Algoritmos heurísticos y aproximados - exa.unicen.edu.arF3rica-2.pdf · 1.Ordenar el tamaño de los objetos en orden decreciente. Sea la secuencia resultante si1, s i2,…, s in;

Algoritmos heurísticos y

aproximados

Clase 6/10/09

Algoritmos aproximados y heurísticos

para problemas NP-Hard

¿Cómo resolver problemas NP-HARD?

No pretendemos encontrar la “mejor” solución

sino una “buena” solución.

Algoritmos aproximados

Algoritmos heurísticos

Problemas NP-Hard

Técnicas de diseño

Algunas técnicas específicas que pueden

aplicarse para resolver problemas NP-HARD

son:

Ø Greedy heurístico

Ø Búsqueda Local

Ø Backtracking

Ø Branch & Bound

Problemas NP-Hard

Técnicas de diseño

TODAS las técnicas de diseño podrían ser usadas o

combinadas para resolver problemas NP-HARD.

Por ejemplo, Sanjeev Arora propone una original

combinación de técnicas para resolver TSP euclideano.

Propone un algoritmo de aproximación que combina

divide y conquista, programación dinámica, greedy y

técnicas específicas para algoritmos geométricos.

Problemas NP-Hard

Búsqueda local

Algoritmos de búsqueda local

Ø Comenzar con una solución al azar.

Ø Aplicar a la solución actual una transformación de

un conjunto de transformaciones para mejorar la

solución. La solución “mejorada” pasa a ser la

solución actual.

Ø Repetir hasta que ninguna transformación en el

conjunto de transformaciones produzca mejoras.

Problemas NP-Hard

Búsqueda local

Los algoritmos de búsqueda local son efectivos como heurísticas

para la resolución de problemas cuya solución exacta requiere un

tiempo exponencial.

Ø Comenzar con un número de soluciones y aplicar transformaciones locales a cada una de ellas, hasta lograr soluciones localmente óptimas, es decir que ninguna transformación del conjunto seleccionado puede mejorarla.

Ø Seleccionar la solución localmente óptima que tiene menor costo. Si somos afortunados podría ser la solución globalmente óptima

Problema del viajante

Búsqueda Local

3

7 4

6 5

8

2 6

4 3a

a

b

e

c

c

d

d

e

b

7

3

6

5

4

COSTO = 25

Solución inicial para una instancia de TSP


Búsqueda Local

Generar los circuitos candidatos intercambiando

pares de arcos no adyacentes.a b

dc

Si el costo (a,b) + costo(d,c) > costo(a,c) + costo(b,d)

• eliminar del circuito a los arcos (a,b) y (c,d)

• agregar al circuito los arcos (a,c) y (b,d)


Búsqueda Local

a

ec

d b

7

3

6

5

4

COSTO = 25

Posibles transformaciones

Pares de arcos que no son adyacentes y generan soluciones factibles locales

(a,e) (b,d)

(a,e) (d,c)

(e,b) (d,c)

(e,b) (c,a)

(b,d) (c,a)

Cantidad de transformaciones para circuitos de tamaño N es

N (N-3) / 2


Búsqueda Local

a

ec

d b

7

3

6

5

4

COSTO = 25


a

d

e

b

a e

c d

3 6

7

6

7

5

87

Costo = 21

Costo = 22


Búsqueda Local

a

ec

d b

7

3

6

5

4

COSTO = 25


e

c

b

d

e b

a c

3

3

5

4

46

8 3

Costo = 25

Costo = 25


Búsqueda Local

a

ec

d b

7

3

6

5

4

COSTO = 25


b

a

d

c

a

d e

b

c

Costo = 25

Costo = 21

4 7

6

4

43

3

6

5


Búsqueda Local

Repetir para la solución localmente óptima

a

d e

b

c

43

5


(a,b) (e,d)

(a,b) (d,c)

(b,e) (d,c)

(b,e) (c,a)

(e,d) (c,a)

6

3


Búsqueda Local

¿Qué cantidad de transformaciones?

Para que sea “tratable” la cantidad de

transformaciones debe ser de orden polinomial.

Transformar solamente soluciones localmente

óptimas y acotar las transformaciones a un

orden polinomial no nos garantiza llegar a la

solución óptima.


Búsqueda Local

Nuestra estrategia sólo transforma si “mejora”.

La solución óptima puede llegar a partir de

transformaciones que “empeoran” el costo!!

Pero buscaremos una buena solución en

promedio…


Búsqueda Local

Costo = 25 Costo = 27

Costo = 19

a

d c

b

e

73

6

5

4

a

d b

c

e

74

6 4

6

a

e b

c

d

24

6

4

3

4

6

“empeora”

“HACIA LA ÓPTIMA”

…


Búsqueda Local

Consideraciones

Los algoritmos heurísticos basados en esta

técnica deben ser de complejidad temporal

polinomial

ØNo se pueden generar todas las transformaciones

posibles!! La complejidad sería exponencial.

ØLos algoritmos que transforman soluciones factibles

deben ser polinomiales, de orden bajo.


Búsqueda Local

La técnica de búsqueda local para el viajante que

transforma intercambiando 2 arcos se la conoce

como “2-opting”.

La técnica puede generalizarse considerando el

intercambio de k arcos no adyacentes y se la conoce

como “k-opting”

El número de diferentes transformaciones es O(nk)

para todo k ≥ 2. Por ejemplo para k = 2 es exactamente

n(n-3)/2.


Búsqueda local

“3-opting”

1. (a,f) (d,e) (b,c) (circuito original)

2. (a,f) (c,e) (d,b) (un 2-opting)

3. (a,e) (f,d) (b,c) (otro 2-opting)

4. (a,e) (f,c) (b,d) (un 3-opting)

5. (a,d) (c,e) (b,f) (otro 3-opting)

6. (a,d) (c,f) (b,e) (otro 3-opting)

7. (a,c) (d,e) (b,f) (un 2-opting)

8. (a,c) (d,f) (b,e) (un 3-opting)

a

f

e d

c

b


Búsqueda local

“3-opting”

(a,e) (f,c) (b,d) (un 3-opting)

a

f

e d

c

b

a b

d

c

f


Búsqueda Local

La técnica de búsqueda local permite encontrar un circuito

óptimo para problemas de tamaño acotado.

Un conocido programa en C para resolver TSP es “Concorde

TSP Solver”. Ha sido aplicado para resolver variedad de

problemas, siendo sumamente eficiente para grandes instancias. Ha sido usado para obtener la solución óptima de 106 de las

110 instancias de la TSPLIB (un biblioteca de instancias del TSP

simétrico); la instancia más grande tiene 15112 vértices.

www.tsp.gatech.edu/concorde.html

Problemas NP-HARD


Sugerencia

Ø Implementar un algoritmo heurístico basado

en PRIM.

Ø Implementar búsqueda local para el viajante.

Ø Realizar un análisis empírico de ambas

implementaciones

Ø Experimentar con Concorde Solver

Problemas NP-HARD

El problema de la mochila

Dado un conjunto de n objetos de tamaños s1,s2,…sn y una

mochila de capacidad C (s1,s2,…sn y C son enteros positivos)

encontrar un subconjunto de objetos que maximice el uso de

la mochila.

Entrada: <s1,s2,…sn, C>

El problema requiere encontrar un subconjunto T de {1,2,…,n}

que

Ø maximice ST = Σ si

iεT

Ø sujeto a la restricción ST ≤ C.

Las soluciones factibles son subconjuntos de objetos que

satisfacen las restricciones

Problemas NP-HARD


Describiremos una secuencia de algoritmos

acotados polinomialmente que garanticen

soluciones cada vez más cercanas a la óptima, si

bien, incrementan el tiempo de ejecución.

El algoritmo Ak considera subconjuntos de T de

a lo sumo k elementos

Problemas NP-HARD


S = <54,45,43,29,23,21,14,1>

C = 110

K Subconjuntos Objetos SUMA

de tamaño K agregados

0 {} 54, 45,1 100

MAXSUM = 100 SET= {54,45,1}

Problemas NP-HARD

El problema de la mochilaK Subconjuntos Objetos SUMA


1

{54} 45,1 100

{45} 54,1 100

{43} 54,1 98

{29} 54,23,1 107

{23} 54,29,1 107

{21} 54,29,1 105

{14} 54,29,1 98

{1} 54, 45

MAXSUM = 107 SET= {29,54,23,1}

Problemas NP-HARD

El problema de la mochilaK Subconjuntos Objetos SUMA


2

{54,45} 1 100

{54,43} … …

{54,29}

…

{54,1}

{45,43}

…

MAXSUM = SET=

3

…

Problemas NP-HARD


Algoritmo Ak1.Ordenar el tamaño de los objetos en orden decreciente. Sea la secuencia

resultante si1, si2,…, sin;

2. SET ={};

MAXSUM = 0;

3. for c/subconjunto T de {1,2,…,n} y |T|≤ K

{SUM = Σ si ;iεT

-- Incluir restantes objetos mientras no superen a C

for (j=1.. n/ ij ∉ T)

{if SUM + sij ≤ C

{SUM = SUM +sij;

T = T U {ij}; }

if MAXSUM < SUM

{MAXSUM = SUM; SET = T;}

}

Problemas NP-HARD


Probaremos que

Ø Ao ∈ O(nlog n)

Ø ∀ k > 0, Ak ∈ O(k nk+1)

Problemas NP-HARD


Problemas NP-HARD


#subconjuntos de tamaño 1..k

Problemas NP-HARD


Ø #subconjuntos de tamaño 1 hasta k es menor o igual que (1 + k nk)

Ø Costo de agregado de objetos por subconjunto es O(n)

Ak ∈ O(max (n log n, k nk+1 + n))

Ao ∈ O(nlog n)

∀ k > 0, Ak ∈ O(k nk+1)

Problemas NP-HARD


Sugerencia:

a)Investigue en la bibliografía de la materia si este algoritmo puede considerarse de aproximación o heurístico.

b) Con qué técnica/s de diseño de algoritmos se relaciona?

c) Suponiendo que Ak devuelve una solución factible ¿Con qué técnicas podría integrarla para mejorar la solución?

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Dado un grafo G = (V,E) y un conjuto finito de

colores S, un coloreo es un mapping C:V-> S,

tal que si existe un arco (v,w) ε E, luego

C(v) < > C(w).

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Coloreo secuencial

for ( i=2; i <= n; i++)

{c = 1;

while (g. adyacentesColoreados(i, c))

++c;

g.colorear(i, c);

}

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Transformaciones sobre soluciones parciales

Intercambio de dos colores en un coloreo parcial:

Supongamos que los vértices v1,v2,…vp-1 han

sido coloreados usando los colores 1,2,…c (c≥2).

Se desea colorear a vp que es adyacente a un

vértice de cada color (1,2,…,c).

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Se han asignado dos colores ¿cómo evitar

agregar otro?

V pvp

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Transformaciones sobre soluciones parciales

Para cada par de colores asignados (i, j) /1 ≤ i ≠ j ≤ c:

Ø Construir subgrafos Gij de G cuyos vértices son todos los vértices de G coloreados con los colores i y j, y sus arcos todos los que conectan a dichos vértices.

Ø Identificar los componentes conectados de Gij

Ø Si vp está conectado en cada componente a vértices de un color del par, luego es posible intercambiar colores y colorear a vp con uno ya asignado.

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Gi j: subgrafo de G cuyos vértices son todos los

vértices de G coloreados con los colores i y j, y

todos los arcos entre dichos vértices

S1ij

S4ij

S2ij

i

jj

i

i

i

ji

j

j

j

v

i

i

S3ij

vp

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Ski j: componentes conectados en de Gij

vp está conectado a vértices coloreados con i y con j en al menos un

componente. Luego NO es posible un intercambio.

S1ij

S4ij

S2ij

i

jj

i

i

i

ji

j

j

j

i

i

S3ij

vp

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Ski j: componentes conectadas en de Gij

vp está conectado a vértices de un solo color en cada componente. Luego es

posible intercambiar colores

S1ij

S4ij

S2ij

i

jj

i

i

i

ji

j

j

j

v

i

i

S3ij

vp

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Intercambio de colores en S3ij y S4

ij y coloreo

de vp

S1ij

S4ij

S2ij

i

jj

i

j

j

ij

i

i

i

v

i

j

S3ij

vp

Problema NP-HARD

Coloreo de un grafo

Ejemplo 1

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Ejemplo 1

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Ejemplo 2

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Ejemplo 2

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Ejemplo 2

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Ejemplo

Problemas NP-HARD

Coloreo de un grafo

Sugerencias

Ø Implementar en C++ un algoritmo para

colorear un grafo basado en transformaciones

parciales.

Ø Analizar otras alternativas por búsqueda local

para este problema.

Problemas NP-HARD

Backtracking

Características

Ø Puede aplicarse en problemas de optimización, con o sin restricciones.

Ø La solución se calcula a partir de una secuencia de decisiones.

Ø Existe una función que permite averiguar si una secuencia de decisiones, la solución actual en curso, viola o no las restricciones.

Ø Existe una función solución que permite determinar si una secuencia de decisiones factibles es solución.

Problemas NP-HARD

Backtracking

Características

Ø Existe una forma sistemática y organizada de

generar y recorrer el espacio que contiene a todas

las posibles secuencias de decisiones.

Ø El espacio de soluciones factibles puede modelarse

mediante un árbol n-ario.

Problemas NP-HARD

Backtracking

Espacio de búsqueda

…v2v1

v1

vj

vj

#nodos ∈ O(jk)

Problemas NP-HARD

Backtracking

Características del espacio de búsqueda

Ø Cada camino de la raíz a un nodo es una secuencia de

decisiones.

Ø El espacio de búsqueda no debe incluir soluciones

repetidas

Ø Una solución es factible si no viola las restricciones

Ø Una secuencia de decisiones puede ser “prolongable”

o “no prolongable”

Problemas NP-HARD

Backtracking- Espacio de búsqueda

Problema de la mochila

Modela subconjuntos de objetos{1,2,..,n}

∈∈∈∈

∉∉∉∉

objeto 1

objeto 2

objeto 3

…

…

objeto n

# espacio de búsqueda ∈∈∈∈ O(2n)

[1,1,-,-,…,-]

[0,1,-,-,…,-]

[o,-,-,…,-]

[0,0,-,-,…,]

Problemas NP-HARD

Backtracking- Espacio de búsqueda

Problema de la mochila

Modela subconjuntos de objetos{1,2,3,4}

{1}

{1,2} {1,3} {1,4}

{1,2,3} {1,2,4} {1,3,4}

{1,2,3,4} #nodos ∈ O(nn)

Problemas NP-HARD

Backtracking-Espacio de búsqueda


La raíz árbol es un vértice, los nodos circuitos en

construcción y las hojas circuitos.

<1>

<1,2> <1,3> <1,4>

<1,2,3> <1,2,4> <1,3,2> <1,3,4> <1,4,2> <1,4,3>

<1,2,3,4,1> <1,2,4,3,1> <1,3,2,4,1> <1,3,4,2,1> <1,4,2,3,1> <1,4,3,2,1>

Problemas NP-HARD

Backtracking- Esquema

void Back (estado d, solucion *d)

{ int nrohijo=1;

estado siguiente;

if (hoja(d)) calcular-solucion(d,sol);

else { nrohijo =1;

while (hijos(d,nrohijo, &siguiente)

{ if !podado(siguiente, sol)

Back(siguiente, sol);

++nrohijo;

}

}

}

Problemas NP-HARD

Backtracking- Esquema

El esquema anterior poda con respecto a costos de

soluciones factibles completas. Por ejemplo, en el

viajante podríamos usar como cota el valor de la

solución provista por un algoritmo heurístico.

Otra alternativa es podar a partir de cotas predictivas

sobre los nodos del árbol del espacio de búsqueda.

Branch& Bound : búsqueda informada

Problemas NP-HARD

Backtracking- Poda

Poda: permite eliminar ciertas zonas del espacio

de búsqueda.

Un nodo en curso se poda cuando existe

información que la solución en curso, pese a

cumplir las restricciones y ser “prolongable", no

conducirá a la solución resultado.

Problemas NP-HARD

Backtracking- Poda

La poda se basa en una función de estimación que

determina para un nodo en expansión una cota

inferior o superior, según sea un problema de

minimización o maximización respectivamente.y = f (v)

costoMejorSolución < (costoSolucionActual + y)

MINIMIZACIÓN

vv y = f(v)

costoMejorSolucion > (CostoSolucionActual + y)

MAXIMIZACIÓN

f debe ser efectiva y “barata”

Backtracking-Ramificación y Poda

(Branch & Bound)

Los nodos del espacio de búsqueda se pueden etiquetar como:

Vivos: Prometedor, no se han generado aún todos sus hijos

Muertos: Se han generado todos sus hijos o no es prometedor

“En expansión”: En cualquier instante pueden existir varios

nodos vivos y muertos y sólo uno en expansión. El nodo a

considerar es el “más prometedor” entre los nodos vivos.

Prometedor: la información que tenemos de ese nodo indica que

expandiéndolo se puede conseguir una solución mejor que la

solución en curso.

Los nodos vivos se mantienen en una estructura lineal (listas,

pilas, filas) o colas de prioridad(heap). El valor que el nodo vivo

“promete” es la clave del ordenamiento en la cola de prioridad.

Backtracking- (Branch & Bound)


Otro espacio de búsqueda para el viajante a partir de la

pertenencia de arcos.

Todos

¬(a,b)(a,b)

(a,b)(a,c)

(a,b)¬(a,c)

¬(a,b)(a,c)

¬(a,b)¬(a,c)



Consideraciones para generar el espacio de

búsqueda.

Ø El arco incluido no debe formar un ciclo.

Ø El grado de incidencia de un nodo es 2.

Ø Se permite sólo un ciclo que es el que

contiene exactamente una vez a cada nodo.

Branch & Bound


3

7 4

6 5

8

2 6

4 3

Circuito para una instancia de TSP

a b

c

d

e

Conjunto de arcos

(a,b)

(a,c)

(a,d)

(a,e)

(b,c)

(b,d)

(b,e)

(c,d)

(c,e)

(d,e)



Todos los circuitos

Circuitos sin

(a,b)

Circuitos

con (a,b)

Circuitos con

(a,b) y sin

(a,c)

Circuitos con

(a,b) y (a,c)

Circuitos con

(a,c) y sin

(a,b)

Circuitos sin

(a,b) y (a,c)

(a,b)

(a,c)

¬(a,d)

(a,d)

¬(a,b)

(a,c)

(a,c)

¬(a,b)

(a,d)

(a,c)

(a,d)

¬(a,b)

(a,b)

¬(a,c)

(a,d)

(a,b)

(a,d)

¬(a,c)

¬(a,b)

¬(a,c)

¬(a,d)

Problema NP-HARD


3

7 4

6 5

8

2 6

4 3


a b

c

d

e

Cota inferior para todoslos circuitos

d a b

a b e

b c a

a d c

b e d

2 3

3 3

4 4

2 5

3 6

Cota = (2+3+4+2+3 +3+3+4+5+6)/2

Cota = 17.5

Branch & Bound


3

7 4

6 5

8

2 6

4 3


a b

c

d

e

Cota inferior para todoslos circuitos sin (a,b)

d a c

c 4 b e

b c a

a d c

b e d

2 4

3

4 4

2 5

3 6

Cota = (2+4+4+2+3 +4+3+4+5+6)/2

Cota = 18.5

Branch & Bound


17.5

17.5

(a,b)

18.5

¬ (a,b)

20.5

(a,c) ¬(a,d)

¬(a,e)

18

¬(a,c)

18.5

(a,c)

21

¬(a,c)

(a,d) (a,e)

Los hijos no son nodosfactibles ( grado de incidencia es 2)

ab d

d a e

Branch & Bound


Ramificar (Branch) el más prometedor

17.5

17.5

(a,b)

18.5

¬ (a,b)

20.5

(a,c) ¬(a,d)

¬(a,e)

18

¬(a,c)

18.5

(a,c)

21

¬(a,c)

(a,d) (a,e)

18

(a,d)

¬(a,e)

23

¬(a,d)

(a,e)

Branch & Bound


Ramificar (Branch) el más prometedor17.5

17.5

(a,b)

18.5

¬ (a,b)

20.5

(a,c) ¬(a,d)

¬(a,e)

18

¬(a,c)

18.5

(a,c)

21

¬(a,c)

(a,d) (a,e)

18

(a,d)

¬(a,e)

23

¬(a,d)

(a,e)

(b,c)

¬(b,d)

¬(b,e)

(c,e)

(d,e)

¬(c,d)

abceda

Costo=23

¬(b,c)

(c,d)

(c,e)

¬(b,d)

¬(d,e)

(b,e)

abecda

Costo=21

Branch & Bound


Podar y Ramificar el más prometedor17.5

17.5

(a,b)

18.5

¬ (a,b)

20.5

(a,c) ¬(a,d)

¬(a,e)

18

¬(a,c)

18.5

(a,c)

21

¬(a,c)

(a,d) (a,e)

18

(a,d)

¬(a,e)

23

¬(a,d)

(a,e)

18.6

(a,d)

¬(a,e)

23.5

¬(a,d)

(a,e)

(b,c)

¬(b,d)

¬(b,e)

(c,e)

(d,e)

¬(c,d)

abceda

Costo=23

¬(b,c)

(c,d)

(c,e)

¬(b,d)

¬(d,e)

(b,e)

abecda

Costo=21

podar

podar

podar

Branch & Bound


Expandir el “más prometedor”17.5

17.5

(a,b)

18.5

¬ (a,b)

20.5

(a,c) ¬(a,d)

¬(a,e)

18

¬(a,c)

18.5

(a,c)

21

¬(a,c)

(a,d) (a,e)

18

(a,d)

¬(a,e)

23

¬(a,d)

(a,e)

18.6

(a,d)

¬(a,e)

23.5

¬(a,d)

(a,e)

(b,c)

¬(b,d)

¬(b,e)

(c,e)

(d,e)

¬(c,d)

abceda

Costo=23

¬(b,c)

(c,d)

(c,e)

¬(b,d)

¬(d,e)

(b,e)

abecda

Costo=21

¬(b,c)

(b,d)

(b,e)

(c,e)

¬(d,e)

¬(c,d)

ace bda

Costo= 23

(b,c)

¬(c,d)

¬(c,e)

¬(b,d)

(d,e)

(b,e)

acbeda

Costo= 19

Branch & Bound


En resumen

Ø Definir el modelo de espacio de búsqueda

Ø Definir la cota, función de estimación

Ø Ramificar (branch)

Ø Elegir el nodo “más prometedor” y expandirlo

Ø Podar (bound)


TSP-asimétrico

Recordar la solución de programación dinámica

Representación del grafo C

0988

120136

10905

2015100

1 2 3 4

1

2

3

4


TSP-asimétrico

C21= g(2, Φ) = 5

C31= g(3, Φ) = 6

C41= g(4, Φ) = 6

2 1

13

14

0988

120136

10905

2015100


TSP-asimétrico

C23 + g(3, Φ)= g(2,{3}) = 15

C24 + g(4, Φ)= g(2,{4}) = 18

C32 + g(2, Φ) = g(3,{2}) = 18

C34 + g(4, Φ) = g(3,{4}) = 20

C42 + g(2, Φ) = g(4,{2}) = 13

C43 + g(3, Φ) = g(4,{3}) = 15 3

2

4

4

3

23

4

1

132

42

1

1

1

1


TSP-asimétrico

g(2,{3,4}) = min (C23+g (3,{4}), C24+ g (4,{3})) = 25

g(3,{2,4}) = min (C32+g (2,{4}), C34+ g (4,{2})) = 25

g(4,{2,3}) = min (C42+g (2,{3}), C43+ g (3,{2})) = 23

3 4 12

2 4 3 1


TSP-asimétrico

g (1, {2,3,4}) = min (C12 + g(2,{3,4}),

C13 +g(3,{2,4}),

C14 + g(4,{2,3}))

g (1, {2,3,4}) = min (35, 40, 43) = 35

g(2,{3,4})

1 2 1


TSP-asimétrico

g (1, V-{1}) = min (C1k + g(k, V-{1,k})

2≤k≤n

g (i, S) = min (Cij + g(j, S-{j}))

j∈S i∉S; 1∉S

|S|=k (0≤ k<n)


TSP-asimétrico

Complejidad temporal

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Algoritmos heurísticos y aproximados - exa.unicen.edu.arF3rica-2.pdf · 1.Ordenar el tamaño de los objetos en orden decreciente. Sea la secuencia resultante si1, s i2,…, s in;