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La matematica a Como• Algebra Informatica Teorica• Analisi• Informatica• Geometria• Analisi Numerica Calcolo Scientifico
• Fisica Matematica Modellistica Fisica• Economia Matematica • Statistica
Sfuocamento di un segnale
T
Impulso Funzione di sfuocamento
Segnale vero Segnale sfuocato
T(segnale vero) = segnale sfuocato
],,[ 41
21
41T
Formulazione algebricaLa funzione di sfuocamento T è un’applicazione lineare!Siano• f il vettore contenente i campionamenti del segnale vero• g il vettore contenente i campionamenti del segnale sfuocato• T la matrice costruita a partire dallo sfuocamento di un impulsoIl vettore g è ottenuto mediante g = T*f
La matrice T dell’esempio è
121
121
121
121
4
1T
Una PSF più realistica
T
Impulso
Segnale vero Segnale sfuocato
T
Funzione di sfuocamento
Operatore di sfuocamentoLa matrice che opera lo sfuocamento è
123512172017125321
123512172017125321
123512172017125321
123512172017125321
100
1
T
Notazione stencil: [0.01, 0.02, 0.03, 0.05, 0.12, 0.17, 0.2, 0.17, 0.12, 0.05, 0.03, 0.02, 0.01]
Prodotto matrice-vettore
,: xAy ,
,,
,
,,,
nnn
n
aa
a
aaa
1
12
12111
A
nx
x
x
2
1
x
(n-1 somme + n prodotti) x n = 2n2-n operazioni
nnnnn
nn
nn
n xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
y
y
y
,,,
,,,
,,,
2211
2222112
1221111
2
1
y
Casi speciali ma importanti …In molte applicazioni:
• TAC• Immagini astronomiche• Simulazioni numeriche
la matrice T ha una struttura ben definita:
• Circolanti• Toeplitz• …
La struttura deve essere sfruttata per definire algoritmi
più veloci!
Matrici Circolanti
1
0
011
201
110
nm
mm
m
d
d
ttt
ttt
ttt
DFDGA ,
F e G matrici di Fourier
prodotto matrice- vettore in cmlog2m operazioniDivide et impera
z:=Gx, d:=Ft, z)F(dFDGxAxy m
Prodotto matrice-vettore con circolanti in 3cmlog2m operazioni
Matrici di Toeplitz
T
C
011
01
110
ttt
tt
ttt
m
m
A
0121
1
2
1
012
101
210
ttttt
t
t
ttt
ttt
ttt
C
Elementi costanti lungo le diagonali.
Ricostruzione di segnali → matrici di Toeplitz
Prodotto matrice-Prodotto matrice-vettore vettore
Esempio:
Soluzione: si utilizza C!
Circolante
Tx
C
0
0
1
nx
x
spazza-tura
Sfuocamento di un’immagine
T
121
242
121
16
1T
Impulso (stella) Funzione di sfuocamento
Immagine vera Immagine sfuocata
Ricostruzione di Immagini …
T(Immagine vera) = Immagine sfuocata
T T-1
Imaging Astronomico
Imaging Medico
Militari
Criminologia
Applicazioni
Il ruolo di un piccolo rumore …T~
(Immagine vera) = Immagine sfuocata + rumore
= Immagine osservata
T + µ
Problema: µ (il rumore) è piccolo ma T-1(µ) è grande.
T-1regolarizzazione
Soluzione: regolarizzazione (Tikhonov, Wavelets, ...).
Regolarizzazione Iterativa
gAf
Il problema può essere formalizzato dal sistema lineare
dove g rappresenta l’immagine osservata, f quella originale e A l’operatore di sfuocamento.
Un metodo iterativo costruisce una successione di approssimazioni f0, f1, f2, … tale che
.lim ff n
n
Poiché f = A-1g è inutilizzabile a causa del rumore bisogna arrestare il metodo iterativo dopo pochi passi senza raggiungere la convergenza.
Errore di RicostruzioneL’errore di ricostruzione e’ la differenza fra l’immagine vera e quella calcolata.
Un metodo iterativo nei
primi passi lavora dove “vive”
l’immagine e l’errore di
ricostruzione si riduce, poi passa a lavorare dove
“vive” il rumore e l’errore di
ricostruzione cresce.
Immagini ricostruite
Immagine vera Sfuocamento di un punto Immagine sfuocata + rumore = 1%
5 iterazioni 15 iterazioni 50 iterazioni
Ricostruzione
Altri Esempi …Immagini Vere Immagini Osservate Immagini Ricostruite
Ricerche veloci su Internet … l’esempio di Google
I criteri della ricerca
Criteri di base:
• Non fa distinzione fra maiuscole e minuscole
• Ignora gli accenti e le parole “comuni” (e, per, …)
• Ricerca tutti i termini richiesti
Ordinamento dei risultati:
• Non si limita al numero di occorrenze dei termini ricercati
• Esamina tutti gli aspetti del contenuto della pagina e delle
pagine ad essa correlate
• Assegna una priorità in base alla “vicinanza” dei termini ricercati
• PageRank: importanza e qualità di una pagina nel Web
Il Ranking delle Pagine Web: I
• ω{1, ..., N=1010}, ω indicizza le pagine• I(ω) = “importanza della pagina ω”
a) I(ω) cresce se c’è un link (una connessione) da α a ω
b) I(ω) cresce di più se I(α) è alto
c) I(ω) cresce di meno se α ha molti link
ωα Web
Il Ranking delle Pagine Web: II
• I(ω) =
• = [I(1), I(2), …, I(N)]
• A = [A(ω, α)], A(ω, α) =
• autovettore rispetto all’autovalore 1 di A ≥ 0
• Def.: x autovettore relativo all’autovalore λ se Ax=λx, x≠0.
dilink di numero
)(I
I
altrimenti 0
se dilink di numero
1
IAI
I
Un Esempio
000
0000
001
10
21
21
21
21
D
C
B
ADCBA
A
B
D
C
Web
C Num. Iter. A B C D
0.99 1925 0.4972 0.4966 0.0025 0.0037
0.95 377 0.4861 0.4830 0.0125 0.0184
0.85 119 0.4588 0.4502 0.0375 0.0534
0.75 68 0.4325 0.4191 0.0625 0.0859
Web e Algebra Lineare Numerica
• Un problema di Algebra Lineare Numerica di dimensione 1010 … (ed in continua crescita!).
• Relazioni con l’elegante Teoria delle Matrici non negative di Perron e Frobenius.
• Tecniche di estrapolazione vettoriale, partizionamento a blocchi (ricerche di struttura).
Quale Matematica?
• Matematica pura?
• Matematica applicata?
Il confine tra ciò che è profondo e ciò che è superficiale è più significativo del confine (del tutto arbitrario) tra Matematica pura e Matematica applicata.
La Matematica applicata non esiste … esistono invece le applicazioni della Matematica (parafrasando Pasteur sulla scienza).
