Algebra Matricial y OptimizacionTarea No 34: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker

Solucion a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)

Funciones Requeridas

La que calcula el gradiente de una funcion escalar res-

pecto a una lista de variables. Entrega una matriz con

una sola columna.

La que calcula la matriz Hessiana de una funcion esca-

lar respecto a una lista de variables.

La que sustituye en una expresion los valores de un

conjunto de variables

La funcion que borra las primeras filas y renglones de

una matriz.

1. Respecto a la funcion

f(x, y) = 18 − 12x + 2x2 − 3 y + x y + 3 y2

sujeta a la condicion

g(x, y) = −5 + x + y ≤ 0

Ma4011, Tarea No 34: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker 2

Analice la funcion. Indique en orden las coordenadas y el valor del mınimo local.

Solucion

La funcion Lagrangeana queda:

fL(x, y, t) = f(x, y) + t g(x, y) = 2x2 + x (y − 12) + 3 y2 − 3 y + 18 + t (x + y − 5)

y sus parciales con respecto a las variables de decision originales son

∂fL∂x = t + 4x + y − 12

∂fL∂y = t + x + 6 y − 3

Para determinar los puntos crıticos, resolvermos el sistema

∂fL∂x

= 0,∂fL∂y

= 0, t (x + y − 5) = 0

Obteniendo los puntos crıticos:

P (x = 17/4, y = 3/4, t = −23/4) y Q(x = 3, y = 0, t = 0)

Al hacer la tabla de discriminacionx y t g f

3 0 0 −2 0

17/4 3/4 −23/4 0 23/4

Por las condiciones de KKT, solo el punto (x = 3, y = 0) concursa para un mınimo. Al observar que la evaluacion de la

restriccion no se cumple con igualdad a cero, concluimos que tal punto esta en el interior de la region dada por la restriccion

g ≤ 0. Para poder analizar el punto, podemos aplicar las tecnicas de optimizacion global al mismo. Como la matriz Hessiana

de f(x, y) tiene sus valores propios todos positivos, concluimos que el punto es un mınimo relativo.

El punto (x = 17/4, y = 3/4) concursa para maximo relativo. Como la restriccion se cumple con igualdad a cero podemos

utilizar analizarlo mediante la tecnica de los multiplicadores de Lagrange. Para revisar si corresponde a un maximo el criterio

indica revisar el numero de variables de decision originales n = 2. Siendo solo una restriccion (m = 1) debemos calcular solo

un determinante principal lıder la matriz Hessiana Orlada (la matriz Hessiana de la funcion Lagrangeana). En nuestro caso

∆1 = det (HfL(x17/4, y = 3/4)) = −8

el criterio idica que deberıa ser positiva. Por tanto, tal punto no es maximo relativo.

Ma4011, Tarea No 34: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker 3

2. Respecto a la funcion

f(x, y) = 87 − 30x + 3x2 − 8 y + 2 y2

sujeta a la condicionesx− y ≤ 4

35 − 12x + x2 + y ≤ 2

Indique en orden las coordenadas y el valor del mınimo local.

Solucion

Las restricciones involucran las funciones

g1(x, y) = x− y − 4

g2(x, y) = 35 − 12x + x2 + y − 2

La funcion Lagrangeana queda:

fL(x, y, t) = f(x, y) + t1 g1(x, y) + t2 g2(x, y) = (t2 + 3)x2 + (t1 − 12 t2 − 30)x + 2 y2 + (−t1 + t2 − 8) y − 4 t1 + 33 t2 + 87

y sus parciales con respecto a las variables de decision originales son

∂fL∂x = 2 (t2 + 3)x + t1 − 12 t2 − 30

∂fL∂y = 4 y − t1 + t2 − 8

Para determinar los puntos crıticos, resolvermos el sistema

∂fL∂x

= 0,∂fL∂y

= 0, t1 (x− y − 4) = 0, t2 (33 − 12x + x2 + y) = 0

Obteniendo los puntos crıticos:

n x y t1 t2

1√5+112

√5+32

9√5−355 −

√5+255

2 275

75 − 12

5 0

3 5 2 0 0

4 −√5−112 −

√5−32 − 9

√5+355

√5−255

Al hacer la tabla de discriminacion

n x y t1 t2 g1 g2 f

1 6.618 2.618 −2.975 −5.447 0.0 0.0 12.618

2 5.40 1.40 −2.4 0.0 0.0 −1.24 5.20

3 5 2 0 0 −1 0 4

4 4.381 0.381 −11.024 −4.55 0.0 0.0 10.382

Ma4011, Tarea No 34: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker 4

El mınimo de este problema es el punto x = 5, y = 2 y tiene una evaluacion de f = 4.

3. Resuelva el problema:

Max z = 2x1 + 3x2

sujeto a:x1 + 2x2 ≤ 6

2x1 + x2 ≤ 8

x1, x2 ≥ 0

Ma4011, Tarea No 34: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker 5

Reporte los valores de x1, x2 y z en el optimo.

Solucion

Las funciones que definen las restricciones en la forma gi ≤ 0 son:

g1(x1, x2) = x1 + 2x2 − 6

g2(x1, x2) = 2x1 + x2 − 8

g3(x1, x2) = −x1

g4(x1, x2) = −x2

y la funcion Lagrangeana queda

fL = f + t1 g1 + t2 g2 + t3 g3 + t4 g4

El formar el sistema

d

dx1fL = 0

d

dx2fL = 0 t1 g1 = t2 g2 = 0 t3 g3 = 0 t4 g4 = 0

y resolver encontramos los siguientes puntos

x1 x2 t1 t2 t3 t4 g1(x1, x2) g2(x1, x2) g3(x1, x2) g4(x1, x2) f(x1, x2)

0 0 0 0 2 3 −6 −8 0 0 0

4 0 0 −1 0 2 −2 0 −4 0 8

0 8 0 −3 −4 0 10 0 0 −8 24

10/3 4/3 −4/3 −1/3 0 0 0 0 −10/3 −4/3 32/3

0 3 −3/2 0 1/2 0 0 −5 0 −3 9

6 0 −2 0 0 −1 0 4 −6 0 12

Para el analisis de maximos y mınimos, descartamos los puntos que tienen valores de ti positivos y negativos y tambien

aquellos puntos que no satisfacen las restricciones (que tienen alguna gi > 0). Esto nos reduce la tabla a

x1 x2 t1 t2 t3 t4 g1(x1, x2) g2(x1, x2) g3(x1, x2) g4(x1, x2) f(x1, x2)

0 0 0 0 2 3 −6 −8 0 0 0

10/3 4/3 −4/3 −1/3 0 0 0 0 −10/3 −4/3 32/3

En el caso lineal (funcion a optimizar f y restricciones gi lineales) basta comparar los valores de la funcion. Esta regla nos

indica que en el punto P (x1 = 0, x2 = 0) la funcion alcanza un mınimo valor; mientras que en el punto Q(x1 = 10/3, x2 = 4/3)

alcanza un maximo.

Ma4011, Tarea No 34: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker 6