DAFTAR ISI

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Bab I Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.1 Asuransi, Aktuaria, dan Aktuaris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2 Review Teori Peluang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Bab II Distribusi Survival dan tabel Mortalitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II.1 Distribusi Survival . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II.1.1 Fungsi distribusi dan Fungsi survival . . . . . . . . . . . . 6II.1.2 Peluang meninggal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II.1.3 Curtate-Future-Lifetime (CFL) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.1.4 Laju Kematian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II.2 Tabel Mortalitas (TM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.2.1 Hubungan TM dengan fungsi survival . . . . . . . . . . . 13

Bab III Anuitas Pasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16III.1 Bunga Sederhana dan Bunga Majemuk . . . . . . . . . . . . . . . . 16III.2 Anuitas Pasti dengan Pembayaran Diskrit . . . . . . . . . . . . . . 17

III.2.1 Nilai tunai di akhir jangka waktu . . . . . . . . . . . . . . . 17III.2.2 Nilai tunai sekarang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

III.3 Anuitas Pasti dengan Pembayaran Kontinu . . . . . . . . . . . . . 21

Bab IV Asuransi Jiwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24IV.1 Asuransi Dibayar Saat Meninggal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

IV.1.1 Asuransi seumur hidup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25IV.1.2 Asuransi berjangka n tahun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25IV.1.3 Asuransi endowmen (dwiguna) . . . . . . . . . . . . . . . . . 26IV.1.4 Asuransi seumur hidup tertunda m tahun . . . . . . . 27IV.1.5 Asuransi berjangka n tahun tertunda m tahun . . . 28IV.1.6 Asuransi dengan santunan membesar/mengecil . . . 29

IV.2 Asuransi Dibayar di Akhir Tahun Meninggal . . . . . . . . . . . 33IV.3 Hubungan antara Santuan dibayar Saat meninggal dan

di Akhir Tahun Meninggal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1

Bab I Pendahuluan

I.1 Asuransi, Aktuaria, dan Aktuaris

Asuransi berasal dari kata assurance atau insurance yang berarti jaminan.

Menurut Undang-Undang No.2 Th 1992 tentang usaha perasuransian:

Asuransi adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih, dengan mana

pihak penanggung mengikatkan diri kepada tertanggung, dengan menerima

premi asuransi, untuk memberikan penggantian kepada tertanggung karena

kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan atau

tanggung jawab hukum pihak ke tiga yang mungkin akan diderita tertanggung,

yang timbul dari suatu peristiwa yang tidak pasti, atau memberikan suatu

pembayaran yang didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang

dipertanggungkan.

Badan yang menyalurkan risiko disebut tertanggung dan badan yang

menerima risiko disebut penanggung. Perjanjian antara kedua badan

ini disebut kebijakan yaitu sebuah kontrak legal yang menjelaskan setiap

istilah dan kondisi yang dilindungi. Kebijakan tersebut disebut juga sebagai

polis asuransi. Biaya yang dibayar oleh tertanggung kepada penanggung

untuk risiko yang ditanggung disebut premi. Ini biasanya ditentukan oleh

penanggung untuk dana yang bisa diklaim di masa depan, biaya adminis-

tratif, dan keuntungan.

Penanggung menggunakan ilmu aktuaria untuk menghitung risiko yang

mereka perkirakan. Ilmu aktuaria menggunakan matematika, terutama

statistika dan probabilitas, yang dapat digunakan untuk melindungi risiko

untuk memperkirakan klaim di kemudian hari dengan ketepatan yang dapat

diandalkan. Orang yang ahli dalam ilmu aktuaria disebut aktuaris. Pemer-

intah telah mengatur bahwa setiap perusahaan asuransi wajib mempunyai

seorang aktuaris.

Menurut website PAI, www.aktuaris.org, aktuaris adalah seorang ahli yang

dapat mengaplikasikan ilmu keuangan dan teori statistik untuk menyelesaikan

persoalan-persoalan bisnis aktual. Persoalan ini umumnya menyangkut analisa

1

kejadian masa depan yang berdampak pada segi finansial, khususnya yang

berhubungan dengan besar pembayaran di masa depan dan kapan pembayaran

dilakukan pada waktu yang tidak pasti.

Secara umum, aktuaris bekerja di bidang konsultasi, perusahaan asuransi

jiwa, pensiun, dan investasi. Aktuaris juga sudah merambah ke bidang-

bidang lainnya yang sangat memerlukan kemampuan analitis, seperti

Asuransi Umum/Kerugian, Kesehatan, Manfaat Karyawan, Kebijakan Sosial,

Keuangan, dan Manajemen Resiko.

Gelar aktuaris di Indonesia diberikan oleh Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)

setelah seorang individu menempuh ujian profesi dan sertifikasi yang terdiri

dari 8 mata ujian untuk tingkat associate dan 5 mata ujian tambahan jika ingin

mencapai tingkatan fellow. Seorang sarjana Matematika mempunyai peluang

lebih besar untuk meraih gelar ini karena empat topik yang diujikan merupakan

mata kuliah yang umumnya ditawarkan suatu program studi tersebut yaitu,

Matematika Keuangan, Probabilitas dan Statistik, Metode Statistik, dan

Matematika Aktuaria. Mata ujian lainnya yang perlu dipelajari sendiri

adalah Ekonomi, Akuntansi, Teori Resiko, dan Pendidikan Profesionalisme.

I.2 Review Teori Peluang

Berikut beberapa istilah yang terkait dengan konsep dasar peluang:

Percobaan acak Percobaan yang hasilnya tidak dapat diprediksi tetapi

kemungkinan hasil-hasil yang terjadi dapat diketahui. Ciri lain dari

percobaan acak adalah bahwa percobaan tersebut dapat diulang-ulang

di bawah kondisi yang sama.

Ruang sampel Semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak.

Kejadian/peristiwa Subset dari ruang sampel.

Variabel acak Fungsi bernilai real yang terdefinisi di ruang sampel. Variabel

acak dikatakan diskrit jika nilai-nilainya (countable) dan dikatakan

kontinu jika nilai-nilainya dapat diambil dari suatu interval.

Variabel acak indikator Variabel acak yang hanya bernilai 0 atau 1.

Variabel ini disebut juga variabel Bernoulli.

2

Pada aktuaria contoh variabel acak diskrit, misalnya banyaknya klaim dan

contoh variabel acak kontinu, misalnya usia meninggal dan besarnya santunan.

Fungsi distribusi. Misalkan X suatu variabel acak. Fungsi distribusi dari

variabel acak X didefinisikan sebagai fungsi

F (x) = P (X x)

Fungsi ini bersifat:

1. Monoton tak turun. Artinya

jika x1 x2 maka F (x1) F (x2)

2. Nilai limit di ketakhinggaan

limx+

F (x) = 1 dan limx

F (x) = 0

3. Kontinu kanan

limxx+0

F (x) = F (x0)

Fungsi distribusi disebut juga fungsi distribusi kumulatif.

Contoh I.1. Sebuah dadu yang seimbang dilantunkan sekali. Misalkan X

menyatakan banyaknya spot pada permukaan dadu. Tentukan F (3), F (3, 4),

F (3 + 1n), dan F (3 1

n).

a. F (3) = P (X 3) = 12

b. F (3, 4) = P (X 3, 4) = 12

c. F (3 + 1n) = P (X 3 + 1

n) = 1

2

d. F (3 1n) = P (X 3 1

n) = P (X = 1) + P (X = 2) = 1

3

Fungsi densitas. Jika X kontinu maka P (X = x) = 0, dan F dapat

dinyatakan sebagai

F (x) =

x

f(s)ds

dengan f(s) disebut fungsi densitas. Jika f juga kontinu maka hubungan

antara fungsi densitas dengan fungsi distribusi adalah

f(x) =dF (x)

dx

3

Selanjutnya peluang

P (a < X < b) = F (b) F (a) = ba

f(s)ds

Jika X variabel acak diskrit, fungsi densitas didefinisikan sebagai

f(x) = P (X = x)

Fungsi densitas disebut juga fungsi densitas peluang atau fungsi kepadatan

peluang. Untuk kasus diskrit fungsi ini disebut juga fungsi peluang massa

atau fungsi peluang.

Contoh I.2. Pada asuransi berjangka satu tahun, perusahaan asuransi

setuju memberikan santunan sebesar b rupiah jika tertanggung meninggal

dunia dalam jangka waktu satu tahun dan santunan tidak dibayarkan jika

tertanggung masih hidup. Misalkan peluang terjadinya klaim adalah q,

tentukan distribusi dari besarnya santunan yang harus dibayarkan.

Jawab. Misalkan X besarnya santunan yang harus dibayarkan. Maka

fungsi densitas dari X

f(x) =

1 q, x = 0q, x = b

0, x lainnya

dan fungsi distribusinya

F (x) = P (X x) =

0, x < 0

q, 0 x < b1, x b

Ekspektasi Misalkan X variabel acak dengan fungsi densitas f(x). Jika X

kontinu maka ekspekstasi dari X

E[X] =

xf(x)dx

dan jika X diskrit

E[X] =x

xf(x)

4

Variansi Misalkan X variabel acak dengan fungsi densitas f(x). Variansi

dari X adalah

Var(X) = E[(X )2] = E[X2] 2

dengan = E[X]

Distribusi gabungan Misalkan (X, Y ) vektor acak. Maka fungsi

distribusi gabungan dari (X, Y )

F (x, y) = P (X x, Y y)

Untuk kasus diskrit, fungsi densitas gabungan dari (X, Y ) adalah

f(x, y) = P (X = x, Y = y)

dan untuk kasus kontinu fungsi distribusi dapat dinyatakan sebagai

F (x, y) =

x

y

f(w1, w2)dw1dw2

dengan f(x, y) fungsi densitas gabungan dari (X, Y ).

Peluang bersyarat Peluang bersyarat dari Y diberikan X = x didefini-

sikan

P (Y = y|X = x) = P (Y = y,X = x)P (X = x

Ekspektasi Jika W = g(X, Y ) maka untuk kasus diskrit ekspektasi dari

W didefinisikan

E[W ] =x

y

g(x, y)f(x, y)

dan untuk kasus kontinu

E[W ] =

g(x, y)f(x, y)dxdy

Sifat penting Misalkan X dan Y variabel acak, maka

a. E[X] = E[E[X|Y ]]

b. Var(X)Var(E[X|Y ]) + E[Var(X|Y )]

5

Bab II Distribusi Survival dan tabel

Mortalitas

II.1 Distribusi Survival

Meninggalnya seseorang merupakan sesuatu yang pasti terjadi namun kapan

terjadinya tidak dapat diprediksi. Karena itu, usia meninggal merupakan

suatu variabel acak. Distribusi usia meninggal dapat dinyatakan dalam bentuk

fungsi distribusinya atau fungsi survivalnya.

II.1.1 Fungsi distribusi dan Fungsi survival

Misalkan X menyatakan usia meninggal (berarti X 0). Fungsi distribusidari X adalah fungsi

F (x) = P (X x) (2.1)

Fungsi survival dari X adalah fungsi

s(x) = 1 F (x) = P (X > x)

F (x) dibaca peluang seseorang meninggal paling tua pada usia x dan s(x)

dibaca peluang seseorang masih hidup sampai usia x.

Dalam hal ini digunakan asumsi F (0) = 0 dan s(0) = 1. Dengan demikian

persamaan (2.1) dapat dipandang sebagai peluang meninggal untuk bayi yang

baru lahir sebab

P (X x|X > 0) = P (X x,X > 0)P (X > 0)

=P (X x)

s(0)= P (X x)

Latihan. Apa artinya

a. s(20) b. P (X 70) c. s(100) d. F (25) e. P (X > 35)

6

II.1.2 Peluang meninggal

Peluang meninggal seseorang berusia x

Perhatikan bahwa

P (x < X z)|X > x)

dapat dibaca peluang seseorang berusia x akan meninggal paling tua pada usia

z. Berdasarkan definisi peluang bersyarat,

P (x < X z)|X > x) = P (x < X z,X > x)P (X > x)

=P (x < X z)P (X > x)

=F (z) F (x)

1 F (x)

Tetapi F (x) = 1 s(x) sehingga

P (x < X z)|X > x) = (1 s(z)) (1 s(x))s(x)

=s(x) s(z)

s(x)

Jadi

P (x < X z)|X > x) = 1 s(z)s(x)

(2.2)

Peluang meninggal/hidup t tahun lagi

Misalkan seseorang berusia x dinotasikan dengan (x). Maka variabel acak

T (x) = X x

dapat merepresentasikan sisa hidup (x). Berarti, untuk bayi yang baru lahir

atau (0), sisa hidupnya adalah T (0) = X. Selanjutnya, peluang

P (T (x) t)

7

dapat dibaca peluang (x) akan meninggal paling lama t tahun lagi.

Pada aktuaria, peluang hidup dan peluang meninggal untuk (x) masing-masing

dinotasikan dengan

tpx : Peluang (x) akan hidup sampai t tahun lagi

tqx : Peluang (x) akan meninggal dalam t tahun

Berdasarkan definisinya tpx dan tqx dapat ditulis sebagai

tqx = P (T (x) t) = P (x < X t|X > x)

dan

tpx = 1 tqx = P (T (x) > t)

Untuk t = 1, notasi 1qx dan 1px cukup ditulis

qx : peluang (x) akan meninggal dalam setahun

px : peluang (x) hidup setahun lagi

Hubungan antara peluang hidup dan fungsi survival

tpx =s(x+ t)

s(x)

Bukti. Berdasarkan definisi tqx dan persamaan (2.2) diperoleh

tqx = P (T (x) t) = P (x < X < x+ t|X = x)

= 1 s(x+ t)s(x)

Akibatnya

tpx =s(x+ t)

s(x)

Jadi terbukti.

Khususnya, untuk kasus bayi yang baru lahir atau (0),

xp0 = s(x) x 0

8

Peluang (x) akan meninggal antara usia x+ t dan x+ t+ u

Dinotasikan dengan t|uqx. Berdasarkan definisinya,

t|uqx = P (t < T (x) t+ u)

= P (T (x) t+ u) T (x) t)

= t+uqx tqx= tpx t+upx

Untuk u = 1 cukup ditulis t|qx.

Peluang t|uqx juga dapat dinyatakan sebagai perkalian antara tpx dan uqx+t.

Bukti. Karena

tqx = 1s(x+ t)

s(x)dan tpx =

s(x+ t)

s(x)

maka

t|uqx =s(x+ t)

s(x) s(x+ t+ u)

s(x)

=s(x+ t) s(x+ t+ u)

s(x)

=s(x+ t)

s(x)

(s(x+ t) s(x+ t+ u)

s(x+ t)

)= tpx

(1 s(x+ t+ u)

s(x+ t)

)= tpx uqx+t

Daftar lambang

(x) : seseorang berusia x

X : variabel acak yang menyatakan usia meninggal

T (x) : variabel acak yang menyatakan sisa hidup untuk (x)

s(x) : peluang hidup sampai usia x

tpx : peluang (x) akan hidup sampai t tahun lagi

tqx : peluang (x) akan meninggal dalam t tahun

t|uqx : peluang (x) akan meninggal antara usia x+ t dan x+ t+ u

9

Latihan

Apa arti dari simbol-simbol berikut:

a. P (X 30)

b. P (X > 30)

c. s(40)

d. F (50)

e. 5p20

f. 5q20

g. 2|5q20

II.1.3 Curtate-Future-Lifetime (CFL)

CFL untuk (x) adalah variabel acak yang menyatakan bilangan bulat terbesar

pada variabel acak T (x). Dengan kata lain jika K(x) CFL untuk (x) maka

K(x) = bT (x)c

Contoh

Misal T (x)= 25 tahun 4 bulan 2 hari. Maka K(x) = 25 tahun.

Misal T (x)= 20 tahun 11 bulan 26 hari. Maka K(x) = 20 tahun

Distribusi dari CFL

Fungsi densitas (pdf) dari K(x):

P (K(x) = k) = P (k T (x) < k + 1)

= P (k < T (x) k + 1)

= kpx k+1px= kpx qx+k = k|qx

dan fungsi distribusinya

FK(x)(y) =k

h=0

h|qx = k+1qx

10

dengan y 0 dan k = byc

II.1.4 Laju Kematian

Diketahui

P (x < X < x+4x|X > x) = FX(x+4x) FX(x)1 FX(x)

Jika 4x 0 maka

lim4x0

FX(x+4x) FX(x)1 FX(x)

=d

dxFX(x) = fX(x)

sehingga

P (x < X < x+4x) =fX(x)4x1 FX(x)

Fungsi

(x) =fX(x)

1 FX(x)=s(x)s(x)

disebut laju kematian untuk (x). Nilai (x) dapat diinterpretasikan sebagai

peluang (x) akan meninggal sebentar lagi (dalam waktu yang sangat singkat).

Hubungan antara peluang hidup dengan laju kematian

1. Tunjukkan

npx = e

n0 (x+s)ds

Bukti. Dari definisi laju kematian

(y) = s(y)

s(y)= d

dyln s(y)

atau

(y)dy = d ln s(y)

11

Dengan mengintegralkan kedua ruas dari x sampai x+ n diperoleh

x+nx

(y)dy = ln s(y)|x+nx

= lns(x+ n)

s(x)

= ln npx

Misal s = y x maka ds = dy. Jika y = x maka s = 0 dan jika y = x + nmaka s = n. Akibatnya

npx = e

n0 (x+s)ds

Jadi terbukti.

Untuk kasus (0), hubungan antara peluang hidup, fungsi survival, dan laju

kematian adalah

xp0 = s(x) = e

x0 (s)ds, x 0

2. Tunjukkan pdf dari T (x) adalah

fT (x)(t) = tpx (x+ t)

Bukti. Karena T (x) variabel acak kontinu maka pdf-nya

fT (x)(t) =d

dtFT (x)(t) =

d

dtP (T (x) t) = d

dttqx

=d

dt

[1 s(x+ t)

s(x)

]= s

(x+ t)

s(x)

=s(x+ t)

s(x)

s(x+ t)

s(x+ t)

= tpx (x+ t) t 0

Jadi terbukti.

12

Selain itu, karena fT (x)(t) =ddt tqx dan tqx = 1 tpx maka

d

dt(1 tpx) =

d

dttpx = tpx (x+ t)

II.2 Tabel Mortalitas (TM)

Tabel mortalitas adalah tabulasi nilai fungsi-fungsi dasar qx, `x, dx dan fungsi

tambahan lainnya yang didaftar berdasarkan usia x atau rentang usia (x, x+1)

dengan x = 0, 1, 2, . . . , dan batas usia yang mungkin (contoh lihat Bowers,

et al., 1997, hal. 60-63 ).

Tabel mortalitas yang populer di Indonesia adalah Tabel CSO 1958. Saat ini

Indonesia juga sudah mempunyai tabel mortalitas sendiri yaitu TMI 1999.

II.2.1 Hubungan TM dengan fungsi survival

Misalkan terdapat `0 bayi yang baru lahir dan setiap bayi diindeks dengan

j = 1, 2, . . . , `0. Definisikan variabel indikator

Ij(x) =

{1, jika bayi ke-j masih hidup

0, jika bayi ke-j meninggal

Misalkan Lx menyatakan bayi yang bertahan hidup sampai usia x. Maka

Lx =`0j=1

Ij(x)

Karena E[Ij(x)] = 1.s(x) = s(x) maka

E[Lx] =`0j=1

E[Ij(x)] = `0 s(x) tulis `x

Dengan kata lain `x menyatakan banyaknya bayi yang diharapkan masih hidup

sampai usia x dan

`x = `0 s(x)

13

Misalkan nDx menyatakan banyaknya bayi yang meninggal antara usia x danx+ n, dan ndx menyatakan ekspektasinya. Maka

ndx = E[nDx] = `0s(x) `0s(x+ n) = `0[s(x) s(x+ n)]

= `x `x+n

Ketika n = 1, 1dx cukup ditulis dx.

Densitas meninggal pada selang (x, x+ dx)

Karena `x = `0 s(x) maka

1`x

d`xdx

= 1s(x)

ds(x)

dx= (x)

dan

d`x = `x(x)dx

Karena

`x(x) = `0 xp0 (x) = `0fX (x),

faktor `x(x) dapat diinterpretasikan sebagai densitas kematian yang

diharapkan pada selang (x, x+ dx).

Selanjutnya,

`x = `0e

x0 (y)dy

`x+n = `xe

x+nx (y)dy

`x+n `x = x+nx

`y(y)dy

Penulisan tpx, tqx, x sebagai fungsi dari `x

tpx =s(x+ t)

s(x)=`0s(x+ t)

`0s(x)=`x+t`x

tqx = 1`x+t`x

=`x `x+t

`x

x = s(x)

s(x)=`0s(x)

`0s(x)= `

x

`x

14

Akibatnya

px =`x+1`x

qx =`x `x+t

`x=dx`x

Daftar lambang

K(x) : bilangan bulat terbesar dari sisa hidup T (x)

px : peluang (x) hidup setahun lagi

qx : peluang (x) meninggal dalam setahun

k|qx : peluang (x) meninggal antara usia x dan x+ 1

(x) : peluang (x) akan meninggal dalam waktu yang sangat singkat

Lx : banyaknya (x) yang masih hidup`x : banyaknya (x) yang diharapkan masih hidup

nDx : banyaknya (x) yang meninggal dalam n tahun

ndx : banyaknya (x) yang diharapkan meninggal dalam n tahun

dx : banyaknya (x) yang diharapkan meninggal dalam setahun

Beberapa Hukum Mortalitas

1. Hukum De Moivre (1729)

x =1

x, dengan 0 x

dengan menyatakan usia tertua dimana seseorang masih hidup.

2. Gompertz (1825)

x = Bcx

dengan B > 0, c > 1, x 0

3. Makeham (1860)

x = A+Bcx

dengan B > 0, A B, c > 1, x 0

4. Weibull (1939)

x = kxn

dengan k > 0, n > 0, x 0

15

Bab III Anuitas Pasti

Anuitas adalah serangkaian pembayaran berkala yang dilakukan dalam jangka

waktu tertentu. Satuan waktu yang digunakan misalnya tahunan, bulanan,

harian, atau satuan waktu lainnya. Karena masa pembayarannya tertentu,

anuitas ini disebut juga anuitas pasti atau anuitas tentu. Jika jangka

waktu pembayaran dikaitkan dengan hidup atau meninggalnya seseorang maka

anuitas ini disebut anuitas hidup.

III.1 Bunga Sederhana dan Bunga Majemuk

Misalkan dana sebesar P rupiah diinvestasikan dengan bunga i per tahun.

Jika metode penghitungan bunga didasarkan pada bunga sederhana dan

bunga majemuk, maka setelah 1, 2, . . . , n tahun, dana tersebut menjadi:

Investasi Bunga Sederhana Bunga Majemuk

1 tahun P1 = P + iP P1 = P + iP

2 tahun P2 = P + 2Pi = P (1 + 2i) P2 = P (1 + i)2

...

n tahun Pn = P (1 + ni) Pn = P (1 + i)n

Contoh III.1. Uang sebesar 500 juta rupiah diinvestasikan dengan bunga

6% per tahun. Tentukan selisih hasil investasi setelah 10 tahun, jika perhi-

tungan didasarkan pada bunga sederhana dan bunga majemuk.

Penyelesaian. Misalkan P = 500, i = 6%, dan n = 10. Berdasarkan bunga

sederhana,

P10 = P (1 + 10i) = 500(1 + 10 (6%)) = 800

dan berdasarkan bunga majemuk,

P10 = P (1 + i)10 = 500(1 + 6%)10 = 895, 42

16

Jadi setelah 10 tahun, selisih hasil investasi yang terjadi adalah 95, 4 juta

rupiah.

Contoh III.2. Seseorang ibu mempunyai anak berusia 3 tahun. Ia ingin

agar 15 tahun lagi mempunyai uang sebesar 100 juta rupiah untuk biaya kuliah

anaknya. Berapa uang yang harus ia investasikan jika suku bunga yang berlaku

5% per tahun dan perhitungan didasarkan pada bunga majemuk.

Penyelesaian. Misalkan P = 10, i = 5%, dan n = 15. Berdasarkan bunga

majemuk

Pn = P (1 + i)n

Akibatnya

P =Pn

(1 + i)n=

100

(1 + 5%)15= 48, 1

Jadi uang yang harus diinvestasikan saat ini adalah 48, 1 juta rupiah.

Untuk pembahasan di subbab selanjutnya, perhitungan bunga akan didasarkan

pada bunga majemuk dan besarnya dana/uang yang diinvestasikan saat ini

akan disebut nilai tunai.

III.2 Anuitas Pasti dengan Pembayaran Diskrit

Pembayaran dapat dilakukan setiap awal satuan waktu atau setiap akhir

satuan waktu. Berikut akan dibahas perhitungan:

1. Nilai tunai di akhir jangka waktu (Sn dan Sn )

2. Nilai tunai sekarang (an dan an )

III.2.1 Nilai tunai di akhir jangka waktu

Misalkan terdapat anuitas tahunan sebesar Rp. 1 yang dilakukan selama n

tahun dengan bunga i per tahun dan pembayaran dilakukan setiap awal tahun.

Maka nilai tunai di akhir tahun ke-n

Sn = (1 + i)n + (1 + i)n1 + (1 + i)n2 + + (1 + i)

17

Jika pembayaran dilakukan setiap akhir tahun, maka nilai tunai di akhir tahun

ke-n

Sn = (1 + i)n1 + (1 + i)n2 + + (1 + i) + 1

Hubungan antara Sn dengan Sn adalah

Sn = (1 + i)Sn

sebab

Sn = (1 + i)n + (1 + i)n1 + (1 + i)n2 + + (1 + i)

= (1 + i)[(1 + i)n1 + (1 + i)n2 + + 1

]= (1 + i)Sn

III.2.2 Nilai tunai sekarang

Faktor diskon. Misalkan tahun depan kita menginginkan uang sebesar 1

(satuan uang). Jika tingkat bunga yang berlaku i maka nilai sekarang dari

uang tersebut adalah

=1

1 + i= (1 + i)1

selanjutnya disebut faktor diskon.

Secara umum, jika n tahun kemudian kita menginginkan uang sebesar 1

(satuan uang), maka nilai sekarang dari uang tersebut adalah n.

Nilai sekarang dari anuitas 1 yang dibayar setiap awal tahun selama

n tahun adalah

an = 1 + + 2 + + n1 = 1

n

1 (3.1)

0 1 2 n 1 n

Rp.1 Rp.1 Rp.1Rp.1

Gambar III.1: Anuitas dengan pembayaran setiap awal tahun

18

0 1 2 n 1 n

Rp.1Rp.1 Rp.1Rp.1

Gambar III.2: Anuitas dengan pembayaran setiap akhir tahun

Karena

an =1 n

1 maka jika pembayaran dilakukan tak hingga kali setiap awal tahun (n),nilai tunai sekarangnya adalah

a =1

1 =

1

d

dengan d = 1 .

Nilai sekarang dari anuitas 1 yang dibayar setiap akhir tahun selama

n tahun adalah

an = + 2 + + n1 + n (3.2)

Berdasarkan sifat deret geometri, persamaan (3.2) juga dapat ditulis sebagai

an =(1 n)

1 (3.3)

Dari persamaan (3.3), jika pembayaran dilakukan tak hingga kali (n )

0 1 2 n1 n

Rp.1 Rp. 1 Rp. 1Rp.1

1 2 n1

Gambar III.3: Nilai tunai sekarang untuk pembayaran setiap awal tahun

19

setiap akhir tahun, maka nilai tunai sekarangnya adalah

a =

1 =

d

Hubungan antara an dengan an adalah

an = 1 + ( + 2 + + n1) = 1 + an1

Contoh III.3. Seorang pengusaha meminjam uang ke bank sebesar USD

10.000 dengan bunga 5% per tahun. Tentukan angsuran yang harus dibayar

jika masa peminjaman 5 tahun.

Penyelesaian. Misalkan pembayaran dilakukan setiap akhir tahun.

Diketahui bunga i = 0, 05 dan jangka waktu n = 5 tahun, maka faktor diskonto

= 1/(1+0, 05) = 0, 952 sehingga nilai sekarang dari anuitas sebesar 1 adalah

a5

=(1 5)

1 =

0, 952(1 (0, 952)5)1 0, 952

= 4, 324

Jika A menyatakan nilai angsuran, maka nilai tunai pinjaman harus sama

dengan nilai sekarang dari total angsuran atau

10.000 = Aa5

Akibatnya

A =10.000

a5

=10.000

4, 324= 2.312, 67

Jadi angsuran yang harus dibayar adalah USD 2.312,67 per tahun.

Contoh III.4. Biaya kuliah seorang mahasiswa 10 tahun lagi diperkirakan

mencapai 100 juta rupiah. Jika suku bunga dianggap tetap 5%, berapakah

uang yang harus ditabung setiap akhir tahun?

Penyelesaian. Diketahui bunga i = 0, 05 dan jangka waktu n = 10 tahun.

Misalkan A menyatakan besarnya uang yang harus ditabung tiap akhir tahun

agar di akhir tahun ke-10 nilai tunainya mencapai 100 juta rupiah, maka nilai

uang yang diperlukan harus sama dengan nilai akhir anuitas atau

20

106 = AS10

Karena

Sn =n1k=0

(i+ i)nk = (1 + i)nn1k=0

k = (1 + i)n(

1 n

1

)= (1 + i)n

[1 (i+ i)n

1 (1 + i)1

]=

(i+ i)n 1(1 + i) 1

maka

S10

=(1, 05)10 1(1, 05) 1

= 12, 578

sehingga

A =106

S10

=106

12, 578= 795.000, 96

Jadi uang yang harus ditabung setiap akhir tahun adalah Rp. 795.000,96.

Latihan

1. Tunjukkan an =1ni

2. Tunjukkan Sn =1in

3. Tunjukkan Sn =ann

4. Tunjukkan Sn = Sn+1 + 1

5. Tunjukkan Sn =(1+i)n

i

6. Tunjukkan an+m an1 = n + n+1 + + n+m

7. Tunjukkan ian = 1 + i n1

8. Tunjukkan ax =

0 tpx x+t at

III.3 Anuitas Pasti dengan Pembayaran Kontinu

Misalkan suatu anuitas dibayarkan secara kontinu dengan laju pembayaran 1

per tahun. Nilai sekarang dari total pembayaran (at ) adalah

at =1 t

sebab

at =

t0

sds =

[s

ln

]t0

=t 1ln

=1 t

ln =

1 t

21

Akibatnya, jika t makaa =

1

Selanjutnya, nilai total pembayaran di akhir tahun (St ) adalah

St =(1 + i)t 1

sebab

St =

t0

(1 + i)sds =

[(1 + i)s

ln(1 + i)

]t0

=(1 + i)t 1

ln(1 + i)=

(1 + i)t 1

dengan

= ln = ln 11 + i

= (ln 1 ln(1 + i)) = (0 ln(1 + i))

= ln(1 + i)

22

Daftar lambang

i : bunga

= (1 + i)1 : faktor diskon

= ln : laju bungaSn =

n1k=0(i+ i)

nk : nilai tunai di akhir jangka waktu n dari anuitas

sebesar 1 dengan pembayaran setiap akhir periode

Sn = (1 + i)Sn : nilai tunai di akhir jangka waktu n dari anuitas

sebesar 1 dengan pembayaran setiap awal periode

an =1 n

1 : nilai sekarang dari anuitas sebesar 1 dengan

pembayaran setiap awal periode selama jangka

waktu n

an =(1 n)

1 : nilai sekarang dari anuitas sebesar 1 dengan

pembayaran setiap akhir periode selama jangka

waktu n

a =1

1 : nilai sekarang dari anuitas sebesar 1 yang dibayar

tanpa batas waktu dengan pembayaran setiap

awal periode

a =

1 : nilai sekarang dari anuitas sebesar 1 yang dibayar

tanpa batas waktu dengan pembayaran setiap

akhir periode

at =1 t

: nilai sekarang dari anuitas sebesar 1 yang dibayar

secara kontinu selama t satuan waktu

a =1

: nilai sekarang dari anuitas sebesar 1 yang dibayar

secara kontinu tanpa batas waktu

St =(1 + i)t 1

: nilai tunai di akhir jangka waktu t dari anuitas

sebesar 1 yang dibayar secara kontinu

23

Bab IV Asuransi Jiwa

Berdasarkan fungsinya, asuransi dapat digunakan untuk mengurangi kerugian

finansial yang diderita tertanggung, akibat terjadinya suatu musibah,

kerusakan, atau peristiwa lainnya yang waktu kejadiannya bersifat acak

(random). Kerugian finansial tersebut menjadi berkurang karena pemberian

santunan (benefit) dari fihak penanggung. Santunan tersebut diperoleh dari

pengumpulan premi yang telah dibayar para nasabah sesuai dengan yang

tertera pada buku polis. Jika waktu pemberian santunan didasarkan karena

meninggalnya tertanggung, maka asuransi tersebut disebut asuransi jiwa.

Pada bab ini akan dibahas model-model asuransi jiwa ketika santunan

dibayarkan saat tertanggung meninggal dan ketika santunan dibayarkan di

akhir tahun tertanggung meninggal. Selain itu, dibahas pula model perhi-

tungan nilai sekarang yang diharapkan dari santunan yang diberikan saat

tertanggung meninggal.

IV.1 Asuransi Dibayar Saat Meninggal

Misalkan diasumsikan tertanggung adalah (x) dan sisa hidupnya T = t dengan

T 0. Beberapa variabel acak yang diperlukan:

T : Jangka waktu antara polis diterbitkan sampai tertanggung meninggal

bT : Besarnya santunan yang dibayar ketika tertanggung meninggal

vT

: Nilai sekarang dari santunan sebesar bT = 1

Z : Nilai sekarang dari santunan atau Z = bTvT

Selanjutnya, ekspektasi nilai sekarang dari santunan bt = 1 disebut actuarial

present value (APV) atau dengan kata lain, APV = E[Z]

Berikut dibahas empat model asuransi, yaitu asuransi seumur hidup, asuransi

berjangka n tahun, asuransi endowmen, asuransi tertunda, dan asuransi

dengan santunan membesar/mengecil.

24

IV.1.1 Asuransi seumur hidup

Santunan dibayarkan saat tertanggung (x) meninggal. Untuk santunan bt = 1

(satuan uang) dengan fungsi diskon t = t, variabel acak yang menyatakan

nilai sekarang dari santunan adalah

Z = T , T 0

Dengan demikian, nilai APV dari santunan sebesar 1 adalah

Ax = E[Z] =

0

zt fT (t)dt =

0

t tpx x(t)dt

Contoh IV.1. Misalkan fungsi densitas peluang dari T untuk tertanggung

(x) adalah

fT (t) =

{180, 0 t 80

0, t lainnya

Tentukan APV dari asuransi seumur hidup untuk (x) dengan laju bunga .

Penyelesaian. Karena = ln maka

= e dan t = et

Selanjutnya, karena Z = T maka APV dari asuransi seumur hidup untuk (x)

Ax = E[Z] = E[T ] =

0

tfT (t)dt =

800

et1

80dt =

1 e80

80

dengan 6= 0.

IV.1.2 Asuransi berjangka n tahun

Santunan dibayarkan jika tertanggung meninggal sebelum jangka waktu n.

Untuk fungsi santunan

bt =

{1, t n0, t > n

25

dengan fungsi diskon t = t, variabel acak yang menyatakan nilai sekarang

dari santunan adalah

Z =

{T , T n0, T > n

Nilai APV dari santunan dinotasikan dengan A1x:n dan nilainya adalah

A1x:n = E[Z] =

n0

t tpx x(t)dt

IV.1.3 Asuransi endowmen (dwiguna)

Asuransi endowmen murni n tahun

Pada model ini, pembayaran santunan di akhir jangka waktu n hanya diberikan

jika tertanggung masih hidup sedikitnya n tahun sejak polis dikeluarkan.

Jika ia meninggal sebelum jangka waktu n, maka tidak ada santunan yang

diberikan. Untuk fungsi santunan

bt =

{0, t n1, t > n

dengan fungsi diskon n = n, variabel acak yang menyatakan nilai sekarang

dari santunan adalah

Z =

{0, T nn, T > n

Misalkan In adalah variabel indikator yang bernilai 1 jika tertanggung masih

hidup sebelum jangka waktu n dan bernilai 0 jika sudah meninggal. Maka,

variabel acak Z dapat dinyatakan sebagai Z = nIn. Dengan demikian, APV

dari santunan adalah

A 1x:n = E[Z] = E[nIn] =

nnpx

Pada bab berikutnya, nilai sekarang dari santunan suatu endowmen murni n

tahun juga dinotasikan dengan nEx.

26

Asuransi endowmen n tahun

Pada model ini, santunan diberikan baik ketika tertanggung meninggal

sebelum atau sesudah jangka waktu n.

Untuk fungsi santunan bt = 1 dengan fungsi diskon

t =

{t, t nn, t > n

variabel acak yang menyatakan nilai sekarang dari santunan adalah

Z =

{T , T nn, T > n

Karena Z dapat dinyatakan sebagai

Z = Z1 + Z2

dengan

Z1 =

{T , T n0, T > n

dan Z2 =

{0, T nn, T > n

maka APV dari santunan yang dinotasikan dengan Ax:n adalah

Ax:n = A1x:n + A

1x:n

Selain model-model tersebut, model asuransi lainnya adalah

IV.1.4 Asuransi seumur hidup tertunda m tahun

Pada model ini, santunan dibayarkan jika tertanggung meninggal paling cepat

m tahun setelah polis dikeluarkan. Sebagai contoh, untuk asuransi seumur

hidup tertunda m tahun dengan santunan 1 (satuan uang) yang dibayarkan

saat meninggal, maka fungsi santunan, fungsi diskon, dan nilai sekarang

27

santunan, masing-masing dapat dinyatakan sebagai

bt =

{1, t > m

0, t m

t = t, t > 0

Z =

{t, T > m

0, T m

Nilai APV dari santunan dinotasikan dengan m|Ax dan nilainya adalah

m|Ax = E[Z] =

m

t tpx x(t)dt

IV.1.5 Asuransi berjangka n tahun tertunda m tahun

Pada model ini, santunan dibayarkan jika tertanggung meninggal antaram dan

n + m tahun lagi. Untuk angsuran sebesar 1 (satuan uang), fungsi santunan,

fungsi diskon, dan nilai sekarang santunan, masing-masing dapat dinyatakan

sebagai

bt =

{1, m < t n+m0, t m, t > n+m

t = t, t > 0

dan

Z =

{T , m < T n+m0, T m, T > n+m

Nilai APV dari santunan dinotasikan dengan m|nAx dan nilainya adalah

m|nAx = E[Z] =

m+nm

t tpx x(t)dt

28

IV.1.6 Asuransi dengan santunan membesar/mengecil

Asuransi seumur hidup dengan santunan membesar setiap tahun

Pada asuransi ini, besarnya santunan yang diberikan tergantung pada waktu

meninggalnya tertanggung. Semakin lama ia meninggal, semakin besar

santunan yang diterima. Besarnya santunan yang dimaksud adalah bilangan

bulat terbesar dari usia polis terakhir ditambah santunan dasar.

Jika santunan dasarnya sebesar 1 (satuan uang) maka fungsi santunan, fungsi

diskon, dan nilai sekarang santunan masing-masing dapat dinyatakan sebagai

bt = bt+ 1c, t 0,

t = t, t 0,

Z = bT + 1cT , T 0

Sebagai contoh, jika tertanggung meninggal pada saat usia polis baru 11 bulan

27 hari, maka santunan yang diterima adalah 1 (satuan uang). Namun, jika

meninggalnya bersamaan dengan usia polis 1 tahun 1 hari, maka santunannya

2 satuan uang.

Nilai APV dari santunan dinotasikan dengan (IA)x dan nilainya adalah

(IA)x = E[Z] =

0

bt+ 1ct tpx x(t)dt

Asuransi berjangka n tahun dengan santunan mengecil setiap tahun

Asuransi ini merupakan kebalikan dari model asuransi pada bagian (a).

Semakin lama ia meninggal, semakin kecil santunan yang diterima. Jika

ia meninggal sebelum jangka waktu n tahun, maka santunan yang diterima

adalah selisih antara n dengan bilangan bulat terbesar dari usia polis.

Jika santunan dasarnya sebesar 1 (satuan uang) maka fungsi santunan, fungsi

29

diskon, dan nilai sekarang santunan, masing-masing dapat dinyatakan sebagai

bt =

{n btc, t n

0, t > n

t = t, t > 0

Z =

{T (n bT c), T n

0, T > n

Sebagai contoh, jika tertanggung meninggal pada saat usia polis baru 11 bulan

27 hari, maka santunan yang diterima adalah n (satuan uang). Namun, jika

meninggalnya bersamaan dengan usia polis 1 tahun 1 hari, maka santunannya

n 1 satuan uang.

Nilai APV dari santunan dinotasikan dengan (DA)1x:n .

(DA)1x:n = E[Z] =

n0

t (n btc) tpx x(t)dt

Asuransi seumur hidup dengan santunan membesar setiap periode

m kali per tahun

Pada model ini, diasumsikan satu tahun dibagi menjadi m periode. Sebagai

contoh, andaikan santunan dasar ditetapkan sebesar 1 (satuan uang). Jika

tertanggung meninggal sebelum usia polis berusia 1/m tahun, maka santu-

nannya 1/m satuan uang. Namun, jika waktu meninggalnya di antara usia

polis 1/m tahun dan 2/m tahun, maka santunan yang diterima (1 + 1/m)

satuan uang.

Jika santunan dasarnya sebesar 1 (satuan uang), maka fungsi santunan, fungsi

diskon, dan nilai sekarang santunan, masing-masing dapat dinyatakan sebagai

bt =btm+ 1c

m, t 0,

t = t, t 0,

Z =T bTm+ 1c

m, T 0

30

Nilai APV dari santunan dinotasikan dengan (I(m)A)x dan nilainya adalah

(I(m)A)x = E[Z] =

n0

T btm+ 1cm

tpx x(t)dt

Latihan

1. Misalkan (x) = suatu konstanta positif untuk setiap x > 0. Tunjukkan

bahwa Ax = /(+ ).

2. Asumsikan mortalitas suatu populasi dinyatakan sebagai `x = 100x untuk0 x 100 dan laju bunga = 0, 05.

(a) Hitung A 140:25

(b) Tentukan APV asuransi berjangka 25 tahun dengan santunan sebesar

bt = e0,05t dibayar saat meninggal, untuk seseorang yang berusia 40

tahun saat polis diterbitkan.

3. Misalkan fungsi survival diasumsikan mengikuti hukum De Moivre dengan

= 100 dan i = 0, 1. Hitung A 130:10

.

4. Jika t = 0, 2/(1 + 0, 05t) dan `x = 100x untuk 0 x 100, hitung APVasuransi seumur hidup untuk seseorang berusia x.

31

Tab

elIV

.1:

Model

-model

asura

nsi

den

gan

santu

nan

dib

ayar

kan

sege

rase

tela

hte

rtan

ggung

men

ingg

al

Jenis

Asu

ransi

Santu

nan

Dis

kon

Nilaise

kara

ng

AP

V(bt)

(t)

(zt

= tb t

)E

[Z]

Seu

mur

hid

up

1t

t

Ax

Ber

jangk

an

tahun

1,tn

0,t>n

t

t ,

tn

0,t>n

A1 x:n

Endow

men

murn

i0,

tn

n

0,tn

A1

x:n

nta

hun

1,t>n

n,t>n

nEx

Endow

men

nta

hun

1t ,

tn

n,t>n

t ,

tn

n,t>n

Ax:n

Ber

jangk

an

tahun

1,mn

+m

Ber

jangk

an

tahun

bt+

1c,

tn

t

bt+

1ct ,

tn

(IA

)1 x:n

mem

bes

arse

tiap

tahun

0,t>n

0,t>n

Ber

jangk

an

tahun

nbtc,

tn

t

(nbtc)t ,

tn

(DA

)1 x:n

men

geci

lse

tiap

tahun

0,t>n

0,t>n

Seu

mur

hid

up

btm

+1c

mt

tbtm

+1c

m(I

(m) A

) x

mem

bes

arse

tiap

per

iode

ke-m

32

IV.2 Asuransi Dibayar di Akhir Tahun Meninggal

Pada Subbab IV.1 telah dibahas bahwa ketika santunan asuransi dibayarkan

saat tertanggung meninggal, jangka waktu antara polis diterbitkan sampai

tertanggung meninggal diasumsikan sebagai variabel acak kontinu yang

dinotasikan dengan T . Jika santunan dibayarkan di akhir tahun maka

perhitungan APV didasarkan pada variabel acak dskrit K = bT c + 1yang menyatakan jangka waktu antara polis diterbitkan sampai akhir tahun

tertanggung meninggal. Selain variabel K, variabel acak lainnya yang diper-

lukan adalah

bT : Besarnya santunan yang dibayar ketika tertanggung meninggal

vT

: Nilai sekarang dari santunan sebesar bT = 1

Z : Nilai sekarang dari santunan atau Z = bTvT

Rumus rekursi dalam bentuk u(x) = c(x) + pxu(x + 1) untuk APV asuransi

yang dibayarkan di akhir tahun meninggal:

(a) Ax = qx + pxAx+1, x = 0, 1, . . . , 1dan A = 0

(b) A1x:yx = qx + pxA

1x+1:y(x+1) , x = 0, 1, . . . , y 1

dan A1y:0

= 0

(c) Ax:yx = qx + pxAx+1:y(x+1) , x = 0, 1, . . . , y 1 dan Ay:0 = 0(d) yx|nAx = 0 + px(y(x+1)|nAx+1), x = 0, 1, . . . , y 1

dan 0|nAy = A1y:n(e) (IA)1

x:yx =[qx + pxA

1x+1:y(x+1)

]+ px (IA)

1x+1:y(x+1)

x = 0, 1, . . . , y 1 dan (IA)1y:0

= 0

(f) (DA)1x:yx = (y x) qx + px (DA)

1x+1:y(x+1)

x = 0, 1, . . . , y 1 dan (DA)1y:0

= 0

(g) (IA)x = [qx + pxAx+1] + px (IA)x+1, x = 0, 1, . . . , 1,dan (IA) = 0

33

Tab

elIV

.2:

Model

-model

asura

nsi

den

gan

santu

nan

dib

ayar

di

akhir

tahun

tert

angg

ung

men

ingg

al

Jenis

Asu

ransi

Fungsi

Santu

nan

Fungsi

Dis

kon

Nilaise

kara

ng

AP

Vb k

+1

k+

1z k

+1

= k

+1b k

+1

Seu

mur

hid

up

1k+

1k+

1Ax

Ber

jangk

an

tahun

1,k

=0,

1,...,n

10,

k=n,n

+1,...

k+

1k+

1,k

=0,

1,...,n

10,

k=n,n

+1,...

A1 x:n

Endow

men

nta

hun

1k+

1,k

=0,

1,...,n

1n,

k=n,n

+1

k+

1,k

=0,

1,...,n

1n,

k=n,n

+1

Ax:n

Ber

jangk

an

tahun

1,k

=m,m

+1,...,m

+n

1k+

1k+

1,

k=m,m

+1,...,m

+n

1m|nAx

tert

undam

tahun

0,k

=0,...,m

1at

auk

=m

+n,m

+n

+1,...

0,k

=0,...,m

1at

auk

=m

+n,m

+n

+1,...

Ber

jangk

an

tahun

k+

1,k

=0,

1,...,n

1k+

1(k

+1)k+

1,k

=0,

1,...,n

1(IA

)1 x:n

mem

bes

arse

tiap

tahun

0,k

=n,n

+1...

0,k

=n,n

+1...

Ber

jangk

an

tahun

nk,k

=0,

1,...,n

1k+

1(nk)k+

1,k

=0,

1,...,n

1(DA

)1 x:n

men

geci

lse

tiap

tahun

0,k

=n,n

+1...

0,k

=n,n

+1...

Seu

mur

hid

up

k+

1,k

=0,

1,...

k+

1(k

+1)k+

1,k

=0,

1,...

(IA

) xm

emb

esar

seti

apta

hun

34

IV.3 Hubungan antara Santuan dibayar Saat meninggal

dan di Akhir Tahun Meninggal

35

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Info cetak .....

Revisi/cetak terakhir: 4 April 2011, pukul 18:45

Nomor halaman: i1, 135 Total: 36 halaman

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DAFTAR ISIPendahuluanAsuransi, Aktuaria, dan AktuarisReview Teori Peluang

Distribusi Survival dan tabel MortalitasDistribusi SurvivalFungsi distribusi dan Fungsi survivalPeluang meninggalCurtate-Future-Lifetime (CFL)Laju Kematian

Tabel Mortalitas (TM)Hubungan TM dengan fungsi survival

Anuitas PastiBunga Sederhana dan Bunga MajemukAnuitas Pasti dengan Pembayaran DiskritNilai tunai di akhir jangka waktuNilai tunai sekarang

Anuitas Pasti dengan Pembayaran Kontinu

Asuransi JiwaAsuransi Dibayar Saat MeninggalAsuransi seumur hidupAsuransi berjangka n tahunAsuransi endowmen (dwiguna)Asuransi seumur hidup tertunda m tahunAsuransi berjangka n tahun tertunda m tahunAsuransi dengan santunan membesar/mengecil

Asuransi Dibayar di Akhir Tahun MeninggalHubungan antara Santuan dibayar Saat meninggal dan di Akhir Tahun Meninggal