Dr Veselin PERI, redovni profesor Prirodno-matematikog fakulteta ll. Sarajevu

ALGEBRA I DIO

PRSTENI I MODULI LINEARNA ALGEBRA

Drugo izdanje

.. SVJETLOST", OOUR Zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo, 1987.

Odgovorni urednik Ramiz D~ananOf}j

Recenzenti dr ordi Cupona. profesor Matematikog fakulteta u

Skoplju; dr Mirko Mihaljinec. profesor Prirodoslovno-matemati

kog fakulteta u Zagrebu; dr Slavila Preli. profesor Prirodno-matematikog fakul-

teta u Beogradu

Lektor

I Muharem Bori I Naslovna strana Ivica (5avar

Tehniki urednik Vladimira Dizdarevi

Korekturu izvrio autor

Tira: 1000 primjeraka

Izdaje .. Svjetlost". OOUR Zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo

Ova knjiga je tampana uz finansijsku pomo SIZ-a nauke BiH.

Za izdavaa Abduselam RustempaIi

tampa "MINERVA" Izdavako-tamparska radna organizacija OOUR tamparska delatnost. Subotica

Za tampariju Stjepan Vukeli. graf. in.

CIP - Katalogizacija u publikaciji Narodna i univerzitetska biblioteka BiH. Sarajevo 512(075.8) PERle. Veselin

Algebra! Veselin Peri. - 2. izd. - Sarajevo : Svjetlost, 1987. - 2. knj. ; 24 cm ISBN 86-01-00930-1 Dio 1 : Prsteni i moduli ; Linearna algebra.

420 str. Bibliografija: str. 407. - Registar.

ISBN 86-01-00930-1

P R E D G O V O R Z A P R V OI Z D A N l E

Ova knjiga, iji prvi dio izlazi, a drugi dio, poS'Veen Teoriji Galois, je u pri-premi i trebalo bi oekivati da se i on pojavi do sredine idue godine) nastala je iz predavanja kojfJ sam vie godina drao (Algebra 1 i Algebra 1/) ik,oja jo drim (Algebra ll) za stu4ente matematike Prirodno-matematikog fakul-teta u Sarajevu. Djeliminim proirivanjem tih predavanja nastojao sam 4a u ovoj knjizi izloim uglavnom cjelokupnu materiju koja se u okviru dvaju jednogodinjih kurseva predaje za studente matematike i na drugim univerzi-teuma kod nas. Ovaj prvi dio knjige trebalo bi da obuhvati ve uveliko ustaljeni materijal koji ulazi u okvir Linearne algebre i kojim se obino poinje kurs Algebre na uni-verzitetima i to ve u prvoj ili, najkasnije, u drugoj godini studija. Na nekim se univerzitetima Linearna algebra predaje skupa sa Geometrijom, iz koje je nastala iu kojoj nalazi brojne primjene. Tada ona dolazi na sam poetak stu-dija matematike. Ima mnogo ra'Zloga za ovakvo ujedinjavanje osnovnog kursa Geometrije i Linearne algebre. Tako se na prirodan nain stiu motivi koji olakavaju shvatanje pojmova i metoda Linearnealgebre, a s druge strane, primjenom aparata Linearne algebre ekonominije i elegantnije rjeavaju pro-blemi Geometrije. Iako se tada predvidi neto vile prostora za ovakav jedno-godilnji kurs, . obino ova simbioza Geometrije i Linearne algebre ispadne na tetu obima, a i nivoa izloenog materijala iz Linearne algebre. To je glavni razlog to se esto dre odvojeno osnovni kurs Geometrije i kurs Linearne algebre. Tada neto elementarniji kurs Geometrije obino prethodi kursu Linearne algebre, koji tako doe tek u drugoj godini studija. Naravno se f, tada u kursu Geome-trije razvijaju i koriste elementarne metode Linearne algebre, ali se opti pristup odgaa za godinu dana,kada se moe oekivati vea zrelost studenta i navik-nutost na apstraktnije razmiljanje. Time, dakako, ne otpada potreba za uka-zivanjem na geometrijske, i druge motive prilikom uvoenja optih pojmova i razmatranja, problema Linearne algebre. Ima tendencija, koje djeluju pomalo ekstremno, da se uloge Geomem'je i Line-arne algebre potpuno zamijene: da kao primarna dode Linearna algebra, a da se Geometrija izgrauje na temelju Linearne algebre. U tom pogledu tipina je knjiga l. Diedonea .Linearna algebra i elementarna geometrija. Na Prirodno-matematikom fakultetu u Sarajevu Linearna algebra predaje se u obliku zasebnog kursa u drugoj godini studija. Zato je razumljivo to sam' tt izlaganju Linearne algebre polazio od pretpostavke da je italac ove knjige prethodno upoznat sa osnovnim kursom geometrije. Ta pretpostavka ne bi tre-balo da predstavlja veliku obavezu za itaoca kome ova knjiga dolazi u ruke

3

na samom poetku studiJa, jer se gotovo ne moe desiti da mu osnovne injenice iz geometriJe u toJ m/eri nisu poznate da ne bi mogao prihvatiti primjere iz geometrzje kojima se ilustruJu po/movi i problemi Linearne algebre. Ti prim/eri su zapravo Jedini oblik oslanJanJa na prethodna znanJa iz geometrije. Uostalom, za takvog itaoca, a moda i inae, moemo preporuiti knJigu S. Kurepe Uvod u linearnu algebru, koJa vrlo uspjelo na geometriJskim izvorima izgrauje os-novne pojmove i ilustruJe osnovne probleme i metode Linearne algebre. Iz sadraJa se uoava da su u okviru ovog dijela knjige Algebra nafli svoJe m/esto standardni sadraJi Linearne algebre. N/ima je posveeno direktno osam od ukupno deset glava, sve osim prve i devete glave. Prva glava je uvodnog karaktera i predstavlja pripremu ne samo za ovai prvi nego i za drugi dio knjig8. U devetoJ glavi razmatraJu se moduli nad prstenima glavnih ideala i direktna razlaganja ovih modula na ciklike podmodule. To Je sadraj koji strogo uzev ne ulazi direktno u Linearnu algebru, koja se ograniava samo na vektorske prostore. Meutim, iz problema Linearne algebre (pitanje Zordanove-Jordan--kanonske forme matrica) proistie prirodna potreba za razmatranjem modula nad speci/alnim prstenom glavnih ideala, koje bi za ove potrebe, dodue, moglo biti neto krae nego to Je to uinjeno u devetoj glavi. Slina potreba javlja se u vezi sa prouavanjem Abelovih grupa, a i inae. Zato Je prirodno da sadraJ devete glave nae m/esto u okviru osnovnih kurseva Algebre. On je ovdje pri-mijenjen na konano generisane Abelove grupe, a u posljednjoj glavi na pitanja vezana za kanonsku lordanovu formu matrica. Citalac kojega ne zanimaju ova pitanja moe se ograniiti na prvih osam glava. Ukoliko su mu poznate osnovne injenice o nulama polinoma, takav italac ne mora prethodno itati posljednji paragraf prve glave, Jer je on, to se prvog dijela knjige tie, neophodan samo za devetu glavu. Ima italaca iji e se interes ograniiti samo na vektorske prostore nad poljem realnih ili kompleksnih brojeva. Ako ga ne zanima kanonska lordanova forma matrice, takav italac ne mora itati ni trei paragraf prve glave. Ukoliko mu je poznat pojam grupe, on bi zapravo itanje mogao zapoeti odmah sa drugom glavom. Pri tome bi trebalo da svuda polje K uzima kao polje realnih ili polje kompleksnih brojeva, a da u tekstu prelazi preko pitanJa koja se tiu modula, ako su posebno razmatrana za vektorske prostore, odnosno da i tamo pod prstenom R podrazumijeva polje realnih ili kompleksnih brojeva, ako su bile u pitanju stvari koje su iste u (slobodnim) modulima kao i u vektor-skim prostorima, pa nije bilo potrebe da se o njima govori dva puta. Za potrebe ovog dijela knjige mogu i ostali itaoci prvu glavu itati uz odreene uf tede truda. T ako se kod prvog itanja u svakom sluaju moe prei preko svih zadataka iz prve glave, koji su brojni i slue proirivanju kruga injenica, ali se, osim nekih injenica o permutacijama, koje su neophodne za optu defi-niciju determinante matrice, ne koriste u prvom dijelu knjige. Osim toga, os-novni tekst prva dva paragrafa prve glave je dosta elementaran i vjerovatno je poznat veini italaca. Ti itaoci mogli bi takoer PQeti odmah sa drugom glavom, s tim to bi se na trei i etvrti paragraf prve glave vratili kasnije, ali svakako prije itanja devete glave. Kako je ve spomenuto, ima mnogo stvari koie se, ponekad uz dodatne pret-postavke koje su u sluaJu vektorskih prostora automatski ispunjene, odnose ne samo na vektorske prostore, nego i na sve unitarne module nad komutativnim prstenima. Kad je god to bilo mogue uraditi na jednostavan nain, odluivali smo se za opte formulacije koje se tiu unitarnih modula, uz komentar o tome ta se iz tih formulaciJa dobiJa u sluaju vektorskih prostora. S druge strane,

uz mnoge injenice konstatovane za vektorske prostore, kad one ne vrijede ni uz jednostavnu modifikaciju za sve unitarne module, ukazivali smo na injenicu da, a ponekad i na razloge zato slino ne vrijedi i za sve unitarne module. Ima pitanja specifinih za vektorske prostore, ak za samo realne ili kompleksne vektorske prostore, gdje se naporedno promatranje unitarnih modula i vektor-skih prostora nije moglo niti trebalo vriu'. Takvim pitanjima posveen je pre-tean dio etvrte i pete glave, zatim itava sedma i osma glava. Meutim, ak i determinante su uvedene kao odreene multilinearne funkcije definisane na slobodnom modulu, a ne samo na vektorskom prostoru. Da bi im se to realnije ocijenila uloga, to je uinjeno tek poto su svi problemi na koje se determinante ovdje primjenjuju prethodno rijeeni drugim metodama, uglavnom baziranim na elementarnim transformacijama matrica nad poljem. I neki drugi problemi rjertvani su na vie naina. Tako je, na primjer, teorema o rangu vrsta i kolona matrice nad poljem dokazana najprije pomou elemen-tarnih transformacija matrica, a zatim pomou adjungovanih transformacija.

/ Nastojali smo da !'zlaganje olakavamo adekvatnim ilustracijama i primjerima, pa je u itavom tekstu sadran veliki broj primjera kojima se ilustruju pojmovi, odnosno odreene metode. Meu njima ima i numerikih, veinom do kraje ura-

enih primjera. Gotovo uz svaki paragraf dato je po nekoliko zadataka sa uputstvima, koja najee predstavljaju kompletnu skicu rjeenja. Ovim je obim prvog dijela knjige moda proiren vie nego to bi inae obuhaeni mate-rijal zahtijevao. Nadamo se da e to proirenje biti opravdano olakanjem u savladavanju osnovnog sadraja i sagledavanju njegovih primjena koje e time biti; postignuto. Napomenimo na kraju da se numeriki primjeri odnose na elementarne metode i da u okviru ove knjige m'su mogla nai mjesto pitanja stvarnih numerikih metoda Linearne algebre. Isto tako nije moglo biti rijei o Linearnom progra:' miran ju, koje se, dodue, koristi metodama Linearne algebre, ali ima svoje spe-

cifine probleme i metode: ono se u Sarajevu predaje u obliku zasebnog kursa, a slino je i na drugim univerzitetima. Koristim priliku da se zahvalim svima koji su na bilo koji nain doprinijeli da se ova knjiga pojavi i da njen tehniki izgled, a i sam sadraj to vie odgovore njenoj namjeni. Posebno se zahvaljujem recenzentima na korisnim primjedbama, koje su doprinijele poboljanju teksta, i urednicima za matematiku izdavake kue "Svjetlost" na inicijativi za ovaj poduhvat i dobronamjernom pourivanju i podrci u njegovom ostvarenju. U Sarajevu, maja 1979.

A u t o r

5

PREDGOVOR ZA DRUGO IZDANJE

U drugom izdanju izvrene su ispravke primijeenih tamparskih greaka i nekih omaki autora. Pored ostalog, promijenjen je zadatak 11,1.2, formulacija i dokaz teoreme II,3.5 i dokaz teoreme IV,2.2, te priprema i formulacija teoreme VIII,3.1. Takoder su izvrene neke dopune Indeksa, u kome su omakom u prvom izdanju izostali neki termini (vezani za prsten). Proireni su neki primjeri (I,l.2.d; 1,2.1. i II,I.I.c) i dodani neki novi zadaci (1,1.10; /,1.11; 1,2.14; 1,2.15; 1,2.16; III,3.9; IV,4.12; IV,4.13; X,4.3; X,4.4; X,4.5, X,4.6 i X,4.7). Znaajnzje izmjene izvrene su u prvom paragrafu prve glave. Tamo su neke vanije injenice vezane za djelovanje grupe na skupu, za periodine grupe ; za Silovljeve p-podgrupe obradene sada u osnovnom tekstu knjige, umjesto u obliku zadataka kao u prvom izdanju. N a taj nain se u spomenutom paragrafu sada pojavljuju tri -.ova podnaslova. U vezi s tim izostavljeni su neki zadaci (1,1.5; 1,1.6; 1,1.9; 1,1.10; /,1.11 i 1,1.15) prvog izdanja. Na omaku u formulaciji zadatka II,1.2 upozorili su me prof. dr Kalmi Finci, doc. dr Branko urguz i asistent mr Milan Janji, koji je i predloio da u tom zadatku uslovom (*) zamijenim prvobitni uslov (**); ja sam tome dodao napo-menu da su ta dva uslova ekvivalentna ukoliko prsten R posjeduje element (! za koji su elementi e i l-e invertibilni (to je sigurno sluaj kad je element 2 . 1 prs-tena R invertibilan, kako je to primijetio i K. Finci). Na propust u dokazu teo-reme II,3.5 upozorio me je docent dr Aleksandar Krape. Poto sam se uvjerio da se jedna tu bez dokaza izreena tvrdnja ne moe dokazati, morao sam da izmIjenim ne samo dokaz nego donekle i formulaciju ove teoreme. Na omaku u formulaciji teoreme VlII,3.1 skrenuo mi je panju prof. dr Svetozar Kurepa. Zato sam u pripremi i samoj formulaciji ove teoreme morao da izvrim odredene ispravke, isputajui ponovo detaljan dokaz. Osim toga, teoremu sam popratio napomenom da se samo u kompleksnom sluaju mogu zadrati uslovi (3.4) i (3.5) prvobitne formulacije. Ostale spomenute i druge omake, ne ukljuujui tu i brojne tamparske greke, u ijem su mi otkrivanju pomogli moji bivi i sa-danji studenti, sam sam uoio. Na pojavu prvog izdanja knjige vrlo ljubazno su reagovali mnogi nai matema-tiari, piui mi ili izraavajui u direktnom susretu svoje utiske o knjizi. Me-du njima elim posebno da istaknem prof. dr Olgu Hadi, prof. dr Svetozara Kurepu i prof. dr Sibu Mardeia. Prikazi prvog izdanja knjige, koje su napi-sali prof. dr Mirko Mihaljinec (u Glasniku matematikom) i dr Milan Hladnik (u Obzoniku za matematiko in fiziko) doprinijeli su da o njoj vie sazna jugo-slovenska matematika javnost. Ugodna mi je dunost da ovom prilikom svim spomenutim osobama izrazim svoju osobitu zahvalnost. Posebnu zahvalnost upuujem izdavau "Svjetlost" Sarajevo, naroito drugovima Savi Zirojeviu iRamizu Dananoviu, za po-javu i dobru opremu i ovog drugog izdanja. U Sarajevu, decembra 1986.

Autor

6

1. GRUPA. PRSTEN. TIJELO, POLJE

1. GRUPOID, POLUGRUPA, GRUPA

Grupoid i polugrupa

U ~kupu N prirodnih brojeva definisane su operacije sabiranje i mnoenje. Sabiranjem. odnosno mnoenjem svakom ureenom paru (x, y) iz N X N pridruujemo element x + y, odnosno x y iz N. Operacije sabiranje i mno enje prirodnih brojeva su, dakle, odreena preslikavanja

N X N ~N> N X N ~N. Ima mnogo slinih primjera koji opravdavaju ovu optu definiciju. Definicija 1.1. Neka je zadan neprazan skup X. Preslikavanje

,- ; ....

XXX~X koje svakom ureenom paru (x, y) iz X X X pridruuje odreen element x * ~ iz X zove se unutranja binarna kompoziciJa ili operacija u X. Ako je u n~praznom skupu X zadana operacija * onda se kae da ta operacija na skupu X odreuje strukturu grupoida. Skup X sa operacijom *, tj. ureen par (X, *) zove se tada grupoid.

Bin~rnu kompoziciju oznaavaemo najee aditivno (znakom +) ili multi-plikativno (znakom .). Tada emo govoriti o aditivnom, odnosno o multi-plik~tivnom grupoidu. U multiplikativnom grupoidu obino se izostavlja-

zna~ . za kompoziciju, pa se umjesto x y pie jednostavno xy. SabIranje i mnoenje prirodnih brojeva su asocijativne i komutativne ope-racije. Uopte kaemo: DeJi;nicija!l,l.2. Operacija * zadana u skupu X je asocijativna, odnosno koinutativna, ako vrijedi (1.1) (x*y)*z=x*(y*z), odnosno (1.2) x * y = y * x za svako x, y z iz X.

7

Ukoliko je operacija * u grupoidu eX, *) asocijativna, odnosno komutativna, onda se kae da je taj grupoid asocijativan, odnosno komutativan ili Abelov. Asocijativan grupoid zove se jo i polugrupa. U multiplikativnom grupoidu N prirodnih brojeva broj 1 ponaa se neutralno, tj. za svako x iz N vrijedi 1 . x = x 1 = x. To je neutralni element grupoida (N, .). Aditivni grupoid (N, +) prirodnih brojeva nema, meutim, neu-tralnog elementa (ako broj O ne raunamo u prirodne brojeve), ali zato adi-tivni grupoid (Z, +) cijelih brojeva ima neutralni element o. Prisustvo neutralnog elementa u nekom grupoidu je interesantno, pa emo precizirati ovaj dogovor:

Definicija 1.3. Neka je (X, *) grupoid. Element e', odnosno e" tog grupo-ida zove se lijevi, odnosno desni neutralni element grupoida, ako za svako x iz X vrijedi (1.3) e' * x = x, odnosno x * e" = x. U sluaju da grupoid ima i lijevi i desni neutralni element, onda su ta dva elementa obavezno jednaka i. jedinstvena. Tada se kae da grupoid ima neu-tralni element. Ako uopte postoji, neutralni element e grupoida eX, *) je, dakle, jedinstven i za njega vrijedi (1.4)

za svako x iz X. U aditivnom grupoidu neutralni element se obino zove nulaelement i ozna-

ava se sa O iIi sa Ox, ako se eli istaknuti daje rije o nulaelementu grupoida X. Umjesto (1.4) tada imamo (lA') O+x=x+O=x za svako x iz X. U multiplikativnom grupoidu X neutralni element zove se obino jedinini element i za njega se, pored oznake e, esto koristi oznaka 1. Za jedinini element vrijedi, dakle, (1.4") e . x = x . e = x, odnosno 1 . x = x . 1 = x

za svako x iz X.

Primjer 1.1. a) Spomenuli smo grupoide (N, +), (N, .) i (Z, +). Grupoidi su i (Z, .), (Q., +), (Q, .), (R, +), CR, .), (C, +) i (C, .). Pri tome je Q, odnosno R,oqnosno C skup racionalnih, odnosno realnih, odnosno kompleksnih brojeva, dok su operacije + i . uobi-

biaj eno sabiranje i mnoenje brojeva. Svi ovi grupoidi su asocijativni i komutativni. Svaki od njih, osim grupoida (N, +), ima neutralni element i to je za aditivne grupoide broj 0, a za multiplikativne broj 1. b) Neka je X zadan neprazan skup, a T x = Xx skup svih preslikavanja X -+ X. U od-nosu na slaganje preslikavanja kao operaciju skup T x predstavlja polugrupu sa neutral-nim elementom

(1.5) idx:X~X, idx(x) = x(x E X).

8

. Operacija slaganja oznaava se obino kruiem o ili multiplikativno. Podsjetimo se da se slaganjem preslikavanja J: X -+ Y i preslikavanja g: Y -+ Z dobija preslikavanje g o J: X -+ Z koje se definie ovako:

(g of) (x) = g (f(x))(x E X). Polugrupa (Tx, o) zove se'po[ugrupa (svih) transJormaci.ia skupa X. Ta pclugrupa nije komutativna za card (X) > l. U tom sluaju, naime, X = {a, b, ... } (a '" b), pa za ele-mente J, g iz T x za koje je

J (x) = a, g (x) = b (x E X) vrijedi

. (fog)(x) =J(g(x)) = J (b)) = a, (g o f) (x) = g (f (x)) = g ea) = b,

za svako x iz X, dakle J o g '" g oJ.

Regularni i invertibi1ni. elementi

U grupoidima (X, *)iz primjera 1.1. a), osim u grupoidima CZ, .), CQ, .), (R, .) i (C, .), svako a iz X ima osobinu . (1.6) za svako x,.y iz X. U grupoidima koje smo izuze1i, tu osobinu nema jedino element a = O. . .

Ra~uniljivQ je,da elementi a grupoida (X, *) koji imaju osobinu (1.6) zaslu-uju pOsebnu panju. . Definicija 1.4. Ako elementa grupeida (X, *) ima osobinu (1.6), onda se kae da je taj element regularan. U' protivnom sluaju, tj. kad postoje elementi x, y iz X za koje vrijedi

(a * x =a * y ili x * a = y * a), x =r= y, za element a kae se da je singularan. Pr.oizvod, 4/>. regularnih ~emenata a, b (multiplikativne) polugrupe X je regularan. Naime,

(ab) x = (ah) y ~ a (bx) = a (by) ~ bx = by ~ x = y, i slino -.

x (ab) =y(ab'~ .. ............... .. ~x=y. Medutim, akO je bar jedan' od elemenata a, b (multip1ikativne) polugrupe X'smgularan, tada je bar jedan od elemenata ab, ba polugrupe X singularan. Stvarno, ako je, na primjer, element b singularan i za elemente x, y iz X vrijedi, recimo bx = by, a1ix =1= y, tada za te iste elemente imamo

(ab}x = a (bx) = a (by) = (ab)y, ali x =l=y, to znai da je tadae1ement aD singularan. Slino bi se u sluaju da za ete.:. mente x,y iz X vrijedi xb= yb, ali x=f:. y zakljuilo da vrijedi x (ba) = y (~a), ali x =1= y, tj. da je element l1a singu1aran.

Ako je J : X ~ X injektivno preslikavanje, tada je njime odreeno bijek-tivno preslikavanje (koje emo oznaiti istim slovom) J : X -+ Im (f), pri emu smo sa

Im (f) = {f (x) I x E X} oznaili sliku preslikavanja J : X --+ X. Zato postoji inverzno preslikavanje

J-l: Im(f)~X, J-l(y) = X8Y =J(x). Posljednje preslikavanje moemo produiti bar na jedan nain do presli-kavanja /' : X ~ X; dovoljno je da stavimo /' (x) = x, (x EC X '" Im (f)). Tako se vidi da za injektivno preslikavanje J : X --+ X vrijedi

(3/, : X~X)f' oj = idx . Obrnuto, svako preslikavanje J : X -;. X za koje vrijedi posljednja relacija je injektivno. Na slian nain mogu se sirjektivna preslikavanja J : X --+ X okarakterisati uslovom

(31" : X ~X) Jo r = idx . Ovo i druge sline situacije moemo uzeti kao povod za sljedeu definiciju. Definicija 1.5. Neka je (X, *) polugrupa sa neutralnim elementom e. Za element a iz X kae se da ima lijevi, odnosno desni inverzni element a', od-nosno a", ako postoje element a' iz X, odnosno element a" iz X takvi da vrijedi (1.7) a' * a = e, odnosno a * a" = e. Kad a ima i lijevi i desni inverzni element, onda su ti elementi obavezno jednaki i a nema drugih inverznih elemenata, ni lijevih ni desnih. U tom

sluaju kae se da je element a polugrupe X invertibilan. Jedinstveni lijevi i (ujedno) desni inverzni element invertibi1nog elementa a oznaava se sa a-l i zove se inverzni element elementa a. Dokaimo sada da stvarno za svaki lijevi a' i za svaki desni inverzni element a" elementa a vrijedi a' = a":

a" = e * a" = (a' * a) * a" = a' * (a * a") = a' * e = a'. Prema (1.7) za inverzni element a-l elementa a vrijedi (1.7') a-l * a = a * a-l = e. U aditivnoj polugrupi X inverzni element elementa a zove se jo suprotni element elementa a i oznaava se sa - a. U tom sluaju umjesto (1.7') imamo (1. 7") - a + a = a + (- a) = o. Neutralni element e polugrupe X sa jedininim elementom je sigurno in-vertibilan i vrijedi e-l = e. Osim toga, ako su elementi a, b invertibilni ele-menti polugrupe X, tada je i element a * b takoer invertibilan i vrijedi (1.8)

10

Stvarno, iz \

a-l * a = a * a-l = e, b-l * b = b * b-l = e slijedi

(b- l * a-l) * (a * b) = b-l * ((a-l * a) * b) = b-l * b = e i slino

(a * b) * (b-l * a-l) = .................... = e. U multiplikativnom, odnosno aditivnom sluaju relacija (1.8) prima oblik (1.8') (ab)-l = b-Ia- l , odnosno - (a + b) = (- b) + (- a). Treba obratiti panju na poredak u relacija.ma (1.8) i (1.8'), koji je bitan u nekomutativnom sluaju. Za invertibi1ni element a polugrupe X sa jedininim elementom e vidjeli smo da inverzni element a-l elementa a predstavlja jedinstveno rjeenje

jednaine x * a = e, odnosno jednaine a * y = e. Uopte vrijedi: Propozicij~ 1.1. Ako je a invertibilni element polugrupe X sa neutralnim elementom e (i multiplikativno oznaenom kompozicijom), tada za svako b iz X jedanina (1.9) ax = b, odnosno ya = b ima u X jedinstveno rjeenje (1.9') x = a-lb, odnosno y = ba-l. Specijalno je svaki invertibilni element a polugrupe X regularan. Ako je polu-grupa X konana, onda vrijedi i obmuta tvrdnja: svaki regularni element polu-~~upe X je invertibilan. DtJkaz. - 1) Pretpostavimo da za invertibi1ni element a i dati element b polugrupe X sa jedininim elementom e jednaine (1.9) imaju bar po jedno rjeenje x, odnosno y u polugrupi X. Tada mora biti

x = ex = (a-la) x = a-l (ax) = a-lb, odnosno

y = ye = y (aa-l) = (ya) a-l = ba-l, Znai, ako uopte imaju rjeenja u polugrupi X, jednaine (1.9) imaju je-dinstvena rjeenja (1.9'). . S druge strane, elementi (1.9') lee u X. Osim toga oni zadovoljavaju jedna-ine (1.9), jer

i slino ax = a (a-lb) = (aa-l) b = eb = b

ya = (ba-l) a = b (a-la) = be = b. To pokazuje da jednaine (1.9) imaju jedinstvena rjeenja (1.9') u polugrupi X.

11

2) Na osnovu 1) jasno je da svaki invertibilni element a polugrupe X mora biti regularan, pa emo dokazati samo da u sluaju konane polugrupe X sa jedininim elementom e vrijedi i obrnuto. Neka je, dakle, a regularni element konane polugrupe X sa jedininim ele-mentom e. Tada je svako od preslikavanja

x f-+ ax, odnosno y f-+ ya (x, y E X) polugrupe X u samu sebe injektivno. Kada je X konaan skup, ta preslikavanja moraju biti i sirjektivna, pa postoje elementi y = a' i x = a" iz X koji se preslikavaju na element e, tj. za koje vrijedi (1.7). No, to upravo znai da je element a polugrupe X invertibilan.

Grupa

Posebno je zanimljiva polugrupa X sa jedininim elementom e u kojoj je svaki element invertibilan.

Definicija 1.6. Polugrupa eX, *) sa neutralnim elementom e, u kojoj je svaki element jnvertibilan, zove se grupa.

Primjer 1.2. a) (Z, +), (Q, +), (R, +) i (C, +) su grupe. Isto tako (Q', .), (R', .) i (C', .) su grupe, pri emu smo stavili Q' umjesto Q" {O} itd. Grupe su takoer (Q+, .) i (R+, .), gdje je Q+, odnosno R+ skup strogo pozitivnih racionalnih, odnosno realnih brojeva. Sve ove grupe su komutativne, tj. Abelove. b) Ako je (X, *) polugrupa sa neutralnim elementom e, a x* skup svih invertibi1nih ele-menata te polugrupe, tada je X* f= 0, jer e E X*. Osim toga, prema (\.8) skup x* ima osobinu

(\,10) a, b E X* =? a * b E X*. To znai da j$ (X*, *) grupoid sa neutralnim elementom e. No, taj grupoid je asocijativan, jer asocijativnost oigledno nasljeuje od grupoida (X, *). Konano, ako je a E X*, tada postoji a-l E X tako da vrijedi (\.7'). Odatle se vidi da a-l ima inverzni element (\,11) u polugrupi X, tj. da a-l E X*. Prema tome, (X*, *) je grupa. To je grupa jedinica polu-grupe (X, *). e) U sluaju polugrupe (Tx, o) grupu (X*, *) oznaiemo sa (Sx, o). Tu grupu ine upravo bijektivna preslikavanja X -+ X, tj. permutacije skupa X, pa se zato grupa (Sx, o) zove grupa (svih) permutacija skupa X. U sluaju da je X = {I, 2, ... , n} umjesto Sx pie se kratko Sn. Grupa Sn zove se (potpuna) grupa permutacija n-tog reda ili simetrina grupa n-tog reda. Grupa Sx nije Abelova za card (X) > 2. Tada je, naime, X={a, b, e, ... } (af=b, af=e, b f= e), pa za elemente

" ~ (ah),

d) Akoje I zadan neprazan skup, a (X, +) grupoid, tada se u skupu XI svih preslikavanja I ~ X moe na prirodan nain definisati operacija +. Za f, g E Xl definie se f -\- g ovako:

cf + g) (i) = f (i) + g (i) (i E 1). Na taj nain dobija se grupoid (Xl, +). Ako je (X, +) Abelov, odnosno asocijativan grupoid, onda je to isto i grupoid (Xl, +). Ako grupoid (X, + ) ima neutralni element Ox, tada grupoid (XI, +) ima neutralni element

O: I ~ X, O (i) = Ox (i E I). tavie, ako je (X, +) grupa, tada je i (XI, +) takoder grupa. U tom sluaju suprotni element - felementa f iz XI zadan je ovako:

( - f) (i) = - (J(i (i E I). Element f skupa Xl obino piemo u obliku familije

f = (x,), E lo gdje je x, = f (i) (iE 1). Zato moemo rei da se-sa elementima skupa XI "rauna po komponentama":

(X'\EI = (Y,)jEI ~ x, = YI (i E I), (X'\EI + (Y')'EI = (x, + Y')'EJ.

U sluaju da je I = {l, 2, ... , n}, umjesto XI pisaemo kratke. X". Elementi skupa X" su, dakle, n-lani nizovi

(xu XI' , xn) (XI E X, i = 1, 2, ... , n). Moemo posmatrati i optiju situaciju. Neka je zadan skup I i. za svako i E I. grupqid (X,. +). tj. neka imamo familiju grupoida (XI' +)iEI. Tada u skupu n XI svih fami-

jE} lija (X')IEI (x,EX,.iEI) moemo definisati operaciju + .. po komponentama":

(x,), E I + (YI)' E l = (XI + YI)' E I Tako dobijamo novi grupoid (n XI> + ). koji se zove direktni proiZtJod familije gTupoida

JEI (X" +) (iE I) i oznaava sa n (X" +). Direktni proizvod (Abelovih) polugrupa. odnosno

JEI grupa je opet (Abelova) polugrupa. odnosno grupa. Ako jeO, neutralni element grupoida (X,. +) (iEI). onda je (O')'EI neutralni element grupoida n (X,. +). Ukoliko je

iEI -X, suprotni element elementa XI u grupoidu (X" +) (iEI). onda je (-XI),EI suprotan element elementa (x,), E I U grupoidu n (X,. +). U sluaju konanog skupa 1= {I. 2 ...

iEI n}. umjesto n (X,. +) koristi se i oznaka (Xl' +) x X (X ... +) ili (X" +) $ ... Et>

JEI $ (X ... +). U specijalnom sluaju (X,. +) = (X. + )(iEI) grupoid n (X,. +) svodi se na grupoid (XI. +). iE}

Podgrupa

Vidjeli smo da u svakoj polugrupi eX; *) sa neutralnim elementom skup X* jedinica, tj. invertibilnih demenata te polugrupe, ima osobinu (1.10). !!!!B-.t';cij" 1.1. Ako neprazan podskup X' grupoida (X, *) ima osobinu

x, YE_X' =? x *yEX',

13

onda kaemo da je podskup X' zatvoren ili stabz'lan u odnosu na operaciju *. U tom sluaju ogranienje

*: X' X X'-.,..X operacije * : X X X -.,.. X moemo shvatiti kao operaciju u X'. Kae se da je ta operacija ,'nducirana u X' operacijom * iz X, a grupoid (X', *) zove se podgrupoid grupo ida (X, *). Podgrupoid moe biti polugrupa ili ak grupa. Tada se govori o potpolu-grupi, odnosno o podgrupi grupoida.

Primjer 1.3. a) Za svaku polugrupu (X, *) sa neutralnim elementom e grupa jedinica (X*, *) je podgrupa polugrupe eX, *). Specijalno je grupa permutacija (Sx, o) podgrupa polugrupe transformacija (T x, o). b) Polugrupa eN, +) je potpolugrupa grupe (Z, +), a ova opet podgrupa grupe (Q, +), ali i grupe eR, +), odnosno eC, +). c) (Z, .) je polugrupa sa jedininim elementom l, pa je, na osnovu primjera 1.2. d), (Z, .) polugrupa sa jedininim elementom (1,1). Ako je X skup elemenata oblika (x, 2y), a Y skup elemenata oblika (x, O) ex, y E Z), onada je (X, .) potpolugrupa polugrupe (Z', .), a eY, .) potpolugrupa polugrupe eX, '). Polugrupa ex, .) nema jedininog elementa, a polugrupa (Y, .) ima jedinini element 0,0). Ovo pokazuje da polugrupa moe da ima neu-tralni element, a da ga neka njena potpolugrupa nema ili obrnuto, te da se moe desiti da i polugrupa i neka njena potpolugrupa imaju neutralni element, ali da ta dva elementa budu razliita. Poslednji sluaj ne moe nastupiti kad se radi o potpolugrupama neke grupe. Tada vrijedi

Propozicija 1.2. Neka je (X', *) potpolugrupa grupe (X, *). Ako polugrupa (X', *) ima neutralni element e', tada se on obavezno podudara sa neutralnim elementom e grupe eX, *). Ako je element x polugrupe X' invertibilan u X', tada se inverzni element x' elementa x u polugrupi X' podudara sa inverznim elementom x-l elementa x u grupi X. Dokaz. - U grupi X vrijedi e' * e' = e' = e' * e, pa zato mora biti e' = e. Isto tako u grupi X imuno jednakost x' * x = e = X-l * x, pa je otuda x' = X-l.

Na osnovu prethodne propozicije lako se dokazuje

Propozicija 1.3. Neprazan podskup X' grupe (X, *) je podgrupa te grupe, ako i samo ako ispunjava uslove: 1) x, yEX' =? x *yEX', 2) xEX' => x-IEX'. Uslovi 1) i 2) skupa ekvivalentni su sa uslovom 3) x, yEX' =? X-l *y E X'. Pri tome je sa X-l oznaen inverzni element elementa x u grupi X. Dokaz. - a) Neka je X' potpolugrupa grupe X. Tada. je jasno da vrijedi 1). No, prema prethodnoj propoziciji vrijedi sigurno i 2). Obrnuto, neka su ispunjeni uslovi 1) i 2). Zbog uslova 1) X' je potpolugrupa grupe X. No, X' je neprazan podskup grupe X, pa postoji XEX'. Na osnovu 1) i 2) odatle slijedi x, x-lEX', tj. e = x-l *xEX' . Sada je jasno da je X' podgrupa grupe X.

14

b) Dokaimo jo da su uslovi 1) i 2) skupa ekvivalentni sa uslovom 3). Ako su' ispunjeni uslovi 1) i 2), tada vrijedi

x, Y.,cX' =} x-l, yEX' =} X-l *yEX',

tj. ispunjen je i uslov 3). Obrnuto, ako je ispunjen uslov 3), tada su ispunjeni uslovi 1) i 2). Nai-me, X' *- 0, pa postoji x E X'. No, tada na osnovu uslova 3) vrijedi e = X-l * X E X', pa na osnovu toga iz 3) slijedi

xEX'=}x, eEX'~x-l=x-l*eEX', tj. vrijedi 2).

Konano, na osnovu 2) i 3) imamo x, yEX' =} X-l, yEX' =? x *y = (x-1)-l *yEX',

pa vrijedi il). Primijetimo da je provjeravanje uslova iz definicije grupe u mnogim sluajevimadosta neprijatno, pa kad je u pitanju i konana grupa. Naroito se to odnosi na zakon asocijacije. Zato je od velike koristi, kada je to mogue, uoiti da bi promatrani "kandidat" za grupu morao biti podgrupa neke grupe, pa zatim provjeriti samo uslove prethodne propozicije.

Normalna podgrupa. Faktorska grupa

Svaka podgrupa Y neke grupe X odreuje u X izvjesnu relaciju ekvivalen-cije. O tome govori sljedea propozicija. Propozicija 1.4. Akoje (Y, *) podgrupa grupe (X, *), a relacija ft definisana OfJako

(V x, Y E x) x ft Y ~ x-l * yE Y, tada je e relacija ekvivalencije na skupu X. Klase ekvivalencije

su oblika [x]e = {x' E X I x ft x'}

[x]Q = x* Y = {x *y lyE Y}. Ako sa X/Y = X/e oznaimo faktorski skup, tj. skup svih klasa ekvivalenciie [x]" = x * Y, tada vrijedi (LagraneOfJa teorema - Lagrange):

card (X) = card (X/ Y) . card (Y). Dok (JZ. - 1) ft je relacije ekvivalencije na skupu X, jer

x (! x, zbog X-l * x = e E Y; xey =} Ye x, jer x-l *yE Y =} y-l * X = (x-l *y)-IE Y;

xey iy(!z=}x(!z, jer x-I*Z=(x-l*y)*(y-I*Z)EY. 2) Ako je [x]e = {x' E X I xex '} , tada je [x]1! = x * Y, jer

x' E' [x]Q {:::? xQx' ~ x-l * X' E Y ~ x' E x * Y.

15

3) Razliite klase ekvivalencije su disjunktne, pa je unija X= u x* Y

x~ YEX/Y disjunktna, tj. vrijedi

card (X) = E card ex * Y). x ,.XEX/Y

~o, preslikavanje Y -l>- X * Y, Y 1-+ X * Y (y E y),

.ie bijektivno, tj. card (x * Y) = card (Y) ( x E X), card (X) = card (X/ Y) . card e Y).

dakle,

U faktorskom skupu X/e svih klasa ekvivalencije dosta je prirodno da se definie operacija * na sljedei nain:

[x]e * [Y]e = [x '* Y]e tj. pomou predstavnika klasa. No, ova definicija nije uvijek korektna, tj. rezultat operacije sa klasama moe da zavisi od odabranih predstavnika u tim klasama. Naime vrijedi sljedea teorema. Teorema 1.1. Nekaje Y podgrupa grupe X, a e relacija ekvivalencije iz propo-zicije 1.4. Da bi prethodna definicija operacije sa klasama bila korektna, potrebno je i dovol.fno da podgrupa Y tma osobinu

x * Y = Y * x, tj . .rl * Y * x S Y (x E X). U tom sluaju (X/e, *) je grupa, a [x]e * [Y]e = {x' * y' I x' E [xle, y' E [Y]e}. Dokaz. - 1) Neka je definicija operacije sa klasama korektl;la. To znai, ako je [x]e = [x']e' [Y]e = [y']e' tada je [x * Y]e = [x' * y']e' tj.

No,

X-l * x' = YI E Y, y-l * y' = Y2 E Y =>

=> (x *y)-l * (x' *y') = Ya E Y.

(x * y)-l * (x' * y') = (yI * X-l) * (x' * y') = = (yI * YI * y) * (yI * y') = (yI * YI * y) * y2'

pa kako je Y2 E Y, mora bitiy-l * YI * yE Y. Ovo vrijedi za svako YI F Y i za svako y E X. Prema tome,

yI * Y*ysY(yEX). Odavde slijedi

pa vrijedi (1.12) x * Y = Y * x (x E X), jer skupa sa y i element yI prolazi grupom X. 16

Iz (1.12) slijedi [x*Y]Q =(x*y)* Y=x*(y* Y) =x*(Y*y) =

=x*(Y* Y)~y = (x* Y)*(Y*y) = (x* Y)*(y* Y) = = {x' * Y' I x' E [x]Q' Y' E [y],,}, jer Y * Y = Y.

2) Obrnuto, neka vrijedi (1.12). Tada je sigurno

(1.12') Zato iz

slijedi

X-l * Y * x~ Y (xE= X).

.rl * x' = Yl E Y, y-l * Y' = Y2 E Y

(x * y)-l * (x' * Y') = (y-l * Yl * y) * y2 E Y. 3) Ako je ispunjen uslov (1.12), tada, prema 2), (Xlfb *) predstavlja grupoid. Ovaj grupoid je sigurno asocijativan, jer je raunanje sa predstavnicima aso-cijativno. Konano, ovaj grupoid ima neutralni element [e]l." a svaka klasa [x]" ima inverzni element [X-l] 1.'. Napomenimo da se iz prethodnog dokaza vidi da su uslovi (1.12) i (1.12') ekvivalentni i da zapravo u (1.12') vrijedi znak jednakosti. Pomou podgrupe Y moe se definisati jo jedna relacija ekvivalencije (/ u grupi X i to ovako:

x rl y ~ x * y-l E Y, tj. y * x-lE Y; klase ekvivalencije za ovu relaciju su oblika

[x],,, = Y * x (XEX), pa se otuda vidi da se relacija e' podudara sa relacijom e ako i samo ako podgrupa Y ispunjava gornje ekvivalentne uslove (1.12) i (1.12'). Sve ovo ini ovakve podgrupe interesantnima, pa zato za njih uvodimo slje-deu . definiciju. Definicija 1.8. Podgrupa Y grupe X koja zadovoljava uslov (1.1:z.), odnosn!) ekvivalentni uslov (1.12') zove se normalna ili invarijantna podgrupa grupe X. U tom sluaju grupa (XI Y, *) zove se Jaktorska ili kolinika grupa grupe X po (normalnoj) podgrupi Y. Primijetimo da je u sluaju Abelove grupe X svaka njena podgrupa Y auto-matski nonnalna.

Homomorfizml grupa

Ako je Y nonnalna podgrupa grupe X, tada imamo prirodno preslikavanje J: X---+XIY, J(x) = x * Y (XE X).

17

Za to preslikavanje vrijedi (1.13) prema samoj definiciji kompozicije u XI Y.

Definicija 1.9. Ako su X i X grupoidi (ije emo operacije oznaiti istim znakom *), tada se preslikavanje j : X ---+ X zove homomorjizam grupoida X u grupo id X ako ima osobinu (1.13). Bijektivni homomorfizam zove se izo-morjizam. Homomorfizam, odnosno izomorfizam grupoida u sama sebe zove se endomorjizam, odnosno automorjizam. Injektivni, odnosno sirjek-tivni homomorfizam zove se monomorjizam, odnosno epimorjizam.

Primjer 1.4. a) Ako je Y normalna podgrupa grupe X, a X = XI Y odgovarajua fak-torska grupa, tada je prirodno preslikavanje J: X -+ X, kako smo ve vidjeli, epimorfi-zam. To je tzv. prirodni epimorJizam.

b) Ako je (Z, +) aditivna grupa cijelih brojeva, tada za zadani (invertibilni) element a (polu)grupe X, iju emo kompoziciju oznaiti multiplikativno, imamo preslikavanje

(a' .. a (z faktora), za z > O

z -+ aZ = e, za z = O a-l . .. a-l (- z faktora), za z < O

grupe Z u (polu) grupu X. Jednostavno se provjerava da je ovo preslikavanje homomorfizam. Ovdje smo prvi put bez upotrebe zagrada napisali "proizvod" od vie nego dva faktora. Pod tim se podrazumijeva element polugrupe X, koji se definie ovako: Neka je X multiplikativni grupoid, a Xv Xa, , Xn zadan niz elemenata tog grupoida. Tada je (1.14) X,' Xa . Xn = X, za n = 1, X, Xa Xn = (X, Xa . Xn_l) Xn za n > 1. Ako je grupoid X asocijativan, onda se indukcijom u odnosu na r jednostavno dokazuje (1.15) za r = 1, 2, ... , n - l. Da bi relacija (1.15) vrijedila i za r = n, trebalo bi prvoj zagradi na desnoj strani relacije (1.15), koja se svodi na proizvod praznog niza u sluaju r ~ n pripisati znaenje neutralnog elementa grupoida, kad ovaj postoji. Ako se ne radi o komutativnom grupoidu, onda je poredak faktora u proizvodu X, . Xa . . Xn bitan ve za n = 2. No, u sluaju komutativne polugrupe X moe se indukcijom u odnosu na n uz upotrebu relacije (1.15) dokazati da taj poredak nije relevantan, tj. da za svaku permutaciju 1'& E Sn vrijedi (1.16) Xn (1) X" (21 . Xn (n) = Xl Xa . Xn. Zanimljivo je istai da se bez oslanjanja na asocijativnost, na osnovu koje je dokazana relacija (1.15), relacija (1.16) ne moe dokazati na osnovu komutativnosti.

n

Za proizvod Xl . Xa ... Xn koristiemo i oznaku TI Xi. U sluaju aditivno oznaene kom-i~J

pozicije imamo sumu "

Xl + Xa + ... + Xn = L Xi i~1

umjesto produkta.

18

Homomorfizam mnoge osobine originala prenosi na sliku. Tako vrijedi Teorema 1.2. Neka je J: X-'?X homomorJizam (multiplikativnih) grupoida. Tada je

, Im(f) = {f(x) I XEX} podgrupoid grupoida X. Ukoliko je X Abelov grupoid, odnosno polugrupa, tada je to i Im (f). Ako grupoid X ima neutralni element e, tada grupoid Im (f) ima neutralni element J (e). Ako je element a polugrupe X invertibilan, tada je i element J (a) polugrupe Im (f) invertibilan i vrijedi (1.17) (f(a-l = J (a-l). Dokaz. - 1) Im (f) i: 0, jer X i: 0, a osim toga

J (x), J (y) E Im (f) =? J (x) J (y) = J (xy) E Im (f), jer x, y E X =? xy E X. 2) Ako je xy = yx (x, y ~ X), tada

J (x) . J(y) ~ J (xy) = J (yx) =/(y) . J (x)(x, yE X). Ukoliko je (xy) z = x (yz) (x, y, z E X), tada

(f(x) .J(y J(z) = J (xy) 'J(z) = J xy) z) = =J(x(yz =J(x) 'J(yz) =J(x) . (f(y) 'J(z

za svako x, y, z E X. 3) Ako je ex = xe = x (xE X), tada

J (e)' J (x) = J (ex) = J (x) = J (xe) = J (x) . J Ce) (xE,X). Ukoliko je X polugrupa sa jedininim elementom e, tada iz

a-la = aa-l = e slijedi

J (a-l) J (a) = f(a-Ia) = J Ce) = J (aa-l) = J (a) . f(a-l) odakle se vidi da je i element J (a) polugrupe Im (j) sa jedininim elementom_ J (e) takoder invertibilan i da ima inverzni element (1.17). Odavde neposredno proistie

Posljeclia 1.1. Ako je J: X -'? X homomorJizam grupoida, pa ako je X grupa, tada je i Im (f) grupa ili, kratko, homomr>rJna slika grupe je grupa. Normalne podgrupe u tijesnoj su vezi sa homomorfizmima grupa. One, prema sljedeoj teoremi, do izomorfizma potpuno odreduju sve homomorfne slike date grupe X.

Teorema 1.3. Neka je J: X -'? X homomorJizam grupoida. Ako je X grupa, tada je jezgro homomorJizma J : X -'? X

Ker(f) = {xEX IJ(x) =J(e)} 19

normalna podgrupa grupe X. Osim toga postoji jedinstveni izomorJizam

g : XIKer (f)---;.. Im (f) takav da za prirodni epimorJizam

h : X ---;.. X lKer (f) vrijedt' J = g o h.

Dokaz. - 1) Ker (f) CF 0, jer e EKer (f). Dalje, x, y EKer Cj) =';> J (xy) = J (x) . J(y) = J (e) . J (e) = J (ee) =

= J (e) =';> xy EKer (f). x EKer (f) :::::} J (x-l) = (f (x))-l = U (e))-l = J(e) =';> X-l EKer (f). Znai, Ker Cf) je podgrupa grupe X. No, ta podgrupa je normalna, jer

x E X, Y E Ker Cf) =';> J (x-Iyx) = U (X))-l J (y)J (x) = = (f(X))-1 J (e) J (x) = J (x-lex) = J (e) =';>

=,;>x-IyxEKer U), tj. X-l Yx~Y) Y = KerU) 2) Ako izomorfizam g: X lKer (f)---;.. ImU) koji ima osobinu J =g o h uopte postoji, tada mora biti

g (x . Ker (f)) = g (h (x)) = J (x) (x E X), pa emo g upravo tako i definisati. Ta je definicija najprije korektna, jer ako je x . Ker cf) = y . Ker (f), tada je x-ly E Ker (j), dakle

U (X))-l . J (y) = J (x-Iy) = J (e), tj. J (x) = J (y), pa je

g (x' Ker (f)) = J (x) = J (y) =g (y . Ker (JJ). Osim toga preslikavanje g: XIKer (f)---;.. X je izomorfizam. Naime,

g (x Ker (f) . y Ker (f)) = g (xy Ker (f)) = J (xy) = J (x) . J(y) = = g (x Ker(f)) g(y Ker(f));

g (x Ker (f)) = g (y Ker (f)) ~ J (x) = J(y) =';> J (x-Iy) = = (f(X))-1 J(y) = J (e) =';> x-IyE Ker(j).::::} x Ker(f) = y Ker(j)

i konano J (x) E Im (f) ::~ J (x) = g (x Im (f)) E Im (g).

Izomorfizam g ima osobinu J = g o h, jer J (x) = g (x Ker (f)) = g (h (x)) = (g o h) ex) ex E X).

20

Relacija kongruencije Vidjeli smo da u svakoj (multiplikativnoj) grupi X svaka normalna podgrupa Y te grupe definie odr,edenu relaciju ekvivalencije za koju smo vidjeli da ima osobinu .

(1.18) xex' i ye y' =:;, xye x' y' za svako x, x', y, y' iz X. Ta osobina relacije e ini zapravo da mnoenje u faktorskom skupu X/e definisano pomou predstavnika bude korektno. Definicija 1.10. Neka je X (multiplikativan) grupoid, a e relacija ekvivalencije na X. Za tu relaciju kaemo da je saglasna (kompatibilna) sa operacijom u X ili da je to relacija kongruencije u grupoidu X, ako za tu relaciju vrijedi (1.18). Sve relacije kongruencije u grupi X definisane su na ve poznati nain po-mou neke normalne podgrupe Y grupe X. Preciznije,

Propozicija 1.S. Ako je X (multiplikativna) grupa, a e relacija ekvivalencije ua X, tada je e relacija kongruencije ako i samo ako je Y = [e]Q normalna podgrupa grupe X, a (1.19) ('rl x, y E X) x e y {:::} ,x-Iy E Y. Dokaz. - Ako je Y normalna podgrupa grupe X, a relacija e definisana tako da vrijedi (1.19), tada smo ve vidjeli da je e relacija ekvivalencije na X i da za tu relaciju vrijedi (1.18), tj. da je to relacija kongruencije. Osim toga, tada je Y = [e]o' jer x E Y ako i samo ako ,x-Ie = ,x-l E Y, tj. x E [e]e/' Obrnuto, neka je e relacija kongruencije u grupi X. Stavimo Y = [eJe/' Tada Y =#= f2f, jer e E Y. Osim toga

x, y E Y =:;, x e e, y e e =:;, xy e ee =:;, xy e e =:;, xy E Y, x E Y =:;, x e e, x-Iex-l =:;, xx-Ieex-l =:;, eex-l =:;, x-l E Y,

tj. Y je podgrupa grupe X. Ta je podgrupa normalnay jer ....

x E X, yE Y =:;, x-lex-l, Yee,X(!x =:;, x-Iyxe ,x-lex =:;. =:;, x-Iyxee =:;. x-Iyx E Y. Konano,

x e y =:;, X-l e x-l, x e y =:;, X-l X e ,x-l y =:;, X-l ye e =:;, X-l yE Y i obrnuto

,x-ly E Y =:;, x-l y e e, x e x =:;, xx-l y e xe =:;, y e x =:;, x e y,

dakle vrijedi (1.19). U sluaju grupoida X relacija kongruencije e ne moe se okarakterisati na

slian nain (recimo pomou n~og podesnog podgrupoida Y). Medutim, i tada vrijedi tvrdnja analogna onoj iz teoreme 1.3. '

-.

21

Teorema 1.4. Neka je lj relacija kongruenczj'e u grupoidu X. Ako ufaktorskom skupu X/e definiemo mnoenje klasa pomou predstavnika, tj. ako stavimoIl

[x]e . [Y]e = [xY]e

za svako x, y E: X, tada je (X/e, .) grupoid, a prirodno preslikavanje fe : X -+ X/e, fe (x) = [x]e (x E X)

predstavlja epimorfizam. Obrnuto, ako je f : X -+ X homomorfizam grupoida, a relacija e u X defini-sana ovako

(V x, yEX)xey 8f(x) =f(y), tada je e relacija kongruencije u grupoidu X i postoji jedinstveni izomorfizam

g : X/e-+ Im (f) za koji je f = g o fe.

Dokaz. - l) Neka je e relacija kongruencije u grupoidu X, a X/e faktorski skup. Tada je mnoenje u X/e korektno definisano pomou predstavnika. Stvarno, ako je

tada je xe x', yey', dakle xyex'y',

pa prema tome

[xY]e = [x'y']e Znai (X/e, .) je grupoid. Osim toga prirodno preslikavanje fe : X -+ X/e je epimorfizam grupoida. To je preslikavanje, naime, sirjektivno, a osim toga

(V x, yE X)fe (xy) = [xY]e = [x]e . [Y]e = fe (x) . fe (y). 2) Neka je f: X -+ X homomorfizam grupoida, a .t:elacija e u X definisana pomou f kao u teoremi. Tada je, oigledno, e relacija ekvivalencije. Osim toga

xe x', yey' =;,f(xy) =f(x) f(y) =f(x') f(y') = = f(x' y') =;, xy e x' y',

tj. e je relacija kongruencije u grupoidu X. Zato prema l) moemo formirati grupoid X/e i promatrati prirodni epimorfizam fe : X -+ X/e. Ako postoji izomorfizam grupoida g: X/e-+ Im (f) sa osobinom f =gofe' tada mora biti

g ([x]e) = g (fe (x)) = (g o fe) (x) = f (x) (x E X). l Primijetimo da vrijedi

[xJ e [yJe = [xyJe J {x'y' I x' E [xJ e, y' E [yJe} i da u optem sluaju kad X nije grupa, ne moemo znak J zamijeniti znakom jed-nakosti. -

22

Odatle vidinio da je izomorfizam g: Xff!-'Io- Im (f) koji ima osobinu f == g o h. ako uopte postoji, jedinstven i zadan jednakou

g ([xJQ) = f (x) (x E X). Zato emo ga upravo tako i definisati. Pokazuje se jednostavno da je ova definicija korektna, da je g: X/e -'lo- Im (f) izomorfizam grupoida i da je f = g oJQ' Definicija 1.11. Neka je e relacija kongruencije u grupoidu X. Tada se gru-poid X/e u kome je mnoenje definisano pomou predstavnika klasa zove Jaktorski grupoid grupoida X u odnosu na relaciju kongruencije (J. Epimor-fizam Jr! : X ~ X/e zove se prirodni epimorJizam.

Ciklike grupe. Red elementa, red i indeks podgrupe.

Ako je a (invertibilni) element neke multiplikativne (polu) grupe X sa jedi-ninim elementom e, vidjeli smo da je

J: Z->X, J(z) = a' (ZE Z) homomorfizam aditivne grupe cijelih brojeva u multiplikativnu (polu) grupu X. Zato je

Im (f) = { ... , a-2, a-l, aO = e, a, a2, } podgrupa (polu) grupe X. To je, oigledno, najmanja podgrupa (polu) grupe X koja sadri element a, dakle je to presjek svih podgrupa (polu)grupe X koje sadre zadani (invertibilni) element a. Bez pretpostavke o invertibilnosti elementa a, koja je automatski ispunjena ako je X grupa, ne znamo ima li uopte podgrupa polugrupe X koje sadre zadani element a, pa ni o najmanjoj takvoj podgrupi ne moe biti rijei. U sluaju da je X grupa, za svaki podskup A grupe X postoje (normalne) podgrupe grupe X koje sadre dati podskup A. Takva je, na primjer, sama grupa X. Presjek svih ovih (normalnih) podgrupa je najmanja (normalna) podgrupa grupe X koja sadri zadani skup A. Definicija 1.12. Neka je A podskup grupe X. Za najmanju (normalnu) podgrupu grupe X koja sadri A kae se da je to (normalna) podgrupa gene-risana skupom A. Za (normalnu) podgrupu generisanu jednolanim skupom A ::od {a} uobiajen je naziv (normalna) ciklika podgrupa generisana ele;-mentom a. Ako je podgrupa Y grupe X generisana skupom A, onda se kae da je A generator podgrupe Y i pie se Y = [AJ. Za cikliku podgrupu grupe X generisanu elementom a imamo, u skladu sa tim, oznaku [a]. Primijetimo da ~kup A moe biti i prazan. Tada je, naravno [AJ trivijalna podgrupa {e}. Ukoliko je A:f= 0, onda se elementi podgrupe [AJ mogu jednostavno prikazati pomou elemenata skupa A,' Teorema 1.5. Neka je A neprazan podskup (multiplikativne) grupe X. 1) Podgrupa [A] grupe X generisana skupom A sastoji se upravo od svih ele-menata oblika

al . a2 all (a, E A lj A-l, n E N).

23

2) Normalna podgrupa Y grupe X generisana skupom A je zapravo podgrupa grupe X generisana skupom

B = {x-Iax I XEX, aEA}. Dokaz. - l) Jasno je dl podgrupa [A] grupe X generis ana skupom A sadri sve elemente oblika al' a2 ... an (aj E A U A-l, n E N). Oznaimo sa V skup svih elemenata toga oblika. Tada, znai, vrijedi V

Dokaz. - 1) Ako je A = {a}, tada se svaki proizvod. oblika al~ ... aTr:(a,EAUA-I, kEN)

moe napisati u obli~u a" (ZE Z), jer a, = a ili a, = a-l. Zato prva tvrdnja slijedi neposredno iz prethodne teoreme. Uostalom, ve smo ranije konsta-tovali da je

Im (J) = { ... ,a-2, a-l, aO = e, a, a2, } najmanja podgrupa gn~pe X koja sadri element a, pri emu je

j: Z-+X, j (z) = a(zEZ). 2) Neka je grupa [al konana. Tada medu elementima

... , a-2 ; a-l, aQ = e, a, a2, .

mora biti meusobno jednakih. Ako je a' = ai za neki par cijelih brojeva i, j, pri emu je i > j, tada vrijedi

aH = ai . (ai)-l = e, i - j E N, tj. skup {m E N I am = e} nije prazan. Taj skup zato ima najmanji elem~n.t,

oznaimo ga sa n. Tvrdimo najprije da su elementi aO = e, a, ... , an- l grupe [al meusobno

razliiti. Inae bi vrijedilo aT = cf, O < r < s < n

bar za jedan par r, s, pa bismo imali a- r = e, O

Prema prethodnom dokazu za svako z E Z postoje q, r E Z za koje vrijedi

pa je z = qn + r, O ~ r < n = ord (a), aZ = e 0 n I z (tj. r = O)

u sluaju da a E X ima konaan red n ~= ord (a).

Definicija 1.14. Ako je Y podgrupa grupe X, tada se card (Y) zove red, a card (XI Y) indeks podgrupe Y (u odnosu na X). Red podgrupe Y oznaava se obino sa (Y : e), a njen indeks sa (X: V). Prema Lagranevoj teoremi vrijedi

(X: e) = (X: Y) . (Y : e) za svaku podgrupu Y grupe X. U sluaju konane grupe X svi kardinalni brojevi u prethodnoj jednakosti su prirodni brojevi, pa tada red (Y : e) i indeks (X : Y) podgrupe Y dijele red eX : e) grupe X. Specijalno, u sluaju

konane grupe X, svako x E X ima konaan red ord (x) = ([x] : e)

i ord (x) dijeli red (X : e) grupe X, dakle x(X:e) = e(xEX).

Za svaki faktor m reda n = eX : e) konane grupe X ne mora postojati pod-grupa Y grupe X reda (Y : e) = m, pa pogotovu ni element x grupe X koji ima ord ex) = m. Meutim, za svaki prosti faktor p broja n i za svaki pri-rodan broj v takav da p~/ dijeli n, postoji podgrupa Y grupe x koja ima red (Y : e) = p". (v. teoremu 1.11). No, podgrupa Y u sluaju v > l ne mora biti cik1ika, pa u ovom sluaju ne mora postojati element x grupe X koji ima ord (x) = p". Meutim, za v = l podgrupa Y je obavezno ciklika, pa svaki njen generatorni elemenL x ima ord (x) = p. Drugim rijeima, za svaki prosti faktor p reda n = (X : e) konane grupe X postoji element x grupe Xkoji ima ord (x) = p. To je tzv. Koijeva (Cauchy) teorema (v. teoremu 1.9). Za (konanu) cik1iku grupu X jednostavno se mogu opisati sve njene pod-grupe:

Propozicija 1.7. Svaka podgrupa Y ciklike grupe X je i sama ciklika. Za svaki faktor m reda n = (X: e) konane ciklike grupe X postoji tano jedna podgrupa Y reda (Y : e) = m. Dokaz. - l) Neka je X cik1ika grupa generisana elementom a, a Y bilo koja podgrupa grupe X. Ako je Y = {e}, onda je Y cik1ika podgrupa gene-risana elementom aD = e. Neka je zato Y =F {e}. Tada postoji cio broj z =F O za koji vrijedi aZ E Y. No, tada imamo i a-Z = (aZ)-l E Y. Prema tome, postoji prirodan broj s za koji vrijedi aB E Y. Ako je s najmanji takav prirodan broj, tvrdimo da je Y = [aB]. Sigurno Yd [aB], jer aB E Y. Treba dokazati obrnutu inkluziju. Uzmimo proizvoljno aZ E Y. Tada postoje brojevi q. r E Z za koje vrijedi

z = qs + r, O ~ r < s, tj.

aZ = (a8)q ar, O ~ r < s.

26

Odatle slijedi ar = a" . (a")-q E Y, O ~ r < s,

dakle, na osnovu izbora broja s, r = O, tj. a" = (a")1l E [a"]. Prema tome, Y ~ [a"], pa, dakle, ''Y = [a']. 2) Neka je sada X konana ciklika grupa generisana elementom a i neka je n = (X : e). Tada za svaku podgrupu Y grupe X, prema Lagranevoj teo-remi, mora m = (Y : e) biti faktor broja n = (X : e). Obrnuto, neka je m bilo koji faktor broja n, tj. neka je n = m . s. Tada podgr:upa Y = [a"] ima red (Y : e) = m, jer ord (a") = m. Naime, (a')'" = an = e, (a')"" = a""" ~ e, za O < m' < m, zato to je O < srn' < sm = n. Ovo je jedina podgrupa Y grupe X koja ima red m. Naime; ako je Y' bilo koja podgrupa grupe X reda (Y' : e) = m, tada je, prema 1), Y' = [a"'], pri emu je sada s' najmanji prirodan broj za koji je a"' E Y'. Kako je an = e E Y', mora s' biti faktor broja n, tj. vrijedi n = s' . m'. Odatle, prema prethodnom dijelu ovog dokaza slijedi m' = (Y' : e) = m, dakle i s' = s, a time i Y' = Y.

Djelovanje grupe na nekom skupu Za svaki element a (multiplikativne) grupe G odreeno je preslikavanje (1.19) ot : G ~ G, ex(x) = ax (xE G). To preslikavanje je permutacija skupa G j jer ot (x) = ot(y) => ax = ay => X= = y, a, osim toga, zasvakoy E G imamo element x = a-1y iz Gsaex (x) = y. Tako je svakom elementu a iz G pridruena permutacija ex iz So. Ovo pri-druivanje je monomorfizam grupa. Naime, ako a ~ ex, b ~ {J, tada ab ~ ~ ot{J, jer

(ot . (J) (x) =01: ((J(x' =tJ(bx) = (ah) x (xE G), a, osim toga, ot = {J => ax = bx (xE G) => a == b. Tako smo dokazali poznatu Kejlij8fJU teoremu (Cayley): Teorema 1.6. Svaka grupa G izomorjna je sa nekom grupom (ne obavezno svih) permutacija skupa G. Ima puno prirodnih situacija gdje"'se neka (multiplikativna) grupa G pojav-ljuje kaogrupa permutacija nekog nepraznog skupa X ili se moe homomorfno preslikati u grupu permutacija S}C. ". Definicija 1.15. Neka je G (multipJikativna) grupa, a X neprazan skup.

Rei emo da grupa G djeluje ili operira na skupu X ako postoji homomorfi-zam grupa: (1.20) G~}C, a~ot(aEG). U tom sluaju umjesto ot(x) (x E X) piiemo a(x) ili ak samo ax, ako ne po-stoji mogunost da se djelovanje elementa a iz G na element x iz X zamijeni mnoenjem u G ukoliko je X = G. Primjer 1.5. a) Ako je G (multiplikativna) grupa. a X = G. tada grupa G djeluje na X po-sredstvom monomorfizma grupa (1.20). pri emu je permutacija zaana relacijom (1.19). Permutacija skupa X = G zadana na taj nain zove se lijeva translacija grupe G pomou elementa a. Govoriemo kratko da grupa G djeluje na X = G posredstvom lijevih transla-cija.

27

Mi u grupi G moemo posmatrati i desne translacije: (1.19') IX : G ~ G, IX (x) = xa (x E G).

Meutim. preslikavanje a f-+ IX grupe G u grupu SG nije homomorfizam. ve antihomo-mor/izam grupa. jer ah f-+ {J IX. umjesto ah f-+ IX (J. b) Neka je opet G (multiplikativna) grupa. a X = G. Za svako aE G definisan je auto-morfizam:

(1.21) IX : G --+ G. cc (x) = axa- l (xE G) grupe G. koji se zove unutranji automor/izam te grupe. Osim toga. preslikavanje ~oje sva-kom a E G pridruuje unutranji automorfizam cc zadan relacijom (1.21) predstavlja homo-morfizam grupe G u grupu Aut (G)

Ako je R potpun skup predstavnika skupa X I e, tj. podskup skupa X koji iz wake klase [x]" E X/e sadri tano po jedan element, tada

(1.26) cal'd (X) = card (Rl) + L (G: G.,), xER,R.

pri emu je Rl skup predstavnika jednolanih klasa iz X/e Dekaz. 1) Jednostavno se provjerava da je e relacija ekvivalencije n~skupu X. Naime, x f! x, jer x = e(x); ako x e y, tj.y = a(x) , tada x = a-l(y) , tJ .. y e x; konano, ako x e y iy e z, tj. ako y = a(x), z = b (y), tada z = (ba) (x), tJ. x e z. 2) G., je podgrupa grupe G, jer eE G." pa G., :F 0, a, osim to~a, ako a, bE G." tj. a(x) = x, b(x) = x, tada (ab) (x) = a (b(x = a(x) = x l a-l (x) = = x, tj. abEG., i a-lEG . 3) Po definiciji relacije e, [x], = {a(x) : aE G}. Osim toga,

a(x) = b{x) ~ (a-lb) (x) = x ~ a-lb E G., ~ aG" = bG.,. Otuda je jasno da vrijedi (1.25). 4) Ako je R potpun sistem predstavnika skupa X/e, onda je

X = RIU U [x]" XER,R.

i ova unija je dislunktna, jer razliite klase ekvivalencije nemaju zajednikih elemenata. Zato odatle na osnovu (1.25) slijedi (1.26). Definicija 1.16. Neka (multiplikativna) grupa G djeluje na skupu X. Tada se, za relaciju (1.23), klasa ekvivalencije (1.27) [x}" = {a(x) : aE G} zove orbita, a grupa (1.24) grupaznercije ili stabilizator elementa xE X, dok se jednakost (1.26) zove jednakost klasa relacije f!. Ako je X = [x]g, tj. ako (Vx,y E X) (3a E G) y = a(x), tada se kae da G djeluje tranzitivno na X. Primjer l a) Neka je G (multiplikativmi) grupa. a X = G. Za djelovanje grupe G na X preko lijevih translacija (Primjer 1.5. a) vrijedi G., = {e} i [xl, = X. b) Ako je G (multiplikativna) grupa. a X = G. onda se. za djelovanje grupe G na X preko unutranjih automorfizama. relacija e iz (1.23) zove relacija konjugovanosti u grupi G. U tom sluaju grupa G., je zapravo podgrupa

N., = Zs = {a E G : ax = xa} p-upe G i zove se centra,lizator ~lementa x u grupi G. Osim toga. sada je R, = Z(G). pa Jednakost klua sada pnma oblik

(G : e) = (Z(G) : e) + L (G : N.,). XER'Z(G)

(1.28)

To je jednakost klasa konjugovanosti u grupi G. ~) N~~a su sa~a G iX zadani kao u primjeru 1.5. c). Za podgrupu H E X grupe G. grupa inerCije GH Je zapravo podgrupa

N H = {aEG:aH=Ha}

29

grupe G, koja se zove normalizator podgrupe H u grupi G. Odmah se vidi da NH J H, jer za a EH vrijedi aH = Ha =H. Za podgrupe grupe G iz klase [H], kae se da su kon-jugovane sa podgrupom H te grupe. Kako je klasa [HjQ jednolana ako i samo ako je H normalna podgrupa grupe G, u ovom je sluaju Rl skup svih normalnih podgrupa grupe G, a relacija (1.26) izgleda ovako:

card (X) = card (Rl) + 2: (G : N H ) HER,R,

Periodine grupe. Koijeva teorema Ako je G konana grupa rtda n = (G : e), onda za svako x E G vrijedi xn = e. No, prirodan broj m za koji vrijedi xm = e za svaki element x (multiplikativne) grupe G moe postojati i kad grupa G nije konana. Definicija 1.17. Neka je G (multiplikativna) grupa. Ako svaki element xE G ima konaan red, onda se za grupu G kae da je periodina grupa. Ako postoji prirodan broj m takav da vrijPrii xm = e (x E G), onda se kae da grupa G ima konaan period i tada se najmanji prirodan broj m za koji vrijedi xm = = e (x E G) zove period grupe G. Ako grupa G nema koman period, onda se kae da ona ima period O (ili oo). Ako je G konana (multiplikativna) grupa reda n = (G : e), onda ona sigurno ima konaan period m i pri tome vrijedi m I n. Ovdje emo dokazati da u tom sluaju za neki prirodan broj k vrijedi n I mk. No, najprije emo za konane grupe dokazati sljedeu teoremu koja se odnosi na centar. Teorema 1.S. Neka je G konana (multiplikativna) grupa reda n = (G : e) > > l. Tada za svaki prosti faktor p broja n vrzjedi

p I (Z(G) : e) ili (3 xE G"'Z(G)) p,( (G : N x ). Specijalno, ako je n = pk, tada

p I (Z(G) : e), tj. (Z(G) : e) = pi (za nekoj, l .::E; j .::E; k). Dokaz. Iz jednakosti klasa konjugovanosti (primjer 1.6.b), zbog p I (G : e), slijedi p I (Z(G) : e) ukoliko p I (G : N x ) za svako xE R"'Z(G), pa vrijedi prva tvrdnja teoreme. U specijalnom sluaju n = pk, tvrdnja je jasna ukoliko je Z(G) = G, tj. uko-liko je grupa G Abelova. Inae, R '" Z(G) =f. 0, i za xE R '" Z (G) imamo N. =f. G, dakle p I (G : N x ), pa otuda opet p I (Z(G) : e). Dokaimo sada tzv. Koijevu teoremu o konanim grupama. Teorema 1.9. Neka je G konana (multiplikativna) grupa reda n = (G: e > l. Tada za svaki prosti faktor p broja II postoji element x E G koji ima red ord(x) = p. Dokaz. 1) Neka je najprije G Abelova grupa. Tada ona uz pretpostavke teo-reme ima konaan generator {al" .. , ar}, pri emu svako aj ima konaan red ord (a,), l .::E; ord (aj) ~ n. Zato se svako a E G moe prikazati u obliku

a = a~l . .. a;r (O ~ n, < ord (a,); i = 1,2, ... , r). Takav prikaz ne mora biti jedinstven. Neka je tea) broj ovakvih prikaza ele-menta aE G. Dokazaemo da je tea) = tee) (aE G). Stvarno, ako je

e = a~l ... a:."r (O ~ m, < ord (a,); i = 1,2, ... , r)

30

bilo koji prikaz elementa e, onda iz njega i iz gornjeg prikaza elementa a do-bijamo prikaz

a = a e = a~l+ml .. a:,+m, ,

elementa a. Kako pri ... tome eksponente potencije sa bazom a, moemo za-mijeniti ostatkom kod diobe brojem ord (a,), moemo smatrati da je

O ~ n, + mc < ord (a,) (i = 1,2, ... , r). No, i svaki drugi prikaz

ii = a~~ .. a;~ (O ~ n: < ord (a,); i = 1,2, ... r) moe se dobiti iz nekog fiksnog prikaza elementa a i odgovarajueg. prikaza elementa e. Naime,

n~ = n, + (n; - ne) (i = 1,2, ... , rl, pri emu n; - n, i ne + (n; - n,) treba zamijeniti ostatkom kod diobe brojem ord (a,). Prema tome, tea) = tee). Tako vidimo da se meu ord (at) ... ord (a,) proizvoda oblika

a~l ... a~' (O ~ ne < ord (a,); i = 1,2, ... , r) tano po tee) puta pojavljuje svaki element grupe G. To znai

(G : e) = ord (al) ... ord (a,) . tee)

Zato za svaki prosti faktor p broja n = (G : e) postoJi i (l ~ i ~r) za koje p I ord(a,). No, tada za x = ard(lII>/JtE G vrijedi ord(x)= p. Time je teore-ma dokazana za sluaj Abelove grupe G. 2) Neka je sada G proizvoljna grupa reda n = p . n'. Tvrdnju emo dokazati indukcijom u odnosu na n'. Ona je sigurno tana za n' = 1. Tada je, naime, G ciklika grupa redit p. Pretpostavimo da je n' > 1 i da je tvrdnja tana za sve grupe reda p . n" l sa n" < n'. Prema teoremi 1.8, p I (Z(G) : e) ili postoji yE G"-.Z(G) sa p -t (G : Nil)' U 'Prvom sluaju postoji xE Z(G), a u drugom xE Nil sa ord(x) = p, jer je Z(G) Abelova grupa, odnosno Nil grupa reda (N" : e) = p . n" za neko n" < n'. -. Time je teorema dokazana. Sad moemo dokazati najavljenu teoremu o periodu konane grupe G. Teorema 1.10. Neka je G konana grupa reda n = (G : e). Tada grupa G ima konaan period m i vrijedi m I n. Osim toga, za neki prirodan broj k vrijedI nim". Dokaz. Prva tVrdnja teoreme je jasna i ranije smo konstatovati inienicu koju ona izrie. Dokaimo drugu tvrdnju. Ona je jasna za n = 1, jer (je tada m = .1 i) moemo uzeti k = 1. Pretpostavimo zato da je n > 1. Tada, prema prethodnoj teoremi, za svaki prosti faktor p broja n postoji element xE G, koji ima red p, pa otuda p I m. Ako sada uzmemo k = max n" pri emu je n =

i

31

= p~l ... p;'8 razlaganje broja n na proste faktore, onda e oigledno vrijedi-ti n I mk, jer zbog m I n i Pl I m ci = 1,2, ... s) vrijedi m = p'{'l ... P';", l -< ml' i = 1,2, ... , s. Primijetimo, da se, za Abelovu grupu G, druga tvrdnja teoreme, koju smo ovdje dokazali na osnovu Koijeve teoreme, moe dokazati i na drugi nain te da se onda iz nje moe dobiti Koijeva teorema (v. zadatak 1.8). Si10vljeve p-podgrupe Definicija 1.18. Ako je G (multiplikativna) grupa, a P neki prost broj, onda se kae da je G p-grupa ukoliko svako xE G ima konaan red ord(x) = pV(x), pri emu je 11 (x) nenegativan cio broj. Ako je G konana (multiplikativna) grupa reda n = (G : e) > l, onda je G p-grupa ako i samo ako je n = pk za neki prirodan broj k. Naime, ako je G p-grupa, onda, na osnovu Koijeve teoreme, ni za jedan prost broj q #- P ne moe vrijediti q I n, pa mon' biti n = pk za neki prirodan broj k. Obrnuto, ako je n = pk za neki prirodan broj k, onda svako x E G ima konaan red ord(x) i ord(x) I pk, pa mora biti ord(x) = pV(x) za neki cio broj 11 (x), 0-< -< 11 (x) -< k. Ako je G konana (multiplikativna) grupa reda n = (G : e) > 1, tada, za svaki prosti faktor P broja n, prema Koijevoj teoremi postoji p-podgrupa reda p grupe G. Ako je k viestrukost prostog broja P kao faktora od n, tj. ako je n = pk . n' i p,r n', tada svaka p-podgrupa grupe G mora da ima red pi za neki cio 'broj j, O -< j -< k. Sljedea teorema kae da postoji p-podgrupa H, grupe G reda (Hi: e) = pi (j = l, 2, ... , k). Teorema 1.11. Neka je G konana (multiplikativna) grupa reda n = (G :e l. Tada za svaki prosti faktor p broja n postoji bar jedan lanac Hl ~ H2 ~ ... ~

~ Hk p-podgrupa H j grupe G reda (Hj : e) = p' (j = 1,2, ... , k), pri emu je k viestrukost broja p kao faktora broja n. Dokaz. Tvrdnju teoreme dokazaemo indukcijom u odnosu na n' = n/p. Za n' = l, k = l i tvrdnja je sigurno tana. Pretpostavimo da je n' > l i da je tvrdnja tana za sve prirodne brojeve m = p . m', m' < n'. Mogua su samo ova dva sluaja: p I (Z( G) : e) i p,r e Z( G) : e). U prvom sluaju, na osnovu Koijeve teoreme, postoji p-podgrupa Hl grupe Ze G) reda (Hl : e) = = p. Ukoliko k > l, imamo grupu G/HI (Hl je normalna podgrupa grupe G, jer Hl ~ Z(G reda m = n/p = pm', m' < n', pa kako je p faktor broja m viestrukosti k-l, postoje po pretpostavci indukcije p-podgrupe H2 ~ H3 ~ e ... e Hk grupe GIHI reda pH (j = 2,3, ... k). No, H, = Hi/Hl za neku podgrupu Hi d Hl grupe G reda (H, : e) = (Hj : Hl) . (Hl: e) = pi-l. P = = pi (j = 2,3, ... , k). Na taj nain imamo niz Hl e H2 ~ ... ~ Hk p--podgrupa H, grupe G reda (H, : e) = p' (j = 1,2, ... , k). U drugom sluaju, na osnovu teoreme 1.8, postoji prava podgrupa N x grupe G, iji red m = = (Nz: e), zbog p,r (G : N x), mora biti djeljiv brojem p i ovaj ima istu vie-strukost k kao faktor broja m. Kako je m < n, na osnovu pretpostavke indu-kcije postoji niz Hl ~ H2 ~ ... ~ Hk p-podgrupa H, grupe N x, dakle, i grupe G, reda (H, : e) = p' (j = 1,2, ... , n). Time je teorema dokazana. Prema upravo dokazanoj teoremi, postoji specijalno p-podgrupa P konane (multiplikativne) grupe G reda CP : e) = pk, pri emu je p prosti faktor broja n = CG : e) viestrukosti k.

32

Definicija 1.19. Neka je G konana (mu1tiplikativna) grupa reda n = = (G : e) > L a p prosti faktor broja n viiestrukosti k. Tada se ppodgrupa p grupe G reda (P : e) = pl< zove SilOfJ/je'Oa p-podgrupa (Sylow) grupe G. U optem sluaju konana (multiplikativna) grupa G moe da" ima vie Silovljevih p-podgrupa: Prema tzv. prvoj Si/OfJlj'e'Ooj teoremi, njihov broj je pl + I za neki nenegativan cio broj l. Teorema 1.12. Neka je G konana (muItiplikati'Vna) grupa reda n = (G:e > l, a p prosti faktor broja n (viestrukosti k). Tada postoji pl + l Silovlje'Oih p-podgrupa grupe G. pri tome je l neki nenegativan cio broj. Dokaz. Prema prethodnoj teoremi skup X svih Silovljevih p-podgrupa grupe G nije prazan. Grupa G djeluje na X preko unutrainjih automorfizama (Primjer I.S.e). Uoimo jednu Silovljevu p-podgrupu P i oznaimo sa [P]G orbitu podgrupe P u odnosu na G. Ona ima upravo (G : Gp ) elemenata. Ako je H bilo koja p-podgrupa grupe G, onda H preko unutranjih automor-fizama djeluje na [Pleo Za svako Q E [P]G oznaimo orbitu podgrupe Q u odnosu na H sa [Q]H~ Ona lima (H : Ho) elemenata. Kako Gp ;;2 P, daklep,t (G : Gp ), a (H: Ho) je neka potencija broja p, mora za neko Q E [P]Q vrijediti CH : Ho) = l, jer bi se inae orbita [P]Q raspadala na nekoliko orbita u odnosu na H za svaku .cid kojih je broj elemenata djeljiv sa p, pa bi i broj elemenata orbite [P]Q bio djeljiv brojem p, a vidjeli smo da nije. No, (H : Ho) = I znai da je HQ = QH, pa je HQ podgrupa grupe G (v zadatak 1.3), dakle HQ = Q, jer HQ ;;2 Q, a, osim toga, (HQ: e) = = (H : e) . (Q : e) (v. zadatak 1.3), tj. HQ je p-podgrupa. Iz HQ = Q slijedi

(H n Q : e) H~ Q. Ako je, specijalno, H Silovljeva p-PQdgrupa lrupcG, opda je zapravo H. a::: = Q E {P]Q, ito znai da !lU svake dvije Silovljeve p-podgrupe H i P grupe G meusobno konjugovane. Kad je H Silovljeva p-podgrupa grupe G, onda se samo jedna od~rbita [Q]H (Q E [P]Q) sastoji od samo jednog elementa; naime, samo orbita [H]H' Ostale orbite [Q]H CQe [P]Q' Q :F H) imaju broj elemenata koji \je djeljiv brojem p, pa otuda [P]Q ima pl + l elemenata, gdje je l neki nenegativan cio broj. Meutim, orbita [PJQ sadri sve Silovljeve p-podgrupe grupe G, pa je pl + r zapravo broj svih Silovljevih p-podgrupa grupe G. Time je dokazana ne samo prva ve i tzv. druga SilOfJlje'Oa teorema. -.

Teorema 1.13. Svaka p;"podgrupa konane (multiplikati'Vne) grupe G sadra-na je u nekoj SilOfJlje'Ooj p-podgrupi grupe G, a svake dvije SilOfJlje'Oe p-podgrupe grupe G su meusobno konjugOfJane. .

Zadaci 1.1. Neka je eX, .) polugrupa sa lijevim jedininim elementom e' i neka za svako x E X postoji x" E X tako da vrijedi xx" = e'. Dokazati na primjeru da eX, .) ipak ne mora biti grupa. Ako, meutim, u polugrupi (X, .) postoji lijevi jedinini element e' i za svako x E lt, postoji x E X tako da vrijedi x'x = e', tada je (X, .) grupa.

33

Uputstvo: l) Neka je X skup koji ima bar dva elementa. Definiimo u X mnoenje ovako: xy c= Y (x, Y E X). Tada je (X, .) polugrupa u kojoj svaki element e' igra ulogu lijevog

jedininog elementa. Osim toga za x" = e' vrijedi xx" = e'. Jasno je da (X, .) ipak nije grupa. 2) Dokazaemo najprije da vrijedi takoder xx' = e'. Stvarno

xx' = e' (xx') = (x')'x" (XX') = (x')'(x'x) x' = e'. Sad je lako dokazati da vrijedi xe' = x. Naime

xe' = X (x'x) = (xx') x = e'x = x. 1.2. Neka je (G, .) grupa. Ako za svako x E G vrijedi x'=e, dokazati da je grupa GAbelova. Uputstvo: Za svako x, Y E G vrijedi (xY)' ,~ e, tj. xyxy = e. Odatle mnoenjem slijeva sa x i zdesna sa y dobijamo, zbog x2 = y2 = e, xy =c yx za svako x, y E G .. 1.3. Neka su A i B podgrupe grupe (G, .). Oznaimo sa AB skup svih ab (a E A, b E B). Dokazati: a) card (AB) . card (A n B) ~ card (A x B) = card (A) . card (B); b) AR je podgrupa grupe G ako i samo ako je AB = BA; e) Ako je jedna od podgrupa A, E normalna, tada je AB podgrupa grupe G; d) Ako su A i B normalne podgrupe, tada je i A13 normalna podgrupa grupe G. Uputstvo: a) Preslikavanje A x 13--+ AE, (x, y) f-+ xy ((x, y) E A x E) je sirjektivno, ali nije injektivo (u optem sluaju), jer

xy = X,Y, q xl'x = y,y- I = v E A n E,

pa se na xy preslikava card (A n E) elemenata (XV-l, vy) (v E A n B). To upravo znai da vrijedi

card (A) . card (E) = card (A x B) = card (A B) . card (A n B). b) Ako je AB podgrupa grupe G, tada ).~V EO A13 =) y-lx -l = (xy)-I E AB, pa kako su A i B podgrupe dakle A = A-I = {X-I: x E A}, 13- B-I e {y-': y E B}, mora biti BA- AB. Odatle odmah slijedi A-lB-I e B-'A-', tj. AB '=.. BA. Prema tome, ako je AB podgrupa grupe G, tada je AB ,~ BA. Obrnuto, neka je AB =, BA. Tada xy, X,y, E AB (xy)-l . (XIY,) = y-1X-1XIYl = = y- IX'Yl = X'Y'Yl = X3Y3 EO AB, pa je .~B podgrupa grupe G. Primijetimo da A ~ .'lB i B ~ AB. e) Ako je, na primje", A normalna podgrupa grupe G, tada je

AB = U Ab = U bA = BA, bEB bEB

pa je prema b) AB podgrupa grupe G. d) Ako su A i B normalne podgrupe grupe G, tada je prema e) AB podgrupa grupe G. Osim toga, za svako x E G vrijedi

x AB = (xA) B = (Ax) B = A (xB) = A (Bx) = (AB) x, tj. podgrupa AB je normalna. 1.4. Neka je (G, +) grupa, End (G) skup svih endomorfizama, a Aut (G) skup svih auto-morfizama grupe (G, +). Dokazati: a) (End (G), +) je grupa ako i samo ako je grupa (G, +) Abelova; b) (End (G), o) je polugrupa sa jedininim elementom idG ; e) (Aut (G), ) je grupa jedinica polugrupe (End (G), G). Uputsl'vo: a) Ako je grupa (G, +) Abelova, tada se lako provjerava da je (End (G), +) grupa. To je zapravo podgrupa grupe (GG, +), jer End (G) =I 0, zbog idG E End (G), a osim toga J, g EO End (G) .~ - J + g EO End (G), zbog komutativnosti grupe (G, +~.

34

Obrnuto, ako je (End (G), +) grupa, ak polugrupa, tada ide E End (G) =:} ide + ide E E End (G), tj."

(x + y) + (x + y) = (ide + ide) (x + y) = (ide + ide) (x) + (ide + ide) (y) = ",= (x + x) + (y + y) (x, y E G).

Odatle odmah slijedi y + x = x + y (x, y e G), tj. grupa (G, +) je Abelova. b) (End (G), o) je potpolugrupa polugrupe (TG , o) transformacija skupa G, jer I, g E E End (G) =:} log E End (G), zbog

(Jo g) (x + y) = I(g (x + y = I(g (x) + g (y = I(g (x + I(g(y = = (/og)(x) + (lo g) (y)(x,y E G).

Jasno je da je ide E End (G) i da je to jedinini element polugrupe (End (G), o). e) (Aut (G), o) je podgrupa grupe (SG, o) pennutacija skupa G, jer su automorfizmi spe-cijalna bijektivna preslikavanja. Naime, I, g E Aut (G) ~ log E Aut (G), jer sigurno log E End (G), a osim toga log je bijektivno preslikavnje skupa G na sama sebe. Ako je lE Aut (G) tada postoji l-l, E Se. No, l-l E Aut (G), jer

I (x + y) = I (x) + I(y) =:} l-l (I (x) + I(y = x + y, pa kako je G = Im Cf), za svako x', y' E G postoji x, y E G tako da vrijedi

x' = I (x), y' = I (y), tj. x = l-l (x'), y = l-l (y'), -te moemo rei da vrijedi

l-l (x' + y') = l-l (x') + l-l (y') (x', y' E G). Kako je Aut (G) ~ End (G), ujedno je (Aut (G), o) podgrupa polugrupe (End (G), o) i to je zapravo grupa jedinica te polugrupe. 1.S. Za podgrupu H grupe (G, .) kae se da je invarijantna u odnosu na ot~E Aut (G) ako vrijedi ot (x) E H (x E H). Ako je podgrupa H grupe G invarijantna u odnosu na svako ot E Aut (G), onda se kae da je H karakteristilna podgrupa grupe (G, .). Dokazati: a) Podgrupa H grupe G je jnvarijantna u odnoau na svako ot E In (G) ako i samo ako je H nonnalna podgrupa grupe G (Otuda naziv invarijantna podgrupa za nonnalnu pod-grt1pu); b) Z (G) je karakteristina podgrupa grupe G; e) Podgrupa G' grupe G generisana skupom svih komutatara XYX- 1y-l (x.y EG) je ka-rakteristina. dakle i normalna podgrupa grupe G; d) Ako je H karakteristina podgrupa grupe G, a K karakteristina podgrupa grupe H, tada je K karakteristina podgrupa grupe G. Uputstvo: a) Tvrdnja slijedi neposredno iz definicije nonnalne podgrupe; b) Ako je a E Z (G), x E G, tada iz ax = xa slijedi

ot (ax) = ex (xa), tj. ot (a) . ot (x) = ot (x) . ot (a), za svaki automorfizam ex grupe G, pa kako je G = Im (ot), mora biti ot (a) E Z (G). e) Svaki element z podgrupe G' ima oblik

z = (X 1YIXi1Yi 1) (xnynx;;ly;;l) (x" yi E G), jer je za svaki komutator xyx-1y-l inverzni element tog komutatora

(XYX-1y-l)-1 = yxy-1x-1 opet komutator. No, tada je za svaki automorfizam ot grupe G

35

d) Ako je H karakteristina podgrupa grupe G, tada je restrikcija na H svakog automor-fizma grupe G automorfizam grupe H, pa zato za svaki automorfizam grupe G i za svaku karakteristinu podgrupu K grupe H vrijedi

ex. (x) = ex.H (x) E K (x E K). Primijetimo da se u ovoj tvrdnji pretpostavka "karakteristina" ne moe zamijeniti sa "invarijantna" . 1.6. Neka je f : G -+ G homomorfizam grupa. Dokazati da je grupa Im (J) Abe10va ako i samo ako Ker(!);J G', pri emu je G' komutatorska podgrupa grupe G, tj. podgrupa generisana svim komutatarima xyx-'y-l (x, y E G). Specijalno je za normalnu podgrupu H grupe G faktorska grupa G/H komutativna ako i samo ako II ::2 G'.

Uputstvo: Grupa Im (J) (to je podgrupa grupe CT) je Abelova ako i samo ako za svako x, y E G vrijedi f (x) . f(y) = f (y) . f (x), tj. f (xy) - f(yx). No, to je sluaj upravo onda kada XYX-Iy-l EO Ker (j) za svako x, y E G, tj. kada Ker (j) :J G', jer je G' najmanja pod-grupa grupe G koja sadri sve komutatore xyx-'y-l (x, y E G). Posljednja tvrdnja dobija se kad se uzme G e G/H, a za f prirodni epimorfizam. Tada je, naime, Im (J) -- G/li, a Ker(j) = lJ.

1.7. Ako je grupa G/Z (G) ciklika, dokazati da je Z (G) = G, tj. da je grupa G Ahelova. Specijalno je grupa G reda p' (p prost broj) Ahelova. Uputstvo: Ako je grupa G/Z (G) ciklika grupa generisana elementom aZ (G), tada za svako x, y E G postoje cijeli brojevi Ill, II takvi da vrijedi

xZ (G) ~ (aZ (GIII, yZ (G) ~ (aZ (G)n, tj. za podesne elemente z" Z2 E Z (G) vrijedi

x := amzu y = anz 2 0

Kako elementi alil, an, Z" Z2 meusobno komutiraju, lako se zakljuuje da vrijedi xy = yx. Znai, grupa G je Abelova, tj. Z (G) = G. U specijalnom sluaju Z (G) = G ili (Z (G): e) = p, na osnovu teoreme 1.8. No, druga mogunost otpada, jer bi grupa G/Z (G), kao grupa prostog redap morala biti ciklika, pa bi prema ve dokazanome moralo biti Z (G) = G.

1.8. Neka je G multiplikativna grupa. Dokazati: a) Ako je G konana grupa reda n = (G : e), tada grupa G ima konaan period m i vrijedi m I n; b) Ako je H podgrupa periodike grupe G, tada je i H periodika grupa, a osim toga za svako x E G postoji m' = m' (x) tako da vrijedi xm' E H. Obrnuto, ako postoji periodika podgrupa H grupe G sa osobinom da za svako x E G postoji prirodan broj m' = m' (x) takav da vrijedi xm' E II, tada je grupa G periodina; c) Neka je G grupa konanog perioda m, a H podgrupa grupe G. Tada je i H grupa konanog perioda ml i postoji najmanji prirodan broj m 2 takav da vrijedi (V x E G) xm, E H. Osim toga ml I m, m 2 I m i m I m l m 2 Uputstvo: a) Za svako x E G vrijedi xn = e, pa zato grupa G ima konaan period m. Ako je n = qm + r (O ,;;; r < m), tada iz e = xn = (xm)q . xr = xr (x EO G) slijedi r = O, tj. m I n. b) Podgrupa H periodine grupe G je oigledno periodina grupa. Kako za svako x E G vrijedi xm(x) = e E H, jer je grupa G periodina, jasno je da za svako x E G postoji pri-rodan broj m' = m' (x) takav da vrijedi xm' E lJ. Obrnuto, neka postoji periodina pod-grupa H grupe G sa osobinom da za svako x E G postoji prirodan broj m' = m' (x) takav da vrijedi xm' E H. Tada svako x E G ima konaan red, jer xm' E H ima konaan red, pa je grupa G periodina.

36

c) Neka je G grupa konanog perioda m. Tada za svaku podgrupu H grupe G vrijedi ym == e (y E H), pa je i podgrupa H konanog perioda ml .;;; m. Ako je m = qlml + Tl (O .;;; Tl < ml), tada iz e = ym = (yml)q, . yr, = yr, (y E H) slijedi Tl = O, tj. ml I m. Kako za svako x E G vrijedi xm = e E H, jasno je da postoji najmanji prirodan broj mz';;; m za koji vrijedi (\:I x .. E G) xm, E H. Ako je m = mzq. + Tz (O .;;; r < m2), tada iz (\:I x E G) xm E H, x m, E H i xm = (xm,)q, . xr, slijedi T. = O, tj. m2 I m. Konano za svako x E G vrijedi xm=e, pa ako je mIm. = mq + T (O .;;; T < m), tada iz e = (xm)q . . xr = xr (x E G) slijedi T = 0, tj. m I mIm . 1.9. Neka je G konana Abelova grupa reda n = (G : e) i perioda m. Dokazati: a) Postoji prirodan broj k takav da n I mk; b) Za svaki prosti faktor p broja n postoji x E G, ord (x) = p. Uputstvo: a) Za n = 1 tvrdnja je sigurno tana. Neka je n > l i pretpostavimo da je tvrdnja tana za sve grupe nieg reda. Ako grupa G nema netrivijalnih podgrupa, onda je ona ciklika grupa prostog reda, pa je m = n i tvrdnja je opet tana. Ako je H netrivi-jaina podgrupa grupe G, tada je H normalna podgrupa grupe G, a osim toga prema pret-hodnom zadatku grupe H i G/H imaju konane periode m, i m2 Redovi nl i n. posljednjih dviju grupa su manji od n, pa zato po pretpostavci indukcije postoje prirodni brojevi k' i k" takvi da n, I m~' i n.1 mr. Sad je dovoljno uzeti k ~ k' 1- k", jer ~ = nl' n., a prema prethodnom zadatku ml I m, m.1 m. b) Prema a) postoji prirodan broj k tako da nl mk, pa za svaki prosti faktor p broja n vrijedi p I m, tj. m = p. m'. Kako postoji y E G sa ym' i' e, dovoljno je uzeti ."( ~ ym' , jer tada ord (x) = p. 1.10. Neka je G (multiplikativna) grupa reda (G : e) = pq. gdje su p i q razliiti prosti brojevi. recimo p < q. Dokazati: a) Postoji tano jedna Silovljeva q-podgrupa Q grupe G i ona je obavezno normalna; b) Ako grupa G nije ciklika. onda postoji tano q Silovljevih p-podgrupa Pl' ... P q grupe G i nijedna od njih nije normalna; c) Grupa G je Abelova. ako i samo ako je ciklika. To je sluaj sigurno kad q i' pl + l (l = 1.2 ... ). Uputstvo: a) Na osnovu Koijeve teoreme postoji bar jedna podgrupa Q grupe G reda q. Kad bi postojala jo jedna takva podgrupa R. onda bi. zbog Q rl R = {e}. na osnovu zadatka 1.3. podskup QR grupe G imao q2 > pq elemenata. to je nemogue. Kao jedina podgrupa reda q. grupa Q je, naravno, normalna. b) Prema Koijevoj teoremi postoji bar jedna podgrupa Pl grupe G koja ima red p. Kad bi ta podgrupa bila normalna. onda bi za generatorni element x grupe P l i generatorni element y grupe Q vrijedilo xyx-Iy-l E Pl rl Q = {e}. dakle xy = yx. pa bi element xy E G imao red ord (xy) = pq i grupa G bi bila ciklika. Specijalno. Pl nije jedina podgrupa grupe G koja ima red p. Neka su Pl' PI' ... Pr sve takve podgrupe grupe G. Svako x E G. xi' e.lei u tano jednoj od podgrupa Pl' ... Pr.Q. a element e lei u svakoj od tih podgrupa. Zato je

p . q =T(p - 1) + q. tj. (p - I)q = rep - l). to znai da je T = q. Do zakljuka T = q mogli smo doi koristei se drugom Silovljevom teoremom. Prema njoj su grupe P" ... Pr meusobno konjugovane. tj. ine orbitu [PIle i zato je r = (G : Np,). Kako je T > l. mora biti Pl ~ Np, e G. dakle. Np, = Pl' tj. (G: Np,) = q. c) Ako je grupa G cildika. onda je ona sigurno Abelova. Ako je. obrnuto. grupa G Abe-lova. tada je njena podgrupa Pl sigurno normalna. pa je prema b) grupa G ciklika. Ako grupa G nije ciklika. onda ona ima q podgrupa reda p. Prema prvoj teoremi Silova mOfa zato vrijediti q = pl + l za neko l (l = 1.2. . . . jer q > 1). .' 1.U. Neka je G konana grupa reda (G: e) = P'" . q". pri emu su p i q razliiti prosti brojevi. Dokazati: a) Ako je m = 1. n d 2 tada je bar jedna Silovljeva podgrupa grupe G normalna; b) Ukoliko je pm < q ili q" < p. tada opet grupa G ima bar jednu normalnu Silovljevu podgrupu. (Ova pretpostavka automatski je ispunjena za m = n = t. a za III = I, n = 2 nije neophodna. kako se vidi iz a).

37

Uputstvo: a) Kad tvrdnja ne bi bila tana, postojalo bi pj + I (j ;> I) Silovljevih p-pod-grupa i qk + I (k ;> I) Silovljevih q-podgrupa grupe G. Ako je P jedna od Silovljevih p_ -podgrupa, a Q jedna od Silovljevih q-podgrupa grupe G, tada bi normali zator Np grupe P u odnosu na G bio neka prava podgrupa grupe G, pa bi zbog P (~ Np vrijedilo (G : Np) =" q', I I; l < s < 2). No, za s = l to bi znailo da je p < q i q

koji zato sadri sve lanove ciklusa (j. :n; (i) ... :n;r-l (i. Slino je j =.:n;' (j) "" :n;'-I (:n;I(j = = :n;1-! (n" (i lan ciklusa (i. n (i) ... nr-l (i. pa ovaj zato sadri sve lanove ciklusa (j.

:n; (j) ... :.nS- l Ci)?: Sad je jasno da ciklusi (i. n(i) .. nr-! (i. Ci. n (j), ... n,-l j pennutacI)e n kO)1 nisu bez zajednikih elemenata moraju biti jednaki. d) Proizvod svih ciklusa (~z zajednikih elemenata) permutacije n E Sn djeluje na svako k = l, 2, ... , n, nezavisno od poretka faktora koji meusobno komutiraju, isto tako kao i sama permutacija n. Ako je permutacija n E Sn prikazana u obliku ciklusa bez zajednikih elemenata, tada je svako k = 1, 2, ... , n lan tano jednog od tih ciklusa (osim ako je n (k) = k; a u prikazu su izostavljeni jednolani ciklusi koji su kao faktori suvini jer predstavljaju jedinini ele-ment grupe Sn). Ako je to ciklus (i" i., ... ,ir), moemo bez ogranienja uzeti da je k = il, jer svaki ciklus moemo zapoeti bilo kojim njegovim lanom. No tada je oigledno

(i" i., . .. , ir) = (k, 'lT (k), ... ,nr- 1 (k, dakle ciklus permutacije :'t koji je jednoznano odreen elementom k. 1.13. Neka je Sn simetrina grupa reda n > l. Tada za svaki ciklus (il' j, ,irY (r> l) vrijedi (il' i, ... , ir) = (il, i.) o (i., j3) o o (ir-H ir), pa se na osnovu prethodnog za-datka svaka permutacija n E Sn moe prikazati u obliku (za n-, id praznog) proizvoda transpozicija, tj. dvolan ih ciklusa. Dokazati: a) Svaka permutacija iz Sn moe se prikazati u obliku proizvoda transpozicija oblika (i,.i) (j ~'C I, 2, ... , ll; j # i). pri emu je i bilo koji.od ,brojeva l, 2, ... n, recimo i =~ 1. b) Prikaz permutacije n E Sn U obliku proizvoda transpozicija nije jedinstven, ali je za datu permutaciju broj faktora u svakom takvom prikazu iste parnosti, tj. ili je za sve prikaze paran ili je za sve prikaze neparan. Uputstvo: a) Dovoljno je dokazati da se svaka transpozicija (k, l) moe prikazati u obliku transpozicija naznaenog oblika. Ako je k = i ili l = i, to je jasno, jer (k, l) = (l, k) ve ima takav oblik. Inae j e

(k, l) = (i, k) o (i, l) G (i, k). b) Ako je ;or, =~ (i" ... ,ir) o (jI" .. ,j.) o (r> l. s> l, ... ), tada odatle dobijamo pri-kaz ;or, , (il' i.) o Ci., i3) o o (ir--t. ir) o (j,,;.)' (j.,j3) o Cis-" j.) o permutacije n u obliku proizvoda transpozicija koji ima

N (;"t) = (r - 1) + (s - l) + ... faktora (za ;or, , id N (n) ~= 0, jer je skup {r, s . .. } prazan). Zato treba dokazati da

z~ .. svak!. p:ikaz n -= Ci;. i{') e, O (i~, i;,') permutacije n u obliku proizvoda transpo-zIcIJa vflJedl

p = N (n) -I- 2m (za neki cio broj m). Za p = 1 tvrdnja je tana, jer je tada N (n) = (2 - 1) = 1 = p. Za primjenu indukcije (korak od p - l na p, kad je p > l) treba najprije dokazati da za svako n E Sn i za svaku transpoziciju (i, j) E Sn vrijedi

N ('lT o (i, j = N (n) 1. Na osnovu toga iz pretpostavke indukcije dobija se odmah

N (n) = N i~, i~') o o (i~, ip') o (i~, i~' l = P - l + 2m' l == P + 2m. 1.14. za permutaciju n E Sn kae se da je parna ako je broj N (n) paran, tj. ako je n proiz-vod parnog broja transpozicija (v. prethodni zadatak). Dokazati: a) Skup An svih parnih permutacija iz Sn ini normalnu podgrupu grupe Sn i vrijedi

nf (Al: id) = 1, (An: id) = - (11 > 1). 2

b) Ako je n > 2, grupa An, tzv. alternira jua grupa reda n, generisana je svim trolanim ciklusima iz Sn, ak svim trolanim ciklusima oblika (i,j, k) (k = 1,2, ... , ll; k # i,j) i to za bilo koji par i, j razliitih brojeva iz skupa {l, 2, ... , n}.

39

['putstvo: a) Nema je n> l. Skup All =ft 0, jer id E An. Osim toga proizvod dviju parnih permutacija iz Sn je opet parna permutacija iz Sn. a inverzna permutacija parne permu-tacije je opet parna permutacija .. Zato je All podgrupa grupe Sn. Proizvod parne i neparne permutacije je neparna permutacija, a proizvod dviju neparnih permutacija je parna permutacija, pa je zato za svaku parnu permutaciju n i za svaku per-mutaciju 'f ESn 'f o n o 'f-1 parna permutacija. Znai, An je normalna podgrupa grupe Sn. Preslikavanje An --o>- Sn ~ An koje svakoj parnoj permutaciji n pridruuje permutaciju n o e (I, 2) predstavlja bijektivno preslikavanje skupa svih parnih u skup svih neparnih

n! permutaci;a iz Sn; Zbog toga je (A" :id)-c ~,jer je (S" : id) --/I!.

2 Ako je n = l, tada je Sn = An C~ fid}, dakle (An: id) = l. b) Svaki trolani ciklus (i, j, k) = (i, j) o (j, k) je parna permutacija, pa lei u An. Zato je dovoljno dokazati da se svaka parna permutacija moe prikazati u obliku proizvoda trolanih ciklusa naznaenog oblika. Svaka takva permutacija je proizvod parnog broja transpozi-cija. pa je dovoljno dokazati da se proizvod od dvije transpozi:ije moe prikazati u obliku trolanih ciklusa navedenog oblika. Neka se radi o proizvodu (i'.j') o (k'.l'). Ako su ove dvije transpozicije jednake. onda je njihov proizvod id. pa nas ne interesuje. Uostalom. on je tada jednak (i.j. k)3. Neka zato ove dvije transpozicije nisu jednake. Ako one nemaju

zajednikih elemenata. tada je (i', j') e (k', l') - (i',j').(j', k') eO', k') o Ck', l'),~ (1:', j', k')eU, k', /'),

a ako imaju jedan zajedniki element, moemo bez ogranienja uzeti da je j' = 1', pa je tada

(i', j') o Ck', 1') = (i', j') o (l', k') = (i', j', k'). Zato ostaje da se dokae da se svaki trolani ciklus (i', j', k') moe prikazati u obliku proiz-voda trolanih ciklusa oblika (i, j, k) (k = 1, 2, .... , n; k =ft i, j). Ako su i, j lanovi cik-lusa (i', j', k'), onda bez ogranienja moemo uzeti da je

(i', j', k') = (i, j, k) (k = k') ili (i', j', k') = (i, k, j) = (i, j, k)1 (k = j').

Ukoliko je samo i lan ciklusa Ct, j', k'), tada bez ogranienja moemo uzeti da je i = i', pa imamo

(i', j', k') = (i, j', k') = (i, j, k') o (i, j, j')2. Slino u sluaju da je samo j lan ciklusa (i', j', k') moemo bez ogranienja uzeti da je i' ~ j, pa zato imamo

(i', j', k') = (j,j', k') = (i, j, k')' o (i, j, j'). Konano, ako ni i, ni j nisu lanovi ciklusa (i', j', k') = (i', j') o (j', k'), onda je

(i', j', k') = (i', j') o (j', j) o (j, j') o (F, k') = = (i', j', j) o (j, j', k') = (i, j, j')2 o (i, j, i') o

o (i, j, k')' o (i, j, j'). 1.15. Dokazati: a) An = S~ (rz ;;:, I);

b) A~ = An(n > 4); c) Sn(k) = An, k = 1, 2, ... (n > 4).

L 'pllfstvO: a) Za 1/ < 2, An = S~ = {id}. Neka rl > 2. Svaki kom.Hator elemenata iz Sn je parna permutaci:a, pa zato An~) S;,. S druge strane, An je generisano trolanim ciklusima (I, 2. A) Ck = 3,4, ... n), a za svaki takav ciklus vrijedi

(1, 2, k) = (I, k, 2)2 = (1, k) o (k, 2) o (1, k) o (k, 2), tj. svaki takav ciklus je komutator, pa zato vrijedi An S S~.

40

b) Ako je II > 4, a FI bilo koja normalna podgrupa grupe A" za koju je faktorska grupa AnIH Abelova, tada H sadri sve cikluse (1, 2, k) (k = 3, 4, ... , rl). Naime, iz

(1, 2, i) H . (2, j, k) H = (2, j, k) H (1, 2, i) H slijedi

(1, 2, i) o (2, j, k) H = (2, j, k) o (1, 2, i) H, tj.

(1, 2, k) = (2, k, j) o (1, i, 2) o (2, j, k) o (1, 2, i) E H (k = 3,4, ... , n). Tu smo uzeli da su l, 2, i, j, k razliiti brojevi iz skupa {l, 2, . .. , ll}. Specijalno ovo vrijedi za H = A~,pa je otuda A~ = An (n> 4). c) Kako je S~ = An (n:> 1), imamo

Sn(k) = (S~)(k-l) = A n(k-lj = An, k = 2, 3" ... (n > 4). Primijetimo da je za n OF 4 grupa An prosta, tj. da ona nema netrivijalnih norrb.alnih pod-grupa. Kako za n > 4 grupa An nije Abelova, pa A~ OF {id}, mora vrijediti A~ = An (n> > 4). Samo dokaz injenice da je grupa An prosta za n OF 4 nije tako jednostavan.

2. PRSTEN, TIJELO, POLJE

Prsten, oblast

Vidjeli smo da je CZ, +) Abelova grupa, a CZ, .) (Abelova) polugrupa (sa jedininim elementom e = 1). Osim toga, operacija mnoenja je distributivna II odnosu na sabiranje, tj. vrijedi (2.1) Cx + y) z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz za svako x, y, z iz Z. Isto vrijedi i kad umjesto Z uzmemo Q ili R ili C. Ima jo mnogo primjera gdje se pojavljuje ista situacija. Zato uvodimo optu definiciju.

Definici.ia 2.1. Neka je zadan neprazan skup R u kome su definisane dvije binarne operacije + i '. Skup R sa operacijama + i " tj. ureena trojka (R, +, .) zove se (asocijativni) prsten ako su ispunjeni sljedei