Seminario di didattica - Contents

Seminario di didattica 1

Alessia Bonanini, Alessio Cirimele, Alice Bottaro,Laura Spada, Laura Tarigo

28 maggio 2012

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Seminario di didattica - Contents

Indice

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

L’area nella scuola media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.1 Prerequisiti dalla scuola primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2 Calcolo dell’area di figure piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Rettangolo e quadrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Parallelogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Quadrilatero con diagonali perpendicolari . . . . . . . . . 8Rombo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Poligoni regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Poligono generico e figura piana curvilinea . . . . . . . . . 12Cerchio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

0.3 Calcolo di superfici dei solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

L’area nelle scuole superiori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.4 Concetto di similitudine tra figure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.5 Approfondimento sulle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.6 Introduzione e sviluppo del concetto di integrale . . . . . . . . . . 16

L’area in altre materie scolastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Conclusioni e considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

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Seminario di didattica - Introduzione

Introduzione

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Seminario di didattica - L’area nella scuola media

L’area nella scuola mediaPrerequisiti dalla scuola primaria

Riportiamo dal programma didattico della scuola primaria (Decreto del Pre-sidente della Repubblica 12 febbraio 1985, n. 104) gli obbiettivi che i bambinidovrebbero raggiungere alla fine delle scuole elementari riguardo all’area dellefigure piane:

• riconoscere in contesti diversi, denominare, disegnare e costruire le prin-cipali figure geometriche piane; costruire, con tecniche e materiali diversi,alcune semplici figure geometriche solide e descriverne alcune caratteri-stiche, come, nel caso di poliedri, numero dei vertici, degli spigoli, dellefacce;

• riconoscere l’equiestensione di semplici figure piane mediante scomposi-zioni e ricomposizioni;

• misurare e calcolare il perimetro e l’area delle principali figure piane, aven-do consapevolezza della diversita concettuale esistente tra le due nozioni;

• trovare il volume di oggetti anche irregolari con strategie e unita di misuradiverse, avendo consapevolezza della diversita concettuale esistente tra lanozione di volume e quella di area della superficie di una figura solida.

Diamo dunque come acquisiti e consolidati tali concetti per un alunno dellescuole medie, ma proponiamo esercizi per verificare che lo siano.

Calcolo dell’area di figure piane

Rettangolo e quadrato

Partiamo ricordando le formule delle aree del rettangolo e del quadrato.Diamo un foglio (come quello di figura 1) a quadretti ai ragazzi con dei qua-

drati e dei rettangoli disegnati in varie posizioni nello spazio di cui sono date lemisure dei lati e per ogni figura gli chiediamo di indicare la misura dell’area.

Lo scopo e verificare che sappiano che l’area si calcola moltiplicando tra loroi lati indipendentemente da come la figura e collocata nello spazio.

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Figura 1: Disegno che mostra come calcolare l’area del parallelogramma.

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Parallelogramma

Per introdurre l’area del parallelogramma ci serviamo del meccano, con que-sto realizziamo un rettangolo e mostriamo che muovendo due lati paralleli (pri-ma quelli lunghi e poi quelli corti) otteniamo un parallelogramma.

Chiediamo ai ragazzi se il parallelogramma ottenuto ha superificie maggio-re, minore o uguale al rettangolo di partenza.

Dopo averli lasciati ragionare un paio di minuti al riguardo diciamo che lasuperificie e minore.

Per convicerli di questo alla lavagna disegniamo il rettangolo di partenza delmeccano, quello blu di figura 2, poi completiamo la figura con il parallelogram-ma azzurro e il rettangolo verde. Dalla figura ottenuta (la figura 2) si vede cheha l’area di un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza.

Figura 2: Disegno che mostra come calcolare l’area del parallelogramma.

Quindi l’area del parallelogramma si misura con la formula:

Area = base x altezza.

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Ora possiamo riprendere il discorso sull’area del rettangolo da cui si era par-titi con il meccano, tale rettangolo ha l’altezza piu grande del parallelogrammae la stessa base, quindi ha area maggiore come si vede da figura 2.

Riprendiamo in mano il meccano per mostrare come l’area si modifica muo-vendo i lati del rettangolo di partenza, fino al caso limite in cui i lati si sovrap-pongono e si ottiene una figura di area nulla. Facciamo notare che i parallelo-grammi che si generano hanno lo stesso perimetro ma aree diverse e che quindiperimetro e area non sono collegati. Inoltre il rettangolo e la figura che ha areamassima rispetto a tutte quelle ottenute muovendo le sbarrette del meccano.

Disegniamo alla lavagna la figura 3 e chiediamo ai ragazzi come calcolarel’area di questi parallelogrammi.

Figura 3: Disegno che mostra parallelogrammi in posizioni diverse nello spazio.

Dopo averli fatti ragionare mostriamo che l’idea di ricondurre il parallelo-gramma ad un rettangolo vale indipendentemente dalla posizione occupata nel-lo spazio. Lo scopo di questo esercizio e evitare che vedano il parallelogrammasempre nella stessa posizione e che si creino dei misconcetti.

Potremmo proporre ai ragazzi il seguente esercizio su questi concetti:Tra tutti i quadrilateri isoperimetrici, quale disegno per avere area maggiore?Diamo tempo ai ragazzi di ragionarci sopra e poi facciamo vari esempi allalavagna.

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Triangolo

Introduciamo l’area del triangolo a partire dal parallelogramma.Disegniamo un triangolo rettangolo alla lavagna e chiediamo agli studenti

se da questo si puo ottenere una figura di cui sappiamo gia calcolare l’area.Li lasciamo riflettere per qualche minuto prima di svelare che il triangolo

rettangolo si puo vedere come meta rettangolo. Da qui si ottiene che l’area deltriangolo e meta di quella del rettangolo e dunque

Area =base x altezza

2.

Disegniamo ora alla lavagna un triangolo qualunque con base orizzontale echiediamo agli alunni, come prima, se si puo vedere come parte di una figuradi cui sappiamo calcolare l’area. Dopo averli lasciati riflettere mostriamo che sipuo vedere come meta di un parallelogramma, come riportato in figura 4. Dacui si ottiene la stessa formula per il calcolo dell’area del triangolo, ma vista nelcaso di triangolo qualsiasi.

Figura 4: Disegno che mostra come il triangolo e meta di un parallelogramma.

Quadrilatero con diagonali perpendicolari

Partiamo disegnando due segmenti perpendicolari, costruiamo intorno unquadrilatero avente tali segmenti come diagonali. Conduciamo le parallele alle

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diagonali passanti per i vertici del quadrilatero. Otteniamo cosı un rettangolocon i lati congruenti alle diagonali. Il disegno ottenuto e quello di figura 5.

Figura 5: Quadrilatero con diagonali perpendicolari.

Osserviamo che il rettangolo e formato da 8 triangoli congruenti a 2 a 2. Ilquadrilatero di cui dobbiamo calcolare l’area e composto da 4 di questi triangoli,pertanto l’area del quadrilatero e

diagonale x diagonale

2.

Rombo

L’area del rombo si ottiene come caso particolare del precedente, quindi lointroduciamo chiedendo alla classe come si potrebbe calcolare. Lasciamo ragio-nare per qualche minuto gli studenti e disegniamo il rombo come in figura 6 emostriamo che l’area si ottiene come nel caso precedente, cioe:

diagonale x diagonale

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Figura 6: Rombo iscritto in un rettangolo.

Trapezio

Disegniamo il trapezio come in figura 7. Tracciamo 1 altezza e dividiamo iltrapezio in 2 triangoli. Tali triangoli hanno rispettivamente come basi le 2 basidel trapezio e come altezza l’altezza del trapezio. L’area e dunque:

b1 · h2

+b2 · h2

=(b1 + b2) · h

2.

E compito dell’insegnante approfittare di questa costruzione per sottolinearel’importanza di scomporre la figura in parti non sovrapposte tra loro affinchecontinui a valere il principio di additivita di figure piane.

Un’altro metodo per calcolare l’area del trapezio e il seguente. Disegniamoalla lavagna un trapezio e prolunghiamo le 2 basi di un segmento pari alla baseopposta, uniamo gli estremi e otteniamo un parallelogramma come in figura 8.

Il parallelogramma costruito ha per base la somma delle basi del trapezio eper altezza l’altezza del trapezio. servendoci di un foglio di carta trasparentepossiamo verificare che i trapezi sono congruenti. Quindi possiamo concludereche un trapezio e equivalente alla meta di un parallelogrammo che ha per basela somma delle basi del trapezio e per altezza l’altezza del trapezio. La formulaper il calcolo dell’area e dunque:

(b1 + b2) · h2

.

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Figura 7: Trapezio.

Figura 8: Trapezio visto come meta di un parallelogramma.

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Poligoni regolari

Approcciamo questo argomento in modo piu sperimentale, nel senso cheproponiamo agli alunni poligoni regolari con n lati e ci aspettiamo che percalcolare l’area passino attraverso la triangolarizzazione delle figure.

Vogliamo che arrivino a capire che per calcolare l’area di un poligono rego-lare di n lati si devono sommare le aree degli n triangolini uguali, come si vededalla figura 9.

Figura 9: Triangolazione dell’esagono regolare.

Quando questo concetto e chiaro introduciamo il concetto di apotema, l’al-tezza di questi piccoli triangolini e diamo la formula per il calcolo dell’area deipoligoni regolari:

perimetro x apotema

2.

Poligono generico e figura piana curvilinea

Trattiamo l’argomento come laboratorio, proponiamo una serie di figure com-poste di cui devono calcolare l’area aspettandoci che riescano a riconoscere in

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esse i poligoni noti e si riconducono quindi alla somma delle aree di essi. L’atti-vitia di laboratorio riguarda l’additivita delle aree (comprese figure con il buco).Diamo ai ragazzi un foglio tipo la figura 10.

Figura 10: Esempio di figure composte di cui calcolare l’area decomponendole in figurenote.

Visto questo lo studio passa al calcolo delle aree di figure piane curvilinee.Il calcolo dell’area di queste figure avviene per approssimazione. Proponiamoanche questo argomento come laboratorio, diamo agli studenti una scheda configure curvilinee disegnate sui quadretti (tipo quelle in figura 11) Il calcolo del-l’area si fa stabilendo un intervallo entro cui sta il valore dell’area, tale intervalloe dato dal numero dei quadretti che ci sono dentro la figura (valore approssima-to per difetto) e dal numero dei quadretti in cui la figura e contenuta (valoreapprossimato per eccesso).

Per avere misure piu precise si puo rimpicciolire l’unita di misura, cioe peresempio usare quadretti piu piccoli; si puo fare qualche esercizio al riguardo

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Seminario di didattica - L’area nella scuola media

Figura 11: Esempi di figure generiche.

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utilizzando la carta millimetrata.

Cerchio

Come esercizio sulle stile di quelli visti per le figure curvilinee facciamocalcolare ai ragazzi l’area del cerchio con quadretti sempre piu piccoli.

Come laboratorio facciamo riflette gli alunni su un problema: fissato il peri-metro, qual’e la figura con area massima?. Come aiuto visivo al riguardo diamo aglialunni un pezzo di spago e gli diciamo di costruire una figura chiusa con talespago in modo che l’area sia piu grande possibile. Lasciamo i ragazzi rifletteresul problema. Per convincerli del fatto che e il cerchio con lo spago realizziamovarie figure (quadrato, triangolo, esagono, rombo, . . . ) alla lavagna ricalcandolecon il gesso prima di cambiare figura.

Calcolo di superfici dei solidiAppunti: laboratorio, da solidi chiusi li apri per vedere la superficie. Rota-

zione dei solidi.

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Seminario di didattica - L’area nelle scuole superiori

L’area nelle scuole superioriConcetto di similitudine tra figure

APPUNTI:Esercizio su triangoli di area e perimetro massimo.

Approfondimento sulle derivateAPPUNTI:Introduzione al concetto di derivata attraverso la dimostrazione che il qua-

drato e il rettangolo di area massima.

Introduzione e sviluppo del concetto di in-tegrale

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Seminario di didattica - L’area in altre materie scolastiche

L’area in altre materiescolastiche

APPUNTI:Riprodurre con dati sperimentali diagrammi a torte o istogrammi di cui

calcolare l’area.Misurare aree di zone geografiche... cartine...Esperimenti fisici su area e pesi.nascita del πsezione aurea

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Seminario di didattica - Conclusioni e considerazioni

Conclusioni e considerazioni

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