SEMANA 1

TEORA DE EXPONENTES ECUACIN DE 1 GRADO

1. Efectuar:

1 1

1

3 2 24E 27 36 23

A) 3 B) 6 C) 2

D) 1 E) 0

RESOLUCIN

13 1273

*

12 1366

*

14 3

3 4*

2 12

4*

1 1E

RPTA.: D

2. Simplificar:

0,2

2 54

3 3E 27 27 2 3

A) 2

3 B)

3

2 C) 2

D) 3 E) 1

RESOLUCIN

2

32

3

1 1* 27

927

5

35

3

4

1 1* 27

24327

1* 3

81

0,2 0,21 1 2 27 1 6

E9 243 81 243

20,2 0,2 5 1032 243 3

E243 32 2

3

2E

RPTA.: B

3. Calcule:

0 6

3 223 0 125

,

E ,

A) 8 B) 6 C) 4

D) 2 E) 5

RESOLUCIN

6 20 6

9 3,

1 23 32 2

3 1E8

1 2

3 33 32 2 2E 8 8 4 RPTA.: C

4. Efectuar: 0,5

12

1

14

160,51 1 0,25

625 9

A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

RESOLUCIN 1 1

24 2

4

1 1 1

625 9 4

625 9 4

5 + 3 + 16 = 24 RPTA.: D

5. Para 2n ; n

el equivalente de la expresin n

n 3n 5 2n 1n na a a...a a a a ...a

ser:

A) a B) a C) 0

D) a E) n a

RESOLUCIN

22

n n

n 3 n 3n n 1 n n 1nn n n n2 2

n 3

2

a a a a

a

n

n

n 3

1

2a a

RPTA.: D

6. Efectuar:

48 factores

33 3 3 3

1

44 factores

x x x... x xA ; x 0

xx x x... x

A) x6 B) x9 C) x4

D) x7 E) x7

RESOLUCIN 48

3

344

162

11

18

11

7

x xA

xx

xA x

x

xA

x

A x

RPTA.: E

7. Efectuar:

x 1

xx 2 2x 2

20

4 2

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

RESOLUCIN x x

x xx 2 x 1 x

x x

20 20 20 20

4 4 4 4 4 20

5 5

RPTA.: D

8. Si:

1 12 2 1 1

1 1 2 2

a b a bP y Q

a b a b

Halle P . Q, siendo b > a > 0

A) 1

b a B)

1

a b

C)

2

a b

a b

D)

2

a b

a b

E)

2

1

b a

RESOLUCIN

1ab

P y Qb a ab b a

2

1

1

abPQ

b a ab b a

PQb a

RPTA.: E

9. Simplificar: a b

b aa b

14 14M

2 14 2 14

; si: a + b = ab

A) 14a+b B) 14 C) 7

D) 14

2

a b

E) 7a+b

RESOLUCIN

a b a b

a 1 b 1 1 a b

14 14 14 14M

2 14 14 2 14 14 14

1M

1

7

M 7

RPTA.: C

10. Si: a+b = 2ab ; {a;b} -{0;1}

Reducir:

a b1 1

aa b a1 12ab 2b b

x y

x y

A) x

y B)

y

x C)

x

y

D) y

x E) 1

RESOLUCIN

1 11 1

1 1

a ba b x y

x y

1

1 1 11 1 2 11 1

11

b b b

a b

b

x x

yy

(*) a + b = 2ab 1 1

2a b

1

2

1 1 2 12 2 1

a b b b

x x

y y

RPTA.: A

11. Resolver

1

1

x

5x1

5x

e indicar

el valor de: x1

A) 1

5 B) 5 C)

1

5

D) 5 E) 1

5

RESOLUCIN

Cambio de variable: 1

yx

y5y

y

5y

1

y 5 5y

1

y 5

y 5

y 5 y 5

y 5

x 5

RPTA.: B

12. Si:2xx 2

Calcule: 2 x 14xE x

A) 1

2 B)

1

4 C) 2

D) 4 E) 5

RESOLUCIN Elevando al cuadrado el dato m. a.m.

2x

2 2 2

1

2

x 2 x 2

1x 2 x

2

Luego: 2 x4x xE x

12

2 x 2

2

4x4x

x x

144x

x 4x 2

E x x

E x x E x

E = x 2

1 1

22E

RPTA.: A

13. Calcule x en:

321 2 x3x21 2 x x321 2 x x

A) 27 B) 3 9 C) 9 3

D) 3 21 E) 3 20

RESOLUCIN Trabajando con cada miembro.

xx n nx n x n x n.......( )

Luego:

321 2 x3

21 n 213

n3

2 x n 21

2 x n 21

2 x n 21.............( )

() en ():

3

3

2 21

2 21

nn n n

n n

Solo se verifica para: n = 27

27 3

9

x 3

x 3

RPTA.: C

14. Reducir:

564

3

5 3 4 7

1

xxx x x

x

A) x B)

3

4x C) 5

4x

D)

1

2x E) 7

4x

RESOLUCIN

30 6027 51x x 60 60 6054 51 105x x x

4 7

7

4

x

x

RPTA.: E

15. Si: 52x = 2(10x) 4x

Calcule: 1 42

2xx

E x

A) 236 B) 256 C) 512

D) 128 E) 0

RESOLUCIN

x x x x

2 2x x x x

5 2 0 5 2

5 2 2 5 2 0

x = 0

Reemplazando:

1 42

E 2

21

21 1

16 16E E

E = 16 = 256 RPTA.: B

16. Resolver:

1 3 2 2 3 10

1 2 3 4 5x x x x x x

A) 3

2 B)

2

5 C)

2

3

D) 5

2 E) 4,5

RESOLUCIN

2 2 2

1 3 2 1 3 3

x x 1 x 3 x 5 x 1 x 4

2 2x 5 3 2x 52x 5

x 5x x 5x 6 x 5x 4

2 2 21 2 3

2x 5 0x 5x x 5x 6 x 5x 4

0

2x 5 0

5x

2

RPTA.: D

17. Halle el conjunto de solucin de la

ecuacin en x.

0 0a b

x a x b x ; a ; bb a

A) B) {a} C) {b}

D) {a + b} E) {a b}

RESOLUCIN Multiplicando por ab.

a (x a) + b (x + b) = ab x

ax a + bx + b = ab x

(a + ab + b)x = a b

(a+ab+b)x = (ab)(aab+b)

x = a b

Cs = {a b} RPTA.: E

18. Resolver en x; {a; b; c; d} R+

4d ax d bx d cx d

xb c a c a b a b c

A) 1 B) d

C) d

a b c D)

2 3a b c

d

E)

RESOLUCIN

0

d ax d bx d cxx x x

b c a c a b

dx

a b c

0

d ax bx cx d bx ax cx

b c a c

d cx ax bx d ax bx cx

a b a b c

1 1 1 1

0d a b c xb c a c a b a b c

0

d = (a + b + c) x

dx

a b c

RPTA.: C

19. Calcule a + b sabiendo que la

ecuacin en x

1 22

4

ax xx

b

admite

infinitas soluciones.

A) 1

4 B)

3

2 C)

2

3

D) 3 E) 1

RESOLUCIN Recordando que:

ax + b = 0 tiene infinitas

soluciones, si y solo si:

a = 0 b = 0

1 1

2 04 2

a xx x

b b

1 1 1

1 2 04 2

ax

b b

1 1 1

1 24 2

a

b b

5 1 3

4 2

a

b b

2 5

3 6b a

9 3

6 2a b

RPTA.: B

20. Resolver la ecuacin

2 3 53

3 5 2 5 2 3

x x x

luego indique el valor de:

2 4

6

3 2 5 2

3 5

x x

x

A) 22 B) 25 C) 3 2

D) 5 3 E) 7 5

RESOLUCIN

x 2 x 31 1

3 5 2 5

x 51 0

2 3

1 1 1x 2 3 5 03 5 2 5 2 3

0

2 3 5x

Pero nos piden:

2 4 6

5 3 2

5 9 8 22

RPTA.: A

SEMANA 2

POLINOMIOS V.N. - GRADOS

21. Sea el polinomio:

P(X) = (xn1 + 2xn2 + n)n, si 2n

veces su trmino independiente es igual a la suma de sus

coeficientes, entonces n es: A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

RESOLUCIN T.I. = P(o) = nn

coef = P(1) = (1 + 2 + n)n 2n . nn = (3 + n)n

2n = 3 + n n = 3 RPTA.: C

22. Calcule m si la expresin:

m mm m m

xM x x x x

se transforma a una expresin algebraica racional entera de 5to grado.

A) 8 B) 9 C) 10

D) 11 E) 12

RESOLUCIN

m 1mm

m 1 2 3 .... m 2

xM x x

m 152

XM x x

m = 9 RPTA.: B

23. Calcule n para que el monomio sea de 2 grado.

23n 2 2n 3 4

x 22n 4

x x xM

x x

A) 4 B) 5 C) 6

D) 8 E) 9

RESOLUCIN

23n 6 2n 3 4 10n 4

x 2 4n 82n 4

x x xM

xx

M(x) = x6n 22 = x2 6n 22 = 2

n = 4 RPTA.: A

24. Si: a b c

a b b c a c

Halle el grado absoluto de:

2 2 2a b c 9a 8ac 8bcE x;y;z x y z

transformable a una E.A.R.E.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8

RESOLUCIN

El G.A. =

9a 8ac 8bc

.....a b c

de la condicin:

a b ck

a b b c a c

Propiedad de proporciones:

a b c 1

2 a b c 2

a 1

a b c ka b 2

Lo reemplazamos en

9a 8a 8a 25a

G.A. 54a a 5a

RPTA.: C

25. Si: P(x+5) = x 3x + 1 Calcule: E = P(8) + P(6)

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 7

RESOLUCIN E = 3 3(3) + 1 + 1 3 + 1 E = 0

RPTA.: A

26. Del siguiente polinomio

P(x; y) = 7xa+3yb2z6a+5xa+2yb3za+b en donde:

G.Rx G.Ry = 3 G.A(P) = 13 Calcule: a + b

A) 6 B) 7 C) 8 D) 11 E) 12

RESOLUCIN G. RX = a + 3 G.A(P) = a+b+1

G. Ry = b 2

a + b = 12 RPTA.: E

27. Sea P(x) un polinomio lineal tal

que verifica la relacin

x 6XP P P 9x 21 Para todo valor de x. Halle P(4) A) 17 B) 18 C) 19 D) 32 E) 33

RESOLUCIN Sea P(x) = ax + b P(6X) = 6ax + b

P(P(x)) = a(ax+b)+b = ax+ab+b

Luego:

ax + ab + b 6ax b = 9x+21

(a 6a)x + ab = 9x + 21

a 6a = 9 ab = 21

(a3) = 0

a = 3 3b = 21 b = 7 Entonces: P(x) = 3x + 7

P(4) = 3(4) + 7 = 19 RPTA.: C

28. Calcule n, si el G.A. del monomio es 6.

34 2n 4 2n 3

52n 165

x zM x;y;z;w

y w

A) 12 B) 13 C) 14

D) 11 E) 10

RESOLUCIN

G.A. = 2n 4 2n 3 2n 16

64 3 5 5

30n 60 + 40n + 60 24n 192 = 360

46n = 360 + 192

46n = 552

n = 12

RPTA.: A

29. Calcule n si el monomio es de

4to. grado 2 3n

xM x x x

A) 1 B) 3 C) 2

D) 1

2 E)

1

3

RESOLUCIN

6n2n

x

1 1 1

2 n 6nx

M x x x

M x

1 1 1

42 n 6n

3n + 6 + 1 = 24n

7 = 21n

n = 1

3

RPTA.: E

30. Si: x

nx 1P

x 8

Adems P(P(x)) es independiente

de x. Calcule n

A) 1 B) 8 C) 1

8

D) 8 E) 5

RESOLUCIN

2

x

n 1 x n 8P p

n 8 x 65

como es independiente de x se cumple:

n 1 n 8

n 8 65

65n + 65 =

n 16n + 64

64n + 16n + 1 = 0

8n 1 n = 1

8

8n 1

RPTA.: C

31. Si: xP P P 27x 52 Calcule: P(1)

A) 1 B) 4 C) 4

D) 5 E) 1

RESOLUCIN

Como xP P P es lineal,

entonces: P(x) es lineal. Luego

P(x) = ax + b

P(P(P(x))) = ax + ab + ab + b

27x + 52 = a + ab + ab + b

a = 3 b = 4

P(x) = 3x + 4

P(1) = 3 + 4 = 1

RPTA.: E

32. Halle la suma de los valores de

n que hacen que la expresin:

nn 3 7 n3

x

1P 2x 7 x x 6

3

sea

racional entera.

A) 7 B) 8 C) 9

D) 12 E) 13

RESOLUCIN

n 3 0 n

7 n 03

n 3 n = 3 n 7

n = 6

n = 3 n = 6

de "n" 9 RPTA.: C

33. Sabiendo que:

m 2 n 5

n 5 m 4

P x;y 5x y Q x;y

2x y

son semejantes. Calcule el menor

valor de m + n.

A) 1 B) 3 C) 5

D) 8 E) 13

RESOLUCIN Si: P(x; y) Q(x; y)

m 2 = n + 5 m n = 7 ....()

n + 5 = m+4 nm = 1 ...()

+ : n n 6= 0

n = 3 n = 2

Luego:

n = 3 m = 10

n = 2 m = 5

menos: m + n = 3 RPTA.: B

34. Sea P(x) = x + 3x + 3x + 1

Calcule: P(P(1)) + P(P(1))

A) 0 B) 3 C) 728

D) 729 E) 730

RESOLUCIN P(x)= (x+1) P(1)=0 P(P(1)) = 1

P(1) = (2) = 8

P(P(1)) = P(8) = 9 = 729

P(P(1)) + P(P(1)) = 1+729 = 730 RPTA.: E

35. Si el polinomio en x e y

P(x, y) = 5xa + 3xbyc + 2xcyb + ya

es homogneo ordenado y

completo respecto de x e y.

Calcule: 2a + b + 3c

A) 17 B) 13 C) 15

D) 16 E) 18

RESOLUCIN Por ser ordenado y completo: a = 3; b = 2 y c = 1

2(3) + 2 + 3(1) = 6 + 2 + 9 = 17 RPTA.: A

36. Calcule m si el polinomio

n2n n 1n 8n 2n 2

x

n 1 m m 3

P 7x 6x 5x

x ... x

es completo y ordenado; en forma

ascendente; de 4nn trminos.

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

RESOLUCIN Es ordenado en forma ascendente:

n2n 8n = 0 n = 2

Luego:

0 m m 3

xP 7x 6x 5x x ...x

El nmero de trminos es:

m m + 3 + 1

m m + 4 = 4nn

m m + 4 = 16

m m 12 = 0

m = 4 RPTA.: A

37. Halle a y b en la identidad: 4a 7 b 8 b 7 a 8b x b y a x a y

A) 1 y 3 B) 1 1

y2 3

C) 1 1

y2 4

D) 1 y 1

4

E) 0 y 1

RESOLUCIN aa = bb

a b

ab ... ab = b4a b = 2a

a = 1 1

b4 2

RPTA.: C

38. Siendo: P(xn + 1) = x 1

Halle: n, si: P(3) = 7

8

A) 1

3 B)

1

2 C)

1

2

D) 2

3 E)

1

3

RESOLUCIN

xn + 1 = 3 xn = 2 x = n 2

Luego:

P(3) = n 72 1

8

13n n

12 2 2

8

1n

3

RPTA.: E

39. Sea P(x) un polinomio

P(x) = (3x 1)n+5x + 1; adems

la suma de coeficientes es 70.

Calcule el valor de: 10 n

A) 6 B) 5 C) 4

D) 12 E) 3

RESOLUCIN

ncoef P 1 2 5 1 70

2n = 64 n = 6

10 6 4

RPTA.: C

40. Dado el polinomio mnico

P(x) = 5x4 7ax5 + (n2)x74x 1

Calcule el valor de: nn

A) 1 B) 4 C) 27

D) 25 E) 16

RESOLUCIN Por ser mnico y de una variable x (coeficiente principal = 1)

(n 2) = 1 n = 3 Luego nos piden: nn = 33 = 27

RPTA.: C

SEMANA 3

PRODUCTOS NOTABLES

41. Si ,yx3x

y

y

x 22 halle

4

y

x

x

y

x

y

y

xW

0y,0x

A) 16 B)32 C) 24

D)42 E) 2/116

RESOLUCIN

yxxy3yx 33

yxxy3yxxy3yx 3

0yx 3

yx 16x

x

x

xW

4

x

x

x

x

RPTA.: A

42. Si 1aa 1 , halle 1212 aaW

A)256 B)306 C) 343

D)322 E)196

RESOLUCIN a 2 + a2 = 1

a + a2 = 3

a4 + a4 = 7

a12 + a12 + 3(7) = 343

a12 + a12 = 322 RPTA.: D

43. Si 8 8 8m n m p p m 0,

Halle 4n 2p

4m 2n

m n 1W

m p 1

m, np R

A) mnp B)1

C) mnp D) pnm

E)12

RESOLUCIN

nm0nm8

pm0pm8

mp0mp8

w = 1 RPTA.: B

44. Si: ,0zyx 666 halle

0Rz,y,x,yzxzxy

zyxxyz9W

43

A) 116 B)32 C) 18

D)16 E)8

RESOLUCIN

3 3 3

6 66 6x y z 3 xyz

36366 zyx zyzxy3x 66 262 xyz3zyx

3 xyz9yzxyxy2zyx 2

zyxxyz9yzxzxy

3

162

2

zyxxyz9

zyxxyz9W 4

4

3

3

RPTA.: D

45. Si x b c a

y c a b

z a b c

Halle:

cbacbabacacbxyzzxyyzx

W222

A)y

x B) acb

C) zy2 D)abc

1

E)1

RESOLUCIN

1cbaxyz

zyxxyzW

x + y + z = a + b + c RPTA.: E

46. Simplificar: 5

4

44

128

128128W

A) 343 B) 24 C) 232

D) 28 E) 32

RESOLUCIN

128

128282f

4

42

2128

1282f

4

42

2f2f2

5

2W

24W RPTA.: B

47. Si ,yx3xy 11 halle

22

224

yx4

yx3yxW

A)11 B)7 C)-6

D)4 E)8

RESOLUCIN

3x

y

y

x

xy3yx 22

xy5yxy2x 22

xy5yx 2 224 yx25yx

25xy 3xy

w4xy

RPTA.:B

48. Simplificar:

3n2 842

32 128842

factn...121212121

12...12121231W

A) 0,5 B)2 C)4

D) 0,25 E)1

RESOLUCIN

121212D 2 N 3 N 32 2 2 8D 2 2 2

22 2 22 1 2 1 2 1

.

. 12121 22 N .

12

2

n

1212 44

128 1

2

2

D

N8

8

.

.

.

2562 1

32 256 8N 2 2

RPTA.: E

49. Operar: 3333

721

33

721W

A)1 B)2 C)3

D) 72 E) 32

RESOLUCIN

W27

2813

33

721

33

721W 33

W27

132W 33

W2W3

1W2WW3 RPTA.: A

50. Si 1bcacab 111 ,

Halle: 1c1b1a

1c1b1aW

,

0c,b,a

A)1 B)-1 C)2

D)abc

1 E)

12

RESOLUCIN

1bc

1

ac

1

ab

1

abccba

0abccba

abc ac bc c ab a b 1W 1

abc ac bc c ab a b 1

W = ab bc ac 1

1ab bc ac 1

RPTA.:B

51. Si zyxaza1yaxa1 11 ,

Halle: 1 1 1x y z , x,y,z 0

A)a B)1a C) 1a

D)2a E)1

RESOLUCIN

x z

1 a y 1 a x y za a

zyxaazayaxa 2

xyzyzxzxyazyxaa 23

zyxaa 23

xyzyzxzxya

a

1

xyz

yzxzxy

1a

x

1

y

1

z

1

1111 azyx

RPTA.: C

52. Simplificar:

...1x1x1x1xW 242222 2x11x 2204821024

A)1 B) 0 C)112

D)-2 E) 4096

RESOLUCIN

W= 4x 1 x 1 x 1 x 1 ...

1024 2048x 1 1 x 2 W = 4x 1 x 1 x 1 ... 1024 2048x 1 1 x 2 W = 4 4x 1 x 1 ... 1024 2048x 1 1 x 2 W = 8 8x 1 x 1 .... 1024 2048x 1 1 x 2

W = 2048 2048x 1 x 1 2

W = 2

RPTA.: D

53. Si acbcab4cban 4 bcacabcba 222 y : 2 2 2a b c 8

Halle: cba,n

A) 22 B)2

2 C)2

D)4 E)8

RESOLUCIN

xcba 222

yacbcab

yxy4y2xn 2 222 y4xy4y4xy4xn

n x

2222 cban

8cban 2222 RPTA.: E

54. Operar:

2233 bcab6cbacbaW Si: b = 0,5

A)1 B)2 C)4

1

D)16

1 E) 4

3

16

RESOLUCIN a+c=n

2233 bnb6bnbnW 3 2 2 3 3 2 2 3W n 3n b 3nb b n 3n b 3nb b

32 b6bn6

3b8W

12

18W

3

RPTA.: A

55. Si ,0cb,a;0cba 111

Halle:

4

444

cba

cbaabc4cbaE

A) abc4 B)4abc C)1

D)2 E)abc

RESOLUCIN

0c

1

b

1

a

1

22 0abacbc 0bca2cab2abc2bacacb 222222222

...abcabc2bacacb 222222 ()

Adems:

2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2a b c a b c 2 a b a c b c ...( ) ()

abcabc22cbacba 4442222 cbaabc4cbacba 4442222

22222222

bc2ac2ab2cba

cba

1

bcacab2cba

cba

2222

2222

0 RPTA.: C

56. Cul es el intervalo de valores de

, de modo que la ecuacin

2x2 2(1) 8x 0, tenga

races de distinto signo?

A) ,2

1 B) ;2

C) 2; D) 2;6

E) ;8

RESOLUCIN

0042

122

xx

0162

122

, como c

63132 xxx

tiene la propiedad que su suma

es:

A)-14 B)-7 C)-9

D)-2 E)7

RESOLUCIN

66323132 xxxxx

189242 xx

18942 xx

14902 xx x= -7No cumple

270 xx x=-2 Si cumple

nicamente (-2) satisface la

ecuacin. RPTA.: D

58. Sea A la suma de las races de

02 cbxax y B la suma de las

races a 011 2 cxbx , entonces B-A es:

A)-2 B)-1 C)0

D)1 E)2

RESOLUCIN

a

bS

a

cx

a

bx 02

2ax 2ax a bx b c 0

022 cbaxbaax

022

a

cbax

a

bax

a

baS

2

22

a

b

a

bAB

RPTA.: A

59. En la ecuacin cuadrtica:

02 cbxax afirmamos:

I. Si la suma de sus races es igual

a su producto, entonces

b+c=0.

II. Si una raz es la negativa de la

otra, entonces b=0.

III. Si una raz es doble de la otra,

entonces acb 92 2

A) Las 3 afirmaciones son

verdaderas.

B) Solo I y II son verdaderas.

C) Solo I y III son verdaderas.

D) Solo II y III son verdaderas.

E) Solo II es verdadera.

RESOLUCIN

b c

S ; Pa a

I. 2121

x.xxx

0 cba

c

a

b (V)

II. ,xx21

pero a

bxx 21

a

bxx 22

a

b0

b0 (V)

III.a

bxxxx 2121

2

a

bxx 22

2

a

bx 2

3

2

bx

3a

2

2

23

a

bx

2

2

2

29a

bx

...........................(1)

Luego: a

cx.x 21

2 2

c2x x

a

a

cx 22

2

a

cx

2

2

2 ...........................(2)

De (1) y (2)

b c

9a 2a

2b = 9ac RPTA.: A

60. Si las ecuaciones cuadrticas:

0312 2 nxmx

0233 2 mxnx Son equivalentes, para

,Rnm calcule n.

A) 5

23 B)15 C)

7

15

D) 9

11 E) 9

RESOLUCIN

2

3

3

1

3

2

m

n

n

m

nm 3942 336 mn

2

313 nm

13 3n6n 3 3

2

32

9396

nn

693912 nn

7

15n

RPTA. C

SEMANA 4

DIVISIBILIDAD COCIENTES NOTABLES

FACTORIZACIN I

61. Cul ser aquel polinomio

cuadrtico de coeficiente principal

4, capaz de ser divisible por

12 x y que al ser evaluado en (2) toma el valor de 5?

A) 24x 4x 3 B) 24x 4x 3

C) 24x 4x 3 D) 24x 4x 2

E) 24x 4x 2

RESOLUCIN Sea este Polinomio

2

xP 4x ax b :

Por condicin:

2

x4x ax b 2x 1 .q'

21 1

4 a b 02 2

-a+2b=-2.............................(1)

Adems:

2

x4x ax b (x 2)q'' 5

Entonces: 4(2) + 2a+b = 5

2a+b = 11 .........................(2)

De: 2(1)+(2) : 5b=-15b=-3

En (2) :2a=-8a=-4

Conclusin:

2

xP 4x 4x 3

RPTA.: C

62. Para qu valor de m el

polinomio:

2 2 2 2 2 2 2x y z x y z mx yz es divisible por (x+y+z)?

A) 4 B) 2 C) 1

D) -8 E) -4

RESOLUCIN En la base a la identidad:

yzmxzyxzyx 2222222

z,y,x'qzyx Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando: (1-1+4)(1+1-4)+m.(-2)=0 -8=2mm=-4

RPTA.: E

63. Busque la relacin que debe

existir entre p yq a fin de que

el polinomio:

3

xP x 3px 2q

Resulte ser divisible por 2ax

A) 23 qP B) 32 qP C) qP

D) 1q.P E) 2qP

RESOLUCIN Aplicando dos veces ruffini bajo el

principio de divisibilidad.

Si: 0332 Pa

Pa 2 332 Pa Reemplazando en: 0

1R

3 3 33a 2q a 0 a q

223 qa Conclusin: .qP 23

RPTA.: A

64. Determine abc sabiendo que el

polinomio :

432 26 xxxbax)cb(caxP es divisible por 13 2 xx

A) -2 B) -34 C) 40

D) -1360 E) 2720

RESOLUCIN Por Teorema de divisibilidad

01 1 R'qxP xx 01 2 R''qxP xx

03 3 R'''qxP xx Empleando Ruffini ( tres veces)

Si: a+b+c-4=0a+b+c=4

b+c-6=0 b+c=6

a+b-38=0a+b=38

en (1) c=-34 en (2) b=40

Luego: abc=2720. RPTA.: E

65. Si el Polinomio:

;xxxP x 611623 es

divisible por: (x-a), (x-b) y (x-c)

indistintamente.

Cul ser el residuo de:

111111 accbbax

P x?

A) 0 B)1

C) ab + bc + ca D) 1

D) ab + cb + ca

-a

-a

1

1

1

0

-a

-3P

2a

2q

apa 32

-a )pa( 32 323 aqap

-a 22a 01R

Pa 33 2 -2a

01R

-a

-a

1

1

1

0

-a

-3P

2a

2q

apa 32

-a )pa( 32 323 aqap

-a 22a 01R

Pa 33 2 -2a

01R

1

-1

-2

-2

1

-6

-2

(b+c)

-8

+21

R

-6

2R

(a+b-8)

(c+a)

-8 a+b-8 a+2b+c-8

(a+b)

(a+2b+c-81) 2(a+b+c-4)

6 -a-b+2

3

(a+b-2) b+c-6

-2

-6

-12

-36

a+b-38

3R

RESOLUCIN Al ser divisible indistintamente lo

ser tambin por el producto es decir:

)x(x q)cx)(bx)(ax(P

611623 xxx 3er grado Uno

(monico)

6116 23 xxx

abcxcabcabxcbax 23

De donde: a + b + c = 6

ab +bc + cd= 11 abc= 6

Se pide:

x x xP P P

x 11 1 1 c a bx x

ab bc ca abc

Evaluando en x=1: 01 PR

RPTA.: A

66. Cul ser aquella divisin notable

que genere al cociente

15253035 a...aaa .

A) 1

136

a

a B)

1

1

5

40

a

a

C) 1

1

5

40

a

a

RESOLUCIN Por principio terico de signo y

variacin de exponente de 5 en 5, es la B.

RPTA.: B

67. Encuentre el valor de:

910 1 999

A) 1000001 B) 1010101

C) 1001001 D) 0

E) 1

RESOLUCIN Acondicionando el divisor:

11010110

110

110

110 13233

33

3

9

1001001

RPTA.: C

68. Sabiendo que el cociente de la

divisin 2

30

yx

yxn

m

; consta de 10

trminos.

Determine el valor de:nm

A) 60 B) 8000 C) 203

D) 600 E) 8

RESOLUCIN Por condicin:

30 m

10n 2

n=3

m=20

Luego: 20 = 8000

RPTA.: B

69. Se desea conocer de cuntos

trminos est constituido el

cociente de : 1

1

x

xsabiendo que

2361005010

xTTT

A) 396 B) 133 C) 132

D) 236 E) 131

RESOLUCIN

1 2 3 kx 1 x x x ...x ... 1x 1

2T 3T kT

1010T x 10 50 100 236x .x .x x

5050T x

100100T x 3 160 236x x

De donde: 2361603 3963 132 Luego: # trminos=132+1=133

RPTA.: B

70. Si la divisin indicada: P

P

yx

yx

3

432

genera un cociente notable.

Averige al trmino antepenltimo

A) 92yx B) 6 324x y

C) 36 360x y D) 0

E) x6 y314

RESOLUCIN Si la divisin indicada es notable,

debe cumplir que:

P 432

3 P

2P 3.432

2 3 4P 3.3 .2 2 2P 3 .2 36

Luego:

12 123 36

36 432

3 36 1 13 36

x yx y

x y x y

1 2 10 11 12T T ... T T T

antepenltimo

12 10 10 1

3 36 6 324

antep 10T T x y x y

RPTA.: B

71. Despus de dividir el cociente de

1

116

x

x n; Nn . Entre ;x 1 se

obtiene un nuevo cociente que al

ser dividido por 12 xx obtendremos como residuo.

A) 0 B) -x C) x+1

D) x-1 E) 1

RESOLUCIN Efectuando la divisin notable

6n

6n 1 6n 2 6n 3 2x 1 x x x x x 1x 1

Luego en: 6n 1 6n 2 6n 3 2x x x ... x x 1

x 1

Aplicando Ruffini

Existen 6n trminos

Existen 6n-1 trminos

6n 2 6n 4 6n 6 4 2

xq x x x ... x x 1

Finalmente en:

2

xq x x 1

Segn el teorema del residuo

Si: 2x x 1 x

Que al evaluarlo en este valor

2R q 1 0

Cero RPTA.: A

72. Factor Primo de:

b,aQ 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc

ser:

A) 1+c B) 1+b C) 1+ab D) 1+bc E) 1+abc

-1

1 1 1

-1 0

1 0 1

-1

... 1 1

...0 1

1

-1

00

RESOLUCIN Asociando:

bccbabccbQ b,a 11 Extrayendo factor comn

abccbQ b,a 11

abcbQ b,a 111

a,bQ 1 c 1 b 1 a

Constante

RPTA.: B

73. Cuntos factores primos binmicos admite el polinomio;

.Nn;xxxxXPnn

x

1232

A) 1 B) 2 C) 3

D) n E) ninguno

RESOLUCIN Asociando de 2 en 2:

1232 xxxxx.xP nnx

n 2 2 2

xP x (x 1) x(x 1) (x 1)

112 xx)x(P nx

n

xP (x 1)(x 1) x x 1

RPTA.: B

74. Uno de los divisores de:

bcaddcba 22222 Ser:

A) a-b+c-d B) a+b-c+d

C) a-b-c + d D) a+b+c-d

E) a-b-c-d

RESOLUCIN Asociando convenientemente

2 2 2 2a b c d 2ad 2bc a =

2 2 2 2a 2ad d b 2bc c =

2 2

a d b c

a d b c a d b c RPTA.: A

75. Cul ser el divisor trinomio del

polinomio en variables: m,n,p.

3 3 3m n P n P m P m n ?

A) m-n-P B) m+n-P

C) m-n+P D) m+n+P

E) mn+nP+Pn

RESOLUCIN Mediante la distribucin en el

segundo y tercer trmino:

nPmPmnPnPnm 33333 Asociando:

)pn(mpnnPPnm 33223

PnPn 22 PnpnPn

(n-P) 3 2 2 2m n P nP mn mnP mP

(n-P) nmPnmnPnmm 222

(m+n)(m-n)

22 PnPmnmnm)Pn( Pm(n)PmPmnm)Pn( PnmPmnm)Pn(

RPTA.: D

76. El Polinomio:

1133 yxxyyxy,xMSer divisible por:

A) 122 yxyxyx

B) 122 yxyxyx

C) 122 yxyxyx

RESOLUCIN

Asociando convenientemente

1313 yxxyyxy,xM

Diferencia de cubos

2

M x,y x y 1 x y x y 1

-3xy(x+y-1)

...... .....

......

...... ......

Extrayendo el factor comn

2 2M x,y x y 1 x xy y x y 1 RPTA.: C

77. Un factor primo racional de:

27933 abbaR a ; ser:

A) a+b+3

B) a-b+3

C) ab-3(a+b)

D) 9322 baabba

E) 9322 baabba

RESOLUCIN

333333 abbaR a

Corresponde a la identidad Gaussiana, que proviene de:

baabbaba 3333 222

baabbacba 3922 RPTA.: D

78. Cuntos divisores admitir el

Polinomio:

82423342 yabyxabbxaP y;x

A) 8 B) 7 C) 15

D) 4 E) 3

RESOLUCIN Empleando el aspa simple:

82423342 yaby.xabbxaP y,x

22xa 42yb

2bx 4ay

424222 aybxybxaP y,x

4222 aybxbyaxbyaxP y,x N divisores: (1+1)(1+1)(1+1)

RPTA.: A

79. Halle la suma de los elementos de

aquellos Polinomios irreductibles

que se desprenden de:

2222224

2 yxzyxzQ z,y,x

A) 4x B) 4y C) 4z

D) 2(x-y) E) 2(x+y)

RESOLUCIN Mediante un aspa simple

2222224 2 yxzyxzQ

2z 2yx

2z 2yx

2222 yxzyxzQ

yxzyxzyxzyxzQ z,y,x

Sumando estos elementos =4z

RPTA.: C

80. Un divisor del Polinomio:

x,yP 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x

ser:

A) 3x-4y B) 4x-3y C)2x-3y

D) 2x-3x E) 2x-5y+12

RESOLUCIN Buscando la forma de un aspa doble:

036481514822 yxyxyxP y,x

4x -3y 0

2x 5y 12

125234 yxyxP y,x

RPTA.: B

SEMANA 5

COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIN

81. Hallar el menor trmino racional del cociente notable.

3 7 3

3

4 2 2

4 2

A) 9 B) -1 C) 3 D) 5 E) 8

RESOLUCIN

7 73

3

4 2

4 2 Por el trmino

general

k k

kT

7 1

34 2

efectuando por exponentes k

kT ....................( )

25

62

Por lo que piden:

k25

6 debe ser mnimo k ; 7

luego en :

T T

25 7

36

7 72 2 8

RPTA.: E

82. En el cociente notable

x x

;x

16 16

2

2 2

2 4halle el valor

numrico del quinto trmino para

x=1

A) 729 B) 126 C) 81 D) 243 E) 729

RESOLUCIN Dando la forma de un C.N:

x x

x x

8 82 2

2 2

2 2

2 2

T x x (x ) (x )

3 42 2 6 8

52 2 2 2

x=1 T .( ) 6 85

3 1 729

RPTA.: E

83. Halle el grado absoluto del primer trmino central del C.N.

n n

n n

x y

x y

15 50 15 10

1 2

A) 11 B) 106 C) 63

D) 40 E) 72

RESOLUCIN Por la condicin necesaria y

suficiente se debe de cumplir:

n n

nn n

15 50 15 106

1 2

luego: x y

x y

20 207 4

7 4

Hallamos los trminos centrales.

T x y T x y 10 9

7 4 70 36

10 10

T x y T x y 9 10

7 4 63 40

11 11

G.A. 10T 106

RPTA.: B

84. Six y x y ... 195 140 190 147

son trminos consecutivos del desarrollo de un C.N. Halle el

nmero de trminos.

A) 61 B) 59 C) 58 D) 60 E) 65

RESOLUCIN Formando un C.N. de:

5... x y x y39 20 38 21

7 5 7

Nmero de trminos = G.A +1

TN 59 1 60

RPTA.: D

85. En el siguiente cociente notable

x y

x y

20 30

2 3. Calcule el lugar que

ocupa el trmino que contiene a

x10.

A) sexto B) quinto

C) octavo D) cuarto

E) dcimo

RESOLUCIN

k k

?

kT x y x y

10 1

2 3 10

kx x k 20 2 10 5

El lugar es quinto RPTA.: B

86. Luego de factorizar:

P(x) x x ; 8 4 1 halle la suma

de los factores primos.

A) x x 4 2 3

B) x 2 3

C) x 2 3

D) x 4 2

E) x 4 1

RESOLUCIN

Aplicando la identidad de Argan a

P(x) x x x x x x 2 2 4 21 1 1 Luego:

fac. primos= x x 4 2 3

RPTA.: A

87. Luego de factorizar

P(x) x x x x x 8 7 5 4 3 1

en x , indique el nmero de factores primos. A) 5 B) 3 C) 4

D) 6 E) 2

RESOLUCIN

P(x) x x x x x 8 4 7 5 31 P(x) x x x x 2 21 1 4 2 3 4 2x x 1 x x x 1

P(x) x x x x 2 21 1

x x x 4 2 31

P(x) x x x x 2 21 1 x x x 4 2 3 1 P(x) x x x x 2 21 1 x x x x x 2 2 21 1 1

P(x) x x x x x 2 21 1 1

x x 3 1 Hay 4 factores primos

RPTA.: C

88. Factorizar:

P x x x x 6 4 22 1 indicar la suma de coeficientes de un factor primo.

A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) -2

RESOLUCIN

6 4 2P x x x 2x 1

2

6 2P x x x 1

3 2 3 2x x 1 x x 1 de coef = 1

RPTA.: C

89. Factorizar:

2 2 2F x abx a b x ab , e indicar la suma de los T.I. de los factores primos.

A) a+b B) a-b C) a D) b E) ab

RESOLUCIN

F(x) abx a b x ab 2 2 2 ax b

bx a

F(x) ax b bx a RPTA.: A

90. Al factorizar:

2 2P(x) 10x 17xy 3y 5x y

Indicar la suma de sus trminos

de sus factores primos. A) 7x-4y+1 B) 7x-1

C) 4x-7y-1 D) 4y-1

E) 5x+2y-1

RESOLUCIN 2 2P(x) 10x 17xy 3y 5x y 0

5x -y 0 2x -3y 1

P(x) x y x y 5 2 3 1 RPTA.: A

91. Factorizar:

3 2P(x) 12x 8x 3x 2 , e

indicar un factor primo lineal.

A) 3x +2 B) -3x1 C) -2x+1

D) x+2 E) 4x+3

RESOLUCIN

Aplicando Ruffini

P(x) x x x 22 1 6 7 2 3x 2

2x 1

P(x) x x x 2 1 3 2 2 1 RPTA.: A

92. Factorice:

P(x) x x x x x 5 4 3 25 7 8 4

Indique el promedio aritmtico de

los T.I. de los factores primos.

A) 4

3 B)

6

5 C)

1

4

D) 3

2 E)

2

3

RESOLUCIN

2P(x) x 1 x 1 x 2 x 3x 2

12 8

6

-3 -2

7 2

12 14 4 0

1

2

6 7 2

1 5

1

7 -1

6 13

1 6 13

1 5 8

-8 -4

12 4

0412

-1

1

-1 -5 -8 -4

4 0

-2 -6 -4-2

1 3 2 0

x 2 x 1

2 2

P(x) x 1 x 1 x 2

Luego: 1 1 2 2

M.A3 3

RPTA.: E

93. Al factorizar:

P(x;y) x y 4 44

Calcule el nmero de factores

algebraicos.

A) 4 B) 3 C) 6

D) 7 E) 8

RESOLUCIN

24 4 2 2P(x;y) x 4y 4x y 2xy

2 22 2P(x;y) x 2y 2xy

2 2 2 2P(x;y) x 2xy 2y x 2xy 2y fN.A 2 2 1 4 1 3

RPTA.: B

94. Factorice

4 2P(x) x 2x 9 ,

e indicar el nmero de factores.

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

RESOLUCIN

4 2 2 2P(x) x 2x 9 4x 4x

4 2 2P(x) x 6x 9 (2x)

2 22P(x) x 3 2x

2 2P(x) x 2x 3 x 2x 3 fN 2 2 4

RPTA.: C

95. Factorizar3 2P(x) x x x 1

en (x), luego indique la cantidad

de factores algebraicos.

A) 2 B) 5 C) 3

D) 6 E) 7

RESOLUCIN

P(x) x x x 2 1 1

2P(x) x 1 x 1 P(x) x x x 1 1 1

2

P(x) x 1 (x 1)

f.AN 3 2 1 6 1 5 RPTA.: B

96. Calcule la suma de coeficientes,

de un factor primo del polinomio

factorizado.

25 20P(x) x x 1

A) 7 B) 4 C) 3

D) 5 E) 2

RESOLUCIN

Cambio de variable: x y5

P(x) y y 5 4 1

P(x) y y y y 2 31 1 P(x) x x x x 10 5 15 51 1 coef 3 1

RPTA.: C

97. Factorice:

2 2

2 2 2P(x) x x 1 x 1 x

Indique el nmero de factores

cuadrticos.

A) 2 B) 3 C) 1

D) 4 E) 5

RESOLUCIN

2 4 3 2 4 2P(x) x x 2x 1 x 1 x 2x

3 2 2P(x) 2x 2x 2x (1 x)

x x( x) 2 1

Son 2 factores cuadrticos RPTA.: A

98. Seale un factor primo de:

7

P(x) 2x 1 4x(x 1) 2

A) 24x 6x 3 B) 24x 5x 1

C) 24x 7 D) 24x 7x 1

E) 2x + 3x + 1

RESOLUCIN

P(x) x x x 7 2

2 1 4 4 1 1

P(x) x x 7 2

2 1 2 1 1

Cambio de variable: y=2x+1

7 2 2 5 4y y 1 y y 1 y y y y 1 un factor es : 4x + 6x + 3

RPTA.: A

99. Cuntos factores lineales

presenta:

P(x;y) x y x y 4 4 4

A) 1 B) 0 C) 2

D) 3 E) 6

RESOLUCIN

P(x;y) x y xy x y 2

2 2 4 42

P(x;y) x x y x y xy y 4 3 2 2 3 42 2 3 2 x xy

2y

x xy 2y

P(x;y) x xy y 2

2 22

No tiene factores lineales. RPTA.: B

100. Calcule el nmero de factores

algebraicos en (x), el polinomio. 2 5 2 3P(X;Z) 3 x y z

A) 23 B) 8 C) 10

D) 72 E) 71

RESOLUCIN

F.AN 6 4 1 24 1 23

Ojo: y2 no es variable, es

parmetro RPTA.: A

SEMANA 6

MCD MCM - FRACCIONES

101. Halle el MCD de los polinomios

P(x) y Q(x).

P(x)= x x x x x 5 4 3 212 8 45 45 8 12

Q(x)= x x x x 4 3 22 5 8 17 6

A) x+1 B) (x+1)(x-2)

C) (x-2)(2x-1) D) 3x+2

E) (2x+3)(2x-1)

RESOLUCIN Factorizando P(x)

Luego el cociente c(x) 4 3 2c(x) 12x 4x 41x 4x 12

2 2

2

1 1c(x) x 12 x 4 x 41

xx

x p x px x

2 22

1 12

2 2c(x) x 12p 4p 65

c(x) 6p 13 2p 5

2 2c(x) 6x 13x 6 2x 5x 2

P(x) x 1 3x 2 2x 3 2x 1 x 2

Factorizando Q:

Q(x) x x x x 4 3 22 5 8 17 6

Q(x) x x x x 1 2 3 2 1

12 8 -45 -45

4

12

-1 -12 4 41

8

-12

12 -4 -41 -4 12 0

Por tanto:

MCD(P,Q) x 1 x 2

RPTA.: B

102. Indicar el grado del M.C.M. de los

polinomios P(x) y Q(x) , donde:

P(x) x x x x x x x 7 6 5 4 3 28 17 9 9 17 8 1

Q(x) x x x x x 5 4 3 25 5 1

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

RESOLUCIN Factorizando P (x); el polinomio es recproco.

el polinomio cociente es reciproco

tambin, pero de grado par:

3 3 2

3 2

1 1 1c (x) x x 7 x 10 x 1

xx x

Haciendo:

x m x mx x

2 22

1 12

x m mx

3 33

13

2 2 2P (x) x 1 x 3x 1 x 5x 1 x x 1 Factorizando Q(x) similarmente:

Q x x x x x x 2 21 5 1 1 Por tanto:

2 2 2MCM x 1 x 5x 1 x x 1 x 3x 1

G = 1 + 2 + 2 + 2 = 7 RPTA.: E

103. Halle el M.C.D. de:

4 3 2 2 3 4A x 4x 4ax 36a x 44a x 16a

4 3 2 2 3 4B x 6x 6ax 18a x 30a x 12a

A) x a2

2 B) x-a

C) x a2

D) x a3

2

E) x a

RESOLUCIN Factorizando A por el aspa doble especial:

4 3 2 2 3 4A x 4 x ax 9a x 11a x 4a x2 ax 3 a 24

x2 ax 2 a2

Por tanto:

3

A(x) 4 x 4a x a

Similarmente

4 3 3 2 3 4B x 6 x ax 2a x 5a x 2a

x2 ax a 22

x2 ax2 a2

B x x a x a 3

6 2

Por consiguiente el MCD= x a3

2

RPTA.: D

104. Sabiendo que el M.C.D. de los

polinomios:

A x x x x m 3 22 3

B x x x n 3 2 , es:

x x 2 2 . Halle m+n

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 0

RESOLUCIN Usando el mtodo de Horner:

1 8 17 9

1

17

-1 -1 -7 -10

9

-10

1 7 10 -1 10 7

8 1

-7 -1

01

Conclusin: m+n=6 RPTA.: C

105. Halle el MCD de los polinomios:

m n m nP(x) X x x 1

m n m mQ(x) m n x mx nx 1 1 1

Sabiendo que m;n; m

n

A) kx 1 B) mx 1 C) nx 1

D) kx 1 1 E) kx 1 1

RESOLUCIN Consideremos: m=nk

Entonces: nk n nk nP(x) x x x 1

n nkP(x) x x 1 1 Similarmente:

nk n nk nkQ(x) nk n x nk x n x 1 1 1

nk nQ(x) nk n x x 1 1 Por lo tanto:

M.C.D nP(x),Q(x) x 1

RPTA.: C

106. Sean los polinomios:

P(x) ax bx a c x bx c 4 3 2

Q(x) ax b a x c b x c 3 24 4 5 4 5 5

Los cuales verifican:

P(x) Q(x) MCD P Q 2

Calcule: "a b c"

A) 27 B) 16 C) 64

D) 125 E) 9

RESOLUCIN

Sumando P(x) Q x se obtiene:

4 3 2ax b 4a x 4b 4a c x

4c 4b x 4c.............................(1)

Por otro lado factorizando los

polinomios

P(x) ax bx a c x bx c 4 3 2 ax2 bx c

x2 ox -1

P(x) ax bx c x 2 2 1 Factorizando Q x :

Q(x) x ax bx c 24 5 Por lo tanto:

MCD=ax bx c 2

Desarrollamos

MCD ax bx c 22 2

2 2 4 3 2 2

2

MCD a x 2abx 2ac b x

2bcx c ...............................(2)

Comparando coeficientes de

y + a=1; b=4; c=4

a + b + c = 9 RPTA.: E

107. Sea D(x) el Mnimo comn

mltiplo de los polinomios M(x) y

N(x) si:

M(x).N(x)

A(x)D(x)

Halle el resto de

dividir A(x) entre (x-3n), sabiendo

que:

2

3

-2

-4

2 1 0

1 2 -1

1

1

m

-2

m-2=0 m 2

1

0

-2

-2

1 2 0

1 1 1

2

1

n

-4

n-4=0 n = 4

1 2

4 3 2 2 3 4M(x) x nx 7n x n x 6n 3 2 2 3N(x) x 4nx n x 6n

A) 0 B) n26 C) n 26

D) n210 E) n212

RESOLUCIN Como D(x) es MCM entonces A (x)

representa MCD (M.N). Factorizando los polinomios obtenemos.

M(x) x n x n x n x n 3 2

N(x) x n x n x n 2 3 Por lo tanto: MCD (M,N)= (x-n) (x+2n)

MCD (M,N)= x nx n 2 22 Se pide el resto de la divisin:

x nx nR(x) n

x n

2 2

2210

3

RPTA.: D

108. Si la fraccin x x

x x

2

2

4 2 3

2 1se

transforma en otra equivalente

B CA

x x

1 2 1 donde A,B,C son

constantes reales. Calcule:

AB C

3

A) -1 B) 1 C) 3

D) 1

3 E)

5

3

RESOLUCIN Dividendo:

2

2 2

4x 2x 3 52

2x x 1 2x x 1

x x

52

2 1 1

Descomponiendo por fracciones parciales

5 10

3 32x 1 2x 1

Por tanto:

A= 2 ; B= 5

3 ; c

10

3

A

B C

2 5 101

3 3 3 3

RPTA.: A

109. Sabiendo que A,B,C y D son los numeradores de las fracciones

parciales en que puede ser descompuesta la siguiente fraccin:

3 2

22

4x x 3x 2

x x 1

Halle: A+B+C+D

A) 2 B) -5 C) 1

D) -1 E) 0

RESOLUCIN Descomponiendo en fracciones parciales:

x x x A B C D

x x xx x x

3 2

2 2 22

4 3 2

11 1

x x x

x x

3 2

22

4 3 2

1

Ax x B(x ) Cx x Dx

x x

2 2 2 2

22

1 1 1

1

Desarrollando y luego comparando coeficientes se

obtiene: A=1; B= -2; C=3; D=-4

Por lo tanto: A+B+C+D= -2

RPTA.: D

110. Sabiendo que la fraccin se transforma en otra equivalente.

2

3 2 2

5x 9x 4 A Bx C

x 2x 3x 3x 2 x x 1

Halle: A + B + C

A) 1 B) 5 C) 6 D) 8 E) -5

RESOLUCIN

2 25x 9x 4 A x x 1 Bx C x 2 Comparando coeficientes se tiene

A B 5 A=2 A B C 2 9 B=3

A C 2 4 C=1 A+B+C=6

RPTA.: C

111. Si la fraccin se descompone en fracciones parciales de la forma:

2

3 2 2

x 1 A Bx C

x 2x 3x 3x 2 x x 1

Halle el grado del MCM de los

polinomios P y Q.

Donde:

3 2P(x) x 5x 2x 8

2Q(x) 2x mx 4 ;

m (A B C) 9

A) 4 B) 2 C) 3

D) 3 E) 5

RESOLUCIN Desarrollando fracciones parciales

x A B x A B C x A C 2 21 2 2 A B 1, A+ 2B + C = 0, A + 2C = 1

A 5

3, B

2

3, C

1

3

A + B + C = 2

3

Por lo tanto: m= 6

Factorizando P (x) y Q(x)

P(x) x 1 x 2 x 4

Q(x) 2 x 1 x 2 MCM = 2 x 1 x 4 x 2 x 2 Grado =3

RPTA.: A

112. Al descomponer la expresin en

fracciones parciales se tiene los

numeradores A, B y C:

2

3 2

x 5

x 8x 17x 10

Luego se dan los polinomios:

P(x) x m x x 3 25 11 6

Q(x) x m x x m 3 21 3

siendo : m= A + B + C

Halle el grado del MCM

A) 2 B) 4 C) 5

D) 6 E) 3

RESOLUCIN Descomponiendo fracciones parciales se tiene:

x A B C

x x x x x x

25

1 2 5 1 2 5

x A x x B(x ) x C x x 2 5 2 5 1 5 1 2

Si x= -2B=-3

Si x=-1A= 3

2 A+B+C=1=m

Si x=-5C= 5

2

Entonces: 3 2P(x) x 6x 11x 6 3 2Q(x) x 2x x 2

Factorizando se tiene

P(x) x x x 3 1 2

Q(x) x x x 1 2 1 MCM P,Q = x x x x 1 2 3 1 Grado =4

RPTA.: B

113. Si: a,b,c, son nmeros diferentes

y:

P(x) x x xx d

(x a) (x b)(x c) x a x b x c

Calcule: a b c

p(a) p(b) p(c)

2 2 2

A) -2 B) -1 C) 0

D) 1 E) 2

RESOLUCIN Desarrollando se tiene:

P(x) x x a x b x b x c x a x c + x - d

Evaluando:

p(a) a(a b)(a c)

p(b) b(b a)(b c)

p(c) c(c a)(c b)

reemplazando en M:

a b c

Ma a b a c b b a b c c(c a)(c b)

2 2 2

M = 0

RPTA.: C

114. Indicar la respuesta correcta, luego de simplificar:

1 x1

1 3x11 x

1 31 3x

E1 x

11 3x1 31 x

1 31 3x

A) 1 B) x C) 2x

D) 3x E) -1

RESOLUCIN Desarrollando el numerador se

tiene:

x

x

8

2 6

y el denominador : x

8

2 6

reemplazando y simplificando

x

xE

8

2 6

x

8

2 6

x

RPTA.: B

115. Si: ab bc ac abc 2 2 2 2

Simplificar:

a b b c c ac a b

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 11 1 1

2 1 2 1 2 1

A) 0 B) 1

C) a b c 2 2 2 D) a b c 2 2 2

2

E) abc

RESOLUCIN De la condicin se tiene:

2

2 2 2

1 1 c 1

a b c

2

2 2 2

1 1 a 1

b c a

2

2 2 2

1 1 b 1

c a b

Entonces reemplazando en la expresin:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

c 1 a 1 b 11 1 1

c a b

2c 1 2a 1 2b 1

2 2 2

1 1 11

c a b

RPTA.: B

116. Si se verifica que:

2 a b 2ab a b a 1 b 1

Simplificar:

ab a 2 ba b 2E

b 1 a 1

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIN

a b b aE

b a

1 2 1 2

1 1

E a bb a

2 2

1 1

de la ecuacin se tiene:

a ba b

a b

2 2

1 1

Entonces reemplazando en E

a bE

a b b a

2 2 2 2

1 1 1 1

E = 4 RPTA.: D

117. Simplificar la siguiente expresin

y halle: a

c

a a c a c c c. .

a ac c a b bc a c c

c c a

bc

3 3

2 2 2 2

11

21

A) 1 B) 2 C) -1

D) -2 E) 3

RESOLUCIN

a a c

a ac c 2 2

a c a ac c.

2 2

b a c a c .

1c

a c c

11

c c a

bc

2

2

a a c

c a c

.b a c a c c

2

c c a

bc

2

2

abc c a c 2

cb a c c c a 2 2

a

a c

2

a

c 2

RPTA.: D

118. Al reducir la expresin:

2

2

x 1 x 1 2

1 1 1x 1 x 1 x

1 1 xx 1 x 1

x 1 x 1

Se obtiene:

A) 1 B) x x 2 1

C) x x 2 1 D)x x 4 2 1

E) x x 4 2 1

RESOLUCIN

Desarrollando:

2

4

2 2

x 1 x 1 2x

x 1 x 1 x 1x 1 x 1

x x

2 2 2

2 2 4

x x 2x

x 1 x 1 x 1

2 2

4 4

2x 2x1

x 1 x 1

RPTA.: A

119. Sabiendo que la fraccin:

ax by

p x m xy m y

2

2 2 2 2 22

toma un valor constante k.

k 0, para todo valor de x,y; xy

0 , Halle:

a b p m

a b p m

2 2 2 2

2 2 2 2 en trminos de

k.

A) k

k

1

1 B)

k

k

2

2

1

1 C) k+1

D) k-1 E) k 2 1

RESOLUCIN

ax by k p x m xy m y 2 2 2 2 2 2

2

a x abxy b y k p x m xy m y 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 Comparando coeficientes:

a kp ;2 2 b km ;2 2 ab km 2

Entonces reemplazando en:

a b p m kp km p m

a b p m kp km p m

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

m p ka b p m

a b p m m p k

2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1

1

a b p m k

a b p m k

2 2 2 2

2 2 2 2

1

1

RPTA.: A

120. Simplificar:

ax ax ax ax

ax ax ax a x

4 41 2 3 1

1 1 2 1 3

A) ax

ax

1

2 B)

a x

a x

2 C)

x a

x a

2

D) 1 E) a

x

RESOLUCIN Haciendo: ax=m

m m m m

m m m m

41 2 3 1

1 1 2 1 3

Agrupando:

m m m

m m m m

2 2

2 4

3 3 2 1

2 3 1 3 1

Factorizando:

m m

m m

22

22

3 11

3 1

RPTA.: D

SEMANA 7

NMEROS COMPLEJOS

121. Sea el complejo : 1 i

Calcule 12

A) 32 B) -32 C) -64

D) 64 E) 128

RESOLUCIN

Si: 22Z 1 i Z 1 i 2i

Si: 22 4Z 2i Z 2i 4

312 4 64

RPTA.: C

122. El equivalente de:

8

1 i 1 i

1 i 1 i1 1

1 i 1 i1 1

1 i 1 i

ser:

A) 2i B) 0 C) -2i

D) 64 E) 256

RESOLUCIN

Sabemos: 1 i 1 i

i i1 i 1 i

Operando:

8 8

i i 2i 256

RPTA.: E

123. Si, n , calcule el valor de 4n 6

1 2i

22

A) 4 B) i

C) n 1

1 i

D) n 1

1 i

E) 1

RESOLUCIN

2n 34n 6 2 2n 3

2n 31 1 1 i 2ii i22 2 2

n n n 12 2i i i 1 ( 1)i 1 i

RPTA.: D

124. Calcule el valor de :

n

n 2

1 i

1 i

; donde n

A) -2 B) n2i C) n 12i

D) -2i E) n 12i

RESOLUCIN

n n2

n 2

1 i 1 i1 i

1 i1 i 1 i

n n 1i 2i 2i RPTA.: C

125. El equivalente de:

17 51

11 2i 1 2i 1 ; es:

A) 1 B) -3 C) -2

D) -i E) 1 3

i2 2

RESOLUCIN

17

3 17 171 2i 11 2i 11 2i

Luego:

17 17

E 11 2i 11 2i 1 1

RPTA.: A

126. Halle m + n; a partir de

21 1 i

1 im ni 1 1

A) 2

5 B)

1

5 C)

1

5

D) 1

7 E)

2

7

RESOLUCIN

*

21 i 1 i

i 11 i 1 i

1

i 2m ni

1 2 i

m ni2 i 2 i

2m

2 i 2 1 5m ni i

5 5 5 1n

5

1

m n5

RPTA.: C

127. Qu valor asume k, si k 3i

2 5i

es

un complejo imaginario puro?

A) 2 B) -2 C) 15

D) 15

2 E) 1

RESOLUCIN

15

2k 15 k2

RPTA.: D

128. Sabiendo que: a bi x yi .

Calcule:

2

2 4

b

ay y

A) 4 B) -4 C)-2 D) 2 E) 1

RESOLUCIN

2 2a bi x y 2xyi

2 2a x y b 2xy

2 2 2 2 2x a y b 4x y

2 2 2b 4 a y y 2 2 4b 4 ay y

2

2 4

b4

ay y

RPTA.: A

129. Calcule:

39

40

1 3i

1 i

A) 2 B) 202 C) 192

D) 202 E) 192

RESOLUCIN

39 39 391 3i 2Cis60 2 Cis 2340

10

40 4 201 i 1 i 2

Cis 2340 Cis 6 360 180

39 1920

2 12

2

RPTA.: E

130. Si: Z C Z Z 7Im(z)

Calcule: Z 3,5i

A) 3,5 B) 2,2 C) 2,1

D) 2,4 E) 1,2

RESOLUCIN Sea: Z a bi

a bi a bi 7b

2 2a b 7b

nos piden : 7

Z 3,5i a bi i2

2 27 49

a b i a b 7b2 4

49 7

7b 7b 3,54 2

RPTA.: A

131. Calcule:

6

2 cos isen12 12

A) 8i B) 8 C) -8i

D) -8 E) 32

RESOLUCIN

6

2 cos isen2 2

32 0 i 1 8i RPTA.: A

132. Sean los complejos

1 2Z 1 i Z 3 6i

Halle el mdulo de 2 3

1 2Z Z

A) 1

2 B)

7

2 C)

27

2

D) 13

2 E)

29

2

RESOLUCIN

2 12

1Z 1 i 2i

3 2

3

2Z 3 6i 3 6 i 3 6 i

15 3 3 6i

Piden:

32 3 2

1 2 2

1

Z 15 3 3 6IZ Z

Z 2I

3 6 15

3i2 2

2 2

3 6 15 3 3 6 15 3i

2 2 2 2

El mdulo es: 27

2

RPTA.: C

133. Calcule:

2343 331 542 300

55 242 328

i i i i

i i i

A) -3 B) -4 C) -5 D) -2 E) -1

RESOLUCIN o o

2343 4 3 ;300 4 o

331 4 3 ; o

542 4 32;

3 3 2

2

i i i 1 2i2

i i 1 i

RPTA.: D

134. Calcule: 555555 333i i

A) i B) -i C) 2i D) -2i E) 0

RESOLUCIN

o o

555555 4 3 333 4 1

3333 1i 1 i i i 21

RPTA.: D

135. Halle un nmero complejo cuyo

cuadrado sea igual a su

conjugado.

A) 1

i2

B) 1

1 i2

C) 1 3

i2 2

D) 1 3

i2 2

E) 1

RESOLUCIN

Sea el complejo: Z a bi

Z a bi

Luego: 2

a bi a bi

2 2a b 2abi a bi

2 2a b a

2ab b

Resolviendo: 1

a =-2

Luego:

2

21 1b2 2

2 21 1 3

b b4 2 4

3

b2

Luego el complejo buscado ser

1 3

Z i2 2

RPTA.: C

136. Si: 2

Z 3Re Z

Halle: 3

Z2

A) 1

2 B)

3

2 C)

3

2

D) 2 E) 1

RESOLUCIN Sea: Z = a + bi

Por condicin:

(a+bi) = 3a

(ab) + 2abi = 3a + 0i

a b 3a;

2ab 0

Resolviendo el sistema:

1 2

1 2

a 0 a 3

b 0 b 0

3 3

Z2 2

RPTA.: B

137. Calcule : 5 12i

A) 3 2i B) 2 3i C) 3i D) 2i

E) 1 + i

RESOLUCIN

Recordemos:

Z a Z aa bi i

2 2

5 12 i 25 144 169 13

Luego:

13 5 13 55 12i i

2 2

5 12i 3 2i

RPTA.: A

138. Indicar uno de los complejos

resultantes de: 3 4i 3 4i

A) 4 B) 4 C) + 2

D) 2 i E) 2i

RESOLUCIN

E 3 4i 3 4i

2

4E 3 4i 3 4i

4E 3 4i 3 4i 2 9 16

4E 6 2 25

4 4E 6 10 E 16

E = 2

RPTA.: C

139. Resolver la ecuacin en C/ C

2Ln 3iLn 4 0

A) 4i B) ei C) 4ie

D) 4i ie ;e E) i 4ie ; e

RESOLUCIN

(LnZ) 3i LinZ 4i2 = 0

LnZ 4i

LnZ i

De donde:

LnZ = 4i LnZ = i

Z1 = e4i Z2 = e

i

RPTA.: E

140. Calcule:

4 12i 3 4i

A) 13 B) 14 C) 16

D) 17 E) 20

RESOLUCIN

* 3 4i 5

* 12i 5 144 25 13

4 13 17 17

RPTA.: D

SEMANA 8

TEORA DE ECUACIONES

141. Calcule k para que la ecuacin se reduzca a una de primer grado.

2k 3 3kx 22k 3

x 1 x 1

A) -2 B) -3 C)1 D) 2 E) 3

RESOLUCIN

22k 3 x 1 3kx 2 x 1 2k 3 x 1

2 22kx 2kx 3x 3kx 3kx 2x 2

=2 22kx 2k 3x 3

2 2 25kx kx 5x 1 2kx 3x 2k 3

2 23kx 3x k 5 x 2k 2 0

23k 3 x k 5 x 2k 2 0

3k 3 0 k 1 RPTA.: C

142. Calcule el valor de x en:

x n x m1

n m

A) m B) n

C) mn

m n D)

m

n n

E) n

n m

RESOLUCIN

xm mn nx mn mn

x(m n) mn

mn mn

xm n m n

RPTA.: C

143. Halle 2x en :

; x C2 x

2x xx 2

A) 4

3 B)

3

4

C) x C

D) -3 E) -4

RESOLUCIN

2 2 2 2 2x 4 4x 2x 5x 2x 4

2 24

3x 4 x3

RPTA.: C

144. Resolver en x

a bx a bx abx

a ba b a b a b

A) -2 B) 1 C) 2 D) 3 E) a + 2b

RESOLUCIN

a b

a bx a b a bx a b

a b

a babx

a b

ab x = 2 ab x = 2

RPTA.: C

145. Si 1 2 3x ;x ;x son las races de la

ecuacin

3 2x n 1 x 2nx n 3 0

Calcule: 1 2 3x 1 x 1 x 1

A) 1 B) 2 C) -3 D) 4 E) -1

RESOLUCIN Por cardano:

* 1 2 3x x x n 1 * 1 2 1 3 2 3x x x x x x 2n

* 1 2 3x x x n 3

lo pedido es : 1 2 31 x x x 1 2 1 3 2 3 1 2 3x x x x x x x x x 3

RPTA.: C

146. Si la ecuacin paramtrica en x presenta infinitas soluciones

calcule el valor de a + b.

2ax 1 2x b

A) -2 B) 2 C) 3 D) -2 E) -3

RESOLUCIN

2

2 b 1a 2 x b 1 xa 2

a = 2 2b 1 b 1

a + b = 3 a +b = + 1 RPTA.: C

147. Si a y b son las soluciones de la

ecuacin cuadrtica

2x 2x 7 0

Calcule 2 2a 5 b 5

a 1 b 1

A) 3 B) 2 C) 4

D) 5 E) 7

RESOLUCIN

2 2a 2a 7 0 a 5 2a 2

2

2a 5 2 b 2b 7 0a 1

2b 5

2b 1

a 5 b 5

4a 1 b 1

RPTA.: C

148. Qu podemos afirmar acerca de

esta ecuacin?

1x x 2 x 3 x 2 2 0x

A) Tiene 5 soluciones

B) Tiene 4 soluciones

C) la suma de las soluciones es 7

2

D) es incompatible E) 3 soluciones

RESOLUCIN x 0 x 0 (no)

x 2 0 (no) x 3 0 x 3

1 1

2 0 xx 2

1 21 7

x x 32 2

RPTA.: C

149. Calcule el valor de si la ecuacin de segundo grado

24 x 2 x 1 0; tiene solucin nica.

A) 2 B) 4 y -2 C) -4 y 2 D) 2 y 4 E) 2

RESOLUCIN 4 0

2 2 8 0

4 2 0 4 2

RPTA.: C

150. Si 3 2 2 es una raz irracional

de: 3 22x 11x mx n

m,n , calcule el valor: mn

A) 4 B) 8 C) 1 D) 7 E) *

RESOLUCIN

Si: 1 2x 3 2 2 x 3 2 2

de la ecuacin 1 2 3

11x x x

2

6

3

1x

2

adems: 1 2 3

nx x x n 1

2

luego: 1 2 1 3 2 2

mx x x x x x

2

2 m = 4

41 1 RPTA.: C

151. Encontrar el conjunto de solucin

de:

1 14x 2 x 4

x 2 x 2

A) 2 B) 1;2 C)

D) 2 E) 4

RESOLUCIN x 2 4x-x=4+2 3x 6 x 2 Pero x 2 x

RPTA.: C

152. Calcule el menor valor de k, si las

races de la ecuacin

4 2x k 4 x 4k 0 ; estn en progresin aritmtica.

A) -4 B) -9 C) 4

9

D) 36 E) 2

3

RESOLUCIN Si: las races de:

4 2ax bx c 0

estn en P.A. 29b 100ac

2

9 k 4 100 1 4k ; k 0

3k 20 k 12 0

4

k k 369

RPTA.: C

153. Indique una solucin de la ecuacin.

4 29x 7x 2 0

A) 9 B) 2 C) 1 D) 3 E) -3

RESOLUCIN 4 29x 7x 2 0 29x + 2

2x - 1

2 29x 2 x 1 0 2x 1 x 1

RPTA.: C

154. Si: 1 2 3 4x ;x ;x ;x son races de la

ecuacin: 4 210x 7x 1 0

Calcule el valor de 4 4 4 4

1 2 3 4x x x x

A) 2

25 B)

1

2 C)

29

50

D) 1

25 E)

1

4

RESOLUCIN Factorizando:

2 25x 1 5x 1 0

5x 1 5x 1 2x 1 2x 1 0

1

1x

5 2

1x

5

3

1x

2 4

1x

2

4 4 4 41 2 3 41 1 1 1

x x x x25 25 4 4

4 4 4 41 2 3 42 1 29

x x x x25 2 50

RPTA.: C

155. Luego de resolver:

2

2

1x x 1 2

x x 1

Seale el menor valor de

3x

2

A) 1

4 B)

1

4 C)

1

8

D) 4 E) 2

RESOLUCIN

2 2x x 1 1 x x 2 0

x 2 x 1 0 x 2 x 1

31 1

2 8

RPTA.: C

156. Resuelve la ecuacin 32x 1 x 4 5 e indique el

valor de 2x

A) 4 B) 3 C) 16

D) 19 E) 1

4

RESOLUCIN

Sea: 33 x 4 a x a 4

32 a 4 1 a 5

32a 7 5 a; a 5 al cuadrado miembro a miembro

3 2 a2a 7 25 a 10

3 22a a 10a 32 0

2a 2 a 3a 16 0 aqu a R

a = 2

3 x 4 2 x 4 8 x = 4

nos piden : 2x 16

RPTA.: C

157. Dadas las ecuaciones 3 2 3x mx 18 0; x nx 12 0

que tienen dos races comunes seale el valor de m.

A) -3 B) 3 C) 1 D) 2 E) -2

RESOLUCIN De:

3 2 sx mx 18 C ; ;

3 2 sx nx 12 C ; ;

Por cardano

...(I)

adems:

3k 2k

en (I): - k = m 3m

En la ecuacin:

2 -1 10 -32

2 4 6 32

2 3 16 0

m

= - m

= 0

18

12

3

2

3 327m 9m 18 0

318m 18 m 1

RPTA.: C

158. Si: 3 25 es una raz de la

ecuacin: 5 4 3 2x bx cx 34x 0 Calcule

el valor de b ; b y c R

A) 2 B) 3 E) 5 D) 4 E) 7

RESOLUCIN

2 3 2x x bx cx 34 0

2x 0 ( raz doble)

3 2x bx cx 34 0

Si 1 2x 3 5i x 3 5i

Por cardano:

1 2 3x x x 34

3 334 x 34 x 1

Adems: 1 2 3x x x b

6 + -1 =b b = 5 RPTA.: C

159. Resolver:

2 2 2x 4x 8 x 4x 4 2x 8x 12 A) x = 2 B) x = 1 C) x = -2

D) x = 3 E) x = 0

RESOLUCIN 2x 4x 6 n n 2 n 2 2n

al cuadrado m.a.m:

n 2 n 2 2

22 n 4 2n

2n 22 n 4 2n

2n 4 n 2 n 0 (I) n = 2

luego : 2x 4x 6 2

2x 4x 4 0

2

x 2 0 x 2

RPTA.: C

160. Halle k para que la diferencia de races sea uno.

22x k 1 x k 1 0 A) - 2 B) -3 C) 11

D) 1 E) 2

RESOLUCIN 2

1 2 1 2

b 4acx x x x

a

2k 1 4 2 k 1

12

22 k 2k 1 8k 8

24 k 10k 7

2k 10k 11 0

k 11 (k 1) 0 k = 11 k = -1

RPTA.: C

SEMANA 9 SISTEMAS DE ECUACIONES

161. Qu valores de K hara que el

sistema

K 3 x 2K 3 y 24

K 3 x K 1 y 8 no acepte solucin?

A) 2 B) 1 C) - 1

D) 3 E) 6

RESOLUCIN Como:

1 1 1a x b y c

2 2 2a x b y c 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c

solucin

K 3 2K 3

K 3 K 1 2K 3 K 3K 3 K 1

2 2K 2K 3 2K 3K 9

2K 5K 6 0

K - 6 K + 1

K 6 K 1 0 K = 6 K = -1

Adems:

K 3 24

K 3 8

K 3

3K 3

K 3 3K 9

12 2K

6 K

K = -1

RPTA.: C

162. Examine para que valores de a y b el sistema:

x y z 0

x y 2z 1

2x 4y az b

posee infinitas soluciones, indique

a x b.

A) 0 B) 1 C) -1

D) 2 E) -2

RESOLUCIN Para infinitas soluciones:

g 0

x 0

A + 4 + 2b (- b + 1) = 0 3b = - 3

b = - 1 a x b = -1

RPTA.: C

163. Seale una raz de la ecuacin:

3 2x 4x 6x 4 0

A) 1 + i B) 1 - i C) 3 + i

D) 3 - i E) A y B

RESOLUCIN

Divisores del T.I.: 1,2,4 evaluando para x = 2

Una raz es x = 2

Las otras races se obtienen al

resolver.

2 2 4x 2x 2 0 x2

RPTA.: E

164. El conjunto solucin de la ecuacin:

3 2K 4 x K 3 x 3 0

es 1; ; Calcule el valor de

A) 1 B) 3 C) - 3

D) 2 3 E) 4 3

RESOLUCIN Como una raz es x = 1 K 4 + K - 3 - 3 = 0

g

1 1 1

1 -1 1

2 4 a

1 1 1

1 -1 2

0 a 4 4 2 8 a 0

x

1 1 1

1 -1 2

b 4 1

0 1 1

1 -1 2

= 0

X = 2

1 - 4 + 6 - 4

2 - 4 + 4

1 - 2 + 2 0

K = 5

La ecuacin es: 3 2x 2x 3 0

Por Ruffini:

3 3 i 3 3x i; 3

2 2 2

3 3 i 3 3x i; 3

2 2 2

2 3

RPTA.: B

165. Formar la ecuacin de cuarto grado de coeficientes reales; si

dos de sus races son: 1 2i y

1 2i .

A)4 3 2x 4x 12x 16x 15 0

B)4 3 2x 4x 12x 16x 15 0

C)4 3 2x 4x 12x 16x 15 0

D)4 3 2x 4x 12x 16x 15 0

E)4 3 2x 4x 12x 16x 15 0

RESOLUCIN 1x 1 2i

2x 1 2i S 2 y P 5

2x 2x 5 0

1x 1 2i

2x 1 2i S 2 y

P 3

2x 2x 3 0

Multiplicando:

2

2 2x 2x 8 x 2x 15 0

Ecuacin resultante:

2 3 2x 4x 12x 16x 15 0

RPTA.: A

166. Formar la ecuacin de cuarto grado de coeficientes racionales si

una de sus races es 3 5i .

A) 4 2x 4x 64 0

B) 4 2x 8x 16 0

C) 4 2x 4x 16 0

D) 4 2x 16x 64 0

E) 4 2x 16x 16 0

RESOLUCIN

x 3 5i

Elevando al cuadrado.

2x 3 5 2 15i

2x 2 2 5i

Elevando al cuadrado.

4 2x 4x 4 60

4 2x 4x 64 0

RPTA.: C

167. En el polinomio cbico

3P(x) x x 1

Se observa que

P a P b P c 0 Calcule el valor numrico de

3 3 3P a b c ab ac bc abc A) - 17 B) - 11 C) - 21

D) - 28 E) - 29

RESOLUCIN Se cumple que

3x x 1 x a x b x c

3 3 2x x 1 x a b c x

ab ac bc x abc

3 3 3a b c 0 a b c 3abc

ab + ac + bc = + 1

abc = -1 3 abc = - 3

P 3 1 1 P 3 27 3 1

P 3 29 RPTA.: E

X=1

1 2 0 - 3

1 3 3

1 3 3 0

168. Calcule el valor de (a + b) en la ecuacin:

4 3 22x x 3x ax b 0 ; {a;b}

Si se sabe que una de sus races es: 1 + 2 i

A) 31 B) 34 C) 35 D) 38 E) 39

RESOLUCIN x1 = 1 + 2i

x2 = 1 2i x1.x2 = 2; x1.x1 = 5 x 2x + 5 = 0 Por Horner:

a = 19 ; b = 15 a + b = 34

RPTA.: B

169. Halle el trmino independiente de una ecuacin de grado mnimo de

coeficientes reales, si se sabe que su conjunto solucin es

i; i; 2i; 2i;.......; ni; ni

A) nn B) 2n C)

D) E)

RESOLUCIN Obsrvese que:

2x i x i x 1

2x 2i x 2i x 4 . .

.

2 2x ni x ni x n

2T.I 1 4 ... n

2

T.I 1 2 ... n

RPTA.: E

170. Seale el valor de a en la ecuacin:

7 6 22a 7 x 2x 5x a 6 0 si se sabe que la suma de sus races excede al producto de las mismas en una unidad.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

RESOLUCIN

Suma= 2

2a 7; Producto=

6 a

2a 7

Ecuacin:

2 6 a

12a 7 2a 7

; operando

a 4 = 2 a 7 3 = a

RPTA.: C

171. No es solucin de la ecuacin:

10 10

x 1 x 1 48x x

; es

A) -1 B) 2 C) -5

D) 4 E) A D

RESOLUCIN

210

x z z 1 48x

z 7

Si: 10

x 7x

10

x 7x

2x 7x 10 0 ; 2x 7x 10 0

(x 2) (x 5) = 0 ; (x+2)(x+5) = 0 x = 5 x = - 2

x = 2 x = - 5

RPTA.: E

2

T.I n

n2n

2n

1

2

- 5

2 1 3

4 - 10

a b

6 - 15

2 5 3 0 0

10 - 25

172. Halle la relacin entre los coeficientes de la ecuacin:

4 2ax bx c 0

para que sus races reales estn en progresin aritmtica.

A) 24b 49ac

B) 28b 49ac

C) 29b 100ac

D)216b 100ac

E) 225b 100ac

RESOLUCIN

3 (x + 3) (x+)(x)(x3) = 0

2 2 2 2x 9 x 0 Equivalencia resultante

4 2 2 4 4 2b c

x 10 x 9 x xa a

2

2 4

12

b b10 100 ...

a a

2 4 2b c

10 9 ...a a

Tambin:

2

2

1 2

100 b9b 100ac

9 ac

RPTA.: C

173. Resolver: La ecuacin

x 5 x 7 x 4 x 6 504 y halle la suma de los cuadrados

de las races negativas.

A) 53 B) 57 C) 61 D) 62 E) 64

RESOLUCIN Multiplicando convenientemente

x 5 x 4 x 7 x 6 504

2 2x x 20 x x 42 504 Haciendo

2x x z

z 20 z 42 504

2z 62z 336 0

z 56 z 6 0 Regresando a la variable original.

2 2x x 56 x x 56 0 x 8 x 7 x 3 x 2 0 x 7 x = -2

2 2

7 2 53

RPTA.: A

174. Resolver:

x y 3 3 35

x y 5

A) c.s ; 2 3

B) c.s ; 3 2

C) c.s ; ; ; 1 2 2 3

D) c.s ; ; ; 2 3 3 2

E) c.s ; ; ; 3 2 1 2

RESOLUCIN

x y 3 3 35; x+ y = 5

x y x xy y 2 2 35 x = 5 y x xy y 2 25 35 x xy y 2 2 7

y y y y 2 2

5 5 7

y y 23 15 18 0

y y 2 5 6 0

y x 3 2

y x 2 3 c.s ; ; 2 3 3 2

RPTA.: D

175. Resolver:

y x 2 25 7 17

xy x 25 6 6

e indicar como respuesta la suma de todos los valores de y

A) 7 B) 14 C) 0 D) -7 E) 1

RESOLUCIN

y x 2 25 7 17

xy x 25 6 6

y x 2 230 42 102

xy x 285 102 102

y xy x 2 230 85 60 0

y xy x 2 26 17 12 0

3 y - 4 x y

x 3

4

2y - 3 x y

x 2

3

Si y y

x y

2

23 35 7 17

4 4

y 4

Si y y

x y

2

22 25 7 17

3 3

y 3

4 3 0

RPTA.: C

176. Resolver:

x y 2 2 180

x y

1 1 1

4

e indicar como respuesta la suma de todos los valores posibles de

x

A) 7 B) 8 C) 28

D) 4 E) -4

RESOLUCIN Haciendo x v y v

v v 2 2

180

v 2 2 90

x y

xy

1

4

v v v v 4

v 2 28

v 2 290

20 2 8 90

20 4 45

v 9 3

v 5 65

;vC.S. ; ; ; ; ; 9 3 9 3 5 65 5 65 C.S. ; ; ; ; 12 6 6 12 5 65 5 65

; 5 65 5 65 x 12 6 5 65 5 65 x 8

RPTA.: B

177. Resolver:

x xy y 2 23 2 3

x xy y 2 25 6 15

Se obtuvo: C.S.= a;b c;d , segn esto halle (a + b + c + d).

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) -2

RESOLUCIN

x xy y 2 23 2 3 x (-5)

x xy y 2 25 15 10 15

x xy y 2 25 6 15

x xy y 2 24 10 4 0

2 22x 5xy 2y 0

x2 y y = - 2x

x 2 y y = x

2

Si y = - 2x x x x x 22

3 2 2 2 3

x 1

Si x y ; 1 2 1 2

Si x y ; 1 2 1 2

Si x

y

2

x xx x

2

25 6 15

2 2

x x x ( ) 2 2 22 5 3 15 2

0 30

C.S. ; ; ; ; 1 2 1 2 Luego a + b + c + d = 0

RPTA.: A

178. Halle la suma de las races de la ecuacin:

x x x x 2 22 2 2 2 1

A) 1 B) 2 C) 3 D) -4 E) 4

RESOLUCIN

Haciendo x x a 2 2

a a 2

2

1 2 2

a a a 2 2 1 4 8

a a 2 6 7 0

x x x x 2

2 22 6 2 7 0

x x x x x 4 3 2 24 4 6 12 7 0

x4 4x 2x + 12x 7 = 0

1

0

a 4S 4

a 1

RPTA.: E

179. Al resolver:

x x

x x

3 3

2 2

3 47

3 4

indicar como respuesta la diferencia de los cuadrados de sus

races.

A) 7 B) 6 C) 5

D) 4 E) 3

RESOLUCIN Haciendo:

3 x a +

4 x b 7 = a + b

Luego:

3 3

2 2

a ba b

a b

3 3 3 2 2 3a b a ab a b b

0 ab b a b a 0 ab 0

7 0 3 x 4 x 0 x 3 x 4

C.S. 4;3

2 2

4 3 7

RPTA.: A

180. Halle el valor de x , sabiendo que es un nmero entero positivo

de:

x x x 4 35 3 296

A) 4 B) 11 C) 31 D) 16 E) 17

RESOLUCIN

x x 43 3

5 3 296

haciendo x a4 3

a a a a , 25 3 296 0 8 7 4

x 4 3 8 x , 4 3 7 8

x 4

3 32

x = 16

RPTA.: D

SEMANA 10

INECUACIONES

181. Resolver:

x 1 x 2 x 2 x 3 0 , e indicar el menor valor entero.

A) - 2 B) - 1 C) 0

D) 1 E) 2

RESOLUCIN

2 2x x 2 x x 6 0 2 2x x 2 x x 6 0 2x 4 0

x 2

x 2;

El menor valor entero ser: -1

RPTA.: B

182. Si: x , a que intervalo

pertenece la expresin algebraica:

2

5

x 4

A) 5

,4

B)

4

50,

C) 50, D) 0,4

E) 5

0,4

RESOLUCIN x

2x 0

2

1 10

4x 4

2

5 50

4x 4

RPTA.: E

183. Si a>0, b>0, 3a 5b hallar el

mayor numero M que cumpla lo

siguiente: 3a 5b

M5b 3a

.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

RESOLUCIN Como 3a 5b

2

3a 5b 0

2 29a 25b 30ab

3a 5b

25b 3a

RPTA.: B

184. Si 1< x < 5

Simplificar:2 2E x 2x 1 x 10x 25

A) 2 B) 4 C) 2 x-6 D) x-3 E) x + 3

RESOLUCIN

2 2

E x 1 x 5

E x 1 x 5

Como:

1 x 5

0 x 1 4

y:

1 x 5

4 x 5 0

E x 1 5 x 4 RPTA.: B

185. Halle el menor numero impar que

se debe asignar a K en: 2k x 8x 4 0 , con la condicin

que sus races sean nmeros

complejos:

A) 1 B) 3 C) 5

D) 7 E) 9

RESOLUCIN 2k x 8x 4 0

20 b 4ac 0

28 4k x4 0

64 16k 0

4 k 0 k 4

menor impar: k = 5 RPTA.: C

186. Halle el complemento del conjunto

solucin de:1

3x

A)

3

10, B)

10,

3

C) 1

0,3

D) 1

0,3

E) 1

,3

RESOLUCIN

1

3x

1

3 0x

1 3x0

x

1 3x

0x

3x 1

0x

Puntos crticos

Complemento: 1

0;3

RPTA.: A

187. Si: 02 x , a que intervalo

pertenece la expresin: 23

4 x2

A) 4,0 B) 0,2

C) 0,3 D) 0,4

E) 3

0,2

RESOLUCIN Si: 2 x 0

20 4 x 4

20 4 x 2

23

0 4 x 32

RPTA.: C

188. Resolver: 2x 6x 16 0

A) 7

, 24

B) x

C) 8,4 4,

D) , 8 4,

E) x

RESOLUCIN

01662 xx

07962 xx

073 2 x RPTA.: E

189. Indicar el intervalo solucin que satisface la desigualdad:

24x 3x 7

0x 2

A) x 1;

B) x 7 /4;1 2;

C) 7

x ; 1;24

D) x 1;2

E) 7

x ;4

RESOLUCIN

24x 3x 7

x

+-+

0 1

3

0 1

3

4x 7 x -1

4x 7 x 1

0;x 2x 2

Puntos

crticos x 1 0 x 1

x 2 0 x 2

7

x ;1 2;4

RPTA.: B

190. Halle la suma de todos los nmeros enteros que satisfacen la

siguiente inecuacin:

24x 3x 2x 1

A) 5

4 B) 0 C)1

D) 3 E)

RESOLUCIN

24x 3x 2x 1 0

24x 5x 1 0

4x - 1 x - 1

4x 1 x 1 0 Puntos crticos:

1

x ;14

RPTA.: C

191. Resolver: 22x 3x 5 0

A) x B) x

C) 31

x16

D) 31 3

x ;16 4

E) 3

x4

RESOLUCIN

22x 3x 5 0 2

23 5

x x 02 2

2 2

2 3 3 3 5x 02 4 4 2

la mitad

23 9 5

x 04 16 2

23 9 5

x4 16 2

23 31

x4 16

+ > - x

RPTA.: A

192. El intervalo en el cual se satisface

la inecuacin: 2

2

x x 60

x x 6

es: a;b c;d ; Calcule:

2 2 2 2a b c d

A) 13 B) 18 C) 23

D) 26 E) 32

RESOLUCIN

Factorizando el nmerador y denominador; vemos que:

x 3 x 2

0x 3 x 2

74x 7 0 x

4

- + - +

7

4

1 2

14x 1 0 x

4

x 1 0 x 1

- - +

1

4

1

P.CN

x = 3

x = - 2

x = - 3

x = 2D

En la recta real:

x 3; 2 2;3

a = - 3

b = - 2 2 2 2 2a b c d 26

c = 2 d = 3

RPTA.: D

193. Indique el conjunto solucin de la

inecuacin: 2

2

x x 61

x x 6

A) ; 2 0;3

B) ; 1 1;

C) ;0 3;

D) ; 2 1;6

E) ; 2 1;

RESOLUCIN

Pasando todo al primer miembro 2

2

x x 61 0

x x 6

2 2

2

x x 6 x x 60

x x 6

2x

x 3 x 2

x ; 2 0,3

RPTA.: A

194. Resolver:

x a x b

2 x 0x a x b

Si: 0 < b < a

A) 2ab

b;a b

B) a;0

C) a;b

D) b;0

E) a;b

RESOLUCIN

x a x b

2x a x b

2 a b x 4ab0

x a x b

Puntos referenciales:

2ab

x ;x a;x ba b

Como x 0

x a,0

RPTA.: B

195. Calcule el conjunto solucin de: 3 2x 1 x x

A) 4, 1 B) 1,1

C) 1, D) ,1

E) 1,

RESOLUCIN 3 2x 1 x x

3 2x x x 1 0

2 2x x 1 x 1 0

2 2x x 1 x 1 0

2x 1 x 1 0 x 1 x 1 x 1 0

2

x 1 x 1 0

-+ +-+

- 2 0 2 3-3

P.C

Nx = 0

x = 3

x = -2D

-+ +-

- 2 0 3

- a b 2ab

a b

Puntos crticos:

x 1,

RPTA.: E

196. Resolver:

2x x 20 0 .(1)

2x 6x 9 0 .(2)

2x x 2 0 .....(3)

A) x 4 B) x 5

C) x 4 D) solucin

E) 4 x 5;x 3

RESOLUCIN De (1):

2x x 20 0

x - 5 x + 4

x 5 x 4 0

5 - 4

Por puntos crticos:

De (2):

2x 6x 9 0

2

x 3 0

x 3 De (3):

2x x 2 0

2 1 7x x 04 4

2

1 7x 0

2 4

x

Al interceptar:

x 4,5 3 RPTA.: E

197. El conjunto solucin de la

inecuacin: 2ax bx c 0

Es: ;3 6; Calcule a+b+c.

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

RESOLUCIN La solucin se deduce de la inecuacin

x 3 x 6 0 2x 9x 18 0

Con lo cual 2 2ax bx c x 9x 18

a + b + c = 10 RPTA.: C

198. Seale el valor mximo de k en la

inecuacin: 22x k x 2 3x de

modo que la desigualdad se

cumpla para todo valor de x.

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4

RESOLUCIN Preparando la inecuacin, se

tendra 22x k 3 x 2 0 la condicin es : 0 ; es decir

2

k 3 4 2 2 0

2 2k 3 4 0

k 3 4 k 3 4 0

k 1 k 7 0

Los puntos crticos son k= -1; k=7 en la recta real

+ +-

-1 1

- ++

- 4 5

a = 1

b =-9

c =18

+

-1 7

- +

0- 4 5

3

k 1;7

maxk 6

RPTA.: C

199. Seale el valor entero que

satisface al sistema.

2x 5x 24...(1)

2x 2x 24...(2)

A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8

RESOLUCIN 1. 2x 5x 24 0 x 8 x 3 0

2. 2x 2x 24 0

x 6 x 4 0

3. Interceptando

x = 7

RPTA.: D

200. El mayor valor entero negativo

que satisface a la inecuacin:

2 36 4

2

x 1 x 1 x 20

x 4x 3

es:

A) - 4 B) - 5 C) - 2 D) - 3 E) -1

RESOLUCIN

Factorizando, se tiene

2 2 33 3 4x 1 x 1 x 1 x 2

0x 1 x 3

3

4x 1 ; se descarta ya que sus

races sus complejas.

Factorizando de nuevo.

2 22 22 2x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 20

x 1 x 3

se descartan los factores: 2x x 1 y 2x x 1 con lo cual

Recta real:

x 3, 1 1 2; RPTA.: C

201. Halle el intervalo solucin al

resolver: 22x x 1 3x 1 4 2 1 4x

A) 3

x ;05

B) 3

x ;05

C) 3

x ;5

D) x 0;

E) 3

x ; 0;5

RESOLUCIN

+

-3 8

- +

0

+

- 4 6

- +

0

8 6

2 2x 1 x 1 x 2

0x 1 x 3

P.C

D

N

x =1

x = - 1

x = 2

x = - 1

x = - 3

1 0

+-- +

2-1-3

-

2 2x x 2x 1 3x 1 3x 1 2 8x 2 2x x 2x 1 3x 1 5x 3

2x 3x 5x 3

0 x 3

x5

x 0;

RPTA.: D

202. Indicar la suma de aquellos nmeros enteros que satisfacen la inecuacin:

2 1748 4 2x 5 2x 32 3x x 2 0

A) 1 B) 0 C) 4 D) 5 E) 6

RESOLUCIN

2 1748 4 2x 5 2x 32 3x x 2 0

X = 5 4x 16 0 3x 2

par 2 2x 4 x 4 0 x -1

x 2 x 2

x3

par

2

x ;1 2;53

1 + 2 -2 + 5 = 5 RPTA.: D

203. Halle la suma de los , al

resolver la inecuacin: 3 2

4 2

16x 35x 51x0

x x 1

A) 1 B) 2 C) 5

D) 6 E) 11

RESOLUCIN

4 2 2 2x x 1 x x 1 x x 1 3 3

x

3 216x 35x 51x 0

2x 16x 35x 51 0 16 x 51 x - 1

x 16x 51 x 1 0

Puntos crticos

x = 0 x = 0

16 x + 51 =0 x = 51

16

x 1 = 0 x = 1

51

x ; 0;116

1

RPTA.: A

204. Si: x 5,10 , halle : 32 M-17 N

tal que: 2x 1

N M3x 2

A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 10

03

5

+ + - + + +- 2 2

3

1 2 5

- + - +051

16

1

RESOLUCIN

2 x 1 2 7

3x 2 3 3 3x 2

Como: 5 x 10

9 2 7 19

17 3 3 3x 2 32

19 9

M ; N32 17

32M 17N 10

RPTA.: E

205. Encontrar el nmero mayor M con la propiedad de que para todo

x se cumple: 2 1

5 5M x x 2

A) 2

3 B)

5

6 C)

9

4

D) 6

5 E)

2

5

SOLUCIN

2 1

5 5M x x 2

Haciendo cambio de var