ALGIRDAS AMBRAZEVIČIUS

MATEMATINĖS

FIZIKOS

LYGTYS

1 dalis

Vilnius1999

2

T U R I N Y S

Pratarmė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 S K Y R I U S 7

PAGRINDINĖS SĄVOKOS 71.1 Apibrėžimai ir žymenys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Kai kurios dažnai vartojamos nelygybės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Kai kurie matematinės ir funkcinės analizės teiginiai . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Integraliniai operatoriai su silpna ypatuma erdvėse L2(Ω) ir C(Ω) . . . . . . . . . . . 19

2 S K Y R I U S 23

VARIACINIS SKAIČIAVIMAS 232.1 Paprasčiausi variacinio skaičiavimo uždavinių pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Pagrindinės variacinio skaičiavimo lemos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Būtina ekstremumo egzistavimo sąlyga. Oilerio lygtis. Įvairūs apibendrinimai . . . . . . 302.4 Bendresni funkcionalai. Natūraliosios kraštinės sąlygos . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5 Kintamų integravimo rėžių atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6 Trūkių sprendinių atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7 Izoperimetrinis uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.8 Sąlyginio ekstremumo uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.9 Variacinio skaičiavimo uždavinys parametrine forma . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.10 Ležandro sąlyga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.11 Jakobio sąlyga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.12 Pakankama silpnojo ekstremumo sąlyga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.13 Hamiltono principas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.14 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.15 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 S K Y R I U S 76

MATEMATINIAI FIZIKINIŲ PROCESŲ MODELIAI 763.1 Stygos svyravimų lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2 Membranos svyravimas ir pusiausvyra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3 Šilumos laidumas ir dujų difuzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3

3.4 Idealiojo skysčio hidrodinamikos lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5 Garso bangų lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.6 Maksvelo lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.7 Laisvieji elektriniai svyravimai laidininkuose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.8 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.9 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4 S K Y R I U S 104

LYGTYS IR KRAŠTINIAI UŽDAVINIAI 1044.1 Dalinių išvestinių lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2 Tiesinių antros eilės lygčių klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.3 Tiesinių antros eilės lygčių su pastoviais koeficientais suvedimas į kanoninį pavidalą . . . 1104.4 Tiesinių antros eilės lygčių su dviem nepriklausomais kintamaisiais suvedimas į kanoninį

pavidalą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.5 Tiesinių m-os eilės lygčių ir sistemų klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.6 Pagrindiniai uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.7 Kraštinių uždavinių korektiškumo sąvoka. Nekorektiškų uždavinių pavyzdžiai . . . . . . 1234.8 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.9 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5 S K Y R I U S 130

CHARAKTERISTIKOS IR KOŠI UŽDAVINYS 1305.1 Formaliai jungtiniai operatoriai ir Gryno formulė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.2 Tiesinių antros eilės lygčių charakteristikos. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . . . 1325.3 Tiesinių m-os eilės lygčių charakteristikos. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . . . 1375.4 Koši–Kovalevskajos ir Cholmgreno teoremos tiesinei m-os eilės lygčių sistemai . . . . . 139

6 S K Y R I U S 143

ŠTURMO–LIUVILIO UŽDAVINYS 1436.1 Šturmo–Liuvilio operatorius. Kraštinio uždavinio sprendinių egzistavimo ir vienaties teoremos 1436.2 Tikrinės reikšmės ir tikrinės funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.3 Energetinė erdvė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.4 Furjė eilučių diferencijavimas panariui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.5 Apibendrintasis Šturmo–Liuvilio uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.6 Tikrinių reikšmių ir tikrinių funkcijų ekstremalios savybės. Kuranto teorema . . . . . . 1646.7 Asimptotinės tikrinių reikšmių ir tikrinių funkcijų savybės . . . . . . . . . . . . . . 1686.8 Singuliarusis Šturmo–Liuvilio uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.9 Singuliarių jų Šturmo–Liuvilio uždavinių pavyzdžiai ir specialiosios funkcijos . . . . . . 1776.10 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.11 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4

7 S K Y R I U S 190

FURJĖ, ARBA KINTAMŲJŲ ATSKYRIMO, METODAS 1907.1 Furjė metodo schema dvimačių hiperbolinės ir parabolinės lygčių atvejais . . . . . . . . 1907.2 Kintamųjų atskyrimo metodo pagrindimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957.3 Vienaties teoremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.4 Kai kurie matematinės fizikos uždavinių pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057.5 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2167.6 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

8 S K Y R I U S 220

HIPERBOLINĖS LYGTYS. KOŠI UŽDAVINYS 2208.1 Dalambero formulė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.2 Koši uždavinys plokštumoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2258.3 Gursa uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2298.4 Rymano metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2318.5 Energetinės nelygybės. Vienaties teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2368.6 Bangavimo lygties sprendimas trimačiu atveju. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . 2418.7 Bangavimo lygties sprendimas dvimačiu atveju. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . 2468.8 Bangavimo lygties sprendimas n-mačiu atveju. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . . 2488.9 Telegrafo lygtis. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2538.10 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2568.11 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

9 S K Y R I U S 260

PARABOLINĖS LYGTYS. KOŠI UŽDAVINYS 2609.1 Maksimumo principas. Vienaties teoremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2609.2 Šilumos laidumo lygtis. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2649.3 Puasono formulės pagrindimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2689.4 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2799.5 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

10 S K Y R I U S 283

PAPRASČIAUSIOS ELIPSINĖS LYGTYS 28310.1 Harmoninės funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28310.2 Integralinė funkcijų u∈C2(Ω) išraiška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28510.3 Paprasčiausios harmoninių funkcijų savybės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28710.4 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29310.5 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

5

11 S K Y R I U S 295

DIRICHLĖ IR NOIMANO UŽDAVINIAI 29511.1 Uždavinių formulavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29511.2 Vienaties teoremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29811.3 Formalus Dirichlė ir Noimano uždavinių sprendimas. Gryno funkcija . . . . . . . . . . 30111.4 Dirichlė uždavinio sprendimas rutulyje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30411.5 Harnako nelygybė ir Liuvilio teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30811.6 Harmoninės funkcijos pašalinamasis ypatingas taškas . . . . . . . . . . . . . . . . . 30911.7 Kelvino transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31111.8 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31411.9 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

12 S K Y R I U S 316

POTENCIALO TEORIJA 31612.1 Liapunovo paviršiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31612.2 Bendresnės kai kurių integralinių formulių taikymo sąlygos . . . . . . . . . . . . . . 32112.3 Potencialai. Dvilypio sluoksnio potencialo savybės . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32612.4 Paprasto sluoksnio potencialo savybės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33512.5 Dirichlė ir Noimano uždavinių suvedimas į integralines lygtis . . . . . . . . . . . . . 34112.6 Integralinės (Di) ir (Ne) lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34412.7 Integralinės (De) ir (Ni) lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34712.8 Singuliarieji integralai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35112.9 Tūrinio potencialo savybės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35412.10Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36012.11Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362Literatūra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363Dalykinė rodyklė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

6

P P A T A R M Ė

Šio matematinės fizikos lygčių kurso pagrindą sudaro paskaitos, kurias autorius skai-to Vilniaus universiteto taikomosios matematikos ir matematikos specialybių studen-tams. Jų turiniui didelę į taką darė N. Uralcevos, O. Ladyženskajos, V. Solonikovo, S.Michlino ir kitų matematikų paskaitos, autoriaus klausytos būnant Sankt Peterburgouniversiteto studentu, o vėliau ir doktorantu.

Kurse nagrinėjamos elipsinės, parabolinės ir hiperbolinės lygtys. Daugiausia dė-mesio skiriama svarbiausiems jų atstovams - Laplaso, šilumos laidumo ir bangavimolygtims. Medžiaga išdėstyta taip, kad nepriklausomų kintamųjų skaičius dažnai nėraesminis. Todėl dviejų ir trijų nepriklausomų kintamųjų atvejai specialiai neišskiriami.Be to, plačiai naudojamos funkcinės analizės idėjos ir metodai. Tai sumažina kursoapimtį , daugelis teiginių tampa paprastesni, jų įrodymų neužgožia nereikšmingos de-talės. Kartais dviejų ar trijų nepriklausomų kintamųjų atvejai turi išskirtinių savybių .Jie nagrinėjami atskirai.

Kursas padalintas į 12 skyrių . Yra nedidelis literatūros sąrašas bei dalykinė rodyk-lė. Pirmas skyrius yra įvadinis. Jame pateikti pagrindiniai matematinės ir funkcinėsanalizės teiginiai. Daugelio fizikos ir mechanikos uždavinių matematiniai modeliaisudaromi remiantis variaciniu Hamiltono principu. Todėl antrame skyriuje išdėstytivariacinio skaičiavimo elementai. Trečiame skyriuje pateikti kai kurių fizikos ir me-chanikos uždavinių matematiniai modeliai. Ketvirtame ir penktame skyriuose išdėstytibendrieji lygčių dalinėmis išvestinėmis teorijos elementai. Šeštame ir septintame sky-riuose ištirtas vienmatis Šturmo–Liuvilio uždavinys ir jo taikymai sprendžiant matem-atinės fizikos uždavinius kintamųjų atskyrimo metodu. Aštuntame ir devintame skyri-uose nagrinėjamas Koši uždavinys parabolinėms ir hiperbolinėms lygtims. Paskutiniu-ose trijuose skyriuose sprendžiami paprasčiausių elipsinių lygčių Dirichlė ir Noimanouždaviniai taikant potencialo teoriją.

Kiekvieno skyriaus pabaigoje pateikta po keliolika uždavinių su atsakymais. Vieniiš jų yra lengvi, kiti sudėtingesni. Skaitytojams, kurie studijuoja savarankiškai, reko-menduojame bent nedidelę dalį jų išspręsti.

1 S K Y R I U S

Pagrindinės sąvokos

1.1. APIBRĖŽIMAI IR ŽYMENYS

Daugelis gamtos reiškinių aprašomi lygtimis, kurios vadinamos matematinės fizikoslygtimis. Dažniausiai tai dalinių išvestinių lygtys, t.y. lygtys, kuriose nežinomasis yrakelių (ne mažiau kaip dviejų ) kintamųjų funkcijos. Čia daugiausia nagrinėsime vienoslygties su viena nežinomąja funkcija atvejį . Ieškomąją argumento x = (x1, . . . , xn) ∈Rn funkciją žymėsime raide u, o jos dalines išvestines –

uxi =∂u

∂xi, uxixj =

∂2u

∂xi∂xj, Dαu =

∂|α|u

∂xα11 . . . ∂xαnn

;

čia: α = (α1, . . . , αn) – multiindeksas, |α| =n∑i=1

αi, αi – sveikieji neneigiami

skaičiai. Funkcijos u gradientą ir jo modulį žymėsime taip:

ux = (ux1 , . . . , uxn), |ux| =( n∑i=1

u2xi)1/2

.

Lygtis, kuri sieja nepriklausomąjį kintamąjį x, ieškomąją funkciją u ir jos dalinesišvestines, vadinama dalinių išvestinių lygtimi. Dalinių išvestinių lygtis vadinama k-osios eilės lygtimi, jeigu į ją įeina bent viena ieškomos funkcijos k-osios eilės dalinėišvestinė ir neįeina aukštesnių eilių dalinės išvestinės. Bendru atveju k-osios eilėsdalinių išvestinių lygtį galima užrašyti taip:

F (x, δku) = 0; (1.1)

čia:

δku =(u, ux1 , . . . , uxn , . . . ,

∂ku

∂xkn

)yra vektorius, turintis

Nk =(n+ k)!

n! k!

koordinačių ; F – argumentų x ∈ Rn, p = (p1, . . . , pNk) ∈ RNk funkcija, tenkinanti

sąlygąNk∑

i=Nk−1+1

(∂F (x, p)

∂pi

)26= 0.

Dalinių išvestinių lygties sprendiniu vadinama bet kokia funkcija u(x), kurią įrašius į(1.1) lygtį gaunama tapatybė nepriklausomo kintamojo x atžvilgiu.

8 1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS

P a s t a b a . Nagrinėjamose lygtyse kartais patogu išskirti kokį nors nepriklauso-mą kintamąjį (pavyzdžiui, laiką arba temperatūrą). Tokį kintamąjį žymėsime raide t.Ieškomosios funkcijos u = u(x, t) išvestines t atžvilgiu žymėsime

ut =∂u

∂t, utt =

∂2u

∂t2

ir t.t.Šioje knygoje vartosime tokius žymenis: Ω – sritis erdvėje Rn, t.y. atvira jungioji

aibė; ∂Ω – srities Ω kraštinų taškų aibė; Ω = Ω ∪ ∂Ω; Ω′− griežtai vidinė sritis, t.y.Ω′ yra kompaktas1 ir Ω ′ ⊂ Ω. Kai n ≥ 3, kraštinių taškų aibę ∂Ω žymėsime raideS ir vadinsime paviršiumi. Kai n = 2, kraštinių taškų aibę ∂Ω žymėsime raide l irvadinsime kontūru. Be to, raide l žymėsime ir uždarąjį kontūrą erdvėje R3.

n = (n1, . . . , nn) – išorinis srities Ω atžvilgiu vienetinis normalės vektorius pavir-šiui S (kontūrui l, jei n = 2). Norėdami pabrėžti, kad normalės vektorius n skaičiuo-jamas kokiame nors konkrečiame taške x ∈ S, jį žymėsime nx.

Integralus žymėsime vienu integralo ženklu. Jeigu x – integravimo kintamasiserdvėje Rn, tai simboliu dx žymėsime tūrio elementą (Lebego matą). Paviršiaus Sploto elementą žymėsime dS, o kontūro l ilgio elementą – dl. Jeigu kelių kintamųjųfunkcija f(x, y) yra integruojama kurio nors vieno kintamojo (pavyzdžiui, y) atžvil-giu, tai paviršiaus S ploto elementą žymėsime dSy . Srities Ω tūrį ir paviršiaus S plotąžymėsime taip:

|Ω| =∫Ω

dx, |S| =∫S

dS.

Priminsime kelis apibrėžimus. Tiesinė erdvė X su joje apibrėžta norma yra nor-muota erdvė. Pilna normuota erdvė vadinama Banacho erdve. Pilna normuota erdvėsu joje apibrėžta skaliarine sandauga vadinama Hilberto erdve.

Lp(Ω), 1 ≤ p

1.1. APIBRĖŽIMAI IR ŽYMENYS 9

Banacho erdvė.Ck(Ω) – tolygiai tolydžių uždaroje srityje Ω (sritis gali būti ir neaprėžta) funkcijų ,

turinčių tolygiai tolydžias dalines išvestines iki k-osios eilės imtinai ir baigtinę normą

‖u‖Ck(Ω) =∑|α|≤k

supx∈Ω|Dαu(x)|,

Banacho erdvė.Ck(Ω) – tolydžių srityje Ω funkcijų , turinčių tolydžias dalines išvestines iki k-

osios eilės imtinai, aibė.C∞(Ω) – be galo diferencijuojamų srityje Ω funkcijų aibė.suppu – funkcijos u atrama, t.y. aibės {x : u(x) 6= 0} uždarinys erdvėje Rn.

Funkcija u yra finičioji srityje Ω, jeigu suppu yra kompaktas ir suppu ⊂ Ω.C∞0 (Ω) – be galo diferencijuojamų finičių srityje Ω funkcijų aibė.osc {u(x); Ω} – funkcijos u svyravimas srityje Ω, t.y. skirtumas tarp sup

Ωu(x) ir

infΩu(x).

Sakysime, S yra paviršius klasės Ck, jeigu kiekvieno jo taško aplinkoje jį galimaapibrėžti lygtimi

yn = f(y1, . . . , yn−1),

kurioje f yra klasės Ck funkcija, y1, y2, . . . , yn – vietinė ortogonali koordinačių sis-tema, ašis yn nukreipta normalės kryptimi, o ašys y1, . . . , yn−1 yra liečiamojoje plokš-tumoje. Paviršių klasės C1 vadinsime glodžiuoju paviršiumi.

Sakysime, funkcija u srityje Ω tenkina Helderio sąlygą su rodikliu λ ∈ (0, 1] irHelderio konstanta M, jeigu

〈u〉λΩ ≡ sup{ρ−λosc {u; Ωρ}

}= M, ρ ≤ ρ0;

čia Ωρ yra srities Ω ir rutulio, kurio spindulys ρ, sankirta, o supremumas imamas pagalΩρ.

Jeigu srities Ω kraštas yra pakankamai glodus, pavyzdžiui, klasės C1, tai 〈u〉λΩ ga-lima apibrėžti ir taip:

〈u〉λΩ ≡ supx,y∈Ω|x−y|≤ρ0

|u(x)− u(y)||x− y|λ

.

Ck+λ(Ω) – tolygiai tolydžių uždaroje srityje Ω funkcijų , turinčių tolygiai tolydžiasdalines išvestines iki k-osios eilės imtinai ir baigtinę normą

‖u‖Ck+λ(Ω) ≡k∑|α|=0

supΩ|Dαu(x)|+

∑|α|=k

〈Dαu〉λΩ,

Banacho erdvė. Sakysime, kad funkcija u priklauso aibei Ck+λ(Ω), jeigu ji priklausoerdvei Ck+λ(Ω′) kiekvienoje griežtai vidinėje srityje Ω′ ⊂ Ω.

Atstumas tarp dviejų taškų erdvėje Rn

|x− y| =( n∑i=1

(xi − yi)2)1/2

.

10 1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS

Jeigu Ω yra kokia nors sritis erdvėje Rn, tai jos skersmuo

diam Ω = supx,y∈Ω

|x− y|.

Tegu Q yra kokia nors aibė erdvėje Rn. Tada taško x ∈ Rn atstumas iki aibės Q

dist{x,Q} = infy∈Q|x− y|.

Jeigu E ir Q – dvi aibės erdvėje Rn, tai atstumas tarp jų

dist {E,Q} = infx∈E,y∈Q

|x− y|.

Tegu x ∈ Rn. Rutulį , kurio centras yra taške x ir spindulys r, žymėsime Br(x),t.y.

Br(x) = {y ∈ Rn : |x− y| < r}.

Sferą, kurios centras yra taške x ir spindulys r, žymėsime Sr(x), t.y.

Sr(x) = {y ∈ Rn : |x− y| = r}.

Jeigu taškas x sutampa su koordinačių pradžia, t.y. x = 0, rutulį Br(x) ir sferą Sr(x)žymėsime trumpiau – Br ir Sr, o rutulio Br tūrį ir sferos Sr plotą – atitinkamai |Br|ir |Sr|.

Suskaičiuosime sferos Sr plotą ir rutulio Br tūrį . Sferos Sr ploto elementas

dS =r√

r2 − x21 − · · · − x2n−1dx1 · · · dxn−1;

čia r2 =n∑i=1

x2i . Tegu x1 = rα, x2 = r√

1− α2y2, . . . , xn = r√

1− α2yn. Tada

dS = rn−1(1− α2)n−3

2 dαdy2 · · · dyn−1√

1− y22 − · · · − y2n−1.

Iš šios lygybės išplaukia, kad|Sr| = rn−1|S1|,

|S1| = |σ1|1∫−1

(1− α2)n−3

2 dα = 2|σ1|1∫

0

(1− α2)n−3

2 dα; (1.2)

čia |σ1| – vienetinės sferos erdvėje Rn−1 plotas.Rutulio Br tūris

|Br| =r∫

0

∫Sr

dSdr = |S1|r∫

0

rn−1dr =|S1|rn

n.

1.1. APIBRĖŽIMAI IR ŽYMENYS 11

Suskaičiuosime vienetinės sferos plotą. Iš pradžių pastebėsime, kad

∫Rn

e−|x|2

dx =( +∞∫−∞

e−s2

ds)n

= πn/2.

Tą patį integralą suskaičiuosime kitu būdu.

∫Rn

e−|x|2

dx =

∞∫0

∫Sr

e−r2

dSrdr =

∞∫0

∫S1

e−r2

rn−1 dS1dr =

= |S1|∞∫

0

e−r2

rn−1 dr =1

2|S1|

∞∫0

e−ρρn/2−1 dρ =1

2|S1|Γ (n/2) .

Sulyginę šiuos reiškinius, gausime

|S1| = 2πn/2Γ−1 (n/2) ;

čia

Γ(s) =

∞∫0

e−xxs−1 dx

yra gama funkcija.Kiekviename skyriuje yra sava formulių , lemų , teoremų ir paveikslėlių numera-

cija. Pirmasis skaičius nurodo skyriaus, o antrasis – formulės, lemos, teoremos arbapaveikslelio numerį. Teoremos arba lemos įrodymą pradėsime ženklu /. Įrodymopabaigą žymėsime ženklu .. Be to, kartais naudosime tokius ženklus: ∃ – egzistuoja;∀ – su visais; ⇐⇒ – tada ir tik tada; → – konverguoja, arba artėja; ⇒ – tolygiaikonverguoja; b.v. – beveik su visais (beveik visiems).

12 1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS

1.2. KAI KURIOS DAŽNAI VARTOJAMOS NELYGYBĖS

1. Tegu p > 1. Tada ∀a, b ∈ R1 yra teisinga Jungo nelygybė:

|ab| ≤ 1p|a|p + 1

p′|b|p

′,

1

p+

1

p′= 1. (1.3)

/ Jeigu bent vienas iš skaičių a arba b lygus nuliui, tai Jungo nelygybė yra akivaizdi.Tarkime, b 6= 0. Tada (1.3) nelygybę galima perrašyti taip:

|ab1−p′| ≤ 1

p|a|p|b|−p

′+

1

p′.

Pažymėkime |a||b|1−p′ = t. Tada |a|p|b|−p′ = tp, ir pastarąją nelygybę galima per-rašyti taip:

1

ptp +

1

p′− t ≥ 0. (1.4)

Funkcija

f(t) =1

ptp +

1

p′− t

turi vienintelį minimumo tašką t = 1, kuriame ji lygi nuliui. Todėl (1.4) nelygybė yrateisinga ∀t ≥ 0. Kartu yra teisinga (1.3) nelygybė. .

I š v a d a . Pakartoję Jungo nelygybės įrodymą sandaugai εa · ε−1b, gausime ne-lygybę

|ab| ≤ εp|a|p + ε

−p′/p

p′|b|p

′, ∀ε > 0, (1.5)

kuri, kai p = 2, virsta nelygybe

|ab| ≤ ε2|a|2 + 1

2ε|b|2, ∀ε > 0. (1.6)

2. Tegu p > 1. Tada ∀f ∈ Lp(Ω) ir ∀g ∈ Lp′(Ω) yra teisinga Helderio nelygybė:∣∣∣ ∫Ω

f(x)g(x) dx∣∣∣ ≤ ‖f‖Lp(Ω)‖g‖Lp′ (Ω). (1.7)

/ Laisvai pasirenkame skaičių ε > 0. Remiantis Jungo nelygybe,

|fg| = |εfε−1g| ≤ εp

p|f |p + 1

p′εp′|g|p

′, ∀ε > 0.

Reiškinys dešinėje šios nelygybės pusėje yra integruojama srityje Ω funkcija. Todėlfunkcija fg taip pat yra integruojama ir∣∣∣ ∫

Ω

fg dx∣∣∣ ≤ ∫

Ω

|fg| dx ≤ εp

p

∫Ω

|f |p dx+ 1p′εp′

∫Ω

|g|p′dx, ∀ε > 0.

1.2. KAI KURIOS DAŽNAI VARTOJAMOS NELYGYBĖS 13

Jeigu ‖f‖Lp(Ω) = 0, tai f(x) = 0 b.v. x ∈ Ω ir (1.7) nelygybė yra akivaizdi. Tegu‖f‖Lp(Ω) 6= 0. Imkime

ε = ‖f‖−1/p′

Lp(Ω)‖g‖1/pLp′ (Ω).

Tada ∣∣∣ ∫Ω

fg dx∣∣∣ ≤ 1

p‖g‖Lp′ (Ω)‖f‖Lp(Ω) +

1

p′‖f‖Lp(Ω)‖g‖Lp′ (Ω) =

= ‖f‖Lp(Ω)‖g‖Lp′ (Ω). .

Taikant matematinės indukcijos metodą, Jungo ir Helderio nelygybes galima api-bendrinti. Tiksliau, yra teisingos tokios nelygybės:

|a1 · . . . · aN | ≤N∑i=1

1

pi|ai|pi ,

∣∣∣ ∫Ω

f1 · . . . · fN dx∣∣∣ ≤ N∏

i=1

‖fi‖Lpi (Ω);

čia ai ∈ R1, fi ∈ Lpi(Ω), pi > 1, ∀i = 1, 2, . . . , N irN∑i=1

1pi

= 1.

3. Tegu p > 1. Tada ∀f, g ∈ Lp(Ω) yra teisinga Minkovskio nelygybė:

‖f + g‖Lp(Ω) ≤ ‖f‖Lp(Ω) + ‖g‖Lp(Ω). (1.8)

/ Jeigu ‖f + g‖Lp(Ω) = 0, tai (1.8) nelygybė yra akivaizdi. Tegu

‖f + g‖Lp(Ω) 6= 0.

Kadangi |f + g| ∈ Lp(Ω), tai |f + g|p/p′ ∈ Lp′(Ω). Be to, p/p′ = p− 1 ir

|f + g|p ≤ (|f |+ |g|)|f + g|p−1.

Pritaikę sandaugoms |f ||f + g|p−1 ir |g||f + g|p−1 Helderio nelygybę, gausime įver-čius: ∫

Ω

|f ||f + g|p−1 dx ≤ ‖f‖Lp(Ω)‖f + g‖p/p′

Lp(Ω),

∫Ω

|g||f + g|p−1 dx ≤ ‖g‖Lp(Ω)‖f + g‖p/p′

Lp(Ω).

Iš jų išplaukia

‖f + g‖pLp(Ω) =∫Ω

|f + g|p dx ≤(‖f‖Lp(Ω) + ‖g‖Lp(Ω)

)‖f + g‖p/p

′

Lp(Ω).

Padaliję abi šios nelygybės puses iš ‖f + g‖p/p′

Lp(Ω), gausime (1.8) nelygybę. .

14 1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS

4. Tegu Ω yra aprėžta sritis erdvėje Rn. Tada ∀y ∈ Rn yra teisinga nelygybė∫Ω

|x− y|−ε dx ≤ |S1|(2 diam Ω)n−ε

n− ε, 0 ≤ ε < n. (1.9)

/ Jeigu dist (y,Ω) > diam Ω ≡ d, tai∫Ω

|x− y|−ε dx ≤ 1dε|Ω| ≤ |S1|

ndn−ε

ir (1.9) nelygybė akivaizdi. Tegu dist (y,Ω) ≤ d. Tada Ω ⊂ B2d(y) ir

∫Ω

|x− y|−ε dx ≤∫

B2d(y)

|x− y|−ε dx = |S1|2d∫

0

rn−1−εdr = |S1|(2d)n−ε

n− ε.

Taigi ∀y ∈ Rn yra teisinga (1.9) nelygybė. .

1.3. KAI KURIE ANALIZĖS TEIGINIAI 15

1.3. KAI KURIE MATEMATINĖS IR FUNKCINĖSANALIZĖS TEIGINIAI

Tegu Ω – aprėžta sritis erdvėje Rn, S = ∂Ω – dalimis glodus paviršius (kontūras), ofunkcija w ∈ C1(Ω) . Tada yra teisinga Gauso–Ostrogradskio formulė:∫

Ω

wxk(x) dx =

∫S

w(x) cos(nx, xk) dS, ∀k = 1, 2, . . . , n; (1.10)

čia n – išorinis srities Ω atžvilgiu vienetinis normalės vektorius paviršiuje S. Jeigušitoje formulėje paimsime w = uv, u, v ∈ C1(Ω), tai gausime integravimo dalimisformulę: ∫

Ω

uxkv dx =

∫S

uv cos(n, xk) dS −∫Ω

uvxk dx. (1.11)

Tuo atveju, kai viena iš funkcijų u arba v paviršiuje S lygi nuliui, integravimo dalimisformulė suprastėja ir ją galima perrašyti taip:∫

Ω

uxkv dx = −∫Ω

uvxk dx. (1.12)

Tegu X – Banacho erdvė,Q ⊂ X.AibėQ yra sąlyginis kompaktas erdvėje X, jeiguiš bet kurios jos sekos galima išskirti konverguojantį posekį.

Tegu X,Y – Banacho erdvės. Operatorius A : X → Y yra aprėžtas, jeigu jis betkokią aprėžtą aibę erdvėje X perveda į aprėžtą aibę erdvėje Y.Operatorius A : X→ Yyra visiškai tolydus (kompaktinis), jeigu jis bet kokią aprėžtą aibę erdvėje X perveda įsąlyginį kompaktą erdvėje Y.

Tegu X,Y – tiesinės erdvės. Operatorius A : X→ Y yra tiesinis, jeigu

A(λx+ µy) = λAx+ µAy, ∀x, y ∈ X, λ, µ ∈ R.

Jeigu A : X→ R, tai sakysime, kad operatorius A yra funkcionalas.Tegu X – Banacho erdvė, A : X → X – tiesinis aprėžtas operatorius. Sakysime,

kad skaičius λ yra operatoriaus A tikrinė reikšmė, o elementas x ∈ X – ją atitinkantitikrinė funkcija, jeigu x yra netrivialus lygties

Ax = λx

sprendinys erdvėje X. Sakysime, kad skaičius µ yra operatoriaus A charakteristinėreikšmė, jeigu lygtis

µAx = x

turi netrivialų sprendinį erdvėje X.Tegu X – tiesinė erdvė. Visuma tiesinių funkcionalų , apibrėžtų erdvėje X, vadi-

nama jungtine erdve. Ją žymėsime X∗.Tegu A : X → Y yra tiesinis operatorius ir g ∈ Y∗. Tada g(Ax), ∀x ∈ X yra

tiesinis funkcionalas, apibrėžtas erdvėje X. Kiekvieną funkcionalą g ∈ Y∗ atitinka

16 1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS

funkcionalas f ∈ X∗. Ši atitiktis apibrėžia operatorių , veikiantį iš erdvės Y∗ į erdvęX∗. Gautas operatorius vadinamas jungtiniu operatoriui A. Jį žymėsime A∗.

Tegu X – Banacho erdvė, A : X → X – tiesinis visiškai tolydus operatorius,A∗ : X∗ → X∗ – jungtinis operatorius. Šiuo atveju X∗ taip pat yra Banacho erdvė, oA∗ – visiškai tolydus operatorius.

1.1 teorema. Lygtisx−Ax = y, y ∈ X, (1.13)

turi sprendinį erdvėje X tada ir tik tada, kai f(y) = 0, ∀f ∈ X∗ :

f −A∗f = 0. (1.14)

I š v a d a . Jeigu (1.14) lygtis turi tik trivialų sprendinį, tai (1.13) lygtis turi spren-dinį ∀y ∈ X.

1.2 teorema. Homogeninės lygtys

x−Ax = 0, (1.15)

f −A∗f = 0

turi vienodą skaičių tiesiškai nepriklausomų sprendinių .

1.3 teorema. Nehomogeninė (1.13) lygtis turi sprendinį ∀y ∈ X tada ir tik tada, kaihomogeninė (1.15) lygtis turi tik trivialų sprendinį. Be to, jeigu (1.15) lygtis turi tiktrivialų sprendinį, tai (1.13) lygtis ∀y ∈ X turi vienintelį sprendinį ir operatorius (I−A)−1 yra aprėžtas. Tuo atveju, kai (1.15) lygtis turi netrivialų sprendinį, bendrąjį(1.13) lygties sprendinį galima išreikšti formule

x = x0 + x′;

čia: x′ – atskirasis (1.13) lygties sprendinys, o x0 – bendrasis (1.15) lygties sprendinys.

1.4 teorema. Tegu A : X→ X yra tiesinis visiškai tolydus operatorius. Tada

1. Operatoriaus A tikrinių reikšmių aibė yra baigtinė arba skaičioji. Be to, jeigu jiyra skaičioji, tai sudaro artėjančių į nulį skaičių seką.

2. Jeigu skaičius λ 6= 0 yra operatoriaus A tikrinė reikšmė, tai ją atitinkančiųtikrinių tiesiškai nepriklausomų funkcijų aibė yra baigtinė.

Šios keturios teoremos yra tiesinių integralinių lygčių teorijoje žinomų Fredholmoteoremų analogas. Todėl jas tiesiog vadinsime Fredholmo teoremomis.

Tegu Ω ⊂ Rn, Q ⊂ Rm, aprėžtos sritys, k ∈ L2(Ω×Q) ir

Ku =

∫Q

k(x, y)u(y) dy, x ∈ Ω

(tokie operatoriai vadinami Hilberto–Šmito operatoriais.

1.3. KAI KURIE ANALIZĖS TEIGINIAI 17

1.5 teorema. Tegu k ∈ L2(Ω×Q). Tada operatorius

K : L2(Q)→ L2(Ω)

yra visiškai tolydus.

Tegu H yra Hilberto erdvė. Aprėžtas tiesinis operatorius A : H→ H yra savijungis,jeigu A = A∗, t.y. jeigu

(Ax, y) = (x,Ay), ∀x, y ∈ H.

1.6 teorema. Tegu H yra Hilberto erdvė ir A : H → H – savijungis visiškai tolydusoperatorius. Tada operatorius A turi bent vieną tikrinę reikšmę.

Tegu {λi} yra tikrinių operatoriaus A reikšmių sistema,

Ni = {x ∈ X : Ax = λix}.

Jeigu λ0 = 0 yra tikrinė operatoriaus A reikšmė, tai

N0 = {x ∈ X : Ax = 0}.

1.7 teorema. Tegu H yra Hilberto erdvė ir A : H → H – savijungis visiškai tolydusoperatorius. Tada

H = N0 ⊕∑i

Ni;

čia ⊕ – tiesioginė suma.

1.8 teorema. (Ryso) Tegu f – tiesinis aprėžtas (tolydus) funkcionalas Hilberto erdvėjeH. Tada egzistuoja vienintelis elementas x0 ∈ H toks, kad

f(x) = (x, x0), ∀x ∈ H, (1.16)

ir ‖f‖ = ‖x0‖. Atvirkščiai, (1.16) lygybė ∀x0 ∈ H apibrėžia tiesinį aprėžtą (tolydų)funkcionalą f : ‖f‖ = ‖x0‖.

Tegu X,Y – Banacho erdvės, L(X,Y) – tiesinių tolydžių operatorių , veikiančių išerdvės X į erdvę Y, aibė. Aibė L(X,Y) su joje apibrėžta norma

‖A‖ = sup‖x‖≤1

‖Ax‖, A ∈ L(X,Y)

yra normuota erdvė. Jeigu operatorius A ∈ L(X,X), tai jo normą žymėsime ‖A‖X.

1.9 teorema. Tegu X, Y ir Z – Banacho erdvės, A ∈ L(X,Y),B ∈ L(Y,Z). Jeigubent vienas iš operatorių A arba B yra visiškai tolydus, tai jų sandauga BA yra visiškaitolydus operatorius, veikiantis iš erdvės X į erdvę Z.

18 1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS

1.10 teorema. Tegu A,An ∈ L(X,Y) ir operatoriai An, ∀n = 1, 2, . . . , yra visiškaitolydūs. Jeigu ‖An − A‖ → 0, kai n → ∞, tai operatorius A taip pat yra visiškaitolydus.

Šitų teoremų įrodymą galima rasti [9], [10] knygose.Funkcija u yra absoliučiai tolydi segmente [a, b], jeigu ∀ε > 0 galima rasti skaičių

δ > 0 tokį, kad bet kuriam baigtiniam segmento [a, b] skaidyniui

a ≤ x1 < x′1 ≤ . . . ≤ xm < x′m ≤ b

teisinga nelygybėm∑i=1

|f(x′i)− f(xi)| ≤ ε,

jeigu tikm∑i=1

(x′i − xi) ≤ δ.

Šioje knygoje dažnai vartosime kitą ekvivalentų apibrėžimą (žr. [8], [21]): api-brėžta segmente [a, b] funkcija u yra absoliučiai tolydi, jeigu egzistuoja funkcija v ∈L(a, b) tokia, kad

u(x) = u(a) +

x∫a

v(y) dy, ∀x ∈ [a, b].

Be to, b.v. x ∈ [a, b] funkcija u yra diferencijuojama ir u′(x) = v(x).

1.4. INTEGRALINIAI OPERATORIAI 19

1.4. INTEGRALINIAI OPERATORIAI SU SILPNA YPATUMAERDVĖSE L2(Ω) IR C(Ω)

Tegu Ω – aprėžta sritis erdvėje Rn; k(x, y) – mačioji ir aprėžta srityje Ω×Ω funkcija;

K(x, y) =k(x, y)

|x− y|n−α, α ∈ (0, n).

Jeigu šios sąlygos patenkintos, tai sakysime, kad

Ku =

∫Ω

K(x, y)u(y) dy

yra integralinis operatorius su silpna ypatuma.

1.11 teorema. Tegu K yra integralinis operatorius su silpna ypatuma. Tada jis yravisiškai tolydus operatorius, veikiantis iš erdvės L2(Ω) į erdvę L2(Ω).

/ Tegu u ∈ L2(Ω) ir v = Ku. Panaudoję Helderio nelygybę, gausime

|v(x)| ≤(∫

Ω

|K(x, y)| dy)1/2(∫

Ω

|K(x, y)|u2(y) dy)1/2

≤

≤(

supx∈Ω

∫Ω

|K(x, y)| dy)1/2(∫

Ω

|K(x, y)|u2(y) dy)1/2

.

Kairę ir dešinę šios nelygybės puses keliame kvadratu ir gautą nelygybę integruojamesritimi Ω. Tada∫

Ω

v2(x) dx ≤ supx∈Ω

∫Ω

|K(x, y)| dy supy∈Ω

∫Ω

|K(x, y)| dx∫Ω

u2(y) dy. (1.17)

Kadangi funkcija k yra aprėžta, tai egzistuoja konstanta C tokia, kad∫Ω

|K(x, y)| dy ≤ C∫Ω

dy

|x− y|n−α≤

≤ C∫

|x−y|

20 1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS

Tegu ζ ∈ C∞[0,∞) yra funkcija, tenkinanti sąlygas: ζ(t) = 1, kai t ∈ [0, 1/2],ζ(t) = 0, kai t ≥ 1, ir 0 ≤ ζ(t) ≤ 1. Operatorių K išskaidysime į dviejų operatoriųsumą

Ku = Kεu+ Kεu;

čia:

Kεu =

∫Ω

K(x, y)ζ(ε−1|x− y|

)u(y) dy,

Kεu =

∫Ω

K(x, y)(1− ζ

(ε−1|x− y|

))u(y) dy.

Kadangi K(x, y)ζ(ε−1|x− y|

)= 0, kai |x− y| ≥ ε, tai

‖Kε‖L2(Ω) ≤ C|S1|εα/α.

Operatoriaus Kε branduolys yra aprėžta srityje Ω× Ω funkcija. Iš tikrų jų

K(x, y)(1− ζ

(ε−1|x− y|

))= 0,

kai |x− y| < ε/2, ir

∣∣K(x, y)(1− ζ(ε−1|x− y|))∣∣ ≤ C|x− y|n−α

≤ C(2/ε)n−α

,

kai |x − y| ≥ ε/2. Kadangi sritis Ω yra aprėžta, tai operatoriaus Kε branduolys yrasumuojama kvadratu funkcija. Todėl operatorius Kε, kaip Hilberto–Šmito operatorius(žr. 1.5 teoremą), yra visiškai tolydus erdvėje L2(Ω) . Be to,

‖K−Kε‖L2(Ω) = ‖Kε‖L2(Ω) ≤ C|S1|ε

α/α→ 0,

kai ε→ 0. Taigi operatorių K galima aproksimuoti visiškai tolydžiais operatoriais Kε.Remiantis 1.9 teorema, operatorius K yra visiškai tolydus erdvėje L2(Ω) . .

1.12 teorema. Tegu K yra integralinis operatorius su silpna ypatuma, o funkcija k yratolydi kintamojo x atžvilgiu srityje Ω \ {y}. Tada jis yra aprėžtas erdvėje C(Ω) ir

‖K‖C(Ω) ≤ C|S1|dα/α. (1.20)

/ Tegu

v(x) =

∫Ω

K(x, y)u(y) dy, u ∈ C(Ω), x, x′ ∈ Ω

ir x′ → x. Tada

|v(x)− v(x′)| ≤∫Ω

∣∣K(x, y)−K(x′, y)∣∣|u(y)| dy =

1.4. INTEGRALINIAI OPERATORIAI 21

=

∫Bρ(x)∩Ω

∣∣K(x, y)−K(x′, y)∣∣|u(y)| dy + ∫Ω\Bρ(x)

∣∣K(x, y)−K(x′, y)∣∣|u(y)| dy,∀ρ > 0. Paskutinius du integralus pažymėsime atitinkamai I1 ir I2. Kadangi x′ → x,tai galime imti x′ ∈ Bρ(x). Įvertinsime integralus I1 ir I2.

I1 ≤ C maxy∈Ω|u(y)|

( ∫Bρ(x)

dy

|x− y|n−α+

∫Bρ(x)

dy

|x′ − y|n−α)≤

≤ C maxy∈Ω|u(y)|

( ∫Bρ(x)

dy

|x− y|n−α+

∫B2ρ(x′)

dy

|x′ − y|n−α)

=

= C′maxy∈Ω|u(y)|

(ρα|S1|/α+ (2ρ)α|S1|/α

),

I2 ≤ supy∈Ω\Bρ(x)

|K(x, y)−K(x′, y)|maxy∈Ω|u(y)||Ω|.

Laisvai pasirenkame skaičių ε > 0. Skaičių ρ > 0 fiksuojame taip, kad būtųpatenkinta nelygybė

I1 ≤ ε/2.Tokį ρ parinkti galima, nes α > 0 ir funkcija u yra aprėžta. Kadangi funkcija K(x, y)yra tolydi, kai x 6= y, tai egzistuoja skaičius ρ′ < ρ toks, kad

I2 ≤ ε/2,

jei tik |x− x′| < ρ′. Todėl

|v(x)− v(x′)| ≤ ε, ∀x′ ∈ Bρ′(x)

ir v ∈ C(Ω) . Be to,

maxx∈Ω|v(x)| ≤ max

y∈Ω|u(y)| sup

x∈Ω

∫Ω

|K(x, y)| dy ≤

≤ maxy∈Ω|u(y)|C|S1|dα/α. .

P a s t a b a . Iš 1.12 teoremos įrodymo išplaukia, kad integralas

v(x) =

∫Ω

K(x, y)u(y) dy

yra tolydi uždaroje srityje Ω funkcija, jeigu funkcija u yra tik aprėžta.

1.13 teorema. (apie integralinių lygčių sprendinių glodumą) Tegu K yra integra-linis operatorius su silpna ypatuma, f ∈ C(Ω) ir u yra lygties

u−Ku = f (1.21)

sprendinys erdvėje L2(Ω) . Tada u ∈ C(Ω) .

22 1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS

/ Perrašysime (1.21) lygtį taip:

u−Kεu = f + Kεu := gε(u), ε > 0;

čia Kε ir Kε – apibrėžti 1.11 teoremoje integraliniai operatoriai.Tegu ũ yra (1.21) lygties sprendinys erdvėje L2(Ω). Operatoriaus Kε branduolys

Kε(x, y) yra tolydi (netgi, kai x = y) funkcija. Todėl Kεu ∈ C(Ω). Šito teig-inio įrodymas yra visiškai analogiškas 1.12 teoremoje pateiktam funkcijos v tolydumoįrodymui. Remdamiesi juo, galime tvirtinti, kad gε(ũ) ∈ C(Ω) . Toliau nagrinėsimedvi lygtis:

u−Kεu = gε(ũ), u ∈ L2(Ω), (1.22)

iru−Kεu = gε(ũ), u ∈ C(Ω) . (1.23)

Operatoriaus Kε norma erdvėse L2(Ω) ir C(Ω) neviršija C|S1|εα/α. Skaičių εparinksime taip, kad C|S1|εα/α < 1. Tokiam ε operatorius Kε yra suspaudžiantysisoperatorius erdvėse L2(Ω) ir C(Ω) . Todėl (1.22) lygtis turi vienintelį sprendinį u1 ∈L2(Ω), o (1.23) lygtis turi vienintelį sprendinį u2 ∈ C(Ω) . Kadangi funkcija ũ taippat yra (1.22) lygties sprendinys, tai u1 = ũ. Be to, u2 ∈ L2(Ω) . Todėl funkcija u2yra ir (1.22) lygties sprendinys. Tačiau tada ũ = u1 = u2 ∈ C(Ω) . .

2 S K Y R I U S

Variacinis skaičiavimas

2.1. PAPRASČIAUSI VARIACINIO SKAIČIAVIMOUŽDAVINIŲ PAVYZDŽIAI

Vienas iš pirmųjų variacinio skaičiavimo uždavinių yra 1696 m. J. Bernulio suformu-luotas uždavinys apie brachistochronę:

1 u ž d a v i n y s . Plokštumoje Oxy yra du taškai, nesantys vienoje vertikaliojetiesėje. Tegu x1, y1 ir x2, y2 yra šių taškų koordinatės. Iš taško (x1, y1) į tašką (x2, y2)kreive l be trinties slenka materialus taškas. Pradiniu laiko momentu jo greitis v lygusnuliui. Aibėje tokių kreivių reikia rasti tą, kuria slinkdamas materialus taškas pasiektųtašką (x2, y2) per trumpiausią laiką. Ieškomoji kreivė l yra vadinama brachistochrone.

Tarkime, koordinačių ašys x, y parinktos taip, kaip nurodyta 2.1 paveikslėlyje,

......................................................

......................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................

....................

x1 x2

y1

y2

l

y

x

2.1 pav.

o kreivė l apibrėžta lygtimi

y = y(x), x ∈ [x1, x2]. (2.1)

Taday(x1) = y1, y(x2) = y2. (2.2)

Pagal energijos tvermės dėsnį

mv2

2= mg(y − y1);

čia: m – slenkančio taško masė, g – laisvojo kritimo pagreitis. Kadangi

|v| = dldt

=

√1 + y′2

dx

dt,

tai

dt =

√1 + y′2√

2g(y − y1)dx.

Suintegravę šią lygybę nuo x1 iki x2, gausime

T ≡ I (y) =x2∫x1

√1 + y′2√

2g(y − y1)dx; (2.3)

24 2. VARIACINIS SKAIČIAVIMAS

čia T – laikas, kurį sugaišta materialus taškas, judėdamas kreive l iš taško (x1, y1) įtašką (x2, y2)

Kiekvienai pakankamai glodžiai kreivei l, apibrėžtai (2.1) lygtimi ir tenkinančiai(2.2) sąlygas, (2.3) integralas įgyja konkrečią skaitinę reikšmę. Todėl į jį galima žiūrėtikaip į funkcionalą ir nagrinėjamą uždavinį performuluoti taip:

Tegu y = y(x), x ∈ (a, b) yra diferencijuojama funkcija, tenkinanti (2.2) sąlygą.Aibėje tokių funkcijų reikia rasti tą, kuriai (2.3) funkcionalas įgyja mažiausią reikšmę.

2 u ž d a v i n y s . Tegu v = v(x, y, z) yra šviesos sklidimo nehomogeninėje me-džiagoje greitis. Rasti šviesos sklidimo trajektoriją l, jungiančią taškus (x1, y1, z1) ir(x2, y2, z2).

Tarkime, šviesos sklidimo trajektorija yra apibrėžiama lygtimis:

y = y(x), z = z(x), x ∈ [x1, x2]. (2.4)

Tada

y(x1) = y1, y(x2) = y2, z(x1) = z1, z(x2) = z2. (2.5)

Kadangi

|v| = dldt

=

√1 + y′2 + z′2

dx

dt,

tai šviesos spindulys, išeinantis iš taško (x1, y1, z1), pasieks tašką(x2, y2, z2) per laiką

T ≡ I (y, z) =x2∫x1

√1 + y′2 + z′2

|v(x, y, z)|dx. (2.6)

Pagal Ferma dėsnį šviesa sklinda ta trajektorija, kuria laikas T yra minimalus.

Kiekvienai pakankamai glodžiai trajektorijai l, apibrėžtai (2.4) lygtimis ir tenki-nančiai (2.5) sąlygas, (2.6) integralas įgyja konkrečią skaitinę reikšmę. Todėl į inte-gralą I galime žiūrėti kaip į funkcionalą ir (2.3) uždavinį galime performuluoti taip:

Tegu y = y(x), z = z(x), x ∈ [x1, x2], yra diferencijuojamos funkcijos, tenki-nančios (2.5) sąlygas. Tokių funkcijų aibėje reikia rasti tas, kurioms (2.6) funkcionalasįgyja mažiausią reikšmę.

3 u ž d a v i n y s . Tegu l yra uždaras kontūras erdvėje R3, o S – paviršius, už-temptas ant kontūro l. Tokių paviršių aibėje reikia rasti tą, kurio plotas yra mažiausias.

Tarkime, ortogonalioje koordinačių sistemoje Oxyz paviršius S apibrėžiamas lyg-

2.1. PAPRASČIAUSI VARIACINIO SKAIČIAVIMO UŽDAVINIŲ PAVYZDŽIAI 25

timi z = u(x, y), x, y ∈ Ω, ∂Ω – kontūro l projekcija į plokštumą Oxy (žr. 2.2 pav.).

.......................................................................................................

.........................

.....................

.........................

...........................

.............................

..............................

∂Ω

S

l

....................................................................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...............

..............

.....................................................................................................................

................................................

.......................................

.........................................

.

.......................................................................................................................................................

...................

..................................................

......................................................................................................

................................................................................................

.................................

........................

..................................

.....................................................................................................................................................................

...................

z

x

yΩ

2.2 pav.

Tada paviršiaus S plotas

|S| ≡ I(z) =∫Ω

√1 + u2x + u

2y dxdy. (2.7)

Jeigu taškas (x, y) ∈ ∂Ω, tai taškas (x, y, u(x, y)) ∈ l. Tai reiškia, kad funkcija u(x, y)taškuose (x, y) ∈ ∂Ω įgyja žinomą reikšmę. Šią sąlygą galima užrašyti taip:

u∣∣∂Ω

= ϕ(x, y); (2.8)

čia ϕ – žinoma funkcija.Kiekvienai diferencijuojamai funkcijai z, tenkinančiai (2.8) sąlygą, (2.7) integralas

įgyja konkrečią skaitinę reikšmę. Vadinasi, į integralą I galime žiūrėti kaip į funkcio-nalą. Tai leidžia 3 uždavinį performuluoti taip:

Tegu z = u(x, y) yra diferencijuojama srityje Ω funkcija, tenkinanti (2.8) sąlygą.Tokių funkcijų aibėje reikia rasti tą, kuriai (2.7) funkcionalas įgyja mažiausią reikšmę.

4 u ž d a v i n y s . PlokštumojeOxy yra du taškai, sujungti atkarpa ir kreive l, ku-rios ilgis a. Tokių kreivių aibėje reikia rasti tą, kuri kartu su atkarpa apriboja didžiausioploto figūrą.

Tarkime, kad tie taškai yra x ašyje ir turi koordinates (x1, 0), (x2, 0), o kreivę lgalima apibrėžti lygtimi y = y(x), x ∈ [x1, x2]. Tada

y(x1) = 0, y(x2) = 0. (2.9)

Figūros, apribotos kreive l ir atkarpa [x1, x2], plotas lygus

|S| = I(y) =x2∫x1

y dx. (2.10)

Kreivės l ilgis

|l| = G(y) =x2∫x1

√1 + y′2 dx. (2.11)

26 2. VARIACINIS SKAIČIAVIMAS

Kiekvienai diferencijuojamai funkcijai y = y(x), x ∈ [x1, x2], tenkinančiai (2.9)sąlygą, (2.10) ir (2.11) integralai įgyja konkrečias skaitines reikšmes. Todėl į juosgalima žiūrėti kaip į funkcionalus ir 4 uždavinį performuluoti taip:

Tegu y = y(x), x ∈ [x1, x2], yra diferencijuojama funkcija, tenkinanti (2.9) są-lygą. Tokių funkcijų aibėje reikia rasti tą, kuriai (2.10) funkcionalas įgyja mažiausiąreikšmę, o (2.11) funkcionalas įgyja reikšmę a.

Visuose šiuose uždaviniuose ieškome funkcijos (arba kelių funkcijų ), kuri tenki-na tam tikras papildomas sąlygas ir suteikia funkcionalui ekstremalią, t.y. minimaliąarba maksimalią, reikšmę. Tiesa, 4 uždavinyje ieškomoji funkcija kartu su (2.9) turitenkinti dar ir (2.11) sąlygą, kuri yra visai kitokio pobūdžio. Apibendrindami šiuosuždavinius sakysime, kad pagrindinis variacinio skaičiavimo uždavinys yra rasti tokiąfunkciją, kuriai nagrinėjamas funkcionalas įgyja ekstremalią reikšmę. Šis uždavinysyra analogiškas elementariems analizės uždaviniams, kai yra ieškomi vienos arba keliųkintamųjų funkcijos ekstremumo taškai. Vieno kintamojo diferencijuojamos funkcijosf atveju sąlyga f ′(x) = 0 yra būtina lokalaus ekstremumo egzistavimo sąlyga. Funkci-onalo atveju taip pat yra išvedama būtina ekstremumo egzistavimo sąlyga. Dažniausiaitai yra dalinių išvestinių lygtis. Ją turi tenkinti ieškomoji funkcija, jeigu tik ji egzis-tuoja. Išvesdami būtiną ekstremumo egzistavimo sąlygą, naudosime kelis teiginius. Jieyra vadinami pagrindinėmis variacinio skaičiavimo lemomis.

2.2. PAGRINDINĖS VARIACINIO SKAIČIAVIMO LEMOS 27

2.2. PAGRINDINĖS VARIACINIO SKAIČIAVIMO LEMOS

2.1 lema. Tegu f yra tolydi segmente [a, b] funkcija ir

b∫a

f(x)η(x) dx = 0, ∀η ∈ C∞0 (a, b) .

Tada f(x) ≡ 0, ∀x ∈ [a, b].

/ Tarkime priešingai, kad lemos sąlygos yra patenkintos, tačiau funkcija f(x) 6≡ 0.Tada egzistuoja taškas x0 ∈ [a, b] : f(x0) 6= 0. Tegu f(x0) > 0. Kadangi funkcija fyra tolydi, tai egzistuoja taško x0 aplinka (x0 − ε, x0 + ε) tokia, kad f(x) > 0, ∀x ∈(x0−ε, x0+ε). Jeigu taškas x0 yra segmento [a, b] kraštinis taškas, pavyzdžiui, x0 = b,tai reikia imti vienpusę šio taško aplinką. Aibėje C∞0 (a, b) imkime kokią nors funkcijąη, kuri yra teigiama ∀x ∈ (x0−ε, x0 +ε) ir lygi nuliui, kai x ∈ [a, b]\ [x0−ε, x0 +ε].Tada

0 =

b∫a

f(x)η(x) dx =

x+ε∫x−ε

f(x)η(x) dx > 0.

Gauta prieštara įrodo, kad padaryta prielaida yra neteisinga. Taigi f(x) = 0, ∀x ∈[a, b]. Atvejis, kai f(x0) < 0, nagrinėjamas analogiškai. .

Toks pats teiginys yra teisingas dvilypių , trilypių ir apskritai n-lypių integralųatveju.

2.2 lema. Tegu Ω yra aprėžta erdvėje Rn sritis, f ∈ C(Ω) ir∫Ω

f(x)η(x) dx = 0, ∀η ∈ C∞0 (Ω) .

Tada f(x) ≡ 0, ∀x ∈ Ω.

P a s t a b a . Šios lemos įrodymas yra analogiškas 2.1 lemos įrodymui. Be to,2.2 lema išlieka teisinga ir tuo atveju, jeigu joje sritį Ω pakeisime glodžiu n-mačiupaviršiumi S.

Kitų trijų lemų įrodymas yra visiškai kitokio pobūdžio.

2.3 lema. Tegu f yra tolydi segmente [a, b] funkcija ir

b∫a

f(x)η′(x) dx = 0, ∀η ∈ C1(a, b) : η(a) = η(b) = 0.

Tada funkcija f yra konstanta.

28 2. VARIACINIS SKAIČIAVIMAS

/ Pažymėkime

1

b− a

b∫a

f(x) dx = C.

Tadab∫a

(f(x)− C) dx = 0. (2.12)

Tegu

η(x) =

x∫a

(f(t)− C) dt.

Akivaizdu, kad taip apibrėžta funkcija η tenkina lemos sąlygas, o jos išvestinė η′(x) =f(x)− C. Todėl

b∫a

(f(x)− C)f(x) dx = 0. (2.13)

Padauginę (2.12) lygybę iš −C ir pridėje prie (2.13), rezultatą užrašysime taip:b∫a

(f(x)− C)2 dx = 0.

Tačiau ši lygybė yra galima tik tuo atveju, kai f(x) = C, ∀x ∈ [a, b]. .Šį teiginį galima apibendrinti.

2.4 lema. Tegu f yra tolydi intervale [a, b] funkcija ir

b∫a

f(x)η(n)(x) dx = 0,

∀η ∈ Cn(a, b) : η(a) = · · · = η(n−1)(a) = 0, η(b) = · · · = η(n−1)(b) = 0.Tada

f(x) = C0 + C1(x− a) + C2(x− a)2 + · · ·+ Cn−1(x− a)n−1;

čia C0, C1, C2, . . . , Cn−1 yra tam tikros konstantos.

Šio teiginio įrodymą galima rasti [1] knygoje.

2.5 lema. Tegu f ir g yra tolydžios segmente [a, b] funkcijos ir

b∫a

(g(x)η(x) + f(x)η′(x)) dx = 0, ∀η ∈ C1(a, b) : η(a) = η(b) = 0. (2.14)

Tada f ∈ C1(a, b) ir f ′(x) = g(x), ∀x ∈ [a, b].

2.2. PAGRINDINĖS VARIACINIO SKAIČIAVIMO LEMOS 29

/ Tegu

w(x) =

x∫a

g(t) dt.

Tadab∫a

w(x)η′(x) dx = −b∫a

g(x)η(x) dx

ir (2.14) tapatybę galime perrašyti taip:

b∫a

(f(x)− w(x))η′(x) dx = 0, ∀η ∈ C10(a, b) .

Funkcija f − w tenkina 2.4 lemos sąlygas. Todėl ji yra konstanta, t.y.

f(x) =

x∫a

g(t) dt+ C.

Taip apibrėžta funkcija f yra tolydi ir turi tolydžią išvestinę f ′ = g. .

30 2. VARIACINIS SKAIČIAVIMAS

2.3. BŪTINA EKSTREMUMO EGZISTAVIMO SĄLYGA.OILERIO LYGTIS. ĮVAIRŪS APIBENDRINIMAI

Tegu Ω ⊂ R2, F ∈ C(Ω× R); l – glodi kreivė, gulinti srityje Ω ir jungianti du taškus.Tarkime, kreivę l galima apibrėžti lygtimi y = y(x), x ∈ [a, b] ir y(a) = α, y(b) = β.Tada ∀x ∈ [a, b] taškas (x, y(x)) ∈ Ω. Aibę diferencijuojamų funkcijų , tenkinančiųšias sąlygas, pažymėkime raide M.

Suformuluosime pagrindinį variacinio skaičiavimo uždavinį. Tegu

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx, y ∈M. (2.15)

Rasti funkciją y ∈M tokią, kad funkcionalas I įgytų ekstremalią, t.y. minimalią arbamaksimalią, reikšmę.

Šiuo atveju yra kalbama apie absoliutų jį ekstremumą. Norint apibrėžti lokalausekstremumo sąvoką, reikia apibrėžti funkcijos (kreivės) aplinkos sąvoką.

Tegu ε > 0 yra fiksuotas skaičius ir y ∈ M. Funkcijos y nulinės eilės (arbastipriąja) ε aplinka vadinsime aibę

M0 = {ỹ ∈M : maxx∈[a,b]

|ỹ(x)− y(x)| ≤ ε}.

Funkcijos y pirmosios eilės (arba silpnąja) ε aplinka vadinsime aibę

M1 = {ỹ ∈M : maxx∈[a,b]

|ỹ(x)− y(x)|+ maxx∈[a,b]

|ỹ ′(x)− y′(x)| ≤ ε}.

A p i b r ė ž i m a s . Sakysime, kad funkcija y ∈ M suteikia funkcionalui Istiprų jį (silpnąjį) lokalų ekstremumą, jeigu kokioje nors stipriojoje ε aplinkoje M0(silpnojoje ε aplinkoje M1)

I(y) ≤ I(ỹ), ∀ ỹ ∈M0 (∀ ỹ ∈M1)

arbaI(y) ≥ I(ỹ ), ∀ ỹ ∈M0 (∀ ỹ ∈M1).

Jeigu kokia nors funkcija y suteikia funkcionalui I absoliutų jį ekstremumą, tai jisuteikia ir stiprų jį lokalų ekstremumą, tuo labiau ir silpnąjį lokalų ekstremumą. Todėl,jeigu kokia nors sąlyga yra būtina tam, kad funkcija y suteiktų funkcionalui I silpnąjįlokalų ekstremumą, tai ši sąlygą yra būtina ir tam, kad funkcija y suteiktų funkcionaluiI stiprų jį lokalų ekstremumą, tuo labiau ir absoliutų jį ekstremumą. Taigi išvedant bū-tiną ekstremumo sąlygą, reikia išnagrinėti silpnojo lokalaus ekstremumo atvejį .

Toliau vietoje natūralios tolydumo sąlygos reikalausime, kad funkcija F turėtųtolydžias dalines išvestines iki antrosios eilės imtinai pagal visus savo argumentus.Atkreipsime dėmesį į tai, kad, įrodant kai kuriuos teiginius, pakanka reikalauti tikpirmųjų išvestinių tolydumo.

Tarkime, funkcija y ∈M suteikia (2.15) funkcionalui silpnąjį lokalų ekstremumą,o funkcija η ∈ C10(a, b) . Funkcija y + εη priklauso kokiai nors silpnai funkcijos y

2.3. BŪTINA EKSTREMUMO EGZISTAVIMO SĄLYGA 31

aplinkai, jeigu skaičiaus εmodulis yra pakankamai mažas. Todėl tokioms ε reikšmėmsyra teisinga viena iš nelygybių

I(y) ≤ I(y + εη) arba I(y) ≥ I(y + εη).

Tegu Φ(ε) = I(y + εη). Pagal apibrėžimą

Φ′(0) = limε→0

I(y + εη)− I(y)ε

=

b∫a

[Fy(x, y, y

′)η(x) + Fy′(x, y, y′)η′(x)

]dx.

Taškas ε = 0 yra funkcijos Φ lokalaus ekstremumo taškas. Todėl Φ′(0) = 0. Šiąsąlygą galima perrašyti taip:

b∫a

[Fy(x, y, y

′)η(x) + Fy′(x, y, y′)η′(x)

]dx = 0, ∀η ∈ C10(a, b) . (2.16)

Taigi funkcija y turi tenkinti (2.16) integralinę tapatybę.Atvirkštinis teiginys yra neteisingas. Jeigu funkcija y ∈M tenkina (2.16) integra-

linę tapatybę, tai nebūtinai ji suteikia funkcionalui silpnąjį lokalų ekstremumą. Šiuoatveju sakysime, kad funkcionalas I įgyja stacionariąją reikšmę, o funkcija y yra sta-cionarusis funkcionalo I taškas.

Panaudoję integravimo dalimis formulę, perrašysime (2.16) integralinę tapatybętaip:

b∫a

[Fy′(x, y, y

′)−x∫a

Fy(t, y(t), y′(t)) dt

]η′(x) dx = 0, ∀η ∈ C10(a, b) .

Pagal 2.3 lemą funkcija y turi tenkinti lygtį

Fy′(x, y, y′)−

x∫a

Fy(t, y(t), y′(t)) dt = C. (2.17)

Ši lygtis yra vadinama Oilerio lygtimi (integraline forma).Įrodytą teiginį galima suformuluoti taip: jeigu funkcija y ∈M suteikia funkciona-

lui I silpnąjį lokalų ekstremumą, tai egzistuoja konstanta C tokia, kad funkcija y yra(2.17) integralinės lygties sprendinys.

P a s t a b a . Išvesdami (2.17) lygtį , nesinaudojome tuo, kad funkcija F turi toly-džią išvestinę Fx. Galima įrodyti (žr. [1]), kad funkcija y tenkina taip pat integralinęlygtį

F (x, y, y′)− y′Fy′(x, y, y′)−x∫a

Fx(t, y(t), y′(t)) dt = C, x ∈ [a, b]. (2.18)

32 2. VARIACINIS SKAIČIAVIMAS

Grįžkime dabar prie (2.16) integralinės tapatybės. Pagal 2.5 lemą koeficientas prieη′ turi tolydžią kintamojo x atžvilgiu išvestinę. Todėl (2.16) integralinę tapatybę gali-ma perrašyti taip:

Fy′(x, y, y′)η∣∣∣x=bx=a

+

b∫a

[Fy(x, y, y

′)− ddx

(Fy′(x, y, y

′))]η(x) dx = 0,

∀η ∈ C10(a, b) . Kadangi η(a) = η(b) = 0, tai

b∫a

[Fy(x, y, y

′)− ddx

(Fy′(x, y, y

′))]η(x) dx = 0, ∀η ∈ C10(a, b) .

Šioje integralinėje tapatybėje reiškinys, esantis laužtiniuose skliaustuose, tenkina 2.1lemos sąlygas. Todėl funkcija y yra diferencialinės lygties

Fy(x, y, y′)− d

dx

(Fy′(x, y, y

′))

= 0 (2.19)

sprendinys. Ši lygtis yra vadinama Oilerio lygtimi (diferencialine forma).Įrodytą teiginį galima suformuluoti taip: jeigu funkcija y ∈M suteikia funkciona-

lui I silpnąjį lokalų ekstremumą, tai ji turi tenkinti (2.19) lygtį .P a s t a b a . Funkcija Fy′(x, y, y′) turi pilnąją tolydžią kintamojo x atžvilgiu

išvestinę. Tačiau jos negalima skleisti pagal žinomą sudėtinės funkcijos diferencija-vimo formulę, t.y. negalima panauduoti formulės

d

dx(Fy′) = Fxy′ + Fyy′ + Fy′y′y

′′,

nes funkcija y turi tik pirmosios eilės tolydžią išvestinę y′.Įrodysime, kad išvestinė y′′ egzistuoja ir yra tolydi, jeigu Fy′y′ 6= 0. Šis teiginys

kartais yra vadinamas Hilberto teorema. Funkcijos F antros eilės išvestinės Fxy′ , Fyy′ ,Fy′y′ yra tolydžios. Todėl

Fy′(x+ ∆x, y(x+ ∆x), y′(x+ ∆x))− Fy′(x, y(x), y′(x))

∆x=

= [Fxy′ ] + [Fyy′ ]∆y

∆x+ [Fy′y′ ]

∆y′

∆x.

Čia reiškiniai laužtiniuose skliaustuose yra atitinkamų išvestinių reikšmės tarpiniuose

taškuose. Be to, kai ∆x→ 0, reiškinys kairėje šios lygybės pusėje turi ribą ddx

(Fy′), o

reiškiniai [Fxy′ ], [Fyy′ ],∆y∆x, ir [Fy′y′ ] artėja atitinkamai prie Fxy′ , Fyy′ , y

′, ir Fy′y′ .

Todėl, jeigu Fy′y′ 6= 0, tai reiškinys ∆y′

∆x turi ribą ir

lim∆x→0

∆y′

∆x:= y′′ =

ddx (Fy′)− Fxy′ − Fyy′y

′

Fy′y′.

2.3. BŪTINA EKSTREMUMO EGZISTAVIMO SĄLYGA 33

Taigi, jeigu Fy′y′ 6= 0, išvestinė y′′ yra tolydi ir (2.19) Oilerio lygtį galima perrašytitaip:

Fy′y′y′′ + Fyy′y

′ + Fxy′ − Fy = 0. (2.20)

Ši lygtis yra diferencialinė antros eilės lygtis, o jos bendrasis integralas turi dvi laisvą-sias konstantas. Jas galima surasti iš šių sąlygų :

y(a) = α, y(b) = β. (2.21)

P a s t a b a . Jeigu Fy′y′ = 0 tik kai kuriuose taškuose, tai šiuose taškuose išvesti-nė y′′ arba neegzistuoja, arba turi trūkį .

Antros eilės lygtims, iš kurių galima išreikšti išvestinę y′′, yra teisinga tokia teo-rema.

2.1 teorema. (Bernšteino) Lygtis

y′′ = Φ(x, y, y′)

turi vienintelį sprendinį, tenkinantį (2.21) sąlygas, jeigu funkcija Φ ir jos išvestinėsΦy, Φy′ yra tolydžios ir egzistuoja konstanta k bei aprėžtos neneigiamos funkcijosν(x, y), µ(x, y) tokios, kad

|Φ(x, y, y′)| ≤ ν(x, y)y′2 + µ(x, y), Φy(x, y, y′) > k.

Šios teoremos įrodymą galima rasti [1] knygoje.Kelių funkcijų atvejis nagrinėjamas analogiškai. Tegu y = (y1, . . . , yn) yra toly-

džiai diferencijuojama vektorinė funkcija, tenkinanti sąlygas

y(a) = α, y(b) = β, α = (α1, . . . , αn), β = (β1, . . . , βn). (2.22)

Tokių funkcijų aibėje nagrinėsime funkcionalą

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx. (2.23)

Pagrindinis variacinio skaičiavimo uždavinys, taip pat stipriojo ir silpnojo lokalausekstremumo sąvokos šiam funkcionalui formuluojamos taip kaip ir vienos funkcijosatveju.

Tarkime, kad funkcija y, tenkinanti aukščiau nurodytas sąlygas, suteikia (2.23)funkcionalui silpną lokalų ekstremumą. Tada kiekvienai fiksuotai vektorinei funkci-jai η = (η1, . . . , ηn), ηi ∈ C10(a, b), i = 1, 2, . . . , n, ir vektoriui ε = (ε1, . . . , εn), εi– neneigiami realūs skaičiai, yra teisinga viena iš nelygybių

I(y) ≤ I(y + εη), I(y) ≥ I(y + εη), εη = (ε1η1, . . . , εnηn),

jeigu tik skaičius |ε| =( n∑i=1

ε2i

)1/2yra pakankamai mažas. Tegu

Φ(ε) = I(y + εη).

34 2. VARIACINIS SKAIČIAVIMAS

Pagal apibrėžimą

Φεk(0) =

b∫a

[Fyk(x, y, y

′)ηk(x) + Fy′k(x, y, y′)η′k(x)

]dx, ∀k = 1, 2, . . . , n.

Taškas ε = 0 yra funkcijos Φ lokalaus ekstremuno taškas. Todėl Φ′εk(0) = 0, ∀k =1, 2, . . . , n. Taigi ∀k = 1, 2, . . . , n funkcija yk turi tenkinti integralinę tapatybę

b∫a

[Fyk(x, y, y

′)ηk(x) + Fy′k(x, y, y′)η′k(x)

]dx = 0.

Toliau, kaip ir vienos funkcijos atveju, galima įrodyti, kad ∀k = 1, 2, . . . , n funkcijayk tenkina Oilerio lygtį integraline forma:

Fy′k(x, y, y′)−

x∫a

Fyk(t, y(t), y′(t)) dt = Ck (2.24)

ir Oilerio lygtį diferencialine forma:

Fyk(x, y, y′)− d

dx

(Fy′k(x, y, y

′))

= 0. (2.25)

P a s t a b a . Jeigu funkcija y suteikia (2.23) funkcionalui silpną lokalų ekstremu-mą ir determinantas

det|Fy′ky′l(x, y, y′)| 6= 0,

tai galima įrodyti (žr. [1]), kad ∀k = 1, 2, . . . , n funkcija yk turi antros eilės tolydžiasišvestines. Šiuo atveju (2.25) Oilerio lygtys yra antros eilės lygtys ir jų bendrieji in-tegralai turi 2n laisvų jų konstantų . Ieškomoji vektorinė funkcija y turi tenkinti (2.22)sąlygas. Į jas įeina lygiai 2n skaliarinių sąlygų . Taigi laisvų jų konstantų yra lygiaitiek pat, kiek ir sąlygų joms rasti.

Aukštesnės eilės išvestinių atveju nagrinėsime funkcionalą

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′, . . . , y(n)) dx. (2.26)

Tarkime, funkcija y yra n kartų tolydžiai diferencijuojama ir tenkina sąlygas

y(a) = α, y′(a) = α1, . . . , y(n−1)(a) = αn−1, (2.27)

y(b) = β, y′(b) = β1, . . . , y(n−1)(b) = βn−1, (2.28)

o funkcija F turi pirmos eiles tolydžias dalines išvestines pagal visus argumentus.Absoliutaus ekstremumo uždavinys (2.26) funkcionalui formuluojamas taip kaip

ir (2.15) funkcionalui. Lokalaus ekstremumo uždavinį galima apibrėžti įvairiai. Taipriklauso nuo to, kaip apibrėšime kreivės aplinkos sąvoką. Nagrinėjamu atveju kreivės

2.3. BŪTINA EKSTREMUMO EGZISTAVIMO SĄLYGA 35

aplinkos sąvoką natūraliai galima apibrėžti nuo nulinės iki n-osios eilės. Nulinės eilėsaplinka yra vadinama stipriąja, o n-osios eilės aplinka – silpnąja.

Tegu funkcija y, tenkinanti išvardytas sąlygas, suteikia (2.26) funkcionalui lokalųekstremumą (nesvarbu kokį), o funkcija η ∈ Cn0(a, b). Tada realaus kintamojo funkcijaΦ(ε) = I(y + εη) taške ε = 0 turi lokalų ekstremumą ir

Φ′(0) =

b∫a

[Fy(x, y, y

′)η(x) + Fy′(x, y, y′)η′(x) + · · ·

+Fy(n)(x, y, y′)η(n)(x)

]dx = 0.

Kelis kartus pritaikę integravimo dalimis formulę, perrašysime šią tapatybę taip:

b∫a

{Fy(n) −

x∫a

Fy(n−1) dx+

x∫a

x∫a

Fy(n−2) dxdx− · · ·

+ (−1)nx∫a

· · ·x∫a

Fy dx · · · dx}· η(n)(x) dx = 0. (2.29)

Kadangi reiškinys figūriniuose skliaustuose tenkina 2.4 lemos sąlygas, tai funcija y turitenkinti integralinę Oilerio lygtį :

Fy(n) −x∫a

Fy(n−1) dx+

x∫a

x∫a

Fy(n−2) dxdx− · · · (2.30)

+(−1)nx∫a

· · ·x∫a

Fy dx · · · dx = C0 + C1(x− a) + · · ·+ Cn−1(x− a)n−1.

Diferencijuodami ją n kartų , gausime diferencialinę Oilerio lygtį :

d

dx

(· · · d

dx

{ ddx

[ ddxFy(n) − Fy(n−1)

]+ Fy(n−2)

}− · · · (2.31)

+(−1)nFy′)

+ (−1)nFy = 0.

Jeigu funkcija F turi tolydžias dalines išvestines pagal visus savo argumentus iki (n+1)-os eilės imtinai, o funkcija y – tolydžias išvestines iki 2n-os eilės imtinai, tai (2.31)lygtį galima perrašyti taip:

Fy −d

dxFy′ + · · ·+ (−1)n

dn

dxnFy(n) = 0. (2.32)

Daugialypio integralo atveju nagrinėsime funkcionalą

I(u) =

∫Ω

F (x, u, ux) dx. (2.33)

36 2. VARIACINIS SKAIČIAVIMAS

Čia: Ω ⊂ Rn – aprėžta sritis; S = ∂Ω – dalimis glodus paviršius; F – funkcija, turintitolydžias dalines išvestines iki antros eilės imtinai pagal visus savo argumentus; u –tolydžiai diferencijuojama srityje Ω funkcija, tenkinanti sąlygą

u∣∣S

= ϕ(x), x ∈ S, ϕ ∈ C(S) . (2.34)

Tokių funkcijų u aibėje reikia rasti tą, kuri (2.33) funkcionalui suteikia absoliutų eks-tremumą. Lokalaus (silpnojo ir stipriojo) ekstremumo sąvokos (2.33) funkcionaluiapibrėžiamos visiškai taip pat kaip ir vienmačiu atveju. Reika tik apibrėžti funkcijos usilpnąją ir stipriąją aplinkas.

Tarkime, aibėje funkcijų , tenkinančių nurodytas sąlygas, egzistuoja tokios, ku-rioms (2.33) funkcionalas įgyja baigtinę reikšmę. Daugiamačiu atveju, skirtingai nuovienmačio, gali nebūti nė vienos diferencijuojamos funkcijos, tenkinančios (2.34) są-lygą, kuriai (2.33) funkcionalas įgytų baigtinę reikšmę. Smulkiau apie tai žr. [1]knygoje.

Tegu funkcija u, tenkinanti (2.34) sąlygą, suteikia (2.33) funkcionalui silpną lokalųekstremumą, o funkcija η ∈ C10(Ω). Be to, tegu srityje Ω funkcija u yra dukart dife-rencijuojama. Funkcija u + εη yra kokioje nors silpnoje funkcijos u aplinkoje, jeiguskaičiaus ε modulis yra pakankamai mažas. Todėl tokiems ε yra teisinga viena iš nely-gybių

I(u) ≤ I(u+ εη), I(u) ≥ I(u+ εη).

Tegu Φ(ε) = I(u+ εη). Pagal apibrėžimą

Φ′(0) =

∫Ω

[Fu(x, u, ux)η(x) +

n∑k=1

Fuxk (x, u, ux)ηxk(x)]dx.

Taškas ε = 0 yra realaus kintamojo funkcijos Φ lokalaus ekstremumo taškas. TodėlΦ′(0) = 0 ir ∀η ∈ C10(Ω) yra teisinga integralinė tapatybė:∫

Ω

[Fu(x, u, ux)η(x) +

n∑k=1

Fuxk (x, u, ux)ηxk(x)]dx = 0. (2.35)

Pritaikę integravimo dalimis formulę, šią tapatybę perrašysime taip:∫Ω

[Fu(x, u, ux)−

n∑k=1

d

dxk

(Fuxk (x, u, ux)

)]η(x) dx+

+

∫S

n∑k=1

Fuxk (x, u, ux) cos(n, xk)η(x) dS = 0, ∀η ∈ C10(Ω) .

Funkcija η(x) = 0, kai x ∈ S. Todėl integralas paviršiumi S yra lygus nuliui ir yrateisinga integralinė tapatybė∫

Ω

[Fu(x, u, ux)−

n∑k=1

d

dxk

(Fuxk (x, u, ux)

)]η(x) dx = 0, ∀η ∈ C10(Ω) .

2.3. BŪTINA EKSTREMUMO EGZISTAVIMO SĄLYGA 37

Reiškinys, esantis laužtiniuose skliaustuose, tenkina 2.1 lemos sąlygą. Todėl jis yralygus nuliui, t.y.

Fu(x, u, ux)−n∑k=1

d

dxk

(Fuxk (x, u, ux)

)= 0. (2.36)

Įrodytą teiginį suformuluosime taip: jeigu dukart tolydžiai diferencijuojama funkcijau suteikia (2.33) funkcionalui bent silpną lokalų ekstremumą, tai ji turi tenkinti (2.36)Oilerio lygtį .

Glodus Oilerio lygties sprendinys vadinamas ją atitinkančio funkcionalo ekstre-male. Aišku, ekstremalė ne visada suteikia funkcionalui silpną lokalų ekstremumą.Nagrinėjamu atveju, kaip ir vieno realaus kintamojo funkcijai, reikalingas papildomastyrimas.

P a s t a b a . Išvesdami (2.36) lygtį reikalavome, kad funkcija u būtų dukart dife-rencijuojama. Priminsime, kad vienmačiu atveju reikalavome tik pirmos išvestinėstolydumo, o antros eilės išvestinės tolydumą įrodėme. Be to, vienmačiu atveju išpradžių išvedėme integralinę Oilerio lygtį (į kurią įeina tik pirmosios išvestinės), opo to diferencialinę (į kurią jau įeina ir antrosios išvestinės). Analogiška teorija yragalima ir daugiamačiu atveju. Tačiau ji jau nėra tokia paprasta.

38 2. VARIACINIS SKAIČIAVIMAS

2.4. BENDRESNI FUNKCIONALAI.NATŪRALIOSIOS KRAŠTINĖS SĄLYGOS

Į rodyti 2.3 skyrelio teiginiai išlieka teisingi ir bendresnių pavidalų funkcionalams.Dažniausiai tai funkcionalai, į kuriuos, be įprasto integralo, įeina papildomi nariai,priklausantys nuo žinomų funkcijų reikšmių integravimo rėžių taškuose arba integra-vimo srities kraštiniuose taškuose. Įrodysime, kad tokiems fukcionalams Oilerio lygtisišlieka ta pati, o papildomi nariai turi į takos tik kraštinėms sąlygoms. Be to, skirtingainuo ankščiau išnagrinėtų uždavinių , nereikalausime, kad ieškomoji funkcija tenkintųkokias nors išankstines sąlygas.

Vienmačiu atveju nagrinėsime funkcionalą

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx+ ϕ(y(a)) + ψ(y(b)); (2.37)

čia: F – funkcija, turinti tolydžias dalines išvestines pagal visus argumentus iki antroseilės imtinai, o ϕ ir ψ – diferencijuojamos funkcijos.

Tarkime, kad dukart diferencijuojama funkcija y suteikia (2.37) funkcionalui bentsilpną lokalų ekstremumą. Laisvai pasirenkame funkciją η ∈ C1[a, b] . Funkcija y +εη priklauso kokiai nors silpnai funkcijos y aplinkai, jeigu tik skaičiaus ε modulisyra pakankamai mažas. Priminsime, kad taškuose a ir b funkcijai y nekeliame jokiųišankstinių sąlygų . Todėl funkcija η taškuose a ir b gali įgyti bet kokias reikšmes.

Tegu Φ(ε) = I(y + εη). Tada

Φ′(0) = limε→0

I(y + εη)− I(y)ε

=

=

b∫a

[Fy(x, y, y′)η(x) + Fy′(x, y, y

′)η′(x)] dx+ ϕ′(y(a))η(a) + ψ′(y(b))η(b).

Taškas ε = 0 yra lokalaus ekstremumo taškas. Todėl Φ′(0) = 0. Taigi funkcija y turitenkinti integralinę tapatybę

b∫a

[Fy(x, y, y′)η(x) + Fy′(x, y, y

′)η′(x)] dx+ ϕ′(y(a))η(a) + ψ′(y(b))η(b) = 0.

Panaudoję integravimo dalimis formulę, ją perrašysime taip:

b∫a

[Fy(x, y, y

′)− ddx

(Fy′(x, y, y

′))]η(x) dx+

+ Fy′(x, y, y′)η(x)

∣∣∣x=bx=a

+ ϕ′(y(a))η(a) + ψ′(y(b))η(b) = 0. (2.38)

2.4. BENDRESNI FUNKCIONALAI 39

Imdami η ∈ C10(a, b), gausime, kad funcija y turi tenkinti Oilerio lygtį :

Fy −d

dx

(Fy′)

= 0. (2.39)

Grįžkime dabar prie (2.38) integralinės tapatybės. Kadangi funkcija y tenkina (2.39)Oilerio lygtį , tai (2.38) tapatybę galima perrašyti taip:

Fy′(x, y, y′)η(x)

∣∣∣x=bx=a

+ ϕ′(y(a))η(a) + ψ′(y(b))η(b) = 0.

Priminsime, kad funkcija η taškuose a ir b gali įgyti bet kokias reikšmes. Todėlpaskutinėje tapatybėje koeficientai prie η(a) ir prie η(b) turi būti lygus nuliui, t.y.taškuose a ir b turi būti patenkintos tokios sąlygos:

Fy′∣∣x=a

= ϕ′(y(a)), (2.40)

Fy′∣∣x=b

= −ψ′(y(b)). (2.41)

Šios kraštinės sąlygos yra vadinamos natūraliosiomis kraštinėmis sąlygomis.Daugiamačiu atveju nagrinėsime funkcionalą

I(u) =

∫Ω

F (x, u, ux) dx+

∫S

ϕ(x, u) dS; (2.42)

čia: Ω yra aprėžta sritis erdvėje Rn, S = ∂Ω – dalimis glodus paviršius, F ir ϕ –pakankamai glodžios funkcijos.

Tarkime, dukart diferencijuojama srityje Ω funkcija u suteikia (2.42) funkcionaluibent silpną lokalų ekstremumą. Laisvai pasirenkame funkciją η ∈ C1(Ω) ir skaičiųε, kurio modulis yra pakankamai mažas. Tada funkcija u + εη priklauso kokiai norssilpnai funkcijos u aplinkai, o realaus kintamojo funkcija Φ(ε) = I(u + εη) taškeε = 0 įgyja ekstremalią reikšmę. Todėl jos išvestinė taške ε = 0 yra lygi nuliui. Šiąsąlygą galima užrašyti taip:∫

Ω

[Fu(x, u, ux)−

n∑k=1

d

dxk

(Fuxk (x, u, ux)

)]η(x) dx+

+

∫S

[ n∑k=1

Fuxk (x, u, ux) cos(n, xk)η(x) + ϕu(x, u)]η(x) dS = 0, (2.43)

∀η ∈ C1(Ω) . Imkime η ∈ C10(Ω) . Tada integralas paviršiumi S paskutinėje tapatybėjebus lygus nuliui. Atmetę jį , gausime tapatybę∫

Ω

[Fu(x, u, ux)−

n∑k=1

d

dxk

(Fuxk (x, u, ux)

)]η(x) dx = 0.

40 2. VARIACINIS SKAIČIAVIMAS

Pagal 2.2 lemą ši tapatybė yra galima tik tuo atveju, kai funkcija u tenkina Oileriolygtį :

Fu −n∑k=1

d

dxk

(Fuxk

)= 0. (2.44)

Grįžkime dabar prie (2.43) integralinės tapatybės. Kadangi funkcija u tenkina (2.44)lygtį , tai (2.43) tapatybėje integralas sritimi Ω lygus nuliui ir yra teisinga tapatybė∫

S

[ n∑k=1

Fuxk (x, u, ux) cos(n, xk) + ϕu(x, u)]η(x) dS = 0, ∀η ∈ C1(Ω) .

Kadangi funkcija η paviršiaus S taškuose gali įgyti bet kokias reikšmes, tai ši tapatybėyra galima tik tuo atveju, kai reiškinys laužtiniuose skliaustuose yra lygus nuliui, t.y.paviršiaus S taškuose funkcija u turi tenkinti sąlygą

n∑k=1

Fuxk (x, u, ux) cos(n, xk) + ϕu(x, u) = 0, x ∈ S.

Ši kraštinė sąlyga taip pat yra vadinama natūraliąja kraštine sąlyga.

2.5. KINTAMŲ INTEGRAVIMO RĖŽIŲ ATVEJIS 41

2.5. KINTAMŲ INTEGRAVIMO RĖŽIŲ ATVEJIS

Tegu l1 ir l2 yra kokios nors kreivės plokštumoje R2, o l – glodi kreivė, kurios vienasgalas yra kreivėje l1, o kitas – kreivėje l2. Tokių kreivių aibę pažymėkime raide M.Tarkime, kad kreives l, l1 ir l2 galima apibrėžti atitinkamai lygtimis: y = y(x), y =α(x) ir y = β(x). Aibėje M ieškosime kreivės l : y = y(x), kuri funkcionalui

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx (2.45)

suteikia ekstremumą.Tarkime, kreivė l : y = y(x) suteikia (2.45) funkcionalui silpną lokalų ekstremu-

mą, o kreivės l(ε) : y = y(x, ε) yra "artimos" kreivei l ir y(x, 0) = y(x). Kadangi"artimas" kreives turime imti iš aibės M, tai jų galai turi gulėti kreivėse l1 ir l2 (žr. 2.3pav.).

....

....

..

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

..

..............................................

..........................................................

.....................................................................................

..............................................

..........................................................

.................................................................................

..................................................................................................................

.........................................................................

..........

.........................

.......................

.....................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...................

..............

...............................

..............

......................................

y(x)

y(x, ε)

l1

l2y

xa a(ε) b b(ε)

2.3 pav.

Tarkime, kreivės l(ε) taškai, esantys kreivėse l1 ir l2, turi koordinates a(ε), y(a(ε), ε

)ir b(ε), y

(b(ε), ε

). Akivaizdu, kad a(0) = a, b(0) = b.

Įstatykime į (2.45) integralą vietoje funkcijos y funkciją y(x, ε), o integravimorėžius a ir b pakeiskime rėžiais a(ε) ir b(ε). Taškas ε = 0 yra funkcijos

Φ(ε) =

b(ε)∫a(ε)

F (x, y(x, ε), y′(x, ε)) dx

lokalaus ekstremumo taškas. Todėl Φ′(0) = 0. Kadangi

Φ′(0) = b′(0) · F (x, y, y′)∣∣x=b− a′(0) · F (x, y, y′)

∣∣x=a

+

+

b(ε)∫a(ε)

[Fy(x, y, y

′)∂y(x, ε)

∂ε+ Fy′(x, y, y

′)∂y′(x, ε)

∂ε

]dx∣∣∣ε=0

,

tai funkcija y turi tenkinti integralinę tapatybę

b′(0) · F (x, y, y′)∣∣x=b− a′(0) · F (x, y, y′)

∣∣x=a

+

42 2. VARIACINIS SKAIČIAVIMAS

+

b(ε)∫a(ε)

[Fy(x, y, y

′)∂y(x, ε)

∂ε+ Fy′(x, y, y

′)∂y′(x, ε)

∂ε

]dx∣∣∣ε=0

= 0. (2.46)

Pastebėsime, kad

b(ε)∫a(ε)

Fy′(x, y, y′)∂y′(x, ε)

∂εdx∣∣∣ε=0

=

b(ε)∫a(ε)

Fy′(x, y, y′)d

dx

(∂y(x, ε)∂ε

)dx∣∣∣ε=0

=

= Fy′(x, y, y′)∣∣∣x=b

∂y(b(ε), ε)

∂ε

∣∣∣ε=0− Fy′(x, y, y′)

∣∣∣x=a

∂y(a(ε), ε)

∂ε

∣∣∣ε=0−

−b(ε)∫a(ε)

d

dx

(Fy′(x, y, y

′))∂y(x, ε)

∂εdx∣∣∣ε=0

.

Be to,d

dεy(a(ε), ε)

∣∣∣ε=0

= y′(a) · a′(0) + ∂y(a(ε), ε)∂ε

∣∣∣ε=0

,

d

dεy(b(ε), ε)

∣∣∣ε=0

= y′(b) · b′(0) + ∂y(b(ε), ε)∂ε

∣∣∣ε=0

.

Todėl (2.46) tapatybę galima perrašyti taip:

b′(0)(F (x, y, y′)− Fy′(x, y, y′)y′

)∣∣x=b−

−a′(0)(F (x, y, y′)− Fy′(x, y, y′)y′

)∣∣x=a

+

+Fy′(x, y, y′)∣∣∣x=b

dy(b(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0− Fy′(x, y, y′)

∣∣∣x=a

dy(a(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0

+

+

b∫a

[Fy(x, y, y

′)− ddx

(Fy′(x, y, y

′))]∂y(x, ε)

∂ε

∣∣∣ε=0

dx = 0. (2.47)

Iš pradžių imkime "artimas" kreives l(ε) taip, kad jų galai sutaptų su ekstremalėsgalais, t.y.

y(a(ε), ε) = y(a), y(b(ε), ε) = y(b) (2.48)

visoms galimoms parametro ε reikšmėms. Tada (2.47) integralinėje tapatybėje visineintegraliniai nariai yra lygūs nuliui ir ją galima perrašyti taip:

b∫a

[Fy(x, y, y

′)− ddx

(Fy′(x, y, y

′))]∂y(x, ε)

∂ε

∣∣∣ε=0

dx = 0.

Pagal 2.1 lemą ši tapatybė yra galima tik tada, kai funkcija y tenkina Oilerio lygtį :

Fy(x, y, y′)− d

dx

(Fy′(x, y, y

′))

= 0. (2.49)

2.5. KINTAMŲ INTEGRAVIMO RĖŽIŲ ATVEJIS 43

Grįžkime prie (2.47) tapatybės. Kadangi funkcija y tenkina (2.49) Oilerio lygtį , tai(2.47) tapatybę galima perrašyti taip:

b′(0) ·(F (x, y, y′)− Fy′(x, y, y′)y′

)∣∣x=b−

−a′(0) ·(F (x, y, y′)− Fy′(x, y, y′)y′

)∣∣x=a

+

+Fy′(x, y, y′)∣∣∣x=b

dy(b(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0− Fy′(x, y, y′)

∣∣∣x=a

dy(a(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0

= 0.

Imdami šioje tapatybėje funkcijas y(x, ε) taip, kad jos tenkintų antrąją iš (2.48) sąlygų ,gausime, kad taške x = a funkcija y tenkina sąlygą

a′(0) ·(F (x, y, y′)− Fy′(x, y, y′)y′

)∣∣∣x=a

+ Fy′(x, y, y′)∣∣∣x=a

dy(a(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0

= 0.

Reikalaudami, kad funkcijos y(x, ε) tenkintų pirmąją iš (2.48) sąlygų , gausime, kadtaške x = b funkcija y tenkina sąlygą

b′(0) ·(F (x, y, y′)− Fy′(x, y, y′)y′

)∣∣∣x=b

+ Fy′(x, y, y′)∣∣∣x=b

dy(b(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0

= 0.

Šios sąlygos yra vadinamos transversalumo sąlygomis. Pastebėję, kad

dy(a(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0

= α′(a) · a′(0), dy(b(ε), ε)dε

∣∣∣ε=0

= β′(b) · b′(0),

transversalumo sąlygas perrašysime taip:

F (x, y, y′)∣∣x=a

+ (α′(x)− y′(x))Fy′(x, y, y′)∣∣x=a

= 0,

F (x, y, y′)∣∣x=b

+ (β′(x)− y′(x))Fy′(x, y, y′)∣∣x=b

= 0.

Taigi transversalumo sąlygos apibrėžia ryšį tarp ekstremalės y krypties koeficiento y′

ir kreivių l1, l2 krypties koeficientų α′, β′ kiekviename kreivių l1, l2 taške.P a s t a b o s :

1. Jeigu kreivė l1 yra apibrėžta lygtimi α(x, y) = 0, tai transversalumo sąlygągalima užrašyti taip:

F (x, y, y′)− y′(x)Fy′(x, y, y′)αx(x, y)

=Fy′(x, y, y

′)

αy(x, y).

2. Funkcionalo

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx, y = (y1, . . . , yn)

atveju, kai taškas a laisvai gali judėti paviršiumi α(x, y) = 0, transversalumosąlyga yra tokia:

F (x, y, y′)− y′1(x)Fy′1(x, y, y′)− · . . . · −y′n(x)Fy′n(x, y, y

′)

αx(x, y)=

=Fy′1(x, y, y

′)

αy1(x, y)= . . . =

Fy′n(x, y, y′)

αyn(x, y).

44 2. VARIACINIS SKAIČIAVIMAS

2.6. TRŪKIŲ SPRENDINIŲ ATVEJIS

Iš pradžių išnagrinėsime vieną pavyzdį. Akivaizdu, kad

I(y) =

1∫−1

y2(1− y′)2 dx > 0, ∀y : y ∈ C1[−1, 1], y(−1) = 0, y(1) = 1.

Funkcija

ŷ(x) =

{x, x ∈ [0, 1],0, x ∈ [−1, 0]

taške x = −1 lygi nuliui, o taške x = 1 lygi vienetui. Jos išvestinė ŷ ′ taške x = 0turi trūkį . Todėl funkcija ŷ nėra tolydžiai diferencijuojama intervale [−1, 1]. Vis dėltointegralas I(ŷ) turi prasmę ir

I(ŷ) =

1∫−1

ŷ2(1− ŷ ′)2 dx = 0.

Taigi minimumą funkcionalui I suteikia funkcija, kuri erdvei C1[−1, 1] nepriklauso.Apibendrindami šį pavyzdį, matome, kad kartais funkcionalo ekstremumo reikia

ieškoti platesnėje funkcijų klasėje, t.y. dalimis glodžių funkcijų klasėje.Tarkime, dalimis glodi kreivė l : y = y(x) suteikia ekstremumą funkcionalui

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx. (2.50)

Be to, tegu funkcijos y išvestinė y′ turi trūkį tik viename taške x̂ ∈ (a, b).Artimas kreives pažymėkime l(ε). Atskirai išnagrinėsime du atvejus. Tegu l(ε) :

y = y(x) + εη(x), η ∈ C∞0 (a, b) (žr. 2.4 pav.).

...

........................

...

...

...

........................

....................

......................

..........................

.............................

......................................................................................

.......................

.........................

..........

....................................................................

........................................................................................................................

.........................

......................................................................................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...............

..............

......................

..............

.........................

..............

l

l(ε)y

xa bx̂

2.4 pav.

...

...

...

..

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

..............

......................

.........................

..................................

........................................................

........... ..........................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..........................

..................................

......................................................................................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...............

..............

.........................

..................................

................. l

l(ε)y

xa bx̂(ε) x̂

2.5 pav.

Funkcija

Φ(ε) = I(y + εη) =

x̂∫a

F (x, y + εη, y′ + εη′) dx+

b∫x̂

F (x, y + εη, y′ + εη′) dx

2.6. TRŪKIŲ SPRENDINIŲ ATVEJIS 45

turi ekstremumą taš