Activité  Encadrer  une  intégrale  en  utilisant  un  algorithme    

Objectifs  -­‐ Amener  les  élèves  à  comprendre  la  nécessité  de  ce  type  de  méthodes  dans  le  cas,  FRÉQUENT,  où  il  est  impossible  de  

déterminer  une  primitive  explicite  -­‐ Sur  un  même  thème,  entrainer  les  élèves  à  lires  différents  types  d’algorithmes  et  à  en  comprendre  les  différences  de  

fonctionnement    

 Partie  A  :  La  méthode  des  rectangles    Un  exemple  simple  Soit  !  la  fonction  positive  et  strictement  croissante  sur  ℝ!  définie  par  :  ! ! = !  On  souhaite  calculer  une  valeur  approchée  de  :  

! ! !"!

!  

 Pour  cela  on  va  utiliser  l’algorithme  suivant  :  

 1. Décrire,  étape  par  étape,  ce  qui  se  passe  si  on  entre  ! = 4  2. Que  représente  !  ?  !  ?  3. Que  nous  donne  cet  algorithme  ?  4. Programmer  cet  algorithme  sur  Algobox,    

                           ou  votre  calculatrice,  et  préciser  les  valeurs  de  !  et  !  si                                on  entre  ! = 25.  

5. Comparer  le  résultat  obtenu  avec  celui  donné  par  la                              calculatrice.            

Utilisation  de  la  calculatrice  pour  calculer  une  intégrale  Entrer  l’expression  de  la  fonction  et  faire  apparaître  la  courbe  représentative  Avec  la  CASIO  SHIFT  F5  (G-­‐solv)  puis  choisir  le  menu   !"  Lower  :  borne  inférieure      Upper  :  borne  supérieure    Avec  la  TI  2nde  (calculs)  puis  choisir  le  menu   !(!)!"  BorneInf  :  borne  inférieure      BorneSup  :  borne  supérieure      Un  autre  exemple  Soit  !  la  fonction  définie  sur   0  ; 1  par  :  ! ! = !!!  

1. Justifier  que  la  fonction  est  continue,  positive  et  croissante  sur   0  ; 1  2. Pour  chacun  des  deux  algorithmes  ci-­‐dessous,  expliquer  ce  que  représente  la  variable  !"##$%&'  .  3. Quelle  est  la  variable  inutile  dans  ces  deux  algorithmes  ?  4. Écrire,  en  utilisant  le  symbole  Σ,  le  calcul  qu’il  faudrait  faire  pour  obtenir  la  valeur  en  sortie  de  l’algorithme  1  

si  l’entrée  est  ! =  10.  5. Expliquer  en  quoi,  l’algorithme  2  permet  d’obtenir  une  meilleure  approximation  de   !!!!"!

!  que  l’algorithme  1.  

   

Entrées  :  Saisir  !    Initialisation  :  ! ← 0  ; ! ← 0  ; ! ← 0    Traitement  :    Pour  !  de  0  à  ! − 1  Faire       ! ← ! + !

!×!(!)  ;  

    ! ← ! + !!   ;  

    ! ← ! + !!×!(!)  ;  

                                               FinPour    Afficher  :  Afficher  !  , !                      

Algorithme  1               Algorithme  2  

                             Partie  B  :  La  méthode  des  trapèzes    On  cherche  une  valeur  approchée  de  ! = !

!!!!!!  !".  

1. Justifier  que  la  fonction  f  définie  par  ! ! = !!!!!

 est  continue,  positive  et  strictement  décroissante  sur  ℝ!  2. On  propose  l’algorithme  suivant  afin  de  déterminer  une  valeur  approchée  de  !  :  

 a. Décrire,  étape  par  étape,  ce  qui  se  passe  si  

on  entre  ! = 2  (On  pourra  s’aider  de  la  figure  ci-­‐dessous  représentant  la  courbe  de  !  )  En  déduire  une  justification  du  titre  :  «  Méthode  des  trapèzes  ».  

b. Modifier  cet  algorithme  pour  calculer  une  valeur  approchée  de   ! ! !"!

!  où  !  et  !  sont  des  réels  quelconques  positifs  avec  ! < !.  

           

Entrée  :       !  un  nombre  entier  supérieur  à  10  Sortie  :       !"##$%&'  un  nombre  réel    Traitement  :       !  prend  la  valeur  1/!       !"##$%&'  prend  la  valeur  0       Pour  !  allant  de  0  à  ! − 1         !  prend  la  valeur  k*e         !  prend  la  valeur                                                                                                  !"#((! ∗ !)^2)         !"##$%&'  prend  la  valeur                                                                                                  !"##$%&' + ! ∗ !       FinPour       Afficher  sommeinf    

Entrée  :       !"#$%  un  nombre  réel  strictement  positif         inférieur  à  0,1  Sortie  :       !"##$%&'  un  nombre  réel    Traitement  :       !  prend  la  valeur  10                                    !"##$%$&'$  prend  la  valeur  1       Tant  que  !"##$%$&'$   >  !"#$%  faire         !  prend  la  valeur  1/!         !"##$%&'  prend  la  valeur  0         Pour  !  allant  de  0  à  ! − 1           !  prend  la  valeur  k*e           !  prend  la  valeur             !"#((! ∗ !)^2)           !"##$%&'  prend  la  valeur                                                                                                     !"##$%&' + ! ∗ !         FinPour         !"##$%&'  prend  la  valeur  0         Pour  !  allant  de  1  à  !           !  prend  la  valeur  k*e           !  prend  la  valeur             !"#((! ∗ !)^2)           !"##$!%&  prend  la  valeur                                                                                                     !"##$!%& + ! ∗ !         FinPour         !"##$%$&'$  prend  la  valeur           !"##$!%& − !"##$%&'         !  prend  la  valeur  ! + 10       Fin  Tant  que       Afficher  !"##$%&'    

Début    Variables  :     !,!  des  entiers       !, !, !, !  des  réels    Entrer  !  !  prend  la  valeur  0  Pour  !  allant  de  !  à  ! − !     !  prend  la  valeur  !!

!  

  !  prend  la  valeur  !(!!!)!

 

  !  prend  la  valeur  !!!!(!(!)+ !(!))  

  !  prend  la  valeur  ! + !  Fin  Pour  Afficher  !  Fin