Algorytmy obliczeń symbolicznych(Faktoryzacja operatorów i zastosowania)

S. Leble Podzieιkowania dla studentów i doktorantów (g lównieAgnieszki Czuper,

Krzysztofa Mielewczyka iSebastiana Bielskiego)

za istotnaι pomoc przy tworzeniu tekstu notatek do tego wyk ladu.

Gdańsk, nowa redakcja S. Leble, wrzesień 2013, pomóc w redakcji językowejmarzec 2014 (Paulina Kraśnicka)

0.1 Wsteιp

Obliczenia symboliczne to w chwili obecnej bardzo rozbudowana ga laιź matematyki. Możeo tym świadczyć chociażby fakt, iż zagadnienia takie publikuje sieι w specjalnie do tego celuprzeznaczonych czasopismach naukowych, takich jak np. Journal of Symbolic Computation,http:/www.elsevier.com

cytat:An international journal, the Journal of Symbolic Computation is directed to mathematicians

and computer scientists who has particular interest in symbolic computation. The journal providesa forum for research in the algorithmic treatment of all types of symbolic objects: objects informal languages (terms, formulas, programs); algebraic objects (elements in basic number domains,polynomials, residue classes, etc.); and geometrical objects.

It is the explicit goal of the journal to promote the integration of symbolic computation byestablishing one common avenue of communication for researchers working in the different subareas.It is also important that the algorithmic achievements of these areas should be made availableto the human problem-solver in integrated software systems for symbolic computation. To helpthis integration, the journal publishes invited tutorial surveys as well as Applications Letters andSystem Descriptions.

Research Areas Include:• Computational algebra • Computational geometry (non-linear) • Automated theorem proving

• Automatic programming • Design and implementation of symbolic computation languages andsystems • Applications in education, science, engineering and industry.

czy Journal of Computer and System Sciences.Autor artyku lu ”Cztery algorytmy które wstrzaιsneι ly światem”[1], podaje klasyfikacjeι al-

gorytmów liczbowych (teorii liczb), koncentruje sieι g lownie na historii, celach i osiaιgnieιciach nu-meryki (obliczeń numerycznych). Naszym celem jest, próba obejżenia pewnej klasy algorytmówobliczeń symbolicznych, zwiaιzanych z jednym z czterech wspomnianych w artykule.

G lównym celem, który wytycza kierunki rozwoju tej dyscypliny naukowej jest próba algo-rytmicznego podejścia do wszelkiego rodzaju symbolicznych obiektów, przy czym nie muszaιto być koniecznie obiekty algebraiczne, takie chociażby jak wektory czy wielomiany. Możli-wość zalgorytmizowania najróżniejszych zagadnień pozwoli la stworzyć ca le zintegrowane sys-temy obliczeń symbolicznych. Do najważniejszych i najbardziej znanych należaι: Derive,Reduce, Matlab, Mathcad, Maple, Mathematica, MuPad, Scientific Workplace. Powyższeprogramy saι sukcesywnie rozwijane i unowocześniane (przynajmniej cztery ostatnie z wymie-nionych na liście), a także dostosowywane do coraz wieιkszej liczby najróżniejszych zastosowańw wielu dziedzinach nauki - czasami bardzo odleg lych, http:/mathworld.wolfram.com. Patrz teżhttp:/eqworld.ipmnet.ru en software.htm*

Uwaga. * oznacza że z powodow polmactex link http moze byc uszkodzony, prosze pisac doleble@mif.pg.gda.pl.

Rozdział 1

Modele matematyczne

Jak wspomniano we wsteιpie i jak wynika ze specyfiki, obliczenia symboliczne operujaι na obiek-tach symbolicznych, które nasteιpnie próbuje sieι zalgorytmizować za pomocaι a lgebry. Model mate-matyczny - algebraiczny powstaje poprzez zastosowanie najróżniejszych obiektów takich jak grupa,pierścień, algebra linowa - wektor (przestrzeń wektorowa), tensor, . . . , na podstawie których budujesieι równanie. Bardzo ważne jest pojeιcie grupy [2].

1.1 Grupa

Grupaι G nazywamy skończony lub nieskończony zbiór elementów razem z binarnym dzia laniemgrupowym, które razem (elementy i dzia lanie) spe lniajaι nasteιpujaιce aksjomaty:

1. zamknieιtość - dla dwóch elementów x, y ∈ G iloczyn xy także należy do grupy:

∀x, y ∈ G xy ∈ G (1.1.1)

2. laιczność∀x, y, z ∈ G (xy)z = x(yz) (1.1.2)

3. istnienie elementu neutralnego

∀x ∈ G ∃I : xI = Ix = x (1.1.3)

4. istnienie elementu odwrotnego

∀x ∈ G ∃x−1 : xx−1 = x−1x = I. (1.1.4)

Uwagi

- gdy jakieś elementy zbioru (przy spe lnionyvh trzech aksjomatach) nie posiadajaι elemntówodwrotnych, mówimy o pó lgrupie,

- grupeι dla której∀x, y ∈ G xy = yx, (1.1.5)

nazywamy grupaι abelowaι (przemiennaι) - w przeciwnym wypadku mamy do czynienia zgrupaι nieabelowaι.

2

1.2 Pierścień. Cia lo (Field - Pole)

Wprowadzenie na grupie drugiego iloczynu (struktury pó lgrupy) doprowadzi do pojeιcia pierścieni,dalej, w przypadku grupy abieliowej - do pojeιcia cia la, dalej - przestrzeni liniowej [2].

Definicja różniczkowania pierścieni. Różniczkowaniem ∂ pierścieni nazywa sieι odwzoro-wanie o w lasnościach:

∂(a+ b) = ∂a+ ∂b,∂(ab) = (∂a)b+ a(∂b).

(1.2.6)

1.3 Pierścień operatorów.

Niech A, B, C, D - operatory na przestrzeni liniowej U, ∀f ∈ U,∃Af = f ′ ∈ U, ..., Sumaι operatorówA,B jest operator C=A+B, taki, że

∀f ∈ U,Cf = Af +Bf.

I loczynem operatorów D = AB nazywamy

Df = A(Bf).

Jeśli uwzgleιdniamy operator mnożenia przez sta laι (liczbeι) α, β, ... ∈ C, iloczyn

αA

i sumeι traktujemy jako operacje, które definiujaι przestrzeń liniowaι operatorów.Pierścień różniczkowy. Abielowy pierścień z jednosciaι, w którym zdefiniowano operacjeι róż-

niczkowania.Definicja cia la. Cia lo jest zbiorem elementów F na którym saι określone dwie binarne operacje:

+ dodawanie i× - mnożenie które jest grupaι abelowaι wzgleιdem dodawania z elementem neutralnym”0”(jednostkowym). Przy tym F \{0} jest grupaι multiplikatywnaι wzgleιdem mnożenia z elementemjednostkowym ”1”. Dodawanie i mnożenie laιczy aksjomat dystrybutywności.

a× (b+ c) = a× b+ a× c.

Przyk ladem cia l nieskonczonych mogaι być cia la liczb racjonalnych Q , rzeczywistych R i zespolo-nych C.

Def. Cia lo G o skończonej ilości elementów (rzaιd n) nazywa sieι cia lem Galois. Pzyk ladem cia laskończonego jest pierścien Res Fp (by simple module p).

Cia lo różniczkowe Para (F, ∂) = pole + różniczkowanie.

1.4 Przestrzeń liniowa.

Niech U 3, a, b, ... jest grupaι abielowaι wzgleιdem dodawania ∀a, ba + b = b + a ∈ U , oraz binarnaoperacja α ∈ C, a ∈ U,αa ∈ U , taka że

1)2)3)

1.5 Algebra Lie’go

Algebra Lie’go L to przestrzeń liniowa, na której dowolne elementy A,B,C ∈ L spe lniajaιrelacje:

- ogólne: zdefiniowany iloczyn Liego [2]

- w przypadku, kiedy przestrzeń liniowa jest algebraι laιcznaι, iloczyn [A,B]=AB-BA (komutator)

3

- zdefiniowany jest iloczyn Liego

- zachodzaι wlasnośći iloczynu Liego (aksjomaty)

[A,B] = −[B,A], (1.5.7)

∀α, β ∈ C[A,αB + βC] = α[A,B] + β[A,C], (1.5.8)

- spe lniona jest tzw. tożsamość Jacobiego[A, [B,C]

]+[B, [C,A]

]+[C, [A,B]

]= 0. (1.5.9)

Komutator[A,B] = AB −BA, (1.5.10)

- przyk lad iloczynu Liego. Drugi przyk lad - nawias Poissona.Podstawowym elementem teorii jest stosowanie odniesienia do bazy Ek ∈ L, A =

∑nk=1AkEk,

n=dim L. Wtedy

[Ei, Ek] =n∑l=1

Cik,lEl,

gdzie Cik,l - sta le strukturalne definujaι iloczyn Liego dowolnej pary elementów, wieιc - definujaιa lgebreι.

Powróćmy do różniczkowań algebry A, ( laιcznej i Abielowej). Jeśli D jest różniczkowalne i a ∈ A,wtedy aD definuje sieι przez (aD)(b) = a(D(b)) i jest to różniczkowaniem. Wieιc, zbiór wszyst-kich różniczkowań Der(A) jest A-modu lem. Jak latwo sprawdzić, jeśli D1, D2 saι różniczkowaniem,nasteιpnie iloczyn D1D2, ogólnie rzecz bioraιc, nie jest różniczkowaniem. Jednak latwo zweryfikowaćże komutator [D1, D2] = D1D2 −D2D1 jest różniczkowaniem, algebreι uzyskanaι poprzez komuta-tory nadaje Der (A) strukturę algebry Liego.

1.6 Wielomiany

Wielomianem stopnia n nazywamy funkcjeι postaci

Pn(z) = anzn + an−1z

n−1 + . . .+ a1z + a0, (1.6.11)

przy czym an, z ∈ C, n = 0, 1, 2, . . ..Zagadnienia, w których w naturalny sposób pojawiajaι sieι wielomiany, to mian.:

- rozwinieιcia funkcji za pomocaι wielomianów, np.:

sinx = x− 16x3 +

1120

x5 − 15040

x7 + . . . dla −∞ < x < +∞, (1.6.12)

ex = 1 + x+12x2 +

16x3 +

124x4 + . . . dla −∞ < x < +∞, (1.6.13)

2F1(α, β; γ;x) = 1 +αβ

1!γx+

α(α+ 1)β(β + 1)2!γ(γ + 1)

x2 + . . . (1.6.14)

co (patrz twierdzenie Stone’a - Wejerstrassa http : /pl.wikipedia.orgikiwierdzenieStone 27a-Weierstrassa*) generuje aproksymacjeι (także - Weierstrass approximation theorem). Takieoperacje też saι wbudowane do pakietow obliczeń symbolicznych. Zagadnienia w lasne dla nxnmacierzy A,

Ax = λx, (1.6.15)

4

posiadajaι rozwiaιzania, gdydet(A− λI) = 0, (1.6.16)

a to prowadzi do równania

λn + bn−1λn−1 + . . .+ b1λ+ b0 = 0. (1.6.17)

Podstawowymi operacjami algebry symbolicznej wielomianów”Factor”i”Expand”saι odwzorowania

Pn(z) � an

n∏k=0

(z − zk),

gdzie zk ∈ C - pierwiastki równania typu (1.6.17), staιd - termin ”faktoryzacja”.Generalnie (n ­ 5) nie rozwiaιzywalne symbolicznie w postaci jawnej za pomocaι skończonej

liczby operacji pierwiastkowania (Twierdzenie Abela).Saι jednak wyjaιtki, np.Podstawienie

y =1x

+ x (1.6.18)

Sprowadza równanie rzeιdu n-2 do równania rzeιdu n.Na przyk lad, równanie

ax6 + bx5 + cx4 + dx3 + cx2 + bx+ a = 0

redukuje sieι doay3 + by2 + (c− 3a)y + d− 2b = 0

zamianaι (1.6.18):[ay3 + by2 + (c− 3a)y + d− 2b

]y= 1x+x = d− 2b+ a

(x+ 1

x

)3+ b(x+ 1

x

)2+ (c− 3a)

(x+ 1

x

)=

a+ax6+cx2+bx5+cx4+dx3+bxx3

W ważnych przypadkach n=3,4, rozwiaιzania dajaι wzory Cardano, patrz http :/portalwiedzy.onet.pl9215, , , , cardanawzory, haslo.html*

5

Rozdział 2

Faktoryzacja. Pojeιcia ogólne

2.1 Relacje splaιtania (intertwining relations)

Powyższe zagadnienia zwiaιzane saι z tzw. operatorami drabinkowymi, których przyk ladem saι np.operatory kreacji i anihilacji teorii pól kwantowych. Operatory drabinkowe w naturalny sposóbpojawiajaι sieι także w kwantowej teorii momentu peιdu.

Rozważmy trzy operatory z przestrzeni Hilberta H, tzn. operatory L,L1 oraz A, które dzia lajaιna funkcjach ψ przy czym ψ ∈ H. Przypomnijmy, że przestrzeń Hilberta jest przestrzeniaι unitarnaι izupe lnaι. Unitarność oznacza, iż dana przestrzeń jest liniowa oraz, że określony jest iloczyn skalarny

(x, y) = z ∈ C, x, y ∈ H, (2.1.1)

który jest biliniowym funkcjona lem.Relacjaι splaιtania (intertwine relation) nazywamy nasteιpujaιcy zwiaιzek wymienionych po-

wyżej trzech operatorów A,L,L1 ∈ O:L1A = AL, (2.1.2)

przy czym jest to równość w sensie operatorowym, przestrzeń O jest algebraι liniowaι (operatorymożna dodawać, mnożyć przez liczbeι i mnożenie samych operatorów definuje sieι przez kolejnedzia lanie), a wieιc należy jaι rozumieć nasteιpujaιco (dla ∀ψ ∈ H)

L1Aψ = ALψ. (2.1.3)

Można również powiedzieć, że relacja (2.1.2) jest spe lniona, gdy spe lniona jest równość (2.1.3).Rozważmy teraz nasteιpujaιce zagadnienie na wartości w lasnej:

Lψ = λψ (2.1.4)

Zapiszmy jeszcze raz równość (2.1.3) i skorzystajmy w niej z (2.1.4)

L1(Aψ) = A(Lψ) = Aλψ = λ(Aψ), (2.1.5)

a wieιc jeśli przyrównamy pierwszy i ostatni wyraz powyższej równości, to otrzymamy

L1(Aψ) = λ(Aψ), (2.1.6)

co przypomina równanie na wartości w lasnej (2.1.4), ale tym razem dla operatora L1 z wektoremw lasnym Aψ ∈ H:

L −→ L1, ψ −→ Aψ ∈ H. (2.1.7)

Wartość w lasna przy tej transformacji pozostaje niezmieniona - jest to nadal liczba λ. Takaιtransformacjeι nazywamy transformacjaι izospektralnaι (jej niezmiennikiem jest widmo wartościw lasnych). Operatory zwiaιzane relacjaι splaιtania (2.1.2), a wieιc majaιce takie samo widmo, możnaniezbyt ściśle nazwać ”prawie równoważnymi”(np. w ramach mechaniki kwantowej, w której zbiórwartości λ) - widmo daje wyniki pomiarów dla obserwacji, reprezentowanej przez L.

6

2.2 Operatory rożniczkowania. Równania różniczkowe

Rozważmy operator pierwszej pochodnej D ∈ O:

y(x)→ Dy(x) =dy

dx, (2.2.8)

gdzie y ∈ C1 - funkcja różniczkowalna. Naturalnie definuje się operator mnożenia przez funkcjef(x) ∈ C1:

f(x)y(x).

Definicja operatora odwrotnego do D jest ca lkowaniem

y(x)→ D−1y(x) =∫y(x)dx+ C =

∫ x

0y(z)dz + C. (2.2.9)

Latwo udowodnić że

D(eaxy(x)) = aeaxy(x) + eaxDy(x) = eax(a+D)y(x), (2.2.10)

albo, w pierścieniu operatorówDeax = eax(a+D), (2.2.11)

wieιc operator mnożenia przez funkcjeι eax odgrywa roleι operatora, a w relacji splaιtania(2.1.3).można wieιc napisać L = D, L1 = D + a.

Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzeιdu o wspó lczynnikach sta lych ma postać:

y′(x) + ay(x) = f(x), (2.2.12)

co jest równoważne do

Dy(x) + ay(x) = (D + a)y(x) = e−axDeaxy(x) = f(x), (2.2.13)

gdzie uwzgleιdnione (2.2.11).Powstaje algorytm symbolicznego rozwiaιzania równania (5.2.8) pierwszego rzeιdu

y(x) = e−axD−1eaxf(x), a ∈ C, (2.2.14)

inaczej

y(x) = e−ax[∫eaxf(x) + C], (2.2.15)

Dla wyższych rzeιdów opieramy sieι na wzorze faktoryzacji

Pn(D) =n∏i=1

(D − ai), (2.2.16)

gdzie ai - pierwiastki wielomianu Pn(a) (krotności sieι powtarzajaι, wieιc zak ladamy że i=1,...,n)oraz relacje splaιtania

Pn(D)ebx = ebxPn(D + b). (2.2.17)

Inaczej można zastosować rozwinieιcie

P−1n (D) =

n∑i=1

Ai(D − ai)−1, (2.2.18)

które daje inne możliwości uzyskania rozwiaιzań równań niejednorodnych, bo

(D − ai)−1f(x) = eaixD−1e−aixf(x); (2.2.19)

7

Wspó lczynniki Ai, ai znajdziemy z

P−1n (a) =

n∑i=1

Ai(a− ai)−1. (2.2.20)

Ważny przyk lad.Określamy operator Laplace’a (laplasjan) na Rn:∆ = ∂2

∂x21+ · · ·+ ∂2

∂x2nnaturalny operator różniczkowy drugiego rzeιdu, niezmienniczy wzgleιdem

rotacji.Operator drugiej pochodnej względem zmiennej radialnej s

Lf(α, s) ≡ ∂2

∂s2 f(α, s)

też jest niezmienny. Klasyfikacja algotytmów faktoryzcji przedstawiona w [29]. Oznaczmytransformacjeι Radona jako R i do niej sprzężoną R∗ Relacjeι splaιtania określa wzór

R(∆f) = L(Rf), R∗(Lg) = ∆(R∗g).

Zastosowanie takich kodów może być realizowane za pomocą darmowego oprogramowania MA-XIMA (patrz str. http:/eqworld.ipmnet.rueιnśoftware.htm *)

2.3 Ewolucja i faktoryzacja

Rozważmy równanie ewolucyjne w postaci komutatorów (Lie product)

Lt = [M,L], (2.3.21)

Następne stwierdzenie można udowodnić podstawieniemStwierdzenie If the operator L is factorized as L = L1L2 and their evolution is determined by

the equation such as (2.3.21), L→ Li the operator L evolve as (2.3.21).Jednym z najważniejszych i najczeιściej spotykanych sposobów uzyskania zagadnienia na war-

tości w lasne (2.1.4), jest zastosowanie metody rozdzielenia zmiennych w przypadku tzw. równaniaewolucji (opisujaιcego szerokaι klaseι problemów matematyki stosowanej). Jest to równanie postaci

Ψt = LΨ, (2.3.22)

przy czym

Ψt ≡∂Ψ∂t. (2.3.23)

W metodzie rozdzielenia zmiennych poszukujemy rozwiaιzania szczególnego równania (2.3.22) wpostaci iloczynu funkcji zależnych tylko od jednej zmiennej

Ψ = τ(t)ψ(x). (2.3.24)

Podstawiajaιc funkcjeι (2.3.24) do równania (2.3.22) otrzymamy równania spe lniane odpowiednioprzez funkcje τ(t) oraz ψ(x)

τt = λτ, (2.3.25)

Lψ = λψ. (2.3.26)

Rozwiaιzaniem ogólnym równania ewolucji (2.3.22) jest nasteιpujaιca ca lka Stieltjesa1 (symbolizujeto przyrost dsλ)

Ψ =∫τλψλdsλ. (2.3.27)

1Ca lka Stieltjesa jest bezpośrednim uogólnieniem zwyk lej ca lki oznaczonej Riemanna. Ca lka ta umożliwia ujeιciejednym wzorem ca lkowym np. różnych przypadków ciaιg lego i skupionego rozk ladu mas, gdy chcemy obliczyć momentbezw ladności takiego uk ladu mas [8], albo tak jak w analizowanym przyk ladzie równania ewolucji, pozwala zapisaćrozwiaιzanie za pomocaι jednego wzoru (2.3.27), który uwzgleιdnia zarówno widmo ciaιg le, jak i dyskretne.

8

Jako przyk lad rozważmy liniowy operator L, który może być np. macierzaι o wymiarze (3× 3).Wówczas rozwiaιzanie równania w lasnego (2.3.26), sprowadza sieι do rozwiaιzania równania algebra-icznego

det (L− λI) = 0, (2.3.28)

przy czym wartości w lasne λ1, λ2 oraz λ3 w ogólności wyrażajaι sieι poprzez wzory Cardana. Wprzyk ladzie tym, ze wzgleιdu na to, iż mamy dyskretny zbiór wartości w lasnych, sk ladajaιcy sieι z 3elementów, ca lka Stieltjesa beιdzie zwyk laι sumaι

Ψ =3∑i=1

τλiψλi . (2.3.29)

2.4 Przyk lad faktoryzacji

Rozważmy hermitowski operator L, tzn.

L† = L (2.4.30)

i za lóżmy, że operator ten można przedstawić w postaci

L = S†S. (2.4.31)

Okazuje sieι, że(SS†)S = S(S†S), (2.4.32)

co przypomina relacjeι splaιtania (2.1.2) jeśli

A = S =⇒ L1 = SS† (2.4.33)

Wniosek, który można sformu lować na tym etapie jest nasteιpujaιcy: jeżeli operator L sieι faktoryzuje,to wówczas istnieje relacja splaιtania.

Rozważmy teraz równanie na wartości w lasnej dla operatora L1:

L1ϕ = µϕ. (2.4.34)

W oparciu o (2.4.33) mamySS†ϕ = µϕ. (2.4.35)

Dzia lajaιc z lewej strony operatorem S† na powyższe równanie otrzymamy

S†S(S†ϕ) = µ(S†ϕ), (2.4.36)

co w oparciu o (2.4.31) można zapisać w postaci równoważnego równania w lasnego

L(S†ϕ) = µ(S†ϕ), (2.4.37)

przy czym terazϕ −→ S†ϕ, (2.4.38)

jest wektorem w lasnym operatora L z niezmienionymi wartościami w lasnymi {µ}. Praktycznie,rozważmy macierz L jako iloczyn wzajemnie sprzeιżonych macierzy A,A+

A+A = L,

bioraιc prosty przyk lad macierzy 2x2 .

L =(a∗ c∗

b∗ d∗

)(a bc d

)=(|a|2 + |c|2 a∗b+ c∗db∗a+ d∗c |b|2 + |d|2

)

9

wprowadzmy columny, ψ =(ac

)and φ =

(bd

), otrzymujemy równania dla wektorów

||ψ||2 = L11,||φ||2 = L22,

(ψ, φ) = L12.(2.4.39)

Można sprawdzić że n x n macierz factoryzuje sieι podobnie. W przypadku macierzy diagonalej L,iloczyn scalarny (ψ, φ) wynosi zero, co daje zbiór ortogonaly. Macierz A z ortogonych wektorówsplaιta diagonalnaι macierz L = A+A i macierz AA+ zbudowanaι z wierszy norm wektorów i ichproduktów skalarnych. (

a bc d

)(a∗ c∗

b∗ d∗

)=(|a|2 + |b|2 ac∗ + bd∗

cb∗ + db∗ |c|2 + |d|2)

Generalnie, dla n× n macierz ma ustwaionych n kolumn

ψi

wykazano, że czynniki pola faktoryzacji wzrastają automatycznie.

2.5 Operatory drabinkowe

Za lóżmy, że dla pewnego, samosprzeιżonego (hermitowskiego) operatora M , którego warto-ści w lasne m chcemy wyznaczyć, isnieje para wzajemnie sprzeιżonych2 operatorów A+, A−,spe lniajaιcych nasteιpujaιce relacje komutacyjne

[M,A±] = ±A±. (2.5.42)

Powyższe relacje komutacyjne pojawiajaι sieι np. w zagadnieniach zwiaιzanych z operatorem mo-mentu peιdu J , który można zdefiniować nasteιpujaιco

[Ji,Jj ] = i~ εijkJk, (2.5.43)

co w konkretnym przyk ladzie przyjmuje postać

[J1,J2] = i~J3. (2.5.44)

Analogia z relacjaι (2.5.42) jest nasteιpujaιca.

M = J3 oraz A± = J1 ± iJ2. (2.5.45)

Korzystajaιc z relacji (2.5.42) dla operatora A+ możemy napisać

MA+ −A+M = A+, (2.5.46)

a nasteιpnieMA+ = A+ +A+M = A+(M + 1). (2.5.47)

Patrzaιc na powyższaι równość można rozpoznać w niej relacjeι splaιtania (2.1.2), przy czym

L1 −→M, L −→M + 1. (2.5.48)

2Operatory A+ i A− nazywamy wzajemnie sprzeιżonymi jeśli

(ψ,A+ϕ) = (A−ψ,ϕ), (2.5.40)

co oznacza, że(A+)† = A−. (2.5.41)

10

Posteιpujaιc podobnie dla operatora A− otrzymujemy

MA− −A−M = −A−, (2.5.49)

a w kosekwencjiMA− = A−(M − 1), (2.5.50)

na co również można patrzeć jak na relacjeι splaιtania.Podzia lajmy teraz prawostronnie operatorem A− na równość (2.5.47) oraz lewostronnie opera-

torem A+ na (2.5.50). W wyniku tego mamy

MA+A− = A+MA− +A+A−, (2.5.51)

A+MA− = A+A−M −A+A−. (2.5.52)

Dodajaιc stronami (2.5.51) i (2.5.52) otrzymujemy

A+A−M −MA+A− = 0, (2.5.53)

co można zapisać za pomocaι komutatora

[A+A−,M ] = 0. (2.5.54)

Przejdziemy teraz do zagadnienia na wartości w lasne dla operatora M . Funkcje w lasne ozna-czymy przez ψm; mamy wieιc

Mψm = mψm. (2.5.55)

Jeśli teraz podzia lamy lewostronnie operatorem A+ na powyższe równanie

A+Mψm = mA+ψm, (2.5.56)

a nasteιpnie skorzystamy z (2.5.42), to wówczas

(MA+ −A+)ψm = mA+ψm, (2.5.57)

co ostatecznie można zapisać w postaci

M(A+ψm) = (m+ 1)(A+ψm). (2.5.58)

Przeprowadzenie analogicznych operacji z operatorem A− prowadzi do równania

M(A−ψm) = (m− 1)(A−ψm). (2.5.59)

Wektory w lasne wysteιpujaιce w dwóch powyższych równaniach można interpretować nasteιpujaιco

A+ψm ∼ ψm+1, (2.5.60)

A−ψm ∼ ψm−1 (2.5.61)

lub jawnieA+ψm = cmψm+1, (2.5.62)

A−ψm = dmψm−1. (2.5.63)

W laśnie z powodu wyrażeń (2.5.62) i (2.5.63), operatory A+ oraz A− nazywane saι operatoramidrabinkowymi (ladder operators).

Funkcje w lasne operatora M normuje sieι zazwyczaj do jedności, tzn.

(ψm, ψm) = 1, ∀m ∈ {−N, . . . , N} (2.5.64)

(ψm+1, A+ψm) = cm (ψm+1, ψm+1)︸ ︷︷ ︸

=1

= cm (2.5.65)

11

z drugiej strony (korzystajaιc z faktu, że operatory A+ i A− saι wzajemnie sprzeιżone - patrz wzór(2.5.40)) możemy napisać powyższe wyrażenie w postaci

(A−ψm+1, ψm) = (dm+1ψm, ψm) = d∗m+1(ψm, ψm) = d∗m+1, (2.5.66)

a wieιc zachodzicm = d∗m+1. (2.5.67)

Dodatkowo, korzystajaιc z (2.5.62), (2.5.63) oraz (2.5.67), mamy

A+A−ψm = dmA+ψm−1 = dmcm−1ψm = dmd

∗mψm = |dm|2ψm. (2.5.68)

2.5.1 Samosprzeιżone operatory drabinkowe

Jako przyk lad rozważymy zagadnienie orbitalnego momentu peιdu. Zanim jednak przystaιpimydo tego problemu, należy tu zaznaczyć, że operatory drabinkowe, zdefiniowane porzez (2.5.62)i (2.5.63), nie mogaι być samosprzeιżone. Wynika to z tego, że dla obu operatorów, A+ i A−,sprzeιżenie jednego z nich musi prowadzić do drugiego z operatorów, a wieιc dzia lajaιcego przeciwnieniż pierwszy - patrz wzór (2.5.41). Poniżej przedstawimy pewne modyfikacje, które pozwolaι uzyskaćsamosprzeιżone operatory drabinkowe.

Zdefiniujmy, za pomocaι operatorów M , A+ i A−, dwa operatory, M oraz A , w nasteιpujaιcysposób

M =

(M 0

0 −M

), A =

(0 A−

A+ 0

). (2.5.69)

Oba powyższe operatory saι już samosprzeιżone (hermitowskie), a dodatkowo można pokazać, iżspe lniajaι relacjeι antykomutacyjnaι

[M ,A ]+ = (MA + A M ) = −A , (2.5.70)

przy czym, antykomutator dwóch dowolnych operatorów A i B, definiujemy nasteιpujaιco

[A,B]+ = AB +BA. (2.5.71)

Z każdaι funkcjaι w lasnaι ψm operatora M , zwiaιzana jest para funkcji w lasnych, ψ(a)m oraz ψ(b)

m ,operatora M (widać, że przestrzeń funkcji w lasnych tego operatora można rozbić na sumeι dwóchpodprzestrzeni: “a” i “b”). Funkcje te majaι postać spinorowaι

ψ(a)m =

(ψm

0

), ψ(b)

m =

(0

ψm

)(2.5.72)

i saι rozwiaιzaniami nasteιpujaιcych zagadnień w lasnych

Mψ(a)m = mψ(a)

m , (2.5.73)

Mψ(b)m = −mψ(b)

m . (2.5.74)

Stosujaιc do powyższych funkcji w lasnych operator A , w oparciu o relacjeι antykomutacyjnaι(2.5.70), można pokazać, iż

A ψ(a)m ∼ ψ(b)

m+1, (2.5.75)

A ψ(b)m+1 ∼ ψ(a)

m , (2.5.76)

a wieιc mamy ponownie do czynienia z operatorem drabinkowym, który w wyniku dzia lania ”prze-rzuca”funkcje w lasne z jednej podprzestrzeni do drugiej, podnoszaιc lub obniżajaιc przy tym o 1wartość w lasnaι m.

12

Przeanalizujemy teraz konkretny przyk lad, w którym pojawi sieι samosprzeιżony operator dra-binkowy. Niech M beιdzie z-towaι sk ladowaι orbitalnego momentu peιdu, czyli

M = Lz. (2.5.77)

Mamy wówczasA± = Lx ± iLy, (2.5.78)

a w konsekwencji otrzymamy operatory M i A w postaci

M =

(Lz 0

0 −Lz

)= σzLz (2.5.79)

oraz

A =

(0 (Lx − iLy)

(Lx + iLy) 0

)= σxLx + σyLy. (2.5.80)

Dla uproszczenia zapisu w powyższych wyrażeniach pojawi ly sieι macierze Pauliego, zdefiniowanenasteιpujaιco

σx =

(0 1

1 0

), σy =

(0 −i

i 0

), σz =

(1 0

0 −1

). (2.5.81)

Powyższy przyk lad, ze wzgleιdu na swojaι prostoteι, nie obrazuje najwieιkszej zalety skonstruowa-nego drabinkowego operatora A . Otóż, operatory A± czeιsto saι bardzo skomplikowane, natomiastsamosprzeιżony operator A jest dużo prostszy i prowadzi do zwartego zapisu algebraicznego.

2.6 A lgorytm QR i uk lady ca lkowalne.

Inny przyk lad faktoryzacji odwracalnej (invertible) n × n macierzy M przes ortogonalnaι macierzQ i górnaι trigonalnaι macierz R iloczyn

M = QR (2.6.82)

jest znany dla tego że daje algorym obliczenia wartośći w lasnych macierzy M [12]. Dowód możebyć zrobiony za pomocaι procedury ortogonalizacji Grama-Schmidta [13].

Procedura wykonania jest taka: startujemy z (2.6.82) i faktoryzujemy rezultat transpozycji

M1 = RQ = Q−1MQ = QTMQ

jakoM1 = Q1R1, (2.6.83)

co pozwala skonstruowaćM2 = QT1 M1Q1. (2.6.84)

Powtórzenie faktoryzacji produkuje lańcuch

Mk+1 = QTkMkQk. (2.6.85)

Ten iteraktywny proces stosuje sieι w teorii ca lkowalnego uk ladu Tody który sieι realizujeι jakotransformacja przesunieιcia wzd luż dodatkowej osi, powiedzmy - t [15]. Nasteιpnaι ideaι zwiaιzanaι ztwirdzeniem Mosera [22] sens której w tym że poza-diagonalna czeιść macierz daιży do zera jeślirozważa sieι t-przesunieιcie. Ściślej, jeśli uk lad jest generowany Hamiltonianem

HQR = −Tr(MlogM −M) (2.6.86)

na (R2n, ω), gdzie ω = 14

∑ni=1 dpi ∧ dqi, wtedy

MQR(k) = Mk, k = 1, 2, .... (2.6.87)

13

Poważnaι roleι w tej teorii odgrywa lańcuch Tody, którego używamy w postaci, podanej przez Flashka

Mt = [B(M),M ] (2.6.88)

gdzie M jest tridiagonalnaι macierzaι

M =

a1 b1 0 .b1 .

. bn−1

bn−1 an

. (2.6.89)

Macierz B(M) ma zera na diagonali

B(M) =

0 −b1 0 .b1 0

. −bn−1

bn−1 0

. (2.6.90)

Formulujemy twierdzenie [14]Twierdzenie Ca lkowalność lańcucha QR (2.6.85) .Hamiltonian (2.6.86) generuje uk lad ca lkowalny (2.6.88) który okrieślia interpolacje lańcucha

ubierania QR w punktach ca lkowitych czasu t.Stwierdzenie o wartosciach asymptotycznych czeιści poza-diagonalnej macierzy M brzmi

nasteιpujaιcoTwierdzenie Twierdzenie Mosera o lańcuchach Tody.Elementy macierzowe bk(t) daιżaι do zera na obu końcach t→ ±∞Twierdzenie może być zastosowane wprost do wielu problemów aproksymacji różnicowych w

teorii równania Schrodingera [27]. Za pomocaι tego algorytmu mogaι być stworzone programy doodpowiednich obliczeń symbolicznych.

14

Rozdział 3

Transformacja Darboux

3.1 Izospektralna transformacja Darboux

Zajmujemy sieι transformacjami, dzieιki którym na podstawie rozwiaιzań danych zagadnień możnaprzechodzić do innych rozwiaιzań zagadnień o podobnej formie operatora [24] (An algorithm forsolving second order linear homogeneous differential equations). Pokażemy jak ubrać rozwiaιzanie1- wymiarowego liniowego równania kiedy faktoryzacja operatora istneje.

Najpierw, sformu lujemy problem faktoryzacji operatora różniczkowego i wyt lumaczymy, jak godzielić monomia lem z prawej i z lewej, wprowadzajaιc uogólnione wielomiany Bella.

Operator klasyczny TD, ma formeι operatora różniczkowego pierwszego rzędu

Lσ = D − σ. (3.1.1)

który jest zwiaιzany, np., z operatorem równania

−ψxx + uψ = λψ, (3.1.2)

mianowicie−D2 + u = (−D − σ)(D − σ) = −D2 + σx + σ2. (3.1.3)

jeśli σ = φ′

φ , gdzie φ - rozwiaιzanie problemu (3.1.2) z wartośćiami w lasnymi (WW) µ.Wprowadzajaιc równanie lańcuchowe dla powtarzania DT

−ψxx + uiψ = λψ, (3.1.4)

Ten że jednowymiarowy operator Schrodingera na osi x z potencia lem ui jest zwiaιzany z ui+1

ui+1 = ui − 2σi (3.1.5)

σi, jest rozwiaιzaniemσ′i + σ2

i + µi = ui. (3.1.6)

Które jest tożsamośćiowe, jeśli σi = φ′iφ−1i . Podstawenie ui i z (3.1.6)w (3.1.5) daje lańcuch

(σi + σi+1)′ = σ2i − σ2

i+1 + µi − µi+1. (3.1.7)

Poważne problemy mechaniki kwantowej mogaι być rozwiaιzane takaι metodaι. Np. klasycznewidmo oscylatora harmonicznego i potencia l Coulomba znajdujaι sieι w tym opisie, jeśli szukamyrozwiaιzania (3.1.7) w postaci

σj = ξja(x) + ηj , j = 0,±1, ... (3.1.8)

co produkuje równanie Riccati dla a(x)

(ξj+1 + ξj)a′ = (ξ2j+1 − ξ2

j )a2 + 2(ξj+1ηj+1 − ξjηj)a+ η2j+1 − η2

j + µi − µi+1. (3.1.9)

15

Rozwiaιzania a(x) = x, 1x via link Miury (3.1.6) produkuje potencia l

ui = ξja(x)′ + (ξja(x) + ηi)2 + µi, (3.1.10)

a = x oznacza ξj+1 = ±ξj , ηj+1 = ±ηj natomiast (3.1.9) czyta sieι jako rekurencjeι dla WW

µi+1 = µi + 2ξj , (3.1.11)

i daje widmo równoodleg le dla wyboru ξj+1 = ξj = −µj , ηj+1 = ηj = η. Potencia l oscylatoraharmonicznego x ∈ (−∞,∞) jest wprost

ui = −µi + µ2x2 + 2ξηx+ η2 + µi, (3.1.12)

Przypadek radialnego równania Schrodingera (atomic units)(−1

2d2

dr2 −1r

d

dr+l(l + 1)

2r2 + ul − E)ψl(r) = 0, (3.1.13)

transformuje sieι do (3.1.2) za pomocaι ψl = ψ (x→ r) i równanie lańcuchowe jest wieιc równoważnedo (3.1.7). Warunek (3.1.9) tworzy dwa dla sta lych:

(ξj+1 + ξj)(1 + ξj+1 − ξj) = 0ξj+1ηj+1 − ξjηj = 0

To oznacza ze wzory (3.1.11) i

ψ0(r) =C

rexp[

∫ r

1σ(x)dx] (3.1.14)

rozwiaιzujaι problem kwantowy potencia lu Coulomba dla l=0.Jeśli kończymy na N-kroku, otrzymujemy super-Hamiltonian, basowy dla supersymetrii.

3.2 Nieizospektralna transformacja Darboux

Z twierdzenia Darboux potrafimy wywnioskować, że transformacja w nim zdefiniowana jest izo-spektralna. Spróbujemy teraz podejść do problemu z innej strony, tak, aby otrzymać równaniełańcuchowe generujące nowe wartości własne. Z twierdzenia (3.2.15) i przykładu (??) wiemy, żerozpatrywany przez nas w równaniu operator L = − d2

dx2 +u można przedstawić w postaci (2.4.32),

przy czym σ jest w tym przypadku postaci σ = φ′1φ1

, gdzie φ1 spełnia Lφ1 = λ1φ1. Na podstawieuwagi (??) do twierdzenia Darboux widzimy, że r = u− σ′2 = λ1. Mamy zatem

L =(− d

dx− σ

)(d

dx− σ

)+ λ1.

Wiemy, że operator Lσ działa na elementy przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem L2(R).Dla dowolnych υ, ϕ ∈ L2(R), pamiętając, że zanikają one w nieskończoności, dostaniemy:

(υ, Lσ ϕ) =∫ ∞−∞

υ(x)(Lσϕ)†(x) dx =∫ ∞−∞

υ(x)(dϕ

dx− σϕ

)†(x) dx

=∫ ∞−∞

υ(x)dϕ†

dx(x) dx−

∫ ∞−∞

υ(x)σϕ†(x) dx

= υ(x)ϕ(x)∣∣∣∣∞−∞

+∫ ∞−∞

(− dυ(x)

dx− συ(x)

)ϕ†(x) dx = (L†σ υ, ϕ).

Stąd mamy, że L†σ = −dx− σ = M , czyli

L = L†σ Lσ + λ1. (3.2.15)

16

Wprowadźmy teraz nowe oznaczenia. Niech Li = −d2x2 + ui. Będziemy zatem rozważać równanie

Liψi(µi) = µiψi(µi), (3.2.16)

gdzie ψi(µi) = ψi(x, µi). Rozwiązanie tego równania odpowiadające wartości własnej λi będziemyoznaczać tak, jak w treści twierdzenia Darboux, przez φi, czyli możemy zapisać Liφi = λiφi.Dostaniemy wtedy σi = φ′1

φ1. Z (3.2.15) otrzymamy

Li = L†σi Lσi + λi.

Podstawiając to do równania (3.2.16), możemy zapisać

(L†σi Lσi + λi)ψi(µi) = µiψi(µi)

i dalej, mnożąc to równanie przez Lσi z lewej strony, mamy

Lσi L†σi (Lσiψi(µi)) + λi(Lσiψi(µi)) = µi(Lσiψi(µi)),

czyliLσi L

†σi (Lσiψi(µi)) = (µi − λi)(Lσiψi(µi)). (3.2.17)

Widzimy, że działając transformatą Lσi na funkcję ψi(µi) spełniającą (3.2.16), otrzymamy innąfunkcję ψi+1(µi+1) spełniającą nowe równanie

Li+1ψi+1(µi+1) = µi+1ψi+1(µi+1) (3.2.18)

dla wartości własnej µi+1 = µi − λi, gdzie Li+1 = Lσi L†σi . Mamy

Li+1 = Lσi L†σi = L†σi+1 Lσi+1 + λi+1,

gdzie σi+1 =φ′i+1φi+1

a φi+1 rozwiązuje Li+1φi+1 = λi+1φi+1.

Z takiej postaci operatora Li wynika między innymi to, że jego wartości własne są licz-bami dodatnimi. Rzeczywiście, dla dowolnego φi ∈ L2(R) takiego, że zachodzi Liφi = λiφi,mamy

λi||φi||2 = λi(φi, φi) = (φi, λiφi) = (φi, Liφi) = (φi, Lσi−1L†σi−1φi)

= (L†σi−1φi, L†σi−1φi) = ||L†σi−1φi||

2 ­ 0.

Zatem λi ­ 0 dla dowolnego i. Zatem dla dowolnego i operator Lσi jest operatorem drabinkowymobniżającym wartość własną operatora Li.

Uwaga 3.2.1 W dalszych rozważaniach będziemy korzystali z wprowadzonego w tym podrozdzialesposobu zapisu.

3.3 Potencia ly ca lkowalne w mechanice kwantowej.

Zastosowanie w mechanice kwantowej wymaga pewnych warunków. To jest rzeczywistość i dozwo-lone osobliwości potencia lów, definicja stanu w przestrzeni Hilberta H dla równania

−12ψxx + U(x)ψ = Eψ (3.3.19)

alboψ(x,En) ∈ H

dla widma dyskretnego, albo ∫ E+∆E

E

ψ(x,E′)dE′ ∈ H

dla continuum. Rozważmy przypadek jednowymiarowego równania Schrodingera 3.3.19 na osi x ∈−∞,+∞ s a potencia lem U(x).

Dla punktów widma dyskretnego teoria dobrze opisana w [25], patrz też strona domowa S.Leble, skrypt Chaos i solitony.

17

3.3.1 Deformacje algebraiczne.

Ścis le określenie DT może być dane jeżeli operator Hamiltona jest pó lograniczony. Niech też U(x) ­0 [26]. Jak pokazano wyżej jedyna faktoryzacja operatora (3.3.19) wprowadza ubrany (dressedpartner) operator U [1] = U+2σx . Partner-potencia l jest nieosobliwy jeśli φ sieι nie zeruje. Możliwe:

a) dodatkowo (faktoryzacja funkcji w [26]) φ jest ca lkowalne z kwadratem i operator ∂ − σ od-wzoruje każdy punkt widma dyskretnego, do punktu widma dyskretnego za wyjaιtkiem najniższego,który znika: funkcja daιży do zera.

b)odwrotna (”prop”) funkcja φ−1 jest ca lkowalna z kwadratem. Odwrotna transformacja.c) Izospektralna transformacja : ani φ ani φ−1 nie jest ca lkowalna z kwadratem, operator Dλ

dzia la jako izomorfizm.Algebraiczne deformacji potencja lów o formie niezmenniczej, patrz [26]. Z omawianymi proble-

mami faktotyzacji macierzy i operatorów rożniczkowych można zapoznać sieι g leιbiej, korzystajaιcz literatury, np. “Darboux transforms on Band Matrices, Weights and associated Polynomials”,Mark Adler and Pierre van Moerbeke, a także na stronie domowej profesora Lva Berkovicha,http://www.ssu.samara.ru/∼berkovich/

18

Rozdział 4

Faktoryzacja operatorówróżnicowych.

4.1 Ewolucja w perścieniu różnicowym

Zapiszmy teraz równanie ewolucjiψt = Lψ. (4.1.1)

Powyższe równanie zawsze jest powiaιzane z równaniem

Lψ = λψ. (4.1.2)

Jeśli do rozważań dodamy inne równanie liniowe

ψy = Mψ, (4.1.3)

to mamy punkt wyjścia do równania nieliniowego (w reprezentacji Laxa).

Ly −Mt = [L,M ]. (4.1.4)

Za lóżmy, że mamy pierścień różniczkowy, w którym istnieje transformacja T , beιdaιca automor-fizmem i spe lniajaιca zależność

T (ab) = T (a)T (b). (4.1.5)

Typowy i ważny przyk lad takiej transformacji - transformacja przesunieιcia

Tψ(x) = ψ(x+ h). (4.1.6)

Innym przyk ladem może być transformacja obrotu.Uwaga. Można udowodnić, że

Tψ(x) = ehDψ(x). (4.1.7)

Twierdzenie Rozwiązanie ogólne jednorodnego równania

(T − a)y(x) = 0 (4.1.8)

ma postaćy(x) = φ(x)e

xh ln a (4.1.9)

Dowód opiera się na relacji

T (ebxy(x) = eb(x+h)Ty(x). (4.1.10)

Twierdzenie Rozwiązanie niejednorodnego równania

(T − a)y(x) = f(x) (4.1.11)

19

jest wzór

y(x) = −∞∑j=0

1aj+1 g(x+ jh), (4.1.12)

jeśli ten szereg jest zbieżny w przestrzeni Hk(R1) [?]].Przedstawmy operator L z równania (4.1.1) w postaci

L =N∑

m=−MUmT

m, (4.1.13)

gdzie funkcje Um reprezentujaι pewne potencja ly. Przyk ladem operatora (4.1.13) może być rożni-cowy analog operatora

L = − d2

dx2 + U(x), (4.1.14)

który jest typowym operatorem Sturma–Liouville’a, wysteιpujaιcym w mechanice kwantowej (rów-nież w teorii falowodów, w zagadnieniach przewodnictwa cieplnego). Operator różniczkowy możebyć przedstawiony za pomocą przybliżenia jako operator różnicowy. Korzysta sieι z tego faktu, gdyrozwiaιzuje sieι zagadnienia numerycznie [27]. Aby takie przejście by lo możliwe, musi w nim istniećgranica, przekszta lcenie musi być stabilne.

Operator L chcemy przkszta lcić w operator L:

L =N∑

m=−MUmT

m. (4.1.15)

Mamy zatem przejścia Um → Um, czyli tzw. operacjeι ubierania (dressing operation). Za pomocaιtakich operacji można z prostego równania i jego rozwiaιzania otrzymać inne, bardziej skompli-kowane, zagadnienie. Potrzebny jest wzór na przejście Um → Um. Funkcjeι ψ (czyli rozwiaιzanierównań (4.1.1) i (4.1.2)) poddamy transformacji Darboux. Mamy dwie drogi, można transformacjeιDarboux “z plusem” lub “z minusem”

ψ = D±ψ. (4.1.16)

Zdefiniujmy operatory σ+ i σ−:σ± = ϕ(T±1ϕ)−1, (4.1.17)

gdzie ϕ również jest rozwiaιzaniem równań (4.1.1) i (4.1.2). Transformacje Darboux definiujemynasteιpujaιco

D±ψ = ψ − σ±T±1ψ. (4.1.18)

W dalszej czeιści rozważamy operacjeι D+, korzystamy z operatora σ+, który beιdziemy oznaczać “wskrócie” σ. Jeśli równanie (4.1.17) przemnożymy z prawej strony przez czynnik Tϕ, otrzymujemy

σTϕ = ϕ, (4.1.19)

a staιd wynika, żeTϕ = σ−1ϕ. (4.1.20)

Obliczmy T 2ϕ:T 2ϕ = T (Tϕ) = T (σ−1ϕ). (4.1.21)

Skorzystaliśmy z (4.1.20). Uwzgleιdniajaιc automorfizm (4.1.5) i kontynuujaιc obliczanie (4.1.21),zapiszemy

T 2ϕ = T (σ−1)T (ϕ) = T (σ−1)σ−1ϕ. (4.1.22)

Teraz w podobny sposób obliczamy T 3ϕ:

T 3ϕ = T (T 2ϕ) = T (T (σ−1))T (σ−1)T (ϕ) = T 2(σ−1)T (σ−1)σ−1ϕ. (4.1.23)

20

Zdefiniujmy operator mnożenia kolejnych poteιg T (σ−1):

Bm(σ) =m−1∏k=0

T k(σ−1). (4.1.24)

Można wprowadzić różnicowy wielomian Bella, bardzo podobny do wielomianu różniczkowego, sto-sowanego dla operatorów różniczkowych.

Na podstawie zależności (4.1.20), (4.1.22) i (4.1.23) można zapisać

Tmϕ = Bm(σ)ϕ. (4.1.25)

Twierdzenie Darboux – Matveeva

ψ+t =

N∑m=−M

U+mT

mψ+. (4.1.26)

Poszczególne wspó lczynniki U+m przyjmujaι postaci

U+−M = U−M , (4.1.27)

U+−m =

m+M∑l=0

[U−M+l − σ+(TU−M+l−1)B+

−M+l(σ+)(B+

m(σ+))−1] , (4.1.28)

U+N = σ+(TUN )(TNσ+)−1. (4.1.29)

Dla operatora σ+ określonego wzorem (4.1.17), zachodzi

σ+t =

N∑m=−M

[UmB

+m(σ+)− σ+T (Um)B+

m+1(σ+)σ+] . (4.1.30)

Uwaga 1W przypadku N = M = 1 równanie (4.1.30) jest różnicowym odpowiednikiem równania Bur-

gersa, które s luży do opisu fal uderzeniowych.Zaletaι przedstawionej metody jest duża stabilność numeryczna. Metoda pozwala wygenerować

rozwiaιzania równań Laxa - też na drodze różnicowej. Ogólnie można powiedzieć, że metodapolega na dokonaniu przejścia od równania różniczkowego do równania różnicowego, które dajaιsieι optymalnie rozwiaιzywać numerycznie.

Uwaga 2Wzory podobne do powyższych otrzymuje sieι dla drugiej transformacji “-”

D−ψ = ψ. (4.1.31)

Uwaga 3W transformacji D− mamy

ψ = ψ − σ−T−1ψ, (4.1.32)

gdzieσ− = ϕ(T−1ϕ)−1, (4.1.33)

wieιcψ = ψ − ϕ(T−1ϕ)−1T−1ψ. (4.1.34)

21

Rozważmy przypadek abelowy

Tψ(x) = Tψ(x+ a); T−1ψ(x) = ψ(x− a) (4.1.35)

Niech transformacja beιdzie ustalona z dok ladnościaι do sta lej

−aψ(x) = ψ(x)− ϕ(x)ϕ(x− a)

ψ(x− a). (4.1.36)

Korzystajaιc ze wzoru Taylora, można dokonać przybliżenia

f(x− a) ' f(x)− af′(x). (4.1.37)

Powyższe przybliżenie wykorzystujemy w cz lonach ϕ(x− a) i ψ(x− a) i dostajemy

−aψ(x) =ψ[ϕ(x)− aϕ′(x)

]− ϕ

[ψ(x)− aψ′(x)

]ϕ(x)− aϕ′(x)

= −aψ(x)ϕ′(x)− ϕ(x)ψ

′(x)

ϕ(x)− aϕ′(x)

a→0−−−→a

[ψ′(x)− ϕ

′(x)

ϕ(x)ψ(x)

], (4.1.38)

zatem

ψ(x) = −

[ψ′(x)− ϕ

′(x)

ϕ(x)ψ(x)

]a→0−−−→(δx − σ−)ψ(x), (4.1.39)

gdzieσ− = ϕ

′(x)/ϕ(x). (4.1.40)

Ca le rozumowanie można powtórzyć dla transformacji “+”, we wzorach pojawiaι sieι plusy zamiastminusów.Podsumowujaιc, jednym z celów metody jest uzyskanie różnicowego odpowiednika operatora L.

Uwaga 4Odpowiednikiem równania KdV jest równanie

ut = umum−1 − umum+1. (4.1.41)

Równanie to pojawia sieι w zagadnieniach zwiaιzanych z fizykaι plazmy, falami Langmuire’a.

Wiemy, że transformacja Darboux jest algorytmem o skończonej liczbie transformacji. Wartościw lasne i wektory w lasne uzyskuje sieι za pomocaι procedury przybliżonej. Przejdźmy do operacjinieskończonych. Jeżeli , istnieje faktoryzacja macierzy za pomocaι takich dwóch macierzy, z którychjedna spe lnia warunek , a druga - R jest macierzaι górnaι trójkaιtnaι i istnieje macierz Q , to możnapowiedzieć, że mnożaιc macierz B przez Q z prawej strony, tzn. Staιd macierz A ma po laιczenie zmacierzaι B. Taki sposób jest możliwy do przeprowadzenia pod warunkiem, że macierz jest nieoso-bliwa.

Stwierdzenie Proces Grama- Schmidta jest faktoryzacjaι jednoznacznaι macierzy A, jeśli A jestmacierzaι kwadratowaι i istnieje macierz odwrotna.

Po laιczenie macierzy prowadzi do otrzymania algorytmu. Niech istnieje , wówczas można stwo-rzyć jako wyrażenie poprzez . .

Aby poprawić jakość faktoryzacji i przyspieszyć algorytm można zastosować dwa nasteιpujaιcezabiegi:

1) przesunieιcie wartości w lasnych (85)2) deflacja macierzy- stosowanie odpowiednich wzorów i równań w taki sposób, aby uzyskać jak

najlepsze zbieżności i skuteczniejsze oprogramowanie obliczeniowe [13].

22

Rozdział 5

Faktoryzacja operatorówróżniczkowych. Różniczkowewielomiany Bella.

5.1 Wielomiany operatorów różniczkowych w pierścieniach

Obliczenia symboliczne i idea podejścia opiera sieι na odpowiednim algorytmie (operacje o skończo-nej ilości). Uzyskanie algorytmu poprzez faktoryzacjeι, która ma bezpośredni zwiaιzek z relacjamisplaιtania i operatorów drabinkowych. Krok za krokiem, z różnych stron badamy to podejście. Ope-rowanie wzorami nie zawsze może być jawne ( tj. przez wyrażenie funkcjaι elementarnaι lub funkcjaιspecjalnaι) lub przybliżone (oparte na wielomianach).

Osobne miejsce zajmujaι wielomiany (przypadek urwanych szeregów). Takie przypadki saι ba-dane szczególnie. Faktoryzacja wielomianu to znalezienie takich wielomianów, że ich iloczyn jestrówny danemu. W tym wypadku rozwiaιzanie nietrywialne nie może zawierać wielomianu o tymsamym stopniu, co wielomian faktoryzowany.Uzyskanie odpowiednich wzorów opiera sieι na pojeιciu rekurencji, nasteιpnie wykonaniu kolejnychtransformacji, tak aby otrzymać potrzebne wzory, wielomiany i inne formacje.

1. Pierścień różniczkowy KRozwój pojeιcia grupy, półgrupy doprowadziło do powstania pojeιcia pierścienia z takimi ope-

racjami jak dodawanie, mnożenie, różniczkowanie (D) (patrz wstęp i rozd. 1).Założenia:

1)

D (a+ b) = Da+Db,

D (ab) = D (a) b+ aD (b)

a, b ∈ K

2) Istnieje operacja” ∗ ”

nazywana inwolucjaι. Przykładem jest sprzeιżenie zespolone.

(a∗)∗ = a

(dla każdego a)

(a+ b)∗ = a∗ + b∗

23

( operacja jest liniowa)

(ab)∗ = b∗a∗

3)

(Da)∗ = −Da∗

4) operatory

Dn

tworzaι bazeι w K-module

⇒

Dn ∈ Diff (K)

5) dla dowolnego elementuS ∈ K

istnieje taki elementϕ,

żeDϕ = Sϕ. (5.1.1)

Z tego wynika, że z powodu inwersjiDφ = φS

(istnieje rozwiaιzanie i dla elementu S istnieje odwrotny element

ϕ−1.

W zastosowaniu oznacza to najprościej zbiór macierzy. Jeśli macierz zależy od parametru, to każdyelement macierzy jest różniczkowy.

5.2 Wielomiany Bella

Bn (S)

Mogaι znaleźć zastosowanie w obliczeniach symbolicznych.1)

B0 (S) = e

(element jednostkowy)

B+0 (S) = e

Bn (S) = DBn−1 (S) +Bn−1 (S) · S, n = 1, 2...n (5.2.2)

B+n (S) = −DBn−1 (S) + SB+

n−1 (5.2.3)

Stwierdzenie 1Jeżeli

24

ϕ ∈ K

i

Dϕ = Sϕ

, który jest rozwiaιzaniem równania, wtedy

Dnϕ = Bn (S)ϕ

. (126)Pozwala to wyliczyć i następnie zróżniczkować przez odpowiedni wielomian. Jeśli

ϕ

to element pierścienia, to macierz

ϕx = Sϕ

. (αxβx

)=(S11 S12

S12 S22

)(αβ

)(127) (

γxδx

)=(S11 S12

S12 S22

)(γδ

)(128)

ϕ =(α γβ δ

)(129)

Czy istniejaι dwa niezależne liniowo wektory? Jeśli tak, to wtedy istnieje

ϕ

jako odwrotna macierz.Układ dwóch równań różniczkowych I-go rzeιdu jest równoważny do równania II-go rzeιdu.

Dnφ = (−1)n φB+n (S) , n = 1, 2...n (5.2.4)

Powstaje prawy i lewy wielomian Bella. Można przedstawić relacje pomieιdzy tymi wielomianamiw postaci

B∗n (S) = B+n (S∗) (5.2.5)

UwagaJeżeli wprowadzi sieι operator

LS = D − S,

wtedyB+n+1 = −LSB+

n (S) . (5.2.6)

Przykłady

B1 (S) = S

25

B+1 = S

B2 (S) = DB1 (S) +B1 (S)S = S′ + S2

Wprowadzamy

Bn,i (S)

tak, że

Bn,0 = e

(

n = 1, 2...n

). Liczymy wielomiany

Bn+1 (S) =n∑i=0

Bn,iDn,iS

Bn,1 = S

Bn,2 = S2 + nDS

Bn,3 = S3 + nS′S + (n− 1)SDS +(n2

)D2S

Nasteιpne rozważania dotyczyć beιdaι dzielenia operatorów różniczkowych.

5.2.1 Faktoryzacja równań operatorów różniczkowych. Uogólnione rów-nanie Rokkatiego.

1)

L =N∑n=0

anDn (5.2.7)

gdzie:

D

to uogólniony operator różniczkowania,

an

to elementy pierścieni

an ∈ K.

2)L = MLS + r

(działanie z prawej strony),L = LSM

+ + r+

(działanie z lewej strony),

26

LS = D − S.

r,

r+

to reszty z dzielenia)Stwierdzenie 2 Równanie

r =N∑n=0

anBn (S) (5.2.8)

jest wynikiem równania (126). Na mocy stwierdzenia 1 otrzymujemy stwierdzenie 2.

M =N−1∑n=0

bnDn (5.2.9)

gdzie

bn =N∑

k=n+1

akBk−1,n (S) ,

przyn = 0...N − 1

S = (Dϕ)ϕ−1

Otwiera to drogeι do faktoryzacji.Stwierdzenie 3

Aby operator

L

można było podzielić z prawej strony przez

LS ,

to musi zostać spełniony warunek

r =N∑n=0

anBn (S) = 0 (5.2.10)

Jeżeli powyższe równanie zostanie spełnione, to

L = MLS (5.2.11)

gdzie

M =N−1∑n=0

bnDn

zostało sformułowane w stwierdzeniu 2.Dla przypadku, kiedy

27

N = 2

otrzymujemya0 + a1S + a2B2 (S) (5.2.12)

orazr = a0 + a1S + a2

(S′ + S2) = 0 (5.2.13)

)ktore jest uogólnionym równaniem Rokkatiego.Z powyższego równania widać brak wieιkszego wp lywu nieabelowości na przeprowadzone działania.Rozpoczynajaιc od

r = 3, 4...

dostajemy odpowiednie równanie typu Rokkatiego (

r =∑

anBn (S) = 0

)Twierdzenie

Niech

ϕ

jest rozwiaιzaniem równania

Lϕ = 0.

Wtedy operator

L

określony wzorem (133) przedstawia sieι w postaci

L = MLS (5.2.14)

co oznacza, żer = 0,

gdzie

S = (Dϕ)ϕ−1

stanowi rozwiaιzanie uogólnionego równania Rokkatiego postaci

r =N∑n=0

anBn (S) = 0

.Uwaga

Istnieje alternatywna możliwość

M+ =N−1∑n=0

b+nDn (5.2.15)

gdzie

b+n =∑

B+k−n−1 (S) ak

orazr+ =

∑B+k ak = 0. (5.2.16)

28

5.2.2 Transformacja Darboux. Uogólnione równanie Burgersa.

TwierdzenieJeżeli funkcja

ψ

jest rozwiaιzaniem równania ewolucji

D0ψ = Lψ

(144)oraz

D0ϕ = Lϕ

, (

D0 =(∂

∂t

))i istnieje

ϕ−1

wtedyL = LSψ = Dψ − Sψ (5.2.17)

)gdzie

S = (Dϕ)ϕ−1

jest rozwiaιzaniem równania.

D0ψ = Lψ

, gdzie

L =N∑n=0

anDn (5.2.18)

oraz

aN = aN

ak = ak +N∑n=k

anBn,n−k + (Dan − San)Bn−1,n−1−k,

k = 0, ...N − 1

Twierdzenie to oznacza, że budowanie modelu nasteιpuje na podstawie jawnych rozwiaιzań.Automatycznie rozwiaιzuje sieι równanie takie, że jeżeli

D0S = Dr + [r, s] (5.2.19)

wtedy

29

LS

splaιta operator

D0 − L

tak , żeLS (D0 − L) =

(D0 − L

)LS (5.2.20)

a funkcja

S = (Dϕ)ϕ−1

rozwiaιzuje równanie, która jest ogólnym równaniem Burgersa.

30

Rozdział 6

Operatory ca lkowe, faktoryzacjarównań ca lkowych

6.1 Operatory ca lkowe

Równaniem ca lkowym nazywamy równanie, w którym poszukiwana funkcja wysteιpuje podznakiem ca lki. Rozważmy nasteιpujaιce równanie ca lkowe

f(x) =∫ b

a

K(x, s)ϕ(s) ds. (6.1.1)

Można je przepisać w postacif(x) = K · ϕ = Kϕ. (6.1.2)

Równanie to nazywa sieι równaniem Fredholma I rodzaju, operator K nosi nazweι operatora Fre-dholma, a funkcja K(x, s) zawiera informacje dotyczaιce dzia lania operatora K, jest to tzw. jaιdroca lkowe tego operatora. Rozwiaιzanie równania polega na znalezieniu funkcji ϕ przy danych posta-ciach funkcji K(x, s) i f(x). Innym przyk ladem równania ca lkowego jest równanie Fredholma IIrodzaju

ϕ(x)− λ∫ b

a

K(x, s)ϕ(s) ds = f(x). (6.1.3)

W szczególnym przypadku, jeśli w równaniach (6.1.1) i (6.1.3) funkcja K(x, s) jest tożsamościoworówna zeru dla x < s, otrzymamy tzw. równanie Volterry I rodzaju

f(x) =∫ x

a

K(x, s)ϕ(s) ds = Kϕ (6.1.4)

oraz rówanie Volterry II rodzaju

ϕ(x)− λ∫ x

a

K(x, s)ϕ(s) ds = f(x) (6.1.5)

a operator K nazywamy operatorem Volterry.Równania Fredholma i Volterry należaι do tzw. problemów źle uwarunkowanych (ill-posed pro-

blems).Jeśli funkcja K(x, s) jest ciaιg la na odcinku [a, b], to można udowodnić, że istnieje rozwiaιzanie

równania (6.1.3). Znajduje sieι je metodaι iteracji (metoda kolejnych przybliżeń).Istniejaι zwiaιzki pomieιdzy operatorami ca lkowymi i operatorami różniczkowymi, istnieje wieιc

droga od liniowych równań różniczkowych zwyczajnych do liniowych równań ca lkowych.Rozważmy pewien operator T :

Tψ(x) = ψ(x+ a). (6.1.6)

31

Rozwijajaιc funkcjeι ψ w punkcie x w szereg Taylora, zapiszemy

ψ(x+ a) =∞∑n=0

ψ(n)(x)an

n!=∞∑n=0

(aδ)n

n!ψ(x), (6.1.7)

gdzie symbol δ oznacza różniczkowanie. Z drugiej strony funkcjeι ψ(x) możemy przedstawić zapomocaι transformaty Fouriera

ψ(x) =1√2π

∫ ∞−∞

eikxψ(k) dk, (6.1.8)

zatem

ψ(x+ a) =1√2π

∫ ∞−∞

eikaeikxψ(k) dk. (6.1.9)

Porównujaιc (6.1.6) i (6.1.9) można powiedzieć, że mamy do czynienia z pewnym operatoremca lkowym. W ogólności operatory ca lkowe pokrywajaι wszystko, operatory różniczkowe i różnicowerównież można wyrazić przez operatory ca lkowe.

21.12.2004

Uzupe lnienie i kontynuacja poprzedniego wyk ladu. Rozważamy równania ca lkowe. Równanie Fre-dholma I rodzaju można zapisać w postaci

λ

∫ b

a

K(x, s)ϕ(s) ds = f(x). (6.1.10)

Równanie to ze wzgleιdu na zastosowania nazywa sieι niekiedy równaniem radaru lub równaniemtomografii. W zagadnieniach zwiaιzanych z badaniem fal radarowych oraz z tomografiaι poszukujesieι geιstości ϕ badanego ośrodka, aby określić ewentualne niejednorodności. Funkcja f opisuje faleιodbitaι od analizowanego obiektu. Bardziej z lożone jest równanie Fredholma II rodzaju

ϕ(x) + λ

∫ b

a

K(x, s)ϕ(s) ds = f(x). (6.1.11)

Można je w skrócie zapisać nasteιpujaιco (1 + λK

)ϕ = f, (6.1.12)

przy czym

Kϕ =∫ b

a

K(x, s)ϕ(s) ds. (6.1.13)

Jeśli f = 0, wówczas wzór (6.1.13) przyjmie postać

− 1λϕ(x) = Kϕ(x). (6.1.14)

Powyższe równanie jest ca lkowym równaniem spektralnym (równaniem na wartości w lasne). Jeślijaιdro ca lkowe K(x, s) jest funkcjaι ciaιg laι, to operator K ma widmo dyskretne (ale nieskończone).

Zdefiniujmy operator odwrotny (czyli tzw. rezolwenteι) do operatora(

1 + λK)

:

ϕ =(

1 + λK)−1

f. (6.1.15)

32

Jeśli λ 6= λn, to ∃(

1 + λK)−1

. Oznacza to, że jeśli λ nie należy do widma operatora K, to istniejerezolwenta tego operatora. Mówimy o tzw. alternatywie Fredholma - albo λ jest rozwiaιzaniemrównania jednorodnego (6.1.14), albo istnieje rezolwenta.

UwagaRozwiaιzanie równania Fredholma I rodzaju jest niestabilne. Różne funkcje podca lkowe mogaι

prowadzić do tej samej wartości ca lki. Zwieιkszenie liczby kroków przy ca lkowaniu numerycznymmoże spowodować pogorszenie zbieżności.

6.2 Metody regularyzacji

1. “Obcinanie” zagadnienia - rozwiaιzanie otrzymuje sieι poprzez stosowanie skończonych, “urwa-nych” szeregów Fouriera.

Korzysta sieι z transformaty Fouriera, ale w szeregu uwzgleιdnia sieι skończonaι ilość cz lonówN , liczba ta nosi nazweι parametru regularyzacji. Wraz ze wzrostem N rosnaι b leιdy, wysteιpujeniestabilność. Parametr regularyzacji dobiera sieι tak, aby zminimalizować b leιdy. Stosuje sieιmetodeι minimalnej entropii S. Posteιpowanie to można nazwać “walkaι o zwieιkszenie stosunkusygna lu do szumu”.

2. Regularyzacja Tikhonova

Równanie Fredholma I rodzaju zasteιpuje sieι równaniem II rodzaju poprzez dodanie “ma lego”cz lonu

εϕ(x) + λ

∫ b

a

K(x, s)ϕ(s) ds = f(x). (6.2.16)

Rozwiaιzanie ϕε(x) zależy od parametru ε, który jest parametrem regularyzacji. Na podstawiemetod wariacyjnych uzyskuje sieι optymalnaι wartość parametru regularyzacji ε0, odpowiadaona minimum pewnego funkcjona lu. Otrzymujemy optymalne rozwiaιzanie ϕε0(x).

Saι wieιc dwie metody regularyzacji, trzeba wybrać odpowiedniaι do danego zagadnienia.Jak rozwiaιzać równanie Fredholma II rodzaju? (Prezentowana poniżej metoda nie umożliwia

rozwiaιzywania równania I rodzaju). Chcemy rozwiaιzać równanie (6.1.11), w szczególności (6.2.16).Zastosujemy metodeι kolejnych przybliżeń. Zak ladamy, że jaιdro K(x, s) jest ograniczone w kwa-dracie [a, b; a, b].Przybliżenie 0 – w równaniu pomijamy ca lkeι

ϕ0(x) = f(x). (6.2.17)

Przybliżenie 1 – uwzg ledniamy ca lkeι, w ca lce korzystamy z przybliżenia zerowego

ϕ1(x) = −λ∫ b

a

K(x, s)f(s) ds+ f(x) = −λKf + f = (1− λK)f. (6.2.18)

Przybliżenie 2 – korzystamy z przybliżenia pierwszego

ϕ2(x) = −λ∫ b

a

K(x, s)ϕ1(s) ds+ f(x) = f(x)− λ∫ b

a

K(x, s)

(f(s)− λ

∫ b

a

K(s, t)f(t) dt

)ds

=(

1− λK + λ2K2)f. (6.2.19)

. . .Przybliżenie n – korzystamy z poprzednich przybliżeń

ϕn(x) = −λ∫ b

a

K(x, s)ϕn−1(s) ds+ f(x). (6.2.20)

33

Realizacja metody kolejnych przybliżeń prowadzi do rozwiaιzania w postaci szeregu

ϕ =∞∑n=0

(−λK

)nf. (6.2.21)

Tw. FredholmaSzereg iteracyjny (6.2.21) jest zbieżny, jeśli λ 6= λn dla ciaιg lego jaιdra K(x, s) w kwadracie

[a, b; a, b].

34

Uwaga 1Równanie różniczkowe liniowe może być przetransformowane do równania ca lkowego Volterry.

Uwaga 2Dla równania Volterry

ϕ(x) + λ

∫ x

a

K(x, s)ϕ(s) ds = f(x) (6.2.22)

szereg (6.2.21) jest zbieżny przy dowolnym λ (operator Volterry nie ma wartości w lasnych).Za lożenie – K(x, s) jest ciaιg le w kwadracie [a, b; a, b].Wszystko to stanowi punkt wyjścia do teorii s lużaιcej do rozwiaιzywania równań różniczkowych.

6.3 Przyk lad zagadnienia odwrotnego

Jednowymiarowe równanie Schrodingera ma postać

−Ψ′′ + U(x)Ψ = EΨ. (6.3.23)

Jest to równanie różniczkowe drugiego rzeιdu. Zagadnienie spektralne z tym równaniem należydo klasy zagadnień Sturma-Liouville’a. Dla prostoty zapisu zastosowano przeskalowane jednostkiatomowe. Funkcja U(x) wyraża potencja l, E jest parametrem spektralnym i opisuje energieι. Wmechanice kwantowej funkcja falowa Ψ(x) opisuje stany kwantowe, określa prowadobodobieństwo.Funkcja Ψ(x) określa stan kwantowy, jeśli∫ ∞

−∞|Ψ(x)|2 dx <∞. (6.3.24)

Zagadnienie proste polega na tym, że majaιc dane U(x), należy uzyskać rozwiaιzania

Ψ(x) ∈ H, (6.3.25)

czyli należaιce do przestrzeni Hilberta, oraz takie rozwiaιzania ΨE(x), że∫ E+∆E

E

ΨE(x)dE = ΨE,∆E(x) ∈ H, (6.3.26)

a zatem ∫ ∞−∞|ΨE,∆E(x)|2 dx <∞. (6.3.27)

Wzór (6.3.25) jest zwiaιzany z tzw. widmem dyskretnym, Ψ ∼ e−κnx, En = −κ2n. Widmo dys-

kretne opisuje stany zwiaιzane. Wzór (6.3.26) określa widmo ciaιg le, ΨE ∼ eikx, E = k2. Widmociaιg le opisuje stany ciaιg le, np. w przypadku U(x) ≡ 0 widmo ciaιg le ma zakres E ∈ [0,∞].

Fizycznie w zagadnieniu mogaι wysteιpować i stany zwiaιzane i ciaιg le. Przyk lad - atom wodoru.Gdy w atom uderza jakaś czaιstka, może nastaιpić wzbudzenie elektronu (na wyższy stan zwiaιzany)lub też elektron może zostać wybity z atomu (widmo ciaιg le).

Z zagadnieniem odwrotnym mamy do czynienia wtedy, gdy na podstawie pewnych danych(np. pomiarowych) chcemy znaleźć pewne wielkości (np. potencja l opisujaιcy oddzia lywaniew procesach rozproszeniowych). Zagadnienie odwrotne może być źle uwarunkowane (ill-posedproblem) wg Hadamarda. W takich zagadnieniach istotne saι informacje a priori, czyli pewnedane, które “z góry” znamy, np. badamy rozpraszanie fali w jakimś ośrodku, ale wiemy coś orozk ladzie geιstości w tym ośrodku.

Zagadnienie matematyczne (ogólne) wg Hadamarda:

35

1. Rozwiaιzanie nie istnieje, w zagadnieniu jest zbyt dużo równań.

2. Równań jest zbyt ma lo, brakuje informacji, które umożliwi lyby rozwiaιzanie problemu.

3. Rozwiaιzanie jest niestabilne, ma le zmiany w sformu lowaniu zagadnienia powodujaι dużezmiany w rozwiaιzaniu. Taki problem wysteιpuje np. w równaniu Fredholma I rodzaju.

Zagadnienie dla równania (6.3.23) zawiera:

1. Widmo dyskretne κnan = lim

x→∞ψneκnx. (6.3.28)

2. Widmo ciaιg le. Mamy fa leι padajaιcaι, opisywanaι cz lonem eikx (zak ladamy, że fala nadlatuje zkierunku x < 0 i podaιża w kierunku x dodatnich). Możemy obserwować efekty rozpraszania

ψ = eikx + v(k)e−ikx, x→ −∞. (6.3.29)

Powyższy wzór mówi, że po stronie x < 0, x → −∞ mamy zarówno faleι padajaιcaι jak iodbitaι (opisywanaι cz lonem z wyk ladnikiem −ikx. Funkcja v(k) opisuje wspó lczynnik odbicia.Natomiast po stronie x > 0, x→∞ mamy tylko faleι przechodzaιcaι

ψ = w(k)eikx, x→∞. (6.3.30)

Funkcja w(k) opisuje wspó lczynnik przejścia. Wspó lczynniki normuje sieι tak, aby

|v|2 + |w|2 = 1. (6.3.31)

Celem jest znalezienie potencja lu U(x). Wprowadzamy funkcjeι

F (x) =∑m

am exp(−κmx) +1

2π

∫ ∞−∞

v(k) exp(ikx) dk. (6.3.32)

Znajdujemy postać F (x+ y), przechodzimy z F (x+ y) do F (x, y) i tworzymy równanie ca lkowe

K(x, y) + F (x, y) +∫ ∞x

K(x, s)F (s, y) ds = 0. (6.3.33)

Można powiedzieć, że zagadnienie odwrotne {κn, an, v(k)} pozwala odtworzyć funkcjeι F i odpo-wiednie równanie ca lkowe. Równanie (6.3.33) jest podobne do równania Volterry, w równaniu tymnależy znaleźć funkcjeι K(x, s). Potencja l U(x) znajduje sieι ze wzoru

U(x) = 2dK(x, x)

dx. (6.3.34)

Gelfand i Levitan (1951) oraz Marchenko (1954) wykazali, że rozwiaιzanie równania (6.3.33)istnieje. Od ich nazwisk równanie nazywa sieι równaniem GLM, powsta la teoria GLM.

UwagaPotencja l może zależeć od czasu: U = U(x, t).Droga do równania KdV. Odpowiedni warunek zgodności operatorów

Lt = [L,A], (6.3.35)

L = − d2

dx2 + U (6.3.36)

AΨ = Ψt, x→∞ (6.3.37)

36

04.01.2005Uzupe lnienie i kontynuacja poprzedniego wyk ladu. Tworzymy algorytmy do rozwiaιzywania róż-

nych zagadnień. Wprowadzamy różne operatory, korzystamy z różnych równań, np. algebraicznych.

6.4 Metoda “ubierania”

V. E. Zakharov, “On the dressing method”Zagadnienia odwrotne należaι do problemów źle uwarunkowanych (ill-posed problems) zgodnie z

klasyfikacjaι Hadamarda. Przyk lady zagadnień odwrotnych - obliczanie szukanych wielkości na pod-stawie danych pomiarowych. W zagadnieniu prostym mamy równania z danymi wspó lczynnikami ichcemy na ich podstawie coś obliczyć. W zagadnieniu odwrotnym trzeba wyznaczyć wspó lczynniki(np. lepkości, przewodnictwa cieplnego). Poszukuje sieι geιstości (niejednorodności) przestrzeni po-przez badanie fali odbitej. Dotyczy to problemów zwiaιzanych z tomografiaι, radarem, lidarem.

Wracamy do poszukiwania informacji o oddzia lywaniach (np. jaιdrowych) na podstawie równa-nia Schrodingera, które dla widma ciaιg lego można zapisać w postaci

−δ2xψ + U(x)ψ = k2ψ, (6.4.1)

a dla widma dyskretnego−δ2

xψ + U(x)ψ = −κ2ψ. (6.4.2)

Symbol δ2x oznacza dwukrotne różniczkowanie wzgleιdem x. Rozwiaιzaniem równania (6.4.1)

beιdzie funkcja ψ(x, k) i beιdzie ona opisywać widmo ciaιg le, natomiast funkcje ψ(x,−κn), beιdaιcerozwiaιzaniami równania (6.4.2), beιdaι przedstawiać stany zwiaιzane. Rozważmy rozpraszanie elek-tronów na atomach. Elektron uderzajaιcy w atom może przez ten atom przelecieć, może zawrócić,lub też może zostać zwiaιzany. Za lóżmy, że elektrony nadlatujaι z kierunku przeciwnego do kierunkuosi x. Funkcjeι ψ(x, k) można zapisać nasteιpujaιco

ψ(x, k) ={

e−ikx + v(k)eikx dla x > 0w(k)e−ikx dla x < 0.

(6.4.3)

Cz lon e−ikx opisuje faleι padajaιcaι, a sk ladniki v(k)eikx oraz w(k)e−ikx, odpowiednio, faleι odbitaι ifaleι przechodzaιcaι. Dla widma dyskretnego wprowadzamy unormowanie∫ ∞

−∞|ψ(x,−κn)|2 dx = 1 (6.4.4)

i definiujemy wspó lczynnikian = lim

x→∞eκnxψ(x,−κn). (6.4.5)

Na podstawie wyników, które otrzymujemy badajaιc rozpraszanie, uzyskujemy funkcje F (x):

F (x) =∑m

am exp(−κmx) +1

2π

∫ ∞−∞

v(k) exp(ikx) dk. (6.4.6)

Znajdujemy postać F (x + y), przechodzimy z F (x + y) do F (x, y) i tworzymy równanie ca lkoweGLM

K(x, y) + F (x, y) +∫ ∞x

K(x, s)F (s, y) ds = 0, (6.4.7)

lub w skrócieK + F +K∗F = 0, (6.4.8)

gdzie ∗ oznacza dzia lanie operatora ca lkowego.

Twierdzenie

37

Majaιc dane z rozpraszania, dostajemy funkcjeι K(x, y).Szukany potencja l otrzymujemy z zależności

U(x) = 2d

dxK(x, x). (6.4.9)

Równanie (6.4.7) laιczy K i F , odwzorowuje dane z rozpraszania, pozwala uzyskać potencja l. Rów-nanie GLM nie stanowi zagadnienia źle uwarunkowanego (ill-posed). Prowadzi ono do pewnegozagadnienia Cauchy’ego (zagadnienie z warunkiem poczaιtkowym).

Jak zrobić przejście do teorii równań różniczkowych nieliniowych? Przyk ladem równania róż-niczkowego nieliniowego jest równanie KdV, opisujaιce ruch d lugich fal na p lytkiej wodzie. W rów-naniu tym pojawia sieι kolejny parametr - czas, U → U(x, t). Teoria GGKM: znaleziono wzory nawspó lczynniki am(t) oraz funkcjeι v(x, t) na podstawie warunków z am(0) i v(x, 0).

Idea metody ubierania – każda funkcja F generuje funkcjeι K i potencja l, ale trudno jestrozwiaιzać pojawiajaιce sieι równanie ca lkowe. Wygenerowano równanie solitonowe - poprzez“obcieιcie” v. Jeśli za lożymy, że v = 0, dostajemy solitony, nieskończony ciaιg rozwiaιzań szcze-gólnych. Korzysta sieι z metody algebraicznej. Jeśli jaιdro ca lkowe można faktoryzować, uwzgleιdniasieι tylko skoćzonaι ilość cz lonów. Poszczególne cz lony oznaczone saι indeksem m = 1, . . . , N . Otrzy-mujemy tzw. rozwiaιzanie N -solitonowe. Jako jaιdro traktujemy funkcjeι F .

Rozważmy przyk lad - równanie Fredholma II rodzaju

ϕ(x) + λ

∫ B

A

F (x, s)ϕ(s) ds = f(x). (6.4.10)

Za lóżmy, że jaιdro F ma postaćF (x, s) = a(x) b(s). (6.4.11)

Jest to przyk lad jaιdra zdegenerowanego. Ogólnie jaιdro można opisać nasteιpujaιco

F (x, s) =N∑i=1

ai(x) bi(s). (6.4.12)

Jeśli suma jest skończona, jaιdro jest zdegenerowane. Jeśli suma jest nieskończona, może reprezen-tować dowolnaι funkcjeι. Podstawiamy (6.4.11) do (6.4.10):

ϕ(x) + λa(x)∫ B

A

b(s)ϕ(s) ds = f(x). (6.4.13)

Niewiadomaι jest ϕ(x). Ca lkeι zastaιpimy sta laι C:

ϕ(x) = −λa(x)C + f(x). (6.4.14)

Korzystamy z powyższej zależności w (6.4.13) i mamy

−λa(x)C + λa(x)∫ B

A

b(s)[−λCa(s) + f(s)] ds = 0, (6.4.15)

a staιd

−C +∫ B

A

b(s)[−λCa(s)] ds+∫ B

A

b(s)f(s) ds = 0, (6.4.16)

a dalej

C

(1 + λ

∫ B

A

b(s)a(s) ds

)=∫ B

A

b(s)f(s) ds. (6.4.17)

Znane saι f , a i b wieιc możemy znaleźć C:

C =

∫ BAb(s)f(s) ds

1 + λ∫ BAb(s)a(s) ds

. (6.4.18)

38

W ogólniejszym przypadku

F (x, s) =N∑i=1

ai(x) bi(s), (6.4.19)

przy czym zak ladamy, że poszczególne ai(x) saι liniowo niezależne. Korzystjaιc z (6.4.19) w (6.4.10),mamy

ϕ(x) + λ

N∑i=1

ai(x)∫ B

A

bi(s)ϕ(s) ds = f(x). (6.4.20)

Pojawi lo sieι N ca lek, zasteιpujemy je sta lymi Ci:

ϕ(x) = −λN∑i=1

ai(x)Ci + f(x). (6.4.21)

Korzystamy z powyższej zależności w (6.4.20) i mamy

−λN∑i=1

ai(x)Ci + λ

N∑i=1

ai(x)∫ B

A

bi(s)

−λ N∑j=1

aj(s)Cj + f(s)

ds = 0, (6.4.22)

a staιd (dzieιki liniowej niezależności ai)

−Ci +∫ B

A

bi(s)

−λ N∑j=1

Cjaj(s)

ds+∫ B

A

bi(s)f(s) ds = 0. (6.4.23)

Wyrażenie (6.4.23) opisuje uk lad N równań algebraicznych na wspó lczynniki Ci. Po rozwiaιzaniutego uk ladu wspó lczynniki należy podstawić do wzoru (6.4.21) i otrzymuje sieι rozwiaιzanie równaniaFredholma przy ogólnym jaιdrze zdegenerowanym (6.4.19).

UwagaZastosowana zosta la metoda faktoryzacji jaιdra, można jej używać w przypadku dowolnego

jaιdra. Można uzyskać przybliżone rozwiaιzanie równania Fredholma z dowolnym F . Jeśli jaιdro jestprzedstawione jako nieskończona suma, uwzgleιdnia sieι skończonaι ilość wyrazów sumy.

Rozważmy przypadek N -solitonowy:

F (x, t) =N∑m=0

am(t)e−κmx. (6.4.24)

Czynniki e−κmx saι liniowo niezależne. Wspó lczynniki am(t) majaι postać

am(t) = a−8κ3mt0 . (6.4.25)

Tworzymy funkcjeι F (x, y, t):

F (x, y, t) =N∑m=0

am(t)e−κm(x+y), (6.4.26)

przy czym y jest jedynie parametrem. Zależność (6.4.26) wykorzystujemy w równaniu analogicznymdo (6.4.7).

Metoda zagadnień odwrotnych ma istotne znaczenie, jest stosowana np. w mechanice kwantowej.Wracamy do metody ubierania. Mamy równanie

K + F +K∗F = 0. (6.4.27)

39

Rozważmy pareι operatorów M i M . Uwzgleιdniamy je w równaniu (6.4.27):

MK +MF + (MK)∗F +K∗(MF ) = 0. (6.4.28)

Operator M nazywamy operatorem nagim (ang. bare), a M operatorem ubranym (dressed). Roz-ważmy przypadek, gdy

MF = 0. (6.4.29)

Funkcja F zawiera informacje o danych, np. ze zjawiska rozpraszania. O ile wszystkie funkcjeι saιodpowiedno “porzaιdne”, wyrażenie (6.4.28) przy warunku (6.4.29) prowadzi do zależności

MK = 0, (6.4.30)

pod warunkiem, że operator M istnieje.

StwierdzenieJeżeli dla danego operatora M istnieje operator M , wówczas z relacji (6.4.29) wynika (6.4.30).

Przyk ladNiech

M = M = δt =∂

∂t, (6.4.31)

F = F (x, y, t). (6.4.32)

StwierdzenieZbiór par M , M tworzy przestrzeń liniowaι (czyli kombinacja liniowa tych par też należy do

odpowiedniej przestrzeni). Można napisać równanie analogiczne do (6.4.28), a nasteιpnie dodać terównania stronami.

NiechM = (δx + δy). (6.4.33)

Podzia lamy tym operatorem na równanie (6.4.27) (czyli na równanie (6.4.7)) i dostaniemy

MK(x, y) +MF (x, y) + δx

∫ ∞x

K(x, s)F (s, y) ds+∫ ∞x

K(x, s)δyF (s, y) ds = 0. (6.4.34)

Ponieważ w sk ladniku z pierwszaι ca lkaι wysteιpuje różniczkowanie wzgleιdem zmiennej, beιdaιcejdolnaι granicaι ca lkowania, zapiszemy

δx

∫ ∞x

K(x, s)F (s, y) ds = −K(x, x)F (x, y) +∫ ∞x

(δxK(x, s))F (s, y) ds. (6.4.35)

Rozważmy ca lkeι

I =∫ ∞x

(δsK(x, s))F (s, y) ds = −∫ ∞x

K(x, s)δsF (s, y) ds−K(x, x)F (x, y). (6.4.36)

Skorzystaliśmy z “ca lkowania przez czeιści”. W równaniu (6.4.34) uwzgleιdniamy (6.4.35) i wprowa-dzamy I (przez dodanie i odjeιcie)

MK(x, y) +MF (x, y)−K(x, x)F (x, y) +∫ ∞x

(δxK(x, s))F (s, y) ds

+∫ ∞x

K(x, s)δyF (s, y) ds+ I − I = 0. (6.4.37)

40

Jako +I podstawiamy środkowy cz lon wyrażenia (6.4.36), a w sk ladniku −I za I podstawiamyprawaι czeιść wyrażenia (6.4.36)

MK(x, y) +MF (x, y)−K(x, x)F (x, y) +∫ ∞x

(δxK(x, s))F (s, y) ds+∫ ∞x

K(x, s)δyF (s, y) ds

+∫ ∞x

(δsK(x, s))F (s, y) ds+∫ ∞x

K(x, s)δsF (s, y) ds+K(x, x)F (x, y) = 0. (6.4.38)

Porzaιdkujaιc sk ladniki, otrzymamy

(δx+δy)K(x, y)+MF (x, y)+∫ ∞x

[(δx + δs)K(x, s)]F (s, y) ds+∫ ∞x

K(x, s) (δy + δs)F (s, y) ds = 0.

(6.4.39)Powsta l operator

M = M = δx + δy. (6.4.40)

11.01.2005

Każde zagadnienie polegajaιce na “wyciaιganiu” informacji z pewnych danych pomiarowychstanowi zagadnienie odwrotne. Metoda ubierania jest metodaι algebraicznaι. Równaniem bazowymjest w niej równanie ca lkowe GLM

K(x, y) + F (x, y) +∫ ∞x

K(x, s)F (s, y) ds = 0 (6.4.41)

a w krótszym zapisieK + F +K∗F = 0, (6.4.42)

przy czym ∗ oznacza mnożenie z ca lkowaniem. Znajdujaιc funkcjeι K można znaleźć potencja l

U(x) ∼ dK(x, x)dx

. (6.4.43)

Równanie (6.4.41) jest równaniem Volterry II rodzaju, które w ogólnym przypadku ma postać

ϕ(x) + λ

∫ x

a

K(x, s)ϕ(s) ds = f(x). (6.4.44)

Metoda kolejnych przybliżeń prowadzi do rozwiaιzania w postaci szeregu

ϕ(x) = Kn ∗f(x). (6.4.45)

W przypadku równania Fredholma rozwiaιzanie istnieje zawsze poza przypadkiem, gdy λ odpo-wiada wartości w lasnej. Natomiast w przypadku równania Volterry rozwiaιzanie zawsze istnieje.

Stwierdzenie *Jednorodne równanie Volterry posiada tylko rozwiaιzanie zerowe (f = 0 ⇒ ϕ = 0). Operator

Volterry nie ma wartości w lasnych.Równania ca lkowe odpowiadajaιce równaniom różniczkowym to zazwyczaj równania Volterry.

Dowód na to, że równania różniczkowe przechodzaι w ca lkowe można znaleźć w ksiaιżce AdamaPiskorka “Równania ca lkowe”. Wiele teorii dotyczaιcej obliczeń symbolicznych można znaleźć wczasopismach Journal of Symbolic Computations oraz Inverse Problems.

41

Rozważmy równanieMK +MF + (MK)∗F +K∗(MF ) = 0. (6.4.46)

Funkcja F zawiera dane opisujaιce rozpraszanie, K zawiera potencja l. Można w ten sposób badaćrównież inne oddzia lywania.Operatory M i M to, odpowiednio, operator nagi i ubrany.

Stwierdzenie 1Za lóżmy, że operator M w dzia laniu na funkcjeι F daje zero

MF = 0. (6.4.47)

Wówczas, jeśli istnieje operator M , toMK = 0. (6.4.48)

Wynika to ze stwierdzenia *.

UwagaOperator M nazywa sieι ubieralnym.Po laιczenie wyników rozpraszania z potencja lem wykorzystano w teorii równań nieliniowych,

w których wysteιpuje dodatkowy parametr, np. czas, U = U(x, t). W mechanice kwantowej - jeślipotencja l zależy od czasu, pozwala to na sterowanie uk ladem. Ogólnym równaniem fizyki matema-tycznej jest równanie ewolucji. Problem, w którym potencja l jest funkcjaι czasu, można rozwiaιzać,ponieważ operator pochodnej wzgleιdem czasu δt jest ubieralny. Zbiór operatorów ubieralnych two-rzy przestrzeń liniowaι.

Stwierdzenie 2Uogólnienie stwierdzenia 1, dodanie czasu

MF (x, y, t) = 0⇒ MK(x, y, t) = 0. (6.4.49)

Jest to krok w kierunku równań nieliniowych. Metoda zagadnień odwrotnych w po laιczeniu z ope-ratorowymi parami Laxa jest stosowana do rozwiaιzywania zagadnień nieliniowych (GGKM 1967).Poszukuje sieι funkcji U .

Niech funkcja ψ beιdzie jednocześnie rozwiaιzaniem dwóch równań

(δt − LU)ψ = 0, (6.4.50)

(δy −AU)ψ = 0. (6.4.51)

Jeśli pochodne wzgleιdem t i wzgleιdem y komutujaι (δtδx = δxδt), wówczas

At − Ly = [A,L]. (6.4.52)

Pareι operatorów spe lniajaιcaι powyższaι zależność nazywa sieι paraι Laxa.

5Stwierdzenie 3Jeśli mamy dwa operatory N i N , takie, że istnieje rozwiaιzanie równania (6.4.46) (op. N jest

obieralny) i jeśli operator N tworzy pareι Laxa z operatorem M , to operatory N i M również tworzaιpareι Laxa. Jeśli para operatorów N i M tworzy równanie nieliniowe, to para N i M tworzy tosamo równanie.Przyk lad

N = α∂

∂t+ δ2

x − δ2y. (6.4.53)

Chcemy “ubrać” operator N , zadzia lamy nim na równanie GLM (6.4.46). Po drodze korzystamyz ca lkowania przez czeιści. Otrzymamy operator

N = α∂

∂t+ δ2

x − δ2y + U(x), (6.4.54)

42

gdzie

U(x) = −2d

dxK(x, x). (6.4.55)

W operatorze ubranym pojawi la sieι funkcja U . W przypadku operatora pierwszego rzeιdu (6.4.33)operator ubrany by l taki sam jak nagi (6.4.40). Istnienie operatora N oznacza, że operator N jestubieralny.

Uogólnienie. NiechL0 = l0(x, t, . . . )∂nx . (6.4.56)

Rozważmy operator D o nasteιpujaιcej strukturze

DF = α∂tF + L0F − FL+0 , (6.4.57)

gdzie L+0 jest operatorem samosprzeιżonym do L i dzia la z prawej strony.

StwierdzenieOperator o strukturze (6.4.57) jest ubieralny. Operator ubrany D ma postać

DK = α∂yK + LK −KL+0 , (6.4.58)

gdzieL = L0 + L, (6.4.59)

przy czymL = l0 ∂

n−1x + . . . (6.4.60)

l0 ∼ (∂x − ∂y)iK∣∣y=x . (6.4.61)

Przyk ladL0 = ∂2

x ⇒ L = ∂2x + U. (6.4.62)

Rozwiaιzuje sieι równanieMF = 0, (6.4.63)

spe lnione beιdzie również równanieMK = 0. (6.4.64)

Powstaje pewna klasa rozwiaιzywalnych równań, zwiaιzana z odpowiedniaι przestrzeniaι liniowaι.Rozważmy operatory D1 i D2

D1F = α1δt1F + L(1)0 − FL

(1)+0 , (6.4.65)

D2F = α2δt2F + L(2)0 − FL

(2)+0 . (6.4.66)

Operatory te prowadzaι do równania Laxa

α1δt1L(2)0 − α2δt2L

(1)0 +

[L

(1)0 , L

(2)0

]= 0. (6.4.67)

Jeśli odpowiednio dobierzemy postaci operatorów różniczkowych L(1)0 i L(2)

0 oraz przyjmiemy, żeα1 = α, α2 = −1, t1 = y i t2 = t, to otrzymamy równanie Kadomtseva-Petviashvili (1971)

δx (ut + 6uux + uxxx) + α2uyy = 0. (6.4.68)

W przypadku α2 = −1 mamy równanie KP1, natomiast gdy α2 = 1 mówimy o równaniu KP2.Równanie Kadomtseva-Petviashvili jest uogólnieniem równania Kortewega - de Vriesa (KdV)

ut + 6uux + uxxx = 0. (6.4.69)

Wymienione równania wykorzystywane saι do opisu niestabilności plazmy, do badania fal na po-wierzchni wody.

43

6.5 Symetria równania różniczkowego

O symetrii można mówić np. wtedy, gdy w dwóch różnych uk ladach wykonujemy to samo doświad-czenie i otrzymujemy te same wyniki.Transformacje Lorentza opisujaι transformacje czasoprzestrzeni. Symetrieι wzgleιdem transformacjiLorentza posiadajaι równania Maxwella. W wielu zagadnieniach pole elektromagnetyczne jest je-dynym źród lem przesy lania informacji. Zbiór transformacji Lorentza stanowi grupeι Lorentza, pododaniu transformacji przesunieιcia, mówimy o grupie Poincarego. Nie ma grupy ruchów w czaso-przestrzeni szerszej od grupy Poincarego.Saι różne drogi do wprowadzenia pojeιcia symetrii. Rozważmy równanie

F (x, y) = 0. (6.5.1)

Funkcja F może określać pewnaι krzywaι y(x), y = f(x). Istotne jest, co sieι stanie, gdy wp laszczyźnie xy dokona sieι transformacji, zdefiniuje sieι nowe wspó lrzeιdne

x′

= ϕ(x, y), y′

= ψ(x, y). (6.5.2)

W wyniku transformacji powstanie nowa funkcja F′(x′, y′). O symetrii mówimy wtedy, gdy po

transformacji forma funkcji F sieι nie zmieni la

F′

= F. (6.5.3)

Jako przyk lad weźmy funkcjeιF = y − kx− b. (6.5.4)

W tym przypadku krzywa odpowiadajaιca równaniu (6.5.1) beιdzie opisywana funkcjaι liniowaιy = kx + b a jej wykres by lby prostaι. Kszta lt tej krzywej nie uleg lby zmianie, gdyby osieuk ladu wspó lrzeιdnych przesuwać wzd luż x lub y, zachodzi wieιc symetria wzgleιdem transformacjiprzesunieιcia, można wprowadzić klaseι przesunieιć.

Prszejdzmy do symetria równań różniczkowych, dalszy ciaιg rozważań.. Zajmujemy sieι teraz równaniami liniowymi. Wprowadzenie równań liniowych opiera sieι na syme-trii wzgleιdem przeskalowania.

Przyk lad 1: Szukamy funkcji y(x), beιdaιcej rozwiaιzaniem równania

F (y, y′, y′′, . . . , x) = 0. (6.5.5)

Rzaιd najwyższej pochodnej określa rzaιd równania. Wprowadźmy transformacjeι przeskalowaniaamplitudy funkcji y(x)

y = αy. (6.5.6)

Sta la α nosi nazweι parametru separacji. Ze wzoru (6.5.6) wynika, że

y = α−1y. (6.5.7)

Funkcja y zależy od zmiennej x, która nie podlega transformacji. Równanie (6.5.5) przepiszemy wpostaci

F (α−1y, α−1y′, α−1y

′′, . . . , x) = 0. (6.5.8)

Równanie (6.5.5) posiada symetrieι wzgleιdem transformacji (6.5.6), jeśli funkcja F pozostaje niezmieniona

F (α−1y, α−1y′, α−1y

′′, . . . , x) = F (y, y

′, y′′, . . . , x). (6.5.9)

Gdy funkcja F nie zmienia sieι, mówimy o niezmienniczej formie równania. Symetria równaniawzgleιdem transformacji przeskalowania oznacza, że równanie jest liniowe. Dla przyk ladu przyj-rzyjmy sieι równaniu

y′′

+ xy + y = 0. (6.5.10)

44

Zmiana amplitudy funkcji y (czyli przemnożenie jej przez sta laι) nie wp lywa na postać równania ikszta lt tej funkcji, zatem równanie jest liniowe (niezmiennicze ze wzgleιdu na transformacjeι prze-skalowania).

Przyk lad 2. Przyjrzyjmy sieι równaniu

−y′′

+ x2y = λy. (6.5.11)

Jest to równanie oscylatora harmonicznego, opisuje drgania uk ladów mechanicznych, czaιsteczek,jest stosowane również w fizyce cia la sta lego. Równanie to ma formeι (6.5.5). Dokonajmy transfor-macji odbicia wspó lrzeιdnej x

x = −x. (6.5.12)

Latwo sprawdzić, żex2 = x2. (6.5.13)

Ponieważdydx

=dxdx

dydx

= −dydx, (6.5.14)

staιdd2y

dx2 = (−1)2 d2y

dx2 =d2y

dx2 . (6.5.15)

Można wieιc zapisać

F (y, y′′, x) = −y

′′+ x2y − λy = F

(y(x),

d2y(x)dx2 , x

). (6.5.16)

Funkcja F w nowych wspó lrzeιdnych beιdzie mia la taι samaι formeι. Rozwiaιzanie również beιdziemia lo w nowych wspó lrzeιdnych takaι samaι formeι jak we wspó lrzeιdnych przed transformacjaι.Rozwiaιzania beιdaι sieι pokrywać, można powiedzieć, że w wyniku transformacji nie zmienia sieιrównanie i nie zmienia sieι klasa rozwiaιzań. Jeśli y(x) jest rozwiaιzaniem równania (6.5.11), to y(x)jest rozwiaιzaniem równania

−d2y(x)dx2 + x2y(x) = λy(x). (6.5.17)

Zatem y(−x) ∈ Urozw, gdzie Urozw oznacza przetrzeń rozwiaιzań równania (6.5.11).

Możemy wymienić dwa typy transformacji:

1. Transformacje ciaιg le, zależne od parametru, dotyczaιce y.

2. Transformacje dyskretne, dotyczaιce x.

Ogólnie symetrieι można określić jako niezmienniczość równania wzgleιdem transformacji pewnejklasy.Wprowadza sieι algorytmy, które majaι na celu doprowadzenie do symetrii funkcji F , czyli do sy-metrii równania.Rozważmy funkcjeι y(x, t). Wprowadźmy transformacjeι wspó lrzeιdnych

x′

= f(x, t), t′

= g(x, t) (6.5.18)

Wyjściowe równanieF (y, yx, yt, . . . , x, t) = 0 (6.5.19)

przejdzie w

F

(y(x

′, t′),∂y(x

′, t′)

∂x′,∂y(x

′, t′)

∂t′, . . . , x

′, t′

)= 0. (6.5.20)

45

Szukamy odpowiedniej postaci funkcji f i g. Wprowadźmy transformacje nieskończenie ma le

x′

= x+ E ∂f∂E

+ . . . , (6.5.21)

t′

= t+ E ∂g∂E

+ . . . . (6.5.22)

W rozwinieιciach funkcji f(x, t, E) i g(x, t, E) w szeregi uwzgleιdniliśmy tylko dwa pierwsze sk ladniki.Okazuje sieι, że latwiejsze jest poszukiwanie pochodnych niż samych funkcji f i g

∂f

∂E= X(x, y). (6.5.23)

Znalezienie odpowiednich funkcji pozwala odpowiedzieć na pytanie, jakaι symetrieι posiada danerównanie. MACSYMA - http:/www.symbolicnet.orgśystems acsyma.html - jeden z pakietów po-bliczeń symolicznych, może być wykorzystany dla definicji symetrii równań.Wysteιpowanie symetrii prowadzi do pewnej klasy rozwiaιzań. Z symetrii korzysta sieι zw laszczaprzy rozwiaιzywaniu trudnych zagadnień

46

6.6 Metoda ubierania via problem Riemanna-Hilberta : wy-miar 1+1

6.6.1 Zagadnienie Riemanna- Hilberta z parametrem

Rozważmy nasteιpujaιce równanie na krzywej L ∈ Z na p laszczyźnie zespolonej

φ+ (k)φ− (k) = G0 (k) (6.6.24)

gdzie k ∈ L jest parametrem, zaś

G0(k),

φ±

saι macierzami,φ+

jest funkcjaι analitycznaι wewnatrz krzywejL,

aφ−

jest funkcjaι analitycznaι na zewnaιtrz krzywej

L.

Faktoryzacja (6.6.24) nie jest jednoznaczna. M jest macierzaι kwadratowaι jeśli istnieje

φ1+ = φ+M, φ1

− = M−1φ−, (6.6.25)

M−1±

Brakuje tutaj unormowania. Wybieramy

φ± → I (6.6.26)

w obszarze analityczności.Warunki (6.6.24), (6.6.26) określajaι zagadnienie Riemanna-Hilberta. Rozwiaιzanie jest teraz jedno-znaczne. Z warunku (6.6.26) wystarczy określić funkcjeι

φ±

.Rozważmy dalej macierz

E (x, k)

takaι, żeG (x, k) = E (x, k)G0 (k)E−1 (x, k) (6.6.27)

To pozwala przejść od równania (6.6.27) do wyrażenia (6.6.24) przez faktoryzacjeι nowej macierzy.

φ−1− (x, k)φ+ (x, k) = G (x, k) (6.6.28)

Różniczkujemy powyższe równanie wzgleιdem x, co przybiera postać:

47

−φ−1− φx−φ

−1− φ+ + φ−1

− φ+x = Gx = ExG0E−1 − EG0E

−1ExE−1

gdzie

φ+x = φ−Gx + φ−xφ−1− φ+ = φ−

(ExG0E

−1 − EG0E−1ExE

−1)+ φ−xφ−1− φ+

natomiast niech

Ex = U0E

jest rozwiaιzaniem równania ewolucyjnego

Unψ = ψn.

U = φ−(U0EG0E

−1 − EG0E−1U0 + φ−xφ

−1− φ+

)φ+x = Uφ+ − φ+U0

zaś

U = φ+U0φ−1+ + φ+xφ+

Dla nowych funkcji

ψ±x = φ±E,

zatem nowe rozwiaιzanie przyjmuje postać

ψ±x = Uψ±

(tzw. procedura „dressing”), gdzie

U0 → U.

Uwaga

U0

może być „0”.Uwaga Zagadnienie Riemanna- Hilberta może zostać uogólnione.

φ±

mogaι mieć punkty

k = ki

, w których wyznacznik

detφ± = 0

gdyφ+ = 0,

to wφ−

48

jest punkt nieosobliwy, daιżaιcy do nieskończoności

∞

iφ−1− φ+ = G

.

6.6.2 Zagadnienie Riemanna- Hilberta z zerami

Rozważmy np. potencjał U solitonowy.Przykład Rozważmy macierze U

2× 2

ψx = Uψ (6.6.29)

U = −ikσ3 +Q

Q =(

0 u−u 0

)Jeżeli rozważymy dodatkowe równanie

ψt = V ψ (6.6.30)

ψxt = ψtx (6.6.31)

Ut − Vx = [U, V ] (6.6.32)

iut − uxx + 2 |u|2 u = 0 (6.6.33)

Z połaιczenia wzorów (6.6.29), (6.6.30) i (6.6.31) można otrzymać równanie (6.6.32). Równanie (??)można zastosować do zagadnienia Riemanna- Hilberta, ale potrzebne jest

ψ± (x, t, k)

Jak odtworzyć zagadnienie Riemanna- Hilberta?Rozważmy Q jako potencjał macierzowy w zagadnieniu spektralnym

ψx = Uψ,

I = ψE−1

gdzie:

E = exp {−ikxσ3} .

Poprzez wstawienie

ψ

do (97) otrzymuje sieιJx = −ik [σ3, J ] +QJ (6.6.34)

Rozważmy:

J± → I

49

to funkcje Josta.Ślad macierzy U wynosi zero (Q też jest zerowe).

TrU = 0

det J± = 1

Przejście

ψ → J

pozwala na rozwiaιzanie prostszych funkcji asymptotycznych.

J− = J+ESE−1

ψ− = Sψ+

gdzie

S (k) =(a (k) − b (k)b (k) a (k)

)detS (k) = 1

, a

|a|2 + |b|2 = 1

Drugi warunek na macierz jest zawarty w równaniach:

J+± = J+

± (x, k)

S+ = S−1 (6.6.35)

Do rozwiaιzania zagadnienia potrzeba wieιcej informacji o funkcji Josta.Można przedstawić wyrażenie (6.6.34) w postaci równań unitarnych (6.6.35)

(J−)11 (x, t) = 1 +

x∫∫∫−∞

dξU (ξ) (J−)21 (ξ, k)

(J−)12 (x, t) = −x∫∫∫−∞

dξU (ξ) (J−)11 (ξ, k) exp [zik (x− ξ)]

gdy

Imk > 0

. (113)Podobne operacje można wykonać dla drugiej kolumny.

J[2]+

analityczna w

Imk > 0

.Wtedy

50

φ+ =(J

[1]− , J

[2]+

)która jest rozwiaιzaniem równania spektralnego (6.6.24).

Φ+ =(J

[1]− , J

[2]+

)−(aJ

[1]+ + bezikxJ

[2]+ , J

[2]+

)Zagadnienia:

1. Operatory drabinkowe, obniżanie i podnoszenie wartości w lasnych.[M,A±

]= ±A±,

Mψm = mψm, ψm ∈ H

H - przestrzeń Hilberta.A−ψm = Dmψm−1,

A+ψm = Cmψm+1.

(A−)† = A+

czyli operatory saι hermitowsko sprzeιżone. Wyprowadzić wzory na Cm, Dm.

2. Faktoryzacja dowolnej macierzy 2x2. W tym - A=QR, gdzie Q jest macierzaι ortogonalnaι aR jest górna trójkaιtnaι. Podać wzory jawne na elementy macierze Q i R.

3. Faktoryzacja λ – macierzy Rozważmy λ macierz Dλ = pλ− σ gdzie

p2 = p =(

1 00 0

)która splaιta wielomiany pierwszego rzeιdu:

(A1λ+B1)(pλ− σ) = (pλ− σ)(Aλ+B) .

WtedyA1p = pA , B1p−A1σ = −σA+ pB , B1σ = σB .

Naprzyk lad: (0 bc 0

)+ λ

(1 00 −1

)→(

0 b1a1 0

)+ λ

(1 00 −1

).

Zagadnienie dotyczy relacji splaιtania. Należy umieć znaleźć b1, a1.

4. Metoda QR. Wygenerowanie lańcucha ca lkowalnego. Zastosowania.

5. Zagadnienie RH (Riemanna-Hilberta) i procedura ubierania. Prosty przyk lad skalarny.

6. Faktoryzacja operatora równania Bessela w polu liczb zespolonych

Bν = x2D2 + xD + x2 − ν2.

(np. ν = 1).

7. Transformacja Darboux dla operatora Bessela (lub operatora oscylatora harmonicznego)przez faktoryzacje .

8. Jak rozwiaιzać równanie Burgersa

ut + uux + uxx = 0?

51

9. Faktoryzacja operatora różnicowego drugiego rzeιdu T 2ψ + a(x)T + b(x). Przyk lad.

10. Sformu lowanie zagadnienia odwrotnego dla jednowymiarowego równania Schrodingera

−12∂2

∂x2ψ + u(x)ψ = Eψ.

11. Symetria równania różniczkowego. Zbadać, jakaι symetrieι ma równanie

−ψ′′

+ uψ = λψ.

52

Bibliografia

[1] M. Kubale Cztery algorytmy które wstząsnęły światem. Piśmo PG, Politechnika Gdańska,Gdańsk, 2011.

[2] Poradnik inżyniera, Mtematyka. Konsultant: T. Trajdos, Warszawa, 1986.

[3] L. Infeld, T. E. Hull, The factorization method, Rev. Mod. Phys. 23 (1951) 21-68

[4] A. Joseph, Self-adjoint ladder operators (I), Rev. Mod. Phys. 39 (1967) 829-837

[5] C. A. Coulson, A. Joseph, Self-adjoint ladder operators (II), Rev. Mod. Phys. 39 (1967) 838-849

[6] A. Joseph, Self-adjoint ladder operators (III), Rev. Mod. Phys. 40 (1968) 845-871

[7] U. Fano, D. Green, J. L. Bohn, T. A. Heim, Geometry and symetries of multi-particle systemsJ. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 32 (1999)

[8] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i ca lkowy, tom 3, PWN, Warszawa, 1997

[9] G. Drwal, R. Grzymkowski, A. Kapusta, D. S lota. Mathematica. Podstawy. WydawnictwoPracowni Komputerowej Jacka Skalmierskego. Gliwice 1995

[10] G. Drwal, R. Grzymkowski, A. Kapusta, D. S lota. Mathematica. Programowanie I zastosowa-nia. Wyd. Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskego. Gliwice 1995

[11] Mathematica. Wolfram Research. http:/www.wri.com

[12] Smith B.T. et al., Matrix eigenvalue routies - EISPACK guide, Lectures Notes in Computerscience, v 6, Springer-Verlag (1992).

[13] Wilkinson J.H. The algebraic eigenvalue problem, Clarendon press, Oxford (1965).

[14] Deift P.A. Li L.C. Tomei C. Matrix factorizations and integrable systems, Comm. Pure Appl.Math. 42, (1989) 443-521.

[15] Symes W.W. Hamiltonian group actions and integrable systems Physica 1D, 1980, pp. 339-374.

[16] Symes W.W. The Q-algorythm and scattering for the finite nonperiodic Toda lattice Physica,4D, 1972, pp.275-280.

[17] Deift P.A. Li L.C. Nanda T. Tomei C. The Toda flow on a generic orbit is integrable Comm.Pure Appl. Math. 39 1986. pp 183-232.

[18] Deift P.A. Nanda T. Tomei C. Differental equations for the symmetric eigenvalue problem,SIAM J.Num Anal. 20 pp. 183-232.

[19] Deift P.A. Li L.C. Generalized affine Lie algebras and the solution of a class of flows associatedwith the QR eigenvalue algorithm, Comm. Pure Appl. Math. 39 1986. pp 183-232.(?)

[20] Flashka H., The Toda Lattice I. Phys. Rev. B, 9, 1974, pp 1924-1925.

53

[21] Golub, E., and van Loan C., Matrix Computations, John H opkins University Press, Baltimore,1983.

[22] Moser, J. Finitely many mass points on the line under the influence of an exponential potential-an integrable sustem, Lecture notes in physics 38, J. Moser, ed., Springer-Verlag, 1975, pp.467-497.

[23] A.M. Perelomov Genralized Coherent States and its Applications (Springer-Verlag, New York,1986).

[24] Kovacic, J. J. 1986, An algorithm for solving second order linear homogeneous differentialequations.

[25] Matveev V.B. Salle M.A. Darboux transformations. Springer 1990. J. Symb. Comp. 2, 3–43.

[26] D. Gomez -Ullate, N. Kamran, R. Milson, The Darboux transformation and algebraic defor-mations of shape-invariant potentials J. Phys. A: Math. Gen. 37 (2004) 1789-1804.

[27] Salejda W. Tyc M. Just M. Algebraiczne metody rozeiaιzywania równania Schrodingera PWN,Warszawa, 2002.

[28] E. Doktorov, S. Leble, Dressing method in mathematical physics. Springer, 2007.

[29] Serguei P Tsarev, An algorithm for complete enumeration of all factorizations of a linear or-dinary differential operator. Proceedings of the 1996 international symposium on Symbolic andalgebraic computation http:/scholar.google.rućitations?viewop = viewcitationhl = enuser =dey5ZnMAAAAJcitationforview = dey5ZnMAAAAJ : u− x6o8ySG0sC

6.7 Za laιcznik. Przyk ladowe publikacje

Journal of Symbolic Computation Volume 1, Number 1, March, 1985Editors Symbolic Computation (An Editorial) . . 1–6Etienne Paul Equational Methods in First Order Predicate Calculus . . . . . . . . . . . 7–29Elmar Eder Properties of Substitutions and Unifications . . . . . . . . . . . . . . 31–46B. Chazelle and H. Edelsbrunner Optimal Solutions for a Class of Point Retrieval Problems . .

. . . . . . . . . 47–56Erich Kaltofen Fast Parallel Absolute Irreducibility Testing . . . . . . . . . . . . . . . . 57–67Richard Pavelle and Paul S. Wang MACSYMA from F to G . . . . . . 69–100V. P. Gerdt and A. B. Shvachka and A. Yu. Zharkov Computer algebra application for classi-

fication of integrable non-linear evolution equations . . . . . . . . . . 101–107K. S. Kolbig Explicit Evaluation of Certain Definite Integrals Involving Powers of Logarithms

109–114W. Bibel and K. Aspetsberger A Bibliography on Parallel Inference Machines . . . . . . . . . . . .

. . . . 115–118——————————————————————————–Journal of Symbolic Computation Volume 1, Number 2, June, 1985 A. W. Biermann Automatic

Programming: A Tutorial on Formal Methodologies . . . . . . . . . . 119–142Gregory Butler Effective Computations with Group Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . 143–158

(or 143–157??)David R. Barton and Richard Zippel Polynomial Decomposition Algorithms . . 159–168Allan Borodin and Ronald Fagin and John E. Hopcroft and Martin Tompa Decreasing the

Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots . . . 169–188Richard Zippel Simplification of Expressions Involving Radicals . . . . . . . . . . . . . . . . 189–210John P. Fitch Solving algebraic problems with REDUCE 211–228 (or 211–227??)Fritz Schwarz An Algorithm for Determining Polynomial First Integrals of Autonomous Systems

of Ordinary Differential Equations . . . . 229–234 (or 229–233??)

54

Miguel Navarro-Saad and Kurt Bernardo Wolf Applications of a Factorization Theorem forNinth-order Aberration Optics . . . 235–240 (or 235–239??)

D. Coppersmith and J. H. Davenport An Application of Factoring . . . . . . 241–243

55