All Geometri

5/12/2018 All Geometri - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/all-geometri-55a4d294c4203 1/45

Lanjutan BAB III

1.1 “Apakah ada segitiga yang sama dalam geometri Lobachevsky?”

Teorema 4:

“ Dua segitiga kongruen, jika sudut-sudut yang bersesuaian sama”.

Gambar. 3.7

Bukti:

Anggap teorema ini salah.

Maka pasti ada dua segitiga yaitu ΔABC dan ΔA‟B‟C‟ Э A =A‟, B

=

B‟, danC =

C‟, tetapi segitiga tersebut tidakkongruen.

Maka, '' B A AB (jika tidak, segitiga tersebut kongruen melalui sudut sisi sudut)

Demikian juga pada ''C A AC dan ''C B BC . Perhatikan tiga segmen AB ,

AC , BC dan '' B A , ''C A , ''C B

Dari ketiga segmen tersebut ada dua segmen yang lebih besar dari dua

segmen yang bersesuaian dari ketiga segmen lain. Konsekuensinya, AB > '' B A

dan AC > ''C A

Jadi, dapat ditemukan B” pada AB dan C” pada AC Э '' B A = " AB dan

''C A = " AC .

Konsekuensinya, ΔA‟B‟C‟ ΔAB”C”

Sehingga, AB”C” =B‟ = B

Karena BB”C” merupakan sudut pelurus dari B”, maka BB”C”

juga merupakan sudut pelurus dari B.

AA’

B’ C’

CB

B” C”



Demikian juga, B”C”C merupakan sudut pelurus dari C”, maka

B”C”C juga merupakan sudut pelurus dari C.

Oleh karena itu, segi empat BB”C”C mempunyai jumlah sudut 360°, dimana hal

ini kontradiksi dengan Teorema 3 Cololarry 1.

3.5. Teori Daerah Lobachevskian

Mari kita klasifikasikan masalah dengan menguji dasar karakter dari sebuah

ukuran bidang untuk segitiga. Perhatikanlah bagaimana bidang tersebut

didefinisikan, tentu saja akan mengikuti sifat-sifat:

a. Positivity. Untuk masing - masing segitiga mempunyai hubunan unik yang

ditentukan oleh bilangan real positif disebut daerah / area.

b. Invariance Under Congruence. Segitiga kongruen mempunyai wilayah yang

sama.

c. Additivity. Jika segitiga T dibagi menjadi dua segitiga yaitu T1 dan T2 oleh

garis yang ditarik dari titik puncak ke sisi yang dihadapannya, maka wilayah

dari T adalah penjumlahan dari T1 dan T2.

Akibatnya beberapa proses untuk pengukuran bidang yang ditentukan oleh

sebuah fungsi nilai real didefinisikan untuk semua segitiga yang memenuhi a, b,

dan c. Ini memberi tahu kita bahwa konsep pengukuran daerah atau daerah fungsi

segitiga dengan mengartikan property- property tersebut.

Definisi

Suatu fungsi yang menentukan setiap segitiga dengan spesifikasi bilangan

real memenuhi a, b, dan c. Maka fungsi itu disebut sebagai daerah fungsi atau

daerah pengukuran untuk segitiga. Jika μ adalah suatu fungsi seperti itu dan ABC

sebuah segitiga, maka μ (ABC) merupakan nilai dari ΔABC dan disebut daerah

atau ukuran dari ΔABC yang ditentukan oleh μ.

Definisi ini tentunya tidak terikat oleh geometri Lobachevskian, namun

geometri ini berlaku untuk geometri netral. Kenyataannya dalam geometri

Euclidean, rumus yang dikenal untuk luas daerah adalah ½ at berlaku untuk

semua segitiga, sehingga dengan mudah menghasilkan suatu fungsi daerah. Hal



ini menunjukkan setiap wilayah segitiga merupakan ukuran setengah dari hasil

kali alas dan tinggi.

Kita lanjutkan dengan mengamati sifat additivity (c), dimana fungsi daerah

dapat diperluas sampai bilangan bulat terbatas.

Teorema 5:

Jika setiap segitiga merupakan gabungan dari himpinan terbatas yang tidak

beririsan (1,2,...., n). Maka untuk setiap fungsi daerah μ,

μ (Δ) = μ (1) + μ (2) + .... + μ (n)

Definisi: The defect dari segitiga ABC adalah 180 - (A + B + C)

Disini A,B, dan C digunakan sebagai derajat pengukuran dari sudut yang

dimaksud, sehingga menghasilkan suatu nilai real, bukan suatu bilngan derajat.

Dengan catatan A + B + C < 180.

Teorema 6:

The defect tersebut merupakan fungsi daerah untuk segitiga.

Bukti:

Sifat (a) mengikuti teorema 3 A + B + C < 180°

Sifat (b) segitiga yang kongruen mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama

besar, sehingga jumlah sudutnya sama dan the defect juga sama.

Gambar. 3.8

A

B D C



Sifat (c)

Diketahui

ΔABC dan D pada BC, AD membagi

ΔABC

menjadi Δ ABD dan ΔACD.

Jumlah the defect dari kedua segitiga tersebut adalah

180 - (BAD + B + BDA) + 180 - (CAD + C + CDA)

Dengan mengetahui bahwa BDA +CDA = 180, maka

Jumlah the defect dari kedua segitiga tersebut adalah

180 - (BAD + CAD + B + C) BAD + CAD = A maka:

180 - (A + B + C) sesuai dengan definisi diatas.



Lanjutan BAB III

3.6. Riemann's Non-Euclidean Geometri Teori

POSTULAT SEJAJAR RIEMANN Tidak ada garis-garis sejajar

Teori Riemann tidak hanya memerlukan paralel Euclid dalil tapi dalil-dalil lain

juga. Sebab kita telah menunjukkan, tanpa berasumsi apapun postulat paralel, yang ada

garis-garis sejajar (Bab 2, Th. 2, Kor. 3); adanya garis-garis paralel, tidak konsisten

dengan dalil-dalil geometri netral. Akibatnya, kita akan menemukan dalil-dalil geometri

netral menyiratkan adanya garis-garis parallel.

Prosedur alami untuk melakukan ini adalah untuk menganalisis bukti adanya garis-

garis paralel (Bab 2, Th.2, Kor. 3) untuk melihat atas mana properti itu tergantung.

Melirik bukti, kita melihat bahwa ia mengikuti langsung dari propertiberikut:

Properti (A) adalah akibat langsung dari teorema sudut eksterior, jadi kita harus

menentukan dalil-dalil teorema sudut eksterior bergantung. Tetapi bukti teorema malaikat

eksterior adalah kompleks dan melibatkan penerimaan diam-diam properti grafis untuk

dibuang. Namun, ada bukti alternatif properti (A) yang sederhana dan tidak memerlukan

dosis malaikat eksterior teorema. Kami menyajikan dan menganalisisnya untuk

menurunkan sifat-sifat penting.

Teorema

Dua garis tegak lurus terhadap baris yang sama sejajar.

Gambar 3.9

Diberikan. Dua (berbeda) garis L, M yang tegak lurus dengan garis NUntuk membuktikan: L sejajar dengan M.

A

L M

NB

(a)

N

M

L

AB

C

C

(b)



Bukti:

Misalkan L sejajar dengan M adalah salah. Kemudian L dan M akan bertemu di titik

C (gambar 4,14 (b)). L, M, bertemu dengan N di A, B, masing-masing.

1. Perluas CA panjang sendiri melaluiA ke C‟ 2. Draw C‟B

3. ABC ABC

4. ' ABC ABC

1. Sebuah segmen dapat dua kalilipat

2. Dua titik menentukan garis

3. SAS

4. Sesuai bagian

Dengan demikian ' ABC adalah sudut siku-siku karena ABC juga sudut siku-

siku dan BC dan BC‟adalah tegak lurus dengan AB.

5. BC dan BC' bertepatan 5. Hanya ada satu garis tegak

lurus terhadap baris tertentupada suatu titik tertentu dari

garis

Jadi AC dan BC atau L dan M memiliki titik C dan C '

6. Oleh karena itu L dan M bertepatan 6. Dua titik menentukan garis

Ini bertentangan dengan hipotesis kita bahwa L dan M adalah garis yang berbeda. Jadi,

pengandaian kita salah dan teorema berlaku.

Jika postulat sejajar Riemann akan dijadikan pegangan, teorema ini harus

dipahami. Jadi kita harus membuang (selain postulat paralel Euclid) salah satu prinsip

yang digunakan dalam pembuktian. Tentu saja kita ingin mempertahankan sifat-sifat

dasar kongruen segitiga dan garis tegak lurus. Dengan pemikiran ini marilah kita

menganalisis bukti. Titik penting tampaknya langkah 6, bahwa L dan M serupa karena

mereka memiliki poin berbeda C dan C 'yang sama. Langkah ini (dan bukti) akan gagal

jika C dan C 'tidak berbeda, yaitu, jika mereka bersamaan. Bagaimana mereka bisa

bertepatan? Sebaliknya, kita harus bertanya bagaimana kita tahu bahwa mereka berbeda.

Ini poin penting dalam pembuktian tidak formal dibenarkan, tetapi tampaknya sudah pasti

dari diagram. Dapatkah kita menemukan prinsip geometris untuk membenarkan itu?

Untuk menjawab ini, mengamati bahwa secara diam-diam Euclid mengasumsikan

bahwa setiap garis "memisahkan" bidang menjadi dua sisi yang berlawanan. Dinyatakan

secara lebih tepat: jika L adalah suatu garis, titik-titik bidang, L bukan terletak pada dua

bidang atau rangkaian titik-titik, yang disebut sisi L. sisi ini tidak memiliki titik yang

sama, dan mempunyai sifat bahwa setiap segmen yang bergabung suatu titik dari satu sisi

ke titik yang lain atau memenuhi seberang L. Dalam pandangan pemisahan ini, konstruksi

pada langkah 1 dari bukti (untuk memperluas CA panjang sendiri ke C ') menjamin bahwa



C dan C' adalah di sisi N, dan begitu pula poin berbeda. Tanpa pemisahan yang beda C

dari C 'tidak memiliki justifikasi formal, dan bukti gagal/salah. Hal ini menunjukkan

bahwa kita dapat membuat sebuah "Riemann" teori geometri dengan membuang dalil

bahwa setiap garis memisahkan bidang.

Jika prinsip pemisahan diterima, C dan C 'harus menjadi titik berbeda, tetapi kita

masih dapat menghindari kontradiksi pada langkah 6, jika kita meninggalkan prinsip

bahwa dua titik menentukan garis, dan mengizinkan dua garis berpotongan dalam dua

titik. Pada pandangan pertama mungkin ini tampaknya pembayaran yang terlalu tinggi,

namun itu mengarah pada yang menarik dan bukan teori geometris sederhana.

RingkasanAda dua teori geometris yang mengasumsikan postulat sejajar Riemann. Pertama,

setiap dua garis berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis memisahkan

bidang. Kedua, dua garis berpotongan dalam tepat dua titik, dan setiap garis memisahkan

bidang. Teori-teori ini disebut, masing-masing, geometri eliptik tunggal dan geometri

eliptik ganda. (Istilah "tunggal" dan "rangkap" mengindikasikan sifat perpotongan dua

garis dalam geometri dan istilah "elips" digunakan lebih halus dalam arti klasifikasi

berdasarkan geometri proyektif dimana geometri Euclid dan Lobachevskian disebut

parabola dan hiperbolik).



BAB IV

Teori Geometri Insidensi

4.1. Teori Dasar Geometri Insidensi

Geometri mengandung:

- Unsur-unsur tak terdefinisi

- Aksioma

- Definisi-definisi

- Teorema-teoremaGeometri insidensi dapat dikatakan mendasari Geometri Euclides.

Unsur-unsur tak terdefinisi pada sebuah geometri :

- Titik

- Garis

- Bidang

Ketiga unsur dikaitkan satu sama lain dengan sebuah aksioma yaitu system aksioma

insidensi.

Ada 6 buah postulat :

1.1 Garis adalah himpunan dari titik-titik yang mengandung paling sedikit dua buah titik.

1.2 Dua buah titik yang berbeda terdapat dalam satu dan hanya satu garis.

1.3 Bidang adalah himpunan titik-titik yang mengandung paling sedikit tiga titik,

dimana ketiga titik tersebut tidak terletak pada garis yang sama.

1.4 Tiga titik yang berbeda, yang tidak segaris terletak dalam satu dan hanya satu

bidang.

1.5 Apabila sebuah bidang memuat dua titik yang berbeda dalam satu garis, bidang

tersebut akan memuat semua titik pada garis tersebut.

1.6 Apabila dua buah bidang bersekutu pada satu titik, maka kedua bidang akan bersekutu

pada titik kedua yang merupakan titik perpotongan lainnya.



Definisi

Sebuah himpunan titik-titik bersama dengan himpunan bagian seperti garis dan

bidang yang memenuhi postulat 1.1 sampai 1.6 disebut geometri insidensi.

Teorema 1

Dua garis yang berbeda berpotongan pada paling banyak di satu titik.

Bukti :

Andai g h,dan (g,h) = a,b (hipotesis)

Bukti

Karena a,b = (g,h), a,b di g, a,b di h, g berimpit dengan h (postulat 1.2)Dan pernyataan tersebut berlawanan dengan hipotesis jadi haruslah (g,h) 1 titik

Definisi

jika a dan b adalah titik-titik yang berbeda, kita gunakan symbol ab untuk menyatakan

garis unik yang memuat a dan b, dan disebut garis yang ditetapkan oleh a dan b. dan juga

dikatakan garis ab adalah garis yang menghubungkan a dan b (jika a dan b adalah titik

yang sama symbol ab tidak terdefinisi).

Definisi

Titik-titik A1, A2, A3,...., An dikatakan segaris atau sejajar, jika ada sebuah garis yang

memuat semua titik tersebut. Dengan cara yang sama kita mendefinisikan bentuk/gambar

(himp. Dari titik-titik) S1, S2,...., Sn menjadi segaris atau sejajar jika ada sebuah garis

yang memuat titik tersebut.

Teorema 2

Jika titik a tidak terdapat dalam garis bc, maka titik a,b,c adalah berbeda dan tidak sejajar.

Bukti

bc, b c (definisi)

Andai A = B (hipotesis)Akibatnya, tidak segaris.

Akibat a cbabc , tidak segaris



Bukti

B , BC di C, BC Karena A=B, ABC berlawanan dengan yang diketahui ABC.

Kesimpulan A B , A, B, C tidak segaris. Andaikan A, B, C segaris A, B,C d¡ g

(definisi) Jika B, C di g dan BC, g = BC(aksioma 1.2). Karena A B C segari di g maka

pernyataan ini berlawanan dengan hipotesis maka ABC segaris.

Teorema 3

Sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis tersebut termuat pada satu

bidang.

DefinisiAndaikan A g. satu-satunya bidang yang memuat g dan ditulis sebagai gA. Andaikan

A,B,C berbeda dan tidak segaris. Satu-satunya bidang yang memuat A,B,C ditulis sebagai

nbidang ABC.

Definisi:

Dua garis l dan m adalah sejajar apabila l dan m terletak pada bidang yang sama dan tidak

mempunyai titik perpotongan.



Lanjutan BAB IV

4.2. Bidang-bidang Sejajar dan Garis-garis Sejajar

Definisi

Dua bidang P dan Q dikatakan sejajar (ditulis P║Q), jika keduanya tidak

mempunyai titik temu.

Teorema 6

Jika bidang-bidang P dan Q sejajar, dan bidang R berpotongan dengan bidang p dan

Q, maka perpotongan R dengan P dan Q merupakan garis-garis yang sejajar.

Bukti:

Dengan menggunakan teorema 5 : Jika dua bidang berbeda berpotongan, maka

perpotongannya merupakan sebuah garis.

(i) Akan ditunjukkan bahwa bidang R berbeda dengan bidang P dan Q.

( R ≠ P dan R ≠ Q )

Andaikan R = P.

Maka R memotong Q, akibatnya P memotong Q.

Bertentangan dengan P║Q. Pengandaian salah.

Jadi, R ≠ P.

Andaikan R = Q.

Maka R memotong P, akibatnya Q memotong P.

Bertentangan dengan P║Q. Pengandaian salah.

Jadi, R ≠ Q. (ii) Akan ditunjukkan bahwa perpotongan R dengan P dan Q merupakan garis-garis yang

sejajar.

Misalkan perpotongan R dan P adalah sebuah garis L.

Misalkan perpotongan R dan Q adalah sebuah garis M.

L dan M terletak pada bidang yang sama, sebut saja R.

L dan M tidak bertemu

Andaikan L dan M bertemu, misalkan di titik a.Jika L dan M mempunyai satu titik persekutuan, berarti:



a di dalam P ( karena L di P )

a di dalam Q ( karena M di Q )

P dan Q berimpit.

Bertentangan dengan hipotesis bahwa P║Q. Selanjutnya L dan M terletak pada bidang yang sama dan tidak berimpit .

Dengan definisi bahwa L║M.

Definisi:

Garis-garis L1, L2, …, Ln dikatakan kongkuren, jika garis-garis tersebut

berpotongan di satu titik.

Gambar-gambar S1, S2, ..., Sn dikatakan koplanar, jika ada sebuah bidang yangmemuat semua gambar-gambar tersebut.

Teorema 7: Jika tiga garis koplanar secara berpasangan, tetapi semuanya tidak koplanar,

maka ketiga garis tersebut kongkuren atau ketiganya garis tersebut paralel

secara berpasangan.

Bukti:

Misalkan L, M, dan N tiga buah garis.

Misalkan L, M di P.

M, N di Q

L, N di R.

Akan ditunjukkan bahwa P, Q, dan R berbeda ( P ≠ Q ≠ R ).

Andaikan P = Q.

Maka L, M, N koplanar.

Bertentangan dengan hipotesis.

Berarti, P ≠ Q. .............. ( 1 )

Andaikan Q = R.

Maka M, N, L koplanar.


Berarti, Q ≠ R ...............( 2 )

Andaikan P = R.

Maka L, M, N koplanar.



Berarti, P ≠ R. ..............( 3 )

Dari ( 1 ), ( 2 ), dan ( 3 ), menunjukkan bahwa P ≠ Q ≠ R.

Berikut ini, bidang-bidang memotong secara berpasangan di garis-garis seperti

ditunjukkan pada tabel di bawah ini:

Bidang-bidang Garis perpotongan

P, Q M

Q, R N

P, R L

Andai dua garis bertemu. Katakan L, M bertemu di titik a.

Karena a di L. Dari tabel a di P dan di R.Karena a di M. Dari tabel a di P dan di Q.

Berarti a di Q dan R.

Dari tabel a di N.

Selanjutnya, jika dua dari L, M, N bertemu.

Ketiga garis tersebut kongkuren.

Andaikan tidak kedua dari L, M, N bertemu.

Karena ketiga garis tersebut koplanar berpasangan. Maka ketiganya sejajar

berpasangan.

Teorema 8

Pada bidang P, jika garis L diberikan, ada sebuah titik tidak di L.

Bukti

Dengan postulat 13: Sebuah bidang merupakan himpunan titik-titik, memuat paling

sedikit 3 titik yang tidak termuat pada garis yang sama.

Ada di P, tiga titik tidak kolinier a, b, c. Karena paling sedikit 1 dari a, b, c tidak di L.



Teorema 9

Tiap bidang memuat 3 garis berbeda yang tidak kongkuren.

Bukti:

Dengan postulat 13: Sebarang bidang P memuat 3 titik berbeda yang tidak kolinier a, b, c.

Dengan postulat 15: P memuat ab, bc, ca. dan ab ≠ bc.

Andaikan ab = bc maka c di ab.

Berarti a, b, c kolinier.


Jadi, ab ≠ bc.

Dengan cara yang sama, ab ≠ ac dan bc ≠ ac.

Sehingga ab, bc, ac adalah garis-garis yang berbeda.

Karena ab, bc, ac berpotongan secara berpasangan pada titik-titik yang berbeda a, b,

c. Titik tersebut tidak dapat menjadi kongkuren.

Corrolary 1

Pada bidang P, jika titik a diberikan. Ada sebuah garis yang tidak termuat.

Bukti:

Dengan teorema, ada pada P tiga garis yang tidak kongkuren. Karena paling sedikit

satu yang tidak memuat a.

Corrolary 2

Pada bidang P, sebarang titik a termuat pada paling sedikit dua garis.

Bukti:

Dengan corrolary 1, P memuat satu garis, katakan bc yang tidak termasuk a. Maka

ab dan ac merupakan garis-garis berbeda yang memuat a.

Definisi

Jika dua garis berbeda tidak koplanar, kita katakan garis-garis tersebut menjulur dan

menjulur terhadap yang lainnya.



Teorema 10

Andaikan ada 4 titik a, b, c, d berbeda, tidak kolinier dan tidak koplanar. Maka:

(i) Diberikan sebuah bidang, ada sebuah titik tidak di dalam bidang tersebut.

(ii) Diberikan sebuah garis, ada sebuah garis menjulur ke garis tersebut.

(iii) Diberikan sebuah titik, ada sebuah bidang tidak termasuk di titik tersebut.

(iv) Ada paling sedikit 6 garis dan paling sedikit 4 bidang.

Bukti:

(i) Misalkan diberikan bidang P.

Karena a, b, c, d tidak koplanar, paling sedikit satu dari titik tersebut tidak di P.

(ii)

Misalkan diberikan garis L.Karena a, b, c, d tidak kolinier, paling sedikit satu dari titik tersebut tidak di L.

Misalkan p sebuah titik tidak di L.

Perhatikan bidang Lp.

Dengan (i) ada sebuah titik g tidak di Lp.

Berikut ini garis pq menjulur ke L.

(iii) Misalkan diberikan titik r.

Karena a, b, c, dberbeda, ada sebuah titik s berbeda dengan r, Perhatikan garis rs.

Dengan (ii) ada garis M menjulur ke rs,



BAB V

Teori Geometri Affin

5.1. Pendahuluan

Teori Geometri Affin merupakan geometri yang berisikan tentang geometri

insidensi yang memenuhi postulat sejajar Euclid dalam bentuk Playfair. Geometri

insidensi dikatakan geometri Affin jika memenuhi postulat berikut:

Postulat E

Jika titik A tidak terletak pada garis l maka terdapat hanya satu –

satunya garis msedemikian hingga m memuat A dan m // l.

Ilustrasi:

l

. m

. A

Dalam uraian ini, relasi insidensi terhadap titik, garis, dan bidang digunakan notasi dan

kata “pada” (konvensi Veblen dan Young), sebagai berikut:

“A pada l ” atau “l pada A”, artinya: “titik A berada / terletak pada garis l” atau “garis

l memuat titik A”.

“A pada α” atau “α pada A”, artinya: “Titik A terletak pada bidang α” atau “bidang α

memuat titik A”.

“l pada α” atau “α pada l ”, artinya: “Garis l terletak pada bidang α” atau “Bidang α

memuat garis l”.

5.2 Kesejajaran Garis

Dengan menunjukkan bahwa Postulat E (postulat kesejajaran) ternyata valid dalam

suatu bidang. Pernyataan ini mengikuti postulat E.

Corollary Postulat E:

Jika A tidak pada l, A pada α, dan l pada α, maka satu – satunya garis m sedemikian

hingga m pada A, m // l, dan m pada α .



Bukti:

Menurut postulat E, yaitu: Jika titik A tidak terletak pada garis l maka terdapat dan

hanya satu – satunya garis m sedemikian hingga m memuat A dan m // l. Berarti ada

garis tunggal (unik) m sedemikian hingga m pada A dan m // l.

Menurut definisi garis sejajar, yaitu: dua buah garis adalah sejajar, bila garis itu

terletak pada sebuah bidang dan tidak mempunyai satupun titik persekutuan. Berarti

garis l dan m sebidang (koplane), kita misalkan pada bidang β. Karena A pada m, A

pada β, maka A, m pada β

Menurut teorema 3 bab 7, yaitu : sebuah garis dan sebuah titik yang terletak pada

garis tersebut termuat pada satu bidang. Berarti ada bidang yang memuat titik A dan

garis l Sesuai hipotesis tadi, yaitu: A, l pada α. Jadi β = α, sehingga m pada α.

Teorema 1

Dua garis yang berbeda yang sejajar dengan garis yang sama akan sejajar satu sama

lainnya.

Pernyataan ulang:

Jika l // m, n // m, dan l // n, maka l // n.

Bukti:

Kasus 1: l, m, n, sebidang.

Ilustrasi:

α

A

l n m

Andaikan l berpotongan dengan n titik A, berarti A tidak pada m, karena l // m.

Menurut hipotesis l ≠ n, maka ada dua garis berbeda l dan n yang memuat A dan sejajar

dengan m. Hal ini kontradiksi dengan postulat E, bahwa mestinya hanya ada sebuah garis

yang memuat A yang sejajar dengan m.



Sehingga pengandaian l berpotongan n menjadi salah.

Karena l, n, dan m sebidang, maka menurut definisi garis sejajar artinya l // n.

Kasus 2: l , m, n, tidak sebidang

Ilustrasi:

P

l

m

n‟ A

n

Karena l // m, maka menurut corrolary 3 bab 7, yaitu apabila l // m maka l dan m tepat

berada dalam satu bidang. Artinya ada bidang unik P yang memuat l dan m.

Karena l, m, n tidak sebidang, berarti ada titik A pada N yang tidak pada P.

Menurut corollary teorema 7 Bab 7, yaitu apabila l // m dan A tidak terletak pada

bidang yang memuat L dan M, maka ada garis unik n yang memuat A sehingga n // l

dan n // m. Artinya ada garis unik, kita misalkan garis n‟ yang memuat A sedemikian

hingga n‟ // l dan n‟ // m.

Karena A pada n dan n // m, maka menurut postulat E, n‟ = n jadi l // n

Corollary

Jika l // m dan m // n, maka l = n atau l // n

Kesimpulan dari corollary ini menyarankan bahwa sesejaran dan koinsidensi dapatsaja merupakan maksud yang berhubungan satu sama lain. Dikatakan dua garis memiliki

arah yang sama, maka garis tersebut dapat sejajar atau koinsiden. Prinsip geometri analitik

(Euclid) yang sudah dikenal menyatakan bahwa jika kemiringan garis m, maka l // m atau

l = m. Pertimbangan ini menyarankan definisi berikut ini:

Definisi Jika l, m memiliki sifat bahwa l // m atau l = m, maka dikatakan l, m memiliki arah

yang sama atau kodireksional, atau l kodireksional pada m, ditulis: l cod m.



Catatan:

Kodireksionalitas garis dapat dianggap sebagai generalisasi dari kesejajaran,

karena sebagai tambahan pada kesejajaran. Kodireksionalitas mencakup koinsidensi yang

merupakan jenis kasus “degenerasi” dari kesejajaran. Dalam situasi tertentu lebih mudah

mempelajari kodireksionalitas daripada kesejajaran karena sifat formalnya lebih biasa

digunakan. Secara khusus kodireksionalitas garis dikatakan merupakan relasi ekivalensi,

yakni:

Untuk sembarang garis l, m, n maka pernyataan berikut ini berlaku:

i. l cod l

ii. jika l cod m, maka m cod l

iii. jika l cod m dan m cod n, maka l cod n

Perhatikan bahwa (i) dan (ii) tidak berlaku untuk kesejajaran relasi garis, dan (iii)

sedikit lebih baik daripada corollary diatas. Postulat E juga lebih disederhanakan jika kita

gantikan kesejajaran dengan kodireksionalitas. Dapat dinyatakan sebagai: diketahui A dan

l, ada garis unik m sedemikian hingga m pada A dan m cod l (dimana kita perlu

mengasumsikan bahwa A tidak pada l).

Karena relasi ekivalensi sering muncul dalam geometri, maka kita perkenalkan

maksud relasi tersebut secara formal.

Definisi

Misalkan S merupakan himpunan dan R merupakan relasi yang melibatkan dua

elemen S, ditulis A RB untuk menuju S dalam urutan yang dinyatakan. Maka R

merupakan relasi ekivalensi dalam S jika sifat – sifat berikut berlaku, dengan A, B, C

menunjukkan elemen dari S yang sembarang.

i.

(kerefleksifan) A RAii. (kesimetrian) jika A RB, maka B RA

iii. (ketransitifan) jika A RB dan B RC maka A RC

Sebagai contoh, kongruensi atau kesamaan merupakan relasi yang ekivalensi dalam

himpunan semua segitiga.



5.3. Transversalitas Garis

Jika garis l, m koplane (sebidang), maka garis tersebut harus memenuhi salah satu

dari tiga relasi berikut:

1) l // m.

2) l = m, atau

3) l // m dan l ≠ m

Dalam kasus ketiga, l dan m berpotongan dan berbeda. Kasus ini merupakan relasi yang

penting antara dua garis dan sangat berguna dalam studi kesejajaran, dan diperlukan suatu

nama. Jadi, kita perkenalkan definisi berikut:

Definisi

Kita katakan l transvers m, atau l merupakan suatu transversal dari m, atau l dan m

adalah transvers, ditulis l tr m jika l memotong m dan l ≠ m.

Selanjutnya definisi ini dapat ditunjukkan berlaku pada pernyataan – pernyataan berikut:

Teorema 2:

Dalam suatu bidang, garis yang transvers pada salah satu dari dua garis yang

sejajar juga akan transvers pada garis lainnya.

Pernyataan ulang:

Jika l, m, n terletak pada bidang P, l // m, dan n tr l, maka n tr m.

Ilustrasi:

P

n

A l

m



Bukti:

Misalkan A terletak pada garis l, n.

Andaikan n tidak transvers m, maka yang terjadi adalah n = m atau n // m.

Sehingga haruslah:

(i) n ≠ m, maka jika tidak A akan memiliki secara bersama oleh garis sejajar; dan

(ii) n // m, maka jika tidak akan ada dua garis berbeda l dan n, dimana setiap garis

tersebut memuat A, dan setiap garis tersebut sejajar dengan m.

Hal tersebut kontradiksi dengan postulat E, bahwa mestinya hanya ada satu garis sejajar m

yang memuat A. Jika pengandaian salah, sehingga n tr m



Lanjutan BAB V

5.4. Transversalitas Garis dan Bidang

Definisi

Jika garis l dan bidang α tidak memliki titik sama, dikatakan bahwa l sejajar

dengan αatau α sejajar dengan l, ditulis l // α atau α // l. Lalu dikatan bahwa l transverts

pada α atau α transvers pada l, ditulis l tr α atau α tr l, jika perpotongan l dan α merupakan

sebuah titik.

Definisi ini bersesuaian bahwa untuk l, α sembarang berlaku :

1. l // α,

2. l tr α, atau

3. l pada α

Teorema 3:

Suatu bidang yang transvers pada salah satu dari dua garis sejajar maka akan

transvers juga pada garis lainnya.

Bukti:

Misalkan l //m, α tr l, akan ditunjukkan bahwa α tr m.

Misalkan A merupakan titik perpotongan garis l dan bidang α, dan misalkan β adalah

bidang yang memuat garis l dan m.

Artinya β ≠ α, jika tidak, l terletak pada β yang berarti l juga terletak pada α.

Hal ini kontradiksi dengan hipotesis α tr l.

Demikian juga A terletak pada l dan l terletak pada β, yang bererti A terletak pada β.

Jadi titik A sama-sama terletak pada αdan β.

Oleh karena itu α berpotongan dengan β.

Perpotongan bidang α dan β pada sebuah garis n yang memuat titik A.

Artinya n ≠ l, jika tidak l akan terletak pada α. Hal ini kontadiksi dengan hipotesis α tr

l. Jadi n tr l sesuai dengan definisi.

Karena l, m, n, terletak di β, maka menurut teorema 2, n tr m.

Misalkan B merupakan titik potong garis n dan m terletak pada α, sehingga B sama-

sama terletak pada α dan M.



Andaikan terdapat titik lain, yakni C yang sama-sama terletak pada bidang α dan garis

m, menurut postulat 15, yaitu jika sebuah bidang mengandung dua titik yang sejenis,

maka bidang itu memuat garis.

Artinya m terletak pada bidang α.

Karena m terletak juga pada bidang β, ini menunjukkan bahwa m ≠n, hal ini

kontradiksi dengan n tr m. Jadi pengandaian salah, dan B satu-satunya titik yang

sama-sama pada m dan α.

Sehingga menurut definisi α tr m.

Corollary 1

Jika l // m dan α tidak tr l, maka α tidak tr m.Bukti:

Andaikan α tr m, maka menurut teorema 3 : α tr l (kontradiksi dengan hipotesis)

Corollary 2 :

Jika l // m dan α // l , maka α //m atau α memuat m.

Bukti

α // l yang berarti α tidak tr l, maka menurut corollary 1 : α tidak tr m.

Oleh karena itu kemungkinanya hanyalah α //m atau α memuat m.

Corollary 3 :

Jika l // m dan α memuat l, maka α memuat m atau α //m.

Bukti :

Karena α memuat l berarti α tidak tr l, maka α tidak tr m (corollary 1)

Jadi α memuat m atau α // m.

Corollari 4 (pernyataan ulang corollary 3)

Jika sebuah bidang memuat salah satu dari 2 garis sejajar dan tidak memuat yang

lainnya, bidang itu sejajar dengan yang lainnya. Pernyataan ini ekuivalen dengan jika

sebuah garis sejajar sebuah garis yang terletak pada sebuah bidang, maka garis itu sejajar

dengan bidang itu.



Teorema 4 :

Sebuah garis transvers dengan satu dari dua bidang sejajar, maka akan transvers

dengan yang laiannya.

Bukti :

Diketahui α // β, l tr α.

Misalkan A sebuah titik pada β yang tidak pada l, maka menurut postulat E

terdapat garis unik m yang menuat A sedemikian hingga m// l.

Menurut teorema 3, m tr α, m tidak sejajar dengan β, karena m menembus β di A.

M tidak pada β kerena m menembus α dan α // β.

Jadi m tr β, karena m//l maka dianggap bahwa l tr β.

Corollary 1

Jika α // β dan l tidak tr α, maka l tidak tr β.

Bukti :

Andaikan l tr β, maka menurut teorema l tr α (kontradiksi dengan hipotesis).

Corollary 2

Jika α // β dan l // α, maka l// β atau l pada β.

Bukti :

l // α yang beartil tidak tr α.

Jadi menurut corollary 1 : l tidak tr β.

Kemungkinan yang ada hanyalah l // β atau l pada β.



BAB VI

Teori Urutan Pada Garis

6.1. Konsep Urutan

Urutan adalah salah satu yang paling dasar dari suatu ide matematika. kita

menemukannya dalam bentuk aljabar saat kita belajar untuk menghitung, dalam bentuk

geometris ketika kita mengamati bahwa sebuah objek akan berada di sebelah kiri dari

objek lain, atau berada diantara dua objek lainnya, atau objek tersebut berada berlawanan

jalur dari objek yang lain.Ada dua cara dalam mempelajari konsep dari sebuah teori matematika:

1. Untuk mendefinisikannya sehubungan dalam pengertian konsep-konsep dasar.

2. Untuk menggunakannya sebagai konsep dasar dan menentukannya dengan postulat

yang sesuai.

Ini tampaknya sangat sulit, jika tidak memungkinkan untuk mendefinisikan ide dari

urutan dalam hal titik, garis dan bidang datar sebagai konsep dasar dari teori insidensi,

maka kita akan mengadopsi prosedur yang kedua.

Ada dua buah teori urutan yang terkenal yang disebut dengan teori precedence

(keutamaan) dan teori keantaraan.Teori pertama, elemen dari himpunan diurutkan oleh

relasi dari dua suku (biner) secara spesifikasi yang disebut dengan precedence, contohnya,

himpunan titik pada sebuah garis atau himpunan bilangan rasional. Teori kedua, adanya

relasi tiga suku (terner) yang disebut betweenness , yang ditetapkan dalm suatu himpunan

, contohnya, keberadaan titik diantara garis atau keantaraan dalam bilangan ril. Tentu saja

postulat yang sesuai dengan masing-masing teori dapat diasumsikan.

Secara umum, teori precedence melibatkan sebuah relasi dua suku a<b (a

mendahului b bukan a lebih kecil dari b) dan himpunan S dari elemen a,b,c,...,yang

memenuhi postulat berikut:

P1. a<a, selalu salah

P2. a<b, b<c, secara tak langsung menyatakan a<c

P3. Jika a, b berbeda maka a<b, b<a berlaku.



6.2. Postulat Untuk Keantaraan

Ada banyak system dari postulat betweeness yang dipilih dengn alasan yang

sederhana, bukan untuk sulit dipahami dan untuk memfasilitasi pembelajaran urutan

dalam bidang dan ruang. Kita mempertimbangkan geometri insidensi secara umum pada

11-16 dan mengenal konsep dasar penjumlahan “antara” yang diindikasikan oleh symbol

(abc) yang dibaca titik a, b, c adalah urutan abc atau b diantara a dan c. (Postulat E pada

Bab 9 yang tidak diasumsikan). Kita mengasumsikan bahwa relasi “antara” yang

memenuhi postulat berikut:

B1. (abc) secara tak langsung menyatakan (cba)…(sifat simetri)

B2. (abc) secara tak langsung menyatakan ketidakbenaran (bca)…(sifat antisiklik) B3. a, b, c berbeda dan kolinear jika dan hanya jika (abc), (bca), atau

(cab)…(koheren linear)

B4. Andai p kolinear dengan dan berbeda dari a, b, c maka (apb) berimplikasi

dengan (bpc) atau (apc) tetapi tidak keduanya…(sifat separasi/pemisahan)

B5. Jika a≠b , ada x, y, z sedemikian hingga (xab), (ayb), (abz)…(eksistensi)

Postulat ini perlu mendapatkan catatan. Perhatikan bahwa postulat ini disajikan

dengan diagram yang mudah dibuktikan. Lihat B1 merupakan sifat simetri sederhana

yang hanya menukar urutan secara simetri dari elemen pada relasi (abc) tanpa

mengganggu kevaliditasannya. B2 menyatakan bahwa kita mengubah validitas dari (abc)

jika kita menggunakan permutasi siklik dengan mengubah posisi a, b, c dengan b, c, a.

Relasi Postulat B3 merupakan konsep dasar dari “antara” yang mendasari relasi titik

dan garis pada teori insidensi. Tanpa beberapa sifat, kita mempunyai dua teori terpisah,

yang tidak saling berinteraksi, satu teori untuk insidensi dan satu teori lainnya untuk

betweenness. B3 lebih mudah dipahami sejak relasi urutan digunakan pada permutasi

siklik dari (abc).

B3 mempunyai dua sifat sederhana:

B3.1. (abc) secara tak langsung menyatakan a, b, c berbeda dan kolinear.

B3.2. jika a, b, c, berbeda dan kolinear maka (abc), (bca), or (cab).

Sebenarnya, B3 ekuivalen dengan B3.1 dan B3.2 dan B3 merupakan formulasi

sederhana dengan adanya dua sifat tersebut.



B4 sejalan atau memiliki satu dimensi dengan Postulat Pasch (Bab 11) yang

diformulasikan secara asli sebagai sifat dari segitiga.Dan termasuk dalam jenis postulat

pemisahan yag lemah. Tampak pada (abc) diman b sebagai pemisah a dan c. maka

kesimpulannya B4 adalah jika p pemisah a dari b seharusnya memisahkan a atau b dari c

tetapi bukan keduanya. Secara intuitif, c harus terletak pada sisi p berlawanan dengan a

atau b tetapi tidak keduanya. Sebagai catatan bahwa tak ada asumsi pada B4 yang dapat

menjadi ketetapan pada a, b, c dan hal itu valid misalnya jika b = c.

B5 diperkenalkan untuk meyakini eksistensi dari titik yang dapat timbul dalam

diskusi kita. Hal ini mencegah teori agar tidak trivial.

6.3.

Sifat Dasar dari KeantaraanPada bagian ini akan mempelajari tentang sifat urutan dari tiga titik. Diantaranya

adalah B3.1 dan B3.2 pada bagian 2. Dari B3.1, prinsip yang memenuhi sebagai berikut:

i. (abc) secara tak langsung menyatakan ab = bc = ac.

ii. (abc) secara tak langsung menyatakan bahwa c anggota ab, a anggota bc, b

anggota ac.

Pada relasi betweenness, dikatakan (abc), secara natural kita akan bertanya yang

mana relasi betweenness yang diikuti dari hal itu. B1 dan B2 memberikan jawaban

terpisah. Jawaban selengkapnya dapat ditemukan dalam:

Teorema 1

(abc) secara tak langsung menyatakan (cba) dan (abc) secara tak langsung

menyatakan ketidakbenaran dari (bca), (bac), (acb), dan (cab).

Bukti:

(abc) secara tak langsung menyatakan (cba)…B1

(abc), (cba) masing-masing secara tak langsung menyatakan ketidakbenaran dari

(bca), (bac)…B2

Andaikan (acb) maka (bca) adalah salah…B1

Karenanya (acb) pasti salah.

Alasan yang sama untuk membuktikan (cab) adalah salah.



Corollary

(abc) jika dan hanya jika (cba). sehingga (abc) dan (cba) adalah ekuivalen.

Sebagai pelengkap, teori dari urutan tiga titik. kemudian (sub bab 15 ke bawah) kita

akan mendiskusikan teori urutan dari empat titik.

6.4. Segmen

Bentuk geometri yang paling sederhana dan sangat penting setelah garis adalah

segmen garis yang akan didefinisikan dengan mudah dalam istilah urutan.

DefinisiJika a≠b, himpunan dari semua titik x sedemikian hingga (axb) disebut segmen ab

yang dinotasikan ab, ab dinamakan titik ujung dari segmen ab yang disebut dengan

penghubung a dan b.

Perhatikan bahwa segmen didefinisikan sebagai himpunan titik sederhana. Kita

tidak mengukur panjang garis atau membandingkan segmen mana yang lebih panjang

atau lebih pendek.

Adapun sifat dasar dari segmen tampak pada:

Teorema 2

Jika a≠b maka:

i. ab = ba;

ii. ab subset ab;

iii. a,b bukan elemen dari ab;

iv. ab bukan himpunan kosong.

Bukti:

i. Bahwa ab dan ba adalah himpunan yang identik. Artinya, himpunan tersebut

memiliki anggota yang sama. Tepatnya masing- masing anggota ab adalah

sebuah elemen di ba dan sebaliknya.

Jika x€ab maka x€ba dan sebaliknya.x€ab hanya jika (axb)….definisi ab



x€ba hanya jika (bxa)….definisi ba

sehingga akan dibuktikan bahwa (axb) ↔(bxa)

Berdasarkan (axb) dan (bxa) adalah ekuivalen ….corrolary teorema 1

Sehingga ab = ba

ii. Kita harus menunjukkan masing-masing anggota ab adalah elemen di ab.

x€ab→ x€ab

sekarang x€ab maka (axb)……(section 3)

sehingga x€ab (terbukti)

iii.

Andai a€ab Dari definisi ab maka (aab)….kontradiksi B3.1

Sehingga a bukan anggota ab

Dan berlaku juga untuk b.

iv. ab setidaknya memiliki satu elemen

a≠b

ada x sedemikian hingga (axb)…..B5

x adalah anggota ab (terbukti)



Lanjutan BAB VI

6.5. Garis Berarah

Garis bearah muncul secara implicit dalam Euclid dalam bentuk sisi suatu sudut.

Garis berarah dapat di jelaskan sebagai lintasan yang diikuti oleh titik yang dimulai dari

suatu titik dan bergerak tak berujung pada suatu arah yang diberikan.

Gambar 6.1

Jika titik awal adalah a dan b merupakan titik ada arah yang diberikan dari a, maka

garis akan terdiri atas semua titik antara a dan b dan bersama denga b, semua titik diluar b

yang relatif terhadap a (gb 10.1)

Gambar 6.2

Ada bentuk konstruksi lainnya. Untuk menjelaskan hal tersebut, misalkan a

merupakan titik awal, tetapi anggaplah arah yang diberikan teryata berlawanan dengan

arah sebelumnya, yakni dari a secara langsung berlawanan dengan titik b , maka garis

akan terdiri atas semua titik “di luar” a “yang relative terhadap” b. Kedua bentuk

konstruksi tersebut (atau definisi)ternyata penting dan diperlukan dalam perkembangan.

Bentuk pertama tampaknya lebih natural, tetapi melibatkan tiga komponen terpisah.

Bentuk kedua yang hanya melibatkan komponen yang lebih sederhana. Jadi, kita hanya

melibatkan komponen yang lebih sederhana. Jadi kita mendasarkan definisi garis menurutkonstuksi kedua karena akan kita lihat, bentuk pertama ternyata harus gagal.

Definisi:

jika ba , himpunan semua titik x sedemikian sehingga (xab) disebut garis

berarah dan dinotasikan dengan a/b, dibaca a atas b. kadang-kadang a/b disebut

pepanjangan atau prolongasi diluar a. titik a dikatakan titik ujung garis a/b

a b



Catatan:

Perhatikan bahwa garis didefinisikan sehubungan dengan titik dank e-antaraan.

Deskripsi intuitif sehubungan dengan “arah” yang dihasilkan, menurut analisis,

merupakan definisi formal dimana “arah” tidak muncul. Akan tetapi, ide arah tetapmenjadi bagian substruktur pengetahuan geometrik, ide tersebut membantu kita mengerti

dan mengasimilasikan sifat garis dan bahkan membuka pemikiran akan sifat yang baru.

Definisi diatas tentang garis dimotivasi oleh ode mengenai arah. Dengan

memformalisasikan konsep garis, kita dapat menggunakan konsep tersebut dan kita bisa

memberikan arah yang tepat. Misalkan, kita mendefinisikan “b” dan c berada pada arah

yang sama dari a untuk mengartikan bahwa b dan c memiliki arah sinar yang sama dengan

titik ujung a. Ide yang lebih sulit bahwa arah dari a ke b adalah sama seperti dari c menujud (dimana a, b, c, d merupakan titik-titik yang kolinier) dapat didefinisikan sehubungan

dengan konsep garis berarah.

Teorema 3

Jika ba , maka

i. a/b, b/a merupakan subset dari ab

ii. a, b bukan elemen dari a/b

iii. a/b merupakan himpunan tak kosong

Bukti:

i. Kita buktikan a/b merupakan subset dari ab dengan menunjukkan bahwa setiap

elemen a/b juga elemen dari ab. Misalkan x merupakan elemen a/b. menurut

definisi a/b, kita mendapatkan (xab). Hal ini secara tak langsung menyatakan

bahwa x berada pada ab. Jadi a/b merupakan subset ab. Hal yang serupa juga

berlaku untuk b/a

ii. Lanjtkan seperti pada teorema 2, asumsikan a (atau b) berada pada a/b dan

dapatkan suatu kontradiksi

iii. Gunakan B5 pada teorema 2



6.6. Konsep dan Terminologi Teori Himpunan

Studi geometri ternyata berbeda dari aljabar karena secara efektif, geometri

melibatkan konsep himpunan dari sejak awal. Kita memberikan postulat garis dan bidang

menjadi himpunan titik, kita mempelajari sifat perpotongan garis dan bidang, kita

mendefinisikan segmen dan garis merupakan subset garis yang tak kosong. Sekarang kita

menjadi lebih terlibat dengan relasi himpunan dan operasi himpunan dan penting untuk

memformalisasikan dan menggunakan notasi yang sesuai untuk relasi tersebut.

Himpunan merupakan koleksi, kesatuan, kumpulan atau kelas objek, yang disebut

elemen. Jika himpunan berhingga, maka himpunan tersebut dapat didefinisikan dengan

mendaftarkan anggotanya, misalnya himpunan yang terdiri atas titik ujung dan titik

tengah segmen yang diketahui, atau himpunan yang terdiri atas bilangan 1, 3, 997, dan 13.secara umum, himpunan didefinisikan dengan menspesifikasi “sifat penetapan” yakni,

sifat yang berlaku untuk setiap elemen ab, dengan mendefinisikan sifat (axb); yakni titik x

dikatakan elemen dari himpunan ab jika dan hanya jika x berada antar a dan b. dalam

geometri, masalah kedudukan melibatkan definisi, sebagai contoh, himpunan titik dimana

setiap titik berjarak sama dari dua titik yang diketahui.

Kadangkala, suatu sifat dispesifikasikan dengan memenuhi sifat tidak memiliki

elemen, misalnya, him[unan segitiga Euclid yang memiliki dua sudut tumpul. Dalamkasusu ini, kita katakana sifat tersebut mendefinisikan himpunan kosong atau nul, yang

dikarakteristikan sebagai tidak punya elemen. Himpunan kosong dinotasikan dengan ø.

Jika himpunan A merupakan subset dari B kita tulis AB atau BA. AB berarti

bahwa setiap elemen A merupakan elemen B tetapi meniadakan pernyataan bahwa A = B.

sifat refleksif Aa berlaku untuk setiap himpunan A. (bandingkan keterbagian dalam

aritmatika, dimana setiap bilangan bulat merupakan pembagi dirinya sendiri). Perhatikan

bahwa hokum transitif berlaku untuk pemuatan himpunan: AB, BC yang secara tak

langsung menyatakan AC.

Dalam hubungan dengan elemen dan garis secara simultan, misalnya, titik dan

bangun geometric, kita perlu membadakan titik dan garis dengan pemilihan notasi yang

sesuai. Perlu adanya notasi untuk mengindikasikan bahwa x merupakan elemen dari

himpunan A. Notasi konvensional adalah A x (dibaca x berada dalam A atau x milik

A). kadang lebih disukai mengkonversi A x yakni kondisi A memuat x sebagai elemen,

tetapi nampaknya tidak ada notasi yang cukup atraktif untuk bentuk ini. Kadangkala

A x berarti subset dari dan dalam x A diinversikan sebagai A x, yang berarti kita



telah memperkenalkan 4 simbol pemuatan; ,,, . Jadi, kita ambil lintasan yang

berbeda dan mengekspresikan x sebagai suatu elemen A, cukup nyatakan A x atau

x A . Ada sedikit keberatan mengenai penggunaan ini, karena kita menggunakan

symbol dalam dua arti: dalam A x berari subset dari dan dalam A x berarti

elemen dari. Kedua hal ini berhubungan, tetapi memiliki ide yang berbeda; meskipun

garis merupakan subset dari bidang, kita katakana bahwa garis merupakan elemen dari

bidang. Akan tetapi, tidak muncul ambigu dalam pelakuan kita, karena “alphabet” kita

membedakan elemen dari himpunan, dan kita punya keunggulan dengan menggunakan

satu simbol untuk dua ide yang terhubung.

Catatan:

Cara yang lebih formal dalam memendang penggunaan adalah: misalkan (x)

menunjukkan himpunan yang hanya memiliki elemen x, maka A x secara logika

ekiuvalen dengan (x)A. sehingga penggunaan untuk pemuatan elemen merupakan

persetujuan atas penghilangan tanda kurung dalam konteks yang menghidarkan

keambiguan.

Penggunaan memberikan notasi yang cukup sederhana dalam hubungan dengansifat tertentu himpunan. Jadi, A B dapat dinyatakan dengan: jika xA maka xB.

Selanjutnya pertimbangkan identitas atau kesamaan himpunan, yang dinyatakan dengan A

= B. hal ini menyatakan: jika xA maka xB dan berlaku pula konvensinya, yakni, x

A jika dan hanya jika xB. jadi, A = B ekiuvalen dengan AB dan BA.

Dalam geometri, kita seringkali mengkombinasikan himpunan “lebih kecil” untuk

membentuk atau memecahkan himpunan yang lebih besar menjadi himpunan yang lebih

kecil. Hal ini memberikan operasi dasar yang membentuk gabungan dua himpunan.

Definisi

Jika A, b adalah himpunan, B A yang disebut gabungan A dan b, merupakan

himpunan yang memuat setiap elemen dari A, setiap elemen dari B dan bukan elemen

lainnya.



B A dikarakteristikkan dengan sifat: B A x jika dan hanya jika A x atau

B x (dimana kedua kemungkinan dapat saja terjadi). Jadi, B A x jika dan hanya

jika elemen dari setidaknya satu dari A, B, dan B A x jika dan hanya jika A x dan

B x . Perhatikan bahwa B A dapat didefinisikan terdiri dari atas semua elemen A

bersama dengan elemen B yang tidak berada dalam A.

Jika A merupakan himpunan dan b merupakan elemen b A (atau Ab )

menunjukkan himpunan yang berbentuk dan menghubungkan b pada elemen A.

Perhatikan bahwa jika b berada dalam A, A B A . Jadi, ada hokum Absorpsi: jika

A B , maka A B A , jadi hokum idempoten; A A A berlaku benar.

Karena B A merupakan himpunan yang dapat kita bentuk gabungn dengan

himpunan C yang diekspresikan . Serupa pula, dibentuk )( C B A .

C B A )( memuat setiap elemen dari A, dari B dan dari C, dan bukan elemen lainnya.

Demikian juga . Jadi = . Dan ditulis C B A

untuk bentuk ekspresi lainnya, dan mengacu sebagai gabungan himpunan A, B, C,

perhatikan bahwa C B A x jika dan hanya jika x setidaknya satu elemen dari A, B,

C, dan C B A x jika dan hanya jika A x , B x , C x . Ide ini digeneralisasi

untuk beberapa himpunan.

Kita dapat memperlakukan persamaan seperti dalam aljabar biasa, misalnya,

diberikan A = B, dapat kita simpulkan X B X A . Tetapi konvensi dari persamaan

ini tidak berlaku. Misalnya, ababababab

Tetapi abab . Untuk menyatakan konvensi yang benar, kita perkenalkan ide

keterasingan himpunan yang kita perlukan. Dua himpunan A, B dikatakan saling asing,

atau A saling asing (lepas) dengan B, jika A dan B tidak memiliki elemen yang sama,

dalam himpunan yang lebih umum A1, …, An dikatakan saling asing jika tidak ada dua

himpunan yang memiliki elemen yang sama.

Prinsip kanselasi

Jika X B X A maka A = B, asalkan X saling asing dengan A dan dengan B.

Bukti:

Untuk membuktikan A = B, kita tunjukkan bahwa A x secara tak langsung

menyatakan B x dan berlaku konvensinya. Anggaplah A x , maka X A x ,

C B A )(

)( C B A C B A )( C B A )(



a/b

a b

b/a

sehingga X B x . Jadi, B x atau X x . Tetapi, X x karena A dan X saling

asing. Karenanya B x . Yakni, A x secara tidak langsung menyatakan B x .

Konversinya juga dibuktikan serupa, dan kita simpulkan A = B.

6.7. Dekomposisi Suatu Garis yang ditentukan oleh Dua Titik

Sekarang kita persiapkan diri membuktikan babarepa sifat urutan, seperti yang

siasumsikan Euclid, yang telah didiskusikan di bab1. Pertama akan ditunjukkan bahwa

dua titik dari satu garis akan menyebabkan pecahnya menjadi satu segmen dan dua garis.

Teorema 4

Jika ba maka abbbaab , dan dua suku di sebelah kanan tanda sama

dengan adalah saling asing.

Gambar 6.3

Bukti

Misalkan S menunjukkan himpunan abbababa kita buktikan S = ab

dengan menunjukkan bahwa abS dan konversinya Sab . Menurut teorema 2 dan 3,

setiap abbaab ,, meupakan subset dari ab. Karena abba , , maka abS .

Sekarang kita tunjukkan Sab . Misalkan ab x , jika x = a, atau x = b, maka x

berada dalam S. jika ba x , maka menurut B3.2, (abx), (bxa), (xab). Pertama, anggaplah

(abx) Maka B1 secara tak langsung menyatakan (xab) dan ab x menurut definisi garis

berarah. Karenanya S x . Selanjutnya, anggaplah (bxa). Maka abba x , sehingga

S x . Jadi, jika (xab) maka ba x , karenanya S x . Jadi setiap titik dari ab berada

pada S, atau Sab . Kita simpulkan S = ab.

Menurut hipotesis, ba . Menurut teorema 2 dan 3

abbaabbdanabbaaba ,,,, . Anggaplah badanab tidak saling asing.

Misalkan x adalah titik yang dimiliki kedua himpunan itu. Maka (axb) dan (xab), yang

kontradiksi dengan teorema 1. Karenanya ab dan ba saling asing.



x c p a b

Serupa pula, untuk abdanab . Jadi, jika x dimiliki oleh ba , ab maka (xab)

dan (xba), yang kontradiksi dengan teorema 1. Karenanya ba , ab saling asing dan

bukti telah lengkap.

6.8. Penentuan Garis Berarah

Garis ba ditentukan dengan menspesifikasi titik ujung a dan titik kedua b, tetapi b

tidak berada pada garis ba (teorema 3). Relasi antara konsep garis berarah dan ide arah

menyatakan bahwa ba dapat ditentukan dengan menspesifikasi titik ujung a dan satu

dari titiknya, katakanlah c, karena dirasa c terletak pada arah yang unik dari a. Hal ini

ditetapkan dalam cororllary 1 di bawah ini. Corollary 1 menghasilkan definisi (dan notasi)untuk cara baru penentuan garis berarah, yang dihubungkan dengan formulasi asal dalam

corollary 3, 4, 6, 7. kunci untuk diskusi lebih lanjut adalah teorema 5, yang dapat

dinyatakan:

Jika dua garis berarah dengan sama titik ujung memiliki titik yang dimiliki

bersama, maka mereka pasti saling berimpit.

Teorema 5

Jika a p bertemu dengan b p maka a p = b p

Gambar 6.4

Bukti

Pertama kita tunjukkan bahwa (apb) salah dengan menggunakan B4. Misalkan

b pa pc , . Maka (cpa) dan (cpb), sehingga c p , a, b dan p kolinier dengan c, a, b.

jadi menurut B4, (cpa) secara tidak langsung menyatakan (cpb) atau (apb) tetapi tidak

keduanya. Karenanya (cpb), maka (apb) salah.

Sekarang kita tunjukkan bahwa b pa p . Misalkan a p x ; maka (xpa). Kita

tunjukkan (xpb) dengan menggunakan B4. Karena pdanba x p ,, kolinier dengan x, a,

b, dengan menggunakan B4 (xpb) atau (apb). Karena (apb) salah, (xpb) terjadi sehingga

b p x . Jadi, b pa p . Jika kita tukar a dan b dalam argumen ini, kita peroleh

a pb p , jadi b pa p .



Corollary 1

Jika a p , ada satu dan hanya satu garis berarah dengan titik ujung p yang memuat a.

Bukti

Karena a p , menurut B5, ada titik x sedemikian sehingga (apx). Jadi

x pdan x pa merupakan garis berarah dengan sifat yang diinginkan. Karena

sebarang garis berarah denga titik ujung p akan memiliki bentuk y p , anggaplah y p

memuat a. Maka x p bertemu dengan y p dan menurut teorema tersebut x p = y p .

Hasil ini menetepkan permasalahan penentuan garis berarah. Dapat dinyatakan

dengan garis berarah ditentukan dengan menspesifikasi titik ujung dan satu dari titik-

titiknya. (tentu saja dua titik tersebut harus berbeda). Dapat diekspresikan dengan istilah

“global” sebagai berikut: himpunan semua titik, yang tidak termasuk titik p yang

diketehui, dikatakan “tercakup” oleh himpunan garis berarah dengan titik ujung p.

Gambar 6.5

Pengantar konsep garis berarah (sub bab 5) mencangkup dua konstruksi informal

yang dapat dijelaskan sebagai berikut:

A. Mulai dari titik a dan bergerak tidak berujung dalam arah yang diberikan oleh titik b

(gb 10.5(a))

B. Mulai dari a dan bergerak tidak berujung dalam arah yang berlawanan dengan b (gb

10.5(b))

Kontruksi (B) menghasilkan definisi garis berarah dalam bentuk ba . Sekarang Corollary

1 memudahkan kita memformalisasikan (a)

Definisi

Jika a p , garis berarah unik dengan titik ujung p yang memuat a dinotasikan

dengan pa dibaca “garis berarah pa atau panah pa”

b ba a

(a) (b)



Corollary 2

Misalkan R adalah garis berarah dengan titik ujung p. maka Ra secara tak

langsung menyatakan pa R .

Bukti

Menurut Teorema 3, a p . R merupakan garis berarah dengan titik ujung p yang

memuat a, menurut corollary 1, R hanya satu-satunya garis berarah. Jadi menurut definisi

R adalah pa

Hal ini dapat diekspresikan xecara lebih tegas dengan menggunakan bentuk khusus

untuk R, misalnya:

Jika pa x pmaka x pa

Corollary 3

Sebarang garis berarah x p dengan titik ujung p dapat diekspresikan dalam bentuk pa

Bukti

Menurut teorema 3, x p tidak kosong dan memuat titik a. jadi pa x p .

Corollary 4

(apb) secara tak langsung menyatakan a p pbb p pa ,

Gambar 6.6

Bukti:

(apb) secara tak langsung menyatakan b pa menurut corollary 2, paa p .

Menurut B1 (apb) secara tak langsung menyatakan (bpa) dan argument diatas

menghasilkan pba p .

Hasil ini sangatlah berguna, hasil ini memudahkan kita mengkonvensikan garis

berarah dari bentuk „panah‟ menjadi bentuk pecahan atau kebalikannya bila diperlukan.

Secara kasar, hasil ini dapat dibandingkan dengan prinsip aljabar 1 abba yang

mengkonvensikan hasil bagi menjadi hasil kali. Kita gunakan bentuk ini untuk

membuktikan

a p

pa

b

pb



Corollary 5

baasalkanabab ,

Bukti:

Misalkan c memenuhi (cab). Menurut corollary 4 dan teorema 3,

abaccaab Relasi garis berarah ba dan ab pad garis ab ditunjukkan dalam

diagram (gb 10.7).

Gambar 6.7

Corollary 4 memiliki dua akibat tambahan yang berhubungan dengan bentuk garis

berarah „panah‟ dan „pecahan‟.

Corollary 6

Jika a p pbmakab p pa

Bukti:

b p paa . Jadi (apb) dan corollary 4 secara secara tak langsung menyatakan

a p pb .

Corollary 6, menyatakan bahwa jika arah a dari p berlawanan dengan arah b, maka

arah b dari p berlawanan dengan arah a. diekspresikan secara formal, bentuk ini

merupakan prinsip trasposisi karena mempertukarkan a dan b dalam hubungan b p pa

untuk memperoleh a p pb

Corollary 7

pb pa jika dan hanya jika p/a dan p/b.

Bukti:

Misalkan x p pb pa . Menurut corollary 6, a p px dan b p px . Jadi p/a =

p/b. konvensinya, misalkan pyb pa p . Menurut corollary 6 y p pa dan

y p pb sehingga pb pa

a b

ab ba



R R‟

x y

p

R R‟ a b

px y

Lanjutan BAB VI

6.9. Sinar Berlawanan

Definisi

Sinar R, R‟ adalah sinar yang berlawanan jika kedua sinar tersebut memiliki

sebuah titik akhir yang sama yaitu titik p dimana p terletak di antara titik x (pada sinar R)

dan titik y (pada sinar R‟).

Gambar 6.8

Teorema 6

Diketahui sinar R, R‟ memiliki sebuah titik akhir yang sama yaitu titik p. Ada titik

a di R dan titik b di R‟ sehingga diperoleh urutan (apb). Maka p terletak di antara setiap

titik di R dan setiap titik di R‟, sehingga R dan R‟ berlawanan.

Gambar 6.9

Bukti:

Diketahui a R dan b R‟

Misalkan x R, y R‟, akan dibuktikan urutan (xpy) atau (ypx)

1. = = pa

2.

= = pb 3. = p b Teorema 5 Corollary 4

4. Dari 1 dan 3 diperoleh = menyisihkan a

5. Jika pa = p b maka = p a Teorema 5 Corollary 6

6. Dari 4 dan 5 diperoleh =

7. Dari 2 dan 5 diperloleh = menyisihkan b

8. Jadi y ⊂ / maka urutan (ypx) atau (xpy)



Corollary 1

Sinar dan / adalah berlawanan dan p terletak diantara dua titik pada masing-

masing sinar tersebut.

Corollary 2

Dimisalkan (apb), maka / dan / adalah berlawanan dan p terletak diantara

dua titik pada masing-masing sinar tersebut.

Corollary 3

Pasangan dari sinar yang berlawanan bersifat saling lepas.

Corollary 4

Tidak ada sinar yang berlawanan dengan dirinya sendiri.

6.10. Konsep Pemisahan

Definisi

Kita katakan titik p memisahkan sebuah himpunaan titik A menjadi himpunan tak

kosong S dan S‟ jika memenuhi kondisi sebagai berikut:

1. A = S S‟ p

2. p terletak di antara titik pada S dengan titik pada S‟

3. p tidak terletak di antara dua titik di S maupun dua titik di S‟

4. S, S‟ dan p, saling lepas.

6.11. Pemisahan Sebuah Garis oleh Sebuah Titik

Teorema 7

Andaikan urutan (apb), maka p memisahkan ab menjadi / dan /.

Bukti:

Toerema 3: / dan / tidak kosong.Kita harus menunjukkan:

1. = / ∪ ∪ /

Bukti:

(apb) pa ab

pb ab

Teorema 3 / ⊂

/⊂

/,/⊂

⊂ ⊂

⊂

= / ∪ ∪ /



2. p terletak di antara titik pada / dengan titik pada /

Bukti:

Dari Teorema 6 Corollary 2 Dimisalkan (apb), maka / dan / adalah

berlawanan dan p terletak diantara dua titik pada masing-msing sinar tersebut.

3. p tidak terletak di antara dua titik di / maupun dua titik di /

Bukti:

- Andaikan p diantara x dan y pada /.

- Teorema 6 / berlawanan dengan /.

- Hal ini tidak sesuai dengan Teorema 6 Corollary 4 tidak ada sinar yang

berlawanan dengan dirinya sendiri.

- Begitu juga sebaliknya pada dua titik di /.- Sehingga p tidak terletak di antara dua titik di / maupun dua titik di /.

4. /, / dan p, saling lepas.

Bukti:

- Dari Teorema 3 ⊄ /, /

- Dari Teorema 6 Corollary 2 / dan / adalah berlawanan

- Dari Teorema 6 Corollary 3 Pasangan dari sinar yang berlawanan bersifat

saling lepas

/ dan / saling lepas.- Sehingga /, / dan p, saling lepas.

Corollary 1

Teorema diatas tidak berlaku jika menganggap p/a, p/b sebagai , .

Berdasarkan Teorema 5 Corollary 4 / = , / =

Corollary 2

Diketahui p L, maka p memisahkan L menjadi dua bagian dimana bagian

tersebut merupakan sinar dengan titik akhir yang sama yaitu p.

Berdasarkan definisi Sinar Berlawanan

Corollary 3

Jika a ≠ b, maka = / ∪ ∪ dan /,, saling lepas.



a b / /

ab

x x x

Bukti:

1. Berdasarkan B5 (hal. 186) jika a ≠ b, terdapat x maka urutannya (xab)

2. Berdasarkan Teorema 4 (hal. 193) jika a ≠ b, maka = / ∪ ∪ ∪ ∪

/

3. Sehingga = = / ∪ ∪ / dimana /, ,/ saling lepas.

4. Berdasarkan Teorema 5 Corollary 4 (hal.195) diperoleh / =

5. Sehingga dari 2 dan 3 = / ∪ ∪ dimana /, , saling lepas.

Corollary 4

Jika a ≠ b maka = ∪ ∪ / dan ,, / saling lepas.

Gambar 6.10

Bukti:

1. Corollary 3 = / ∪ ∪

2. Teorema 4 (hal. 193) = / ∪ ∪ ∪ ∪ /

3. Dari 1 dan 2 / ∪ ∪ = / ∪ ∪ ∪ ∪ /

4.

Sehingga diperoleh

=

∪ ∪ / dan

, ,/ saling lepas.Corollary 5

Diketahui a ≠ b maka x ⊂ jika dan hanya jika (axb) atau x = b atau (abx)

Gambar 6.11

Corollary 6

Diketahui (abc), maka = dan / = /

Bukti:

1. Berdasarkan Corollary 5(abc) maka b ⊂

2. Berdasarkan Teorema 5 Corollary 2 (hal. 195) diperoleh =

3. Berdasarkan Teorema 6 Corollary 7 (hal.196) diperoleh / = /



a bp

6.12. Pemisahan Sebuah Segmen oleh Sebuah Titik

Teorema 8

Andaikan (apb), maka p memisahkan menjadi dan

Gambar 6.12

Catatan , ≠ ∅

Kita harus membuktikan:

(i) = ∪ ∪

Bukti:

1. = ∪ ∪

Bukti:

- Teorema 7 Corollary 3 = / ∪ ∪ = / ∪ ∪

- Teorema 7 Corollary 1 / = , / = = ∪ ∪

2. = ∪ ∪ /

Bukti:

- Teorema 7 Corollary 4 = ∪ ∪ / = ∪ ∪ /

3. = ∪ ∪ /

Bukti:

- Teorema 7 Corollary 4 = ∪ ∪ / = ∪ ∪ /

4. / = / dan / = /

Bukti:

- Teorema 7 Corollary 6 / = / / = / dan / = /

5. = ∪ ∪ ∪ / ∪ ∪ ∪ /

Bukti:

- Substitusi 4 ke 2 dan 3

(2) = ∪ ∪ / = ∪ ∪ /

(3) = ∪ ∪ / = ∪ ∪ /

- Hasil tersebut substitusi ke 1

= ∪ ∪

= ∪ ∪ / ∪∪ ∪ ∪ /

= ∪ ∪ ∪ / ∪ ∪ ∪ /



6. = ∪ / ∪ ∪ ∪ /

= ∪ ∪ (i)

(ii) p terletak di antara titik pada dengan titik pada

1. Teorema 7 p terletak di antara titik pada / dengan titik pada /

2. Berdasarkan Teorema 5 Corollary 4 / = , / =

3. Sehingga p terletak di antara titik pada dengan titik pada

(iii) p tidak terletak di antara dua titik di maupun dua titik di

1. Teorema 7 p tidak terletak di antara dua titik di / maupun dua titik di /

2. Berdasarkan Teorema 5 Corollary 4 / = ,/ =

3. Sehingga p tidak terletak di antara dua titik di maupun dua titik di

(iv) ,, saling lepas

1. Teorema 7 /, / dan p, saling lepas.

2. Berdasarkan Teorema 5 Corollary 4 / = ,/ = .

3. Sehingga , , saling lepas.

Documents

All Geometri