Aksialne obremenitve

1

Univerza v Ljubljani – FS & FKKT

Varnost v strojništvu

doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str.

Govorilne ure:

• pisarna: FS - 414

• telefon: 01/4771-414

• [email protected], (Tema/Subject: VDPN - ...)

Prosojnice izdelane po viru: ###

DOPUSTNE NAPETOSTI IN DIMENZIONIRANJE

Aksialne obremenitve

Palica dolžine 1 je namišljeno prerezana v preseku K in obremenjena na nateg. Vpliv odstranjenega desnega dela se mora nadomestiti z notranjimi silami, katerih rezultanta je enaka zunanji obremenitvi, a nasprotno usmerjena.

2



Če je zunanja obremenitev ploskovna sila (porazdeljena enakomerno po celem prerezu), lahke sodimo, da je sila na enoto ploščine = napetost, za vsa vlakna palice enaka.

Če se zunanje sile ne razdele enakomerno po preseku, nastopi v vsakem vlaknu drugačna napetost.

Navadno predpostavimo, da so napetosti pri aksialni

obremenitvi po prerezu enakomerno porazdeljene in nosilce oziroma strojne dele tako tudi dimenzioniramo (σ = F / A).



Pri aksialni obremenitvi imamo dve možnosti:1. znana sta obremenitev in presek, določiti moramo velikost

napetosti,2. znani so obremenitev, oblika preseka in material, določiti

moramo dimenzije preseka.

Prvo možnost rešimo po enačbi (σ = F / A), druga možnost pa pomeni dimenzioniranje.

Da lahko izračunano napetost uporabimo (1) ter da lahko palico dimenzioniramo (2), moramo vedeti, kako velika napetost sme nastopiti v materialu – poznati moramo dopustno napetost.

3



Dopustna napetost mora biti vsekakor manjša od porušnetrdnosti (napetost, pri kateri pride do porušitve), kakor tudi od meje plastičnosti (napetost, pri kateri pride do trajne deformacije). Razmerje med mejo plastičnosti in dopustno napetostjo imenujemo varnostni koeficient:

in ima običajno vrednost 1,5 ali 1,33 ali 1,2.

Včasih je varnostni koeficient določen glede na porušno trdnost materiala. Tedaj so njegove vrednosti večje. Večji varnostni koeficient je lahko potreben tudi pri nekaterih drugih vrstah obremenjevanja. Vrednosti so tedaj od 2 do 10.

ν=��

��≥ 1



Na izbiro ν vpliva predvsem: a) koliko obremenitev se v preračunu upošteva inb) način, po katerem delujejo zunanje obremenitve.

a) Razlikujemo tri obremenitvene primere:1. obr. primer: upošteva se stalne in pogoste obremenitve

(lastna teža, koristni tovor, vztrajnostne sile, …);2. obr. primer: poleg vsega iz 1. obr. prim. se upoštevajo še

dodatne obremenitve, kot so sneg, veter do dopustne hitrosti pri obratovanju stroja, …;

3. obr. primer: poleg vsega iz 1. in 2. obr. primera se upoštevajo izjemne obremenitve, kot so orkanski veter, potresi, preizkusno breme, strojelomi, …

4



b) Razlikujemo tri osnovne vrste obremenitve:I - statična (mirna) obremenitev - sila se s časom ne spreminja

niti po jakosti niti po smeri: F = konst. , σ = konst.II - utripna (enosmerno spremenljiva) obremenitev - sile se po

jakosti spreminjajo od 0 do Fmax in napetosti od 0 do σmax.

III-izmenična (nihajoča obremenitev) - sila se spreminja od +Fmax do -Fmax. V materialu nastopijo enkrat natezne, drugič pa tlačne napetosti, ki torej nihajo med σmax in σmin= -σmax.



a) Pri statični obremenitvi ima varnostni koeficient sledeče vrednosti:1. obr. primer:

2. obr. primer:

3. obr. primer:

Zakaj pri več upoštevanih obremenitvah manjši varnostni koeficient? Če upoštevamo manj obremenitev, so izračunane napetosti manjše od največjih pričakovanih, zaradi česar moramo pustiti dodatno rezervo nosilnosti – večjo varnost.

ν≥ 1,5

ν≥ 1,33

ν≥ 1,2

5



b in c) Pri utripni in izmenični obremenitvi se nosilnost jekla precej zmanjša zaradi pojava utrujanja materiala.

Zaradi tega je potrebno zmanjšati dopustne napetosti oz. povečati varnostni koeficient.

Dopustna napetost se namreč izračuna po enačbi:

in se jih pogostno prikaže v ustreznih tabelah. Primer take tabele je prikazan na naslednji prosojnici.

ν=��

��→ �� =

��

ν

Tabela dopustnih napetosti

Dopustne napetosti in načini izračuna so podani v standardih in priročnikih.

6

DIMENZIONIRANJE NA STATIČNO OBREMENITEV


Dimenzioniranje na statične aksialne obremenitve poteka po enačbi:

torej: dejanska napetost mora biti manjša ali kvečjemu enaka dopustni napetosti.

V primeru tlaka, ko so vrednosti napetosti negativne, gledamo da je dejanska tlačna napetost po absolutni vrednosti manjša od absolutne vrednosti dopustne napetosti!

� =�

A≤ ��

Jeklena žica premera d = 3 mm, dolžine 1 = 9 m , je obremenjena na nateg s silo F = 1380 N, E = 2,1⋅105 MPa (N/mm2). Določite raztezek in napetost v žici!

Rešitev:

Opomba: Ker ni ni podana vrsta jekla, ne poznamo meje plastičnosti, natezne (porušne) trdnosti in dopustne napetosti. Zaradi tega ne vemo, ali je obremenitev znotraj dopustne ali pa bo morda prišlo do plastifikacije (ali celo do pretrga).


Primer

� =�

�=1380�∙��

�

= 195��

∆! =�⋅!

�⋅"=

1380⋅9000�∙��

�⋅2,1⋅105

= 8,367%%

7

Kako veliko tlačno silo F lahko prenese litoželezni steber dolžine 300 mm, katerega presek je dan na skici (mere v mm), če je dopustna tlačna napetost 50 MPa? Kakšen je tedaj skrček stebra?


Primer

Rešitev: Največja dopustna tlačna sila

Skrček pri tej sili:


Primer

� ≤ �&'( ∙ �

�% ) = �&'( ∙ � = 50∙ 4275 = 213750+ = 213,75,+

A=1502-4 ∙ /012/0

�

�

=4275mm2

∆! =�% )⋅!

�⋅"=

213750⋅300

4275⋅2,1⋅105= 0,0714%%

8

Kolilšna varnost je zagotovljena pri vijaku kavlja, ki prenaša sile do F=170 kN, če ima vijak navoj M68 in če je dopustna napetost v vijaku za dane pogoje enaka 60 Mpa, meja plastičnosti materiala pa 235 MPa?

Primer

Uporabi se enačbo za definicijo koeficienta varnosti:

Da se izračuna dejansko varnost, se dopustno napetost zamenja z dejansko: torej se izračuna kvocient med mejo plastičnosti in dejansko napetostjo:

Dejanska dosežena varnost pred plastifikacijo vijaka je 4.

PrimerRešitev: Iz priročnika se odčita, da je nosilna površina prereza vijaka preko navoja M68 enaka Aj´=2888 mm2. Izračuna se dejansko napetost v prerezu vijaka preko navoja:

� =�

�=170000

2888= 58,86��

ν=��

��≥ 1

νdej=��

�=

��0

04,45= 3,993 ≅ 4

9

Površinski tlak

Površinski tlak nastopi pri skupni stični ploskvi dveh različnih teles. Površinski tlak je kvocient med tlačno silo F in ploskvijo A. To je tlačna napetost, ki pa nastopi na površini materiala in ne v notranjosti. Enote so MPa. Označi se jo s p, računa pa po analognemu obrazcu, kot tlačne napetosti:

Analogno poteka tudi dimenzioniranje:

Dopustni površinski tlak je lahko manjši ali večji od dopustnih tlačnih napetosti za isti material. Odčita se ga iz tabel.

( =�

A

( =�

A≤ (��

PrimerPomična členkasta podpora nosilca iz vročevaljanega I-profila je izvedena, kot prikazuje skica: I-profil je položen na jekleno ploščo, ta na jeklen kvader, ta pa nalega na betonski steber stavbe. V podpori deluje reakcijska sila FA=150 kN Kolikšna je potrebna dolžina kvadra l, če je njegova širina b=380 mm, dopustni površinski tlak betona pa pdop=0,8 MPa. (Upošteva se pdop betona, ker je manjši od pdop jekla.)

10

Primer

Rešitev: Uporabimo (ne)enačbo za dimenzioniranje, kjer naležno površino zapišemo: A=b⋅l.

Glede na zgornjo neenačbo izračunano dolžino zaokrožimo navzgor:

s čimer zagotovimo, da je dejanski površinski tlak manjši od dopustnega.

( =�

A≤ (��

( =�

b ∙ l≤ (�� → ! ≥

�

pdop ∙ b

! ≥�

pdop ∙ b=150000

0,8 ∙ 380= 493,43%%

! = 500%%

Strižna trdnost

Opazujemo telo, katerega en konec je nepremično vpet. Nanj deluje sila F v preseku AB in skuša zgornji del telesa po tem preseku premakniti.

Še preden sila F odstriže zgornji del telesa po preseku AB, se pomaknejo posamezni elementi tega telesa tako, da zgornji del telesa preide v položaj C' D' .

11

Strižna trdnost

Imamo torej dve dotikajoči se ploskvi AB in CD. Če si prejšnjo sliko ogledamo povečano, dobimo:

Strižna trdnostV tem vmesnem prostoru dolžine l0 nastopi pod vplivom sile F premik zgornje ploskve proti spodnji za neko dolžino ∆1.

Pravokotnik ABCD preide v paralelogram ABC' D'. Stranski ploskvi AC in BD, se od svoje prvotne lege zasučeta zakot γ. Ta sprememba je določena s tg γ = ∆1/l0.

Deformacije so minimalne, zato je tudi kot zelo majhen. Za majhne kote velja:

zato se lahko zapiše:

kar je specifična tangencialna deformacija. Pri strigu oz. pri tangencialnih obremenitvah torej prihaja do spremembe oblike.

tg γ = γ7

γ7 = ∆1l0

[rad]

12

Strižna trdnostVpliv strižne sile F se v realnosti ne porazdeli enakomerno po vsem preseku.

Zaradi enostavnosti preračuna (predvsem vijakov, kovic, zagozd) se uvede ustrezna korekcija dopustnih strižnih napetosti in se nato predpostavi enakomerna porazdelitev teh napetosti po prerezu:

Tudi pri strigu je poznana zveza med napetostmi in deformacijami. Enačba je analogna Hookovemu zakonu:

le da tu nastopajo strižni modul G ter strižna napetost in deformacija

8 =�

�

8 = 9 ∙ :

Strižna trdnostObstaja povezava med modulom elastičnosti E in strižnim modulom G:

kjer je ν Poissonovo število, ki popisuje vpliv vzdolžne deformacije na spremembo prečnih dimenzij preizkušanca.

Za jeklo je ν=0,3 in E=2,1∙105 MPa, zato velja:

9 ="

2 ∙ (1 + ν)

9 = 0,385"

13

Strižna trdnost

Enačba za dimenzioniranje:

od koder lahko izrazimo dopustno silo:

ali pa potreben presek:

Strižne dopustne napetosti so manjše od nateznih. Razmerje med njima je pri različnih materialih različno. Za jekla se običajno upošteva:


8 =�

�≤ 8&'(

� ≤ 8&'( ∙ �'>. �&'( = 8&'( ∙ �

� ≥�

8&'('>. �%@A =

�

8&'(

8&'( =�&'(

3

Palični nosilec iz dveh kotnikov prenaša osno silo F. Kotnika sta na vozelno pločevino prikovičena s tremi kovicami končnega premera d =16 mm, kot kaže skica. Določite dopustno silo Fdop, ki jo spoj lahko prenese, če je dopustna strižna napetost materiala kovic τdop = 30 MPa [N/mm2].

PrimerDOPUSTNE NAPETOSTI IN DIMENZIONIRANJE

14

Rešitev: Upoštevamo poznano enačbo za dimenzioniranje na strig ter upoštevamo sledeče lastnosti na skici prikazanega kovičenega spoja:- v spoju je n=3 kovic;- če bi se vozelna pločevina izmaknila, bi se morala vsaka kovica

prestriči dvakrat, zato ima vsaka k=2 strižni ploskvi.


Rešitev:


8 =�

�BC!'D

≤ 8&'(

8 =�

A ∙ , ∙ �∙��

�

≤ 8&'(

� ≤ 8&'( ∙ A ∙ , ∙�∙��

�

� ≤ 30 ∙ 3 ∙ 2 ∙ �∙/5�

�= 36191+ = 36,191��

�&'( = 36,191��

15

Rešitev: Kovičene spoje je potrebno kontrolirati tudi glede površinskega pritiska kovic na bočne stranice izvrtin in glede na možnost odpovedi v spoj prikovičenih pločevin (iztrg kovic iz pločevin).

Oglejmo si kontrolo na dopustni površinski pritisk, za kar potrebujemo še sledeče podatke:- debelina vozelne pločevine t1= 12 mm;- debelina kraka kotnika t2 = 6,2 mm;- dopustni bočni pritisk šibkejšega materiala (kovica je po pravilu

iz boljšega materiala kot spajane pločevine) pdop=240 MPa.


Rešitev: Za naležno površino kovice na pločevino se vzame pravokotnik širine v velikosti premera kovice d in višine v velikosti debeline pločevine t. Ločeno se upošteva vse pločevine, po katerih obremenitev prihaja v spoj in ločeno vse pločevine, po katerih se obremenitev prenaša naprej. Za kontrolo se vzame manjšo od površin. Pri nas velja:

in ker je debelina vozelne pločevine t1 < 2t2:

in nadalje:

Primer

�1 = & ∙ D1;�2 = 2 ∙ & ∙ D2; � Amin= min(A1, A2)

( =�

n ∙ Amin

=�

n ∙ d ∙ D1≤ (��

( =36191

3 ∙ 16 ∙ 12= FG, HIJKL ≤ (�� = GMNJKL

Amin= min(A1, A2)=A1= & ∙ D1

Documents

Aksialne obremenitve