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ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA I
TEMA 2: Aplicaciones Lineales
1. Algo de motivacion
Te recuerdo que para definir una aplicacion necesitas un conjunto de partida (dominio, A),otro de llegada (codominio, B) y una manera o regla, f : A → B, para asociar a cada elemento,a, del dominio un unico elemento, f(a), del codominio al que llamamos imagen de a por laaplicacion. Para cada aplicacion, uno puede definir un subconjunto del codominio, la imagende la aplicacion, f(A) ⊂ B
f(A) = {f(a) ∈ B : a ∈ A}
Tambien sabes que existen importantes tipos de aplicaciones. En primer lugar, aquellas apli-caciones cuya imagen es todo el codominio son llamadas aplicaciones suprayectivas
f(A) = B suprayectiva
Por otro lado, una aplicacion se dice inyectiva si no existen elementos distintos del dominioque tienen la misma imagen
f(a) = f(a′) ⇒ a = a′ inyectiva
¥ A partir del tema pasado, y a lo largo de este curso, los conjuntos (en particular, dominios ycodominios de las aplicaciones) no son cualesquiera sino que poseen una estructura de espaciovectorial. Pretendemos entonces estudiar aplicaciones entre espacios vectoriales que conservenlas operaciones que definen dicha estructura.
Antes de definir lo que es una aplicacion lineal quiero que te fijes en el siguiente grupo deaplicaciones del plano real en sı mismo.
1. f1 : R2 → R2 definida por f1(x, y) = (y, x).
2. f2 : R2 → R2 definida por f2(x, y) = (−x, y).
3. f3 : R2 → R2 definida por f3(x, y) = (x + 2, y).
4. f4 : R2 → R2 definida por f4(x, y) = (2x + y,−x + 4y).
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5. f5 : R2 → R2 definida por f5(x, y) = (x2, y).
6. f6 : R2 → R2 definida por f6(x, y) =(
x y) ∗M , donde M ∈ M2(R).
A continuacion serıa bueno que te fijaras en algunas similitudes y diferencias entre ellas. Paraser mas claro. Quiero que enfrentes a estas aplicaciones con la estructura de espacio vectorialque tiene R2. Si lo haces, veras que se tiene:
1. Las aplicaciones primera, segunda, cuarta y sexta verifican las siguientes propiedades
Son compatibles con la suma de vectores
f(~u + ~v) = f(~u) + f(~v), ∀~u,~v ∈ R2
Son compatibles con el producto por numeros reales
f(α · ~u) = α · f(~u), ∀α ∈ R, ∀~u ∈ R2
2. Las aplicaciones tercera y quinta no verifican las propiedades anteriores. Lo puedes com-probar con elecciones particulares de vectores.
F Serıa bueno, tambien, que observaras que los casos primero, segundo y cuarto son casosparticulares del caso sexto. Para ello te tienes que dar cuenta que en dichos casos la matriz Mes respectivamente
(0 11 0
),
( −1 00 1
),
(2 −11 4
)
♣Definicion (Aplicacion Lineal). Sea f : V(K) → V′(K) una aplicacion entre dos espaciosvectoriales (sobre el mismo cuerpo). Se dira que es lineal, o que es un homomorfismo si escompatible con las estructuras de espacio vectorial que tienen su dominio y codominio. Esto,no es mas que una manera de decir que la aplicacion verifica las dos propiedades siguientes:
f(~u + ~v) = f(~u) + f(~v), ∀~u,~v ∈ V
f(α · ~u) = α · f(~u), ∀α ∈ K, ∀~u ∈ V
♣ Ejemplos de Aplicaciones Lineales.
1. Los ejemplos de aplicaciones lineales que has visto anteriormente se pueden extender, demanera obvia, en el siguiente contexto. Imagınate que te dan una matriz de m filas y ncolumnas, M ∈ Mm×n(K). A partir de ella, puedes definir la siguiente aplicacion
M : Km → Kn, M(~u) = ~u ∗M,
donde ~u = (a1, a2, · · · , am) ∈ Km se esta viendo como una matriz fila. Entonces, usandolas propiedades, que ya conoces, sobre las operaciones con matrices, puedes ver que estaaplicacion es siempre lineal.
2
2. La aplicacion derivada es lineal. Sea D : Pn(K) → Pn(K) la aplicacion que lleva cadapolinomio de grado menor o igual que n en su derivada, esto es, D(P (t)) = P ′(t).Entonces, usando las propiedades de la derivada, que tambien conoces, puedes ver queesta aplicacion es lineal.
3. La aplicacion f : Mn(K) → Mn(K) que lleva cada matriz en su traspuesta, f(M) = M t
es tambien lineal. Esto se fundamenta en las siguientes propiedades que ya conoces
f(M + N) = (M + N)t = M t + N t = f(M) + f(N),
f(α ·M) = (α ·M)t = α ·M t = α · f(M).
4. La aplicacion siguiente es tambien lineal, lo puedes comprobar
f : P2(K) → S2(K), f(ao + a1 t + a2 t2) =
(a0 a1
a1 a2
)
♠ Aquı tienes otros ejemplos de aplicaciones para que pienses si son lineales o no lo son
1. f : V(K) → V(K), definida por f(~v) = α.~v, donde α ∈ V es un escalar fijo.
2. D : D(R,R) → D(R,R), definida por D(f) = f ′′ + f , donde D(R,R) representa alespacio vectorial, real, de las funciones reales de clase dos.
3. f : C(C) → C(C) definida por f(z) = z.
4. f : C(R) → C(R) definida por f(z) = z.
2. La Imagen de una Aplicacion Lineal
Considera una aplicacion lineal, f : V(K) → V′(K), entonces su imagen, f(V) es un sube-spacio vectorial del codominio, V′. En efecto,
La imagen es cerrada para la suma de vectores y para el producto de numerosreales por vectores. Si ~x ′, ~y ′ ∈ f(V) y α ∈ K entonces existen vectores ~x e ~y en Vtales que
f(~x) = ~x ′ f(~y) = ~y ′
por lo tanto
f(~x + ~y) = f(~x) + f(~y) = ~x ′ + ~y ′ ⇒ ~x ′ + ~y ′ ∈ f(V)
f(α.~x) = α.f(~x) = α.~x ′ ⇒ α.~x ′ ∈ f(V)
Ademas se tiene f(~0) = ~0 ′ y tambien que f(−~x) = −f(~x) cualquiera que sea ~x ∈ V.
FFF Una Propiedad Muy Importante de las Aplicaciones Lineales. Para conoceruna aplicacion lineal es suficiente con conocer las imagenes de los vectoresde una base de su dominio. En efecto,
3
Imagina que tienes una aplicacion lineal, f : V(K) → V′(K).
Sigue imaginando que conoces las imagenes, {f(~u1, f(~u2, · · · , f(~un} de los vectores deuna base B = {~u1, ~u2, · · · , ~un} de V, (estamos suponiendo que V tiene dimension n).
Entonces eres capaz de conocer la imagen de cualquier vector, ~x ∈ V. Esto es claro, pues~x tiene una coordenadas en la base B,
~x =n∑
i=1
ai ~ui,
ahora usando la linealidad de la aplicacion, tienes
f(~x) =n∑
i=1
ai f(~ui).
¨¨ Observa que de lo anterior podemos asegurar que si tomas cualquier base, B = {~u1, ~u2, · · · , ~un}del dominio, entonces H = {f(~u1), f(~u2), · · · , f(~un)} es siempre un sistema de gener-adores de la imagen, f(V). OJO, en general H no es base pues sus vectores pueden no serlinealmente independientes.
FFF Extension por Linealidad. La propiedad anterior fundamenta una tecnica paradefinir aplicaciones lineales.
Imagınate que quieres definir una aplicacion lineal entre dos espacios vectoriales, V yV′ ambos sobre el mismo cuerpo K.
Tomas una base, B = {~u1, ~u2, · · · , ~un}, de V (seguimos suponiendo que V tiene dimen-sion n).
Defines la aplicacion sobre los vectores de la base anterior. Esto es
f(~ui) = ~zi, 1 ≤ i ≤ n,
donde los ~zi son ciertos vectores de V′ que dependeran de los gustos o exigencias del quete ponga el problema.
Finalmente defines f : V → V′ mediante la tecnica de extension por linealidad.Dado un vector ~x ∈ V, este tendra unas coordenadas en la base B
~x =n∑
i=1
ai ~ui,
pues bien defines su imagen por
f(~x) =n∑
i=1
ai f(~ui) =n∑
i=1
ai ~zi.
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♣ Rango de una aplicacion lineal.- Si tienes una aplicacion lineal, f : V(K) → V′(K),entonces su rango es la dimension de su imagen
rango (f) = dim(f(V))
♣ Observacion y justificacion.- Si M es una matriz de Mn×m(K) entonces, sabes, quepuedes definir una aplicacion lineal de Kn en Km como sigue
fM : Kn → Km fM(~x) = ~x ? M
Considera la base canonica, Bo = {~e1, ~e2, ..., ~en} de Kn, es claro entonces que f(~ei ∈ Km
coincide con la fila i-esima de la matriz M . Por lo tanto las n filas de la matriz M forman unsistema de generadores de la imagen de esta aplicacion lineal. Por lo tanto la dimension de laimagen (lo que hemos llamado rango de la aplicacion lineal) coincide con el rango dela matriz M .
3. El Nucleo de una aplicacion lineal
A toda aplicacion lineal, f : V → V′, uno le puede asociar otro subespacio vectorial, ahoradel dominio. Se llama nucleo de la aplicacion lineal, se representa por N(f) y esta definidocomo sigue
N(f) = {~x ∈ V : f(~x) = ~0 ′}
¨ Te propongo y recomiendo que pruebes, como un ejercicio, que N(f) es un subespaciovectorial de V. A su dimension se le llama la nulidad de la aplicacion lineal.
FFF Una Propiedad Importante. Las dimensiones del nucleo (nulidad) e imagen (rango)no pueden ser arbitrarias. Ellas estan ligadas por la siguiente formula
dim(N(f)) + dim(f(V)) = dimV
Para tener una idea sobre la prueba de esta formula, procedes como sigue
1. Toma una base de N(f), se esta B = {~x1, ~x2, · · · , ~xr} (hemos supuesto que la nulidad esr)
2. Amplıa esta, para obtener una base ampliada del dominio V. Se tendran que anadirn− r vectores para obtener la base ampliada, sea esta
B = {~x1, ~x2, · · · , ~xr, ~xr+1. · · · , ~xn}
3. Al tomar las imagenes de los vectores de B tienes
f(~xi) = ~0, 1 ≤ i ≤ r
4. Entonces las imagenes de los vectores que has anadido, esto es
{f(~xj) : r + 1 ≤ j ≤ n}forman una base de la imagen, f(V), y por tanto, esta tiene dimension n − r lo queprueba la formula.
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4. Ejercicios
Aquı tienes algunos ejercicios sobre calculo de nucleo, imagen, nulidad y rango.
1. Considera la aplicacion lineal, f : R3 → R2 definida por
f(x, y, z) = (x, y, z)
1 00 −11 1
Vamos a calcular su nucleo y su imagen. Observa, en primer lugar que el rango de lamatriz 3 × 2 que define a esta aplicacion lineal es dos, por lo tanto su imagen tienedimension dos y coincide con el codominio, R. Se trata entonces de una aplicacion linealsuprayectiva (epimorfismo). Por la formula que acabamos de probar, la nulidad de estaaplicacion lineal es uno. En efecto su nucleo es la siguiente recta de R3
N(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : x + z = −y + z = 0} = L({(−1, 1, 1)}
2. Vamos a calcular el nucleo y la imagen de la siguiente aplicacion lineal
f : M2(K) → K3 f
((a bc d
))= (2a, b + c, 2d)
Observa, en primer lugar que el nucleo de esta aplicacion lineal esta formado por lasmatrices de M2(K) que verifican
2a = b + c = 2d = 0
esto es, las matrices que son anti-simetricas, N(f) = A2(K). Ello implica que la nulidadde esta aplicacion lineal es uno, su rango es entonces tres y por lo tanto su imagen estodo el codominio, K3. Se trata de otro epimorfismo.
3. Vamos ahora a calcular el nucleo y la imagen de la aplicacion lineal f : M2(K) → M2(K)definida por f(M) = M + M t. En primer lugar
N(f) = {M ∈ M2(K) : M + M t = 0} = A2(K) matrices anti-simetricas
La nulidad de la aplicacion lineal es uno y por tanto su rango es tres. Por otro la-do, observa que la imagen, que tiene dimension tres, esta contenida (por la manera dedefinir la aplicacion lineal) en S2(K), el espacio de matrices simetricas que tambien tienedimension tres. La conclusion es que f(M2(K)) = S2(K).
4. Para calcular el nucleo y la imagen de la aplicacion lineal f : P3(K) → P3(K) definidapor f(P (t)) = P ′′(t) procedemos como sigue.
N(t) = {P (t) ∈ P3(K) : P ′′(t) = 0} = {a0 + a1 t : a0, a1 ∈ K} = P1(K)
La nulidad es dos y por lo tanto su rango tambien es dos. Por otro lado
f(a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3) = 2a2 + 6a3 t
Por lo tanto f(P3(K)) = P1(K).
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5. Aplicaciones Lineales Suprayectivas o Epimorfismos
Recuerda que las aplicaciones suprayectivas son aquellas en las que la imagen rellena todo elcodominio. Ası, f : V → V′ es suprayectiva si f(V) = V′. En particular, el rango debe decoincidir con la dimension del codominio
dim(f(V)) = dim(V′)
Si comparas esta formula con la anterior, tienes que si f(V) = V′ es una aplicacion linealsuprayectiva (o un epimorfismo) entonces
dim(V′) = dim(V)− dim(N(f))
Esto prueba que para que exista un epimorfismo de V en V′ debe de ocurrir que
dim(V) ≥ dim(V′)
¥ Te podrıa hacer las siguientes preguntas en un examen:
¿Existe algun epimorfismo de K2 en K3?
¿Existe algun epimorfismo de A2(K) en S2(K)?
¿Existe algun epimorfismo de P2(K) en K4?
¿Existe algun epimorfismo de K2 en U = {(x, y, z, t) ∈ K4 : x− t = 0}?
Naturalmente tienes que responder negativamente y a continuacion justificar tu negacion ref-erenciando el hecho anterior conjuntamente con que, en los cuatro casos, la dimension delprimer espacio vectorial es menor que la del segundo.
F La formula anterior es, por otro lado, la unica condicion u obstruccion que se tiene para laexistencia de epimorfismos.
F Por ejemplo, si te digo que construyas un epimorfismo de K4 en K3. Tienes que tener encuenta lo siguiente:
1. La imagen debe tener dimension tres.
2. Por lo tanto el nucleo debe tener dimension uno.
3. Tomo una base de K4, sea esta
B = {~u1, ~u2, ~u3, ~u4}
4. Para definir la aplicacion lineal es suficiente con dar las imagenes de los vectores de B yextender por linealidad.
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5. Entonces puedo definir un epimorfismo que tenga por nucleo N(f) = L({~u1}) que tienedimension uno, ası
f(~u1) = ~0
a continuacion debo de enviar a los otros tres vectores a otros tantos de K3 que formenuna base para que la imagen sea todo K3, por ejemplo
f(~u2) = (1, 1, 1), f(~u3) = (1, 1, 0), f(~u4) = (1,−1, 0)
F Aquı tienes unos ejercicios:
1. Calcula un epimorfismo de K4 en K3 cuyo nucleo sea el subespacio vectorial
U = {(x, y, z, t) ∈ K4 : x = y = z − t = 0}
2. Calcula el nucleo y la imagen de la siguiente aplicacion lineal f : M2(K) → M2(K),definida por f(M) = M + M t.
3. Calcula una aplicacion lineal de K3 en K3 cuyo nucleo e imagen sean los siguientessubespacios
U = {(x, y, z) ∈ K3 : x + y + z = 0}, W = {(x, y, z) ∈ K3 : x + y− z = 0, x− y = 0}
4. Calcula un epimorfismo de M2(K) en S2(K) cuyo nucleo sea A2(K).
6. Aplicaciones Lineales Inyectivas o Monomorfismos
Recuerda que una aplicacion es inyectiva si no existen elementos distintos en el dominio quetengan la misma imagen. Ahora, en el caso de las aplicaciones lineales, se tiene un criteriomuy sencillo para detectar la inyectividad.
¨ Una aplicacion lineal, f : V(K) → V′(K), es inyectiva si y solo si N(f) = {~0}.
¨ Yo creo que deberıas intentar hacer una prueba de la afirmacion anterior. Te recuerdo quees una caracterizacion y por tanto debes de probar dos implicaciones (condiciones necesaria ysuficiente).
¨ Ası, si usas la formulita de las dimensiones, seguro que entiendes que si tienes una aplicacionlineal e inyectiva (un monomorfismo), f : V → V′, entonces
dim(V) = dim(f(V)) ≤ dim(V′)
]
¨ Si f : Vn → V′m es un monomorfismo, entonces su rango es n. Toma una base B =
{~x1, ~x2, ..., ~xn}, de Vn y considera sus imagenes por el monomorfismo,H = {f(~x1), f(~x2), ..., f(~xn)}.Como sabes, H es un sistema de generadores de la imagen f(V) (esto ocurre para cualquieraplicacion lineal) lo novedoso ahora es que la dimension de la imagen es n y por tanto losvectores de H deben formar una base de la imagen.
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¨ Por ejemplo, no existen monomorfismos de M2(K) en K3 pues la dimension de primero escuatro mientras que la del segundo es tres. En cambio puedes construir monomorfismos deK3 en M2(K). Para hacerlo, hay que tener en cuenta que por la formula de las dimensiones,el rango de estos monomorfismos debe ser tres. Fijamos entonces un subespacio vectorial deM2(K), el que queramos que haga el papel de imagen del monomorfismo que pretendemosdefinir. Nos gusta, especialmente, S2(K), el de las matrices simetricas de orden dos. Fijamosbases en el dominio y en el subespacio elegido para imagen, por ejemplo
Bo = {~e1 = (1, 0, 0);~e2 = (0, 1, 0);~e3 = (0, 0, 1)}
B′ ={
~z1 =
(1 00 0
); ~z2 =
(0 11 0
); ~z3 =
(0 00 1
)}
Definimos el monomorfismo sobre los vectores de la base por f(~ei) = ~zi para 1 ≤ i ≤ 3. Acontinuacion lo extendemos por linealidad y obtenemos
f : K3 →M2(K) f(x, y, z) =
(x yy z
)
7. Aplicaciones Lineales biyectivas o isomorfismos
Recuerda que una aplicacion que era simultaneamente inyectiva y suprayectiva se llama biyec-tiva. Si usas lo anterior, cuando entre dos espacios vectoriales tengas una aplicacion lineal ybiyectiva (se llaman tambien isomorfismos) entonces necesariamente los dos espacios vectori-ales deben de tener la misma dimension. Es decir
f : V(K) → V′(K), isomorfismo ⇒ dim(V) = dim(V′)
¨ Yo creo que debes de ser capaz de ver que el recıproco del resultado anterior tambien escierto, esto es
dim(V) = dim(V′) ⇒ ¿Existe f : V → V′, isomorfismo?
La respuesta es afirmativa y para probarlo, despues de lo que llevas estudiado lo sospechas, sehace ası
Primero eliges bases en los dos espacios vectoriales, B en V y B′ en V′, suponemos quetienen dimension n:
B = {~v1, ~v2, · · · , ~vn}, B′ = {~z1, ~z2, · · · , ~zn}
Ahora definimos f : V → V′ haciendolo en primer lugar sobre los vectores de la base B,por
f(~vi) = ~zi, 1 ≤ i ≤ n
Y extendiendola por linealidad, esto es,
Si ~x =n∑
i=1
ai ~vi, entonces f(~x) =n∑
i=1
ai ~zi
9
¨ Por lo tanto podemos decir: Dos espacios vectoriales son isomorfos (existe un iso-morfismo entre ellos) si y solamente si tienen la misma dimension.
Algunos Ejercicios.- Construye isomorfismos entre cada dos de los siguientes espacios vec-toriales: K3, S2(K), A3(K), P2(K) y U = {(x, y, z, t) ∈ K4 : x− t = 0}.
8. Construyendo Aplicaciones Lineales con Nucleo e Im-
agen prescritos
Sean Vn(K) y V′m(K) dos espacios vectoriales de dimensiones n y m, respectivamente. Sean
tambien U y W dos subespacios vectoriales de Vn y V′m, respectivamente. Suponemos que
dim(U) = r y que dim(W) = n − r. Entonces podemos construir aplicaciones lineales, f :Vn(K) → V′
m(K) verificando que
N(f) = U
f(V) = W
F El protocolo para construir este tipo de aplicaciones lineales es el siguiente:
1. Tomamos una base del subespacio U, el cual queremos que sea el nucleo de nuestraaplicacion lineal, B = {~u1, ~u2, ..., ~ur}
2. Ampliamos la base anterior, anadiendo n−r vectores, para obtener una base del dominio,B = {~u1, ..., ~ur, ~xr+1, ..., ~xn}
3. Elegimos una base del subespacio W que queremos que sea la imagen de nuestra apli-cacion lineal B′ = {~wr+1, ~wr+2, ..., ~wn}
4. Definimos nuestra aplicacion lineal sobre los vectores de la base B como sigue
f(~ui) = ~0 ′ 1 ≤ i ≤ r f(~xj) = ~wj r + 1 ≤ j ≤ n
5. Finalmente, extendemos por linealidad
~x =r∑
i=1
ai ~ui +n∑
j=r+1
bj ~xj ⇒ f(~x) =n∑
j=r+1
bj ~wj
9. Expresion Matricial de una Aplicacion Lineal
Ya sabes usar a las matrices para definir aplicaciones lineales. Recuerda lo siguiente:
¨ Si te dan una matriz M ∈ Mm×n(K) puedes definir una aplicacion lineal de Km en Kn
sencillamente multiplicando los vectores de Km (los cuales se pueden ver como matrices conuna fila y m columnas) por la matriz M , el resultado es una matriz con una fila y n columnasy por tanto un vector de Kn
M : Km → Kn, M(~v) = ~v ∗M.
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¨ Lo que tratare de explicarte ahora es el hecho de que lo anterior es un caso particular deuna construccion mucho mas general. Imagınate que te dan una aplicacion lineal entre dosespacios vectoriales, f : V(K) → V′(K). Sigue imaginando que el primer espacio vectorialtiene dimension m mientras que la dimension del segundo es n. ¡Por imaginar que no quede!,lo haces ahora cuando tomas sendas bases en dichos espacios vectoriales
B = {~v1, ~v2, · · · , ~vm}, B′ = {~z1, ~z2, · · · , ~zn}.
Cada vector ~x de V tiene unas coordenadas en la base B
~x =m∑
i=1
ai ~vi, ai ∈ K
y su imagen f(~x) en V′ tiene otras coordenadas en la base B′
f(~x) =n∑
j=1
bj ~zj, bj ∈ K.
F La cuestion es la de tratar de calcular las coordenadas de f(~x) en la base B′ a partir de lascoordenadas de ~x en la base B. Fıjate que al fijar bases, podemos manejar a los vectores comomatrices de coordenadas y esto recuerda a los espacios vectoriales del tipo Kq.
F La solucion al problema anterior la proporciona una matriz de m filas, n columnas yelementos en K. Las filas de la misma estan formadas por las coordenadas en la base B′ de lasimagenes for f de los vectores de la base B. Para que te creas esto, vamos a proceder comosigue. Escribes las imagenes de los vectores de la base B en la base B′
f(~vi) =n∑
j=1
aij~zj, aij ∈ K, 1 ≤ i ≤ m.
Naturalmente con las coordenadas anteriores podemos formar una matriz M = (aij), 1 ≤ i ≤m, 1 ≤ j ≤ n. Pues bien, conociendo esta matriz se tiene solucionado el problema. A ver sisigues la siguiente cuenta
f(~x) = f
(m∑
i=1
ai ~vi
)=
m∑i=1
ai f(~vi).
sustituımos las expresiones anteriores en esta
f(~x) =m∑
i=1
ai
(n∑
j=1
aij~zj
)=
n∑j=1
(m∑
i=1
ai aij
)~zj.
Como f(~x) =∑n
j=1 bj ~zj y las coordenadas de un vector en una base son unicas, se tiene
bj =m∑
i=1
ai aij, 1 ≤ j ≤ n.
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Esto, se puede escribir como un producto de matrices
(b1 b2 · · · bn) = (a1 a2 · · · am) ∗M.
Esta es la expresion matricial de la aplicacion lineal f : V(K) → V′(K) en las bases B de V yB′ de V′. A la matriz M se le llama la matriz que representa a la aplicacion lineal f en dichasbases. Como depende, obviamente, de las bases que se elijan, es justo que la representemosteniendo en cuenta dicha dependencia, por ejemplo M(f,B,B′).
F Algunos casos particulares
1. ¨ Observa que en cada espacio vectorial, V(K), puedes considerar la aplicacion identidad,I : V → V, definida por I(~x) = ~x, para todo ~x ∈ V, y que, obviamente es lineal. Siconsideras ahora dos bases, B1 y B2 de V puedes considerar la matriz M(I,B1,B2). Porla construccion anterior, las filas de esta matriz son las coordenadas en la base B2 de losvectores de la base B1, es decir la matriz del cambio de base.
2. ¨ Cuando hemos recordado la construccion de que dada una matriz M ∈ Mm×n(K)puedes definir una aplicacion lineal de Km en Kn sencillamente multiplicando los vectoresde Km (los cuales se pueden ver como matrices con una fila y m columnas) por la matrizM , el resultado es una matriz con una fila y n columnas y por tanto un vector de Kn
M : Km → Kn, M(~v) = ~v ∗M.
En realidad esta matriz es la que representa a la aplicacion lineal construıdaen las bases canonicas de Km y Kn.
10. Operaciones con Aplicaciones Lineales
Considera dos espacios vectoriales, Vn(K) de dimensin n y V′m(K) con dimension m. Entonces
puedes definir el conjunto de las aplicaciones lineales entre ellos
Hom(Vn,V′m) = {f : Vn → V′
m : f es lineal}
Si fijas dos bases, B en Vn y B′ en V′m, entonces cada aplicacion lineal del conjunto anterior la
puedes representar por una matriz de n filas y m columnas. Ası, puedes definir una aplicacioncomo sigue:
ΦB,B′ : Hom(Vn,V′m) → Mnm(K) ΦB,B′(f) = M(f,B,B′)
FF Esta aplicacion es Biyectiva. En efecto, es inyectiva pues si dos aplicaciones lineales,f y h, tienen la misma imagen, coinciden las matrices que las representan y entonces las dosaplicaciones lineales coinciden sobre los vectores de la base B lo que implica su coincidenciatotal. Por otro lado, la aplicacion es suprayectiva pues si te dan cualquier matriz, M deMnm(K) puedes definir una aplicacion lineal, f , sobre los vectores de la base B haciendo quesus imagenes sean los que tiene en B′ las coordenadas dadas por las filas de la matriz dada. Acontinuacion extiendes por linealidad. Es obvio entonces que ΦB,B′(f) = M .
FF Tienes que darte cuenta de dos cosas:
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Puedes definir muchas biyecciones (aplicaciones biyectivas) entre los conjuntos Hom(Vn,V′m)
y Mnm(K), para cada pareja de bases que elijas en Vn y V′m tienes una.
El hecho de que puedas establecer una biyeccion entre estos dos conjuntos indica que,desde el punto de vista de la teorıa de conjuntos, son iguales.
FF Una Idea. Las matrices en Mnm(K) sabes manipularlas, sumarlas y multiplicarlas pornumeros reales, de manera que este conjunto es un espacio vectorial de dimension n×m. Buenopues podemos pensar en trasladar esta estructura al conjunto de las aplicaciones lineales,usando una de las biyecciones anteriormente definidas.
Puedes definir la suma de aplicaciones lineales: f +h es la aplicacion lineal que esta rep-resentada por la matriz que se obtiene sumando las matrices que representan a lasaplicaciones lineales f y h, respectivamente. En otras palabras
f + h : Vn → V′m (f + h)(~x) = f(~x) + h(~x) ∀~x ∈ Vn
Puedes definir el producto de un numero real por una matriz: αf es la aplicacion linealrepresentada por la matriz que se obtiene multiplicando por α a la matriz que representaa f . En otras palabras
αf : Vn → V′m (αf)(~x) = αf(~x) ∀~x ∈ Vn
FF Con ello conseguimos que las biyecciones anteriores se conviertan en lineales y por tantoisomorfismos. Como consecuencia Hom(Vn,V
′m) es un espacio vectorial isomorfo a Mnm(K)
y por tanto con dimension n×m.
FF Para calcular una base del espacio vectorial Hom(Vn,V′m) puedes tomar una base en
Mnm(K) y calcular las aplicaciones lineales que vienen representadas por las matrices quecomponen la base tomada. Aquı tiene un ejemplo.
♠ Imagina que te piden que calcules una base del espacio vectorial Hom(K3,K2). Lo primeroque sabes es que tiene ndimension seis y que es isomorfo al espacio vectorial M3×2(K). Em-piezas tomando una base de este espacio vectorial de matrices, naturalmente eliges la massencilla,
1 00 00 0
;
0 10 00 0
;
0 01 00 0
;
0 00 10 0
;
0 00 01 0
;
0 00 00 1
A estas matrices las llamamos Mij con 1 ≤ i ≤ 3 y 1 ≤ j ≤ 2 cuando tiene el uno en la fila iy columna j. Ahora elegimos bases en K3 y K2, las canonicas
Bo = {~e1, ~e2, ~e3} B′o = {~d1, ~d2}Finalmente, definimos seis aplicaciones lineales de K3 en K2 cuyas matrices en estas bases sonlas seis elegidas anteriormente
fij ∈ Hom(K3,K2) : ΦBo,B′o(fij) = Mij 1 ≤ i ≤ 3 1 ≤ j ≤ 2
13
Por ejemplo la aplicacion lineal f21 esta descrita por
f21(~e1) = ~0 f21(~e2) = ~d1 f21(~e3) = ~0
Equivalentemente
f21(x, y, z) =(
x y z)
0 01 00 0
= (y, 0)
11. Composicion de Aplicaciones Lineales y ¿Por que las
matrices se multiplican de esa forma tan rara?
N Las aplicaciones lineales las puedes componer y el resultado sigue siendo otra aplicacionlineal.
f : Vn → V′m h : V′
m → V′′p ⇒ h ¦ f : Vn → V′′
p
definida por (h ¦ f)(~x) = h (f(~x)) ∀~x ∈ Vn
no estarıa mal que comprobaras la linealidad de h ¦ f .
N Una cuestion natural es tratar de calcular la matriz de la composicion en funcion de lasmatrices de las aplicaciones lineales que compones. De manera mas concreta. Fija bases en lostres espacios vectoriales
B = {~x1, ~x2, ..., ~xn} base de Vn
B′ = {~y1, ~y2, ..., ~ym} base de V′m
B′′ = {~z1, ~z2, ..., ~zn} base de V′′p
entonces tienes las siguientes matrices
M(f,B,B′) = (αij) f(~xi) =m∑
j=1
αij ~yj
M(h,B′,B′′) = (βjk) h(~yj) =
p∑
k=1
βjk ~zk
M(h ¦ f,B,B′′) = (γik) (h ¦ f)(~xi) =
p∑
k=1
γik ~zk
N Para obtener la relacion entre estas tres matrices, procedemos de manera directa, en efecto
(h ¦ f)(~xi) = h (f(~xi)) = h
(m∑
j=1
αij ~yj
)=
m∑j=1
αij h(~yj)
14
ahora tienes en cuenta la expresion de los vectores h(~yj en la base B′′ y tienes
(h ¦ f)(~xi) =m∑
j=1
αij
p∑
k=1
βjk ~zk =
p∑
k=1
(m∑
j=1
αij βjk
)~zk
comparas esta expresion con la correspondiente a la matriz de la composicion y obtienes
γik =m∑
j=1
αij βjk
El elemento que ocupa la fila i y columna k de la matriz M(h ¦ f,B,B′′) se ob-tiene multiplicando la fila i de la matriz M(f,B,B′) por la columna j de la matrizM(h,B′,B′′). La matriz de la composicion se obtiene multiplicando, de la manera tan raraque ya conoces, las matrices de las aplicaciones que estas componiendo
F M(h ¦ f,B,B′′) = M(f,B,B′).M(h,B′,B′′) F
12. Matrices equivalentes
¥ Una aplicacion lineal entre dos espacios vectoriales esta representada por una matriz cuandofijas bases en los dos espacios vectoriales. La cuestion natural que uno se plantea es ¿comoestan relacionadas las matrices que representan a una misma aplicacion lineal enbases distintas?
¥ Llamaremos matrices equivalentes a las que representan a una misma aplicacion lineal.Lo anterior es entonces equivalente a ¿Como estan relacionadas, algebraicamente, lasmatrices equivalentes? Es claro que dos matrices equivalentes tienen el mismo rangopues el rango de cada una de ellas es la dimension de la imagen de la aplicacion lineal a lacual representan.
¥ No obstante, la cuestion de relacionar a las matrices equivalentes la puedes materializar delsiguiente modo. Sea f ∈ Hom(Vn,V′
m) entonces
Si B1 es una base de Vn y B′1 es una base de V′m, tienes la matriz que la representa en
estas basesΦB1,B′1(f) = M(f,B1,B′1) la llamas M1
Si B2 es una base de Vn y B′2 es una base de V′m, tienes la matriz que la representa en
estas basesΦB2,B′2(f) = M(f,B2,B′2) la llamas M2
¿Que relacion existe entre las matrices M1 y M2?
¥ Es claro que en la respuesta que demos a esta pregunta deben intervenir las matrices delos cambios de base en los dos espacios vectoriales. Para obtener la respuesta consideras lasiguiente composicion obvia de aplicaciones lineales
15
f = I′ ¦ f ¦ I I = identidad en V I′ = identidad en V′
Usando la formula de la matriz que representa a la composicion de aplicaciones lineales,obtienes
M2 = M(f,B2,B′2) = M(I,B2,B1).M(f,B1,B′1).M(I′,B′1,B′2) = P.M1.Q
donde P = M(I,B2,B1) y Q = M(I′,B′1,B′2) son las matrices de cambio de bases, en el ordenindicado, en los dos espacios vectoriales.
13. Matrices semejantes
F La construccion anterior tiene dos casos particulares muy importantes
Cuando el codominio es V′ = K, en este caso Hom(Vn,K) es un espacio vectorial de lamisma dimension que el dominio, esto es n, al que se le llama espacio vectorial dual delespacio vectorial Vn(K) y se le representa por V∗(K) = Hom(V,K). Lo estudiaremos,con detalle, en el tema tres.
Cuando el codominio coincide con el dominio V′ = V. En este caso, estamos hablandode endomorfismos, End(V) = Hom(V,V). Aunque estudiaremos este caso en el temacuatro, vamos a realizar algunas consideraciones sobre el mismo.
F En primer lugar, nos referiremos a la estructura algebraica de End(V). Es obvio que comotodo espacio de aplicaciones lineales es un espacio vectorial, en este caso de dimension n2.Ocurre en este caso que End(V) es cerrado para la composicion de endomorfismos, esto es,se tiene
End(V)× End(V) → End(V) (f, h) 7→ h ¦ f
Entonces puedes comprobar que (End(V), +, ¦) es un anillo y evidentemente, el endomorfismoidentidad, I, funciona como elemento neutro para la segunda operacion.
F Cuando se trabaja con endomorfismos, su representacion matricial es bastante mas simple.En efecto, como el codominio coincide con el dominio, es suficiente con elegir una base pararealizar la representacion matricial
f : V → V, B (base deV) ⇒ M(f,B,B) = M(f,B)
F Ası, para cada base, B, de Vn, obtienes un isomorfismo entre los espacios vectorialesEnd(V) y Mn(K)
ΦB : End(V) → Mn(K) ΦB(f) = M(f,B)
F Las matrices, cuadradas, que representan a un mismo endomorfismo, en distinta base,se llaman regulares. Es claro que esta nocion es un caso particular de la equivalencia dematrices. El siguiente problema es natural. Si tienes un endomorfismo, f : V → V ycalculas las matrices que lo representan en dos bases distintas, M(f,B1) y M(f,B2),
16
¿que relacion existe entre estas dos matrices?. En otras palabras ¿Que relacion existeentre dos matrices regulares?
F Como consecuencia del mismo problema, ya resuelto, sobre matrices equivalentes, ahoraobtienes:
Sea P la matriz del cambio de base, de B1 a B2 (sus filas expresan las coordenadas delos vectores de B1 en la base B2). Recuerda que las matrices de los cambios de base sonregulares, tienen inversa)
Entonces tienes: M(f,B2) = P−1 ∗M(f,B1) ∗ P
F Si dos matrices, M1 y M2, son semejantes, entonces tiene la misma traza y elmismo determinante. En efecto, usando las propiedades, que ya conoces, de la traza y deldeterminante, obtienes
det(M2) = det(P−1.M1.P ) = det(P−1).det(M1).det(P ) = det(M1)
traza(M2) = traza(P−1.M1.P ) = traza(P−1.P.M1) = traza(M1)
FFF Importante.- El determinante y la traza son dos propiedades de los endomorfismosy no de las matrices que los representan. Aunque, para calcularlos uses una representacionmatricial, realmente son propiedades geometricas.
det(f) = det (M(f,B)) traza(f) = traza (M(f,B)) para cualquier base
14. Ejercicios
Ejercicio 1.- Sea P3(K) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual quetres en una variable. Se considera la aplicacion
D : P3(K) → P3(K), D(P (t)) = P ′(t),
que lleva cada polinomio en su derivada. Prueba que es una aplicacion lineal y calcula sunucleo y su imagen.
Ejercicio 2.- Se considera la aplicacion lineal
f : K3 → K2, f(~v) = ~v ∗M,
donde M es la siguiente matriz
1 1−1 0
0 2
Calcula su nucleo y su imagen.
17
Ejercicio 3.- Calcula el nucleo y la imagen de la siguiente aplicacion lineal, f : R3 → R3
definida porf(x, y, z) = (2x + y + 4z; x + y + 2z; x + y + 3z).
Escribe dicha aplicacion en forma matricial.
Ejercicio 4.- Sea f : V → R una aplicacion lineal no nula. Prueba que es un epimorfismo yque dim(N(f)) = dim(V)− 1.
Ejercicio 5.- Razona, en cada uno de los siguientes casos, si existe o no una aplicacion lineal,f : R4 → R4, en los casos en que exista tienes que construirla
1. Un epimorfosmo con N(f) = L({(1, 1, 1, 1)}).2. N(f) = f(V) = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 − x4 = 0, x2 + x3 = 0}.3. Un monomorfismo con f(V) = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 − x3 = 0, }4. N(f) = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 − x4 = 0, x2 + x3 = 0, x1 + x2 + x3 + x4 = 0}
Ejercicio 6.- Calcula una aplicacion lineal f : R4 → S2 cuyo nucleo sea el siguiente subespaciovectorial
U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 − x3 + x4 = 0, x1 − x2 + x3 = 0}.Calcula la imagen de la aplicacion lineal que has construıdo.
Ejercicio 7.- Prueba que los siguientes tres vectores forman una base del espacio vectorialR3:
~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (1, 0, 1), ~u3 = (1, 0,−1).
En esta base, calcula la matriz que representa a la aplicacion lineal del ejercicio tercero.
Ejercicio 8.- Prueba que los siguientes tres vectores forman una base del espacio vectorialS2:
(1 11 0
),
(0 −1
−1 1
),
(4 00 1
).
En dicha base, calcula la matriz que representa a la siguiente aplicacion lineal
f
((a bb c
))=
(a + b a− ca− c c
)
Ejercicio 9.- En el espacio vectorial V = R4, se consideran los siguientes subespacios vecto-riales
U = {(x, y, z, t) ∈ R4 : 2x− y + z − t = 0}, W = L{(1, 1, 1, 1)}Calcula una aplicacion lineal de R4 en sı mismo que tenga por nucleo al primer subespacioy por imagen al segundo. Otra, que tenga por nucleo al segundo subespacio y por imagen alprimero.
Ejercicio 10.- En el espacio vectorial V = M2 se consideran los subespacios vectorialessiguientes
18
S2 = {M ∈ M2 : M = M t}A2 = {M ∈ M2 : M = −M t}T2 = {M ∈ M2 : traza(M) = 0}
Calcula aplicaciones lineales de M2 en P3 cuyos nucleos sean los anteriores subespacios.
Ejercicio 11.- En el espacio vectorial V = M2 se consideran los subespacios vectorialessiguientes
S2 = {M ∈ M2 : M = M t}A2 = {M ∈ M2 : M = −M t}T2 = {M ∈ M2 : traza(M) = 0}
Calcula aplicaciones lineales de P3 en M2 cuyas imagenes sean los anteriores subespacios.
Ejercicio 12.- En el espacio vectorial V = M2 se consideran los subespacios vectorialessiguientes
S2 = {M ∈ M2 : M = M t}A2 = {M ∈ M2 : M = −M t}T2 = {M ∈ M2 : traza(M) = 0}
Calcula aplicaciones lineales de P2 en M2 cuyas imagenes sean los anteriores subespacios.
Ejercicio 13.- En el espacio vectorial V = M2, calcula una base que contenga a los siguientesvectores
(1 01 −1
),
(1 00 0
).
En dicha base, calcula la matriz que representa a la aplicacion lineal, f : M2 → M2, definidapor f(M) = M + M t.
Ejercicio 14.- En R2 se consideran las dos bases siguientes: B1 = {(1, 1), (1,−1)} y B2 ={(1, 0), (0,−1)}. Calcula las dos matrices que representan, en dichas bases, a la siguienteaplicacion lineal
f : R2 → R2, f(x, y) = (2x− y; x + 4y).
Ejercicio 15.- En P2 se consideran las dos bases siguientes: B1 = {1, t, t2} y B2 = {1 + t, 1−t, 1+t+t2}. Calcula las dos matrices que representan, en dichas bases, a la siguiente aplicacionlineal
f : P2 → P2, f(a0 + a1t + a2t2) = a1 + 2a2t.
Ejercicio 16.- En el espacio vectorial V = R4, se considera el subespacio vectorial siguiente
U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 + x4 = 0, x2 + x3 = 0}.
Calcula un monomorfismo de U en P2
19
Ejercicio 17.- En R3 se consideran las dos bases siguientes
B1 = {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)}, B2 = {(1, 2, 0); (−1, 1, 0); (0, 4, 1)}.Calcula las matrices que representan, en dichas bases, a la siguiente aplicacion lineal
f : R3 → R3, f(x, y, z) = (2x− y; x + 4y; x + z).
Ejercicio 18.- En el espacio vectorial V = R4, se consideran los subespacios vectoriales
U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 + x4 = 0, x2 + x3 = 0}, W = L({(1, 1, 1, 1)}).Calcula un eqimorfismo del primero en el segundo y un monomorfismo del segundo en elprimero. ¿Puedes hacer lo anterior cambiando el orden de los subespacios?
Ejercicio 19.- En R3 se consideran las dos bases siguientes
B1 = {(1, 0, 1); (0, 1, 0); (−1, 0, 1)}, B2 = {(1, 2, 1); (−1, 1, 0); (0, 4, 1)}.
Calcula las matrices que representan, en dichas bases, a la siguiente aplicacion lineal
f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x− y; y + z; x + z).
Ejercicio 20.- En R4 se considera la base siguiente
B = {(1, 0, 0,−1); (0, 1, 0, 1); (0, 0, 1,−1), (1, 1, 1, 0}.Calcula la matriz, que en dicha base, representa a la siguiente aplicacion lineal
f : R4 → R4, f(x, y, z, t) = (x− y; y + z; x + z, x + y + t).
Ejercicio 21.- ¿Puede existir una aplicacion lineal de un espacio vectorial en sı mismo (unendomorfismo) cuyo nucleo coincida con su imagen?
Ejercicio 22.- Prueba que dos espacios vectoriales son isomorfos si y solo si tienen la mismadimension.
Ejercicio 23.- Construye isomorfismos entre los siguientes espacios vectoriales:
R3 y S2.
R3 y U = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− y + z + t = 0}S2 y P2
S2 y A3.
Ejercicio 24.- ¿Puede existir un monomorfismo de R3 en si mismo que no sea isomorfismo?
Ejercicio 25.- ¿Puede existir un epimorfismo de R3 en si mismo que no sea isomorfismo?
Ejercicio 26.- Sean V y V′ dos espacios vectoriales que tienen la misma dimension. Seaf : V → V′ una aplicacion lineal, ¿puede ser inyectiva y no sobre? ¿puede ser sobre y noinyectiva?
20
Ejercicio 27.- En R2 se consideran las aplicaciones lineales, fα : R2 → R2,que en la baseestandar vienen representadas por las siguientes matrices
{(cos α sin α
− sin α cos α
): α ∈ R
}.
Calcula el nucleo y la imagen de dichas aplicaciones lineales. Calcula los valores de α para quela siguiente ecuacion tenga solucion no trivial fα(~v) = λ~v donde λ ∈ R.
Ejercicio 28.- En R3 se consideran las aplicaciones lineales, fα : R3 → R3,que en la baseestandar vienen representadas por las siguientes matrices
Mα =
1 α 0α 1 α0 α 1
1. Calcula N(fα) segun los valores de α ∈ R2. Decide, segun los valores de α ∈ R, cuando la aplicacion es inyectiva, suprayectiva o
biyectiva.
3. Considera el subconjunto S = {~v ∈ R3 : f0(~v) = ~v}. Prueba que es un subespaciovectorial y calcula una base del mismo.
4. Calcula las matrices que representan a las anteriores aplicaciones lineales en las siguientebase
B = {(1,−1, 0); (0, 1,−1); (0, 0, 1)}.
Ejercicio 29.- Calcula una base del espacio vectorial End(R2). En ella, calcula las coorde-nadas del vector definido como sigue
f : R2 → R2, f(x, y) = (−y, x)
Ejercicio 30.- Calcula una base del espacio vectorial (R2)∗ = Hom(R2,R) la cual contengaal vector definido como sigue
f : R2 → R, f(x, y) = x + y
Ejercicio 31.- Conidera el isomorfismo ΦBo : End(R2) →M2. Calcula subespacios vectorialesde End(R2) que sean isomorfos, por el anterior isomorfismo, a S2 y A2, respectivamente.
Ejercicio 32.- En End(R3) se consideran los vectores definidos por
f(x, y, z) = (2x− 3y, x + y, x + z) h(x, y, z) = (y, x, z)
Calcula ΦBo(f), ΦBo(h), ΦBo(−f + 2h), ΦBo(h ¦ f), ΦBo(f ¦ h) y ΦBo(h ¦ f − 2h).
Ejercicio 33.- En End(R2) se consideran los vectores f y h cuyas matrices en la base canonicason
ΦBo(f) =
(cos α sin α
− sin α cos α
)ΦBo(h) =
(cos β sin β
− sin β cos β
)
Calcula ΦBo(f ¦ h) y ΦBo(h ¦ f).
21
El Espacio Dual de un Espacio Vectorial
15. Introduccion
F Como sabes, por los epıgrafes anteriores, si tienes un espacio vectorial, Vn(K), con di-mension n, entonces automaticamente aparece definido otro tambien con dimension n cuyosvectores son las aplicaciones lineales del primero en K
V∗n = Hom(Vn,K)
A partir de ahora, a este espacio espacio vectorial, V∗n(K), le llamaremos espacio dual del
espacio vectorial Vn(K). A los vectores del espacio dual se les suele llamar formas lineales.
F Voy a recordarte algunas cosas que tambien sabes sobre este espacio vectorial.
En primer lugar, si fijas una base B = {~x1, ~x2, ..., ~xn} de Vn, entonces cada vector, ~x, deVn tiene unas coordenadas en dicha base
~x =n∑
i=1
ai ~xi, ai ∈ K
de tal manera que se produce una identificacion de los vectores de Vn(K) con Kn o, deotra forma con las matrices de una fila y n columnas
Fijada B : Vn ⇔ Kn ≡M1×n ~x ↔ (a1, a2, ..., an)
Ademas, cuando fijas la base en Vn(K) puedes establecer un isomorfismo de espaciosvectoriales entre V∗
n(K) y el espacio vectorial de las matrices que tienen n filas, unacolumna y elementos en K. En efecto, en el espacio vectorial K, con dimension uno,tienes una base canonica, Bo, formada por el vector ~1 = 1, entonces defines
ΦB,Bo : V∗n = Hom(Vn,K) → Mn×1(K) ΦB,Bo(ϕ) = M(ϕ,B,Bo)
En la anterior identificacion, cada vector ϕ ∈ V∗n se identifica con una matriz de n filas
y una columna (matrices columna) obtenida del siguiente modo: la primera fila son lascoordenadas (en este caso la coordenada) de ϕ(~x1) en la base Bo = {1}, es decir el propioϕ(~x1) ∈ K. Lo mismo ocurre con las otras filas, esto es
ϕ ↔
ϕ(~x1)ϕ(~x2)........ϕ(~xn)
De manera que al fijar una base de Vn puedes representar a sus vectores por matricesfila mientras que a los vectores de su dual los puedes representar por matrices columna.
22
16. Bases Duales
¥ En los epıgrafes anteriores, tambien has aprendido a calcular bases en los espacios vectorialesde aplicaciones lineales. Recuerda que partiendo de bases en los correspondientes espaciosvectoriales de matrices, considerabas las aplicaciones lineales que estaban representadas pordichas matrices. En el caso especial que nos interesa, el del espacio dual, partimos de una baseen Mn×1(K), la mas sencilla es la canonica, esto es, tomas las n matrices columna que tienenun uno en una fila y cero en las restantes
Mi = (aj1) ∈ Mn×1(K) aj1 =
{1 si j = i
0 si j 6= i
Ahora tomas los n vectores de V∗n cuyas imagenes por ΦB,Bo son las matrices Mi esto es
ϕi ∈ V∗n : ΦB,Bo(ϕi) = Mi
¥ En otras palabras, los vectores ϕi ∈ V∗n son las aplicaciones lineales de Vn en R determinadas
sobre los vectores de la base B del siguiente modo
ϕj(~xi) =
{1 si j = i
0 si j 6= i
obtienes ası una base B∗ = {ϕ1, ϕ2, ..., ϕn} de V∗n a la que llamaremos base dual de la base
B = {~x1, ~x2, ..., ~xn} de Vn.
¥ Te propongo el siguiente ejercicio. Imagınate que no sabes que los vectores ϕi ∈ V∗n
definidos por
ϕj(~xi) =
{1 si j = i
0 si j 6= i
forman una base de V∗n, entonces puedes probar directamente que son base de V∗
n.Quiero decir que puedes ver que son linealmente independientes y al ser n que es la dimensionde V∗
n entonces forman base. En efecto, para probar que son linealmente independientes, tomasla ecuacion
a1ϕ1 + a2ϕ2 + ... + anϕn = ~O el vector cero del dual
pero ~O el la aplicacion lineal de Vn en R que aplica cada vextor en el cero ası
(n∑
j=1
ajϕj
)(~xi) = 0 1 ≤ i ≤ n
(n∑
j=1
ajϕj
)(~xi) =
n∑j=1
ajϕj(~xi) = ai = 0 1 ≤ i ≤ n
¥ Dado Vn, tienes su dual V∗n. Elegida una base B = {~x1, ~x2, ..., ~xn} de Vn tienes su base dual
B∗ = {ϕ1, ϕ2, ..., ϕn} en V∗n. En estas condiciones tienes la siguiente propiedad de dualidad:
23
Dado un vector ~x ∈ Vn entonces sus coordenadas en la base B se obtienen evaluando en~x las n formas lineales de la base dual, es decir
~x =n∑
i=1
ϕi(~x) ~xi
para comprobarlo, representas por ai a las coordenadas de ~x en la base B
~x =n∑
i=1
ai ~xi
ahora puedes calcular
ϕj(~x) = ϕj
(n∑
i=1
ai ~xi
)=
n∑i=1
ai ϕj(~xi) = aj 1 ≤ j ≤ n
Dada la forma lineal ϕ ∈ V∗n, entonces sus coordenadas en la base B∗ se calcula aplicando
ϕ a los n vectores de B, es decir
ϕ =n∑
j=1
ϕ(~xj) ϕj
para comprobarlo, representas por αj a las coordenadas de ϕ en la base B∗
ϕ =n∑
j=1
αj ϕj
ahora calculas
ϕ(~xi) =
(n∑
j=1
αj ϕj
)(~xi) =
n∑j=1
αj ϕj(~xi) = αi 1 ≤ i ≤ n
¥ Ejemplo 1.- En K3 considera la base canonica Bo = {~e1, ~e2, ~e3} y su base dual, B∗o ={ϕ1, ϕ2, ϕ3}, en (K3)
∗. Sea φ ∈ (K3)
∗la forma lineal definida por
φ(~x) = φ(x, y, z) = 4x− 3y + 8z
entonces las coordenadas de φ en B∗o son
φ(~e1) = 4 φ(~e2) = −3 φ(~e3) = 8
φ = 4ϕ1 − 3ϕ2 + 8ϕ3
¥ Ejemplo 2.- En K3 considera la base B = {~x1 = (1,−1, 0); ~x2 = (1, 1, 0); ~x3 = (1, 0, 1)}calcula su base dual, B∗ = {φ1, φ2, φ3}, en (K3)
∗. Para ello consideramos φ1 = a11x+a12y+a13z,
entonces
φ1(1,−1, 0) = a11 − a12 = 1, φ1(1, 1, 0) = a11 + a12 = 0, φ1(1, 0, 1) = a11 + a13 = 0
24
ası a11 = 1/2 y a12 = a13 = −1/2. Es decir
φ1(x, y, z) =1
2x− 1
2y − 1
2z
analogamente si escribes φ2 = a21x + a22y + a23z, obtienes
φ2(1,−1, 0) = a21 − a22 = 0, φ2(1, 1, 0) = a21 + a22 = 1, φ2(1, 0, 1) = a21 + a23 = 0
con lo que obtienes
φ2(x, y, z) =1
2x +
1
2y − 1
2z
finalmente, si φ3 = a31x + a32y + a33z y ası
φ3(1,−1, 0) = a31 − a32 = 0, φ3(1, 1, 0) = a31 + a32 = 0, φ3(1, 0, 1) = a31 + a33 = 1
con lo que obtienes a31 = a32 = 0 y a33 = 1
φ3(x, y, z) = z
¥ Ejemplo 3.- Considera las siguientes formas lineales, ψ1, ψ2, ψ3 : K3 → R,
ψ1(x, y, z) = x + y + z ψ2(x, y, z) = x + y ψ3(x, y, z) = x
Vamos a ver que H = {ψ1, ψ2, ψ3} forman una base de (K3)∗. Para ello, es suficiente con
probar que son linealmente independientes. Si escribimos
α1ψ1 + α2ψ2 + α3ψ3 = ~O
entonces la evaluamos sobre los tres vectores de la base canonica de K3 para obtener
(α1ψ1 + α2ψ2 + α3ψ3)(1, 0, 0) = α1 + α2 + α3 = 0
(α1ψ1 + α2ψ2 + α3ψ3)(0, 1, 0) = α1 + α2 = 0
(α1ψ1 + α2ψ2 + α3ψ3)(0, 0, 1) = α1 = 0
lo que prueba que α1 = α2 = α3 = 0 y ası la independencia lineal. Ahora nos podemos plantearsi existe una base, B, de R3 cuya base dual, B∗, es precisamente H. Tendremos que encontrarvectores, ~x1, ~x2, ~x3 de manera que
ψj(~xi) =
{1 si j = i
0 si j 6= i
Para calcular ~x1 = (a11, a12, a13) tenemos ψ1(~x1) = 1, ψ2(~x1) = 0, ψ3(~x1) = 0, lo que implica
a11 + a12 + a13 = 1 a11 + a12 = 0 a11 = 0 ⇒ ~x1 = (0, 0, 1)
Para calcular ~x2 = (a21, a22, a23) tenemos ψ1(~x2) = 0, ψ2(~x2) = 1, ψ3(~x2) = 0, lo que implica
a21 + a22 + a23 = 0 a21 + a22 = 1 a21 = 0 ⇒ ~x2 = (0, 1,−1)
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Para calcular ~x3 = (a31, a32, a33) tenemos ψ1(~x3) = 0, ψ2(~x3) = 0, ψ3(~x3) = 1, lo que implica
a31 + a32 + a33 = 0 a31 + a32 = 0 a31 = 1 ⇒ ~x3 = (1,−1, 0)
¥ Una Observacion.- En el ejemplo anterior si representamos por B∗o = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} a labase dual de la base canonica, entonces las formas lineales dadas se escriben como
ψ1 = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 ψ2 = ϕ1 + ϕ2 ψ3 = ϕ1
escribiendo los sus coordenadas en columnas, ya sabemos que esto se hace en el dual, se tienela matriz
(M(I∗,B∗,B∗o))t =
1 1 11 1 01 0 0
Por otro lado, la matriz cuyas filas son las coordenadas de los vectores de la base calculada,B, en la base canonica es
M(I,B,Bo) =
0 0 10 1 −11 −1 0
Puedes comprobar que estas dos matrices son inversas una de otra.
17. Un resultado de Reflexividad
¨ Si consideras un espacio vectorial, Vn(K), con dimension n, aparece otro, su dual, V∗n(K),
tambien con dimension n. Es obvio que podemos volver a dualizar, considerar el dual de V∗n(K)
al que representamos por V∗∗n (K) = Hom(V∗
n,K) obteniendo ası un nuevo espacio vectorial,tambien con dimension n y, al que llamaremos bidual de Vn(K).
¨ Ciertamente todos estos espacios vectoriales son isomorfos al tener la misma dimen-sion. Ya sabes que si tienes dos espacios vectoriales con la misma dimension entonces puedeselegir bases en cada uno de ellos y definir entre ellos una aplicacion en la que vectores conlas mismas coordenads en las bases elegidas se corresponden. El resultado es un isomorfismo.Naturalmente estos isomorfismos dependen de las bases elegidas y en este sentido,diremos que no son naturales.
¨ A continuacion vamos a ver que entre Vn y V∗∗n podemos establecer, definir, un isomorfismo
sin necesidad de elegir, previamente, bases en ninguno de ellos. Quiero con ello decir que todoespacio vectorial y su bidual son isomorfos de manera natural. En este sentido, sepueden identificar y aparece ası lo que muchos autores denominan teorema de reflexividad.Pero vayamos por partes:
Definicion de la aplicacion.- Empezamos definiendo una aplicacion entre ellos, Φ :Vn → V∗∗
n , de siguiente modo: si ~x ∈ Vn definimos su imagen en V∗∗n por
Φ(~x) : V∗n → K (Φ(~x)) (ϕ) = ϕ(~x)
Naturalmente hay que asegurarse que Φ(~x) esta realmente en V∗∗n = Hom(V∗
n,K), estoes, que es una aplicacion lineal.
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1. Si ϕ, ψ ∈ V∗n, entonces (Φ(~x)) (ϕ + ψ) = Φ(~x)(ϕ) + Φ(~x)(ψ)
2. Si ϕ ∈ V∗n y a ∈ R, entonces (Φ(~x)) (aϕ) = a Φ(~x)(ϕ)
Linealidad de la aplicacion.- A continuacion tenderemos que exhibir la linealidad dela aplicacion definida, esto es,
1. Si ~x, ~y ∈ Vn, entonces Φ(~x + ~y) = Φ(~x) + Φ(~y)
2. Si ~x ∈ Vn y a ∈ R, entonces Φ(a~x) = a Φ(~x)
Biyectividad de la aplicacion.- Al ser los dos espacios vectoriales, Vn y V∗∗n , de la
misma dimension, es suficiente probar que la aplicacion, ya lineal, es inyectiva, en otraspalabras, que su nucleo es trivial.
N(Φ) = {~x ∈ Vn : Φ(~x) = ~O} = { ~O}
F Todos los detalles de las pruebas los puedes hacer como ejercicio aunque sediscutiran en clase.
¥ El principio de reflexividad anteriormente obtenido tiene aplicaciones. Una de ellas la hemoscontrastado ya en algunos ejemplos. Ya sabemos que siempre que elijamos una base en unespacio vectorial, automaticamente estas eligiendo otra, su base dual, en el espacio dual. Lacuestion entonces es si cualquier base del espacio dual aparece como base dual de una base enel espacio vectorial de partida. En otras palabras: sea H una base de V∗
n entonces ¿existeuna base B de Vn tal que B∗ = H?
¥ La respuesta a esta pregunta es afirmativa y aquı tienes una prueba de ello.
Sea una base, cualquiera, H = {φ1, φ2, ..., φn} de Vn.
Lo primero que hacemos es considerar su base dual en el bidual, esto esH∗ = {ω1, ω2, ..., ωn}base dual de H en V∗∗
n , y ası
ωi(φj) =
{1 si i = j
0 si i 6= j
A continuacion usamos la biyeccion Φ : Vn → V∗∗n que nos proporciona el principio de
reflexividad. Tenemos pues una base B = {~x1, ~x2, ..., ~xn} de Vn formada por los vectorescuyas imagenes por la biyeccion son los vectores de la base H∗, esto es
Φ(~xi) = ωi 1 ≤ i ≤ n
Finalmente, veamos que la base dual de B es, precisamente, la base de partida, H. Setiene
φj(~xi) = (Φ(~xi)) (φj) = ωi(φj) =
{1 si i = j
0 si i 6= j
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18. Aplicacion transpuesta de una lineal
N Siguiendo con la teorıa de dualidad, vamos a ver que si partimos de una aplicacion linealentre dos espacios vectoriales, entonces podemos definir otra entre sus duales pero cambiandoel sentido. De una manera mas concreta, si f : Vn(K) → Wm(K) es una aplicacion linealentonces se puede definir una aplicacion
f ∗ : W∗m(K) → V∗
n(K) f ∗(ψ) = ψ ◦ f
y resulta que esta aplicacion es lineal, es decir
f ∗(ψ1 + ψ2) = f ∗(ψ1) + f ∗(ψ2)
f ∗(aψ) = a f ∗(ψ)
Probaremos la primera de las propiedades y la segunda se deja para que la hagas como unejercicio. Se tiene que probar la igualdad de dos vectores de Vn, esto es, de dos formas linealessobre Vn. Son iguales si toman el mismo valor en cada vector, ~x, de Vn
(f ∗(ψ1 + ψ2)) (~x) = (ψ1 + ψ2)(f(~x)) = ψ1(f(~x)) + ψ2(f(~x)) =
= (f ∗(ψ1)) (~x) + (f ∗(ψ2)) (~x) = (f ∗(ψ1) + f ∗(ψ2)) (~x)
F Ejercicio 1.- Considera el endomorfismo de K2 definido por
f(x, y) = (−x + 2y, 3x + y) =(
x y) ( −1 3
2 1
)
se trata de calcular el endomorfismo transpuesto f ∗ ∈ End (K2)∗. Para ello calcularemos su
matriz en la base dual B∗o = {ϕ1, ϕ2} de la canonica, Bo = {~e1, ~e2} de K2.
f ∗(ϕ1) = aϕ1 + b ϕ2
aplicamos esta forma lineal a los vectores de Bo para obtener
a = (f ∗(ϕ1)) (~e1) = ϕ1(f(~e1)) = ϕ1(−~e1 + 3~e2) = −1
b = (f ∗(ϕ1)) (~e2) = ϕ1(f(~e2)) = ϕ1(2~e1 +~22) = 2
f ∗(ϕ1) = −ϕ1 + 2 ϕ2
analogamente
f ∗(ϕ2) = c ϕ1 + dϕ2
aplicamos esta forma lineal a los vectores de Bo para obtener
c = (f ∗(ϕ2)) (~e1) = ϕ2(f(~e1)) = ϕ2(−~e1 + 3~e2) = 3
d = (f ∗(ϕ2)) (~e2) = ϕ2(f(~e2)) = ϕ1(2~e1 +~22) = 1
f ∗(ϕ2) = 3 ϕ1 + ϕ2
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Por lo tanto la matriz de f ∗ en la base B∗o = {ϕ1, ϕ2} es
M(f ∗,B∗) =
( −1 23 1
)
F Ejercicio 2.- Se considera la aplicacion lineal f : K2 → R3 representada en las basescanonicas, Bo = {~e1, ~e2} y B′
o = {~d1, ~d2, ~d3} por la siguiente matriz
M(f,Bo,B′o) =
(1 2 34 5 6
)
Vamos a calcular la matriz de la aplicacion transpuesta en las bases duales.
f ∗ :(K3
)∗ → (K2
)∗
representamos las bases duales por B′∗o = {φ1, φ2, φ3} y B∗
o = {ϕ1, ϕ2} y calculamos la matrizM(f ∗,B′∗
o ,B∗o), como siempre por filas.
La primera fila viene dada por
f ∗(φ1) = a11 ϕ1 + a12 ϕ2
a11 = (f ∗(φ1)) (~e1) = φ1(f(~e1)) = φ1(~d1 + 2 ~d2 + 3 ~d3) = 1
a12 = (f ∗(φ1)) (~e2) = φ1(f(~e2)) = φ1(4 ~d1 + 5 ~d2 + 6 ~d3) = 4
La segunda fila viene dada por
f ∗(φ2) = a21 ϕ1 + a22 ϕ2
a21 = (f ∗(φ2)) (~e1) = φ2(f(~e1)) = φ2(~d1 + 2 ~d2 + 3 ~d3) = 2
a22 = (f ∗(φ2)) (~e2) = φ2(f(~e2)) = φ2(4 ~d1 + 5 ~d2 + 6 ~d3) = 5
La tercera fila viene dada porf ∗(φ3) = a31 ϕ1 + a32 ϕ2
a31 = (f ∗(φ3)) (~e1) = φ3(f(~e1)) = φ3(~d1 + 2 ~d2 + 3 ~d3) = 3
a32 = (f ∗(φ3)) (~e2) = φ3(f(~e2)) = φ3(4 ~d1 + 5 ~d2 + 6 ~d3) = 6
Por lo tanto
M(f ∗,B′∗o ,B∗
o) =
1 42 53 6
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