ALEŠ DRÁB HYDROINFORMATIKA Ilences.cz/domains/lences.cz/skola/subory/Skripta... · Zaínáme s MATLAB - 7 (34) - 2 Zaínáme s MATLAB Po spuštní aplikace Matlab bude vaše obrazovka

VYSOKÉ U�ENÍ TECHNICKÉ V BRN� FAKULTA STAVEBNÍ

ALEŠ DRÁB

HYDROINFORMATIKA I MODUL M03

ÚVOD DO MATLAB

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Hydroinformatika I · Modul 3

- 2 (34) -

© Aleš Dráb, Brno 2005

Obsah

- 3 (34) -

OBSAH

1 Úvod ...............................................................................................................5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot�ebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klí�ová slova.........................................................................................5 1.5 Metodický návod na práci s textem ......................................................6

2 Za�ínáme s MATLAB ..................................................................................7 2.1 Základy programování v MATLAB .....................................................7

2.1.1 Definice prom�nných..............................................................8 2.1.2 Priorita matematických operátor�...........................................9

2.2 Využití nápov�dy v MATLAB .............................................................9 2.3 Práce s maticemi .................................................................................10 2.4 Import dat ............................................................................................11 2.5 Export dat a uložení MATLAB workspace ........................................13 2.6 Použití soubor� typu M-file ................................................................14

2.6.1 Script M-file..........................................................................14 2.6.2 Function M-file .....................................................................16 2.6.3 Rozhodovací struktury a cykly .............................................17

3 �ešení optimaliza�ních úloh ......................................................................21 4 �ešení oby�ejných diferenciálních rovnic ................................................23 5 �ešení soustav oby�ejných diferenciálních rovnic ..................................27 6 Záv�r ............................................................................................................33

6.1 Shrnutí .................................................................................................33 6.2 Studijní prameny .................................................................................33

6.2.1 Seznam použité literatury .....................................................33 6.2.2 Seznam dopl�kové studijní literatury ...................................34 6.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny ...........................34

Úvod

- 5 (34) -

1 Úvod

MATLAB p�edstavuje programové prost�edí, které poskytuje inženýr�m a v�dc�m snadno použitelné nástroje pro �ešení širokého okruhu výpo�tových úloh. Obecn� se dá �íci, že MATLAB je vhodný pro �ešení úloh, které svým rozsahem �i komplikovaností p�esahují možností efektivního �ešení v programu EXCEL. Výhody programu MATLAB oproti EXCEL jsou p�ede-vším tyto:

• poskytuje kvalitn�jší nástroje pro operace s maticemi,

• nabízí v�tší množství vestav�ných funkcí a nástroj�,

• je univerzáln�jší p�i použití podmín�ných p�íkaz� a cykl�,

• v n�kterých p�ípadech poskytuje v�tší možnosti grafické prezentace.

1.1 Cíle

Obsah tohoto modulu je navržen tak, aby ho byl schopen absolvovat kdokoliv bez hlubších znalostí programování. Je založen na využití nápov�dy, která je p�ímo sou�ástí MATLAB. P�edkládaný text tvo�í pr�vodce vybranými strán-kami nápov�dy, dopl�uje ji o p�ipomínky a konkrétní p�íklady aplikovatelné ve vodohospodá�ské praxi. V tomto modulu se nau�íte:

• Základy programování v MATLAB.

• Využívat systému nápov�dy MATLAB.

• Pracovat s maticemi.

• Importovat a exportovat data.

• �ešit optimaliza�ní úlohy.

• �ešit oby�ejné diferenciální rovnice a jejich soustavy.

1.2 Požadované znalosti

K úsp�šnému zvládnutí tohoto modulu se p�edpokládají základní znalosti nu-merických metod, hydrauliky a pasivní znalost anglického jazyka.

1.3 Doba pot�ebná ke studiu

Doba pot�ebná ke zvládnutí textu odpovídá 6 výukovým hodinám, tedy cca 6 x 50 min.

1.4 Klí�ová slova

Numerické metody, hydraulika, matematický model, numerický model, lineár-ní programování, nelineární programování.


- 6 (34) -

1.5 Metodický návod na práci s textem

Text modulu je t�eba procházet postupn� (nep�eskakovat mezi kapitolami) a pr�b�žn� zpracovávat uvedené p�íklady a úlohy. Spln�ním úlohy je mnohdy podmín�no pochopení dalšího textu, který navazuje na poznatky získané b�hem jejího �ešení.

Student by m�l p�i pro�ítání textu sou�asn� realizovat nazna�ené postupy na po�íta�i v programu MATLAB.

Za�ínáme s MATLAB

- 7 (34) -

2 Za�ínáme s MATLAB

Po spušt�ní aplikace Matlab bude vaše obrazovka odpovídat p�ibližn� obráz-ku 2.1. V tuto chvíli pracovní plocha obsahuje t�i okna: Command Window, Current Direktory a Command History. Na pracovní ploše si ponechte pouze okno Command Window a ostatní uzav�ete pomocí k�ížku v pravém horním rohu. V okn� Command Window budeme provád�t na�ítání dat, vkládat p�íka-zy, funkce, atd. P�ed zahájením další práce si vytvo�te pracovní adresá� u�ený pro tento modul a nastavte ho jako pracovní (Current directory) pomocí rozba-lovací nabídky v horní �ásti obrazovky.

Obr. 2.1- Pracovní plocha aplikace Matlab.

2.1 Základy programování v MATLAB

Program tvo�í posloupnost p�íkaz�, funkcí a prom�nných uložených v pam�ti po�íta�e. Programování je procedura sestávající z následujících krok�:

1. Definice problému, který má program �ešit.

2. Návrh programu (rozhodnutí jaké p�íkazy pot�ebuji k �ešení problému a kde je uložím).

3. Zápis a uložení p�íkaz� a funkcí.

4. Testování (lad�ní) programu.

5. Dokumentace programu (poskytnutí instrukcí pro p�ípadné další uživa-tele programu).


- 8 (34) -

Zvládnutí základ� programování nep�edstavuje nic složitého a vyžaduje pouze pochopení n�kolika základních princip� a konvencí.

2.1.1 Definice prom�nných

Definice prom�nných, datové typy a priority používaných operátor� p�edstavu-jí základní znalosti, které je t�eba zvládnout.

Do p�íkazového okna MATLAB napište:

��

Tímto p�íkazem jste práv� p�i�adili prom�nné � hodnotu 5. Po�íta� vytvo�il v pam�ti prostor, který nazval � a uložil do n�ho hodnotu 5. V MATLAB jsou všechny prom�nné uchovávány ve form� matic. � je p�íkladem nejmenší mož-né matice s rozm�ry 1 x 1. Pokud napíšete:

��

vytvo�íte matici rozm�r� 2 x 2, nazvanou �. Napište:

��

�ímž jste definovali textový �et�zec, který je uložen matici 1 x 1.

Pokud prom�nné p�i�adíte novou hodnotu, pak p�vodní je p�epsána. Nap�íklad:

��

p�epíše p�vodní hodnotu 5 na 6. Nyní zadejte:

��

Tímto znovu p�epíšete stávající hodnotu 6 zp�t na hodnotu 5.

Poznámka

B�hem naší práce budeme využívat t�i základní datové typy prom�nných:

• reálná �ísla – REAL,

• celá �ísla – INTEGER,

• textové �et�zce – STRING.

Pokud v MATLAB definujete novou �íselnou prom�nnou, pak je jí automatic-ky p�i�azen datový typ REAL. Nap�íklad:

��

je uloženo jako reálné �íslo na p�ibližn� 16 desetinných míst. Pokud bychom cht�li do této prom�nné uložit striktn� celé �íslo nebo textový �et�zec, museli bychom to provést nap�. takto:

��

nebo


- 9 (34) -

��!" �� # $ !�

2.1.2 Priorita matematických operátor�

MATLAB používá konvence b�žné z matematiky. Vybrané operátory m�žeme set�ídit podle priority od nejv�tší po nejmenší takto:

• ^ (mocnina).

• * (násobení), / (d�lení).

• + (s�ítání), - (od�ítání).

2.2 Využití nápov�dy v MATLAB

Pro vyvolání nápov�dy stiskn�te klávesu F1 nebo z hlavního menu zvolte po-ložku Help. Na obrázku 2.2 jsou nazna�eny t�i hlavní cesty, jak je možné se dostat k požadované informaci:

• Rejst�ík a vyhledávání.

• Rozbalovací nabídka obsahující již navštívené stránky nápov�dy.

• Šipka umož�ující návrat o jednu stránku zp�t.

Obr. 2.2- Nápov�da aplikace MATLAB.

Rejst�ík a vyhledávání

Rozbalovací nabídka

O jednu stranu zp�t


- 10 (34) -

2.3 Práce s maticemi

Úkol 2.1

V tomto úkolu se samostatn� nau�íte základy práce s maticemi za pomocí nápov�dy. V úvodní nabídce nápov�dy, tak jak ji vidíte na obrázku 2.2, zvol-te nejprve Getting Started, dále klikn�te na Matrices and Arrays a nakonec Matrices and Magic Squares. �i�te se instrukcemi udávanými nápov�dou, prostudujte jednotlivé strany a pokra�ujte dokud nedosáhnete strany s nad-pisem “The load function”. Tuto stranu již neprocházejte.

K pohybu po jednotlivých stánkách nápov�dy se výborn� hodí tla�ítka

v pravé horní �ásti obrazovky.

Informace

P�i definování prom�nných je t�eba mít na pam�ti, že MATLAB rozlišuje velká a malá písmena, tj. � je r�zné od �.

Pokud vložíte p�íkaz do p�íkazového okna, objeví se vám automaticky odpov��. N�kdy m�že nastat situce, kdy toto zobrazení nepožadujete. V tom p�ípad� za napsaný p�íkaz vložte znak ; a odpov�� bude uložena, nikoliv však zobrazena.

Nápov�du k p�íkaz�m a funkcím je možné vyvolat i p�ímo z p�íkazového okna zápisem % & '" + hledný p�íkaz (nap�. % & '" �(& ��).

Po jednotlivých, dosud zadaných, p�íkazech v p�íkazovém okn� je možné se pohybovat pomocí kurzorových šipek � a . Dále je možné využít okno s historií zadaných p�íkaz� (Command History), které jsme uzav�eli na za�átku cvi�ení. Op�tovn� je možné ho vyvolat z hlavního menu pomocí nabídky Desktop.

Pokud jste splnili úkol 2.1 zadaný v této kapitole, ovládáte již tyto operace s maticemi:

• Zadání hodnot matice z klávesnice do p�íkazového okna.

• S�ítání �ádk�, sloupc� a diagonál matice.

• Výb�r zvolené hodnoty z matice a její uložení, jako samostatné prom�nné.

• Volba sloupce nebo �ádku matice a její uložení jako matice nové.

• Vytvo�ení nulové matice nebo matice vypln�né náhodnými �ísly.


- 11 (34) -

P�íklad 2.1

Vytvo�te matici � (12 �ádk�, 5 sloupc�) vypln�nou náhodnými �ísly nabýva-jícími hodnot z uzav�eného intervalu od 50 do 100. Použijte p�íkaz �� , data nevkládejte z klávesnice ru�n�!

P�edpokládejme, že vámi vytvo�ená data p�edstavují syntetickou �adu m�-sí�ních srážkových úhrn� v letech 2001-2005. Na p�íklad� takto vytvo�ených dat z obrázku 2.3 (vaše hodnoty se samoz�ejm� mohou lišit) je srážkový úhrn, odpovídající lednu 2005, 58,81 mm.

Obr. 2.3- P�íklad vytvo�ené matice.

Se�tete hodnoty v jednotlivých sloupcích tak, aby jste dostali srážkové úhrny za jednotlivé roky, a tyto hodnoty uložte do samostatné matice �) . Kopii hodnot ze druhého �ádku matice � uložte do zvláštní matice �* , �ímž do-stanete srážkové úhrny za m�síc únor v jednotlivých letech.

2.4 Import dat

Data, která budeme zpracovávat v MATLAB nebudeme obvykle vkládat p�ímo do p�íkazového okna, ale �asto je obdržíme nap�. v podob� textového nebo binárního souboru. Mohou to být nap�. data získaná m��ením v terénu, hydrau-lickým výpo�tem, analýzou v GIS apod.

Úkol 2.2

Nyní se vra�te do nápov�dy MATLAB, kterou jste opustili na stran� s nadpi-sem “The load function”. Pokra�ujte v úkolech uvedených na této stran� nápov�dy. K vytvo�ení požadovaného textového souboru použijte aplikaci NOTEPAD z prost�edí Windows.

Informace

Pokud používáte p�íkaz '�� pro na�tení dat, MATLAB vyhledává soubor s daty v nastaveném pracovním adresá�i (Current Directory v hlavním menu). Pokud chcete na�íst soubor z jiného umíst�ní, je nutné zadat krom� názvu i celou cestu (nap�. +,-�� & $ ��-�� & $ �� -$ �# . ��/� ��).


- 12 (34) -

Soubor s daty, která chcete na�íst p�íkazem '�� by m�l mít koncovku *.txt nebo *.dat.

Pro výpis soubor� v pracovním adresá�i zadejte p�íkaz � ��.

Pro vymazání obsahu p�íkazového okna lze použít p�íkaz +'+.

Úkol 2.3

Pokud jste úsp�šn� splnili p�edchozí zadaný úkol, pokra�ujte v nápov�d� od strany s nadpisem “Concatenation” až do strany “Scalar Expansion”.

P�íklad 2.2

V tomto cvi�ení využijete dva vzorové soubory Prutok.txt a Koncentr.txt. Otev�ete oba soubory a podívejte se na jejich obsah. Na obrázku 2.4 je sou-bor Prutok.txt, obsahující seznam p�ítok� ze zdroj� zne�išt�ní do �eky Svratky, sledované b�hem t�í dn� v roce 2005. Jednotlivé zdroje zne�išt�ní jsou ozna�eny kódem. Druhý soubor Konc.txt obsahuje vyhodnocení vzork� vody pro jednotlivé zdroje zne�išt�ní odebraných ve stejných dnech, kdy by-lo provád�no m��ení pr�toku. V souboru jsou uvedeny hodnoty BSK.

Obr. 2.4- Obsah souboru Prutok.txt.

Nyní na�teme �íselná data z obou soubor� do MATLAB. Aby byly p�i na�í-tání vynechány �ádky s textem, použijeme na za�átku znak 0 (viz obrá-zek 2.5). Tímto zp�sobem je �ádek ozna�en jako komentá�.

Obr. 2.5- Soubor Prutok.txt upravený pro na�tení do MATLAB.

Import dat provedeme p�íkazy:

��'�� 1 �# �� /�2��

��'�� 3 �� +/�2��

Tyto p�íkazy uloží na�tená �íselná data do matic nazvaných 1 �# �� a 3 �� +.


- 13 (34) -

Úkol 2.4

Vypo�ítejte celkové zne�išt�ní vyjád�ené v CHSK, vypoušt�né do �eky Svrat-ky v jednotkách kg/den, v každém ze t�í monitorovacích dn�. Výsledek uložte do matice 4 5 6 ) . Limitní množství celkového vypušt�ného zne�išt�ní v CHSK bylo stanoveno hranicí 1500 kg/den. V které dny nebylo toto množství p�ekro�eno?

2.5 Export dat a uložení MATLAB workspace

Použijte p�íkaz 7 % �$ k prohlednutí velikosti a typu všech prom�nných, které jste dosud vytvo�ili. Ke stejnému ú�elu lze využít i okno Workspace (aktivace z hlavního menu položkou Desktop). V tuto chvíli chceme ponechat pouze prom�nné Prutok, Konc, TDLS. Ostatní vymažeme p�íkazem +'& ��. Nap�íklad:

��+'& ��

Data, která jsme vytvo�ili v MATLAB je možné samoz�ejm� uložit v r�zných formátech a využít pro další zpracování. Nap�. import do výpo�tových progra-m�, GIS, CAD atd. Zadejte:

��$ �8 & �4 5 6 ) /�2��4 5 6 ) ��) � 99�

Tento p�íkaz vezme vaši matici TDLS a uloží ji do pracovního adresá�e jako textový soubor (ASCII) s názvem TDLS.txt. Otev�ete vytvo�ený soubor v tex-tovém editoru a zjistíte, že jednotlivé hodnoty jsou na �ádcích odd�leny meze-rami. V p�ípad�, že chcete použít jíný odd�lova�, nap�. tabulátor:

��$ �8 & �4 5 6 ) /�2��4 5 6 ) �:�) � 99��4 ��) �

Informace

K získání podrobn�jších informací o p�íkazu $ �8 & m�žete použít nap�. již zmi�ovaný p�íkaz % & '" �$ �8 & /

asto pot�ebujete uložit všechny prom�nné najednou, pak zadejte:

��$ �8 & �� (& 8 $ �# . ��# �

Tímto se vytvo�í soubor s názvem � �(& 8 $ �# . ��# /� ��, který je možné otev�ít v MATLAB – z hlavního menu File nebo p�íkazem '�� . Uložte vaše pracovní prost�edí (workspace) pod názvem � 8 �+& � ;�:

��$ �8 & �� 8 �+& � ;��


- 14 (34) -

2.6 Použití soubor� typu M-file

Po�íta�ový program se obvykle skládá z množství p�íkaz�. Krom� velice jed-noduchých program� jsou tyto p�íkazy zpravidla rozd�leny do více soubor�. Tento zp�sob ukládání zaru�uje, že je program snadn�ji modifikovatelný a efektivn� využívaný, tedy celkov� “upravený“. V MATLAB jsou tyto soubory s p�íkazy ozna�ovány jako M-files. Rozlišujeme u nich dva typy:

• script M-files,

• function M-files.

2.6.1 Script M-file

Script M-files jsou soubory �ádk� s textovými �et�zci, které MATLAB inter-pretuje jako p�íkazy. Nap�íklad skript, který vytvo�í a uloží stejný typ náhod-ných dat, který byl popsán v p�íkladu 2.1 je ukázán na obrázku 2.6.

Obr. 2.6- P�íklad script M-file.

Vytvo�te v aplikaci NOTEPAD (Poznámkový blok) nový soubor a uložte ho pod názvem srazky.m do pracovního adresá�e. Potom spus�te tento skript na-psáním jeho názvu do p�íkazového okna:

��$ ��(� � �

Všimn�te si, že všechny vypo�ítané hodnoty jsou zobrazeny v p�íkazovém ok-n� (pokud nevložíte na konec �ádku ).

P�íklad 2.3

Na obrázku 2.6 je uveden p�íklad souboru typu script M-file, který provádí výpo�et z úkolu 2.4.

Obr. 2.7- P�íklad script M-file.


- 15 (34) -

Spus�te uvedený M-file napsáním jeho názvu do p�íkazového okna. Pokud se objeví �ervené chybové hlášení v p�íkazovém okn�, ov��te následující sku-te�nosti:

• Jsou matice Prutok a CHSK na�teny v pracovním prost�edí?

• Jsou Prutok a CHSK pojmenovány p�esn� tak, jak ve uvedeno na obrázku 2.7? (Nezapome�te, že MATLAB rozlišuje malá a velká písmena).

• Mají Prutok a CHSK správný formát (matice o 7 sloupcích a 3 �ádcích).

• Je M-file s p�íkazy uložen v pracovním adresá�i.

Poznámka

Povšimn�te si, že v p�íkazovém okn� se vám po spušt�ní souboru M-file z obrázku 2.7 objeví pouze hodnota prom�nné CelkZatiz. Je to dáno již zmi�o-vaným použitím znaku ; na konci �ádku.

MATLAB používá první dva �ádky souboru M-file pro ú�ely nápov�dy. Zkuste do p�íkazového okna zadat p�íkaz:

��% & '" �< ��(= � " ) �

Informace

V datových souborech, souborech typu M-file a p�íkazovém okn� slouží znak % na za�átku �ádku k ozna�ení komentá�e. Tento text je p�i zpracování programem MATLAB ignorován a není považován za p�íkaz. Komentá�e jsou velice d�ležité, protože napomáhaní k pochopení obsahu souboru, a to jak autorovi, tak p�ípadným dalším uživatel�m.

Úkol 2.5

Matice Zatiz, kterou jste vytvo�ili v rámci p�edchozího úkolu obsahuje cel-kem 21 hodnot. Napište script M-file, který :

• provede konverzi matice Zatiz do sloupcového vektoru (využijte stránku nápov�dy s nadpisem Concatenation).

• Stanovte maximální a minimální hodnotu ze všech 21 hodnot matice Zatiz (použijte funkce max a min).

• Stanovte po�et hodnot, které p�ekra�ují kritérium 150 kg/den (pou-žijte funkce find a numel).

Informace

• Vytvo�te nový M-file použitím položky z hlavního menu File | New | M-File a následn� ho uložte pod názvem ZatizStat.m.

• P�edtím než za�nete psát do souboru M-file, m�žete si jednotlivé p�íkazy ov��it zadáním do p�íkazového okna.


- 16 (34) -

• Nápov�du k jednotlivým funkcím m�žete rychle získat zadáním nap�/�% & '" �� # � & ' do p�íkazového okna.

2.6.2 Function M-file

Function M-file se mírn� liší od skript�, protože vstupní anebo výstupní para-metry funkce jsou definovány na prvním �ádku souboru M-file.

Otev�ete pomocí hlavního menu MATLAB volbou File | Open soubor s názvem ZatizVypF.m. Jeho obsah je na obrázku 2.8.

Napište do p�íkazového okna MATLAB:

��< ��(>�� & '� < ��( ��6 �� '+* �1 �# �� >�� ) 3 �

MATLAB zašle vstupní parametry (Prutok, CHSK) do funkce LoadCalcF, provede výpo�et a zašle zp�t výstupní parametry [Zatiz, CelkZatiz], které se zobrazí v p�íkazovém okn�.

Obr. 2.8- Function M-file s názvem ZatizVypF.m.

Poznámka

Použití funkcí oproti skript�m m�že být v mnoha ohledech výhodn�jší. Nap�í-klad, pokud chcete provád�t nad více sadami vstupních dat stejné operace. Prakticky si to m�žeme ukázat na funkci ZatizVypF. P�edpokládejme, že krom� vstupních dat Prutok, CHSK máme ješt� další sadu nazvanou Prutok2, CHSK2. Výsledky chceme uložit do prom�nných Zatiz2, CelkZatiz2. Pokud bychom cht�li použít skript, bylo by nutné zasáhnout p�ímo do souboru ZatizVypF.m a upravit názvy prom�nných. Pokud však použijeme funkci, je postup mnohem jednodušší. Sta�í pouze zm�nit názvy prom�nných p�i volání funkce.

Úkol 2.6

Vytvo�te nové prom�nné Prutok2, CHSK2, které budou obsahovat dvojná-sobné hodnoty z prom�nných Prutok, CHSK (jedná se pouze o fiktivní p�í-klad, dvojnásobné hodnoty jsou zvoleny zcela náhodn�, pouze za ú�elem vy-tvo�ení nové sady dat). Nyní zavolejte funkci ZatizVypF se zm�n�nými pa-rametry:

��< ��( >�� & '� < ��( ��6 �� '+* �1 �# �� >�� ) 3 �


- 17 (34) -

2.6.3 Rozhodovací struktury a cykly

Sou�ástí p�evážné v�tšiny po�íta�ových program� jsou rozhodovací stuktury a cykly. Nap�íklad na vodohospodá�ském dispe�inku shromaž�ovány informace o hodnotách pr�tok� v m�rných profilech na vodních tocích. Jestliže (rozhodo-vací struktura IF) tyto hodnoty p�ekro�í ur�itou mez, je t�eba vyhlásit povod-�ový stupe�. Mimo to kontrolní systém pr�b�žn� kontroluje údaje z jednotlivých m�rných profil� (probíhá smy�ka, která cykluje p�es jednotlivé sníma�e).

MATLAB obsahuje rozhodovací struktury typu if, elseif a else a cykly typu while nebo for.

Úkol 2.7

S použitím nápov�dy se seznamte s výše uvedenými funkcemi. P�íklad nápo-v�dy je uveden na obrázku 2.9.

Obr. 2.9- Nápov�da k rozhodovací struktu�e if, elseif, else.

P�íklad 2.4

Senzor_alarm.m je soubor M-file obsahující funkci, která prochází data v matici nazvané Senzor_Data. Tato matice obsahuje hodnoty m��ení ze senzor� snímajících koncentraci nebezpe�ných plyn� v ovzduší. Funkce kon-troluje, zda není p�ekro�ena kritická mez udaná hodnotou Krit_Hodnota. Výsledky srovnání jsou ukládány do matice Poplach pomocí ozna�ení (V) vysoké nebezpe�í,(S) st�ední a (N) nízké.


- 18 (34) -

Obr. 2.10- Obsah souboru Senzor_alarm.m.

Spus�te funkci Senzor_alarm nap�. s následujícími vstupními parametry:

��1 �? & �@ ) & � (��

��3 ��@ � �� A /��A / �A /� �

��) & � (��@ 5 ��A / �A /��A / �

Následn� zavolejte funkci

��1 �" '�+% �) & � (��@ �'�� ) & � (��@ 5 ��>�3 ��@ � �� >�1 �+& �@ ) & � (��

Výsledkem bude:

��1 B 1 6 �� = C ) �

Informace

MATLAB je navržen tak, aby pot�eba použití cykl� byla co možná nejmenší. Pokud používáte n�které další programovací jazyky, jako je nap�. Visual Basic, pot�ebujete cyly por práci s poli. Naproti tomu MATLAB má již tyto funkce p�ímo vestav�né.

Pokud používáte cykly je t�eba dávat pozor, abyste nevytvo�ili zadáním ne-vhodných kritérií pro ukon�ení tzv.nekone�ný cyklus. MATLAB pak b�ží stále dokola v nekone�né smy�ce. P�erušení je v takovém p�ípad� možné stiskem kláves Ctrl+C.


- 19 (34) -

Úkol 2.8

V rámci tohoto úkolu si vyzkoušíte použití cykl� a rozhodovacích struktur. Dále se seznámíte s možnostmi tvorby graf� v MATLAB.

K vyjád�ení pr�toku vody v daném profilu na toku použijeme matematický model vyjád�ený rovnicí:

)()()( 1−= += kBmkAkB tbQtaQtQ , (2.1)

kde

• QB(tk) je pr�tok v dolním profilu (sm�rem po toku) v �ase tk,

• QA(tk-m) je pr�tok v horním profilu (sm�rem po toku) v �ase tk-m,

• m je po�et �asových krok� za které se zm�na pr�toku v horním profi-lu projeví v profilu dolním,

• a,b jsou parametry, které závisí na charakteru vodního toku.

Tento model m�že být využit nap�. k p�edpov�di velikosti pr�toku QB níže na toku, pokud známe hodnoty pr�toku QA v profilu horním (typickým p�íkla-dem je povod�ová situace, která vyžaduje p�edpov��, kdy a jak velká bude kulminace pr�toku v profilu B).

Abychom mohli uvedený model použít pot�ebujeme znát:

• Hodnoty pr�tok� QA ve všech �asech a po�áte�ní hodnotu pr�toku QB.

• První p�edpov�� pr�toku QB je možná nejd�íve za m �asových krok�

od provedení prvního m��ení QA.

• Hodnoty parametr� a,b získáme kalibrací.

Postup je následující:

1. Vytvo�te matici vstupních parametr� a, b. Budeme p�edpokládat, že a=1 a b=1. ��1 �� .

2. Zapište funkci M-file nazvanou Predpoved.m, která:

– na�te soubor s daty hydrog.dat (viz obrázek 2.11),

– spustí model pro odhad pr�toku QB jako funkce QA pro �as t z intervalu 3 až 30 hod, s �asovým krokem 1 hod,

– vykreslí graf pro pr�toky QA, QB(m��ené), QB(model),

– zobrazí výstrahu, jestliže pr�tok QB(model) p�ekro�í hodnotu 100 m3/s.

Jediným vstupním parametrem funkce Predpoved bude matice vstup-ních parametr� Parm.

3. Zkoušejte spoušt�t funkci Predpoved s r�znými vstupními parametry tak, aby se �asový pr�b�h hodnoty QB(model) co nejvíce p�iblížil hodnotám QB(m��ené).

4. Nezapome�te si uložit vaše pracovní prost�edí p�íkazem >>save ukol2_8.


- 20 (34) -

Výsledný graf pro parametry a=1 a b=1ve uveden na obrázku 2.12.

Obr. 2.11- Soubor hydrog.dat.

Obr. 2.12- Výsledný graf pro parametry a=1 a b=1.

�ešení optimaliza�ních úloh

- 21 (34) -

3 �ešení optimaliza�ních úloh

MATLAB obsahuje dv� základní optimaliza�ní funkce nazvané fminbnd (op-timalizuje jednu prom�nnou) a fminsearch (optimalizuje více prom�nných). Navíc MATLAB disponuje vestav�ným souborem nástroj�, který zahrnuje pokro�ilejší algoritmy než zmi�ované funkce. V tomto cvi�ení použijeme funkci fminsearch k nalezení vstupních parametr� a,b, které jsme používali v úkolu 2.8 p�i odhadu pr�toku QB.

Úkol 3.1

Získejte podrobn�jší informace o funkci fminsearch s využitím nápov�dy MATLAB. Zjist�te, jaký uvedená funkce používá algoritmus a popište jeho princip.

Z nápov�dy v úkolu 3.1 jste zjistili, že syntaxe funkce fminsearch má ve své nejjednodušší podob� tento tvar:

��2�� $ & ��+% �D �# � >2A �

�

kde 2 je matice s hodnotami ur�enými k optimalizaci, �# � je název ú�elové funkce a 2A je matice s po�áte�ním odhadem hodnot 2. P�i zavolání této funkce hledá MATLAB �ešení s maximální odchylkou 0,01%.

Základní princip spo�ívá v hledání minima ú�elové funkce �# � pro vstupní hodnoty z matice 2. V našem p�ípad� se p�i hledání hodnot parametr� a,b bu-deme snažit minimalizovat odchylku mezi hodnotami QB(model) a QB(m��ené). Použijeme principu metody nejmenších �tverc� a ú�elová funkce bude vyjád�ena jako suma kvadratických odchylek (QB(m��ené)-QB(model))2. Zápis ú�elové funkce E * bude mít v syntaxi MATLAB tvar:

E * �$ # � ��F �� ,� �F �� ,� /G �

�

Úkol 3.2

K nalezení hodnot parametr� a,b využijte ú�elovou funkci definovanou v p�edchozím odstavci. V této podob� ji dopl�te na konec souboru M-file Predpoved.m. Doporu�ujeme však ješt� p�edtím provést tyto úpravy:

• Soubor Predpoved.m uložte pod jménem OptAB.m, aby se vám zachovala jeho p�vodní verze.

• V souboru OptAB.m dopl�te na konce �ádk� s p�íkazy znak “;“, odstra�te vykreslování grafu a vypisování výstrah.

K nalezení parametr� a,b spl�ujících daná kritéria zadejte p�íkaz:

��1 �� $ & ��+% �D B " ��>��

�


- 22 (34) -

Jaké jsou hodnoty nalezených parametr� a, b? Ov��te jejich správnost spuš-t�ním funkce Predpoved s nov� nalezenými hodnotami:

��1 �& � " �8 & � �1 ��

Informace

Použitím znaku “;” na konci p�íkazových �ádk� zabráníte MATLAB vypisování výsledk� do p�íkazového okna v každém itera�ním kroku. Toto opat�ení vám podstan� zmenší celkovou dobu zpracování úlohy.

Úkol 3.3

V p�edchozím úkolu 3.2 použijte p�íkaz optimset ke zm�n� nastavení optima-lizace. Nap�íklad:

��" �� $ ��" �� $ & ��H �29�& �!>�A �

��1 �� $ & ��+% �D B " ��>�� >��" �� $ �

Toto nastavení omezí maximální po�et iterací na 10. Prozkoumejte další možnosti nastavení optimalizace. M�žete doporu�it n�jaká další vylepšení funkce OptAB?

�ešení oby�ejných diferenciálních rovnic

- 23 (34) -

4 �ešení oby�ejných diferenciálních rovnic

Postup numerického �ešení oby�ejných diferenciálních rovnic budeme demon-strovat na p�íklad� úloh prázdn�ní a pln�ní nádob, které vychází ze základní objemové rovnice:

S

QQ

dtdz po −

−= , (4.1)

kde z(t) zna�í polohu hladiny vzhledem k ose výtokového otvoru, Qp(t) je p�í-tok do nádrže, Qo(z) je odtok z nádrže, S(z) je plocha hladiny a t je �as. Uvede-ná diferenciální rovnice má analytické �ešení za p�edpokladu Qp=konst.

P�íklad 4.1

Kónická nádoba výšky h=1,0 m se svislou osou má horní pr�m�r D1=0,80 m, pr�m�r dna D2=0,30 m. Ve dn� je kruhový otvor o pr�m�ru Dv=0,30 mm (µv=0,62). Je t�eba ur�it dobu úplného vyprázdn�ní nádoby, je-li napln�na až po okraj vodou. P�ítok do nádrže Qp=0 m3/s [6]. �ešení provedeme jak analyticky, tak numericky.

Nejprve je t�eba vyjád�it funk�ní závislost plochy hladiny S=f(z):

( )224

AzDS += π , (4.2)

kde

hDD

A 21 −= . (4.3)

Dále vyjád�íme odtok z nádrže Qo jako:

gzSQ vvo 2µ= . (4.4)

Vztahy 4.2 až 4.4 dosadíme do rovnice 4.1 a integrací dostaneme hledaný vztah pro dobu prázdn�ní (analytické �ešení):

��

��

� ++= 2/522/32

222 5

132

2

2hAAhDhD

gDt

vvµ. (4.5)

Dosazením p�íslušných hodnot ze zadání do vztahu 4.5 obdržíme výsledek analytického �ešení t=194,2 s.

Numerické �ešení oby�ejné diferenciální rovnice 4.1 provedeme Rungovou-Kuttovou metodou 4. až 5.�ádu. K tomuto ú�elu použijeme funkci MATALAB s názvem ode45. Její spušt�ní se provádí zadáním p�íkazu v následujícím tvaru:

�� >( �� & � ��D C �� . >��A ��I � >��

Matice s výsled-ky obsahující �as

to až tf

Matice s výsled-ky obsahující hodnoty z v �asechto až tf

Funkce dle použité numeric-

ké metody

M-file obsahující �ešenou oby�.

dif. rovnici

Hodnoty to a tf

Po�áte�ní hod-nota z v �ase to


- 24 (34) -

Obsah souboru M-file s názvem Nadob.m je patrný z obrázku 4.1.

Obr. 4.1- Obsah souboru Nadob.m

Po spušt�ní výpo�tu obdržíme výsledek numerického �ešení t=193,88 s.

Úkol 4.1

Prove�te analytické �ešení p�edchozího p�íkladu tak, aby jste získali hodno-ty pro vynesení grafu funk�ní závislosti z=f(t). Do grafu rovn�ž dopl�te vý-sledky numerického �ešení. Pro lepší p�ehlednost slu�te získané výsledky do jedné matice Vysl_nadob, která bude obsahovat tyto t�i sloupce: �as, z(analytické �ešení) a z(numerické �ešení).

Kontrolní otázky

ím je zp�soben vzniklý rozdíl mezi analytickým a numerickým �ešením v úkolu 4.1? Jaký vliv bude mít použití jiné metody pro numerické �ešení oby�ejné parciální diferenciální rovnice (ov��te prakticky v MATLAB)?

Úkol 4.2

V této úloze provedete posouzení transforma�ního ú�inku nádrže p�i pr�-chodu povod�ové vlny. K �ešení máte k dispozici následující vstupní data:

• ára zatopených ploch a objem� pro �ešenou nádrž (viz obrázek 4.2).

• asovou závislost p�ítoku do nádrže (viz obrázek 4.4).

• Technické parametry výpustného za�ízení a bezpe�nostního p�elivu.

�ešená nádrž má zemní, sypanou hráz, jejíž sou�ástí je objekt spodních vý-pusti a bo�ní, nehrazený, bezpe�nostní p�eliv (viz obrázek 4.3). V okamžiku p�íchodu povod�ové vlny (�as t=0 s) je kóta hladiny v nádrži pod úrovni maximálního zásobního prostoru (315,50 m n.m.). Budeme p�edpokládat, že od tohoto okamžiku za�nou spodní výpusti vypoušt�t z nádrže neškodný pr�-tok 22 m3/s. Tento pr�tok z�stane konstantní po celou dobu pr�chodu po-vod�ové vlny, �ehož je dosaženo regulací pomocí uzáv�r� na spodních vý-pustech. Od doby, kdy velikost p�ítoku do nádrže p�esáhne vypoušt�né množství za�ne hladina v nádrži stoupat. V okamžiku, kdy dosáhne kóty ko-

�ešení oby�ejných diferenciálních rovnic

- 25 (34) -

runy bezpe�nostního p�elivu (316,40 m n.m.), zapo�ne sou�asné prázdn�ní nádrže spodními výpustmi a bezpe�nostním p�elivem. Velikost pr�toku p�e-padajícího p�es pevnou hranu bo�ního p�elivu je samoz�ejm� závislé na ak-tuální poloze hladiny v nádrži. Na p�elivu budeme uvažovat po celou dobu dokonalý p�epad. Ú�inná délka p�elivné hrany je 26 m a hodnotu p�epado-vého sou�initele zvolte m=0,51. Pr�tok z bezpe�nostního p�elivu je skluzem odvád�n do koryta pod hrází.

Stanovte �asový pr�b�h pr�tok� v koryt� pod hrázi od chvíle p�íhodu po-vod�ové vlny až po okamžik, kdy hladina v nádrži poklesne zp�t na úrove� p�elivné hrany bo�ního p�elivu (tj. hladina maximálního zásobního prosto-ru.)

• Vypo�tený �asový pr�b�h pr�tok� v koryt� pod hrází vyneste do stejného grafu jako velikost p�ítok� do nádrže. Prove�te srovnání a zd�vodn�te vzniklé rozdíly.

• �ešte stejnou úlohu ve variant�, kdy hladina v nádrži je v okamžiku p�í-chodu povod�ové vlny práv� v úrovni maximální hladiny zásobního pro-storu (315,50 m n.m.).

Obr. 4.2- áry zatopených ploch a objem� dle [10]


- 26 (34) -

Obr. 4.3- Podélný profil nádrže dle [10]

�asový pr�b�h p�ítok� do nádrže

50

15

108

20

113

0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40 50 60

t [hod]

Q [m

3/s]

Obr. 4.4- asový pr�b�h p�ítok� do nádrže

�ešení soustav oby�ejných diferenciálních rovnic

- 27 (34) -

5 �ešení soustav oby�ejných diferenciálních rovnic

Postup �ešení soustavy oby�ejných diferenciálních rovnic si p�iblížíme na p�í-klad� �ešení vyrovnávací komory na p�ivad��i vodní elektrárny.

Poznámka

Totožný p�íklad je �ešen v modulu 2 pomocí programu EXCEL. Tento postup byl zvolen zám�rn�, aby bylo možné srovnat zp�soby �ešení stejné úlohy po-mocí odlišných program� (EXCEL, MATLAB). Pro p�ípad, že by text modulu 3 byl využíván nezávisle, bez modulu 2, uvádíme kompletní zadání v�etn� teo-retického úvodu.

Vyrovnávací komory tvo�í �ást tlakového p�ivad��e nebo odpadu vodní elek-trárny. Ú�el vyrovnávacích komor je dvojí:

1. zmírn�ní vodního rázu,

2. vytvo�ení nádrže, která v prvních okamžicích pozm�n� pracovního re-žimu pojme p�ebyte�né množství vody nebo dodává tlakovému potrubí chyb�jící pr�tok.

Zmírn�ní vodního rázu vyrovnávací komorou se projevuje omezením škodli-vého p�sobení vodního rázu na krátké tlakové potrubí, zatímco dlouhý p�iva-d�� z�stává prakticky uchrán�n. Dále pak zkrácením doby p�sobení p�ímého rázu v tlakovém potrubí, takže se sníží maximum tlakového p�evýšení. Jakákoli zm�na pracovního režimu vyvolá v soustav� vodní nádrž – tlakový p�ivad�� – vyrovnávací komora – tlakové potrubí – elektrárna neustálený pohyb vody, který se projeví jednak vodním rázem, jednak oscila�ním pohybem vody v p�i-vad��i a vyrovnávací komo�e. Principem hydraulického �ešení vyrovnávacích komor je hledání závislosti zm�ny rychlosti proud�ní (v) v p�ivad��i a polohy hladiny (z) ve vyrovnávací komo�e na �ase (t) pro známou �asovou zm�nu pr�-toku Q=f(t). Pro ur�ení obou neznámých je nutno sestavit dv� diferenciální rovnice, kterým se vzhledem k periodickým výkyv�m hladiny ve vyrovnávací komo�e �íká oscila�ní. První rovnice 5.1 je rovnicí kontinuity a vyjad�uje rov-nost pr�toku p�ivad��em p�ed vyrovnávací komorou, p�ítokem do vyrovnávací komory a pr�tokem turbínou:

)(1

SvQSdt

dz

k−= , (5.1)

kde t je �as, z je okamžitá poloha hladiny ve vyrovnávací komo�e (orientace je kladná, když je hladina zaklesnutá pod hydrostatickou hladinou v nádrži a zá-porná v opa�ném p�ípad�), Sk zna�í plochu hladiny ve vyrovnávací komo�e, Q je okamžitá hodnota pr�toku od vyrovnávací komory k turbín� a v st�ední rych-lost v p�ivad��i mezi akumula�ní nádrží a vyrovnávací komorou (kladná orien-tace je ve sm�ru proud�ní k vyrovnávací komo�e).


- 28 (34) -

Druhá rovnice 5.2 (pohybová) je odvozena na základ� Newtonových zákon� a vyjad�uje závislost zrychlení vodní hmoty na poloze hladiny ve vyrovnávací komo�e a na velikosti ztrát t�ením v p�ivad��i:

)( tZzlg

dtdv

�= , (5.2)

kde g zna�í gravita�ní zrychlení, l délku p�ivad��e p�ed vyrovnávací komorou a Zt souhrn tlakových ztrát v p�ivad��i mezi akumula�ní nádrží a vyrovnávací komorou.

Soustavu oby�ejných diferenciálních rovnic budeme �ešit numericky metodou Rungovou-Kuttovou s použitím MATLAB v rámci následujícího p�íkladu.

Informace

Stru�ný teoretický popis Rungeovy-Kuttovy metody je uveden v modulu 2 (kapitola 5).

P�íklad 5.1

Vy�ešte �asový pr�b�h výkyv� hladiny ve vyrovnávací komo�e válcového tva-ru s volnou hladinou p�i náhlém uzav�ení p�ivad��e na elektrárnu za komorou (viz obrázek 5.1).

Obr. 5.1- Schéma vyrovnávací komory

Je dán pr�tok p�ed uzav�ením Q=25,0 m3/s, pr�m�r kruhového p�ivad��e D=3,57 m, plocha pr��ezu komory Sk=100 m2, rychlost v p�ivad��i p�ed uza-v�ením vo=2,5 m/s, délka p�ivad��e mezi akumula�ní nádrží a vyrovnávací komorou l=3000 m a stupe� drsnosti p�ivad��e n=0,016.

�ešení zahájíme výpo�tem ztrát v p�ivad��i za pomocí Chezyho rovnice:

RSC

QlZ t 22

2

= , (5.3)


- 29 (34) -

kde C je rychlostní sou�initel dla Manninga a R hydraulický polom�r. Dosaze-ním z C po úprav� dostaneme vztah:

ζ23/4

22 v

R

lnvZ t == . (5.4)

Nyní již máme p�ipraveny všechny pot�ebné vztahy a m�žeme p�istoupit k �ešení v MATLAB. Postup �ešení je obdobný jako v p�ípad� �ešení oby�ej-ných diferenciálních rovnic, s tím rozdílem, že nyní máme 2 neznámé veli�iny v a z v podob� vektoru x. Soubor M-file nazvaný Komora.m je uveden na ob-rázku 5.2. Spušt�ní �ešení pomocí funkce ode45 provedeme následujícím p�í-kazem:

��4 >< �� & � ��D 3 �� >�A � A A A >� /��/�I �

�

�

Hodnota po�áte�ní rychlosti v p�ivad��i (v) v �ase to=0 s je dána zadáním. Poloha hladiny (z) ve vyrovnávací komo�e v �ase to=0 s se stanoví výpo�tem ztráty (Zt) dle rovnice 2.10. Hodnota je kladná, protože hladina v komo�e je pod úrovní hydrostatické hladiny v nádrži

Obr. 5.2- Soubor Komora.m.

Vektor po�áte�ních podmínek – rychlost (v) a poloha hladiny v komo�e (z) v �ase to


- 30 (34) -

Po skon�ení výpo�tu provedeme vykreslení výsledk� do grafu p�íkazem:

��" '��4 >�< �,> >4 >< �,>� �

Výsledek je uveden na obrázku 5.3.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

Cas [s]

z [m

], v

[m/s

]

zv

Obr. 5.3- Pr�b�h st�edních rychlostí proud�ní v p�ivad��i a kolísání hladiny ve vyrovnávací

komo�e v p�ípad� náhlého odstavení elektrárny.

Informace

Znaménko “-“ je v p�íkazu plot uvedeno pouze z d�vodu v�tší názornosti vykreslených výsledk�. Jak již bylo uvedeno v p�edchozích odstavcích, hodnota z nabývá kladných hodnot v p�ípad�, že je hladina v komo�e pod úrovní hydrostatické hladiny v akumula�ní nádrži.

Úkol 5.1

Dopl�te výsledky p�edcházejícího p�íkladu o následující informace:

• Popište slovn� chování hladiny ve vyrovnávací komo�e a pr�b�h rych-losti v p�ivad��i mezi akumula�ní nádrží a vyrovnávací komorou. Jinými slovy, prove�te interpretaci výsledk�.

• Jakých maximálních a minimálních hodnot dosahuje kóta hladiny v nádrži? P�edpokládejte, že hladina v akumula�ní nádrži je na kót� 455,56 m n.m.

• Zd�vodn�te na jaké kót� se hladina ustálí.

• Navrhn�te úpravu rozm�r� vyrovnávací komory tak, hladina p�i náhlém úplném uzav�ení p�ívodu vody na turbínu dosáhla maximáln� kóty 463,56 m n.m.

• Úpravou po�áte�ních podmínek prove�te simulaci stavu, kdy na po�átku je elektrárna mimo provoz a dojde k jejímu náhlému spušt�ní. Odb�r na turbíny �iní Q=25 m3/s. Výsledky výpo�tu by m�ly odpovídat obráz-ku 5.4. Kontrolou je pro vás, že kóta ustálené hladiny v komo�e a rych-


- 31 (34) -

lost proud�ní vody v p�ivad��i by m�la být shodná s hodnotami v p�vodním zadání (tj. v=2,5 m/s a z=5,6 m).

• Jakým konstruk�ním opat�ením na vyrovnávací komo�e, pop�. zm�nou manipulace na díle, by bylo možné zmenšit po�áte�ní náhlý pokles hla-diny ve vyrovnávací komo�e? Navrženou zm�nu ov��te výpo�tem.

�ešení

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

Cas [s]

z [m

], v

[m/s

]

zv

Obr. 5.4- Pr�b�h st�edních rychlostí proud�ní v p�ivad��i a kolísání hladiny ve vyrovnávací

komo�e v p�ípad� náhlého spušt�ní elektrárny.

Záv�r

- 33 (34) -

6 Záv�r

6.1 Shrnutí

V rámci tohoto modulu jste úsp�šn� zvládli �ešení vybraných úloh z oboru vodního hospodá�ství v programu MATLAB. Nyní jste schopni s pomocí toho programu importovat a exportovat data, pracovat s maticemi, �ešit diferenciální rovnice, pop�. jejich soustavy. Seznámili jste se s funkcemi programu MATLAB pro �ešení optimaliza�ních úloh. Rovn�ž ovládáte použití rozhodo-vacích struktur a cykl� b�hem výpo�t�. Výsledky jste schopni prezentovat ve form� graf�.

U�ební text je pouze úvodem do programu MATLAB. Jeho možnosti využití jsou samoz�ejm� daleko širší. V tuto chvíli jste však schopni si své znalosti z ovládání programu MATLAB rozši�ovat dle vašich aktuálních pot�eb.

Domníváme se, že z �ešených p�íklad� je patrný rozdíl v použití program� MATLAB a EXCEL na �ešení r�zných typ� úloh, jak již bylo zmi�ováno v úvodu u�ebního textu modulu.

6.2 Studijní prameny

6.2.1 Seznam použité literatury

[1] erná, J., Machalický, M., Vogel, J., Zlatník, . Základy numerické matematiky a programování. SNTL. Praha 1987.

[2] Škrášek, J., Tichý, Z. Základy aplikované matematiky I. SNTL. Praha 1989.

[3] Škrášek, J., Tichý, Z. Základy aplikované matematiky II. SNTL. Praha 1986.

[4] Vitásek, E. Základy teorie numerických metod pro �ešení diferenciál-ních rovnic. Academia. Praha 1994.

[5] Kolá�, V. a kol. Hydraulika. SNTL. Praha 1966.

[6] Bém, J., Ji�ínský, K. Hydraulika v p�íkladech. VUT Praha 1975.

[7] Jandora, J., Uhmannová, H. Základy hydrauliky a hydrologie. VUT Brno 1999.

[8] Broža, V., Gabriel, P., ihák, F. Využití vodní energie. VUT. Praha 1990.

[9] Stara, V., Veselý, J. Hydraulika – P�íklady ke cvi�ení. VUT. Brno 1988.

[10] Pernica, M. a kol. Vodní dílo Slušovice. SZN. Praha 1981.

[11] Škrášek, J., Tichý, Z. Základy aplikované matematiky III. SNTL. Praha 1990.

[12] Kiely, G. Enviromental Engineering. McGraw-Hill International 1997.


- 34 (34) -

6.2.2 Seznam dopl�kové studijní literatury

[13] �íha, J. a kol. Matematické modelování hydrodynamických a disperz-ních jev�. VUT Brno 1997.

6.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny

[14] Výrobce programu MATLAB - http://www.mathworks.com/

Documents

ALEŠ DRÁB HYDROINFORMATIKA Ilences.cz/domains/lences.cz/skola/subory/Skripta... · Zaínáme s MATLAB - 7 (34) - 2 Zaínáme s MATLAB Po spuštní aplikace Matlab bude vaše obrazovka