Aktivni_filteri_1.pdf

8/18/2019 Aktivni_filteri_1.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/aktivnifilteri1pdf 1/41

Analogna integrisana elektronikaAktivni filteri

Prof. dr. Aljo Mujcic

april 2011

Fakultet elektrotehnike Univerziteta u TuzliLaboratorij za informacijsko-komunikacijske tehnologije

1 / 42



Aktivni filteri

Filteri predstavljaju elektricne sklopove koji propustaju elektricne signale naodre enoj frekvenciji ili opsegu frekvencija, a blokiraju na ostalim frekvencijama.

Primjena

Aktivni filteri za nize frekvencije (induktiviteti)

RLC filter na visokim frekvencijama


2 / 42



Niskofrekventni (NF) filteri

Slika: Pasivni NF filter prvog reda

Izlazni napon

U izl = X C

R + X C U ul (1)

Naponsko pojacanje u s domenu

A(s ) =

1sC

R + 1sC

=

1RC

s + 1RC

= 1

1 + sRC (2)

gdje je s = j ω + σ, kompleksna frekvencija. Za sinusne signale je σ=0, sto znacida ce s biti imaginaran broj tj. s = j ω.


3 / 42




Za normaliziranu predstavu prenosne funkcije

S = s

ωc

= j ω

ωc

= j f

f c= j Ω (3)

Granicna frekvencija filtera

f c = 1

2πRC (4)

sto znaci da ce S sada postati S = sRC te prenosna funkcija filtera ima slijedecioblik

A(S ) = 1

1 + S (5)

Amplitudska karakteristika je

|A(s )| = 1√ 1 + Ω2

(6)


4 / 42




Slika: Niskofrekventni filter cetvrtog reda sa operacionim pojacavacima

Kaskadno povezivanje filtera

Prenosna funkcija

A(s ) = 1

(1 + α1s )(1 + α2s )...(1 + αn s ) (7)

U slucaju da svi filteri imaju istu granicnu frekvenciju f c, koeficijenti αn postaju

α1 = α2 = ... = αn = α =

n √

2− 1 i f c pojedinih filtera je 1/α puta veci od f ccijelog filtera.


5 / 42






Pri projektovanju, s ciljem dobijanja idealnog filtera, potrebno je ispuniti slijedecekriterije

razlika izme u propusnog i nepropusnog dijela mora biti sto veca tj. potrebno jeizolovati zeljenu od susjedne frekvencije i imati sto ostriji prijelaz iz propusnog unepropusni dio,

dio krive u propusnom dijelu mora biti sto ravniji i

fazni odziv mora biti linearan

Predstavljanje prenosne funkcije:

A(S ) = A0

(1 + a 1s + b1s 2)(1 + a 2s + b2s 2)...(1 + a n s + bn s 2) =

A0i

(1 + a i s + bi s 2)

(8)Prenosna funkcija predstavlja kaskadnu vezu niskofrekventnih filtera drugogreda, gdje su a i i bi pozitivni realni koeficijenti. Ovi koeficijenti odre uju poloveza svaki pojedinacni stepen drugog reda, a samim time i ponasanje njegoveprenosne funkcije.


7 / 42




Tri tipa koeficijenata filtera koji ispunjavaju navedene kriterije i to:

Butterworthovi koeficijenti, gdje se vrsi optimizacija koeficijenata za postizanjeravne karakteristike u propusnom podrucju;

Tschebyscheffevi koeficijenti, gdje se optimizacijom postize sto brzi prelaz izpropusnog u neporpusni opseg;

Besselovi koefcijenti, cime se vrsi postizanje linearnije faze do frekvencije f c


8 / 42




Koeficijenti filtera su daju tabelarno

Proracun vrijednosti elemenata filtera

Slika: Usporedba amplitudnih karakteristika pojedinih izvedbi filtera


9 / 42



Niskofrekventni (NF) filteri prvog reda

Opsti oblik prenosne funkcije filtera prvog reda

A(s ) = A0

1 + a 1s (9)

Dobije tako sto se u izraz za kaskadnu vezu NF filtera drugog reda uvrsti b1 = 0 Analizirat cemo dvije izvedbe filtera prvog reda i to

Filterski stepen u neinvertujucem spoju Filterski stepen u invertujucem spoju


10 / 42



Niskofrekventni (NF) filteri prvog redaFilterski stepen u neinvertujucem spoju

Slika: NF filter prvog reda u neinvertujucem spoju

Napon U 1 iznosi

U 1 =1

S ωcC 1

R1 + 1S ωcC 1

U ul (10)

Izlazni napon je

U izl = (1 + R2

R3)V 1 = (1 +

R2

R3)

1

1 + S ωcC 1R1U ul (11)

Fakultet elektrotehnike Univerziteta u Tuzli

Laboratorij za informacijsko-komunikacijske tehnologije11 / 42



Niskofrekventni (NF) filteri prvog redaFilterski stepen u neinvertujucem spoju

A(s ) iznosi

A(s ) = U izl U ul

= 1 +

R2

R3

1 + S ωcC 1R1(12)

Usporedbom sa opstim oblikom prenosne funkcije NF filtera prvog reda mozemopisati

A0 = 1 + R2

R3(13)

Koeficijent filtera a 1 iznosia 1 = ωcC 1R1 (14)

Pri poznatoj granicnoj frekvenciji f c, pojacanju A0 i vrijednosti kapaciteta C 1,mozemo odrediti vrijednosti otpornika R1 i R2

R1 = a 1

2π f cC 1(15)

iR2 = R3(A0 − 1) (16)

a 1 se uzima iz tabele





Niskofrekventni (NF) filteri prvog redaFilterski stepen u invertujucem spoju

Slika: NF filter prvog reda u invertujucem spoju

Struja koja protice kroz otpornik R1 i paralelnu vezu R2 i C iznosi

I = U ul

R1(17)

Izlazni napon

U izl = −I R2

1S ωcC

R2 + 1S ωcC

= −U ul

R1

R21

S ωcC

R2 + 1S ωcC

(18)





Niskofrekventni (NF) filteri prvog redaFilterski stepen u invertujucem spoju Prenosna funkcija filtera

A(S ) =−

R2

sωcC 1R2+

1sωcC 1

R1=

−R2R1

1 + S ωcR2C 1(19)

Pojacanje istosmjerne komponente A0

A0 = −R2

R1(20)

Kod invertujuceg spoja dolazi do promjene faznog stava Koeficijent filtera a 1 iznosi

a 1 = ωcR2C 1 (21)

Ukoliko poznajemo a 1 i C 1, a zelimo projektovati filter sa pojacanjem A0 igranicnom frekvencijom f c, tada na osnovu ovih parametara odre ujemo

vrijednosti otpornikaR2 =

a 1

2π f cC 1(22)

i

R1 = −R2

A0(23)





Niskofrekventni (NF) filteriFilteri drugog reda

Opsta prenosna funkcija ima slijedeci oblik

A(s ) = A0

1 + a 1s + b1s

2 (24)

Koriste se dvije topologije i to Sallen-Key topologija Topologija NF filtera sa visestrukom povratnom vezom





Niskofrekventni (NF) filteriFilteri drugog reda - Sallen-Key topologija

Slika: Sallen-Key NF filter drugog reda





Niskofrekventni (NF) filteri prvog redaNF filteri drugog reda - Sallen-Key topologija

Slika: Sallen-Key NF filter drugog reda

U ul = R1I 1 + X C2 I 3 + U iz (25)

U ul = R1I 1 + (R2 + X C1 )I 2 (26)

I 3 = I 1 − I 2 (27)

I 2 =

R3R3+R4

V izl

X C1(28)





Niskofrekventni (NF) filteriFilteri drugog reda - Sallen-Key topologija

Kao konacni izraz dobijamo prenosnu funkciju niskofrekventnih filtera Sallen-Keytopologije

A(s ) = A0

1 + ωc[C 1(R1 + R2) + (1 −A0)R1C 2]S + ωc2R1R2C 1C 2S 2

(29)

Pore

enjem A(s ) sa opstim oblikom prenosne funkcije NF filtera drugog redazakljucujemo da koeficijenti filtera a 1 i b1 imaju vrijednosti

a 1 = ωc[C 1(R1 + R2) + (1 −A0)R1C 2] (30)

b1 = ω2cR1R2C 1C 2 (31)





Niskofrekventni (NF) filteriFilteri drugog reda - Sallen-Key topologijaKada je pojacanje A0 = 1 tada je potrebno otpore R3 i R4 kratko spojiti.

Slika: Sallen-Key NF filter sa pojacanjem A0 = 1

Prenosnu funkciju novodobijenog filtera je:

A(s ) = 1

1 + ωcC 1(R1 + R2)S + ωc

2

R1R2C 1C 2S 2

(32)

Koeficijenti filtera se tako

e mijenjaju i iznose

a 1 = ωcC 1(R1 + R2) (33)

b1 = ωc2

R1R2C 1C 2 (34)





Niskofrekventni (NF) filteriFilteri drugog reda - Topologija NF filtera sa visestrukompovratnom vezom

Slika: NF filter sa visestrukom povratnom vezom





Niskofrekventni (NF) filteri prvog redaNF filteri drugog reda - Topologija NF filtera sa visestrukompovratnom vezom

Slika: NF filter sa visestrukom povratnom vezom i oznacenim strujama u kolu

U ul = R1I 1 + X C2 I 2 (35)

U ul = R1I 1 + R3I 3 (36)

U ul = R1I 1 + R2I 4 + U izl (37)

I 1 = I 2 + I 3 + I 4 (38)





Niskofrekventni (NF) filteri prvog redaNF filteri drugog reda - Topologija NF filtera sa visestrukompovratnom vezom

Prenosna funkcija topologije NF filtera sa visestrukom povratnom vezom ima oblik

A(s ) =−R2

R1

1 + ωcC 1(R2 + R3 + R3R2R1

)S + ωc2C 1C 2R3R2S 2

(39)

Odnos

−R2/R1 predstavlja pojacanje istosmjerne komponente A0

A0 = −R2

R1(40)

a koeficijenti a 1 i b1 su ocigledno

a 1 = ωc

C 1(R2 + R3 +

R3R2

R1 ) (41)b1 = ωc

2C 1C 2R3R2 (42)





Niskofrekventni filteri viseg reda

Koristimo kada zelimo istaknuti neku od karakteristika filtera npr. brzi prijelaziz propusnog u nepropusni opseg.

Kaskadno se povezuju filteri prvog i drugog reda

Optimizirani frkeventni odziv cjelokupnog filtera





Visokofrekventni (VF) filteri

Slika: Karakteristike VF i NF filtera






Slika: Pasivni VF filter prvog reda

U usporedbi sa elementarnim NF filterom dolazi do zmjene mjesta kondenzatorai otpornika te se moze pisati

Ω → 1

Ω (43)

S

→

1

S

. (44)

Granicna frekvencija VF filtera je

f = 1

2πτ =

1

2πRC (45)



(




Slika: Odre ivanje granicne frekvencije VF filtera

Kao i kod NF filtera normalizovana predstava prenosne funkcije, S ima

S = s

ωc

= j ω

ωc

= j f

f c= j Ω (46)

gdje je ωc odnosno f c donja granicna frekvencija filtera. Apsolutna vrijednost prenosne funkcije daje amplitudsku karakteristiku filtera:

|A| = 1√ 1 + Ω2

(47)



Vi k f k i (V ) fil i




Slika: VF filter cetvrtog reda

Prenosna funkcija u slucaju filtera cetvrtog reda glasi

A(s ) = A0

[1 + a 1s

+ b1s2 ][1 + a 2

s + b2

s2 ][1 + a 3s

+ b3s2 ][1 + a 4

s + b4

s2 ](48)

gdje je A0 pojacanje istosmjerne komponenete ulaznog signala. Prenosna funkcija A(s ) u opstem slucaju glasi:

A(s ) = A0i [1 + a i

s + bi

s2 ](49)

Ukoliko je koeficijent b = 0, prenosna funkcija ima oblik

A(s ) = A0

[1 + a 1s

] (50)



Vi k f k t i (VF) filt i




Slika: Koeficijenti VF filtera



Vi k f k t i filt i d



Visokofrekventni filteri prvog reda

Prenosna funkcija VF filtera 1. reda ima oblik:

A(s ) = A0

1 + a 1s

(51)

Visokofrekventni filteri prvog reda realizirani primjenom operacionih pojacavacamogu imati konfiguracije u invertujucem i u neinvertujucem spoju.



Vi k f k t i filt i d



Visokofrekventni filteri prvog redaFilter sa operacionim pojacavacem u neinvertujucem spoju

Slika: VF filter prvog reda u neinvertujucem spoju

Napon U 1 iznosi

U 1 =

R1U ul

R1 + 1S ωcC

(52)

Ulazni napon se moze izraziti u obliku

U ul =U 1

R1 + 1

S ωcC

R1

(53)






Visokofrekventni filteri prvog redaFilter sa operacionim pojacavacem u neinvertujucem spojuIzlazni napon

U izl = 1 + R2

R3U 1 (54)

Prenosna funkcija predstavlja odnos izlaznog i ulaznog napona

A(s ) = U izl

U ul = (1 +

R2

R3)

U 1

U 1(R1 + 1(S ωcC )

)/R1

(55)

odnosno

A(s ) = 1 + R2

R3

(1 + 1R1S ωcC )

(56)

Ukoliko dobijenu prenosnu funkciju ovog stepena uporedimo sa opstom prenosnomfunkcijom, pojacanje istosmjerne komponente napona u ovom slucaju iznosi

A0 = 1 + R2

R3

(57)

a koeficijenti

a 1 = 1

R1C ωc

, (58)

ib1 = 0 (59)






Visokofrekventni filteri prvog redaFilter sa operacionim pojacavacem u invertujucem spoju

Slika: VF filter prvog reda u invertujucem spoju

Ulazni napon iznosi

U ul = I

1

s ωcC 1+ R1

. (60)






Visokofrekventni filteri prvog redaFilter sa operacionim pojacavacem u invertujucem spojuIzlazni napon predstavlja pad napona na otporniku R2

U izl =

−IR2 (61)

Prenosna funkcija filtera je odnos izlaznog i ulaznog napona

A(s ) = U iz

U ul =

−IR2

I 1sωcC 1

+ R1

= −R2

1sωcC 1

+ R1

(62)

odnsno

A(s ) = −R2R

1

1 + 1R1C 1ωcS

(63)

Pojacanje istosmjerne komponente je

A0 = −−R2

R1(64)

a vrijednost koeficijenata

a 1 = 1

R1ωcC 1(65)

ib1 = 0. (66)






Visokofrekventni filteri prvog redaFilter sa operacionim pojacavacem u invertujucem spoju

Vrsi obrtanje faze signala ulaza na izlaz.

Ukoliko poznajemo granicnu frekvenciju f c vrijednost kapaciteta C , te A0

vrijednosti otpora koji odgovaraju za ovaj filter su sljedeci

R1 = 12π f ca 1C

(67)

iR2 = −R1A0. (68)



Visokofrekventni filteri drugog reda



Visokofrekventni filteri drugog reda

Visokofrekventni filteri drugog reda ce analizirani za sljedece dvije topologije

Sallen Key Topologiju i

toplogiju sa visestrukim povratnim vezama.

Prenosna funkcija VF filtera drugog reda ima oblik:

A(s ) = A0

1 + a 1s

+ b1s2

(69)



Visokofrekventni filteri drugog reda - Sallen Key Topologija



Visokofrekventni filteri drugog reda Sallen Key Topologija

Slika: VF filter drugog reda u invertujucem spoju sa Sallen Key topologijom






V so o e ve t te d ugog eda Sa e ey opo og ja

A(s ) = U iz

U ul =

1k

1 +

R2(C 1+C 2)+R1C 2(1−k ))

ωcR1R2C 1C 2

1

s +

1

ω2cR1R2C 1C 2

1

s2

(70)

Jedinicno pojacanje se dobija kada R4 → 0 i R3 →∞. Sema dobijenog kola jeprikazana na slici.

Slika: VF filter drugog reda u invertujucem spoju sa Sallen Key topologijom i jedinicnim

pojacanjem






g g y p g jDa bi se pojednostavilo projektovanje obicno se koristi jedinicno pojacanje iC 1 = C 2 = C . Prenosna funkcija sada glasi

A(s ) =

1

1 + 2ωcR1C

1s + 1

ω2cR1R2C

2 1s2 (71)

Koeficijenti filtera sada iznose

A∞ = 1 (72)

a 1 = 2

ωcR1C

(73)

b1 = 1

ω2cR1R2C 2

. (74)

Ako poznajemo vrijednosti kapaciteta C, vrijednosti otpora mozemo odreditisljedecim relacijama

R1 = 1π f cCa 1

(75)

R2 = a 1

4π f cCb1. (76)



Visokofrekventni filteri drugog reda - Topologija sa visestrukim



g g p g jpovratnim vezama

Slika: VF filter drugog reda sa topologijom visestruke povratne veze



Visokofrekventni filteri drugog reda - Topologija sa visestrukim



povratnim vezama

Zamjenom dobijenih vrijednosti struja dobija se

U ul X C

− U izl R1

= −X C U izl R1R2

− U izl R1

− X C U izl X C 2 R1

− U izl X C 2

(77)

odnosno

U ul

X C = U izl

1

R1− X C

R1R2− 1

R1− X C

R1− 1

X C 2

= U izl

− X C

R1R2− X C

X C 2 R1− 1

X C 2

(78)U izl

U izl = − 1

X 2C

R1R2+

X 2C

X C 2R1

+ X C

X C 2

(79)

Smjenom X c = 1ωcsC

prenosna funkcija dobija oblik

A(s ) =− C

C 2

1 + 2C 2+C

ωcR1C 2C

1s

+ 1ω

2cR2R1C 2C

1s2

(80)



Literatura



T. E. Price,Analog Electronics ,

Prentice Hall, 1997.T. Brodic,Analogna integrisana elektronika,

Svjetlost, Sarajevo, 1989.

A.S. Sedra, K.C. Smith,

Microelectronic Circuits, 4th ed.,Oxford University Press 1998.

P. R. Gray, P. J. Hurst, S. H. Lewis, R. G. Meyer,Analysis and Design of Analog Integrated Circuits,,John Wiley & Sons, 2001.

P.Biljanovic,Elektronicki sklopovi ,Skolska knjiga, Zagreb, 1995.



Documents

Aktivni_filteri_1.pdf