Upload
randolf-goodman
View
274
Download
0
Tags:
Embed Size (px)
Citation preview
Ali Karimpour
Associate Professor
Ferdowsi University of Mashhad
ADVANCEDADVANCED CONTROL CONTROL
Reference:Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
2
Lecture 2
Basic Idea of Basic Idea of Linear Algebra-Part ILinear Algebra-Part I
Topics to be covered include:
Basis, Representation, and Orthonormalization.
Linear Algebraic Equations.
Similarity Transformation.
Diagonal and Jordan Form.
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
3
آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید
Rn-بعدی n فضای خطی حقیقی •
استقالل خطی و وابستگی خطی•
پایه های یک فضای خطی و نرم•
بردارهای متعامد و متعامد نرمال•
معادالت جبری خطی•
فضای رنج، فضای پوچ، رتبه و پوچی•
تبدیالت همانندی•
بردار ویژه و بردار ویژه توسعه یافته•
فرم کانونی، فرم قطری، فرم مودال و فرم جردن•
• n-dimensional Real Vector Space Rn
• Linearly Dependent and Linearly Independent
• Basis of a Linear Space and Norm
• Orthogonal Vectors and Orthonormal Vectors
• Linear Algebraic Equations
• Range Space, Null Space, Rank and Nullity
• Similarity Transfomation
• Eigenvectors and Generalized Eigenvector
• Canonical Form, Diagonal Form, Modal Form and Jordan Form
ارتباط دترمینال و مقادیر ویژه، خاصیت نیل پوتنت•• Determinant and Eigenvalues and nilpotent property
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
4
n-dimensional real vector space Rn
Rx
x
x
x
i
n
2
1
x
Rn-بعدی nاعضای فضای خطی حقیقی
Rn-بعدی nخاصیت مهم فضای خطی حقیقی
nn RRandR 2121 ,, xxxx بعنوان مثال
3
1
1
1x
0
5.2
5.0
2x 321
21
17
5
47 R
xx
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
5
n-dimensional real vector space Rn
-بعدی nوابستگی خطی در فضای خطی حقیقی Rn
وابسته خطی Rn در فضای x1، x2، .... xm: مجموعه بردارهای 1-2تعریف نه تماما صفراگر مجموعه اند
1، 2، ....، m یافت شود که
0....2211
mm
xxx اگر رابطه فوق تنها برای برقرار
باشد در اینصورت بردارهای داده شده
می باشند.مستقل خطی
0....21
m
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
6
n-dimensional real vector space Rn
: آیا بردارهای زیر مستقل خطی اند؟ چرا؟1-2مثال
: آیا بردارهای زیر مستقل خطی اند؟ چرا؟2-2مثال
2
0
1
0
1
0
2
0
1
0
1
0
0
0
0
وجود بردار صفر در هر مجموعه بردار ........نکته:
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
7
n-dimensional real vector space Rn
خاصیت جالب بردارهای وابسته خطی
0...2211 nnxxx
اگر بردارها وابسته باشند قطعا یک ضریب مخالف صفر است لذا:
ni
n
iii xxxx
...22
11
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
8
n-dimensional real vector space Rn
حداکثر تعداد بردارهای مستقل در نکته مهم: است. n برابر Rnفضای
: آیا بردارهای زیر مستقل خطی اند؟ چرا؟3-2مثال
0
11
x
: اگر بردارهای زیر مستقل خطی نیستند یکی را بر 4-2مثال حسب مابقی نمایش دهید.
1
52
x
3
23
x
0
11
x
1
52
x
3
23
x
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
9
n-dimensional real vector space Rn
Rn پایه های یک فضای خطی پایه نامیده می Rn: یک مجموعه بردار مستقل خطی در 2-2تعریف
را بتوان Rnشود اگر هر بردار
بصورت منحصر بفردی توسط پایه ها نمایش داد.
می باشد؟ R2: آیا بردارهای مقابل پایه های فضای 5-2مثال چرا؟
0
1
1
5
می باشد؟ R2آیا بردارهای مقابل پایه های فضای : 6-2مثال چرا؟
0
1
1
0
پایه های یک فضای برداری ...............نکته:
می باشد. چرا؟Rn پایه های Rn بردار مستقل خطی در n: هر نکته
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
10
Norms
RR n:.
0 xifonly and if 0x andR x,0x Positivity 1 n
R and x,xy Homogeneit 2 nRx
Ry x,,yx inequality Triangle 3 n yx
به Rn برای سنجش اندازه یک بردار در یک فضای خطی نیاز داریم.نرممفهوم
یک عدد حقیقی Rn نرم تابعی است که به هر عضو یک فضای خطی غیر منفی نسبت می دهد.
نرم بایستی دارای خواص زیر باشد.
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
11
Norm of vectors
iiax
1 For p=1 we have 1-norm
2/12
2
iiaxFor p=2 we have 2-norm or euclidian norm
ii
ax max For p=∞ we have ∞-norm
1
1
pax
pp
iip
p-norm is:
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
12
Norm of vectors
2
1-
1
Let x
2)2,1,1max(x
6211xThen
4)211(x
222
2
1
1x2
1x 1
1x
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
13
Orthogonal and Orthonormal Vectors
بردارهای متعامد و متعامد یکهنامیده می شود اگر نرم دو آن نرمال یا یکه : یک بردار 3-2تعریف
بردار برابر یک باشد.
: کدام یک از بردارهای مقابل یکه است؟7-2مثال
0
11
x
1
52
x
آیا بردارهای مقابل متعامدند؟: 8-2مثال
6.0
8.01
x
8.0
6.02
x
6.0
8.03
x
x1 نامیده می شود اگر متعامد x2 و x1: دو بردار 4-2تعریف Tx2=0
x1نامیده می شود اگر متعامد یکه x2 و x1: دو بردار 5-2تعریف Tx2=0 و
هر دو بردار یکه باشند.
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
14
Orthonormal lizationساخت مجموعه بردار متعامد یکه از مجموعه بردار
مستقل خطی )رویه اشمیت(
11111 /, uuqeu
12122 )( qeqeu
222 / uuq
23213133 )()( qeqqeqeu
333 / uuq
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
15
Orthonormal lization
بردارهای متعامد متناظر با بردارهای زیر را بیابید.: 9-2مثال
2
1
6
2
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
16
Linear Algebraic Equation
مفهوم ضرب یک ماتریس در یک بردار:
5
1
3
5
0
1
0
3
4
2
1
2
5
3
2
504
112
301
xA
یعنی چگونگی ترکیب x در بردار Aضرب ماتریس معین می x را المانهای بردار Aچگونگی ترکیب ستونهای Aستونهای
کند.
مفهوم ضرب یک بردار در یک ماتریس:
24236312242
63132
ATz
یعنی چگونگی A در ماتریس zضرب ترانهاده بردار معین می z را المانهای بردار Aچگونگی ترکیب سطرهای Aترکیب سطرهای
کند.
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
17
Linear Algebraic Equation
در این بخش به مطالعه رابطه زیر می پردازیم
yx Amn
mnnm RRAorA :: 11 yx
: Aفضای رنج ماتریس
حداکثر تعداد بردار مستقل خطی در فضای رنج ماتریس A را رتبه A.نامند
: Aفضای پوچ ماتریس
حداکثر تعداد بردار مستقل خطی در فضای پوچ ماتریس A را پوچی A.نامند
)(A
)(AN
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
18
Linear Algebraic Equation
را تعیین کنید.Aالف( پنج عضو فضای رنج ماتریس
ماتریس مقابل را در نظر بگیرید.: 10-2مثال
را تعیین کنید.Aب( رتبه ماتریس
را تعیین کنید.Aج( پنج عضو فضای پوچ ماتریس
را تعیین کنید.Aد( پوچی ماتریس
0202
4321
2110
A
0
0
0
2
1
0
0
2
1
2
3
1
4
10
4
است.2 برابر Aرتبه ماتریس
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
2
0
0
10
10
10
1
1
3
1
است.2 برابر Aپوچی ماتریس
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
19
Linear Algebraic Equation
، بعد فضای رنج و یا حداکثر تعداد ستون مستقل Aرتبه ماتریس می باشد.Aماتریس
، بعد فضای رنج و یا حداکثر تعداد سطر مستقل Aرتبه ماتریس نکته مهم: می باشد.Aماتریس
پس:
حداکثر تعداد ستون =A حداکثر تعداد سطر مستقل ماتریس Aمستقل ماتریس
باشد. mn یک ماتریس Aفرض کنید نکته مهم:
nANA )()(
باشد. mn یک ماتریس Aفرض کنید نکته مهم:
},min{)( nmA
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
20
Linear Algebraic Equation
: 1-2قضیه با xیک جواب m1 با ابعاد y و بردار mn با ابعاد A- برای ماتریس 1
در معادلهn1ابعاد
Ax=y
باشد یعنیA در فضای رنج yوجود دارد اگر و فقط اگر
(A)=([A y])
یک m1 با ابعاد yهر بردار برای mn با ابعاد A- برای ماتریس 2 در معادلهn1 با ابعاد xجواب
Ax=y
باشد. )رتبه کامل سطری(m دارای رتبه Aوجود دارد اگر و فقط اگر
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
21
Linear Algebraic Equation
xp ، فرض کنید m1 با ابعاد y و بردار mn با ابعاد Aبرای ماتریس تمام جوابها بصورت پارامتری: 2-2قضیه یک جواب معادله
Ax=y
(k=n-(A)) باشد k برابر Aباشد و فرض کنید پوچی
kkpnnnxx ...
2211
ها بردارهای مستقل فضای پوچ می باشد. ni ها دلخواه بوده و iکه
xp در اینصورت جواب داده شده (k=0) باشد n دارای رتبه Aاگر منحصر بفرد است.
در اینصورت تمام جوابهای (k>0) باشد n دارای رتبه کمتر از Aاگر معادله
Ax=y
از رابطه زیر بدست می آید.
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
22
Linear Algebraic Equation
برای سیستم مقابل مطلوبست کلیه جوابها: 11-2مثال
0
8
4
0202
4321
2110
x
واضح است که یک جواب معادله فوق عبارتست از:
2
0
0
0
px
و تمامی جوابهای معادله فوق عبارتست از:
1
0
2
0
0
1
1
1
2
0
0
0
21 x
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
23
Linear Algebraic Equation
و معادله زیر را در نظر Aماتریس مربعی : 3-2قضیه بگیرید.
Ax=y
دارای جواب غیر صفر است اگر و Ax=0- معادله همگن 2 منفردAفقط اگر
است. Aباشد. تعداد جوابهای مستقل خطی برابر با پوچی
غیر منفرد باشد در اینصورت معادله یک جواب A- اگر 1منحصر بفرد داشته و
بدست می آید. A-1yجواب از رابطه
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
24
Similarity Transformation
بردار مستقل خطی را در نظر n و nn با ابعاد Aماتریس بگیرید:
تبدیل همانندی بوده و بصورت زیر محاسبه می شود. AA
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
25
Similarity Transformation
,
1
1
0
0
1
1
,
0
1
0
102
311
201
321
qandqqA
بر حسب پایه Aمطلوبست تبدیل همانندی ماتریس : 12-2مثال های داده شده
0
1
0
1Aq
0
0
1
A
2
0
1
2Aq
20
10
31
A
1
2
2
3Aq
120
210
131
A
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
26
Similarity Transformation
,
1
0
0
0
1
0
,
0
0
1
102
311
201
321
qandqqA
بر حسب پایه Aمطلوبست تبدیل همانندی ماتریس : 13-2مثال های داده شده
2
1
1
1Aq
2
1
1
A
0
1
0
2Aq
02
11
01
A
1
3
2
3Aq
102
311
201
A
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
27
Similarity Transformation
AqqqqqqA nnˆ
2121
AQAQ ˆ
1ˆ QAQA AQQA 1ˆ
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
28
Similarity Transformation
1
0
0
134
012
123
bA
,b, Ab بر حسب پایه های Aتبدیل همانندی ماتریس : 14-2مثال A2b
AbAq 1
0
1
0
A
bAAq 22
10
01
00
A
13
10
5
3Aq
510
1501
1700
A
bAqAbqbq 2321 ,,
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
29
Similarity Transformation
)ˆdet()( AI nnnnn
1
22
11 ....)(
121
1000
0100
0010
ˆ
nn
A
000
100
010
001
ˆ
1
2
1
n
n
A
010
0010
0001ˆ
121
nn
A
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
30
Diagonal Form
بعنوان پایه ها انتخاب شود. البته Aکافیست بردارهای ویژه ماتریس اگر مقادیر ویژه تکراری نباشد.
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
31
Diagonal Form تکراری Aاگر مقادیر ویژه
نبودهو بردارهای ویژه ماتریس
A بعنوان پایه ها انتخاب شود.
در اینصورت:
چگونگی محاسبه مقادیر :Aویژه
0)( AIدر صورت تکراری نبودن مقادیر
:Aویژه
nnnnn ...,,,0...)( 211
11
چگونگی محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام :Aاز مقادیر ویژه
0
0)(
i
ii
v
vIA
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
32
v1, v2, …, vn بر حسب پایه های Aتبدیل همانندی ماتریس
111 vAv
0
0ˆ
1
A
222 vAv
00
0
0
ˆ 2
1
A
n
A
00
00
00
ˆ 2
1
Diagonal Form
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
33
110
201
000
A
و تبدیلی که Aدر صورت امکان فرم قطری ماتریس : 15-2مثال را Aماتریس
بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید.ابتدا محاسبه مقادیر ویژه
A:)1)(2()( AIحال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از
:Aمقادیر ویژه
12,0 321 and
0
110
201
000
)(,0 1111
vvIA
1
1
2
1v
0
110
221
002
)(,2 2222
vvIA
1
1
0
2v
0
210
211
001
)(,1 3333
vvIA
1
2
0
3v
111
211
002
][ 321 vvvQ
100
020
000ˆ 1AQQA
Diagonal Form
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
34
010
1340
111
A
و تبدیلی که Aدرصورت امکان فرم قطری ماتریس : 16-2مثال Aماتریس
را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید.ابتدا محاسبه مقادیر ویژه
A:)134)(1()( 2 AIحال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از
:Aمقادیر ویژه
j32,,1 321
0
110
1350
110
)(,11111
vvIA
0
0
2
1v
0
3210
13320
1133
)(,32 2222
v
j
j
j
vIAj
1
32
1
2 jv
110
32320
112
][ 321 jjQ
j
jAQQA
3200
0320
001ˆ 1
Diagonal Form
1
32
1*
23 jvv
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
35
010
1340
111
A
را بفرم A و تبدیلی که ماتریس Aفرم مودال ماتریس : 17-2مثال مودال
تبدیل می کند تعیین کنید.ابتدا محاسبه مقادیر ویژه
A:)134)(1()( 2 AIحال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از
:Aمقادیر ویژه
j32,,1 321
0
110
1330
110
)(,1 1111
vvIA
0
0
2
1v
0
3210
13320
1133
)(,32 2222
v
j
j
j
vIAj
1
32
1
2 jv
010
320
012
][321
vvvQ
230
320
001ˆ 1AQQA
Modal Form
0
3
0
,
1
2
1
32 vv
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
36
Jordan Form تکراری Aاگر مقادیر ویژه
نبودهو بردارهای ویژه ماتریس
A بعنوان پایه ها انتخاب شود.
در اینصورت:
Aاگر مقادیر ویژه تکراری باشد، در
اینصورت:
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
37
400
110
1201
A
و تبدیلی که Aدر صورت امکان فرم قطری ماتریس : 18-2مثال Aماتریس
را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید.
Jordan Form
ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A:)4()1()( 2 AI
حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از :Aمقادیر ویژه
11,4 321 and
0
000
130
1203
)(,4 1111
vvIA
3
1
12
1v
0
0
1
2v
003
101
0112
][ 321 vvvQ
100
010
004ˆ 1AQQA
0
300
100
1200
)(,12222
vvIA
0
1
0
3v
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
38
400
410
321
A
و تبدیلی که Aدر صورت امکان فرم قطری ماتریس : 19-2مثال راAماتریس
بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید.
Jordan Form
ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A:)4()1()( 2 AI
حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از :Aمقادیر ویژه
11,4 321 and
0
000
430
323
)(,4 1111
vvIA
3
4
3/17
1v
0
0
1
2v ?3 v0
300
400
320
)(,12222
vvIA
می رسیم فرم جردن امکان قطری سازی نیست پس به و لذا برای این فرم:
به بردار ویژه توسعه یافته نیاز داریم
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
39
Diagonal Form
چگونگی محاسبه مقادیر )(A:0ویژه AI
چگونگی محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام :Aاز مقادیر ویژه
0
0)(
i
ii
v
vIA
0)(
0)( 2
ii
ii
vIA
vIA
0)(
0)(2
3
ii
ii
vIA
vIA
چگونگی محاسبه بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 2
چگونگی محاسبه بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 3
ii vv 2 21)(
iiivIAv
ii vv 3 32)(
iiivIAv 21
)(iii
vIAv
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
40
400
410
321
A
را A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری یا جردن ماتریس : 19-2مثال بفرم قطری
یا جردن تبدیل می کند را تعیین کنید.
Jordan Form
ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A:)4()1()( 2 AI حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از
:Aمقادیر ویژه
11,4 321 and
0
000
430
323
)(,4 1111
vvIA
3
4
3/17
1v
0
0
1
2v ?3 v0
300
400
320
)(,1 2222
vvIA
0
300
400
320
)(0
900
1200
1700
)(,1 222222
22
vvIAvvIA
0
1
0
22v
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
41
400
410
321
A
را A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری با جردن ماتریس : 19-2مثال بفرم قطری
یا جردن تبدیل می کند را تعیین کنید.
Jordan Form
ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A:)4()1()( 2 AI حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از
:Aمقادیر ویژه
11,4 321 and
0
000
430
323
)(,4 1111
vvIA
3
4
3/17
1v
0
300
400
320
)(0
900
1200
1700
)(,122222
2
22
vvIAvvIA
0
1
0
223vv
0
1
0
3v
0
0
2
)(322
vIAv
003
104
023/17
][ 321 vvvQ
100
110
004ˆ 1AQQA
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
42
205.05.0
025.02.0
0020
0002
A
را بفرم A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری ماتریس : 20-2مثال قطری
تبدیل می کند را تعیین کنید.
Jordan Form
ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A:4)2()( AI
حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از :Aمقادیر ویژه
24321
0
005.05.0
005.02.0
0000
0000
)(,2 1111
vvIA 224 kNullity
دو حالت ممکن است رخ 2حال با توجه به پوچی دهد: یافتن دو بردار ویژه توسعه •
][2یافته مرتبه 4321 qqqqQ یافتن یک بردار ویژه توسعه •
][3یافته مرتبه 4321 qqqqQ
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
43
205.05.0
025.02.0
0020
0002
A
را بفرم A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری ماتریس : 20-2مثال قطری
تبدیل می کند را تعیین کنید.
Jordan Form
حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از :Aمقادیر ویژه
0
005.05.0
005.02.0
0000
0000
)(,2 1111
vvIA 224 kNullity
0000
0000
0000
0000
)(
0000
0000
0000
0000
)(
005.05.0
005.02.0
0000
0000
)( 3
1
2
11IAIAIA
یافتن بردار ویژه توسعه •یافته
0
1
1
0
0
0
2
3
42 vv
نداریم ولی دو 3بردار ویژه توسعه یافته مرتبه داریم2مرتبه
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
44
205.05.0
025.02.0
0020
0002
A
را بفرم A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری ماتریس : 20-2مثال قطری
تبدیل می کند را تعیین کنید.
Jordan Form
حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از :Aمقادیر ویژه
یافتن بردار ویژه توسعه •2یافته مرتبه
0
1
1
0
0
0
2
3
42 vv
5.0
5.0
0
0
)(
5.0
4.0
0
0
)( 413211 vIAvvIAv
2000
1200
0020
0012
ˆ 1AQQA
05.005.0
15.004.0
1020
0030
][ 4321 qqqqQ
تعداد بلوکمتناظر
-2با =؟
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
45
را بفرم A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری ماتریس : 21-2مثال قطری
تبدیل می کند را تعیین کنید.
Jordan Form
ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A:4)2()( AI حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از
:Aمقادیر ویژه
24321
224 kNullity
دو حالت ممکن است رخ 2حال با توجه به پوچی دهد: یافتن دو بردار ویژه توسعه •
][2یافته مرتبه 4321 qqqqQ یافتن یک بردار ویژه توسعه •
][3یافته مرتبه 4321 qqqqQ
2000
0200
0120
41112
A
0
0000
0000
0100
41110
)(,2 1111
vvIA
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
46
2000
0200
0120
41112
A
را بفرم A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری ماتریس : 21-2مثال قطری
تبدیل می کند را تعیین کنید.
Jordan Form
حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از :Aمقادیر ویژه
0
0000
0000
0100
41110
)(,2 1111
vvIA 224 kNullity
0000
0000
0000
0000
)(
0000
0000
0000
0100
)(
0000
0000
0100
41110
)( 31
211 IAIAIA
یافتن بردار ویژه توسعه •3 یا 2یافته مرتبه
یک بردار ویژه توسعه یافته • داریم3مرتبه
0
5
0
0
3q
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
47
2000
0200
0120
41112
A
را بفرم A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری ماتریس : 21-2مثال قطری
تبدیل می کند را تعیین کنید.
Jordan Form
حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از :Aمقادیر ویژه
یک بردار ویژه توسعه یافته • داریم3مرتبه
0
5
0
0
3q
0
0
5
55
)( 312 qIAq
0
0
0
5
)( 211 qIAq
حال برای محاسیه آخرین بردار ویژه، این بردار باید از سایر بردارها پس:q4=0(A-1I)مستقل یاشد و
1
0
4
0
4q0
0000
0000
0100
41110
)( 441
qqIA
2000
0200
0120
0012
ˆ 1AQQA
تعداد بلوکمتناظر
-2با =؟
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
48
Determinant and Eigenvalues
AQQA 1ˆ
و فرم جردن آن:A رابطه ماتریس
AQAQQAQA ˆˆˆ 11
و دترمینال فرم جردن آن:A دترمینال ماتریس
و مقادیر ویژه آن:A دترمینال ماتریس
1ˆ QAQA
i
n
iA
1
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
49
Nilpotent Property
خاصیت نیل پوتنت در مورد بلوک های جردن:
0000
1000
0100
0010
IJ
2000
1200
0120
0012
J
بلوک جردن مقابل را در نظر بگیرید:
0000
0000
1000
0100
2IJ
0000
0000
0000
1000
3IJ
0000
0000
0000
0000
4IJ
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
50
Exercisesتمرینها
بردارهای متعامد متناظر با بردارهای زیر را بیابید.: 1-2تمرین
2
0
2
,
1
2
0
,
2
1
0
و نرم بینهایت بردارهای 2 و نرم 1مطلوبست نرم : 2-2تمرین زیر:
1
2,
2
1
0
ba
مطلوبست پوچی و رتبه ماتریسهای زیر:: 3-2تمرین
1000
2210
4321
011
023
114
100
000
010
321 AAA
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
51
Exercisesتمرینها
مطلوبست پایه های فضای رنج و پایه های فضای : 4-2تمرین پوچ ماتریسهای زیر:
1000
2210
4321
011
023
114
100
000
010
321 AAA
معادله جبری زیر را در نظر بگیرید:: 5-2تمرین
yx
1
0
1
21
33
12
برای معادالت فوق وجود دارد؟ آیا جواب منحصر بفرد xآیا یک جواب جواب وجود دارد؟’y=[1 1 1]است؟ آیا برای
کلیه جوابهای معادله جبری زیر را بیابید.: 6-2تمرین
1
2
3
1000
2210
4321
x
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
52
Exercisesتمرینها
،b بر حسب پایه های Aمطلوبست تبدیل همانندی : 7-2تمرین Ab، A2b و A3b.
را بفرم A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری ماتریس : 8-2تمرین قطری تبدیل می کند را تعیین کنید.
300
020
1041
A را بفرم A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری ماتریس : 9-2تمرین
قطری تبدیل می کند را تعیین کنید.
342
100
010
A
1
1
0
0
2000
1200
0120
0012
bA
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
53
Exercisesتمرینها
مطلوبست دترمینال ماتریسهای زیر بدون انجام : 10-2تمرین محاسبه
300
020
001
2A
2000
1200
0120
0012
1A
300
020
012
4A
3000
1300
0020
0012
3A
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
54
Answers to selected problems ، 1 و پوچی بترتیب 3 و 3 ، 2: رتبه ها بترتیب 3-2جواب
1 و 0
و بدون جواب x=[1 1]T: یک جواب منحصر بفرد 5-2جواب داده شدهyبرای
: 7-2جواب
7100
18010
20001
8000
A