Algebra I. – II. szigorlat tételkidolgozás

(2006)

Készítette: Müller Szabolcs

Műszaki Informatika Kar

Pannon Egyetem (Nagykanizsa)

Szigorlati tételek – Algebra I.-II. 2006.

1. Vektorrendszerek Rn-ben Lineáris kombináció; szükséges és elégséges feltételek lineáris összefüggőségre és függetlenségre (bizonyítással). Generátorrendszer, bázis, Steiniz-féle kicserélési tétel, elemi bázistranszformáció, dimenzió. 2. Altér, lineáris leképezés Altér, lineáris leképezés, képtér, magtér. Műveletek lineáris leképezésekkel: összeg, szorzás valós számmal, kompozíció – lineáris leképezést eredményeznek (bizonyítással). Lineáris leképezés és mátrixok kapcsolata; Rangjukra vonatkozó tétel (bizonyítással). Injektív, szürjektív, bijektív lineáris leképezések, ezekre vonatkozó tételek. 3. Mátrixok Mátrixműveletek, műveleti tulajdonságok. Kvadratikus mátrix inverze, szükséges és elégséges feltétel az inverz létezésre (bizonyítással). Inverz előállítása bázistranszformációval. 4. Lineáris egyenletrendszerek Megoldhatóság szükséges és elégséges feltétele. Tételek a homogén lineáris egyenletrendszer megoldásairól (bizonyítással). Inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásai. 5. Determinánsok Részmátrix, determináns, alapvető tulajdonságok. Oszlopok cseréje (bizonyítással), oszlopvektor felírása összegként, oszlopvektor szorzása – a determináns értékének változásai. Mátrixok szorzatának és inverzének determinánsa. Cramer-szabály és következményei. 6. Absztrakt vektortér Vektortér, nullelemre vonatkozó tételek (bizonyítással). Ellentettre vonatkozó tételek (bizonyítással). Lineáris függetlenség, összefüggőség, bázis, dimenzió, altér. 7. V->W típusú lineáris leképezések Lineáris leképezés, magtér, képtér, nullitás, rang. Izomorf vektorterek, struktúra – tétel, nullitás – rang tétel. Diagonalizálhatóság, sajátérték, sajátvektor, sajátaltér, karakterisztikus polinom és egyenlet. 8. Gráfelméleti alapfogalmak, izomorfia Gráf, egyszerű gráf, fokszámra vonatkozó tételek. Teljes; n-pólusú; csillaggráf; n – dimenziós kockagráf és tulajdonságai (bizonyítással). Izomorf gráfok. Részgráf, feszített részgráf. 9. Út és kör a gráfban Út és kör. Összefüggőség, komponensek, erre vonatkozó tételek. Többszörösen csúcs- illetve élösszefüggő gráfok. Euler út és kör – szükséges és elégséges feltétel (bizonyítással). Hamilton út és kör – szükséges illetve elégséges feltételek. 10. Gráf mátrixai, algoritmusok Csúcsmátrix, élmátrix, tulajdonságok. ”Tintacseppentő” módszer; Dijkstra – algoritmus.

11. Fagráf, minimális költségű feszítőfa Fagráf, szükséges és elégséges feltétel (bizonyítással). Csúcsok fokszámára, élek számára vonatkozó tételek. Feszítőfa, algoritmus minimális költségű feszítőfa keresésére. 12. Síkgráfok, színezések Síkgráf, redukált gráf. Kuratowsky-tétel, szükséges feltétel az egyszerű gráf síkbarajzolhatóságához. Csúcsszínezés, kromatikus szám, négyszíntétel. 13. Algebrai struktúra, félcsoport Félcsoportban, monoidban: hatványozás és azonosságok; egységelemre és inverzelemre vonatkozó tételek (bizonyítással). Részfélcsoport. 14. Csoport, nevezetes csoportok Csoport, egyszerűsítési szabály (bizonyítással). Nevezetes csoportok: ciklikus csoport, transzformáció-félcsoport, szimmetrikus csoport, ciklikus írásmód, forgáscsoport, diédercsoport. Részcsoport. 15. Izomorf csoportok, mellékosztályok Izomorfizmusra vonatkozó tételek (bizonyítással). Elem és csoport rendje. Mellékosztályokra vonatkozó tételek és Langrange-tétel (bizonyítással). Elem által generált ciklikus részcsoport (végtelen illetve véges esetben). 16. Gyűrű, test, háló Gyűrű additív egységelemre (bizonyítással), nullosztó. Test, prímtest, Galois-test. Hálóban: idempotencia (bizonyítással), dualitás; részben rendezés értelmezése, disztributív és egységelemes háló, komplementum; Boole-háló.