93104,02

56,01

68,07

80,13

92,19

104,25


3

Malha

Terceira Frequência Natural para Viga Engastada-apoiada



146

T

abela 7

.5: C

onverg

ência d

o M

étodo d

as Difere

nças F

initas n

o cá

lculo

das d

a frequências n

atura

is para v

iga b

iengastad

a, em v

ibraç

ão liv

re.

F

requ

ência

s natu

rais (a

dim

ensio

nais):

Solu

ção

An

alítica

:

SA

VF

Solu

ção

Nu

mérica

:

AN

SY

S

(ME

F)

Solu

ção N

um

érica

: MD

F

Malh

a

(3 n

ós)

Malh

a

(5 n

ós)

Malh

a

(7 n

ós)

Malh

a

(12 n

ós)

Malh

a

(22 n

ós)

Malh

a

(32 n

ós)

Malh

a

(42 n

ós)

Malh

a

(52 n

ós)

Malh

a

(62 n

ós)

Malh

a

(72 n

ós)

Malh

a

(82 n

ós)

Malh

a

(92 n

ós)

1

=

22

,37

29

1

=

22

,37

29

2 =

61

,67

28

2 =

61

,67

28

--------

3 =

12

0,9

03

2

3 =

12

0,9

03

2 --------

=E

rro p

ercentu

al re

lativo

.

Fo

nte: E

labo

rada p

elo

Auto

r.

L

147


encontrado via ANSYS (MEF) e analítico (SAVF), mostra-se nos gráficos das figuras 7.13,

7.14 e 7.15.


viga biengastada.


Figura 7.14: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo da segunda e terceira frequência natural

de uma viga biengastada.


17,93

20,12

21,6422,22 22,28 22,32 22,34 22,35 22,36 22,36 22,37

11,31

14,08

16,84

19,61

22,37

3 nós 5 nós 7 nós 12 nós 22 nós 32 nós 42 nós 52 nós 62 nós 72 nós 82 nós 92 nós

1

Malha

Primeira Frequência Natural para Viga Biengastada



49,32

57,39

60,43 61,10 61,34 61,46 61,52 61,56 61,59 61,60

39,19

44,81

50,43

56,05

61,67


2

Malha

Segunda Frequência Natural para Viga Biengastada



148


viga biengastada.


83,39

107,07

116,71 118,98 119,80 120,18 120,40 120,53 120,62120,68

57,12

73,07

89,01

104,96

120,90


3

Malha

Terceira Frequência Natural para Viga Biengastada



149

8. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS PARA OUTROS TRABALHOS

8.1 CONCLUSÕES

Existem três modelos usualmente utilizados para descrever a dinâmica de vigas: Euler-

Bernoulli, Vlasov e Timoshenko. Neste trabalho, foi utilizada a equação da viga de Euler-

Bernoulli.

Neste trabalho, foram obtidas as frequências naturais de vigas Euler-Bernoulli, em

vibração livre, consideradas clássicas, por incluírem condições de contorno clássicas. A

análise foi utilizada para determinar as frequências naturais de vibração de vigas, a qual é uma

solução de uma equação diferencial de quarta ordem.

Esta solução foi escrita em termos da base dinâmica, gerada pela solução dinâmica da

equação diferencial de quarta ordem correspondente. Este cálculo foi realizado através de uma

formulação de diferenças finitas para as condições de contorno.

Como o MDF cria pontos virtuais (nós) na viga, aparecem também pontos fora da

viga, devido a isso, se torna necessário a utilização das condições de contorno, que irão

diminuir o número de variáveis, por meio de valores conhecidos na viga, pois essas condições

relacionam os pontos fora com os pontos de dentro da viga.

O MDF resolve uma equação diferencial transformando-a em um sistema de equações.

Como ocorre na equação de Euler, onde uma equação diferencial de quarta ordem é

substituída por um sistema.

Como forma de melhor entender o MDF e para mostrar seu funcionamento, aplica-se o

método em vigas dinâmicas de Euler. Como primeira aplicação, uma viga biapoiada,

isostática, através da equação governante da viga de Euler por diferenças finitas com malhas

de 3, 5, 7, 12, 22, 32 e 42 nós, se calculou as três primeiras frequências naturais

adimensionais, enfatizando a convergência da primeira frequência natural, e observando o

comportamento das outras duas.

Considerando o SAVF como método de referência, foram comparados os valores das

frequências naturais adimensionais encontrados por meio do MDF e o método analítico.

Notou-se que à medida que se aumenta a discretização de pontos na malha da viga a

convergência do valor numérico (MDF) se aproxima em relação ao valor analítico (SAVF).

150

A segunda aplicação que foi mostrada, uma viga engastada-livre, também isostática, se

calculou a frequências naturais adimensionais pelo SAVF e MDF (3, 5, 7, 12, 22, 32 e 42

nós), observando-se uma convergência parecida com a obtida na aplicação anterior.

Na terceira aplicação, uma viga engastada com extremidade deslizante, hiperestática,

onde o método numérico na primeira malha teve um erro parecido com os das aplicações

anteriores, isso utilizando uma aproximação de quatro casas decimais para as frequências

naturais, entretanto observou-se que o MDF levou mais tempo para convergir para o valor

analítico (SAVF), sendo necessária uma malha de 52 nós.

Para quarta aplicação, uma viga engastada com extremidade apoiada, igualmente

hiperestática, também notou-se que a o MDF levou ainda mais tempo para convergir para o

valor analítico (SAVF), sendo necessária uma malha de 72 nós.

Finalmente, a quinta aplicação, uma viga biengastada, hiperestática, observou-se que

essa aplicação foi a que necessitou de maior refinamento, sendo necessária uma malha de 92

nós para a convergência do MDF com o valor analítico (SAVF).

Analisando os resultados obtidos a partir das aplicações, em vigas isostáticas e

hiperestáticas, notou-se que com o aumento gradativo do grau de restrição nos apoios, maior

deve ser o refinamento da malha utilizada, a fim de se obter a convergência. Isso acontece

uma vez que, quanto maior for o grau de restrição nos apoios, maior será o número de

incógnitas geradas, influenciando diretamente na aplicação do MDF.

Com a aplicação do MDF na equação diferencial governante de vigas, no estudo do

comportamento dinâmico em vibração livre, leva a problemas de autovalores (frequências

naturais) e autovetores (deformadas modais) para a determinação das frequências naturais e

modos de vibração, respectivamente. Sistema esse do tipo: , onde a matriz

representa a matriz de coeficientes à flexão e a matriz representa a matriz identidade.

À medida que se refinou a malha, aumentou-se o numero de nós, ao ponto das

matrizes serem de alta ordem, assim tornou-se necessário o auxilio de um software (Maple

10), para a resolução das matrizes.

Observou-se, que o MDF converge para o valor analítico partindo sempre de valores

inferiores, diferenciando-se de outros métodos como o método dos elementos finitos (MEF),

onde a convergência parte de valores superiores.

Conclui-se que as frequências naturais, pelo MDF, em todas as aplicações,

convergiram para o método analítico. Desse modo, observando-se a convergência alcançada

pelo MDF, em casos em que não se tem o conhecimento da solução analítica, pode-se saber se

a solução é exata, quando houver a repetição do valor (convergência alcançada).

151

8.2 PERSPECTIVAS PARA OUTROS TRABALHOS

Não obstante todas as contribuições desse trabalho ficam algumas sugestões para

outros possíveis trabalhos, como a aplicação do MDF para o comportamento estático e/ou

dinâmico, na viga de Timoshenko e Vlasov, onde a viga é analisada segundo as forças de

cisalhamento e a inércia rotacional.

A aplicação do MDF no comportamento dinâmico, para vibrações forçadas, uma vez

que este trabalho abordou o comportamento em vibração livre.

Aplicar o MDF em outros tipos de elementos estruturais, como pilares, placas, cabos,

arcos, etc.

O desenvolvimento de um programa computacional para as possíveis aplicações do

MDF ou de outro método numérico.

152

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159

APÊNDICE A. ANÁLISE, VIA ANSYS, DO COMPORTAMENTO DINÂMICO EM

VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS.

Os métodos numéricos são métodos de convergência que apresentam uma sequência

de cálculos repetitivos. Devido a estas características, são normalmente desenvolvidos em

linguagem de programação via softwares, que no presente trabalho, para a determinação das

frequências naturais de vigas, será o Software Analysis System (ANSYS), versão 5.4.

Figura A.1: Tela de abertura do ANSYS.

Fonte: ANSYS 5.4.

A.1 ROTEIRO RESUMIDO DE ANÁLISE VIA ANSYS

Resumidamente, o roteiro geral para análise do comportamento dinâmico, em vibração

livre, para vigas, com o software ANSYS 5.4, subdividi-se em três etapas, pré-processo,

solução e pós-processo (Figura A.2), como descritos.

160

Figura A.2: Tela inicial do ANSYS.

Fonte: ANSYS 5.4.

A.1.1 Pré-processo

a. Tipo de análise e da adaptatividade do Método dos Elementos Finitos (MEF);

b. Definição do tipo do elemento;

c. Definição da seção transversal da barra, momento de inércia e altura da viga;

d. Definição das propriedades do material;

e. Criação de pontos de inserção;

f. Criação do elemento de viga entre os pontos;

g. Atribuição das propriedades definidas no elemento;

h. Definição do refinamento da malha.

A.1.2 Solução

a. Aplicar as condições de contorno do problema;

b. Definir o tipo de analise;

c. Definir a quantidade de raízes a serem determinadas, o modo de determinação

e os intervalos inicial e final da análise;

d. Solução do problema.

161

A.1.3 Pós-processo

a. Listagem dos resultados;

b. Visualização do modo de vibração.

A.2. PROCEDIMENTO DETALHADO DE ANÁLISE VIA ANSYS

A.2.2 Pré-processo

a. Tipo de análise e da adaptatividade do MEF

Esta opção vai restringir os comando e menus ao tipo de análise selecionada. Os

demais comandos são ocultados, facilitando a visualização dos caminhos a percorrer.

Main Menu: Preferences

Structural

h-Method

Figura A.3: Janela para escolha do tipo de análise e adaptatividade do MEF.

Fonte: ANSYS 5.4.

b. Definição do Tipo de elemento

Main Menu: Preprocessor – Element Type – Add/edit/delete

Da biblioteca de elementos do ANSYS 5.4 será escolhido Structural-Beam 2D elastic 3.

162

Figura A.4: Definição do tipo de elemento.

Fonte: ANSYS 5.4.

c. Definição da seção transversal da barra, momento de inércia e altura da viga

Main Menu: Preprocessor – Real Constants – Add/edit/delete

Figura A.5: Definição da seção transversal.

Fonte: ANSYS 5.4.

163

d. Definição das propriedades do material

Main Menu: Preprocessor – Material Props- Constant – Isotropic

Figura A.6: Definição das Propriedades do Material.

Fonte: ANSYS 5.4.

e. Criação de pontos de inserção.

Main Menu: Preprocessor – Modeling - Create – Keypoints – In Active CS

Esta opção vai inserir pontos que servirão de referencia para a inserção do elemento de

viga e posteriormente das condições de apoio. Entre os métodos possíveis de introdução dos

pontos, através do comando In Active CS, pode-se inseri-los, numerando-os e posicionando-os

através de coordenadas.

164

Figura A.7: Definição dos pontos de inserção.

Fonte: ANSYS 5.4.

f. Criação do elemento de viga entre os pontos

Main Menu: Preprocessor – Modeling - Create – Lines – Straight line

Esta opção vai inserir uma linha a qual posteriormente será atribuída às características

e propriedades estabelecidas nos itens b, c e d, ainda na etapa de pré-processo. Com o

comando Straight line, pode-se inserir a linha manualmente clicando nos pontos e

confirmando em .

Figura A.8: Definição dos Elementos de barra.

Fonte: ANSYS 5.4.

165

g. Atribuição das propriedades definidas no elemento

Main Menu: Preprocessor – Attributes – Define – Picked Lines

Esta opção vai atribuir à linha anteriormente inserida, as características e propriedades

estabelecidas nos itens b, c e d, ainda na etapa de pré-processo. Através do comando Picked

Lines, faz-se a seleção da linha, confirmando em , e na janela para atribuição das

propriedades do elemento, faz-se à aplicação confirmando novamente em .

Figura A.9: Janela para atribuição e aplicação das propriedades do elemento

Fonte: ANSYS 5.4.

h. Definição do refinamento da malha.

Main Menu: Preprocessor –Meshtool – Lines (set)

Esta opção vai definir o refinamento da malha a ser utilizada, ou seja, o número de

divisões no elemento. Através do comando Lines (set), no painel azul (figura A.8), faz-se a

seleção da linha, confirmando em , em seguida, no painel verde à direita (figura A.8),

defini-se o número de divisões que se pretende analisar o elemento, confirmando em .

Para aplicar a malha, efetivamente, no elemento viga, selecionar , no painel

azul (figura A.8), faz-se novamente a seleção da linha e confirma-se em .

166

Figura A.10: Definição de divisões no elemento.

Fonte: ANSYS 5.4.

A.2.2 Solução

a. Aplicar as condições de contorno do problema e carregamento

Main Menu: Solution – Loads - Apply – Structural – Displacement – On Nodes

Esta opção vai definir e aplicar as condições de contorno nos apoios. Através do

comando On Nodes, pode-se selecionar um ponto onde se pretende definer como apoio, e

após a confirmação em , aplicar as suas condições de restrição de deslocamentos

(figura A.9).

Figura A.11: Aplicação das Condições de contorno.

Fonte: ANSYS 5.4.

167

b. Definir o tipo de analise

Main Menu: Solution – Analysis Type – New Analysis – Modal

Esta opção vai restringir os comando e menus ao tipo de análise selecionada. Os

demais comandos são ocultados, facilitando a visualização dos caminhos a percorrer. No caso

específico deste trabalho, se escolherá a opção Modal.

Figura A.12: Janela de definição do tipo de analise.

Fonte: ANSYS 5.4.

c. Definir a quantidade de raízes a serem determinadas, o modo de determinação e o

intervalo inicial e final da análise.

Main Menu: Solution – Analysis Type – Analysis Option

Esta opção vai definir a quantidade de raízes a serem determinadas, o modo de

determinação e o intervalo de análise. Primeiramente, defini-se o modo de determinação, que

será Subspace, e a quantidade de raízes a serem extraidas (Figura A.11), e em seguida

confirma-se em .

168

Figura A.13: Janela de definição da quantidade de raízes a serem extraídas.

Fonte: ANSYS 5.4.

Em seguida, em virtude da escolha o modo de determinação, Subspace, deve-se definir

o intervalo inicial e final da análise (Figura A.12). Esse intervalo servirá como um universo de

valores, dos quais as raízes poderão ser extraídas.

Figura A.14: Janela de definição o intervalo dos valores.

Fonte: ANSYS 5.4.

169

d. Solução do problema

Main Menu: Solution – Solve – Current LS

Finalmente, após as etapas anteriores, pode-se solicitar a solução através do comando

Current LS. No caso de análise bem sucedida (Figura A.13), aparecerá à informação solution

is done, e então se poderá prosseguir para visualização dos resultados. No caso de erro ou de

alguma observação, pode ser necessária a revisão do procedimento.

Figura A.15: – Janela de confirmação da Solução.

Fonte: ANSYS 5.4.

A.2.3 Pós-processo

a. Listagem dos resultados

Main Menu: General Postproc – Result Summary

Por fim, através do comando Result Summary, pode-se listar os resultados da

frequências obtidas na analise. Lembrando que o número de resultados é proporcional a

quantidade de raízes extraídas.

170

b. Visualização do modo de vibração.

Main Menu: General Postproc – Read Results – First Set / Next Set

Mechanical Utility Menu: PlotCtrls – Animate – Mode Shape

Pode-se ainda, visualizar o modo de vibração, através do comando Mode Shape.

Seleciona-se o primeiro resultado em First Set, e através do comando Mode Shape, na janela

Animate Mode Shape, pode-se definir o número de quadros e o tempo de exibição de cada

quadro, além de visualizar a modo de vibração (Deformed Shape). Para visualizar os demais

resultados, basta usar o comando Next Set e repetir o procedimento.

Figura A.16: – Janela do comando Mode Shape.

Fonte: ANSYS 5.4.

A.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS VIA ANSYS

Fez-se neste apêndice uma comparação dos resultados do SAVF e do MDF com

simulações realizadas por meio de um software de elementos finitos, ANSYS, versão 5.4.

Contudo, os resultados das frequências naturais adimensionais, não foram idênticos, porém,

para as três primeiras freqüências, nos cinco casos aplicados, manteve-se uma relação

constante com os valores de frequências obtidos pelo ANSYS e os valores exatos

determinados pelo SAVF.

Utilizou-se uma viga encontrada na literatura, com propriedades de um aço 0,2% de

carbono: área da seção transversal , módulo de elasticidade longitudinal

, coeficiente de Poisson , massa específica volumétrica

e comprimento .

171

Fazendo-se a analise, conforme o roteiro elaborado e considerando todos os casos de

vigas demonstrados no trabalho, chega-se na tabela A.1, seguinte:

Tabela A.1: Tabela comparativa das da frequências naturais obtidas pelo ANSYS e os valores determinados pelo

SAVF para as vigas demonstradas neste trabalho.

Frequências

Naturais

Solução de

frequência

ANSYS (

Solução ANSYS Solução ANSYS

(Corrigida) Solução Analítica:

SAVF

PA

RC

EL

A C

ON

ST

AN

TE

FA

TO

R D

E C

OR

RE

ÇÃ

O

1 =

2 =

3 =

1 =

2 =

3 =

= 9,8697

= 39,

= 88,8264

1 =

2 =

3 =

1 = 0,8350

2 = 5,2321

3 = 14,6470

1 = 0,5596

2 = 3,5065

3 = 9,8161

= 3,5160

= 22,0345

= 61,6972

1 =

2 =

3 =

1 = 1,3283

2 = 7,1773

3 = 17,7200

1 = 0,8902

2 = 4,8101

3 = 11,8756

= 5,5933

= 30,2258

= 74,6389

1 =

2 =

3 =

1 = 3,6613

2 = 11,8640

3 = 24,7470

1 = 2,4537

2 = 7,9510

3 = 16,5850

= 15,4182

= 49,9649

= 104,2477

1 =

2 =

3 =

1 = 5,3129

2 = 14,6430

3 = 28,7000

1 = 3,5606

2 = 9,8135

3 = 19,2342

= 22,3729

= 61,6728

= 120,9032

1 =

2 =

3 =

= Fator de Correção;

= Frequência natural;

= Frequênica natural adimensional.


A.3.1 Determinação do fator de correção

O fator de correção é determinado através da relação: , e

esta relação, com valores anteriormente descriminados, resulta na tabela A.2:

L

L

L

L

L

172

Tabela A.2: Tabela demonstrativa da determinação dos fatores de correção das frequências naturais obtidas pelo

ANSYS para as vigas demonstradas neste trabalho.

Frequências

Naturais

(adimensional)

Solução

ANSYS: MEF

Solução

Analítica: SAVF

1 =

2 =

3 =

1 =

2 =

3 =

1 = 0,5596

2 = 3,5065

3 = 9,8161

1 =

2 =

3 =

1 = 0,8902

2 = 4,8101

3 = 11,8756

1 =

2 =

3 =

1 = 2,4537

2 = 7,9510

3 = 16,5850

1 =

2 =

3 =

1 = 3,5606

2 = 9,8135

3 = 19,2342

1 =

2 =

3 =

= Fator de Correção.

= Frequênica natural adimensional.


A.4 CONCLUSÃO

A solução encontrada pelo ANSYS foi idêntica a solução analítica, utilizando-se um

fator de correção, o qual é a razão entre a solução analítica e os valores determinados pelo

ANSYS, mostrando uma relação linear entre os valores.

L

L

L

L

L

Documents

ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO EM VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS PELO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS