VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS12

1. Unidades de medida de volumen

2. Volumen de prismas

3. Volumen de pirámides

4. Volumen de cilindros

5. Volumen de conos

6. Volumen de esferas

ADAPTACIÓN CURRICULAR

En la adaptación curricular de esta unidad encontramos fichas de cada uno de los epígrafes adaptados a los alumnos que necesitan más ayuda para comprender los contenidos.

Proponemos diferentes recursos para conseguir este objetivo:

❚ Ten en cuenta que…

Contenidos con mayor apoyo gráfico que en el libro del alumno para facilitar la comprensión de determinados conceptos o procedimientos.

En estas fichas utilizamos el icono Ten en cuenta que… para identificarlos.

❚ Ejercicios resueltos nuevos.

En estas fichas utilizamos el icono EJERCICIO RESUELTO para diferenciarlos de los ejercicios resueltos que se mantienen del

libro del alumno.

❚ Selección de actividades del libro del alumno que trabajan los contenidos mínimos necesarios que todo alumno debe adquirir.

En estas fichas dichas actividades mantienen la misma numeración que en el libro del alumno para facilitar su identificación.

❚ Pistas para ayudar en la resolución de determinadas actividades propuestas en el libro del alumno.

En estas fichas utilizamos el icono para identificarlas.

❚ Propuesta de nuevas actividades para trabajar contenidos necesarios con mayor profundidad. Estas actividades incluyen la solución para facilitar su corrección.

En estas fichas utilizamos el icono para identificarlas.

12 Volumen de cuerpos geométricos. Adaptación curricular

© Oxford University Press España, S. A. Matemáticas 2.º ESO

1. UNIDADES DE MEDIDA DE VOLUMEN

Expresa en kilómetros cúbicos los siguientes volúmenes.a) 23 907 dam3 b) 4 593 m3 c) 309 561 dm3 d) 32 hm3

Transforma las medidas propuestas a milímetros cúbicos.a) 0,006 m3 b) 0,08945 dm3 c) 4,65 dm3 d) 9,23 cm3

¿A cuántos metros cúbicos equivalen estas medidas?a) 3,25 dm3 b) 0,2 dam3 c) 0,005 km3 d) 43 000 cm3

Resuelve estas operaciones con medidas de volúmenes.a) 0,0123 dam3 + 1 256 dm3 − 8,01 m3

b) 4,2 m3 − 3 710 dm3 − 0,0012 dm3

1

2

3

4

La masa de un lingote de plata es de 100 g, y su volumen, de 23,8 cm3. ¿Cuál es su densidad?

La densidad del mercurio es de 13,6 g/cm3.a) ¿Qué masa tienen 2,5 L de mercurio?b) ¿Qué capacidad ocupan 4 kg de mercurio?

8

9

`` La densidad de un sólido es de 2,3 g/cm3. ¿Qué volumen ocupan 0,046 kg de ese sólido?

Solución

densidad =masa

volumen→ volumen =

masa

densidad

Primero, expresamos la masa en gramos y, después, aplicamos la relación entre las tres magnitudes.

0,046 kg = 46 g → volumen =46 g

2,3 g/cm3 = 20 cm3

EJERCICIO RESUELTO

Presta atención

La densidad se define para líquidos y sólidos.

En el caso de los sólidos, se relaciona la masa y el volumen que ocupa el objeto en gramos por centímetros cúbicos (g/cm3).

Expresa los siguientes volúmenes en medidas de capacidad.a) 0,023 m3 b) 45 601 mm3 c) 234 cm3

5

Expresa en decímetros cúbicos las siguientes medidas de capacidad.a) 3,5 L b) 1 890 cl c) 0,04 dal

Calcula el peso de estas cantidades de agua destilada.a) 32 dal b) 0,934 L c) 2,3 cm3

6

7

Primero expresa todas las medidas en la misma unidad y después realiza las operaciones indicadas.

Utiliza la relación 1 dm3 = 1 L.

Cada salto a una unidad superior hay que dividir entre 1 000 y cada salto a una unidad inferior hay que multiplicar por 1 000.

Ten en cuenta que…

12Adaptación curricular. Volumen de cuerpos geométricos

Matemáticas 2.º ESO © Oxford University Press España, S. A.

2. VOLUMEN DE PRISMAS

Halla el volumen de los siguientes cubos.a) De 9 m de arista. b) De 6,5 dm de arista.

Calcula el volumen de estos estos ortoedros.a)

6 cm 2 cm

1 cm

b)

3 cm

3 cm

1 cm

11

12

Determina el volumen de estas figuras.a) Prisma de 15 cm de altura cuyas bases

son hexágonos regulares de 3 cm de lado.b) Prisma de 8 cm de altura cuyas bases

son triángulos equiláteros de 6 cm de lado.

Halla el volumen de estos prismas regulares.a) b)

16

17

18 c

m

9 cm

19 c

m

7 cm

Halla el volumen de los prismas propuestos.

a) b)

18

•

•

4 cm

2,75 cm

10 cm 12 c

m

9 cm7 cm

`` Calcula el volumen de un prisma regular de 13 cm de altura y base hexagonal de 8 cm de lado.

Solución

Antes de calcular el volumen del prisma es necesario hallar el área de la base.

EJERCICIO RESUELTO

ma2e48

El área de un polígono regular es:

A =perímetro ⋅ apotema

2

Ten en cuenta que…

Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.a)

8 cm6 cm

15 cm4 cm

3 cm

b)

4 cm

3 cm

3 cm5 cm

12 cm

15

Piensa qué polígonos pueden ser las bases del prisma.

En un hexágono regular la longitud del lado coincide con el radio del polígono.

Ten en cuenta que…

La altura de un prisma oblicuo es la distancia que hay entre sus bases.

Ten en cuenta que…

Halla el volumen de los siguientes prismas.a) Base pentagonal regular de 12 cm de lado,

8,3 cm de apotema y 20 cm de altura.b) Base octogonal regular de 8 cm de lado,

9,7 cm de apotema y 15 cm de altura. c) Base pentagonal regular de 10 cm de lado,

6,9 cm de apotema y 7 cm de altura.

Determina el volumen de esta figura.

13

14

5 cm

19 cm12 cm

12 Volumen de cuerpos geométricos. Adaptación curricular

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Calcula el volumen de esta pirámide.

Halla el volumen de las pirámides cuyos datos son los siguientes.a) Base pentagonal regular de 7 cm de lado, 4,8 cm de apotema; altura,

10 cm.b) Base octogonal regular de 3 cm de lado, 3,6 cm de apotema; altura, 12 cm.

20

21

3. VOLUMEN DE PIRÁMIDES

Determina el volumen de las siguientes pirámides oblicuas.a) b)

12 cm

7 cm

4 cm2,75 cm

7,5

cm

24

La altura de una pirámide oblicua es la distancia del vértice de la pirámide a la base.Ten en

cuenta que…

`` Halla el volumen de la pirámide siguiente.

Solución

Aplicamos el teorema de Pitágoras para averiguar la altura de la pirámide y la apotema de la base.

Por tanto, el área de la base de la pirámide es: AB = 6 ⋅5 ⋅ 4,3

2= 64,5 cm2

Y el volumen resulta: V = 1

3(AB ⋅ h) =

64,5 ⋅12

3= 258 cm3

EJERCICIO RESUELTO

5 cm

13 cm

h

5

2,5

ap

13

5

h

ap2 + 2,52 = 52 → ap = 4,3 cm

h2 + 52 = 132 → h = 12 cm

Halla el volumen de las siguientes pirámides.a) b)

10 cm

12 cm

5,2 cm

17,3 cm

6 cm

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Forma un triángulo rectángulo teniendo en cuenta la altura de la pirámide, y su apotema para aplicar el teorema de Pitágoras y calcular dicha altura.

5 cm 3 cm

7 cm

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4. VOLUMEN DE CILINDROS

Calcula el volumen de los siguientes cilindros.a) Radio de las bases de 5,4 cm y altura de 13 cm.b) Radio de las bases de 8 cm y altura de 2,5 cm.c) Radio de las bases de 6,4 cm y altura de 3,5 cm.

28

Halla el volumen de estos cilindros. Ten cuidado con las unidades de medida que se indican.a) Radio de las bases de 0,45 m y altura de 83 cm.b) Radio de las bases de 5,6 dam y altura de 45 dm.

29

Determina el volumen de los siguientes cilindros.a) Diámetro de las bases de 10 dm y altura de 1 m.b) Diámetro de las bases de 5 m y altura de 650 cm.c) Diámetro de las bases de 32 cm y altura de 4,8 dm.

30

Para poder calcular el volumen del cilindro, el radio y la altura tienen que estar expresadas en la misma unidad.

Ten en cuenta que…

El radio de la base es la mitad que su diámetro.Ten en

cuenta que…

Calcula el volumen de los cilindros oblicuos siguientes.a) b) c)

7 cm

7 cm

5 cm

6 cm

5 cm

9 cm

¿Cuál es la altura de un cilindro si el radio de las bases mide 5 cm y su volumen es de 549,5 cm3?

31

32

Calcula el volumen de las siguientes piezas.a) b)

1,25 m

1 m

2 m

20 cm

12 cm

60º

35

La altura de un cilindro oblicuo es la distancia entre las bases.Ten en

cuenta que…

Despeja de la fórmula del volumen la altura: V = π ⋅ r2 ⋅h → h =V

3,14 ⋅ π2

En el apartado a) calcula el volumen del cilindro exterior y réstale el del interior.

Y en el apartado b) forma una razón entre los 360º del cilindro y su volumen completo para averiguar el volumen de la cuña esférica de 60º.

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5. VOLUMEN DE CONOS

Determina el volumen de los siguientes conos.a) Cono de 3,5 cm de radio y 7 cm de altura.b) Cono de 12 cm de diámetro y 15,7 cm de altura.

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Calcula el volumen de estos conos.a) b) c)

18 c

m

7,5 cm

12 cm

20 cm

16 cm

17 cm

38

Halla el volumen del cono generado al hacer girar los siguientes triángulos rectángulos en torno al eje indicado.a) b)

26 cm

24 cm

20 cm16 cm

39

`` Halla el volumen de un cono de 5 cm de radio y 13 cm de generatriz.

SoluciónPara calcular el volumen del cono, necesitamos averiguar cuánto mide su altura. Con este fin, aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por la generatriz, la altura y el radio de la base.

h2 + 52 = 132 → h2 = 169 − 25 → h = 144 = 12 cm

Por tanto, el volumen del cono es: VCONO = 3,14 ⋅52 ⋅12

3 = 314 cm3

EJERCICIO RESUELTO

5 cm

13 cmh

En un cono recto se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura del cono y el radio de la base y su hipotenusa, la generatriz del cono.

Ten en cuenta que…

Para hallar el volumen de un cono necesitas conocer el radio de la base y su altura. Estos datos son los catetos del triángulo rectángulo que se forma en el cono.

Ten en cuenta que…

Calcula el volumen de los conos con los siguientes datos.

a) Radio de la base 1,1 cm y generatriz 6,1.

b) Altura 3,5 cm y generatriz 3,7 cm.

Sol. a) 7,6 cm3 b) 5,28 cm3

Dibuja el cono que se genera en cada caso y marca en él la medida de los datos conocidos.

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6. VOLUMEN DE ESFERAS

Calcula el volumen de las siguientes esferas.a) Esfera de 4,2 cm de radio. b) Esfera de 13 cm de diámetro.

Halla el volumen de estas esferas.a) b) c)

3,7 dm•

•7,3 cm

•52 mm

Calcula el volumen de las siguientes secciones de esfera.a) b) c)

12 cm

4 cm

2 cm

43

44

45

Halla el volumen que dejan libre 2 pelotas de 8 cm de diámetro al introducirlas en las siguientes cajas.a) b)

8 cm

8 cm16 cm

16 cm 8 cm

49

La longitud del diámetro es el doble que la del radio.Ten en

cuenta que…

La superficie de una esfera es 50,24 cm2. Calcula su volumen.46

Calcula el volumen de la esfera completa y observa cuántas partes como la que te piden forman dicha esfera.

El volumen de una esfera es 113,04 cm3. ¿Cuál es su radio?47

La fórmula de la superficie de la esfera es S = 4 ⋅ π ⋅ r2. En ella, despeja el radio y utilízalo para calcular el volumen.

Despeja el radio de la fórmula del volumen de la esfera:

V =4

3⋅ π ⋅ r3 → r3 =

3 ⋅V

4 ⋅3,14→ r =

3 ⋅V

4 ⋅3,143

Forma una razón entre el volumen y el ángulo de la cuña esférica sabiendo que toda la esfera tiene 360º.

Partiendo de una esfera de radio 6 cm, halla el volumen de las cuñas esféricas que tienen los siguientes grados de amplitud.a) 120º b) 240º c) 300º

50

Calcula el volumen de cada caja y réstale el volumen de las dos pelotas.