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Cours elementaire dalgebre lineaire sous forme

dexercices Deuxieme edition

R Rolland

Table des matieres

Espace vectoriel

La structure despace vectoriel

Premiers exemples despaces vectoriels

Sous espaces vectoriels

La sous structure de sous espace vectoriel

Exemples de sous espaces vectoriels

Homomorphismes despaces vectoriels

Application lineaire Noyau Image

Premieres proprietes des applications lineaires

Structure de lensemble des applications lineaires

Combinaisons lineaires

Partie engendree par une famille de vecteurs

Exemples de familles de vecteurs

Bases Dimension

Bases dun espace vectoriel

Exemples de bases

Somme directe de sous espaces

Decomposition despaces vectoriels

Exemples de decompositions

Somme de plusieurs sous espaces

Projections

Projection et somme directe

Formes lineaires

Formes lineaires Espace dual

Exemples de formes lineaires Applications

Complements sur la dualite

Matrices et applications lineaires

Applications lineaires entre espaces vectoriels munis de bases

Exemples de matrices dapplications lineaires

Operations elementaires sur les matrices

Operations sur les matrices

Structures des espaces de matrices

Determinants

Formes multilineaires alternees Determinants

Calcul de determinants

Applications lineaires en dimension nie

Bases et applications lineaires

Exemples

Systemes lineaires

Problemes lineaires en dimension nie

Resolution explicite de systemes lineaires

Valeurs propres vecteurs propres

Une premiere etude des valeurs propres et vecteurs propres

Decomposition spectrale des operateurs

Lalgebre engendree par un operateur

Les operateurs T I

k

Spectre index et polynome minimal

Decomposition de lespace en sous espaces spectraux

Polynome caracteristique

Appendice Une autre approche des projecteurs spec

traux

Exemples

Interventions de lalgebre lineaire

Fonctions sur un groupe abelien nitheorie du signal ni

Lespace F

Les caracteres de G

Produit scalaire hermitien sur F

Transformation de Fourier

Matrices associees aux objets precedents

Fonctions de F et polynomes formels

Convolution et ltres stationnaires

Analyse numerique Interpolation

Introduction

Interpolation de Lagrange

Le probleme general de linterpolation

Quelques exemples importants

Analyse numerique calcul des integrales

Introduction

Mise en uvre de methodes interpolatoires

Presentation generale des quadratures elementaires

Ordre dune methode

Acceleration de convergence Formule de Richardson

Methode de Romberg

Espaces vectoriels

Chapitre

Espace vectoriel

Introduction

En geometrie plane il est dusage dintroduire la notion de vecteur Lensemble de ces

vecteurs du plan est muni de deux operations de base laddition des vecteurs et la mul

tiplication dun vecteur par un nombre reel Bien dautres ensembles sont munis de deux

operations possedant des proprietes analogues a cellesci des ensembles de fonctions de

polynomes etc Cest cette structure commune appelee structure despace vectoriel que

nous allons etudier Compte tenu de lorigine concrete que nous avons indiquee il ne faudra

pas setonner du langage geometrique employe De plus il est conseille de sappuyer dans

une certaine mesure sur cette analogie pour nourrir son intuition concernant les structures

introduites

La structure despace vectoriel

Denition Un espace vectoriel E sur un corps commutatif K ap

pele corps des scalaires est un ensemble non vide muni dune operation in

terne addition quon notera telle que

EV E est un groupe abelien pour laddition

et dune operation externe application de K E dans E qui a un couple

x associe lelement x quon notera aussi quand aucune confusion nen

resulte x telle que

EV x y x y

Chapitre

EV x x

EV x x x

EV x x

Ex Montrer que pour tout x E et tout K x et

attention par abus de notation il est dusage de noter le vecteur nul et

aussi le zero du corps de base ce sont bien sur des objets dierents Le

lecteur prendra garde dans un premier temps a sassurer quil est capable de

bien distinguer ces deux objets dans les diverses formules ecrites

Attention lintuition geometrique a aussi ses limites notamment quand le

corps de base est de caracteristique non nulle

Ex Montrer que si K est un corps de caracteristique pour tout x E

x x Que se passetil pour un corps de caracteristique p

Premiers exemples despaces vectoriels

On laisse le soin au lecteur de preciser les operations et de verier les pro

prietes requises dans les exemples suivants

Ex Geometrie Lensemble des vecteurs de la geometrie plane ainsi que

lensemble des vecteurs de la geometrie dans lespace sont des espaces vecto

riels sur R

Ex Nombres complexes C est un espace vectoriel sur R C est un

espace vectoriel sur C

Ex Nombres reels R est un espace vectoriel sur Q

Ex Fonctions Lensemble des fonctions denies sur un intervalle I de

R a valeurs dans R est un espace vectoriel sur R

Ex Lensemble des fonctions polynomiales de R dans R est un espace

vectoriel sur R Lensemble des fonctions polynomiales de degre n de R

dans R est un espace vectoriel sur R

Ex Tout corps commutatif K est un espace vectoriel sur lui meme

Ex K

n

est un espace vectoriel sur K

Ex Polynomes Les polynomes a r variables et a coecients dans un

corps K forment un espace vectoriel sur K

Espaces vectoriels

Ex Les polynomes a r variables a coecients dans un corps K et de

degre total n forment un espace vectoriel sur K

Ex Les polynomes a r variables a coecients dans un corps K et dont

les degres partiels par rapport a certaines des variables sont bornes est un

espace vectoriel sur K

Ex Si K est un sous corps dun corps commutatif K

alors K

est un

espace vectoriel sur K

Ex Soit A un ensemble non vide et FAE lensemble des fonctions de

A dans un espace vectoriel E sur le corps K Alors FAE est un espace

vectoriel sur K

Ex Espace produit Si E et F sont deux espaces vectoriels sur K le

produit E F est un espace vectoriel sur K

Ex Suites Montrer que les suites delements de K forment un espace

vectoriel sur K

Ex Que dire des suites reelles Des suites reelles qui convergent vers

Des suites reelles qui divergent vers Des suites reelles croissantes Des

suites reelles convergentes

Ex Algebre de Boole SoitA un ensemble non vide et PA lensemble

des parties de A On denit sur PA la somme de deux parties comme etant

leur dierence symetrique U V UV U V V U De plus

on denit le produit dun element de PA par un element du corps a deux

elements f g par U et U U Montrer que dans ces conditions

PA est un espace vectoriel sur le corps a deux elements

Remarque Si de plus on tient compte de loperation multiplication denie

comme etant lintersection de deux parties on a une structure dalgebre de

Boole

Chapitre

Sous espaces

Chapitre

Sous espaces vectoriels

Introduction

Comme toujours lorsquon denit une structure on introduit la notion de sous structure

Ainsi nous etudions maintenant la notion de sous espace vectoriel Beaucoup densembles

interessants sont des sous espaces vectoriels despaces plus gros Dans ce cas pour montrer

que ce sont des espaces vectoriels il nest pas necessaire de verier toutes les proprietes de

laddition et de la multiplication externe La stabilite par rapport a ces operations sut

La sous structure de sous espace vectoriel

Denition Soit E un espace vectoriel sur un corps K Un sous en

semble F de E est un sous espace vectoriel de E si cest un espace vectoriel

pour les deux operations induites par E sur F

Ex Montrer quun sous ensemble non vide F dun espace vectoriel E sur

un corps commutatif K est un sous espace vectoriel de E si et seulement si

x y F x y F

Kx F x F

on dit alors que F est stable par rapport a ces operations

Ceci donne un moyen commode de montrer que des ensembles sont munis

dune structure despace vectoriel

Chapitre

Ex Montrer que lintersection dune famille non vide de sous espaces

vectoriels dun espace E est un sous espace de E

Ex Peut on dire que la reunion dune famille de sous espaces vectoriels

de E est un sous espace vectoriel de E

Denition Soit A un sous ensemble de lespace vectoriel E Conside

rons la famille de tous les sous espaces de E qui contiennent A Cette famille

est non vide puisque E en fait partie Lintersection des sous espaces de cette

famille est appelee le sous espace engendre par A On note A ce sous

espace

Ex Le sous espace engendre par A est le plus petit sous espace de E au

sens de linclusion des ensembles contenant A

Exemples de sous espaces vectoriels

Ex Montrer que lensemble CR des fonctions continues sur R a valeurs

dans R est un sous espace vectoriel de lespace de toutes les fonctions denies

sur R a valeurs dans R

Ex Montrer que lensemble des fonctions derivables sur R a valeurs dans

R est un sous espace vectoriel de lespace de toutes les fonctions denies sur

R a valeurs dans R Que peuton en dire par rapport a CR

Ex Montrer que lensemble F

a

AE des fonctions denies sur un en

semble non vide A a valeurs dans un espace vectoriel E et qui sannulent

en un point xe a A est un sous espace de lespace FAE des fonctions

de A dans E

Ex Montrer que lensemble des fonctions PR de R dans R qui sont

paires est un sous espace vectoriel de lespace FRR de toutes les fonctions

de R dans R Estce aussi vrai pour les fonctions impaires

Ex Soit a b un intervalle xe de R Une fonction f de a b dans R est

dite en escalier sil existe un partage a x

x

x

n

b de a b tel

que f soit constante sur chaque intervalle x

i

x

i

Montrer que lensemble

des fonctions en escalier est un sous espace vectoriel de lespace Fa bR

de toutes les fonctions de a b dans R

Sous espaces

Ex Montrer que les suites de nombres complexes qui convergent vers

forment un sous espace vectoriel de lespace de toutes les suites de nombres

complexes

Ex Soit F lespace des fonctions continues sur un intervalle a b anes

ie de la forme axb par morceaux ie il existe un partage a x

x

x

n

b de a b tel que f soit ane sur chaque intervalle x

i

x

i

Montrer que F est un sous espace de Fa bR

Chapitre

Homomorphismes

Chapitre

Homomorphismes despaces

vectoriels

Introduction

Nous etudions maintenant les applications dun espace vectoriel dans un autre sur un

meme corps qui conservent la structure Ces applications dites applications lineaires

sont centrales dans la theorie Nous reviendrons dans la plupart des chapitres qui suivent

a leur etude approfondie

Application lineaire Noyau Image

Denition E et F etant deux espace vectoriels sur le meme corps K

un homomorphisme de E dans F ou encore une application lineaire

de E dans F est une application f de E dans F telle que

Hom fx y fx fy

Hom fx fx

Dans le cas ou F E on dit que f est un endomorphisme de E ou encore

un operateur de E

Ex Montrer que si f est une application lineaire f

Ex Montrer que lensemble des elements de E dont limage est est un

sous espace vectoriel de E

Chapitre

Ex Montrer que si f est injective alors est le seul element de E dont

limage soit

Ex Reciproquementmontrer que si est le seul element de E dont limage

soit alors f est injective

Ex Montrer que limage de f cestadire fE est un sous espace vec

toriel de F On note Imf cette image

Denition Si f est un homomorphisme de E dans F le noyau de f

note Kerf est le sous espace vectoriel de E constitue des elements de E

qui ont pour image

Le noyau de f Kerf et limage de f Imf sont deux objets tres

importants pour letude dun homomorphisme f Compte tenu de lexercice

on peut enoncer le resultat

Theoreme Un homomorphisme f est injectif si et seulement si son

noyau est fg Dans ce cas f est un isomorphisme de E sur son image notee

Imf ou encore fE

Premieres proprietes des applications li

neaires

Dans la suite K designe un corps commutatif

Ex Citer des applications lineaires et des applications non lineaires

Ex Montrer que dans lespace vectoriel des vecteurs de la geometrie dans

lespace la projection sur un plan parallelement a une droite et la projection

sur une droite parallelement a un plan sont des applications lineaires dont

on determinera le noyau et limage

Soient n m deux entiers Soit f lapplication de K

m

dans K

n

qui a

x

x

m

fait correspondre x

x

n

Montrer que f est un homomor

phisme application lineaire dont on determinera le noyau et limage

Ex Soit C

R lespace vectoriel des fonctions derivables sur R et ayant

une derivee continue fonctions de classe C

et CR lespace des fonctions

continues sur R Montrer que la derivation D est un homomorphisme de

C

R dans CR Quels sont son noyau et son image

Homomorphismes

Ex Soit KX lespace vectoriel des polynomes a une variable a coe

cients dans K Soit T lapplication de KX dans lui meme qui a un poly

nome P X fait correspondre le polynome P X Montrer que T est un

endomorphisme Quels sont le noyau de T et son image

Ex Soit K

n

X lespace vectoriel des polynomes a une variable a coe

cients dans K et de dege n Soit D lapplication de K

n

X dans lui meme

qui a un polynome associe son polynome derive Montrer que D est un en

domorphisme Quels sont son noyau et son image


cients dans K Soit FK lespace des fonctions deK dans lui memeMontrer

que lapplication qui a un polynome P X fait correspondre la fonction po

lynomiale x P x est un homomorphisme On suppose le corps K inni

quel est le noyau de

Supposons maintenant que K soit le corps a deux elements quel est le noyau

de


cients dans K et soit DX un polynome non nul On considere lapplication

de KX dans lui meme qui a tout polynome P X associe le reste de la

division euclidienne de P X par DX Montrer que cette application est

un endomorphisme Quels sont son noyau et son image

Ex Soit K

n

X lespace vectoriel des polynomes a une variable a coef

cients dans K et de dege n On xe un point a K et on considere

lapplication de K

n

X dans K qui a tout polynome P X associe sa valeur

P a Montrer que cette application est un homomorphisme Quels sont son

noyau et son image

Ex Soit CR lespace des fonctions continues sur R a valeurs dans R

Fixons deux points a et b dans R Soit I lapplication de CR dans R denie

par

If

Z

b

a

ftdt

Montrer que cette application est un homomorphisme Quelle est son image

Ex Fixons a dans R Soit f lapplication de R dans R

qui a x associe

x ax Montrer que f est une application lineaire Quels sont son noyau et

son image

Chapitre

Ex Fixons a b c d dans R Soit f lapplication de R

dans R

qui a tout

x y associe ax by cxdy Montrer que f est un endomorphisme Quels

sont son noyau et son image

Le cas ou f est une application lineaire de E dans le corps de base K est

particulier On dit que f est une forme lineaire Ce cas par son importance

motive une etude specique ulterieure

Structure de lensemble des applications

lineaires

Ex Soient E et F deux espaces vectoriels sur le meme corps K Notons

LEF lensemble des homomorphismes de E dans F Si f et g sont des

elements de LEF et si est un element de K on denit f g f comme

on le fait habituellement pour les fonctions cestadire par

f gx fx gx

fx fx

Montrer que muni de ces operations LEF est un espace vectoriel sur K

Ex Soit EFG trois espaces vectoriels sur le meme corps K Si f est

une application lineaire de E dans F et g une application lineaire de F dans

G montrer que g f est une application lineaire de E dans G

Ex On considere maintenant lespace LE des endomorphismes des

operateurs de E En plus de laddition et de la multiplication par un sca

laire denies dans un exercice precedent on considere aussi loperation de

composition des applications f g Montrer que ces operations conferent a

LE une structure dalgebre non commutative

Montrer que si f et g elements de LE verient f g I I est lapplication

identite alors f et g ont des inverses


Chapitre


Introduction

Comme dans le cas du plan geometrique ou de lespace il est important de savoir dans

quelles conditions on peut decomposer un vecteur sur dautres vecteurs et dans quels cas

cette decomposition est unique Ces questions conduisent aux notions de familles libres

de familles generatrices et enn a la notion de base En examinant les exemples donnes

le lecteur pourra faire un inventaire non exhaustif des methodes utilisees pour montrer

que des familles sont libres que des familles sont generatrices que des familles sont des

bases

Partie engendree par une famille de vec

teurs

On rappelle quune famille non vide delements dun ensemble A est une

application dun ensemble non vide I appele ensemble des indices dans

A La famille est alors notee x

i

iI

ou x

i

i A

Denition Soit E un espace vectoriel sur un corpsK Soit S x

i

iI

une famille non vide de E On appelle combinaison lineaire delements

de S toute somme de la forme

X

iI

i

x

i

ou seuls un nombre ni de coecients

i

sont non nuls

Chapitre

Ex Montrer que lensemble des combinaisons lineaires delements de S

est un sous espace vectoriel de E et que ce sous espace est le sous espace

engendre par S On notera S ce sous espace

Denition La famille S delements de E est dite generatrice si

S E Autrement dit tout element de E sexprime comme combinaison

lineaire des elements de S

Denition La famille S delements de E est dite libre si tout element

de S secrit de maniere unique comme combinaison lineaire des elements

de S Les elements de S sont alors dits lineairement independants Si

la famille S nest pas libre on dit quelle est liee les elements de S sont

alors lineairement dependants

Remarque attention on travaille ici sur des familles et non simplement

sur des parties Par exemple x

x

x

est une famille de trois elements si

x

x

la partie qui lui est associee est fx

x

g

Ex Montrer que S est une famille libre si et seulement si on a limplication

suivante

X

iI

i

x

i

i I

i

Ex Montrer que la famille S est liee si et seulement sil existe un vecteur

de S qui est combinaison lineaire des autres vecteurs de S

Montrer que si la famille S contient alors elle est liee

La reciproque est elle vraie

Montrer que si la famille S contient deux vecteurs identiques alors elle est

liee

Ex Soit E un espace vectoriel non reduit a fg Montrer lequivalence

entre les trois proprietes suivantes

S est une famille libre maximale au sens de linclusion dans lensemble

des parties libres de E

S est une famille generatrice minimale au sens de linclusion dans

lensemble des parties generatrices de E

S est une famille a la fois libre et generatrice

Que se passetil dans le cas particulier tres simple dun espace vectoriel

reduit a fg

Denition Une famille libre et generatrice de E est appelee une base

de E


Exemples de familles de vecteurs

Ex Donner des exemples de la geometrie plane et de la geometrie dans

lespace de familles libres et non generatrices de familles generatrices et non

libres de familles libres et generatrices

Ex Soit A un ensemble non vide E un espace vectoriel On note FAE

lespace des fonctions de A dans E Soit S la partie de FAE constituee des

fonctions constantes et des fonctions qui sannulent en un point xe x

A

Determiner S

Ex Soit a b un intervalle de R Notons Fa bR lespace des fonctions

de a b dans R On considere le sous ensemble S de Fa bR deni par

S fx x u jx uju a bg

Determiner S

Determiner S fg

Ex Soit

i

i

une suite de nombres reels dont les termes sont tous

distincts Montrer que la famille de fonctions

e

i

x

i

est libre

Chapitre

Bases Dimension

Chapitre

Bases Dimension

Introduction

La notion de base est centrale pour letude des espaces vectoriels de dimension nie Tout

espace vectoriel admet une base mais en dimension innie dans la plupart des cas il est

impossible den construire une explicitement Comme nous le verrons dans la suite on est

souvent amene a considerer plusieurs bases sur un meme espace et regarder alors quels

sont les liens entre les composantes des vecteurs dans les diverses decompositions

Bases dun espace vectoriel

Denition Une base dun espace vectoriel E est une famille e

i

iI

delements de E qui est a la fois libre et generatrice

Denition Un espace E est dit de dimension nie sil possede une

famille generatrice nie

Ex Montrer que tout espace vectoriel de dimension nie non reduit a

fg admet une base ayant un nombre ni delements En fait tout espace

vectoriel non reduit a fg admet une base mais la demonstration quand on

nest pas en dimension nie nest pas du niveau de ce cours

Le resultat qui suit theoreme de lechange est fondamental dans letude

des bases des espaces vectoriels

Chapitre

Ex Soit E un espace vectoriel F une famille libre de E et G une famille

generatrice de E Montrer que si F E alors il existe x G tel que F fxg

soit une famille libre et que dans ces conditions F F fxg

Ex Theoreme de la base incomplete Soit E un espace vectoriel

de dimension nie F une famille libre de E et G une famille generatrice

de E Montrer quon peut completer la famille F en une base de E en lui

adjoignant des vecteurs de G

Ex Montrer que dans un espace vectoriel de dimension nie toutes les

bases ont le meme nombre delements

Denition Si E est un espace de dimension nie nous appellerons

dimension de E et noterons dimE le nombre delements dune base de

E toutes les bases ont le meme nombre delements si E fg et si

E fg

Remarque en dimension nie n on indexe en general les elements dune

base par f ng ou par f n g

Ex Soit E un espace vectoriel de dimension nie n Montrer que e

i

in

est une base de E si et seulement si e

et pour tout i n e

i

e

e

i

Denition Soit E un espace vectoriel s

i

iI

une famille de vecteurs

de E telle que le sous espace S s

i

iI

engendre par les vecteurs s

i

soit de

dimension nie On appelle rang de la famille s

i

iI

la dimension de S

Remarques

Sur les methodes utilisees en dimension nie En dimension nie

si on connat la dimension n de lespace pour montrer quune famille de n

elements est une base il sut de montrer quelle est soit libre soit genera

trice Remarquons quun espace de dimension n sur un corps ni a q elements

a q

n

elements cette remarque permet de trouver la dimension n de lespace

si on connat son cardinal

Suites et fonctions Une fonction f dun ensemble ni a n elements

dans un corps K outre sa representation fonctionnelle peut etre denie aussi

par ses valeurs cestadire par un nuple a

a

n

Ce nuple peut etre

aussi considere comme la suite des coecients dun polynome a

a

X

Bases Dimension

a

n

X

n

Ces trois representations dun meme objet peuvent etre utiles

De plus se donner une base dun espace de dimension n revient a representer

tout element de cet espace par ses composantes cestadire par un nuple

ce qui donne aux trois representations precedentes une grande importance

Droites et hyperplans Dans un espace vectoriel E de dimension n

un sous espace vectoriel de dimension est appele droite vectorielle ou

plus brievement droite un sous espace vectoriel de dimension n est

appele hyperplan vectoriel ou plus brievement hyperplan

Exemples de bases

Ex Montrer que dans K

n

la famille e

i

in

ou

e

i

le etant la i

e

composante est une base

Ex Montrer que la famille XX

est une base de KX et que la

famille XX

X

n

est une base de lespace K

n

X des polynomes de

degre n

Ex Soit FAK lespace des fonctions denies sur un ensemble ni A a

valeurs dans le corps K Pour tout a A notons e

a

la fonction denie par

e

a

a et e

a

x si x a Montrer que la famille e

a

aA

est une base

Quelles sont les composantes dune fonction f sur cette base

Ex Dans lespace K

n

X des polynomes de degre n on considere pour

tout i n un polynome P

i

X de degre exactement i Montrer que la

famille P

i

X

in

est une base de K

n

X

Ex Soit E un espace vectoriel de dimension n et e

i

in

une base de

E Pour tout j n on pose

f

j

X

ij

a

ij

e

i

avec a

jj

Montrer que la famille f

j

jn

est une base de E

Ex Soit E un espace vectoriel de dimension n sur le corps ni F

q

a q

elements Quel est le nombre delements de E Quel est le nombre de familles

libres de E ayant k elements Quel est le nombre de bases de E Combien y

Chapitre

atil de sous espaces de dimension k dans E Quel est le nombre de directions

de droites dans E

Ex Soit B

n

Ff g

n

f g lespace sur le corps a deux elements

des fonctions booleennes de n variables booleennes Quel est le nombre dele

ments de B

n

En deduire la dimension de B

n

Pour tout a a

a

n

f g

n

on denit la fonction

e

a

x

x

n

Y

in

x

i

a

i

Montrer que la famille e

a

afg

n

est une base de B

n

Comparer avec lexer

cice

Quelles sont les composantes dune fonction f sur cette base

Montrer que toutes les fonctions de B

n

sont des fonctions polynomiales en n

variables de degre total au plus n et de degre partiel par rapport a chaque

variable au plus

Trouver une base de B

n

constituee de fonctions monomiales

Traiter en detail lexemple n

Ex Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension nie Construire

une base de lespace LEF des applications lineaires de E dans F Quel

est la dimension de cet espace

Somme directe

Chapitre

Somme directe de sous espaces

Introduction

La notion de somme de sous espaces permet une decomposition plus grossiere des vecteurs

que la notion de base On obtient par exemple des decompositions du type toute fonction

reelle est de maniere unique somme dune fonction paire et dune fonction impaire

Decomposition despaces vectoriels

Denition Soient E

et E

deux sous espaces vectoriels dun espace

E La somme de ces deux sous espaces notee E

E

est lensemble des

x

x

ou x

E

et x

E

Ex Montrer que la somme E

E

est un sous espace vectoriel de E

Ex Soit F E

E

Montrer que pour que tout element de F secrive

de maniere unique sous la forme x

x

avec x

E

et x

E

il faut et

il sut que E

E

fg

Denition Si E

et E

verient E

E

fg on dit que la somme

E

E

est une somme directe et on la note E

E

Ex Soient E

et E

deux sous espaces de dimension nie dun espace E

tels que E

E

fg Soit u

u

p

une base de E

et v

v

q

une

base de E

Montrer que u

u

p

v

v

q

est une base de E

E

Chapitre

On en conclut que dimE

E

dimE

dimE

Ex Soit E un espace vectoriel et e

i

iI

une base de E Considerons une

partition I J K de I Montrer que si on pose E

e

i

iJ

et E

e

i

iK

alors E E

E

Ex Soit E un espace de dimension nie et E

un sous espace de E Montrer

quil existe un sous espace E

de E tel que E E

E

Ce sous espace E

estil unique

Ex Si E

et E

sont deux sous espaces de dimension nie de E montrer

que dimE

E

dimE

dimE

dimE

E

Denition Soit E un espace de dimension nie et E

un sous espace

de E Un sous espace E

de E tel que E E

E

est appele un supple

mentaire de E

dans E

Ex Montrer que tous les supplementaires de E

ont la meme dimension

Denition En dimension nie la dimension dun supplementaire de

E

est appelee la codimension de E

et notee codimE

Ex Soit E un espace de dimension nie dont on xe une base e

e

n

Soit C un sous espace vectoriel de dimension k de E Montrer quil existe

une sous famille de n k vecteurs e

i

e

i

n

k

de la base e

e

n

telle

que

E C e

i

e

i

nk

Pour tout j f ng n fi

i

nk

g on decompose e

j

en la somme dun

vecteur c

j

C et dun vecteur f

j

e

i

e

i

nk

e

j

c

j

f

j

Montrer que la famille c

j

ainsi obtenue est une base de C

Comment sont les composantes des vecteurs e

j

ou j f ngnfi

i

nk

g

dans la base g

i

in

ou g

i

e

i

si i fi

i

nk

g et g

i

c

i

sinon

Denition Soit E un espace vectoriel decompose en somme directe

de deux de ses sous espaces E

et E

E E

E

La projection p sur E

parallelement a E

est lapplication qui a tout x de E

fait correspondre sa composante x

sur E

dans la decomposition x x

x

ou x

E

et x

E

Somme directe

Ex Montrer que la projection p ainsi denie est une application lineaire

veriant p

p Quel est le noyau de p Quelle est limage de p

Ex Soit E un espace vectoriel de dimension nie et f un endomorphisme

de E tel que f

f Montrer que f est une projection

Exemples de decompositions

Ex Donner des exemples et des contre exemples dans le plan et dans

lespace faire des dessins

Ex Montrer que C R i

Ex Soient E et F deux espaces vectoriels sur le meme corps On considere

les deux sous espaces E

et F

de E F denis par E

E fg et

F

fg F Montrer que E F E

F

Ex Soit FRR lespace de toutes les fonctions de R dans R On note

P le sous espace constitue des fonctions paires et I le sous espace constitue

des fonctions impaires

Montrer que FRR P I

Ex Soit FRR lespace de toutes les fonctions de R dans R On note

F

a

le sous espace des fonctions nulles au point a et C le sous espace des

fonctions constantes

Montrer que FRR F

a

C

Ex Soit KX lespace des polynomes a une variable et a coecients

dans le corps K Fixons NX KX et notons n suppose le degre

de NX Soit E le sous espace de KX constitue des multiples AXNX

de NX Montrer que

KX K

n

X E

ou K

n

X est le sous espace constitue des polynomes de degre n

Ex Soit E un espace vectoriel de dimension n H un hyperplan vectoriel

de E D une droite vectorielle qui nest pas contenue dans H Montrer que

E H D

Chapitre

Somme de plusieurs sous espaces

Nous etendons maintenant la notion de somme directe a un nombre ni

quelconque de sous espaces

Ex Montrer que la somme de deux sous espaces vectoriels est associative

Ceci nous permet donc denvisager de generaliser la notion de somme a un

nombre ni de sous espaces

Denition Soit Ei

is

une famille nie de s sous espaces vectoriels

dun espace vectoriel E La somme de ces s sous espaces notee E

E

s

est lensemble des x

x

s

ou x

i

E

i

Ex Montrer que la somme E

E

s

est un sous espace vectoriel de

E

Ex Montrer que pour que tout element de E

E

s

secrive de maniere

unique sous la forme x

x

s

ou x

i

E

i

il faut et il sut que pour

chaque i s on ait

E

i

E

E

i

E

i

cdots E

s

fg

Denition Si la famille Ei

is

verie pour chaque i s

E

i

E

E

i

E

i

E

s

fg

on dit que la somme E E

s

est directe On la note

M

is

E

i

Ex Soit

E

E

E

n

une suite de sous espaces vectoriels de dimension nie dun espace vectoriel

E Montrer quil existe une suite F

i

in

de sous espaces vectoriels de E

telle que pour tout j n

E

j

M

ij

F

i

Ex Generaliser les notions de somme et de somme directe a une innite

de sous espaces

Projections

Chapitre

Projections

Introduction

La notion de projection est une notion tres importante liee a la decomposition en somme

directe On peut intuitivement se faire une idee de ce que represente une projection en se

placant en geometrie a dimensions sur R et en pensant par exemple a la projection sur

un plan parallelement a une droite

Projection et somme directe

Denition Soit E un espace vectoriel decompose en somme directe

de deux de ses sous espaces E

et E

E E

E

La projection p sur E

parallelement a E

est lapplication de E dans E

qui a tout x de E fait correspondre sa composante x

sur E

dans la decom

position x x

x

ou x

E

et x

E

Ex Montrer que la projection p ainsi denie est une application lineaire

veriant p

p Quel est le noyau de p Quelle est limage de p

Ex Soit E un espace vectoriel de dimension nie et f un endomorphisme

de E tel que f

f Montrer que f est une projection

Chapitre

Ex Soit E un espace vectoriel de dimension nie E

E

deux sous es

paces de E Soit F

un supplementaire de E

dans E et F

un supplementaire

de E

dans E

Montrer que la somme F

F

est directe

Soit p

la projection de E sur E

parallelement a F

et p

la projection de

E

sur E

parallelement a F

Montrer que p p

p

est la projection de E

sur E

parallelement a F

F

Ex Montrer que si deux projections p

et p

commutent alors p

p

est

une projection

Montrer que

Imp

p

Imp

Imp

et que

Kerp

p

Kerp

Kerp

Construire des exemples de projections qui commutent

Formes lineaires

Chapitre

Formes lineaires

Introduction

Les formes lineaires sont des applications lineaires particulieres lespace darrivee est de

dimension cest le corps de base K Ceci motive une etude specique En eet il est

clair par exemple que letude dune fonction de R

n

dans R

m

se ramene a letude de m

fonctions de R

n

dans R quand on veut etudier un signal ou il y a n entrees et m sorties

on peut etudier chaque sortie en fonction des n entrees en particulier on peut considerer

que letude dune application lineaire de R

n

dans R

m

peut passer par letude de m formes

lineaires sur R

n

Cette facon de voir meme si elle ne constitue pas le seul angle dattaque

motive une etude particuliere du cas des formes lineaires De plus du fait que m les

resultats sexpriment souvent de maniere plus agreable et plus instructive

Formes lineaires Espace dual

Denition Soit E un espace vectoriel sur un corps K Une forme

lineaire sur E est une application lineaire de E dans K

Ex Montrer que si f est une forme lineaire non nulle alors Imf K

en particulier la dimension de limage de f est

Denition Le dual de E que nous noterons E

est lensemble des

formes lineaires sur E

Chapitre

Ex Montrer que E

muni de laddition des formes lineaires et de la

multiplication par un scalaire est un espace vectoriel sur K

Ex Soit f une forme lineaire non nulle sur un espace vectoriel E de

dimension nie n Montrer que le noyau de f est un hyperplan de E

Ex Reciproquement montrer que tout hyperplan de E est le noyau dune

forme lineaire

Ex Soit E un espace vectoriel de dimension nie n muni dune base

e

i

in

de E On considere dans E

la famille e

j

jn

denie par e

j

ei

ij

on rappelle que la notation de Kronecker

ij

designe si i j et sinon

Que peut on dire de la dimension de E

Montrer que la famille e

j

jn

est

une base de E

La dimension de E

est donc n

Denition La base e

j

jn

de E

est appelee la base duale de la

base e

i

jn

Denition Le bidual E

de E est le dual de E

Ex On suppose que E est un espace vectoriel de dimension nie Soit q

lapplication de E dans E

denie par

qxf fx

ou x E et f E

Montrer que q est un isomorphisme de E sur E

Attention ici le fait que

E soit de dimension nie est primordial En dimension innie qE nest pas

egal a E

Ex Montrer que si f

j

jn

est une base de E

il existe une unique base

e

i

in

dont f

j

jn

est la base duale Ainsi on peut parler de couples de

bases duales

Ex Soit E un espace vectoriel de dimension n Supposons quil existe une

famille e

i

in

de E et une famille f

j

jn

de E

telles que f

j

e

i

ij

Montrer qualors e

i

in

est une base de E et que donc f

j

jn

est sa

base duale

Formes lineaires

Exemples de formes lineaires Applica

tions

Ex Montrer que pour tout i n lapplication p

i

de R

n

dans R qui

a tout x x

x

n

associe x

i

est une forme lineaire sur E Montrer que

la famille p

i

in

est une base de R

n

De quelle base la base p

i

in

est

elle la base duale

Ex Soit RX lespace des polynomes a coecients reels

a Montrer que si a R lapplication

a

qui a tout polynome P fait

correspondre sa valeur P a au point a est une forme lineaire sur RX

b Montrer que lapplication I qui a tout polynome P fait correspondre

son integrale sur le segment est une forme lineaire sur RX

c Montrer que lapplication qui a tout polynome P fait correspondre la

valeur de sa derivee au point a est une forme lineaire sur RX

Ex formule des trois niveaux

a Notons R

X lespace des polynomes de degre sur R Rappeler la

dimension de R

X

Notons

a

la forme lineaire qui a tout polynome P de degre fait corres

pondre sa valeur P a au point a Soit un reel distinct de et de On

considere les formes lineaires

Montrer quil existe polynomes

P

P

P

quon calculera veriant

i

P

j

ij

si i j sinon pour

tout i et tout j dans f g

En conclure que

est une base de R

X

et que P

P

P

est

une base de R

X

Notons I la forme lineaire sur R

X denie par

IP

Z

P tdt

Montrer quil existe constantes telles que

I

et donc que pour tout polynome P de degre on a

Z

P tdt P P P

Chapitre

b On se place maintenant dans lespaceR

X des polynomes de degre

sur R et comme dans le a on considere les formes lineaires

ou

a

est la forme lineaire qui a tout polynome P de degre fait correspondre

sa valeur P a au point a On note J la forme sur R

X denie par

JP

Z

P tdt

Montrer que si on pose P

X XXX la famille P

P

P

P

est une base de R

X

Calculer

a

P

pour a f g

Montrer quil existe une valeur et une seule

de telle que JP

On

calculera explicitement cette valeur

Montrer que pour

J est dans le sous espace engendre par

En conclure quil existe des constantes

quon calculera explicite

ment telles que pour tout polynome P de degre on ait

Z

P tdt

P

P

P

Ex On se place dans lespace R

X des polynomes de degre sur R

On considere les formes lineaires

ij

ou i et j sont dans f g denies par

ij

P D

i

P

j

ou D est loperateur de derivation

Montrer quil existe polynomes P

ij

quon determinera tels que

ij

P

kl

ik

jl

Ainsi les P

ij

et les

ij

forment un couple de bases duales

Ex On se place dans lespace R

X des polynomes de degre sur R

Soient et tels que On note

et

les formes lineaires

sur R

X ou comme dans les exercices precedents

u

P P u Montrer

quil existe deux polynomes P

X et P

X quon calculera explicitement

tels que

u

P

v

uv

u v f g

En conclure que si et sont xes il existe des constantes et telles que

I

Formes lineaires

ou I designe la forme lineaire sur R

X denie par

IP

Z

P tdt

ce qui veut dire que pour tout P R

X

IP P P

Sinspirer des exercices precedents pour montrer quil existe un choix et un

seul des points et pour lequel cette derniere formule est vraie pour tout

polynome de degre Determiner ces points et ainsi que les constantes

et qui decoulent de ce choix

Ex polynomes de Lagrange Sur R on considere des points

x

x

x

n

On note

u

la forme lineaire sur lespace R

n

X des polynomes de degre n

denie par

u

P P u Considerons les polynomes

L

k

X

X x

X x

k

X x

k

X x

n

x

k

x

x

k

x

k

x

k

x

k

x

k

x

n

Montrer que pour i j f ng

x

i

L

j

ij

En conclure que les polynomes L

k

X forment une base de R

n

X ayant

x

j

j

pour base duale

Soit P X R

n

X Alors P X se decompose dans la base des L

k

X sous

la forme

P X

n

X

k

a

k

L

k

X

Calculer les coecients a

k

de cette decomposition

En conclure quil existe un polynome de degre n et un seul qui prend aux

n points x

i

des valeurs xees y

i

Quel est ce polynome On lappelle polynome dinterpolation de La

grange veriant les conditions donnees

Ex Soit E un espace de dimension n sur le corps ni F

q

a q elements

Quel est le nombre dhyperplans vectoriels distincts Quel est le nombre

dhyperplans vectoriels distincts contenant un sous espace xe de dimension

k n

Chapitre

Complements sur la dualite

Ex Soient E et F deux espaces vecoriels de dimension nie et T une

application lineaire de E dans F On denit lapplication T

du dual F

de

F dans le dual E

de E par

T

fx fT x

Montrer que T est une application lineaire de F

dans E

Cest la trans

posee de f

Ex Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension nie et T une

application lineaire de E dans F q lapplication de E dans E

denie par

qxf fx q

lapplication de F dans F

denie de la meme fa con

Montrer que T

qx q

T x

Ex Soit F un espace vectoriel de dimension nie n et f

f

n

une

base de F Soit C un sous espace de dimension k de F Notons lapplication

de F F dans le corps de base denie par

x y

n

X

i

x

i

y

i

ou x

P

n

i

x

i

f

i

et y

P

n

i

y

i

f

i

Notons T lapplication de F dans F

qui

a tout y F associe T y

y

de telle sorte que

y

x x y

a Montrer que T est un isomorphisme de F sur F

En particulier pour

tout g F

il existe un unique y F tel que pour tout x F gx x y

b Denissons maintenant

C

fy F

y

x x Cg

Montrer que C C

Montrer que si C

C

alors C

C

Montrer que C

C

Montrer enn que C C

Matrices

Chapitre

Matrices et applications

lineaires

Introduction

Nous nous placons dans cette partie dans des espaces vectoriels de dimension nie Nous

allons voir quune application lineaire peut etre lorsque des bases sont choisies dans lespace

de depart et celui darrivee representee par un tableau de coecients quon appelle une

matrice En consequence on peut operer sur ces tableaux de nombres en pensant aux ope

rations correspondantes sur les applications lineaires et reciproquement Nous exposerons

cette notion en nous referant en permanence a cette double interpretation

Applications lineaires entre espaces vec

toriels munis de bases

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions nies respectivesm et n

sur un meme corps K Soient e

e

e

m

une base de E et f

f

f

n

une base de F Soit enn f une application lineaire deE dans F Tout element

x de E secrit de maniere unique sous la forme

x

m

X

j

x

j

e

j

et donc

Chapitre

fx

m

X

j

x

j

fe

j

Par consequent lapplication f est connue des que les images fe

j

sont

connues Reciproquement si on xe les fe

j

la formule precedente denit

bien une application lineaire Se donner une application lineaire est donc

equivalent a se donner les images des vecteurs de la base choisie Il est com

mode de stocker dans un tableau rectangulaire appele matrice les compo

santes des vecteurs fe

j

dans la base f

f

f

m

Plus precisement on

met a la colonne j et a la ligne i la composante a

ij

du vecteur fe

j

sur

le vecteur de base f

i

Ainsi la colonne j du tableau contient bien le vecteur

sous forme de composantes fe

j

Denition La matrice

A a

ij

in

jm

ou encore

A

B

B

a

a

a

m

a

a

a

m

a

n

a

n

a

nm

C

C

A

est la matrice de lapplication lineaire f dans les bases donnees Cette matrice

a n ligne et m colonnes on dira que sa taille est nm

Remarquons bien que si on utilise dautres bases pour les espaces E et F on

change aussi la matrice de lapplication lineaire f

Soit E un espace vectoriel de dimension nie lidentite de E dans E lorsque

on choisit la meme base dans E espace de depart et dans E espace darrivee

a pour matrice

I

B

B

B

C

C

C

A

appelee matrice unite

Matrices

Exemples de matrices dapplications li

neaires

Ex Soit E le plan vectoriel muni dune base orthonormee On considere

dans E la rotation vectorielle dangle E est ici a la fois espace darrivee et

espace de depart avec la meme base Quelle est sa matrice

Ex On muni R

de la base habituelle e

e

e

et R

de la base f

f

Soit lapplication lineaire

de R

dans R

denie par x

x

x

ax

bx

ou a et b sont des

constantes reelles Quelle est la matrice de

Ex Soit K

n

X lespace des polynomes de degre n a coecients dans

K On munit cet espace de la base x

x

x

x

n

n

Soit D loperateur

de derivation de K

n

X dans luimeme Quelle est la matrice de D

Ex Reprenons les hypotheses et les notations de lexercice precedent Soit

T

h

loperateur de translation sur K

n

X deni par T

h

P X P X h

Exprimer T

h

en fonction de h et de D penser a la formule de Taylor pour

les polynomes

Quelle est la matrice de T

h

Ex On considere le plan de la geometrie euclidienne muni dun repere

orthonorme O e

e

Soit t lapplication lineaire de ce plan dans lui meme

de matrice pour la base xee

T

h

h

ou h

Quelle est limage

ON par t du vecteur

OM de coordonees x y

Donner une construction geometrique de cette image

Soit M

On construit successivement les points M

n

tels que

OM

n

t

OM

n

Montrer que les points M

n

sont sur une spirale logarithmique

Ex Soit E lespace vectoriel sur le corps f g des applications anes

de f g

dans f g cestadire les applications de la forme x

x

x

u

u

x

u

x

u

x

dont on prend pour base les applications

x

x

x

x

x

x

x

Chapitre

x

x

x

x

x

x

x

x

Soit F lespace vectoriel des fonctions de f g

dans f g muni de la base

e

i

i

ou e

i

x

x

x

si i x

x

x

autrement dit si i a

x

x

x

pour developpement binaire et e

i

x

x

x

sinon

Soit I lapplication qui a f E fait correspondre f F Quelle est la matrice

de I dans les bases considerees

Ex Soit K

X lespace des polynomes de degre a coecients dans

le corps K et x

x

x

x

des points distincts de K Soit T lapplication de

K

X dans K

denie par

T P P x

P x

P x

P x

Quelle est la matrice de T lorsque K

X est muni de la base des monomes

et K

de sa base habituelle les

matrices de cette forme ou leurs transposees sont dites matrices de Van

dermonde


X est muni de la base des polynomes

de Lagrange L

L

L

L

cf Formes lineaires Ex

Ex Soit K

X lespace des polynomes de degre a coecients dans

le corps K et x

x

des points distincts de K Soit T lapplication de K

X

dans K

denie par

T P P x

P

x

P x

P

x


X est muni de la base des monomes

et K

de sa base naturelle

Ex Soit u u

u

u

u

un point xe dans R

On considere lapplica

tion T

u

de R

dans R

denie par

T

u

f

f

f

f

g

g

g

g

avec

g

i

X

kli mod

f

k

u

l

Quelle est la matrice de T

u

lorsque R

est muni de sa base naturelle

Remarque Ici on peut considerer les elements de R

comme des fonctions

denies par leurs valeurs de ZZdans R Alors si f f

f

f

f

est

une telle fonction la fonction g T

u

f est la convolee f u Les matrices

de cette forme sont dites matrices circulantes


Chapitre

Operations elementaires sur les

matrices

Introduction

Il existe de nombreuses operations interessantes sur les tableaux matriciels Nous presen

tons ici les operations simples qui decoulent des operations de base sur les applications

lineaires laddition la multiplication par un scalaire la composition la transposition


Soient EFG trois espaces vectoriels sur le meme corps K munis des bases

respectives e e

i

im

f f

j

jn

g g

k

kp

Ex Montrer que si a et b sont des applications lineaires de E dans F de

matrices respectives a

ij

ij

et b

ij

ij

alors ab a pour matrice a

ij

b

ij

ij

Denition La somme de deux matrices A a

ij

ij

et B b

ij

ij

de meme taille est la matrice C c

ij

ij

de meme taille ou c

ij

a

ij

b

ij

On note C AB

Ex Montrer que si a est une application lineaire de E dans F de matrice

a

ij

ij

et si K alors a a pour matrice a

ij

ij

Denition Le produit dune matrice A a

ij

ij

par un scalaire

est la matrice C c

ij

ij

de meme taille ou c

ij

a

ij

On note C A

Chapitre

Denissons le produit dun vecteur ligne par un vecteur colonne

a

a

n

b

b

n

A

comme etant le scalaire

P

n

i

a

i

b

i

Ex Soit b LEF une application lineaire de E dans F de matrice

B b

ij

ayant donc n lignes et m colonnes et a LFG une application

lineaire de F dans G de matrice A a

ij

ayant donc p lignes et n colonnes

La composee a b est une application lineaire c de E dans G et sa matrice

sera notee C c

ij

Cette matrice a p lignes et m colonnes

Montrer que le coecient c

ij

est obtenu en faisant le produit de la ligne i de

la matrice A par la colonne j de la matrice B

Denition Le produit de deux matrices A a

ij

ij

de taille p n

et B b

ij

ij

de taille nm est la matrice C c

ij

ij

de taille pm ou

c

ij

P

n

k

a

ik

b

kj

On note C AB

Ex Soit a LEF dont la matrice est A a

ij

ij

de taille nm

Considerons lapplication transposee a

de F

dans E

denie par a

x

ax Montrer que la matrice a

ij

ij

de a

quand F

est muni de la base

duale de la base f et E

muni de la base duale de la base e est de taille mn

et verie a

ij

a

ji

Denition La transposee de la matrice A a

ij

de taille nm

est la matrice A

t

a

ji

de taille mn

Ex Montrer que AB

t

B

t

A

t

Structures des espaces de matrices

Compte tenu de linterpretation des matrices en termes dapplications li

neaires les structures de bases seront les memes

Notons M

mn

K lensemble des matrices ayant m lignes et n colonnes a

coecients dans K Avec laddition des matrices et la multiplication par un

scalaire M

mn

K est muni dune structure despace vectoriel sur K

Ex Construire une base de M

mn

K Quelle est sa dimension


Lorsque m n on a lespace M

n

K des matrices carrees dordre n La

multiplication des matrice est alors une operation interne de cet ensemble et

lui confere une structure danneau non commutatif Lunite de lanneau est

la matrice unite

Ex Donner des exemples de matrices carrees de meme taille A et B telles

que AB BA

Ex Montrer que si A et B sont des matrices inversibles dansM

n

K alors

AB

B

A

Chapitre

Determinants

Chapitre

Determinants

Introduction

A une famille de n vecteurs dans un espace de dimension n ou encore a une matrice carree

de taille n n qui peut etre consideree aussi comme la famille formee par ses n vecteurs

colonnes on associe un element du corps de base appele le determinant du systeme quon

peut concevoir de maniere intuitive comme le volume algebrique du parallelepipede

en dimension n construit sur les vecteurs de la famille Ainsi ce determinant sera si et

seulement si la famille de vecteurs est liee

Formes multilineaires alternees Deter

minants

Soit E un espace vectoriel sur le corps K de dimension nie n dans lequel

on xe une base e e

i

in

Denition Une forme nmultilineaire alternee f est une appli

cation de E

n

dans K qui est lineaire par rapport a chacune des n variables

et qui verie en outre pour tout couple i j n et tout x

x

n

fx

x

i

x

j

x

n

fx

x

j

x

i

x

n

Ainsi lorsque f est nmultilineaire alternee en utilisant la decomposition de

toute permutation en produit de transpositions on peut ecrire pour toute

permutation de f ng

fx

x

n

fx

x

n

Chapitre

ou est la signature de la permutation

Ex Montrer que lensemble des formes nmultilineaires alternees est un

sous espace vectoriel de lensemble des fonctions de E

n

dansK Nous noterons

A

n

E cet espace vectoriel

Ex Soit x

x

n

une famille de n vecteurs de E dont les composantes

dans la base e xee sont donnees par

x

i

n

X

j

x

ij

e

j

Soit A

n

E

Montrer que

x

x

n

X

S

n

x

x

nn

e

e

n

ou S

n

est le groupe des permutations de f ng

Soit K Montrer que lapplication

de E

n

dans K denie par

x

x

n

X

S

n

x

x

nn

est une forme nmultilineaire alternee

En conclure que dimA

n

E et que toute forme multilineaire alternee

est denie par sa valeur prise sur e

e

n

Denition On appelle determinant dans la base e e

e

n

la forme nmultilineaire alternee qui vaut sur e

e

n

Ainsi

detx

x

n

X

S

n

x

x

nn

Le determinant dune matrice carree est le determinant de la famille de ses

vecteurs colonnes

Ex Utiliser la formule precedente pour calculer dans le cas n

det

a

a

a

a

Determinants

Ex Montrer que detA detA

t

Ex Montrer que detA

n

detA

Ex Donner un exemple dans lequel detAB detA detB

Ex Montrer que si la famille x

x

n

est liee alors detx

x

n

En conclure que si A est une matrice carree et si B est obtenue a partir de

A en ajoutant a une colonne resp a une ligne une combinaison lineaire des

autres colonnes resp des autres lignes alors detA detB

Ex Soit A a

ij

ij

une matrice carree dordre n Si i j n notons

A

ij

la matrice carree dordre n obtenue en supprimant de la matrice A

la ligne i et la colonne j

Montrer que

detA

n

X

i

ij

a

ij

detA

ij

puis

detA

n

X

j

ij

a

ij

detA

ij

La premiere formule donne le developpement du determinant suivant la co

lonne j la deuxieme formule donne son developpement suivant la ligne i

Ex Soit A une matrice diagonale dont les coecients diagonaux seront

notes

i

Quel est le determinant de A En particulier quel est le determinant

de la matrice unite

Ex Montrer que detAB detAdetB

En conclure que si A est inversible detA et que detA

detA

Ex Montrer que detA est equivalent a A inversible

Ex Soit E un espace vectoriel de dimension n muni dune base e Soit

f

j

jm

une famille nie de vecteurs de E On appelle A la matrice de

taille nm dont les vecteurs colonnes sont les vecteurs f

j

decomposes dans

la base e Montrer que le rang du systeme de vecteurs f

j

jm

est r si et

seulement sil existe une matrice carree B extraite de A de taille r r de

determinant non nul et toute matrice carree de taille r r extraite

de A est de determinant nul

Chapitre

Calcul de determinants

Les problemes de calcul de determinants se classent dans deux categories

distinctes Dune part le calcul de type formel pour les determinants qui ont

une forme particuliere dautre part le calcul numerique de determinants sans

forme algebrique particuliere Le cas du calcul formel de determinants nest

pas un cas decole De nombreux problemes concrets conduisent en eet a

sinteresser a des determinants ayant une forme particuliere et pour lesquels

on arrive a obtenir une formule close

Le calcul numerique de determinants !quelconques! se fait des que lordre

depasse trois ou quatre par des methodes numeriques adaptees par exemple

pivot de Gauss

Ex Calculer le determinant

D

n

cos sin

sin cos


a b c d


x y x y

y x y x

x y x y

Ex calculer le determinant dordre n tridiagonal en fonction des para

metres abc

Determinants

D

n

a b

c a b

c a b

a b

c a

On pourra etablir une relation de recurrence liant D

n

a D

n

et D

n

Ex Determinants de Vandermonde On considere le determinant

V z

z

z

n

z

z

z

n

z

n

z

n

z

n

n

On remarquera que ce determinant est un polynome en les n variables

z

z

n

Quel est le degre de ce polynome

Montrer que ce polynome a pour tout i j le monome z

j

z

i

en facteur

Calculer ce determinant


D

n

n

n

n

n

n

n

ou

k

e

ik

n

Ex Calculer le determinant circulant dordre n

a

a

a

n

a

n

a

a

n

a

a

a

on pourra multiplier a droite ce determinant par le determinant de lexercice

precedent

Chapitre

Ex Calculer le determinant dordre n

cosx

sinx

cosnx

sinnx

cosx

sinx

cosnx

sinnx

cosx

n

sinx

n

cosnx

n

sinnx

n

Ex On veut calculer le determinant D

n

dordre n dont le coecient

dindice i j est

a

i

b

j

on supposera que a

i

b

j

Montrer dans un premier temps que D

n

est de la forme

D

n

c

n

Q

n

ij

a

i

a

j

b

i

b

j

Q

n

ij

a

i

b

j

ou c

n

est une constante

Montrer que

lim

a

n

a

n

D

n

a

b

a

b

n

a

n

b

a

n

b

n

puis que

lim

b

n

lim

a

n

a

n

D

n

a

b

a

b

n

a

n

b

a

n

b

n

En conclure que

lim

b

n

lim

a

n

a

n

D

n

D

n

puis que pour tout n c

n

Applications lineaires

Chapitre

Applications lineaires en

dimension nie

Introduction

Nous reprenons ici letude des applications lineaires dun espace de dimension nie dans

un autre espace de dimension nie Nous regarderons alors ce quapporte la notion de base

a cette etude

Bases et applications lineaires

Soit E et F deux espaces vectoriels sur le meme corps K de dimensions res

pectivesm et n Soit e e

e

m

et f f

f

n

des bases respectives

de E et de F est une application lineaire de E dans F

Ex Montrer que Im e

e

m

Denition On appelle rang dune application lineaire la dimension

de son image

Ex Soit G un sous espace vectoriel de E Montrer quil existe une appli

cation lineaire de E dans F telle que Ker G

Ex Soit G un sous espace vectoriel de E Dans E on denit la relation

xRy si et seulement si x y G

Montrer que R est une relation dequivalence

Chapitre

Montrer que sur lensemble quotient on denit une structure despace vecto

riel en posant

clx cly clx y

clx clx

ou clx designe la classe dequivalence de x

Denition Lespace vectoriel denit precedemment est appele es

pace quotient de E par G on le note EG

Ex Soit D un supplementaire de G dans E

E GD

Si x et y sont deux elements de E alors x et y secrivent de maniere unique

sous la forme x g

x

d

x

et y g

y

d

y

avec g

x

g

y

G d

x

d

y

D

Montrer que si x y G alors d

x

d

y

On peut alors denir lapplication p de EG dans D par

pclx d

x

Montrer que p est une application lineaire

Montrer que p est bijective

Quelle est la dimension de EG

On remarque quil est en un certain sens equivalent de travailler avec un

supplementaire de G ou avec EG

Ex factorisation des applications lineaires Montrer quil existe une

application injective " unique de EKer dans F telle que " s ou

s est la surjection naturelle de E sur EKer

Si de plus est surjective alors " est bijective

Ex SoitD un supplementaire deKer dans E Montrer que la restriction

"

de a D est surjective Comparer "

a lapplication " de lexercice

precedent

Denition Soit e

e

e

m

une autre base de E La matrice P

de lapplication identite de E muni de la base e

sur E muni de la base e est

la matrice de passage de la base e a la base e

Ainsi les colonnes de P

sont les coordonnees des vecteurs de la nouvelle base e

dans lancienne base

e

Applications lineaires

Ex Montrer que P est inversible

Ex Soit e

e

e

m

une autre base de E et f

f

f

n

une

autre base de F Notons P la matrice de passage de la base e a la base e

et

Q la matrice de passage de la base f a la base f

Si A est la matrice de

pour les bases e et f montrer que la matrice A

de pour les bases e

et f

verie

A

Q

AP

Ainsi dans le cas ou F E et ou f e f

e

on obtient pour lendomor

phisme

A

P

AP

Ex Etudier le cas ou F E

f e

base duale de E et f

e

Si P est la matrice de passage de e a e

quelle est la matrice de passage de

e

a e

Montrer que

A

P

t

AP

Ex Soit E un espace vectoriel de dimension nie n e e

e

m

une

base xee dans E f une application lineaire de E dans E endomorphisme ou

operateur de matriceA dans les bases donnees Montrer que A est inversible

f inversible si et seulement si detA

Ex Expression de linverse dune matrice

Soit A a

ij

ij

une matrice carree dordre n Si i j n notons A

ij

la

matrice carree dordre n obtenue en supprimant de la matrice A la ligne

i et la colonne j

On appelle cofacteur de a

ij

le nombre

ij

detA

ij

Montrer que

A

detA

C

ij

ij

ou C

ij

est le cofacteur de a

ji

Exemples

Ex Soit R

n

X lespace des polynomes de degre n Soit m n et

x

x

m

des reels distincts Soit F le sous espace des multiples du polynome

NX Xx

Xx

m

Quelle est la dimension du quotientR

n

XF

Chapitre

Determiner un isomorphisme de ce quotient sur R

m

X

Ex Dans le plan de la geometrie euclidienne on considere une base or

thonormee e

e

Soit R

la rotation vectorielle dangle On considere la

base f

f

ou f

R

e

et f

R

e

Quelle est la matrice de passage

de la base e

e

a la base f

f

On considere lapplication lineaire de

matrice

S

cos

sin

sin

cos

dans la base e

e

Quelle est la matrice de cette application lineaire dans

la base f

f

Systemes lineaires

Chapitre

Systemes lineaires

Introduction

La resolution dun systeme lineaire de m equations a n inconnues pouvant prendre leurs

valeurs dans un corps donne sinterprete en terme dalgebre lineaire comme la recherche

dun vecteur dans un espace de dimension n dont limage par une application lineaire

donnee est un vecteur donne dans un espace de dimension m Nous verrons a ce propos

plusieurs problemes distincts existence dune solution unicite determination de la ou des

solutions algorithmes eectifs de calcul

Problemes lineaires en dimension nie

Un systeme lineaire de m equations a n inconnues est un systeme du type

a

x

a

n

x

n

b

a

x

a

n

x

n

b

a

m

x

a

mn

x

n

b

m

ou les inconnues x

i

sont a chercher dans un corps K les coecients a

ij

du

systeme sont dans K et les donnees b

i

des seconds membres sont aussi dans

K

Pour un tel systeme les problemes poses sont les suivants

a Le systeme possedetil au moins une solution

b Sil existe une solution est elle unique

Chapitre

c Sil existe des solutions peut on les ecrire suivant une formule en

fonction des coecients et des seconds membres

d Comment calculer numeriquement une solution lorsqu on se donne

des valeurs numeriques explicites pour les coecients et les seconds membres

En particulier ce calcul peut il etre realise pratiquement a partir de formules

closes

La premiere chose que nous allons faire est dinterpreter de diverses manieres

en termes dalgebre lineaire le probleme pose Nous verrons que ces diverses

fa cons de voir sont toutes interessantes par les divers eclairages quelles

apportent au probleme

La premiere presentation est celle sous forme de systeme que nous avons

donnee Partant de la considerons lapplication lineaire L de K

n

dans K

m

qui a tout x x

x

x

n

fait correspondre y y

y

y

m

ou y

i

P

n

j

a

ij

x

j

Notons b b

b

b

m

le vecteur de K

m

constitue par les

seconds membres du systeme Dans ces conditions on cherche les solutions de

Lx b cestadire les vecteurs x de K

n

dont limage par L est un vecteur

donne b de K

m

Sous cette forme il est clair que la resolution du systeme

lineaire passe par letude de lapplication lineaire L Dailleurs si on munit

K

n

et K

m

de leurs bases naturelles on peut ecrire le systeme sous forme

matricielle

Ax b

ou encore

B

B

a

a

a

n

a

a

a

n

a

m

a

m

a

mn

C

C

A

B

B

x

x

x

n

C

C

A

B

B

b

b

b

m

C

C

A

Ainsi que nous lavons deja remarque dans le chapitre sur les formes lineaires

on peut considerer que letude dune application lineaire deK

n

dans K

m

peut

se faire par letude de m formes lineaires sur K

n

Plus precisement notons

L

i

i m la forme lineaire sur K

n

denie par

#L

i

x

n

X

j

a

ij

x

i

Dans cette optique la recherche des solutions du systeme se ramene a la

recherche des solutions communes aux m equations

L

i

x b

i

Systemes lineaires

Comme les solutions de chaque equation denissent un hyperplan ane

cas L

i

ou lespace tout entier cas L

i

b

i

ou encore

lensemble vide cas L

i

b

i

on voit bien la signication geome

trique de lensemble des solutions cest une intersection dobjets du type

precedent

Remarquons encore que si on appelle A

A

A

n

les vecteurs colonnes

donc elements de K

m

de la matrice A le probleme pose se ramene aussi

a trouver les coecients x

i

dune combinaison lineaire de ces vecteurs qui

vaille b

n

X

i

x

i

A

i

b

Enn compte tenu de linterpretation du probleme en terme dalgebre lineaire

on peut penser a lexprimer de maniere qui semble plus generale

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions nies respectives n et

m sur un corps K et L une application lineaire de E dans F Etant donne

b F existetil x E tel que Lx b

En fait en xant une base dans E et une base dans F on se ramene a

un systeme du type deni precedemment si bien que cette fa con de po

ser le probleme nest pas reellement plus generale Cependant elle est inte

ressante car elle permet de saranchir de laspect analytique quimposent

des bases xees pour une expression plus intrinseque A titre dexemple ci

tons le probleme dinterpolation suivant considerons u

u

m

des points

distincts de R Soit L lapplication lineaire de R

n

X espace des poly

nomes sur R de degre n dans R

m

qui a tout P R

n

X fait

correspondre P u

P u

m

Etant donne b b

b

m

un ele

ment de R

m

trouver P tel que LP b ou encore tel que pour tout

i m P u

i

b

i

Remarquons encore que le probleme sous sa forme intrinseque peut se pre

senter a laide de formes lineaires sous la forme suivante soit E un espace

vectoriel de dimension n sur K soient L

L

m

des formes lineaires sur E

et b

b

m

des elements deK trouver les vecteurs x de E tels que pour tout

i m on ait L

i

x b

i

A titre dexemple le probleme dinterpolation

cite au dessus sexprime facilement sous cette forme

En conclusion disons que nous utiliserons pour chaque probleme lineaire a

resoudre lune ou lautre de ces formes en choisissant bien entendu la plus

Chapitre

commode compte tenu du contexte

Ex On reprend les notations de lintroduction et on suppose m n

Montrer que les conditions suivantes sont equivalentes

le probleme lineaire Lx b a une solution et une seule pour tout

b K

m

L est bijective

KerL fg

detA

il existe b K

m

tel que le probleme Lx b ait une solution et une

seule

Donner des exemples et des contreexemples

Denition Lorsque dans le cas ou m n les conditions equiva

lentes precedentes sont realisees on dit que le systeme lineaire considere est

un systeme de Cramer Remarquons que le fait detre un systeme de Cra

mer ne depend pas du second membre du systeme

Ex Montrer que si m n il nest pas possible que le systeme ait une

solution et une seule cestadire que soit il na pas de solution soit il a

plusieurs solutions Donner des exemples de chaque cas

Dans le cas general lanalyse du probleme nest pas tres dicile a faire en

regardant le noyau et limage de lapplication lineaire L

Ex Si le systeme a une solution x x

x

n

lensemble de toutes les

solutions est xKerL

Le systeme a une solution si b ImL En particulier le systeme homogene

associe Lx a toujours une solution est toujours solution

Si le rang de L est m dimension de lespace darrivee F le systeme a

toujours une solution sinon il existe des cas ou il nen a pas

Si le noyau de L est reduit au vecteur nul il y a au plus une solution

Les divers cas precedents peuvent eventuellementetre detectes par des valeurs

de determinants

Ex Nous cherchons a resoudre Lx b ou L est une application lineaire de

lespace vectoriel E de dimension n dans lespace vectoriel F de dimensionm

espaces dans lesquels on suppose que des bases ont ete xees Nous notons

A a

ij

in

jm

la matrice de L dans les bases xees Soit r le rang de L

Systemes lineaires

dimension de limage On sait alors quil existe un sous determinant dordre

r non nul extrait de la matrice A on supposera pour xer les idees que cest

celui obtenu pour i r j r et que tout sous determinant dordre

r extrait de A est nul Montrer que le systeme admet une solution si et

seulement si pour tout s m r

a

a

r

b

a

a

r

b

a

r

a

rr

b

r

a

rs

a

rsr

b

rs

Ex Dans le cas dun systeme de cramer dont la matrice carree est

A a

ij

in

jn

dont les seconds membres sont b

b

n

lunique solution

x

x

k

x

n

secrit

x

k

a

a

k

b

a

k

a

n

a

n

a

nk

b

n

a

nk

a

nn

a

a

n

a

n

a

nn

Les formules precedentes dites formule de Cramer ne sont pas employees

pour la resolution explicite numerique des systemes sauf eventuellement en

petite dimension Parmi les methodes explicites de resolution la methode

du pivot de Gauss ou encore methode par elimination est tres simple

Divers algorithmes plus ou moins elabores realisent cette elimination Nous

proposons ici lalgorithme suivant dit algorithme de Crout

Ex Soit A une matrice carree dordre n dont le determinant est non nul

A a

ij

ijn

On cherche deux matrices carrees dordre n

L

ij

ijn

avec

ij

si j i

U

ij

ijn

avec

ij

si j i

Chapitre

telles que A LU

Combien y atil de coecients a determiner

Combien y atil dequations qui permettent de les determiner

Ceci explique quon puisse en outre imposer

ii

i n

Puisquon sait que les coecients

ii

valent on ne les stocke pas On

va donc pouvoir mettre les deux matrices L et U dans le meme tableau T

carre dordre n L matrice triangulaire inferieure et U matrice triangulaire

superieure

Pour chaque couple i j veriant i j n on dispose donc de la relation

infij

X

k

ik

kj

a

ij

etape

Calculer les

i

en fonction des a

i

Permutation des lignes an que parmi tous les

i

ainsi calcules celui de

plus grande valeur absolue se trouve en position Par abus de notation

nous appellerons toujours ces nombres

i

Montrer quapres permutation

Calculer les

j

pour j en fonction des a

j

et de

On peut iterer ce calcul supposons calculees les p premieres lignes et les

p premieres colonnes

etape p

Calcul de la p

e

colonne a partir du rang p cest a dire des elements

ip

pour i p Montrer que

ip

se calcule en fonction de a

ip

et delements deja

calcules

Permutation des lignes pour mettre le

ip

ou i p de plus grande

valeur absolue en position p p On montrera alors que le

pp

ainsi trouve

est non nul

Calcul de la p

e

ligne a partir du rang p cest a dire des elements

pj

pour j p Montrer que

pj

sexprime en fonction de a

pj

et delements deja

calcules

Remarque

Systemes lineaires

Lorsquon utilise cette transformation de la matrice A sous la forme LU

pour resoudre le systeme AX B on est amene a tenir compte des diverses

permutations faites sur les lignes en faisant des permutations analogues sur

les composantes de B on a alors ensuite a resoudre LUX B soit encore

LY B puis UX Y

Ex Montrer que le systeme Lx b admet une solution si et seulement

si pour toute solution u de L

u on a ub

Resolution explicite de systemes lineaires

Ex Resoudre

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Ex Quand le systeme suivant possedetil une solution unique

ax

bx

cx

dx

bx

ax

dx

cx

cx

dx

ax

bx

dx

cx

bx

ax

Ex Resoudre le systeme

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Ex Resoudre le systeme

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Ex Soit a resoudre un systeme de Cramer du type

a

x

a

n

x

n

b

a

n

x

a

nn

x

n

b

n

Chapitre

Notons pour k n

S

k

s

k

s

k

n

A

la solution du systeme

a

x

a

n

x

n

a

k

x

a

kn

x

n

a

k

x

a

kn

x

n

a

k

x

a

kn

x

n

a

n

x

a

nn

x

n

Montrer que la solution cherchee est

b

S

b

n

S

n

On pourra montrer que S

S

n

est une base de K

n

Quelle est sa base

duale

Valeurs propres vecteurs propres

Chapitre

Valeurs propres vecteurs

propres

Introduction

Nous etudions ici les notions tres importantes de vecteurs propres et valeurs propres

Nous traiterons dabord le cas simple de la diagonalisation des applications lineaires Nous

reprendrons ensuite letude de la decomposition spectrale de maniere plus complete en se

placant toutefois dans le cas ou le corps de base est algebriquement clos

Une premiere etude des valeurs propres

et

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Al0