I TEST DI LOGICA

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Alberto Zanardo

Dipartimento di Matematica P. A.

Università di Padova

Licei Lioy e Pigafetta, Vicenza, 13 Gennaio 2011

DOVE TROVIAMO I TEST

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Corsi di laurea in: Astronomia – Biologia - Biologia Molecolare – Biotecnologie – Chimica - Chimica Industriale – Fisica – Informatica – Matematica - Ottica e Optometria - Scienza dei Materiali - Scienze e Tecnologie per i Beni Culturali - Scienze e Tecnologie per l'Ambiente - Scienze Naturali - Scienze Geologiche

Facoltà di Scienze MM FF NN

DOVE TROVIAMO I TEST

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Altre facoltà:

Ingegneria

Economia

Scienze Statistiche

RUOLO DEI TEST

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Valutazione di:

Conoscenze di base (syllabus)

Capacità di ragionamento (elaborazione di nozioni)

A volte uno stesso test valuta i due aspetti

Tra i test specificamente del secondo tipo troviamo quelli di “logica” (e spesso quelli di “aritmetica”)

LOGICA E RAGIONAMENTO

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A volte sì, a volte no

La Logica è la scienza del ragionamento corretto?

Nei test pretende di esserlo

Ci viene chiesto di fare un “ragionamento logico” per rispondere ad una domanda

LOGICA E RAGIONAMENTO

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Dobbiamo fare un “ragionamento logico” per rispondere risolvere un problema

Il contesto del problema è solo un ambiente (spesso artificiale) in cui collochiamo il problema, ma non interviene in nessun modo della soluzione.

Se tutti i tifosi dell’Inter sono bugiardi e Mario dice di essere tifoso dell’Inter, cosa possiamo concludere? ...

LOGICA E RAGIONAMENTO

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L’ovvia conseguenza è che nel cercare di risolvere il problema prescindiamo dal contesto.

C’è però un contesto dal quale non è facile prescindere: la lingua italiana

Il “ragionamento logico” che ci permette di risolvere il test viene formulato nella stessa lingua, con gli stessi termini, che usiamo nei ragionamenti di tutti i giorni, anche non rigorosi.

ESEMPIO

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Se Mario è tifoso dell’Inter, allora non ha detto la verità, ma allora non può essere tifoso dell’Inter ....

Queste espressioni hanno lo stesso significato in un “ragionamento logico” e nel senso comune?

Se tutti i tifosi dell’Inter sono bugiardi e Mario dice di essere tifoso dell’Inter, cosa possiamo concludere? ...

SE .... ALLORA, TUTTI, ESISTE, E, O, ...

CONFLITTI TRA LOGICA E SENSO COMUNE

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Se il poligono P è un quadrato, allora ha tutti i lati uguali

Se …. allora …

Se c’è il sole, allora vado al mare

Se finisco la lezione entro le 13, allora arrivo in tempo a casa

E se P non è un quadrato?

E se finisco alle 14?

E se piove?

RAGIONANDO “LOGICAMENTE”

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Se c’è il sole, allora vado al mare Da un punto di vista strettamente logico questa frase non dà informazioni su cosa faccio se non c’è il sole.

E’ quanto intendiamo nei discorsi di tutti i giorni?

Se c’è il sole, allora vado al mare, ma potrei andarci anche se non c’è il sole.

NO! E infatti diciamo:

SE .... ALLORA ....

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Come possiamo rendere falsa l’affermazione “Se piove, allora prendo l’ombrello”

In logica (classica) è sempre vera quando l’antecedente è falso.

Aspettiamo che piova .... Ma se non piove mai?

Per capire questo principio cambiamo prospettiva: vediamo quando un’implicazione è falsa.

SE .... ALLORA ....

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Perché l’insieme vuoto è contenuto in ogni insieme?

Se � non fosse contenuto nell’insieme X (arbitrario) allora .....

C’è una forte assunzione sottostante! Quale?

OGNI AFFERMAZIONE E’ VERA OPPURE FALSA

L’insieme A non è contenuto in B se esiste un elemento di A che non è elemento di B.

CONFLITTI TRA LOGICA E SENSO COMUNE

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In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali e sono minori di 90°

‘e’ (and, ∧, &)

Mi spoglio e faccio la doccia

Metto i guanti da forno e prendo la pentola bollente

Nel senso comune c’è spesso una dimensione temporale

In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono minori di 90° e sono uguali

CONFLITTI TRA LOGICA E SENSO COMUNE

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Considero il triangolo ABC, l’angolo in A è acuto oppure l’angolo in B è acuto.

‘o’ (or, ∨)

Vado al mare oppure metto in ordine il garage

Cambio macchina oppure faccio una lunga vacanza

VEL / AUT

CONFLITTI TRA LOGICA E SENSO COMUNE

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alcuni, tutti (∃, ∀)

Alcuni pesci vivono nell’acqua

Alcune biciclette hanno il cambio

Solo alcune biciclette hanno il cambio

Vado in piscina, do un’occhiata e dico: “alcuni bagnanti portano la cuffia”

CONFLITTI TRA LOGICA E SENSO COMUNE

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Un test per medicina: Se è vero che «alcune biciclette hanno gli ammortizzatori», allora è necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti. Quale?

Se comperi una bicicletta, questa può non avere gli ammortizzatori

Sarebbe stato meglio scrivere: Se è vero che «solo alcune biciclette hanno gli ammortizzatori», allora è necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti. Quale?

Le biciclette con gli ammortizzatori sono le migliori Anche se oggi non è così, un giorno tutte le biciclette avranno gli ammortizzatori Le biciclette con gli ammortizzatori costano di più Non può esistere una bicicletta senza ammortizzatori

ANALISI DEL TEST

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Se comperi una bicicletta, questa può non avere gli ammortizzatori

Se è vero che «alcune biciclette hanno gli ammortizzatori», allora è necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti. Quale?

alcune bici hanno amm. → alcune bici non hanno amm.

alcune bici non hanno amm. → alcune bici hanno amm.

alcune bici hanno amm. se e solo se alcune bici non hanno amm.

nessuna bici ha amm. se e solo se nessuna bici non ha amm.

ALTRO ESEMPIO

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Cosa rappresentano i "crediti formativi“?

A) Numeri che misurano il carico didattico dei singoli insegnamenti del corso B) Una misura del tempo di lavoro impiegato dallo studente per superare un determinato esame C) II numero di crediti tiene conto sia del numero di ore di lezione che del numero di ore di studio personale D) Le alternative A. B. e C. sono corrette

E) Quesito senza soluzione univoca o corretta

D) Le alternative A. B. e C. sono corrette

TEST MALPOSTO!

ALTRI ESEMPI

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Professore, bisogna studiare il capitolo sei o il capitolo sette? SI

Se hai fame, c’è del prosciutto in frigo. E’ un’implicazione?

Se qualcuno fa cadere il bicchiere, allora si rompe. Il bicchiere è rotto, quindi qualcuno l’ha fatto cadere. Sbagliato, ma ...

CONCLUSIONI

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Non sempre logica e senso comune vanno d’accordo

(questo vuol dire che il senso comune è sbagliato?)

Serve molta cautela nel preparare i test

Certi test meglio non darli

TEST DI WASON

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Le carte che su una faccia hanno una vocale, sull’altra faccia hanno un numero pari (implicazione nascosta)

E P 4 7

Quali carte controlliamo per vedere se la regola è verificata? (vogliamo il numero minimo di controlli)

TEST DI WASON

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Le carte che su una faccia hanno una vocale, sull’altra faccia hanno un numero pari

E P 4 7

SI NO NO SI

TEST DI WASON

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Chi ha meno di 16 anni, non può comperare alcolici. La polizia ferma 4 ragazzi.

Per chi è necessario un ulteriore controllo?

• Alberto ha più di 16 anni • Bruno ha meno di 16 anni • Carlo ha comperato alcolici • Dario non ha comperato alcolici

IL CONTESTO AIUTA

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“Nessun polinomio è scomponibile ...” o “qualche polinomio non è scompobibile ...”?

Qual è la negazione di “tutti i polinomi sono scomponibili in fattori di primo grado”?

Mario è un bambino di 5 anni che segue il calcio. Gli chiediamo: “è vero che tutti i giocatori dell’Inter sono italiani?”

Risposta: No! C’è ....