Algebra i Funkcije Srednji Nivo

www.matematiranje.com

1

Средњи ниво

Алгебра и функције

Напомена бр. 19)

РЕШАВАЊЕ СИСТЕМА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА

Две линеарне једначине са две непознате чине систем једначина.

систем има облик : ax + by = s

cx + dy = t

где су a,b,c,d коефицијенти, а x и y непознате или променљиве.

1) МЕТОДА СУПРОТНИХ КОЕФИЦИЈЕНАТА

2)

Када су кефицијенти уз једну променљиву супротни бројеви тада препишемо једну једначину

система а другу једначину добијемо сабирањем једначина полазног система.

пример 1. 2x + y = 0

x - y = 3

2x + y = 0 ову једначину смо преписали из полазног система

3x = 3 ову једначину смо добили сабирањем једначина ситема

2x + y = 0

x = 1

2·1 + y = 0

y = -2

2) МЕТОДА ЗАМЕНЕ

Овом методом систем решавамо у два корака :

прво из једне једначине система изразимо једну непознату,

а онда тако изражену непознату заменимо у другу једначину система.

добијемо једначину са једном непознатом коју решавамо.

пример 2. 2x + y = 0

x - y = 3

x = 3 - y изразили смо непознату из друге једначине система

2( 3 - y ) + y = 0 заменили смо изражену непознату у прву једначину

x = 3 - y

6 – 2y + y = 0 решавамо једначине са једном непознатом

x = 3 - y

y = 6______

x = 3 – 6

x = -3


2

Систем линеарних једначина решавамо методом супротних коефицијената

2 3 4 / 3

3 2 7 / 2

6 9 12

6 4 14

13 26

26

13

2

x y

x y

x y

x y

y

y

y

+ = ⋅

− + = ⋅

+ = +

− + =

=

=

=

Добијену вредност за y заменимо у било коју од једначина полазног система.

2y = → 2 3 4x y+ =

2 3 2 4

2 4 6

2 2

1

x

x

x

x

+ ⋅ =

= −

= −

= −

Решавање система је уређени пар: ( ) ( ), 1, 2x y = −

Тачан одговор је под г)


3

3 3 7 2

3 5

x xx

+ += −

Целу једначину множимо најмањим заједничким садржаоцем ( НЗС ) за имениоце 3 и 5

НЗС (3,5)=15

3 3 7 2

/ 153 1 5

x x x+ += − ⋅

( ) ( )

5 3

1 1

3 3 7 215 15 15

3 1 5

5 3 3 15 3 7 2

15 15 15 21 6

15 15 21 6 15

21 21

21

21

1

x x x

x x x

x x x

x x x

x

x

x

+ +⋅ = ⋅ − ⋅

⋅ + = − ⋅ +

+ = − −

− + = − −

= −

= −

= −

Можемо да решимо сваки систем али је једноставније да решење које је дато ( )1, 2− − заменимо у сваки

систем.

а)

1

2

x

y

= −

= −

2 3 0

3

x y

y x

− − =

= −

( )1 2 2 3 1 4 3 0− − − − = − + − = Тачно

2 1 3− = − − Ово није тачно

→ ( )1, 2− − Није решење овог система


4

б)

2 2 3 0

2 3

x y

x y

− − =

− + =

( ) ( )2 1 2 2 3 2 4 3 1⋅ − − ⋅ − − = − + − = Није тачно

→ ( )1, 2− − Није решење овог система

в)

( )

3

2 3

1 2 3

1 2 3

1 1

x y

y x

= − −

= −

− = − − −

− = −

− = −

( )2 2 1 3

4 1 1

4 4

⋅ − = − −

− = − −

− = −

Решење ( )1, 2− − задовољава обе једначине система па је решење система под в)

Тачан одговор је под в)

( )

( ) ( )

2 2

1 1

2 11 0,5

2 4

2 1 1 1/ 2,4 4

2 1 2 4

2 1 1 14 4 4 4

2 1 2 4

2 2 4 2 1 1

2 4 4 2 1

2 2 1

3 1

1

3

m m

m mНЗС

m m

m m

m m

m m

m

m

+ +− = −

+ +− = − ⋅ =

+ +⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

+ − = − +

+ − = − −

+ = −

=

=


5

( )

( )

( ) ( )

( )

2 1

1 1

2 3 5 62 / 3,6 6

3 6

2 3 5 66 6 6 2

3 6

2 2 3 1 5 6 12

4 6 5 6 12

12 / 1

12

x xНЗС

x x

x x

x x

x

x

− −− = ⋅ =

− −⋅ − ⋅ = ⋅ −

− − − = −

− − + = −

− = − ⋅ −

=

Решење једначине је између бројева 10 и 20



КВАДРАТНИ КОРЕН

Квадратни корен ненегативног броја a , у ознаци a , је број чији је квадрат једнак датом броју a .

Основна својства кореновања:

1) ( )a 2 = a , 0≥a

2) 2a = a

3) ab = a b , 0, ≥ba

4) b

a =

b

a , ba ,0≥ >0


6

а)

( )( )

232 0,5

8 0, 25 7,75

− =

− =

б)

( )( )

22 3

2

5 3

25 27

− =

− =

( ) ( )2 22 2 4 ,n na a n− = = → − = −паран

в)

2144 2 81 11

12 2 9 11

12 18 11 19

+ − =

+ ⋅ − =

+ − =

( )( )

( )3 182 2 3 6 18 15 3

152

3

312 212 3 12 6 18

3

55 15 153

22 2 2 2 22

4 2

8 2

2 22 4 2 2 22

8 2 22направимоисте основе

⋅ −

↓ ↓ ↓

= = = =

==

⋅⋅ ⋅= = = =

Тачан одговор је под г)


7

а)

4 93 1 1

9 16

4 253 1

9 16

2 53 1

3 4

3 2 53

3 3 4

1 5 5 13 1

3 4 4 4

⋅ − ⋅ =

⋅ − ⋅ =

⋅ − ⋅ =

⋅ − ⋅ =

⋅ ⋅ = =

б)

91 : 0,36

25

25 9 36:

25 100

16 9:

25 25

4 3:

5 5

4 5 4 11

5 3 3 3

− =

−=

=

=

⋅ = =


8

( )

( )222 4

4 4 4

3 33 9 3 33

3 33

⋅⋅ ⋅= = =

−

Тачан одговор је под б) 3

( ) ( )

4 3 4 3 7

43 2 4 4 3 4

5 4 5 4 1

5 5 5 5

2 2 2 2 3

3 :3 3 3 3

9 16 3 4 7

+

⋅ ⋅

−

⋅ = =

= = =

= = =

+ = + =


9


КВАДРАТ БИНОМА

• квадрат збира → ( )BA + 2 = 22 2 BABA ++

• квадрат разлике → ( )BA − 2 = 22 2 BABA +−

РАЗЛИКА КВАДРАТА

22 BA − = ( )BA − ( )BA +

( )2 2 22A B A AB B+ = + +

( )2 22 0, 2 4 0,8 0,04

КВАДРАТБИНОМА

x x x↓

+ = + +

Одавде видимо да је тачан одговор под в)


10

Најпре одредимо квадрат сваког бинома:

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

22 2 2

22 2 2

2

2 2

2 2

22 2

0, 2 0,4 0, 2 0,4 0,04 0,16 0,16

0, 4 0,2 0, 4 0,2 0,16 0,16 0,04

0,2 0, 4 0,2 0, 4

0, 2 2 0,2 0,4 0,4

0,4 0,16 0,16

0, 2 0, 4 0, 2 0, 4 0,04 0,1

А m n A m n m m n n

B m n B m n m m n n

C m n C m n

m m n n

m m n n

D m n D m n m

= + = + = + ⋅ +

= + = + = + ⋅ +

= − − = − − =

= − − − ⋅ + =

= + ⋅ +

= − = − = − 26 0,16m n n⋅ +

Одавде видимо да је: 2 2A C=

Тачан одговор је под а)

0, 2 0,3

0, 4 0,2

K a b

S a b

= +

= −

а)

( ) ( )0,2 0,3 0, 4 0,2

0,2 0, 4 0,3 0,2

0,6 0,1

K S a b a b

a a b b

a b

+ = + + −

= + + −

= +

б)

( ) ( )0, 2 0,3 0,4 0, 2

0,2 0, 4 0,3 0, 2

0,2 0,4 0,3 0, 2

0, 2 0,5

K S a b a b

a a b b

a a b b

a b

− = + − −

= + − +

= − + +

= − +


11

в)

( ) ( )( ) ( )( )

2 2

2 2

0,2 0,3 0, 4 0,2

0, 2 0,4 0, 2 0, 2 0,3 0,4 0,3 0, 2

0,08 0,04 0,12 0,06

0,08 0,08 0,06

K S a b a b

a a a b b b b b

a ab ab b

a ab b

⋅ = + − −

= ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ −

= − + −

= − + −

а)

( ) ( ) 22 3 5 3 10 9a a a− + ⋅ − + = + Није тачно, јер је.

( ) ( ) ( ) ( )2

2

2 3 5 3 2 5 2 3 3 5 3 3

10 6 15 9

10 21 9

a a a a a a

a a a

a a

− + ⋅ − + = − ⋅ − − ⋅ + ⋅ − + ⋅ =

= − − + =

= − +

б)

( )2 22 3 4 12 9x x x− = − + Тачно, јер је.

( )2 22 3 4 12 9x x x− = − +

в)

( ) ( ) 22 3 3 2 6 13 6a a a a− + ⋅ − + = − + Тачно, јер је.

( ) ( ) ( ) ( )2

2

2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2

6 4 9 6

6 13 6

a a a a a a

a a a

a a

+ ⋅ − + = − ⋅ − − ⋅ + ⋅ − + ⋅

= − − + =

= − +

г)

( )2 22 3 4 9a x+ = + Није тачно, јер је.

( )2 22 3 4 12 9a x x+ = + +


12

Квадрат бинома: ( )2 2 22A B A AB B− = − +

2

2 2 2 21 1 1 12

2 4 2 4m n m m n n m m n n

− = − ⋅ ⋅ + = − ⋅ +


Ако за 4 јаја треба 280g шећера, тада за 3 јаја треба х шећера.

Пропорција је:

4 : 3 280 :

4 3 280

3 280

4

3 70

X

x

x

x

=

= ⋅

⋅=

= ⋅

210x g= шећера

За 3 јајета потребно је 210g шећера.


13

480- Девојчица

х - Дечака

дечаци : девојчице 7 :8=

: 480 7 :8

8 7 480

7 480

8

7 60

420

x

x

x

x

x

=

= ⋅

⋅=

= ⋅

=

Дечаци + Девојчице = 420+480=900

У школи " Радост " укупан број ученика је 900


14

2

1 4x

y

На графику се види да права пролази кроз тачке ( 0, 0 ) и ( 4, 2 ). Заменимо ове вредности за x и y у функцију и

видимо коју функцију задовољава ова тачка са кординатама x и y.

4 2x y= =

а) 1 1 4

2 4 23 3 3

y x= → = ⋅ → = - Није тачно

б) 1 1

2 4 2 22 2

y x= → = ⋅ → = - Тачно

в) 2 2 2 2 2 4y x= → = ⋅ → = - Није тачно

г) 3 2 3 4 2 12y x= → = ⋅ → = - Није тачно

Тачан одговор је под б)


15

Означимо х- олово, у- цинк

График функције представља зависност између количине олова (х) и цинка (у) у легури.

Одредимо облик функције:

олово : цинк 2 :1=

: 2 :1

2

x y

x y

=

=

1

2y x= Функција

Сада утврдимо који график одговара овој функцији, тако што заменимо координате тачке ( х, у ) која

припада графику у функцију 1

2y x=

а)

1

( , ) (2,3) 3 22

x y = → = ⋅ Ово није тачно

б)

21( , ) (4,1) 1 4

2x y = → = ⋅ Ово није тачно

в)

1

( , ) (2,1) 1 2 12

x y = → = ⋅ = Ово је тачно,дакле ( , ) (2,1)x y = са графика в)задовољава функцију 1

2y x=

г)

1

( , ) (2, 4) 4 2 42

x y = → = ⋅ = Ово није тачно.



16

а)

8 2400

12

метара динара

метара хдинара

↑ ↑

↑ ↑

: 2400 12 :8

8 12 2400

12 2400

x

x

x

=

= ⋅

⋅=

300

8

12 300

3600

x

x

= ⋅

=

а) 12m платна кошта 3600 динара.

б)

8 2400

750

метара динара

х метара динара

↑ ↑

↑ ↑

:8 750 : 2400

2400 8 750

8 750

2400

x

x

x

=

= ⋅

⋅=

300

750 75

300 30

2,5

x

x

= =

=

б) За 750 динара може се купити 2,5 метара платна.


17

Поставимо једначину:

Ј - цена јагода, Т - цена трешања

5 2 300

5 2 300

kg J kg T

J T

⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ =

5 156J⋅ = динара

156 2 300

2 300 156

2 144

144

2

T

T

T

T

+ ⋅ =

= −

=

=

72T =

Килограм трешања кошта 72 динара.

Реља има: х динара

пре 30 дана је имао половину садашње уштеђевине, а то је 2

x

Тих 30 дана штедео је по 50 динара, а то је : 30 50 1500⋅ =

Па је:

Како је 2 2

x xx = +

Укупно реља има:

15002

15002

21500

2

15002

xx

xx

x x

x

= +

− =

−=

=

3000x = Динара.

Реља сада има 3000 динара.


18

Обим једнакокраког троугла: 2O a b= +

На слици видимо:

3

a x

b x

=

= +

И обим је 42O cm=

( )2

42 2 3

42 2 6

42 6 3

36 3

36

3

O a b

x x

x x

x

x

x

= +

= + +

= + +

− =

=

=

12x = Основица једнакокраког троугла.

Дужина крака је 36 12 3 15x cm+ = + =

Продато је:

I дан: 375

II дан: 375kg-105kg=270kg

III дан: Х

1200 kg-357 kg-270kg-Х kg =200 kg

555 200

555 200

355

kg Xkg kg

Xkg kg kg

Xkg kg

− =

= −

=

Трећег дана је продато 355 килограма брашна.


19

Означимо,

Петрова уштеђевина је х динара.

Потрошио је трећину, то је: 3

x

Остало му је: 2

3 3

xx x− =

Знамо да му је остало 800 динара. па је 2

8003

x=

2

3 3

8003

8003

2800

3

2 2400

1200

x xx

xx

xx

x

x

x

= +

= +

− =

=

=

=

Петрова уштеђевина је била 1200 динара.

Documents

Algebra i Funkcije Srednji Nivo