ใบความรท 6 โจทยปญหาระบบสมการเชงเสน1

การแกโจทยปญหาทางคณตศาสตรจะตองด าเนนการอยางเปนระบบเปนกระบวนการ จงจ าเปนตองด าเนนการตามขนตอนอยางเครงครด เพอใหไดมาซงค าตอบทมประสทธภาพรวมทงการแกปญหาทหลากหลาย ขนตอนในการแกโจทยปญหาม 4 ขนตอน ดงน

ใบความรท 3.1 โจทยปญหาระบบสมการเชงเสน

1. ขนท าความเขาใจปญหา

2. ขนวางแผนแกปญหา

3. ขนด าเนนการตามแผน

4. ขนตรวจสอบค าตอบ

?

?

?

55

ในการแกโจทยปญหาระบบสมการเชงเสน จะตองด าเนนการอยางสรปดงน 1. อานโจทยใหเขาใจวา โจทยตองการสงใดและก าหนดสงใดหรอเงอนไขใดบาง 2. ก าหนดตวแปรขนมา 2 ตว เพอแทนในสงทตองการหรอสงทเกยวของ และสรางระบบสมการเชงเสนจากเงอนไขของโจทย แลวจงเลอกวธการแกระบบสมการจากทไดเรยนมาแลว 3. ลงมอคดค านวณตามแผนในขนท 2 เพอใหไดค าตอบของปญหาตามตองการ 4. ตรวจสอบค าตอบจากเงอนไขของโจทย

56

จ านวนสองจ านวนมผลบวกเทากบยสบ และผลตางเทากบสบ จงหาจ านวนสองจ านวนนน วธท า โจทยตองการ จ านวนสองจ านวน โจทยก าหนด จ านวนสองจ านวนมผลบวกเทากบยสบ และผลตางเทากบสบ

ให x แทน จ านวนทหนง y แทน จ านวนทสอง

จ านวนสองจ านวนมผลบวกเทากบยสบ 20yx

จ านวนสองจ านวนมผลตางเทากบสบ 10yx 20yx

10yx

300x2

จาก 30x2 จากสมการท 1 + สมการท 2

15x น า 2 มาหารทงสองขาง 20yx สมการท 1 2015 y แทน 15x 5y น า 15 มาลบทงสองขางของสมการ

ตรวจสอบ จ านวนสองจ านวนมผลบวกเทากบยสบ 20515 จรง จ านวนสองจ านวนมผลตางเทากบสบ 10515 จรง ดงนน จ านวนทหนง คอ 15 และจ านวนทสอง คอ 5

การตรวจค าตอบเพอใหแนใจวาค าตอบทไดนน

เปนค าตอบทถกตองหรอไม

ตองตรวจจากเงอนไขของโจทย

ไมควรตรวจจากสมการทสรางขน อาจมขอผดพลาด

ไดนะจะ

57

ตองตรวจจากเงอนไขของโจทย

วนยนบจ านวนเปด และสนขทเลยงไวทงหมดเปน 46 ตว แตถานบขาของเปดและสนขได 100 ขา วนยเลยงเปดและสนขอยางละกตว วธท า โจทยตองการ วนยเลยงเปดและสนขอยางละกตว โจทยก าหนด วนยนบจ านวนเปด และสนขทเลยงไวทงหมดเปน 46 ตว แตถานบขาของเปดและสนขได 100 ขา

ให x แทนจ านวนเปด y แทนจ านวนสนข

วนยนบจ านวนเปดและสนขทเลยงไวทงหมดเปน 46 ตว 46yx

นบขาของเปดและสนขได 100 ขา 100y4x2 สมการท 1 คณดวย 2

จากโจทย สมการท 2 -

46yx 82y2x2 100y4x2 100y4x2 18y20

จาก 18y2 สมการท 1 + สมการท 2

9y น า 2 มาหารทงสองขาง

46yx สมการท 1 469x แทน 9y 37x น า 9 บวกทงสองขาง

ตรวจสอบ เปดม 37 ตวและสนขม 9 ตว รวมสตวเลยงทงหมดเปน 46 ตว จรง เปดม 37 ตว ม 74 ขา และสนขม 9 ตว ม 36 ขา รวมทงหมด 100 ขาจรง ดงนน วนยเลยงเปดไวจ านวน 37 ตว และเลยงสนขไว 9 ตว

58

แสวงมเหรยญบาทและเหรยญ 5 บาท อยในกระเปา ทงหมด 20 เหรยญ เปนเงน 40 บาท แสวงมเหรยญบาทกเหรยญ วธท า โจทยตองการ แสวงมเหรยญบาทกเหรยญ โจทยก าหนด แสวงมเหรยญบาทและเหรยญ 5 บาท อยในกระเปา ทงหมด 20 เหรยญ เปนเงน 40 บาท

ให x แทนจ านวนเหรยญบาท y แทนจ านวนเหรยญหาบาท

เหรยญบาทและเหรยญ 5 บาท อยในกระเปา ทงหมด 20 เหรยญ 20yx

เหรยญบาทและเหรยญ 5 บาท เปนเงน 35 บาท 40y5x สมการท 1 คณดวย 5

จากโจทย สมการท 2 -

20yx 100y5x5 40y5x 40y5x

60x4

จาก 60x4 สมการท 1 + สมการท 2

15x น า 4 มาหารทงสองขาง

ตรวจสอบ มเหรยญบาท 15 เหรยญ และมเหรยญหาบาท 5 เหรยญ รวมเปน 20 เหรยญ จรง มเหรยญบาทเปนเงน 15 บาท และมเหรยญหาบาทเปนเงน 25 บาท รวมเปน 40 บาท จรง ดงนน แสวงมเหรยญบาท 15 เหรยญ

ตองตรวจจากเงอนไขของโจทย

59

จ านวนสองหลกจ านวนหนง เลขโดดในหลกสบมากกวาเลขโดดในหลกหนวยอย 6 และผลบวกของจ านวนนกบจ านวนทสลบหลกกบจ านวนเดมเปน 132 จงหาจ านวนจ านวนน วธท า โจทยตองการ จ านวนจ านวนหนง โจทยก าหนด จ านวนสองหลกจ านวนหนง เลขโดดในหลกสบมากกวาเลขโดดในหลกหนวยอย 6 และผลบวกของจ านวนนกบจ านวนทสลบหลกกบจ านวนเดมเปน 132

ให x แทนตวเลขในหลกสบ y แทนตวเลขในหลกหนวย

เลขโดดในหลกสบมากกวาเลขโดดในหลกหนวยอย 6 6yx ผลบวกของจ านวนนกบจ านวนทสลบหลกกบจ านวนเดมเปน 132

132)xy10()yx10( หรอ 12yx

6yx 12yx 180x2 จาก 18x2 จากสมการท 1 + สมการท 2 9x รปอยางงายน า2 มาหารทงสองขาง 12yx สมการท 2 12y9 แทน 9x 3y น า 9 มาลบทงสองขาง

ตรวจสอบ ตวเลขในหลกสบคอ 9 ตวเลขในหลกหนวยคอ 3 ตางกนอย 6 จรง จ านวนนนคอ 93 จ านวนทสลบหลกคอ 39 รวมกนได 132 จรง ดงนน จ านวนสองหลกคอ 93

ตองตรวจจากเงอนไขของโจทย

60

เมอ 10 ปกอน แดงมอายเปน 3 เทาของอายด า แตอก 10 ปขางหนาแดงจะมอายเปน 2 เทาของอายด า จงหาอายของแดงและด าในปจจบน วธท า โจทยตองการ หาอายของแดงและด าในปจจบน โจทยก าหนด เมอ 10 ปกอน แดงมอายเปน 3 เทาของอายด า แตอก 10 ปขางหนาแดงจะมอายเปน 2 เทาของอายด า

ให x แทน อายปจจบนของแดง y แทน อายปจจบนของด า นนแสดงวา เมอ 10 ปทแลว แดงมอาย x-10 ป ด ามอาย y-10 ป อก 10 ปขางหนา แดงมอาย x+10 ป ด ามอาย y+10 ป

เมอ 10 ปกอน แดงมอายเปน 3 เทาของอายด า )10y(310x หรอ 20y3x

อก 10 ปขางหนาแดงจะมอายเปน 2 เทาของอายด า )10y(210x หรอ 10y2x 10y220y3 สมการท 1 เทากบ สมการท 2

1020y น า 2y มาลบทงสองขาง

30y น า 20 มาบวกทงสองขาง

20y3x สมการท 1 20)30(3x แทน 30y 70x รปอยางงาย

เพราะฉะนน ปจจบนแดงมอาย 70 ป และด ามอาย 30 ป ตรวจสอบ

เมอ 10 ปทแลวแดงมอาย 60 ป และด ามอาย 20 ป แดงมอายเปน 3 เทาของด า จรง อก 10 ปขางหนาแดงมอาย 80 ป และด ามอาย 40 ปแดงมอายเปน 2 เทาของอายด า จรง ดงนน ปจจบนแดงมอาย 70 ป และด ามอาย 30 ป

ตองตรวจจากเงอนไขของโจทย

61

รปสเหลยมผนผารปหนง มดานยาวยาวเปนสามเทาของผลตางของดานกวางกบ 5 เซนตเมตร และสองเทาของผลบวกของดานยาวกบ 2 เซนตเมตรจะเปน 5 เทาของดานกวาง จงหาความกวางและความยาวของรปสเหลยมผนผารปน วธท า โจทยตองการ หาความกวางและความยาวของรปสเหลยมผนผา โจทยก าหนด รปสเหลยมผนผารปหนง มดานยาวยาวเปนสามเทาของผลตางของดานกวางกบ 5 เซนตเมตร และสองเทาของผลบวกของดานยาวกบ 2 เซนตเมตรจะเปน 5 เทาของดานกวาง

ให x แทน ความยาวดานกวางมหนวยเปนเซนตเมตร y แทน ความยาวดานยาวมหนวยเปนเซนตเมตร

ดานยาวยาวเปนสามเทาของผลตางของดานกวางกบ 5 เซนตเมตร )5x(3y หรอ 15x3y สองเทาของผลบวกของดานยาวกบ 2 เซนตเมตรจะเปน 5 เทาของดานกวาง

x5)2y(2 x5)2y(2 สมการท 2

x5)215x3(2 แทน 15x3y x5)13x3(2 รปอยางงาย x526x6 สมบตการแจกแจง 026x น า 5x มาลบทงสองขาง 26x น า 26 มาบวกทงสองขาง

15x3y สมการท 1

15)26(3y แทน 26x 63y รปอยางงาย เพราะฉะนน ดานกวางยาว 26 เซนตเมตร และดานยาวยาว 63 เซนตเมตร

ตรวจสอบ ดานยาวยาว 63 เซนตเมตร และสามเทาของผลตางของดานกวางกบ 5 เซนตเมตร คอ

63)526(3 เทากนจรง สองเทาของผลบวกของดานยาวกบ 2 เซนตเมตร คอ 130)263(2 และ5 เทาของดานกวาง คอ 130)26(5 เทากนจรง ดงนน รปสเหลยมผนผารปนมดานกวางยาว 26 เซนตเมตร และดานยาวยาว 63 เซนตเมตร

62

ใบความรท 6 โจทยปญหาระบบสมการเชงเสน1 1. จงแกโจทยปญหาระบบสมการเชงเสนตอไปน (ตวอยางท 1) 1) จ านวนสองจ านวนมผลบวกเทากบสบหา และผลตางเทากบสามสบเอด จงหาจ านวนสองจ านวนนน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2) ถาสองเทาของจ านวนแรกรวมกบสเทาของจ านวนหลงเทากบ 42 และสองเทาของจ านวนแรกลบดวยสองเทาของจ านวนหลงเทากบ -6 จงหาจ านวนทงสองจ านวนน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3) ก าหนดจ านวนสองจ านวนซงผลตางของสามเทาของจ านวนแรกกบหนงในสของจ านวนหลง มคาเทากบ 84 และหนงในหาของผลบวกของสองจ านวนนมคาเทากบ 29 จงหาจ านวนจ านวนน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

แบบฝกท 3.1 โจทยปญหาระบบสมการเชงเสน

63

4) ก าหนดจ านวนสองจ านวนซงผลตางของสองเทาของจ านวนแรกกบหนงในสามของจ านวนหลงมคาเทากบ 45 และหนงในสของผลบวกของสองจ านวนนมคาเทากบ 17 จงหาจ านวนทงสองจ านวนน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. จงแกโจทยปญหาระบบสมการเชงเสนตอไปน (ตวอยางท 2) 1) สมพรนบจ านวนไก และแมวทเลยงไวทงหมดเปน 110 ตว แตถานบขาของไกและแมวได 240 ขา สมพรเลยงไกและแมวอยางละกตว ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2) วนยนบจ านวนเปด และสนขทเลยงไวทงหมดเปน 215 ตว แตถานบขาของเปดและสนขได 460 ขา วนยเลยงเปดกตว ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

64

3) ทกษณนบจ านวนเปดและสนขทเลยงไวทงหมดเปน 50 ตว แตถานบขาของเปดและสนขได 150 ขา ทกษณเลยงเปดและสนขอยางละกตว ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4) สมชายนบจ านวนนกเอยงและควายทอยกลางทงนามหมดเปน 9 ตว แตถานบขาของนกเอยงและควายได 22 ขา อยากทราบวามนกเอยงและควายอยางละกตว ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. จงแกโจทยปญหาระบบสมการเชงเสนตอไปน (ตวอยางท 3) 1) ด ามเหรยญบาท และเหรยญ 5 บาท อยในกระเปา ทงหมด 13 เหรยญ เปนเงน 37 บาท ด ามเหรยญบาท กเหรยญ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

65

2) อทยมเหรยญหาและเหรยญสบบาท อยในกระเปา ทงหมด 17 เหรยญ เปนเงนทงสน 135 บาท อทยมเหรยญหาและเหรยญสบบาทอยางละกเหรยญ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3) สมชายมธนบตรฉบบละยสบบาท และฉบบละหาสบบาทอยในกระเปา ทงหมด 9 ฉบบ เปนเงน 300 บาท สมชายมธนบตรฉบบละยสบบาทและฉบบละหาสบบาทอยางละเทาใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4) สมชายมธนบตรฉบบละยสบบาท และฉบบละหนงรอยบาทอยในกระเปา ทงหมด 20 ฉบบ เปนเงน 1,120 บาท สมชายมธนบตรฉบบละยสบบาทและฉบบละหนงรอยบาทอยางละเทาใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

66

4. จงแกโจทยปญหาระบบสมการเชงเสนตอไปน (ตวอยางท 4) 1) จ านวนสองหลกจ านวนหนง เลขโดดในหลกสบมากกวาเลขโดดในหลกหนวยอย 2 และผลบวกของจ านวนนกบจ านวนทสลบหลกกบจ านวนเดมเปน 88 จงหาจ านวนจ านวนน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2) จ านวนหนงมสองหลกผลบวกของเลขโดดในหลกหนวยและหลกสบเทากบ 16 และสองเทาของจ านวนน มากกวาจ านวนทมตวเลขโดดสลบหลกกบจ านวนทก าหนดอย 61 จงหาจ านวนจ านวนน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3) จ านวนหนงมสองหลก ซงผลบวกของเลขโดดในหลกหนวยและหลกสบเทากบ 11 และผลตางของเลขจ านวนนกบจ านวนทสบหลกกบจ านวนเดมเปน 45 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

67

4) จ านวนทมสองหลกจ านวนหนง เลขโดดในหลกสบรวมกบเลขโดดในหลกหนวยได 15 ถาสลบเลขโดดจากหลกหนวยไปอยทหลกสบ และเลขโดดจากหลกสบไปอยทหลกหนวย จะท าใหคาของตวเลขลดลง 9 จงหาผลคณของเลขโดดทงสองตวน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 5. จงแกโจทยปญหาระบบสมการเชงเสนตอไปน (ตวอยางท 5) 1) เมอ 10 ปทผานมา บดามอายเปน 4 เทาของบตร ถาใน 6 ป ขางหนาบดาจะมอายเปน 2 เทาของบตร จงหาอายปจจบนของบดาและบตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2) เมอ 10 ปกอน สามารถมอายเปน 3 เทาของอายสมชาย แตอก 10 ปขางหนาแดงจะมอายเปน 2 เทาของอายด า จงหาอายของสามารถและสมชายในปจจบน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

68

3) เมอ 6 ปทแลว ทกษณมอายเปน 4 เทาของสมคร แตอก 6 ปขาง ทกษณมอายเปน 2 เทาของสมคร ปจจบนทกษณมอายกป ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4) เมอ 6 ปทแลว บดามอายเปน 3 เทาของอายบตร ถาในอก 8 ปขางหนาบดามอายเปน 2 เทาของบตร ปจจบนบดามอายกป ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 6. จงแกโจทยปญหาระบบสมการเชงเสนตอไปน (ตวอยางท 6) 1) สวนสาธารณะแหงหนงเปนรปสเหลยมผนผา มดานยาวยาวเปน 3 เทาของดานกวาง ถาความยาวรอบสวนเปน 400 เมตร พนทของสวนสาธารณะนเปนเทาไร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

69

2) ทดนรปสเหลยมผนผาแปลงหนง มดานยาว ยาวกวาดานกวาง 8 เมตร และความยาวโดยรอบ 60 เมตร ทดนแปลงนมพนทกตารางเมตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3) รปสามเหลยมรปหนง มมภายในสองมมรวมกนได 136 องศา แตขนาดของสองมมนตางกนอย 60 องศา จงหาขนาดของมมทงสองของรปสามเหลยม ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4) รปสามเหลยมดานเทารปหนงมดานยาวคดเปนเซนตเมตรดงน 2yx ,

2yx2 และ yx อยากทราบวาเสนรอบรปของสามเหลยมรปนยาวเทาไร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................