Algebra lineal y Geometr ´ ´ıa I Gloria Serrano Sotelogalois.azc.uam.mx/mate/LIBROS/algebralineal0.pdf · Algebra lineal y Geometr´ ´ıa I Gloria Serrano Sotelo Departamento

Algebra lineal y Geometrıa IGloria Serrano SoteloDepartamento de MATEMATICAS

1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales

Sea k un cuerpo.

Definicion 1.1. Un k-espacio vectorial o espacio vectorial sobre k es un conjunto E con

dos operaciones, suma y multiplicacion por elementos de k, que verifican:

Suma

1. Es una operacion cerrada: e + e� ∈ E, cualesquiera que sean e, e

� ∈ E.

2. Es asociativa: (e + e�) + e

��= e + (e

�+ e

��), cualesquiera que sean e, e

�, e

�� ∈ E.

3. Tiene elemento neutro: Existe 0 ∈ E tal que 0 + e = e + 0 = e, para todo e ∈ E.

4. Todo elemento de E posee un opuesto: Para cada E ∈ E existe −e ∈ E tal que

e + (−e) = (−e) + e = 0.

5. Es conmutativa: e + e�= e

�+ e, cualesquiera que sean e, e

� ∈ E.

Multiplicacion por elementos de k

1. Es una operacion cerrada: λe ∈ E, cualesquiera que sean λ ∈ k y e ∈ E.

2. λ(e + e�) = λe + λe

�, cualesquiera que sean λ ∈ k y e, e

� ∈ E.

3. (λµ)e = λ(µe), cualesquiera que sean λ, µ ∈ k y e ∈ E.

4. (λ + µ)e = λe + µe, cualesquiera que sean λ, µ ∈ E y e ∈ E.

5. 1e = e, siendo 1 la unidad de k.

Los elementos del espacio vectorial E se llaman vectores y los del cuerpo base k escalares.

Ejemplos 1.2.• Rn

= {(x1, . . . , xn) : xi ∈ k, 1 ≤ i ≤ n} es un R-espacio vectorial con las operaciones:

Suma (x1, . . . , xn) + (x�1, . . . , x

�n) = (x1 + x

�1, . . . , xn + x

�n) y multiplicacion por escalares

λ(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . ,λ xn).

• k[x] = {polinomios en x con coeficientes en k} es un k- espacio vectorial con las operacio-

nes suma de polinomios y producto de un polinomio por un escalar.

• C = {a + bi : a, b ∈ R} es un R-espacio vectorial con las operaciones suma de numeros

complejos y producto de un numero complejo por un numero real.

• C es tambien un C-espacio vectorial respecto de la suma y el producto de numeros com-

plejos.

• Matrices de orden m× n con coeficientes en k

M(m× n, k) = {A = (aij) : aij ∈ k, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}es un k- espacio vectorial con las operaciones: Suma de matrices, A + B = (aij + bij), y

producto de una matriz por un escalar, λA = (λaij).

Una combinacion lineal de los vectores e1, . . . , en ∈ E es un vector de E de la forma

λ1e1 + · · · + λnen para ciertos escalares λ1 . . . λn ∈ k.

Los subconjuntos del espacio vectorial E que conservan la estructura lineal son los que soncerrados por combinaciones lineales:

Definicion 1.3. Un subconjunto V de E es un subespacio vectorial de E si es cerrado por

combinaciones lineales, es decir, si λv + µv� ∈ V cualesquiera que sean v, v

� ∈ V y λ, µ ∈ k.

1

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Ejemplos 1.4.• Las rectas y los planos que pasan por el origen son subespacios de R3

.

• Los polinomios de grado menor o igual que dos forman un subespacio de k[x].

• El conjunto S(n, k) = {A ∈ M(n, k) : A = At} de las matrices simetricas de orden n con

coeficientes en k es un subespacio vectorial de M(n, k)

Se representa por �e1, . . . en� el conjunto de las combinaciones lineales de los vectores e1, . . . , en.

Por definicion, �e1, . . . en� es un subespacio vectorial de E, el subespacio generado porlos vectores e1, . . . , en.

Si E = �e1, . . . en�, es decir, si todo vector de E se expresa como combinacion lineal de

e1, . . . , en, se dice que {e1, . . . , en} forman un sistema de generadores de E.

Ejemplos 1.5.• Los polinomios 1, x, x

2generan el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o

igual a cero.

• Los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 2) forman un sistema de generadores del plano de R3

de ecuacion x + 2y − z = 0.

• Las matrices

�1 0

0 0

�,

�0 1

1 0

�y

�0 0

0 1

�generan S(2, R).

2. Dependencia e independencia lineal. Bases. Dimension

Sea E un k-espacio vectorial.

Los vectores {e1, . . . , en} de E son linealmente dependientes si alguno de ellos es combi-

nacion lineal de los otros, esto es, si ei = α1e1+· · ·+ei+· · ·+αnen para ciertos α1, . . . , αn ∈ k.

Los vectores {e1, . . . , en} de E son linealmente independientes si ninguno de ellos es

combinacion lineal de los restantes o, lo que es equivalente, si existe una combinacion lineal

de ellos igual al vector cero, necesariamente los escalares de la combinacion lineal son cero,

si λ1e1 + · · · + λnen = 0 ⇒ λ1 = · · · = λn = 0.

Definicion 2.1. Los vectores {e1, . . . , en} forman una base de E si generan E y son lineal-

mente independientes.

El vector cero es combinacion lineal de cualesquiera vectores, 0 = 0e1+ · · ·+0en, luego nunca

puede formar parte de una base.

Teorema 2.2. (Caracterizacion de una base) Los vectores {e1, . . . , en} forman una base deE si y solo si cualquier vector de E se puede expresar de modo unico como combinacionlineal de ellos.

Demostracion.• Si {e1, . . . , en} es una base de E, probaremos que para todo vector e de E existen escalares

unicos λ1, . . . , λn tales que e = λ1e1 + · · · + λnen:

Como {e1, . . . , en} generan E, cualquiera que sea e ∈ E es e = λ1e1 + · · ·+λnen para ciertos

λi ∈ k. Ademas, los escalares λ1, . . . , λn son unicos, pues si existen otros escalares µ1, . . . , µn

tales que e = µ1e1 + · · · + µnen, igualando, resulta que (λ1 − µ1)e1 + · · · + (λn − µn)en = 0,

de donde se deduce que λ1 − µ1 = · · · = λn − µn = 0 ya que {e1, . . . , en} son linealmente

independientes, luego λ1 = µ1 . . . λn = µn.

• Recıprocamente, si todo vector de E se expresa de modo unico como combinacion lineal

de los vectores {e1, . . . , en} demostraremos que {e1, . . . , en} forman una base de E:

{e1, . . . , en} generan E pues todo vector de E es combinacion lineal de ellos y son linealmente

independientes, ya que si λ1e1 + · · ·+λnen = 0 necesariamente λ1 = . . . λn = 0 pues el vector

cero es 0 = 0e1+· · ·+0en y por hipotesis los escalares de la combinacion lineal son unicos. �Si e = λ1e1 + · · ·+λnen es la expresion del vector e en la base {e1, . . . , en} de E, los escalares

(λ1, . . . λn) son las coordenadas del vector e en esa base.


Ejemplos 2.3.• Los vectores {(1, 0, 0 . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)} forman una base de Rn

.

• Los numeros complejos {1, i} forman una base de C como R-espacio vectorial.

• Los polinomios {1, x, x2} forman una base del espacio vectorial de los polinomios de grado

menor o igual a dos. Las coordenadas del polinomio 5− 3x + 2x2

en esta base son (5,−3, 2).

• Los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 2) forman una base del plano de R3de ecuacion

x + 2y − z = 0. Las coordenadas, respecto de esa base, del vector e = (1, 1, 3) del plano son

(1, 1), pues e = u + v.

• Las matrices A1 =

�1 0

0 0

�, A2 =

�0 1

1 0

�y A3 =

�0 0

0 1

�definen una base de S(2, R).

Las coordenadas de la matriz simetrica A =

�2 3

3 1

�en esa base son (2, 3, 1), ya que A =

2A1 + 3A2 + A3.

Probaremos ahora que toda coleccion de vectores linealmente independientes de unespacio vectorial se puede ampliar hasta formar una base del espacio.

Teorema 2.4. (Teorema de Steinitz) Sean {v1, . . . , vm} vectores linealmente independien-tes de E y {e1, . . . , en} una base de E. Se pueden sustituir m vectores de la base {e1, . . . , en}por los vectores {v1, . . . , vm} para obtener una nueva base de E.

Demostracion. Iremos sustituyendo, uno a uno, m vectores de la base {ei} por los vectores

{v1, . . . , vm}.• Probaremos que {v1, e2, . . . , en} es una base de E.

Como {e1, . . . , en} es una base y v1 ∈ E es v1 = λ1e1 + · · · + λnen (1)y no todos los escalares {λi} son nulos, pues en ese caso v1 = 0 y el vector cero no puede

formar parte de una coleccion de vectores linealmente independientes.

Podemos suponer, reordenando la base si es preciso, que λ1 �= 0. Despejando, resulta que

e1 =1λ1

v1− λ2λ1

en− · · ·− λnλ1

en, de lo que se deduce que los vectores {v1, e2 . . . , en} generan E.

Los vectores {v1, e2 . . . , en} son linealmente independientes ya que si µ1v1 + · · · + µnen = 0,

sustituyendo v1 por (1) se obtiene µ1λ1e1 + (µ1λ2 + µ2)e2 + · · · + (µ1λn + µn)en = 0 y

µ1λ1 = µ1λ2 +µ2 = · · · = µ1λn +µn = 0 por ser {e1, . . . , en} linealmente independientes. Por

otra parte, como λ1 �= 0 debe ser µ1 = 0, de lo que se deduce que tambien µ2 = · · · = µn = 0.

• Probaremos que {v1, . . . , vm, . . . , en} es una base de E.

Supongamos que ya hemos sustituido m − 1 vectores de la base {e1, . . . , en} por vectores

vi. Reordenando si es preciso, podemos suponer que hemos sustituido los m primeros y que

tenemos la nueva base {v1, . . . , vm−1, em, . . . , en}. Expresando vm en funcion de esta base se

tiene

vm = α1v1 + · · · + αm−1vm−1 + βmem + · · · + βnen ,

donde algun βi tiene que ser no nulo, pues en otro caso vm serıa combinacion lineal de

{v2, . . . , vm} y hemos supuesto que {v1, . . . , vm} son linealmente independientes. Como antes,

reordenando si es necesario, podemos suponer que βm �= 0. Y el mismo argumento del apar-

tado anterior prueba que podemos sustituir em por vm de manera que {v1, . . . , vm, . . . , en}es una base de E. �Teorema 2.5. (Teorema de la base)Todas las bases de un k-espacio vectorial tienen elmismo numero de elementos.Se llama dimension del espacio vectorial E al numero de elementos de una base y se repre-senta por dimk E.

Demostracion. Sean {e1, . . . , en} y {e�1, . . . , e�m} dos bases de E. Por el teorema de Steinitz

aplicado a la base {e1, . . . , en} y a los vectores linealmente independientes {e�1, . . . , e�m},debe ser m ≤ n, y ahora a la base {e�1, . . . , e�m} y a los vectores linealmente independientes

{e1, . . . , en} da n ≤ m. Por tanto, n = m. �


Es claro que la dimension de un espacio vectorial coincide con el numero maximode vectores linealmente independientes y con el numero mınimo de generado-res. Por tanto, en un espacio vectorial de dimension n cualesquiera n vectoreslinealmente independientes forman una base.

Ejemplos 2.6.• dimR Rn

= n

• dimR C = 2 y dimC C = 1 pues C = �1, i� considerado como R-espacio vectorial y C = �1�considerado como C-espacio vectorial

• Los vectores v1 = (2, 0, 3, 1), v2 = (−3, 1, 1, 1), v3 = (−1, 1, 2, 0) y v4 = (0, 1, 1, 2) for-

man una base de R4, pues son linealmente independientes, ya que det(v1, v2, v3, v4) �= 0, y

dimRR4= 4.

• Los polinomios {1, x, x2} forman una base del espacio vectorial E de los polinomios de grado

menor o igual a dos, luego dimk E = 3. Las coordenadas de los polinomios {1−2x, x2+1, 2+

x−x2} respecto de la base de E anterior son (1,−2, 0), (1, 0, 1) y (2, 1,−1) respectivamente,

y como estos vectores son linealmente independientes ya que su determinante es distinto de

cero, resulta que {1− 2x, x2+ 1, 2 + x− x

2} es otra base del espacio E de los polinomios de

grado menor o igual a dos.

3. Problemas propuestos

1. Probar que el conjunto de matrices cuadradas diagonales con coeficientes en un cuerpo

k tiene estructura de espacio vectorial sobre k.

2. Determinar cuales de los siguientes subconjuntos de Rnson subespacios vectoriales:

a) E = {(0, x2, . . . , xn)}b) E = {(1, x2, . . . , xn)}c) E = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ Q}d) E = {(x1, x2, . . . , xn) :

�ni=1 xi = 0}

e) E = {(x1, x2, . . . , xn) :�n

i=1 xi = 5}3. Sea F (R, R) el espacio de todas las funciones de R en R. Estudiar si E es un subes-

pacio de F (R, R), donde:

a) E = {f ∈ F (R, R) : f(3) = 0}b) E = {f ∈ F (R, R) : f(1) = f(2)}c) E = {f ∈ F (R, R) : f(−x) = −f(x)}d) E = {f ∈ F (R, R) : f es continua}e) E = {f ∈ F (R, R) : f es derivable}

4. Demostrar que los vectores (−5, 2, 8,−16), (−5, 3, 17,−14), (1, 1, 11, 6) de R4son

linealmente independientes.

5. Demostrar que los vectores (m, 1, 0), (−1, m, 0) y (0, 1, 1) son linealmente indepen-

dientes en R3, sea quien sea m. Comprobar que esta propiedad no se cumple en

C3.

6. Considerense las matrices

�−3 2

−4 1

�,

�2 3

1 5

�,

�9 x

−3 y

�. Determinar x e y para que

dichas matrices sean linealmente independientes.

7. Pruebese que las funciones sin x, sin 2x, . . . , sin nx son linealmente independientes so-

bre el cuerpo R.

Pruebese otro tanto para las funciones eα1x

, eα2x

, . . . , eαnx

donde α1, . . . , αn son n

numeros reales distintos.

8. Demostrar que el subespacio E = {(a, b, 0) : a, b ∈ R} de R3esta generado por

cualquiera de los pares de vectores siguientes:

a) e = (1, 1, 0), e�= (1, 0, 0)

b) e = (2,−1, 0), e�= (−1,−1, 0)


9. Determinar x e y en el vector (3, 2, x, y) ∈ Q4para que pertenezca al subespacio

generado por (1, 4,−5, 2), (1, 2, 3, 1).

10. Pruebese que el subespacio de R3generado por los vectores (1, 1, 1), (0, 1, 0) coincide

con el subespacio generado por (2, 3, 2) y (1, 0, 1).

11. Hallar un vector comun al subespacio E1 engendrado por los vectores (1, 2, 3) y

(3, 2, 1) y al subespacio E2 engendrado por (1, 0, 1) y (3, 4, 3).

12. Sea A =

�1 2

3 m

�.

a) Encontrar el valor de m para que existan matrices cuadradas no nulas B tales

que AB = 0.

b) Demostrar que dichas matrices (incluida el 0) forman un subespacio vectorial.

Encontrar un sistema de generadores linealmente independientes.

13. Averiguar si V es un subespacio vectorial real y en caso afirmativo calcula una base

y su dimension:

a) V = {(a, b, 0) : a, b ∈ R}b) V = {(a, b, c) : a + b + c = 0}c) V = {(a, b, c) : a

2+ b

2+ c

2 ≥ 1}d) V = {(a, b, c) : a = b + c}e) V = {(a, b, c) : a, b, c ∈ Q}

14. En un espacio vectorial E sobre el cuerpo de los numeros complejos C se dan tres

vectores a, b, c y se consideran los vectores

u = b + c, v = c + a, w = a + b

a) Probar que los subespacios vectoriales engendrados por a, b, c y por u, v, w son

el mismo.

b) Demostrar que los vectores u, v, w son linealmente independientes sı y solo si lo

son a, b, c.

15. Determinar λ para que los vectores (2, 4, 6), (1, 2, 3), (5, λ ,15) esten en un mismo

plano (subespacio de dimension 2).

16. Determinar en Q5una base del subespacio generado por los vectores (1, 2,−4, 3, 1),

(6, 17,−7, 10, 22), (2, 5, 0,−3, 8), (1, 3,−3, 2, 0).

17. Demostrar que el subconjunto H = {(x, y, z) ∈ R3: x+2y− z = 0} es un subespacio

de R3y calcular una base del mismo. ¿Cual es su dimension?.

18. Comprobar que los vectores (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) forman una base del espacio

vectorial R3y calcular las coordenadas del vector (4, 6, 12) respecto de esta base.

19. Comprobar que los vectores e = (1,−1, 0), e�= (2, 1, 0), e

��= (0, 1, 1) forman una

base. Encontrar las coordenadas respecto de la misma del vector (1, 1, 1).

20. Comprobar que las matrices

�1 0

0 0

�,

�1 1

0 0

�,

�1 1

1 0

�,

�0 0

0 1

�forman una base del

espacio vectorial de las matrices de orden 2. Calcular las coordenadas de la matriz�5 3

1 1

�respecto de esta base.

21. Consideremos el espacio vectorial de los polinomios p(x) ∈ R[x] de grado menor que

3.

a) Demostrar que los polinomios 1 + x, x + x2, 1 + x

2forman una base.

b) Hallar las coordenadas del polinomio 3 + 2x + 5x2

en dicha base.

22. ¿Cual es la condicion para que dos numeros complejos

z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i

formen una base del espacio vectorial real de los numeros complejos?.

23. Se considera el espacio vectorial R4y se pide:

a) Hallar una base que contenga al vector (1, 2, 1, 1).


b) Hallar una base que contenga a los vectores (1, 1, 0, 2) y (1,−1, 2, 0).

c) Hallar una base que contenga a los vectores (1, 1, 0, 0), (0, 0, 2, 2) y (0, 3, 3, 0).

24. Se consideran los vectores de R3(1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1).

a) Demostrar que forman una base de R3.

b) Hallar las coordenadas de los vectores de la base (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (“basecanonica o estandar”) respecto de esta base.

25. Se consideran en R4los vectores (1, 0, 0, 1), (1, 2, 0, 0). Completar a una base de R4

.

26. En el R-espacio vectorial de los polinomios p(x) ∈ R[x] de grado menor o igual que

3, demostrar que p0(x) = 1, p1(x) = x + 1, p2(x) = (x + 1)2, p3(x) = (x + 1)

3forman

una base. Calcular las coordenadas del polinomio 2x3+ x

2 − 4x− 4 en dicha base.

27. Sea R2[x] el espacio vectorial de los polinomios en una variable, de grado menor o

igual que 2. Sea M el subespacio engendrado por:

{x2 − 1, x + 1, x2 − 7x− 8}

Hallar una base de R2[x] que contenga a una base de M .

28. Sea B = {e, e�, e��} una base de R3y v un vector cuyas coordenadas respecto de B

son (1,−1, 2).

a) Demostrar que el conjunto S = {e+e�, e+e

�+e

��} es linealmente independiente.

b) Completar S a una base B�tal que las coordenadas de v respecto de B

�sean

(1, 1, 1).

29. Se consideran sobre R4los vectores (1 + λ, 1, 1, 1), (1, 1 + λ, 1, 1), (1, 1, 1 + λ, 1),

(1, 1, 1, 1 + λ). Determinar en funcion de λ la dimension del subespacio que generan

y calcular una base.

30. Se consideran en R4el subespacio E

�de los vectores (x1, x2, x3, x4) tales que 2x1 +

3x2 = 2x3 + 3x4. Probar que los vectores u1 = (1, 0, 1, 0), u2 = (0, 1, 0, 1) son lineal-

mente independientes y estan en E�. Extenderlos a una base de E

�.

31. Probar que los polinomios p0(x) = 1, p1(x) = 1− x, p2(x) = 1− x2, p3(x) = x − x

3

forman base del espacio vectorial real R3[x] de los polinomios de grado menor o igual

que 3.



1. Subespacios suma e interseccion. Suma directa de subespacios

Definicion 1.1. Sean E1 y E2 subespacios vectoriales de E. Se definen la suma E1 +E2 yla interseccion E1 ∩ E2 por

E1 + E2 = {e ∈ E : e = u+ v , donde u ∈ E1 y v ∈ E2}E1 ∩ E2 = {e ∈ E : e ∈ E1 y e ∈ E2}

Probaremos que ambos son subespacios vectoriales de E comprobando que son cerrados porcombinaciones lineales:

Si u + v, u′ + v′ ∈ E1 + E2 y λ, µ ∈ k el vector λ(u + v) + µ(u′ + v′) esta en E1 + E2

pues λ(u+ v) + µ(u′ + v′) = λu+ λv+ µu′ + µv′ = (λu+ µu′) + (λv+ µv′) ∈ E1 +E2,ya que E1 y E2 son cerrados por combinaciones lineales.Si e, e′ ∈ E1∩E2 y λ, µ ∈ k, su combinacion lineal λe+µe′ es un vector de E1 y tambiende E2, ya que ambos son subespacios y, por tanto, cerrados por combinaciones lineales.Luego λe+ µe′ es un vector de la interseccion E1 ∩ E2.

Es claro que:• E1 + E2 ⊇ E1 y E1 + E2 ⊇ E2. La suma E1 + E2 es el mınimo subespacio que contiene aE1 y a E2.• E1 ∩ E2 ⊆ E1 y E1 ∩ E2 ⊆ E2. La interseccion E1 ∩ E2 es el mayor subespacio queesta contenido en E1 y en E2.• Sistema de generadores de la suma. Si {u1, . . . , ur} es una base de E1 y {v1, . . . , vs} es unabase de E2, los vectores {u1, . . . , ur, v1, . . . , vs} forman un sistema de generadores de E1+E2.

Teorema 1.2. Se verifica la siguiente formula de dimension

dimk(E1 + E2) = dimk E1 + dimk E2 − dimk(E1 ∩ E2)

Demostracion. Sea {e1, . . . , em} una base de E1∩E2 que, por el teorema de Steinitz, podemosampliar para formar una base {e1, . . . , em, . . . , er} de E1 y otra {e1, . . . , em, vm+1, . . . , vs} deE2.Los r + s −m vectores {e1, . . . , em, . . . , er, vm+1, . . . , vs} generan E1 + E2. Probaremos queademas son linealmente independientes, con lo que quedara demostrado el teorema.Si λ1e1 + . . . λmem + · · ·+ λrer + µm+1vm+1 + · · ·+ µsvs = 0 (∗), despejando se obtiene

µm+1vm+1 + · · ·+ µsvs = −λ1e1 − . . . λmem − · · · − λrer ,

luego el vector µm+1vm+1 + · · · + µsvs ∈ E2 esta tambien en E1, pues es combinacion linealde los vectores de una base de E1. Por tanto, el vector µm+1vm+1 + · · ·+µsvs esta en E1∩E2,y expresandolo como combinacion lineal de los vectores de la base {e1, . . . , em}, se tiene queµm+1vm+1+· · ·+µsvs = α1e1+· · ·+αmem, de donde α1e1+· · ·+αmem−µm+1vm+1−· · ·−µsvs =0, luego α1 = · · · = µm+1 = · · · = µs = 0, pues los vectores {e1, . . . , em, vm+1, . . . , vs}son linealmente indepedientes. Sustituyendo en la combinacion lineal inicial (∗) se obtieneλ1e1 + . . . λmem + · · · + λrer = 0, lo que implica que λ1 = · · · = λm = · · · = λr = 0 ya que{e1, . . . , em, . . . , er} son linealmente independientes. �

1


Ejemplo 1.3. Dados los subespacios de R4

E1 = 〈u1 = (1,−1, 1, 0), u2 = (0, 1,−1, 1), u3 = (2,−1, 1, 1)〉E2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ y + z = 0, x+ z + t = 0}

Calculemos bases y dimensiones de E1 + E2 y de E1 ∩ E2. Para ello calcularemos primerouna base de E1 y otra de E2:dimRE1 = rg(u1, u2, u3) = 2 y E1 = 〈u1 = (1,−1, 1, 0), u2 = (0, 1,−1, 1)〉.E2 = {(x,−x−z, z,−x−z) ∈ R4} = 〈v1 = (1,−1, 0,−1), v2 = (0,−1, 1,−1)〉 y dimRE2 = 2.Resulta que

dimR(E1 + E2) = rg(u1, u2, v1, v2) = 3 y E1 + E2 = 〈u1, u2, v1〉dimR(E1 ∩ E2) = dimRE1 + dimRE2 − dimR(E1 + E2) = 1 y como v2 = −u2 es E1 ∩ E2 = 〈u2〉 .

Definicion 1.4. La suma directa de los subespacios E1 y E2 es la suma, E1 +E2, cuandola interseccion es cero, E1 ∩ E2 = {0}. Se representa por E1 ⊕ E2.En particular, dimk(E1 ⊕ E2) = dimk E1 + dimk E2.

2. Subespacios suma e interseccion. Suma directa de subespacios

Definicion 2.1. Los subespacios E1 y E2 de E son suplementarios si E1 + E2 = E yE1 ∩ E2 = {0}, esto es, si E = E1 ⊕ E2.

Proposicion 2.2. Sean E1 y E2 subespacios de E. Las proposiciones siguientes son equiva-lentes:

(a) E1 y E2 son subespacios suplementarios.(b) Todo vector de E se expresa de modo unico como suma de uno de E1 y otro de E2.(c) Si {u1, . . . , um} es una base de E1 y {v1, . . . , vs} es una base de E2 los vectores{u1, . . . , um, v1, . . . , vs} forman una base de E.

Demostracion.(a) ⇒ (b)Por hipotesis E = E1 + E2, luego para todo e ∈ E es e = u + v, con u ∈ E1 y v ∈ E2.Esta descomposicion es unica pues si e = u′ + v′ es otra, resulta que u + v = u′ + v′, luegou − u′ = v′ − v y por tanto el vector u − u′ = v′ − v ∈ E1 ∩ E2, pero E1 ∩ E2 = {0} y sededuce que u = u′ y v = v′.(b) ⇒ (c)Por hipotesis, todo vector e ∈ E se expresa de modo unico como suma de uno u ∈ E1 y otrov ∈ E2, e = u+ v.Si {u1, . . . , um} es una base de E1, u ∈ E1 se expresa de modo unico como combinacion linealu = λ1u1 + · · ·+ λmum. Analogamente, si v ∈ E2 es v = µ1v1 + · · ·+ µmvs, con los escalaresµi unicos, siendo {v1, . . . , vs} una base de E2.Ası, se deduce que todo vector e ∈ E se expresa de modo unico como combinacion lineale = λ1u1 + · · ·+ λmum + µ1v1 + · · ·+ µmvs, luego por el teorema de caracterizacion de unabase los vectores {u1, . . . , um, v1, . . . , vs} forman una base de E.(c) ⇒ (a)Si {u1, . . . , um} es una base de E1 y {v1, . . . , vs} es una base de E2, por definicion de suma,los vectores {u1, . . . , um, v1, . . . , vs} generan E1 + E2 y como por hipotesis estos vectoresforman una base de E, resulta que E1 + E2 = E. Por ultimo, de la formula de dimension,dimk(E1 +E2) = dimk E1 + dimk E2 − dimk(E1 ∩E2), resulta que dimk(E1 ∩E2) = 0, luegoE1 ∩ E2 = {0}. �


Ejemplo 2.3.• Los subespacios de R3 E1 = 〈(1, 2,−1), (3, 1, 2)〉 y E2 = 〈(0, 1, 1), (1,−1, 1)〉 no son suple-mentarios, pues dimRE1 + dimRE2 = 2 + 2 6= 3 = dimR R3.• Los planos E1 = 〈u1 = (1, 0,−1, 0), u2 = (0, 1, 1, 2)〉 y E2 = 〈v1 = (−1, 0, 1, 1), v2 = (1,−1, 1, 2)〉son suplementarios, pues {u1, u2, v1, v2} es una base de R4 ya que rg(u1, u2, v1, v2) = 4.• Un subespacio suplementario del plano V = 〈v1 = (1, 0,−1), v2 = (0, 1, 1)〉 es la rectaV ′ = 〈u = (2, 1,−2)〉, pues rg(v1, v2, u) = 3. La recta 〈u1 = (0, 2, 4)〉 es otro subespaciosuplementario del plano V .• Los subespacios de M(n, k) de las matrices simetricas, S(n, k) = {A ∈M(n, k) : A = At},y de las matrices hemisimetricas, H(n, k) = {A ∈ M(n, k) : A = −At}, son suplementariospues toda matriz cuadrada A descompone de modo unico en la forma A = 1

2(A+At)+ 1

2(A−

At), siendo 12(A+ At) una matriz simetrica y 1

2(A− At) una matriz hemisimetrica.


1. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 y seanE1 = {p(x) ∈ E : p(0) = 0} y E2 = {p(x) ∈ E : p′(0) = 0}.

(a) Demostrar que E1 y E2 son subespacios de E.(b) Calcular una base y la dimension de cada uno de los subespacios siguientes

E1, E2, E1 + E2, E1 ∩ E2

(c) ¿Son E1 y E2 subespacios suplementarios?

2. Sea F el subespacio de R3 generado por (1, 1,−1) y G el subespacio de ecuaciones3x− y = 0, 2x+ z = 0. Determinar F ∩G.

3. Determinar en R3 un subespacio suplementario de cada uno de los subespacios engendra-dos por los siguientes vectores:

(a) v1 = (−3, 1, 0)(b) v1 = (−1, 2, 1), v2 = (2,−4, 3)(c) v1 = (−1, 2, 1), v2 = (2, 1,−2), v3 = (1, 1,−1)

4. Dados los subconjuntos de R4

E1 =< (1, 2,−3, 0), (2, 1, 1, 3), (5, 4,−1, 6) > ; E2 = {(x, y, z, t) : x− 2y − z = 0, t = 0}

(a) Demostrar que E1 y E2 son subespacios vectoriales y calcular bases y dimensiones delos mismos.

(b) Calcular bases y dimensiones de E1 + E2 y E1 ∩ E2.(c) Calcular un suplementario de E2.

5. Sean E y E ′ dos subespacios de R3 definidos por:

E = {(a, b, c) : a = b = c} , , E ′ = {(0, b, c) : b, c ∈ R}

Demostrar que R3 = E ⊕ E ′.

6. Sean E y E ′ dos subespacios de R3 definidos por: E = {(x, y, z) : x+ y + z = 0}, E ′ ={(t, 2t, 3t) : t ∈ R} Demostrar que E y E ′ son subespacios suplementarios.

7. Sean E, E ′, E ′′ los subespacios vectoriales de R3

E = {(a, b, c) : a+ b+ c = 0}, E ′ = {(a, b, c) : a = c}, E ′′ = {(0, 0, c)}

Demostrar que R3 = E + E ′, R3 = E + E ′′, R3 = E ′ + E ′′. ¿En que casos se trata de sumadirecta?.


8. Sea E = M(2,R) el R-espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 con coefi-cientes en R y sea V el subconjunto de E definido por:

V =

{(x yz t

)∈ E : 2x− y + t = 0, x = z

}(a) Probar que V es un subespacio vectorial de E y calcular su dimension y una base.

(b) Calcular las coordenadas de la matriz

(1 01 −2

)∈ V en la base elegida en el apartado

anterior.(c) Calcular un suplementario de V .

9. Se considera el espacio R4 y los subespacios E y V generados, respectivamente, por lasparejas de vectores e = (1, 0, 1, 0), e′ = (0, 1, 0, 1) y v = (0, 0, 1, 3) y v′ = (1, 0, 0, 1).Estudiar si R4 es suma directa de E y V .

10. Sea E1 el subespacio de R3 generado por (2, 3, 1) y E2 el subespacio generado por (0, 1, 2)y (1, 1, 1). Probar que R3 = E1 ⊕ E2 y expresar el vector generado por (1, 0, 1) ∈ R3 comosuma de un vector de E1 y otro de E2.

11. Sea E = 〈1, x, x2, x3〉 el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a3 y sea V = {p(x) ∈ E : p(1) = 0} .

(a) Probar que V es un subespacio de E y calcular su dimension y una base.(b) Calcular las coordenadas del polinomio x2−3x+2 ∈ V respecto de la base del apartado

anterior.(c) Encuentra un subespacio suplementario de V .

12. Considerense los siguientes subespacios de R4: E1 =< (1, 0,−1, 0), (2,−1, 2, 0), (3,−2, 3, 0) >y E2 =< (0, 1, 1, 0), (1, 1, 3, 0), (−2, 1, 1, 1) >.

(a) Calcular bases y dimensiones de E1, E2, E1 + E2, E1 ∩ E2.(b) ¿Se verifica que R4 = E1 ⊕ E2?(c) Calcula dos subespacios suplementarios diferentes de E1.

13. Se consideran los subespacios de R4 generados por los siguientes vectores:

E1 =< (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1) >, E2 =< (1,−1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1) >

Se pide:

(a) Hallar las dimensiones de E1, E2, E1 + E2, E1 ∩ E2.(b) Estudiar si E1 + E2 = R4.(c) ¿E1 y E2 son subespacios suplementarios?



1. Aplicaciones lineales. Nucleo e Imagen. Tipos de aplicaciones lineales.

Sean E y E ′ k-espacios vectoriales.

Definicion 1.1. Una aplicacion ET−→ E ′ es lineal si T (e + v) = T (e) + T (v) y T (λe) =

λT (e) o, lo que es equivalente, T (λe+ µv) = λT (e) + µT (v), cualesquiera que sean e, v ∈ Ey λ, µ ∈ k.

Si ET−→ E ′ es una aplicacion lineal la imagen del vector cero es el vector cero:

T (0) = T (0e+ 0v) = 0T (e) + 0T (v) = 0.

Ejemplo 1.2.• La aplicacion

R3 T−→ R2

(x, y, z) 7→ (x+ z + 2, y − z)

No es lineal pues T (0, 0, 0) = (2, 0) 6= (0, 0)

• La aplicacion derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, ED−→ E, es

lineal : D(λp(x) + µq(x)) = λp′(x) + µq′(x) = λD(p(x)) + µD(q(x)).• La aplicacion

R3 T−→ R2

(x, y, z) 7→ (x+ y, z2)

No es lineal ya que T (λ(x, y, z)) no es igual λT (x, y, z) para todo valor de λ.

T (λ(x, y, z)) = T (λx, λy, λz) = (λx+λy, λ2z2) 6= (λx+λy, λz2) = λ(x+y, z2) = λT (x, y, z).

La igualdad se da si λ2 = λ, esto es, solo para λ = 0, 1

1.1. Nucleo e imagen de una aplicacion lineal.

Definicion 1.3. Sea ET−→ E ′ una aplicacion lineal, se definen su nucleo, kerT , y su imagen,

ImT , por:kerT = {e ∈ E : T (e) = 0} ⊆ E

ImT = {e′ ∈ E ′ : e′ = T (e) , para algun e ∈ E} ⊆ E ′

Teorema 1.4. Si ET−→ E ′ una aplicacion lineal, kerT es un subespacio vectorial de E e

ImT es un subespacio vectorial de E ′ y se verifica la formula de dimension:

dimk E = dimk kerT + dimk ImT

Demostracion.• kerT es cerrado por combinaciones lineales:Si e, v ∈ kerT y λ, µ ∈ k se tiene que T (λe + µv) = λT (e) + µT (v) = 0, lo que prueba queλe+ µv ∈ kerT .• ImT es cerrado por combinaciones lineales:Si T (e), T (v) ∈ ImT y λ, µ ∈ k se tiene que λT (e) +µT (v) = T (λe+µv), lo que prueba queλe+ µv ∈ ImT .

1


• Sea {v1, . . . , vm} una base de kerT .Ampliemos esta base para formar una base {v1, . . . , vm, em+1, . . . , en} de E.Tomando imagenes por T , los vectores {T (v1), . . . , T (vm), T (em+1), . . . , T (en)} generan ImT ,y como T (v1) = · · · = T (vm) = 0 por definicion de nucleo, resulta que {T (em+1), . . . , T (en)}es un sistema de generadores de ImT . Probaremos que {T (em+1), . . . , T (en)} son linealmenteindependientes con lo que quedara demostrada la formula.Si λm+1T (em+1) + · · · + λnT (en) = 0, por ser T lineal, T (λm+1em+1 + · · · + λnen) = 0, portanto el vector λm+1em+1 + · · · + λnen pertenece a kerT , luego λm+1em+1 + · · · + λnen = 0,ya que {em+1, . . . , en} generan un suplementario de kerT y como ademas son linealmenteindependientes resulta que λm+1 = · · · = λn = 0. �

Ejemplo 1.5. Sea E el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3.Calculemos el nucleo y la imagen de las siguientes aplicaciones lineales:

(a) Operador derivada: ED−→ E, definido por D(p(x)) = p′(x).

(b) ET−→ R, definida por T (p(x)) =

∫ 1

−1p(x)dx

kerD = {p(x) ∈ E : p′(x) = 0} = {polinomios constantes} = 〈1〉.ImD = 〈1, x, x2〉, pues la derivada de un polinomio de grado menor o igual que treses un polinomio de grado menor o igual que 2.ImT es un subespacio vectorial de R y como ImT 6= (0), ha de ser ImT = R = 〈1〉,luego dim kerT = dimE − dim ImT = 4− 1 = 3.

Calculemos una base del kerT :∫ 1

−1

(a+ bx+ cx2 + dx3)dx = ax+ bx2

2+ c

x3

3+ d

x4

4

]1

−1

= 2a+2

3c

luego

kerT = {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ E : 2a+2

3c = 0} = {a+ bx− 3ax2 + dx3 : a, b, d ∈ R}

= {a(1− 3x2) + bx+ dx3 : a, b, d ∈ R} = 〈1− 3x2, x, x3〉

1.2. Aplicaciones lineales inyectivas, epiyectivas y biyectivas.

Definicion 1.6. Sea ET−→ E ′ una aplicacion lineal. T es inyectiva o epiyectiva si como

aplicacion de conjuntos lo es, esto es:• T es inyectiva si siempre que T (e) = T (v) se deduce que e = v, cualesquiera que seane, v ∈ E• T es epiyectiva si ImT = E ′.

T es biyectiva si es a la vez inyectiva y epiyectiva. Las aplicaciones lineales biyectivas sellaman isomorfismos.Un endomorfismo de E es una aplicacion lineal de E en si mismo, E

T−→ E. Se llamanautomorfismos a los endomorfismos biyectivos.

Ejemplo 1.7.• Sea V un subespacio vectorial de E, la inclusion natural

V ↪→ E

v 7→ v

es una aplicacion lineal inyectiva.• Si E representa el espacio vectorial de los polinomios, p(x), de grado menor o igual quetres y E ′ el de los polinomios de grado menor o igual que dos, la aplicacion derivada

ED−→ E ′

p(x) 7→ p′(x)


es una aplicacion lineal epiyectiva.• La aplicacion identidad

EId−→ E

e 7→ e

es un automorfismo de E.

Proposicion 1.8. Una aplicacion lineal ET−→ E ′ es inyectiva si y solo si kerT = {0}.

Demostracion.⇒ Si e ∈ kerT es T (e) = 0, luego T (e) = T (0) pues T (0) = 0. Como T es inyectiva, deT (e) = T (0) se deduce que e = 0.⇐ Si T (e) = T (e′), por ser T lineal T (e− e′) = 0, luego e− e′ ∈ kerT , y como kerT = {0}resulta que e = e′, lo que prueba que T es inyectiva. �

1.3. Operaciones con aplicaciones lineales: Suma, multiplicacion por escalares,composicion. Aplicacion lineal inversa.

– Dadas aplicaciones lineales Ef−→ E ′ y E

g−→ E ′, las aplicaciones suma y multiplicacionpor un escalar, definidas repectivamente por

Ef+g−−→ E ′

e 7→ f(e) + g(e)

Eλf−→ E ′

e 7→ λf(e)

son aplicaciones lineales, pues cualesquiera que sean e, v ∈ E y α, µ ∈ k se verifica(f + g)(αe+ µv) = α(f + g)(e) + µ(f + g)(v) y (λf)(αe+ µv) = α(λf)(e) + µ(λf)(v), comoes facil comprobar.El conjunto de las aplicaciones lineales de E en E ′ se representa por Homk(E,E

′) y es unk-espacio vectorial con las operaciones anteriores.– La composicion de aplicaciones lineales

Ef //

g◦f

66E ′g // E ′′ E

f //

g◦f AAA

AAAA

A E ′

g

��E ′′

definida, para cada e ∈ E, por (g ◦ f)(e) = g(f(e)), es una aplicacion lineal:

(g◦f)(αe+µv) = g(f(αe+µv)) = g(αf(e)+µf(v)) = α(g◦f)(e)+µ(g◦f)(v), ∀e, v ∈ E,α, µ ∈ k .

–Una aplicacion Ef−→ E ′ tiene inversa si existe otra aplicacion E ′

f−1

−−→ E tal que

f ◦ f−1 = f−1 ◦ f = Id .

Las aplicaciones biyectivas tienen aplicacion inversa y, recıprocamente, cualquier aplicacionque tiene inversa es biyectiva.La inversa de una aplicacion lineal es tambien una aplicacion lineal.

Ejemplo 1.9. Sea T un endomorfismo del k-espacio vectorial E tal que T 2 = T + I. Pro-baremos que T es automorfismo y calcularemos T−1 en funcion de T .De T 2 = T + I se sigue I = T 2 − T = T (T − I), lo que prueba que T tiene inversa y esta esT−1 = T − I y por tanto es biyectiva.


2. Aplicaciones lineales en coordenadas: Matrices

2.1. Matriz asociada a una aplicacion lineal.

Dada una aplicacion lineal ET−→ E ′ y bases {e1, . . . , en} de E y {e′1, . . . , e′m} de E ′, existe

una unica matriz A = (aij) ∈M(m× n, k) determinada por

T (ej) =m∑i=1

aije′i , para j = 1, . . . , n

A es la matriz asociada a T respecto de la las bases {e1, . . . , en} de E y {e′1, . . . , e′m} de E ′.Las columnas de A son las coordenadas de los vectores T (e1), . . . , T (en) respecto de la base{e′1, . . . , e′m} de E ′.Si e = x1e1 + · · ·+ xnen y T (e) = x′1e

′1 + · · ·+ x′me

′m, la expresion en coordenadas de T es

T (x1, . . . , xn) = (x′1, . . . , x′m) , siendo A ·

x1...xn

=

x′1...x′m

la expresion matricial del

sistema lineal que T define.Observese que:• A es la matriz de coeficientes del sistema lineal anterior y kerT es el subespacio de solu-ciones del sistema homogeneo asociado.• Los vectores {T (e1), . . . , T (en)} forman un sistema de generadores del subespacio imagen,ImT , luego su dimension coincide con el rango de la matriz A y por tanto la dimension delnucleo es la de E menos el rango de A

dimk ImT = rgA , dimk kerT = dimk E − rgA

Ejemplo 2.1. Dada la aplicacion lineal

R3 T−→ R4

(x, y, z) 7→ (x− y, x+ 2z, y, y + z)

calculemos su matriz asociada y probemos que T es inyectiva.

A =

1 −1 01 0 20 1 00 1 1

, rgA = 3⇒ dimR kerT = 3− 3 = 0⇒ kerR T = {0}

Ejemplo 2.2. Sean {e1, e2, e3} una base de E y {e′1e′2, e′3, e′4} una base de E ′ y k = R.

Considerense la aplicacion lineal ET−→ E ′ definida por

T (e1) = e′1 + e′2 − e′3 , T (e2) = 2e′2 − e′4 , T (e3) = 3e′1 + 3e′2 − 3e′3

calculemos su expresion en coordenadas y bases y dimensiones de ImT y kerT .

La matriz asociada a T , por columnas, es A =(T (e1) T (e2) T (e3)

)=

1 0 31 2 3−1 0 −30 −1 0

dimR ImT = rgA = 2 , ImT = 〈T (e1), T (e2)〉 = 〈e′1 + e′2 − e′3, 2e′1 − e′4〉dimR kerT = dimRE − rgA = 1

kerT ≡

{x+ 3z = 0

x+ 2y + 3z = 0

kerT = {(−3z, 0, z), z ∈ R} = 〈(−3, 0, 1)〉 = 〈−3e1 + e3〉


2.2. Matrices asociadas a la suma de aplicaciones lineales y al producto de unaaplicacion lineal por un escalar.

Sean A = (aij) y B = (bij) las matrices asociadas a las aplicaciones lineales Ef−→ E ′ y

Eg−→ E ′ respecto de la las bases {e1, . . . , en} de E y {e′1, . . . , e′m} de E ′.

• La matriz asociada a la aplicacion lineal suma f + g es la matriz A+B. En efecto:

(f + g)(ej) = f(ej) + g(ej) =m∑i=1

aije′i +

m∑i=1

bije′i =

m∑i=1

(aij + bij)e′i

• La matriz asociada a la aplicacion lineal λf es la matriz λA. En efecto:

(λf)(ej) = λf(ej) = λ

m∑i=1

aije′i =

m∑i=1

λaije′i

2.3. Matriz asociada a la composicion de aplicaciones lineales.

Ef //

g◦f

66E ′g // E ′′

Sea A = (aij) la matriz asociada a f respecto de la las bases {e1, . . . , en} de E y {e′1, . . . , e′m}de E ′ y sea B = (bij) la matriz asociada a g respecto de la las bases {e′1, . . . , e′m} de E ′ y{e′′1, . . . , e′′s} de E ′′, esto es:

f(ej) =m∑i=1

aije′i , para j = 1, . . . , n ; g(e′i) =

s∑k=1

bkie′′k , para i = 1, . . . ,m

La matriz asociada a g ◦ f respecto de las bases {e1, . . . , en} de E y {e′′1, . . . , e′′s} de E ′′ es lamatriz producto B · A. En efecto:

(g ◦ f)(ej) = g(f(ej) =m∑i=1

aijg(e′i) =m∑i=1

aij

s∑k=1

bkie′′k =

s∑k=1

(m∑i=1

bkiaij)e′′k =

s∑k=1

(B · A)kje′′k

Ejemplo 2.3. Dadas las aplicaciones lineales

R3 f−→ R2

(x, y, z) 7→ (x− y, y + 2z)

R2 g−→ R3

(x, y) 7→ (x+ y, 2y, x− y)

Calculemos las matrices asociadas a f ◦ g y g ◦ f y la dimension y una base del subespacioIm(f ◦ g) de R2 y del subespacio Im(g ◦ f) de R3.

3. Cambios de base

Sea {e1, . . . , en} una base de E, que llamaremos base inicial o antigua, y {e1, . . . , en} otrabase de E, a la que nos referiremos como base nueva. Los vectores ej de la base nuevaexpresados como combinacion lineal de los de la base antigua, ej =

∑ni=1 bijei, definen la

matriz B = (bij) que expresa el cambio de base en el espacio vectorial E.La matriz de cambio de base B = (bij) es la matriz cuyas columnas son las coordenadas delos vectores de la base nueva en funcion de los de la antigua.La aplicacion lineal que realiza el cambio de base de matriz B es la aplicacion identidadrespecto de las bases {e1, . . . , en} y {e1, . . . , en}.

〈e1, . . . , en〉 = EIdB−−→ E = 〈e1, . . . , en〉 , IdB(ej) = ej =

n∑i=1

bijei ,


cuya expresion en coordenadas es B

x1...xn

=

x1...xn

, siendo e = x1e1+· · ·+xnen y e = x1e1+

· · ·+ xnen las expresiones en coordenadas del vector e respecto de la base nueva y respectode la base antigua, coordenadas nuevas (x1, . . . , xn) y coordenadas antiguas (x1, . . . , xn). Seobtiene ası:

3.1. Formula del cambio de base para vectores.x1...xn

= B−1

x1...xn

Ejemplo 3.1. Comprobemos que los polinomios {x− 1, 2− 3x2, x−x3, x3 +x2− 1} formanuna nueva base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3, E =〈1, x, x2, x3〉. Y calculemos la expresion del polinomio p(x) = 3 − x + x2 en funcion de esanueva base.

• det(x− 1, 2− 3x2, x− x3, x3 + x2 − 1) =

∣∣∣∣∣∣∣∣−1 2 0 −11 0 1 00 −3 0 10 0 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2 6= 0

Lo que prueba que {x− 1, 2− 3x2, x− x3, x3 + x2 − 1} es una base de E (base nueva), y lamatriz de cambio de base respecto de la base inicial {1, x, x2, x3} es la matriz cuyas columnasson las coordenadas de los polinomios {x− 1, 2− 3x2, x−x3, x3 +x2− 1} respecto de la base{1, x, x2, x3}:

B =

−1 2 0 −11 0 1 00 −3 0 10 0 −1 1

• Si (a, b, c, d) son las coordenadas del polinomio p(x) en la base nueva, como sus coordenadasiniciales son (3,−1, 1, 0), se tiene:

abcd

= B−1

3−110

=

−5144

Es decir la expresion de p(x) en la nueva base es:

p(x) = −5(x− 1) + (2− 3x2) + 4(x− x3) + 4(x3 + x2 − 1)

3.2. Cambio de base para aplicaciones lineales.

Sea A la matriz asociada a la aplicacion lineal ET−→ E ′ respecto de las bases {e1, . . . , en} de

E y {e′1, . . . , e′m} de E ′. Efectuemos cambios de base en E y en E ′ de matrices respectivasB y B′;

〈e1, . . . , en〉 = EIdB−−→ E = 〈e1, . . . , en〉

〈e′1, . . . , e′m〉 = EIdB−−→ E = 〈e′1, . . . , e′m〉

Si A es la matriz de T respecto de las nuevas bases {e1, . . . , en} y {e′1, . . . , e′m}, se tiene elsiguiente diagrama conmutativo, del que se deduce la formula de cambio de base

ETA // E ′

E

IdB

OO

TA // E ′

IdB′

OO TA = Id−1B′ ◦ TA ◦ IdB ⇒ A = B′

−1 · A ·B


Es facil deducir las correspondientes formulas cuando solo se cambia la base de E, A = A ·B,o solo la de E ′, A = B′−1 · A.

En particular, si ET−→ E un endomorfismo de E, A su matriz asociada respecto de la base

{e1, . . . , en} de E y A es la matriz de T respecto de la nueva base {e1, . . . , en}, se tiene:

Formula de cambio de base para endomorfismos: A = B−1 · A ·B

Ejemplo 3.2. Sea {e1, e2, e3} una base de E y ET−→ E el endomorfismo de E definido por:

T (e1) = e1 + 2e2 − e3, T (e2) = 2e1 − e3, e3 + e2 ∈ kerT

(a) Averigemos si ImT y kerT son subespacios suplementarios. De e3 + e2 ∈ kerT se

deduce que T (e3) = −T (e2), luego la matriz asociada es A =

1 2 −22 0 0−1 −1 1

, y se

tiene:

dimR ImT = rgA = 2 y {T (e1) = (1, 2,−1), T (e2) = (2, 0,−1)} es una base de ImT .

dimR kerT = dimRE − dimR ImT = 1 y {e3 + e2 = (0, 1, 1)} es una base de kerT .

Los vectores {(1, 2,−1), (2, 0,−1), (0, 1, 1)} forman una base de E pues su determi-nante es no nulo, luego ImT y kerT son subespacios suplementarios.

(b) Calculemos la matriz A de T respecto de la base {2e1 + e2, e2 − e3, e1 + e2 − e3}. La

matriz del cambio de base es B =

2 0 11 1 10 −1 −1

, luego

A = B−1 · A ·B =

1 −2 −11 −6 −42 8 7

(c) Sea {e′1, e′2, e′3} una base del espacio vectorial E ′ y E

T ′−→ E ′ la aplicacion lineal definidapor

T (e1) = e′1 + e2, T (e2) = e′1 − e′2, T (e3) = e′2 + e′3

Calculemos la matriz asociada a la composicion T ′ ◦ T respecto de las bases{2e1 + e2, e2 − e3, e1 + e2 − e3} de E y {e′1, e′2, e′3} de E ′.Las matrices A′ de T ′ y C de T ′◦T respecto de las bases {e1, e2, e3} de E y {e′1, e′2, e′3}

de E ′ son

A′ =

1 1 01 −1 10 0 1

C = A′ · A =

3 2 −2−2 1 −1−1 −1 1

La matriz C de T ′ ◦ T respecto de las bases {2e1 + e2, e2 − e3, e1 + e2 − e3} de E y{e′1, e′2, e′3} de E ′, viene dada por:

E(T ′◦T )C// E ′

E

IdB

OO

(T ′◦T )C

>>}}}}}}}

C = C ·B =

8 4 7−3 2 0−3 −2 −3


4. Problemas resueltos

1. Sea T el endomorfismo de R3 definido por

T (x, y, z) = (x+ y, x+ z, x− y + 2z)

(a) Calcular la dimension y una base de los subespacios kerT e ImT .(b) ¿Se verifica que R3 = kerT ⊕ ImT ? En caso afirmativo, calcular las coordenadas del

vector (1, 2, 3) en la nueva base que la identificacion anterior define.(c) Determinar λ para que la imagen del vector e = (λ, 1, 0) pertenezca al subespacio

generado por e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0).

Solucion. Las ecuaciones del endomorfismo y su matriz asociada respecto de la base {e1, e2, e3}son, respectivamente:

x+ y = x

x+ z = y

x− y + 2z = z

A = (T (e1), T (e2), T (e3)) =

1 1 01 0 11 −1 2

Como T (e3) = T (e1)− T (e2) es rgA = 2.(a) dim(ImT ) = rgA = 2 e ImT = 〈T (e1), T (e2)〉.

dim(kerT ) = 3− rgA = 1

kerT = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0, x+ z = 0} = 〈(1,−1,−1)〉

(b) kerT es un subespacio suplementario de ImT pues

det(T (e1), T (e2), e3) =

∣∣∣∣∣∣1 1 11 0 −11 −1 −1

∣∣∣∣∣∣ = −2 6= 0 .

Si escribimos e1 = T (e1), e2 = T (e2), e3 = e3, la matriz B del cambio de base es

B =

1 1 11 0 −11 −1 −1

y las coordenadas del vector (1, 2, 3) en la nueva base son:xy

z

= B−1 ·

123

=

2−10

.

(c) (λ+ 1, λ, λ− 1) = T (e) ∈ 〈e1, e2〉 precisamente si rg(T (e), e1, e2) = 2, es decir, si:

0 = det(T (e), e1, e2) =

∣∣∣∣∣∣λ+ 1 1 0λ 0 1

λ− 1 0 0

∣∣∣∣∣∣ = λ− 1 =⇒ λ = 1 .

2. Calcular la matriz asociada a la aplicacion lineal

R3 T−→ R2

(x, y, z) 7→ (x+ 3y − 2z, y − z)

en las bases {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} de R3 y {u1 = (1,−1), u2 = (1, 1)}de R2.


Solucion. La aplicacion T viene dada en coordenadas, por tanto referida a dos bases prefi-jadas {e1, e2, e3} de R3 y {u1, u2} de R2. La matriz de T en estas bases es la matriz cuyascolumnas son las coordenadas de los vectores T (e1), T (e2), T (e3) en la base {u1, u2},

A =

(1 3 −20 1 −1

).

La matriz pedida es la matriz A asociada a T en las bases {e1, e2, e3} y {u1, u2}. De modoque, si B = ( 1 1

−1 1 ) es la matriz del cambio de base en R2, del diagrama conmutativo:

R3TA //

TA BBB

BBBB

B R2

R2

IdB

OO

resulta B · A = A, luego:

A = B−1 · A = 1/2

(1 −11 1

)(1 3 −20 1 −1

)A =

(1/2 1 −1/21/2 2 −3/2

).

3. Sea E el R-espacio vectorial de los polinomios p(x) ∈ R[x] de grado menor que 3. Se

define una aplicacion ET−→ E por:

T (p(x)) = p(0) + p′(0)(x− 1) + p′′(0)(x− 1)2

(a) Probar que T es lineal y calcular su matriz en la base {1, x, x2} de E.(b) Es T un isomorfismo?. Razonese la respuesta.

Solucion.(a) T es lineal, en efecto:

T (λp+ µq) = (λp+ µq)(0) + (λp+ µq)′(0)(x− 1) + (λp+ µq)′′(0)(x− 1)2

= λp(0) + µq(0) + λp′(0)(x− 1)

+ µq′(0)(x− 1) + λp′′(0)(x− 1)2 + µq′′(0)(x− 1)2

= λT (p) + µT (q) .

Por otra parte, la matriz de T en la base {1, x, x2} tiene por columnas las coordenadas enesta base de los vectores T (1) = 1, T (x) = x− 1, T (x2) = 2(x− 1)2,

A =

1 −1 20 1 −40 0 2

.

(b) Como rgA = 3, pues det(A) 6= 0, se tiene que dim ImT = 3 = dimRE, luego T esepiyectiva. De la formula de la dimension dimRE = dimR kerT + dimR ImT se sigue quekerT = {0} y en consecuencia T tambien es inyectiva.

4. Hallar las ecuaciones de la tranformacion lineal T de R3 tal que:

(a) La restriccion de T al plano π ≡ x+ y + z = 0 es una homotecia de razon 3.(b) T deja invariante la recta r

2x+ 4y + 3z = 0

x+ 2y + z = 0

}(c) T (0, 0,−1) = (10,−5,−3)


Solucion. El plano π y la recta r son subespacios suplementarios, pues π ∩ r = {0} ya queel sistema lineal determinado por sus ecuaciones tiene determinante no nulo. Por tanto, sielegimos como base (nueva) en R3 {e1, e2, e3}, siendo 〈e1, e2〉 = π y 〈e3〉 = r bases respectivasde π y r, la matriz asociada a T en esta base es:

A =

3 0 00 3 00 0 λ

,

pues por la condicin (a) es T (e1) = 3e1, T (e2) = 3e2 y de la condicin (b) se deduce queT (e3) = λe3 para algn λ ∈ R.Calculemos bases de π y r:

π = 〈e1 = (1, 0,−1), e2 = (0, 1,−1)〉 ; r = 〈e3 = (−2, 1, 0)〉 .Por ltimo, el λ de la matriz A se determina imponiendo la condicin (c), pero para ello hayque efectuar previamente un cambio de base. Si A es la matriz de T en la base antigua y Bes la matriz del cambio de base es:

A = B · A ·B−1 =

1 0 −20 1 1−1 −1 0

3 0 00 3 00 0 λ

−1 −2 −21 2 1−1 −1 −1

=

−3 + 2λ −6 + 2λ −6 + 2λ3− λ 6− λ 3− λ

0 0 3

y aplicando(c)

A ·

00−1

=

10−5−3

, resulta λ = −2 .

Y las ecuaciones de T son:

A ·

xyz

=

xyz

−7x− 10y − 10z = x

5x+ 8y + 5z = y

3z = z


1. Sea R3 f−→ R2 la aplicacion definida por:

f(x, y, z) = (x− y + z, x+ y − z)

Probar que es una aplicacion lineal y calcular bases y dimension del nucleo y la imagen. ¿Esepiyectiva?

2. Sea T : R3 → R3 la aplicacion definida por:

T (x, y, z) = (y − z,−x+ 4z, y + z)

Probar que es una aplicacion lineal. Hallar el nucleo y la imagen. ¿Es un isomorfismo?

3. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor que 4. Se define la aplicacionT : E → E por T (p(x)) = (x− 1)p′(x), siendo p′(x) la derivada del polinomio p(x).

(a) Demostrar que T es lineal. Calcular su nucleo y su imagen.(b) Calcular los polinomios p(x) tales que T (p(x)) = p(x).

4. Sea T ∈ Endk(E). Pruebese que el conjunto S de vectores que permanecen invariantesforman un subespacio vectorial.


5. Sobre el espacio vectorial E de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales,se considera la aplicacion T : E → E definida por:

T

(a bc d

)=

(5a− 3b 6a− 4b

−a+ 92b+ 3c− 2d 6a− 3b− d

)Probar que T es lineal y calcular su nucleo y su imagen.

6. Sea f ∈ Endk(E) tal que f 2 = Id. Pruebese que los subconjuntos E+ y E− de E definidospor E+ = {x ∈ E : f(x) = x}, E− = {x ∈ E : f(x) = −x} son subespacios de E y se verificaE = E+ ⊕ E−.Utilıcese lo anterior para demostrar que toda funcion real de variable real es suma, de maneraunica, de una funcion par mas una impar.

7. Sea T un endomorfismo idempotente, T 2 = T , del espacio vectorial E. Pruebese que laimagen de T esta formada por los vectores invariantes por T y concluyase que

E = kerT ⊕ ImT

8. Calcular la matriz asociada a la aplicacion lineal

f : R3 → R2

(x, y, z) 7→ (x+ 3y − 2z, y − z)

en las bases {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} de R3 y {(1,−1), (1, 1)} de R2.

9. Para cada numero real θ, sea τθ : R3 → R3 la aplicacion definida por la formula:

τθ(x, y, z) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ, z)

(a) Pruebese que τθ es un automorfismo del espacio vectorial R3 y hallese su matriz en labase estandar del espacio.

(b) Interpretese geometricamente la aplicacion τθ y calculense sus subespacios invariantes.

10. Considerese la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f(x, y, z) = (2x + y,−z, 0).Calcular su matriz y a partir de ella:

(a) Determinar ker f y hallar una base de dicho subespacio.(b) Hallar Imf y el rango de f .(c) ¿Pertenece (6,−2, 0) al ker f?.

11. Sea E el espacio vectorial de las matrices reales de la forma

(0 ab c

)con a+ b+ c = 0.

Calcular una base de E y respecto de la misma calcular la matriz del endomorfismo T : E →E definido por: (

0 ab c

)7→(

0 a− 2b2b− 3c 3c− a

)Deducir de lo anterior bases de kerT e ImT .

12. Hallar la matriz de una aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por las condiciones:

(a) f(1, 0, 0) es proporcional a (0, 0, 1).(b) f 2 = f .(c) ker f = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ z = 0}.

¿Es f unica?.

13. Sea T : R3 → R3 el endomorfismo T (x, y, z) = (y − z, z − x, x− y). Se pide:

(a) Calcular la matriz de T en la base ordinaria.(b) Calcular la matriz de T en la base e1 = (0, 1, 1), e2 = (1, 0, 1), e3 = (−1, 0, 0).(c) Hallar una base de kerT , ImT , precisando sus dimensiones.(d) Calcular una base de kerT 2. ¿Coincide este nucleo con el de T?. Razonese la respuesta.


14. Sea T : R3 → R3 la aplicacion lineal definida por:

T (x, y, z) = (x+ y + z, x+ 2y, z − y)

(a) Calcular la matriz asociada a T y con ella encontrar kerT , ImT , kerT 2 e ImT 2.(b) Hallar bases de dichos subespacios vectoriales.

15. Sea E un espacio vectorial de dimension 3 y {e1, e2, e3} una base del mismo. Un endo-morfismo T de E verifica que:

T (e1) = e1 + e2, T (e3) = e3, kerT =< e1 + e2 >

Deducir la matriz de T y calcular ImT , kerT 2 y kerT 3.

16. Sea T una aplicacion lineal y sean V y V ′ subespacios vectoriales de E y E ′ respectiva-mente. Demostrar que

(a) Imagen de V = {e′ ∈ E ′ : e′ = T (v) para algun v ∈ V } es un subespacio vectorial deE ′, el subespacio imagen de V por la aplicacion T , que representaremos por T (V ).

(b) Antiimagen de V’ = {e ∈ E : T (e) ∈ V ′} es un subespacio vectorial de E, el subespacioantiimagen de V ′ por la aplicacion T , que representaremos por T−1(V ).

(Observa que T (E) = ImT y T−1(0) = kerT )

17. Sea E el espacio vectorial de los polinomios p(x) ∈ R[x] de grado menor o igual que 4.Se define f : E → E, T (p(x)) = p′(x).

(a) Probar que T es una aplicacion lineal.(b) Calcular T−1(3x2 − 1).(c) Calcular bases y dimensin de kerT e ImT .

18. Calcular la matriz de la aplicacion lineal T : R3 → R3 tal que T (1, 0, 0) = (0, 1, 0) y cuyonucleo esta generado por los vectores (0, 1, 1), (1, 0, 1), (2, 1, 3).

19. Sea E un R-espacio vectorial de dimension 4 y {e1, e2, e3, e4} una base del mismo. Dadoel endomorfismo T de E definido por:

T (e1) = e1 − e2, T (e2) = e2 − e3 + e4, T (e3) = e1 − e3 + e4, e1 + e4 ∈ kerT

Calcular la matriz de T y deducir bases de kerT e ImT . ¿Se verifica que E = kerT ⊕ImT?.

20. Sea E =< x, sinx, cosx >. Calcular la matriz del endomorfismo T : E → E definido por

T (f(x)) = f(0)x+ f ′(0) sinx+ f ′′(0) cosx

en una base de E. Decidir si T es isomorfismo.

21. Dado el endomorfismo T : E3 → E3 cuya matriz es A =

−2 4 21 λ λ−1 2 1

, demostrar que

para cualquier valor de λ la dimension del subespacio imagen es 2. Hallar el nucleo y laimagen para λ = −2.

22. Considerese el endomorfismo T de R3 definido por

T (x, y, z) = ((m− 2)x+ 2y − z, 2x+my + 2z, 2mx+ 2(m− 1)y + (m+ 1)z)

A partir de su matriz, demuestrese que la dimension del nucleo es 0 excepto para valoresparticulares de m. Para dichos valores, estudiar T .

23. Sea B = {u1, u2, u3} una base del espacio vectorial E.

(a) Probar que los vectores u′1 = 2u1− u2 + u3, u′2 = u1 + u3, u

′3 = 3u1− u2 + 3u3 forman

una base de E.(b) Calcular las coordenadas del vector u = u1 − 4u3 en la base de (a).(c) Hallar las coordenadas respecto de la base inicial del vector v = −2u′1 + 3u′2 + u′3.


24. Sea T el endomorfismo de R3 cuya matriz en la base {e1, e2, e3} es

2 −1 41 0 3−1 2 2

. Hallar

la matriz de T en la base {e′1, e′2, e′3} siendo:

e1 = e′1, e2 =1

2e′2, e3 = e′3 + e′1 −

1

2e′2


Universidad de Salamanca Gloria Serrano SoteloDepartamento de MATEMATICAS

1. Espacio vectorial dual. Base dual. Funciones coordenadas

Sea E un k-espacio vectorial.El conjunto E∗ de las aplicaciones lineales de E en k, E∗ = {E ω−→ k lineales }, es un k-espacio vectorial respecto de la suma de aplicaciones lineales y del producto de una aplicacionlineal por un escalar.E∗ se llama espacio dual de E y los elementos de E∗ se llaman formas lineales.

Teorema 1.1. (Base dual) Si {e1, . . . , en} es una base de E , las n formas lineales

{ω1, . . . ωn} definidas por ωi(ej) = δij =

{1 si i = j

0 si i 6= j, para 1 ≤ i, j ≤ n, forman una

base de E∗, la base dual de {e1, . . . , en}. En particular, dimk E∗ = dimk E

Demostracion.• {ω1, . . . ωn} generan E∗.Sea ω ∈ E∗ y ω(ei) = λi ∈ k para i = 1 . . . n.La forma lineal λ1ω1 + · · · + λnωn coincide con ω sobre la base {e1, . . . , en}, (λ1ω1 + · · · +λnωn)(ei) = λi = ω(ei), luego λ1ω1 + · · · + λnωn = ω, pues dos aplicaciones lineales quecoinciden sobre todos los vectores de una base son iguales.• {ω1, . . . ωn} son linealmente independientes.Si λ1ω1 + · · ·+λnωn = 0, para todo i = 1 . . . n se verifica que (λ1ω1 + · · ·+λnωn)(ei) = λi =0. �

Las formas lineales ωi son las funciones coordenadas sobre E, esto es, si e = x1e1 + · · ·+xnenes ωi(e) = xi.Por otra parte, si e = x1e1 + · · ·+ xnen y ω = p1ω1 + · · ·+ pnωn se tiene:

ω(e) = x1p1 + · · ·+ xnpn

2. Morfismo traspuesto

Dada una aplicacion lineal ET−→ E ′, para cada θ ∈ E ′∗ la aplicacion lineal E

θ◦T−−→ k es unaforma lineal θ ◦ T ∈ E∗, lo que permite definir una aplicacion

E ′∗T ∗−→ E∗

θ 7→ θ ◦ Tque es lineal: T ∗(λθ + µθ′) = (λθ + µθ′) ◦ T = λ(θ ◦ T ) + µ(θ′ ◦ T ) = λT ∗(θ) + µT ∗(θ′).T ∗ es la aplicacion lineal traspuesta o morfismo traspuesto de T .

Proposicion 2.1. Si A es la matriz asociada al morfismo ET−→ E ′ respecto de las bases

{e1, . . . , en} de E y {e′1, . . . , e′m} de E ′, la matriz asociada al morfismo traspuesto E ′∗T ∗−→ E∗

respecto de las bases duales {ω′1, . . . , ω′n} de E ′∗ y {ω1, . . . , ωn} de E∗ es la matriz traspuestade A.

Demostracion. Si B = (bij) es la matriz de T ∗ en las bases duales y A = (aij) la matriz deT en las bases dadas, se tiene:

T ∗(ω′j) =n∑i=1

bijωi ⇒ bij = T ∗(ω′j)(ei) = ω′j(T (ei)) = ω′j(m∑k=1

akie′k) =

m∑k=1

akiω′j(e′k) = aji

�1


Ejemplo 2.2. Dada la aplicacion lineal

R4 T−→ R3

(x, y, z, t) 7→ (x− 2y + t, y + z, x− t)

Calculemos bases y dimension de ImT ∗ y kerT ∗, siendo (R3)∗T ∗−→ (R4)∗ su morfismo tras-

puesto.

A =

1 −2 0 10 1 1 01 0 0 −1

⇒ At =

1 0 1−2 1 00 1 01 0 −1

, rgAt = dim ImT ∗ = 3⇒ dim kerT ∗ = 3−3 = 0

Se deduce:

ImT ∗ = {(1,−2, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0,−1)} , kerT ∗ = {0}

3. Cambio de base en el dual

Sea {e1, . . . , en} una base de E y {ω1, . . . , ωn} su base dual en E∗. Y sean {e1, . . . , en} otrabase de E (base nueva de E) y {ω1, . . . , ωn} su base dual (base nueva de E∗). Si representamospor B la matriz del cambio de base en E y por B∗ la matriz de cambio de base en E∗, severifica:

B∗ = (Bt)−1

En efecto:La aplicacion que realiza el cambio de base de matriz B es

〈e1, . . . , en〉 = EIdB−−→ E = 〈e1, . . . , en〉

y su morfismo traspuesto

〈ω1, . . . , ωn〉 = E∗IdBt−−→ E∗ = 〈ω1, . . . , ωn〉

es preciasamente el inverso del morfismo del cambio de base en E∗ de matriz B∗, (IdBt)−1 =IdB∗ , luego B∗ = (Bt)−1.• Cambio de base para formas linealesSi ω = p1ω1 + · · · + pnωn = p1ω1 + · · · + pnωn, esto es, (p1, . . . , pn) son las coordenadasantiguas de ω y (p1, . . . , pn) sus coordenadas nuevas , se tiene:p1...

pn

= (B∗)−1 ·

p1...pn

⇔p1...pn

= Bt ·

p1...pn

⇔ (p1 . . . pn

)=(p1 . . . pn

)·B

Ejemplo 3.1. Sea {e1, e2, e3} una base del R-espacio vectorial E y {ω1, ω2, ω3} su base dual.(a) Probar que los vectores e1 = e1− e2, e2 = e1 + 2e2 + e3 y e3 = e1 + e2 forman una nuevabase de E y calcular su base dual {ω1, ω2, ω3}.(b) Calcular la expresion de la forma lineal ω = 3ω1 + 2ω2 en la base {ω1, ω2, ω3}Solucion

(a) |B| =

∣∣∣∣∣∣1 1 1−1 2 10 −1 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 6= 0⇒ {e1, . . . , en} es una base de E y B es la matriz del cambio de base.


B∗ = (Bt)−1 =1

|B|AdjB =

1

2

1 0 1−1 0 1−1 2 3

⇒ω1 =

1

2ω1 −

1

2ω2 −

1

2ω3

ω2 = −ω3

ω3 =1

2ω1 +

1

2ω2 +

3

2ω3

, pues las colum-

nas de B∗ son las coordenadas de las formas lineales de la nueva base {ω1, ω2, ω3} de E∗

respecto de la base {ω1, ω2, ω3}.(b)

(3 2 0

)·B =

(1 7 5

)⇒ ω = ω1 + 7ω2 + 5ω3.

4. Espacio bidual. Teorema de Reflexividad

El espacio bidual, E∗∗, es el dual del espacio dual E∗:

E∗∗ = {E∗ −→ k lineales} , dimk E∗∗ = dimk E

∗ = dimk E .

Teorema 4.1. (Reflexividad). Si E es un k-espacio vectorial de dimension finita, la apli-

cacion Eφ−→ E∗∗ definida por φ(e)(ω) = ω(e), para cada e ∈ E y ω ∈ E∗, es un isomorfismo.

Demostracion.• φ es lineal.φ(λe+µe′)(ω) = ω(λe+µe′) = λω(e)+µω(e′) = λφ(e)(ω)+µφ(e′)(ω) = (λφ(e)+µφ(e′))(ω),para toda ω ∈ E∗.• φ es inyectiva.Si e ∈ kerφ es φ(e) = 0, luego φ(e)(ω) = ω(e) = 0 para toda ω ∈ E∗. En particular, si{ω1, . . . , ωn} es la base dual de la base {e1, . . . , en} en la que las coordenadas del vector eson (x1, . . . , xn), resulta que ωi(e) = xi = 0 para i = 1, . . . , n, lo que prueba que e = 0.• φ es epiyectiva pues es inyectiva y dimk E

∗∗ = dimk E. �

Observacion. El teorema de Reflexividad permite identificar los vectores de E como elementosdel espacio bidual E∗∗ en el modo e(ω) = ω(e). De manera que si {ω1, . . . , ωn} son lasfunciones coordenadas sobre E, los vectores {e1, . . . , en} de su base dual se pueden entendercomo las funciones coordenadas sobre el espacio dual E∗.

5. Subespacio incidente. Dimension. Propiedades

Sea V un subespacio de E. Se define el siguiente subconjunto de E∗:

V 0 = {ω ∈ E∗ : ω(v) = 0 , para todo v ∈ V }

Teorema 5.1. V 0 es un subespacio de E∗, el subespacio incidente con V , y su dimensiones:

dimk V0 = dimk E − dimk V

Demostracion.1) V 0 es cerrado por combinaciones lineales.Si ω, ω′ ∈ V 0 y λ, µ ∈ k, para cada v ∈ V se tiene: (λω + µω′)(v) = λω(v) + µω′(v) = 0 ⇒λω + µω′ ∈ V 0.2) Construyamos una base de V 0.Sea {v1, . . . , vm} una base de V . Ampliemos esta base para formar una base {v1, . . . , vm, em+1, . . . , en}de E y sea {θ1, . . . , θm, θm+1, . . . , θn} su base dual.Probaremos que las n−m formas lineales {θm+1, . . . , θn} forman una base de V 0:

{θm+1, . . . , θn} estan en V 0, ya que θm+1(vi) = 0, . . . , θn(vi) = 0, para i = 1, . . . ,m,pues {θ1, . . . , θm, θm+1, . . . , θn} es la base dual de {v1, . . . , vm, em+1, . . . , en}.{θm+1, . . . , θn} generan V 0.

Si ω ∈ V 0 ⊆ E∗ es ω = λ1θ1 + · · · + λmθm + λm+1θm+1 + · · · + λnθn y comoω(v) = 0 para todo v ∈ V , se tiene que ω(vi) = λi = 0 para i = 1, . . . ,m. Luegoω = λm+1θm+1 + · · ·+ λnθn.


{θm+1, . . . , θn} son linealmente independientes pues forman parte de una base.

�

Proposicion 5.2. Propiedades del incidente.(1) E0 = {0} , {0}0 = E∗.(2) Si E1 y E2 son subespacios de E tales que E1 ⊆ E2 se verifica E0

1 ⊇ E02 .

(3) Si V es un subespacio de E, V 00 = V .(4) Si E1 y E2 son subespacios de E se verifica:

(E1 + E2)0 = E0

1 ∩ E02 , (E1 ∩ E2)

0 = E01 + E0

2

(5) Si E = E1 ⊕ E2 tambien E∗ = E01 ⊕ E0

2

(6) Si ET−→ E ′ es una aplicacion lineal y E ′∗

T ∗−→ E∗ su morfismo traspuesto, se verifica:

kerT ∗ = (ImT )0 , ImT ∗ = (kerT )0

Demostracion.(1) dimk E

0 = dimk E − dimk E = 0⇒ E0 = {0}.{0}0 ⊆ E∗ y dimk{0}0 = dimk E − 0 = dimk E

∗ ⇒ {0}0 = E∗.(2) Si ω ∈ E0

2 es ω(e2) = 0 para todo e2 ∈ E2 y como E1 ⊆ E2 tambien es ω(e1) = 0 paratodo e1 ∈ E1, luego ω ∈ E0

1 .(3) Si e ∈ V para toda ω ∈ V 0 es ω(e) = 0 y por reflexividad e(ω) = 0, luego e ∈ V 00,ası V ⊆ V 00 y como dimk V

00 = dimk E∗− dimk V

0 = dimk E∗− dimk E− dimk V = dimk V

es V = V 00.(4)

E1 ⊆ E1 + E2 ⇒ E01 ⊇ (E1 + E2)

0

E2 ⊆ E1 + E2 ⇒ E02 ⊇ (E1 + E2)

0

}⇒ (E1 + E2)

0 ⊆ E01 ∩ E0

2

Por otra parte, para cada ω ∈ E01∩E0

2 ⇒

{ω ∈ E0

1 ⇒ ω(e1) = 0 ,∀e1 ∈ E1

ω ∈ E02 ⇒ ω(e2) = 0 , ∀e2 ∈ E2

}, luego ω(e1+

e2) = 0 para todo e1 + e2 ∈ E1 + E2 y por tanto ω ∈ (E1 + E2)0, lo que prueba que

E01 ∩ E0

2 ⊆ (E1 + E2)0 y ası (E1 + E2)

0 = E01 ∩ E0

2 .

(5) Si E = E1 ⊕ E2 ⇒

{E = E1 + E2 ⇒ E0 = (E1 + E2)

0 ⇒ {0} = E01 ∩ E0

2

E1 ∩ E2 = {0} ⇒ (E1 ∩ E2)0 = {0}0 ⇒ E0

1 + E02 = E∗

}, luego

E∗ = E01 ⊕ E0

2 .(6)

(ImT )0 = {ω′ ∈ E ′∗ : ω′(T (e)) = 0 ,∀e ∈ E} = {ω′ ∈ E ′∗ : T ∗ω′ = 0} = kerT ∗

ImT ∗ = {ω ∈ E∗ : ω = T ∗\ω′ = ω′ ◦ T} == {ω ∈ E∗ : ω(e) = 0 ,∀e ∈ kerT} = (kerT )0

�

6. Ecuaciones parametricas e implıcitas de un subespacio

Sea V un subespacio de E y {v1, . . . , vm} una base de V . Para todo e ∈ V se tiene:Ecuacion parametrico vectorial de V : e = λ1v1 + · · ·+ λmvm, para ciertos λi ∈ k.Si se expresa esa ecuacion en coordenadas respecto de una base de E, e = (x1, . . . , xn),vj = (a1j, . . . , anj), se obtienen unas ecuaciones parametricas de V :

x1 = λ1a11 + · · ·+ λma1m...

......

xn = λ1an1 + · · ·+ λmanm


De la ecuacion parametrico vectorial se sigue que la matriz cuyas columnas son las coorde-nadas de los vectores e, v1, . . . , vm, respecto de una base de E, tiene rango m,

rg(e, v1, . . . , vm) = m, para todo e ∈ V .

De modo que, elegido un menor de orden m no nulo, esta condicion equivale a la anulacionde n − m menores de orden m + 1, que dan el numero mınimo de ecuaciones linealmenteindependientes que definen unas ecuaciones implıcitas de V .

Ejemplo 6.1. Sea V el subespacio de R4 generado por los vectores {v1 = (1, 0, 1, 1), v2 =(0, 1, 1, 1), v3 = (1,−1, 0, 0)}. Calculemos unas ecuaciones parametricas y unas ecuacionesimplıcitas de V .dimV = rg(v1, v2, v3) = 2, V = 〈v1, v2〉.• Ecuacion parametrico vectorial de V : e = λv1 + µv2, para todo e ∈ V .

• Ecuaciones parametricas

x = λ

y = µ

z = λ+ µ

t = λ+ µ

.

• Ecuaciones implıcitas

rg

x 1 0y 0 1z 1 1t 1 1

= 2⇒

∣∣∣∣∣∣x 1 0y 0 1z 1 1

∣∣∣∣∣∣⇒ −x− y + z = 0

∣∣∣∣∣∣x 1 0y 0 1t 1 1

∣∣∣∣∣∣⇒ −x− y + t = 0

7. Subespacio incidente y ecuaciones implıcitas

Sea V un subespacio de E de dimension m.Por reflexividad se tiene:

V = {e ∈ E : e(ω) = ω(e) = 0 para todo ω ∈ V 0}

Luego si se conoce una base del subespacio incidente con V , V 0 = 〈θ1, . . . , θn−m〉, el subes-pacio V queda determinado por las n−m escuaciones:

V = {e ∈ E : θ1(e) = · · · = θn−m(e) = 0} ,

que en coordenadas respecto de una base de E y su base dual dan unas ecuaciones implıcitasde V .

Ejemplo 7.1. Sean {e1, e2, e3, e4} una base de E y {ω1, ω2, ω3, ω4} su base dual. Si V es elsubespacio de E del que se conoce una base {θ1 = 2ω1− 3ω3 +ω4, θ2 = ω1− 2ω2 +ω3− 3ω4}de su subespacio incidente V 0, unas ecuaciones implıcitas de V son:

θ1(e) = 0

θ2(e) = 0

}e=xe1+ye2+ze3+te4−−−−−−−−−−−−→

{2x− 3z + t = 0

x− 2y + z − 3t = 0

Recıprocamente si se conocen unas ecuaciones implıcitas del subespacio V se tiene automati-camente una base de su subespacio incidente V 0.

V ≡{x− y + 2t = 0

2y − 3z = 0

}⇒ V 0 = 〈ω1 − ω2 + 2ω4, 2ω2 − 3ω3〉 .



1. Sean {e1, e2, e3} una base de E y {ω1, ω2, ω3} su base dual. Probar que las formas linealesω1 = 2ω1− 3ω2, ω1 = ω1 +ω2−ω3 y ω1 = ω2 +ω3 forman una base de E∗ y calcular su basedual {e1, e2, e3}2. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 con coeficientesreales, E = {ax2 + bx+ c : a, b, c ∈ R}.

(a) Demostrar que los polinomios 1 + x2, x+ x2, 1 + x+ x2 forman una base de E.(b) Sea {ω1, ω2, ω3} la base dual de la base anterior y {ω1, ω2, ω3} la base dual de {1, x, x2}.

Calcular las coordenadas de ω1, ω2, ω3 en la base {ω1, ω2, ω3}.(c) Considerando el morfismo derivada D : E → E dado por D(p(x)) = p′(x), calcular las

coordenadas de la imagen de ω1 en la base {ω1, ω2, ω3} por el morfismo inducido enel dual.

3. Sea E un R-espacio vectorial, {e1, e2, e3} una base de E y {ω1, ω2, ω3} su base dual. SeaT el endomorfismo de E definido por T (x, y, z) = (−3x+ 2y + z, 3x+ y + 5z,−3x− 3z) .Si T ∗ : E∗ → E∗ es el endomorfismo inducido en el dual, averigua si las formas linealesT ∗(ω1 + 2ω2), T

∗(2ω1 + ω2), T∗(ω1 + ω2) forman una base de E∗.

4. Sea E el espacio vectorial real de todos los polinomios con coeficientes reales de gra-do menor o igual que 2. Sea {ω1, ω2, ω3} la base dual de la base {1, x, x2}. Se definen lasaplicaciones ω1, ω2, ω3 : E → R por las formulas:

ω1(p(x)) =

∫ 1

0

p(x)dx , ω2(p(x)) =

∫ 1

0

xp(x)dx , ω3(p(x)) =

∫ 1

0

x2p(x)dx

Pruebese que {ω1, ω2, ω3} es una base de E∗. Hallense las coordenadas de dichos elementosrespecto de la base {ω1, ω2, ω3}. Determinar en E una base para la cual {ω1, ω2, ω3} sea subase dual.

5. Sea E1 el subespacio de R4 generado por los vectores e1 = (1, 0, 1, 0), e2 = (2, 5, 4, 0)y sea E2 el subespacio de R4 generado por los vectores u1 = (0, 5, 5, 0), u2 = (5, 5, 7, 0),u3 = (−10, 1, 5, 1).

(a) Calcula una base y la dimension de los subespacios E1, E2 E1 + E2 y E1 ∩ E2.(b) Halla los subespacios incidentes de los del apartado anterior.

6. En un espacio vectorial de dimension 5 sea {e1, e2, e3, e4, e5} una base y {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5}su base dual. Sea F el subespacio generado por los vectores

u1 = e1 + e2 + e3, u2 = e2 − e4, u3 = e3 + 2e4 − e5Hallese la dimension de F y calculese una base de su espacio incidente.

7. Sea {e1, e2, e3} una base de un R-espacio vectorial E y {ω1, ω2, ω3} su base dual. Dada laaplicacion lineal T : E∗ → E definida por

T (ω1) = e1 − e2, T (ω2) = 2e1 + e2 + e3, T (ω3) = 3e2 + e3

Calcular bases de kerT , ImT , (kerT )◦, (ImT )◦.

8. Hallar las ecuaciones parametricas e implıcitas del subespacio de R4 generado por losvectores (−2, 2, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (−6, 7, 4, 3).

9. Se consideran los siguientes subespacios de R4 generados por:

E1 =< (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1,−1, 1,−1) >

E2 =< (1, 2, 3, 4), (−1, 0, 1, 3), (0, 1,−1, 2), (1, 2,−1, 4) >

E3 =< (1, 2, 3, 0), (1, 0, 1, 0), (0,−1, 2, 0), (−1, 1, 3, 0) >

Hallar las ecuaciones parametricas y las ecuaciones implıcitas de dichos subespacios.


10. Se considera en Q5 el subespacio V determinado por las ecuaciones 2x1−x2+x4−x5 = 0,4x1 + 2x2 + x5 = 0, 3x2 − x4 + 2x5 = 0. Determinar las ecuaciones parametricas de V ycalcular un suplementario.

11. Hallar las ecuaciones parametricas del subespacio vectorial de R3 definido por 2x−y+z =0. Deducir una base del mismo y calcular respecto de ella las coordenadas del vector (1, 3, 1).

12. Hallar las ecuaciones parametricas del subespacio vectorial de R4 que tiene por ecuacio-nes implıcitas x+ y − z + t = 0, x− y + z = 0.

13. Sean E1 y E2 los siguientes subespacios de R4:

E1 ≡ 〈(1, 1, 1, 0), (0,−1,−1, 0), (2, 1, 1, 0)〉

E2 ≡{

x+ t = 0x− y + z + 2t = 0

(a) Calcular bases y dimensiones de E1, E2, E1 ∩ E2 y E1 + E2.(b) ¿Es cierto que R4 = E1 ⊕ E2?. Calcular un suplementario de E1.(c) Calcular una base del subespacio incidente (E1)

◦ y las ecuaciones implıcitas de E1.(d) Calcular unas ecuaciones parametricas de E2.

14. Sea E un R-espacio vectorial de dimension 3, {e1, e2, e3} una base de E y {ω1, ω2, ω3}su base dual.

(a) Dados los subespacios F =< e1 − e2, 2e1 − e3 > y F ′ =< 2e2 + e3, e1 + e2 + e3 >,calcula una base de (F ∩ F ′)◦ y las ecuaciones implıcitas y parametricas de F ∩ F ′.

(b) Demuestra que las formas lineales {ω1, ω2, ω3} definidas por

ω1(e) = x+ y + z, ω2(e) = y − 2z, ω3(e) = x+ y

para cada vector e = xe1 + ye2 + ze3, forman una base del espacio dual E∗. Calculauna base {e1, e2, e3} de E cuya base dual sea {ω1, ω2, ω3}.

(c) Calcula las coordenadas del vector u = e1−e2 +e3 en la base {e1, e2, e3} y el incidentedel subespacio < u > en funcion de {ω1, ω2, ω3}.



1. Subvariedades afines de un espacio vectorial

Sea E un k-espacio vectorial de dimension n y sean V un subespacio de E y e0 un vector deE. El conjunto

H = e0 + V

es una subvariedad afın de vector de posicion e0 y subespacio director V .Se llama dimension de la subvariedad afın H a la dimension de su subespacio director,dimkH = dimk V .Las subvariedades afines de dimension 0 son los puntos, las de dimension 1 las rectas, las dedimension 2 los planos y las de dimension n− 1 los hiperplanos.Las subvariedades afines que pasan por el origen son los subespacios.

Definicion 1.1. Dos subvariedades afines son paralelas si el subespacio director de una deellas esta contenido en el de la otra.Si dimkH ≤ dimkH

′, las subvariedades afines H = e0 + V , H ′ = e′0 + V ′ son paralelas siV ⊆ V ′ o lo que es equivalente V 0 ⊇ V ′0.

2. Ecuaciones parametricas e implıcitas de una subvariedad afın H

Sea H = e0 + V y {v1, . . . , vm} una base de V .Ecuacion parametrico vectorial de H:∀e ∈ V es e = e0 + λ1v1 + · · ·+ λmvm, para ciertos λi ∈ k.Expresando esta ecuacion en coordenadas respecto de una base de E se obtienen unas cua-ciones parametricas de H.Ecuaciones implıcitas de H:De la ecuacion parametrico vectorial se sigue que la matriz cuyas columnas son las coorde-nadas de los vectores e− e0, v1, . . . , vm, respecto de una base de E, tiene rango m,

rg(e− e0, v1, . . . , vm) = m, para todo e ∈ H .

De modo que, elegido un menor de orden m no nulo, esta condicion equivale a la anulacionde n − m menores de orden m + 1, que dan el numero mınimo de ecuaciones linealmenteindependientes que definen unas ecuaciones implıcitas de H.Por otra parte, si en vez de una base del subespacio director V de H se conoce una base de susubespacio incidente V 0 = 〈θ1, . . . , θn−m〉, se pueden obtener directamente unas ecuacionesimplıcitas de H = e0 + V .

∀e ∈ H es e− e0 ∈ V ⇔

θ1(e− e0) = 0

...

θn−m(e− e0) = 0

Ejemplo 2.1. Sea V el subespacio de R4 generado por los vectores {v1 = (1, 0, 1, 0), v2 =(−1, 1, 1, 2), v3 = (0, 1, 2, 2)}. Calculemos unas ecuaciones parametricas y unas ecuacionesimplıcitas de la subvariedad afın H de vector de posicion e0 = (1, 0, 0, 2) y subespaciodirector V .dimH = dimV = 2 y V = 〈v1, v3〉.

1


• Ecuaciones parametricas

x = 1 + λ

y = µ

z = λ+ 2µ

t = 2 + 2µ

.

• Ecuaciones implıcitas

rg

x− 1 1 0y 0 1z 1 2

t− 2 0 2

= 2⇒

∣∣∣∣∣∣x− 1 1 0y 0 1z 1 2

∣∣∣∣∣∣⇒ x+ 2y − z = 1

∣∣∣∣∣∣x− 1 1 0y 0 1

t− 2 0 2

∣∣∣∣∣∣⇒ 2y − t = −2

3. Subvariedad afin interseccion. Posiciones relativas. Subvariedad afın

suma

Sean H y H ′ subvariedades afines de E.

• La subvariedad afın interseccion H ∩H ′ es la maxima subvariedad afın contenida enH y en H ′. Los puntos de H ∩H ′ son las soluciones del sistema lineal determinado por lasecuaciones implıcitas de H y de H ′.Dos subvariedades afines se cortan si tienen algun punto en comun, por tanto, H y H ′ nose cortan si H ∩H ′ = ∅.Dos subvariedades afines se cruzan si ni son paralelas ni se cortan.

• La subvariedad afın suma H +H ′ es la mınima subvariedad afın que contiene a H y aH ′.Si H = e0 + 〈v1, . . . , vm〉 y H ′ = e′0 + 〈u1, . . . , us〉, su suma es:

H+H ′ = e0+〈e0−e′0, v1, . . . , vm, u1, . . . , us〉 y dim(H+H ′) = rg(e0−e′0, v1, . . . , vm, u1, . . . , us)

Ejemplo 3.1. Considerense las subvariedades afines de R4

r ≡

x+ y = 1

y + z = 0

z + t = 2

π ≡

{x+ y + z + t = 3

2x− z = 1

(a) Calcula un vector de posicion y el subespacio director de la recta r y del plano π.(b) Averigua si la recta r es paralela al plano π.(c) Calcula la subvariedad afın interseccion r ∩ π.(d) Calcula la mınima subvariedad afın que contiene a ambas.

(e) Estudia la posicion relativa del plano π y el plano π′ ≡

{2x− z + t = 2

x+ y − z = 0.

Solucion.

(a) r = {(x, 1− x,−1 + x, 3− x) ∈ R4} , π = {(x, y,−1 + 2x, 4− 3x− y) ∈ R4}

r = e0 + 〈v〉 , e0 = (0, 1,−1, 3), v = (1,−1, 1,−1)

π = e′0 + 〈u1, u2〉 , e′0 = (0, 0,−1, 4), u1 = (1, 0, 2,−3), u2 = (0, 1, 0,−1)


(b) La recta y el plano no son paralelos, ya que el subespacio director de r, 〈v〉, no esta con-tenido el subespacio director de π,〈u1, u2〉, pues

rg(v, u1, u2) =

1 1 0−1 0 11 2 0−1 −3 −1

= 3

(c) Sustituyendo las coordenadas de un punto cualquiera (λ, 1− λ,−1 + λ, 3− λ) de r enlas ecuaciones del plano π se tiene{

λ+ 1− λ− 1 + λ+ 3− λ = 3

2λ+ 1 + λ = 1⇔

{3 = 3

λ = 0

Luego la recta y el plano se cortan en el punto P = (0, 1,−1, 3), r ∩ π = P .(d) r+π = e0+〈e0−e′0, v, u1, u2〉, pero e0−e′0 = u2, luego r+π = e0+〈v, u1, u2〉 y dim(r+

π) = 3. Luego la mınima subvariedad afın que las contiene es el hiperplano de vectorde posicion e0 y subespacio director 〈v, u1, u2〉. Calculemos su ecuacion implıcita:

Para todo e = (x, y, z, t) ∈ r+π es e− e0 ∈ 〈v, u1, u2〉, luego rg(e− e0, v, u1, u2) = 3y por tanto det(e − e0, v, u1, u2) = 0, que en coordenadas da la ecuacion implıcita der + π:

r + π ≡

∣∣∣∣∣∣∣∣x 1 1 0

y − 1 −1 0 1z + 1 1 2 0t− 3 −1 −3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇒ r + π ≡ x+ y + z + t− 3 = 0

(e) Discutamos el sistema lineal determinado por las ecuaciones implıcitas de π y de π′.

x+ y + z + t = 3

2x− z = 1

2x− z + t = 2

x+ y − z = 0

A =

1 1 1 12 0 −1 02 0 −1 11 1 −1 0

Se tiene que rgA = 4 y por tanto coincide con el rango de la matriz ampliada. Elsistema es pues compatible y el conjunto de soluciones, que es la subvariedad afıninterseccion π ∩ π′, tiene dimension 0, luego se reduce a un punto. Es decir, los planosπ y π′ se cortan en un punto Q, que se obtiene resolviendo el sistema, Q = (1, 0, 1, 1).


1. Calcular las ecuaciones parametricas e implıcitas de la recta que pasa por el punto P =(1, 2, 1, 2) y cuya direccion queda determinada por el vector (1, 3,−2, 7).

2. Calcular las ecuaciones parametricas e implıcitas del hiperpano de R4 que pasa por elpunto P = (0, 1, 2,−4) y cuyo subespacio director es V = 〈(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 2, 1, 2)〉.3. En un espacio vectorial de dimension 4, hallese la recta que pasa por el origen y corta alas dos rectas siguientes:

r1 : x = 2 + 3λ, y = 1− λ, z = −1 + 2λ, t = 3− 2λ

r2 : x = 7λ, y = 1, z = 1 + λ, t = −1 + 2λ

4. Hallese el hiperplano de R4 que pasa por las rectas:

r1 : 2x− y = 0, x+ z = 0, 3x− t = 0

r2 : x+ y − 3 = 0, 2x− z + 1 = 0, t = 0


5. Hallar la ecuacion del haz de hiperplanos que contienen al plano que pasa por los puntos(1,−2,−3, 1), (0, 0, 1, 5), (3,−1, 5, 0).

6. Hallese la dimension de la mınima subvariedad afın que contiene a dos planos bidimen-sionales que se cruzan. Calculese la dimension de la mınima subvariedad afın que pasa porlos puntos:

(−1, 2,−1, 0, 4), (0,−1, 3, 5, 1), (4,−2, 0, 0,−3), (3,−1, 2, 5, 2)

7. Hallense las ecuaciones parametricas de la mınima subvariedad afın que pasa por lasrectas:

r : x1 = x2 = x3 = x4 = x5

r′ :x1 − 1

3=x25

= x3 − 2 =x4 + 1

7=

x5−4

8. Dadas las subvariedades afines de R4:

H =< (0,−1, 0, 1), (1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0) > H ′ =< (−2, 1, 1, 0), (−3, 0, 0, 1) >

(a) Calcular sus ecuaciones implıcitas.(b) Estudiar su posicion relativa.(c) Calcular la mınima subvariedad afın que las contiene.

9. Hallar la subvariedad afın de R4 que pasa por el punto (1, 0, 0, 0) y cuyo subespaciodirector es el nucleo del endomorfismo T : R4 → R4 cuya matriz en la base estandar es

1 −1 2 01 0 1 13 −2 5 10 −1 1 −1

10. Sea E el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que 2. SeaV el plano de los polinomios de grado menor o igual que 1. Sea ω : E → R la forma linealdefinida por ω(p(x)) =

∫ 1

0x ·p(x) dx. Considerando la base {1, x, x2}, calcular las ecuaciones

de la recta que pasa por 1 + x2 y es paralela a la recta interseccion del plano ω−1(2) con V .

11. Calcular el plano que contiene a la recta s ≡ x = y = z = t+ 1 y corta a las rectas

r1 ≡

x+ y = 0

y + 2z = 0

z + 3t = 1

r2 ≡x− 2

2= y =

z

−1= t+ 1


Algebra lineal y Geometrıa IDaniel Hernandez SerranoDarıo Sanchez GomezDepartamento de MATEMATICAS

SEMINARIO I.

1. Espacios Vectoriales

1.1. Espacios y subespacios vectoriales.1. Demuestrese que el conjunto C = {(x, y, y,−x), x, y ∈ R} con la operacion:

(x, y, y,−x) + (w, z, z,−w) = (x+ w, y + z, y + z,−(x+ w))

y con el producto escalar para λ ∈ R:

λ(x, y, y,−x) = (λx, λy, λy,−λx) ,

es un espacio vectorial sobre R.2. Averiguar si V ⊂ R3 es un subespacio vectorial real.

a) V = {(a, b, 0) : a, b ∈ R}b) V = {(a, b, c) : a+ b+ c = 0}c) V = {(a, b, c) : a2 + b2 + c2 ≥ 1}d) V = {(a, b, c) : a = b+ c}e) V = {(a, b, c) : a, b, c ∈ Q}

3. Determina si los siguientes subconjuntos de M(2× 2,R) son subespacios vectoriales:

a) H1 ={(

a b−b c

) ∣∣ a, b, c ∈ R}

.

b) H2 ={(

a 1 + a0 0

) ∣∣ a ∈ R}

.

c) El conjunto de las matrices antisimetricas.d) El conjunto de las matrices A que cumplen A2 = A.e) El conjunto de matrices cuyo determinante no es cero.

1.2. Dependencia lineal, bases, dimension y coordenadas.4. Pruebese que el subespacio de R3 generado por los vectores (1, 1, 1), (0, 1, 0) coincide con el subes-

pacio generado por (2, 3, 2) y (1, 0, 1).5. Demostrar que los vectores (m, 1, 0), (−1,m, 0) y (0, 1, 1) son linealmente independientes en R3,

sea quien sea m. Comprobar que esta propiedad no se cumple en C3.6. Determinar x e y en el vector (3, 2, x, y) ∈ Q4 para que pertenezca al subespacio generado por

(1, 4,−5, 2), (1, 2, 3, 1).7. Calcula una base y la dimension de los siguientes subespacios vectoriales de R3:

a) V = {(a, b, 0) : a, b ∈ R}b) V = {(a, b, c) : a+ b+ c = 0}c) V = {(a, b, c) : a = b+ c}

8. Comprobar que las matrices(

1 00 0

),

(1 10 0

),

(1 11 0

),

(0 00 1

)forman una base del espacio

vectorial de las matrices de orden 2. Calcular las coordenadas de la matriz(

5 31 1

)respecto de

esta base.9. Consideremos el espacio vectorial R2[x] de los polinomios p(x) de grado menor o igual que 2 con

coeficientes en R.a) Demostrar que los polinomios 1 + x, x+ x2, 1 + x2 forman una base.b) Hallar las coordenadas del polinomio 3 + 2x+ 5x2 en dicha base.

1


2 Algebra Lineal y Geometrıa I. Grado en Fısicas. Curso 2010/11. D. Hernandez Serrano. D. Sanchez Gomez

ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO I.2. Averiguar si V ⊂ R3 es un subespacio vectorial real.

a) V = {(a, b, 0) : a, b ∈ R}b) V = {(a, b, c) : a+ b+ c = 0}c) V = {(a, b, c) : a2 + b2 + c2 ≥ 1}d) V = {(a, b, c) : a = b+ c}e) V = {(a, b, c) : a, b, c ∈ Q}

Solucion:a) Por el teorema de caracterizacion de subespacios vectoriales basta demostrar si para cuales-

quiera v, v′ ∈ V y para cualesquiera escalares λ, µ ∈ R se tiene que λv + µv′ ∈ V . En efecto,sean v = (a, b, 0), v′ = (a′, b′, 0) ∈ V con a, b ∈ R, se tiene (suma y producto por escalares enR3):

λv + µv′ = (λa+ µa′, λb+ µb′, 0) .

Como R es R-espacio vectorial se verifica que λa + µa′ ∈ R y λb + µb′ ∈ R y por lo tanto(definicion de V ) se concluye que λv + µv′ ∈ V .

b) Sean v = (a, b, c), v′ = (a′, b′, c′) ∈ V vectores cualesquiera de V , es decir, se tiene:

a+ b+ c = 0 y a′ + b′ + c′ = 0 .

Veamos que para todo λ, µ ∈ R se verifica que:

λv + µv′ = (λa+ µa′, λb+ µb′, λc+ µc′) ∈ V,

es decir, hemos de comprobar si:

λa+ µa′ + λb+ µb′ + λc+ µc′ = 0 .

Efectivamente, basta sacar factor comun a λ y µ (R es espacio vectorial) y usar que a+b+c = 0y a′ + b′ + c′ = 0.

c) V no es subespacio pues (0, 0, 0) 6∈ V (ya que 02 + 02 + 02 6≥ 1).d) Se resuelve de modo analogo a b).e) Veamos que V no es R-espacio vectorial, para lo cual comprobaremos que la multiplicacion

por escalares no es cerrada. Sea λ ∈ R y v = (a, b, c) ∈ V , es decir, a, b, c ∈ Q. Entoncesλv = (λa, λb, λc) 6∈ V porque λa, λb y λc no tienen por que ser numeros racionales. Tomesepor ejemplo λ =

√2 ∈ R y a = 1 ∈ Q.

7. Calcula una base y la dimension de los siguientes subespacios vectoriales de R3:a) V = {(a, b, 0) : a, b ∈ R}b) V = {(a, b, c) : a+ b+ c = 0}c) V = {(a, b, c) : a = b+ c}

Solucion:a) V = {(a, b, 0) : a, b ∈ R} = {a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) : a, b ∈ R} = 〈(1, 0, 0), (0, 1, 0)〉. Luego V

esta generado por (1, 0, 0), (0, 1, 0), y como estos vectores no son proporcionales, son lineal-mente independientes (L.I.) y forman base.

b)

V = {(a, b, c) : a+ b+ c = 0} = {(a, b, c) : c = −a− b} = {(a, b,−a− b) : a, b ∈ R} =

= {a(1, 0,−1) + b(0, 1,−1) : a, b ∈ R} = 〈(1, 0,−1), (0, 1,−1)〉

c)

V = {(a, b, c) : a = b+ c} = {(b+ c, b, c) : b, c ∈ R} = {b(1, 1, 0) + c(1, 0, 1) : b, c ∈ R} =

= 〈(1, 1, 0), (1, 0, 1)〉

8. Comprobar que las matrices(

1 00 0

),

(1 10 0

),

(1 11 0

),

(0 00 1

)forman una base del espacio

vectorial de las matrices de orden 2. Calcular las coordenadas de la matriz(

5 31 1

)respecto de

esta base.


Algebra Lineal y Geometrıa I. Grado en Fısicas. Curso 2010/11. D. Hernandez Serrano. D. Sanchez Gomez 3

Solucion: Por la teorıa sabemos que el k-espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden2 es de dimension 4 y por tanto, para que 4 vectores (i.e. 4 matrices) formen base basta que seanL.I. Sean a, b, c, d ∈ k y supongamos que:

a

(1 00 0

)+ b

(1 10 0

)+ c

(1 11 0

)+ d

(0 00 1

)=

(0 00 0

),

veamos que entonces a = b = c = d = 0. En efecto, por definicion de suma de matrices y productode matrices por escalares la ecuacion anterior se traduce en:(

a+ b+ c b+ cc d

)=

(0 00 0

),

de donde resulta que a = b = c = d = 0.

Para calcular las coordenadas de(

5 31 1

)es esta base hemos de utilizar el teorema de ca-

racterizacion de una base: “todo vector de un espacio vectorial se expresa de modo unico comocombinacion lineal de los elementos de la base”, los coeficientes de dicha combinacion lineal (quellamaremos α, β, γ, δ) son precisamente las coordenadas que se buscan.(

5 31 1

)= α

(1 00 0

)+ β

(1 10 0

)+ γ

(1 11 0

)+ δ

(0 00 1

)=

(α+ β + γ β + γ

γ δ

).

Luego las coordenadas son α = 2, β = 2, γ = 1 y δ = 1.



SEMINARIO II.

1.3. Suma, interseccion y suma directa de subespacios.10. Sea F el subespacio de R3 generado por (1, 1,−1) y G el subespacio de ecuaciones

3x− y = 0, 2x+ z = 0. Determinar F ∩G.

11. Considerense los siguientes subespacios de R4: E1 =< (1, 0,−1, 0), (2,−1, 2, 0), (3,−2, 3, 0) > yE2 =< (0, 1, 1, 0), (1, 1, 3, 0), (−2, 1, 1, 1) >.a) Calcular bases y dimensiones de E1, E2, E1 + E2, E1 ∩ E2.b) ¿Se verifica que R4 = E1 ⊕ E2?c) Calcula dos subespacios suplementarios diferentes de E1.

12. Se consideran los subespacios de R4 generados por los siguientes vectores:

E1 =< (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1) >, E2 =< (1,−1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1) >

Se pide:a) Hallar las dimensiones de E1, E2, E1 + E2, E1 ∩ E2.b) Estudiar si E1 + E2 = R4.c) ¿E1 y E2 son subespacios suplementarios?

13. Sean E y E′ dos subespacios de R3 definidos por:

E = {(a, b, c) : a = b = c} , E′ = {(0, b, c) : b, c ∈ R}Demostrar que R3 = E ⊕ E′.

14. Sea E = M(2,R) el R-espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes enR y sea V el subconjunto de E definido por:

V ={(

x yz t

)∈ E : 2x− y + t = 0, x = z

}.

a) Probar que V es un subespacio vectorial de E y calcular su dimension y una base.

b) Calcular las coordenadas de la matriz(

1 01 −2

)∈ V en la base elegida en el apartado anterior.

c) Calcular un suplementario de V .

15. Sean los subespacios de C3:

E =⟨(1, 2i,−1 + i), (2, 0, 1 + 2i)

⟩y

F =⟨(3 + i, 1− i, 1), (−3, 1 + 4i, 5i)

⟩.

Describe E+F y E ∩F . ¿Estan E y F en suma directa? ¿Pertenece e = (i, 2 + 2i, 1− 3i) a algunode estos subespacios?

16. Sea E = 〈1, x, x2, x3〉 el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3 y seaV = {p(x) ∈ E : p(1) = 0} .a) Probar que V es un subespacio de E y calcular su dimension y una base.b) Calcular las coordenadas del polinomio x2 − 3x + 2 ∈ V respecto de la base del apartado

anterior.c) Encuentra un subespacio suplementario de V .

4



ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO II.11. Considerense los siguientes subespacios de R4: E1 =< (1, 0,−1, 0), (2,−1, 2, 0), (3,−2, 3, 0) > y

E2 =< (0, 1, 1, 0), (1, 1, 3, 0), (−2, 1, 1, 1) >.a) Calcular bases y dimensiones de E1, E2, E1 + E2, E1 ∩ E2.b) ¿Se verifica que R4 = E1 ⊕ E2?c) Calcula dos subespacios suplementarios diferentes de E1.

Solucion:

a) El menor

∣∣∣∣∣∣1 2 30 −1 −2−1 2 3

∣∣∣∣∣∣ es no nulo y por lo tanto dimR E1 = 3 y los vectores dados forman

base. Analogamente se demuestra que dimR E2 = 3 y de nuevo los vectores dados forman basede E2. Para calcular una base de E1 + E2 observemos que:∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 −20 −1 −2 1−1 2 3 10 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0 ,

luego dimR(E1 + E2) = 4 y una base esta formada por los vectores:

{(1, 0,−1, 0), (2,−1, 2, 0), (3,−2, 3, 0), (−2, 1, 1, 1)} .Utilizando la formula de la dimension:

dimR(E1 + E2) = dimR E1 + dimR E2 − dimR(E1 ∩ E2)

se sigue que dimR(E1∩E2) = 2. Como (0, 1, 1, 0) y (1, 1, 3, 0) son dos vectores L.I. que estan enE2 y en E1 (pues el determinante de la matriz que forma cada uno de ellos con los vectores dela base de E1 es nulo) y la dimension de E1∩E2 es 2, entonces forman base de la interseccion:

E1 ∩ E2 = 〈(0, 1, 1, 0), (1, 1, 3, 0)〉b) Para que R4 = E1 ⊕ E2 ha de verificarse que R4 = E1 + E2 y E1 ∩ E2 = {0}. Por el

apartado anterior es cierto que R4 = E1 + E2, pero dimR(E1 ∩ E2) = 2. Luego no es ciertoque R4 = E1 ⊕ E2.

c) Para calcular un suplementario a E1 basta con ampliar su base a una de R4, para lo cuales suficiente con dar un vector de R4 de modo que el determinante de la matriz que formacon los 3 vectores de la base de E1 sea no nulo. Se deduce entonces que los subespaciosV1 = 〈(−2, 1, 1, 1)〉 y V2 = 〈(0, 0, 0, 1)〉 son dos subespacios suplementarios distintos de E1, esdecir:

E1 ⊕ V1 = R4 y E1 ⊕ V2 = R4 .

16. Sea E = 〈1, x, x2, x3〉 el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3 y seaV = {p(x) ∈ E : p(1) = 0} .a) Probar que V es un subespacio de E y calcular su dimension y una base.b) Calcular las coordenadas del polinomio x2 − 3x + 2 ∈ V respecto de la base del apartado

anterior.c) Encuentra un subespacio suplementario de V .

Solucion:a) Por definicion, todos los polinomios en V tienen la raız 1, luego si p(x) ∈ V se puede escribir:

p(x) = (x− 1) · p(x)

donde p(x) es un polinomio de grado menor o igual a 2. Denotemos R2[x] al R-espacio vectorialde los polinomios de grado menor o igual a 2 con coeficientes en R.Sean entonces p(x), q(x) ∈ V (es decir, p(x) = (x − 1) · p(x) y q(x) = (x − 1) · q(x) conp(x), q(x) ∈ R2[x]) y veamos que para todos λ, µ ∈ R se verifica que:

λp(x) + µq(x) ∈ V .Si denotamos h(x) = λp(x) +µq(x), basta ver que h(x) = (x− 1)h(x) donde h(x) ∈ R2[x]. Enefecto:

h(x) = λp(x) + µq(x) = λ(x− 1)p(x) + µ(x− 1)q(x) = (x− 1)(λp(x) + µq(x)

)



donde h(x) = λp(x) + µq(x) es un polinomio de grado menor o igual a 2 por ser R2[x] unR-espacio vectorial. En consecuencia, V es subespacio vectorial de E.Si {1, x, x2} es una base de R2[x], como todo polinomio p(x) ∈ V se escribe (x − 1)p(x) conp(x) ∈ R2[x], se deduce que {(x− 1), (x− 1)x, (x− 1)x2} es una base de V y su dimension esentonces 3.

b) El polinomio x2 − 3x + 2 ∈ V se expresa de modo unico como combinacion lineal de loselementos de la base {(x− 1), (x− 1)x, (x− 1)x2} de V :

2− 3x+ x2 = α(x− 1) + β(x− 1)x+ γ(x− 1)x2 = −α+ (α− β)x+ (β − γ)x2 + γx3

Luego: α = −2, β = 1 y γ = 0. De otro modo:

x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2) = −2(x− 1) + (x− 1)x = (−2, 1, 0) .

c) Expresando en coordenadas los vectores de la base de V , {(−1, 1, 0, 0), (0,−1, 1, 0), (0, 0,−1, 1)}(recordemos que la base de E la tomamos en el orden {1, x, x2, x3}), para calcular un sumple-mentario a V hemos de completar esta base hasta una base de R4.Denotemos:

A =

−1 0 0 01 −1 0 00 1 −1 00 0 1 1

Como |A| 6= 0, el vector (0, 0, 0, 1) (i.e. el polinomio x3) es L.I. a los vectores de la base de Vy por lo tanto S = 〈(0, 0, 0, 1)〉 = 〈x3〉 es un suplementario a V .



SEMINARIO III.

2. Aplicaciones lineales

2.1. Ejemplos y tipos de aplicaciones lineales.17. Estudia cuales de las siguientes aplicaciones son lineales:

a) T : R2 → R2, T (x, y) = (x+ y, 12x− y).

b) T : R2 → R3, T (x, y) = (−x+ 4y, x− 2y, x2 + y2).c) T : R3 −→ R3, T (x1, x2, x3) = (x2

1, 0, x2 + x3).d) T : R2[x]→ R2, T (a+ bx+ cx2) = (−a+ b, 2a+ 3b−

√2c).

e) T : Mat2×2(R)→ R2[x],

T

((a11 a12

a21 a22

))= a21 + a22 + (2a11 − a21)x+ (a12 + 3a22)x2.

f ) T : R3[x] −→ R3[x], T (p(x)) = xp′(x).g) det : Mat2×2(R)→ R, det(A) = ad− bc donde A =

(a bc d

).

h) tr : Matn×n(k)→ k, tr(A) =n∑

i=1

aii donde A = (aij).

18. En R3[x] sea la aplicacion T : R3[x] → R3[x] definida por T(p(x)

)= (x − 3)p′(x). Prueba que T

es una aplicacion lineal.

2.2. Nucleo e imagen de una aplicacion lineal.

19. Sea R3 f−→ R2 la aplicacion definida por:

f(x, y, z) = (x− y + z, x+ y − z)Probar que es una aplicacion lineal y calcular bases y dimension del nucleo y la imagen. ¿Esepiyectiva?


T (x, y, z) = (y − z,−x+ 4z, y + z)


21. Sea la aplicacion T : Mat2×2(R)→ R3 definida por:

T

((a bc d

))= (a+ 2c+ d, a+ 3b+ 5c− 7d, a− b+ c− d) .

Prueba que T es lineal. Calcula su nucleo e imagen.22. Sobre el espacio vectorial E de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales, se consi-

dera la aplicacion T : E → E definida por:

T

(a bc d

)=(

5a− 3b 6a− 4b−a+ 9

2b+ 3c− 2d 6a− 3b− d

)Probar que T es lineal y calcular su nucleo y su imagen.

7



ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO III.18. En R3[x] sea la aplicacion T : R3[x] → R3[x] definida por T

(p(x)

)= (x − 3)p′(x). Prueba que T

es una aplicacion lineal.

Solucion: Por definicion, T es una aplicacion lineal si verifica:

T(λp(x) + µq(x)

)= λT

(p(x)

)+ µT

(q(x)

)∀p(x), q(x) ∈ R3[x], ∀λ, µ ∈ R.

Si denotamos h(x) = λp(x) + µq(x) ∈ R3[x] (R3[x] es R-espacio vectorial) se tiene que h′(x) =λp′(x) + µq′(x) y por lo tanto:

T(λp(x) + µq(x)

)= T

(h(x)

) def. T= (x− 3)h′(x) = (x− 3)

(λp′(x) + µq′(x)

)=

= λ(x− 3)p′(x) + µ(x− 3)q′(x)def. T

= λT(p(x)

)+ µT

(q(x)

)20. Sea T : R3 → R3 la aplicacion definida por:

T (x, y, z) = (y − z,−x+ 4z, y + z)


Solucion: T es lineal si:

T(λ(x, y, z) + µ(x′, y′, z′)

)= λT (x, y, z) + µT (x′, y′, z′) ∀(x, y, z), (x′, y′, z′) ∈ R3, ∀λ, µ ∈ R.

Por definicion de suma de vectores y producto por escalares en R3 (es R-espacio vectorial):

λ(x, y, z) + µ(x′, y′, z′) = (λx+ µx′, λy + µy′, λz + µz′)

Luego:

T(λ(x, y, z) + µ(x′, y′, z′)

)= T (λx+ µx′, λy + µy′, λz + µz′)

def. T=

=((λy + µy′)− (λz + µz′),−(λx+ µx′) + 4(λz + µz′), (λy + µy′) + (λz + µz′)

)=

=(λ(y − z) + µ(y′ − z′), λ(−x+ 4z) + µ(−x′ + 4z′), λ(y + z) + µ(y′ + z′)

)=

= λ(y − z,−x+ 4z, y + z) + µ(y′ − z′,−x′ + 4z′, y′ + z′)def. T

=

= λT (x, y, z) + µT (x′, y′, z′).

Para calcular el nucleo y la imagen de T calcularemos primero la matriz asociada a T en la basecanonica {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Por definicion, las columnas de la matriz son las imagenes delos 3 vectores {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Y como:

T (1, 0, 0) = (0,−1, 0) , T (0, 1, 0) = (1, 0, 1) , T (0, 0, 1) = (−1, 4, 1) ,

la matriz asociada a T en la base canonica es:

A =

0 1 −1−1 0 40 1 1

Se tiene que el rango de A es la dimension de la Imagen de T , y como |A| = 2 6= 0:

dimRIm T = rg(A) = 3

y una base de Im T esta formada por los vectores {T (1, 0, 0), T (0, 1, 0), T (0, 0, 1)}. Luego en par-ticular T es epiyectiva. Por la formula de la dimension:

dimRR3 = dimRKerT + dimRIm T

se sigue que dimRKerT = 0 y por tanto KerT = {0}. En particular T es inyectiva y en consecuenciaes un isomorfismo.



SEMINARIO IV.

2.3. Matriz asociada a una aplicacion lineal. Cambios de base.23. Calcular la matriz asociada a la aplicacion lineal

f : R3 → R2

(x, y, z) 7→ (x+ 3y − 2z, y − z)en las bases {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} de R3 y {(1,−1), (1, 1)} de R2.

24. Considerese la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f(x, y, z) = (2x + y,−z, 0). Calcular sumatriz y a partir de ella:a) Determinar ker f y hallar una base de dicho subespacio.b) Hallar Imf y el rango de f .c) ¿Pertenece (6,−2, 0) al ker f?.

25. Sea E un espacio vectorial de dimension 3 y {e1, e2, e3} una base del mismo. Un endomorfismo Tde E verifica que:

T (e1) = e1 + e2, T (e3) = e3, kerT =< e1 + e2 >

Deducir la matriz de T y calcular ImT , kerT 2 y kerT 3.

26. Calcular la matriz de la aplicacion lineal T : R3 → R3 tal que T (1, 0, 0) = (0, 1, 0) y cuyo nucleoesta generado por los vectores (0, 1, 1), (1, 0, 1), (2, 1, 3).

27. Sea T : R3 →Mat2×2(R) la aplicacion lineal T (x, y, z) =(

y − z z − xx+ 2y − z 2x+ y

). Se pide:

a) Calcula la matriz de T en las bases usuales.b) Sean las bases C = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (−1, 0, 0)} de R3 y C ′ =

{( 0 1

0 1 ) ,(

1 −10 0

), ( 1 0

2 1 ) , ( 0 02 1 )

}de

Mat2×2(k). Calcula la matriz de T en estas bases.

28. Sea B = {u1, u2, u3} una base del espacio vectorial E.a) Probar que los vectores u′1 = 2u1 − u2 + u3, u

′2 = u1 + u3, u

′3 = 3u1 − u2 + 3u3 forman una

base de E.b) Calcular las coordenadas del vector u = u1 − 4u3 en la base de (a).c) Hallar las coordenadas respecto de la base inicial del vector v = −2u′1 + 3u′2 + u′3.


2 −1 41 0 3−1 2 2

. Hallar la

matriz de T en la base {e′1, e′2, e′3} siendo:

e1 = e′1, e2 =12e′2, e3 = e′3 + e′1 −

12e′2

30. Considera la aplicacion:

f : R2[x] −→ R2[x]

p(x) 7→ p(−1) + p(1)(x− 1) + p(0)(x− 1)2

a) Demuestra que f es lineal.b) Da la matriz de f asociada a la base estandar {1, x, x2}.c) Da la matriz de f asociada a la base B′ = {−1, (x− 1), (x− 1)2}.d) Da las coordenadas en la base B′ del vector f

((2, 1, 1)B′

).

9



ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO IV.24. Considerese la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f(x, y, z) = (2x + y,−z, 0). Calcular su

matriz y a partir de ella:a) Determinar ker f y hallar una base de dicho subespacio.b) Hallar Imf y el rango de f .c) ¿Pertenece (6,−2, 0) al ker f?.

Solucion: Sea {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} la base canonica de R3. La matrizasociada a f en la base canonica de R3 es aquella cuyas columnas son las imagenes de los vetores{e1, e2, e3}, y como:

f(e1) = (2, 0, 0) , f(e2) = (1, 0, 0) , f(e3) = (0,−1, 0)

la matriz es:

A =

2 1 00 0 −10 0 0

a) Calculemos una base de Kerf .

Kerf := {(x, y, z) ∈ R3 | f(x, y, z) = (0, 0, 0)} def. f= {(x, y, z) ∈ R3 | (2x+ y,−z, 0) = (0, 0, 0)} =

= {(x, y, z) ∈ R3 | 2x+ y = 0, z = 0} = {(x,−2x, 0) |x ∈ R} = 〈(1,−2, 0)〉

b) Como |A| = 0 y∣∣∣∣1 00 −1

∣∣∣∣ 6= 0 se tiene que dimRIm f = rg(A) = 2 y una base es:

Im f = 〈f(e2), f(e3)〉

c) El vector (6,−2, 0) no pertence al nucleo pues f(6,−2, 0) = (10, 0, 0) 6= (0, 0, 0).30. Considera la aplicacion:

f : R2[x] −→ R2[x]

p(x) 7→ p(−1) + p(1)(x− 1) + p(0)(x− 1)2

a) Demuestra que f es lineal.b) Da la matriz de f asociada a la base estandar {1, x, x2}.c) Da la matriz de f asociada a la base B′ = {−1, (x− 1), (x− 1)2}.d) Da las coordenadas en la base B′ del vector f

((2, 1, 1)B′

).

Solucion:a) Demostraremos que es lineal por partes. Veamos primero que:

f(λp(x)

)= λf

(p(x)

)∀p(x) ∈ R2[x] , ∀λ ∈ R.

En efecto:

f(λp(x)

)= λp(−1) + λp(1)(x− 1) + λp(0)(x− 1)2 =

= λ(p(−1) + p(1)(x− 1) + p(0)(x− 1)2

)= λf

(p(x)

).

Comprobemos ahora que:

f(p(x) + q(x)

)= f

(p(x)

)+ f

(q(x)

)∀p(x), q(x) ∈ R2[x], ∀λ, µ ∈ R.

f(p(x) + q(x)

)= p(−1) + q(−1) +

(p(1) + q(1)

)(x− 1) +

(p(0) + q(0)

)(x− 1)2 =

= p(−1) + p(1)(x− 1) + p(0)(x− 1)2 + q(−1) + q(1)(x− 1) + q(0)(x− 1)2 =

= f(p(x)

)+ f

(q(x)

).

Luego f es lineal.b) Las columnas de la matriz A asociada a f son las imagenes de {1, x, x2}.

f(1) = 1 + 1 · (x− 1) + 1 · (x− 1)2 = 1− x+ x2 ≡ (1,−1, 1)

f(x) = −1 + 1 · (x− 1) + 0 · (x− 1)2 = −2 + x ≡ (−2, 1, 0)

f(x2) = 1 + 1 · (x− 1) + 0 · (x− 1)2 = x ≡ (0, 1, 0)



Es decir:

A =

1 −2 0−1 1 11 0 0

.

c) Se tiene el siguiente diagrama:

R3{1,x,x2}

A // R3{1,x,x2}

C−1

��R3

B′

C

OO

A′ // R3B′

donde C =

−1 −1 10 1 −20 0 1

es la matriz de cambio de base de la base nueva:

B′ = {−1, (x− 1), (x− 1)2} = {(−1, 0, 0), (−1, 1, 0), (1,−2, 1)}

a la base antigua {1, x, x2}. Su inversa vale C−1 =

−1 −1 −10 1 20 0 1

.

La matriz de f en la base B′ es:

A′ = C−1 ·A · C =

1 2 −4−1 0 0−1 −1 1

.

d) Las coordenadas en la base B′ del vector f((2, 1, 1)B′

)son:

f((2, 1, 1)B′

)= A′ ·

211

=

1 2 −4−1 0 0−1 −1 1

211

=

0−2−2

.



SEMINARIO V.

3. Espacio dual. Subespacio incidente. Ecuaciones parametricas e implıcitas.

3.1. Ecuaciones parametricas e implıcitas.31. Se consideran los siguientes subespacios de R3 generados por:

E1 = 〈(1, 0, 1), (0, 1, 0)〉 , E2 = 〈(1, 3, 2)〉Hallar las ecuaciones parametricas e implıcitas de dichos subespacios.

32. Se consideran los siguientes subespacios de R4 generados por:

E1 = 〈(1, 0, 1, 0), (1, 2, 3, 0)〉 , E2 = 〈(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)〉Hallar las ecuaciones parametricas e implıcitas de dichos subespacios.

3.2. Espacio dual. Subespacio incidente.33. Comprueba que {e1 = (0, 1, 1), e2 = (1, 0, 0), e3 = (2,−1, 0), } es una base de R3 y calcula su base

dual.

34. Sean las formas lineales de R3:

ω1(x, y, z) = x+ 2y + 3z, ω2(x, y, z) = x+ 6y + 8z y ω3(x, y, z) = x+ 10y + 14z.

Demuestra que {ωi}3i=1 forma una base de (R3)∗. Calcula las coordendas de la forma linealω(x, y, z) = 3x+ 4y + 10z en dicha base.

35. Dados los siguientes subespacios de R4:

V = 〈(1,−1, 2, 1)〉 , V ′ = 〈(1,−1, 2, 1), (2, 0,−1,−1)〉 y V ′′ = 〈(1,−1, 2, 1), (2, 0,−1,−1), (3, 3, 1, 0)〉Calcula una base de cada uno de los incidentes y analiza si la forma lineal ω(x1, x2, x3, x4) =

2x1 − x2 − 3x3 + 3x4, pertenece a alguno de esos incidentes.

36. Sea {e1, e2, e3} una base de un R-espacio vectorial E y {ω1, ω2, ω3} su base dual. Sea la aplicacionlineal T : E∗ → E definida por:

T (ω1) = e1 − e2, T (ω2) = 2e1 + e2 + e3, T (ω3) = 3e2 + e3.

Calcula bases de kerT , Im T , (kerT )◦ y (Im T )◦.

37. Sea E un R-espacio vectorial de dimension 3, {e1, e2, e3} una base de E y {ω1, ω2, ω3} su basedual.a) Dados los subespacios V =< e1 − e2, 2e1 − e3 > y V ′ =< 2e2 + e3, e1 + e2 + e3 >, calcula una

base de (V ∩ V ′)◦ y las ecuaciones implıcitas y parametricas de V ∩ V ′.b) Demuestra que las formas lineales {ω1, ω2, ω3} definidas por

ω1(e) = x+ y + z, ω2(e) = y − 2z, ω3(e) = x+ y

para cada vector e = xe1 + ye2 + ze3, forman una base del espacio dual E∗. Calcula una base{e1, e2, e3} de E cuya base dual sea {ω1, ω2, ω3}.

c) Calcula las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 en la base {e1, e2, e3} y el incidente delsubespacio < u > en funcion de {ω1, ω2, ω3}.

12



ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO V.32. Se consideran los siguientes subespacios de R4 generados por:

E1 = 〈(1, 0, 1, 0), (1, 2, 3, 0)〉 , E2 = 〈(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)〉

Hallar las ecuaciones parametricas e implıcitas de dichos subespacios.

Solucion:Ecuaciones de E1 = 〈(1, 0, 1, 0), (1, 2, 3, 0)〉 ⊂ R4.En primer lugar observemos que los vectores u = (1, 0, 1, 0), v = (1, 2, 3, 0) no son proporcio-nales, luego forman base de E1. Teniendo en cuenta que todo vector de E1 se expresa de modounico como combinacion lineal de u y v se tiene que un vector e = (x, y, z, t) ∈ R4 pertenecea E1 si y solo si e = λu+ µv (donde λ, µ ∈ R). Escribir esta relacion en coordenadas es dar laecuacion parametrico-vectorial de E1:

(x, y, z, t) = λ(1, 0, 1, 0) + µ(1, 2, 3, 0) .

Las ecuaciones parametricas de E1 son por tanto:

x = λ+ µ

y = 2µz = λ+ 3µt = 0

Daremos ahora las ecuaciones implıcitas de E1 de dos formas, en primer lugar usando la teorıadel rango. Recordemos que un vector e de R4 esta en E1 si e = λu+ µv, o equivalentemente,si e es combinacion lineal de u y v, y por lo tanto (como u y v son base de E1) si rg(e, u, v) =rg(u, v) = 2. En coordenadas:

rg

x y z t1 0 1 01 2 3 0

= 2 .

Luego fijado un menor de orden 2 no nulo (que nos da la dimension de E1), por ejemplo∣∣∣∣1 01 2

∣∣∣∣ 6= 0, esta condicion equivale a la anulacion de dos menores de orden 3:∣∣∣∣∣∣x y z1 0 11 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 0

∣∣∣∣∣∣x y t1 0 01 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 0

que son las ecuaciones implıcitas de E1, y que simplificando resultan:

x+ y − z = 0 t = 0 .

Calculemos ahora utilizando el subespacio incidente a E1. La dimension de◦E1 es 2 (la formula

de la dimension dice que dimR◦E1 = dimR R4 − dimR E1), y se tiene:

E◦1 : = {ω = (α, β, γ, δ) ∈ R4,∗ |ω(u) = 0 y ω(v) = 0} =

= {(α, β, γ, δ) |α+ γ = 0, , α+ 2β + 3γ = 0} = 〈(1, 1,−1, 0), (0, 0, 0, 1)〉 = 〈θ1, θ2〉

Por reflexividad tenemos que E1 = (◦E1

)◦, luego un vector e = (x, y, z, t) ∈ R4 yace en E1 siy solo si:

θ1(x, y, z, t) = 0 y θ2(x, y, z, t) = 0 ,

es decir, si y solo si:x+ y − z = 0 y t = 0 .

Ecuaciones de E2 = 〈(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)〉 = 〈u1, u2, u3〉 ⊂ R4. Es facil comprobarque rg(u1, u2, u3) = 3 y por lo tanto estos vectores forman base de E2. Se tiene entonces queun vector cualquiera e = (x, y, z, t) de E2 es de la forma:

(x, y, z, t) = α(1, 1, 0, 0) + β(1, 0, 1, 0) + γ(1, 1, 1, 1) , con α, β, γ ∈ R .



En consecuencia las ecuaciones parametricas de E2 son:

x = α+ β + γ

y = α+ γ

z = β + γ

t = γ

Como dimR◦E2 = dimR R4−dimR E2 = 4−3 = 1, entonces E2 viene descrito por una ecuacion

implıcita, que se deduce directamente de las ecuaciones parametricas anteriores:

x− y − z + t = 0 .

37. Sea E un R-espacio vectorial de dimension 3, {e1, e2, e3} una base de E y {ω1, ω2, ω3} su basedual.a) Dados los subespacios V =< e1 − e2, 2e1 − e3 > y V ′ =< 2e2 + e3, e1 + e2 + e3 >, calcula una

base de (V ∩ V ′)◦ y las ecuaciones implıcitas y parametricas de V ∩ V ′.b) Demuestra que las formas lineales {ω1, ω2, ω3} definidas por

ω1(e) = x+ y + z, ω2(e) = y − 2z, ω3(e) = x+ y

para cada vector e = xe1 + ye2 + ze3, forman una base del espacio dual E∗. Calcula una base{e1, e2, e3} de E cuya base dual sea {ω1, ω2, ω3}.

c) Calcula las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 en la base {e1, e2, e3} y el incidente delsubespacio < u > en funcion de {ω1, ω2, ω3}.

Solucion:a) Se tiene que {v1 = (1,−1, 0), v2 = (2, 0,−1)} y {v′1 = (0, 2, 1), v′2 = (1, 1, 1)} son bases de V

y V ′ respectivamente (pues no son proporcionales). Dado que nos piden calcular tambien lasecuaciones parametricas, calculemos una base de V ∩ V ′. Teniendo en cuenta que los vectores{v1, v2, v

′1} forma base de V + V ′ (pues det(v1, v2, v

′1) 6= 0) y la formula de la dimension:

dimR(V + V ′) = dimRV + dimRV′ − dimR(V ∩ V ′) ,

se deduce que dimR(V ∩ V ′) = 1, y dado que v′2 − v′1 = v1 se tiene que:

V ∩ V ′ = 〈v1〉 = 〈(1,−1, 0)〉 .En consecuencia, todo vector u = (x, y, z) de V ∩ V ′ se escribe como u = λv1 (con λ ∈ R) ylas ecuaciones parametricas de V ∩ V ′ son:

x = λ , y = −λ , z = 0 .

Por otra parte tenemos que:

dimR(V ∩ V ′)◦ = dimRR3 − dimR(V ∩ V ′) = 3− 1 = 2 ,

luego dos sera el numero de ecuaciones implıcitas que definen V ∩V ′, y como de las ecuaciones(parametricas) anteriores se deduce que:

x+ y = 0 , z = 0

se concluye que estas son precisamente las ecuaciones implıcitas de V ∩ V ′.Por ultimo, dadas las ecuaciones implıcitas se sigue que {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de(V ∩ V ′)◦.

b) Las coordenadas de la formas ω1, ω2 y ω3 en la base {ω1, ω2, ω3} son:

ω1 = (1, 1, 1) , ω2 = (0, 1,−2) , ω3 = (1, 1, 0) .

Como la dimension del espacio dual E∗ es 3 y det(ω1, ω2, ω3) 6= 0 se sigue que dichas formaslineales forma base de E∗.Para calcular una base {e1, e2, e3} de E dual de {ω1, ω2, ω3} observemos en primer lugar queya tenemos la matriz de cambio de base de {ω1, ω2, ω3} a {ω1, ω2, ω3}:

E∗{ω1,ω2,ω3} → E∗{ω1,ω2,ω3} C =

1 0 11 1 11 −2 0

.



El morfismo E∗{ω1,ω2,ω3} → E∗{ω1,ω2,ω3} induce un morfismo entre los espacios vectoriales duales(morfismo transpuesto) E{e1,e2,e3} → E{e1,e2,e3} (por reflexividad E∗∗ ' E y donde {e1, e2, e3}es la base dual de {ω1, ω2, ω3} que buscamos) cuya matriz asociada es Ct.Por definicion de matriz asociada respecto de una pareja de bases, las columnas de la ma-triz Ct expresan los vectores ei en funcion de los ej , que es justo lo contrario a lo que nospide el ejercicio. Por lo tanto nos interesa conocer la matriz de E{e1,e2,e3} → E{e1,e2,e3}, queprecisamente es:

(Ct)−1 =

−2 −1 32 1 −21 0 −1

.

Se concluye entonces que:

e1 = (−2, 2, 1) , e2 = (−1, 1, 0) , e3 = (3,−2,−1)

es la base dual de {ω1, ω2, ω3}.c) Las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 = (1,−1, 1) en la base {e1, e2, e3} son:

E{e1,e2,e3} → E{e1,e2,e3}

u = (1,−1, 1) 7→ Ct ·

1−11

=

1 1 10 1 −21 1 0

· 1−11

=

1−30

.

Se tiene ası que u = e1 − 3e2, luego:◦〈u〉 = {ω ∈ E∗{ω1,ω2,ω3} | ω(u) = 0} = {ω = (α, β, γ) ∈ E∗{ω1,ω2,ω3} |α− 3β = 0} =

= 〈(3, 1, 0), (0, 0, 1)〉 = 〈3ω1 + ω2, ω3〉 .



SEMINARIO VI.

4. Geometrıa Afın.

38. Calcular las ecuaciones parametricas e implıcitas de la subvariedad afın de R3 cuyo vector deposicion es (2, 1,−2) y cuyo subespacio director viene definido por la ecuacion 3x− 2y + z = 0.

39. Calcular las ecuaciones parametricas e implıcitas de la subvariedad afın de R4 cuyo vector de posi-cion es (1, 1, 1, 0) y cuyo subespacio director esta generado por los vectores (1, 1, 1, 1), (0, 1, 0,−1).

40. Dados los planos definidos por las siguientes ecuaciones:

π1 : x+ z = 1

π2 : x+ y + z = 1a) Demostrar que se cortan en una recta y calcular las ecuaciones parametricas de la interseccion.b) Calcular la ecuacion del plano que pasa por el punto P = (1, 0, 1) y la interseccion π1 ∩ π2.

41. Hallar las ecuaciones de la recta que esta contenida en el plano x+ y+ z = 4, es paralela al planox− y + z = 0 y pasa por el punto (2, 1, 1).

42. Calcular las ecuaciones implıcitas de las subvariedad afın de R4 que pasa por el punto (1, 0, 2, 3)y cuyo subespacio director es la imagen de la aplicacion lineal:

T : R4 → R4

(x, y, z, t) 7→ (x+ z − t,−x+ y + t,−y − z, z)43. Estudiar la posicion relativa de los siguientes planos segun los valores del parametro a ∈ R:

π1 : ax+ 2y + 6z = 0 , π2 : 2x+ ay + 4z = 2 , π3 : 2x+ ay + 6z = a− 2 .

44. Hallese la ecuacion de la mınima subvariedad afın de R4 que contiene a las rectas:

r1 ≡

2x− y = 0x+ z = 0

3z − t = 0r2 ≡

x+ y − 3 = 0

2x− z + 1 = 0t = 0

45. Sean r1, r2 y r3 las siguientes rectas en R3:

r1 ≡{x+ y + x = 0x+ 2y = 0

r2 ≡{ 2x+ 2y + z = 0

x+ y = 2r3 ≡

{ 2x+ 3y + z = 2y − z = 0

a) Demostrar que r1 y r3 son paralelas y que r2 se cruza con ambas.b) Calcular las ecuaciones parametricas e implıticas de un plano paralelo a las tres rectas.

16



ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO VI.

44. Hallese la ecuacion de la mınima subvariedad afın de R4 que contiene a las rectas:

r1 ≡

2x− y = 0x+ z = 0

3z − t = 0r2 ≡

x+ y − 3 = 0

2x− z + 1 = 0t = 0

Solucion: Dadas las ecuaciones implıcitas se tiene:

r1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x− y = 0 , x+ z = 0 , 3z + t = 0} = {(x, y, z, t) | y = 2x , z = −x , t = −3x} =

= {(x, 2x,−x,−3x) |x ∈ R} = (0, 0, 0, 0) + 〈(1, 2,−1,−3)〉 = e0 + 〈v1〉 .

Analogamente:

r2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 |x+ y − 3 = 0 , 2x− z + 1 = 0 , t = 0} = {(x, y, z, t) | y = 3− x , z = 1 + 2x , t = 0} =

= {(x, 3− x, 1 + 2x, 0) |x ∈ R} = (0, 3, 1, 0) + 〈(1,−1, 2, 0)〉 = e′0 + 〈v2〉 .

Por definicion, la mınima subvariedad afın que contiene a r1 y r2 es la subvariedad afın suma:

r1 + r2 = e0 + 〈e0 − e′0, v1, v2〉 = (0, 0, 0, 0) + 〈(0,−3,−1, 0), (1, 2,−1,−3), (1,−1, 2, 0)〉

(luego es un subespacio de R4, pues pasa por el origen) y su dimension es rg(e0 − e′0, v1, v2) = 3(es un hiperplano en R4). Se tiene entonces que un vector e = (x, y, z, t) ∈ R4 vive en r1 + r2 si ysolo si e = λ(e0− e′0) +µv1 +ηv2 (con λ, µ, η ∈ R), y por lo tanto sus ecuaciones parametricas son:

x = µ+ η

y = −3λ+ 2µ− ηz = −λ− µ+ 2ηt = −3µ

Por al formula de la dimension:

dimR(r1 + r2)◦ = dimRR4 − dimR(r1 + r2) = 4− 3 = 1

se tiene que r1 + r2 viene definida por una ecuacion implıcita, que deduciremos calculando elincidente a r1 + r2.

(r1 + r2)◦ = {w = (α, β, γ, δ) ∈ R4,∗ |w(e0 − e′0) = 0 , w(v1) = 0 , w(v2) = 0} =

= {(α, β, γ, δ) ∈ R4,∗ | − 3β − γ = 0 , α+ 2β − γ − 3δ = 0 , α− β + 2γ = 0} =

= {(7β, β,−3β, 4β) |β ∈ R} = 〈(7, 1− 3, 4)〉

Luego la ecuacion implıcita de r1 + r2 es 7x+ y − 3z + 4t = 0.

45. Sean r1, r2 y r3 las siguientes rectas en R3:

r1 ≡{x+ y + z = 0x+ 2y = 0

r2 ≡{ 2x+ 2y + z = 0

x+ y = 2r3 ≡

{ 2x+ 3y + z = 2y − z = 0

a) Demostrar que r1 y r3 son paralelas y que r2 se cruza con ambas.b) Calcular las ecuaciones parametricas e implıticas de un plano paralelo a las tres rectas.

Solucion: Antes de contestar, calculemos los vectores de posicion y los subespacios directoresde las rectas. Procediendo de modo similar al ejercicio anterior se tiene:

r1 = 〈(−2, 1, 1)〉 , r2 = (2, 0,−4) + 〈(−1, 1, 0)〉 , r1 = (1, 0, 0) + 〈(−2, 1, 1)〉.

y sus ecuaciones parametricas son:

r1 = {x = −2λ, y = λ, z = λ} , r2 = {x = 2− α, y = α, z = −4} , r3 = {x = 1− 2β, y = β, z = β} ,

con λ, α, β ∈ R.



a) Dado que los subespacios directores de r1 y r3 son el mismo y una pasa por el origen, mientrasque la otra no, se deduce que r1 y r3 son paralelas.Para comprobar que r2 y r1 se cruzan observemos que como sus subespacios directores no sonproporcionales las dos rectas no son paralelas, luego basta ver que no se cortan. En efecto,si se cortaran existirıan un punto (x, y, z) ∈ R3 satisfaciendo las ecuaciones parametricas deambas rectas, pero como el sistema:

−2λ = 2− α , λ = α , λ = −4

no tiene solucion, r1 y r2 no se cortan (y tampoco son paralelas), luego se cruzan.Con el mismo razonamiento se sigue que el sistema:

2− α = 1− 2β , α = β , −4 = β

no tiene solucion, luego r2 y r3 no se cortan, y como sus subespacios directores no estancontenidos el uno en el otro, tampoco son paralelas. Ası pues r2 y r3 tambien se cruzan.

b) Por definicion de paralelismo, el subespacio director Vπ de un plano π paralelo a las tres rectastendra que contener a los tres subespacios directores de las rectas, y como el de r1 y r3 son elmismo se tiene:

Vπ = 〈(−2, 1, 1), (−1, 1, 0)〉 .Para que π que no contenga a ninguna de las rectas basta con encontrar un punto P que nopase por ninguna de ellas, por ejemplo P = (0, 1, 0). Es decir;

π = P + Vπ = (0, 1, 0) + 〈(−2, 1, 1), (−1, 1, 0)〉 .Sus ecuaciones parametricas son:

x = −2λ− µ , y = 1 + λ+ µ , z = λ .

Y una ecuacion implıcita de π es x+ y + z = 1.



Ejercicios tipo test de las lecciones 1 y 2.

1. El vector e = (−1, 0, λ) esta en el plano generado por los vectores u = (1, 2, 1) yv = (1, 3, 0)

(a) Si λ = −3(b) Para cualquier valor de λ(c) En ningun caso.

2. Sea E ′ el subespacio de R3 generado por los vectores (2, 1, 0) y (1, 0,−2). Solo una de lasafirmaciones siguientes es falsa:

(a) E ′ = 〈(2, 1, 0), (1, 0,−2)〉(b) E ′ = 〈(2, 1, 0), (1, 1, 2)〉(c) E ′ = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x− 4y + 3z = 0}(d) E ′ = {(2λ+ µ, λ,−2µ) ∈ R3 : λ, µ ∈ R}

3. Los valores de α y β para los que el vector (α, 1, 5, β) ∈ R4 pertenece al subespaciogenerado por los vectores (1, 0, 2, 1) y (2, 1,−1, 0) son:

(a) α = β = 5(b) α = 5 , β = 3(c) α = 3 , β = 5

4. Dados los vectores u = (2, 1, 1) y v = (1, 1, 1) de R3, solo una de las afirmaciones siguienteses cierta:

(a) Un suplementario de 〈u, v〉 es el subespacio 〈(1, 0, 0)〉.(b) Los vectores e1 = (1, 0, 0), u y v forman una base de R3.(c) Un suplementario de 〈u, v〉 es el subespacio 〈(0, 0, 1)〉.

5. Dadas las matrices

(1 00 0

),

(1 20 1

),

(0 01 0

),

(0 21 1

), solo una de las afirmaciones

siguientes es cierta:

(a) Son linealmente independientes.(b) Generan un subespacio de M(2× 2,R) de dimension 3.(c) Forman una base de M(2× 2,R).

6. Los valores de λ y µ para los que las matrices

(1 2 30 1 −1

)y

(2 λ µ0 2 −2

)no son lineal-

mente independientes son:

(a) λ = 2 , µ = 3(b) λ = 4 , µ = 6(c) λ = µ = 3

7. Sea V =

{(2a− 3b a+ ba+ b 3b− 2a

), con a, b ∈ R

}. Solo una de las afirmaciones siguientes

es cierta:

(a) V es un subespacio de M(2× 2,R) de dimension 4.(b) V es un subespacio de M(2× 2,R) de dimension 2.(c) V es un subespacio de M(2× 2,R) de dimension 3.

1


8. Sea V el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que 3 que son divisibles porx− 1. Solo una de las afirmaciones siguientes es cierta:

(a) V no tiene estructura lineal.(b) V es un subespacio vectorial de E = 〈1, x, x2, x3〉 de dimension 2.(c) V es un subespacio vectorial de E = 〈1, x, x2, x3〉 de dimension 3.

9. Sea E un espacio vectorial de dimension n y sean E1, E2 subespacios de E de dimensionesn1 y n2 respectivamente. Es cierto que:

(a) Si E = E1 + E2, se verifica E1 ∩ E2 = {0}(b) Si n = n1 + n2, entonces E = E1 ⊕ E2

(c) Si E = E1 + E2, se verifica n = n1 + n2

(d) Si E = E1 + E2, se verifica n ≤ n1 + n2

10. Sea E = 〈1, x, x2〉 el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2y sea E ′ = {p(x) ∈ E : p(1) = p(2)}. Solamente una de las afirmaciones siguientes es cierta:

(a) E ′ no es un subespacio vectorial de E.(b) E ′ = 〈1, x2 − 3x〉(c) E ′ es un subespacio vectorial de E de dimension 1.(d) E ′ es un subespacio de dimension 2 de E y esta generado por los polinomios {1, 2x}.

11. En R3 considerense el subespacio E ′ = 〈(1, 2,−1), (1, 3, 2)〉 y el vector e = (a+ 2b, b, a).Solo una de las afirmaciones siguientes es cierta:

(a) e ∈ E ′ si y solo si a = 11 y b = −8(b) e ∈ E ′ para todos los valores reales de a y b tales que 8a+ 11b = 0.(c) e ∈ E ′ si a = 8 y b = −11(d) e ∈ E ′ cualesquiera que sean los valores reales de a y b.

12. Dados los vectores u = (3, 0,−1, 2), v = (1, 1, 1,−2) y w = (0, 1, 0, 3), cuyas coordenadasestan referidas a la base {e1, e2, e3, e4} de R4, indica cual de las siguientes afirmaciones esfalsa:

(a) Los vectores {u, e2, e3, e4} forman una base de R4.(b) El subespacio 〈u, v〉 es un suplementario del subespacio 〈e3, e4〉.(c) El subespacio 〈u, v, w〉 es un suplementario del subespacio 〈e4〉.(d) El subespacio 〈e1, e2〉 es un suplementario del subespacio 〈u, v〉.

13. Sea E =

{(a bc d

)∈M(2× 2,R) : b = c

}. Decide cual de las siguientes afirmaciones

es cierta:

(a) E es un espacio vectorial de dimension 2. ;(b) E no tiene estructura lineal.(c) E es un espacio vectorial de dimension 3. ;(d) E es un espacio vectorial de dimension 4.

14. Dados los vectores u1 = (1,−1, 0), u2 = (2, 1, 0), u3 = (0, 1, 1) de R3, indica cual de lassiguientes afirmaciones es cierta:

(a) Los vectores {u1, u2, u3} forman una base de R3. En esta base las coordenadas delvector v = (3,−2,−2) son v = (1, 1,−2).

(b) No forman base.(c) Los vectores {u1, u2, u3} forman una base de R3. En esta base las coordenadas del

vector v = (3,−2,−2) son v = (1,−1,−2).


15. Considerense los siguientes subespacios de R3:E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0, x+ 2y + z = 0} ; E2 = 〈(2,−1, 1), (0, 1,−1)〉Es cierto que:

(a) R3 = E1 + E2 ;(b) dimE1 = dimE2 = 2(c) E1 ∩ E2 = 〈(1,−1, 1)〉(d) E1 y E2 son subespacios suplementarios.

16. Dadas las matrices A, B ∈ M(n × n,R), si detB 6= 0 el determinante de la matrizB−1 · A ·B es igual a:

(a) detA

(b)1

detA(c) detA · detB

17. Las coordenadas del vector e = (1, 2, 3) ∈ R3 respecto de la base u1 = (0, 1, 1), u2 =(−1, 0, 1), u3 = (1, 1, 1) son:

(a) (0, 1, 2)(b) (0, 2, 1)(c) (1, 0, 2)

18. La expresion de la matriz

(2 −21 5

)respecto de la base{

A1 =

(1 −10 1

), A2 =

(0 10 0

), A3 =

(0 00 1

), A4 =

(0 11 0

)}de M(2× 2,R) es:

(a) 2A1 + 3A2 − A3 + A4

(b) 2A1 − A2 + 3A3 + A4

(c) Las matrices A1, A2, A3, A4 no forman base.

19. En la base {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 0, 2)} las coordenadas del vector e son (1, 2, 3). ¿Cualesson sus coordenadas en la base {(0, 0, 1), (0,−1, 0), (1, 1, 0)}?

(a) (−9, 4, 2)(b) (9,−4,−2)(c) (9,−4, 2)

20. Considerense los subespacios de R3:

E1 = 〈(1, 0, 1)〉 , E2 = {(x, y, z) : x+ y + z = 0}Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) E1 ⊕ E2 = R3.(b) Un suplementario de E2 es el subespacio generado por el vector (1, 0, 0).(c) E1 y E2 no son subespacios suplementarios.(d) E1 es una recta que corta al plano E2 en el origen.

21. Considerense los subespacios de R4:

E1 = 〈(1,−1, 0, 1)〉 , E2 = 〈(−1,−1, 1, 1), (3,−1,−1, 1)〉Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) E1 ∩ E2 = {(0, 0, 0, 0)}(b) E1 + E2 = E2

(c) E1 ⊂ E2

(d) Una base de E1 + E2 es la formada por los vectores (1,−1, 0, 1) y (3,−1,−1, 1).


22. Sea A ∈M(n×n,R) tal que A ·At = I. Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) A es invertible.(b) detA = ±1.(c) A−1 = At

(d) A no es invertible.

23. Sea S el subconjunto de M(2×2,R) formado por las matrices simetricas (A = At). Solouna de las afirmaciones siguientes es cierta:

(a) S es un espacio vectorial de dimension 2 y una base de S es

{(0 11 0

),

(1 00 1

)}(b) S es un espacio vectorial de dimension 3 y una base de S es{(

0 10 0

),

(0 01 0

),

(1 00 1

)}(c) S es un espacio vectorial de dimension 3 y una base de S es{(

1 00 0

),

(0 00 1

),

(0 11 0

)}(d) S no es un espacio vectorial.

24. En el espacio vectorial M(2× 2,R), considerese el subespacio vectorial V generado por

las matrices A1 =

(1 1−1 1

)y A2 =

(1 −11 1

). Si A =

(4 00 4

), solo una de las afirmaciones

siguientes es cierta:

(a) dimV = 1 ; b) A /∈ V(b) A ∈ V y sus coordenadas respecto de la base {A1, A2} de V son (4, 4).(c) A = 2A1 + 2A2, es decir, A ∈ V y sus coordenadas en la base {A1, A2} de V son

(2, 2).

25. Dada la matriz

(6 −83 −4

), para n > 1 se verifica:

(a) An = 2nA(b) An = 2n−1A(c) An = (−2)nA(d) An = (−2)n−1A

26. Dadas las matrices A =

1 −1 2−1 2 12 1 0

, B =

1 0 10 2 −2−1 2 3

. Solo una de las afirma-

ciones siguientes es falsa:

(a) A es simetrica y B es hemisimetrica.(b) A es simetrica pero B no es hemisimetrica.(c) A es simetrica y A− At es hemisimetrica.(d) B no es hemisimetrica y B +Bt es simetrica.

27. Sea λ ∈ R y A =

1 2 0λ λ+ 1 λ− 11 0 2

. Solo una de las afirmaciones siguientes es cierta:

(a) A es invertible para λ ∈ R− {1}.(b) A no tiene inversa, independientemente del valor que tome λ.(c) A es invertible si λ 6= 0.


28. Si A =

1 0 10 1 01 0 1

, su potencia n-esima es:

(a) An =

n 0 n0 1 0n 0 n

(b) No se puede calcular.

(c) An =

2n−1 0 10 1 01 0 2n−1

(d) An =

2n−1 0 2n−1

0 1 02n−1 0 2n−1

29. Dada la ecuacion matricial AX +B = C con A =

(1 12 1

), B =

(1 1 01 2 1

),

C =

(0 1 11 1 3

). Solo una de las afirmaciones siguientes es cierta:

(a) No tiene solucion.

(b) Tiene solucion y es la matriz

(1 −1 1−2 1 0

).

(c) Tiene solucion y es

(1 −2 3−1 1 −1

).

(d) Tiene infinitas soluciones.



Soluciones de los ejercicios tipo test de las lecciones 1 y 2

1. (a) ; 2. (c) ; 3. (b) ; 4. (c) ; 5. (b) ; 6. (b) ; 7. (b) ; 8. (c) ; 9. (d) ; 10. (b)

11. (b) ; 12. (d) ; 13. (c) ; 14. ( a) ; 15. (c) ; 16. (a) ; 17. (a) ; 18. (b) ; 19. (b) ; 20. (c)

21. (a) ; 22. (d) ; 23. (c) ; 24. (d) ; 25. (b) ; 26. (a) ; 27. (b) ; 28. (d) ; 29. (b)

1



Aplicaciones lineales. Matrices. Sistemas lineales. Cambios de base

1. La matriz asociada a la aplicacion lineal

T : R3 → R3

(x, y, z) 7→ (x+ 2y, z + y, x− z)

respecto de la base usual en R3 es:

a)

1 2 00 1 11 0 −1

; b)

1 0 12 1 01 0 1

; c)

1 2 01 1 01 0 −1

2. Sea f : R3 → R3 un endomorfismo cuya matriz asociada respecto de la base {e1, e2, e3}

es

1 1 14 1 41 0 1


a) f es inyectiva. ; b) f es epiyectiva. ; c) f no es inyectiva y la dimension de ker f es 1.

3. Sea λ un parametro real y considerese el endomorfismo

T : R3 → R3

(x, y, z) 7→ (x− y, λx+ y − z, 2x+ 2y − z)

T es un isomorfismo solo si:a) λ = 3 ; b) λ 6= 3 ; c) Para cualquier valor de λ.

4. Sea la aplicacion lineal

T : R3 → R3

(x, y, z) 7→ (y − z,−x+ 4z, y − z)

Indica cual de las afirmaciones siguientes es falsa:a) dim ImT = 2, dim kerT = 1b) ImT = 〈(0,−1, 0), (1, 0, 1)〉, kerT = 〈(1, 1, 1)〉c) ImT = 〈(−1, 4,−1), (1, 0, 1)〉, kerT = 〈(4, 1, 1)〉

5. Sea E = 〈1, x, x2, x3〉 el espacio de los polinomios de grado menor que 4 y considerese laaplicacion lineal derivada:

D : E → E

p(x) 7→ p′(x)

Solo una de las afirmaciones siguientes es cierta:a) D es un isomorfismo. ; b) ImD = 〈1, x, x2〉 , kerD = 〈1〉.c) ImD ∩ kerD = {0} ; d) E = ImD + kerD

6. Dadas las matrices A, B ∈ M(n × n,R), si detB 6= 0 el determinante de la matrizB−1 · A ·B es igual a:

a) detA ; b)1

detA; c) detA · detB

1


7. Sea T : R3 → R3 la aplicacion lineal de matriz asociada en la base {e1, e2, e3} la matriz

A =

1 2 31 −1 11 0 2

. Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

a) T (e1 + e2) = 3e1 + e3 ; b) kerT = 0c) ImT = 〈(1, 1, 1), (2,−1, 0)〉 ; d) T es un isomorfismo.

8. Sea {e1, e2, e3} una base de R3 y sea T : R3 → R3 la aplicacion lineal definida por:

T (e1) = e2 + e3 , kerT = 〈e1 − e2〉 , T (e3) = e1

La matriz de T respecto de la base {e1, e2, e3} es:

a)

0 0 01 −1 01 1 1

; b)

0 1 10 1 10 0 1

; c)

0 0 01 1 01 1 1

; d)

0 0 11 1 01 1 0

9. En la base {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 0, 2)} las coordenadas del vector e son (1, 2, 3). ¿Cualesson sus coordenadas en la base {(0, 0, 1), (0,−1, 0), (1, 1, 0)}?a) (−9, 4, 2) ; b) (9,−4,−2) ; c) (9,−4, 2)

10. Si A =

1 −1 00 1 12 0 2

es la matriz de T : R3 → R3 en la base {e1, e2, e3}, la matriz de T

en la basee1 = e1 − e2 , e2 = e1 + e2 + e3 , e3 = e2 − 2e1 es:

a) A =

1 −1 00 1 12 0 2

−1

·

1 1 −2−1 1 10 1 0

·1 −1 0

0 1 12 0 2

b) A =

1 1 −2−1 1 10 1 0

−1

·

1 −1 00 1 12 0 2

· 1 1 −2−1 1 10 1 0

c) A =

1 1 −2−1 1 10 1 0

·1 −1 0

0 1 12 0 2

· 1 1 −2−1 1 10 1 0

−1

11. Sea f : R2 → R2 la aplicacion lineal definida por f(1, 3) = (−5, 6) y f(2,−1) = (1, 3).Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) La matriz de f respecto de las bases {u1 = (1, 3), u2 = (2,−1)} y {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}

de R2 es:

(−5 16 3

)b) La matriz de f respecto de las bases {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} y {v1 = (−5, 6), v2 = (1, 3)}

de R2 es:

(1 00 1

)c) La matriz de f respecto de la base {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} de R2 es:(

−5 16 3

)·(

1 23 −1

)−1

d) La matriz de f respecto de las bases {u1 = (1, 3), u2 = (2,−1)} y {v1 = (−5, 6), v2 =

(1, 3)} de R2 es:

(1 00 1

)12. Sea E el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y sea T elendomorfismo de E definido por:

T (a+ bx+ cx2) = a− b+ (2b− c)x+ (a+ b− c)x2


Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

a) La matriz de T respecto de la base {1, x, x2} de E es:

1 −1 00 2 −11 1 −1

b) La matriz de T respecto de la base {1, x2, x} de E es:

1 0 −10 −1 11 −1 2

c) La matriz de T respecto de la base {1, x2, x} de E es:

1 0 −11 −1 10 −1 2

c) La matriz de T respecto de la base {x2, x, 1} de E es:

−1 1 1−1 2 00 −1 1

13. Sea T el endomorfismo de R3 de ecuaciones

x+ 2y − z = x

x + z = y

− z = z


ciones siguientes es falsa:a) La matriz de T es invertible.b) T deja invariante la recta 〈(1,−1, 0)〉.c) La restriccion de T al subespacio 〈(1,−1, 0)〉 es una homotecia de razon -1.d) kerT = 〈(1,−1, 0)〉.

14. Sea A ∈M(n×n,R) tal que A ·At = I. Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) A es invertible. ; b) detA = ±1. ; c) A−1 = At ; d) A no es invertible.

15. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y sea

D : E → E

p(x) 7→ p′(x)

el operador derivada. Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

a) La matriz de D respecto de la base {1, x, x2} de E es

0 1 00 0 20 0 0

.

b) kerD = 〈1〉, ImD = 〈1, x〉.c) kerD2 = 〈1, x〉, ImD2 = 〈1〉.

d) La matriz de D respecto de la base {1, x, x2} de E es

0 1 00 0 10 0 0

.

16. Dada la matriz

(6 −83 −4

), para n > 1 se verifica:

a) An = 2nA ; b) An = 2n−1A ; c) An = (−2)nA ; d) An = (−2)n−1A

17. Dada la ecuacion matricial AX = B con A =

(1 20 1

), B =

(0 1 1−1 0 2

). Solo una de

las afirmaciones siguientes es cierta:

a) No tiene solucion. b) Tiene solucion y es la matriz

(0 1 1−1 −2 0

).

c) Tiene solucion y es

(2 1 −3−1 0 2

). d) Tiene infinitas soluciones.


18. Dadas las matrices A =

1 −1 2−1 2 12 1 0

, B =

1 0 10 2 −2−1 2 3


ciones siguientes es falsa:a) A es simetrica y B es hemisimetrica. b) A es simetrica pero B no es hemisimetrica.c) A es simetrica y A−At es hemisimetrica. d) B no es hemisimetrica y B+Bt es simetrica.

19. Dado el sistema lineal:ax+ y + z = a

x+ ay + z = a2

x+ y + az = a3

Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) Si a = 0 solo tiene la solucion trivial.b) Si a ∈ R− {1,−2} el sistema es compatible determinado.c) Si a = 1 el sistema tiene infinitas soluciones.d) Si a = −2 el sistema es compatible e indeterminado con grado de indeterminacion 2.

20. Si A =

1 0 10 1 01 0 1

, su potencia n-esima es:

a) An =

n 0 n0 1 0n 0 n

; b) No se puede calcular.

c) An =

2n−1 0 10 1 01 0 2n−1

; d) An =

2n−1 0 2n−1

0 1 02n−1 0 2n−1

21. Sea λ ∈ R y A =

1 2 0λ λ+ 1 λ− 11 0 2


a) A es invertible para λ ∈ R− {1}.b) A no tiene inversa, independientemente del valor que tome λ.c) A es invertible si λ 6= 0.

22. Dada la ecuacion matricial AX +B = C con A =

(1 12 1

), B =

(1 1 01 2 1

),

C =

(0 1 11 1 3

). Solo una de las afirmaciones siguientes es cierta:

a) No tiene solucion. b) Tiene solucion y es la matriz

(1 −1 1−2 1 0

).

c) Tiene solucion y es

(1 −2 3−1 1 −1

). d) Tiene infinitas soluciones.

23. Dado el sistemax+ y − λz = −λx+ y + z = 1

−3x+ (λ+ 1)y + 2z = 3

Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) Para λ ∈ R− {−1,−4} el sistema tiene solucion unica.b) Si λ = −1 el sistema tiene infinitas soluciones.c) Si λ = −4 el sistema no tiene solucion.d) Si λ = 4 la unica solucion del sistema es x = 0, y = 0, z = 1.



Soluciones de los ejercicios tipo test de las lecciones 3 y 4

1. (a) ; 2. (c) ; 3. (b) ; 4. ( b) ; 5. (b) ; 6. (a) ;

7. (c) ; 8. (d) ; 9. (b) ; 10. (b) ; 11. (b); 12. ( b) ;

13. (d) ; 14. (d) ; 15. (d) ; 16. (b) ; 17. (c) ; 18. (a) ;

19. (d) ; 20. (d) ; 21. (b) ; 22. (b) ; 23. (d) ;

1



ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA. 10 FISICAS

El espacio dual. Geometrıa afın.

1. Sea E un R-espacio vectorial de dimension 2 y {e1, e2} una base de E con base dual{ω1, ω2}.La base dual {ω1, ω2} de la base {e1 = e1 − e2, e2 = e1 + e2} de E es:a) {ω1 = ω1 − ω2 , ω2 = ω1 + ω2}b) {ω1 = ω1 + ω2 , ω2 = ω1 − ω2}c) {ω1 =

1

2ω1 −

1

2ω2 , ω2 =

1

2ω1 +

1

2ω2}

2. Sea E un R-espacio vectorial de dimension 3. Sea {e1, e2, e3} una base de E y {ω1, ω2, ω3}su base dual. Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) Los vectores e1 = 2e1 + e3 , e2 = e2 − e1 , e3 = e1 + e3 forman una base de E cuya basedual es:

{ω1 = ω1 + ω2 − ω3 , ω2 = ω2 , ω3 = −ω1 − ω2 + 2ω3}b) Las formas lineales ω1 = ω1 + ω2 , ω2 = ω3 , ω3 = ω1 − ω2 + ω3 forman una base de E∗,que es la base dual de la base

{e1 =1

2e1 +

1

2e2 , e2 = −1

2e1 +

1

2e2 + e3 , e3 =

1

2e1 −

1

2e2}

c) Las formas lineales ω1, ω2, ω3 ∈ E∗ de coordenadas respecto de la base {ω1, ω2, ω3} deE∗: ω1 = (0, 1, 0) ,ω2 = (−1, 0, 0) , ω3 = (1, 0, 1) forman una base de E∗, la base dual de

{e1 = (0, 1, 0) , e2 = (−1, 0, 1) , e3 = (0, 1, 1)}d) Los vectores de coordenadas e1 = (1, 0, 0), e2 = (0,−1, 1), e3 = (1, 1, 0) respecto de labase {e1, e2, e3}, forman una base de E cuya base dual es:

{ω1 = ω1 − ω2 − ω3 , ω2 = ω2 , ω3 = ω2 + ω3}3. Sea E = 〈1, x, x2〉 el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 2y sea {ω1, ω2, ω3} la base dual de {1, x, x2}. Considerese la base de E determinada por lospolinomios 2 + x2 , x− 1 , 1 + x2. Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) La base dual de la base {2 + x2 , x− 1 , 1 + x2} es:

{ω1 = ω1 + ω2 − ω3 , ω2 = ω2 , ω3 = −ω1 − ω2 + 2ω3}b) Las coordenadas de la forma lineal ω = ω1−ω2+ω3 en la base dual de {2+x2 , x−1 , 1+x2}son ω = (3,−2, 2).c) Si {ω1, ω2, ω3} es la base dual de {2 + x2 , x − 1 , 1 + x2}, las coordenadas de la formalineal ω = ω1 + ω2 en la base {ω1, ω2, ω3} son ω = (1, 2, 3).

4. Sea {e1, e2, e3} una base de E y sea T : E → E la aplicacion lineal definida por:

T (e1) = e1 − e3 , 2e1 + e2 ∈ kerT , T (e3) = e1 + e2

La matriz del morfismo traspuesto T ∗ : E∗ → E∗ respecto de la base dual de {e1, e2, e3} es:

a)

1 −2 10 0 1−1 2 0

; b)

1 0 −1−2 0 21 1 0

; c)

1 0 −12 0 −21 1 0

1


5. En R3 solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

a) Unas ecuaciones implıcitas de la recta r = 〈(1,−1, 1)〉 son. r ≡

{x+ y = 0

x− z = 0.

b) La ecuacion implıcita del plano π = 〈(1, 0, 2), (0, 1, 1)〉 es π ≡ 2x− y − z = 0.

a) Unas ecuaciones implıcitas de la recta r = 〈(1,−1, 1)〉 son. r ≡

{x+ y = 0

y + z = 0.

6. En R3 solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) El subespacio incidente del plano π ≡ x− y + z = 0 es π◦ ≡ 〈(1,−1, 1)〉.b) El subespacio incidente con la recta r = 〈(2, 1,−1)〉 es r◦ = 〈(1, 2, 0), (1, 0, 2)〉.

c) El subespacio incidente con la recta r ≡

{x+ z = 0

y + z = 0es r◦ = 〈(1, 0, 1), (0, 1, 1)〉.

d) El subespacio incidente con la recta r ≡ x

2= y = −z es r◦ = 〈(1, 0, 2), (1,−2, 0)〉.

7. Sea E un espacio vectorial de dimension finita y E1 , E2 subespacios vectoriales de E.Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) E1

◦◦ = E1 , b) (E1+E2)◦ = E◦1 +E◦2 , c) (E1∩E2)

◦ = E◦1 +E◦2 , d) (E1+E2)◦ = E◦1∩E◦2

8. Sean E1 y E2 los siguientes subespacios de R3

E1 = 〈(1, 0, 2), (0,−1, 1)〉 ; E2 = 〈(−1, 1, 0), (1, 1, 1)〉Solo una de las afirmaciones siguientes es falsaa) dimE1 = dimE2 = 2 ; b) E◦1 = 〈(−2, 1, 1)〉 , E◦2 = 〈(1, 1,−2)〉c) E1 + E2 = R3 , E1 ∩ E2 = 〈(1, 1, 1)〉 ; d) E1 + E2 = R3 , E1 ∩ E2 = {(0, 0, 0)}

9. Sea E1 el subespacio de R4 generado por los vectores u1 = (1, 0, 1, 0), u2 = (0,−1, 2, 1),U3 = (1, 1,−1,−1).Solo una de las afirmaciones siguientes es cierta:a) Su subespacio incidente es E◦1 = 〈(−1, 1, 1,−1)〉b) Su ecuacion implıcita es E1 ≡ x− y − z + t = 0c) Su subespacio incidente es E◦1 = 〈(1,−2,−1, 0), (0, 1, 0, 1)〉

d) Sus ecuaciones implıcitas son E1 ≡

{x− 2y − z + t = 0

y + t = 0

10. Sea E1 el subespacio de R4 de ecuaciones implıcitas

x− y + t = 0

2x+ y + z = 0

x− y − z − t = 0Es falso que:a) E◦1 = 〈(1,−1, 0, 1), (2, 1, 1, 0), (1,−1,−1,−1)〉b) E◦1 = 〈(1,−1, 0, 1), (2, 1, 1, 0), (3, 0, 0,−1)〉c) E1 es el subespacio generado por el vector e = (1, 4,−6, 3)d) E◦1 = 〈(1,−1, 0, 1), (2, 1, 1, 0), (1, 2, 1,−1)〉

11. Se consideran en R4 los subespacios vectoriales E1 y E2 generados, respectivamente, porlos vectores {(1, 1, 1, 1), (1,−1, 1,−1)} y {(1, 1, 0, 1), (1, 2,−1, 2), (3, 5,−2, 5)}.Es cierto que:

a) Las ecuaciones implıcitas de E1 son

{x+ y + z + t = 0

x− y + z − t = 0

b) El subespacio incidente con E2 esta generado por la forma lineal ω = (1,−1,−1, 0).c) Los subespacios incidentes de E1 y E2 son respectivamente:

E◦1 = 〈(1, 0,−1, 0), (0, 1, 0,−1)〉 ; E◦2 = 〈(0, 1, 1,−1)〉


d) La ecuacion implıcita de E1 + E2 es y − t = 0.

12. Considerense los siguientes subespacios de R3

E1 = 〈(2, 1, 1), (1, 1, 1)〉 ; E2 ≡ x− y + z = 0

Es cierto que:a) E1 ∩ E2 = 〈(0, 1,−1)〉 b) E1 y E2 son planos paralelos.

c) E1 y E2 se cortan en la recta de ecuaciones implıcitas E1 ∩ E2 ≡

{y − z = 0

x− y + z = 0

13. Sea r la recta de R3 que pasa por el punto P = (1, 2, 3) y cuyo subespacio directoresta generado por el vector e = (−1, 1, 1).Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

a) Las ecuaciones parametricas de r son

x = 1− λy = 2 + λ

z = 3 + λ

b) Unas ecuaciones implıcitas de r son

{x+ y = 3

x+ z = 4

c) Todo punto (x, y, z) ∈ r satisface las ecuacionesx− 1

−1= y − 2 = z − 3

d) Unas ecuaciones implıcitas de r son

{x+ y = 0

x+ z = 0

14. Sea π el plano de R3 que pasa por el punto P = (0, 1,−3) y cuyo subespacio directoresta generado por los vectores u1 = (1, 1, 0) y u2 = (0,−1, 1).Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

a) Unas ecuaciones parametricas de π son

x = λ

y = 1 + λ+ µ

z = −3− µb) La ecuacion implıcita de π es π ≡ x− y − z = 2.c) π es el plano paralelo al plano de ecuacion x−y−z = 0 que pasa por el punto A = (3, 1, 0).d) π es el plano paralelo al plano de ecuacion x−y−z = 0 que pasa por el punto A = (1, 0, 1).

15. Sea π′ el plano de R4 que pasa por el punto P = (0, 1, 2, 3) y que es paralelo al planoπ = (1, 2, 0, 1) + 〈(0, 1, 1,−1), (−1, 0, 1, 0)〉.Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) El subespacio director de π′ esta generado por los vectores u1 = (0, 1, 1,−1), u2 =(−1, 0, 1, 0).b) Las ecuaciones parametricas de π′ son:

x = µ

y = 1− λz = 2− λ− µt = 3 + λ

c) El plano π′ es paralelo al plano de ecuaciones implıcitas

{x− y + z = 0

y + t = 0

d) Unas ecuaciones implıcitas de π′ son

{x− y + z = 2

y + t = 4

16. Sean r y π una recta y un plano de R4 que pasan por el origen. Es falso que:


a) La recta r es paralela al plano π precisamente si la direccion de r coincide con una de alsdirecciones del plano π.b) La recta r es paralela al plano π si y solo si el subespacio director del plano π contieneal subespacio director de la recta r.c) Sea {ω, ω′} es una base del subespacio incidente de π, π◦ = 〈ω, ω′〉 y r = 〈e〉. La condicionnecesaria y suficiente para que r y π sean paralelos es que se verifique:

ω(e) = ω′(e) = 0

d) El plano π es paralelo a la recta r si el subespacio incidente de π contiene al subespacioincidente de r.

17. Sean r y s las rectas de R4 definidas por:

r ≡ x

3= y + 1 =

z

2=t− 1

2; s = (−1, 3, 0, 1) + 〈(3, 1, 2, 1)〉

Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) Las rectas r y s no son paralelas.

b) La recta r es paralela al plano π ≡{x+ y − z − t = 1

x− y − z = 3c) La recta s es paralela al plano π′ de ecuaciones parametricas:

x =1 + 3µ

y =λ+ µ

z =− 2 + 2µ

t =1 + λ+ µ

d) La recta s es paralela al plano π ≡{x+ y − z − t = 0

x− y − z = 2

18. Dados los planos π ≡ x + y + z = 1, π′ ≡ 2x − y + 2z = 2 y los puntos A = (2, 1, 3),B = (2, 3, 1). L aecuacion del plano π′′ que pasa por la interseccion de los planos π y π′ ypor el punto medio del segmento AB es:a) π′′ ≡ x− y + z = 1 ; b) π′′ ≡ 2x+ 2y − 3z = 2c) π′′ ≡ 2x− 3y + 2z = 2 ; d) π′′ ≡ x+ 2y + z = 1

19. Dada la recta r que pasa por el punto P = (1, 1, 1), esta contenida en el plano π ≡x + y + z = 3 y es paralela al plano 2x − y = 3. Solo una de las afirmaciones siguientes esfalsa:

a) r ≡

{−x+ 2y + z = 2

2x− y = 1; b) r ≡ x =

y + 1

2=z − 4

−3

c) r ≡ x− 1 =y − 1

2=z − 1

−3; d) r ≡

{x+ y + z = 3

3x+ z = 1

20. La ecuacion del plano que contiene a la recta r ≡ x = y = z − 2 y es paralelo a la recta

s ≡

{x− y = 1

x+ y − z = 0es:

a) x− y + z = 2 ; b) x = y ; c) x− y = 2 ; d) x− y − z = 2

21. Las ecuaciones de la recta r coplanaria con la recta s ≡ x− 1

2= y = z − 3, que pasa

por el origen y es paralela al plano x+ 2y + z = 1 son:

a) r ≡

{x+ 2y + z = 0

3x− 5y − z = 0; b) r ≡ x

3=y

4=

z

11


c) r ≡ x

3=

y

−4=

z

−11; d) r ≡

{x+ 2y + z = 0

4x+ 3y = 0

22. Las ecuaciones de la recta s que pasa por el punto P = (1, 2, 1) y se apoya en las rectas

r ≡ x− 1

2= y − 1 =

z − 1

3y r′ ≡

{x+ y − z = 0

y − z = 0son:

a) s ≡

{2x+ y + 3z = 7

x+ y − z = 0; b) s ≡

{x− y + z = 1

3x− 2z = 0

c) s ≡

{3x− 2z = 1

x− y + z = 0; d) s ≡

{x+ 2y − 2z = 0

3x− 2z = 1

23. Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

a) La recta r ≡

{x− 3y + 2z = 1

2x+ y − z = 0esta contenida en el plano π ≡ 3x− 2y + z = 1

b) La recta r ≡

{x− y − 3z = 1

2x− 2z = 4y el plano π ≡ x+ y + z = 2 son paralelos.

c) Las rectas r ≡ x

3=y − 1

1=z − 1

4y s ≡

{4x− 3z + 3 = 0

4x+ y − 3z = −1son coplanarias.

d) La interseccion del plano π ≡ 2x− 3y + z = 0 con la recta r ≡

{x− y − z = −1

y − 3z = −2es el

punto P = (1, 1, 1).

24. Dadas las rectas r ≡

{x− y = 2

2x− y − z = 3y s ≡

x = 2

y = 1− 3λ

z = 2 + 2λ


ciones siguientes es falsa:a) La mınima subvariedad afın que contiene a r y a s es R3.b) La recta r esta contenida en el plano 5x− 2y − 3z = 7 y la recta s esta contenida en elplano 5x− 2y − 3z = 2.c) Las rectas r y s son coplanarias.d) Las rectas r y s se cruzan.

25. El valor de λ para que el plano π ≡ 2x + λy − z = 2 sea paralelo a la recta r ≡ x

2=

y + 1 = z − 2 es:a) λ = −1 ; b) λ = 0 ; c) λ = −3 ; d) λ = 1

26. Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) La ecuacion del plano π que contiene a la recta r ≡ x = y = z y es paralelo a la recta

s ≡

{x+ y = 1

x− z = 2es π ≡ x− z = 0.

b) La ecuacion del plano π que pasa por los puntos A = (1,−1, 2), B = (2, 1, 1) y C = (1, 2, 1)es π ≡ x+ y + 3z − 6 = 0.c) La ecuacion de la recta r que pasa por el punto P = (3,−1, 2) y es paralela a los planos

π y π′ de ecuaciones π ≡ x+ y − z = 2, π′ ≡ 2x− y − z = 1 es r ≡

{x+ y − z = 0

2x− y − z = 5.

d) La ecuacion del plano π que pasa por el punto P = (0, 3, 1) y contiene a la recta r ≡{x+ y − z = 0

2x− y − z = 3es π ≡ x+ y − z = 2.


27. Sean α y β numeros reales y considerense la recta r ≡

{x+ y + z = β

2x− y + z = 1y el plano

π ≡ αx+ y + 2z = −1.Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

a) Si α =5

2y β = −1 la recta r esta contenida en el plano π.

b) La recta r y el plano π son paralelos para α =5

2y cualquier valor de β.

c) Si α 6= 5

2y β 6= −1 la recta r y el plano π se cortan en un unico punto.

d) La recta r y el plano π no tienen ningun punto en comun para α =5

2y cualquier valor

de β.

28. En R4 solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) Dos planos se pueden cortar en una recta.b) Dos planos se pueden cortar en un punto.c) Dos hiperplanos se pueden cortar en una recta.d) Dos hiperplanos se pueden cortar en un plano.


x+ y = 1

y − z = 0

z + t = 1

; s ≡

x = −3− λy = −1

z = 4 + λ

t = 7 + λ

Solo una de las afirmaciones

siguientes es falsa:a) La mınima subvariedad afın que las contiene es el hiperplano de ecuacion x+ z = 1.b) Las recats r y s se cortan en el punto P = (2,−1,−1, 2).

c) La mınima subvariedad afın que las contiene es el plano de ecuaciones

{x+ z = 1

x+ 2y + t = 2.

d) La mınima subvariedad afın que las contiene esH ≡ (0, 1, 1, 0)+〈(0,−1, 0, 2), (−1, 0, 1, 1)〉.

30. Considerense las subvariedades afines de R4:

H ≡ (1, 0, 0, 1) + 〈(−1, 1, 1,−1)〉 H ′ ≡ (0,−1, 1, 4) + 〈(−1, 0, 1, 1), (3, 0,−3,−3)〉Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) H ∩H ′ = P = (2,−1,−1, 2)

b) H +H ′ ≡

{2y − z + t = 1

x+ z = 1

c) H +H ′ ≡ (1, 0, 0, 1) + 〈(0, 1, 0,−2), (1, 0, 1, 1)〉d) H +H ′ ≡ (0,−1, 1, 4) + 〈(−1, 1, 1,−1), (−2, 1, 2, 0)〉

31. La mınima subvariedad afın de R4 que pasa por los puntos A = (0, 1, 0, 1),B = (0, 0, 0, 0),C = (1, 2, 3, 2), D = (1,−1, 3,−1) es:a) R4

b) El hiperplano de ecuacion 3x+ y − z − t = 0.c) El plano π ≡ 〈(1, 1, 3, 1), (1,−1, 3,−1)〉

d) El plano de ecuaciones

{3x− z = 0

y + t = 0

32. Dadas las subvariedades afines de R4 definidas por los puntos

H = {(0,−1, 0, 1), (1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)} , H ′ = {(−2, 1, 1, 0), (−3, 0, 0, 1)}Solo una de las afirmaciones siguientes es cierta:


a) H es un hiperplano que contiene a la recta H ′.b) H es un plano que se cruza con la recta H ′.c) H ′ es una recta que corta al plano H en el punto P = (1, 7, 7,−5).

d) H ∩H ′ = (1

2,7

2,7

2,−5

2) , H +H ′ ≡ z + t = 1.

33. Dados los planos de R4 π ≡

{x+ y − z = 0

x− z + t = 2y π′ ≡

{x+ z = 4

y + t = 6. Solo una de las

afirmaciones siguientes es cierta:a) Se cortan en la recta de ecuaciones x− 1 = y − 2 = z − 3 = t− 4.b) Se cortan en el punto P = (1, 2, 3, 4)c) Son paralelas.d) Se cruzan.

34. Dados dos hiperplanos H y H ′ de R4, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) H y H ′ se pueden cortar en un plano.b) H y H ′ pueden ser paralelos y no coincidentes.c) H y H ′ se pueden cortar en una recta.d) La mınima subvariedad afın que los contiene puede ser R4.


x = 2 + 3λ

y = 1− λz = −1 + 2λ

t = 3− 2λ

; s ≡

x = 7λ

y = 1

z = 1 + λ

t = −1 + 2λ


ciones siguientes es cierta:

a) La recta que se apoya en ambas y pasa por el origen es

x− 6z = 0

y − 11t = 0

z − 7y = 0

.

b) Hay infinitas rectas que se apoyan en ellas y que pasan por el origen.

c) La recta que se apoya en ambas y pasa por el origen esx

2= y =

z

7=

t

11.

d) La recta que se apoya en ambas y pasa por el origen es

x+ 4y − 5z − t = 0

x− 6z = 0

t− 11y = 0

.

36. La mınima subvariedad afın que contiene a las rectas de ecuaciones

x = y = z = t ,x− 1

3=y

5= z − 2 =

t

−4es:a) El plano π ≡ 〈(1, 1, 1, 1), (3, 5, 1,−4)〉.b) El hiperplano π ≡ 〈(1, 1, 1, 1), (3, 5, 1,−4), (1, 3,−1,−6)〉.c) No es ni un plano ni un hiperplano.d) El hiperplano H ≡ 2x− y − z = 0.

37. Dada la recta r ≡

2x− z + t = 2

y + z = −3

2x+ y = −2

y el plano π ≡

{x+ z − t = 5

x− t = 3.

Solo una de las afirmaciones siguientes es cierta:a) Se cortan en un punto.b) La recta esta contenida en el plano.c) Se cruzan.d) Son paralelos.


El espacio dual. Geometrıa afın.

1. c) ; 2. d) ; 3. c) ; 4. b) ; 5. b) ; 6. b) ; 7. b) ; 8. d) ; 9. c) ; 10. d) ;11. d) ; 12. c) ; 13. d) ; 14. d) ; 15. d) ; 16. d) ; 17. d) ; 18. c) ; 19. d) ; 20. b) ;21. a) ; 22. c) ; 23. d) ; 24. c) ; 25. c) ; 26. d) ; 27. d) ; 28. c) ; 29. a) ; 30. c) ;31. c) ; 32. d) ; 33. b) ; 34. c) ; 35. d) ; 36. d) ; 37. c)


Algebra lineal y Geometrıa IDepartamento de MATEMATICAS

27-Octubre-2010

Prueba escrita I (10 Fısicas)

1. Demuestra que el conjunto V de los polinomios p(x) de grado menor o igual que 3 talesque p(2) = 0 es un subespacio vectorial de E = 〈1, x, x2, x3〉. Calcula su dimension y unabase. (2 puntos)

2. Sea E un k-espacio vectorial de dimension finita y E1, E2 dos subespacios. Demuestraque E1 + E2 y E1 ∩E2 son subespacios de E. ¿Cuando se dice que E1 y E2 son subespaciossuplementarios? (2 puntos)

3. Define los conceptos de base y dimension de un espacio vectorial. Demuestra que el vectorcero no puede formar parte de una base. (2 puntos)

4. Sea V el subespacio de R3 generado por los vectores (1, 1, 1) y (1, 0, 1). Solo una de lasafirmaciones siguientes es falsa:

(a) V = 〈(1, 2, 1), (0, 1, 0)〉(b) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x− z = 0}(c) El vector (2, 3, 1) pertenece a V .(d) V = {(a + b, a, a + b) ∈ R3 : a, b ∈ R} (2 puntos)

5. Sean V y V ′ los subespacios de M(2,R) dados por:

V =

{(x yz t

)∈M(2,R) : t = x− y, x + z = 0

}, V ′ =

{(a a + b−a b

)∈M(2,R) : a, b ∈ R

}Solo una de las afirmaciones siguientes es cierta:

(a) V + V ′ = M(2,R).(b) V y V ′ son suplementarios.

(c) V ∩ V ′ = 〈(

1 1−1 0

)〉.

(d)

(0 −1−1 1

)∈ V ∩ V ′. (2 puntos)

6. Sean E1 y E2 los subespacios de R3 dados por:

E1 = {(a, a + b,−b) ∈ R3 : a, b ∈ R} , E2 = {(x, y, y) : x, y ∈ R}Calcula bases y dimensiones de E1 + E2 y E1 ∩ E2. (2 puntos)

1



15-Diciembre-2010

Prueba escrita II (10 Fısicas)

1. Sean E1 y E2 los subespacios de M(2,R) definidos por:

E1 =

{(x yz t

)∈M(2,R) : x− 2y + z − t = 0

}, E2 =

⟨(1 −2−2 3

)⟩¿Es cierto que E1 y E2 son subespacios suplementarios? Razona la respuesta. (2 puntos)

2. Sea ET−→ E ′ una aplicacion lineal inyectiva. Comprueba que si {e1, . . . , en} es una base

de E sus imagenes {T (e1), . . . , T (en)} son vectores linealmente independientes de E ′.(2 puntos)

3. Sea {e1, e2, e3} una base del R-espacio vectorial E y {ω1, ω2, ω3} su base dual. Calculala base dual de la base {e1 + e3, e1 + e2, e2 − 2e3} y las coordenadas de la forma linealω = ω1 + ω2 − 2ω3 en esta nueva base de E∗. (2 puntos)

4. Sea V un subespacio vectorial de E. Define el concepto de incidente V 0 y demuestra quees un subespacio del espacio dual E∗. ¿Cual es su dimension? (2 puntos)

5. Sea {e1, e2, e3, e4} una base de E y {ω1, ω2, ω3, ω4} su base dual. Representemos por(x, y, z, t) las coordenadas respecto de esta base. Responde razonadamente a las siguientespreguntas:

(a) Sea V es el subespacio de E generado por los vectores e1 + e2 y 2e2 − e3. ¿La formalineal ω1 + ω4 esta en el subespacio incidente V 0?

(b) ¿Es cierto que 〈ω1 − 2ω2 + ω4〉 es el subespacio incidente deV = {(x, y, z, t) ∈ E : x− 2y + z = 0}?

(2 puntos)

6. ¿Es posible que

{2x− y = 0

y + z = 0

}sean unas ecuaciones implıcitas del subespacio de R4

generado por los vectores (0, 0, 1,−1), (1, 2, 1, 1) y (1, 2, 0, 2)? Razona la respuesta.(2 puntos)

1



15-Diciembre-2010

Prueba escrita II (2a Parte) (10 Grado en Fısicas)


1 1 22 1 31 0 1

.

(a) Calcula bases y dimensiones de ImT y KerT (2 puntos).(b) Demuestra que los vectores e1 = e1 + e2, e2 = e1 + e3 y e3 = e2 + e3 forman base de

R3 y calcula las coordenadas del vector e1 + 3e2 + e3 en dicha base (1,5 puntos).(c) Calcula la matriz de T en la base {e1, e2, e3} y calcula las coordenadas del vector

T (e1 − e3) en la base {e1, e2, e3} (2,5 puntos).

2. Sea V1 el subespacio de R3 definido por la ecuacion x+y+z = 0 y sea V2 = 〈(1, 0,−2), (0, 1, 0)〉otro subespacio de R3.

(a) Calcula las ecuaciones parametricas e implıcitas de V1 (2 puntos).(b) Calcula las ecuaciones parametricas e implıcitas de V2 (2 puntos).(c) Demuestra que V1 y V2 se cortan en una recta y calcula las ecuaciones parametricas e

implıcitas de la subvariedad afın cuyo vector de posicion es (0, 0, 2) y cuyo subespaciodirector es V1 ∩ V2 (3 puntos).

1


Algebra lineal y Geometrıa I1◦ de Grado en FısicasDepartamento de MATEMATICAS

Prueba Final (27-Enero-2011)

1a Parte

1. Sean E1 y E2 subespacios de un k-espacio vectorial E.

(a) ¿Que condiciones deben cumplir E1 y E2 para que sean subespacios suplementarios?(b) Si {v1, . . . , vm} es una base de E1 y {u1, . . . , up} es una base de E2 demuestra que E1

y E2 son suplementarios si y solo si {v1, . . . , vm, u1, . . . , up} es una base de E.

(3 puntos)

2. Sea ET−→ E ′ una aplicacion lineal.

(a) Define KerT e ImT y demuestra que son subespacios de E y E ′ respectivamente.(b) Demuestra la formula de dimension: dimE = dim KerT + dim ImT

(3 puntos)

3. Sea {e1, . . . , en} una base del espacio vectorial E.

(a) Define su espacio dual.(b) Define la base dual de {e1, . . . , en} y describe su relacion con las funciones coordenadas

sobre E.

(3 puntos)

4. Sea V un subespacio vectorial de E. Define el concepto de incidente V 0 y demuestra quees un subespacio del espacio dual E∗. ¿Que relacion existe entre la base del incidente y lasecuaciones implıcitas del subespacio?Si dimE = 4, ¿es cierto que el subespacio incidente de V = 〈e1− e2, e2 + 3e3〉 esta generado

por las formas lineales 3ω1 + 3ω2 − ω3 y ω4? ¿Pueden ser

{x− y = 0

y + 3z = 0unas ecuaciones

implıcitas de V (3 puntos)

5. Sea E un espacio vectorial.

(a) Define el concepto de subvariedad afin de E. ¿Cuando dos subvariedades afines sonparalelas? ¿Cuando se dice que se cruzan? Escribe dos ejemplos.

(b) Si dimE = 4 ¿es posible que dos planos de E que no pasan por el origen se corten enun unico punto? Razona la respuesta.

(3 puntos)

1




2a Parte

6. En M2×2(R) se definen los siguientes subconjuntos:

V1 = {(

a ba + b a + b

): a, b ∈ R} y V2 =

⟨(1 −11 0

),

(1 11 1

),

(0 10 0

)⟩.

(a) Demuestra que V1 y V2 son subespacios de M2×2(R).(b) Calcula bases y dimensiones de V1, V2, V1 + V2 y V1 ∩ V2.(c) Calcula bases y dimensiones de (V1 + V2)

◦ y (V1 ∩ V2)◦.

(d) Calcula las ecuaciones parametricas e implıcitas de la subvariedad afın cuyo vector de

posicion es

(1 21 3

)y cuyo subespacio director es V1 ∩ V2.

(13 puntos)


T (x, y, z) = (x + y − z, x + z, 2x + y, x + y − z)

(a) Demuestra que T es lineal y calcula la matriz asociada a T en las bases a las que estanreferidas las coordenadas.

(b) Calcula bases y dimensiones de KerT e ImT .(c) Calcula la matriz de T en la bases:

{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} de R3 y

{(1, 0, 0, 0), (0,−1, 0, 0), (0, 0,−1, 0), (0, 0, 0, 1)} de R4 .

(12 puntos)



Prueba de Recuperacion (11-Febrero-2011)

TEORIA

1. Define el concepto de base de un k-espacio vectorial E y demuestra que todas las basesde E tienen el mismo numero de vectores. ¿Que es la dimension de un k-espacio vectorial?(6 puntos)

2. Sea E = M(m× n) el k-espacio vectorial de las matrices de orden m× n con coeficientesen k. Considerense los siguientes subconjuntos de E:

S = {A ∈ E : A = At} (Matrices simetricas)

H = {A ∈ E : A = −At} (Matrices hemisimetricas)

Demuestra que S y H son subespacios vectoriales de E y tambien que son subespaciossuplementarios. (7 puntos)Nota.Todos los conceptos que se utilicen deberan definirse previamente. En este caso, ladefinicion de subespacio y la de subespacios suplemementarios.


(a) Define KerT e ImT .(b) Define en terminos de KerT e ImT cuando T es inyectiva y cuando epiyectiva.(c) Demuestra que si dimE = dimE ′ y T es epiyectiva se verifica que T es un isomorfismo.

(7 puntos)

4. Sea ET−→ E un endomorfismo de E de matriz asociada A respecto de la base {e1, . . . , en}

de E. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:

(a) Si ET ′−→ E es otro endomorfismo de E de matriz asociada A′ en la base {e1, . . . , en},

¿cuales son las matrices asociadas a las composiciones T ◦ T ′ y T ′ ◦ T?(b) Si {e1, . . . , en} es una nueva base de E, ¿cual es la matriz de T en esta base?(c) Si detA 6= 0, ¿es cierto que T es un isomorfismo? ¿Existe la aplicacion lineal inversa?,

en caso afirmativo indica cual es su matriz asociada.

(7 puntos)

5. Sea V un subespacio vectorial de E.

(a) Define el concepto de subespacio incidente V 0 e indica su dimension.(b) Demuestra que E0 = {0} y {0}0 = E∗

(c) Calcula el subespacio incidente con el plano π de R4 dado por π = 〈(1, 0, 1, 0), (0,−1, 1, 1)〉.(7 puntos)

6. Estudia razonadamente las posiciones relativas de dos planos en R4. (6 puntos)

1




PROBLEMAS

7. En R3 se definen los siguientes subconjuntos:

V1 = {(a+ 2b,−a,−2b) | a, b ∈ R} ; V2 = {(x, y, z) ∈ R3 |x+ y − 2z = 0} .(a) Demuestra que V1 y V2 son subespacios de R3. (6 puntos)(b) Calcula bases y dimensiones de V1, V2, V1 + V2 y V1 ∩ V2. (8 puntos)(c) Calcula bases y dimensiones de (V1 + V2)

◦ y (V1 ∩ V2)◦. (6 puntos)

(20 puntos)

8. Sea E un k-espacio vectorial y {e1, e2, e3} una base. Sea T : E → E el endomorfismo deE definido por:

T (e1) = 2e1 − e2 , T (e2) = e2 + 2e3 , 2e1 + e3 ∈ kerT .

(a) Calcula la matriz asociada a T en la base {e1, e2, e3}. (4 puntos)(b) Calcula bases y dimensiones de kerT e ImT . (5 puntos)(c) Calcula la matriz de T en la base {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}. (6 puntos)(d) Calcula las coordenadas de los vectores e1 + 2e2 − e3 y T (e1 − e2 + 3e3) en la base del

apartado anterior. (5 puntos)

(20 puntos)

9. Dadas las rectas:

r1 = 〈(1, 2,−1,−3)〉 y r2 ≡

x+ y = 3

2x− z = −1

t = 0

(a) Calcula unas ecuaciones parametricas y unas implıcitas de r1. (5 puntos)(b) Calcula unas ecuaciones parametricas de r2. (5 puntos)(c) Estudia su posicion relativa y calcula unas ecuaciones parametricas y unas implıcitas

de la mınima subavariedad afın que las contiene. (10 puntos)

(20 puntos)


Algebra lineal y Geometrıa IGloria Serrano SoteloDaniel Hernandez SerranoDarıo Sanchez GomezDepartamento de MATEMATICAS

27-Octubre-2010

Prueba escrita I (10 Fısicas)

1. Demuestra que el conjunto V de los polinomios p(x) de grado menor o igual que 3 talesque p(2) = 0 es un subespacio vectorial de E = 〈1, x, x2, x3〉. Calcula su dimension y unabase. (2 puntos)Solucion.

V = {p(x) ∈ E : p(2) = 0} = {a + bx + cx2 + dx3 ∈ E : a + 2b + 4c + 8d = 0}= {(a, b, c, d) ∈ E : a = −2b− 4c− 8d} = {(−2b− 4c− 8d, b, c, d) ∈ E}= 〈(−2, 1, 0, 0), (−4, 0, 1, 0), (−8, 0, 0, 1)〉 = 〈−2 + x,−4 + x2,−8 + x3〉

Ası, hemos probado que V coincide con el conjunto de las combinaciones lineales de lospolinomios −2 +x, −4 +x2, −8 +x3, luego V es un subespacio vectorial de E, el subespaciogenerado por esos polinomios.Calculemos la dimension y una base de V:

dimR V = rg

−2 −4 −81 0 00 1 00 0 1

= 3⇒ {−2 + x,−4 + x2,−8 + x3} es una base de V .

2. Sea E un k-espacio vectorial de dimension finita y E1, E2 dos subespacios. Demuestraque E1 + E2 y E1 ∩E2 son subespacios de E. ¿Cuando se dice que E1 y E2 son subespaciossuplementarios? (2 puntos)Solucion.Lee con atencion las doce primeras lineas de la seccion 1 (SUBESPACIOS SUMA E INTER-

SECCION. SUMA DIRECTA DE SUBESPACIOS) y la Definicion 2.1 del Tema 2.

3. Define los conceptos de base y dimension de un espacio vectorial. Demuestra que el vectorcero no puede formar parte de una base. (2 puntos)Solucion.Lee con atencion las once primeras lineas de la seccion 2 (DEPENDENCIA E INDEPEN-

DENCIA LINEAL. BASES Y DIMENSION) de la pagina 2 del Tema 1.

4. Sea V el subespacio de R3 generado por los vectores (1, 1, 1) y (1, 0, 1). Solo una de lasafirmaciones siguientes es falsa:

(a) V = 〈(1, 2, 1), (0, 1, 0)〉(b) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x− z = 0}(c) El vector (2, 3, 1) pertenece a V .(d) V = {(a + b, a, a + b) ∈ R3 : a, b ∈ R} (2 puntos)

1


Solucion.(c) es FALSA:

El vector (2, 3, 1) no esta en V pues

∣∣∣∣∣∣1 1 21 0 31 1 1

∣∣∣∣∣∣ 6= 0 y por tanto (2, 3, 1) no es combinacion

lineal de los vectores (1, 1, 1) y (1, 0, 1).

5. Sean V y V ′ los subespacios de M(2,R) dados por:

V =

{(x yz t

)∈M(2,R) : t = x− y, x + z = 0

}, V ′ =

{(a a + b−a b

)∈M(2,R) : a, b ∈ R

}Solo una de las afirmaciones siguientes es cierta:

(a) V + V ′ = M(2,R).(b) V y V ′ son suplementarios.

(c) V ∩ V ′ = 〈(

1 1−1 0

)〉.

(d)

(0 −1−1 1

)∈ V ∩ V ′. (2 puntos)

Solucion.(c) es CIERTA:(

1 1−1 0

)∈ V , pues cumple las ecuaciones de V(

1 1−1 0

)∈ V ′ , pues se obtiene tomando a = 1 y b = 0

⇒(

1 1−1 0

)∈ V ∩ V ′

6. Sean E1 y E2 los subespacios de R3 dados por:

E1 = {(a, a + b,−b) ∈ R3 : a, b ∈ R} , E2 = {(x, y, y) : x, y ∈ R}Calcula bases y dimensiones de E1 + E2 y E1 ∩ E2. (2 puntos)

Solucion.E1 = 〈u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1,−1)〉 ; dimR E1 = rg(u1, u2) = 2

E2 = 〈v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1)〉 ; dimR E2 = rg(v1, v2) = 2

Se obtiene:• E1 + E2 = 〈u1, u2, v1, v2〉 , dimR(E1 + E2) = rg(u1, u2, v1, v2) = 3 y {u2, v1, v2} es una basede E1 + E2 ya que det(u2, v1, v2) 6= 0.• dimR(E1∩E2) = dimR E1+dimR E1−dimR(E1+E2) = 1. Calculemos una base de E1∩E2:

e ∈ E1∩E2 ⇒{e ∈ E1 : e = au1 + bu2 = (a, a + b,−b)e ∈ E2 : e = xv1 + yv2 = (x, y, y)

}⇒ (a, a+b,−b) = (x, y, y)⇒

a = x

a + b = y

−b = y

y se obtiene x = 2y, luego e = (2y, y, y) y E1 ∩ E2 = 〈(2, 1, 1)〉.



15-Diciembre-2010

Prueba escrita II (10 Fısicas)

1. Sean E1 y E2 los subespacios de M(2,R) definidos por:

E1 =

{(x yz t

)∈M(2,R) : x− 2y + z − t = 0

}, E2 =

⟨(1 −2−2 3

)⟩¿Es cierto que E1 y E2 son subespacios suplementarios? Razona la respuesta. (2 puntos)Solucion.

El vector

(1 −2−2 3

)de E2 pertenece al subespacio E1, ya que sus coordenadas verifican la

ecuacion de E1, 1 − 2(−2) − 2 − 3 = 0. Luego el subespacio E2 esta contenido en E1, portanto E1 ∩ E2 = E2 6= {0} y en consecuencia E1 y E2 no son suplementarios.

2. Sea ET−→ E ′ una aplicacion lineal inyectiva. Comprueba que si {e1, . . . , en} es una base

de E sus imagenes {T (e1), . . . , T (en)} son vectores linealmente independientes de E ′.(2 puntos)Solucion.Si λ1T (e1) + · · ·+ λnT (en) = 0, por ser T lineal resulta que T (λ1e1 + · · ·+ λnen) = 0, luegoel vector λ1e1 + · · · + λnen ∈ kerT y como kerT = {0}, por ser T inyectiva, se deduceque λ1e1 + · · · + λnen = 0, por tanto λ1 = · · · = λn = 0 ya que los vectores e1, . . . , enson linealmente independientes. Ası pues, los vectores {T (e1), . . . , T (en)} son linealmenteindependientes.

3. Sea {e1, e2, e3} una base del R-espacio vectorial E y {ω1, ω2, ω3} su base dual. Calculala base dual de la base {e1 + e3, e1 + e2, e2 − 2e3} y las coordenadas de la forma linealω = ω1 + ω2 − 2ω3 en esta nueva base de E∗. (2 puntos)Solucion.

La matriz B del cambio de base en E es B =

1 1 00 1 11 0 −2

.

La matriz B∗ del cambio de base en el espacio dual E∗ es

B∗ = (B−1)t =1

detBAdjB =

2 −1 1−2 2 −1−1 1 −1

Como las columnas de B∗ son las coordenadas de la base dual nueva {ω1, ω2, ω3} en funcionde la base {ω1, ω2, ω3}, se tiene que

{ω1 = 2ω1 − 2ω2 − ω3, ω2 = −ω1 + 2ω2 + ω3, ω3 = ω1 − ω2 − ω3}

es la base dual pedida.1


El cambio de base para la forma lineal ω = ω1 + ω2 − 2ω3 de E∗ viene dado por:abc

= (B∗)−1

11−2

= Bt

11−2

=

−125

luego (2,−1, 5) son las coordenadas de ω en la base dual nueva, esto es:

ω = −ω1 + 2ω2 + 5ω3 .

4. Sea V un subespacio vectorial de E. Define el concepto de incidente V 0 y demuestra quees un subespacio del espacio dual E∗. ¿Cual es su dimension? (2 puntos)Solucion.

V 0 = {ω ∈ E∗ : ω(v) = 0 para todo v ∈ V }Veamos que V es cerrado por combinaciones lineales:Si ω, ω′ ∈ V 0 y λ, µ ∈ k, para cada v ∈ V se tiene: (λω + µω′)(v) = λω(v) + µω′(v) = 0 ⇒λω + µω′ ∈ V 0.La dimension del incidente es dimk V

0 = dimk E − dimk V

5. Sea {e1, e2, e3, e4} una base de E y {ω1, ω2, ω3, ω4} su base dual. Representemos por(x, y, z, t) las coordenadas respecto de esta base. Responde razonadamente a las siguientespreguntas:

(a) Sea V es el subespacio de E generado por los vectores e1 + e2 y 2e2 − e3. ¿La formalineal ω1 + ω4 esta en el subespacio incidente V 0?

(b) ¿Es cierto que 〈ω1 − 2ω2 + ω4〉 es el subespacio incidente deV = {(x, y, z, t) ∈ E : x− 2y + z = 0}?

(2 puntos)Solucion.

(a) No, pues (ω1 + ω4)(e1 + e2) = 1 6= 0.(b) El incidente de V esta generado por la forma lineal ω1 − 2ω2 + ω3 que claramente no

es proporcional a ω1 − 2ω2 + ω4. Luego la respuesta en este caso es tambien NO.

6. ¿Es posible que

{2x− y = 0

y + z = 0

}sean unas ecuaciones implıcitas del subespacio de R4

generado por los vectores (0, 0, 1,−1), (1, 2, 1, 1) y (1, 2, 0, 2)? Razona la respuesta.(2 puntos)Solucion.No, pues el vector (0, 0, 1,−1) no cumple las dos ecuaciones.



15-Diciembre-2010

Solucion prueba escrita II (2a Parte) (10 Grado en Fısicas)


1 1 22 1 31 0 1

.

(a) Calcula bases y dimensiones de ImT y KerT (2 puntos).(b) Demuestra que los vectores e1 = e1 + e2, e2 = e1 + e3 y e3 = e2 + e3 forman base de

R3 y calcula las coordenadas del vector e1 + 3e2 + e3 en dicha base (1,5 puntos).(c) Calcula la matriz de T en la base {e1, e2, e3} y calcula las coordenadas del vector

T (e1 − e3) en la base {e1, e2, e3} (2,5 puntos).

Solucion 1.

(a) Escribamos A =

1 1 22 1 31 0 1

. Como el determinante de A es nulo y el menor

(1 12 1

)es no nulo, se sigue que el rango de A es 2 y por lo tanto la dimension de la imagende T es 2 y una base de la misma es:

ImT = 〈(1, 2, 1), (1, 1, 0)〉 .

Aplicando la formula de la dimension:

dimRR3 = dimR ImT + dimR KerT

se deduce que la dimension de KerT es 1. Calculemos ahora el vector que genera elnucleo.

KerT := {(x, y, z) ∈ R3 |A · (x, y, z)t = (0, 0, 0)t} =

= {(x, y, z) ∈ R3 |x+ y + 2z = 0, 2x+ y + 3z = 0, x+ z = 0} =

= {(x, y, z) ∈ R3 | y = x, z = −x} = 〈(1, 1,−1)〉

(b) Veamos que {e1, e2, e3} son base de R3. Por la teorıa sabemos que para que 3 vectoresen R3 formen base basta con ver si son linealmente independientes, y esto es cierto

porque el determinante de la matriz B =

1 1 01 0 10 1 1

es distinto de cero.

Ademas la matriz de cambio de base (de la base nueva {e1, e2, e3} a la base antigua{e1, e2, e3}) es precisamente B, luego las coordenadas del vector e1 + 3e2 + e3 en labase {e1, e2, e3} son:

B−1(1, 3, 1)t =1

2

1 1 −11 −1 1−1 1 1

·1

31

=

3/2−1/23/2

.

1


(c) Se tiene el siguiente diagrama:

R3{e1,e2,e3}

A // R3{e1,e2,e3}

B−1

��R3{e1,e2,e3}

B

OO

A // R3{e1,e2,e3}

La matriz de T en la base {e1, e2, e3} es A y por lo tanto:

A = B−1 · A ·B =

2 3 30 0 01 2 1

.

Las coordenadas respecto de la base {e1, e2, e3} del vector T (e1− e3) pueden calcularse,por ejemplo, ası:

T (e1 − e3) = B · A ·

10−1

= (−1,−1, 0)

2. Sea V1 el subespacio de R3 definido por la ecuacion x+y+z = 0 y sea V2 = 〈(1, 0,−2), (0, 1, 0)〉otro subespacio de R3.

(a) Calcula las ecuaciones parametricas e implıcitas de V1 (2 puntos).(b) Calcula las ecuaciones parametricas e implıcitas de V2 (2 puntos).(c) Demuestra que V1 y V2 se cortan en una recta y calcula las ecuaciones parametricas e

implıcitas de la subvariedad afın cuyo vector de posicion es (0, 0, 2) y cuyo subespaciodirector es V1 ∩ V2 (3 puntos).

Solucion 2.

(a) La ecuacion implıcita de V1 es x+y+z = 0. Para calcular las parametricas observemosque se calcula una base de V1 como sigue:

V1 = {(x, y, z) ∈ R3 |x+ y + z = 0} = {(x, y, z) ∈ R3 | z = −x− y} =

= {(x, y,−x− y) |x, y ∈ R3} = 〈(1, 0,−1), (0, 1,−1)〉 = 〈u1, u2〉Como todo vector (x, y, z) de V1 se expresa, de modo unico, como combinacion linealde los elementos de la base:

(x, y, z) = λ(1, 0,−1) + µ(0, 1,−1) λ, µ ∈ Rse tiene que las ecuaciones parametricas de V1 son:

x = λ , y = µ , z = −λ− µ(b) Como (1, 0,−2) y (0, 1, 0) no son proporcionales forman base de V2. Las ecuaciones

parametricas de V2 = 〈(1, 0,−2), (0, 1, 0)〉 = 〈v1, v2〉 son:

x = λ , y = µ , z = −2λ .

Calcularemos su ecuacion implıcita primero por la teorıa del rango. Un vector e =(x, y, z) ∈ R3 vive en V si y solo si se expresa como combinacion lineal (de modounico) de v1 y v2, y por tanto, si y solo si:

rg(e, v1, v2) = rg(v1, v2) = 2 ,

lo que equivale a la anulacion del determinante de la matriz

x y z1 0 −20 1 0

. Luego la

ecuacion implıcita de V2 es 2x+ z = 0.


Calculemos ahora por la teorıa del incidente. La dimension de◦V2 es 1 (dimR3 −

dimV2), y se tiene:

V ◦2 := {ω = (α, β, γ) ∈ R3,∗ |ω(v1) = 0 y ω(v2) = 0} =

= {(α, β, γ) |α− 2γ = 0, , β = 0} = 〈(2, 0, 1)〉 = 〈θ〉

Sabemos que V2 = (◦V2

)◦, luego un vector e = (x, y, z) ∈ R3 yace en V2 si y solo si

θ(x, y, z) = 0, es decir, si y solo si 2x+ z = 0.(c) Puede comprobarse que v1, v2, u1 son base de V1 + V2, luego dimR(V1 + V2) = 3 y de

la formula de la dimension:

dimR(V1 + V2) = dimR V1 + dimR V2 − dimR(V1 ∩ V2)

se deduce que:dimR(V1 ∩ V2) = 1 ,

y por lo tanto se cortan en una recta.Observemos que (1, 1,−2) = u1 +u2 = v1 +v2 es un vector que esta en V1 y V2, luego

esta en V1 ∩ V2. Como V1 ∩ V2 es de dimension 1, se sigue que V1 ∩ V2 = 〈(1, 1,−2)〉.Las ecuaciones parametricas de la variedad afın (0, 0, 2) + 〈(1, 1,−2)〉 son:

x = λ , y = λ , z = 2− λ λ ∈ R.Sus ecuaciones implıcitas son:

x+ y + z = 2 2x+ z = 2

(basta sustituir el punto (0, 0, 2) en las ecuaciones implıcitas de V1 y V2).


Algebra lineal y Geometrıa I1◦ de Grado en FısicasGloria Serrano SoteloDaniel Hernandez SerranoDarıo Sanchez GomezDepartamento de MATEMATICAS


Soluciones 1a Parte

1. Sean E1 y E2 subespacios de un k-espacio vectorial E.

(a) ¿Que condiciones deben cumplir E1 y E2 para que sean subespacios suplementarios?(b) Si {v1, . . . , vm} es una base de E1 y {u1, . . . , up} es una base de E2 demuestra que E1

y E2 son suplementarios si y solo si {v1, . . . , vm, u1, . . . , up} es una base de E.

(3 puntos)

Solucion.

(a) E1 y E2 son subespacios suplementarios si E1 + E2 = E y E1 ∩ E2 = {0}, o lo que esequivalente, si E1 ⊕ E2 = E.

(b)⇒ Probaremos que si E1 y E2 son suplementarios y {v1, . . . , vm} es una base de E1

y {u1, . . . , up} es una base de E2 entonces {v1, . . . , vm, u1, . . . , up} es una base de E:Por definicion de suma, los vectores {v1, . . . , vm, u1, . . . , up} generan E1 +E2 y como

E1 + E2 = E tambien generan E.Como E1∩E2 = {0}, por la formula de dimension dim(E1+E2) = dimE1+dimE2 =

m + p y puesto que E1 + E2 = E resulta que dimE = m + p. Luego los vectores{v1, . . . , vm, u1, . . . , up} son linealmente independientes pues generan y dimE = m+p.⇐ Recıprocamente, demostraremos que si {v1, . . . , vm, u1, . . . , up} es una base de E

siendo {v1, . . . , vm} una base de E1 y {u1, . . . , up} una base de E2 entonces E1 y E2

son suplementarios.Por definicion de suma {v1, . . . , vm, u1, . . . , up} generan E1 +E2 y como forman base

es dim(E1 +E2) = dimE, luego E1 +E2 = E pues E1 +E2 es un subespacio de E dela misma dimension que E.

Utilizando la formula de dimension dim(E1 +E2) = dimE1 +dimE2−dim(E1∩E2)se sigue que dim(E1 ∩ E2) = 0, luego E1 ∩ E2 = {0}.

�


(a) Define KerT e ImT y demuestra que son subespacios de E y E ′ respectivamente.(b) Demuestra la formula de dimension: dimE = dim KerT + dim ImT

(3 puntos)

Solucion. Lee la Definicion 1.3 y el Teorema 1.4 del archivo de los Temas 3 y 4. �

3. Sea {e1, . . . , en} una base del espacio vectorial E.

(a) Define su espacio dual.(b) Define la base dual de {e1, . . . , en} y describe su relacion con las funciones coordenadas

sobre E.

(3 puntos)

Solucion.1


(a) El espacio dual de E es el espacio vectorial de las aplicaciones lineales de E en elcuerpo de escalares k:

E∗ = {E ω−→ k lineal}Los vectores de E∗ se llaman formas lineales.

(b) Cada forma lineal ω ∈ E∗ queda completamente determinada dando sus imagenessobre los elementos de una base, luego si {e1, . . . , en} es una base de E se puedendefinir n formas lineales {ω1, . . . , ωn} por las condiciones:

ωi(ej) =

{1 si i = j

0 si i 6= j, para 1 ≤ i, j ≤ n

{ω1, . . . , ωn} forman una base de E∗ llamada base dual de la base {e1, . . . , en} de E.Ademas, estas formas lineales de la base dual coinciden con las funciones coordena-

das asociadas a la base {e1, . . . , en} de E, pues para cada vector e = x1e1 +· · ·+xnen ∈E de coordenadas (x1, . . . , xn) en esta base se verifica:

ωi(e) = xi = coordenada i de e

�

4. Sea V un subespacio vectorial de E. Define el concepto de incidente V 0 y demuestra quees un subespacio del espacio dual E∗. ¿Que relacion existe entre la base del incidente y lasecuaciones implıcitas del subespacio?Si dimE = 4, ¿es cierto que el subespacio incidente de V = 〈e1− e2, e2 + 3e3〉 esta generado

por las formas lineales 3ω1 + 3ω2 − ω3 y ω4? ¿Pueden ser

{x− y = 0

y + 3z = 0unas ecuaciones

implıcitas de V (3 puntos)

Solucion. Para la primera parte, revisa las secciones 5 y 7 del Tema 6.En cuanto a la segunda, lo primero calculamos la dimV = 2 y recordando la definicionde incidente, V 0 = {ω ∈ E∗ : ω(v) = 0∀v ∈ V }, comprobamos que las formas lineales3ω1 + 3ω2 − ω3 y ω4 pertenecen a V 0 pues se anulan sobre los vectores de la base de V :

(3ω1 + 3ω2 − ω3)(e1 − e2) = 3− 3 = 0 , (3ω1 + 3ω2 − ω3)(e2 + 3e3) = 3− 3 = 0

ω4(e1 − e2) = 0 , ω4(e2 + 3e3) = 0

Y como dimV 0 = 4−2 = 2, resulta que V 0 = 〈3ω1 +3ω2−ω3, ω4〉 Recordando ahora que lasecuaciones implıcitas de V determinan las relaciones que existen entre las coordenadas de

sus vectores, resulta que

{x− y = 0

y + 3z = 0no pueden ser unas ecuaciones implıcitas de V ya

que el vector e1 − e2 = (1,−1, 0) ∈ V no verifica la primera de las ecuaciones 1 + 1 6= 0. �

5. Sea E un espacio vectorial.

(a) Define el concepto de subvariedad afin de E. ¿Cuando dos subvariedades afines sonparalelas? ¿Cuando se dice que se cruzan? Escribe dos ejemplos.

(b) Si dimE = 4 ¿es posible que dos planos de E que no pasan por el origen se corten enun unico punto? Razona la respuesta.

(3 puntos)

Solucion.

(a) Sea E un k-espacio vectorial de dimension n y sean V un subespacio de E y e0 unvector de E. El conjunto

H = e0 + V

es una subvariedad afın de vector de posicion e0 y subespacio director V .


Se llama dimension de la subvariedad afın H a la dimension de su subespacio direc-tor, dimkH = dimk V .

Las subvariedades afines de dimension 0 son los puntos, las de dimension 1 las rectas,las de dimension 2 los planos y las de dimension n− 1 los hiperplanos.

Las subvariedades afines que pasan por el origen son los subespacios.Dos subvariedades afines son paralelas si el subespacio director de una de ellas

esta contenido en el de la otra.Dos subvariedades afines se cortan si tienen algun punto en comun.Dos subvariedades afines se cruzan si ni son paralelas ni se cortan.Si dimkH ≤ dimkH

′, las subvariedades afines H = e0 + V , H ′ = e′0 + V ′ sonparalelas si V ⊆ V ′ o lo que es equivalente V 0 ⊇ V ′0.

Ejemplo 0.1. En R3 las rectas r = (3,−1, 0)+〈(1,−1, 2)〉 y s = (0, 1, 0)+〈(−1, 1,−2)〉son paralelas, pues tienen el mismo subespacio director.

En R3 las rectas r = (1, 1, 0) + 〈(0, 1, 2)〉 y s = (0, 1, 1) + 〈(1, 1,−1)〉 se cruzan, puesno son paralelas y tampoco se cortan ya que los vectores (1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 1,−1)son linealmente independientes.

Ejemplo 0.2. En R4 el plano π = (1,−1, 0, 2)+〈(1, 1, 1, 1), (0, 2, 1, 1)〉 y el hiperplanoH = (0, 1, 0, 1) + 〈(1, 1, 1, 1), (0, 2, 1, 1), (1, 0, 0, 1)〉 son paralelos, pues el subespaciodirector del primero esta contenido en el del segundo.

En R4 los planos de ecuaciones π ≡

{x− y = 1

x+ y − t = 1, π ≡

{y − z + t = 1

2x− t = 0se

cruzan:No son paralelos ya que sus subespacios directores no coinciden, pues sus incidentesV 0 = 〈(1,−1, 0, 0), (1, 1, 0,−1)〉, V ′0 = 〈(0, 1,−1, 1), (2, 0, 0,−1)〉 son diferentes yaque esto equivale a que el rango de la matriz del sistema determinado por lasecuaciones de ambos planos es distinto de 2:

rg

1 −1 0 01 1 0 −10 1 −1 12 0 0 −1

= 3

Los planos tampoco se cortan, pues la matriz ampliada con la columna de terminosindependientes de las ecuaciones no es 3:

rg

1 −1 0 0 11 1 0 −1 10 1 −1 1 12 0 0 −1 9

= 4

y esto significa que el sistema no tiene solucion, es decir, que los planos no tienenningun punto en comun, π ∩ π′ = ∅.

Lo que prueba que, en efecto, los planos se cruzan.

(b) Si, es posible:Si dimE = 4, cada uno de los planos tiene dos ecuaciones implıcitas, luego el

sistema lineal que determinan tiene 4 ecuaciones y 4 incognitas y por tanto es posibleque el rango de la matriz del sistema sea igual a 4 e igual al de la matriz ampliada, loque signifca que el sistema tiene solucion y la subvariedad afın de soluciones, π ∩ π′,depende de 0 parametros, es decir, es un punto.

�


Soluciones 2a Parte

6. En M2×2(R) se definen los siguientes subconjuntos:

V1 = {(

a ba+ b a+ b

): a, b ∈ R} y V2 =

⟨(1 −11 0

),

(1 11 1

),

(0 10 0

)⟩.

(a) Demuestra que V1 y V2 son subespacios de M2×2(R).(b) Calcula bases y dimensiones de V1, V2, V1 + V2 y V1 ∩ V2.(c) Calcula bases y dimensiones de (V1 + V2)◦ y (V1 ∩ V2)◦.(d) Calcula las ecuaciones parametricas e implıcitas de la subvariedad afın cuyo vector de

posicion es

(1 21 3

)y cuyo subespacio director es V1 ∩ V2.

(13 puntos)

Solucion. Para facilitar algunos calculos identificaremos M2×2(R) con R4 dando el siguienteisomorfismo:

M2×2(R)∼−→ R4(

1 00 0

)7→ (1, 0, 0, 0)(

0 10 0

)7→ (0, 1, 0, 0)(

0 01 0

)7→ (1, 0, 1, 0)(

0 00 1

)7→ (1, 0, 0, 1)

(a) Para ver que V1 = {(a, b, a+ b, a+ b) | a, b ∈ R} es subespacio hemos de comprobar sies cerrado por combinaciones lineales, es decir, si λv + µv′ ∈ V1 para todos:

v = (a, b, a+ b, a+ b), v′ = (a′, b′, a′ + b′, a′ + b′) ∈ V1

y para todos λ, µ ∈ R. En efecto:

λv + µv′ =(λa+ µa′, λb+ µb′, λ(a+ b) + µ(a′ + b′), λ(a+ b) + µ(a′ + b′)

)=

=(λa+ µa′, λb+ µb′, (λa+ µa′) + (λb+ µb′), (λa+ µa′) + (λb+ µb′)

)∈ V1

que vive en V1 pues la tercera y cuarta coordenadas son la suma de la primera y lasegunda coordenadas.

El conjunto V2 es subespacio por definicion, es el subespacio generado por:

(1,−1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 0)

(todo vector es combinacion lineal de estos por definicion y por lo tanto es cerradopor combinaciones lineales).

(b) Calculemos las bases pedidas:

V1 = {(a, b, a+ b, a+ b) | a, b ∈ R} = {a(1, 0, 1, 1) + b(0, 1, 1, 1) | a, b ∈ R} =

= 〈(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)〉 = 〈v1, v2〉

y como no son proporcionales, forman base de V1 y dimR V1 = 2.Los vectores:

u1 = (1,−1, 1, 0), u2 = (1, 1, 1, 1), u3 = (0, 1, 0, 0)


son base de V2 pues el rango de la matriz que forman es 3 (el determinante de−1 1 01 1 11 0 0

es no nulo). En particular dimR V2 = 3.

Se tiene ası que v1, v2, u1, u2, u3 son un sistema de generadores de V1 + V2, y puestoque v1 = u2 − u3 y det(v2, u1, u2, u3) 6= 0 es:

dimR(V1 + V2) = rg(v1, v2, u1, u2, u3) = rg(v2, u1, u2, u3) = 4

y {v2, u1, u2, u3} es una base de V1 + V2. Por ultimo, sabemos que:


y despejando resulta dimR(V1 ∩ V2) = 1. Como ademas hemos visto que v1 = u2 − u3,se concluye:

V1 ∩ V2 = 〈v1〉 = 〈(1, 0, 1, 1)〉(c) Hemos visto que V1+V2 = R4, luego por las porpiedades del incidente (V1+V2)◦ = {0}.

Por la formula de la dimension:

dimRR4 = dimR(V1 ∩ V2) + dimR(V1 ∩ V2)◦ ,

luego dimR(V1 ∩ V2)◦ = 3. Podemos calcular una base como sigue:

(V1 ∩ V2)◦ = {w ∈ R4 |w(v1) = 0} = {(α, β, γ, δ) ∈ R4 |α + γ + δ = 0} =

= {(−γ − δ, β, γ, δ) | β, γ, δ ∈ R} = 〈(−1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0)〉 =

= 〈−w1 + w3,−w1 + w4, w2〉 = 〈θ1, θ2, θ3〉 .

(d) Para calcular las ecuaciones parametricas de la subvariedad afın cuyo vector de posi-cion es (1, 2, 1, 3) y cuyo subespacio director es V1 ∩ V2 = 〈(1, 0, 1, 1)〉 basta tener encuenta que un vector e = (x, y, z, t) ∈ R4 yace en dicha subvariedad afın si y solo si:

e = (1, 2, 1, 3) + λ(1, 0, 1, 1)

Por lo tanto las ecuaciones parametricas son:

x = 1 + λ , y = 2 z = 1 + λ , t = 3 + λ .

Como ya hemos calculado (V1∩V2)◦ y por reflexividad sabemos que◦

(V1 ∩ V2)◦ = V1∩V2,un vector e = (x, y, z, t) ∈ R4 yace en dicha subvariedad afın si y solo si:

θ1(x−1, y−2, z−1, t−3) = 0 , θ2(x−1, y−2, z−1, t−3) = 0 , θ3(x−1, y−2, z−1, t−3) = 0 ,

es decir, las ecuaciones implıcitas son:

−x+ z = 0 , −x+ t− 2 = 0 , y − 2 = 0 .

�


T (x, y, z) = (x+ y − z, x+ z, 2x+ y, x+ y − z)

(a) Demuestra que T es lineal y calcula la matriz asociada a T en las bases a las que estanreferidas las coordenadas.

(b) Calcula bases y dimensiones de KerT e ImT .(c) Calcula la matriz de T en la bases:

{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} de R3 y

{(1, 0, 0, 0), (0,−1, 0, 0), (0, 0,−1, 0), (0, 0, 0, 1)} de R4 .

(12 puntos)


Solucion. (a) La aplicacion T es lineal si:

T(λ(x, y, z)+µ(x′, y′, z′)

)= λT (x, y, z)+µT (x′, y′, z′) ∀(x, y, z), (x′, y′, z′) ∈ R3, ∀λ, µ ∈ R .

En efecto:

T(λ(x, y, z) + µ(x′, y′, z′)

) (+,·)R3

= T((λx+ µx′, λy + µy′, λz + µz′)

) def.T=

=((λx+ µx′) + (λy + µy′)− (λz + µz′), (λx+ µx′) + (λz + µz′),

2(λx+ µx′) + (λy + µy′), (λx+ µx′) + (λy + µy′)− (λz + µz′)) (+,·)R

=

=(λ(x+ y − z) + µ(x′ + y′ − z′), λ(x+ z) + µ(x′ + z′),

λ(2x+ y) + µ(2x′ + y′), λ(x+ y − z) + µ(x′ + y′ − z′)) (+,·)R3

=

= λ(x+ y − z, x+ z, 2x+ y, x+ y − z) + µ(x′ + y′ − z′, x′ + z′, 2x′ + y′, x′ + y′ − z′) def.T=

= λT (x, y, z) + µT (x′, y′, z′) .

Sea {e1, e2, e3} la base canonica de R3 y {e′1, e′2, e′3, e′4} la de R4. Como:

T (1, 0, 0) = (1, 1, 2, 1), T (0, 1, 0) = (1, 0, 1, 1), T (0, 0, 1) = (−1, 1, 0,−1) ,

la matriz asociada es A =

1 1 −11 0 12 1 01 1 −1

(b) Dado que 2T (e2) + T (e3) = T (e1) se sigue que rg(A) < 3, y como el menor

∣∣∣∣1 11 0

∣∣∣∣ es

no nulo se deduce que dimR ImT = rg(A) = 2 y {T (e1), T (e2)} son una base de ImT .Por la formula de la dimension:

dimR R3 = dimR ImT + dimR KerT ,

luego dimR KerT = 1 y como 2T (e2)+T (e3) = T (e1) se tiene que e1−2e2−e3 ∈ KerT .Por ser este de dimension 1 se concluye:

KerT = 〈e1 − 2e2 − e3〉 = 〈(1,−2,−1)〉 .(c) Denotemos:

e1 = (1, 1, 0) , e2 = (1, 0, 1) , e3 = (0, 1, 1)

e′1 = (1, 0, 0, 0) , e′2 = (0,−1, 0, 0) , e3 = (0, 0,−1, 0) , e′4 = (0, 0, 0, 1) .

Tenemos el siguiente diagrama:

R3{e1,e2,e3}

A // R4{e′1,e′2,e′3,e′4}

R3{e1,e2,e3}

B

OO

A // R4{e′1,e′2,e′3,e′4}

C

OO

donde B =

1 1 01 0 10 1 1

y C =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 1

son las matrices de cambio de base

(de las“nuevas” a las “antiguas”). La matriz pedida es A:

A = C−1 · A ·B =

2 0 0−1 −2 −1−3 −2 −12 0 0

.


�


Algebra lineal y Geometrıa I1◦ de Grado en FısicasGloria Serrano SoteloDaniel Hernandez SerranoDarıo Sanchez GomezDepartamento de MATEMATICAS


TEORIA

1. Define el concepto de base de un k-espacio vectorial E y demuestra que todas las basesde E tienen el mismo numero de vectores. ¿Que es la dimension de un k-espacio vectorial?(6 puntos)

Solucion.

Teorema 0.1. (Teorema de la base)Todas las bases de un k-espacio vectorial tienen elmismo numero de elementos.

Demostracion. Sean {e1, . . . , en} y {e′1, . . . , e′m} dos bases de E. Por el teorema de Steinitzaplicado a la base {e1, . . . , en} y a los vectores linealmente independientes {e′1, . . . , e′m},debe ser m ≤ n, y ahora a la base {e′1, . . . , e′m} y a los vectores linealmente independientes{e1, . . . , en} da n ≤ m. Por tanto, n = m. �

Se llama dimension del espacio vectorial E al numero de elementos de una base y se representapor dimk E. �

2. Sea E = M(m× n) el k-espacio vectorial de las matrices de orden m× n con coeficientesen k. Considerense los siguientes subconjuntos de E:

S = {A ∈ E : A = At} (Matrices simetricas)

H = {A ∈ E : A = −At} (Matrices hemisimetricas)

Demuestra que S y H son subespacios vectoriales de E y tambien que son subespaciossuplementarios. (7 puntos)Nota.Todos los conceptos que se utilicen deberan definirse previamente. En este caso, ladefinicion de subespacio y la de subespacios suplemementarios.

Solucion. Veamos que ambos subconjuntos son cerrados por combinaciones lineales:

(a) Dadas matrices simetricas A,B ∈ S y escalares λ, µ ∈ k, la matriz combinacion linealλA + µB es tambien simetrica, pues cumple (λA + µB)t = λAt + µBt = λA + µB,esto es λA+ µB ∈ S.

(b) Dadas matrices simetricas A,B ∈ H y escalares λ, µ ∈ k, la matriz combinacionlineal λA + µB es tambien hemisimetrica, pues cumple (λA + µB)t = λAt + µBt =λ(−A) + µ(−B) = −(λA+ µB), esto es λA+ µB ∈ H.

Demostraremos que S y H son suplementarios probando que cualquier matriz cuadradaA descompone de modo unico como suma de una matriz simetrica y otra hemisimetrica:Cualquiera que sea A ∈ M(m × n) las matrices S = 1

2(A + At) y H = 1

2(A − At) son,

respectivamente, simetrica y hemisimetrica pues (A+At)t = At +A = A+At y (A−At)t =At − A = −(A− At). Y se verifica:

A = S +H , siendo S =1

2(A+ At) ∈ S y H =

1

2(A− At) ∈ H

�1



(a) Define kerT e ImT .(b) Define en terminos de kerT e ImT cuando T es inyectiva y cuando epiyectiva.(c) Demuestra que si dimE = dimE ′ y T es epiyectiva se verifica que T es un isomorfismo.

(7 puntos)

Solucion.

(a) Define kerT e ImT .

kerT = {e ∈ E : T (e) = 0} ⊆ E

ImT = {e′ ∈ E ′ : e′ = T (e) , para algun e ∈ E} ⊆ E ′

(b) T es inyectiva si y solo si kerT = {0}. T es epiyectiva si y solo si ImT = E ′.(c) Utilizando la formula de dimension dimk E = dimk kerT + dimk ImT y que T es

epiyectiva y por tanto ImT = E ′ se obtiene que dimk E = dimk kerT + dimk E′ y

como dimk E = dimk E′ resulta que dimk kerT = 0, luego kerT = {0}, es decir, T es

tambien inyectiva y por tanto un isomorfismo.

�

4. Sea ET−→ E un endomorfismo de E de matriz asociada A respecto de la base {e1, . . . , en}

de E. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:

(a) Si ET ′−→ E es otro endomorfismo de E de matriz asociada A′ en la base {e1, . . . , en},

¿cuales son las matrices asociadas a las composiciones T ◦ T ′ y T ′ ◦ T?(b) Si {e1, . . . , en} es una nueva base de E, ¿cual es la matriz de T en esta base?(c) Si detA 6= 0, ¿es cierto que T es un isomorfismo? ¿Existe la aplicacion lineal inversa?,

en caso afirmativo indica cual es su matriz asociada.

(7 puntos)

Solucion.

(a) La matriz asociada a T ◦ T ′ es A · A′. En efecto:

(T ◦ T ′)(ej) = T (T ′(ej)) = T (n∑

i=1

a′ijei) =n∑

i=1

a′ijT (ei) =n∑

i=1

a′ij

n∑k=1

akiek =

=n∑

k=1

(n∑

i=1

akia′ij)ek =

n∑k=1

(A · A′)kjek

Analogamente se prueba que A′ · A es la matriz asociada T ′ ◦ T .(b) Si representamos por A la matriz de T en esta nueva base y por B la matriz del cambio

de base es A = B−1 · A ·B, como se sigue del diagrama conmutativo:

ETA // E

E

IdB

OO

TA // E

IdB

OO TA = Id−1B ◦ TA ◦ IdB ⇒ A = B−1 · A ·B

(c) Si detA 6= 0 el rango de A es maximo, esto es rgA = dimk ImT = dimk E, de lo quese sigue:ImT = E y tambien, por la formula de dimension dimk E = dimk kerT + dimk ImT ,es kerT = {0}. Luego T es epiyectiva e inyectiva, es decir, un isomorfismo. Por tanto,

existe aplicacion lineal inversa ET−1

−−→ E tal que T ◦ T−1 = T−1 ◦ T = Id, cuya matrizasociada en la base {e1, . . . , en} es A−1.

�


5. Sea V un subespacio vectorial de E.

(a) Define el concepto de subespacio incidente V 0 e indica su dimension.(b) Demuestra que E0 = {0} y {0}0 = E∗

(c) Calcula el subespacio incidente con el plano π de R4 dado por π = 〈(1, 0, 1, 0), (0,−1, 1, 1)〉.(7 puntos)

Solucion. (a) Subespacio incidente V 0 y dimension:

V 0 = {ω ∈ E∗ : ω(v) = 0 , para todo v ∈ V } , dimk V0 = dimk E − dimk V

(b) dimk E0 = dimk E − dimk E = 0⇒ E0 = {0}.

{0}0 ⊆ E∗ y dimk{0}0 = dimk E − 0 = dimk E∗ ⇒ {0}0 = E∗

(c) Ecuaciones implıcitas de π

rg

x 1 0y 0 −1z 1 1t 0 1

= 2⇒

∣∣∣∣∣∣x 1 0y 0 −1z 1 1

∣∣∣∣∣∣⇒ x− y − z = 0

∣∣∣∣∣∣x 1 0y 0 −1t 0 1

∣∣∣∣∣∣⇒ −y − t = 0

Luego π0 = 〈ω1 − ω2 − ω3, ω2 + ω4〉, siendo {ω1, ω2, ω3, ω4} la base dual de la base deR4 en la que vienen expresadas las coordenadas.

�

6. Estudia razonadamente las posiciones relativas de dos planos en R4. (6 puntos)

Solucion. Sean π = e0 + V , π′ = e′0 + V ′ dos planos cualesquiera de R4 y sean {θ1, θ2},{θ′1, θ′2} bases de V 0 y V ′0 respectivamente.Las ecuaciones implıcitas de π y de π′ definen un sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incogni-tas de matriz asociada A y matriz ampliada con la columna de terminos independientes A:

π ≡

{θ1(e) = θ1(e0)

θ2(e) = θ2(e0)

π′ ≡

{θ′1(e) = θ′1(e′0)

θ′2(e) = θ′2(e′0)

A =

θ1

θ2

θ′1θ′2

, A =

θ1(e0)

A θ2(e0)θ′1(e′0)θ′2(e′0)

El rango de A es como poco 2 y como mucho 4, 2 ≤ rgA ≤ 4 y puesto que rgA ≤ A ≤ rgA+1se obtiene:

Si rgA = 2, los planos son paralelos, pues V 0 = V ′0, y se pueden presentar dos casos:Caso 1. rgA = 2 = rg A = 2, los planos son coincidentes, pues el sistema tiene

solucion y la subvariedad afın de soluciones depende de 4-2=2 parametros.Caso 2. rgA = 2 6= rg A = 3, los planos son paralelos no coincidentes ya que no

tienen puntos en comun, pues el sistema no tiene solucion.Si rgA = 3, los planos no son paralelos y pueden presentarse los casos:

Caso 3. rgA = 3 = rg A = 3, los planos se cortan en una recta, pues el sistematiene solucion y la subvariedad afın de soluciones depende de 4-3=1 parametro.

Caso 4. rgA = 3 6= rg A = 4, los planos se cruzan, pues ni son paralelos ni secortan ya que el sistema no tiene solucion.Si rgA = 4, la unica posibilidad es que rg A = 4, lo que solo da el caso:

Caso 5. rgA = 4 = rg A = 4, los planos se cortan en un punto, pues el sistematiene solucion y la subvariedad afın de soluciones depende de 4-4=0 parametros.

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PROBLEMAS

7. En R3 se definen los siguientes subconjuntos:

V1 = {(a+ 2b,−a,−2b) | a, b ∈ R} ; V2 = {(x, y, z) ∈ R3 |x+ y − 2z = 0} .(a) Demuestra que V1 y V2 son subespacios de R3. (6 puntos)(b) Calcula bases y dimensiones de V1, V2, V1 + V2 y V1 ∩ V2. (8 puntos)(c) Calcula bases y dimensiones de (V1 + V2)◦ y (V1 ∩ V2)◦. (6 puntos)

(20 puntos)

Solucion. (a) Para ver que V1 es subespacio hemos de comprobar si es cerrado por com-binaciones lineales, es decir, si λv + µv′ ∈ V1 para todos:

v = (a+ 2b,−a,−2b), v′ = (a′ + 2b′,−a′,−2b′) ∈ V1

y para todos λ, µ ∈ R. En efecto:

λv + µv′ =(λa+ µa′ + 2λb+ 2µb′,−λa− µa′,−2λb− 2µb′

)∈ V1

que vive en V1 pues la suma de la segunda y tercera coordenadas es igual a menos laprimera coordenada.

Analogamente V2 es cerrado por combinaciones lineales, pues dados u = (x, y, z) ∈V2 y u′ = (x′, y′, z′) ∈ V2 cualesquiera, sabemos que:

x+ y − 2z = 0 y x′ + y′ − 2z′ = 0

luego para todo λ, µ ∈ R:

λu+ µu′ = (λx+ µx′, λy + µy′, λz + µz′) ∈ V2

ya que:

(λx+ µx′) + (λy + µy′)− 2(λz + µz′) = λ(x+ y − 2z) + µ(x′ + y′ − 2z′) = 0 .

(b) Calculemos las bases pedidas:

V1 = {(a+ 2b,−a,−2b) | a, b ∈ R} = {a(1,−1, 0) + b(2, 0,−2) | a, b ∈ R} =

= 〈(1,−1, 0), (2, 0,−2)〉 = 〈v1, v2〉y como no son proporcionales, forman base de V1 y dimR V1 = 2.

V2 = {(x, y, z) ∈ R3 |x+ y − 2z = 0} = {(x, y, z) ∈ R3 |x = −y + 2z} =

= {(−y + 2z, y, z) ∈ R3 | y, z ∈ R} = 〈(−1, 1, 0), (2, 0, 1)〉 = 〈u1, u2〉y como no son proporcionales, forman base de V2 y dimR V2 = 2.

Los vectores v1, v2, u1, u2 forman un sistema de generadores de V1 + V2 y se tieneque dimR(V1 + V2) = rg(v1, v2, u1, u2) ≤ 3. Como det(v1, v2, u2) 6= 0 se deduce que{v1, v2, u2} son base de V1 + V2 y dimR(V1 + V2) = 3.

Por la formula de la dimension:



resulta que dimR(V1 ∩ V2) = 1 y puesto que u1 = −v1 se concluye que:

V1 ∩ V2 = 〈u1〉 = 〈(−1, 1, 0)〉

(c) Hemos visto que V1+V2 = R3, luego por las porpiedades del incidente (V1+V2)◦ = {0}.Por la formula de la dimension:

dimR R3 = dimR(V1 ∩ V2) + dimR(V1 ∩ V2)◦ ,

luego dimR(V1 ∩ V2)◦ = 2. Podemos calcular una base como sigue:

(V1 ∩ V2)◦ = {w ∈ R3 |w(u1) = 0} = {(α, β, γ) ∈ R3 | − α + β = 0} =

= {(α, α, γ) |α, β ∈ R} = 〈(1, 1, 0), (0, 0, 1)〉 =

= 〈w1 + w2, w3〉 = 〈θ1, θ2〉 .

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8. Sea E un k-espacio vectorial y {e1, e2, e3} una base. Sea T : E → E el endomorfismo deE definido por:

T (e1) = 2e1 − e2 , T (e2) = e2 + 2e3 , 2e1 + e3 ∈ kerT .

(a) Calcula la matriz asociada a T en la base {e1, e2, e3}. (4 puntos)(b) Calcula bases y dimensiones de kerT e ImT . (5 puntos)(c) Calcula la matriz de T en la base {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}. (6 puntos)(d) Calcula las coordenadas de los vectores e1 + 2e2 − e3 y T (e1 − e2 + 3e3) en la base del

apartado anterior. (5 puntos)

(20 puntos)

Solucion. (a) Por definicion, la matriz asociada a T en la base {e1, e2, e3} tiene por co-lumnas T (e1), T (e2) y T (e3), y tenemos:

T (e1) = (2,−1, 0) , T (e2) = (0, 1, 2) .

Para calcular T (e3) basta observar que como 2e1 +e3 ∈ kerT entonces T (2e1 +e3) = 0,y dado que T es una aplicacion lineal:

T (e3) = −2T (e1) = (−4, 2, 0) .

Luego la matriz es A =

2 0 −4−1 1 20 2 0

.

(b) Como |A| = 0 y

∣∣∣∣ 2 0−1 1

∣∣∣∣ 6= 0 se tiene que dimR ImT = rg(A) = 2 y {T (e1), T (e2)} =

{(2,−1, 0), (0, 1, 2)} es una base de ImT . Por la formula de la dimension:

dimRE = dimR ImT + dimR kerT

se tiene que dimR kerT = 1 y por lo tanto kerT = 〈2e1 + e3〉 = 〈(2, 0, 1)〉.(c) Denotemos e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1) y e3 = (0, 1, 1). Se tiene el siguiente diagrama:

R3{e1,e2,e3}

A // R3{e1,e2,e3}

B−1

��R3{e1,e2,e3}

B

OO

A // R3{e1,e2,e3}


donde B =

1 1 01 0 10 1 1

es la matriz de cambio de base de la base nueva a la base

antigua. La matriz de T en la base {e1, e2, e3} es A y por lo tanto:

A = B−1 · A ·B =1

2

0 −1 −34 −3 −50 3 9

.

(d) Las coordenadas respecto de la base {e1, e2, e3} de los vectores e1 + 2e2 − e3 y T (e1 −e2 + 3e3) pueden calcularse, por ejemplo, ası:

(e1 + 2e2 − e3){ei} = B−1(e1 + 2e2 − e3) =1

2

1 1 −11 −1 1−1 1 1

· 1

2−1

= (2,−1, 0)

T (e1 − e2 + 3e3){ei} = B−1 · A ·

1−13

= (−2,−8,−6)

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9. Dadas las rectas:

r1 = 〈(1, 2,−1,−3)〉 y r2 ≡

x+ y = 3

2x− z = −1

t = 0

(a) Calcula unas ecuaciones parametricas y unas implıcitas de r1. (5 puntos)(b) Calcula unas ecuaciones parametricas de r2. (5 puntos)(c) Estudia su posicion relativa y calcula unas ecuaciones parametricas y unas implıcitas

de la mınima subavariedad afın que las contiene. (10 puntos)

(20 puntos)

Solucion. (a) Escribamos r1 = e0 + 〈v1〉, donde e0 = (0, 0, 0, 0) y v1 = (1, 2,−1,−3). Todovector e = (x, y, z, t) de r1 se escribe (x, y, z, t) = λ(1, 2,−1,−3) (con λ ∈ R), luegolas ecuaciones parametricas son:

x = λ , y = 2λ , z = −λ , t = −3λ .

Por la teorıa del rango, un vector e ∈ R4 vive en r1 si y solo si rg(e, v1) = rg(v1) = 1,en coordenadas:

rg

(x y z t1 2 −1 −3

)= 1 .

Fijado un menor de orden 1 no nulo (por ejemplo 1), esta condicion equivale a laanulacion de los siguientes tres menores de orden 2:∣∣∣∣x y

1 2

∣∣∣∣ = 0 ,

∣∣∣∣x z1 −1

∣∣∣∣ = 0 ,

∣∣∣∣x t1 −3

∣∣∣∣ = 0 ,

luego las ecuaciones implıcitas de r1 son:

2x− y = 0 , x+ z = 0 , 3x+ t = 0 .

(b) Dadas las ecuaciones implıcitas se tiene:

r2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 |x+ y − 3 = 0 , 2x− z + 1 = 0 , t = 0} =

= {(x, y, z, t) | y = 3− x , z = 1 + 2x , t = 0} =

= {(x, 3− x, 1 + 2x, 0) |x ∈ R} = (0, 3, 1, 0) + 〈(1,−1, 2, 0)〉 = e′0 + 〈v2〉 .


Por lo tanto, un vector e = (x, y, z, t) ∈ R4 vive en r2 si y solo si e = e′0 + µv2. Encoordenadas obtenemos unas ecuaciones parametricas de r2:

x = µ , y = 3− µ , z = 1 + 2µ , t = 0 .

(c) Tenemos:

r1 = e0 + 〈v1〉 donde e0 = (0, 0, 0, 0) y v1 = (1, 2,−1,−3) .

r2 = e′0 + 〈v2〉 donde e′0 = (0, 3, 1, 0) y v2 = (1,−1, 2, 0) .

Puesto que v1 y v2 no son proporcionales entonces r1 y r2 no son paralelas ni coinci-dentes. Veamos si se cortan. Si ası fuera existirıa algun punto en r1 ∩ r2, pero como elsistema:

λ = µ , 2λ = 3− µ , −λ = 1 + µ , −3λ = 0

no tiene solucion, entonces no se cortan. En definitiva, r1 y r2 se cruzan.Por definicion, la mınima subvariedad afın que contiene a r1 y r2 es la subvariedad

afın suma:

r1 + r2 = e0 + 〈e0 − e′0, v1, v2〉 = (0, 0, 0, 0) + 〈(0,−3,−1, 0), (1, 2,−1,−3), (1,−1, 2, 0)〉(luego es un subespacio de R4, pues pasa por el origen) y su dimension es rg(e0 −e′0, v1, v2) = 3 (es un hiperplano en R4). Se tiene entonces que un vector e = (x, y, z, t) ∈R4 vive en r1 + r2 si y solo si e = λ(e0 − e′0) + µv1 + ηv2 (con λ, µ, η ∈ R), y por lotanto unas ecuaciones parametricas son:

x = µ+ η

y = −3λ+ 2µ− ηz = −λ− µ+ 2η

t = −3µ

Por al formula de la dimension:

dimR(r1 + r2)◦ = dimR R4 − dimR(r1 + r2) = 4− 3 = 1

se tiene que r1 + r2 viene definida por una ecuacion implıcita, que deduciremos calcu-lando el incidente a r1 + r2.

(r1 + r2)◦ = {w = (α, β, γ, δ) ∈ R4,∗ |w(e0 − e′0) = 0 , w(v1) = 0 , w(v2) = 0} =

= {(α, β, γ, δ) ∈ R4,∗ | − 3β − γ = 0 , α + 2β − γ − 3δ = 0 , α− β + 2γ = 0} =

= {(7β, β,−3β, 4β) | β ∈ R} = 〈(7, 1− 3, 4)〉Luego una ecuacion implıcita de r1 + r2 es 7x+ y − 3z + 4t = 0.

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