ale ni i ura i M.C.D. - iisgiustinofortunato.it · Si definisce minimo comune multiplo (m.c.m.) ... Si definisce massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri il più grande

S. Serio

E S E R C I Z I A R I O

DI

M A T E M A T I C A

VOLUME I

Espressioni aritmetiche

M.C.D. m.c.m.

Unità di misura

Proporzioni

Calcolo letterale

Monomi

Polinomi

I N D I C E

MODULO A : Numeri Naturali

MODULO B : M.C.D. m.c.m.

MODULO C : Frazioni e Numeri decimali

MODULO D : Unità di misura

MODULO E : Proporzionalità diretta

MODULO F : Proporzionalità inversa

MODULO G : Percentuali

MODULO H : Numeri Relativi

MODULO I : Calcolo letterale

MODULO L : Monomi

MODULO M : Polinomi

I NUMERI NATURALI

Sono i primi numeri che l’uomo ha utilizzato, servono per contare ed ordinare, sono

infiniti. Nell’insieme dei numeri naturali (N) sono sempre possibili le operazioni di

addizione e moltiplicazione, mentre non sono sempre possibili le operazioni di

sottrazione e divisione.

I termini dell’addizione si chiamano addendi, il risultato si chiama somma.

I termini della sottrazione si chiamano minuendo e sottraendo, il risultato si chiama

differenza. La sottrazione è impossibile in N se il minuendo è minore del sottraendo

(5 8 = impossibile).

I termini della moltiplicazione si chiamano fattori, il risultato si chiama prodotto.

I termini della divisione si chiamano dividendo e divisore, il risultato si chiama quoto

se il resto della divisione è zero, si chiama quoziente se il resto è diverso da zero.

Vale la relazione : dividendo = divisore x quoziente + resto.

L’operazione di elevamento a potenza consiste nel calcolare il prodotto di tanti

fattori tutti uguali. Il fattore che viene moltiplicato si chiama base, il numero di volte

che viene moltiplicato si chiama esponente, il risultato si chiama potenza. Es.:

822223

2 = base 3= esponente 8 = potenza

L’operazione inversa dell’addizione è la sottrazione, della moltiplicazione è la

divisione, dell’elevamento a potenza è l’estrazione di radice. Infatti:

366636 22 12555125 33 162216 44

PROPRIETA’ DELLE POTENZE

1) nmnm aaa 322222 52323

2) nmnm aaa 273333 32525

3) nmnm aa 64222 62323

4) nnn baba 51284242 3333

5) nnn baba 162612612 4444

A1

ESPRESSIONI NUMERICHE

SI DICE ESPRESSIONE NUMERICA UN COMPLESSO DI OPERAZIONI DA ESEGUIRE

SU NUMERI. SI ESEGUONO PRIMA LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI PIU' INTERNE (TONDE)

DANDO LA PRECEDENZA PRIMA ALLE POTENZE, POI ALLE MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI E INFINE ALLE ADDIZIONI E SOTTRAZIONI. SI PROCEDE POI, SECONDO LE PRECEDENZE SUDDETTE, ALLO SVILUPPO DELLE OPERAZIONI NELLE

PARENTESI DI ORDINE SUCCESSIVO (QUADRE E GRAFFE) FINO AD OTTENERE UN UNICO NUMERO CHE RAPPRESENTA IL RISULTATO DELL'ESPRESSIONE.

NEL CASO DI PIU’ ADDIZIONI E SOTTRAZIONI, OPPURE DI PIU’ MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI, LE OPERAZIONI VANNO ESEGUITE COSI’ COME VENGONO.

CALCOLIAMO IL VALORE DELL'ESPRESSIONE:

ESEGUIAMO I CALCOLI NELLE PARENTESI PIU' INTERNE (LE TONDE)

(2 + 3) = 5 (4 + 2) = 6

SOSTITUIAMO I RISULTATI AL POSTO DELLE RISPETTIVE PARENTESI

ESEGUIAMO ORA LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI QUADRE DANDO LA

PRECEDENZA ALLA MOLTIPLICAZIONE E SOSTITUIAMO

ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI GRAFFE ESEGUENDO LA

MOLTIPLICAZIONE E LA DIVISIONE NELL'ORDINE IN CUI SONO SCRITTE

A2

22436159:724332

2)1618()436( 2

22159:7635

45]423[]763[

22159:455

41525

160440

CALCOLA IL VALORE DELLE SEGUENTI ESPRESSIONI :

2 + {[14 x 2 – 2 x 5 + (8 – 18 : 3)] : (18 + 5 – 3)} + (7+ 24 : 8)

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi TONDE rispettando le priorità:

2 + {[14 x 2 – 2 x 5 + (8 – 6)] : (23 – 3)} + (7+ 3)

2 + {[14 x 2 – 2 x 5 + 2] : 20} + 10

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi QUADRE rispettando le priorità:

2 + {[28 – 10 + 2] : 20} + 10

2 + {[18 + 2] : 20} + 10

2 + {20 : 20} + 10

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi GRAFFE:

2 + 1 + 10 = 13

{13 x [(48 – 8 x 4 + 5) : 3 + 10 –8] : 13} + 21

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi TONDE rispettando le priorità:

{13 x [(48 – 32 + 5) : 3 + 10 –8] : 13} + 21

{13 x [(16 + 5) : 3 + 10 –8] : 13} + 21

{13 x [21 : 3 + 10 –8] : 13} + 21

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi QUADRE rispettando le priorità:

{13 x [7 + 10 –8] : 13} + 21

{13 x 9 : 13} + 21

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi GRAFFE:

{117 : 13} + 21

9 + 21 = 30

A3

1° Metodo

CALCOLIAMO LE POTENZE

E SOSTITUIAMO

ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI TONDE

E SOSTITUIAMO

ESEGUIAMO LE OPERAZIONI RISPETTANDO LE PRECEDENZE (PRIMA LE

POTENZE, POI LE MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI E INFINE LE ADDIZIONI E

SOTTRAZIONI)

A6

321332432:2)2:43( 2232642

822223

42222

6422222226

341338434:64)4:43(24

34:124:43

881681248434

112133413

138:643 24

793181364:6481

2° Metodo

ESEGUIAMO LE POTENZE NELLE PARENTESI TONDE:

ESEGUIAMO LE MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI NELLE PARENTESI TONDE :

ESEGUIAMO LE ADDIZIONI E LE SOTTRAZIONI NELLE PARENTESI TONDE :

ESEGUIAMO LE OPERAZIONI RISPETTANDO LE PRECEDENZE (PRIMA LE

POTENZE, POI LE MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI E INFINE LE ADDIZIONI E

SOTTRAZIONI)

81 + 64 : 64 – 3

81 + 1 – 3

82 – 3

79

A7

321332432:2)2:43( 2232642

3413328434:624)4:43(

1213328124:624)3(

1328:624)3(

Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle

potenze (Pag. A1) :

1) 312924 5555

712424 55555 proprietà n. 1

31297 55

626331297 5555

proprietà n. 3

5555 62636263

proprietà n. 2

2) 27425 2222

27425 2222 x

proprietà n. 3

2785 2222

27185 22

proprietà n. 1

2714 22 x proprietà n. 3

1414 22

= 1

3) 32233 5525

32

235525

proprietà n. 5

32

2355

3223 55 xx proprietà n. 3

66 55 = 1

A18

SCOMPOSIZIONE DI UN NUMERO IN FATTORI PRIMI.

Un numero si dice divisibile per un altro se la divisione del primo per il secondo non

dà resto. In tal caso il primo si dice multiplo del secondo e anche che il secondo è

divisore del primo.

Un numero si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso.

Scomporre un numero in fattori primi significa trovare quei fattori primi il cui

prodotto è uguale al numero dato.

Es.:

24 2 48 2 75 5 90 2 270 2

12 2 24 2 15 5 45 5 135 5

6 2 12 2 3 3 9 3 27 3

3 3 6 2 1 3 3 9 3

1 3 3 1 3 3

1 1

3224 3 3248 4

25375 235290

3352270

Si definisce minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri il più piccolo dei

multipli comuni ai numeri dati.

Es.:

Trovare il m.c.m. dei numeri 24, 36, 48

Multipli di 24 = { 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240, 264, 288, 312, …..}

Multipli di 36 = { 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 324, …..}

Multipli di 48 = { 48, 96, 144, 192, 240, 288, 336, ….}

Multipli comuni = { 144, 288, ….}

m.c.m. = { 144 }

Si definisce massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri il più grande

dei divisori comuni ai numeri dati.

Es.:

Trovare il M.C.D. dei numeri 24, 36, 48

Divisori di 24 = { 1, 2, 4, 6, 8, 12, 24 }

Divisori di 36 = { 1, 2, 3,4, 9, 12, 18, 36 }

Divisori di 48 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 }

Divisori comuni = { 1, 2, 4, 12 }

M.C.D. = { 12 }

B1

CALCOLO DEL MASSIMO COMUNE DIVISORE (M.C.D.)

Metodo della scomposizione in fattori primi

Per calcolare il M.C.D. tra due o più numeri, si scompongono questi in

fattori primi e si fa il prodotto dei fattori primi comuni presi ciascuno una

volta sola col minimo esponente.

- Calcolare il M.C.D. dei numeri 48 - 72 - 84

Scomponiamo in fattori primi :



B2

42348

23 3272

73284 2

1223)84,72,48.(.. 2 DCM

32756 42580

3253120

82)120,80,56.(.. 3 DCM

CALCOLO DEL MASSIMO COMUNE DIVISORE (M.C.D.)

Metodo della scomposizione simultanea

Si dispongono i numeri su una stessa riga e alla fine si traccia una linea

verticale; si divide ciascuno di essi per il loro più piccolo divisore comune e i

quozienti si scrivono in un secondo rigo; si dividono questi quozienti ancora per

il loro più piccolo divisore comune e i quozienti si scrivono in un terzo rigo

e così si continua finché non si trova che tutti i quozienti non hanno più alcun

divisore comune.

Il prodotto di tutti i divisori comuni adoperati è il massimo comune divisore dei

numeri dati.


48 72 84 2

24 36 42 2

12 18 21 3

4 6 7 1


56 80 120 2 28 40 60 2 14 20 30 2

7 10 15 1

B5

121223)84,72,48.(.. DCM

81222)120,80,56.(.. DCM

CALCOLO DEL MINIMO COMUNE MULTIPLO (m.c.m.)

Metodo della scomposizione in fattori primi

Per calcolare il m.c.m. tra due o più numeri, si scompongono questi in

fattori primi e si fa il prodotto dei fattori primi comuni e non comuni presi,

ciascuno una volta sola, col massimo esponente.

- Calcolare il m.c.m. dei numeri 48 - 72 - 84




B6

42348

23 3272

73284 2

1008723)84,72,48.(.. 42 mcm

32756 42580

3253120

16807352)120,80,56.(.. 4 mcm

CALCOLO DEL MINIMO COMUNE MULTIPLO (m.c.m.)

Metodo della scomposizione simultanea

Si dispongono i numeri su una stessa riga e alla fine si traccia una

linea verticale; si divide ciascuno di essi per il più piccolo

divisore e i quozienti si scrivono in un secondo rigo; i numeri che

non sono divisibili per il divisore scelto si riportano tal quali; si

dividono questi quozienti ancora per il più piccolo divisore e i

quozienti si scrivono in un terzo rigo e così si continua finché non

si trova che tutti i quozienti hanno come divisore l'unità.

Il prodotto di tutti i divisori adoperati è il minimo comune multiplo

dei numeri dati.

- Calcolare il m.c.m.. dei numeri 48 - 72 - 84

48 72 84 2

24 36 42 2

12 18 21 3

4 6 7 2

2 3 7 2

1 3 7 3

1 1 7 7

1 1 1 1


56 80 120 2

28 40 60 2

14 20 30 2

7 10 15 2

7 5 15 5

7 1 3 3

7 1 1 7

1 1 1 1

B8

100817222233)84,72,48.(.. mcm

168017352222)120,80,56.(.. mcm

FRAZIONI E NUMERI DECIMALI

In molti problemi è necessario fare riferimento non a quantità intere ma ad alcune

parti in cui una quantità è stata divisa. Ad esempio mangiare 1/8 di una torta significa

averla divisa in otto fette e mangiarne una; mangiarne 3/8 significa mangiare tre delle

otto fette; mangiarne i 3/10 significa averla divisa in dieci fette e mangiarne tre.

Analogamente, mangiare i 3/5 di quindici caramelle significa dividere le 15 caramelle

in 5 parti uguali e mangiarne 3, cioè 9 caramelle; mangiarne i 2/3 significa dividere le

15 caramelle in 3 parti uguali e mangiarne 2 parti, cioè 10 caramelle.

Le scritture 1/8, 3/8, 3/10, 2/3, ecc. si chiamano frazioni; la linea tra i due numeri

(che equivale al segno di divisione) prende il nome di linea di frazione; il numero al

di sopra della linea di frazione si chiama numeratore e quello al di sotto

denominatore. Se moltiplichiamo o dividiamo per uno stesso numero diverso da zero il numeratore e

il denominatore di una frazione, il valore di questa non cambia.

Questa proprietà risulta utile quando dobbiamo semplificare una frazione, cioè ridurla

ai minimi termini: basta, infatti, dividere numeratore e denominatore per uno stesso

numero fin quando è possibile.

Un altro modo per semplificare una frazione consiste nel dividere numeratore e

denominatore per il loro M.C.D.

Data una frazione, quindi, esistono infinite altre frazioni equivalenti ad essa. Es.:

3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/ 20 = ……

Tutte queste frazioni costituiscono un insieme che prende il nome di numero

razionale.

Per indicare un numero razionale si utilizza una qualsiasi dell’insieme, ma

preferibilmente quella ridotta ai minimi termini.

Per eseguire l’addizione e/o la sottrazione di frazioni occorre trovare il m.c.m. dei

denominatori, si divide tale m.c.m. per ciascun denominatore e si moltiplica il

risultato per il relativo numeratore; la frazione risultante avrà per numeratore la

somma e/o la differenza dei prodotti parziali ottenuti e per denominatore il m.c.m.

trovato. Es.:

20

9

20

161015

5

4

2

1

4

3

Il prodotto di due o più frazioni è una frazione avente per denominatore il prodotto

dei denominatori e per numeratore il prodotto dei numeratori. Es.:

28

15

74

53

7

5

4

3

C1

Per dividere una frazione per un’altra, si moltiplica la prima per l’inverso della

seconda. Es.:

35

6

7

3

5

2

3

7

5

2

La potenza di una frazione è data da una frazione avente per numeratore e

denominatore quelli della frazione data, elevati all’esponente a cui si deve elevare la

frazione. Es.:

27

8

3

2

3

23

33

Se dividiamo il numeratore per il denominatore di una frazione otteniamo un numero

decimale. Si possono verificare due casi:

1) se la frazione è decimale ( cioè il suo denominatore è una potenza di 10) o si

può trasformare in una decimale, si ottiene come quantità un numero

decimale finito (numero limitato di cifre decimali). Es. :

3/10 = 3 : 10 = 0,3 324/100 = 324 : 100 = 3,24 75,0100

75

254

253

4

3

2) se la frazione non è decimale, né trasformabile in decimale, si ottiene come

quoziente un numero periodico cioè un numero decimale illimitato nella cui

parte decimale una cifra, o un gruppo di cifre, si ripete all’infinito. Es. :

2/3 = 2 : 3 = 0,6666….. 26/15 = 26 : 15 = 1,73333…..

In un numero decimale la prima cifra dopo la virgola indica i decimi, la seconda i

centesimi, la terza i millesimi e così via.

Le regole per calcolare il valore di espressioni contenenti numeri razionali non sono

diverse da quelle già viste a proposito dei numeri naturali. Come sempre, si devono

rispettare le priorità delle operazioni e tenere conto delle parentesi.

C2

RIDURRE AI MINIMI TERMINI (SEMPLIFICARE) UNA FRAZIONE

Per semplificare una frazione bisogna dividere numeratore e denominatore

della frazione per lo stesso numero fino a quando è possibile.

Allo scopo conviene scomporre in fattori primi i numeri dati.

C3

8

3

115222

1153

440

165

19

12

1933332

33333222

3078

1944

38

23

1953322

2953332

3420

2070

7

2

117752

117522

5390

1540

16

9

22

332

4096

230448

8

3

4

117532

1175222

2310

3080

9

7

7333322

773322

2268

1764

1° Metodo

ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI TONDE:

E SOSTITUIAMO:

ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI QUADRE E SOSTITUIAMO:

ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI GRAFFE E

SOSTITUIAMO:

5

14

20

56

5

8

4

7

5

8

7

4

5

14

C4

7

31

5

22

7

12

3

1

4

1

51

10

8

1

5

71

40

51

40

556

8

1

5

7

12

7

12

43

3

1

4

1

5

8

5

210

5

22

7

4

7

37

7

31

7

4

5

8

7

12

12

7

51

10

40

511

4

7

4

4141

4

11

7

12

12

7

51

10

40

511

7

4

5

8

4

7

2° Metodo

ESEGUIAMO LE VARIE OPERAZIONI, RISPETTANDO LE PRECEDENZE, NELLE

PARENTESI TONDE :

ESEGUIAMO LE VARIE OPERAZIONI, RISPETTANDO LE PRECEDENZE, NELLE

PARENTESI QUADRE :

ELIMINIAMO LE PARENTESI GRAFFE :

C5

7

31

5

22

7

12

3

1

4

1

51

10

8

1

5

71

7

37

5

210

7

12

12

43

51

10

40

5561

7

4

5

8

7

12

12

7

51

10

40

511

7

4

5

81

4

11

7

4

5

8

4

414

7

4

5

8

4

7

5

8

7

4

5

8

4

7

MISURAZIONE DELLE GRANDEZZE

Misurare una grandezza significa, dopo aver prefissato una unità di misura,

calcolare quante volte tale unità è contenuta nella grandezza in esame.

Misure di lunghezza

Miriametro (Mm) = 10 Km = 100 hm = 1000 dam = 10000 m

Chilometro (Km) = 10 hm = 100 dam = 1000 m

: Ettometro (hm) = 10 dam = 100 m

Decametro (dam) = 10 m

Metro (m)

Decimetro (dm) = 0,1 m

x Centimetro (cm) = 0,1 dm = 0,01 m

Millimetro (mm) = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m

Il fattore di conversione è 10, quindi per trasformare la misura di una grandezza da

una unità ad un’altra si segue la seguente regola:

bisogna moltiplicare per 10 se nella scala si scende di un posto; per 100 se si scende

di due posti; per 1000 se si scende di tre posti, e così via.

Bisogna dividere per 10 se nella scala si sale di un posto; per 100 se si sale di due

posti; per 1000 se si sale di tre posti, e così via.

Moltiplicare per 10, 100, 1000, ecc. significa spostare la virgola verso destra

rispettivamente di 1, 2, 3, ecc. posti.

Dividere per 10, 100, 1000, ecc. significa spostare la virgola verso sinistra

rispettivamente di 1, 2, 3, ecc. posti.

Se i posti mancano, occorre aggiungere degli zeri.

Es.:

Km 3,46 = hm 34,6 ( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 10)

(la virgola si sposta verso destra di un posto)

Km 3,46 = dam 346 (si scende di due posti, quindi si moltiplica per 100)

(la virgola si sposta verso destra di due posti)

Km 3,46 = m 3460 ( si scende di tre posti, quindi si moltiplica per 1000)

(la virgola si sposta verso destra di tre posti; poiché

il terzo posto manca, si aggiunge uno zero)

D1

mm 42 = cm 4,2 ( si sale di un posto, quindi si divide per 10)

(la virgola si sposta verso sinistra di un posto)

mm 42 = dm 0,42 ( si sale di due posti, quindi si divide per 100)

(la virgola si sposta verso sinistra di due posti)

mm 42 = m 0,042 ( si sale di tre posti, quindi si divide per 1000)

(la virgola si sposta verso sinistra di tre posti;

poiché il terzo posto manca, si aggiunge uno zero)

Misure di capacità

Chilolitro (Kl) = 10 hl = 100 dal = 1000 l

: Ettolitro (hl) = 10 dal = 100 l

Decalitro (dal) = 10 l

Litro (l)

Decilitro (dl) = 0,1 l

x Centilitro (cl) = 0,1 dl = 0,01 l

Millilitro (ml) = 0,1 cl = 0,01 dl = 0,001 l


una unità ad un’altra si segue la stessa regola vista per le misure di lunghezza.

Es.:

Kl 3,46 = hl 34,6 ( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 10)


Kl 3,46 = dal 346 ( si scende di due posti, quindi si moltiplica per 100)


Kl 3,46 = l 3460 ( si scende di tre posti, quindi si moltiplica per 1000)



D2

ml 42 = cl 4,2 ( si sale di un posto, quindi si divide per 10)


ml 42 = dl 0,42 ( si sale di due posti, quindi si divide per 100)


ml 42 = l 0,042 ( si sale di tre posti, quindi si divide per 1000)



Misure di peso

Tonnellata (t) = 10 q = 100 Mg = 1000 Kg = …….

Quintale (q) = 10 Mg = 100 Kg = 1000 hg = 10000 dag = 100000 g

Miriagrammo (Mg) = 10 Kg = 100 hg = 1000 dag = 10000 g

Chilogrammo (Kg) = 10 hg = 100 dag = 1000 g

: Ettogrammo (hg) = 10 dag = 100 g

Decagrammo (dag) = 10 g

Grammo (g)

Decigrammo (dg) = 0,1 g

x Centigrammo (cg) = 0,1 dg = 0,01 g

Milligrammo (mg) = 0,1 cg = 0,01 dg = 0,001 g


una unità ad un’altra si segue la stessa regola vista per le misure di lunghezza.

Es.:

Kg 3,46 = hg 34,6 ( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 10)


Kg 3,46 = dag 346 ( si scende di due posti, quindi si moltiplica per 100)


Kg 3,46 = g 3460 ( si scende di tre posti, quindi si moltiplica per 1000)



D3

mg 42 = cg 4,2 ( si sale di un posto, quindi si divide per 10)


mg 42 = dg 0,42 ( si sale di due posti, quindi si divide per 100)


mg 42 = g 0,042 ( si sale di tre posti, quindi si divide per 1000)



Misure di superficie

Miriametro quadrato (Mm2) = 100 Km

2 = 10000 hm

2 = 1000000 dam

2 = …

Chilometro quadrato (Km2) = 100 hm

2 = 10000 dam

2 = 1000000 m

2

: Ettometro quadrato (hm2) = 100 dam

2 = 10000 m

2

Decametro quadrato (dam2) = 100 m

2

Metro quadrato (m2)

Decimetro quadrato (dm2) = 0,01 m2

x Centimetro quadrato (cm2) = 0,01 dm2 = 0,0001 m2

Millimetro quadrato (mm2) = 0,01 cm2 = 0,0001 dm2 = 0,000001 m2



bisogna moltiplicare per 100 se nella scala si scende di un posto; per 10000 se si

scende di due posti; per 1000000 se si scende di tre posti, e così via.

Bisogna dividere per 100 se nella scala si sale di un posto; per 10000 se si sale di due

posti; per 1000000 se si sale di tre posti, e così via.

Es.:

Km2 3,46589 = hm2 346,589 ( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 100)


Km2 3,46589 = dam2 34658,9 ( si scende di due posti, quindi si moltiplica per 10000)

(la virgola si sposta verso destra di quattro posti)

Km2 3,46 = m2 3465890 ( si scende di tre posti, quindi si moltiplica per 1000000)

(la virgola si sposta verso destra di sei posti; poiché

il sesto posto manca, si aggiunge uno zero)

D4

mm2 42567 = cm2 425,67 ( si sale di un posto, quindi si divide per 100)


mm2 42567 = dm2 4,2567 ( si sale di due posti, quindi si divide per 10000)

(la virgola si sposta verso sinistra di quattro posti)

mm2 42567 = m2 0,042567 ( si sale di tre posti, quindi si divide per 1000000)

(la virgola si sposta verso sinistra di sei posti;

poiché il sesto posto manca, si aggiunge uno zero)

Misure di volume

Miriametro cubo (Mm3) = 1000 Km

3 = 1000000 hm

3 = …

Chilometro cubo (Km3) = 1000 hm

3 = 1000000 dam

3 = 100000000 m

3

: Ettometro cubo (hm3) = 1000 dam

3 = 1000000 m

3

Decametro cubo (dam3) = 1000 m

3

Metro cubo (m3)

Decimetro cubo (dm3) = 0,001 m

3

x Centimetro cubo (cm3) = 0,001 dm

3 = 0,000001 m

3

Millimetro cubo (mm3) = 0,001 cm

3 = 0,000001 dm

3 = 0,000000001 m3



bisogna moltiplicare per 1000 se nella scala si scende di un posto; per 1000000 se si

scende di due posti; per 1000000000 se si scende di tre posti, e così via.

Bisogna dividere per 1000 se nella scala si sale di un posto; per 1000000 se si sale di

due posti; per 1000000000 se si sale di tre posti, e così via.

Es.:

Km3 3,46589 = hm3 3465,89 ( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 1000)

(la virgola si sposta verso destra di tre posti)

Km3 3,46589 = dam3 3465890 ( si scende di due posti, quindi si moltiplica per

1000000; la virgola si sposta verso destra di sei posti;


D5

mm3 42567 = cm3 42,567 ( si sale di un posto, quindi si divide per 1000)

(la virgola si sposta verso sinistra di tre posti)

mm3 42567 = dm3 0,042567 ( si sale di due posti, quindi si divide per 1000000)

(la virgola si sposta verso sinistra di sei posti;


Equivalenza fra le unità di misura dei volumi e delle capacità

Possiamo trasformare le unità di misura di volume in quelle di capacità e viceversa,

tenendo presente la relazione :

dm3 1 = l 1

Esempi :

hl 36,8 = l 3680 = dm3 3680 = m

3 3,680

m3 5,864 = dm

3 5864 = l 5864 = hl 58,64

D6

PROPORZIONALITA’ DIRETTA

Due grandezze si dicono direttamente proporzionali quando all’aumentare

dell’una, aumenta anche l’altra; precisamente se una raddoppia, anche l’altra

raddoppia; se una triplica, anche l’altra triplica, e così via.

Es.:

Consideriamo il costo di un certo numero di quaderni :

quaderni (n.) 1 2 3 4 5 6 7 ……

costo (€) 3 6 9 12 15 18 21 ……

Come si può facilmente notare dalla tabella il rapporto delle misure corrispondenti è

costante:

1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12 = 5/15 = 6/18 ……..

3/1 = 6/2 = 9/3 = 12/4 = 15/5 = 18/6 …….

Si può anche notare che il rapporto tra due misure qualsiasi della stessa grandezza è

uguale al rapporto delle corrispondenti misure dell’altra :

3 : 1 = 9 : 3 ; 6 : 2 = 18 : 6 ; 3 : 6 = 9 : 18 ; 3 : 15 = 1 : 5

Queste proprietà possono essere utilizzate per risolvere problemi che riguardano

grandezze direttamente proporzionali.

1) Sapendo che 3 quaderni costano 9 €, quanto costeranno 7 quaderni?

Se indichiamo con x il costo incognito possiamo disporre i dati del problema nel

seguente modo :

quaderni (n.) 3 7

costo (€) 9 x

Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:

3 : 9 = 7 : x da cui x = (7 9) : 3 = 21

oppure : 9 : 3 = x : 7 da cui x = (7 9) : 3 = 21

E1

Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :

3 : 7 = 9 : x da cui x = (7 9) : 3 = 21

oppure : 9 : x = 3 : 7 da cui x = (7 9) : 3 = 21

2) Un’automobile percorre una strada con velocità costante. Se in 3 ore percorre

Km 240, quanti chilometri percorre in 5 ore?

Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente

modo :

percorso (Km.) 240 x

tempo (ore) 3 5


3 : 240 = 5 : x da cui x = (240 5) : 3 = 400

oppure : 240 : 3 = x : 5 da cui x = (240 5) : 3 = 400


3 : 5 = 240 : x da cui x = (240 5) : 3 = 400

oppure : x : 240 = 5 : 3 da cui x = (240 5) : 3 = 400

3) Se con 60 chilogrammi di uva si ottengono 39 litri di vino, quanta uva

occorrerà per ottenere hl 5,85 di vino?


modo :

quantità di uva (Kg.) 60 x

quantità di vino (litri) 39 585

E2


39 : 60 = 585 : x da cui x = (585 60) : 39 = 900

oppure : 60 : 39 = x : 585 da cui x = (585 60) : 39 = 900


39 : 585 = 60 : x da cui x = (585 60) : 39 = 900

oppure : x : 60 = 585 : 39 da cui x = (585 60) : 39 = 900

4) Un’automobile consuma 12 litri di benzina ogni 80 chilometri. Quanti litri di

benzina occorrono per percorrere 520 chilometri?


modo :

percorso (Km.) 80 520

benzina (litri) 12 x


80 : 12 = 520 : x da cui x = (520 12) : 80 = 78

oppure : 12 : 80 = x : 520 da cui x = (520 12) : 80 = 78


80 : 520 = 12 : x da cui x = (520 12) : 80 = 78

oppure : x : 12 = 520 : 80 da cui x = (520 12) : 80 = 78

5) Una lampada accesa per 4h 20

m consuma energia elettrica per un costo di €

16,90. Quale sarà il costo dell’energia se si tiene accesa per 5h 40

m?


modo :

E3

costo energia (€) 16,90 x

tempo (minuti) 260 340


16,90 : 260 = x : 340 da cui x = (340 16,90) : 260 = 22,10

oppure : 260 : 16,90 = 340 : x da cui x = (340 16,90) : 260 = 22,10


16,90 : x = 260 : 340 da cui x = (340 16,90) : 260 = 22,10

oppure : 340 : 260 = x : 16,90 da cui x = (340 16,90) : 260 = 22,10

6) Se da Kg 48 di caffè crudo si ottengono Kg 32 di caffè tostato, quanto caffè

crudo occorre per avere Kg 80 di caffè tostato?


modo :

caffè crudo (Kg) 48 x

caffè tostato (Kg) 32 80


48 : 32 = x : 80 da cui x = (48 80) : 32 = 120

oppure : 32 : 48 = 80 : x da cui x = (48 80) : 32 = 120


80 : 32 = x : 48 da cui x = (48 80) : 32 = 120

oppure : 48 : x = 32 : 80 da cui x = (48 80) : 32 = 120

E4

PROPORZIONALITA’ INVERSA

Due grandezze si dicono inversamente proporzionali quando all’aumentare

dell’una, l’altra diminuisce; precisamente se una raddoppia, l’altra si dimezza; se

una triplica, l’altra diventa la terza parte, e così via.

Es.:

Consideriamo il tempo occorrente a un certo numero di operai per eseguire un

determinato lavoro:

operai (n.) 1 2 3 4 6 12 ……

tempo (giorni) 12 6 4 3 2 1 ……

Come si può facilmente notare dalla tabella il prodotto delle misure corrispondenti è

costante:

1 12 = 2 6 = 3 4 = 4 3 = 6 2 = 12 1 ……..

Si può anche notare che il rapporto tra due misure qualsiasi della stessa grandezza è

uguale al rapporto inverso delle corrispondenti misure dell’altra :

3 : 1 = 12 : 4 ; 6 : 3 = 4 : 2 ; 3 : 6 = 2 : 4 ; 4 : 12 = 1 : 3 ……..

Queste proprietà possono essere utilizzate per risolvere problemi che riguardano

grandezze inversamente proporzionali.

1) Per eseguire un lavoro 2 operai impiegano 6 giorni. Se si vuole fare lo stesso

lavoro in 4 giorni, quanti operai occorrono?


modo :

operai (n.) 2 x

tempo (giorni) 6 4


x 4 = 2 6 da cui x = (2 6) : 4 = 3

F1


2 : x = 4 : 6 da cui x = (2 6) : 4 = 3

oppure : 6 : 4 = x : 2 da cui x = (2 6) : 4 = 3

2) Un rubinetto che versa 12 litri di acqua al minuto impiega 18 minuti per

riempire una vasca. In quanto tempo la riempirebbe un altro rubinetto che versa

9 litri di acqua al minuto?


modo :

acqua (litri) 12 9

tempo (minuti) 18 x


x 9 = 12 18 da cui x = (12 18) : 9 = 24


18 : x = 9 : 12 da cui x = (12 18) : 9 = 24

oppure : 12 : 9 = x : 18 da cui x = (12 18) : 9 = 24

3) Quale numero di denti bisognerà dare ad una ruota d’ingranaggio perché faccia

240 giri, mentre una seconda ruota con la quale essa ingrana e che ha 60 denti

ne fa 600?


modo :

denti d’ingranaggio (n.) 60 x

giri al minuto (n.) 600 240

F2


x 240 = 60 600 da cui x = (60 600) : 240 = 150


60 : x = 240 : 600 da cui x = (60 600) : 240 = 150

oppure : 600 : 240 = x : 60 da cui x = (60 600) : 240 = 150

4) Si deve trasportare un carico di benzina da una città ad un’altra. Adoperando

un’autocisterna che ne porta q 20 per volta si devono fare 30 viaggi. Quanti

viaggi si potrebbero fare adoperando un’autocisterna che ne trasporta q 24 per

volta?


modo :

benzina (q) 20 24

viaggi (n.) 30 x


x 24 = 20 30 da cui x = (20 30) : 24 = 25


30 : x = 24 : 20 da cui x = (20 30) : 24 = 25

oppure : 20 : 24 = x : 30 da cui x = (20 30) : 24 = 25

F3

5) Un operaio per fare un lavoro in 12 giorni deve lavorare 6h 40

m al giorno. Per

fare lo stesso lavoro in 15 giorni quante ore al giorno deve lavorare?


modo :

giorni (n.) 12 15

tempo (minuti) 400 x


x 15 = 12 400 da cui x = (12 400) : 15 = 320 (5h 20

m)


400 : x = 15 : 12 da cui x = (12 400) : 15 = 320 (5h 20

m)

oppure : 12 : 15 = x : 400 da cui x = (12 400) : 15 = 320 (5h 20

m)

F4

PERCENTUALI

Acquistare una merce con lo sconto del 20 % (venti per cento) significa che se il suo

costo è di 100 €, verrà pagata 80 €. Se lo sconto è del 60% verrà pagata 40 €.

Se la percentuale di bocciati in una scuola è del 20 % significa che sono stati bocciati

venti alunni ogni cento.

Quando si dice che il caffè crudo, se viene tostato, perde il 25% del suo peso significa

che per ogni cento parti di peso se ne perdono 25 ( 100 chilogrammi di caffè crudo

dopo la tostatura si ridurranno a 65).

Questi problemi si risolvono con le stesse regole della proporzionalità diretta.

1) Un commerciante vende un televisore che costa 600 € con lo sconto del 30%.

Quanto viene a costare?

1° Metodo


seguente modo :

prezzo non scontato (€) 100 600

prezzo scontato (€) 70 x


100 : 70 = 600 : x da cui x = (70 600) : 100 = 420

oppure : 70 : 100 = x : 600 da cui x = (70 600) : 100 = 420


100 : 600 = 70 : x da cui x = (70 600) : 100 = 420

oppure 600 : 100 = x : 70 da cui x = (70 600) : 100 = 420

2° Metodo


seguente modo :


sconto (€) 30 x

G1


100 : 30 = 600 : x da cui x = (30 600) : 100 = 180

oppure : 30 : 100 = x : 600 da cui x = (30 600) : 100 = 180


100 : 600 = 30 : x da cui x = (30 600) : 100 = 180

oppure 600 : 100 = x : 30 da cui x = (30 600) : 100 = 180

Poiché lo sconto è di 180 €, il televisore verrà a costare 600 – 180 = 420 €

2) In una scuola frequentata da 450 alunni è stata registrata una percentuale di

bocciati del 12%. Quanti alunni sono stati bocciati?


modo :

totale alunni (n.) 100 450

alunni bocciati (n.) 12 x


100 : 12 = 450 : x da cui x = (12 450) : 100 = 54

oppure : 12 : 100 = x : 450 da cui x = (12 450) : 100 = 54


100 : 450 = 12 : x da cui x = (12 450) : 100 = 54

oppure 450 : 100 = x : 12 da cui x = (12 450) : 100 = 54

3) Nella stagionatura della legna verde si ha un calo ponderale del 18%. Calcolare

il peso di 75 quintali di legna verde dopo la stagionatura.


modo :

G2

legna verde (q) 100 75

legna secca (q) 82 x


100 : 82 = 75 : x da cui x = (82 75) : 100 = 61,5

oppure : 82 : 100 = x : 75 da cui x = (82 75) : 100 = 61,5


100 : 75 = 82 : x da cui x = (82 75) : 100 = 61,5

oppure 75 : 100 = x : 82 da cui x = (82 75) : 100 = 61,5

4) Una bottiglia contiene 0,75 litri di brandy avente il grado alcolico del 42%.

Quanto alcool puro è contenuto nella bottiglia?


modo :

brandy (ml) 100 750

alcool puro (ml) 42 x


100 : 42 = 750 : x da cui x = (42 750) : 100 = 315


100 : 750 = 42 : x da cui x = (42 750) : 100 = 315

G3

5) Una merce, con lo sconto del 30%, viene pagata 420 €. Qual era il prezzo non

scontato?


seguente modo :

prezzo non scontato (€) 100 x

prezzo scontato (€) 70 420


100 : 70 = x : 420 da cui x = (100 420) : 70 = 600

oppure : 70 : 100 = 420 : x da cui x = (100 420) : 70 = 600


100 : x = 70 : 420 da cui x = (420 100) : 70 = 600

oppure x : 100 = 420 : 70 da cui x = (420 100) : 70 = 600

6) In una città di 250000 abitanti sono nati in un anno 8000 bambini. Quale è

stato il tasso percentuale dei nati?


modo :

abitanti (n.) 250000 100

bambini (n.) 8000 x


250000 : 8000 = 100 : x da cui x = (8000 100) : 250000 = 3,2

oppure : 8000 : 250000 = x : 100 da cui x = (8000 100) : 250000 = 3,2

G4


250000 : 100 = 8000 : x da cui x = (8000 100) : 250000 = 3,2

oppure : 100 : 250000 = x : 8000 da cui x = (8000 100) : 250000 = 3,2

7) Una merce che costa 600 € viene venduta a saldo per 420 €. Calcolare la

percentuale di sconto.

1° Metodo


seguente modo :


prezzo scontato (€) 420 x


420 : 600 = x : 100 da cui x = (100 420) : 600 = 70


420 : x = 600 : 100 da cui x = (420 100) : 600 = 70

Poiché il prezzo scontato è del 70%, la percentuale di sconto sarà del 30%.

2° Metodo

Lo sconto effettuato sarà di 600 – 420 = 180 €


modo :


sconto (€) 180 x

G5


180 : 600 = x : 100 da cui x = (100 180) : 600 = 30


180 : x = 600 : 100 da cui x = (180 100) : 600 = 30

La percentuale di sconto sarà del 30%.

G6

NUMERI RELATIVI

Alcune grandezze, come la temperatura, l’altitudine, le somme di denaro, possono

assumere valori opposti rispetto a uno di riferimento. Ad es.: +5 °C ; -8 °C ; +300 m

s.l.m. ; -50 m s.l.m. ; + 200 € (credito) ; -100 € (debito). Per rappresentare queste

grandezze, e per eseguire sottrazioni in cui il sottraendo è maggiore del minuendo (

es.:10-15), sono stati introdotti i numeri relativi che diremo positivi se preceduti dal

segno (+) e negativi se preceduti dal segno (-). Si chiama modulo o valore assoluto di

un numero relativo, e si indica racchiudendolo fra due sbarrette verticali, il numero

privato del segno. Ad es.:

+9= 9 ( il valore assoluto di +9 è 9); -7= 7 ( il valore assoluto

di –7 è 7).

Due numeri relativi si dicono:

concordi se hanno lo stesso segno (+6 e + 8) oppure (-5 e – 9);

discordi se hanno segno diverso (+6 e –8 )

opposti se hanno segno diverso ma stesso modulo (+8 e –8).

OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI

Addizione

La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo avente lo stesso

segno e per modulo la somma dei moduli. Es.:

(+7) + (+8) = + 15 ; (-5) + (-4) = - 9

La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo avente il segno

dell’addendo di valore assoluto maggiore e per modulo la differenza dei valori

assoluti degli addendi. Es.:

(+9) + (-5) = +4 ; (+6) + (-9)= -3

La somma di due numeri relativi opposti è zero. Es.: (+6) + (-6) = 0

H1

Quando si devono addizionare più numeri relativi, applicando le proprietà

commutativa e associativa dell’addizione, conviene addizionare separatamente tutti

gli addendi positivi, poi tutti gli addendi negativi ed infine addizionare le somme

parziali ottenute. Es.:

(-8) + (-2) + (+10) + (-4) + (+15) = (+10+15) + (-8-2-4) = (+25) +(-14) = +11

Sottrazione

La differenza di due numeri relativi è il numero relativo che si ottiene aggiungendo al

minuendo l’opposto del sottraendo. Es.:

(+5) – (+4) = (+5) + (-4) = +1 ; (+6) – (-8) = (+6) + (+8) = +14

(-7) – (+5) = (-7) + (-5) = -12 ; (-8) – (-5) = (-8) + (+5) = -3

L’addizione e la sottrazione di numeri relativi non sono operazioni distinte e

assumono l’unico nome di addizione algebrica; si chiama somma algebrica il

risultato di addizioni e sottrazioni.

Per calcolare la somma algebrica di una espressione numerica contenente le

parentesi, si possono seguire due metodi:

1) si eseguono le operazioni all’interno delle parentesi tonde, poi delle quadre e

infine delle graffe;

2) si applica la regola che prende il nome di scioglimento di parentesi:

per eliminare una parentesi preceduta dal segno (+), si toglie questo segno e le

parentesi e si scrivono tutti i termini entro parentesi ciascuno col proprio

segno; per eliminare una parentesi preceduta dal segno (-), si toglie questo

segno e le parentesi e si scrivono tutti i termini entro parentesi cambiandoli di

segno.

Calcolare la seguente espressione:

13 - {-2 - [ 4- (3-5)] + 1} – 22

Primo metodo:

13 - {-2 - [ 4- (-2)] + 1} – 22

13 - {-2 - [+6 ] + 1} – 22

13 - {-8 + 1} – 22

13 - {-7} – 22

20 – 22

-2

H2

Secondo metodo

13 - {-2 - [ 4-3+5)] + 1} – 22

13 - {-2 –4+3-5+1} – 22

13 +2+4-3+5-1– 22

13+2+4+5-3-1-22

24-26

-2

Calcolare la seguente espressione:

4-

4

311

3

12

3

13

Primo metodo

4-

4

47

3

12

3

13

4-

4

47

3

12

3

13

4-

12

161

3

13

4- 12

213

4

55

12

165

Secondo metodo

4-

4

311

3

12

3

13

4-

4

311

3

12

3

13

4- 4

311

3

12

3

13

4

3112

3

13

3

14

4

55

12

165

12

217

3

13

H3

Moltiplicazione

Il prodotto di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il

prodotto dei valori assoluti; il segno è positivo se i due numeri sono concordi,

negativo se sono discordi.

Es. :

(+5) (+8) = +40 ; (-6) (-7) = +42 ; (+9) (-4) = -36 ; (-3/4) (+3/5) = (-9/20)

Divisione

Il quoziente di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il

quoziente del valore assoluto del divisore; è positivo se dividendo e divisore sono

concordi (stesso segno), è negativo se sono discordi (segno diverso).

Es.:

(+15):(+3)=(+5) ; (-20):(-5)=(+4) ; (+30):(-6)=(-5) ; (-2/5):(+3/7)=15

14

3

7

5

2

Elevamento a potenza

La potenza di un numero relativo è il prodotto di più fattori tutti uguali a quel

numero.

Il numero si chiama base; il numero dei fattori richiama esponente.

Es.:

822223

+2 = base 3 = esponente

La potenza di un numero relativo positivo è sempre positiva; la potenza di un numero

relativo negativo è positiva se l’esponente è pari, è negativa se l’esponente è dispari.

Es.:

8134

; 6443

; 823

; 1624

; 27

8

3

23

H4

ESPRESSIONI NUMERICHE

Per calcolare il valore di una espressione numerica contenente le operazioni con i

numeri relativi si eseguono le stesse regole stabilite per le espressioni con i numeri

assoluti.

Es.:

– 5 – {+5 – 4+[ – 7+2 – (– 5+3) + (– 2+6)]}

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde:

– 5 – {+5 – 4+[ – 7+2 – (– 2) + (+4)]}

Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde:

– 5 – {+5 – 4+[ – 7+2+2+4]}

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi quadre:

– 5 – {+5 – 4+[+1]}

Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre:

– 5 – {+5 – 4+1}

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi graffe:

– 5 – {+2}

Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi graffe:

– 5 –2 = – 7

H5

2

1

9

4

9

1

3

1

2

1

2

53

2

1

9

5

3

1

6

1

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde:

2

1

9

413

2

1

2

56

2

1

27

159

6

1

2

1

9

8

2

1

2

1

2

1

27

24

6

1

Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde:

2

1

9

8

2

1

2

1

2

1

9

8

6

1

9

8

3:27

3:24

27

24

Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre:

2

1

9

8

2

1

2

1

2

1

9

8

6

1

Eliminiamo i termini opposti : 09

8

9

8 0

2

1

2

1

Ottenendo:

6

5

6

331

2

1

2

1

6

1

H6

CALCOLO LETTERALE

Si dice algebrica o letterale una espressione contenente sia numeri che lettere.

Si può trasformare una espressione algebrica in una numerica se alle lettere

sostituiamo dei numeri.

Esempi:

aabba 62523

Poniamo a = 2 e b = 3

2623253223

12925343

129036

- 42

Poniamo a = 3 b = - 4

3624354233

181635493

18240108

-330

I1

Poniamo a = -2 e b = 5

2625255223

262525543

1225060

298

Poniamo 3

2a e

4

3b

3

26

2

4

3

3

25

4

32

3

23

3

12

16

9

3

25

4

3

9

43

48

151

8

25

Poniamo 3

2a e

5

3b

3

26

2

5

3

3

25

5

32

3

23

3

12

25

9

3

25

5

3

9

43

45

6

5

4

5

18

I2

MONOMI

Si chiama monomio un’espressione algebrica che non contiene operazioni di

addizione e sottrazione, ma soltanto di moltiplicazione, divisione e potenza.

Es.: 3ab ; -5a2 b ; (-2/5)x

3y

4z

Un monomio si dice ridotto a forma normale se contiene un solo fattore numerico,

che si chiama coefficiente, e una parte letterale in cui ogni lettera compare una sola

volta.

Anche un solo numero o una sola lettera è un monomio.

Un monomio si dice intero se non figurano lettere al denominatore; in caso contrario

si dice frazionario.

Il grado di un monomio intero, a forma normale, rispetto ad una lettera, è l’esponente

di quella lettera.Il grado complessivo di un monomio è uguale alla somma degli

esponenti delle lettere che in esso appaiono.

Due monomi si dicono: uguali se hanno il coefficiente e le parti letterali uguali;

simili se hanno la stessa parte letterale; opposti se differiscono solo per il segno.

Es.: 3ab e 3ab sono uguali

8a2 b e (-2/7) a

2 b sono simili

5xy e -5xy sono opposti

Addizione di monomi

La somma di due o più monomi si ottiene scrivendoli uno dopo l’altro con il proprio

segno.

Se vi sono due o più monomi simili, si fa la riduzione dei termini simili,

sostituendo ai monomi simili un monomio simile ad essi, avente per coefficiente la

somma algebrica (risultato di addizioni e sottrazioni) dei coefficienti dei monomi

dati. La somma di due monomi opposti è 0.

Es.: addizionare i monomi

3ab ; -2 a2 b ; -2ab ; 7 a

2 b ; -8 a

2 b ; 5ab

si scrive:

3ab -2a2 b –2ab + 7a

2 b -8a

2 b + 5ab

L1

riduciamo i monomi simili:

3ab + 5ab – 2ab = (3+5-2)ab = 6ab 7 a2 b - 8 a

2 b -2 a

2 b = (7-8-2) a

2 b = -3 a

2 b

ottenendo:

3ab -2a2 b –2ab + 7a

2 b -8a

2 b + 5ab = 6ab - 3a

2 b

Sottrazione di monomi

La differenza di due monomi si ottiene addizionando al primo l’opposto del secondo.

Es.:

(+5ab) – (-3ab) = (+5ab) + (+3ab) = 5ab + 3ab = 8ab

(-4a2 b) – (+7a

2 b) = (-4a

2 b) + (-7a

2 b) = -4a

2 b - 7a

2 b = -11a

2 b

Moltiplicazione di monomi

Il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei

coefficienti e, come parte letterale, le lettere comuni con esponente uguale alla

somma degli esponenti, e le lettere non comuni con esponente immutato.

Es.:

(-4abc) (5a2 b

3 ) = -20a

3 b

4 c

zyxxyzyx 94543

32

15

8

5

4

3

Divisione di monomi

Il quoziente di due monomi è un monomio che ha per coefficiente il quoziente dei

coefficienti e per parte letterale tutte le lettere dei due monomi, prese ognuna una

volta sola, con esponente uguale alla differenza degli esponenti che ciascuna lettera

ha nel dividendo e nel divisore.

Es.:

( -20a 3 b

4 c) : (-4abc) = +5a

2 b

3

54394

8

5

4

3

32

15xyyxzyx

L2

Potenza di un monomio

Per elevare a potenza con esponente intero un monomio, si eleva a quella potenza il

coefficiente e si moltiplicano gli esponenti dei fattori letterali per l’esponente della

potenza. Es.

(3a

2 b)

3 = 27a

6b

3 (-4a

4 b

3)

2 = 16a

8 b

6

Eseguire le seguenti operazioni:

1)

33232

2

5:

4

1bacabbca

433433

10

1

2

5:

4

1cbacba

2)

222

234

3

2:4

baba

244468 36

9

4:16 bababa

3)

63

32

34

2

2

1:4436 baabcba

63

32

384

16

1:4436 babacba

422963

32

344196 cbabacba

L3

Semplificare le seguenti espressioni riducendo i termini simili :

1) 4x2 + 7xy – 2x

2 – 7xy – 2xy – 2x

2 + 5xy

Individuiamo i termini simili e riduciamoli:

4x2 + 7xy – 2x

2 – 7xy – 2xy – 2x

2 + 5xy

4x2 – 2x

2 – 2x

2 = 0x

2 = 0

7xy - 7xy -2xy + 5xy = 3xy

Quindi : 4x2 + 7xy – 2x

2 – 7xy – 2xy – 2x

2 + 5xy = 3xy

2) - x – 2a +2x – 5a + 8a


- x – 2a +2x – 5a + 8a

- x + 2x = x

- 2a – 5a + 8a = a

Quindi: - x – 2a +2x – 5a + 8a = x + a

3) 3a – (-b) + 5a + (+4b) – (+2c) + (-6c)

Eliminiamo le parentesi applicando la regola “scioglimento di parentesi” e

riduciamo i termini simili:

3a + b + 5a +4b – 2c –6c

3a + 5a = 8a

b + 4b = 5b

-2c –6c = -8c

Quindi : 3a – (-b) + 5a + (+4b) – (+2c) + (-6c) = 8a + 5b –8c

L4

4) -a3 + (+2a

2) – (-9a

3 ) – (12a

3 ) + (-4a

2 )



-a3 + 2a

2 + 9a

3 – 12a

3 - 4a

2

- a3 – 12a

3 + 9a

3 =

4a

3 +2a

2 - 4a

2 = 2a

2

Quindi : -a3 + (+2a

2) – (-9a

3 ) – (12a

3 ) + (-4a

2 ) =

4a

32a

2

5) cbacba 35

6

3

5

5

1

3

2


aaa3

7

3

5

3

2 bbb

5

6

5

1 ccc 23

Quindi : cbacbacba 2

3

73

5

6

3

5

5

1

3

2

6)

23

4

2

145

22222 xy

yxyxxyyx



23

4

2

145

22222 xy

yxyxxyyx

yxyxyxyx 2222

6

35

3

4

2

15

22

2

2

7

24 xy

xyxy

Quindi :

222

2222

2

7

6

35

23

4

2

145 xyyx

xyyxyxxyyx

L5

Semplificare le seguenti espressioni :

1)

6

3422

22 22:2

3

18

5:

3

1

2

1

bbbaabab

Eseguiamo le operazioni rispettando le precedenze (Vedi regola per il

calcolo di espressioni numeriche).

6

3422

2 22:2

3

18

5:

6

5

bbbaab

634242 22:

2

3

18

5:

36

25

bbbaba

6344 22:

2

3

2

5

bbbb

6

34 22:4

bbb

622 bb

00 6

2) 232

322

232

33

223 :2:22: babbabaabba

2332

642

649346 :8:44: bbababababa

L6

23128139 :

2

116: babbaba

ababab16

9

2

1

16

1

3)

222462

52

23

2232

3

1:

3

4

2

1:

2

1macmbcacabacbaab

4424625

2423

464

3

1:

3

4

4

1:

4

1mcambcacbaacbaab

2

5243

3475 4

4

1:

4

1bccbacba

2102015

5122115

34

4

1:

4

1bccbacba

222 20416 bcbcbc

4) 222

22

233 25::5 xxxyxyyxxy

22422

2233 425::5 xxyxyxyxxy

L7

2242

222 425:5 xxyxyx

224244 425:25 xxyxyx

2222 24 xxxx

5) 442

34325335 26::236:6 rrtrtrtrrttr

442

34384 166::6 rrtrtrr

4424 166:46 rrrr

4484 166:36 rrrr

4444 11166 rrrr

6) 22:63

8::

21

5

3

1

7

6 32252

24

xxxyyxxx

22:63

8:4

21

5

9

1

7

6 344

xxxxx

22:63

8:

63

62 34

xxx

8

472

8

3122:

4

31xx

L8

P O L I N O M I

Polinomio è un’espressione algebrica contenente operazioni di addizione e/o

sottrazione.

Si dice binomio, trinomio, quadrinomio, secondo che abbia due, tre, quattro termini.

Si dice intero se tutti i suoi termini sono monomi interi; si dice frazionario se in

qualcuno dei monomi che lo compongono compaiono lettere al denominatore.

Addizione Per addizionare due o più polinomi, si scrive un unico polinomio che

ha tutti i termini dei polinomi dati. Se ci sono dei termini simili, si fa la riduzione (v.

addizione di monomi).

Es.:

(3a + ab2 – b

3) + (–5ab

2 + 4b

3 ) + (–5a

2 + 4ab

2 )

3a + ab2 – b

3 5ab

2 + 4b

3 5a

2 + 4ab

2

3a + (1–5+4) ab2

+ (–1+4) b3 – 5a

2

3a + 3b3 – 5a

2

Sottrazione La differenza di due polinomi si ottiene addizionando al primo

l’opposto del secondo. Se ci sono termini simili, si fa la riduzione.

Es.:

(3a + ab2 – b

3) – (– 5ab

2 + 4b

3 )

(3a + ab2 – b

3) + (+ 5ab

2 – 4b

3 )

3a + ab2 – b

3 + 5ab

2 – 4b

3

3a + (1+5) ab2 + (–1– 4)b

3

3a + 6ab2 –5b

3

Somma algebrica. Si indica scrivendo i polinomi racchiusi tra parentesi e separati

dai segni + o . Si eliminano quindi le parentesi, cambiando il segno dei termini

contenuti nelle parentesi precedute dal segno e rimanendo inalterati quelli contenuti

nelle parentesi precedute dal segno +. Infine, si riducono i termini simili.

Es.:

(2a2 + b

2) + ( a

2 – 3ab + c) ( a

2 + c) (5a

2 ab + b

2) =

= 2a2 + b

2 a

2 – 3ab + c + a

2 c +5a

2 + ab b

2 =

= (2 1+ 1+5)a

2 + ( 11)b

2 + (11)c + (3 + 1)ab = 7a

2 2ab

M1

Prodotto di un polinomio per un monomio.

Si esegue moltiplicando il monomio per ciascun termine del polinomio e

addizionando i prodotti parziali ottenuti.

Es.:

3x2y (x

3 + 2xy

2 + 5y

3) =

= 3x2y (x

3 )

+ 3x

2y (+ 2xy

2 ) + 3x

2y (+ 5y

3) =

= 3x5y + 6x

3y

3 + 15x

2y

4

Prodotto di polinomi.

Per moltiplicare due polinomi si moltiplica ciascun termine di uno di essi per ciascun

termine dell’altro e si addizionano i prodotti parziali ottenuti. Quindi si riducono gli

eventuali termini simili.

Es.:

(3x + y) (x + 2y 3) =

= 3x x + 3x 2y + 3x (3) + y x + y 2y + y (3) =

= 3x2 + 6xy 9x + xy + 2y

2 3y =

= 3x2 + 7xy 9x + 2y

2 3y

Quoziente tra un polinomio e un monomio.

Si esegue dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio e sommando i

prodotti parziali ottenuti.

Es.:

(20a5b

2 10a

2b

3 + 5a

4b

4) : (5a

2b) =

(20a5b

2 ) : (5a

2b) + (10a

2b

3) : (5a

2b) + (5a

4b

4 ) :

(5a

2b) =

= 4a

3b

2b

2 + a

2b

3

M2

Semplificare le seguenti somme e differenze di polinomi :

1) 2a2 [ 3ab (2b

2 ab) + 2ab (4a

2 + 3b

2)]



2a2 [ 3ab 2b

2 + ab + 2ab 4a

2 3b

2] =

= 2a2 3ab + 2b

2 ab 2ab + 4a

2 + 3b

2 =

= (2 + 4)a

2 + (–3 –1 –2)ab + (2 + 3)b

2 =

= 6a2 – 6ab +5b

2

2) 3a + { 2a2 + 4ab [3a

2 + 2ab ( a + ab c

2) + 5b

2] 2a} + c

2 =

= 3a + { 2a2 + 4ab [3a

2 + 2ab + a ab + c

2 + 5b

2] 2a} + c

2 =

= 3a + { 2a2 + 4ab 3a

2 2ab a + ab c

2 + 5b

2 2a} + c

2 =

= 3a 2a2 + 4ab 3a

2 2ab a + ab c

2 + 5b

2 2a + c

2 =

= (312)a + (2 3)a2 + (42+1)ab + (1+1)c

2 + 5b

2 =

= 5a2 + 3ab + 5b

2

3) (4x3 + xy 2y

2) (x

3 4xy + y

2) + (5x

3 +xy + 3y

2) =

= 4x3 + xy 2y

2 + x

3 + 4xy y

2 5x

3 +xy + 3y

2 =

= (4+15)x3 + (1+4+1)xy + (21+3)y

2 =

= 6xy

M3

4) ababbbabaab6

534

3

1

2

12

2

3

=

= ababbbabaab6

534

3

1

2

12

2

3

=

= ababbbabaab6

534

3

1

2

12

2

3 =

=

34

6

5

3

111

2

1

2

3)12( abba

= 12

1 aba

5)

xxxxxxxxx 5262

2

112

2

136 =

= xxxxxxxxx 5262

2

112

2

136

=

= xxxxxxxxx 5262

2

112

2

136 =

= 12

12

2

111561136

xx =

= 2

32

2

5x

6)

44

6

14

3

14

3

14

3

2yxyyxxyyxyyxyyx =

=44

6

14

3

14

3

14

3

2 yxyyxxyyxyyxyyx =

= yxyyx

1

6

1

3

1413

1

3

2=

= yxy 2

1

M4

Semplificare le seguenti espressioni contenenti prodotti e quozienti tra

polinomi e monomi :

1) a (a + b 4) + 2a (b+2) =

= a2 + ab 4a 2ab + 4a =

= a2 + (12)ab + (-4+4)a =

= a2 ab

2) 3y (a 2x) 2x (a 3y) + a (2x 3y) =

= 3ay 6xy 2ax + 6xy + 2ax 3ay =

= (3 3) ay + (6 + 6)xy + (2 + 2)ax =

= 0

3) 2x (x + y + 1) x (x y 1) =

= 2x2 + 2xy + 2x x

2 + xy + x =

= (2 1)x2 + (2 + 1) x + (2 + 1)xy =

= x2 + 3x + 3xy

4) [3a2 + a

3b

2 3a

2 (2b + 1)] : (ab) 2a (3 ab) =

= [3a2 + a

3b

2 6a

2b 3a

2 ] : (ab) 2a (3 ab) =

= [ + a3b

2 6a

2b] : (ab) 2a (3 ab) =

= a2b + 6a 6a + 2a

2b =

= (1 + 2)a2b + (6 6)a =

= a2b

M5

5) [3a (2a + b) + 5ab] : {[3a3b

2 a

2b

2 (5a)] : (2ab)

2} =

= [6a2 + 3ab + 5ab] : {[3a

3b

2 + 5a

3b

2] : (+4a

2b

2 )} =

= [6a2 + 8ab] : {[8a

3b

2] : (+4a

2b

2)} =

= [6a2 + 8ab] : {2a} =

= 3a + 4b

6) [5ab2 (2a

2 – 3b) + 5a

3b

2] : (–15ab

2) + (–a)

2 =

= [10a3b

2 – 15ab

3 + 5a

3b

2] : (–15ab

2) + (–a)

2 =

= [15a3b

2 – 15ab

3] : (–15ab

2) + (+a

2) =

= – a2 + b + a

2 =

= b

7)

23

2

223:23423322

2

932 yyx

xyyxyxyxxx =

=

23

2

2229:23423322

2

932 yyx

yxyxyxyxxx =

=

2

23

2

2

9

12

3

1

9

12

2

932yyx

xyyxx =

=

2

23

2

23

2

12

2

32

2

132yyx

xyyxx =

=

3

2

12

2

3

2

32

2

1

2

132 xyyxx =

=

3

2

132 xx = 3

2

132 xx = 3

2

5x

M6

Semplificare le seguenti espressioni contenenti prodotti tra polinomi :

1) (x+y) (x1) x (x y 1) =

= x2 x + xy y x

2 + xy + x =

= (1 1)x2 + ( 1 + 1) x + (1 + 1)xy y =

= 2xy y

2) (3a – 4) (2a + 5) + (3a – 2) (2a + 1) =

= (6a2 + 15a – 8a – 20) + (6a

2 + 3a – 4a – 2) =

= 6a2 + 15a – 8a – 20 + 6a

2 + 3a – 4a – 2 =

= (6 + 6)a2 + (15 – 8 + 3 – 4)a – 20 – 2 =

= 12a2 + 6a 22

3) (x2 – 3x + 2) (x – 1) – (3x – 2) (x

2 – 5x + 2) =

= (x3 – x

2 – 3x

2 + 3x + 2x – 2) – (3x

3 – 15x

2 + 6x – 2x

2 + 10x – 4) =

= x3 – x

2 – 3x

2 + 3x + 2x – 2 – 3x

3 + 15x

2 – 6x + 2x

2 – 10x + 4 =

= (1 – 3)x3 + (–1 – 3 + 15 + 2)x

2 + (3 + 2 – 6 – 10)x – 2 + 4 =

= – 2x3 + 13x

2 –11x + 2

4) [3x2 + (4x – 1) (x + 1)] (2x + 3) =

= [3x2 + (4x

2 + 4x – x – 1)] (2x + 3) =

= [3x2 + 4x

2 + 4x – x – 1] (2x + 3) =

= [7x2 + 3x – 1] (2x + 3) =

= 14x3 + 6x

2 – 2x + 21x

2 + 9x – 3 =

= 14x3 + 27x

2 + 7x – 3

M7

5)

yxxyyxyxyx

3

1

3

4

3

122

9

1=

= 2

3

42

9

432

3

122

3

12

9

13

27

1xyyxyxyxyyxyxx

=

= 32

3

4

3

112

9

4

3

1

9

13

27

1yxyyxx

=

= 33

27

1yx

6) xzzxzxzxzx28

54

8

3

7

22

7

4

4

32

=

= xzzxzxzxzxzxzx28

52

7

8

28

382

4

32

7

8

2

3

7

42

4

3

=

= xzzx

28

5

28

38

2

3

7

42

7

8

7

82

4

3

4

3=

= –10xz

7)

babababa 4

2

13

2

5

3

223 =

=

babababa 4

2

13

2

5

3

263 =

=

24

2

1122

2

3)2154

2

1522( babababababa =

= 24152

1124

2

152

2

32 baba

=

= 2112

2

7ba

M8

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ale ni i ura i M.C.D. - iisgiustinofortunato.it · Si definisce minimo comune multiplo (m.c.m.) ... Si definisce massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri il più grande