AmirS.fem Analiza

UNIVERZITET U TUZLIMašinski fakultetProizvodno mašinstvoPredmet: CAD/CAM sistemi

Seminarski rad

Tema: FEM analiza

Student: Profesor:Amir Salihović Dr.sc.Samir Butković, doc.

Tuzla, 2013.

CAD/CAM sistemi

1.Uvod

Metoda konačnih elemenata spada u savremene metode numeričke analize.Njezina primjena prvo je počela u oblasti proračuna inženjerskih konstrukcija.Osnovna ideja o tzv. fizičkoj diskretizaciji kontinuuma, na kojoj se zasniva MKE je vrlo stara, otprilike koliko i ljudsko nastojanje da se teško rješivi problemi zamjene jednostavnijim, za koje se lakše nalaze rješenja.Kao primjer za ilustraciju može se navesti problem određivanja opsega ili površinekruga, na osnovu njegove podjele na manje dijelove pravilnog oblika. Grčki matematičar i fizičar Arhimed, računao je broj π , odnosno granice između kojih se nalazi numerička vrijednost ovog broja na taj način što je konturu kruga aproksimirao upisanim odnosno opisanim poligonom sa konačnim brojem stranica. Sa povećanjem broja stranica poligona, odnosno sa smanjivanjem njihove dužine, smanjivala se i razlika između granica u kojima se nalazi broj π, a povećavala tačnost njegove numeričke vrijednosti. Otprilike u isto vrijeme, na sličan način, u starom Egiptu je računat volumen piramide i površina sfere, a u Kini je dat dokaz poznatog Pitagorinog teorema. Sa ovim prvim jednostavnim primjerima, otvorena su neka fundamentalna pitanja, kao što su: tačnost rješenja, gornja i donja granica aproksimacije, monotonost i brzina konvergencije i dr. koja su i danas u MKEveoma aktualna i značajna sa teoretskog i praktičnog stajališta. Razvoj metode konačnih elemenata počeo je polovicom prošlog stoljeća. U početnoj fazi on se odvijao kroz dva međusobno nezavisna pristupa, prvo inženjerski, a odmah zatim matematički. Složene prostorne konstrukcije, u inženjerskim proračunima zamjenjivane su diskretnim sustavima koji su se sastojali od štapova i koji su računati po poznatim postupcima statike linijskih nosača. Od strane matematičara, tražena su približna rješenja određenih graničnih zadataka pomoću diskretnih modela uz primjenu varijabilnih postupaka. Ova dva prilaza, inženjerski i matematički, kasnije su objedinjeni, što je bilo od ogromnogznačaja za dalji brzi razvoj i široku primjenu MKE.

2. Osnove na kojima se zasniva MKE

Metoda konačnih elemenata spada u metode diskretne analize. Za razliku od ostalih numeričkih metoda, koje se zasnivaju na matematičkoj diskretizaciji jednadžbi graničnih problema, MKE se zasniva na fizičkoj diskretizaciji razmatranog područja. Umjesto elementa diferencijalno malih dimenzija, osnovu za sva proučavanja predstavlja dio područja konačnih dimenzija, manje područje ili konačni element. Zbog toga su osnovne jednadžbe pomoću kojih se opisuje stanje u pojedinim elementima, a pomoću kojih se formulira i problem u cjelini, umjesto diferencijalnih ili integralnih, obične algebarske. Sa stajališta fizičke interpretacije, to znači da se razmatrano područje, kao kontinuum sa beskonačno mnogo stupnjeva slobode, zamjenjuje diskretnim modelom međusobno povezanih konačnih elemenata, sa konačnim brojem stupnjeva slobode. S obzirom na to da je broj diskretnih modela za jedan granični problem neograničeno veliki, osnovni zadatak je da se izabere onaj model koji najbolje aproksimira odgovarajući granični problem.

Mašinski fakultet Tuzla Page 2

CAD/CAM sistemi

Suština aproksimacije kontinuma po MKE, sastoji se u sljedećem:

1. Razmatrano područje kontinuuma, pomoću zamišljenih linija ili površina, dijeli se na određeni broj manjih područja konačnih dimenzija. Pojedina manja područja se nazivaju konačni elementi, a njihov skup za cijelo područje sustav ili mreža konačnih elemenata.2. Pretpostavlja se da su konačni elementi međusobno povezani u konačnom broju tačaka, koje se usvajaju na konturi elementa. Te tačke se nazivaju čvorne tačke ili čvorovi.3. Stanje u svakom konačnom elementu (npr. polje pomaka, deformacija, naprezanja, rasprostiranja temperature i sl.) opisuje se pomoću interpolacionih funkcija i konačnog broja parametara u čvorovima koji predstavljaju osnovne nepoznate veličine u MKE.4. Za analizu i proračun sustava konačnih elemenata važe svi principi i postupci koji važe za klasične diskretne sustave.

2.1. Različiti aspekti MKE

Prema načinu na koji se izvode i formuliraju osnovne jednadžbe MKE, odnosno jednadžbe za pojedine konačne elemente, postoje četiri osnovna aspekta MKE i to:

- direktna metoda, - varijabilna metoda,- metoda rezidiuma i - metoda energetskog balansa.

Direktna metoda je analogna metodi deformacije u proračunu linijskih nosača. Ovametoda se može koristiti kod relativno jednostavnih problema, a pogodna je zbogjasnog geometrijsko-mehaničkog značenja pojedinih koraka aproksimacije.

Varijabilna metoda se zasniva na principu o stacionarnosti funkcija. U problemimamehanike čvrstog tijela funkcija je obično potencijalna odnosno komplementarnaenergija sustava ili se funkcija formulira na osnovu ove dvije energije. Za razliku od direktne metode, koja se može primijeniti samo na elemente sasvim jednostavnog oblika, varijabilna metoda se podjednako uspješno primjenjuje na elemente jednostavnog i elemente složenog oblika.

Metoda reziduuma je opći aspekt aproksimacije po MKE, koji se zasniva na diferencijalnim jednadžbama razmatranog problema. Ova metoda ima naročito primjenu kod onih problema kod kojih je teško formulirati funkciju i onih problema kod kojih funkcija uopće ne egzistira.

Metoda energetskog balansa se zasniva na balansu različitih aspekta energije i ima primjenu u termostatičkoj i termodinamičkoj analizi kontinuuma. Od navedenih aspekta MKE, u mehanici čvrstih deformacijskih tijela od posebnog su značaja varijabilna metoda i metoda reziduuma, koje u području primjene predstavljaju dvije komplementarne metode podjednake tačnosti. Za razliku od klasičnih varijabilnih metoda u kojima izbor interpolacionih funkcija zavisi od konfiguracije razmatranog problema, u MKE to nije slučaj, s obzirom na to da se interpolacione funkcije definiraju isključivo u okvirima pojedinih konačnih elemenata. Interpolacione funkcije su skup međusobno nezavisnih funkcija, koje se usvajaju za element, tako da su im


CAD/CAM sistemi

vrijednosti u području svih ostalih elemenata, osim elemenata na koji se odnose, identično jednake nuli.

2.2. Algoritamski koncepti MKE

Analiza i rješavanje problema mehanike kontinuuma po MKE uvijek se svode na tzv. proces korak po korak, što je od ogromnog praktičnog značaja za primjenu računala u efektivnom proračunu. U tom procesu koji se može prikazati kao jednostavan algoritam, izdvaja se sljedećih šest najvažnijih koraka:1. diskretizacija kontinuuma2. izbor interpolacionih funkcija3. računanje karakteristika elemenata4. formiranje jednadžbi za mrežu konačnih elemenata5. rješavanje sistema jednadžbi6. proračun potrebnih utjecajaOd navedenih šest koraka, prva tri su naročito važna. Način diskretizacije, izbor oblika elemenata, kao i ukupnog broja elemenata, zavise od prirode problema koji se rješava i potrebne tačnosti traženog rješenja. Pored broja i oblika elemenata važan je i izbor čvorova, osnovnih nepoznatih u njima i interpolacionih funkcija.Pomoću interpolacionih funkcija se definira polje promjenjivih u svakom elementu, od njihovog izbora neposredno zavisi i kontinuitet na granicama između pojedinih elemenata, a samim tim i tačnost aproksimacije. Promjenjive u elementu mogu biti skalarne, vektorske ili tenzorske veličine. Karakteristike pojedinih elemenata određuju se nezavisno od mreže elemenata kao cjeline. Matrica krutosti se formira autonomno za pojedine elemente, a potom na osnovu njih, sasvim jednostavno, formira se matrica za sustav u cjelini. S obzirom na to da je geometrija elemenata po pravilu jednostavna, to praktično znači da se kompleksan problem razbija na niz jednostavnih. Posljednja tri koraka, iako su za praktične proračune od velikog značaja, danas spadaju u okvire rutinskog posla, koji je prilagođen automatskom radu računala.

3. Opća teorija MKE

Osnovni princip na kojem se zasniva MKE, kao što sam već rekao, sastoji se u podjeli razmatranog područja na konačan broj manjih područja odnosno elemenata, tako da se analizom pojedinih elemenata, uz pretpostavku o njihovoj međusobnoj povezanosti, analizira cjelina. Ovaj pristup u analizi, gdje se od posebnog ide ka općem, od individualnog ka univerzalnom, u kome se analizom dijelova zaključuje o cjelini, je poznati induktivni pristup, koji se primjenjuje u mnogim područjima znanosti. Kod inženjerskih i drugih problema kod kojih se opća rješenja ne mogu dobiti u zatvorenom obliku induktivni pristup je od posebnog značaja.U okviru MKE, razmatrano područje zamjenjuje se velikim brojem malih dijelova konačnih dimenzija, koji su međusobno povezani u određenom broju tačaka. Na ovaj način, područje sabeskonačno mnogo stupnjeva slobode, zamjenjuje se diskretnim sustavom sa konačnim brojem stupnjeva slobode i analizira metodama diskretne analize. U matematičkoj formulaciji, ovo znači da se razmatrani problem prevodi iz područja analize u područje algebre. MKE se može shvatiti kao metoda numeričke analize o okviru koje se definira način prevođenja kontinuiranih fizičkih sustava u diskretne, odnosno način formiranja sustava algebarskih jednadžbi pomoću kojih se aproksimira određeni konturni zadatak. S obzirom na to da taj način nije jedinstven,


CAD/CAM sistemi

to ni formulacija metoda konačnih elemenata nije jedinstvena. Postoje različite varijante MKE, koje u suštini znače isto, ali se razlikuju u pogledu formalnog pristupa.

3.1. Pretpostavke i procedura proračuna:

- Uspostavljaju se osnovne relacije (funkcije) između geometrijskih i fizičkih veličina na elementu diferencijalno malih dimenzija.

- Usvaja se pretpostavka neprekidnosti funkcija koje definišu ove veličine.- Zavisnosti između srednjih vrednosti ovih veličina proširuju se na cijeli domen.- Dobijene su diferencijalne jednačine (obične ili parcijalne), odnosno integralne ili

integrodiferencijalne jednačine.- Utvrđuju se konturni (granični) i inicijalni uslovi.- Dobijenom jednačinom i graničnim, odnosno inicijalnim uslovima, definisan je

granični problem.- Rješenja graničnog problema mogu biti u zatvorenom obliku i/ili približna

rješenja zasnovana na matematičkoj diskretizaciji jednačina graničnog problema.

- Približna rješenja svode problem na domen algebre, tj. rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.


CAD/CAM sistemi

3.2. Karakteristike Metode konačnih elemenata (MKE)

- Savremena metoda numeričke analize, metoda diskretne analize.- Jednostavna matematička formulacija i način za rješavanje problema.- Osnov za razmatranje problema (umjesto diferencijalno malog elementa) je dio

domena konačnih dimenzija, poddomen, konačni element.- Poddomen, konačni element, ima iste karakteristike kao i domen.- Jednačine pomoću kojih se opisuje stanje u pojedinim konačnim elementima su

obične algebarske jednačine.- Domen sa beskonačno mnogo stepeni slobode zamenjen je diskretnim

modelom međusobno povezanih konačnih elemenata sa konačnim brojem stepeni slobode (nepoznate veličine).

- Usvaja se pretpostavka da su konačni elementi povezani u konačnom broju tačaka, čvorovima modela.

- Problem izbora diskretnog modela i izbora nepoznatih (stepena slobode) koji mogu da opišu odgovarajući konturni problem.

- Uslov za primjenu metode je bio razvoj računarske tehnike (mogućnost rješavanja velikih sistema jednačina).

3.3. Postupak

1. Razmatrani domen (brava) se dijeli na konačan broj poddomena (konačnih elemenata) , formiranje mreže konačnih elemenata.2. Izbor konačnog broja parametara (nepoznatih veličina) u čvorovima za opisivanje razmatranog problema.3. Izbor interpolacionih funkcija N za opisivanje stanja u svakom elementu pomoću usvojenih nepoznatih veličina.4. Uvrđivanje parametara na konturi domena.5. Utvrđivanje čvornog opterećenja.6. Postavljanje uslovnih jednačina, matrice sistema i vektora slobodnih članova.7. Rješavanje nepoznatih parametara (rješavanje sistema algebarskih jednačina).


CAD/CAM sistemi

3.4. Metoda deformacija

Na slici je prikazano područje D elastičnog kontinuuma, koji je ograničen konturom S, tako da su na djelu konture SϬ zadani konturni uvjeti po silama, a na djelu Su konturni uvjeti po pomacima. U području D djeluju zapreminske sile F (Fx, Fy, Fz), a na konturi SϬ površinske sile p ( px, py, pz). Za pomake u u području D se predpostavlja da su neprekidne funkcije koordinata u=u (x,y,z) odnosno:u = u (x,y,z)v = v (x,y,z)w = w (x,y,z)

Zadatak teorije elastičnosti, kada se problem formulira po pomacima, odnosno po metodi deformacije, sastoji se u određivanju funkcija pomaka, koje zadovoljavaju uvjete ravnoteže i uvjete na konturi, odnosno diferencijalne jednadžbe i konturne uvjete. Granični zadatak koji je formuliran na ovaj način, u kinematičkom smislu, predstavlja sustav s beskonačnim brojem stupnjeva slobode. Zadatak je da se odredi rješenje ovog graničnog problema pomoću odgovarajućeg diskretnog sustava, sa konačnim brojem stupnjeva slobode, odnosno kao rješenje odgovarajućeg sustava algebarskih jednačina. Razmatrano područje D dijeli se na konačan broj malih dijelova –konačnih elemenata, koji su međusobno povezani u određenom broju tačaka, koje se nazivaju čvorovi.


CAD/CAM sistemi

Ako se pretpostavi da se pomaci u bilo kojoj tačci konačnog elementa mogu, na određeni način, prikazati u zavisnosti od pomaka u čvorovima, onda se problem određivanja polja pomaka u području D svodi na određivanje pomaka u čvorovima, a broj pomaka u čvorovima je konačan. Pomaci u čvorovima u području D i na konturi S određuju se iz sustava jednadžbi, koje predstavljaju uvjete ravnoteže u čvorovima, uvjete kontinuiteta u čvorovima i konturnih uvjeta na konturi S. Ove jednadžbe se mogu formirati na osnovu principa virtualnih pomaka ili na osnovu varijabilnog principa o minimumu potencijalne energije. Kada je poznato polje pomaka, nije teško dobiti polje deformacija i polje napona

3.5. Analiza elemenata

Na slici je prikazan konačni element, koji je izdvojen iz sustava elemenata sa predhodne slike. Zbog jednostavnosti, element je prikazan kao dvodimenzionalni, ograničen sa pravolinijskim konturama. Ovim se ne želi suziti opseg razmatranja, koja važe za jednodimenzionalne i višedimenzionalne elemente sa ravnim i konturama.


CAD/CAM sistemi

Na elementu je usvojen određen broj tačaka na konturi, koje se nazivaju čvorne tačke ili čvorovi. Čvorovi su obilježeni brojevima 1,2, … k … K, gdje je K ukupan broj čvorova. Ovi čvorovi se nazivaju vanjski čvorovi, da bi se razlikovali od čvorova koji mogu biti usvojeni u elementu i koji se nazivaju unutrašnji čvorovi. Ukupan broj unutrašnjih čvorova obilježen je sa R.U čvorovima elementa kao osnovne nepoznate veličine, usvajaju se parametri pomaka. Pod pomacima, ovdje se podrazumijevaju pomaci u generaliziranom smislu, tj. komponente pomaka, njihove kombinacije i sl. Broj parametara pomaka u čvorovima zavisi od prirode razmatranog problema. Npr. kod trodimenzionalnih problema u svakom čvoru, za parametre pomaka se usvajaju po tri komponente pomaka (u, v, w) kod dvodimenzionalnih po dvije (u, v), kod savijanja ploča najmanje po tri itd. Parametri pomaka u čvorovima često se nazivaju stupnjevi slobode, po analogiji sa značenjem koje ove veličine im aju u statici linijskih sustava. Ako je u svakom čvoru usvojeno po S parametara pomaka, element ima SxK vanjskih stupnjeva slobode i SxR unutrašnjih stupnjeva slobode.

4. Naponi i deformacije

Zamislimo da je elastično opterećeno tijelo presječeno na 2 dijela nekom proizvoljnom ravninom, dejstvo odbačenog desnog dijela tijela zamjenjuju unutrašnje sile koje nastoje dovesti tijelo u ravnotežu.

Postaviti statičke jednačine ravnoteže, odrediti unutrašnje sile, komponente glavnog vektora i glavnog momenta.


CAD/CAM sistemi

Odnos unutrašnje sile i površine na koju ona djeluje je srednji napon psr.Kada elementarna površina teži nuli, srednji napon teži totalnom naponu u tački presjeka.Komponenta totalnog napona koja leži u pravcu normale presjeka naziva se normalni napon Ϭ,dok ona koja leži u ravni presjeka predstavlja tangencijalni napon T. Kroz svaku tačku može se provući beskonačno mnogo ravni, te će u svakoj ravni totalni napon imati različitu vrijednost. Skup napona za sve presjeke koji prolaze kroz tačku karakteriše naponsko stanje u tački.

Naponsko stanje u tački je definisano sa 6 komponenti napona koje predstavljaju tenzor napona.

Površine u kojima tangencijalnih napona nema su glavne površine, a normalni naponi koji djeluju u tim površinama su glavni naponi. Kroz svaku tačku napregnutog


CAD/CAM sistemi

tijela mogu da se postave tri međusobno okomite normalne ravni u kojima djeluju samo normalni naponi.

Složeno naponsko stanje se može predstaviti Von-Misesovim naponom.

Von-Mises napon je veoma značajna vrijednost čije dejstvo reprezentuje odgovarajuće troosno stanje. Ovako definisan efektivni napon pri prostornom naponskom stanju uvijek je moguće uspoređivati sa odgovarajućim stvarnim naponom pri jednoosnom zatezanju, što je od praktičnog značaja.

Izraz za proračun Von-Mises napona kod složenog naponskog stanja

Hukov zakon

Relativna deformacija:


CAD/CAM sistemi

Hukov zakon:

σ=E⋅ε⇒ ,

Veza između napona i deformacije: k = Ϭ∙(ε+1)k – specifični deformacioni otpor

5. FEM analiza u programu CATIA- modeliranje objekta- određivanje materijala i njegovih svojstava- određivanje veličine mreže i njeno postavljanje- definisanje oslonaca- definisanje opterećenja- analiza

Na sljedećem primjeru će biti predstavljen primjer izvođenja FEM analize u programu Catia, te interpretacija rezultata, na proizvoljno modeliranom elementu.

Predmet ispitivanja je aluminijumska ručka (drška)

Formiranje mreže, postavljanje oslonaca i površinskog opterećenja (pritiska):


CAD/CAM sistemi

Raspored Von – Mises napona te prikaz maksimuma


CAD/CAM sistemi

Deformacija mreže

Polje deformacija


CAD/CAM sistemi

Uporedni prikaz Von-Mises napona i deformacija

Sa prikazanih slika je vidljivo da su najopterećeniji segmenti brave na mjestu uklještenja gdje se javlja i maximalni Von-Misesov napon. Najmanji napon je na neopterećenom dijelu brave i to u najdaljoj tački. Također vidimo i da je najveća deformacija-progib brave na gornjoj površini 1,61316 mm. S obzirom da je max.napon u ovoj analizi 91,6 Mpa koji je uzrokovan velikim silama koje nije moguće ostvariti pritiskom ruke na bravu, a za aluminijum napon na granici tečenja i zatezna čvrstoća imaju veće vrijednosti ( 95Mpa ), možemo zaključiti da ručka može izdržati data opterećenja.


Documents

AmirS.fem Analiza