Alternativni načini rješavanja zadataka iz logikemarul.ffst.hr/~logika/seminar/izlaganja/Alternativni%20na%e8ini%20rje%9aavanja%20... · Iz: R. Graves, Grčka mitologija Zamislimo

Alternativni načini rješavanja zadataka iz logike

Krešimir Gracin i Miljenko Šestak

Primjer zadatka 1.1U kojim sve odnosima, pretpostavljajudi da je sud ‘Neki S nisu P’ istinit, mogu stajati pojmovi S i P? (od odnosa uzmimo: ekvipolenciju, interferentnost, podređenost, nadređenost, koordiniranost, kontradiktornost)________________________________________________________________.

• Način rješavanja 1 – Vennovim dijagramima

• S i P ne mogu biti ekvipolentni (istovrijedni) jer postoji bar jedan predmet koji je S, ali nije P.

• Iz istoga razloga S ne može biti podređen pojmu P. No, može mu biti nadređen. Naime, ovaj nam sud ne kazuje ima li ili nema članova u P koji nisu S.

• Interferentni bi mogli biti. Naime, u zadanom sudu se samo tvrdi da postoji S koji nije P, što ne isključuje mogudnost postojanja predmeta S koji je P i P koji nije S

• Pojmovi S i P mogli bi biti koordinirani i kontradiktorni. Naime, zajednički dio opsega mogao bi im biti prazan.


• Način rješavanja 2 – Eulerovim dijagramima

• Krugovi (oznake za opsege pojmova) P1-P4 označavaju mogude odnose pojmova S i P u zadanom sudu. Vidljivo je da ne mogu biti istovrijedni. Također je vidljivo da pojam P ne može biti nadređen pojmu S. No, u slučaju P1, S može biti nadređen pojmu P, u slučaju P2, S može biti interferentan pojmu P, u slučaju P3, pojam S može biti koordiniran (usklađen), kontradiktorno koordiniran (proturječno usklađen) jer je mogude da ih obuhvada neki viši pojam, te disparatan pojmu P (jer je mogude i da ih ne obuhvada neki viši pojam), a u slučaju P4, pojam S može biti proturječan (kontradiktoran) pojmu P.


• Način rješavanja 3 - Poznavajudi definicije odnosa među pojmovima.

• Interferentni pojmovi su pojmovi koji imaju djelomično zajednički sadržaj i djelomično zajednički opseg. Tvrdnja „neki S nisu P“ ne isključuje mogudnost djelomično zajedničkog sadržaja i djelomično zajedničkog opsega, iako ih ne potvrđuje. (npr. Neki ljudi nisu plavooki)

• Ako pojmovi stoje u međusobnom odnosu tako da je opseg prvoga (npr. S) obuhvaden opsegom drugoga (npr. P), a sadržaj drugoga dio sadržaja prvoga prvi je pojam podređen drugome, a drugi je nadređen prvome. Tvrdnja „Neki S nisu P“ odriče mogudnost da je pojam S obuhvaden opsegom pojma P (dakle, nije mu podređen) (npr. nemogude je da Neki ljudi nisu živa bida) , ali ne odriče mogudnost da je pojam P obuhvaden opsegom pojma S, stoga je mogude da je pojam S nadređen pojmu P. (npr. Neka živa bida nisu ljudi)

• Koordinirani su oni pojmovi koji su obuhvadeni jednim zajedničkim višim pojmom, no nemaju zajednički opseg. Kako sud ‘Neki S nisu P’ ne odriče tu mogudnost, pojmovi S i P mogli bi biti koordinirani. (npr.

• Dva su pojma kontradiktorna samo ako je jedan negacija drugoga. Ovakav odnos zadani sud, također, ne priječi.


• Način rješavanja 4 - Poznavajudi odnose prema „logičkom kvadratu“

• Ako je sud „Neki S nisu P“ istinit, sud „Svi S su P“ je neistinit. Stoga, pojam S ne može biti podređen, niti istovrijedan pojmu P.

• Ako je sud „Neki S nisu P“ istinit, moguda je istinitost sudova: 1) „Neki S su P“, što znači da S može biti interferentan i nadređen pojmu P; i 2) „Nijedan S nije P“, što znači da mogu biti i usklađeni, usklađeno proturječni, proturječni i disparatni.

Primjer zadatka 1.2Ispitajte u kakvom su odnosu pojmovi i ako je sljededi zadani sud istinit. Nijedan S nije P.Odredite jesu li navedene tvrdnje točne (T) ili netočne (N), pod pretpostavkom da su pojmovi S i P neprazni.3.1. Pojam S mogao bi biti nadređen (superodiniran) pojmu P.3.2. Pojam S mogao bi biti protuslovan (kontradiktoran) pojmu P.3.3. Pojam S i pojam P mogli bi biti ukršteni (interferentni) pojmovi.3.4. Pojam S i pojam P mogli bi biti usklađeni (koordinirani) pojmovi.3.5. Pojam S i pojam P mogli bi biti istovrijedni (ekvipolentni) pojmovi.


• Pojam S ne može biti nadređen pojmu P, jer da bi to bio mora u sebi imati cijeli opseg pojma P, a prema dijagramu ga nema uopde.

• Pojmovi S i P mogu biti protuslovni i usklađeni, jer pojmovi u tim odnosima nemaju zajednički dio opsega, kako dijagram i prikazuje.

• Interferentni ne mogu biti, jer pojmovi u tom odnosu moraju imati barem jednog zajedničkog člana, a ovaj dijagram prikazuje stanje proturječno tome.

• S i P ne mogu biti ekvipolentni (istovrijedni) jer je dio opsega koji u dijegramu dijele prazan .

Primjer zadatka 1.2Ispitajte u kakvom su odnosu pojmovi i ako je sljededi zadani sud istinit. Nijedan S nije P.Odredite jesu li navedene tvrdnje točne (T) ili netočne (N), pod pretpostavkom da su pojmovi S i P neprazni.3.1. Pojam S mogao bi biti nadređen (superodiniran) pojmu P.3.2. Pojam S mogao bi biti protuslovan (kontradiktoran) pojmu P.3.3. Pojam S i pojam P mogli bi biti ukršteni (interferentni) pojmovi.3.4. Pojam S i pojam P mogli bi biti usklađeni (koordinirani) pojmovi.3.5. Pojam S i pojam P mogli bi biti istovrijedni (ekvipolentni) pojmovi.

• Način rješavanja 2 – Eulerovim dijagramima

• Pojmovi P1 – P3 prikazuju mogude položaje pojma P prema zadanom sudu, a pojam M prikazuje mogudi viši pojam koji pojmove S i P obuhvada.

• Prema dijagramu očito je da pojmovi S i P ne mogu biti ekvipolentni niti interferentni. Pojam S ne može biti nadređen pojmu P jer ga na slici ne obuhvada.

• Pojmovi S i P bi mogli biti koordinirani (slučaj P1), i kontradiktorni (slučaj P3)

2.1. Zadane sudove prikažite u Vennovome dijagramu.Nijedan P nije ne-M.Nije tako da svi S jesu M.Za ucrtavanje sudova koristite uobičajene oznake: sjena (usporedne crtice) za nepostojanje predmeta i križid za postojanje predmeta u određenome području dijagrama. Sjene, ako budu potrebne, smiju prelaziti preko slovnih oznaka krugova. 8.2. Ispišite konkluziju koja slijedi iz zadanih sudova, a koja dovodi u odnos pojmove S i P._____________________________________________________________

• Način rješavanja 1 – Ucrtati sudove kako su zadani

• Ako tvdrimo da nijedan P nije ne-M, tvrdimo da u

području opsega pojma ne-M, P nema nijednog člana

• Ako tvrdimo: ‘Nije tako da svi S jesu M’, tvrdimo

da izvan opsega pojma M (odnosno u opsegu pojma ne-M)

postoji bar jedan član pojma S


• Način rješavanja 2 – pretvoriti sudove u uobičajeniji oblik poznavanjem odnosa u “logičkom kvadratu” i istovrijednosti (ekvipolencije)

• Sud ‘Nijedan P nije ne-M’ istovrijedan (ekvipolentan) je sudu ‘Svi P su M’ (u udžbenicima u poglavlju o neposrednom zaključku)

• Sud ‘Nije tako da svi S jesu M’ prema “logičkom kvadratu” istovrijedan njemu protuslovnom sudu: “Neki S nisu M” (Neistinitost univerzalno – afirmativnog suda istovrijedna je istinitosti partikularno - negativnog suda)


• Način rješavanja 3 – pretvoriti sudove u uobičajeniji oblik poznavanjem logike predikata (priroka)

• Prijevod suda ‘Nijedan P nije ne-M’: , kako je

• Cijeli je zadani sud istovrijedan sudu koji prevodimo ‘Svi P su M’

• Prijevod suda ‘Nije tako da svi S jesu M’: istovrijedan je sudu

• Koji je pak istovrijedan sudu koji prevodimo kao ‘Neki S nisu M’

( )x Sx Mx Mx istovrijednoMx

( )x Px Mx

( )x Sx Mx ( )x Sx Mx

( )x Sx Mx


• Način rješavanja 4 - Dio zadatka rješiv je Eulerovim dijagramima

• Prvi dijagram predstavlja odnos pojmova u sudu

• ‘Nijedan P nije ne-M’ (mogudnost koja nije nacrtana jest

• slučaj u kojemu je P jednakovrijedan pojmu M.)

• Drugi dijagram predstavlja odnos pojmova u sudu

• ‘Nije tako da svi S jesu M’ (pojmovi S1-S4) jesu mogudi odnosi

• prema zadanom sudu.

• Kako je prema prvom dijagramu pojam P unutar opsega pojma

• M, a prema drugom dijagramu pojam S u svakom od slučajeva

• Ima dio opsega koji je izvan M, tako nužno slijedi da

• Neki S nisu P (ili ‘Neki ne-P su S)

Primjer zadatka 2.1Proučite zadani tekst.Vidovnjak Terezije prorokovao je: „Ako Narcis nikada ne upozna sebe, on de doživjeti duboku starost.” Iz: R. Graves, Grčka mitologijaZamislimo da je vidovnjakinja Antitezija izrekla proročanstvo upravo proturječno Terezijevome. Odredite koju je rečenicu Antitezija mogla redi kao proturječnu Terezijevome proročanstvu.Vaš odgovor ne smije započeti s negacijskim izrazom poput ‘nije tako da’, ‘nije slučaj da’, ‘nije istina da’, ‘nije točno da’!Antitezija je mogla redi:____________________________________________________________.

• Način rješavanja 1 – poznavajudi istovrijedne sudove izražene drugačijim logičkim veznicima

• 1. Potrebno je prepoznati da je zadani sud kondicional što možemo prevesti na jezik logike sudova:

• 2. Negacija zadanog složenog suda (odnosno sud proturječan zadanom složenom sudu) je:

• (“Nije tako da de Narcis doživjeti duboku starost ako nikada nede upoznati sebe”)

• 3. Sudovi istovrijedni sudu *2.+ jesu: (“Nije tako da de Narcis jednom upoznati sebe ili da de doživjeti duboku starost) i (“Narcis nikada nede upoznati sebe i nede doživjeti duboku starost”)

• 4. Kako jedino posljednji izraz zadovoljava uvjete postavljene u zadatku, on je točan odgovor.

P Q

( )P Q

( )P Q

P Q


• Način rješavanja 2 – poznavajudi istinitosne tablice

• Logička forma zadanog suda jest: , istinitosna tablica za ovaj složeni sud jest:

• Samo je jedan slučaj u kojemu je implikacija neistinita, to je slučaj u kojemu je antecedens istinit a konzekvens neistinit, stoga de njemu proturječan sud tvrditi upravo to kao istinito, a taj sud možemo izraziti: (“Narcis nikada nede upoznati sebe i nede doživjeti duboku starost”)

P Q

p q p q

T T TT

T T T

P Q


• Način rješavanja 3 – iskustveno

• Ako bi tkogod tvrdio: Ako si bio u Francuskoj, bio si u Parizu. Netko tko je doista bio u Francuskoj mogao bi to opovrgnuti (dati proturječan primjer kao istinit): Nije istina, bio sam u Francuskoj, ali nisam u Parizu.

Primjer zadatka 2.2Upišite traženu rečenicu poštujuci zadane uvjete!Proučite zadani tekst!Prema predaji, grčki filozof Anaksagora je rekao: „Nijedna stvar ne postaje nitipropada.“Zamislimo čovjeka koji želi izraziti neslaganje s Anaksagorinom tvrdnjom iskazivanjemproturječnog suda. Odredite rečenicu koju je čovjek kojega smo zamislili mogao redkao proturječnu (protuslovnu, kontradiktornu) Anaksagorinoj.Vaš odgovor ne smije započeti s negacijskim izrazom poput 'nije tako da', 'nije slučajda', 'nije istina da', 'nije točno da'! Čovjek koji proturječi Anaksagori mogao bi redi:

• Način rješavanja 1 – složeni sud rastaviti na jednostavnije, poznavanjem logičkog kvadrata

• 1. Sud ‘Nijedna stvar ne postanje niti propada’ može se rastaviti na dva jednostavnija povezana konjunkcijom: ‘Nijedna stvar ne postaje i nijedna stvar ne propada.’

• 2. Sada složeni sud ima formu: , gdje stoji za sud ‘Nijedna stvar ne postaje’, a za drugi konjunkt

• 3. Njemu proturječni sudovi mogu imati oblik:

• 4. Možemo uočiti da prvi složeni sud započinje s negacijskim izrazom, te je stoga nedopušten kao odgovor. No ostala tri su mogudi odgovori, s time da je zanijekane kategoričke sudove potrebno pretvoriti u njima istovrijedne prema logičkom kvadratu.

• 5. Sud istovrijedan je sudu (‘Neke stvari postaju ili neke stvari propadaju’, ili stegnuto ‘Neke stvari postaju ili propadaju’);

• Sud (Ako nijedna stvar ne postaje, onda nije tako da nijedna stvar ne propada)

• I tako dalje...

1 2e e 1e 2e

1 2 1 2 1 2 2 1( ) , ( ) , ( ) , ( )e e e e e e e e

1 2( )e e 1 2( )i i

1 2( )e e

Primjer zadatka 2.2Upišite traženu rečenicu poštujuci zadane uvjete!Proučite zadani tekst!Prema predaji, grčki filozof Anaksagora je rekao: „Nijedna stvar ne postaje nitipropada.“Zamislimo čovjeka koji želi izraziti neslaganje s Anaksagorinom tvrdnjom iskazivanjemproturječnog suda. Odredite rečenicu koju je čovjek kojega smo zamislili mogao redkao proturječnu (protuslovnu, kontradiktornu) Anaksagorinoj.Vaš odgovor ne smije započeti s negacijskim izrazom poput 'nije tako da', 'nije slučajda', 'nije istina da', 'nije točno da'! Čovjek koji proturječi Anaksagori mogao bi redi:___________________________________________

• Način rješavanja 2 – poznavajudi jezik logike predikata

• 1. mogudnost (ako pojam stvar ne uzimamo kao predikat), prijevod suda jest:

• Negacija toga suda (proturječan sud) jest:

• (redom: Nije tako da nijedna stvar ne postaje niti propada; Postoji takva stvar koja nije takva da ne postaje niti propada; Postoji takva stvar koja postaje ili propada.

• 2. mogudnost (ako pojam stvar uzmemo kao predikat, što, iako daje točno rješenje, u ovom posebnom slučaju nije dobar prijevod) zadanog prijevod suda jest:

• Negacija toga suda jest:

• (posljednji: Neke stvari postaju ili propadaju)

( )x Px Qx

( ) ( ) ( )x Px Qx x Px Qx x Px Qx

( ( )x Sx Px Qx

( ( ) ( ( ) ( ( ) ( ( ))x Sx Px Qx x Sx Px Qx x Sx Px Qx x Sx Px Qx

Primjer zadatka 2.2Upišite traženu rečenicu poštujuci zadane uvjete!Proučite zadani tekst!Prema predaji, grčki filozof Anaksagora je rekao: „Nijedna stvar ne postaje nitipropada.“Zamislimo čovjeka koji želi izraziti neslaganje s Anaksagorinom tvrdnjom iskazivanjemproturječnog suda. Odredite rečenicu koju je čovjek kojega smo zamislili mogao redkao proturječnu (protuslovnu, kontradiktornu) Anaksagorinoj.Vaš odgovor ne smije započeti s negacijskim izrazom poput 'nije tako da', 'nije slučajda', 'nije istina da', 'nije točno da'! Čovjek koji proturječi Anaksagori mogao bi redi:___________________________________________


• Opis odnosa pojmova u zadanom sudu jest:

•

• a njemu protuslovnog suda:

• Upitnici označavaju mogude mjesto postojanja članova, no nužno je barem jedno (ne znamo koje). Sud koji opisuje takvo stanje stvari jest: ‘Neke stvari postaju ili propadaju.’ Naime, on je neistinit samo u slučaju koji tvrdi zadani sud.

• Napomena: u ovom posebnom slučaju dijagram nije točan iako daje točno rješenje. Naime, dovoljno je redi ‘biti’ (umjesto ‘biti stvar’, ‘biti predmet’, ‘biti bide’). Anaksagora zapravo kaže – Postajanje i propadanje nije (Nema postajanja niti propadanja), dok ovako postavljeni dijagrami to ostavljaju samo kao mogudnost.

Primjer zadatka 3.2Pažljivo proučite zadane rečenice.A. Svi ispiti iz logike su i zanimljivi i poučni.B. Neki ispiti iz logike ili nisu zanimljivi ili nisu poučni ili i jedno i drugo.C. Neki ispiti iz logike nisu ni zanimljivi ni poučni.D. Nijedan ispit iz logike nije takav da nije ni zanimljiv ni poučan.U sljededim zadatcima rečenice učinite točnima dopunjavajudi ih slovomodgovarajudih zadanih rečenica. Na listu za odgovore uz redni broj zadatka upišiteodgovore na za to predviđeno mjesto.1. Sudu iskazanomu rečenicom A protuslovan (kontradiktoran) je sud iskazan rečenicom ___.2. Sudu iskazanomu rečenicom B protuslovan (kontradiktoran) je sud iskazan rečenicom ___.3. Sudu iskazanomu rečenicom C protuslovan (kontradiktoran) je sud iskazan rečenicom ___.

• Način rješavanja 1 (Podzadatak 1. i 2.) – Iskustveno

• Redi da nešto nema neka dva svojstva isto je što i redi da to nešto nema prvo ili drugo ili oba svojstva. Npr. Kada bi netko tvrdio: Marko je lijep i pametan. Tome bismo proturječili bilo kojom od sljededih tvrdnji: ‘Marko je lijep, no nije pametan’ ili ‘Marko nije lijep, ali je pametan’ ili ‘Marko nije ni lijep ni pametan’, drugim riječima proturječili bismo kada bismo rekli da Marko nije lijep, ili nije pametan, ili nije ni lijep ni pametan.

• Nadalje, kada bi netko tvrdio ‘Svi muškarci su lijepi.’ tome bi netko drugi mogao proturječiti: ‘Nije istina, znam jednoga koji nije lijep.’

• Ovakvo je razumijevanje dovoljno za uočiti da je sud iskazan rečenicom A protuslovan sudu iskazanom rečenicom B (i obratno)


• Način rješavanja 1 (Podzadatak 3.) – Iskustveno

• Kada bi netko, površno poznavajudi Marka, tvrdio ‘Marko nije ni zanimljiv ni pametan’, netko tko ga bolje poznaje mogao bi mu proturječiti rekavši: ‘Marko nije takav.’ (tj. ‘Marko nije takav da nije ni zanimljiv ni pametan’).

• Ovakvo je razumijevanje dovoljno za uočiti da je sud iskazan rečenicom C protuslovan sudu iskazanom rečenicom D (i obrnuto)


• Način rješavanja 2 (Podzadatak 1. i 2.) - rastaviti sudove

• Sud možete rastaviti na dva jednostavna: Svi ispiti iz logike su zanimljivi i svi ispiti iz logike su poučni.

• a) Njemu proturječan sud može glasiti: Nije tako da su svi ispiti iz logike zanimljivi i da su svi ispiti iz logike poučni. (Konjunkcija dvaju elementarnih sudova je zanijekana.)

• b) prema De Morganovim pravilima i proturječju (negaciji) prema logičkom kvadratu možemo izvesti sud: Neki ispiti iz logike nisu zanimljivi ili neki ispiti iz logike nisu poučni.

• c) ovaj sud opet možemo stegnuti u jedan: Neki ispiti iz logike nisu zanimljivi ili nisu poučni. (uključna disjunkcija!)

• d) isti sud (odnos njegovih predikata) možemo i drugačije izraziti: Neki ispiti iz logike ili nisu zanimljivi ili nisu poučni ili i jedno i drugo. ((ili nisu zanimljivi ili nisu poučni) ili (nisu zanimljivi ni poučni))

•


• Način rješavanja 3 - uočiti složeni predikat

• Podzadatak 1. i 2.

• Sud ‘Svi ispiti iz logike su i zanimljivi i poučni’ je univerzalno afirmativan, njemu de protuslovan sud biti partikularno negativan: ‘Neki ispiti iz logike nisu i zanimljivi i poučni’.

• ‘Ne biti i zanimljiv i poučan’ može se izraziti na različite načine: ‘...nije zanimljiv ili nije poučan’ (prema De Morganu, izraženo uključujudom disjunkcijom), ili ‘...ili nije zanimljiv ili nije poučan ili nije ni zanimljiv ni poučan’ (izraženo uključujudom i isključujudom disjunkcijom)

• Podzadatak 3.

• Sud ‘Neki ispiti iz logike nisu ni zanimljivi ni poučni’ je partikularno negativan, njemu proturječan sud je univerzalno afirmativan: Svi ispiti iz logike su zanimljivi ili poučni, koji je istovrijedan sudu (prema ekvipolenciji): Nijedan ispit iz logike nije takav da nije ni zanimljiv ni poučan.


• Način rješavanja 4 - Vennov dijagram

• Podzadaci 1 i 2

• Podzadatak 3


• Način rješavanja 4 (Podzadaci 1 i 2) – Eulerov dijagram

Napomena: u slučaju prvog mogudeg proturječnog suda

ovim dijagramima nije mogude izraziti kvantifikaciju


• Način rješavanja 5 - Poznavati jezik logike predikata

• Prijevod suda „Svi ispiti iz logike su i zanimljivi i poučni.“ jest , njemu proturječan sud jest , što je jednakovrijedno sudu (prema DeMorganovim zakonima), što je pak jednakovrijedno sudu (Neki ispiti iz logike nisu takvi da su zanimljivi i poučni), što je jednakovrijedno sudu

• (Neki ispiti iz logike nisu zanimljivi ili nisu poučni. (uključna disjunkcija)), što je jednakovrijedno sudu „Neki ispiti iz logike ili nisu zanimljivi ili nisu poučni ili nisu ni zanimljivi ni poučni“, ili, što je isto „Neki ispiti iz logike ili nisu zanimljivi ili nisu poučni ili i jedno i drugo.“

•

• Podzadatak 3

• Prijevod suda C jest: , njemu protuslovan sud jest

• Posljednji odgovara sudu iskazanom rečenicom D

( ( ))x Ix Zx Px

( ( ))x Ix Zx Px ( ( ))x Ix Zx Px ( ( ))x Ix Zx Px

( ( ))x Ix Zx Px

( )x Ix Zx Px

( ) ( ) ( ( ))x Ix Zx Px x Ix Zx Px x Ix Zx Px

Primjer zadatka 3.1Zadana je sljededa istinita tvrdnja.Neke sjene nisu proizvod uzajamnoga djelovanja prirodne svjetlosti i neprirodne prepreke.Ispitajte istinitost dolje navedenih tvrdnji. Odredite jesu li navedene tvrdnje istinite (I) ili neistinite (N). A. Činjenica da je zadana tvrdnja istinita nije dostatna za utvrditi istinitosnu vrijednost suda „Sve su sjene proizvod uzajamnoga djelovanja prirodne svjetlosti i neprirodne prepreke”.B. Činjenica da je zadana tvrdnja istinita nije dostatna za utvrditi istinitosnu vrijednost suda „Nijedna sjena nije proizvod uzajamnoga djelovanja prirodne svjetlosti i neprirodne prepreke”.

• Napomena: predikat ovoga suda nije složen!

• Logički kvadrat

• Vennovi dijagrami

• Eulerovi dijagrami

• Jezik logike predikata

Documents

Alternativni načini rješavanja zadataka iz logikemarul.ffst.hr/~logika/seminar/izlaganja/Alternativni%20na%e8ini%20rje%9aavanja%20... · Iz: R. Graves, Grčka mitologija Zamislimo