Abelian &Non-Abelian transformations Abelian groups transformations commute Non-Abelian groups transformations do not commute phase invariance in QED isospin

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  • Abelian &Non-Abelian transformations Abelian groups transformations commute Non-Abelian groups transformations do not commute phase invariance in QED isospin yang-mills theory
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  • Dal 1948 osserviamo le particelle; notiamo qualche simmetria ; cerchiamo quale campo di gauge pu spiegarle : questo vuol dire determinare le propriet delle particelle scambaitrici (virtuali) associate al campo, che poi bisogna scoprire sperimentalmente. Non-Abelian Guage global Symmetry Any non-Abelian global symmetry not hidden reveal itself in the existence of multiplets that are either exactly degenerate in mass, if the symmetry is exact or nearly so if the symmetry is broken by small explicit terms in the Hamiltonian Any non-Abelian global symmetry not hidden reveal itself in the existence of multiplets that are either exactly degenerate in mass, if the symmetry is exact or nearly so if the symmetry is broken by small explicit terms in the Hamiltonian Exactly degenerate in mass: Angular momentum multiplets,in the absence of electromagnetic field Fino al ~ 1948: simmetrie di gauge per costruire la elettrodinamica quantistca (QED): linvarianza di gauge come controllo dei calcoli e non come generatore di forza invarianza per rotazione nello spazio di spin isotopico delle interazioni forti. Yang-Mills e la conservazione dello SPIN ISOTOPICO non abeliana simmetria globale non abeliana Broken: Strong Isospin
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  • notare simmetria nascosta hidden symmetry simmetria rotta broken symmetry trasformazione (simmetria, gruppo) abeliana trasformazione (simmetria, gruppo) non abeliana
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  • Strong Isospin Symmetry (nucleons,pions and other hadrons) protone (p) e neutrone (n) m p =938.28 MeV, m n =939.57MeV m m Perch considerarli diversi? Hanno una carica e.m. diversa, ma le interazioni forti non sentono la carica e.m..Linterazione forte molto pi forte dellinterazione e.m., che non conta molto. (Heisemberg, 1932) Questo modo di ragionare ha portato allidea che dobbiamo pensare p e n come due stati dello stesso oggetto: il nucleone N. La carica elettrica una etichetta per distinguere i due stati, se ce ne bisogno. utile immaginare uno spazio, dettoSTRONG ISOSPIN SPACE, nel quale il nucleone N punta in una direzione: in su se un p, in gi se un n Questo modo di ragionare ha portato allidea che dobbiamo pensare p e n come due stati dello stesso oggetto: il nucleone N. La carica elettrica una etichetta per distinguere i due stati, se ce ne bisogno. utile immaginare uno spazio, detto STRONG ISOSPIN SPACE, nel quale il nucleone N punta in una direzione: in su se un p, in gi se un n Si assume che linterazione forte sia invariante per rotazioni nello spazio di spin isotopico, e si chiama questa invarianza : SIMMETRIA di SPIN ISOTOPICO delle INTERAZIONI FORTI SIMMETRIA di SPIN ISOTOPICO delle INTERAZIONI FORTI In effetti, si osservato che approssimativamente linterazione forte non cambia se si scambiano p ed n. (charge symmetry and charge indipendence delle forze nucleari) Questa invarianza o simmetria rotta dallinterazione e.m., ma tiene entro lo 0,1%
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  • Questa una simmetria che ha un ruolo importante nell interazione di nucleoni,pioni e altri hadroni. Ha per un ruolo molto importante anche da un punto di vista concettuale: ha contribuito allo sviluppo delle idee che hanno portato alle moderne teorie di gauge: le teorie di Yang-Mills. Qui ce ne occuperemo da questo punto di vista. Quello che veramente fondamentale la simmetria di isospin debole come vedremo in seguito. SIMMETRIA di SPIN ISOTOPICO
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  • Doppietto di SU(2) I=1/2 HADRONS AS STATES IN SU(2) MULTIPLETS Tripletto di SU(2) I=1 m p =938.28 MeV, m n =939.57MeV m =139.57 MeV, m 0 =139.96MeV Q carica particella e carica elettrone B numero barionico Esempio di simmetria interna di particelle
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  • pion nucleon interaction Lagrangian Distrugge un antiprotone, crea un protone Distrugge un neutrone,crea un neutrone Non invariante per rotazione nello spazio interno di spin isotopico per qualsiasi g. Per esempio COME RENDERE INVARIANTE UNA LAGRANGIANA? UNO SCALARE INVARIANTE PER ROTAZIONE. DATO CHE IL UN VETTORE, DOBBIAMO FORMARE UN VETTORE CON N analogia con lo spin potenziale del campo forte,ma anche operatore creazione e distruzione del charge indipendence interaction Lagrangian
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  • Calcolo prodotto Relazione tra 1,2,3 e
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  • basic nucleon-nucleon interaction force amplitude
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  • Lo spin isotopico un esempio di simmetria interna di particelle. A questo tipo di simmetria si associa uno spazio interno e si richiede che linterazione sia invariante per rotazioni in tale spazio In questo modo si ottiene uninterazione della forma voluta. Quando ci occuperemo dellp spin debole, vedremo che il bosone W ad avere isospin debole 1
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  • Non-Abelian Gauge Theories SPAZI INTERNI E INVARIANZA DI FASE p e n sono nello spazio interno di spin isotopico forte SU(2): trasformazione di fase per cui la variazione espressa da un operatore nello spazio di spin isotopico Rotazione dallo stato N allo stato N n.b.: lordine delle rotazioni importante, perche le rotazioni non commutano. TRASFORMAZIONI NON ABELIANE commutatore i parametri della rotazione i matrici di Pauli
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  • In linea di principio possiamo considerare particelle in una rappresentazione di un gruppo qualsiasi, ed applicare la trsformazione appropriata Se le particelle a 1,a 2,a 3 portano numeri quantici in uno spazio SU(3), si ha: COLORE I quark hanno questo grado di libert : il COLORE Quali sono gli spazi interni della fisica delle particelle? Sperimentalmente si verificato che gli spazi che descrivono tutte le particelle conosciute oggi, e le loro propriet sono: SU(3)(COLORE) interazione forte SU(2) e U(1) interazione elettrodebole Si vedr in seguito che uno spazio nel quale delle particelle portano numeri quantici non banali, conduce ad una interazione tra particelle mediate da nuovi bosoni di gauge
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  • Linvarianza di fase della teoria quantistica (gauge invariance) deve esistere per trasformazioni in questi spazi interni. STANDARD MODEL SU(3)(COLORE) interazione forte SU(2) U(1) interazione elettrodebole TEORIE di GAUGE NON-ABELIANE per QUARK e LEPTONI invarianza di gauge locale teorie di Yang-Mills Si pu dimostrare che teorie di guage non-abeliane sono pienamente gauge invarianti, cio esiste un insieme di trasformazioni per e i bosoni di gauge che fa si che D si trasformi come Si pu dimostrare che teorie di guage non-abeliane sono pienamente gauge invarianti, cio esiste un insieme di trasformazioni per e i bosoni di gauge che fa si che D si trasformi come Quark e leptoni hanno etichette ( o numeri quantici) che permettono di distinguere 3 spazi interni.
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  • weak isospin rappresentazioni in uno spazio di isospin debole 3. Nessuna particella libera invariante per una trasformazione di gauge non-Abeliana dato che non invariante lequazione di SCHROEDINGER 1.Si richiede invarianza in trasformazioni locali 2. Questo equivale a fare i parametri dipendenti dal tempo e dallo spazio. Covariant derivatives: generalizzazione del caso abeliano U(1) 4. Covariant derivatives: generalizzazione del caso abeliano U(1)
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  • Passando da U(1) a SU(2), abbiamo bisogno di 3 campi quadrivettoriali ( ) Con U(1) abbiamo bisogno di un A ; con SU(2) abbiamo bisogno di W i per ogni i. U(1) SU(2) g 2 arbitraria la forza dellinterazione W i necessario, per linvarianza per rotazioni di weak isospin Questa unequazi one di matrici 22 Come cambia W i con una trasformazione di gauge? Dato chesi deve avere Si assume che:. Si deve determinare Si pu dimostrare che Esiste quindi una soluzione non banale consistente con lipotesi della gauge invarianza di una teoria non-Abeliana! analogo a U(1) (abelian) trasformazione di un vettore per rotazione (non- abelian)
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  • Dimostrazione
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  • OSSERVAZIONE OSSERVAZIONE abbiamo quindi visto una derivazione esplicita del fatto che una t tt teoria non abeliana pu essere pienamente g gg gauge-invariante esiste cio un set di trasformazioni per e W tali per cui D si trasforma come non un risultato banale che esista una soluzione consistente
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  • covariant derivativeper doppietti di SU(2) covariant derivative per doppietti di SU(2) fermioni sinistrorsi Bisogna generalizzare questo risultato 1.spazio interno di weak isospin. in una diversa rappresentazione 1.spazio interno di weak isospin. in una diversa rappresentazione. weak isospin t, con (2t+1) componenti,T la rappresentazione operatore matriciale (2t+1) (2t+1) dei generatori di SU(2) in quella base. weak isospin t, con (2t+1) componenti,T la rappresentazione operatore matriciale (2t+1) (2t+1) dei generatori di SU(2) in quella base. 2.Consideriamo un diverso spazio interno 2. Consideriamo un diverso spazio interno SU(n) invariance con generatori in uno spazio vettore a (n 2 -1) SU(n) invariance con generatori in uno spazio vettore a (n 2 -1) dimensioni, e, allora dimensioni, e, allora La natura ci offre uno spazio interno di colore SU(3) richiede (n 2 -1)= (9-1)=8 bosoni di gauge SU(2) SU(3) i G sono i bosoni di gauge che devono essere introdotti per avere una teoria di gauge invariante.
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  • Sommando a svariati termini siamo sicuri di poter scrivere un differenziale covariante D che ci perm