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Algebra, Geometr´ ıa Algebraica y Geometr´ ıa Computacional ıtulo: Construcci´ on FRT generalizada y pegado de modelos integrables Autores: Sergio D. Grillo Lugar: Centro At´ omico Bariloche-Instituto Balseiro En este trabajo presentaremos la categor´ ıa de los espa- cios cu´ anticos equipados EQA, dada por ´ algebras cuadr´ aticas dotadas de una estructura adicional, y veremos c´ omo a partir de la misma es posible obtener las bi´ algebras de Faddeev- Reshetikhin-Takhtadzhyan (FRT). Definiremos distintos mo- noides e involuciones sobre ella, que indicaremos por los s´ ım- bolos y , respectivamente, siendo = -, 0, +, y mostrare- mos que, respecto de cada una de estas estructuras, EQA tiene objetos coHom internos a izquierda (resp. derecha) dados por hom [B, A]= A B (resp. hom [B, A]= A - B - ). Es para = + que los objetos end [A]= hom [A, A] definen precisamente las ´ algebras de la construcci´ on FRT, mientras que los hom [B, A] dan lugar a lo que hemos llamado sus ver- siones rectangulares. Introduciremos luego el par´ ametro es- pectral, obteniendo as´ ı las ´ algebras de Yang-Baxter usuales y las rectangulares correspondientes. En t´ erminos de las ´ ultimas definiremos un proceso de pegado de sistemas f´ ısicos exacta- mente solubles, poniendo una vez m´ as en evidencia la pro- funda conexi´ on que existe entre esta clase de estructuras al- gebraicas y la propiedad de integrabilidad.

Algebra, Geometr´ıa Algebraica y Geometr´ıa ComputacionalUniversidad Nacional del Sur. La dimensi n de representaci n de un lgebra de artin fue definida por Maurice Auslander a

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  • Algebra, Geometŕıa Algebraica y GeometŕıaComputacional

    T́ıtulo: Construcción FRT generalizada y pegado demodelos integrablesAutores: Sergio D. GrilloLugar: Centro Atómico Bariloche-Instituto Balseiro

    En este trabajo presentaremos la categoŕıa de los espa-cios cuánticos equipados EQA, dada por álgebras cuadráticasdotadas de una estructura adicional, y veremos cómo a partirde la misma es posible obtener las biálgebras de Faddeev-Reshetikhin-Takhtadzhyan (FRT). Definiremos distintos mo-noides e involuciones sobre ella, que indicaremos por los śım-bolos �� y †�, respectivamente, siendo � = −, 0, +, y mostrare-mos que, respecto de cada una de estas estructuras, EQA tieneobjetos coHom internos a izquierda (resp. derecha) dados porhom [B, A] = A �� B†� (resp. hom [B, A] = A �−� B†−�).Es para � = + que los objetos end [A] = hom [A, A] definenprecisamente las álgebras de la construcción FRT, mientrasque los hom [B, A] dan lugar a lo que hemos llamado sus ver-siones rectangulares. Introduciremos luego el parámetro es-pectral, obteniendo aśı las álgebras de Yang-Baxter usuales ylas rectangulares correspondientes. En términos de las últimasdefiniremos un proceso de pegado de sistemas f́ısicos exacta-mente solubles, poniendo una vez más en evidencia la pro-funda conexión que existe entre esta clase de estructuras al-gebraicas y la propiedad de integrabilidad.

  • T́ıtulo: Derivaciones en álgebras de matrices triangularesAutores: Carlos C. Pea Ana L. BarrenecheaLugar: UNCPBA - FCExactas - Dpto. de Matemática - NuCoMPA - Tandil.

    No puede determinarse, en general, la estructura de derivaciones en álgebrasde Banach. La noción de UHF álgebras (uniformly hypernite algebras) debidaa J. Gimm (J. G.: On certain class of operator algebras. Trans. Amer. Math.Soc., 95, 318 - 340, 1960) permite avances en esta materia en el marco de álge-bras estrelladas. Se trata precisamente de álgebras C - estrella unitarias munidasde una sucesión creciente de álgebras matriciales nito dimensionales cuya uniónes densa. En particular, nos hemos interesado en el estudio de derivaciones enálgebras de Banach de matrices triangulares en el sentido de B. Forrest & L. W.Marcoux (F & M: Derivations of triangular Banach algebras. Indiana Univer-sity Math. Journal, Vol. 45, no. 2, 1996). Establecemos entonces la estructurade derivaciones en álgebras triangulares sobre anillos generales, consideramosvarios ejemplos y determinamos la dimensión del módulo de derivaciones sobreel centro del anillo subyacente.

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  • T́ıtulo: Dimensión de representación de álgebrasinclinadas y álgebras laura.Autores: Ibrahim Assem, Maŕıa Inés Platzeck y Sonia Trepode.Lugar: Instituto de Matemática. Universidad Nacional del Sur.

    La dimensión de representación de un álgebra de artin fue definida por Maurice Auslander acomienzos de la década del 70, como el ínfimo de las dimensiones globales de los anillos deendomorfismos de los módulos finitamente generados que son simultáneamente generadores ycogeneradores de la categoría de módulos.Demostramos que la dimensión de representación de un álgebra inclinada, o de un álgebra lauraestricta, es menor o igual que tres.

    Esta es comunicación de un trabajo conjunto con Ibrahim Assem y Sonia Trepode.

  • T́ıtulo: Ejemplos de Grupoides CuánticosAutores: Nicolás Andruskiewitsch y Mart́ın MombelliLugar: Fa.M.A.F.- U.N.C

    Las categoŕıas de fusión (categoŕıas semisimples tensoriales conciertas propiedades extras), tienen varias aplicaciones a distintasáreas de matemática y f́ısica, tales como a variedades topológicasde dimensión baja, a la teoŕıa de algebras de Hopf semisimples,etc.

    Una fuente importante de ejemplos de categoŕıas de fusión vienedada por la categoŕıa de representaciones de álgebras de Hopfdébiles conexas semisimples. Recientemente, en [AN] los autoresintroducen una construcción de álgebras de Hopf débiles kστ T , apartir de grupoides apareados (V,H) y un cierto par de 2-cociclos(σ, τ) ∈ Opext(V,H). Cuando el grupoide V es conexo, la cate-goŕıa Rep(kστ T ) es de fusión. En [AN] también se prueba que elgrupo Opext(V,H) cabe en la llamada sucesión exacta de Kac0 −→ H1(D, k×) res−→ H1(H, k×)⊕H1(V, k×) −→ Aut (k T )−→ H2(D, k×) res−→ H2(H, k×)⊕H2(V, k×) −→ Opext(V,H)−→ H3(D,K×) res−→ H3(H, k×)⊕H3(V,k×) −→ . . .El propósito de este trabajo es mostrar ejemplos expĺıcitos de

    grupoides apareados (V,H) y el cálculo de Opext(V,H) v́ıa lasucesión exacta de Kac y v́ıa reducción de la cohomoloǵıa degrupoides a la cohomoloǵıa de grupos.

    References

    [AM] N. Andruskiewitsch and J.M. Mombelli, Examples of weakHopf algebras arising from vacant double groupoids , preprint,math.QA/0405374.

    [AN] N. Andruskiewitsch and S. Natale, Double Categories and Quan-tum Groupoids, preprint, math.QA/0308228.

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  • T́ıtulo: Estructura de Hodge polarizada para laCohomoloǵıa de OrbifoldAutores: Javier FernandezLugar: Instituto Balseiro, Universidad Nacional de Cuyo

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  • T́ıtulo: Fórmulas para trazas en álgebras cero-dimensionalesAutores: Carlos DÁndrea - Gabriela JeronimoLugar: Department of Mathematics, University of California, BerkeleyDepartamento de Matemática, FCEyN, Universidad de Buenos Aires

    Sea K un cuerpo de caracteŕıstica cero y sea I ⊂ K[x1, . . . , xn]un ideal con finitos ceros en Kn. Bajo estas hipótesis, el co-ciente A := K[x1, . . . , xn]/I, es un álgebra cero-dimensionalsobre K. Si p, q ∈ K[x1, . . . , xn] son polinomios tales que q noes un divisor de cero en A, la multiplicación por p/q induceuna aplicación K-lineal φp/q : A → A, φp/q([f ]) = [pq .f ].Estudiamos la dependencia de la traza de esta aplicación linealcon respecto a los datos: el ideal I y los polinomios p, q.En primer lugar, establecemos una expresión para la trazade φp/q como una función racional en términos de la formade Chow generalizada del ideal I. A continuación, conside-ramos el caso en que I es una intersección completa en eltoro y p y q son polinomios genéricos con soportes prefijados,obteniendo fórmulas para numeradores y denominadores detrazas en términos de resultantes ralas. Para terminar, exhi-bimos fórmulas para la factorización del denominador de latraza, análogas a las fórmulas conocidas para denominadoresde residuos en el toro.

  • T́ıtulo: La función generadora exponencial en el Algebra de WeylAutores: José Luis AguadoLugar: Unicen-TandilLa función generadora exponencial en el álgebra de Weyl

    Dado un cuerpo K de caracteŕıstica cero , sea Sn (K) = K [[X1, ..., Xn]]el anillo de series de potencias formales en las n indeterminadas X1, ..., Xn,y m el ideal maximal de Sn (K).

    Sea Dn (K) la K-álgebra de Weyl de operadores diferenciales de Sn (K)generada por las derivaciones DQ =

    ∑ni=1 qi∂i donde los qi operan por multi-

    plicación y ∂i denota∂

    ∂Xi. Sea µ : gr (Dn (K)) → Dn (K) el K-isomorfismo

    natural de espacios vectoriales, donde gr (Dn (K)) = Sn (K)[∂1, . . . , ∂n

    ]es

    el anillo graduado asociado. Para DQ ∈ Dn (K) ponemos D̃Q = µ−1 (DQ).Sea Q1 = (q1,1, ..., q1,n) ∈ (m2)n y se define la sucesión Qj = (qj,1, ..., qj,n)

    para j ≥ 2 por qj,i = 1j DQ1(q(j−1),i

    ), i = 1, ..., n. Es decir Qj =

    1jDQ1 (Qj−1).

    Desde que qj,i ∈ mj+1 para todo i, las sumas parciales sobre j son conver-gentes en la topoloǵıa m−ádica de Sn (K), y se puede poner:

    qi =∞∑

    j=1

    qj,i para i = 1, ..., n, Q =∞∑

    j=1

    Qj = (q1, ..., qn)

    Sean DQ la correpondiente derivación y D̃Q definida como antes. Sea además

    f (λ) =∑∞

    j=1 D̃Qjλj ∈ gr (Dn (K)) [[λ]] la función generadora ordinaria de la

    sucesión D̃Qj .Se prueba que para cada m ≥ 1 vale:

    1

    m!DmQ1 = µ

    ({ef

    }m

    )(1)

    donde ef es la función generadora exponencial de f (λ)k y {}m denota elcoeficiente de λm.

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  • T́ıtulo: Rango asociado a una curva proyectivaAutores: Gonzalo ComasLugar: Departamento de Matemática, FCEyN, UBA

    Sea X ⊂ Pn un curva proyectiva, no singular y no degenerada de génerog. Definimos el rango asociado a X de un punto p ∈ Pn como el menorentero k tal que p pertenece a una variedad lineal generada por k puntosde X.

    Esta noción de rango está relacionada con las variedades secantes de lacurva X, y generaliza la definición de rango de una forma binaria. Por suparte, esta definición se relaciona con el Problema de Waring referente ala escritura de polinomios como suma de potencias.

    En esta presentación se expondrán los resultados obtenidos en el caso enque X es una curva eĺıptica (esto es, el género de X es uno). Entre ellosdaremos la descripción de los conjuntos de puntos de rango constante.Finalmente mostraremos algunos resultados en el caso en que X es unacurva de género superior.

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  • T́ıtulo: Sistemas de parámetros para ecuaciones diferencialesordinarias polinomialesAutores: Lisi DÁlfonso, Gabriela Jeronimo y Pablo SolernóLugar: Dep. de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,Universidad de Buenos Aires

    Dado un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias poli-nomiales, es posible asociarle un ideal diferencial en un anillode polinomios diferenciales, lo que permite el estudio de di-versas cuestiones relacionadas con la resolución del sistemautilizando métodos algebraicos.En este trabajo, consideramos ciertos sistemas de ecuacionesálgebro-diferenciales de primer orden relacionados con el es-tudio de problemas en teoŕıa de control. Nos concentramosen el cálculo de un sistema de parámetros para el ideal primoasociado al sistema (un conjunto maximal de variables dife-rencialmente independientes con respecto al ideal con ciertapropiedad técnica adicional), un posible punto de partida parael cálculo de una representación resolvente.Calculamos la dimensión diferencial del ideal y damos fór-mulas para su función de Hilbert diferencial en términos derangos de matrices jacobianas construidas a partir de las ecua-ciones del sistema, obteniendo en particular, el orden del ideal.Estos resultados extienden los obtenidos recientemente en elcaso cero-dimensional por G. Matera y A. Sedoglavic. Pre-sentamos también un algoritmo para el cálculo de una basede trascendencia diferencial de la extensión de cuerpos dife-renciales inducida. Finalmente establecemos condiciones paraque una base de trascendencia sea un sistema de parámetrosdel ideal, y damos un algoritmo para el cálculo de sistemas deparámetros.

  • T́ıtulo: Sobre algebras de Hopf no semisimples dedimension finitaAutores: Gaston Andres GarciaLugar: Ludwig-Maximilians Universitaet, Munich, Alemania

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  • T́ıtulo: T-álgebra del HipercuboAutores: F. Levstein, C. Maldonado, D. PenazziLugar: FaMAF, UNC

    Dado H = Zn2 y x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ H es sabidoque ∂ define una distancia en H del siguiente modo:

    ∂(x, y) = #{i : xi 6= yi, 1 ≤ i ≤ n}Denominamos hipercubo a H . Estudiamos la T -álgebra asociada a H

    según [4]. Comparamos resultados con [2] y [3]. Comentamos como segeneraliza el resultado para los casos H = Znq

    Referencias

    [1] E. Bannai and T.Ito. Algebraic Combinatorics I:Association Sche-mes.Benjamin Cummings,London,1984

    [2] Go J. The Terwilliger algebra of the hypercube Europ. J. Comb. 23 No 42002.

    [3] J.M. Marco and J. Parcet, On the natural representation of S(Ω) intoL2(P (Ω)): Discrete harmonics and Fourier transform, J. Comb. Theory,Ser A 100 No 1 (2002) ,153-175.

    [4] P. Terwilliger. The subsconstituent algebra of an association scheme I, II,III. J. Alg. Combin. 1992, 1993, 1993 (resp.)

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  • T́ıtulo: Teoremas de codimensión en variedadestóricas compactasAutores: David Cox y Alicia DickensteinLugar: Amherst College, USA y Dto. de Matematica, FCEyN, UBA

    Sea X una variedad tórica compacta con anillo coordenado homogéneo S. Eneste trabajo, calculamos cotas inferiores y superiores para la codimension en gradocŕıtico, del ideal generado por dim(X) + 1 polinomios multihomogéneos de S sinceros comunes en X, cuando la familia asociada de poĺıtopos es esencial. En parti-cular, la codimensión es siempre no nula. Damos asimismo condiciones geométricassobre los poĺıtopos, bajo las cuales la codimensión en grado cŕıtico alcanza la cotasuperior que presentamos. Cuando los divisores asociados son big y nef, nuestrosresultados implican que la codimensión es 1, lo cual generaliza varios resultadosprevios.

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  • T́ıtulo: Un algoritmo para el cálculo de puntos racionalesde variedades sobre cuerpos finitos.Autores: Antonio Cafure(1), Guillermo Matera(2)Lugar: (1) Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas,Universidad de Buenos Aires. (2) Instituto de Desarrollo Humano,Universidad Nacional de General Sarmiento

    Consideremos un conjunto finito de polinomios F1, . . . , Fm ∈Fq[X1, . . . , Xn] con Fq el cuerpo finito de q elementos y sea Vla variedad af́ın definida por ellos, es decir,

    V := {x ∈ Fnq : F1(x) = · · · = Fm(x) = 0},

    donde Fnq es la clausura algebraica de Fq. Decimos que x es unpunto q–racional de la variedad V si es un elemento de V ∩Fnq .

    Encontrar puntos racionales constituye un problema im-portante tanto en matemática como en computación con unacantidad de aplicaciones: esquemas criptográficos multivaria-dos, teoŕıa de códigos, combinatoria, etc.

    En este trabajo exhibimos un algoritmo que encuentra unpunto q–racional de una variedad V .

    Sean F1, , . . . , , Fr ∈ Fq[X1, , . . . , , Xn] polinomios de gra-do acotado por d y tales que constituyen una sucesión reg-ular. Supongamos que para cada 1 ≤ s ≤ r, los polinomiosF1, , . . . , , Fs generan un ideal radical de Fq[X1, . . . , Xn] y con-sideremos las variedades Vs := V (F1, , . . . , , Fs). Sea δ :=máx1≤s≤r deg Vs. Supongamos además que la variedad V := Vres absolutamente irreducible y que q > 8n2dδ4r . Bajo estascondiciones existe un algoritmo que encuentra un punto q–racional de V y cuya complejidad es esencialmente cuadráticaen δ y el logaritmo de q. En particular, nuestro algoritmo esel primero en la resolución de sistemas de ecuaciones polino-miales sobre cuerpos finitos con complejidad polinomial en elnúmero de Bézout del sistema.

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