ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA

Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

PROBLEME DE OPTIMIZAREOPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea) unei functii f (x) pe o multime fezabila S:

f (x)

min (max), x S

Componentele uzuale unei probleme de optimizare Functia obiectiv este functia care se doreste a fi minimizata (maximizata)(ex: forta intr-o anumita regiune)

Variabilele care afecteaza valoarea functiei obiectiv(ex: geometria si materialul)

Restrictiile care permit variabilelor de a lua anumite valori si de a exclude alte valori(ex: limitarea pierderilor)

2

Procesul de proiectare a sistemelor

3

Probleme de optimizare in inginerie electricaOptimizare partiala functie monobiectiv, dependenta de parametrii tehnici ai dispozitivului

Obtinerea de caracteristici prin limitarea dimensiunilor (obtinerea clasei de precizie impuse pentru transformatoarele de curent integrate in transformatoarele de putere) Ecranarea optimala a campului electric in echipamentele de IT (obtinerea minimului intensitatii campului electric in domeniul considerat) Probleme de optimizare in camerele de stingere ale aparatelor de IT (obtinerea unei viteze optimale a arcului electric) Obtinerea de configuratii optimale pentru barele de alimentare Optimizarea caracteristicilor fortei la electromagneti

Proiectare optimala

functie multiobiectiv (volum, masa, cost, consum de energie, etc.)

4

Abordarea problemelor de optimizareAbordarea cu modele primareutilizeaza modelul primar direct in procedura de optimizare

Abordarea cu modele secundareutilizeaza modelele secundare (modele de de suprafete de raspuns) in procedura de optimizare

5

TEHNICI DE OPTIMIZARE

Criterii de optimalitate(metode indirecte)

Tehnici de cautare(metode directe)

Probleme cu restrictii

Probleme fara restrictii

Probleme de programare liniara (PL)functia obiectiv si restrictiile sunt liniare

Probleme de programare neliniara (PN)functia obiectiv si restrictiile sunt neliniare

6

OPTIMIZARE CONCEPTE DE BAZAMINIM GLOBAL / LOCAL Definitie:Fie x* S intr-o problema PN ( f (x*) < f (x) minim global strict )

O functie f (x) de n variabile are minim global (absolut) in punctul x* f (x*) f (x), x S

Definitie:

Fie N = {x S , || x - x*|| < }, |||| Rn, = scalar f (x*) f (x), x N , ( f (x*) < f (x) minim local strict )

O functie f (x) de n variabile are minim local (relativ) in punctul x* astfel incat

Teorema Weirstrass:Daca functia f (x) este continua pe o regiune fazabila nevida S inchisa si marginita f (x) are minim (maxim) global in S

7

VECTORUL GRADIENT (GRADIENTUL) Definitie:Fie o functie f (x) de n variabile x1, x2, , xn

Vectorul gradient al functiei f (x) in x* este:

vectorul gradient este normal pe planul tangent suprafetei f (x) = ct. in punctul x*

vectorul gradient este orientat in sensul valorilor crescatoare ale functiei f (x)

8

MATRICEA HESSIANA (HESSIANUL) Definitie:Fie o functie f (x) de doua ori continua si diferentiabila in punctul x*

Matricea Hessiana a functiei f (x) este:

matricea hessiana este intotdeauna o matrice simetrica joaca un rol important in conditiile de suficienta pentru optimizare

9

FORME PATRATICE. MATRICE DEFINITE Definitie:O forma patratica este o functie neliniara avand numai termeni de ordin 2:

unde P = [pij], P Mn x n se numeste matricea formei patratice F (x) Notand aij = (pij + pji)/2, i,j si A = [aij] , (A = matrice simetrica)

Definitie: Definitie:

Daca forma patratica F(x) > 0, x 0 F(x) = pozitiv definita (PD) (negativ) (ND) (F(x) < 0) Daca forma patratica F(x) 0, x 0 si cel putin un x 0 a.i. F(x) = 0 F(x) = pozitiv semidefinita (PSD) (F(x) 0) (negativ) (NSD) Daca F(x) > 0 pentru unii vectori si F(x) < 0 pentru alti vectori F(x) = indefinita (IND)

Definitie: Definitie:

O matrice simetrica A este PD, ND, PSD, NSD, IND daca forma patratica asociata lui A este, respectiv, PD, ND, PSD, NSD, IND 10

METODE DE VERIFICARE A DEFINIRII / SEMIDEFINIRII Verificarea valorilor proprii : F(x) este PD (ND) F(x) este PSD (NSD) Fie ivalorile proprii ale matricei A

i > 0 (i < 0) i 0 (i 0) si cel putin o valoare proprie i = 0

F(x) este IND daca unele valori i > 0 si alte valori i < 0

Verificarea minorilor principali : A este PD (ND) A este PSD (NSD)

Fie Mk al k-lea minor principal al matricei A

Mk > 0 (Mk < 0) Mk 0 (Mk 0) si cel putin un minor principal Mk = 0

A este IND daca nu se satisfac primele doua conditii

11

PROBLEME DE OPTIMIZARE FARA RESTRICTIIConditii necesare si suficiente pentru extremum Conditii necesare : sau Daca F(x) are minim (maxim) local in x* Daca F(x) are un extremum local (minim, maxim) in x*

Conditii necesare de ordinul 2:

este PSD (NSD) sau PD (ND) in x*

Definitie:

Solutia x* se numeste punct stationar

OBS:

Un punct stationar este doar candidat pentru punct optimal

12

Conditii suficiente de ordinul 2:

Daca hessianul H(x*) este PD (ND) in x* x* este un minim (maxim) local pentru functia f(x*)

OBS:

Daca H(x*) este PSD (NSD) atunci este posibil ca x* sa nu fie extremum local

Teorema: Daca in punctul stationar x* al functieisi f (n)(x*) 0 f (x*) are: un punct de inflexiune, daca n = impar

f(x), primele n-1 derivate se anuleaza

un extremum, daca n = par. El va fi un minim (maxim) daca f (n)(x*)0)

13

PROBLEME DE OPTIMIZARE CU RESTRICTIIRestrictii egalitate. Conditii necesare. Multiplicatorii lui Lagrange

Definitie:

Un punct x* care satisface restrictiile hi(x*) = 0, i = 1, 2, , p se numeste punct regular daca gradientii tuturor restrictiilor in punctul x* sunt liniar dependenti

Teorema multiplicatorilor lui Lagrange: Fie x* un punct regular care esteextremum local si f (x), hi(x*) = 0, i = 1, 2, , p, diferentiabile intr-o vecinatate a lui x* i* R (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat:

Functia lui Lagrange 14

Restrictii inegalitate

Teorema (conditiile Fritz-John): Fie x* un minim local sii = 1, 2, , m, diferentiabile intr-o vecinatate a lui x* i* R (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat:

f (x), gi(x*) = 0,

(conditii de relaxare) si cel putin unul 0* 0

Numai muliplicatorii Lagrange ce corespund restrictiilor satifacute ca egalitati sunt nenuli. Astfel de restrictii se numesc active I = {i = 1, 2, , m: gi(x*) = 0}

15

Definitie:

Un punct x* care satisface gi(x*) = 0, i I se numeste punct regular al multimii fezabile {x R n: gi(x) 0, i = 1, 2, , m} gi(x*), i I sunt functii liniar dependente

Teorema (conditiile Kuhn-Tucker): Fie x* un punct regular adica un minimlocal si f (x), gi(x*) = 0, i = 1, 2, , m, diferentiabile intr-o vecinatate a lui x* i* R (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat:

Definitie:

O multime K se numeste con x K

x K, 0

K este generat de vectorii x(1), x(2), , x(m)

16

Restrictii mixte. Conditiile Kuhn-Tucker Teorema (conditiile KT): Fie x* un punct fezabil sif (x), gi(x), i = 1, 2, , m,

diferentiabile, hi(x), i = 1, 2, , p, continuu diferentiabile in x* si I = {i : gi(x*) = 0} Daca gi(x*), i I si hi(x*), i = 1, 2, , p sunt liniar independente si x* = minim local i*, i = 1, 2, , m, i*, i = 1, 2, , p, (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat:

Functia lui Lagrange

17

Forme echivalente ale conditiilor Kuhn-Tucker 1) Teorema (conditiile KT cu variabile slabe): Fie x* solutie locala a PN siconditiile teoremei precedente satisfacute. Se defineste functia Lagrange (lagrangeanul) sub forma:

Daca gi(x*), i I si hi(x*), i = 1, 2, , p sunt liniar independente si x* = minim local variabilele slabe s (m-vector) si multiplicatorii lagrange (m-vector), (p-vector), a.i. lagrangeanul este stationar in raport cu xi, i, i, si:

18

2) Impunerea conditiilor de nenegativitate

Conditiile Kuhn-Tucker:

Problema de maximizare:

19

Teorema (conditie necesara de ordinul II)Fie x* care satisface conditiile KT pentru PN si:

hessianul in punctul de interes al functiei Lagrange. Fie d directiile fezabile nenule ce satisfac:

Daca x* este punct de minim local unde

este hessianul lagrangeanului functie de x

Teorema (conditie suficienta de ordinul II)Fie x* care satisface conditiile KT pentru PN, 2L definit analog si directiile d a.i.

Fie Daca

pentru aceste restrictii cu x* este un punct de minim local izolat (nu exista nici un alt punct de minim local in vecinatatea lui x*)

20

PROGRAMARE CONVEXAFie PN

Daca functia f (x) este continua pe o multime fezabila inchisa si marginita teorema Weirstrass garanteaza existenta minimului global Pentru PN trebuie verificat daca toate punctele care satisfac restrictiile (egalitati si inegalitati) formeaza o multime inchisa si marginita in R n

Apoi se formuleaza conditiile KT pentru PN si se gasesc solutiile Se evalueaza f (x) in toate punctele KT si se selecteaza o solutie care da cea mai mica valoare a functiei f (x)

OBS:

Conditiile KT = conditii necesare pentru minimul local Daca PN este convexa

pot exista puncte KT care nu sunt minime globale volum mare de calcule orice minim local = minim global conditiile KT = conditii suficiente

21

Definitie:

O multime S se numeste convexa x(1), x(2) S:

x(1) + (1-)x(2) S, 0 1, adica intregul segment de dreapta dintre x(1)si x(2) este in S

Definitie:

O functie f(x) definita pe o multime convexa S se numeste convexa (concava) f [x(1) + (1-)x(2)] f(x(1)) + (1-)f [x(2)], () Inegalitati stricte convexitate stricta (concavitate) 01

x(1), x(2) S,

22

Teorema: Teorema: Definitie:

O functie f(x) de n variabile, x R n este convexa pe o multime convexa S hessianul H este PD sau PSD x S

Multimea S = {x R n gi(x) 0, i = 1, , m si hi(x) = 0, i = 1, , p } este convexa daca gi(x) sunt convexe si hi(x) sunt liniare, hi(x) = aiTx + bi Daca f(x), gi(x), i = 1, , m sunt convexe si hi(x), i = 1, , p, sunt liniare, problema PN se numeste problema de programare convexa (PC)

Teorema: Definitie:

Daca x* este minim local pentru pentru o functie convexa f(x) definita pe o multime convexa S x* este minim global Se spune ca este satisfacuta conditia Slater x R n astfel incat gi( x ) < 0, gi(x) neliniare, i = 1, , m Fie f(x) si gi(x) < 0, i = 1, , m, diferentiabile si conditia Slater satisfacuta. conditiile Kuhn-Tucker sunt satisfacute in x*

Teorema:

x* este solutie a PC

CONCLUZIE:

Daca f(x) = convexa si multimea fezabila S = convexa in problema PN 23 conditiile Kuhn-Tucker = conditii necesare si suficiente pentru minimul global

Exemple de optimizare in inginerie electricaModel de tip circuit magnetic (proiectare optimala)optimizarea electromagnetului unui contactor de curent continuu

Variabile de proiectare:

1. 2. 3. 4. 5.

X1 = A X2 = A1/A X3 = A2/A22 X4 = A3/A34 X5 = A4/A2

discretizarea spatiului de proiectare dupa 5 directii retea de discretizare 5-dimensionala

Restrictii: geometrice, restrictii pentru bobine,densitatea de flux magnetic in miez, energia cinetica la atingerea contactelor

24

Exemple de optimizare in inginerie electricaModel de tip circuit magnetic (proiectare optimala)optimizarea formei polului unui electromagnet de curent continuu

Variabile de proiectare:Coordonatele (xi,yi) ale frontierei polare (punctele de contur)

Restrictii: densitate de flux magneticconstant B = 0.1T pe zona polara a jugului, limitele coordonatelor xu xi xo, yu yi yo

25

Exemple de optimizare in inginerie electricaModel de tip camp electric (optimizare partiala)ecranarea campului electric in transformatoarele de curent ecranarea campului electric in transformatoarele de tensiune

Variabile: inaltimea si diametrul ecranului Functia obiectiv: intensitatea campuluielectric pe suprafata exterioara a izolatorului min

Variabile: pozitia si raza ecranelor Functia obiectiv: intensitatea campuluielectric min

26

Exemple de optimizare in inginerie electricaModel de tip camp magnetic (optimizare partiala)optimizarea caracteristicii fortei unui electromagnet cu disc feromagnetic in bobina

Functia obiectiv: forta initiala F0

max

Variabile: pozitia si geometria discului Restrictii: caracteristici electrice si mecanice date 27

Exemple de optimizare in inginerie electricaModel de tip mecanic (optimizare partiala)optimizarea miezurilor magnetice la transformatoare

Variabile: latimile treptelor miezuluia1, , a6

Functia obiectiv: diferenta S dintre ariacercului Sc de diametru Dc si aria ocupata de miez St min

28

Exemple de optimizare in inginerie electricaMetoda celor mai mici patrate (optimizare partiala)model de ajustare neliniara

Functia de ajustare: t(x) = a x n + b

Variabile: coeficientii a, b, n ai functiei deajustare

Functia

suma patratelor diferentelor dintre curba reala si functia de ajustare min

obiectiv:

29