Dinamika Magnetofluida Abelian dan

non-Abelian dengan

Lagrangian Gauge

Tugas Akhir

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains

Andrias Fajarudin

0304027021

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Indonesia

Depok

2008

Lembar Persetujuan

Judul Skripsi : Dinamika Magnetofluida dengan Lagrangian Gauge

Nama : Andrias Fajarudin

NPM : 0304027021

Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui

Depok, Februari 2008

Mengesahkan

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. L. T. Handoko Dr. Terry Mart

Penguji I Penguji II

Dr. Imam Fachruddin Dr. Agus Salam

Mengetahui,

Ketua Program Peminatan Fisika Nuklir dan Partikel

Dr. Terry Mart

Untuk keluargaku :

Abah, Mamah, Lia

’Semua akan menjadi lebih baik bila kita tetap bersama....’

i

Kata Pengantar

Teori Gauge pada fisika partikel merupakan formalisme matematik yang digu-

nakan untuk menjelaskan unifikasi antar medan. Teori yang telah ada adalah

model standar yang mengunifikasi elektromagnetisme, gaya lemah, dan gaya ku-

at. Untuk menjelaskan unifikasi ketiga gaya fundamental ini digunakan simetri

grup SU(3) ⊗ SU(2) ⊗ U(1). Ide unifikasi medan-medan melalui teori gauge

ini memotivasi saya untuk menyusun model magnetofluida standar seperti pada

magnetohidrodinamika.

Hasil eksperimen pada BNL ( Brookhaven National Laboratory ) dengan meng-

gunakan RHIC ( Relativistic Heavy Ion Collider ) menunjukkan bahwa gluon

dan quark tidak membentuk materi hadron pada temperatur yang sangat tinggi,

tetapi membentuk fase baru yaitu plasma quark-gluon[2, 5]. Hasil yang dia-

mati menunjukkan bahwa plasma Quark-gluon memiliki kerapatan tinggi, tetapi

mengalir dengan nilai viskositas yang sangat kecil seperti fluida ideal, sehingga

memenuhi hukum dasar Hidrodinamika. Untuk itulah model magnetofluida yang

saya susun akan diperluas untuk kasus medan fluida non-Abelian sehingga relevan

untuk sistem quark-gluon plasma. Terdapat model lain yang menjelaskan sistem

QGP, yaitu dengan model hybridmagnetofluid unification[2]. Model yang saya

buat ini sekaligus mengkoreksi model yang telah ada ini dalam hal suku kinetik

pada lagrangian. Penulis secara khusus mengucapkan terima kasih kepada semua

pihak yang telah membantu penyelesaian tugas akhir ini baik secara langsung

maupun tidak langsung, antara lain:

1. Allah.SWT sang pemilik semesta atas segala rahmat, rejeki, dan karunia-

NYA.

2. Abah, mamah, dan lia yang menjadi sumber semangat saya untuk terus

ii

berjuang. Terimakasih untuk Abah dan mamah atas pelajaran hidupnya

selama ini, saya yakin suatu saat nanti keadaan kita akan lebih baik seperti

dulu lagi...

3. Special thanks, Terimakasih sebesar-besarnya kepada Dewi Kusumaningrum,

saya tidak akan sampai di tahap ini tanpa semua bantuan, semangat, mo-

tivasi, dan perhatian dari kamu.

4. Herman Saheruddin selaku kakak, thanks telah menularkan kecanduan fisi-

ka pada saya.

5. Dr. L.T. Handoko selaku pembimbing I yang telah membimbing penulis

mulai dari awal diskusi hingga penyelesaian tugas akhir ini serta atas ide-ide

yang brilian dan motivasi hidup yang membuat saya menjadi lebih optimis

dan yakin untuk tetap dalam bidang fisika partikel.

6. Dr. Terry Mart selaku pembimbing II dan ketua peminatan Fisika Nuklir

dan Partikel atas bimbingan dan dukungan yang diberikan baik itu selama

kuliah maupun pengerjaan tugas akhir ini.

7. Dr. Imam Fachrudin, Dr. Agus Salam dan Dr. Budhy Kurniawan selaku

penguji I,II dan ketua sidang.

8. Rekan-rekan di Lab Teori : Sandi ( Mr. Jomblo ) thanks atas kebaikan-

nya selama ini, Andhika Oxalion, Ryky, Beriya, Popo, Hans, Pak Ayung (

thanks atas cerita pengalaman hidupnya), Pak Sulaiman .

9. Teman-teman fisika angkatan 2004 dan teman-teman di salemba group.

Saya menyadari bahwa karya tulis ini masih jauh dari sempurna karena keterba-

tasan pengetahuan saya, maka dari itu saya mengharapkan kritik dan saran dari

para pembaca demi perkembangan riset di Fisika UI.

Depok, Februari 2008

Andrias Fajarudin

iii

Abstrak

Dibangun Sebuah lagrangian untuk menyatukan interaksi elektromagnetik dan

dinamika fluida. Lagrangian ini memiliki simetri terhadap transformasi gauge

lokal U(1)FD⊗U(1)G dan G(n)FD⊗G(n)G. Dari lagrangian ini kita akan menu-

runkan seluruh persamaan gerak untuk seluruh medan dan rapat energi sistem

magnetofluida yang akan diaplikasikan untuk plasma quark-gluon.

Kata kunci: Transformasi gauge lokal, Plasma quark-gluon

viii+32 hlm.; lamp.

Daftar Acuan: 10(1945-2008)

Abstract

A lagrangian for unifies elektromagnetic interaction and fluid dynamics is de-

veloped. The lagrangian have a symmetry under local gauge transformation

U(1)FD ⊗ U(1)EM and G(n)FD ⊗G(n)G. From this lagrangian we will derive all

the equation of motion of field and the energy density of magnetofluid system

which will be applied for quark-gluon plasma.

Keywords: Local gauge transformation, Quark-gluon plasma

viii+32 pp.; appendices.

References: 13(1945-2008)

Daftar Isi

Kata Pengantar ii

Abstrak iv

Daftar Isi v

Daftar Gambar vii

1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Magnetohidrodinamika 4

2.1 Persamaan Gerak Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Quark dan Plasma Quark-Gluon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Unifikasi Magnetofluida dengan prinsip Gauge 9

3.1 Unifikasi Magnetofluida dengan TeoriGauge Abelian . . . . . . . 9

3.2 Persamaan Maxwell Magnetofluida . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Persamaan Gerak Magnetofluida untuk limit non-Relativistik . . . 16

3.4 Model Magnetofluida dengan medan gauge non-Abelian . . . . . . 17

3.5 Persamaan Gerak Magnetofluida non-Abelian untuk limit non-

Relatisvistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.6 Aplikasi Unifikasi Magnetofluida non-Abelian pada Plasma Quark-

Gluon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

v

4 Perhitungan Energi Magnetofluida berbasis Teori Gauge 25

4.1 Energi Plasma non-Abelian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Energi density QGP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Hasil dan Pembahasan 30

6 Kesimpulan 34

A Mekanika Kuantum Relativistik 35

A.1 Aljabar Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

A.2 Natural Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

B Analisis Tensor 39

B.1 Transformasi Koordinat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

B.2 Vektor-Vektor Kontravarian dan Kovarian . . . . . . . . . . . . . 39

B.3 Tensor-Tensor Kontravarian, Kovarian dan Tensor campuran . . . 40

B.4 Tensor Simetrik dan Asimetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Daftar Acuan 42

vi

Daftar Gambar

2.1 Quark dan Gluon pada Hadron. Quark terikat bersama dengan

quark lainnya (confined) dengan kondisi colour-netral membentuk

hadron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Quark dan Gluon pada plasma Quark-Gluon. Quark tidak beri-

katan membentuk hadron tetapi bergerak bebas pada fireball (de-

confined). Fireball terbentuk pada temperatur diatas 100 MeV,

atau sekitar 1013K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.1 H= rapat energi QGP, Hg= rapat energi gluon, ρq = 1, Jq =

1, αs = 1, φ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

vii

Bab 1

Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Hasil eksperimen tumbukan relativistik antara ion-ion berat pada energi ting-

gi dengan RHIC pada BNL menunjukkan bahwa pada temperatur yang sangat

tinggi quark tidak lagi berikatan membentuk materi hadron tetapi membentuk

fase baru dari materi yaitu plasma. Plasma yang terbentuk berupa fireball yang

terdiri dari gluon dan quark yang memiliki muatan non-Abelian yaitu warna (co-

lour). Hal ini lah yang memotivasi saya untuk menyusun teori magnetofluida

non-Abelian (diawali dengan teori magnetofluida dengan muatan abelian) yang

ekuivalen dengan model standar yaitu Magnetohydrodynamics . Terdapat model

yang mendeskripsikan fluida relativistik bertemperatur tinggi dengan menghibri-

disasi medan elektromagnet dan medan fluida. Unifikasi kedua medan dinyatakan

dengan effective field strength tensor, Mµν ≡ Fµν +m/qSµν dimana Fµν dan Sµν

merupakan tensor kuat medan dari medan elektromagnetik dan medan fluida.

Metode ini telah dikembangkan untuk kasus non-Abelian. Pada skripsi ini saya

bertujuan membuat model yang sama tapi dengan metode yang berbeda yaitu

dengan pendekatan Lagrangian yang memiliki simetri gauge. Metode ini meng-

koreksi model unifikasi yang telah ada[2, 5] pada aspek:

• Dari sudut pandang teori medan, fluida dan medan gauge lainnya meru-

pakan medan yang berbeda, sehingga harus memiliki suku kinetik yang

berbeda pada lagrangian. Sedangkan pada model hybridmagnetofluid uni-

fication, akan terdapat suku kinetik pada lagrangian yaitu MµνMµν yang

di dalamnya mengandung dua medan berbeda.

1

1.2 Perumusan Masalah

Terdapat suatu model yang menjelaskan sistem magnetofluida, model ini meng-

gabungkan 2 medan yang berbeda melalui effective strength tensor. Kelemahan

model ini adalah menggabungkan dua medan yang berbeda ( medan fluida dan

medan gauge ) dalam suku kinetik yang sama pada lagrangian. Padahal pada

segi pandang teori medan hal ini tidak boleh terjadi. Untuk itu dibuat model

lain yang menggunakan pendekatan lagrangian dengan menyertakan simetri ga-

uge. Simetri gauge dikerjakan pada setiap medan fluida dan medan gauge lain

yang berinteraksi dengan medan fluida. Analog dengan teori unifikasi pada fisika

partikel maka model unifikasi magnetofluida disusun berdasarkan :

• Fluida Abelian berinteraksi dengan medan elektromagnetik dengan simetri

U(1)F ⊗ U(1)G.

• Fluida non-Abelian berinteraksi kuat dengan medan gauge non-Abelian de-

ngan simetri G(n)F ⊗G(n)G

• Fluida non-Abelian berinteraksi dengan medan elektromagnetik dengan si-

metri G(n)F ⊗ U(1)G

Dengan simetri gauge ini maka akan didapatkan lagrangian total yang suku-

sukunya menjelaskan interaksi antara materi, medan fluida dan medan gauge

yang lain. Dari lagrangian ini akan diturunkan persamaan gerak untuk mate-

ri dan medan fluida yang berinteraksi dengan medan gauge. Pada limit non-

relativistik maka akan didapatkan persamaan gerak klasik untuk medan fluida.

Selanjutnya akan dikaji konsekuensi-konsekuensi fisis dari model ini.

1.3 Metode Penelitian

Penelitian ini bersifat teoritik. Teori yang digunakan ialah teori unifikasi dengan

pendekatan lagrangian. Dengan mengerjakan simetri gauge pada masing-masing

medan maka akan didapatkan lagrangian total dengan suku-suku interaksi antara

medan fluida dan medan gauge. Dengan lagrangian ini akan disusun persamaan

2

gerak medan fluida relativistik dan untuk limit non-relativistik . Setelah itu dapat

dihitung besaran-besaran fisis yang merupakan konsekuensi dari model ini.

1.4 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk menyusun teori magnetofluida sekaligus mengko-

reksi teori yang sudah ada. Dengan model ini maka akan diturunkan persamaan

gerak medan fluida relativistik dan non-relativistik. Besaran fisis seperti energi,

entropi, fungsi partisi, tekanan, dan besaran-besaran lainnya juga akan dikaji.

3

Bab 2

Magnetohidrodinamika

Pada bab ini akan dibahas secara umum persamaan gerak dari plasma yang

dinyatakan oleh persamaan momen dan secara singkat tentang quark dan plasma

quark-gluon.

2.1 Persamaan Gerak Plasma

Plasma didefinisikan sebagai gas yang terdiri dari partikel-partikel bermuatan lis-

trik yang bergerak bebas yaitu elektron dan ion. Plasma terbentuk pada tempera-

tur tinggi ketika elektron-elektron terpisah dari atom netral. Plasma merupakan

fase keempat dari materi karena memiliki sifat yang berbeda dengan zat padat,

dan fluida ( zat cair dan gas ). Magnetohidrodinamika merupakan cabang ilmu

fisika yang mempelajari interaksi antara plasma dengan medan elektromagnetik.

Persamaan magnetohidrodinamika dinyatakan dengan persamaan momen yang

diturunkan dari persamaan Boltzmann-Vlasov [10]. Untuk plasma yang terdiri

dari satu spesies persamaan momennya didefinisikan :

∂n

∂t+ ∇ · (~un) = 0 (2.1)

dan

ρ

(

∂~u

∂t+ (~u · ∇)~u

)

= ρq ~E +~j × ~B −3∑

j=1

∂pij∂xj

(2.2)

dimana n, ρ, dan ρq adalah rapat partikel, rapat massa, dan rapat muatan. ~u

adalah kecepatan fluida rata-rata dan ~j adalah rapat arus. ~E dan ~B adalah

medan elektromagnetik total yaitu dari sumber luar dan dari sumber ρq dan

4

~j. Suku terakhir pada persamaan kedua adalah tensor gradien tekanan, dimana

untuk kasus fluida homogen dan isotropik [9] berbentuk :

−

3∑

j=1

∂pij∂xj

=−∂p

∂xi+η

3

∂∇ · ~u

∂i+ η∇2ui (2.3)

dimana p adalah tekanan skalar, ~u adalah kecepatan medan dan η adalah koefisien

viskositas. Dengan menganggap fluida inkompresibel maka ∇ · ~u = 0 sehingga

persamaan gerak fluidanya menjadi :

∂~u

∂t+ (~u · ∇)~u =

1

ρ

(

ρq ~E +~j × ~B −∇p− η∇2~u)

(2.4)

Untuk plasma yang terdiri dari dua spesies, misalkan ion dan elektron maka

persamaan momen dinyatakan dengan :

∂ne∂t

+ ∇ · (ne ~ue) = 0 (2.5)

∂nI∂t

+ ∇ · (nI ~uI) = 0 (2.6)

yang merupakan persamaan kekekalan jumlah partikel, dimana elektron bermu-

atan -q bermassa m dan ion bermuatan q bermassa M. Dengan mengabaikan

koefisien viskositas maka persamaan gerak masing-masing fluida dapat dituliskan

:∂ ~ue∂t

+ (~ue · ∇)~ue =1

mne

(

−qne ~E − qne ~ue × ~B −∇pe

)

(2.7)

∂ ~uI∂t

+ ( ~uI · ∇) ~uI =1

MnI

(

qnI ~E + qnI ~uI × ~B −∇pI

)

(2.8)

medan elektromagnetik ~E dan ~B ditentukan dari persamaan maxwell dengan

rapat muatan ρq dan rapat arus ~j diyatakan dengan :

ρq = q(nI − ne) (2.9)

~j = q(nI ~uI − ne ~ue) (2.10)

2.2 Quark dan Plasma Quark-Gluon

Quark

Quark merupakan partikel fundamental penyusun materi. Di alam, quark tidak

5

pernah teramati sebagai partikel bebas tetapi selalu terikat bersama dengan qu-

ark yang lain atau dengan antiquark melalui suatu potensial pengikat membentuk

suatu materi yang disebut Hadron. Terdapat dua kombinasi quark yaitu Baryon

dengan kombinasi 3 quark QQQ yaitu proton, netron dan Meson dengan kombi-

nasi QQ yaitu meson. Terdapat 6 jenis quark yaitu u (up), d (down), c (charm),

s (strange), t (top), dan b (bottom). Untuk mematuhi larangan pauli [3], maka

harus terdapat bilangan kuantum tambahan yaitu warna.

Muatan warna pada quark dibedakan menjadi 3 yaitu, r (red), g (green), dan b

(blue), sedangkan anti-quark membawa anti-warna. Seperti halnya interaksi elek-

tromagnetik, interaksi kuat antar quark juga dimediasi oleh suatu partikel boson,

partikel ini disebut gluon yang masing-masing memiliki warna dan anti-warna.

State yang mungkin dari gluon adalah :

rb, rg, bg, br, gr, gb, 1√2(rr − bb), 1√

6(rr + bb− 2gg), 1√

3(rr + gg + bb)

Berbeda dengan foton yang tidak memiliki muatan, gluon memiliki muatan war-

na sehingga dapat berinteraksi secara kuat dengan sesama gluon. Karena adanya

interaksi kuat antar gluon ini maka seperti halnya kombinasi quark pada hadron,

gluon dapat juga membentuk kombinasi colour singlet, GG dan GGG. Gluon da-

lam kondisi ini disebut Glueball .

Plasma Quark-Gluon

Plasma quark-gluon terbentuk pada tumbukan ultrarelativistik antar ion berat

seperti ion Au atau ion Sn dalam relativistic heavy ion collider di Brokhave na-

tional laboratory. Plasma quark-gluon adalah fase dari Quantum Cromodynamics

(QCD) yang muncul pada suhu dan kerapatan yang sangat tinggi (dalam orde

Tc = 170 MeV, atau sekitar 1013 K). Plasma quark-gluon terdiri dari quark dan

gluon seperti halnya pada hadron. Perbedaan kedua fase QCD ini adalah sebagai

berikut : pada hadron setiap quark dalam keadaan terikat dengan quark lain

atau dengan anti-quark (confined). Sedangkan pada plasma quark-gluon quark

dan anti quark tidak terikat membentuk hadron (de-confined) dan bergerak be-

bas pada suatu volume bersuhu tinggi yang disebut fireball.

Kenapa disebut plasma ?

Telah dijelaskan sebelumnya bahwa plasma adalah fluida yang terdiri dari partikel-

partikel bermuatan listrik yang saling berinteraksi satu sama lain dan bergerak

6

bebas di seluruh volume fluida. Pada plasma quark-gluon, quark dan gluon me-

miliki muatan yaitu warna, dan dapat bergerak bebas di seluruh volume fireball.

Perbedaan keduanya adalah muatan quark merupakan muatan non-Abelian se-

dangkan muatan listrik merupakan muatan abelian.

7

Gambar 2.1: Quark dan Gluon pada Hadron. Quark terikat bersama denganquark lainnya (confined) dengan kondisi colour-netral membentuk hadron

Gambar 2.2: Quark dan Gluon pada plasma Quark-Gluon. Quark tidak berikatanmembentuk hadron tetapi bergerak bebas pada fireball (deconfined). Fireball

terbentuk pada temperatur diatas 100 MeV, atau sekitar 1013K.8

Bab 3

Unifikasi Magnetofluida dengan

prinsip Gauge

Pada bab ini dijelaskan unifikasi antara medan fluida dan elektromagnetik untuk

kasus Abelian dan non-Abelian dengan menggunakan teori gauge. Dari unifi-

kasi ini kita akan menurunkan persamaan gerak medan fluida yang berinteraksi

dengan materi dan medan elektromagnetik dalam limit non-relativistik seperti

persamaan gerak pada plasma. Unifikasi dilakukan pada medan fluida Abe-

lian dan diperluas untuk medan fluida non-Abelian. Prosedur yang dilakuk-

an untuk menyatukan kedua interaksi adalah dengan mengerjakan simetri grup

U(1)FD ⊗ U(1)G dan G(n)FD ⊗G(n)G pada medan materi (boson dan fermion).

3.1 Unifikasi Magnetofluida dengan TeoriGauge

Abelian

Pada fisika partikel teori unifikasi dilakukan dengan menggunakan prinsip perta-

ma ( first principle) yaitu dengan menggunakan pendekatan Lagrangian. Prose-

durnya adalah melakukan transformasi oleh grup tertentu pada medan materi.

Lagrangian dari materi harus invarian terhadap transformasi ini, sebagai konse-

kuensinya maka pada lagrangian akan muncul suku-suku baru yang menunjukkan

interaksi antara materi dengan medan gauge atau interaksi antara sesama medan

gauge.

9

Lagrangian density Medan boson

Lagrangian density untuk medan boson dinyatakan dengan :

L = ∂µΦ∂µΦ∗ −m2Φ∗Φ (3.1)

Untuk mengunifikasi medan materi dan medan gauge maka dikerjakan transfor-

masi gauge lokal : U(1)FD ⊗ U(1)G : pada medan materi. Lagrangian materi

harus invarian terhadap transformasi ini :

Φ (x) → U (x)F Φ (x)

Φ′ (x) → U (x)EM Φ′ (x)

dimana :

U (x)F = e−iα(x)

U (x)EM = e−iβ(x)

dengan α (x) dan β (x) merupakan sembarang fungsi real . Untuk kasus infinite-

simal transformation e−iα(x) ≈ (1−iα (x)). Pada kasus transformasi gauge global

∂µΦ (x) ditransformasikan seperti Φ (x) , tetapi bila dikerjakan transformasi ga-

uge lokal maka akan terdapat suku-suku tambahan :

δΦ = −i (α + β)Φ (3.2)

δΦ∗ = i (α + β)Φ∗ (3.3)

δ∂µΦ = −i∂µαΦ − i∂µβΦ − i (α + β) ∂µΦ (3.4)

δ∂µΦ∗ = i∂µαΦ∗ + i∂µβΦ∗ + i (α + β) ∂µΦ∗ (3.5)

Karena terdapat suku tambahan pada bentuk derivatif maka lagrangian L (Φ, ∂µΦ)

menjadi tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal. Untuk mengatasi hal

ini kita harus menyusun bentuk derivatif yang memiliki sifat transformasi seperti

Φ(x).

δL =∂L

∂ΦδΦ +

∂L

∂Φ∗ δΦ∗ +

∂L

∂ (∂µΦ)δ (∂µΦ) +

∂L

∂ (∂µΦ∗)δ (∂µΦ∗) (3.6)

δL = (∂µα + ∂µβ) i (Φ∗∂µΦ − Φ∂µΦ∗) (3.7)

δL = (∂µα + ∂µβ)Jµ (3.8)

10

dimana Jµ adalah vektor arus empat materi.

Untuk membuat lagrangian invarian terhadap transformasi gauge, maka kita ha-

rus menambah beberapa suku pada lagrangian density.

• L1 = − (eAµ + gBµ) Jµ

dimana Aµ dan Bµ merupakan medan gauge ( medan elektromagnetik dan

medan fluida ) yang ditransformasikan oleh transformasi gauge sebagai :

Aµ (x) −→ Aµ (x) +1

e∂µα

Bµ (x) −→ Bµ (x) +1

g∂µβ

dengan e dan g merupakan konstanta kopling yang menentukan kekuatan

interaksi antara medan materi dengan medan gauge. Dengan tambahan

suku ini maka akan didapatkan :

δL1 = − (∂µα + ∂µβ)Jµ − (eAµ + gBµ) δJµ

δL + δL1 = − (eAµ + gBµ) δJµ (3.9)

δJµ = 2Φ∗Φ (∂µα + ∂µβ)

δL + δL1 = −2Φ∗Φ (eAµ∂µα + eAµ∂

µβ + gBµ∂µα+ gBµ∂

µβ)

Suku kedua yang harus ditambahkan adalah :

• L2 = (e2AµAµ + g2BµB

µ + 2egAµBµ) Φ∗Φ

δL2 = (2eAµ∂µ + 2gBµ∂

µ + 2gBµ∂µ + 2eAµ∂

µ) Φ∗Φ (3.10)

Jadi kita dapatkan : δL + δL1 + δL2 = 0

L = ∂µΦ∂µΦ∗ −m2Φ∗Φ − (eAµ + gBµ) J

µ

+(

e2AµAµ + g2BµB

µ + 2egAµBµ)

Φ∗Φ

agar memiliki arti fisis maka harus ditambahkan bentuk yang mengandung kua-

dratik dari ∂νAµ dan ∂νBµ sebagai suku kinetik dari medan gauge. Bentuk skalar

11

yang memenuhi dan invarian terhadap transformasi gauge ataupun Lorentz ada-

lah sebanding dengan F µνFµν dan SµνSµν . Dengan :

F µν (x) = ∂µAν − ∂νAµ (3.11)

Sµν (x) = ∂µBν − ∂νBµ (3.12)

merupakan tensor kuat medan (field strength tensor).

Kita telah mendapatkan Lagrangian density total yang invarian terhadap tran-

sformasi gauge lokal :

Ltotal = ∂µΦ∂µΦ∗ −m2Φ∗Φ − (eAµ + gBµ)J

µ

+(

e2AµAµ + g2BµB

µ + 2egAµBµ)

Φ∗Φ

−1

4F µνFµν −

1

4SµνSµν (3.13)

Suku-suku pada lagrangian ini menyatakan interaksi dari masing-masing medan.

Untuk mendapatkan bentuk derivatif yang kovarian terhadap transformasi maka

kita definisikan derivatif kovarian :

DµΦ = ∂µΦ + ieAµΦ + igBµΦ (3.14)

sehingga : DµΦ (x) −→ U (x)DµΦ (x) dengan derivatif kovarian maka La-

grangian density total dapat dituliskan :

Ltotal = DµΦDµΦ∗ −m2Φ∗Φ −

1

4F µνFµν −

1

4SµνSµν (3.15)

Persamaan Gerak

Berdasarkan prinsip aksi minimum δS = 0, dengan S =∫

d4xL dapat dipe-

roleh persamaan Euler - Lagrange :

∂µ∂L

∂ (∂µΦ)−∂L

∂Φ= 0 (3.16)

dengan Φ adalah sembarang medan.

• Persamaan Gerak Medan Boson

dengan subtitusi Lagrangian density total ke persamaan ( 3.16 ) dan Φ = Φ∗

maka akan didapat persamaan gerak :

(

∂µ∂µ + 2ieAµ∂µ + 2igBµ∂µ + ie∂µA

µ + ig∂µBµ +m2

)

Φ

−(

e2AµAµ + g2BµB

µ + 2egAµBµ)

Φ = 0 (3.17)

12

• Persamaan Gerak Medan Elektromagnetik

Persamaan gerak Medan elektromagnetik didapatkan dengan mensubtitusi persa-

maan ( 3.13 ) ke dalam persamaan ( 3.16 ) dengan Φ = Aν , maka akan didapatkan

:

∂µFµν = ie (Φ∗∂ν − Φ∂νΦ∗) −

(

2e2Aν + 2egBν)

Φ∗Φ

Dengan menggunakan derivatif kovarian maka bentuk di atas dapat dituliskan :

∂µFµν = eJ ν (3.18)

dengan : J = i (Φ∗DνΦ − ΦDνΦ∗)

Persamaan di atas analog dengan persamaan Maxwell inhomogen pada elek-

trodinamika klasik. Persamaan diatas juga menjelaskan bahwa medan elektro-

magnetik digenerasi oleh interaksi kedua partikel yang memiliki muatan e, tanpa

kehadiran partikel maka medan elektromagnetik tidak akan muncul. Karena sifat

F µν yang antisimetrik maka akan diperoleh :

∂µJµ = 0 (3.19)

yang berarti J merupakan besaran yang kekal bila terdapat medan elektromag-

netik.

• Persamaan Gerak Medan Fluida

Dengan cara yang sama kita dapat menurunkan persamaan gerak fluida yang

analog dengan persamaan skalar Maxwell.

∂µSµν = gJ ν (3.20)

dan J = (ρ,J) Vektor-vektor yang ekuivalen dengan medan listrik dan medan

magnetik adalah vektor R dan vektor Q.

Sio = Qi (3.21)

Sij = −εijkRk (3.22)

dan :

Q = −

(

~B

∂t+ ∇Bo

)

(3.23)

R = ∇× ~B (3.24)

13

Lagrangian density Medan Fermion

Lagrangian untuk medan fermion adalah :

L = −i∂µψγµψ −mψψ (3.25)

dimana ψ adalah vektor 4 × 1 γµ adalah matrix 4 × 4 , γµ = (β, β~α), matrix ~α

dan ~β didefinisikan :

~α =

(

0 ~σ~σ 0

)

, ~β =

(

I 00 −I

)

(3.26)

I adalah matrix satuan 2 × 2 dan σ adalah matriks Pauli :

~σ1 =

(

0 11 0

)

, ~σ2 =

(

0 −ii 0

)

, ~σ3 =

(

1 00 −1

)

(3.27)

Prosedur yang sama kita lakukan seperti pada materi boson yaitu mengerjak-

an transformasi gauge lokal pada lagrangian density, maka kita akan memperoleh:

δψ = −i (α + β)

δψ = i (α + β)

δ∂µψ = i (α + β) ∂µψ + i (∂µα + ∂µβ)

δL =∂L

∂ψδψ + δψ

∂L

∂ψ+ δ

(

∂µψ) ∂L

∂(

∂µψ) (3.28)

Lagrangian ini tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal karena ada tam-

bahan suku δL = (∂µα + ∂µβ)Jµ dimana Jµ = ψγµψ merupakan vektor arus

empat untuk medan fermion. Untuk itu harus ditambahkan suku :

• L1 = − (eAµ + gBµ) Jµ

δL1 = − (∂µα + ∂µβ)Jµ − (eAµ + gBµ) δJµ

δL + δL1 = − (eAµ + gBµ) δJµ (3.29)

Karena pada vektor arus empatnya tidak mengandung bentuk derifatif maka

vektor arus empat ini invarian terhadap transformasi gauge lokal, atau δJµ = 0.

14

Dengan penambahan suku kinetik dari kedua medan gauge maka akan didapatkan

lagrangian density total untuk medan fermion :

L = −i∂µψγµψ −mψψ − (eAµ + gBµ) ψγ

µψ −1

4F µνFµν −

1

4SµνSµν (3.30)

Derifatif kovariannya dituliskan :

Dµψ = (∂µ + ieAµ + igBµ)ψ (3.31)

dalam bentuk derifatif kovarian lagrangian totalnya dapat dituliskan :

L = −iDµψγµψ −mψψ −

1

4FµνF

µν −1

4SµνSµν (3.32)

perbedaan utama dengan lagrangian density medan boson adalah tidak adanya

suku interaksi antara medan elektromagnetik dengan medan fluida.

Persamaan Gerak

Dengan mensubtitusi Lagrangian ke persamaan Euler-Lagrange maka kita

akan memperoleh persamaan gerak untuk masing-masing medan adalah:

[i∂/− (eA/+ gB/) −m]ψ = 0 (3.33)

∂µFµν = eJν (3.34)

∂µSµν = gJν (3.35)

3.2 Persamaan Maxwell Magnetofluida

Dari persamaan ( 3.23 ) dan ( 3.24 ) didapatkan :

∇.R = 0 (3.36)

∇× Q = −∂R

∂t(3.37)

dari persamaan arus kovarian, jν = gJ ν dan persamaan gerak magnetofluidanya

ambil ν = 0 akan didapatkan :

∂1S10 + ∂2S

20 + ∂3S30 = ρ

sehingga :

∇.Q = ρ (3.38)

15

bila kita ambil ν = 1 :

∂0S01 + ∂2S

21 + ∂3S31 = j1

−∂Q1

∂t+∂R3

∂x2

−∂R2

x3

= j1

Persamaan Maxwell yang keempat adalah :

∇× R −∂Q

∂t= j (3.39)

3.3 Persamaan Gerak Magnetofluida untuk li-

mit non-Relativistik

Dari persamaan gerak untuk magnetofluida ∂µSµν = gJν dengan arus kovarian

: Jν = i (Φ∗DνΦ − ΦDνΦ∗) untuk materi boson dan Jν = ψγµψ untuk fermion,

akan didapatkan :

∂oSoν + ∂iS

iν = gJν

untuk ν = j akan diperoleh :

∂oSoj + ∂iS

ij = gJ j

∂oSoj + ∂i

(

∂iBj − ∂jBi)

= gJ j

medan fluida yang digunakan berbentuk :

Bi = φU i (3.40)

φ adalah besaran pelengkap dimensi yang merepresentasikan distribusi fluida pa-

da sistem dan hanya bergantung oleh temperature , Soj = −Qj =(

∂φ~U

∂t+ ∇φγ

)

dan U i = γvi. Dimana untuk plasma relativistik : φ ≃ 1 + 52Tm

[5]. Nilai γ :

γ ≃ 1 + v2

2. Dalam bentuk vektor persamaan diatas dapat dituliskan :

−∂o ~Q−∇2 ~B + ∇(

∇. ~B)

= g ~J

Dengan menggunakan identitas vektor : ∇×(

∇× ~B)

= ∇(

∇. ~B)

−∇2 ~B

−∂o ~Q+ ∇×(

∇× ~B)

= g ~J

∂

∂t

(

∂δ~U

∂t+ ∇φγ

)

+ ∇× ~R = g ~J

∂

∂t

(

φ∂~U

∂t+ ∇φγ

)

= g ~J −∇× ~R

16

Untuk kasus non-relativistik nilai γ → 1 dan φ → 1, kecuali pada suku ∇φγ.,

kita akan dapatkan :

∇φγ = ∇

[

v2

2+

5

2

T

m

]

∂

∂t

[

∂~v

∂t+ ∇

[

v2

2+

5

2

T

m

]]

= g ~J −∇× ~ω

dengan ~ω = ∇× ~v adalah vortisitas.

∂

∂t

[

∂~v

∂t+ ∇

v2

2+ ∇

5

2

T

m

]

= g ~J −∇× ~ω

∂~v

∂t+ ∇

v2

2+ ∇

5

2

T

m=

∫

(

g ~J −∇× ~ω)

dt

dengan menggunakan identitas vektor : 12∇v2 = (~v.∇) + ~v × (∇× ~v) kita akan

mendapatkan :

∂~v

∂t+ (~v.∇)~v + ~v × ~ω + ∇

5

2

T

m=

∫

(

g ~J −∇× ~ω)

dt (3.41)

untuk kasus fluida irotasional ∇× ~v = 0 maka akan diperoleh :

∂~v

∂t+ (~v.∇)~v + ∇

5

2

T

m= g ~J (3.42)

dengan : ~J =∫

~Jdt

Bila dianggap T tetap, maka kita akan mendapatkan 2 persamaan gerak magne-

tofluida yang ekuivalen dengan persamaan gerak plasma pada persamaan (2.1)

dan (2.2) :∂J o

∂t+ ∇ ~J = 0 (3.43)

∂~v

∂t+ (~v.∇)~v = g ~J (3.44)

3.4 Model Magnetofluida dengan medan gauge

non-Abelian

Secara umum lagrangian density dari materi dapat dinyatakan dengan :

L = (∂µΦ)† ∂µΦ +1

2mΦΦ†Φ + iψ (γµ∂

µ −mψ)ψ + V (Φ) (3.45)

dengan V (Φ) adalah potensial, misalkan pada teori Φ4, V (Φ) = 14λ(

Φ†Φ)2

dan

γµ adalah matriks Dirac.

17

Interaksi antara fluida non-Abelian dengan medan gauge non-Abelian dinya-

takan dengan transformasi gauge lokal : G (n)F ⊗ G (n)G. Maka medan materi

akan ditransformasikan sebagai :

Φ → Φ′ = exp [−i (α + β)] Φ (3.46)

ψ → ψ′ = exp [−i (α+ β)]ψ (3.47)

dengan : α = αaTa dan β = βaTa. Medan materi merupakan multiplet n × 1

dengan jumlah elemen n untuk grup Lie dengan dimensi n seperti SU(n), O(n+1)

dll. Ta adalah generator dari grup Lie yang merupakan matriks Hermitian dan

traceless T †a = Ta dan TrTa = 0. Generator-generator ini memenuhi relasi komu-

tasi tertutup :

[Ta, Tb] = iCabcTc (3.48)

dengan Cabc adalah konstanta struktur antisimetrik dengan Cabc = −Cbac. Jumlah

generator dan medan gauge ditentukan oleh dimensi dari grup. Untuk grup SU(n)

atau O(n + 1) memiliki generator sebanyak n2 − 1 dan index a = 1, 2, ....n2 −

1. Lagrangian yang invarian terhadap transformasi gauge lokal diatas dapat

diperoleh dengan memasukkan suku yang mengandung medan gauge Aµa dan

medan fluida non-Abelian Bµa dengan sifat transformasi :

Aµa → A′µa ≡ Aµa +

1

gG∂µαa + CabcαbAµc (3.49)

Bµa → B′µa ≡ Bµa +

1

gF∂µβa + CabcβbBµc (3.50)

dengan gF adalah muatan untuk fluida dan gG adalah muatan gauge. Secara

umum lagrangian density materi yang invarian terhadap simetri gauge adalah :

L = Lmateri + Lkinetik + Linteraksi (3.51)

dengan :

Lkinetik = −1

4SµνaS

µνa −

1

4FµνaF

µνa

Sµνa = ∂µBνa − ∂νBµ

a + gFCabcBµbB

νc

F µνa = ∂µAνa − ∂νAµa + gGCabcA

µbA

νc

Sedangkan suku-suku interaksi pada Lagrangian density nya adalah :

18

• untuk Boson :

Lint = −gFBµaJµaF − gGAµaJ

µaG + g2

GAµaAµbΦ

†TaGTbGΦ +

g2FB

µaBµbΦ

†TaFTbFΦ + gFgGAµaBµbΦ

† (TaGTbF + TbFTaG)Φ

• untuk fermion :

Lint = −gFBµaJµaF − gGAµaJ

µaG (3.52)

dengan Jµa adalah arus materi untuk materi boson dan fermion.

dimana untuk boson dan fermion :

Jµaboson = −i(

∂µΦ†TaXΦ − Φ†TaX∂µΦ

)

Jµafermion = ψγµTaXψ

dengan : X = F,G dan ψ = ψ†γo. Untuk kasus simetri SUF (n) ⊗ SUG(n) atau

OF (n+ 1)⊗OG(n+ 1), maka TFa = TGa contohnya untuk kasus SU(2)⊗ SU(2)

maka : TFa = TGa = τa2

dimana τa adalah matriks pauli, untuk kasus SU(n)F ⊗

U(1)G generator kedua grup adalah : TaG = 1, TaF = τa2

dengan τa adalah matriks

pauli dan a = 1, 2, 3 untuk n = 2 atau untuk n = 3, TaF = λa

2dengan λa adalah

matriks Gellman dan a = 1, 2....8. Lagrangian density untuk materi dapat juga

ditulis dalam bentuk derifatif kovarian sebagai :

L = (DµΦ)†DµΦ + ψ (iγµDµ −m)ψ −1

4SµνaS

µνa −

1

4FµνaF

µνa + V (Φ) (3.53)

derifatif kovariannya adalah :

DµΦ = ∂µΦ + igGAµbTbGΦ + igFBµbTbFΦ (3.54)

Dengan Lagrangian density total ini maka kita akan dapat mempelajari dinamika

fluida non-Abelian beserta interaksinya dengan medan gauge non-Abelian.

Persamaan Gerak Magnetofluida

Persamaan gerak medan magnetofluida dapat diperoleh dari persamaan Euler-

Lagrange dalam bentuk medan Bνa :

∂µ∂L

∂ (∂µBνa)−

∂L

∂Bνa

= 0

19

Dengan mensubtitusi Lagrangian density total ke persamaan Euler-Lagrange

di atas maka akan didapatkan persamaan gerak :

DµSµν = gFJ

νF (3.55)

dengan : Sµν = Sµνa Ta dan J νF = J ν

FTa

Dµ adalah derifatif kovarian non-Abelian diperumum yang dapat dinyatakan de-

ngan representasi adjoint :

Dµ = ∂µ + igG [Aµ, ..] + igF [Bµ, ..] (3.56)

Arus kovarian dari materi boson dan fermion didefinisikan sebagai :

J νa = −i[(DνΦ)† TaFΦ − Φ†TaFD

νΦ] (3.57)

J νa = ψγνTaFψ (3.58)

3.5 Persamaan Gerak Magnetofluida non-Abelian

untuk limit non-Relatisvistik

Dari persamaan (3.55) dan dengan menggunakan kovarian derifatif (3.56), dan

untuk ν = j maka akan didapatkan :

∂µSµνa − gGCabcAµbS

µνc − gFCabcBµbS

µνc = gFJ

νa (3.59)

∂oSoja +∂iS

ija = gF

(

J ja + CabcBobS

ojc + CabcBibS

ija +

gGgFCabcAobS

ojc +

gGgFCabcAibS

ijc

)

didefinisikan medan ~Qa dan ~Ra :

Qk = Sko (3.60)

Rk = −1

2εkijSij (3.61)

Sij = εijkRk (3.62)

dalam bentuk Bµ =(

Bo, ~B)

:

~Qa = −∇Boa −

∂ ~Ba

∂t− gFCabc ~BbB

oc (3.63)

~Ra = ∇× ~Ba +1

2gFCabc ~Bb × ~Bc (3.64)

20

medan fluida didefinisikan sebagai :

Bµa =

(

φγa, φ~Ua

)

(3.65)

U ia adalah kecepatan relativistik dari medan fluida (U i

a = γavia) dan γa ≡ (1 −

v2a)

− 1

2 adalah faktor relativistik, sedangkan ~va adalah kecepatan spasial. Besaran

φ adalah medan tambahan berdimensi 1 yang ditambahkan untuk melengkapi

dimensi dan merepresentasikan distribusi dari fluida pada sistem, dan hanya ber-

gantung pada temperatur [5]. Indeks a,b,c menunjukkan aliran fluida pada ruang

internal. Model fluida yang dibuat dinyatakan oleh suku kinematik dan fungsi

distribusi yang terpisah.

dalam bentuk vektor persamaan geraknya dapat dituliskan :

−∂ ~Qa

∂t+∇× ~Ra = gF ( ~Ja−CabcBob

~Qc+Cabc ~Bb× ~Rc−gGgFCabcAob ~Qc+

gGgFCabc ~Ab× ~Rc)

dengan mensubtitusi medan ~Q dan ~R :

∂

∂t(∂ ~Ba

∂t+ ∇Bo

a + gFCabc ~BbBoc ) + ∇× (∇× ~Ba +

1

2gFCabc ~Bb × ~Bc) = (3.66)

gF ( ~Ja + CabcBob(∇Boc +

∂ ~Bc

∂t+ gFCclm ~BlB

om) +

Cabc ~Bb × (∇× ~Bc +1

2gFCclm ~Bl × ~Bm) +

gGgFCabcAob(∇B

oc +

∂ ~Bc

∂t+ gFCclm ~BlB

om) +

gGgFCabc ~Ab × (∇× ~Bc +

1

2gFCclm ~Bl × ~Bm))

Dengan mensubtitusi medan fluida pada ( 3.65 ) dan pada limit non-relativistik

nilai γ → 1, φ → 1, kecuali pada suku :∇φγa = ∇[

v2a2

+ φ]

maka kita akan da-

patkan bentuk vektor dari persamaan gerak non-relativistik Magnetofluida non-

Abelian :

∂

∂t

(

∂~va∂t

+∇v2

a

2+ ∇φ+ gFCabc~vb

)

+ ∇× (∇× ~va +1

2gFCabc~vb × ~vc) =

gF ( ~Ja + Cabc(∇v2

c

2+ ∇φ+

∂~vc∂t

+ gFCclm~vl) +

Cabc~vb × (∇× ~vc +1

2gFCclm~vl × ~vm) +

gGgFCabcAob(

∇v2c

2+ ∇φ+

∂~vc∂t

+ gFCclm~vl) +gGgFCabc ~Ab × (∇× ~vc +

1

2gFCclm~vl × ~vm))

21

dengan identitas vector : 12∇v2

a = (~va.∇)~va+~va×(∇× ~va) kita akan dapatkan

:

∂

∂t

(

∂~va∂t

+ (~va · ∇)~va + ~va × ~ωa + ∇φ+ gFCabc~vb

)

+ (3.67)

∇× ~ωa = gF

[

~Ja + ~Fa

]

dengan vektor ~Fa adalah :

~Fa = Cabc[((~vc · ∇)~vc + ~vc × ωc + ∇φ+∂~vc∂tgFCclm~vl) + ~vb × (~ωc +

1

2gFCclm~vl × ~vm) +

gGgFAob((~vc · ∇)~vc + ~vc × ωc + ∇φ+

∂~vc∂t

+

gFCclm~vl) +gGgF

~Ab × (~ωc +1

2gFCclm~vl × ~vm −

1

2∇× (~vb × ~vc))]

dimana : ~ωa = ∇× ~va adalah vortisitas. Untuk fluida irotasional ~ωa = 0, ~ωc = 0

, sehingga persamaan gerak magnetofluida non-Abelian menjadi :

∂~va∂t

+ (~va · ∇)~va + ∇φ+ gFCabc~vb = gF

∫

dt[

~J + ~Fa|irotasional

]

(3.68)

Persamaan (3.68) yang telah kita dapatkan adalah persamaan umum untuk

fluida relativistik tak berotasi. Arus ~Ja muncul akibat adanya materi yang dike-

lilingi dan berinteraksi dengan fluida, sedangkan ~Fa merupakan kontribusi dari

interaksi antar medan fluida atau interaksi medan fluida dengan medan gauge

(Aµa). Jadi lagrangian pada persamaan (3.53) dengan medan fluida yang memi-

liki bentuk seperti persamaan (3.65) dapat mendeskripsikan sistem umum yang

terdiri dari fluida relativistik yang berinteraksi dengan medan gauge dan materi.

Untuk kasus non-Abelian maka semua konstanta struktur bernilai nol, dan

indeks internal a,b,c dapat dihilangkan. Sehingga untuk kasus non-Abelian nilai

~Fa = 0 dan persamaan geraknya menjadi :

∂~v

∂t+ (~v.∇)~v + ∇φ = gF

∫

dt ~J (3.69)

seperti pada persamaan (3.42) yang telah kita dapatkan.

3.6 Aplikasi Unifikasi Magnetofluida non-Abelian

pada Plasma Quark-Gluon

Plasma quark-gluon terdiri dari quark-dan anti quark yang berinteraksi dengan

gluon-gluon dan medan elektromagnetik. Lagrangian sistem ini dinyatakan de-

22

ngan simetri gauge SU(3)F ⊗ U(1)G :

L = iQf∂/Qf −mfQfQf −1

4Sµνa Sµνa −

1

4F µνFµν − gFJµaQB

µa − qjµA

µ (3.70)

dimana gG diganti dengan q yang merupakan muatan quark. indeks f menunjukk-

an index flavor dari quark yaitu u,d,c,s,t,b. Generator TFa merupakan matriks

Gell-Mann yang dinyatakan dengan representasi fundamental λa

2(a = 1, 2, 3.....8)

dengan normalisasi :

Tr(λaλb) = 2δab (3.71)

Persamaan gerak yang diperoleh dari lagrangian QCD di atas adalah :

DµFµν = gFJ

µQ (3.72)

atau dapat dituliskan :

∂µF µνa = gFJ

µaQ + gFJ

µaG (3.73)

dengan JµaQ = Qγµ λa

2Q merupakan matrix arus dari materi quark, sedangkan JµaG

adalah arus dari gluon.

JµaG = CabcBµbSµνc (3.74)

dengan JµFa = Qγµ λa

2Q dan JµG = QγµQ.

Bentuk non-linier pada (3.74) dalam persamaan (3.73) menunjukkan bahwa

medan gluon bertindak sebagai sumber, atau dengan kata lain quanta dari medan

gluon membawa muatan warna tersendiri sehingga tanpa adanya materi dapat

menjadi sumber bagi medannya sendiri.

Secara makroskopik model ini menggambarkan sistem yang terdiri dari fluida

non-Abelian yang disusun oleh sekumpulan gluon ( gluon cloud ) dengan kera-

patan yang besar dan mengelilingi materi ( quark dan anti-quark ) dalam medan

elektromagnetik. Model ini menjelaskan hasil eksperimen dari PHENIX collabo-

ration pada BNL menggunakan RHIC yang menyatakan quark-gluon pada fireball

bersifat seperti fluida. Model ini sangat berbeda dengan model hybridmagneto-

fluid [2, 5] yang memodelkan QGP sebagai aliran fluida yang disusun oleh quark

dan anti-quark yang berinteraksi dengan medan gluon.

Komponen spasial arus fermion adalah : ~Ja = Q~γ λa

2Q. Dengan persamaan ( 3.73

) persamaan gerak relativistik QGP adalah :

∂(φγa~va)

∂t+ ∇(φγa) + gFCabcφ

2γbγc~vb = gF

∫

dt[ ~J + ~Fa] (3.75)

23

Nilai gF ditentukan oleh nilai fine structure dari interaksi kuat g2F = 4παs, di-

mana nilai αs bergantung dengan skala energi yang dipakai, contohnya pada T=

200 MeV maka nilai αs diantara 0,2 dan 0,5 dengan gF = 1, 5−2, 5. Berdasarkan

hasil eksperimen QGP memiliki kerapatan besar dan viskositas kecil seperti fluida

ideal ( ωa = 0 ). Jika kita lihat pada lagrangian QGP, fluida yang disusun oleh

gluon tidak berinteraksi dengan medan elektromagnetik, tetapi quark dan anti-

quark berinteraksi dengan medan elektromagnetik dinyatakan oleh suku terakhir

pada lagrangian.

Pada persamaan gerak ( 3.75 ), kontribusi medan elektromagnetik terdapat pada

~Fa yang dinyatakan dengan faktor q

gF

≈√

ααs

≈ O(10−1), dimana nilai muat-

an quark ekuivalen dengan muatan listrik e =√

α4π

. Jadi dapat disimpulkan

kontribusi gaya elektromagnetik sangat kecil sehingga dapat diabaikan.

24

Bab 4

Perhitungan Energi

Magnetofluida berbasis Teori

Gauge

Pada bab ini kita akan menurunkan tensor energi-momentum untuk kasus umum

yaitu dari lagrangian dengan medan non-Abelian. Dengan tensor energi-momentum

tersebut kita dapat memperoleh energi total dan momentum dari sistem magne-

tofluida.

Tensor energi-momentum dapat diperoleh dari prinsip variasi, yaitu dari variasi

aksi :

δS =

∫

R

[

∂L

∂Φ− ∂µ

[

∂L

∂(∂µΦ)

]]

δΦd4x+

∫

∂R

[

∂L

∂(∂µΦ)[δΦ + [∂ν ] δx

v] −

[

∂L

∂(∂µΦ)∂ν − δµνLδx

ν

]]

Suku pertama pada suku integral permukaan merupakan variasi total dari Φ (δΦ),

sedangkan suku kedua didefinisikan sebagai tensor energi-momentum θµν :

θµν =∂L

∂ (∂µΦ)∂νΦ − δµνL (4.1)

atau :

θµν =∂L

∂ (∂µΦ)∂νΦ − gµνL (4.2)

4.1 Energi Plasma non-Abelian

Materi boson

Lagrangian umum dari materi boson dengan interaksi medan gauge dan medan

25

fluida non-Abelian adalah :

L = (DµΦ)†DµΦ −1

4SαβaS

αβa −

1

4FαβaF

αβa − V (Φ) (4.3)

dengan mensubtitusi lagrangian ini ke (4.3) akan didapatkan :

θµν = (∂µΦ)† ∂νΦ+(∂νΦ)† ∂µΦ−gFBµaJ

νaF−gGA

µaJ

µaG−S

oak∂

oBka−F

µak∂

νAka−gµνL

(4.4)

Energi dari sistem adalah komponen ke-00 :

θoo = (∂oΦ)† ∂oΦ + (∂oΦ)† ∂oΦ − gFBoaJ

oaF − gGA

oaJ

oaG − Soak∂

oBka − F o

ak∂oAka −L

sehingga :

θoo = (∂oΦ)† ∂oΦ + igFBoa

(

∂oΦ†TaΦ − Φ†Ta∂oΦ)

+ igGAoa

(

∂oΦ†TaΦ − Φ†Ta∂oΦ)

+ gGAoaJoa +

gFBoaJoa − g2

GAoaAobΦ

†TaTbΦ − g2FB

oaBobΦ

†TaTbΦ − gFgGAaoBobΦ

† (TaTb + TbTa) Φ +

(DiΦ)† (DiΦ) + V (Φ) − F oi ∂

oAia − Soi ∂oBi

a +1

4FαβaF

αβa +

1

4SαβaS

αβa

dengan :

Di = ∂i − igGAiaTaG − igFB

iaTaF (4.5)

bila suku-sukunya dipisahkan :

θoomateri+interaksi = (∂oΦ)† ∂oΦ + igGAoa∂oΦ

†TaΦ − igGAoaΦ

†Ta∂oΦ − igGAoa∂oΦ†TaΦ +

igGAoaΦ†Ta∂oΦ + igFB

oa∂oΦ

†TaΦ − igFBoaΦ

†Ta∂oΦ − igFBoa∂oΦ†TaΦ +

igFBoaΦ†Ta∂oΦ − g2

GAoaAobΦ

†TaTbΦ − g2FB

oaBobΦ

†TaTbΦ −

gFgGAoaBobΦ

† (TaTb + TbTa)Φ + (DiΦ)† (DiΦ) + V (Φ)

dengan menambahkan suku-suku berikut pada persamaan diatas maka bentuk

diatas dapat dituliskan dalam bentuk kovarian derifatif :

g2GA

oaAobΦ

†TaTbΦ − g2GA

oaAobΦ

†TaTbΦ

+g2FB

oaBobΦ

†TaTbΦ − g2FB

oaBobΦ

†TaTbΦ

+gFgGAoaBobΦ

† (TaTb + TbTa) Φ − gF gGAoaBobΦ

† (TaTb + TbTa) Φ

maka suku θoomateri+interaksi dapat dituliskan sebagai :

θoomateri+interaksi = DoΦ†DoΦ + igGAoa(

Φ†TaDoΦ −DoΦ†TaΦ

)

+

igFBoa

(

Φ†TaDoΦ −DoΦ†TaΦ

)

+ (DiΦ)† (DiΦ)

26

atau :

θoomateri+interaksi = DoΦ†DoΦ + gGAoaJoa + gFBoaJ

oa + (DiΦ)† (DiΦ) (4.6)

suku untuk medan gauge dan fluidanya adalah :

θgauge+fluida = −F oi ∂

oAia +1

4FαβaF

αβa − Soi ∂

oBia +

1

4SαβaS

αβa

= − ~Ea ·∂ ~Aa∂t

+1

2

(

Ba · Ba − ~Ea · ~Ea

)

− ~Qa ·∂ ~Ba

∂t+

1

2

(

Ra · Ra − ~Qa · ~Qa

)

dengan Ba adalah medan magnet non-Abelian.

dari persamaan (3.60) :

−~Qa ·∂ ~Ba

∂t= ~Qa ·

(

Qa + ∇Boa + gFCabc ~BbB

oc

)

= ~Qa · ~Qa + ∇ ·(

~QaBoa

)

−(

∇ · ~Qa

)

Boa + gFCabc

(

~Qa · ~Bb

)

Boc

komponen-00 dari tensor energi-momentum dapat dinyatakan :

θoo = (DoΦ)†DoΦ +(

~DΦ)†

·(

~DΦ)

+1

2

(

Ba · Ba + ~Ea · ~Ea

)

+ (4.7)

1

2

(

Ra · Ra + ~Qa · ~Qa

)

+ V (Φ) +X

dengan :

X = ∇ ·(

~EaAoa

)

−(

∇ · ~Ea

)

Aoa + gGCabc

(

~Ea · ~Ab

)

Aoc + ∇ ·(

~QaBoa

)

−(

∇ · ~Qa

)

Boa

+gFCabc

(

~Qa · ~Bb

)

Boc + gGAoaJ

oa + gFBoaJ

oa

dari persamaan gerak :

∇ · ~Ea + gGCabc ~Ab · ~Ec = gGJoa (4.8)

∇ · ~Qa + gFCabc ~Bb · ~Qc = gFJoa (4.9)

bila kita subtitusi ke dalam X maka suku-sukunya saling meniadakan kecuali suku

berikut :

X = ∇ ·(

~EaAoa

)

+ ∇ ·(

~QaBoa

)

Dengan memilih gauge yang menyatakan Aoa = 0 dan Boa = 0 ketika tidak ada

medan materi, maka integral X terhadap seluruh ruang dapat diabaikan, sehingga

27

kita akan mendapatkan hamiltonian density yang invarian terhadap transformasi

gauge lokal :

H =

∫

dVH

dimana :

H = (DoΦ)†DoΦ + ( ~DΦ)† · ( ~DΦ) +1

2(Ba · Ba + ~Ea · ~Ea) + (4.10)

1

2(~Ra · ~Ra + ~Qa · ~Qa) + V (Φ)

Dengan : ~D = ∇− igG ~AaTaG − igF ~BaTaF

Materi Fermion

Lagrangian density untuk fermion yang berinteraksi dengan medan fluida dan

medan gauge non-Abelian secara umum dapat dinyatakan sebagai :

L = iψγµDµψ −mψψ −1

4F αβa Faαβ −

1

4SαβaS

αβa (4.11)

Energi-momentum tensornya berbentuk :

θµν = iψγµ∂νψ − F µak∂

νAka − Sµak∂νBk

a − gµνL (4.12)

komponen ke-00 merupakan Hamiltonian dari sistem dapat dihitung dengan cara

yang sama seperti kasus pada boson, kita akan dapatkan :

H = −iψβ~α · ~Dψ +mψψ +1

2(Ba · Ba + ~Ea · ~Ea) +

1

2(~Ra · ~Ra + ~Qa · ~Qa) (4.13)

4.2 Energi density QGP

Sistem magnetofluida quark-gluon terdiri dari quark dan anti-quark yang berin-

teraksi dengan gluon. Secara umum rapat energinya dinyatakan dengan :

H = Hquark + Hinteraksi + Hgluon (4.14)

dimana energi quark dinyatakan dengan :

Hquark = −iQβ~α · ~∂Q+mQQQ

Suku energi interaksi dan energi gluon tergantung oleh kecepatan gluon. Pada

kecepatan gluon yang tinggi suku energi quark memiliki kontribusi yang kecil

28

pada energi sistem sehingga dapat diabaikan. Pada kecepatan gluon yang tinggi

akan terbentuk QGP, sehingga rapat energi sistem QGP adalah :

H = gFJµaBµa +

1

2(~Ra · ~Ra + ~Qa · ~Qa) (4.15)

Energi total QGP adalah H =∫

dVH , dimana V adalah volume dari fireball.

dengan kondisi ~ωa = 0 , maka ~Ra dan ~Qa didefinisikan :

~Ra =1

2gFCabcφ

2γbγc~vb × ~vc

~Qa = −∇(φγa) − φγa∂~va∂t

− gFCabcφ2γbγc~vb

suku pertama merupakan energi interaksi antara quark dan gluon sedangkan suku

kedua merupakan energi dari gluon. Jµa adalah arus empat non-Abelian materi

yang dapat dinyatakan dengan :

Jµa = Qγµλa2Q (4.16)

sehingga :

H = gFφ(ρq − ~va · ~Ja) +1

2(~Ra · ~Ra + ~Qa · ~Qa) (4.17)

dengan a = 1, ....8. Kita asumsikan quark dan gluon mengalir hanya pada sumbu

z dengan kecepatan konstan pada fireball, ~va = (0, 0, va) dan ~Ja = (0, 0, Ja).

Dengan asumsi ini, nilai ~Ra, suku pertama, dan suku kedua dari ~Qa pada suku

energi gluon dapat diabaikan.

29

Bab 5

Hasil dan Pembahasan

Telah dibuat model yang menerangkan sistem fluida dengan materi di dalam-

nya dan berinteraksi dengan medan gauge Abelian dan non-Abelian berdasarkan

prisnsip gauge. Prinsip yang digunakan adalah mengerjakan simetri gauge pada

materi ( boson dan fermion ). Untuk simetri gauge Abelian telah didapatkan

lagrangian density yang invarian terhadap transformasi gauge lokal yaitu :

L = Lboson−(eAµ+gBµ)Jµ+(e2AµA

µ+g2BµBµ+2egAµB

µ)Φ∗Φ−1

4FµνF

µν−1

4SµνS

µν

dan

L = Lfermion − (eAµ + gBµ)ψγµψ −

1

4FµνF

µν −1

4SµνS

µν

Suku-suku pada lagrangian di atas merepresentasikan interaksi-interaksi yang ter-

jadi antar medan. Pada suku ketiga terlihat bahwa terjadi interaksi antara materi

dengan medan fluida dan medan gauge. Pada suku keempat untuk lagrangian

boson terdapat suku interaksi antara medan fluida 3, medan gauge dan materi

yang dinyatakan dengan 2egAµBµΦ∗Φ. Suku ini tidak muncul pada lagrangian

fermion yang menunjukkan bahwa untuk sistem fluida dengan materi fermion

yang berada dalam medan gauge, interaksi antara medan fluida dan medan gau-

ge tidak terjadi.

Untuk simetri gauge non-Abelian telah diperoleh :

L = Lboson − gFBµaJµaF − gGAµaJ

µaG + g2

GAµaAµbΦ

†TaGTbGΦ + g2FB

µaBµbΦ

†TaFTbFΦ +

gFgGAµaBµbΦ

† (TaGTbF + TbFTaG)Φ −1

4SµνaS

µνa −

1

4FµνaF

µνa + V (Φ)

dan

L = Lfermion − gFBµaJµaF − gGAµaJ

µaG −

1

4SµνaS

µνa −

1

4FµνaF

µνa + V (Φ)

30

dengan mensubtitusi lagrangian di atas pada persamaan Euler-Lagrange maka

akan diperoleh persamaan gerak untuk masing-masing medan. Dengan persama-

an medan fluidanya adalah :

∂µSµν = gJν Abelian

atau :

DµSµν = gFJ

νF non-Abelian

bila Bµa dipandang sebagai medan fluida yang mewakili sekumpulan fluida untuk

setiap a, maka kita memiliki sistem multifluida dengan persamaan gerak seperti

di atas. Analog dengan kasus Abelian, interaksi antara medan fluida, materi

dan medan gauge hanya terdapat pada lagrangian medan boson yaitu pada suku

gFgGAµaBµbΦ

† (TaGTbF + TbFTaG)Φ.

interaksi antara medan fluida ditunjukkan pada suku pure gauge yaitu :

L = −1

4SµνaS

µνa

sebab di dalam Sµa terdapat suku −gFCabcBµbBµc.

Dari persamaan gerak fluida Abelian dapat diperoleh persamaan Maxwell untuk

medan fluida yaitu :

∇ · ~R = 0

∇× ~Q = −∂ ~R

∂t∇ · ~Q = ρ

∇× ~R−∂ ~Q

∂t= ~j

pada persamaan gerak fluida, bila Jν = 0 maka ∂µSµν = 0, dengan kata lain

∇ · Q = 0 dan ∇ × R − ∂Q

∂t= 0 yang berarti tidak terdapat sumber untuk

fluida bila tidak terdapat materi. Sedangkan pada kasus non-Abelian , untuk

Jν = 0 ( tanpa adanya materi ) akan didapatkan ∂µSµνa = gGCabcAµbS

µνc +

gFCabcBµbSµνc yang merepresentasikan Sµνa berperan sebagai sumber untuk medan

fluida itu sendiri. Hal ini disebabkan karena pada kasus Abelian medan Sµν

tidak membawa ”muatan” sehingga tidak bisa menjadi sumber bagi medannya

sendiri, sedangkan pada kasus non-Abelian medan Sµνa memiliki muatan non-

Abelian yang dapat berperan sebagai sumber untuk medan fluida itu sendiri

31

sehingga dimungkinkan adanya self interaction antar medan gauge. Hal ini mirip

dengan kasus pada relativitas umum dimana medan gravitasi membawa energi

yang sebanding dengan massa sehingga dapat berperan sebagai sumber gravitasi.

Dari persamaan gerak fluida non-Abelian dapat diturunkan persamaan gerak

umum sistem magnetofluida yaitu :

∂(γa~va)

∂t+ ∇(φγa) + gFCabcφ

2γbγc~vb = gF

∫

dt[ ~J + ~Fa] (relativistik)

atau

∂~va∂t

+ (~va · ∇)~va + gFCabc~vb = gF

∫

dt[ ~J + ~Fa] (non-relativistik)

Bentuk persamaan di atas mirip dengan persamaan gerak plasma, sehingga da-

pat disimpulkan bahwa persamaan di atas relevan terhadap plasma yang dibentuk

oleh quark dan gluon. Pada QGP medan fluida disusun oleh medan gluon dengan

materi di dalamnya adalah quark dan anti-quark yang berinteraksi dengan med-

an elektromagnetik. Untuk sistem plasma dengan medan fluida Abelian, semua

konstanta struktur bernilai nol dan nilai ~Fa = 0.

Dari lagrangian ini kita juga dapat menghitung energi total dari sistem QGP

yang dinyatakan dalam persamaan (4.17). Asumsi yang dibuat adalah kecepatan

gluon dan arus quark dianggap hanya pada sumbu z. Grafik dibawah ini me-

nunjukkan variasi nilai perbandingan energy density total QGP (4.17) dengan

energy density gluon terhadap kecepatan gluon v2. Nilai kecepatan gluon ( ke-

cuali untuk v2 ) dan arus quark untuk semua indeks diasumsikan konstan yaitu

: v1 = v3... = v8 = 0.8c dan Jq = 1. Dari grafik dapat dilihat bahwa pada

nilai kecepatan gluon rendah energi sistem magnetofluida didominasi oleh suku

interaksi quark dan gluon, hal ini dapat diinterpretasikan karena pada nilai-nilai

kecepatan ini quark dan gluon masih terikat sebagai hadron. Pada kecepatan

gluon tinggi energi sistem magnetofluida didominasi oleh energi gluon. Ketika

kecepatan gluon menjadi sangat tinggi quark dan gluon menjadi deconfined dan

akan membentuk QGP yang disusun oleh awan gluon dengan materi quark dan

anti quark.

32

Gambar 5.1: H= rapat energi QGP, Hg= rapat energi gluon, ρq = 1, Jq = 1, αs =1, φ = 0.8

33

Bab 6

Kesimpulan

Telah ditunjukkan bahwa dengan prinsip gauge dapat disusun sebuah lagrangian

yang invariant terhadap transformasi gauge lokal. Sebagai konsekuensinya, pada

lagrangian ini muncul suku-suku baru yang menyatakan interaksi atara medan

fluida, materi, dan medan elektromagnetik. Dari lagrangian ini dapat diperoleh

persamaan gerak plasma untuk medan fluida Abelian dan non-Abelian. Persa-

maan ini digunakan untuk menjelaskan dinamika plasma quark-gluon ( QGP )

yang dihasilkan pada eksperimen tumbukan ion berat. Dari nilai energi sistem

magnetofluida quark-gluon yang telah dihitung dapat ditunjukkan bahwa pada

nilai kecepatan gluon yang rendah, energi sistem didominasi oleh energi interaksi

antara quark dan gluon. Hal ini disebabkan karena pada nilai kecepatan gluon

yang rendah sistem quark-gluon masih membentuk hadron. Sedangkan pada ni-

lai kecepatan gluon yang tinggi energi sistem didominasi oleh energi gluon yang

menunjukkan terbentuknya fase baru yaitu plasma quark-gluon.

Model yang dibuat mendeskripsikan QGP sebagai aliran fluida gluon dengan

materi quark dan anti-quark yang berinteraksi dengan medan elektromagnetik.

Model ini mengkoreksi model QGP yang sudah ada yang menyebutkan bahwa

aliran fluida dibentuk oleh quark dan anti quark yang berinteraksi dengan med-

an gluon.

34

Lampiran A

Mekanika Kuantum Relativistik

A.1 Aljabar Dirac

Dalam mekanika kuantum relativistik, ruang dan waktu dinyatakan dalam vektor

empat sebagai berikut

xµ ≡ (x0, x1, x2, x3) ≡ (t,x) ≡ (t, x, y, z), (A.1)

disebut vektor empat kontravarian, dan vektor empat kovariannya berbentuk

xµ ≡ (x0, x1, x2, x3) ≡ (t,−x) ≡ (t,−x,−y,−z).

= gµνxν , (A.2)

dimana gµν adalah matriks transformasi

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.3)

Operator differensial

∂µ =∂

∂xµ= (∂0, ∂1, ∂2, ∂3) =

(

∂

∂t,∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)

=

(

∂

∂t,∇

)

(A.4)

∂µ = gµν∂ν =

(

∂

∂t,−∇

)

(A.5)

Vektor-4 energi-momentum

pµ ≡ (p0, p1, p2, p3) ≡ (E,p), pµ ≡ (p0, p1, p2, p3) ≡ (E,p) (A.6)

35

di mana berlaku relasi

pµpµ ≡ p2 = pµgµνpν = E2 − p · p = m2. (A.7)

Matriks Dirac yang digunakan adalah:

γµ ≡ (γ0, γi), γ0† = γ0 γµ = γ0㵆γ0. (A.8)

memiliki representasi matriks

γ0 = γ0 =

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

, γi =

(

0 σi

−σi 0

)

. (A.9)

di mana ketiga matriks Pauli, σi dinyatakan oleh

σ1 =

(

0 11 0

)

, σ2 =

(

0 −ii 0

)

, σ3 =

(

1 00 −1

)

, (A.10)

yang memenuhi hubungan antikomutatif

{

σi, σj}

≡ σiσj + σjσi = 2δij , (A.11)

dan hubungan komutatif

[

σi, σj]

≡ σiσj − σjσi = 2iǫijkσk , (A.12)

di mana ǫijk merupakan bentuk nonkovarian tensor antisimetrik Levi-Civita yang

didefinisikan kemudian pada Pers. (A.18).

Matriks Dirac γ memenuhi hubungan antikomutatif berikut

{γµ, γν} ≡ γµγν + γνγµ = 2gµν , (A.13)

dan hubungan komutatif

[γµ, γν ] ≡ γµγν − γνγµ ≡ −2iσµν , (A.14)

Pada hubungan ini

σij =

(

σk 00 σk

)

dan σ0i = i

(

0 σi

σi 0

)

. (A.15)

36

Kombinasi lainnya yang berguna adalah

γ5 ≡ iγ0γ1γ2γ3 = γ5 = 124iǫµνρσγ

µγνγργσ =

(

0 11 0

)

, (A.16)

γ5γσ = −γσγ5 = 16iǫµνρσγ

µγνγρ, (A.17)

tensor antisimetrik Levi-Civita didefinisikan sebagai

ǫµνρσ =

+1 untuk permutasi siklik−1 untuk permutasi anti − siklik

0 jika ada dua atau lebih indeks yang sama. (A.18)

Persamaan Klein-Gordon:

(� +m2)Φ = 0, � ≡ ∂µ∂ν . (A.19)

Persamaan Dirac:

(i∂/−m)Ψ = 0 dimana a/ = aµγµ. (A.20)

Di dalam ruang momentum

(p/−m)u(p, s) = 0 , (A.21)

(p+m)v(p, s) = 0 , (A.22)

dimana u(p, s) dan v(p, s) adalah spinor-spinor Dirac. Hubungan kelengkapan

spinor Dirac

∑

s=1,2

= u(s)(p, s)u(s)(p, s) = (p/+m) (A.23)

∑

s=1,2

= v(s)(p, s)v(s)(p, s) = (p/−m) (A.24)

A.2 Natural Units

Pada fisika partikel, untuk menyederhanakan perhitungan biasanya digunakan

sistem satuan yang disebut Natural Units. Dimana pada sistem ini nilai konstanta

c dan ~ diambil sama dengan satu :

~ = c = 1 (A.25)

Hal ini memudahkan kita dalam perhitungan, sebab faktor ~ dan c sangat

sering muncul pada perhitungan. Tetapi pada hasil akhir kita harus merubah

37

besaran yang kita dapat dalam sistem satuan yang sebenarnya.

Sekarang kita akan melihat implikasi dari pemilihan nilai ~ dan c ini :

• c = 1

Pada sistem satuan MKS, c memiliki nilai :

c ≃ 3 · 108m/s (A.26)

dengan memilih nilai c = 1 sedangkan kecepatan memiliki dimensi :

[c] = [L][T ]−1 (A.27)

kita akan mendapatkan satuan panjang akan sama dengan satuan waktu.

Jadi, panjang dan waktu akan memiliki dimensi yang sama :

[L] = [T ]

dengan cara yang sama, dari hubungan energi- momentum pada relativitas

khusus :

E2 = p2c2 +m2c4 (A.28)

kita dapat melihat bahwa pemilihan nilai c = 1 akan menyebabkan energi,

massa, dan momentum memiliki dimensi yang sama. Satuan momentum

yang biasa kita gunakan adalahMev/c atauGev/c dan massa yaituMev/c2

atau Gev/c2 akan menjadi Mev atau Gev ketika c = 1.

• ~ = 1

nilai dari konstanta Planck adalah :

~ = 6, 6 · 10−22Mevs (A.29)

dimensi dari ~ adalah energi-waktu, sehingga :

[~] = [M ][L]2[T ]−1 (A.30)

dengan mengambil nilai ~ = 1 maka kita akan mendapatkan hubungan

antara [M], [L], dan [T]. Karena dimensi [L] dan [T] sama, maka :

[M ] = [L]−1 = [T ]−1 (A.31)

38

Lampiran B

Analisis Tensor

Hukum-hukum fisika haruslah tidak bergantung pada sistem koordinat yang di-

pergunakan untuk menyatakan dalam bentuk matematik, apabila hukum-hukum

ini berlaku. Studi terhadap konsekuensi-konsekuensi dari persyaratan ini menju-

rus pada analisis tensor yang memainkan peranan penting dalam teori relativitas

umum, mekanika, teori elektromagnetik, dan teori medan kuantum.

B.1 Transformasi Koordinat

Misalkan (x1, x2, .........xN ) dan (x′1, x′2, .........x′N ) adalah koordinat-koordinat se-

buah titik dalam dua buah kerangka acuan yang berbeda. Maka, transformasi

koordinat dari kerangka acuan yang satu ke yang lainnya dinyatakan dengan :

x′k = x′k(x1, x2, .......xN ) (B.1)

xk = xk(x′1, x′2, .......x′N ) (B.2)

B.2 Vektor-Vektor Kontravarian dan Kovarian

Jika N buah besaranA1, A2, ......AN dalam sebuah sistem koordinat (x1, x2, .........xN )

berhubungan dengan N buah besaran-besaran lainnya A′1, A′2, ......A′N pada sis-

tem koordinat yang lain (x′1, x′2, .........x′N ) melalui persamaan transformasi :

A′p =∂xp

∂x′qAq (B.3)

p = 1, 2, ........N

39

dengan indeks berulang adalah penjumlahan indeks tersebut dari 1, 2, ........N ,

maka besaran-besaran ini disebut komponen dari vektor kontravarian atau ten-

sor kontravarian rank satu.

jika N buah besaranA1, A2, ....., AN dalam sebuah sistem koordinat (x1, x2, .........xN )

berhubungan dengan N buah besaran lainnya A′1, A

′2, ....., A

′N dalam sistem koo-

rdinat (x′1, x′2, .........x′N ) melalui persamaan transformasi :

A′p =

∂xq

∂x′pAq (B.4)

maka besaran-besaran ini disebut komponen-komponen dari vektor kovarian atau

tensor kovarian rank dua.

B.3 Tensor-Tensor Kontravarian, Kovarian dan

Tensor campuran

JikaN2 buah besaran-besaranAqs dalam sebuah sistem koordinat (x1, x2, .........xN )

berhubungan dengan N2 buah besaran-besaran yang lainnya A′pr dalam sistem

koordinat (x′1, x′2, .........x′N ) melalui persamaan transformasi :

A′pr =∂x′p

∂xq∂x′r

∂xsAqs (B.5)

maka besaran-besaran ini disebut komponen-komponen kontravarian dari sebuah

tensor rank dua.

N2 buah besaran Aqs disebut komponen-komponen kovarian dari sebuah tensor

rank dua jika :

A′pr =

∂xq

∂x′p∂xs

∂x′rAqs (B.6)

begitu pula N2 buah besaran Aqs disebut komponen-komponen dari sebuah tensor

campuran rank dua jika :

A′pr =

∂x′p

∂xq∂xs

∂x′rAqs (B.7)

contoh yang biasa kita temui adalah delta kronecker δjk.

B.4 Tensor Simetrik dan Asimetrik

Sebuah tensor dikatakan simetrik terhadap kedua indeks kontravarian atau ko-

variannya jika komponen-komponennya tetap tidak berubah dalam mempertu-

40

karkan kedua indeks tersebut. Jadi jika Amprqs = Apmrqs maka tensornya simetrik

dalam m dan p. Sebuah tensor disebut antisimetrik terhadap kedua indeks kon-

travarian atau kovariannya jika komponen-komponennya berubah tanda dalam

mempertukarkan kedua indeks tersebut. Jadi jika Amprqs = −Apmrqs maka tensornya

anti simetrik dalam m dan p.

41

Daftar Acuan

[1] A. Fajarudin, A. Sulaiman, T.P. Djun, and L.T. Handoko.

Magnetofluid Unification in the Yang-Mills Lagrangian.

arXiv:physics.0508219v3.(2008).

[2] B.A. Bambah, S.M. Mahajan and C. Mukku. Yang-Mills magnetofluid

unification. Phys.Rev. Lett. 97, 072301 (2006).

[3] Donald. H.Perkins. Introduction to High Energy physics. World Scien-

tific. 1992.

[4] Ryder, L.H. Quantum Field Theory. Cambridge University Press. (1996).

[5] S.M. Mahajan. Temperature-Transformed “Minimal coupling“:

Magnetofluid unification.90,0335001 (2003)

[6] T.Muta. Foundation of Quantum Chromodynamics. World scientific,

singapore.1987

[7] Markus. H.Thoma.The Quark-Gluon Plasma Liquid. arXiv:Physics,hep-

ph/040921v2.2004

[8] Halzen and Martin.Quarks and Leptons: An Introductory Course in

Modern Particle Physics.1984

[9] Horace, Lamb. Hydrodynamics. Dover Publication,Inc.1945

[10] Solomon Gartenhaus. Element of Plasma Physics. Holt,Rinehart and

Wiston.1964

[11] Letessier, J and Rafel,J. Hadron and Quark Gluon Plasma. Cambridge

University Press. 2002.

42