[Alain Gibaud, Michel Henry] Mécanique Du Point

SCIENCES SUP

Cours et exercices corrigs

SCIENCES SUP

2e dition

COURS DE PHYSIQUEMCANIQUE

DU POINT 2e dition

Alain Gibaud Michel Henry

A. G

IBA

UD

M

. HEN

RY

CO

UR

S DE PH

YSIQ

UE

MC

AN

IQU

E DU

POIN

TC

OU

RS

Licence 1re et 2e annes

Alain Gibaud Michel Henry

COURS DE PHYSIQUEMCANIQUE DU POINT

Cet ouvrage aborde l'ensemble de la mcanique du point etintroduit les concepts d'nergie et de puissance. Dans cette secondedition entirement actualise, une nouvelle rubrique dExercicesdapplication avec solution dtaille complte les applications etles nombreux exercices corrigs.Les deux premiers chapitres sont ddis la cinmatique du pointainsi quaux changements de rfrentiels. Ensuite les loisfondamentales de la mcanique sont prsentes ainsi que lesconcepts dnergie et de puissance et les oscillateurs libres et forcs.Un chapitre est consacr la caractrisation des rfrentiels nongalilens : cas du rfrentiel terrestre avec le poids dun corps etdu rfrentiel gocentrique avec le phnomne des mares. Lesdeux derniers chapitres sont consacrs au problme deux corps.Laccent est mis sur la notion de rfrentiel barycentrique.Les outils mathmatiques ncessaires la bonne comprhensiondun cours de physique et les notions de base de la mcaniquecleste sont prsents en fin douvrage.

MATHMATIQUES

PHYSIQUE

CHIMIE

SCIENCES DE LINGNIEUR

INFORMATIQUE

SCIENCES DE LA VIE

SCIENCES DE LA TERRE

1 2 3 4 5 6 7 8LICENCE MASTER DOCTORAT

6647754ISBN 978-2-10-050586-9 www.dunod.com

ALAIN GIBAUD

est professeur luniversitdu Maine.

MICHEL HENRY

est matre de confrences lIUFM des Pays de Loire.

Optique (Parisot/Le Boiteux) Mcanique du point

(Gibaud/Henry)

Mathmatiques pour laphysique (Noirot/Brouillet)

lectromagntisme 1 et 2(Cordier)

COURS DE PHYSIQUECe cours de physique prsente les grands domaines de la physiqueenseigns en 1re, 2e et/ou 3e annes de licence.
NordCompoFichier en pice jointe9782100505869_couverture.jpg

COURS DE PHYSIQUE

MCANIQUE DU POINT

Alain Gibaud

Professeur luniversit du Maine (Le Mans)

2

e

dition

Michel Henry

Agrg de physiqueMatre de confrences lIUFM des Pays de Loire (Le Mans)

M CANIQUE DU POINT Page I Mardi, 26. juin 2007 9:03 09

Illustration de couverture

:

Digital Vision

Dunod, Paris, 1999, 2007 pour la seconde ditionISBN 978-2 -10-050586-9

M CANIQUE DU POINT Page II Mardi, 26. juin 2007 9:03 09

AVANT-PROPOS

Le cours prsent dans ce livre est le fruit de plusieurs annes denseignement dispensaux tudiants de premire anne luniversit du Maine. Il sagit dun cours dintroduc-tion la mcanique du point et des systmes de points matriels. Notre souci au coursde la rdaction de cet ouvrage a t de nous rfrer aux connaissances acquises par lestudiants dans les classes du secondaire afin dassurer une transition la plus continue pos-sible.

La principale difficult que nous avons rencontre lors de ce cours a t certainementdordre mathmatique. La mcanique est une science qui exige de la rigueur et lesconcepts acquis lors de lapprentissage dans le secondaire sont ici repris de faon plusformelle et rigoureuse. Nous prsentons donc, en annexe 1, les outils mathmatiques quinous semblent ncessaires la bonne comprhension du cours de physique.

Le premier et le second chapitres sont consacrs la cinmatique du point ainsi quauxchangements de rfrentiels. Nous insistons plus particulirement sur la dfinition durfrentiel ; cette dfinition conditionne bien souvent la faon de traiter un problme etreste, bien des fois, mal comprise.

Nous prsentons ensuite les lois fondamentales de la mcanique en dcrivant les forces lesplus classiques susceptibles dintervenir dans les problmes de mcanique. Nous introdui-sons alors les concepts dnergie et de puissance avant de prsenter les oscillateurs libreset forcs.

La partie suivante montre que pour traiter un problme de mcanique dans un rfrentielnon galilen il est ncessaire dintroduire des pseudos forces appeles forces dinertie.Ltude du poids dun corps sur Terre met en vidence le fait que le rfrentiel terrestrenest pas galilen. Ltude du phnomne des mares conduit la mme conclusion pourle rfrentiel gocentrique.

Les deux derniers chapitres sont consacrs au problme deux corps. Laccent est missur la notion de rfrentiel barycentrique. Ltude de la trajectoire dun systme deuxcorps permet de retrouver les lois de Kepler auxquelles obissent les plantes du systmesolaire. Une prsentation de la mcanique cleste se trouve la fin du livre en annexe 2.

Cet ouvrage sadresse bien sr aux tudiants du premier cycle universitaire mais aussi ceux des classes prparatoires, du CAPES et de lagrgation. Nous esprons quil leur seraune aide prcieuse dans leur effort de comprhension de cette branche de la physique.

TABLE DES MATIRES

Avant-propos III

CHAPITRE 1. CINMATIQUE DU POINT 1

1. De la ncessit du rfrentiel 12. Vitesse dun point matriel 53. Acclration dun point matriel 94. Rcapitulatif 115. Exemples de mouvements 12

retenir 18Exercice dapplication avec solution dtaille 19Exercices 20Solutions 23

CHAPITRE 2. CHANGEMENTS DE RFRENTIELS 29

1. Mouvements dun rfrentiel par rapport un autre 292. tude de la vitesse 343. tude de lacclration 41

retenir 43Exercice dapplication avec solution dtaille 44Exercices 47Solutions 51

CHAPITRE 3. LOIS DE NEWTON ET RFRENTIELS GALILENS 57

1. Principe dinertie : premire loi de Newton 572. Principe de la dynamique : deuxime loi de Newton 623. Actions rciproques : troisime loi de Newton 654. Les forces 665. Applications 72

retenir 77Exercices dapplication avec solution dtaille 78Exercices 83Solutions 86

CHAPITRE 4. TRAVAIL, PUISSANCE, NERGIE 93

1. Travail dune force 932. Exemples de calcul du travail 953. Puissance dune force 984. nergie 985. tats lis dun systme mcaniquement isol 104

retenir 107

VI Mcanique du point

Exercices dapplication avec solution dtaille 109Exercices 121Solutions 121

CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MCANIQUES 125

1. Loscillateur harmonique 1252. quation diffrentielle 1273. Exemples doscillateurs harmoniques 1284. tude nergtique des oscillateurs 1305. Oscillateur mcanique amorti par frottements visqueux 1326. Analogie lectrique 1377. Oscillateur amorti par frottement solide 1378. Portrait de phase dun oscillateur 141


CHAPITRE 6. OSCILLATIONS FORCES, RSONANCE 155

1. Oscillations forces 1552. Solution de lquation diffrentielle 1583. Transfert de puissance 1634. Facteur de qualit 165

retenir 166Exercices dapplication avec solution dtaille 167

CHAPITRE 7. INTERACTION GRAVITATIONNELLE 175

1. Attraction universelle 1752. Champ de gravitation terrestre 1773. nergie potentielle de gravitation 1794. Applications 181

retenir 185

CHAPITRE 8. RFRENTIELS NON GALILENS 187

1. Introduction 1872. Loi de la dynamique dans un rfrentiel non galilen 1883. Exemples dapplication 1894. Dynamique terrestre 197


CHAPITRE 9. SYSTMES DEUX CORPS 227

1. lments cintiques 2272. Rfrentiel du centre de masse 2293. Relation fondamentale de la dynamique 2324. Proprits du mouvement 236

retenir 241

Table des matires VII

Exercices dapplication avec solution dtaille 242

CHAPITRE 10. TRAJECTOIRES DUN SYSTME DEUX CORPS 253

1. Rappels 2532. quation polaire de la trajectoire : Formule de Binet. 2543. Rsolution de la formule de Binet 2564. tude des trajectoires 2575. tude nergtique 2606. Trajectoires elliptiques : lois de Kepler 261


ANNEXE 1. RAPPEL DES OUTILS MATHMATIQUES 283

1. Scalaires et vecteurs 2832. Composantes dun vecteur 2863. Produit scalaire 2884. Produit vectoriel 2905. Drivation vectorielle 2936. Diffrentielle dune fonction 2947. Vecteur gradient dune fonction 3028. Intgrales et primitives 3049. Intgrales vectorielles 306

ANNEXE 2. INTRODUCTION LA MCANIQUE CLESTE 309

1. Historique 3092. Dfinitions 3113. La Voie Lacte 3124. Le Systme Solaire 3135. La dfinition du temps 3166. Temps et reprage de la longitude des toiles 3187. Reprage de laltitude du Soleil au cours de lanne 321

retenir 322

BIBLIOGRAPHIE 325

INDEX 326

CHAPITRE 1

CINMATIQUE DU POINT

Pr-requis Connatre les systmes de coordonnes cartsiennes, polaires et cylin-driques.

Savoir driver les vecteurs de la base polaire ou cylindrique. Savoir intgrer quelques fonctions lmentaires (polynmes, fonctions

trigonomtriques, exponentielle etc.).

Ces notions sont reprises en annexe, Rappel des outils mathmatiques.

Objectif I partir du vecteur acclration dun point, savoir retrouver le vecteurvitesse, les quations horaires du mouvement ainsi que lquation de latrajectoire de ce point.

I Connatre lexpression des vecteurs position, vitesse et acclration dansles diffrents systmes de coordonnes.

I Connatre la dfinition de quelques mouvements particuliers traits enfin de chapitre.

I Lobjet de la cinmatique du point est dtudier le mouvement dun pointau cours du temps indpendamment des causes qui produisent ce mou-vement. Les objectifs sont la dtermination des grandeurs cinmatiquestelles que les vecteurs acclration, vitesse, position et lquation horairede la trajectoire de ce point par rapport un rfrentiel choisi par lob-servateur.

1. DE LA NCESSIT DU RFRENTIEL

Ltude du mouvement dun point implique ncessairement la prsence simultane dupoint et dun observateur qui analyse le mouvement de ce point. Lobservateur est le pilierde ltude du mouvement car selon sa position par rapport lobjet en mouvement sesconclusions quant la nature du mouvement seront trs variables. Ainsi, dans un TGV quise dplace vitesse constante, un passager qui lche verticalement une bille conclut quela bille a un mouvement rectiligne. La personne qui est sur le quai et qui observe la mmescne conclut que le mouvement nest pas rectiligne et pourtant il sagit bien de la mmebille. Un mouvement est donc toujours li un observateur. On dit quil est relatif.

2 Mcanique du point

Le mouvement dun objet ne pourra se faire que par rapport une rfrence. Il est doncncessaire de dfinir ce que lon appelle un rfrentiel ou solide de rfrence dans lequellobservateur est fixe. On entend par solide de rfrence un ensemble de points tous fixesles uns par rapport aux autres. Par exemple, dans le cas cit plus haut, on peut choisirle TGV comme rfrentiel, lobservateur tant assis lintrieur, ou bien le rfrentielterrestre (constitu par tout ce qui est fixe par rapport la Terre) pour la personne restesur le quai.

La figure 1.1 illustre bien quun mouvement est relatif un rfrentiel choisi. Ainsi unobservateur situ au sommet dune montagne conclut que le pilote dun avion se dplacetrs vite. Lobservateur situ sur laile conclut de faon trs diffrente que le pilote est bieninstall au repos. Nous concluons donc que :

Le mouvement dun point est toujours relatif un rfrentiel.

Suis-je au repos ouen mouvement ?

Quelle chance ! Il estbien install, au repos

A cette vitesse, ils auront vitefait le tour de la Terre !

Figure 1.1 Relativit du mouvement.

Pour caractriser le mouvement de lobjet, lobservateur a ensuite besoin de se reprerdans lespace R3 qui lenvironne. Il lui faut pour dterminer la nature du mouvementconnatre la position du point au cours du temps, cest--dire pouvoir rpondre aux ques-tions suivantes :

O se trouve le point ?

Quand est-il pass cette position ?

Pour pouvoir rpondre la question o ?, il se choisit un repre despace. Le repre des-pace est dfini par une origine O qui est fixe dans le rfrentiel et des axes de rfrence(x, y, z) qui permettent lobservateur de juger dans quelle direction se trouve lobjet. Cesaxes sont eux-mmes lis au rfrentiel. En toute logique, lorigine O du repre doit treplace sur lobservateur. Aussi dans le cas de la figure 1.1, le rfrentiel est le rfrentielmontagne avec une origine O prise sur lobservateur qui sy trouve. Cet observateur choisitses axes x, y, z comme il lentend afin de reprer la position dun point de lavion.

Pour un rfrentiel donn, il existe autant de repres despace que de choix dorigineet daxes possibles, cest--dire une infinit. Par contre, un repre despace donn necorrespond quun seul rfrentiel constitu par tout ce qui est fixe par rapport ce repre.

Cinmatique du point 3

Pour pouvoir rpondre la question quand ?, il faut ajouter un repre de temps, cest--dire une grandeur qui est la variable de temps. Cette variable est continue et croissante,ce qui traduit lirrversibilit du temps. Elle est mesure au moyen dune horloge ou chro-nomtre partir dune origine des temps fixe par lobservateur et dune dure unitairefixant une chronologie.

chaque instant, on associe un nombre rel appel date qui correspond la dure couledepuis linstant origine.

Axe des temps

Instants

Dates

Origine

0

Instant 1 Instant 2

t1 t2Unit detemps

Figure 1.2 Repre de temps. La dure entre les deux instants 1 et 2correspond la diffrence de leur date t2 t1.

En mcanique classique ou newtonienne, on postule que le repre de temps est le mmepour tous les rfrentiels et que le temps scoule de la mme manire dans des rfren-tiels en mouvement les uns par rapport aux autres. Ce principe duniversalit du tempsnest plus applicable dans le cadre de la mcanique relativiste. Notons que la mcaniquerelativiste est utilise ds que la vitesse v dun objet devient voisine de la clrit c dela lumire dans le vide. La transition entre les deux mcaniques est fixe en gnral v = c /10.

Pour terminer nous signalons quun rfrentiel peut tre caractris par son nom. Parexemple, il est trs frquent dutiliser pour des observations faites la surface de la Terrele rfrentiel terrestre. Il est clair alors que ltude se fera par rapport la Terre ou parrapport tout ce qui est fixe sur Terre. On distingue plus particulirement les rfrentielsde Copernic (figure 1.3), gocentrique (figure 1.3) et terrestre dfinis par :

Le rfrentiel de Copernic origine : centre du Systme Solaire (voisin du centre dinertie du Soleil) ; axes dirigs vers les toiles situes dans des directions fixes par rapport au So-

leil ; proprit : suppos galilen (voir chapitre 3).

Le rfrentiel gocentrique origine : centre de la Terre ; axes dirigs paralllement ceux du rfrentiel de Copernic.

Le rfrentiel terrestre origine : point de la surface de la Terre ; axes fixes par rapport la Terre.

4 Mcanique du point

S

T

Rfrentiel deCopernic

RfrentielGocentrique

Figure 1.3 Rfrentiels de Copernic et gocentrique. Il faut noter que lesaxes du rfrentiel gocentrique restent parallles ceux du rfrentiel de

Copernic.

Au lieu de caractriser un rfrentiel par son nom, on convient souvent de le reprsenterpar le symbole R associ un repre despace et de temps. La notation suivante est dusagecourant :

rfrentiel R(O, x, y, z, t)

Pour une tude plus prcise du mouvement dun point mobile dans un rfrentiel R on estamen dfinir sa position mais aussi des grandeurs vectorielles comme le vecteur vitesseou acclration de ce point. Il faudra donc faire un choix de systme de coordonnes(voir annexe : rappel des outils mathmatiques) et utiliser la base correspondante :

(x, y, z) en coordonnes cartsiennes avec la base(u x, u y, u z ) qui est une base

dont les vecteurs sont fixes dans le repre.

(r, u, z) en coordonnes cylindriques avec la base(ur,uu,k

)qui est une base

dont les deux premiers vecteurs voient leur direction varier au cours du temps.

(r, u, w) en coordonnes sphriques avec la base mobile(ur,uu,uw

).

Il est important de noter que suivant le choix effectu, la base utilise, comme outil ma-thmatique, peut tre fixe ou mobile dans le rfrentiel donn. Ceci a des consquencesimportantes lorsquil sagit de driver des vecteurs. Pour viter toute erreur ou confusion,on notera, chaque fois quune tude est entreprise, le choix de la base en prcisant sielle est fixe ou pas.

Lassociation de lorigine dun repre despace, des axes du repre despace et de la chro-nologie dfinit le rfrentiel dtude. On notera ensuite la base de projections utilise enprcisant si elle est fixe ou pas dans le rfrentiel. On notera donc un rfrentiel dtudesous la forme prsente sur la figure 1.4.

R(O,x,y,z, t ) avec ( uzuyux ,, ) fixe

AxesBase de projectionschoisie (fixe ou mobile)

ChronologieOrigine

Figure 1.4 Rfrentiel dtude.


On appelle rfrentiel un solide de rfrence constitu de lensemble des pointstous fixes les uns par rapport aux autres.

Un rfrentiel peut tre dfini par un de ses repres despace muni dune origine, de troisaxes et dune chronologie : R(O, x, y, z, t)

Pour une tude plus prcise, on notera, la suite, la base utilise en prcisant si elle estfixe ou pas : R(O, x, y, z, t) avec (base fixe ou mobile)

Si un rfrentiel est dfini par un de ses repres, on prendra soin de noter : lorigine : O ; les axes du rfrentiel : x, y, z ; le temps : t.On prcisera ensuite, lorsque ltude le ncessite, la base de projections dont on indiquerasi elle est fixe ou non dans R.

2. VITESSE DUN POINT MATRIEL

2.1. Dfinition

Soit un point M mobile dans un rfrentiel R(O, x, y, z, t) avec(u x,u y,u z ) fixe.

x

y

z

Oux

M(t)uz

uy

M (t+dt)

Figure 1.5 Mouvement dun point M dans le rfrentiel R.

On appelle vitesse du point M par rapport R la drive du vecteur positionOM du point

M par rapport au temps1, soit :

v M/R =dOMd t

Cette dfinition est la seule qui reste toujours valable quel que soit le problme considr.Dun point de vue pratique, le calcul du vecteur vitesse se fait en considrant le dplace-

ment lmentaireMM du point M entre les instants t et t + d t, qui nest rien dautre que

le vecteur dOM =

OM OM =

MM (annexe 1, 6.5.).

1. La notation d / d t est qualifie de notation de Leibniz.

6 Mcanique du point

2.2. Expression de la vitesse en coordonnes cartsiennes

Lorsque le repre dans lequel le mouvement est tudi est cartsien, la position du pointM scrit :

OM = xu x + yu y + zu z

Les vecteurs(u x,u y,u z ) sont constants et la drive de la position conduit :

v M/R =dOMd t

=d(xu x + yu y + zu z)

d t=

d xd t

u x +d yd t

u y +d zd t

u z

Lcriture prcdente peut tre condense en utilisant les variables surmontes dun pointpour dcrire la drivation temporelle. On crit alors la vitesse de la faon suivante :

v M/R = xu x + yu y + zu z

2.3. Vitesse en coordonnes polaires ou cylindriques

On appelle coordonnes cylindriques des coordonnes relatives une base tournante(u r,u u,u z) autour de laxe z dans le rfrentiel R. Les coordonnes sont dites cylin-driques si elles font intervenir une coordonne z en dehors du plan (O, x, y) et polairesdans le cas contraire.

x

y

O

M

u

u

u

u

u

z

x

y

M

ux

ux

uz

uy

uy

u

u

u

(a) (b)

O

Figure 1.6 Systme de cordonnes cylindriques (a) et polaires (b).

En gnral, la base(u r,u u,u z) est reprsente au point M considr mais elle peut

tout aussi bien tre place en O.

Si le point M se dplace dans le plan xOy (figure 1.6b), il peut tre repr par ses coordon-

nes polaires r = OM et la position angulaire u = (u x,OM).

Dans la base mobile(u r,u u,u z), la position du point M est alors dfinie par le vecteur :

OM = ru r


Il est impratif de remarquer que la base(u r,u u,u z) est une base orthonorme et que

les vecteurs u r,u u sont des vecteurs mobiles et donc variables dans le temps, contrai-rement aux vecteurs u x,u y,u z qui eux sont fixes.En appliquant la dfinition de la vitesse, il est possible dexprimer le vecteur vitesse dupoint M dans la base mobile, soit :

v M/R =dOMd t

=d(ru r)

d t=

d rd t

u r + rdu r

d t

Le calcul de la vitesse peut se faire en utilisant le thorme du vecteur unitaire tournant(annexe 1, 5.2.) qui impose que :

du rd t

= u ud ud t

= uu u

ce qui engendre quen coordonnes polaires :

v M/R = ru r + ruu u

En coordonnes cylindriques (figure 1.6a), il suffit de rajouter la troisime composantesuivant laxe Oz :

OM = ru r + zu z

Lexpression du vecteur vitesse est alors obtenue en ajoutant la composante suivant u z :

v M/R = ru r + ruu u + zu z

Lutilisation des coordonnes cylindriques (ou polaires) est apprciable ds que lemouvement du point M est curviligne (circulaire ou elliptique).

Le vecteur vitesse que nous avons calcul et exprim dans la base polaire reprsentela vitesse du point par rapport au rfrentiel R. Il sagit bien du mme vecteur quelon exprime dans la base cartsienne par :

vM/R = x u x + y u y

2.4. Vitesse dans la base de Frenet

Il est galement possible de dterminer la vitesse du point M dans le rfrentiel R enutilisant une nouvelle base appele base de Frenet. La base de Frenet est une base localequi se dplace avec le point M. Elle est utilise lorsque le mouvement du point M estcurviligne. Elle fait intervenir le cercle osculateur la trajectoire du point M, cest--direle cercle qui est tangent localement la trajectoire du point M. Lun des vecteurs de baseest tangent la trajectoire et est orient dans le sens positif donn la trajectoire, lautrevecteur est dirig selon le rayon de courbure de la trajectoire, vers le centre du cercleosculateur.

8 Mcanique du point

+

tene

M

C

x

y

Trajectoire du point M

O

Figure 1.7 Abscisse curviligne et base de Frenet.

La vitesse du point M est par dfinition :

v = dOMd t

=dOMd s

d sd t

avec s =

VM (mesure algbrique sur la courbe de la distance VM).

Lorsque lon fait varier de faon lmentaire la position du point M en dcrivant la trajec-toire, labscisse curviligne du point M passe de s s + d s entre linstant t et linstant t + d t.Le dplacement lmentaire du point M scrit donc :

x

M

M

O

s

tey

s+ds

Figure 1.8 Prsentation du dplacement lmentaire sur la trajectoire curviligne.

dOM =

MM = d se t

ce qui permet dcrire que la vitesse dans la base de Frenet est :

v M/R =d sd t

e t = se t

Remarque. Le vecteur unitaire tangent la trajectoire peut tre dtermin analytiquement partir de lquation ci-dessus :

e t =dOMd s


3. ACCLRATION DUN POINT MATRIEL

3.1. DfinitionOn appelle acclration dun point matriel M par rapport un rfrentiel R la drivedu vecteur vitesse par rapport au temps, soit :

a M/R =dv M/R

d t=

dd t

(dOMd t

) =d2

OM

d t2

Lacclration est aussi la drive seconde de la position par rapport au temps.

3.2. Expression en coordonnes cartsiennesConsidrons une base orthonorme cartsienne

(O,u x,u y,u z

)du rfrentiel R servant

dfinir la position du point M. Lacclration du point M dans cette base scrit, puisqueles vecteurs de base u x,u y,u z sont constants :

a M/R =dv M/R

d t=

d2OM

d t2= xu x + yu y + zu z

avec la notation suivante : x =d2 xd t2

.

3.3. Expression en coordonnes polaires ou cylindriquesSi lon utilise comme base de rfrence du rfrentiel la base polaire

(u r,u u) qui est unebase qui tourne avec la position du point M dans le plan (xOy), nous avons montr que lavitesse dans cette base scrit : v M/R = ru r + ruu uLacclration du point M par rapport au rfrentiel R sexprime dans cette base par :

a M/R =dv M/R

d t=

d(ru r + ruu u)d t

= ru r + rdu r

d t+ ruu u + ruu u + ru

du ud t

RMv /

u

u

y

x

RMa

O

Figure 1.9 Vecteurs vitesse etacclration en coordonnes polaires.

En utilisant le thorme du vecteur uni-taire tournant, il vient :a M/R = (r ru2)u r + (2ru + ru)u u

Lacclration du point M dans cette basea deux composantes : une composante ra-diale (suivant u r) et une composante or-thoradiale (suivant u u).En coordonnes polaires, le vecteur acc-lration scrit :a M/R = (r ru2)u r + (2ru + ru)u u

En coordonnes cylindriques, il suffit de rajouter la troisime composante suivant laxe Oz :v M/R = ru r + ruu u + zu z

Lexpression du vecteur acclration est obtenue en ajoutant la composante z suivant u z :a M/R = (r ru2)u r + 2(ru + ru)u u + zu z

10 Mcanique du point

3.4. Expression dans la base de FrenetLacclration du point M peut galement sexprimer dans la base de Frenet. Dans cettebase, la vitesse scrit : v M/R = se tce qui entrane pour lacclration :

a M/R = se t + sde td t

un instant t, au point M de la trajectoire, le vecteur de base fait un angle a avec ladirection de laxe des x. linstant t + d t, ce vecteur tourne dun angle d a (figure 1.10).

M

x

y

C

d

ne

Trajectoire

dds

te

+

Figure 1.10 Base de Frenet et dplacement lmentaire.

La drive, par rapport au temps, de ce vecteur unitaire est donc donne par :

de td t

= ae n

De plus on a , avec R = rayon du cercle osculateur :

d s = CM d a = R d a

soit :d ad t

= a =1R

d sd t

=1R

s

On obtient donc :

sde td t

= sae n =s2

Re n =

v2M/RR

e nce qui conduit :

a M/R = se t +v2M/R

Re n

Remarques On pourra vrifier que ce rsultat est toujours vrai quelle que soit la concavit de latrajectoire. La composante normale tant toujours positive, le vecteur acclration est toujourstourn vers la concavit de la trajectoire au point considr.


4. RCAPITULATIF

Nous prsentons dans le tableau suivant le rcapitulatif des expressions que nous avonsintroduites prcdemment.

Base Position Vitesse Acclration

Cartsienne

O,u x,u y,u zOM = xu x+ yu y+ zu z vM/R = xu x+ yu y+ zu z aM/R = xu x+ yu y+ zu z

Cylindrique

O,ur,uu,u zM = rur + zu z vM/R = rur + ruuu + zu z aM/R =

(r ru2)ur

(2ru + ru)uuzu z

Base de Frenet

V;et,en s = VM vM/R = set = vet aM/R = set +

v2

Ren

uz

M(t)

dx

y

z

M (t+dt)

O

uzdt

d =

Figure 1.11 Langle u crot au cours dutemps donc la valeur algbrique de la

vitesse angulaire est positive et le vecteurvitesse angulaire est dirig dans le sens des

z positifs.

Remarque. Il est galement possible de d-finir, partir de la position angulaire dunpoint M se dplaant dans le plan O, x, y, levecteur vitesse angulaire v = uu z et le vecteuracclration angulaire d

vd t = u

u z. Ces vecteurssont perpendiculaires au plan dans lequel sefait le mouvement de M.

Le signe de u (et donc le sens du vecteurv ) permet de savoir dans quel sens le sys-tme tourne en appliquant la rgle habituelledu tire-bouchon (voir annexe). La figure 1.11illustre ce propos ; le point M tourne dans lesens trigonomtrique et le tire bouchon quitourne dans ce sens se dplace dans le sensdes z > 0. Le vecteur vitesse angulaire estdonc orient dans le mme sens que u z.Le mouvement est acclr si |u| crot avec letemps cest--dire si u2 est une fonction crois-sante du temps. La drive 2uu doit tre positive. Ltude du signe du produit uu indiquerasi le mouvement est acclr (uu > 0, les deux vecteurs vitesse et acclration angulairesont le mme sens) ou dclr (uu < 0, les deux vecteurs sont alors de sens contraire).

Encart 1.1. Les quations diffrentielles du mouvement

Ltude du mouvement dun point matriel a pour but de dterminer les quationshoraires de la trajectoire, cest--dire la loi dvolution des composantes de la positiondu point matriel en fonction du temps. Les quations horaires de la trajectoire ne


peuvent tre obtenues que si lon connat au pralable lacclration de ce point. Cesten faisant le bilan des actions qui agissent sur le point matriel que lon dtermine,par la relation fondamentale de la dynamique, lacclration du point matriel. Onobtient alors lquation diffrentielle du mouvement du point matriel, cest--direune quation qui relie lacclration, la vitesse et la position instantane du point la variable t. Nous distinguerons plusieurs types dquations diffrentielles selon leursformes. titre dexemple non exhaustif, nous trouvons les quations diffrentiellessuivantes :

x = 0 ; x + ax = 0 ; x + ax + bx = 0

La dernire quation est sans doute lune des quations les plus connues de la physiquepuisquon la rencontre dans tous les problmes doscillateurs, que ce soit en mcaniqueou en lectricit. Cette quation fait intervenir seulement la variable x ainsi que ses d-rives. Elle est qualifie de linaire car si la variable x est multiplie par une constanteil en va de mme pour ses drives, ce qui fait que la forme de lquation nest pas mo-difie si elle est multiplie par une constante. Sa rsolution ne pose pas de difficultsparticulires. Il faut cependant noter que ce type dquation rsulte dune modli-sation souvent simplifie de phnomnes physiques et que la ralit est parfois pluscomplexe. Les problmes rels font souvent appel des quations diffrentielles nonlinaires qui associent par exemple la variable x une puissance n > 1 ses drives,comme lquation suivante :

x + ax3 = 0

On voit alors que, si la variable x est multiplie par une constante, lquation changede forme. Dans de tels cas lutilisation de lordinateur devient le seul recours pos-sible pour dterminer la solution qui dpend trs fortement des conditions initialesdu mouvement ( effet papillon ).

partir de lquation diffrentielle du mouvement du point, on dtermine les qua-tions horaires du mouvement. Il importe de noter que gnralement il existe autantdquations diffrentielles quil y a de variables de position dans le problme. Lob-tention des quations horaires du mouvement se fait par intgration des quationsdiffrentielles.

5. EXEMPLES DE MOUVEMENTS

5.1. Mouvements rectilignesa) Le mouvement rectiligne uniforme

O

M

v = cste

x

Figure 1.12 Mouvement rectiligneuniforme ; le point M se dplace sur

une droite vitesse constante.

Un mouvement dun point matriel est ditrectiligne uniforme si le point matriel sedplace vecteur vitesse constant.

Mouvement rectiligne uniforme v = cste


Le vecteur vitesse tant constant, le mouvement est rectiligne car la vitesse est tangente latrajectoire. La droite sur laquelle le point se dplace est assimile laxe des x. Lquationdiffrentielle du mouvement scrit alors :

v = xu x = Cu x x = C

ce qui conduit lquation horaire suivante :

x = Ct + x0

b) Le mouvement uniformment vari

Un mouvement est dit rectiligne uniformment vari si le vecteur acclration est constantet la trajectoire rectiligne.

Mouvement rectiligne uniformment vari a = cste et trajectoire rectiligne

Si le mouvement est rectiligne, il est commode de se fixer comme axe du mouvement laxedes x. On aura donc :

OM = xu x = v = xu x = a = xu x

eta = xu x = Cu x

Par intgration de cette quation nous obtenons la vitesse du point M :

v = x = Ct + B

ce qui, par une nouvelle intgration, conduit lquation horaire du mouvement :

x =12

Ct2 + Bt + D

Les constantes B et D qui sont apparues dans les deux intgrations successives, sont d-termines par les conditions initiales du mouvement du point M. Ainsi, si le point M a unevitesse nulle et est en x = xo t = 0, les constantes B et D deviennent B = 0 et D = xo etlquation horaire du mouvement scrit alors :

x =12

Ct2 + xo

Remarques. Le mouvement est uniformment acclr si la norme du vecteur vitesse estune fonction croissante de t, soit v2 fonction croissante. La drive de v2 doit donc trepositive. La condition sera :

d v2

d t> 0 = 2 v.d v

d t> 0

Ltude du signe du produit de la vitesse par lacclration permettra de prciser si lemouvement est acclr (x . x > 0) ou retard (x . x < 0).


Avoir un vecteur acclration constant ne suffit pas pour dire que le mouvement est recti-ligne. Il faut aussi que le vecteur vitesse ait la mme direction que le vecteur acclration.Dans le cas contraire, on obtient un mouvement parabolique qui est trait la fin de cechapitre.

Encart 1.2. Un mouvement plus complexeNous considrons maintenant le cas dun mouvement rectiligne plus complexe danslequel nous supposons que lacclration est de la forme :

x = pt

o p est une constante.

Lacclration est variable dans le temps et nous recherchons lquation horaire dumouvement. Nous effectuons donc deux intgrations successives qui nous conduisentdune part la vitesse :

x = pt = d v = pt d t = v =

pt d t

soit

v = pt2

2+ q = x

et dautre part la position :

x = pt3

6+ qt + r

Comme toujours les constantes dintgration q et r sont dtermines par les conditionsinitiales du mouvement qui, si elles se rsument x = 0 et v = 0 t = 0, conduisent :

x = pt3

6

c) Mouvement rectiligne sinusodal

x(t)

t

Xm

Figure 1.13 Reprsentation du mouvementsinusodal dans le temps.

Le mouvement dun point M est ditrectiligne sinusodal si, se produisantsur un axe Ox, labscisse x du point Mscrit :

x = Xm cos(vt + w)

Le terme vt + w est appel phase linstant t avec w la phase loriginedes dates (t = 0). Le terme Xm corres-pond lamplitude du mouvement, xvariant sinusodalement de Xm Xmcomme le montre la figure 1.13. La vi-tesse a pour expression :

v = x = Xm sin(vt + w)


et lacclration :a = x = v2Xm cos(vt + w)

Lquation diffrentielle du mouvement est donc

x + v2x = 0

Cette quation correspond lquation diffrentielle du second ordre dun oscillateur har-monique.

Remarque. La solution de cette quation diffrentielle peut scrire de diffrentes faons,toutes quivalentes. On a :

x = Xm cos(vt + w) = Xm sin(vt + w) = A sin vt + B cos vt

En utilisant les relations trigonomtriques usuelles, on obtient trs simplement :

w = w + p/2 ; A = Xm sin w ; B = Xm cos w.

5.2. Mouvement circulaire uniformeu

y

x

M

u

RMa

R

Mv

R

O

Figure 1.14 Mouvementcirculaire uniforme.

Le mouvement dun point est dit circulaire uni-forme si : le point se dplace sur un cercle ; sa vitesse angulaire de rotation est constante.

Lquation diffrentielle du mouvement est donnepar :

d ud t

= v = cste

ce qui conduit par intgration

u = vt + uo

Les caractristiques cinmatiques du mouvement circulaire uniforme peuvent se dduiredu schma de la figure 1.14 et sont donnes par :

OM(t) = ru r(t) = r cos uu x + r sin uu y

v (t) =d(ru r(t)

)d t

= ruu u(t)

a (t) = dv (t)d t

= ru2u r(t)

Nous remarquons donc que le mouvement circulaire uniforme est un mouvement acclrdont lacclration est centripte. En remarquant que u u = u z u r (annexe 1, 4.) onpeut donner une expression du vecteur vitesse indpendante de la base choisie. En effeton obtient :

v (t) = ruu u(t) = ruu z u r(t) = uu z ru r(t) = v OM(t)


Dans cette expression v est le vecteur vitesse angulaire. Cette relation est valable pourtout mouvement circulaire. On obtient de mme pour le vecteur acclration :

a (t) = v (v OM(t)) = v v (t)

Ce rsultat peut tre obtenu directement en drivant le vecteur vitesse exprim sous formedun produit vectoriel

a (t) = dv (t)d t

=d(v OM(t))

d t=

d vd t

OM(t) + v dOM(t)d t

Si le mouvement est circulaire uniforme, le vecteur vitesse angulaire v est un vecteurconstant. Sa drive tant nulle, on retrouve bien lexpression du vecteur acclration.

5.3. Le mouvement hlicodal

O

x

y

z

M

Figure 1.15 Illustration dunmouvement hlicodal.

Le mouvement hlicodal est la combinaison dunmouvement de translation rectiligne uniforme se-lon laxe des z et dun mouvement circulaire uni-forme dans le plan xOy.

Les quations horaires du mouvement selon lestrois axes x, y, z du rfrentiel cartsien sont :

x(t) = R cos vt ; y(t) = R sin vt ; z(t) = vot

Il est facile de dterminer par drivations succes-sives les composantes du vecteur vitesse et du vec-teur acclration du point dans cette base :

v M/R = Rv sin vtRv cos vtvo a M/R

Rv2 cos vtRv2 sin vt

0

De mme, les expressions de la vitesse et de lacclration dans la base cylindrique sontdonnes par :

v M/R = 0Rvv0 a M/R

Rv2

00

5.4. Le mouvement parabolique

Supposons que le vecteur acclration soit un vecteur constant et qu linstant t = 0 levecteur vitesse v o soit donn. Le choix du repre tant libre, nous pouvons dcider de ledfinir partir des donnes du problme. Nous faisons le choix suivant pour des raisonsde bon sens (figure 1.16) : origine du repre : position du point t = 0 ; axe z suivant le vecteur acclration, soit a = aou z;


axe x perpendiculaire laxe z et dans le plan contenant a et v o. On aura alors :

v o = voxu x + vozu z

axe y dfini de sorte que u x,u y,u z forment une base orthonorme directe.

On obtient, par intgrations successives et en tenant compte des conditions initiales :

a M/R

00ao = v M/R vox0aot + voz

soit

OM =

x = voxt + xo = voxt

y = yo = 0z = 12 aot

2 + vozt + zo = 12 aot2 + voz

Dans le cas o vo = 0, on retrouve le mouvement rectiligne uniformment vari suivantlaxe des z.

Pour vox = 0, le mouvement est un mouvement plan, dans le plan dfini par le vecteuracclration et le vecteur vitesse linstant t = 0.

Le mouvement projet suivant laxe des x est un mouvement uniforme de vitesse vox .

Le mouvement projet suivant laxe des z est uniformment vari, dacclrationconstante ao .

En liminant la variable t entre les deux quations horaires du mouvement, on obtientlquation de la trajectoire :

t =x

voxet z =

12

aox2

v2ox+ voz

xvox

Si a est langle que fait le vecteur vitesse vo avec laxe des x et vo la norme de ce vecteurvitesse, on peut encore crire :

z =12

aox2

v2o cos2 a+ x tan a (1.1)

La trajectoire est une portion de parabole.

La figure 1.16 reprsente la trajectoire dun projectile pour lequel le vecteur acclrationvaut :

a = g = gu z = ao = g

o g est lacclration de la pesanteur.

La flche h correspond laltitude maximale que peut atteindre le point mobile. La ported correspond la distance maximale que peut atteindre le point lorsque quil revient lordonne z = 0.


ov

z

x

a

O

uzaa o=

uz

ux

La flche h

La porte d

Figure 1.16 Chute parabolique. Lacclration correspond ici lacclration de la pesanteur.

a) Calcul de la porte

z = 0 = x = 0 et x = d = v2o

ao2 sin a cos a =

v2og

sin 2a

La porte est maximale pour 2a = p/2, soit pour un angle a = p/4 = 45 (il importede noter que ce rsultat nest valide que si lon part dune altitude de lancement z = 0).

b) Calcul de la flche

Elle peut tre obtenue de diffrentes faons. On peut rechercher, par exemple, lordonnecorrespondant labscisse x = d/2. On obtient alors :

h =v2o2g

sin2 a

RETENIR

Ltude du mouvement dun point ncessite un rfrentiel caractris par :

R(O,x,y,z, t ) avec ( uzuyux ,, ) fixe

AxesBase de projectionschoisie (fixe ou mobile)

ChronologieOrigine

Expressions des vecteurs positionOM, vitesse v = d

OMd t et acclration

a = d vd t =d2

OM

d t2 dans les diffrents systmes de coordonnes.


Coordonnes Cartsiennes Cylindriques Frenet

Base(u x,u y,u z) (u r,u u,u z) (e t,e n)

PositionOM

[xyz

] [r0z

]s =

VM

Vitesse v M/R

[xyz

] rruz

se t = ve tAcclration a M/R

[xyz

] (r ru2)(2ru + ru)z

se tv2M/RR

e n

Diffrents mouvements simples :

Mouvement rectiligne uniforme v = cste. Mouvement rectiligne uniformment vari a = cste et a et v ont mme

direction. Mouvement circulaire uniforme v = u = cste et acclration normale et centri-

pte a = v2R = v2

R .

EXERCICE DAPPLICATION AVEC SOLUTION DTAILLE

Cinmatique

Dans un repre cartsien (O, x, y, z), muni de la base (u x,u y,u z), un point M enmouvement a pour quations horaires

x = 1 + cos ty = sin t

z = 0(units du systme international)

1) Dterminer lquation de la trajectoire et montrer que cest un cercle dont le centreC est sur laxe Ox (OC = +1 m) et dont le rayon est R = 1m.

2) Exprimer le vecteur vitesseV . Prciser sa direction par rapport la trajectoire.

Donner la valeur de la vitesse V du point M et montrer que le mouvement est uniforme.

3) Exprimer le vecteur vitesse angulaire v (ou vecteur rotation). Donner la valeurde v.

4) Exprimer le vecteur acclration a . Le comparer avec le vecteur CM. Que peut-ondire de ce vecteur par rapport au vecteur vitesse

V et par rapport la trajectoire.

Donner la valeur de a.


5) Reprsenter la trajectoire, le vecteur vitesse angulaire v , le vecteur vitesse V ainsique le vecteur acclration a en un point M quelconque.

Solution1) (x 1)2 + y2 = cos2 t + sin2 t = 1 trajectoire est un cercle de centre xo = 1 m etyo = 0 soit

OC = u x et de rayon R = 1 m (dans le plan Oxy).

2)

x = sin ty = cos tz = 0

V = sin tu x + cos tu y V = sin2 t + cos2 t = 1 m.s1.

La vitesse est constante, le mouvement est donc uniforme. Le vecteur vitesse est tan-gent la trajectoire circulaire (perpendiculaire au rayon correspondant).

3) v = v.u z, v =VR

= 1 rad.s1

4)

x = cos ty = sin tz = 0

a = (cos t)u x (sin t)u y.

Ce vecteur est normal et centripte (mouvementcirculaire uniforme) dirig de M vers C. Ce vec-teur est perpendiculaire au vecteur vitesse.

CM =

OM OC = OM u x

CM = (1 + cos t 1)u x + (sin t)u y = a

O C

M

xu

V

a

x

y

Figure 1.17

EXERCICES CORRIGS

1 Mouvement rectiligne uniforme. linstant t = 0, deux navires, N et N, sont situssur un mme mridien. Le navire N est une distance a au nord de N.

1) N se dirige vers le nord la vitesse v, N vers lest avec la vitesse constante v.Quelle sera la distance minimale entre les deux navires ?

2) N se dirige vers lest avec la vitesse v. constante. Quelle direction doit prendre Npour atteindre N en ligne droite ? Calculer la dure correspondante.

A

B

C

dD

l

x

Figure 1.18

2 Mouvement rectiligne uniforme. Untracteur partant dun point A situ surune route rectiligne doit atteindre unpoint B situ dans un champ la distanced = CB de la route, et ce, dans un tempsminimal (voir figure 1.18). On supposeles trajets successifs AD et DB rectiligneset parcourus vitesse constante par letracteur qui va deux fois moins vite dansle champ que sur la route. On poseAC = l et AD = x.


1) Exprimer la dure t du trajet ADB en fonction de x.

2) En quel point D le tracteur doit-il quitter la route ?

3 Mouvement rectiligne uniformment vari. Sur le quai dune gare, une voya-geuse, en retard court, pour essayer de prendre son train, une vitesse constantev = 8 m.s1 .Le train dmarre alors quelle est encore 100 mtres du dernier wagon. Lacclra-tion constante du train est de a = 0,5 m.s2.1) La voyageuse rejoindra-t-elle son train ? Sinon, quelle distance minimale sentrouvera-t-elle ?

2) Reprendre la question 1 dans le cas o le dmarrage du train a lieu lorsque ledernier wagon est 40 m de la voyageuse.

3) Quelle devrait tre, linstant du dmarrage, la distance minimale entre le trainet la voyageuse pour que celle-ci atteigne effectivement le dernier wagon ?

4 Mouvement rectiligne sinusodal. Deux points mobiles A et B se dplacent tous lesdeux, le long dun segment, dun mouvement sinusodal damplitude 10 cm. Le pointA a une pulsation vA = 10 rad.s1 et B une pulsation vB = 11 rad.s1 .

1) la date t = 0 s, ils passent dans le mme sens lorigine des abscisses. quelledate se rencontrent-ils nouveau, avec chacun une vitesse de mme signe ?

2) Quelle distance aura parcouru le moins rapide ? le plus rapide ?

O

A

BBV

Figure 1.19

5 chelle double. Une chelle double OABest appuye au bas dun mur en O (figure1.19). Le deuxime point dappui B glissesur le sol la vitesse v B. On prcise queOA = AB = 2, 5 m et que la vitesse angulairede OA garde la valeur constante de 10 degrspar seconde. linstant t = 0, u = uo = 15.1) Donner lquation u = f (t)

2) quel instant t1 langle OAB vaut-il 100 ?

3) cet instant t1, donner les caractristiques(direction, sens, module) du vecteur vitesse v A1 et du vecteur acclration a A1 dupoint A : faire un schma reprsentant ces deux vecteurs.

4) Calculer en fonction de t la longueur OB.

5) En dduire les quations horaires de la vitesse vB et de lacclration aB du point B.

6) Faire lapplication numrique pour t = t1.7) Quelle est la nature du mouvement de B ?

6 Mouvement circulaire uniforme. Un pilote de chasse fait un looping. La trajectoirecirculaire est situe dans un plan vertical. La vitesse est suppose constante et gale 1800 km.h1.

Sachant que le corps humain ne peut pas supporter une acclration suprieure 10g(g = 10 m.s1), calculer le rayon minimal que le pilote peut donner la trajectoire.


C

A

Instant t=0 Instant t

A

C oV

x

y

Figure 1.20

7 Mouvement dun point duneroue. Une roue circulaire, derayon a et de centre C, roule sansglisser sur Ox, tout en restant dansle plan Oxy (figure 1.20). Un pointA de la roue concide linstantt = 0 avec lorigine O du re-pre. Le centre C a une vitesseconstante Vo.

1) Dterminer les coordonnes deA linstant t.

2) Calculer le module du vecteur vitesse de A et tudier ses variations au cours dutemps.

3) Pour quelles positions de A ce vecteur vitesse est-il nul ?

8 Rotation. Le rotor dune machine tourne 1200 tr.min1. linstant t = 0, il estsoumis une acclration angulaire a suppose constante jusqu larrt complet. Ilsarrte en 300 tours.

1) Donner les quations horaires de a et a.

2) Calculer la dure du freinage. Que vaut a ?

R2R1

o c

Figure 1.21

9 Rotation. On considre un systme de deuxpoulies relies par une courroie (figure 1.21).La premire poulie a un rayon R1 = 5 cmet tourne la vitesse angulaire constantevo = 180 rad.s1, la seconde a un rayonR2 = 30 cm.

1) Calculer la vitesse angulaire de la secondepoulie.

2) La courroie porte une marque C. Calculer lacclration du point C au cours dumouvement.

10 Mouvement curviligne. Un ballon sonde a une vitesse dascension verticale vo ind-pendante de son altitude. Le vent lui communique une vitesse horizontale vx = ztproportionnelle laltitude z atteinte. z est une constante.

1) Dterminer les lois du mouvement x(t) et z(t) ainsi que lquation de la trajectoirex(z).

2) Calculer le vecteur acclration, ses composantes tangentielle et normale.

11 Mouvement curviligne. Une mouche M parcourt dun mouvement uniforme, avecla vitesse Vo, laiguille des secondes dune horloge situe sur un mur vertical (figure1.22). linstant t = 0, la mouche est au centre O de lhorloge qui indique 0 se-condes . Au bout dune minute elle atteint lextrmit de laiguille qui mesure 20 cm.


M

ox

y

ux

u

u

uy

Figure 1.22

1) Par rapport au mur, exprimer levecteur vitesse

V (M) de la mouche

sur la base mobile (ur,uu) lie M.Calculer les composantes de

V (M)

pour t = 0 s, 15 s, 30 s, 45 s et 60 s.

2) ReprsenterV (M) aux points

M correspondants aux instants ci-dessus. Donner lallure de la trajec-toire sur le mur.

3) Calculer les composantes de lacclration de M, a (M), sur la base mobile. Repr-senter a (M) aux cinq positions prcdentes.

12 Mouvement curviligne. Une particule M se dplace dans le plan xOy. Sa vitesse estdfinie par v = au u + bu y, o a et b sont deux constantes.1) Dterminer lquation r(u) de la trajectoire en coordonnes polaires.2) On choisit a = 3b. Sachant que pour u = 0 labscisse du point M est +1 m, donnerlexpression de r(u). Quelle est lallure de la trajectoire dans le plan xOy ?

13 Mouvement curviligne. Un point M se dplace sur une spirale logarithmique dqua-tions polaires paramtriques : r = roeu, u = vt avec v constant.1) Dessiner schmatiquement une spirale logarithmique. Reprsenter les axes descoordonnes polaires et le repre de Frenet en un point M quelconque de cette tra-jectoire.

2) Calculer les composantes des vecteurs vitesse et acclration de M en coordonnespolaires. En dduire les normes de ces vecteurs. Que vaut langle a que fait la vitesseavec le vecteur unitaire u r ?3) Calculer le rayon de courbure de la trajectoire.

4) Le point M dcrit la mme spirale r = roeu mais cette fois-ci cest la vitesse linairev qui est constante. Comment varie alors la vitesse angulaire au cours du temps ?

Solutions

1 Positions initiales des navires : No, No. Axes fixes lis la Terre : Nox vers lest et No, Noy vers lenord (voir figure 1.23a).

(nord)

N

v

No

No(est)

Na

x

y

v

(nord)

N

v

No

No(est)

N1a

x

y

vN

u

(a) (b)

Figure 1.23


1) Date t :NoN = vtu y,

NoN

= vtu x et leur distance est D =

NN

=p

v2t2 + (a vt)2.La drive dDdt est gale

12D (2v

2t 2v(a vt)) et sannule pour tm = avv2+v2 . cet instant, ladistance est minimale et sa valeur est :

D(tm) =h

v2v2a2

(v2+v2)2 + (a av2

(v2+v2) )2i1/2

= av

v2+v2

.

2) Soit u la direction prise par le navire N (figure 1.23b). On a alors :

NoN = (vt cos u)u x + (vt sin u)u y ;

NoN

= vtu x.

Les navires se croisent en N1 sil existe un instant t pour lequel on a simultanmentvt cos u = vt et vt sin u = a cos u = vv . N ne peut atteindre N

que si v > v. Ladirection quil doit prendre est donne par : cos u = v

v et le croisement a lieu linstantt1 = av sin u =

av2v2

.

2 Distance AD = d1 = x parcourue la vitesse constante v. Temps t1 = xv .Distance DB = d2 =

p

(l x)2 + d2 parcourue la vitesse constante v/2. Tempst2 =

2

(lx)2+d2v .

Temps mis pour aller de A B : t = t1 + t2 = 1v (x + 2p

(l x)2 + d2). Ce temps est minimallorsque la drive sannule, soit : d td x = 0 1

2(lx)(lx)2+d2

= 0 x = l d3.

3 Repre : axe Ox dans la direction du mouvement du train et de la voyageuse ; origine O positionde la voyageuse lorsque le train dmarre. t = 0 il se trouve D = 100 m de O.

Voyageuse : mouvement rectiligne uniforme dquation horaire x = vt = 8t.

Train : mouvement rectiligne uniformment acclr dacclration a = 0, 5 m.s2.

La vitesse horaire est vt = at = 0, 5t et lquation horaire : xt = 12 at2 + D = 0, 25t2 + 100. La

voyageuse rejoint le train si pour une mme date t on a : x = xt 0, 25t2 8t + 100 = 0.Le discriminant D = 36 < 0 pas de solution. La distance qui spare la voyageuse etle train est xt x = 12 at

2 + D vt. Cette distance est minimale quand sa drive sannulesoit quand at v = 0 t = va . On a donc t = 8/0, 5 = 16 s et la distance minimale estdm = 12 at

2 + D vt = 36 m.

Pour D = 40 m, x = xt 0, 25t2 8t + 40 = 0. Le discriminant D = 24 > 0. Les solutionssont :

t1 = 16

96 = 6, 2 s et la voyageuse a parcouru x1 = vt1 = 49, 6 m (le train a effectu 9, 6m et sa vitesse est alors de 3, 1 m.s1. La voyageuse est plus rapide et commence remonterle train.)

t2 = 16 +

96 = 25, 8 s et la voyageuse a parcouru x1 = vt1 = 206, 4 m (le train acclrant,il deviendra plus rapide que la voyageuse et la dpassera si elle na pas pu monter en marche.Elle a pour cela 19, 6 s.)

Distance minimale Dm pour que la voyageuse atteigne le train : x = xt 0, 25t2 8t + D = 0.Le discriminant doit tre positif ou nul soit 64 D > 0 Dm = 64 m. On a alors t = 16 set la distance parcourue est de x = 128 m. Le train a parcouru 28 m et sa vitesse est de 8m.s1 = v.


4 A : vA = 10 rad.s1 TA = 2pvA ; B : vB = 11 rad.s1 TB = 2pvb < TA.

La priode de A est suprieure celle de B qui est donc le plus rapide. Lors de la premireconcidence, B aura effectu une oscillation de plus que A. On peut donc crire que la rencontrese fera linstant t = nTA = (n + 1)TB o n reprsente le nombre doscillations effectues parA jusqu la concidence.

n = TBTATB =1

vBvA

1 =1

1,11 = 10 t = 10TA = 6, 28 s.

Le moins rapide aura effectu 10 oscillations soit une distance de 10 fois 4Xm cest--dire 4 m.Le plus rapide effectue une oscillation de plus et a donc parcouru 4, 4 m.

5 Vitesse angulaire constante de OA : vo = u = 10s1 = p18 rad.s1.1) u = vot + uo = 10t + 15 (en degrs) = p18 t +

p12 (en radians)

2) 2u1 = 100 t1 = u1uovo =5015

10 = 3, 5 s

3) A a un mouvement circulaire uniforme de rayon OA = 2, 5 m= l et de vitesse angulairevo =

p18 rad.s

1. On a donc vA = lvo = 0, 436 m.s1, et v A OA vers B. Lacclration est

centripte, direction OA, sens de A vers O et a pour expression : a = v2Al = v

2o l = 0, 076 m.s

1.

4) OB = 2OA sin u = 5 sin(10t + 15) = 5 sin( p18 t +p12 ).

5)- v B = dOBd t =

u x2OAvo cos(vot + uo) = u x 5p18 cos(p18 t +

p12 )

a B = u x2OAv2o sin(vot + uo) = u x5( p18 )2 sin( p18 t +

p12 ).

Pour t = t1 vB = 5p18 cos 50 = 0, 5609 m.s1 et aB = 0, 1523 sin 50 = 0, 1166 m.s1

6) B a un mouvement rectiligne sinusodal damplitude 2OA = 5 m et de pulsation vo.

6 Mouvement circulaire uniforme de vitesse constante v = 1800 km.h1 = 0, 5.103 m.s1. Lac-clration est normale et centripte et a pour expression a = v

2

r < 10g r > v2

10g = 2, 5 km.

7 Roulement sans glissement : pendant la dure d t, le point C effectue vo d t et la roue a tournde d u. On a donc a d u = vo d t u = voa u =

voa t (en orientant u comme sur le schma).

OA =

OC +

CA =

(vot)u x + au y

+

a sin uu x a cos uu y

OA =

vot a sin voa tu x + a

1 cos voa tu y

v A = dOA

d t = vo

(1 cos voa t)u x + u y sin voa t

v A = voq

(1 cos voa t)2 + sin2 vo

a t

v A = vo

2p

1 cos voa t. Fonction priodique de priode T =2pavo

(temps mis pour faire untour de roue complet u = 2p). Elle sannule pour t = nT (avec n nombre entier correspondantau nombre de tours effectus). Le point A est alors en contact avec le sol. Elle est maximalepour t = nT + T2 et prend alors la valeur de 2vo. Le point A est alors au sommet de la roue.


8 Rotation de 1200 tr.min1 ao = 40p rad.s1. Arrt en 300 tr a1 = 600p. Acclrationangulaire constante a a = at + ao et a = 12 at

2 + aot a = aaot et a =12

aaot t

2 + aot.

Larrt seffectue pour :

a = a1 et a = 0 a1 = 12

aot + aot =12

aot t = 2a1ao

= 2600p40p

= 30 s.

a = aaot = ao30 =

43 p rad.s

2.

9 Un point C de la courroie se dplace avec une vitesse constante. La courroie ne glissant passur les roues, on peut exprimer la vitesse du point lorsquil est en contact avec la roue de rayonR1 (vc = R1vo) et lorsquil est en contact avec la roue de rayon R2 (vc = R2v2). On a doncR1vo = R2v2 v2 = vo R1R2 = 30 rad.s

1.

Sur les roues, le point C a un mouvement circulaire uniforme. Lacclration est donc normaleet centripte (vers le centre des roues) et a pour valeur :

Roue n1 : a1 = R1v2o = 1620 rad.s2. Roue n2 : a2 = R2v22 = a1R1R2

= 270 rad.s2. Entreles deux roues, le mouvement est rectiligne uniforme et lacclration est donc nulle.

10 La vitesse dascension verticale vo tant constante, on peut crire que le mouvement projetsur laxe des z est rectiligne uniforme. On a : d

2 zd t2 = 0;

d zd t = vo; z = vot (avec z = 0 pour t = 0).

Suivant laxe des x, on a : vx = d xd t =zt

= vo tt et x = vot2

2t (le mouvement est uniformmentacclr).

Lquation de la trajectoire est x = z2

2tvoet correspond une portion de parabole.

Le vecteur acclration est donn par a = d2 xd t2u x + d

2 zd t2

u y = votu x.

Le vecteur vitesse est donn par v = ztu x + vou y. Le vecteur vitesse tant tangent la

trajectoire, on en dduit lexpression du vecteur unitaire tangent :

ut =v

v = t(z2 + v2o t

2)1/2(ztu x + vou y).

Le vecteur normal la trajectoire se dduit de ut par :ut .un = 0 un = t(z2 + v2o t2)1/2(vou x

ztu y).

at = a .ut = t(z2 + v2o t2)1/2 vozt2 = (z2 + v2o t2)1/2 vozt .

an = a .un = (z2 + v2o t2)1/2v2o .

11 OM = rur V (M) = rur + ruuu . M parcourt laiguille dun mouvement uniforme avec lavitesse Vo constante. On a donc r = Vo r = Vot ( t = 0, r = 0) et u = v = p30 rad.s

1

(mouvement de laiguille des secondes : un tour en 60 secondes dans le sens inverse du senstrigonomtrique).

En 60 secondes la mouche effectue 20 cm. On a donc Vo = 2060 =13 cm.s

1.

V (M) = Vo(ur p30 t

uu )

V (t = 0) = Vour =13u y ;

V (t = 15) = Vo(ur

p

2uu ) =

13

(u x p

2u y).


V (t = 30) = Vo(urpuu ) = 13 (

u ypu x) ;V (t = 45) = Vo(ur 32 p

uu ) = 13 (u x+ 32 p

u y).V (t = 60) = Vo(ur 2puu ) = 13 (

u y + 2pu x).Il est alors possible de tracer les diffrents vecteurs vitesse tous tangents la trajectoire. Lallurede la trajectoire est une spirale.a (M) = Vo(ur + vtuu ) = Vo(vuu + vuu + vt(vur)) = Vo(v2tur + 2vuu ).a (M) = p30 Vo(

p30 t

ur 2uu ) = p 190 (p30 t

ur 2uu ) (en cm.s2).a (t = 0) = 2Vovuu = 2Vovu x = p45

u x ;a (t = 15) = Vo(v215u x + 2vu y) =

p

90(p

2u x + 2u y).

a (t = 30) = Vo(v230u y + 2vu x) = p90 (pu y + 2u x).

a (t = 45) = Vo(+v245u x 2vu y) = p90 (32 p

u x + 2u y).a (t = 60) = Vo(v260u y 2vu x) = p90 (2p

u y + 2u x).

12 v = auu + bu y et u y = sin uur + cos uuu

0,4

0,8

1,2

1,6

2

30

60

240 300

330

0

Figure 1.24

v = b sin uur +(a+b cos u)uu = rur +ruuu .d rd t = b sin u et r

d ud t = a + b cos u

r d ud r

=a + b cos u

b sin u d r

r=

b sin ua + b cos u

d u.

On intgre chaque membre de lgalit (avecC = ln ro une constante dintgration).On obtient :

ln r + C =Z

b sin ua + b cos u

d u = ln r ln ro

= ln(a + b cos u) = ln rro

Lquation de la trajectoire est : r(u) = roa+b cos u .

Avec a = 3b et pour u = 0 on a : r(0) = 1 = ro3b+b ro = 4b.

r(u) = 43+cos u =4/3

1+ 13 cos u. Ceci est lquation dune ellipse en coordonnes polaires (allure de

la trajectoire : voir figure 1.24).

13 1) Voir figure 1.25.

30

60

0u

u

tu

nu

M

Figure 1.25

2) r = roevt r = vr et r = v2r.La vitesse angulaire est constante : u = v u = 0.v = rur + ruuu = rv(ur + uu ) angle a=(v ,ur ) = 45 =angle (ut ,ur )

a = (r ru2)ur + (2ru + ru)uu= (v2r v2r)ur + 2rv2uu= 2rv2uu .

Langle entre a et (ut ou un ) est donc aussi de 45(voir figure 1.25).

v =

2rv et a = 2rv2.


3) an = a .un = a cos 45 =

2rv2 = v 2

R =2r2v2

R R =

2r.

4) v =

2ru = v = cste d ud t =v

ro

2eu eu d u = v

ro

2d t.

eu = vro

2t + C. Si pour t = 0, u = 0 alors eu = v

ro

2t + 1.

On a donc u = ln( vro

2t + 1) et u = v

ro

2

vro

2t + 1

1.

CHAPITRE 2

CHANGEMENTS DE RFRENTIELS

Pr-requis Avoir compris ce quest un rfrentiel. Savoir driver un vecteur unitaire tournant.

Objectif I Savoir reconnatre le type de mouvement que peut avoir un rfrentielpar rapport un autre.

I Savoir driver un vecteur dans des rfrentiels diffrents.I Connatre la loi de composition des vitesses.I Connatre la loi de composition des acclrations.

Dans les mouvements de rotation que nous allons tudier, nous ne considrerons que larotation autour dun seul axe.

1. MOUVEMENTS DUN RFRENTIEL PAR RAPPORT UN AUTRE

Dans ce qui va suivre, nous considrons deux rfrentiels R et R. Le premier est carac-tris par un de ses repres (O, x, y, z) avec la base correspondante

(u x,u y,u z), et lesecond par (O, x, y, z) avec la base

(u x,u y,u z). Les axes Ox, Oy, Oz sont choisisde sorte tre parallles respectivement aux axes Ox, Oy, Oz un instant quelconque quipeut tre un instant origine. Cette condition valide t = 0 nest plus vraie en gnralquand le temps scoule puisque nous considrons que R se dplace par rapport R.Nous allons cependant prciser ce que devient lorientation des axes de ces deux rfren-tiels dans quelques cas importants.

1.1. Le mouvement de translationa) Dfinition

Nous dirons que le rfrentiel R est en mouvement de translation par rapport au rf-rentiel R si les axes du rfrentiel R restent parallles ceux du rfrentiel R au cours dumouvement. Si le point O est en mouvement par rapport R, tous les points constituantle rfrentiel R se dplacent de la mme quantit vectorielle que O. Consquences :


tout instant, on a les galits u x = u x,u y = u y,u z = u z. La base(u x,u y,u z)

est donc une base fixe dans R mais aussi dans R. Le vecteurOO correspond au vecteur

translation. Le mouvement de translation de R par rapport R peut tre rectiligne, circulaire ou

quelconque selon la nature du mouvement de lorigine O du rfrentiel R.

O

x

y

z

Vecteur translation

z 0

y

(R )

O

uz

uz

uy

ux

ux uy

(R)

x

Figure 2.1 Translation dun rfrentiel R par rapport un rfrentiel R.

b) Translation rectiligne

Le point O suit une trajectoire rectiligne par rapport au rfrentiel R. Un exemple simpleest celui o le rfrentiel R est li un tapis roulant, R tant li la Terre. Dans cesconditions, on peut crire la vitesse du point O par rapport R en choisissant laxe Oxdans la direction du mouvement de translation :

V O/R = VOu x = VOu x

(R) (R)

OO

Figure 2.2 Mouvement de translation rectiligne dun rfrentiel R parrapport un rfrentiel R.

La vitesse VO peut varier au cours du temps.

Encart 2.1. Translation rectiligne uniformeLe mouvement du point O est un mouvement rectiligne et uniforme. On a donc :

V O/R =

cste = dOO

d t=

OO = VO tu x +

C

Le vecteurC est une constante qui dpend des conditions initiales du mouvement. En

particulier, si t = 0 le point O est confondu avec le point O, ce vecteur est nul.

Changements de rfrentiels 31

c) Translation circulaire

Le point O dcrit un cercle autour dun point fixe de R qui peut tre choisi comme origineO du repre de R. Son mouvement est caractris par le vecteur vitesse angulaire v O/R.Lexpression du vecteur vitesse du point O par rapport au rfrentiel R est donc :

V O/R =

v O/R OO

O x

y

x

y

O

ux

uy

uz

(R)

(R )

RO /

Figure 2.3 Translation circulaire dun rfrentiel R par rapport unrfrentiel R. Les axes de R restent parallles ceux de R, lorigine O dcrit

un mouvement circulaire.

Exemple : Si on considre la nacelle dune grande roue dune fte foraine, elle constitue unrfrentiel qui est en translation circulaire par rapport au rfrentiel terrestre, le fond dela nacelle restant toujours horizontal (figure 2.3).

Translation circulaire uniforme : Le vecteur vitesse angulaire v O/R est un vecteurconstant.

d) Translation quelconque

Le point O a un mouvement quelconque, curviligne uniforme ou vari mais les axes durepre de R restent parallles ceux du rfrentiel R (figure 2.4).

1.2. Le mouvement de rotationNous dirons quun rfrentiel R est en rotation par rapport un rfrentiel R si les axesdu rfrentiel R tournent par rapport ceux du rfrentiel R.

Le point O, origine du repre du rfrentiel R, est immobile par rapport R. Nousconsidrerons la rotation autour dun seul axe, cette rotation tant caractrise par levecteur vitesse angulaire de rotation du rfrentiel R par rapport R :

V R/R.


O(R)

y

z

x

ux

uyuz

O

z

y

O

(R )z

x

y

O

(R )z

x

y

(R )

x

Figure 2.4 Mouvement de translation quelconque.

Dans ces conditions, on peut choisir lorigine O confondue avec le point O et choisir unrepre (O, x, y, z) de sorte que le vecteur vitesse angulaire

V R/R soit de la forme :

V R/R = VR/Ru z

Laxe Oz peut tre confondu avec laxe Oz et donc u z = u z. Les axes Ox et Oy sontalors en rotation autour de laxe Oz. Dans ces conditions, la base

(u x,u y,u z) , qui estla base fixe du rfrentiel R, est une base mobile dans R. Les vecteurs u x et u y tournentautour de laxe Oz au cours du temps.

uy

ux

ux

x

x

y

y

z z

uz

uz

uy

RR

O O

RR

uy

uy

x

x

y

y

ux

ux

Figure 2.5 Mouvement de rotation dun rfrentiel R par rapport un rfrentiel R.

Si u est langle que fait u x avec laxe Ox du rfrentiel R (figure 2.5), nous avons alors :

u = VR/R

La drivation du vecteur unitaire tournant u x conduit (voir 5. de lannexe 1) :

du xd u

= u y =du x

d t

)R

= uu y = VR/Ru y


Si nous nous plaons dans le rfrentiel R, la drivation des vecteurs de la base donne :

d u xd t

)R

= VR/Ru y = VR/R(u x u z

)=

V R/R u x

d u yd t

)R

= VR/Ru x = VR/R(u z u y) = V R/R u y

d u zd t

)R

=0

Dans le rfrentiel R nous aurions :

du xd t

)R

= 0;du y

d t

)R

= 0;du z

d t

)R

= 0.

Il est donc important de prciser chaque fois si la drivation est effectue dans R oudans R. Ceci peut tre spcifi en indice au niveau du symbole de drivation.

Enfin on peut remarquer que la base(u x,u y,u z) du rfrentiel R se confond avec la

base(u r,u u,u z), base mobile des coordonnes cylindriques du repre (O, x, y, z).

1.3. Mouvement quelconque

Un mouvement quelconque peut tre considr comme une combinaison dun mouve-ment de translation et de rotation. On peut prendre lexemple suivant de la roue dunebicyclette qui se dplace le long dun axe Ox (figure 2.6) et dfinir trois rfrentiels pos-sibles :

le rfrentiel R terrestre, li la Terre sur laquelle se dplace la bicyclette ; le rfrentiel R1 li la bicyclette ; enfin un rfrentiel R2 li aux rayons de la roue et la valve de la chambre air.

uy

uy1

x1

y1 ux2

ux2

uy2

uy2

O1

O2

x

y

ux

uy1

x1

y1

O1

O2

x2y2

x2

y2

O

ux1 ux1

Figure 2.6 Mouvement dune roue de bicyclette.

Le rfrentiel R1 (bicyclette) est en translation rectiligne par rapport au rfrentiel Rterrestre. Le rfrentiel R2 (rayon de la roue) peut tre caractris par le repre (O1, x2, y2).Ce repre est en rotation par rapport R1. Le mouvement du rfrentiel R2, par rapportau rfrentiel R, peut donc se dcomposer en un mouvement de translation rectiligne etun mouvement de rotation.


Avec cet exemple simple, on saperoit que :

Le mouvement quelconque dun rfrentiel par rapport un autre peut toujours seramener une composition de mouvement de translation et de rotation.

Do limportance de ces deux cas que nous allons tudier maintenant.

2. TUDE DE LA VITESSE

2.1. Rfrentiel R en translation par rapport Ra) Position dun point M

Le repre du rfrentiel R, en translation par rapport un rfrentiel R, est choisi desorte que les axes Ox, Oy et Oz soient respectivement parallles aux axes Ox, Oy et Oz durepre caractrisant le rfrentiel R. Lorigine O, lie R, a un mouvement quelconquepar rapport R.

O(R)

y

z

x

ux

uyuz

O

(R )z

x y

O

(R)z

x y

O

(R )z

x y

Figure 2.7 Mouvement de translation quelconque.

La base fixe de R,(u x,u y,u z), est aussi une base fixe de R.

Dans le rfrentiel R, les coordonnes du point M sont (x, y, z). Dans le rfrentiel R, ellessont (x, y, z). La relation de Chasles applique aux vecteurs

OM et

OM scrit :

OM =

OO +

OM

avec : OM = xu x + yu y + zu z et

OM = xu x + yu y + zu z

Encart 2.2. Transformation de GalileConsidrons le cas particulier o R est en mouvement de translation rectiligne parrapport un rfrentiel R. Nous pouvons alors choisir les axes des repres de sorteque le mouvement de translation soit colinaire laxe des y. Dans ces conditions, levecteur vitesse du point O, par rapport au rfrentiel R, peut scrire :

v O/R =dOO

d t= VOu y = VOu y


(R)

(R )

O O y

x

x

z z

M

ROV

uz

ux

uy

ux

uy

uz

Figure 2.8 Mouvement de translation rectiligne.

Si le rfrentiel R est en translation rectiligne uniforme par rapport R, on peut crireque :

OO = votu y

On en dduit donc que les coordonnes du point M dans R sexpriment en fonction descoordonnes du point M dans R par la transformation suivante dite transformationde Galile :

xu x + yu y + zu z = votu y + xu x + yu y + zu zCette relation peut scrire en utilisant la notion de quadrivecteur (position, temps)

et en se rappelant que le temps en mcanique classique est une grandeur absolue sousla forme matricielle suivante : xyz

t

= 1 0 0 00 1 0 vo0 0 1 0

0 0 0 1

x

y

z

t

b) Loi de composition des vitesses

Par dfinition nous pouvons crire que :

v M/R =dOMd t

)R


d t=

d xd t

u x +d yd t

u y +d zd t

u z

v M/R =dOMd t

)R


d t=

d x

d tu x +

d y

d tu y +

d z

d tu z

etdOO

d t

)R

= v O/R = v R/R

En drivant par rapport au temps dans le rfrentiel R la relation de Chasles qui donnela position du point M, il vient :

dOMd t

)R

=dOO

d t

)R

+dOMd t

)R


Comme les axes de R restent parallles ceux de R, la drive deOM dans R est iden-

tique la drive deOM dans R

dOMd t

)R

=dOMd t

)R

ce qui conduit la relation suivante :

dOMd t

)R

=dOO

d t

)R

+dOMd t

)R

soit :v M/R = v O/R + v M/R

Cette relation entre les vitesses est formellement analogue la relation de Chasles surladdition des vecteurs et est connue sous lappellation loi de composition des vitesses.On peut remarquer que si le point M tait fixe dans R on aurait :

v M/R = v O/R

Pour cette raison, v O/R = v R/R est aussi appele vitesse dentranement et note v e.

2.2. Rfrentiel R en rotation par rapport R

Considrons maintenant le cas ou le rfrentiel R(O, x, y, z, t) avec(u x,u y,u z)

fixe de R est en mouvement de rotation par rapport au rfrentiel R(O, x, y, z, t) avec(u x,u y,u z) fixe de R. Nous supposons comme lindique la figure 2.9 que le point O estconfondu avec O.

x

x

y

y

z z

RR

OO

RR

x

x

y

y

uyux

ux

uz uz

uy

uy

uy

ux

ux

Figure 2.9 Mouvement de rotation dun rfrentiel R par rapport un rfrentiel R.


Nous faisons en outre lhypothse que laxe de rotation de R par rapport R est laxe desz, ce qui permet dcrire que la vitesse angulaire de rotation de R par rapport R est :

V R/R =

d ud t

u z

Il est alors trs important de comprendre que dans le rfrentiel R les vecteurs de base(u x,u y,u z) sont constants puisquils tournent avec les axes du rfrentiel. Pour senassurer il suffit de dterminer tout instant langle fait par ces vecteurs et les axes du

rfrentiel et de constater quil est toujours nul. Les vecteurs(u x,u y,u z) sont donc

fixes dans R. Dautre part le rfrentiel R peut tre rapport soit la base(u x,u y,u z)

fixe de R soit la base(u x,u y,u z) mobile de R. Dans ce cas, les vecteurs u x,u y

correspondent, comme nous lavons vu au paragraphe 1.2. aux vecteurs u r,u u de la basepolaire de R. Ils ne sont plus constants dans R puisquils tournent la vitesse angulaireV R/R par rapport R. Toute la difficult du calcul qui suit repose sur la comprhensionde ce point.

Quel que soit le rfrentiel dtude, la position du point M peut scrire :

OM = xu x + yu y + zu zOM = xu x + yu y + zu z

La vitesse du point M de coordonnes (x, y, z) dans R(O, x, y, z, t) est :

v M/R =dOMd t

)R

=d xd t

u x +d yd t

u y +d zd t

u z

alors que la vitesse du mme point M dans R(O, x, y, z, t) scrit :

v M/R =dOMd t

)R

=d(

xu x + yu y + zu z)

d t

Dans R, les vecteurs de base(u x,u y,u z) sont constants, ce qui conduit :

v M/R =d x

d tu x +

d y

d tu y +

d z

d tu z

Nous nous replaons maintenant dans R mais nous exprimons la position du point M dans

la base(u x,u y,u z). La vitesse du point M scrit alors :

v M/R =d(xu x + yu y + zu z)

d t

soit :v M/R =

d x

d tu x +

d y

d tu y +

d z

d tu z + x

du xd t

+ ydu y

d t+ z

du zd t


En utilisant les rsultats du paragraphe 1.2. de ce chapitre, on obtient :

v M/R =d x

d tu x +

d y

d tu y +

d z

d tu z + xuu y yuu x

En remarquant que :

uu y =V R/R u x et uu x =

V R/R u y

on obtient finalement :

v M/R =d x

d tu x +

d y

d tu y +

d z

d tu z + x

V R/R u x + y

V R/R u y

Nous constatons ensuite que :

V R/R xu x +

V R/R yu y =

V R/R

(xu x + yu y

)Comme le vecteur vitesse instantan de rotation est dirig selon u z, nous avons aussi :

V R/R

(xu x + yu y

)=

V R/R

(xu x + yu y + zu z

)=

V R/R

OM

Nous pouvons donc conclure que :

dOMd t

)R

=dOMd t

)R

+V R/R

OM (2.1)

ce qui montre que :

Driver le vecteurOM dans R nest pas quivalent le driver dans R.

En posant v R/R =V R/R

OM, la loi de composition des vitesses dans deux rfrentiels

en rotation scrit :v M/R = v R/R + v M/R

avec v R/R appele vitesse dentranement, cest--dire la vitesse, par rapport R, quau-rait le point M sil tait fixe dans R.

La loi prcdente a t applique au vecteur positionOM. Elle est tout fait g-

nrale et peut sappliquer nimporte quel vecteurX . Ainsi, si

X est un vecteur

quelconque, on a daprs (2.1) :

dX

d t

)R

=d

X

d t

)R

+V R/R

X (2.2)


Nous insistons trs fortement sur cette dernire relation qui montre que :

Si un vecteurX appartient deux rfrentiels R et R en rotation lun par rapport

lautre, la drive du vecteurX dans R est diffrente de sa drive dans R.

Par contre il est clair que si deux rfrentiels R et R sont en mouvement de transla-

tion lun par rapport lautre(

V R/R =0)

, la drive dun vecteurX dans lun

est gale la drive de ce mme vecteurX dans lautre.

2.3. Cas gnralCette relation peut tre gnralise un mouvement combinant une translation et unerotation en faisant intervenir la vitesse de O par rapport R ainsi que le vecteur vitesseangulaire

V R/R caractrisant la rotation de R par rapport R. En partant de :

OM =

OO +

OM

on voit que :

dOMd t

)R

=dOO

d t

)R

+dOMd t

)R

Or la drive deOM dans R peut sexprimer partir de la drive de ce mme vecteur

dans R, do :dOMd t

)R

=dOO

d t

)R

+dOMd t

)R

+V R/R

OM

Nous obtenons ainsi la loi de composition des vitesses dans un cas gnral :v M/R = v O/R + v M/R +

V R/R

OM

On distingue dans cette expression deux termes :

v M/R qui reprsente la vitesse de M par rapport R et que lon appelle vitesserelative de M par rapport R.

v O/R +V R/R

OM qui est la vitesse dentranement de M dans son mouvement par

rapport R. Cette vitesse est la somme de deux termes. Le premier terme correspond la vitesse dentranement due au dplacement de lorigine O (terme de translation)et le deuxime correspond la vitesse dentranement due la rotation de R parrapport R (terme de rotation).

Encart 2.3. Le mouvement cyclodalNotre but est de montrer comment il est possible dutiliser la loi de composition desvitesses afin de prdire la vitesse dun point dans un rfrentiel R connaissant sa vitessedans un rfrentiel R. ce titre nous considrons le mouvement de la valve M de laroue dune bicyclette de rayon R. Ce mouvement est le rsultat de la composition dun


mouvement de translation de la fourche et dun mouvement de rotation de la roue. Lemouvement tant compos, il est difficile dcrire lexpression de la vitesse de la valvedans le rfrentiel R fixe. Cest pourquoi il est utile de dcomposer le mouvement enfaisant intervenir un autre rfrentiel dans lequel le mouvement de la valve est simple.Nous allons ce titre donner deux exemples qui montrent comment il est possible detirer les avantages de la loi de composition des vitesses.

x1

y1

O1

M

x

y

x1

y1

O1

M

x2

y2

x2

y2

O

uy

uy1

ux2

ux2

uy2

uy2

ux

uy1

ux1 ux1

Figure 2.10 Mouvement de la valve dune roue de bicyclette.

Nous considrons dans les exemples qui suivent les rfrentiels suivants (fi-gure 2.10) :

R(O, x, y, z, t) avec(u x,u y,u z) ;

R1(O1, x1, y1, z1, t) avec(u x2,u y2) base polaire mobile de R1;

R2(O1, x2, y2, z2, t) avec(u x2,u y2) base fixe de R2.

Nous observons que la position du point M est dfinie par

O1M = Ru x2;

(u x1,u x2

)= u(t)

Avant de faire un bon usage de la loi de composition des vitesses, il est utile de se poserles questions suivantes :

que fait le rfrentiel R par rapport au rfrentiel R ? que fait le point M dans le rfrentiel R ?

Considrons tout dabord que R sidentifie au rfrentiel R1. En rponse la premirequestion nous observons que le rfrentiel R1 se dplace avec le centre de la roue O1(fourche) et est en mouvement de translation rectiligne uniforme de vitesse v O1/R. Nousconcluons donc que

V R1/R =

0 .

la deuxime question nous rpondons que le point M est en mouvement de rotationuniforme dans R1.

En appliquant la loi de composition des vitesses qui se rsume :

v M/R = v M/R1 + v O1/R +V R1/R

O1M

nous voyons que le dernier terme est nul. En utilisant la base mobile(u x2,u y2) de R1

dans laquelleO1M = Ru x2, nous voyons que


v M/R = v M/R1 + v O1/R = v O1/R +dO1Md t

)R1

v M/R = v O1/R +d(Ru x2

)R1

d t= v O1/R + Ruu y2

Considrons maintenant le rfrentiel R2 li la valve. Ce rfrentiel est en rotationtranslation par rapport R, donc dans ce cas

V R2/R =

0 et

V R2/R = u

u z

De plus la valve M est immobile dans R2, donc v M/R2 =0

On obtient donc :

v M/R = v O1/R +V R2/R

O1M = v O1/R + VR2/Ru z Ru x2 = v O1/R + Ruu y2

Nous retrouvons bien videmment la mme expression puisquen utilisant le rfren-tiel R1 nous nous sommes placs dans la mme base (u x2,u y2).

3. TUDE DE LACCLRATION

3.1. Loi de composition des acclrationsNous cherchons exprimer lacclration du point M par rapport R connaissant lescaractristiques du mouvement par rapport R. Nous supposons que le rfrentiel R esten mouvement de translation rotation par rapport R. La loi de composition des vitessesnous donne :

v M/R = v M/R + v O/R +V R/R

OM

et par dfinition nous avons :

a M/R =dv M/R

d t

)R

Il en rsulte que :

a M/R =d(v M/R + v O/R + V R/R OM)

d t

R

On obtient donc :

a M/R = a O/R +dv M/R

d t

)R

+V R/R

dOMd t

)R

+dV R/R

d tOM (2.3)

Il importe ce stade de commenter les rgles de drivation. Nous voyons que par d-finition nous drivons, pour obtenir lacclration de M par rapport R, la vitesse de


M dans R par rapport au temps. En faisant cette opration, il apparat dans le secondmembre des vecteurs qui sont manifestement des vecteurs lis au rfrentiel R comme

par exemple le vecteurOM ou encore le vecteur v M/R . Nous souhaitons faire apparatre

leur drive dans R et nous utilisons donc cette fin la rgle de drivation (2.2) :

dX

d t

)R

=dX

d t

)R

+V R/R

X

Applique aux vecteursOM et v M/R cette rgle conduit :

dOMd t

)R

= dOMd t

)R

+V R/R

OM

d v M/Rd t

)R

=d v M/R

d t

)R

+V R/R v M/R

Nous concluons donc que :

dOMd t

)R

= v M/R +V R/R

OM

d v M/Rd t

)R

= a M/R +V R/R v M/R

Le report de ces expressions dans lquation (2.3) conduit crire le vecteur acc-lration de M par rapport R sous la forme :

a M/R = a M/R + ae + ac (2.4)

avec : ae = a O/R +V R/R

(V R/R

OM)

+ dV R/Rd t

OM

ac = 2V R/R v M/R

Le rsultat ci-dessus constitue la loi de composition des acclrations.

Il est alors possible de distinguer trois termes dans cette expression :

le premier terme du second membre a M/R qui reprsente lacclration de M dansR ou acclration relative ;

le dernier terme du second membre qui reprsente lacclration de Coriolis ou ac-clration complmentaire vc =

2VR/R v M/R . Elle nexiste que si le point est M

en mouvement dans R et si R est un rfrentiel en rotation par rapport R ; le terme intermdiaire qui reprsente lacclration dentranement ae . Cette accl-

ration correspondrait lacclration quaurait le point M par rapport R sil tait fixedans R. Dans ce cas les acclrations relative et complmentaire sont nulles.

Encart 2.4. Application de la loi de composition des acclrationsNous cherchons comprendre comment utiliser lquation (2.4). Reprenons lexempledu mouvement cyclodal illustr par la figure 2.10 et considrons les trois rfrentielssuivants :


R(O, x, y, z, t) avec(u x,u y,u z) fixe de R;

R1(O1, x1, y1, z1, t) avec(u x2,u y2) base polaire mobile de R1;

R2(O2 O1, x2, y2, z2, t) avec(u x2,u y2) base fixe de R2.

Nous supposons que la roue se dplace dun mouvement rectiligne uniforme, ce quiimpose a O/R =

0 .

Nous commenons par utiliser les rfrentiels R et R1. Puisque R1 est en translationpar rapport R, le vecteur

V R1/R et le terme dacclration de Coriolis sont nuls. Il

en va de mme de lacclration dentranement. Nous en dduisons que :

a M/R = a M/R1

Comme nous avons : O1M =

O2M = Ru x2

il est facile de voir que :

a M/R = a M/R1 = Ru2u x2

Dans le cas o nous considrons les rfrentiels R et R2 li la valve, lacclrationde Coriolis est nulle car le point M (valve) est fixe dans R2, ainsi que lacclrationrelative. Par contre R2 est en mouvement de rotation par rapport R et

V R2/R = u

u z

Nous obtenons alors le rsultat suivant :

a M/R =V R/R

(V R/R

OM)

= Ru2u x2

Comme dans le cas de ltude de la vitesse, nous retrouvons bien les mmes expres-sions, que lon utilise le rfrentiel R1 ou le rfrentiel R2, en raison de lidentit de labase de ces deux rfrentiels.

RETENIR

Mouvement de translation dun rfrentiel R par rapport un rfrentiel R :

Les axes du rfrentiel R restent parallles ceux du rfrentiel R.

La translation peut tre rectiligne, circulaire ou quelconque suivant le mouvement delorigine O du rfrentiel R.


Mouvement de rotation dun rfrentiel R par rapport un rfrentiel R :

Les axes du rfrentiel R tournent par rapport ceux du rfrentiel R (vitesse angu-laire

V R/R).

Loi de composition des vitesses :

v M/R = v R/R + v M/R

avec v R/R = v O/R +V R/R

OM (vecteur vitesse dentranement)

Loi de composition des acclrations :

a M/R = a M/R + ae + ac

avec ae = a O/R +V R/R

(V R/R

OM)

+ dV R/Rd t

OM (vecteur acclration

dentranement)

et ac = 2V R/R v M/R (vecteur acclration complmentaire ou de Coriolis)

EXERCICE DAPPLICATION AVEC SOLUTION DTAILLE

Cinmatique et changement de rfrentiel

Une charrette se dplace vitesse constante Vo = 1, 8 km.h1. Ces roues rayons ontun diamtre de D = 47, 75 cm.

x

u

xu

y

O

yu

xu

C A

oV

Instant t = 0

C A

Instant t1

C

A

Instant t (0 < t < t1)

M

u

yu

Figure 2.11

linstant t = 0, on considre un rayon CA horizontal avec C centre dune roue et Alautre extrmit du rayon. linstant t1 ce mme rayon se retrouve pour la premirefois dans la mme position (la roue a effectu un tour complet).


I. Question prliminaire : Cinmatique.

1) Exprimer la vitesse angulaire v en fonction de Vo et D. En dduire lexpression duvecteur vitesse angulaire v. Calculer v.

2) Exprimer le temps t1 au bout duquel la roue a effectu un tour complet. Calculer t1.

3) Une petite coccinelle M situe au centre C linstant t = 0 part avec une vitesseconstante v sur le rayon CA. Quelle doit tre sa vitesse pour atteindre A linstant t1 ?

II. Rfrentiels en mouvement

On considre les rfrentiels suivants caractriss par leur repre :

Rfrentiel R(O, x, y,u x,u y,u z), Rfrentiel R(C, x, y,u x,u y,u z) Rfrentiel R li au rayon CA avec sa base fixe (u r,u u) qui correspond la base

polaire du repre R(C, x, y).

Quel est le mouvement de R par rapport R ? (prciser les caractristiques dumouvement)



III. On se place dans le rfrentiel R (li au rayon CA, base (u r, u u).1) La coc

Documents

[Alain Gibaud, Michel Henry] Mécanique Du Point