ABACOM Boletín Matemático

Iniciamos un nuevo año, con algo de atraso debido a los acontecimientos de todos conocidos, acaecidos en la UACh. A partir de esta edición nos coopera

Danilo Díaz Levicoy, alumno del 8º semestre de la Carrera de Pedagogía en Matemática y Computación de la Universidad de los Lagos. En esta oportunidad se refiere a Algunas for-mas de demostración en matemáticas (ver artículo en pág. 4). Pero, ¿qué es una demostración en

matemáticas? Toda teoría matemática, se inicia con

axiomas (o postulados) que son pro-posiciones que se establecen sin de-mostrar y constituyen la base de todo el desarrollo de la teoría. Muchas ve-ces se afirma que un axioma es una verdad evidente que no necesita ser demostrada, lo que es errado, pues los axiomas no pueden ser demostra-dos por ser enunciados al inicio de la teoría y no necesariamente son “evidentes”, pero sí deben ser consis-tentes entre sí. Luego se enuncian teoremas que son

proposiciones verdaderas, pero que sí necesitan ser demostradas. La demos-tración de un teorema es una suce-sión coherente de pasos que, tomando como verdadero un conjunto de pre-misas llamado hipótesis, permite ase-

gurar la veracidad de una tesis. Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de deducción (fundadas ya sea en los axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión). Algunos ejemplos de teorías y sus

respectivos axiomas: Geometría Eu-clidiana: los axiomas son los famo-sos cinco Postulados de Euclides; Números Naturales: los axiomas son los cinco axiomas de Peano; Núme-ros Reales: Los axiomas son los axiomas de cuerpo, de orden y de supremo. Ha habido teoremas que han necesi-

tado varios siglos para ser demostra-dos, como el último teorema de Fer-mat (ver ABACOM N° 24) y otros que aún son sólo conjeturas, pues no se ha podido demostrar su veracidad ni su falsedad, como la Hipótesis del continuo de Riemman, por ejemplo. La Matemática es una ciencia de tipo

deductivo, esto es va de lo general a lo particular, a diferencia de las cien-cias naturales o físicas, que son de tipo inductivo, o sea a partir de casos particulares se obtiene una ley de va-lidez general. Hasta hace algunos años, en ense-

ñanza básica y media se hacían cier-tas demostraciones simples, ya sea en geometría o en álgebra; lo que actual-mente se ha dejado de lado. No se trata de demostrar todos los teoremas que se enuncien, sino demostrar algu-nos para que el alumno vea que la teoría es coherente, es decir que para obtener un resultado se usan los re-sultados anteriores. Tampoco una demostración pretende convencer al alumno que el teorema es verdadero, sino que vea algo de lo que es el método usado en matemáticas como es el deductivo.

JUNIO 2008 AÑO 7 N°26 Editorial

AXIOMAS, TEOREMAS Y DEMOSTRACIONES En esta edición

Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: abacom@uach.cl

pág Secciones Cónicas …………………....2 . Reflexiones ....................................... .3

Algunas formas de demostración . ...... .4 Concurso

• Desafío a tu Ingenio .................... .5

• Sopa Matemática ........................ .5

• Balanza y monedas .................... .5 Funciones

• Un concepto fundamental en

Matemáticas.…... ....................... ..6

• Leonhard Euler ............................. ..6

• Funciones.: Una Introducción.…....7

• Torpedo de Funciones..…..…..…...7

• Algunas Funciones especiales..…...8

Juegos Matemáticos ………….. ......... ..9

Anécdotas Matemáticas .................... ..9 Matemática Entrete

• La tabla de los dedos................... 10

• Humor ....................................... 10

• Pronósticos bursátiles ................ 11

• Polígono de 65.537 lados ........... 11

• La matemática con risas entra ..... 11 Noticias

• XXII Jornada de Mat. Zona Sur..…..12

• María del Carmen Chamorro.......…...12

• Olimpíada Provincial de Matemá-

tica …..………………. ….....…..12

J U N I O 2 0 0 8

2

Víctor Alvarado Alvarado

SECCIONES CÓNICAS Una sección cónica (o simplemente cónica) es una curva que se obtiene como la intersección de un cono circular recto con un plano, que no contenga al vértice del cono. Las dis-tintas cónicas aparecen dependiendo de la inclinación del plano respecto del eje del cono. Si el plano es perpendicu-lar a dicho eje produce una circunferencia, si el plano no es paralelo a ninguna de las generatrices se obtiene una elip-se, cuando es paralelo a una sola generatriz se tiene una parábola y si es paralelo al eje del cono (o corta a ambas ramas del cono) la curva es una hipérbola. Hagamos un esquema de lo que hemos dicho: Cortamos una superficie cónica por un plano que no pase por su vértice y llamamos: α, al ángulo que forma el eje del co-no con la generatriz del mismo; β, al ángulo que forma el eje del cono con el plano. Según la relación entre estos ángulos, ambas superficies se cortarán en una circunferencia, una elipse, una pará-bola o una hipérbola si β = 90º, α < β < 90º, α = β o α > β, respectivamente. Las cuatro secciones cónicas se ilustran en las siguien-tes figuras: Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola En el caso de que el plano contiene al vértice, da lugar a las llamadas cónicas degeneradas: un punto (el vértice del cono), una recta (una generatriz del cono) o un par de rectas (generatrices) que se intersecan en el vértice.

ALGO DE HISTORIA El matemático griego Menecmo (375-325 a.C.) fue el descubridor y estudioso de las cónicas. Euclides (300 a.C.) escribió un tratado sobre el tema que no ha llegado hasta nuestros días. El matemático griego Apolonio de Perga (262-190 a.C.) en su obra “Las secciones cónicas”

estudia detalladamente la mayoría de las propiedades de las curvas cónicas y encuentra la propiedad plana que las definía. Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes, y algunas de ellas son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cóni-ca que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira. Demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz refle-jada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo pa-rabólico de manera que los rayos incidentes son parale-los al eje del espejo, entonces la luz reflejada se con-centra en el foco. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 a.C.) logró incendiar las naves romanas, duran-te la defensa de Siracusa, usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y es-pejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada. Sin embargo, sólo hasta inicios del siglo XVII, con el descubrimiento casi de manera independiente de la Geometría Analítica por parte de Descartes y Fermat, se concluyó que las cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica, dado por Jan de Witt (1629-1672), es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables represen-tan secciones cónicas. Las cónicas tienen gran utilidad en la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrede-dor del sol son elipses, lo que fue descubierto por el astró-nomo alemán Johannes Kepler (1570-1630). Más tarde el matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727), ex-plicó y demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por el Instituto de Matemáticas de la Universidad Austral de

Chile.

Director: Juan Leiva V. Director Alterno: Víctor Alvarado A. Redacción Periodística : Carolina Leiva C. Diagramación: Katherine Inalef P.

Instituto de Matemáticas. Facultad de Ciencias. UACh.

Casilla 567 Valdivia. E.mail: abacom@uach.cl

Fono (63)221828 Fax (63)293730

www.uach.cl/abacom

ABACOM Boletín Matemático

REFLEXIONES

Antes que nada, acepto que este títu-lo puede parecer capcioso, dado que en verdad se necesita un entrena-miento para aprender cualquier disci-plina, sea el arte de bogar por el río, el arte de hacer tortas, para hacer dulce de murta y tantas otras cosas. Entonces, para aprender matemática se necesita también de un entrena-miento. De hecho es eso lo que hacen nuestros estudiantes, en gene-ral asisten a sus clases, hacen algu-nas tareas y preparan sus pruebas, entre otras cosas. Pero nuestra ex-periencia de todos los días con nues-tros estudiantes nos enfrenta a la dura realidad de ver como un gran porcentaje de ellos no parece obtener buenos resultados de su entrena-miento como estudiantes de ma-temática. Es lícito entonces que nos pregunte-mos ¿cómo mejorar este proceso de entrenamiento, si es que en verdad es mejorable? Y esto nos trae al tema de este artí-culo: el entrenamiento entendido co-mo “coaching”, pretende recrear el clima de guía y ayuda para concretar el tipo de objetivo que buscan los en-trenadores deportivos o determina-dos administradores de empresas. ¿Cuáles son esas habilidades que despliegan estos entrenadores para conmover y convencer a un grupo de personas a hacer cosas supuesta-mente imposibles? El Coach, como líder del aprendizaje de la matemática, desarrolla una ma-nera particular de conducción, direc-ción y movilización de su grupo, cen-trado en los siguientes aspectos: Visión inspiradora, ganadora y trans-parente: conduce al grupo a tener una visión ganadora, a obtener bue-nos resultados en sus certámenes, proyectos y trabajos, desarrolla en el

grupo una visión terminal de éxito, una visión de graduado en su carrera profesional. Sentido de planeación continua: el coach desarrolla una visión a largo plazo, pero también muestra que el éxito se logra por el trabajo continuo y constante día a día. Por lo tanto, el coach impulsa a su grupo a realizar una planificación diaria y semanal de actividades dirigidas al logro del éxito buscado. Liderazgo mediante el ejemplo: en todos los casos de éxito de un grupo, el coach del grupo se destaca por su disciplina, amor a la camiseta y una cultura hacia la excelencia que prácticamente le definen un éxito de vida que transfiere a su equipo. Selección y desarrollo de talentos: en un equipo competitivo, el coach bus-cará tener los mejores estudiantes dentro de su equipo. Sin embargo, si no se ha logrado una selección muy estricta, el coach partirá destacando y valorando lo positivo de su grupo, es decir, partirá considerando aquellos conocimientos matemáticos que si existen en la mayoría del grupo curso y desde allí construirá el éxito del grupo. Entrenamiento diario: una caracterís-tica de los estudiantes de matemáti-ca exitosos es el entrenamiento diario tanto individual como en grupo. Este entrenamiento permite transformar las debilidades en fortalezas, permite al estudiante aprender a comunicar-se y trazar estrategias y tácticas de equipo. Motivación individualizada y desarro-llo personal: El coach establece en su grupo un sistema de seguimiento y motivación personal, les hace enten-der la importancia de ser responsa-bles consigo mismo y la importancia de que ellos generen su propia auto-motivación para el logro de sus pro-pias metas, metas impuestas por ellos mismos a sí mismos. El estu-diante debe comprender y aceptar que el desafío de aprender matemáti-ca no viene impuesto desde afuera del sistema universitario o de alguna otra parte. Ese desafío es un empren-dimiento personal que el estudiante se plantea a sí mismo. Disciplina y compromiso: estos dos

factores generan un profesionalismo especial en cada estudiante, la disci-plina garantiza el crecimiento del es-tudiante día a día. El compromiso y sus elementos que son; la camiseta, los colores de su equipo, o sea de su carrera, el deseo del triunfo y la ver-güenza de la derrota (aunque de las derrotas también se aprenda y mu-cho), les da la pasión por el triunfo y eso hace el conjunto del grupo un equipo altamente competitivo. Sentido de trabajo en equipo: Un equipo llega a ser campeón cuando se sincroniza en todas sus partes y juega como una unidad. Entonces el equipo está por encima de lo indivi-dual y todo el grupo trabaja con la convicción de su interdependencia, fusionando todos los esfuerzos para lograr una meta común. Como vemos, existen elementos de juicio para un entrenamiento exitoso, seguramente estamos ya aplicando en nuestra vida estudiantil algunos de estos aspectos de una manera intuiti-va. Este breve artículo te muestra los aspectos del entrenamiento que han resultado ser significativos para el logro del éxito. Incorpóralos a tu vida de estudiante, vive tu entrenamiento exitoso y mucha suerte.

Luis Castro Haase

3

ABACOM Boletín Matemático

¿ES NECESARIO UN ENTRENAMIENTO PARA APRENDER MATEMATICA?

J U N I O 2 0 0 8

4

En toda teoría matemática los axiomas se aceptan sin demostración, pero cual-quier otra propiedad debe ser demostrada, para así pasar a constituir un teore-ma de la teoría. Para demostrar una propie-dad, podemos hacer uso de

propiedades anteriormente demostradas (teoremas), de axiomas y todos aquellos antecedentes que constituyen la hipótesis. La conclusión a demostrar constituye la tesis. A continuación presentamos algunas de las formas que se utilizan en matemáticas para probar la validez o falsedad de una proposición, pues son las más usadas (pero, solo al-gunas, porque existen otras) Demostración directa: Consiste en obtener la tesis me-diante una sucesión de proposiciones encadenadas por re-glas de deducción Es obtenerla de los axiomas, o de teore-mas ya probados, haciendo uso de las reglas de deducción. Ejemplo: Demostrar: , , Demostración: Esta es una proposición de la teoría de los Números Reales, por tanto se usarán los axiomas de Cuerpo de los Números Reales, definiciones y teoremas conocidos. (Definición de División) (Neutro Multiplicativo) (Inverso Multiplicativo) (Conmutatividad y Asociatividad) (Por teorema , (Distributividad) (Definición de División) Inducción Matemática: Este método de demostración se conoce también como Principio de Inducción Completa o Finita o Quinto Axioma de Peano, el cuál señala que: “Si una proposición q expresada en términos de una varia-ble n, cumple que: 1) Es verdadera para n = 1 (o algún otro valor si fuese ne-cesario) 2) A partir del supuesto de que, es válida para n = k, se deduce que también es válida para n = k + 1, entonces dicha proposición q es válida para cualquier número natural”

Ejemplo: Demostrar la siguiente igualdad:

Demostración: 1. Si n = 1, entonces (Verdadero) 2. Hipótesis inductiva, supongamos que es válida para n = k, es decir, Por demostrar: Sabemos que: (Hipótesis) (Se sumó (k + 1)(k + 2) ) Demostración indirecta por reducción al absurdo: Suponga-mos que se desea demostrar la proposición P. El procedimien-to consiste en demostrar que asumiendo como cierta la false-dad de P (o sea, P negada) conduce a una contradicción lógica. Así P no puede ser falsa, por lo que ha de ser verdadera. Ejemplo: Demostrar que no existe un número racional mínimo mayor que cero. Demostración: Comenzamos por asumir lo contrario, esto es que existe un mínimo número racional y que es mayor que cero; llamémoslo r0. Ahora, hagamos x = r0 / 2. Por lo tanto, x es un número racio-nal mayor que cero; y x es más pequeño que r0. Pero eso es absurdo, contradice nuestra hipótesis de partida de que r0 era el número racional mínimo. Por lo tanto, debemos concluir que la proposición inicial "no hay un número racional mínimo mayor que cero" es verdadera.

(*) Danilo Díaz Levicoy es alumno del 8º semestre de la Carrera de Pedagogía en Matemática y Computación de la Universidad de los Lagos

( ) ( )( ) ∀ ∈Nn n +1 n +21×2+2×3+... +n n +1 = , n3

Danilo Díaz Levicoy (*) ALGUNAS FORMAS DE DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS ALGUNAS FORMAS DE DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS ALGUNAS FORMAS DE DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS ALGUNAS FORMAS DE DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS

a c ad + cb+ =b d bd∀ ∈Ra,b,c,d ≠b,d 0

=-1 -1a c+ =ab +cdb d

-1 -1=ab ×1+cd ×1

( ) ( )-1 -1 -1 -1= ab dd +cd bb( ) ( )-1 -1 -1 -1= ad b d +cb b d

( )-1 -1 -1xy = x y( ) ( )-1 -1= ad bd + cb bd

∀ ∈�x, y )( ) ( )-1= ad+cb × bdad + cb= bd

1×2×31×2= 3

( )( ) ( )( )k k+1 k +2= + k+1 k +23

( ) ( )( )k k +1 k +21×2+2×3+...+k k +1 = 3

( )( ) ( )k +1 k +2 k +3= 3

( ) ( )( )1×2+2×3+...+k k +1 + k +1 k +2 =

( ) ( )( ) ( )( )( )k +1 k +2 k +31×2+2×3+...+k k +1 + k +1 k +2 = 3

( )( ) ( )( )k k +1 k +2 +3 k +1 k +2= 3

( ) ( )( )k k +1 k +21×2+2×3+...+k k +1 = 3

5

ABACOM Boletín Matemático

ConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoC

Problema 1: El Recital Un día, un famoso grupo musical, hizo un concierto tan malo que tuvo que salir co-rriendo del escenario. Para poder escapar, disponían de un túnel que estaba muy oscuro, por el que podían pasar como máximo dos personas al mis-mo tiempo. Sólo tenían una linterna para poder cruzar el túnel. Los cuatro componentes del grupo, no eran igualmente rápidos. Habían realizado simulacros y uno tardaba 10 minutos en recorrer el túnel, otro tardaba 5 minutos, otro tardaba 2 minutos y el último tardaba 1 minuto. Cuando van de dos en dos, siempre tardan en recorrer el túnel el tiempo que tarda el más lento. Lógicamente si dos de ellos han pasado el túnel con la linterna, uno de los dos tiene que volver para que puedan pasar los que faltan. La pregunta es la siguiente: ¿Es posible que el grupo pueda escapar en 17 minutos? Problema 2: Suma de números enteros consecutivos Algunos números enteros se pueden expresar como la suma de enteros consecutivos, por ejemplo: 3 = 1 + 2 (suma de dos enteros consecutivos) 6 = 1 + 2 + 3 (suma de tres enteros consecutivos) 20 = 2 + 3 + 4 + 5 +6 (suma de cinco enteros consecutivos) ¿Qué números enteros del 1 al 30 pueden expresarse de esta forma?

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 26

Viola García Paredes

SOPA MATEMÁTICA EDICIÓN Nº 26

Te proponemos que descubras diez (10) palabras relacionadas con funciones . Pueden encontrarse en forma vertical, hori-zontal o en diagonal, de arriba hacia abajo (o viceversa), de iz-quierda a derecha (o viceversa).

Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a: A B A C O M Boletín Matemático Casilla 567 Valdivia · email: abacom@uach.cl · Fax (63) 293730 Recepción de soluciones hasta el 31 de Julio de 2008 A fin de año se entregarán reconocimientos a los participantes.

BALANZA Y MONEDAS Ara Pinilla Palma

En el número 22 del año pasado, en Desafío a tu Ingenio, se plan-teó el problema de determinar, efectuando sólo 2 pesadas, con una balanza de dos

platillos, de entre 6 monedas una que pesaba menos que las otras. Veamos un caso más general: Sabiendo que entre 3 n monedas hay una que pesa menos, determinar cual es la más liviana efectuando n pesadas. Para n = 1, es decir 31 =3 monedas, coloca-mos una moneda en cada platillo. Si la balan-za queda en equilibrio, la tercera moneda es la más liviana. En caso contrario lo será la que queda arriba en la balanza. Así en una (1) pesada se ha determinado la más liviana. Para n = 2, es decir 32 = 9 monedas, coloca-mos 3 monedas en cada platillo. Si hay equili-brio, la moneda más liviana está entre las 3 que no se han pesado. Si, por el contrario, la balanza se inclina a un lado, el grupo de 3 monedas que queda arriba contiene la más liviana. En ambos casos una pesada más permite determinar cuál es la más liviana. Así en 2 pesadas se ha determinado lo que se quería. Análogamente, para n = 3, es decir 33 = 27 monedas bastan 3 pesadas, para n = 4, es decir 34 = 81 monedas bastan 4 pesadas. Para generalizar, supongamos que ya se ha establecido que para 3k monedas bastan k pesadas, entonces si tenemos 3k+1 monedas, podemos formar 3 grupos de 3k monedas (pues 3×3k = 3k+1 ). Colocamos dos de estos grupos en los platillos de la balanza, quedan-do uno fuera. Si se logra equilibrio, el grupo que está afuera contiene a la más liviana, de lo contrario la más liviana está en el grupo que queda arriba. Así hemos efectuado una pesada, y quedan 3k monedas, pero sabe-mos que para éstas bastan k pesadas, por tanto para 3k+1 se necesitan k +1 pesadas. El razonamiento usado se denomina Induc-ción Matemática (ver ALGUNAS FORMAS DE DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS, pág 4) y se usa para demostrar que una cier-ta propiedad relativa a números naturales n, es válida para todo n número natural.

O G I F A R G S A V

R N R O D U L V M E

T E O A I B I H I T

N L C I F T J O N N

E U A O C I Q Y V E

G L O E R N C A E I

A T Y Z R R U O R C

M N A U O N I F S O

I E N O I C I D A U

P O I N I M O D O C

A u n q u e p a r e z c a extraño el C á l c u l o D i fe re n-cial e In-tegral sur-gió en el s i g l o XVII, pe-

ro el concepto de función vino a co-nocerse sólo un siglo después, y el concepto de límite, entendido de una manera formal y rigurosa, sólo a finales del siglo XIX. Ésto difiere de la forma como se presenta actual-mente el Cálculo, en donde primero se enseñan funciones, luego límites y finalmente derivadas o integrales. La primera definición formal del concepto de función aparece en el siglo XVIII, en la obra Introductio in Analysi Infinitorum, de Leon-hard Euler. En él leemos “Una fun-ción de cantidad variable es una ex-presión analítica formada de cual-quier manera por esa cantidad varia-ble y por números o cantidades constantes”. Después en el prólogo de su obra Instituciones precisa

“Algunas cantidades en verdad de-penden de otras, si al ser cambiadas las últimas, las primeras también sufren cambio, y entonces las prime-ras se llaman funciones de las últi-mas”. Pero esta historia, aunque informal-mente, comienza mucho antes. En las matemáticas babilónicas se en-cuentran tablas de cuadrados de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los números naturales, las que se pueden considerar funciones. En las matemáticas griegas se encuentra el trabajo de Ptolomeo, quien computó cuerdas de un círculo lo que esen-cialmente quiere decir que computó funciones trigonométricas, entonces Ptolomeo debe haber comprendido el concepto de función. Posterior-mente, Galileo dejó en claro que entendía este concepto en sus estu-dios sobre el movimiento, que con-tienen la clara comprensión de una relación entre variables. Casi al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Descartes in-troducía el álgebra a la geometría en La Géometrie (La Geometría). Afir-

ma que una curva puede dibujarse al permitir que una línea tome sucesi-vamente un número infinito de valo-res distintos, esto claramente está relacionado con las funciones. Posteriormente, precisaron y am-pliaron el concepto de función: Cau-chy, Fourier, Lagrange y Dirichlet entre otros. La definición moderna, que se ense-ña actualmente, fue dada por el francés Edouard Goursat, en 1923: Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Esta correspon-dencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x). Las funciones se pueden considerar un concepto fundamental en la ma-temática. Si se tratara de contestar a la difícil pregunta ¿qué son las ma-temáticas? muchos responderían algo así como: Es el estudio de las relaciones entre conjuntos o es el estudio de las dependencias entre cantidades variables. Las funciones permiten modelar problemas reales, es decir de la vida diaria, mediante fórmulas matemáticas para poder resolverlos.

Juan Leiva Vivar

6

Un concepto fundamental en matemáticas

Nació en Basilea, Suiza, el 15 de abril de 1707. Su pa-dre era un pastor luterano de muchos conocimientos en matemáticas. Aunque le en-tregó tanto conocimientos matemáticos como bíblicos, siempre consideró la carrera religiosa como más impor-tante. Pero su hijo puso fin a

las esperanzas del padre al inclinarse por las matemá-ticas. En 1723, a los 15 años entró a la Universidad de Basi-lea, estudiando con Jean Bernoulli, destacado ma-

temático de la época. A partir de 1727 pasa a ser miembro de la Academia de Ciencias de San Peters-burgo, en Rusia. Euler fue muy prolífico en obras ma-temáticas, llegando a escribir quinientas, entre libros y artículos para revistas. Debido a su duro ritmo de trabajo perdió la vista, lo que no le impidió seguir creando. En 1741, se trasladó a Alemania, asumiendo una cátedra en la Academia de Ciencias de Berlín. Sus estudios trataron de temas diversos: Cálculo Dife-rencial e Integral, Ecuaciones Diferenciales, Mecáni-ca y Dinámica, entre otros. Falleció de un paro cardíaco, el 18 de septiembre de 1783. Sus últimas palabras fueron: Extraño, no estoy percibiendo matemáticas.

Leonhard Euler (1707 – 1783)

J U N I O 2 0 0 8

7

ABACOM Boletín Matemático

FUNCIONES : UNA INTRODUCCIÓN TORPEDO DE FUNCIONES Una relación R, de un conjunto A a un conjun-to B, es un subconjunto de A x B, o sea un conjunto de pares ordenados (x,y), con x є A , y є B. Si una relación de A en B es tal que pa-ra cada elemento x є A, existe un único ele-mento y є B, de modo que (x,y) є R , entonces R se denomina función. Así, una función f de A en B es una corres-pondencia que a todo elemento x є A, asigna un único elemento y є B. Se anota f : A → B, y = f (x). El elemento y es la imagen de x , x es la preimagen de y, según f . A es el domi-nio de f, B es el codominio de f y el recorri-do de f es el subconjunto de B formado por todas las imágenes. El gráfico de f es el con-junto de todos los pares ordenados (x,y), con x є A , y є B, tales que y = f (x), que puede representarse en un sistema de coor-denadas, generalmente mediante una curva. Con funciones puede efectuarse operaciones tales como: adición , sustracción , multiplica-ción y división , ésto da origen a un álgebra de funciones . También, con dos funciones puede efectuarse la composición de ellas (ver TORPEDO). Una función f de A en B es biyectiva , si para todo elemento y є B existe un único elemento x є A, tal que y = f (x). Si f : A → B es biyec-tiva entonces existe la función inversa de f, f -1 : B → A, de modo que f -1 (x) = y si y sólo si f (y) = x. Veamos un ejemplo: Un curso organiza un viaje y se ha estimado que el costo por alumno es de $ 150.000, si viajan no más de 30. Sin embargo, si el número de estu-diantes excede los 30, el costo para cada estu-diante se reduce en $2.000, por cada estudiante que exceda los 30. Hallemos una función que exprese el costo total del viaje, en términos del número de estudiantes que viaja. Sea x el número de estudiantes. Si 0< x ≤ 30, entonces el costo total es: 150.000x. Si x > 30, entonces el costo total es: (150.000 – 2.000(x – 30))x = 210.000x – 2.000x2 Así la función es Por ejemplo: Si viajan 28 estudiantes, el costo total del viaje es de $ 4.200.000, pues f (28) = 150.000 • 28 = 4.200.000; y si viajan 35 estudiantes, el costo del viaje es de $ 4.900.000, pues : f (35) = 210.000 • 35 – 2.000 • 35 2 = 4.900.000

Función: Una función f , de un conjunto A a un conjunto B, es una corresponden-cia que a todo elemento x de A asigna un único elemento y de B. Se anota f : A → B. y = f (x) A se llama dominio de f ; se anota Dom f. B se llama codominio de f . Si f asigna a x ∈ A, el elemento y ∈ B, se dice que y es imagen de x por f, y que x es preimagen de y por f. El conjunto {y ∈ B / ∃ x∈ A, f (x) = y }⊂ B se llama recorrido de f. Se anota Rec f. El gráfico de f es el conjunto {(x,y) ∈ R

2 /y = f (x)}, que representado en un sistema de coordenadas es generalmente una curva.

Función Real: f : A → B es función real si A, B ⊂ R. Dado sólo y = f (x) (fórmula de correspondencia), entonces A consiste de todos los números reales x tales que f (x) ∈ R .

Algunas funciones reales: 1) Función constante: f (x) = c (En particular, f (x) = 0, ∀ x ∈ Dom f función nula) 2) Función lineal: f (x) = ax + b (En particular f (x) = x, ∀ x ∈ Dom f función identidad)

3) Función cuadrática: f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 4) Función racional: (En particular, ) 5) Función raíz cuadrada: 6) Función valor absoluto: f (x) = x

1) 2) 3) 4) 5) 6) Álgebra de funciones. Composición de funciones: Sean f , g : A → B dos funciones. Entonces

f ± g : A → B , (f ± g) (x) = f (x) ± g(x) (Adición – Sustracción) f ⋅ g : A → B , (f ⋅ g) (x) = f (x) ⋅ g(x) (Multiplicación ) f / g : A’ → B , (f / g) (x) = f (x) / g(x) (División) con A’ = { x ∈ A / g(x) ≠ 0 } f ○ g : A’’ → B , (f ○ g)(x) = f ( g (x) ) (Composición) con A’’ = { x / x ∈ Dom g , g(x) ∈ Dom f }

Función inyectiva, sobreyectiva, biyectiva: f : A → B f es inyectiva si f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2 (ó, x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)). f es sobreyectiva si ∀ y ∈ B, ∃ x∈ A , f (x) = y (ó Rec f = B). f es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva.

Función inversa: Si f : A → B es biyectiva entonces existe f - 1

f - 1 : B → A , y = f - 1(x) ⇔ x = f (y) . Se cumple: Dom f - 1 = Rec f , Rec f - 1 = Dom f ( f - 1 o f )(x) = x , ∀ x ∈ Dom f ; ( f o f - 1 )(x) = x , ∀ x ∈ Dom f - 1 Los gráficos de f y f - 1 son simétricos respecto de la recta y = x.

( ) ax bf x

cx d

+=+

( )f x x=

< ≤= − > 2

150.000 , 0 30( )

210.000 2.000 , 30

x xf x

x x x

( ) 1f x

x=

J U N I O 2 0 0 8

8

Las funciones son conceptos matemáticos especial-mente adaptados a la modelación de situaciones varia-das. Por lo general tenemos tendencia a pensar que las más usuales son funciones tales como la exponencial, logarítmica, trigonométricas, etc., pero hay funciones mucho más simples que son de gran utilidad. En este caso presentamos algunas funciones que tienen am-plia aplicación en ciencias de la computación. Función módulo: Primero recordaremos que dados

números enteros m � 0, n > 0, entonces m modn (se

lee: m módulo n) es igual al resto que se obtiene al dividir m por n. Por ejemplo: 0 mod3 = 0, 15 mod2 = 1, 5 mod7 = 5, 354 mod6 = 0. Si fijamos n podemos definir la función módulo:

f n (m) = m modn A fin de ejercitar esta definición les recomendamos completar una tabla de valores de f 7 (m) , para m en-tre 0 y 15 –ambos comprendidos – y destacar lo que se observa.

Ejemplo 1.

¿Se han preguntado por qué, cualquier fecha actual es desplazada en un día el año siguiente? (excepto en años bisiestos, para fechas antes del 29 de febrero). Para concretar, elijamos el martes 30 de septiembre de 2008. ¿A qué día corresponderá esta fecha el 2009? De otra manera: 365 días después del 30 de septiem-bre actual ¿qué día corresponderá? Veamos: la semana tiene 7 días, de modo que

f 7 (365) = 365 mod7 = 1, lo cual nos dice que en un año normal hay un cierto número de semanas (52, exactamente), más 1 día, y esto nos dice que será miércoles y lo explica todo… Un ejercicio simple: en los próximos 25 años,

¿cuándo ocurrirá el primer año bisiesto?, ¿el último? Te invitamos a buscar otros ejemplos de aplicación de la función módulo. Funciones piso y techo: Éstas son funciones que se aplican a números reales y, estrictamente hablando, redondean cualquier número al entero, una por abajo, la otra por arriba. El piso de x: mayor entero menor o igual a x. El techo de x: menor entero mayor o igual a x. Así: Ejemplo 2.

Tourvus es una compañía de transporte de carga entre Quellón y Valparaíso. Su política de cobro para pa-quetes de tamaño pequeño, con pesos de hasta 5 kilo-gramos, es: hasta 100 gramos el costo es $ 2.000 y por cada 100 gramos o fracción adicionales se aña-den $ 20. Resulta, por ejemplo, que el envío de un paquete pequeño que pesa 3,75 kilogramos cuesta C = 2.000 + 20 x 37 = 2.740 pesos. Cuando un cálculo similar requiere ser realizado muchas veces es preferi-ble contar con una función de costo integrada a algún programa de computación, que automatice los cálcu-los. Esa función existe: donde n es el peso en gramos dividido por 100 (aquí 100 juega el rol de unidad de peso). Veamos si ella funciona: para un sobre que pesa 43 gramos se obtiene n = 43 / 100 = 0,43, y así:

y para el caso de más arriba, n = 3750 / 100 = 37,5 y

Para quienes usan Excel estas funciones aparecen co-mo redondear.menos y redondear.mas, y tienen un argumento extra: el número de decimales en la salida (0, en nuestro caso). Otro ejercicio no tan simple: ¿cuál es la fórmula para el caso en que, hasta 500 gramos, se paga $2.700 y por ca-da 100 gramos adicionales hay que agregar $50?

Algunas funciones especiales Manuel Bustos Valdebenito

x = x =

3,19 3,= 8,33 9.= 4, 25 5,− = −

( ) 2.000 20 1C n n= + −

(37,5) 2.000 20 37,5 1 2.000 20 37 2.740C = + − = + × =

(0, 43) 2.000 20 0, 43 1 2.000C = + − =

9

ABACOM Boletín Matemático

Juegos Matemáticos Tú puedes adivinar fácilmente la edad de otra persona, del modo siguiente: 1°) Si la persona tiene más edad que tí: Resta a 99 la edad tuya. Pídele a la persona que sume, a la edad que tiene, la resta que obtuviste. El número que obtenga será mayor o igual a 100. Haz que elimine la cifra de las centenas y se lo agregue al de las unidades. Le pides el resultado obtenido, el que será exactamente la diferencia entre las dos edades. Así puedes adivinar fácilmente la edad de la persona. Por ejemplo: Si tu edad es 17 años y la otra persona, cuya edad vas a adivinar, tiene 45; la resta que obtienes es 99 – 17 = 82; así la otra persona sumará 45 + 82 = 127. Al eliminar la cifra de las centenas y agregarla a las unidades resulta: 27 + 1 = 28. Luego la diferencia entre las edades es 28, o sea la otra persona tiene: 17 + 28 = 45 años. Explicación: Si llamamos a a tu edad y b a la edad de la otra perso-na, tenemos: [b + (99 – a)] – 100 + 1 = b – a.

2°) Si la persona tiene menos edad que tí: Se procede igual que en el caso anterior, pero ahora el número que obtenga la persona será menor que 100, tú le haces agregar un número ficticio para pasar de 100 y se continúa igual, pero la diferencia de las edades será la resta del número ficticio y el resultado que la perso-na entregue. Por ejemplo: Si tu edad es 17 años y la otra persona, cuya edad vas a adivinar, tiene 14; la resta que obtienes es 99 – 17 = 82; así la otra persona sumará 14 + 82 = 96; sumas por ejemplo el número 30, obteniendo 96 + 30 = 126. Al eli-minar la cifra de las centenas y agregarla a las unidades resulta: 26 + 1 = 27. Luego la diferencia entre las eda-des es 30 – 27 = 3, o sea la otra persona tiene: 17 – 3 = 14 años. Explicación: Si llamamos a a tu edad, b a la edad de la otra persona y c al número ficticio, tenemos: [b + (99 – a)] + c – 100 + 1 = c + b – a. Así c – (c + b – a) = a – b es la diferencia de las edades.

ADIVINA LA EDAD

ANÉCDOTAS MATEMÁTICAS Kurt Gödel (1906 – 1978) destacadísimo matemático, dedicado a la Lógica (ver ABACOM N° 15) tuvo que batallar durante toda su vida contra problemas de salud física y mental. Tras muchos años de resi-dencia en Estados Unidos, le había llegado la hora de adquirir la nacionalidad americana. Para ello tenía que responder a una serie de preguntas muy sencillas acerca de la Constitución:

de esta forma, demostraría poseer un conocimiento mínimo y general de su contenido y manifestar su consideración hacia ella. Además, necesitaba dos avalistas que respondieran de su reputa-ción y le acompañaran al examen oral ante un juez local. Gödel tenía unos padrinos de lujo: Albert Einstein, que no necesi-ta presentación alguna, y Oskar Morgenstern, economista ma-temático y coinventor, junto con John von Neumann, de la “teoría del juego”. Einstein cuenta que había ido aumentando su preocupación y la del propio Morgenstern ante la inestabilidad y falta de sentido común que había demostrado Gödel durante el periodo previo a esta simple entrevista. Parece ser que Gödel llamó a Morgenstern la tarde anterior para

explicarle que había encontrado un resquicio en el entramado de la Constitución que permitía la instauración de una dictadura. Morgenstern le dijo que eso era completamente absurdo y que bajo ningún concepto debía mencionarlo en la entrevista del día siguiente. Cuando llegó la tan esperada cita, Einstein y Morgenstern inten-taron desviar la atención de Gödel para que no pensara en lo que le rondaba la cabeza y evitar así que se le escapara algún chiste inconveniente o alguna anécdota fuera de lugar; confiaban en que se limitaría a presentarse, dar las respuestas de rigor y los tópicos resabidos y marchar con la nacionalidad bajo el brazo. El siguien-te relato de John Casti sobre cómo discurrió la entrevista confir-ma que las sospechas de los dos testigos no eran infundadas: “Durante la misma, el juez quedó gratamente impresionado por la brillante personalidad y reputación pública de los testigos de Gödel, y rompió con la tradición al invitarles a sentarse el tiempo que durara la entrevista. El juez empezó por comentar a Gödel: ‘Hasta ahora, usted ha tenido nacionalidad alemana’. Gödel corri-gió esta ligera ofensa, haciendo notar que era austríaco. Imperté-rrito, su señoría prosiguió: ‘De todos modos, su país tuvo que sufrir una dictadura horrible… pero afortunadamente eso no pue-de suceder en América’. Al oír la palabra mágica, ‘dictadura’ Gödel no pudo contenerse y gritó: ‘¡Todo lo contrario!, ¡yo sé cómo puede suceder eso, puedo probarlo!’. Calmarle y evitar que siguiera adelante con la explicación extensa y detallada de su ‘descubrimiento’ requirió no sólo los esfuerzos de Einstein y Morgenstern, sino también los del juez”.

GÖDEL, CIUDADANO AMERICANO (Referencia: El curioso mundo de las matemáticas, David Wells)

J U N I O 2 0 0 8

10

Durante la Edad Media y el Renacimiento, pocas per-sonas conocían las tablas de multiplicar para más allá de 5×5. Así, se usaba un método muy popular, que aún es usado en ciertas regiones rurales de Europa y de Rusia. Este método se basa en el uso de los complementos de los números relativos al 10 (el complemento de n relativo al 10 es 10 – n ) y es frecuente usar los dedos de las manos como instrumento de cálculo. Se asocia a los dedos de cada mano los números de 6 a 10, comen-zando por el dedo meñique.

Para multiplicar, por ejemplo, 7 por 8 se tocan los de-dos asociados al 7 y al 8, como se observa en la figura siguiente.

Nótese que el complemento de 7 está representado por los tres dedos superiores (situados encima de los dedos en contacto) de una mano y el complemento de 8 por los dedos superiores en la otra mano. Los cinco dedos inferiores (incluyendo los que se tocan) corres-ponden a las decenas, en ese caso 5 decenas. A 50 se le suma el producto de los dedos superiores, 3×2 , o sea 6, resultando en total 56, que es el producto 7×8.

¿Cómo es posible esto? Al calcular p ×q (p, q = 6, 7, 8, 9, 10), se juntan los dedos marcados con los números p y q. Los dedos que quedan bajo estos dedos, incluyéndolos, son p – 5 y q – 5, respectivamente; y los que quedan por encima son los complementos relativos al 10, o sea, 10 – p y 10 – q, respectivamente. Así el producto buscado es: 10[(p – 5) + (q – 5)] + (10 – p)(10 – q) = = 10p – 50 +10q – 50 + 100 – 10q – 10p + pq = pq .

Este método simple de usar los dedos para calcular el producto de cualquier par de números comprendidos entre 6 y 10 se puede dar a conocer a los alumnos, en cualquier nivel de escolaridad, ya que es un método de multiplicar interesante, curioso y motivante.

H U M O R

LA TABLA DE LOS DEDOS

5 Decenas

Hay 10 tipos de matemáticos: los que pueden contar en binario y los que no.

*****

Mi profesor de Geometría a veces era agudo, otras obtuso, pero siempre fue recto.

*****

– El número que marcó es imaginario, por favor gire su teléfono en 90° e in-téntelo de nuevo.

*****

– ¿Escuchaste el último chiste de Estadís-tica?

– Probablemente…

*****

Una madre que tiene tres hijos está espe-rando el cuarto. El hijo mayor de 10 años, le dice: – Mamá, ¿tú sabes qué va a ser mi her-

manito? – No – le dice la mamá. – Yo sé, será chinito. – ¿Qué? – responde la madre. – Sí, porque en clases de matemáticas la

profesora nos dijo que, según las es-tadísticas, uno de cada cuatro niños que nacen, es chino.

*****

– ¿Tú amas la matemática más que a mí? – Por su puesto que no, mi amor, a ti te

amo más. – Entonces demuéstramelo. – O.K. Sea A el conjunto de todas las per-

sonas que yo amo, entonces…

La matemática… ... con risas entra

11

ABACOM Boletín Matemático

John Allen Paulos, quien, por cierto, intentó ganar dinero ju-gando a la bolsa utilizando sus conocimientos matemáticos y perdió, explica la siguiente esta-fa: alguien que se hace pasar por asesor financiero manda 32.000 correos electrónicos con un pronóstico bursátil, la mitad al alza y la mitad a la baja. Al día siguiente, una de las dos

mitades pensará que el pronóstico fue acertado. A esa mitad les manda otro correo, a la mitad de ellos al alza y a la otra mitad a la baja. Tras repetir el proceso seis veces tenemos 500 personas que han recibido seis pronósticos bursátiles seguidos acertados. Si a continuación se les pide un dinerillo para que sigan recibiendo pronósticos, muchos de ellos no se resistirán. ¡Inténtenlo… puede resultar!

PRONÓSTICOS BURSÁTILES INFALIBLES

POLIGONO REGULAR DE 65.537 LADOS

En la Universidad de Göttin-gen hay un cofre que contiene un manuscrito en el que se expone la construcción, usan-do tan sólo regla y compás, de un polígono regular de 65.537 lados. Solamente pueden cons-truirse polígonos regulares de número primo de lados por el procedimiento clásico cuando

el número de lados sea un primo de un tipo especial que se cono-cen con el nombre de números primos de Fermat (ver ABACOM N° 24): números primos que puedan expresarse en la forma: . Tan sólo se conocen cinco números primos de este tipo: 3, 5, 17, 257 y 65.537. En opinión de Coxeter, famoso geómetra canadiense, el pobre matemático que consiguió construir el 65.537-gono, debió invertir en ello unos diez años. Se ignora si existe un polígono con un número primo de lados mayor que el anterior que pueda ser construido a priori con regla y compás. Si tal polígono existe, su construcción efectiva está fuera de dis-cusión, pues su número de lados sería astronómico.

22 1n

+

ciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo

12

Carolina Leiva Cádiz

J U N I O 2 0 0 8

En la UACh: XXII JORNADA DE MATEMÁTICA DE LA ZONA SUR

Con la conferencia inaugural “Dilataciones y reducciones de dinámicas cuánticas”, dictada por el Dr. Rolando Re-bolledo de la U. Católica de Chile, se reunieron alrededor de 100 profesores de diferentes universidades y 50 alum-nos de carreras matemáticas, los días 23, 24 y 25 de abril de 2008. En estas jornadas, organizadas por el Institito de Matemá-ticas de la UACh. y patrocinadas por la Sociedad de Ma-temática de Chile, se difundieron distintas investigaciones que son de gran interés para los docentes tanto de la Edu-cación Superior como para la Enseñanza Media y Básica. Las actividades desarrolladas fueron: Conferencias; Cur-

sillos y Sesiones Invitadas. Entre los cursillos se destacó: “Métodos elementales de graficación de funciones y sus aplicaciones”, dictado por Rubén López de la U. Católica de la Santísima Concepción, Concepción. También “Geometría Dinámica”, cursillo dictado por Rosa Eugenia Trum-per y María Isabel del Río de la UACh. En la Sesión de Educación Matemática, algunas de las ponencias destacadas fueron “Isometrías en la Enseñanza Básica” dictada por el Dr. Carlos Cabezas de U. Católica del Maule, y “El Proyecto Pitágoras”, expuesto por la Dra. María Leonor Varas, de la U. de Chile. También el profesor Juan Leiva, integrante del equipo de ABACOM presentó el boletín, donde expuso cómo una publicación de este tipo puede ser una eficaz herramienta de aprendizaje para alumnos de la Enseñanza Media. El profesor Leiva explicó en que con-sistía ABACOM Boletín Matemático y se entregaron ejemplares a los asistentes con la idea de difundir y masificar esta iniciativa.

María del Carmen Chamorro en Chile: “LAS MATEMÁTICAS NO SON FÁCILES DE ENSEÑAR. NO ES SÓLO COPIAR Y REPETIR” La doctora en educación, especialista en Didáctica de la U. Complutense de Madrid, compartió sus experiencias en estrategias de aprendizaje de las ma-temáticas que pueden ser replicadas en prácticas usuales de la educación. En la 21a Conferencia Educacional de la Asociación de Colegios Británicos de Chile, realizada en Santiago en el mes de abril, la doctora Chamorro expuso nuevos métodos de aprendizaje, mediante los cuales los alumnos pueden aprender resolviendo problemas con actividades entretenidas y no repitiendo y copiando una interminable lista de ejercicios numéricos. Insiste en que las ma-temáticas no son fáciles de enseñar y se debe dejar de lado la resolución de ejercicios en forma mecánica, hay que incentivar que los estudiantes busquen

métodos propios de resolución.

“En vez de hacer recitar las tablas de multiplicar, se puede jugar al bingo”, señala la experta y añade: “Si el profesor sortea el número 12, lo puede cantar co-mo 3 por 4”. A través de los juegos los docentes pueden acercar las matemáticas a las situaciones co-tidianas de los alumnos.

Estos cambios en la enseñanza deben realizarse en los distintos actores de la educación: en los profeso-res “hay que mejorar la formación inicial de maes-tros, entregándoles mejores métodos de didácticas para las matemáticas. También en los alumnos esti-mulándolos a que busquen métodos propios de reso-lución”.

(Diario El Mercurio, 28 de abril de 2008).

En Liceo Isidora Zegers de Huneeus de Puerto Montt:

OLIMPÍADA PROVINCIAL DE MATEMÁTICA En el año 2007 se realizó la Tercera Olimpíada Provincial de Matemática en donde participaron los establecimientos municipalizados y particulares subven-cionados de la Provincia de Llanquihue. Éste es un certamen de resolución de problemas dirigido a los alumnos con habilidades en Matemática de Séptimo Básico a Cuarto Medio. “Estas Olimpíadas son organizadas con el fin de incentivar la investigación en Matemática, que el alumno (a) se interese y motive por aprender más, desarrollar y profundizar contenidos por su propia iniciativa”, según información entregada por el profesor Fernando Oso-rio Toledo. La organización de este certamen se rea-lizó en cuatro etapas donde se tomaron pruebas escritas. De cada etapa quedaron clasificados el 50% de los alumnos. A la etapa final clasificaron los cinco mejores puntajes acumulados. Otra de las actividades que se realizan en este establecimiento educacional es el Taller de Robótica que organiza el profe-sor Fernando Osorio Toledo. Esta activi-dad surge cuando tres alumnas participan en un evento nacional de robótica en la Universidad Andrés Bello en Santiago. El profesor Osorio nos felicita por nues-tra labor con el boletín y nos pide ase-soría para realizar un boletín similar en su colegio, donde puedan participar alumnas interesadas en las matemáticas. Le deseamos éxito en esta iniciativa.

Uno de los textos de la Dra. Chamorro, editado por Editorial Pearson, disponible en Chile.