Algunas distribuciones teóricas discretas

Clase Nº 6

Mg. Stella Figueroa

2do C.2018

Variable estadística –Variable Aleatoria

¿Cuál es la relación entre una variable estadística y su variable aleatoria

asociada?

• Variable estadística • Variable aleatoria

xi fr

1 0,183

2 0,1961

3 0,1765

4 0,1242

5 0,1765

6 0,1438

xi P(Xi)

1 1/6= 0,1667

2 1/6= 0,1667

3 1/6= 0,1667

4 1/6= 0,1667

5 1/6= 0,1667

6 1/6= 0,1667Resultados

de una

muestra de

tamaño 153

Resultados de todas las

muestras posibles de la

población

Variable aleatoria

Es toda función X que asigna a c/u de los elementos del espacio

muestral, un número Real.

SRx

s X(s)Si el recorrido o

Imagen de la variable

es discreto, la variable

es discreta.

Si la Imagen de la

variable es un

continuo, la variable

es continua

Rx es el recorrido o Imagen

de la variable. Son los

posibles valores de X

Definición de Variable Aleatoria Discreta

i

1

a) p (x ) 0 i

b) p(x ) 1

i

i

Una variable aleatoria X es discreta, si a cada valor posible xi

que toma la variable se le puede asociar un número real p(xi )=

P (X=xi) llamado probabilidad de xi, que satisface las siguientes

condiciones:

La función p definida se llama función de probabilidad de X

El conjunto de pares (xi , p(xi)) es la distribución de

probabilidades de X.

Ejemplo de la ingeniería

En el contexto de las telecomunicaciones, cualquier señal debe

considerarse aleatoria, ya que por muchas razones, no existen

garantías de que la señal enviada sea exactamente igual a la señal

recibida.

1. De acuerdo a esta información. ¿Cuál/es podría/n ser el/los

experimento/s aleatorio/s ?

2. Considerar un solo experimento aleatorio y determinar sus

resultados posibles.

Variable de Bernoulli

Xi P(xi)

1 0.4

0 0.6

• Toma dos valores posibles :

• X1 = 1 Es el éxito (resultado esperado del

experimento) X2 = 0 Fracaso (resultado no esperado)

Se transmite una señal y se observa si se recibe erróneamente.

La probabilidad de que se reciba errónea es p = 0.4.

Escriba la distribución de probabilidades de la variable aleatoria

asociada a este experimento.

Experimentos aleatorios independientes o pruebas repetidas independientes

Se transmiten 3 señales y se observa el estado de su llegada.

¿Cuál es el espacio muestral asociado?

Se define la variable aleatoria X: “ número de señales

erróneas recibidas en las tres transmisiones”

1. Determine Rx (conjunto de valores que toma la variable)

2. Analice si las pruebas repetidas son independientes.

3. ¿Son mutuamente excluyentes los sucesos (c, e, e) y

(e,e,c)?

Actividades

a) Calcule la probabilidad de que se reciban exactamente 2

transmisiones erróneas de las tres efectuadas.

b) Encuentre la distribución de probabilidades de la

variable X: “ nº de señales erróneas recibidas en los tres

lanzamientos”.

c) Represente gráficamente

El modelo Binomial

• Una variable binomial puede considerarse como la suma de n variables

independientes de Bernoulli.

• El resultado de cada prueba es una variable de Bernoulli; es decir, puede

resultar un éxito o un fracaso, con probabilidades p y 1-p respectivamente.

Definición : X es una variable

aleatoria binomial con parámetros n

y p si su distribución de

probabilidades está dada por:

X b(n,p)

P(x=k)= . 1n kk

np p

k

Demostrar que la variable aleatoria binomial es una legítima distribución de probabilidad

0 0

P(x=k) . . 1n n

n kk

k k

np p

k

1-p 1

n

p

Para identificar el modelo binomial:

• Se efectúan n pruebas repetidas independientes y se

cuenta el número de éxitos obtenidos.

• El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso

éxito o su contrario.

•La probabilidad de éxito es p, constante en cada prueba.

Por binomio de Newton

Características numéricas

En Estadística En Probabilidad

Esperanza y varianza de una

variable de Bernoulli y binomial

a) Calcular la Esperanza y la Varianza de la variable

de Bernoulli

b) Demostrar que si x es binomial entonces

E(x)= np y V(x) = n.p.(1-p)

c) ¿Cuál es el número esperado de transmisiones

erróneas de las 3 enviadas?

Problema

Si aumentamos a 10 el número de señales transmitidas del

problema anterior.

1. ¿Cuál es el número esperado de transmisiones erróneas

recibidas? ¿ Y para n=50 y n =100?

2. Verificar estos resultados simulando los experimentos en

Geogebra. Tabular y graficar.

Simulación con GeoGebra para n = 10 y p = 0,4

Valores que toma

la variable estadística “número de

señales erróneas de las 10

transmitidas” y su distribución de

frecuencias relativas

Simulación con GeoGebra para n = 50 y p = 0,4

Valores que toma

la variable estadística “número

de señales erróneas de las 50

transmitidas” y su distribución

de frecuencias relativas

Simulación con GeoGebra para n = 100 y p = 0,4

Valores que toma

la variable estadística “número de señales

erróneas de las 100 transmitidas con p = 0,4” ,su

distribución de frecuencias relativas

Para analizar con GeoGebra

Si se disminuye la probabilidad p de que la señal

llegue errónea y se aumenta el número n de

pruebas repetidas independientes. ¿Qué ocurre con

los valores que toma la variable estadística X ?

Simulación con GeoGebra para n = 100 y

p= 0,01

Valores que toma esta

variable estadística

X “ número de señales

erróneas en 100

transmisiones

independientes con

p=0,01”

¿Por qué esta variable

corresponde a la “ley de

sucesos raros”?

Límite de la distribución binomial

Si para n= 1,2,3 ….. la relación λ =n.p es cierta para alguna constante λ > 0, entonces :

Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y p y función de probabilidad

,( ) . .(1 )k n k

n kp X k C p p

.

lim ( ) 0,1,2,.......!

k

n

ep X k k

k

Observaciones :El número de ocurrencias (número de errores en este caso) puede ser cualquier entero no negativo k = 0, 1, 2, 3, ……. El valor esperado λ = n.p es un valor positivo.

Distribución de Poisson

.( ) 0, 0,1,2,3,......

!

k ep X k k

k

Definición:

Dado un intervalo de números reales, con un número aleatorio

de ocurrencias en dicho intervalo. Si el número promedio de

ocurrencias en el intervalo es λ > 0, la variable aleatoria X :

“número de ocurrencias en el intervalo”, tiene una distribución

de Poisson con parámetro λ y la función de probabilidad de X

es:

(1781-1840) Matemático, astrónomo y físico francés.

Distribuciones de Poisson obtenidas para distintos valores esperados

λ=1

λ=10λ=8

λ=5

En la práctica, puede usarse la aproximación si n ≥50 y n.p ≤ 5

La distribución de Poisson es una

legítima distribución de probabilidades

0 0 0

( ) . . 1! !

k k

k k k

eP x k e e e

k k

Dado un intervalo de números reales, con un número aleatorio deocurrencias en dicho intervalo. Si éste puede dividirse en subintervalos losuficientemente pequeños tales que:

1) La probabilidad de más de una ocurrencia en el subintervalo escero.

2) La probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo es la mismapara todos los subintervalos y es proporcional a la longitud deéstos.

3) El número de ocurrencias en cada subintervalo es independientedel de los otros subintervalos.

Experimento aleatorio como

“proceso de Poisson”

Problema

Las fallas de un alambre de longitud L, se presentan de manera

aleatoria. Si X cuenta el número de fallas de este alambre y si el

número promedio de fallas es λ=2,3 por m de longitud.

a) ¿Esta variable sigue una distribución de Poisson?

b) Calcular la probabilidad de encontrar al menos 1 falla en medio

metro del alambre.

c) ¿Cuál es el valor esperado y la varianza en la distribución de

Poisson?

Problema

La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no

cumplen con los requerimientos del cliente.

Se toman 4 partes al azar, sin sustitución, de la producción del

día y se define la siguiente variable aleatoria

X: “ número de partes que no cumplen con los requerimientos

del cliente.”

Calcular la probabilidad de que 2 partes no cumplan

con los requerimientos.

Contamos con: N = tamaño de la población.

k elementos poseen cierta

característica (no cumplir

con los requerimientos)

N-k elementos no poseen

cierta característica

n-x es el número de

elementos del tipo de N-k

x es el nº de elementos de

ciertas características en n

extracciones sin reposición

Variable aleatoria Hipergeométrica

Variable aleatoria Hipergeométrica

• Surge de n pruebas repetidas no independientes.

• El resultado de cada prueba es dicotómico: A o su contrario.

•La probabilidad del suceso A no es constante, varía en cada

prueba porque no hay reposición

Definición: X es una variable aleatoria hipergeométrica

con parámetros N, n y k, si su distribución de

probabilidades está dada por:

P(X=x)

N k k

n x x

N

n

Cuestionario

Enuncia las características que permiten reconocer a cada una de estas

variables:

1. variable de Bernoulli

2. Binomial

3. De Poisson

4. Hipergeométrica

5. Encuentra la relación entre ellas.

6. Deduce la esperanza y la varianza de una variable binomial.

7. ¿Cuál es la esperanza y varianza en Poisson?