An Introduction to Diff Equations

8/8/2019 An Introduction to Diff Equations

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A I \ I I I C I I R C D U C 1 1 0 1 \ I 1 0! , I J ' " n b b b b bt , l 3 4 4 5 5 5 5 5 5 6 5 6 6 6 6 6 6

5 5 5 5 5 5 5 5 r 1 5 6 r 6 r 6 ,b 6 - k r 6 6" 3 , M 1 I1 4 4 ' 5

5 5 5 5 5 L 1

C 5 5 h 5 6. 7 L , r ' J w , .- 7 S - 7 7 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 5 6 6 5 6A . ' J . J J 1 A a a J; . . - 1 . _ I 4 3 ' 4 n 4 - 1 1 5 5 5 C 5 5 5 5 5 5 6 6

3 3 . 4 3 4 3 3 4 4 4 4 4 4 4 . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ;I L I 1J I J , : 1 , A , l i 4 L 1 4 4 L 1 1 4 k 1 4 4 4 4 4 4 4 4 a , 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 `4 3 4 3 4 3 4 n 4 ' 4 " 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 : 5 5 5 5 5 5 L4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4' 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 45 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 31 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 3 3 . 3 3 : fC 5 5 5 5 L I C C C J C

' 5C

aG - 4 4 4 4 4 4 4 J 1 , 3 ? 4 i , ? L ., i 3 35 C 5 L 1 , 4 i 3 ' V 'L LC , , 3 3 I ,5 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 L I 3 L L { L , . 1 L; C C C C C C C C C C j , , , , , . I , r f , i r l" I ` I 5 1 t L I L 1 5 L i . I , I , L - 1 , I , I , I 3` C C C C L 3 L L 1 ` 3 L C6 l S C C C G: 1 y 6 1 ' } I ; 4 4 4 4 3 4 3 3 3Gt L t J L L s L L L L I - . L L t - L a

M J ` e r e c e G , , { {j h } O l ' t r l , - I t . - I ; L J c , - I : c ( : IL L l f M i , L E I I , - I , Ii : tD E Q U A l ' 0 I \ I ;

w i t h D i f f e r e n c e E q u a t i o n s . F o u r i e r A n a l y s i s , a n d P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s1 = I I C I 1 ? 1 C / L A I D A S


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A n I n t r o d u c t i o n t oD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sw i t h D i f f e r e n c e E q u a t i o n s , F o u r i e r S e r i e s ,a n d P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s

N . F i n i z i o a n d G . L a d a sU n i v e r s i t y o f R h o d e I s l a n d

W a d s w o r t h P u b l i s h i n g C o m p a n yB e l m o n t , C a l i f o r n i aA d i v i s i o n o f W a d s w o r t h , I n c .


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A B O U T T H E C O V E R : " D i r i c h l e t P r o b l e m "( M i l e s C o l o r A r t A 2 5 ) i s t h e w o r k o f P r o f e s s o rE . P . M i l e s , J r . , a n d a s s o c i a t e s o f F l o r i d aS t a t e U n i v e r s i t y u s i n g a n I n t e C o l o r 8 0 5 0 1c o m p u t e r . P r o g r a m m i n g b y E r i c C h a m b e r l a i na n d p h o t o g r a p h b y J o h n O w e n . T h e f u n c t i o ng r a p h e d i s t h e d i s c r e t e l i m i t i n g p o s i t i o n f o r t h es o l u t i o n b y r e l a x a t i o n o f t h e h e a t d i s t r i b u t i o ni n a n i n s u l a t e d r e c t a n g u l a r p l a t e w i t h f i x e dt e m p e r a t u r e a t b o u n d a r y p o s i t i o n s . T h i s i s a ne n d - p o s i t i o n p h o t o g r a p h f o l l o w i n g i n t e r m e d i a t ep o s i t i o n s d i s p l a y e d a s t h e s o l u t i o n c o n v e r g e sf r o m a n a s s u m e d i n i t i a l a v e r a g e t e m p e r a t u r e t ot h e u l t i m a t e ( h a r m o n i c f u n c t i o n ) s t e a d y - s t a t et e m p e r a t u r e i n d u c e d b y t h e c o n s t a n t l ym a i n t a i n e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s .

M a t h e m a t i c s E d i t o r : R I C H A R D J O N E SS i g n i n g R e p r e s e n t a t i v e : R I C H A R D G I O G E V

1 9 8 2 b y W a d s w o r t h , I n c .A l l r i g h t s r e s e r v e d . N o p a r t o f t h i s b o o k m a y b er e p r o d u c e d , s t o r e d i n a r e t r i e v a l s y s t e m , o r t r a n s c r i b e d , i na n y f o r m o r b y a n y m e a n s , e l e c t r o n i c , m e c h a n i c a l ,p h o t o c o p y i n g , r e c o r d i n g , o r o t h e r w i s e , w i t h o u t t h e p r i o rw r i t t e n p e r m i s s i o n o f t h e p u b l i s h e r , W a d s w o r t h P u b l i s h i n gC o m p a n y , B e l m o n t , C a l i f o r n i a 9 4 0 0 2 , a d i v i s i o n o fW a d s w o r t h , I n c .I S B N 0 - 5 3 4 - 0 0 9 6 0 - 3

P r i n t e d i n t h e U n i t e d S t a t e s o f A m e r i c a5 6 7 8 9 1 0 - 9 6 9 5 9 4 9 3 9 2 9 1U b r a r y o f C o n g r e s s C a t a l o g i n g i n P u b l i c a t i o n D a t aF i n i z i o . N .A n i n t r o d u c t i o n t o o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ,w i t h d i f f e r e n c e e q u a t i o n s . F o u r i e r s e r i e s , a n dp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s .

I n c l u d e s i n d e x .1 . D i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . 1 . L a d a s , G .1 1 . T i t l e .Q A 3 7 2 . F 5 5 5 1 5 . 3 ' 5 2 8 1 - 1 9 7 1I S B N 0 - 5 3 4 - 0 0 9 6 0 - 3 A A C R 2


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P r e f a c eT h i s b o o k i s d e s i g n e d f o r a n i n t r o d u c t o r y , o n e - s e m e s t e r o r o n e - y e a r c o u r s ei n d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , b o t h o r d i n a r y a n d p a r t i a l . I t s p r e r e q u i s i t e i s e l e -m e n t a r y c a l c u l u s .P e r u s a l o f t h e t a b l e o f c o n t e n t s a n d t h e l i s t o f a p p l i c a t i o n s s h o w s t h a t t h eb o o k c o n t a i n s t h e t h e o r y , t e c h n i q u e s , a n d a p p l i c a t i o n s c o v e r e d i n t h e t r a d i -t i o n a l i n t r o d u c t o r y c o u r s e s i n d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . A m a j o r f e a t u r e o f t h i st e x t i s t h e q u a n t i t y a n d v a r i e t y o f a p p l i c a t i o n s o f c u r r e n t i n t e r e s t i n p h y s i c a l ,b i o l o g i c a l , a n d s o c i a l s c i e n c e s . W e h a v e f u r n i s h e d a w e a l t h o f a p p l i c a t i o n sf r o m s u c h d i v e r s e f i e l d s a s a s t r o n o m y , b i o e n g i n e e r i n g , b i o l o g y , b o t a n y , c h e m -i s t r y , e c o l o g y , e c o n o m i c s , e l e c t r i c c i r c u i t s , f i n a n c e , g e o m e t r y , m e c h a n i c s ,m e d i c i n e , m e t e o r o l o g y , p h a r m a c o l o g y , p h y s i c s , p s y c h o l o g y , s e i s m o l o g y , s o -c i o l o g y , a n d s t a t i s t i c s .O u r e x p e r i e n c e g a i n e d i n t e a c h i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a t t h e e l e m e n t a r y ,i n t e r m e d i a t e , a n d g r a d u a t e l e v e l s a t t h e U n i v e r s i t y o f R h o d e I s l a n d c o n v i n c e du s o f t h e n e e d f o r a b o o k a t t h e e l e m e n t a r y l e v e l w h i c h e m p h a s i z e s t o t h es t u d e n t s t h e r e l e v a n c e o f t h e v a r i o u s e q u a t i o n s t o w h i c h t h e y a r e e x p o s e d i nt h e c o u r s e . T h a t i s t o s a y , t h a t t h e v a r i o u s t y p e s o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n se n c o u n t e r e d a r e n o t m e r e l y t h e p r o d u c t o f s o m e m a t h e m a t i c i a n ' s i m a g i n a t i o nb u t r a t h e r t h a t t h e e q u a t i o n s o c c u r i n t h e c o u r s e o f s c i e n t i f i c i n v e s t i g a t i o n so f r e a l - w o r l d p h e n o m e n a .T h e g o a l o f t h i s b o o k , t h e n , i s t o m a k e e l e m e n t a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sm o r e u s e f u l , m o r e m e a n i n g f u l , a n d m o r e e x c i t i n g t o t h e s t u d e n t . T o a c c o m p l i s ht h i s , w e s t r i v e t o d e m o n s t r a t e t h a t d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e v e r y m u c h " a l i v e "i n p r e s e n t - d a y a p p l i c a t i o n s . T h i s a p p r o a c h h a s i n d e e d h a d a s a t i s f y i n g e f f e c ti n t h e c o u r s e s w e h a v e t a u g h t r e c e n t l y .D u r i n g t h e p r e p a r a t i o n a n d c l a s s t e s t i n g o f t h i s t e x t w e c o n t i n u o u s l y k e p ti n m i n d b o t h t h e s t u d e n t a n d t h e t e a c h e r . W e h a v e t r i e d t o m a k e t h e p r e -s e n t a t i o n d i r e c t , y e t i n f o r m a l . D e f i n i t i o n s a n d t h e o r e m s a r e s t a t e d p r e c i s e l ya n d r i g o r o u s l y , b u t t h e o r y a n d r i g o r h a v e b e e n m i n i m i z e d i n f a v o r o f c o m -p r e h e n s i o n o f t e c h n i q u e . T h e g e n e r a l a p p r o a c h i s t o u s e a l a r g e r n u m b e r o f

r o u t i n e e x a m p l e s t o i l l u s t r a t e t h e n e w c o n c e p t s , d e f i n i t i o n s , m e t h o d s o f s o -l u t i o n , a n d t h e o r e m s . T h u s , i t i s i n t e n d e d t h a t t h e m a t e r i a l w i l l b e e a s i l ya c c e s s i b l e t o t h e s t u d e n t . H o p e f u l l y t h e p r e s e n c e o f m o d e r n a p p l i c a t i o n s i na d d i t i o n t o t h e t r a d i t i o n a l a p p l i c a t i o n s o f g e o m e t r y , p h y s i c s , a n d c h e m i s t r yw i l l b e r e f r e s h i n g t o t h e t e a c h e r .N u m e r o u s r o u t i n e e x e r c i s e s i n e a c h s e c t i o n w i l l h e l p t o t e s t a n d s t r e n g t h e nt h e s t u d e n t ' s u n d e r s t a n d i n g o f t h e n e w m e t h o d s u n d e r d i s c u s s i o n . T h e r e a r eo v e r 1 6 0 0 e x e r c i s e s i n t h e t e x t w i t h a n s w e r s t o o d d - n u m b e r e d e x e r c i s e s p r o -v i d e d . S o m e t h o u g h t - p r o v o k i n g e x e r c i s e s f r o m T h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l


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XM o n t h l y , M a t h e m a t i c s M a g a z i n e , a n d T h e W i l l i a m L o w e l l P u t n a m M a t h e -m a t i c s C o m p e t i t i o n a r e i n s e r t e d i n m a n y s e c t i o n s , w i t h r e f e r e n c e s t o t h es o u r c e . T h e s e s h o u l d c h a l l e n g e t h e s t u d e n t s a n d h e l p t o t r a i n t h e m i n s e a r c h i n gt h e l i t e r a t u r e . R e v i e w e x e r c i s e s a p p e a r a t t h e e n d o f e v e r y c h a p t e r . T h e s ee x e r c i s e s s h o u l d s e r v e t o h e l p t h e s t u d e n t r e v i e w t h e m a t e r i a l p r e s e n t e d i nt h e c h a p t e r . S o m e o f t h e r e v i e w e x e r c i s e s a r e p r o b l e m s t h a t h a v e b e e n t a k e nd i r e c t l y f r o m p h y s i c s a n d e n g i n e e r i n g t e x t b o o k s . T h e i n c l u s i o n o f s u c h p r o b -l e m s s h o u l d f u r t h e r e m p h a s i z e t h a t d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e v e r y m u c h p r e s -e n t i n a p p l i c a t i o n s a n d t h a t t h e s t u d e n t i s q u i t e a p t t o e n c o u n t e r t h e m i n a r e a so t h e r t h a n m a t h e m a t i c s .E v e r y t y p e o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t u d i e d a n d e v e r y m e t h o d p r e s e n t e d i si l l u s t r a t e d b y r e a l - l i f e a p p l i c a t i o n s w h i c h a r e i n c o r p o r a t e d i n t h e s a m e s e c t i o n( o r c h a p t e r ) w i t h t h e s p e c i f i c e q u a t i o n o r m e t h o d . T h u s , t h e s t u d e n t w i l l s e ei m m e d i a t e l y t h e i m p o r t a n c e o f e a c h t y p e o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t t h e yl e a r n h o w t o s o l v e . W e f e e l t h a t t h e s e " m o d e r n " a p p l i c a t i o n s , e v e n i f t h es t u d e n t o n l y g l a n c e s a t s o m e o f . t h e m , w i l l h e l p t o s t i m u l a t e i n t e r e s t a n d

e n t h u s i a s m t o w a r d t h e s u b j e c t o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s s p e c i f i c a l l y a n d m a t h -e m a t i c s i n g e n e r a l .M a n y o f t h e a p p l i c a t i o n s a r e i n t e g r a t e d i n t o t h e m a i n d e v e l o p m e n t o f i d e a s ,t h u s b l e n d i n g t h e o r y , t e c h n i q u e , a n d a p p l i c a t i o n . F r e q u e n t l y , t h e m a t h e m a t i c a lm o d e l u n d e r l y i n g t h e a p p l i c a t i o n i s d e v e l o p e d i n g r e a t d e t a i l . I t w o u l d b ei m p o s s i b l e i n a t e x t o f t h i s n a t u r e t o h a v e s u c h d e v e l o p m e n t f o r e v e r y a p -p l i c a t i o n c i t e d . T h e r e f o r e , s o m e o f t h e m o d e l s a r e o n l y s k e t c h e d , a n d i n s o m ea p p l i c a t i o n s t h e m o d e l a l o n e i s p r e s e n t e d . I n p r a c t i c a l l y a l l c a s e s , r e f e r e n c e sa r e g i v e n f o r t h e s o u r c e o f t h e m o d e l . A d d i t i o n a l l y , a l a r g e n u m b e r o f a p p l i -c a t i o n s a p p e a r i n t h e e x e r c i s e s ; t h e s e a p p l i c a t i o n s a r e a l s o s u i t a b l y r e f e r e n c e d .C o n s e q u e n t l y , a p p l i c a t i o n s a r e w i d e s p r e a d t h r o u g h o u t t h e b o o k , a n d a l t h o u g ht h e y v a r y i n d e p t h a n d d i f f i c u l t y , t h e y s h o u l d b e d i v e r s e a n d i n t e r e s t i n g e n o u g ht o w h e t t h e a p p e t i t e o f e v e r y r e a d e r . A s a g e n e r a l s t a t e m e n t , e v e r y a p p l i c a t i o nt h a t a p p e a r s , e v e n t h o s e w i t h l i t t l e o r n o d e t a i l , i s i n t e n d e d t o i l l u s t r a t e t h er e l e v a n c e o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o u t s i d e o f t h e i r i n t r i n s i c v a l u e a s m a t h e -m a t i c a l t o p i c s . I t i s i n t e n d e d t h a t t h e i n s t r u c t o r w i l l p r o b a b l y p r e s e n t o n l y af e w o f t h e a p p l i c a t i o n s , w h i l e t h e r e s t c a n d e m o n s t r a t e t o t h e r e a d e r t h er e l e v a n c e o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n r e a l - l i f e s i t u a t i o n s .T h e f i r s t e i g h t c h a p t e r s o f t h i s b o o k a r e r e p r o d u c e d f r o m o u r t e x t O r d i n a r yD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s w i t h M o d e r n A p p l i c a t i o n s , S e c o n d E d i t i o n , W a d s w o r t hP u b l i s h i n g C o . , 1 9 8 1 .T h e a d d i t i o n a l c h a p t e r s 9 , 1 0 , a n d 1 1 t r e a t d i f f e r e n c e e q u a t i o n s , F o u r i e rs e r i e s , a n d p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , r e s p e c t i v e l y . E a c h o f t h e s e c h a p t e r sp r o v i d e s a t h o r o u g h i n t r o d u c t i o n t o i t s r e s p e c t i v e t o p i c . W e f e e l t h a t t h ec h a p t e r s o n d i f f e r e n c e e q u a t i o n s a n d p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e m o r ee x t e n s i v e t h a n o n e u s u a l l y f i n d s a t t h i s l e v e l . O u r p u r p o s e f o r i n c l u d i n g t h e s et o p i c s i s t o a l l o w m o r e c o u r s e o p t i o n s f o r u s e r s o f t h i s b o o k .W e a r e g r a t e f u l t o K a t h e r i n e M a c D o u g a l l , w h o s o s k i l l f u l l y t y p e d t h e m a n -u s c r i p t o f t h i s t e x t .A s p e c i a l w o r d o f g r a t i t u d e g o e s t o P r o f e s s o r s G e r a l d B r a d l e y , J o h n H a d -d o c k , T h o m a s H a l l a m , K e n K a l m a n s o n , G o r d o n M c L e o d , a n d D a v i d W e n d ,


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P r e f a c e

w h o p a i n s t a k i n g l y r e v i e w e d p o r t i o n s o f t h i s b o o k a n d o f f e r e d n u m e r o u s v a l -u a b l e s u g g e s t i o n s f o r i t s i m p r o v e m e n t .T h a n k s a r e a l s o d u e t o D r . C l e m e n t M c C a l l a , D r . L y n n e l l S t e r n , a n d t oo u r s t u d e n t s C a r l B e n d e r , T h o m a s B u o n a n n o , M i c h a e l F a s c i t e l l i , a n d e s p e -c i a l l y N e a l J a m n i k , B r i a n M c C a r t i n , a n d N a g a r a j R a o w h o p r o o f r e a d p a r t so f t h e m a t e r i a l a n d d o u b l e c h e c k e d t h e s o l u t i o n s t o s o m e o f t h e e x e r c i s e s .S p e c i a l t h a n k s a r e d u e t o R i c h a r d J o n e s , t h e M a t h e m a t i c s E d i t o r o f W a d s -w o r t h P u b l i s h i n g C o m p a n y f o r h i s c o n t i n u o u s s u p p o r t , a d v i c e , a n d a c t i v ei n t e r e s t i n t h e d e v e l o p m e n t o f t h i s p r o j e c t .

x l

N . F i n i z i oG . L a d a s


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C o n t e n t s1 E L E M E N T A R Y M E T H O D S - F I R S T - O R D E R D I F F E R E N T I A L E Q U A T I O N S

1 . 1 I n t r o d u c t i o n a n d D e f i n i t i o n s 11 . 1 . 1 A p p l i c a t i o n s 31 . 2 E x i s t e n c e a n d U n i q u e n e s s 1 11 . 3 V a r i a b l e s S e p a r a b l e 1 71 . 3 . 1 A p p l i c a t i o n s 2 01 . 4 F i r s t - O r d e r L i n e a r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s 3 01 . 4 . 1 A p p l i c a t i o n s 3 31 . 5 E x a c t D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s 4 11 . 5 . 1 A p p l i c a t i o n 4 61 . 6 H o m o g e n e o u s E q u a t i o n s 5 11 . 6 . 1 A p p l i c a t i o n 5 31 . 7 E q u a t i o n s R e d u c i b l e t o F i r s t O r d e r 5 51 . 7 . 1 A p p l i c a t i o n 5 7R e v i e w E x e r c i s e s 5 8

2 L I N E A R D I F F E R E N T I A L E Q U A T I O N S2 . 1 I n t r o d u c t i o n a n d D e f i n i t i o n s 6 52 . 1 . 1 A p p l i c a t i o n s 6 72 . 2 L i n e a r I n d e p e n d e n c e a n d W r o n s k i a n s 7 32 . 3 E x i s t e n c e a n d U n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s 8 12 . 4 H o m o g e n e o u s D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s w i t h C o n s t a n t C o e f f i c i e n t s -T h e C h a r a c t e r i s t i c E q u a t i o n 8 72 . 5 H o m o g e n e o u s D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s w i t h C o n s t a n t C o e f f i c i e n t s -T h e G e n e r a l S o l u t i o n 9 22 . 5 . 1 A p p l i c a t i o n 9 72 . 6 H o m o g e n e o u s E q u a t i o n s w i t h V a r i a b l e C o e f f i c i e n t s -

O v e r v i e w 1 0 22 . 7 E u l e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n 1 0 32 . 8 R e d u c t i o n o f O r d e r 1 0 82 . 8 . 1 A p p l i c a t i o n s 1 1 22 . 9 S o l u t i o n s o f L i n e a r H o m o g e n e o u s D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sb y t h e M e t h o d o f T a y l o r S e r i e s 1 1 6


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x i v C o n t e n t s2 . 1 0 N o n h o m o g e n e o u s D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s 1 2 02 . 1 1 T h e M e t h o d o f U n d e t e r m i n e d C o e f f i c i e n t s 1 2 42 . 1 1 . 1 A p p l i c a t i o n s 1 2 9

2 . 1 2 V a r i a t i o n o f P a r a m e t e r s 1 3 5R e v i e w E x e r c i s e s 1 4 1

3 L I N E A R S Y S T E M S3 . 1 I n t r o d u c t i o n a n d B a s i c T h e o r y 1 4 73 . 1 1 A p p l i c a t i o n s 1 5 33 . 2 T h e M e t h o d o f E l i m i n a t i o n 1 6 23 . 2 . 1 A p p l i c a t i o n s 1 6 53 . 3 T h e M a t r i x M e t h o d 1 7 03 . 3 . 1 N o n h o m o g e n e o u s S y s t e m s - V a r i a t i o n o f P a r a m e t e r s 1 8 13 . 3 . 2 A p p l i c a t i o n s 1 8 3R e v i e w E x e r c i s e s 1 8 7

4 T H E L A P L A C E T R A N S F O R M4 . 1 I n t r o d u c t i o n 1 9 04 . 2 T h e L a p l a c e T r a n s f o r m a n d I t s P r o p e r t i e s 1 9 04 . 3 T h e L a p l a c e T r a n s f o r m A p p l i e d t o D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s

a n d S y s t e m s 1 9 94 . 4 T h e U n i t S t e p F u n c t i o n 2 0 64 . 5 T h e U n i t I m p u l s e F u n c t i o n 2 1 04 . 6 A p p l i c a t i o n s 2 1 4R e v i e w E x e r c i s e s 2 2 1

5 S E R I E S S O L U T I O N S O F S E C O N D - O R D E R L I N E A R E Q U A T I O N S5 . 1 I n t r o d u c t i o n 2 2 45 . 2 R e v i e w o f P o w e r S e r i e s 2 2 55 . 3 O r d i n a r y P o i n t s a n d S i n g u l a r P o i n t s 2 2 95 . 4 P o w e r - S e r i e s S o l u t i o n s a b o u t a n O r d i n a r y P o i n t 2 3 25 . 4 . 1 A p p l i c a t i o n s 2 3 85 . 5 S e r i e s S o l u t i o n s a b o u t a R e g u l a r S i n g u l a r P o i n t 2 4 65 . 5 . 1 A p p l i c a t i o n s 2 5 8R e v i e w E x e r c i s e s 2 6 6


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C o n t e n t s x v

6 B O U N D A R Y V A L U E P R O B L E M S6 1 I n t r o d u c t i o n a n d S o l u t i o n o f B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s 2 6 96 1 . 1 A p p l i c a t i o n s 2 7 36 . 2 E i g e n v a l u e s a n d E i g e n f u n c t i o n s 2 7 66 . 2 . 1 A p p l i c a t i o n 2 8 1R e v i e w E x e r c i s e s 2 8 5

7 N U M E R I C A L S O L U T I O N S O F D I F F E R E N T I A L E Q U A T I O N S7 . 1 I n t r o d u c t i o n 2 8 6

7 . 2 E u l e r M e t h o d 2 8 87 . 3 T a y l o r - S e r i e s M e t h o d 2 9 37 . 4 R u n g e - K u t t a M e t h o d s 2 9 87 . 5 S y s t e m s o f F i r s t - O r d e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s 3 0 47 . 6 A p p l i c a t i o n s 3 0 8R e v i e w E x e r c i s e s 3 1 2

8 N O N L I N E A R D I F F E R E N T I A L E Q U A T I O N S A N D S Y S T E M S8 . 1 I n t r o d u c t i o n 3 1 58 . 2 E x i s t e n c e a n d U n i q u e n e s s T h e o r e m s 3 1 58 . 3 S o l u t i o n s a n d T r a j e c t o r i e s o f A u t o n o m o u s S y s t e m s 3 1 78 . 4 S t a b i l i t y o f C r i t i c a l P o i n t s o f A u t o n o m o u s S y s t e m s 3 2 18 5 P h a s e P o r t r a i t s o f A u t o n o m o u s S y s t e m s 3 2 78 . 6 A p p l i c a t i o n s 3 3 7R e v i e w E x e r c i s e s 3 4 6

9 D I F F E R E N C E E Q U A T I O N S9 . 1 I n t r o d u c t i o n a n d D e f i n i t i o n s 3 4 89 . 1 . 1 A p p l i c a t i o n s 3 5 09 . 2 E x i s t e n c e a n d U n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s 3 5 49 . 3 L i n e a r I n d e p e n d e n c e a n d t h e G e n e r a l S o l u t i o n 3 5 89 . 4 H o m o g e n e o u s E q u a t i o n s w i t h C o n s t a n t C o e f f i c i e n t s 3 6 69 . 5 N o n h o m o g e n e o u s E q u a t i o n s w i t h C o n s t a n t C o e f f i c i e n t s 3 7 39 . 5 . 1 U n d e t e r m i n e d C o e f f i c i e n t s 3 7 39 . 5 . 2 V a r i a t i o n o f P a r a m e t e r s 3 7 79 . 5 . 3 A p p l i c a t i o n s 3 8 0R e v i e w E x e r c i s e s 3 8 7


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x v l

1 0 F O U R I E R S E R I E S1 0 . 1 I n t r o d u c t i o n1 0 . 2 P e r i o d i c i t y a n d O r t h o g o n a l i t y o f S i n e s a n d C o s i n e s1 0 . 3 F o u r i e r S e r i e s1 0 . 4 C o n v e r g e n c e o f F o u r i e r S e r i e s1 0 . 5 F o u r i e r S i n e a n d F o u r i e r C o s i n e S e r i e s

R e v i e w E x e r c i s e s

1 1 A N I N T R O D U C T I O N T O P A R T I A L D I F F E R E N T I A L E Q U A T I O N S

c o n t e n t s

3 9 03 9 03 9 44 0 14 0 94 1 8

1 1 . 1 I n t r o d u c t i o n 4 2 11 1 . 2 D e f i n i t i o n s a n d G e n e r a l C o m m e n t s 4 2 31 1 . 3 T h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n 4 2 71 1 . 4 S e p a r a t i o n o f V a r i a b l e s 4 3 31 1 . 5 I n i t i a l - B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s : A n O v e r v i e w 4 4 01 1 . 6 T h e H o m o g e n e o u s O n e - D i m e n s i o n a l W a v e E q u a t i o n : S e p a r a t i o no f V a r i a b l e s 4 4 11 1 . 7 T h e O n e - D i m e n s i o n a l H e a t E q u a t i o n 4 5 51 1 . 8 T h e P o t e n t i a l ( L a p l a c e ) E q u a t i o n 4 6 11 1 . 9 N o n h o m o g e n e o u s P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s : M e t h o d I 4 6 91 1 . 1 0 N o n h o m o g e n e o u s P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s : M e t h o d I I 4 7 5R e v i e w E x e r c i s e s 4 8 1

A P P E N D I X AD E T E R M I N A N T S A N D L I N E A R S Y S T E M S O F E Q U A T I O N S A P - 1A P P E N D I X BP A R T I A L - F R A C T I O N D E C O M P O S I T I O N A P - 1 2

A P P E N D I X CS O L U T I O N S O F P O L Y N O M I A L E Q U A T I O N S A P - 1 7A P P E N D I X DP R O O F O F T H E E X I S T E N C E A N D U N I Q U E N E S S T H E O R E M A P - 2 0A N S W E R S T O O D D - N U M B E R E D E X E R C I S E S A S - 1I N D E X I N - 1


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C H A P T E R 1

E l e m e n t a r y M e t h o d s -F i r s t - O r d e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s

1 1 I N T R O D U C T I O N A N D D E F I N I T I O N SD i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e e q u a t i o n s t h a t i n v o l v e d e r i v a t i v e s o f s o m e u n k n o w nf u n c t i o n ( s ) . A l t h o u g h s u c h e q u a t i o n s s h o u l d p r o b a b l y b e c a l l e d " d e r i v a t i v ee q u a t i o n s , " t h e t e r m " d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s " ( a e q u a t i o d i f f e r e n t i a l i s ) i n i t i a t e db y L e i b n i z i n 1 6 7 6 i s u n i v e r s a l l y u s e d . F o r e x a m p l e ,

y ' + x y = 3 ( 1 )y " + 5 y ' + 6 y = c o s x ( 2 )

Y " _ ( 1 + Y ' 2 ) ( x 2 + Y 2 ) ( 3 )d 2 u 8 2 u _a t e a x e 0 ( 4 )

a r e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . I n E q s . ( 1 ) - ( 3 ) t h e u n k n o w n f u n c t i o n i s r e p r e s e n t e db y y a n d i s a s s u m e d t o b e a f u n c t i o n o f t h e s i n g l e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e x , t h a ti s , y = y ( x ) . T h e a r g u m e n t x i n y ( x ) ( a n d i t s d e r i v a t i v e s ) i s u s u a l l y s u p p r e s s e df o r n o t a t i o n a l s i m p l i c i t y . T h e t e r m s y ' a n d y " i n E q s . ( 1 ) - ( 3 ) a r e t h e f i r s t a n ds e c o n d d e r i v a t i v e s , r e s p e c t i v e l y , o f t h e f u n c t i o n y ( x ) w i t h r e s p e c t t o x . I n E q .( 4 ) t h e u n k n o w n f u n c t i o n u i s a s s u m e d t o b e a f u n c t i o n o f t h e t w o i n d e p e n d e n tv a r i a b l e s t a n d x , t h a t i s , u = u ( t , x ) , a 2 u / a t e a n d a 2 u / a x e a r e t h e s e c o n d p a r t i a ld e r i v a t i v e s o f t h e f u n c t i o n u ( t , x ) w i t h r e s p e c t t o t a n d x , r e s p e c t i v e l y . E q u a t i o n( 4 ) i n v o l v e s p a r t i a l d e r i v a t i v e s a n d i s a p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n . E q u a t i o n s( 1 ) - ( 3 ) i n v o l v e o r d i n a r y d e r i v a t i v e s a n d a r e o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s .I n t h i s b o o k w e a r e p r i m a r i l y i n t e r e s t e d i n s t u d y i n g o r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s , h o w e v e r , a n i n t r o d u c t i o n t o d i f f e r e n c e e q u a t i o n s a n d a n i n t r o d u c t i o nt o p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e p r e s e n t e d i n C h a p t e r s 9 a n d 1 1 , r e s p e c t i v e l y .D E F I N I T I O N 1A n o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f o r d e r n i s a n e q u a t i o n t h a t i s , o r c a n b e p u t ,i n t h e f o r m

y " I = F ( x , y , Y . . . . . . y ( " ( 5 )w h e r e y , y . . . . . . y ( " > a r e a l l e v a l u a t e d a t x .


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2 1 E l e m e n t a r y M e t h o d s - F i r s t - O r d e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sT h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e x b e l o n g s t o s o m e i n t e r v a l I ( I m a y b e f i n i t e o ri n f i n i t e ) , t h e f u n c t i o n F i s g i v e n , a n d t h e f u n c t i o n y = y ( x ) i s u n k n o w n . F o r t h em o s t p a r t t h e f u n c t i o n s F a n d y w i l l b e r e a l v a l u e d . T h u s , E q . ( 1 ) i s a n o r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f o r d e r 1 a n d E q s . ( 2 ) a n d ( 3 ) a r e o r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o f o r d e r 2 .

D E F I N I T I O N 2A s o l u t i o n o f t h e o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 5 ) i s a f u n c t i o n y ( x ) d e f i n e d o v e ra s u b i n t e r v a l J C I w h i c h s a t i s f i e s E q . ( 5 ) i d e n t i c a l l y o v e r t h e i n t e r v a l J .

C l e a r l y , a n y s o l u t i o n y ( x ) o f E q . ( 5 ) s h o u l d h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :1 . y s h o u l d h a v e d e r i v a t i v e s a t l e a s t u p t o o r d e r n i n t h e i n t e r v a l J .2 . F o r e v e r y x i n J t h e p o i n t ( x , y ( x ) , y ' ( x ) , . . . , y " - " ( x ) ) s h o u l d l i e i n t h ed o m a i n o f d e f i n i t i o n o f t h e f u n c t i o n F , t h a t i s , F s h o u l d b e d e f i n e d a t t h i s p o i n t .3 . y " I ( x ) = F ( x , y ( x ) , y ' ( x ) , . . . , y " - ' " ( x ) ) f o r e v e r y x i n J .A s a n i l l u s t r a t i o n w e n o t e t h a t t h e f u n c t i o n y ( x ) = e ' i s a s o l u t i o n o f t h es e c o n d - o r d e r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y " - y = 0 . I n f a c t .

Y " ( x ) - Y ( x ) = ( e ' ) ' . _ e ' = e - e ' = 0 .C l e a r l y , e i s a s o l u t i o n o f y " - y = 0 v a l i d f o r a l l x i n t h e i n t e r v a l( - - , + x ) . A s a n o t h e r e x a m p l e , t h e f u n c t i o n y ( x ) = c o s x i s a s o l u t i o n o fy " + y = 0 o v e r t h e i n t e r v a l ( - - , + x ) . I n d e e d ,

y " ( x ) + y ( x ) = ( c o s x ) " + c o s x = - c o s x + c o s x = 0 .I n e a c h o f t h e i l l u s t r a t i o n s t h e s o l u t i o n i s v a l i d o n t h e w h o l e r e a l l i n eO n t h e o t h e r h a n d , y = V i s a s o l u t i o n o f t h e f i r s t - o r d e r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n y ' = 1 1 2 y v a l i d o n l y i n t h e i n t e r v a l ( 0 , + x ) a n d y = x ( i s as o l u t i o n o f t h e o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y ' = ( 1 - 2 x ) / 2 y v a l i d o n l y i n t h ei n t e r v a l ( 0 , 1 ) .A s w e h a v e s e e n , y = e i s a s o l u t i o n o f t h e o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o ny " - y = 0 . W e f u r t h e r o b s e r v e t h a t y = e - i s a l s o a s o l u t i o n a n d m o r e o v e ry = c , e + c Z e - ' i s a s o l u t i o n o f t h i s e q u a t i o n f o r a r b i t r a r y v a l u e s o f t h e c o n s t a n t sc , a n d c 2 . I t w i l l b e s h o w n i n C h a p t e r 2 t h a t y = c , e + c 2 e - ' i s t h e " g e n e r a ls o l u t i o n " o f t h e o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y " - y = 0 . B y t h e g e n e r a l

s o l u t i o n w e m e a n a s o l u t i o n w i t h t h e p r o p e r t y t h a t a n y s o l u t i o n o f y " - y =0 c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e f u n c t i o n c , e + c Z e - ' f o r s o m e s p e c i a l v a l u e s o f t h ec o n s t a n t s c , a n d c 2 . A l s o , i n C h a p t e r 2 w e w i l l s h o w t h a t t h e g e n e r a l s o l u t i o no f t h e o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y " + y = 0 i s g i v e n b y y ( x ) = c , c o s x+ c 2 s i n x f o r a r b i t r a r y v a l u e s o f t h e c o n s t a n t s c , a n d c 2 .I n t h i s c h a p t e r w e p r e s e n t e l e m e n t a r y m e t h o d s f o r f i n d i n g t h e s o l u t i o n s o fs o m e f i r s t - o r d e r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , t h a t i s , e q u a t i o n s o f t h e f o r my ' = F ( x , y ) , ( 6 )

t o g e t h e r w i t h s o m e i n t e r e s t i n g a p p l i c a t i o n s .T h e d i f f e r e n t i a l o f a f u n c t i o n y = y ( x ) i s b y d e f i n i t i o n g i v e n b y d y = y ' d x .


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1 . 1 I n t r o d u c t i o n a n d D e f i n i t i o n sW i t h t h i s i n m i n d , t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 6 ) s o m e t i m e s w i l l b e w r i t t e n i n t h ed i f f e r e n t i a l f o r m d y = F ( x , y ) d x o r i n a n a l g e b r a i c a l l y e q u i v a l e n t f o r m . F o re x a m p l e , t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

3 x 2 + 1 )x ' + 1 ( Yc a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m

1 1d y = r x 3 1 ( y + 1 ) J d x o r 3 x 2 3 x 2Y x ' + l y x ' +T h e r e a r e s e v e r a l t y p e s o f f i r s t - o r d e r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w h o s es o l u t i o n s c a n b e f o u n d e x p l i c i t l y o r i m p l i c i t l y b y i n t e g r a t i o n s . O f a l l t r a c t a b l et y p e s o f f i r s t - o r d e r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , t w o d e s e r v e s p e c i a l a t t e n t i o n :d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h v a r i a b l e s s e p a r a b l e , t h a t i s , e q u a t i o n s t h a t c a n b e p u ti n t o t h e f o r m

y ' = Q T Y ) o r P ( x ) d x = Q ( y ) d y ,a n d l i n e a r e q u a t i o n s , t h a t i s , e q u a t i o n s t h a t c a n b e p u t i n t o t h e f o r m

y ' + a ( x ) y = b ( x ) .B o t h a p p e a r f r e q u e n t l y i n a p p l i c a t i o n s , a n d m a n y o t h e r t y p e s o f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a r e r e d u c i b l e t o o n e o r t h e o t h e r o f t h e s e t y p e s b y m e a n s o f a s i m p l et r a n s f o r m a t i o n .

A P P L I C A T I O N S 1 . 1 . 1D i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a p p e a r f r e q u e n t l y i n m a t h e m a t i c a l m o d e l s t h a t a t t e m p tt o d e s c r i b e r e a l - l i f e s i t u a t i o n s . M a n y n a t u r a l l a w s a n d h y p o t h e s e s c a n b e t r a n s -l a t e d v i a m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e i n t o e q u a t i o n s i n v o l v i n g d e r i v a t i v e s . F o r e x -a m p l e , d e r i v a t i v e s a p p e a r i n p h y s i c s a s v e l o c i t i e s a n d a c c e l e r a t i o n s , i n g e o m e t r ya s s l o p e s , i n b i o l o g y a s r a t e s o f g r o w t h o f p o p u l a t i o n s , i n p s y c h o l o g y a s r a t e so f l e a r n i n g , i n c h e m i s t r y a s r e a c t i o n r a t e s , i n e c o n o m i c s a s r a t e s o f c h a n g e o ft h e c o s t o f l i v i n g , a n d i n f i n a n c e a s r a t e s o f g r o w t h o f i n v e s t m e n t s .I t i s t h e c a s e w i t h m a n y m a t h e m a t i c a l m o d e l s t h a t i n o r d e r t o o b t a i n a d i f -f e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t d e s c r i b e s a r e a l - l i f e p r o b l e m , w e u s u a l l y a s s u m e t h a t t h ea c t u a l s i t u a t i o n i s g o v e r n e d b y v e r y s i m p l e l a w s - w h i c h i s t o s a y t h a t w e o f t e nm a k e i d e a l i s t i c a s s u m p t i o n s . O n c e t h e m o d e l i s c o n s t r u c t e d i n t h e f o r m o f ad i f f e r e n t i a l e q u a t i o n , t h e n e x t s t e p i s t o s o l v e t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a n d u t i l i z et h e s o l u t i o n t o m a k e p r e d i c t i o n s c o n c e r n i n g t h e b e h a v i o r o f t h e r e a l p r o b l e m .I n c a s e t h e s e p r e d i c t i o n s a r e n o t i n r e a s o n a b l e a g r e e m e n t w i t h r e a l i t y , t h es c i e n t i s t m u s t r e c o n s i d e r t h e a s s u m p t i o n s t h a t l e d t o t h e m o d e l a n d a t t e m p t t oc o n s t r u c t a m o d e l c l o s e r t o r e a l i t y .F i r s t - o r d e r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e v e r y u s e f u l i n a p p l i c a t i o n s . L e tt h e f u n c t i o n y = y ( x ) r e p r e s e n t a n u n k n o w n q u a n t i t y t h a t w e w a n t t o s t u d y .W e k n o w f r o m c a l c u l u s t h a t t h e f i r s t d e r i v a t i v e y ' = d y / d x r e p r e s e n t s t h e r a t eo f c h a n g e o f y p e r u n i t c h a n g e i n x . I f t h i s r a t e o f c h a n g e i s k n o w n ( s a y , b y

3


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4 1 E l e m e n t a r y M e t h o d s - F i r s t - O r d e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n se x p e r i e n c e o r b y a p h y s i c a l l a w ) t o b e e q u a l t o a f u n c t i o n F ( x , y ) , t h e n t h eq u a n t i t y y s a t i s f i e s t h e f i r s t - o r d e r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y ' = F ( x , Y ) .W e n e x t g i v e s o m e s p e c i f i c i l l u s t r a t i o n s .

B i o l o g y I t h a s l o n g b e e n o b s e r v e d t h a t s o m e l a r g e c o l o n i e s o f b a c t e r i a t e n d t o g r o wa t a r a t e p r o p o r t i o n a l t o t h e n u m b e r o f b a c t e r i a p r e s e n t . F o r s u c h a c o l o n y , l e tN = N ( t ) b e t h e n u m b e r o f b a c t e r i a p r e s e n t a t a n y t i m e t . T h e n , i f k i s t h ec o n s t a n t o f p r o p o r t i o n a l i t y , t h e f u n c t i o n N = N ( t ) s a t i s f i e s t h e f i r s t - o r d e r o r -d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n 'I V = k N . ( 7 )

T h i s e q u a t i o n i s c a l l e d t h e M a l t h u s i a n l a w o f p o p u l a t i o n g r o w t h . T . R . M a l t h u so b s e r v e d i n 1 7 9 8 t h a t t h e p o p u l a t i o n o f E u r o p e s e e m e d t o b e d o u b l i n g a t r e g u l a rt i m e i n t e r v a l s , a n d s o h e c o n c l u d e d t h a t t h e r a t e o f p o p u l a t i o n i n c r e a s e i sp r o p o r t i o n a l t o t h e p o p u l a t i o n p r e s e n t . I n E q . ( 7 ) N s t a n d s f o r d N / d t . ( A s i sc u s t o m a r y , d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o x w i l l h e d e n o t e d b y p r i m e s a n d d e r i v -a t i v e s w i t h r e s p e c t t o t b y d o t s . ) I n t h i s i n s t a n c e i t i s t h e t i m e t h a t i s t h ei n d e p e n d e n t v a r i a b l e . E q u a t i o n ( 7 ) i s a s e p a r a b l e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a n d i t ss o l u t i o n N ( t ) = N ( 0 ) e " ' i s c o m p u t e d i n E x a m p l e 3 o f S e c t i o n 1 . 3 . H e r e N ( O ) i st h e n u m b e r o f b a c t e r i a p r e s e n t i n i t i a l l y , t h a t i s , a t t i m e t = 0 . T h e s o l u t i o n N ( t )c a n b e r e p r e s e n t e d g r a p h i c a l l y a s i n F i g u r e I . I .

N ( r )

N ( r ) - N ( 0 ) e "N ( 0 )

0F i g u r e 1 . 1

I t s h o u l d b e e m p h a s i z e d t h a t E q . ( 7 ) i s a m a t h e m a t i c a l m o d e l d e s c r i b i n g ac o l o n y o f b a c t e r i a t h a t g r o w s a c c o r d i n g t o a v e r y s i m p l e , p e r h a p s o v e r s i m p l i f i e d ,l a w : I t g r o w s a t a r a t e p r o p o r t i o n a l t o t h e n u m b e r o f b a c t e r i a p r e s e n t a t a n yt i m e t . O n t h e o t h e r h a n d , a s s u m i n g t h i s v e r y s i m p l e l a w o f g r o w t h l e a d s u s t oa v e r y s i m p l e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n . T h e s o l u t i o n , N ( t ) = N ( 0 ) e " , o f E q . ( 7 )p r o v i d e s u s w i t h a n a p p r o x i m a t i o n t o t h e a c t u a l s i z e o f t h i s c o l o n y o f b a c t e r i a .' S i n c e t h e f u n c t i o n N ( r ) t a k e s o n o n l y i n t e g r a l v a l u e s , i t i s n o t c o n t i n u o u s a n d s o n o t d i f f e r e n t i a b l e .H o w e v e r , i f t h e n u m b e r o f b a c t e r i a i s v e r y l a r g e , w e c a n a s s u m e t h a t i t c a n b e a p p r o x i m a t e d b y ad i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n N ( r ) , s i n c e t h e c h a n g e s i n t h e s i z e o f t h e p o p u l a t i o n o c c u r o v e r s h o r t t i m ei n t e r v a l s .


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1 . 1 I n t r o d u c t i o n a n d D e f i n i t i o n s 5C l e a r l y , a m o r e r e a l i s t i c m a t h e m a t i c a l m o d e l f o r t h e g r o w t h o f t h i s c o l o n y o fb a c t e r i a i s o b t a i n e d i f w e t a k e i n t o a c c o u n t s u c h r e a l i s t i c f a c t o r s a s o v e r c r o w d i n g ,l i m i t a t i o n s o f f o o d , a n d t h e l i k e . O f c o u r s e , t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n w i l l t h e nb e c o m e m o r e c o m p l e x . I t g o e s w i t h o u t s a y i n g t h a t a m a t h e m a t i c a l m o d e l t h a ti s i m p o s s i b l e t o h a n d l e m a t h e m a t i c a l l y i s u s e l e s s , a n d c o n s e q u e n t l y s o m e s i m -p l i f i c a t i o n s a n d m o d i f i c a t i o n s o f r e a l - l i f e l a w s a r e o f t e n n e c e s s a r y i n o r d e r t od e r i v e a m a t h e m a t i c a l l y t r a c t a b l e m o d e l .t o I t i s w e l l k n o w n i n p h a r m a c o l o g y 2 t h a t p e n i c i l l i n a n d m a n y o t h e r d r u g s a d - P h a r m a c o l o g ym i n i s t e r e d t o p a t i e n t s d i s a p p e a r f r o m t h e i r b o d i e s a c c o r d i n g t o t h e f o l l o w i n g D r u g D o s a g e ss i m p l e r u l e : I f y ( t ) i s t h e a m o u n t o f t h e d r u g i n a h u m a n b o d y a t t i m e t , . t h e nt h e r a t e o f c h a n g e y ( t ) o f t h e d r u g i s p r o p o r t i o n a l t o t h e a m o u n t p r e s e n t . T h a ti s , y ( t ) s a t i s f i e s t h e s e p a r a b l e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

y = - k y , ( 8 )

w h e r e k > 0 i s t h e c o n s t a n t o f p r o p o r t i o n a l i t y . T h e n e g a t i v e s i g n i n ( 8 ) i s d u et o t h e f a c t t h a t y ( t ) d e c r e a s e s a s t i n c r e a s e s , a n d h e n c e t h e d e r i v a t i v e o f y ( t )w i t h r e s p e c t t o t i s n e g a t i v e . F o r e a c h d r u g t h e c o n s t a n t k i s k n o w n e x p e r i m e n -t a l l y .T h e s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 8 ) i s ( s e e E x a m p l e 3 o f S e c t i o n 1 . 3 )y ( t ) = Y o e - r ` , ( 9 )

w h e r e y o = y ( O ) i s t h e i n i t i a l a m o u n t ( i n i t i a l d o s e ) o f t h e d r u g . A s w e s e e f r o mE q . ( 9 ) ( s e e a l s o F i g u r e 1 . 2 ) , t h e a m o u n t o f t h e d r u g i n t h e p a t i e n t ' s b o d y t e n d sY

0Y p e - A ,

0F i g u r e 1 . 2

t o z e r o a s t - > o c . H o w e v e r , i n m a n y c a s e s i t i s n e c e s s a r y t o m a i n t a i n ( a p p r o x -i m a t e l y ) a c o n s t a n t c o n c e n t r a t i o n ( a n d t h e r e f o r e a p p r o x i m a t e l y a c o n s t a n ta m o u n t ) o f t h e d r u g i n t h e p a t i e n t ' s b o d y f o r a l o n g t i m e . T o a c h i e v e t h i s i t i sn e c e s s a r y t o g i v e t h e p a t i e n t a n i n i t i a l b o o s t e r d o s e y o o f t h e d r u g a n d t h e n a te q u a l i n t e r v a l s o f t i m e , s a y e v e r y T h o u r s , g i v e t h e p a t i e n t a d o s e D o f t h e d r u g .' T h i s m o d e l , a s w e l l a s o t h e r m a t h e m a t i c a l m o d e l s i n m e d i c i n e , i s d i s c u s s e d b y J . S . R u s t a g i i n I n t .1 . M a t h . E d u c . S c i . T e c h n o l . 2 ( 1 9 7 1 ) : 1 9 3 - 2 0 3 .


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6 1 E l e m e n t a r y M e t h o d s - F i r s t - O r d e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sE q u a t i o n ( 9 ) i n d i c a t e s t h e a m o u n t o f t h e d r u g i n t h e p a t i e n t ' s b o d y a t a n y t i m et ; h e n c e , i t i s s i m p l e t o d e t e r m i n e t h e a m o u n t o f t h e d o s e D . I n f a c t , a t t i m eT , a n d b e f o r e w e a d m i n i s t e r t h e d o s e D , t h e a m o u n t o f t h e d r u g p r e s e n t i n t h eb o d y i s

y ( r ) = y o e - ' " .I f w e w a n t t o m a i n t a i n t h e i n i t i a l a m o u n t y o o f t h e d r u g i n t h e b o d y a t t h et i m e s T , 2 r , 3 T , . . . , t h e d o s e D s h o u l d s a t i s f y t h e e q u a t i o n

y o e - ' + D = y o .H e n c e , t h e d e s i r e d d o s e i s g i v e n b y t h e e q u a t i o n

D = y o ( 1 - e - k , ) ( 1 0 )

O p e r a t i o n s S o u t h w i c k a n d Z i o n t s ' d e v e l o p e d a n o p t i m a l c o n t r o l - t h e o r y a p p r o a c h t o t h eR e s e a r c h e d u c a t i o n - i n v e s t m e n t d e c i s i o n w h i c h l e d t h e m t o t h e f i r s t - o r d e r l i n e a r ( a l s os e p a r a b l e ) d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n x = 1 - k x , ( 1 1 )w h e r e x d e n o t e s t h e e d u c a t i o n o f a n i n d i v i d u a l a t t i m e t a n d t h e c o n s t a n t k i st h e r a t e a t w h i c h e d u c a t i o n i s b e i n g m a d e o b s o l e t e o r f o r g o t t e n .

P s y c h o l o g y I n l e a r n i n g t h e o r y t h e s e p a r a b l e f i r s t - o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nP ( t ) = a ( t ) G ( p ( t ) ) ( 1 2 )

i s a b a s i c m o d e l o f t h e i n s t r u c t o r / l e a r n e r i n t e r a c t i o n . ' H e r e G i s k n o w n a s t h ec h a r a c t e r i s t i c l e a r n i n g f u n c t i o n a n d d e p e n d s o n t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e l e a r n e ra n d o f t h e m a t e r i a l t o b e l e a r n e d , p ( t ) i s t h e s t a t e o f t h e l e a r n e r a t t i m e t , a n da ( t ) i s a m e a s u r e o f t h e i n t e n s i t y o f i n s t r u c t i o n [ t h e l a r g e r t h e v a l u e o f a ( t ) t h eg r e a t e r t h e l e a r n i n g r a t e o f t h e l e a r n e r , b u t a l s o ; t h e g r e a t e r t h e c o s t o f t h ei n s t r u c t i o n ] .M e c h a n i c s N e w t o n ' s s e c o n d l a w o f m o t i o n , w h i c h s t a t e s t h a t " t h e t i m e r a t e o f c h a n g eo f m o m e n t u m o f a b o d y i s p r o p o r t i o n a l t o t h e r e s u l t a n t f o r c e a c t i n g o n t h e b o d ya n d i s i n t h e d i r e c t i o n o f t h i s r e s u l t a n t f o r c e , " i m p l i e s i m m e d i a t e l y t h a t t h em o t i o n o f a n y b o d y i s d e s c r i b e d b y a n o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n . R e c a l lt h a t t h e m o m e n t u m o f a b o d y i s t h e p r o d u c t m y o f i t s m a s s a n d i t s v e l o c i t y v .I f F i s t h e r e s u l t a n t f o r c e a c t i n g o n t h e b o d y , t h e n

d t ( m v ) = k F , ( 1 3 )

' L . S o u t h w i c k a n d S . Z i o n t s , O p e r a t i o n s R e s . 2 2 ( 1 9 7 4 ) : 1 1 5 6 - 1 1 7 4 .V . G . C h a n t , J . M a t h . P s y c h o ! . 1 1 ( 1 9 7 4 ) : 1 3 2 - 1 5 8 .


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1 . 1 I n t r o d u c t i o n a n d D e f i n i t i o n sw h e r e k i s a c o n s t a n t o f p r o p o r t i o n a l i t y . E q u a t i o n ( 1 3 ) i s a n o r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n i n v w h o s e p a r t i c u l a r f o r m d e p e n d s o n m a n d F . T h e m a s s m c a n b ec o n s t a n t o r a f u n c t i o n o f t . A l s o , F c a n b e c o n s t a n t , a f u n c t i o n o f t , o r e v e n af u n c t i o n o f t a n d v .

K i r c h h o f f ' s v o l t a g e l a w s t a t e s t h a t , " t h e a l g e b r a i c s u m o f a l l v o l t a g e d r o p s E l e c t r i c C i r c u i t sa r o u n d a n e l e c t r i c c i r c u i t i s z e r o . " T h i s l a w a p p l i e d t o t h e R L - s e r i e s c i r c u i t i nF i g u r e 1 . 3 g i v e s r i s e t o t h e f i r s t - o r d e r l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( s e e a l s oS e c t i o n 1 . 4 )L I + R I = V ( t ) , ( 1 4 )

w h e r e I = 1 ( t ) i s t h e c u r r e n t i n t h e c i r c u i t a t t i m e t .

F i g u r e 1 . 3

C o n s i d e r t h e o n e - p a r a m e t e r f a m i l y o f c u r v e s g i v e n b y t h e e q u a t i o n O r t h o g o n a lF ( x , y ) = c . ( 1 5 ) T r a j e c t o r i e s

C o m p u t i n g t h e d i f f e r e n t i a l o f E q . ( 1 5 ) , w e o b t a i nF d x + F , d y = 0 ,w h e r e F a n d F , a r e t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f F w i t h r e s p e c t t o x a n d y , r e s p e c -t i v e l y . T h u s ,

d y _ _ E . ( 1 6 )d x F ,g i v e s t h e s l o p e o f e a c h c u r v e o f t h e f a m i l y ( 1 5 ) . W e w a n t t o c o m p u t e a n o t h e rf a m i l y o f c u r v e s s u c h t h a t e a c h m e m b e r o f t h e n e w f a m i l y c u t s e a c h m e m b e ro f t h e f a m i l y ( 1 5 ) a t r i g h t a n g l e s ; t h a t i s , w e w a n t t o c o m p u t e t h e o r t h o g o n a lt r a j e c t o r i e s o f t h e f a m i l y ( 1 5 ) . I n v i e w o f E q . ( 1 6 ) , t h e s l o p e o f t h e o r t h o g o n a lt r a j e c t o r i e s o f t h e f a m i l y ( 1 5 ) i s g i v e n b y [ t h e n e g a t i v e r e c i p r o c a l o f ( 1 6 ) ]

7

d y F r ( 1 7 )d x FT h e g e n e r a l s o l u t i o n o f E q . ( 1 7 ) g i v e s t h e o r t h o g o n a l t r a j e c t o r i e s o f t h e f a m i l y( 1 5 ) .


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8 1 E l e m e n t a r y M e t h o d s - F i r s t - O r d e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s

F i g u r e 1 . 4

T h e r e a r e m a n y p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n s a n d u s e s o f o r t h o g o n a l t r a j e c t o r i e s :1 . I n e l e c t r o s t a t i c f i e l d s t h e l i n e s o f f o r c e a r e o r t h o g o n a l t o t h e l i n e s o f c o n s t a n tp o t e n t i a l .2 . I n t w o - d i m e n s i o n a l f l o w s o f f l u i d s t h e l i n e s o f m o t i o n o f t h e f l o w - c a l l e ds t r e a m l i n e s - a r e o r t h o g o n a l t o t h e e q u i p o t e n t i a l l i n e s o f t h e f l o w ( s e e F i g u r e1 . 4 ) .3 . I n m e t e r o l o g y t h e o r t h o g o n a l t r a j e c t o r i e s o f t h e i s o b a r s ( c u r v e s c o n n e c t i n ga l l p o i n t s t h a t r e p o r t t h e s a m e b a r o m e t r i c p r e s s u r e ) g i v e t h e d i r e c t i o n o f t h ew i n d f r o m h i g h - t o l o w - p r e s s u r e a r e a s .W e h a v e g i v e n o n l y a f e w o f t h e m a n y a p p l i c a t i o n s o f f i r s t - o r d e r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . M a n y o t h e r s a r e d e v e l o p e d i n d e t a i l i n s u b s e q u e n t s e c -t i o n s . A d d i t i o n a l l y , w e p r e s e n t a n u m b e r o f a p p l i c a t i o n s i n t h e e x e r c i s e s . T h ee m p h a s i s t h e r e i s t w o f o l d : f i r s t , t o e x p o s e t h e r e a d e r t o t h e d i v e r s i t y o f m o d e l si n c o r p o r a t i n g o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ; a n d s e c o n d , t o s h a r p e n t h er e a d e r ' s s k i l l a t s o l v i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w h i l e s i m u l t a n e o u s l y e m p h a s i z i n gt h e f a c t t h a t m a n y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e n o t p r o d u c t s o f t h e i n s t r u c t o r ' si m a g i n a t i o n b u t r a t h e r a r e e x t r a c t e d f r o m r e a l - l i f e m o d e l s .E X E R C I S E SI n E x e r c i s e s 1 t h r o u g h 8 , a n s w e r t r u e o r f a l s e .1 . Y = e ' + 3 e - ` i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y " - y = 0 .

2 . y = 5 s i n x + 2 c o s x i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o ny " + y = 0 .3 . y = s i n 2 x i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y " - 4 y = 0 .4 . y = c o s 2 x i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y " + 4 y = 0 .5 . y = ( 1 / 2 x ) e ' 2 i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n x y ' + y = x e ' 2 .


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1 . 1 I n t r o d u c t i o n a n d D e f i n i t i o n s6 . Y = e ' i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y ' + y = 0 .7 . Y = e - i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y ' - y = 0 .

8 . y = 2 I n x + 4 i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nx 2 y " - x y ' + y = 2 I n x .I n E x e r c i s e s 9 t h r o u g h 1 4 , a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a n d a f u n c t i o n a r e l i s t e d . S h o wt h a t t h e f u n c t i o n i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n . I f m o r e t h a n o n ef u n c t i o n i s l i s t e d , s h o w t h a t b o t h f u n c t i o n s a r e s o l u t i o n s o f t h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n .

9 . y " + y ' = 2 ; 2 x , 2 x - 3t a n x 11 0 . y " - ( t a n x ) y ' - X y = X Y , ; x s e c x

1 1 . y " ' - 5 y " + 6 y ' = 0 ; e ' '1 2 . y " ' - 5 y " + 6 y ' = 0 ; e 2 ' , 11 3 . m s 1 2 g - < d 2 s )_ : 8 t 2 4 m t s d t ' J J

1 4 . Y " - 2 Y ' + Y = 1z ( Y - y ' ) ; e ' I n x1 5 . S h o w t h a t t h e f u n c t i o n s y , ( x ) = e - ' a n d y 2 ( x ) = x e - ' a r e s o l u t i o n s o f t h e

o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y " + 2 y ' + y = 0 .1 6 . S h o w t h a t t h e f u n c t i o n y ( x ) = c , e - ' + c , x e - ' + I i s a s o l u t i o n o f t h e o r -d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y " + 2 y ' + y = 1 f o r a n y v a l u e s o f t h e c o n s t a n t sc , a n d c 2 .1 7 . S h o w t h a t t h e f u n c t i o n s y , ( x ) = 0 a n d y 2 ( x ) = x 2 / 4 , x > - 0 , a r e s o l u t i o n s o ft h e o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

y , = y i n1 8 . S h o w t h a t t h e f u n c t i o n

1 0 f o r x < - cY ( x ) _ ( x - c ) 2

f o r a n y r e a l n u m b e r c , i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nY ' = y a

( W a r n i n g : D o n ' t f o r g e t t o s h o w t h a t t h e s o l u t i o n i s d i f f e r e n t i a b l e e v e r y -w h e r e a n d i n p a r t i c u l a r a t x = c . )

f o r x > c ,

9


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1 0 1 E l e m e n t a r y M e t h o d s - F i r s t - O r d e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s1 9 . S h o w t h a t t h e f u n c t i o n

x ( t ) = 1 + k x o - 1 e - " ' ' k kw h e r e x o a n d t o a r e c o n s t a n t s , i s a s o l u t i o n o f E q . ( 1 1 ) . S h o w a l s o t h a t t h i ss o l u t i o n p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t ( t o ) x o ) ; t h a t i s , x ( t o ) = x o .2 0 . S h o w t h a t N ( t ) = c e k ' f o r a n y c o n s t a n t c i s a s o l u t i o n o f E q . ( 7 ) . W h a t i st h e m e a n i n g o f t h e c o n s t a n t c ?

2 1 . F i n d t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f t h e o r t h o g o n a l t r a j e c t o r i e s o f t h e f a m i l yo f s t r a i g h t l i n e s y = c x . U s i n g y o u r g e o m e t r i c i n t u i t i o n , g u e s s t h e s o l u t i o no f t h e r e s u l t i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n .I n E x e r c i s e s 2 2 t h r o u g h 2 8 , a n s w e r t r u e o r f a l s e .2 2 . y = x e i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y ' - 2 y = e ' ( 1 - x ) .2 3 . Y = x = i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y " ' = 0 .

2 4 . y = x + 1 i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y y ' - y 2 = x 2 .2 5 . Y = s i n e x i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y " + y = c o s t X .2 6 . y = - 1 + e - i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y " = y ' ( y ' + y ) .

2 7 . y = - 3 x i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y ' _ X 2 + y 2YX 2 +2 8 . y = - 4 3 x x i s a s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y ' y 2Y

2 9 . V e r i f y t h a t e a c h m e m b e r o f t h e o n e - p a r a m e t e r f a m i l y o f c u r v e sx 2 + y 2 = 2 c x

c u t s e v e r y m e m b e r o f t h e o n e - p a r a m e t e r f a m i l y o f c u r v e sx 2 + y 2 = 2 k y

a t r i g h t a n g l e s a n d v i c e v e r s a . ( H i n t : S h o w t h a t s l o p e s a r e n e g a t i v e r e c i p -r o c a l s . )3 0 . P r o v e t h a t i f t h e f a m i l y o f s o l u t i o n s o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

y ' + p ( x ) y = q ( x ) , p ( x ) q ( x ) 0 0i s c u t b y t h e l i n e x = k , t h e t a n g e n t s t o e a c h m e m b e r o f t h e f a m i l y a t t h ep o i n t s o f i n t e r s e c t i o n a r e c o n c u r r e n t . ' [ H i n t : T h e e q u a t i o n o f t h e t a n g e n tl i n e t o t h e s o l u t i o n a t t h e p o i n t ( k , c ) i s y - c = [ q ( k ) - c p ( k ) ] ( x - k ) ,a n d t h i s e q u a t i o n p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t [ k + 1 / p ( k ) , q ( k ) l p ( k ) . ]

' F r o m t h e W i l l i a m L o w e l l P u t n a m M a t h e m a t i c a l C o m p e t i t i o n , 1 9 5 4 . S e e A m e r . M a t h . M o n t h l y 6 1( 1 9 5 4 ) : 5 4 5 .


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1 . 2 E x i s t e n c e a n d U n i q u e n e s s

1 2 E X I S T E N C E A N D U N I Q U E N E S SW e s a w i n t h e l a s t s e c t i o n t h a t f i r s t - o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o c c u r i n m a n yd i v e r s e m a t h e m a t i c a l m o d e l s . N a t u r a l l y , t h e m o d e l s a r e u s e f u l i f t h e r e s u l t i n gd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n c a n b e s o l v e d e x p l i c i t l y o r a t l e a s t i f w e c a n p r e d i c t s o m eo f t h e p r o p e r t i e s o f i t s s o l u t i o n s . B e f o r e w e a t t e m p t t o d i s c o v e r a n y i n g e n i o u st e c h n i q u e t o s o l v e a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n , i t w o u l d b e v e r y u s e f u l t o k n o ww h e t h e r t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n h a s a n y s o l u t i o n s a t a l l . T h a t i s , d o t h e r e e x i s ts o l u t i o n s t o t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ? F o r e x a m p l e , t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n( y ' ) 2 + y 2 + I = 0 h a s n o r e a l s o l u t i o n s i n c e t h e l e f t - h a n d s i d e i s a l w a y s p o s i t i v e .T h e g e n e r a l f o r m o f a f i r s t - o r d e r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i s

y ' = F ( x , y ) . ( 1 )F o r t h e s a k e o f m o t i v a t i o n , a s s u m e t h a t E q . ( 1 ) r e p r e s e n t s t h e m o t i o n o f ap a r t i c l e w h o s e v e l o c i t y a t t i m e x i s g i v e n b y F ( x , y ) , w h e r e y i s t h e p o s i t i o n ( t h es t a t e ) o f t h e p a r t i c l e a t t i m e x . S i n c e w e i m a g i n e t h a t w e a r e o b s e r v i n g t h em o t i o n o f t h e p a r t i c l e , i t i s p l a u s i b l e t h a t i f w e k n o w i t s p o s i t i o n y 6 a t t i m e x o ,t h a t i s , i f

Y ( x o ) = Y o ( 2 )w e s h o u l d b e a b l e t o f i n d i t s p o s i t i o n a t a l a t e r t i m e x . S t a r t i n g a t t i m e x o t h ep a r t i c l e w i l l m o v e a n d w i l l m o v e i n a u n i q u e w a y . T h a t i s , t h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( 1 ) h a s a s o l u t i o n t h a t s a t i s f i e s t h e c o n d i t i o n ( 2 ) , a n d m o r e o v e r i t h a so n l y o n e s o l u t i o n , t h a t i s , t h e m o t i o n t h a t w e a r e o b s e r v i n g . T h e c o n d i t i o n ( 2 )i s c a l l e d a n i n i t i a l c o n d i t i o n a n d E q . ( 1 ) t o g e t h e r w i t h t h e i n i t i a l c o n d i t i o n ( 2 )i s c a l l e d a n i n i t i a l v a l u e p r o b l e m ( I V P ) . T h e t e r m " i n i t i a l " h a s b e e n a d o p t e df r o m p h y s i c s . I n E q . ( 2 ) y o i s t h e i n i t i a l p o s i t i o n o f t h e p a r t i c l e a t t h e i n i t i a l t i m e

x o . O n t h e b a s i s o f t h e m o t i v a t i o n a b o v e w e m a y e x p e c t t h a t a n I V P w h i c h i s ar e a s o n a b l e m a t h e m a t i c a l m o d e l o f a r e a l - l i f e s i t u a t i o n s h o u l d h a v e a s o l u t i o n( e x i s t e n c e ) , a n d i n f a c t i t s h o u l d h a v e o n l y o n e s o l u t i o n ( u n i q u e n e s s ) . W e s h a l ln o w s t a t e ( s e e A p p e n d i x D f o r a p r o o f ) ' a b a s i c e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s st h e o r e m f o r t h e I V P ( 1 ) - ( 2 ) w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f a n y p h y s i c a l c o n s i d e r a t i o n sa n d w h i c h c o v e r s a w i d e c l a s s o f f i r s t - o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s .T H E O R E M 1C o n s i d e r t h e I V P

y ' = F ( x , y ) , y ( x o ) = y o .

1 1

' T h i s t h e o r e m a n d m a n y o t h e r s t h a t a p p e a r i n t h i s t e x t a r e t r u l y i m p o r t a n t f o r a n o v e r - a l l a p p r e c i a t i o no f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . O f t e n t h e p r o o f s o f t h e s e t h e o r e m s r e q u i r e m a t h e m a t i c a l s o p h i s t i c a t i o nw h i c h i s c u s t o m a r i l y b e y o n d t h e s c o p e o f a n e l e m e n t a r y t r e a t m e n t . T h e r e a d e r c a n r e s t a s s u r e d t h a tt h e s e t h e o r e m s a r e a c c u r a t e l y p r e s e n t e d a n d t h a t t h e i r p r o o f s h a v e b e e n s a t i s f a c t o r i l y s c r u t i n i z e d .S u c h p r o o f s c a n b e f o u n d i n a l m o s t a n y a d v a n c e d t e x t o n d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s .


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1 2 1 E l e m e n t a r y M e t h o d s - F i r s t - O r d e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sA s s u m e t h a t t h e f u n c t i o n s F a n d a F l o y a r e c o n t i n u o u s i n s o m e r e c t a n g l e

I ( X , Y ) : x x o A A > O , B > 0- y o ! 5 ; B 'a b o u t t h e p o i n t ( x o , y o ) . T h e n t h e r e i s a p o s i t i v e n u m b e r h : 5 A s u c h t h a t th a s o n e a n d o n l y o n e s o l u t i o n i n t h e i n t e r v a l x - x o ' < I t .

T h u s , i n t h e n o t a t i o n o f D e f i n i t i o n I o f S e c t i o n 1 . 11 = j x : i x - x o l < A I a n d J = I x : x - x o ; s h j .L e t u s i l l u s t r a t e t h i s t h e o r e m b y a f e w e x a m p l e s .

E X A M P L E 1 S h o w t h a t t h e I V PY ' = x ' + Y 2 ( 3 )

Y ( 0 ) = 0 ( 4 )h a s a u n i q u e s o l u t i o n i n s o m e i n t e r v a l o f t h e f o r m - h s x : 5 h .P r o o f H e r e F ( x , y ) = x ' + y ' a n d a F l a y = 2 y a r e c o n t i n u o u s i n a n y r e c t a n g l e9 t a b o u t ( 0 , 0 ) . B y T h e o r e m 1 t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e n u m b e r h s u c h t h a t t h eI V P ( 3 ) - ( 4 ) h a s a u n i q u e s o l u t i o n i n t h e i n t e r v a l I x - 0 < - h ; t h a t i s ,- h < _ x : 5 h .E X A M P L E 2 A s s u m e t h a t t h e c o e f f i c i e n t s a ( x ) a n d b ( x ) o f t h e f i r s t - o r d e r l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

y ' + a ( x ) y = b ( x ) ( 5 )a r e c o n t i n u o u s i n s o m e o p e n i n t e r v a l 1 . S h o w t h a t E q . ( 5 ) h a s a u n i q u e s o l u t i o nt h r o u g h a n y p o i n t ( x o , y o ) w h e r e x o E 1 .

S o l u t i o n C h o o s e a n u m b e r A s u c h t h a t t h e i n t e r v a l x - x o s A i s c o n t a i n e di n t h e i n t e r v a l I . T h e n F ( x , y ) = b ( x ) - a ( x ) y a n d F F , ( x , y ) = - a ( x ) a r ec o n t i n u o u s i nx I x - x 0 I : r A l

B y T h e o r e m 1 , E q . ( 5 ) h a s a u n i q u e s o l u t i o n s a t i s f y i n g t h e i n i t i a l c o n d i t i o ny ( x o ) = y o [ i n o t h e r w o r d s , t h r o u g h t h e p o i n t ( x o , y o ) ] , f o r a n y r e a l n u m b e rY o .

R E M A R K 1 F o r l i n e a r e q u a t i o n s s u c h a s E q . ( 5 ) , o n e c a n p r o v e t h a t i t s s o l u t i o n se x i s t t h r o u g h o u t a n y i n t e r v a i a b o u t x o i n w h i c h t h e c o e f f i c i e n t s a ( x ) a n d b ( x )a r e c o n t i n u o u s . F o r e x a m p l e , t h e I V P


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y ' + x I 2 y = 1 n xy ( l ) = 3

h a s a u n i q u e s o l u t i o n i n t h e i n t e r v a l ( 0 , 2 ) , t h e I V Py ' + 2 ' v = I n xx -

y ( 3 ) = - 1h a s a u n i q u e s o l u t i o n i n t h e i n t e r v a l ( 2 , x ) , a n d t h e I V P

Y ' + 1 y = I n I x Ix - 2y ( - 1 ) = 5

h a s a u n i q u e s o l u t i o n i n t h e i n v e r v a l ( - - , 0 ) .E X A M P L E 3 T h e f u n c t i o n s y , ( x ) 0 a n d y 2 ( x ) = x 2 / 4 a r e t w o d i f f e r e n ts o l u t i o n s o f t h e I V P

I s t h i s i n v i o l a t i o n o f T h e o r e m 1 ?

Y ' = Y 1 2 ( 6 )

Y ( 0 ) = 0 . ( 7 )

S o l u t i o n H e r e F ( x , y ) = y 1 2 a n d F Y ( x , y ) = } y - 1 2 . S i n c e F Y i s n o t c o n t i n u o u sa t t h e p o i n t ( 0 , 0 ) , o n e o f t h e h y p o t h e s e s o f T h e o r e m I i s v i o l a t e d , a n d c o n -s e q u e n t l y t h e r e i s n o g u a r a n t e e t h a t t h e I V P ( 6 ) - ( 7 ) h a s a u n i q u e s o l u t i o n . I nf a c t , i n a d d i t i o n t o y , a n d Y 2 , t h e I V P ( 6 ) - ( 7 ) h a s i n f i n i t e l y m a n y s o l u t i o n st h r o u g h t h e p o i n t ( 0 , 0 ) . F o r e a c h c > 0 , t h e s e s o l u t i o n s a r e g i v e n b y1 0 , x ' 5 c

Y ( x ) = ( x - c ) 24

a n d t h e i r g r a p h s a r e g i v e n i n F i g u r e 1 . 5 .c < x

R E M A R K 2 A s w e h a v e s e e n i n E x a m p l e 3 f o r t h e I V P ( 6 ) - ( 7 ) , w e h a v e e x -i s t e n c e o f s o l u t i o n s b u t n o t u n i q u e n e s s . U n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s o f i n i t i a l v a l u ep r o b l e m s i s v e r y i m p o r t a n t . W h e n w e k n o w t h a t a n I V P h a s a u n i q u e s o l u t i o nw e c a n a p p l y a n y m e t h o d ( i n c l u d i n g g u e s s i n g ) t o f i n d i t s s o l u t i o n . F o r e x a m p l e ,w e k n o w t h a t t h e I V P

'

1 3

Y , + x y = 0 ( 8 )Y ( 0 ) = 0 ( 9 )


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1 4 1 E l e m e n t a r y M e t h o d s - - F i r s t - O r d e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sY

0 C ,

Y

0

C = > C J X

Y

X 0

F i g u r e 1 . 5h a s a u n i q u e s o l u t i o n . J u s t b y i n s p e c t i o n w e s e e t h a t y = 0 s a t i s f i e s t h e I V P .T h u s , y ( x ) = 0 i s t h e o n l y s o l u t i o n o f t h e I V P ( 8 ) - ( 9 ) a n d n o f u r t h e r w o r k i sr e q u i r e d i n s o l v i n g t h i s I V P .

T h e o r e m 1 g i v e s c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h a f i r s t - o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o np o s s e s s e s a u n i q u e s o l u t i o n . K n o w i n g t h a t a s o l u t i o n e x i s t s , w e d e s i r e t o d e v e l o pm e t h o d s f o r d e t e r m i n i n g t h i s s o l u t i o n e i t h e r e x a c t l y o r a p p r o x i m a t e l y . T h ef o l l o w i n g m e t h o d , c a l l e d t h e m e t h o d o f i s o c l i n e s , i s u s e f u l i n f i n d i n g a n a p -p r o x i m a t e s o l u t i o n .C o n s i d e r a g a i n t h e f i r s t - o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o ny ' = F ( x , Y ) . ( 1 0 )

F o r a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 1 0 ) a n d i t s s o l u t i o n s ,i t i s u s e f u l t o i n t e r p r e t y ' a s t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e d r a w n t o t h e s o l u t i o na t t h e p o i n t ( x , y ) . T h e n a t e a c h p o i n t ( x o , y o ) i n t h e d o m a i n D o f F , t h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 1 0 ) a s s i g n s a s l o p e y ' e q u a l t o F ( x o , y o ) . H e n c e , i f w ek n o w t h a t ( 1 0 ) h a s a s o l u t i o n t h r o u g h a g i v e n p o i n t ( x o , y o ) , t h e n ( w i t h o u tk n o w i n g t h e s o l u t i o n e x p l i c i t l y ) w e k n o w i m m e d i a t e l y t h e e q u a t i o n o f t h e t a n -g e n t l i n e t o t h i s s o l u t i o n a t t h e p o i n t ( x o , y o ) . I n p a r t i c u l a r , i t s s l o p e i s F ( x o , y o ) .A s h o r t s e g m e n t a l o n g t h i s t a n g e n t a b o u t ( x o , y o ) w i l l g i v e u s , g r a p h i c a l l y , a na p p r o x i m a t i o n t o t h e t r u e s o l u t i o n o f ( 1 0 ) n e a r t h e p o i n t ( x o , y o ) . T h u s f o rg r a p h i c a l a p p r o x i m a t i o n s o f t h e s o l u t i o n s o f ( 1 0 ) i t i s u s e f u l t o d r a w a s h o r t l i n es e g m e n t a t e a c h p o i n t ( a , b ) E D w i t h s l o p e F ( a , b ) . S u c h l i n e s e g m e n t s a r ec a l l e d l i n e a r e l e m e n t s . T h e t o t a l i t y o f a l l l i n e a r e l e m e n t s i s c a l l e d t h e d i r e c t i o n

f i e l d o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 1 0 ) . T h e c o n s t r u c t i o n o f t h e d i r e c t i o n f i e l d c a n


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Y 4

I

I I I I V I I 'F i g u r e 1 . 6

b e c a r r i e d o u t m o r e e f f i c i e n t l y b y s e t t i n g F ( x , y ) = c a n d r e a l i z i n g t h a t f o r a n yc o n s t a n t c a l l p o i n t s o n t h e ( l e v e l ) c u r v e F ( x , y ) = c h a v e t h e s a m e s l o p e c .T h i s i s t h e m e t h o d o f i s o c l i n e s ( e q u a l s l o p e s ) .F o r e x a m p l e , t h e i s o c l i n e s o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o ny ' = x 2 + y 2 ( 1 1 )

a r e t h e c i r c l e s x 2 + y 2 = c , c e n t e r e d a t t h e o r i g i n ( 0 , 0 ) w i t h r a d i u s \ ( s e eF i g u r e 1 . 6 ) . A t e a c h p o i n t o n t h e c i r c l e x 2 + y 2 = c t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nd e f i n e s t h e s l o p e c . T h e r e f o r e , t h e l i n e a r e l e m e n t s o f t h e d i r e c t i o n f i e l d f o r a l lt h e s e p o i n t s a r e p a r a l l e l , a n d e a c h o n e o f t h e m h a s s l o p e c . I n F i g u r e 1 . 6 w eh a v e d r a w n a f e w i s o c l i n e s ( f o r c = 1 , 4 , 9 , 1 6 ) a n d l i n e a r e l e m e n t s w h i c h g i v ea g o o d i d e a o f t h e d i r e c t i o n f i e l d o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 1 1 ) .N o w s u p p o s e t h a t w e w a n t t o f i n d a g r a p h i c a l a p p r o x i m a t i o n o f t h e s o l u t i o no f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 1 0 ) w h i c h g o e s t h r o u g h t h e p o i n t ( x o , y o ) . F i r s t w ed r a w a f e w i s o c l i n e s C C 2 , C . . . c o r r e s p o n d i n g t o t h e v a l u e s c = c c 2 , c. . . I C ; i s t h e c u r v e F ( x , y ) = c ; ; s e e F i g u r e 1 . 7 ] . T h r o u g h t h e p o i n t ( x o , y o ) w e

( x o , Y O ) " C 2

1 5

F i g u r e 1 . 7


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1 6 1 E l e m e n t a r y M e t h o d s - F i r s t - O r d e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sd r a w t h e l i n e a r e l e m e n t w i t h s l o p e ! x 0 , y o ) a n d e x t e n d i t u n t i l i t m e e t s t h ei s o c l i n e C , a t a p o i n t A . T h r o u g h A , w e d r a w t h e l i n e a r e l e m e n t w i t h s l o p e c ,u n t i l i t m e e t s t h e i s o c l i n e C 2 a t a p o i n t A 2 . P r o c e e d i n g i n t h i s f a s h i o n w e c o n s t r u c ta p o l y g o n a l c u r v e t h r o u g h ( x 0 , y o ) w h i c h i s a n a p p r o x i m a t i o n o f t h e t r u e s o l u t i o no f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h r o u g h t h a t p o i n t .

I n F i g u r e 1 . 6 w e h a v e d r a w n a n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( 1 1 ) t h r o u g h t h e p o i n t ( 0 , 0 ) . N o t e t h a t , f r o m E x a m p l e 1 , t h e d i f f e r -e n t i a l e q u a t i o n ( 1 1 ) h a s a u n i q u e s o l u t i o n t h r o u g h ( 0 , 0 ) .E X E R C I S E SI n E x e r c i s e s 1 t h r o u g h 6 , c h e c k w h e t h e r t h e h y p o t h e s e s o f T h e o r e m 1 a r es a t i s f i e d .

1 . y ' + x y = 3 2 . x y ' + y = 3 3 . y ' = x + yY ( O ) = 0 y ( o ) = 1 y ( o ) _ - 14 . y ' = Y ' 5 . Y ' = Y v 3 x y6 . Y x + y

Y ( 1 ) = I Y ( 0 ) = 0 Y ( l ) _ - I

7 . R e v i e w R e m a r k 1 o f t h i s s e c t i o n a n d a p p l y i t t o t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nx y + 2 x + 3 y = I n : x - 2

f o r i t s s o l u t i o n s t h r o u g h t h e p o i n t s ( - 3 , 0 ) , ( - 1 , 5 ) , ( 1 , - 7 ) , a n d ( 3 , 0 ) .8 . A s t r o n o m y I n a n a r t i c l e ' c o n c e r n i n g t h e a c c u m u l a t i o n p r o c e s s e s i n t h ep r i m i t i v e s o l a r n e b u l a , t h e f o l l o w i n g f i r s t - o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n w a so b t a i n e d :

d x a x `d t ( b - B t ) 3 a

w h e r e a , b , a n d B a r e c o n s t a n t s . F i n d a l l p o i n t s ( t ( , , x 0 ) t h r o u g h w h i c h t h i sd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n h a s u n i q u e s o l u t i o n s .9 . S h o w t h a t t h e o n l y s o l u t i o n o f t h e I V Px y ' - y = 1

y ( 2 ) = 3i s y ( x ) = 2 z - 1 .

I n E x e r c i s e s 1 0 t h r o u g h 1 3 , a n s w e r t r u e o r f a l s e .

' A . G . W . C a m e r o n , I c a r u s 1 8 ( 1 9 7 3 ) : 4 0 7 - 4 5 0 .


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1 . 3 V a r i a b l e s S e p a r a b l e1 0 . T h e u n i q u e s o l u t i o n o f t h e I V Py ' - x y = 1 - x 2

Y ( 0 ) = 0i s y ( x ) = - x .1 1 . T h e o n l y s o l u t i o n o f t h e I V Py ' - x y = I - x 2

Y ( o ) = 0i s Y ( x ) = X .

1 2 . T h e u n i q u e s o l u t i o n o f t h e I V Px y ' + y 2 = 1

y ( - 2 ) = Ii s y ( x ) = 1 .

1 3 . T h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y ' = y J 4 h a s a u n i q u e s o l u t i o n t h r o u g h t h e p o i n t( 0 , 0 ) b u t n o t t h r o u g h t h e p o i n t ( 2 , 0 ) .U s e t h e m e t h o d o f i s o c l i n e s t o f i n d g r a p h i c a l a p p r o x i m a t i o n s t o t h e s o l u t i o n so f t h e f o l l o w i n g I V P s .1 4 . y ' = y - x 1 5 . y ' = x y 1 6 . y ' = x 2 + y 2

Y ( O ) = 0 y ( 1 ) = 2 y ( 0 ) = 1

1 . 3 V A R I A B L E S S E P A R A B L EA s e p a r a b l e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e f a c t t h a t t h e t w o v a r i -a b l e s o f t h e e q u a t i o n t o g e t h e r w i t h t h e i r r e s p e c t i v e d i f f e r e n t i a l s c a n b e p l a c e do n o p p o s i t e s i d e s o f t h e e q u a t i o n . I n s u c h e q u a t i o n s t h e e q u a l i t y s i g n " s e p a r a t e s "o n e v a r i a b l e f r o m t h e o t h e r . A l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n s e n a b l e u s t o w r i t e s e p a -r a b l e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t h e f o r m y ' = P ( x ) / Q ( y ) o r , m o r e e x p l i c i t l y ,Q ( y ) d y = P ( x ) d x . ( 1 )

T o o b t a i n t h e g e n e r a l s o l u t i o n o f a s e p a r a b l e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n w e f i r s ts e p a r a t e t h e t w o v a r i a b l e s a s i n E q . ( 1 ) a n d t h e n i n t e g r a t e b o t h s i d e s , t o o b t a i nf P ( x ) d x = f Q ( y ) d y + c , ( 2 )

w h e r e c i s a n a r b i t r a r y c o n s t a n t o f i n t e g r a t i o n . A f t e r p e r f o r m i n g t h e i n t e g r a t i o n si n E q . ( 2 ) , i t i s d e s i r a b l e t o s o l v e t h e r e s u l t i n g e x p r e s s i o n f o r t h e d e p e n d e n tv a r i a b l e y , t h e r e b y o b t a i n i n g y e x p l i c i t l y i n t e r m s o f x . I f t h i s i s n o t p o s s i b l e o rc o n v e n i e n t , t h e n E q . ( 2 ) g i v e s i m p l i c i t l y t h e g e n e r a l s o l u t i o n o f E q . ( 1 ) .

1 7


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1 8 1 E l e m e n t a r y M e t h o d s - F i r s t - O r d e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sT h e f o l l o w i n g a r e e x a m p l e s o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h a t a r e s e p a r a b l e :

x d x - ( 5 y ' + 3 ) d y = 0 ( 3 )2 x ( y 2 + y ) d x + ( x ' - 1 ) y d y = 0 ( 4 )

e ` - ' y ' = s i n x . ( 5 )I n f a c t , t h e y c a n b e b r o u g h t , r e s p e c t i v e l y , i n t o t h e f o r m s ( 3 ' ) , ( 4 ' ) , a n d ( 5 ' ) :

x d x = ( 5 y ' + 3 ) d y ( 3 ' )x 2 2 l d x = - y I d y , f o r x 1 . y # O , y # - l ( 4 ' )

e " ' d y = e - ' s i n x d x . ( 5 ' )

E X A M P L E 1 F i n d t h e g e n e r a l s o l u t i o n o f E q . ( 3 ) .S o l u t i o n A s w e h a v e s e e n , E q . ( 3 ) i s s e p a r a b l e b e c a u s e i t c a n b e w r i t t e n i nt h e f o r m ( 3 ' ) , w h e r e t h e v a r i a b l e s x a n d y a r e s e p a r a t e d . I n t e g r a t i n g b o t h s i d e so f E q . ( 3 ' ) , w e o b t a i nT h u s ,

f x d x = J ( 5 y 4 + 3 ) d y + c .Z x 2 = y ` + 3 y 4 c

i s a n i m p l i c i t r e p r e s e n t a t i o n o f t h e g e n e r a l s o l u t i o n o f E q . ( 3 ) .E X A M P L E 2 S o l v e t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 4 ) .S o l u t i o n T h e v a r i a b l e s o f E q . ( 4 ) c a n b e s e p a r a t e d a s i n E q . ( 4 ' ) . I n t e g r a t i n gb o t h s i d e s o f E q . ( 4 ' ) y i e l d s

l n j x 2 - 1 - I n I y + I 1 + c .T h u s , ' l n I x 2 - 1 1 + I n I y + 1 1 = c ' I n I ( x 2 - I ) ( y + 1 ) 1 = c .

T a k i n g e x p o n e n t i a l s o f b o t h s i d e s a n d u s i n g t h e f a c t t h a t e ' " ' = p , w e h a v ei ( x 2 - I ) ( y + 1 ) 1 = e ` ( x 2 - 1 ) ( y + 1 ) = e ` .

S i n c e c i s a n a r b i t r a r y c o n s t a n t , c l e a r l y e ` i s a g a i n a n a r b i t r a r y c o n s t a n t ,d i f f e r e n t t h a n z e r o , a n d f o r e c o n o m y i n n o t a t i o n w e c a n s t i l l d e n o t e i t b y c w i t hc * 0 . I n w h a t f o l l o w s w e s h a l l u s e t h i s c o n v e n t i o n f r e q u e n t l y .

T h e s y m b o l s t a n d s f o r " i m p l y " ( o r " i m p l i e s " ) , " i t f o l l o w s . " " t h e n , " a n d w i l l b e u s e d w h e na p p r o p r i a t e .


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1 . 3 V a r i a b l e s S e p a r a b l e

( x 2 - 1 ) ( Y + 1 ) = c = > Y = - I + x 2 c # 0 .N o w , d o n o t f o r g e t t h a t E q . ( 4 ' ) i s o b t a i n e d f r o m E q . ( 4 ) b y d i v i d i n g t h r o u g hb y t h e e x p r e s s i o n ( x 2 - 1 ) ( y 2 + y ) . T h u s , w e s h o u l d e n s u r e t h a t t h i s e x p r e s s i o ni s n o t z e r o . H e n c e , w e r e q u i r e t h a t x t 1 , y * - 1 , a n d y 0 . W e m u s tf i n a l l y e x a m i n e w h a t h a p p e n s w h e n x = 1 a n d w h e n y = 0 o r y = - 1 . G o i n gb a c k t o t h e o r i g i n a l E q . ( 4 ) w e s e e t h a t t h e f o u r l i n e s x = = 1 , y = 0 ,a n d y = - 1 a l s o s a t i s f y t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 4 ) . I f w e r e l a x t h e r e -s t r i c t i o n c * 0 , t h e c u r v e y = - 1 w i l l b e c o n t a i n e d i n t h e f o r m u l ay = - 1 + [ c l ( x 2 - 1 ) ] f o r c = 0 . H o w e v e r , t h e c u r v e s x = 1 a n d y = 0 a r en o t c o n t a i n e d i n t h e s a m e f o r m u l a , n o m a t t e r w h a t t h e v a l u e o f c i s . S o m e t i m e ss u c h c u r v e s a r e c a l l e d s i n g u l a r s o l u t i o n s a n d t h e o n e - p a r a m e t e r f a m i l y o f s o -l u t i o n s = - 1 + Cx 2 - 1 '

w h e r e c i s a n a r b i t r a r y c o n s t a n t ( p a r a m e t e r ) , i s c a l l e d t h e g e n e r a l s o l u t i o n .T h e f o l l o w i n g i n i t i a l v a l u e p r o b l e m s a r e f r e q u e n t l y e n c o u n t e r e d i n a p p l i c a -t i o n s o f e x p o n e n t i a l g r o w t h a n d d e c a y , a n d r e a d e r s a r e a d v i s e d t o f a m i l i a r i z et h e m s e l v e s w i t h t h e s o l u t i o n s .

E X A M P L E 3 P r o v e t h a t t h e s o l u t i o n o f t h e I V Py = k y , k i s a c o n s t a n t

Y ( 0 ) = Y .i s y ( t ) = y o e k ' . S i m i l a r l y , s h o w t h a t t h e s o l u t i o n o f t h e I V Py = - k y , k i s a c o n s t a n t

Y ( 0 ) = Y oi s y ( t ) = Y o e - " 'P r o o f C l e a r l y , t h e s o l u t i o n t o t h e s e c o n d I V P f o l l o w s f r o m t h e s o l u t i o n t o t h ef i r s t I V P b y r e p l a c i n g t h e c o n s t a n t k b y - k . T h u s , i t s u f f i c e s t o s o l v e t h e f i r s t

I V P . S i n c e y = d y l d t , s e p a r a t i n g t h e v a r i a b l e s y a n d t w e o b t a i n , f o r y # 0 ,d y = k d t .Y

I n t e g r a t i n g b o t h s i d e s , w e h a v eI n I y I = k t + c z > I y I = e k - = e ` e " ' ' y = e ' e k ' ' y = c e k ' , c # 0 .

S i n c e y = 0 i s a l s o a s o l u t i o n o f y = k y , i t f o l l o w s t h a t t h e g e n e r a l s o l u t i o n o fy = k y i s y = c e " , w h e r e c i s a n a r b i t r a r y c o n s t a n t . U s i n g t h e i n i t i a l c o n d i t i o n ,w e f i n d t h a t y , , = c , t h a t i s , y ( t ) = y , , e " , a n d t h e p r o o f i s c o m p l e t e . T h e s o l u t i o n so f t h e a b o v e I V P s f o r k > 0 a n d k < 0 a r e r e p r e s e n t e d i n F i g u r e 1 . 8 .

1 9


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2 0 1 E l e m e n t a r y M e t h o d s - - F i r s t - O r d e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sY

Y = Y o e "Y o

Y

Y ( 0 )

F i g u r e 1 . 8

Y ( f ) - Y o e - "r

I

A P P L I C A T I O N S 1 . 3 . 1O n e f r e q u e n t l y e n c o u n t e r s s e p a r a b l e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n a p p l i c a t i o n s . W es h a l l m e n t i o n a f e w i n s t a n c e s h e r e . R e v i e w a l s o t h e a p p l i c a t i o n s i n S e c t i o n 1 . 1 . 1t h a t i n v o l v e d s e p a r a b l e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s .

P s y c h o l o g y I n 1 9 3 0 , T h u r s t o n e ' o b t a i n e d a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a s a m a t h e m a t i c a l m o d e ld e s c r i b i

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