เอกสารประกอบการเรียนวิชา ...elsd.ssru.ac.th/.../835/course/summary/MATH3-EXPONENTIAL.pdfว ชาคณ ตศาสตร 3 ม ธยมศ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

1

ชอ-นามสกล …………………………………………………………………….………

ชน ม. 5 หอง ………………. เลขท ………………………….

เอกสารประกอบการเรยนวชาคณตศาสตร 3 (ค32102)

ชนมธยมศกษาปท 5 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2560

เรอง เลขยกก าลง

โรงเรยนสาธตมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา กรงเทพมหานคร


2

บทท1 เลขยกก าลง

1. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม

บทนยาม ถา a เปนจ านวนจรงและ n เปนจ านวนเตมบวกแลว

n

n

a =a×a×a×… ×a .

เรยก na วา เลขยกก าลง

เรยก a วา ฐานของเลขยกก าลง

และ เรยก n วา เลขชก าลง

ทบทวนสมบตเลขยกก าลง ถา a, b เปนจ านวนจรงทไมเปน 0 และ m, n เปนจ านวนเตม จะได

1. m n m+na a =a

2. m n mn(a ) =a

3. n n n(ab) =a b

4. n n

n

a a=

b b

โดยท b 0

5. m

m-n

n

a=a

a

6. -n 1a =

n เมอ a 0

7. 0a =1 เมอ a 0

ตว


3

ตวอยางท 1 จงท าใหเปนผลส าเรจ

1. 3 42 2 = …………………………………………………………………………………………………..…………………

2. 5

2

2

2 = …………………………………………………………………………………………………..…………………

3. 2

5

3

3 = …………………………………………………………………………………………………..…………………

4. 3 4(2 ) = …………………………………………………………………………………………………..…………………

5. 2 23 4 = …………………………………………………………………………………………………..…………………

6. 2

4

3

= …………………………………………………………………………………………………..…………………

7. 25 = …………………………………………………………………………………………………..…………………

8. 2

1

4 = …………………………………………………………………………………………………..…………………

ตวอยางท 2 จงท าใหเปนรปอยางงายและมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก

1.1 43 2x y x

y z

1.2 p q 3p 3q(5 )(5 )

1.3 2 3 5

6 5

(a b )

a b 1.4

35 3 2

4 7

a b c

a b


4

1.5 3 2

2 1 2 2

2 4 5 3

a b a b

a b a b

1.6 2 2

3 2 2 2

2 5 2 3 2

6a b 2a b

3a b (a b )

ตวอยางท 3 ก าหนดให n เปนจ านวนเตมบวก จงหาคาของ

1. n 1n+2

n

7 28 7

7

2. nn+1

n 2

46 2 2

2 7

3. n-2 n 1

n 2 n 2

11 3 + 3

3

3

4.

n 2n+1

n 2 n 1

5 2 + 5

2 7 2

2


5

ตวอยางท 4 จงหาคาของ

1. 3 5

5 0

2 3

3 2

2.

4 2

4

12 10

15 64

3. 3 5

4

28 15

20 21

4.

3 2

3

18 25

27 50


6

1. จงหาคาตอไปน

1.) 3

5 3 2

4 7

a b c

a b

2.) 2 3

2 3 4 2

3 2 0 5

a b a b

a b a b

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

3.) 2 3

1 2 3 2

2 1 2 3

4a b 12a b÷

6a b 4a b

4.) 3 3

1 1

a b

a b

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

2. จงหาคาของ

1. 1 1

1 1

a + b

a b

2.

p+1 q 2pq

q+1 p 2q

(2 ) 2× ×2

(2 ) 2

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

3. n n 2

n n 1

5 3 9 3

3 3

4.

n-1 n-1

n+1 n

10×2 24×2

2 ×3-2

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

Worksheet1เรอง เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม


7

5. 2 n 2n+1 n+1

3n+2

4 ×2 ×8

2

6. n n 2

n n 1

3 2 4 2

2 2

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

7.

n+1 n+1

n+1n n 1 n 1

2 4÷

(2 ) 2

8. a a+1

a a+1

15×7 9 7

9×7 +7

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

9.

2 n2

n n 13

9 27

81 (27) 3

10. -1 -1 -1(a(a(a )) )

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

11. n n 2

n n 1

5 3 9 3

2 3 3 2

12. 15 7

4 4

10 9

15 8

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….


8

2. รากท n ในระบบจ านวนจรงและจ านวนจรงในรปกรณฑ

2.1 รากทสองของจ านวนจรง

บทนยาม ถา a และ b เปนจ านวนจรงใดใด b เปนรากทสองของ a กตอเมอ 2b a

ตวอยางท 5

รากทสองของ 9 คอ ……………………………………………………….

รากทสองของ 25 คอ ………………………………………………………

รากทสองของ 3 คอ ……………………………………………………….

รากทสองของ 5 คอ ………………………………………………………

รากทสองของ 7

4 คอ ………………………………………………………

คาประมาณของจ านวนทอยในรปกรณฑ

การหารากทสอง การหารากทสองมหลายวธ ดงน

1. การหารากทสองโดยวธแยกตวประกอบ

ตวอยางท 6 จงหารากทสองของ 225

วธท า 225 = …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

ดงนน รากทสองของ 225 คอ ……………………………….

2. การหารากทสองโดยวธการประมาณคาเฉลย มขนตอนดงน

หารากทสองของ 5

ขนท 1 หาจ านวนเตมบวกสองจ านวนเรยงกน ทก าลงสองของจ านวนเตมบวกนนมคานอยกวาและมากกวา จ านวนทตองการหารากทสอง เชน ตองการหารากทสองของ 5 จ านวนเตมสองจ านวนนาจะเปน 2 และ 3 โดยท

2 22 5 3 2 5 3 แสดงวารากทสองของ 5 อยระหวาง 2 กบ 3

ขนท 2 น าจ านวนเตมทงสองทหาไดในขนท 1 มาหาคาเฉลย จะได 2 3 52.5

2 2

ขนท 3 น าคาเฉลยของขนท 2 ไปหารจ านวนทตองการหารากทสอง แลวพจารณาวา จ านวนทตองการหา


9

รากทสองอยระหวางสองจ านวนใด นนคอ 52

2.5 แสดงวา 5 อยระหวาง 2 กบ 2.5

จะได 2 2 22 ( 5) 2.5

2 5 2.5

ขนท 4 น าจ านวนทงสองทหาไดจากขนท 3 มาหาคาเฉลยเชนเดยวกบขนท 2 และ 3 ไปเรอยๆจนกวาจะไดคา

ของรากทสองของจ านวนทตองการหารากทสอง ตามต าแหนงทศนยมทตองการ

จะได 2 2.52.25

2

(ขนท 2 หาคาเฉลย)

52.22

2.25 (ขนท 3 น าไปหารจ านวนทตองการหารากทสอง)

แสดงวา 2.22 5 2.25

จะได 2.22 2.252.235

2


52.237


แสดงวา 2 2 22.235 ( 5) 2.237

2.235 5 2.237

จะได 2.235 2.2372.236

2


52.2361


แสดงวา 2 2 22.236 ( 5) 2.2361

2.236 5 2.2361

ดงนน คาโดยประมาณ 5 คอ 2.236 และ 2.236 (ทศนยม 3 ต าแหนง)

3. การหารากทสองโดยวธการตงหาร ด าเนนการดงน

ขนท 1 แบงกลมตวเลขของจ านวนทตองการหารากทสอง ในสวนของจ านวนเตมแบงจากขวาไปซาย

สวนทศนยมแบงจากซายไปขวากลมละ 2 ตว เชน ตองการหารากทสองของ 315.426 3 15 . 42 60

ขนท 2 ตงหารยาว แลวหาตวเลข 2 ตวทเทากนคณกน ไดเทากบหรอนอยกวาตวเลขทอยกลมซายสด หาเศษ

เหลอแลวดงเลขสองหลกในกลมถดไปลงมา


10

ขนท 3 น า 2 คณ ผลลพธทไดน ามาเปนตวตนของตวหารครงตอไปโดยหาเลข 0 ถง 9 มาตอทาย ใหผลคณของ

ตวหารทงหมดกบตวตอทายมคาเทากบหรอนอยกวาเศษเหลอและเลขสองหลกทดงลงมา

ขนท 4 ท าเชนเดยวกนกบขนท 2,3 ไปเรอย จนไดจ านวนทเปนรากทสองมทศนยมตามทตองการ

ตวอยางท 7 จงหาคาประมาณของ 239.2535 (ทศนยม 2 ต าแหนง)

ดงนน คาประมาณของ 239.2535 คอ ………………………….

การหารากทสาม

หาคาประมาณของ 3 29 ท าไดดงน

วธท 1 หาจ านวนจรง a ท 3a มคาใกลเคยงกบ 29

จาก 33 27 และ 34 64 ดงนน 3 29 มคาประมาณมากกวา 3 แตไมถง 4

หาจ านวนจรงทมากกวา 3 แตนอยกวา 4 ทยกก าลงสามแลวมคาใกลเคยง 29

พจารณาจาก 3.1 , 3.2 , 3.3 , …, 3.9 จะไดวา 2(3.1) 29.791

ดงนน 3 29 มคาประมาณมากกวา 3 แตไมถง 3.1

หาจ านวนจรงทมากกวา 3 แตนอยกวา 3.1 ทยกก าลงสามแลวมคาใกลเคยง 29

พจารณาจาก 3.01, 3.02, 3.03, …, 3.09 (เนองจาก 2(3.05) 28.373 ท าใหคาดเดาไดวาจ านวนทควร

ทดลองยกก าลงสามควรมากกวา 3.05 )

ถากดเครองคดเลขแลวจะได 239.2535 = ……………………..


11

เนองจาก 2(3.08) 29.218

3(3.07) 28.934

3(3.06) 28.653

ดงนน 3.07 เปนคาประมาณของ 3 29

วธท 2 เนองจาก 33 27 และ 34 64 ดงนน 3 29 มคาประมาณมากกวา 3 แตไมถง 4

เนองจาก 3

33 4(3.5) 42.875

2



33 3.5(3.25) 34.328

2



33 3.25(3.125) 30.518

2



33 3.125(3.0625) 28.723

2



33.0625 3.125(3.094) 29.618

2

ดงนน 3 29 มคาประมาณมากกวา 3.0625 แตไมถง 3.094


33.0625 3.094(3.078) 29.161

2

ดงนน 3 29 มคาประมาณมากกวา 3.0625 แตไมถง 3.078


33.0625 3.078(3.07) 28.934

2

ดงนน 3 29 มคาประมาณของ 3 29 วธท 3 ใชเครองคดเลขทมฟงกชน x y จะได 3 29 มคาประมาณ 3.072316826


12

6. รากท 4 ของ -81 คอ………………….…………..

7. รากท 2 ของ 32 คอ………………………………

8. รากท 3 ของ 27 คอ…………………..………….

9. รากท 3 ของ -7 คอ…………………..………….

10. รากท 2 ของ 125 คอ………………………………

แบบฝกหด (แสดงวธท าลงสมด) 1. จงหารากตอไปนโดยวธการประมาณ 1.1 40 1.2 7.2 1.3 3 25

2. จงหารากทสองโดยวธการตงหาร 2.1 484 2.2 3969 2.3 27889 2.4 1000 2.5 5678.12 2.6 7.89

2.2 รากท n ของจ านวนจรง

บทนยาม ให a,b เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวกทมากกวา 1

b เปนรากท n ของ a กตอเมอ nb =a

ตวอยางท 8 จงเขยนในรปของราก

1. รากท 4 ของ 16 คอ……………….……………..

2. รากท 3 ของ -343 คอ…………..………………….

3. รากท 5 ของ 243 คอ………………..…………….

4. รากท 6 ของ 0 คอ……………………..……….

5. รากท 7 ของ 1 คอ…………………….………..

n เปนจ านวนค n เปนจ านวนค

1. รากท n ของ a จะหาคาไดเมอ a 0 เทานน 2. ถา a 0 แลวรากท n ของ a 0

3. ถา a 0 (เปนบวก) รากท n ของ a จะมคา สองคาเสมอเปนบวกและลบ

4. ถา a 0 (เปนลบ) รากท n ของ a จะหาคาไมไดในระบบจ านวนจรง

1. รากท n ของ a หาคาไดเสมอส าหรบจ านวนจรงใดใด 2. ถา a 0 แลวรากท n ของ a 0 3. ถา a 0 (เปนบวก) รากท n ของ a จะม 1 คา

และเปนจ านวนจรงบวก 4. ถา a 0 (เปนลบ) รากท n ของ a จะม 1 คา และ

เปนจ านวนจรงลบ


13

ตวอยางท 9 จงหาคาของ 1. รากท 4 ของ 16 คอ ……………………………………… เนองจาก…………………………………………………………………………… 2. รากท 3 ของ -343 คอ ……………………………………… เนองจาก…………………………………………………………………………… 3. รากท 5 ของ -243 คอ ……………………………………… เนองจาก…………………………………………………………………………… 4. รากท 7 ของ 128 คอ ……………………………………… เนองจาก………………………………………………………..…………………. 5. รากท 6 ของ 125 คอ ……………………………………… เนองจาก…………………………………………………………………………… 6. รากท 8 ของ -625 คอ …………………………………….. เนองจาก……………………………………………………………………………

คาหลกของรากท n บทนยาม ให a เปนจ านวนจรงทมรากท n จะกลาววาจ านวนจรง b เปนคาหลกของรากท n ของ a กตอเมอ 1. b เปนรากท n ของ a 2. a b 0

แทนคาหลกของรากท n ของ a ดวย n a = b

ขอตกลงเกยวกบคาหลกของรากท n

1. เครองหมาย n เรยกวา “เครองหมายกรณฑ” และเรยก n วา เปนอนดบของกรณฑ

2. n a อานวา กรณฑท n ของ a หรอ รากท n ของ a

ตวอยางท 10 จงหาคาหลกตอไปน

1. คาหลกของรากท 2 ของ 4

81 คอ ………………………………………………………………….…………..

2. คาหลกของรากท 2 ของ 625

169 คอ ……………….……………………………………………………………..

3. คาหลกของรากท 4 ของ 81 คอ ………………………………………………………………….…………..


5. คาหลกของรากท 5 ของ -32 คอ ………………………………………………………………….…………..







14

รากท n ของจ านวนจรง

สมบตทส าคญของรากท n ของจ านวนจรง

ให n เปนจ านวนเตมบวกทมากกวา 1 ; a,b เปนจ านวนจรง โดยท n a และ n b หาคาได

1. 1

n na = a

2. n

n a = a

3. n a = x กตอเมอ na = x

4. n 1=1 เสมอ

5. n 0 0

6. m

mnn a = a

7. m

m mn nna = a =( a )

ตวอยางท 11 จงท าใหอยในรปอยางงาย

1. 8 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. 162 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. 50 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. 20 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. 3 16 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. 3 81 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. 3 54 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8. 4 64 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. 38

27 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10. 4

3 5 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11. 3 327a = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

12. 2 318a b = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

หมายเหต

ถา a เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมทมากกวา 1 จะไดวา

nn

aa =

a

เมอ n เปนจ านวนค

เมอ n เปนจ านวนค


15

1. จงเตมค าตอบทถกตองลงในชองวาง

1. รากทสองของ 144 เทากบ…………………………….. คาหลกของรากทสองของ 144 เทากบ……………….………………………

2. รากทสามของ 729 เทากบ…………………………….. คาหลกของรากทสามของ 729 เทากบ……………….…………….………..

3. รากทสามของ -512 เทากบ……………………………..คาหลกของรากทสามของ -512 เทากบ……………….………….…………..

4. รากทหกของ 64 เทากบ………………………………….คาหลกของรากทหกของ 64 เทากบ……………….………………………

5. รากทสองของ 3 เทากบ………………………..…………คาหลกของรากทสองของ 3 เทากบ……………….……………………….

2. จงท าจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1.) 4 81 = ………………………………… 2.) 6 729 = …………………………………….

3.) 42 6 = …….……………………… 4.) 169 25 = …………………………

5.) 5 64 = ……………………………………. 6.) 3 108 = …………………………………

3. จงหาผลส าเรจตอไปน โดยใชสมบต nna

a =a

1.) 24 = ………………………………………………………. 2.) 33 ( 8) = ………………………………………………………………………

3.) 4

4 5 = ……………………………………….………… 4.) 66 ( 3) = ………………………………………………………………………

5.) 3 63 8 ( 12) 6 = ……………………………………. 6.) 5 5 10 72 6 9 4 = ……………………………………………………..

Worksheet 2 เรอง รากท n ของจ านวนจรง

เมอ n เปนจ านวนค เมอ n เปนจ านวนค


16

การหาผลบวก ผลตาง ผลคณและผลหารของกรณฑ

การบวกลบจ านวนทอยในกรณฑ

หลกการ 1.) กรณฑทจะน ามา บวก ลบ กนได กตอเมอ กรณฑทมอนดบเดยวกน และจ านวนทอยใตกรณฑเปนจ านวนเดยวกน

2.) การทท าใหจ านวนทอยใตกรณฑเทากน กใหท าจ านวนใตกรณฑเปนจ านวนเฉพาะหรอจ านวนทต าทสด

3.) การบวก ลบ กรณฑทเหมอนกน ใหน าสมประสทธหนากรณฑมา บวก ลบ กน

n n na x ± b x= (a ±b) x

เชน 3 3 34 2 5 2 6 2 = 3(4 5 6) 2 = 33 2


1. 2 32 8 6 2 2. 3 3 243 2 27

3. 3 3 316 54 250 4. 3 3 35 7 40 3 625

5. 3 8 2 50 4 32 6. 3 3 37 16 54 2 250


17

7. 3 3 381 375 4 192 8. 42 18 200 2 64

9. 3 3 354 128 432 10. 6 34 25 20 45

แบบฝกหด การบวกลบจ านวนทอยในกรณฑ (แสดงวธท าลงสมด)

1. จงท าใหอยในรปอยางงาย

1.) 3 2 5 2 2.) 7 3 3 3.) 11 5 6 5 7 5

4.) 5 5 5 3 5 5.) 5 5 2 3 5 4 2 6.) 5 2 4 3 2 2 6 3

7.) 3 3 34 2 5 2 6 2 8.) 7 2 9a a a 9.) 4 13 8 5 13 7

10.) 2 3 3 2 7 3 5 2

2. จงท าใหอยในรปส าเรจ

1.) 12 27 3 2.) 3 20 2 18 45 8

3.) 18 2 18 45 8 4.) 32 48 80

5.) 4318 2 125 3 4 6.) 13

3

7.) 4 950 4

2 8.) 3 2 1

2 x x x xx


18

ค าชแจง จงหาคาตอไปน

1.) 50 32 2.) 28 63

3.) 27 18 4.) 8 5 3 80 7 20

5.) 3 8 2 32 6.) 12 27 3

Worksheet 3 เรอง การหาผลบวกและผลตาง

ของกรณฑ


19

7.) 2 3 3 2 1 13 6

3 2 2 3 6 2 8.) 3 318 128 8 54

9.) 2 20 180 3 24 54 10.) 33 3 37 56 3 16 7 2 5 128


20

ผลคณและผลหารในรปกรณฑ ผลคณ – ผลหาร หลก 1.) กรณฑจะคณเปนจ านวนเดยวกนได กตอเมอ อนดบของกรณฑตองเหมอนกน 2.) เมออนดบของกรณฑเหมอนกน กน าจ านวนภายใตกรณฑคณกน

ทฤษฎบท ถา a,b เปนจ านวนจรงทมรากท n แลว

n n na b = ab

n

nn

a a=

bb , b 0

ตวอยางท 13 จงหาผลคณของ

1. 3 7 2 28 2. 5 108

3

3. 3 3

3

3 2 2 12

3

4. 5 525 125

ตวอยาง ท 14 จงท าใหเปนผลส าเรจ

1.) 3 32 4 = ………………………………………………….. 2.) 3 37 49 = ……………………………………………………..…………

3.) 4 42 8 6 = ……………………………………..…………. 4.) 33 54 4 = ………………………………………………….……………….

5.) 3 39 18 = ……………………………………..……. 6.) 64

2 = ………………………………………………………..…..……………

7.) 4

4

243

3 = ……………………………………....……………. 8.)

5

5

64

2 = ……………………………………………………..…………….……

9.) 6

6

256

2 = …………………………..………………………… 10.)

3

3

80

2

= ………………………………………………………………..……


21

ตวอยางท 15 จงหาผลส าเรจตอไปน

1.) 3

3

32

4 2.)

5 5

5

27 45

5

3.) 4 4

4 4

60 28

189 45 4.)

4 4

4 4

12 54

20 250

5.) 12 84 81a b 6.) 6 12 1864a b


22

7.) 3 210a b × 2ab 8.) 3 2 4 3 4 33ab c× 2a bc × 6a b c

9.) 4 5 3 2 36 632x y z × 2x yz 10.) 5 727a b

3ab

11.) 3 8 5

3 2 -2

16a b

2a b 12.)

74

3 -74

3× x y

6× x y


23

สงยค (conjugate)

สงยคหรอคอนจเกต(conjugate)

การคณหรอการหารรากมกจะใช conjugate เพอใหรากของตวสวนหายไป

ตวอยางท 16 คอนจเกตของ ( 5 2) คอ ( 5 2)

และ ( 5 2)( 5 2) = 2 2( 5) ( 2)

= 5 2 = 3

ตวอยางท 17 คอนจเกตของ (3 2) คอ (3 2)

และ (3 2)(3 2) =……………………………………………………………….

=……………………………………………………………….

ตวอยางท 18 จงหาผลคณของ ( 7 5)( 7 5)

ตวอยางท 19 จงหาผลคณของ ( 3 5)( 3 5)

บทนยาม ให a และ b หาคาได

1.) คอนจเกตของ ( a + b) คอ ( a b)

2.) ( a + b)( a b) = a b

มาจาก ผลตางก าลงสอง 2 2a b (a b)(a b)

ผลตางก าลงสอง

2 2a b (a b)(a b)

ผลตางก าลงสอง

2 2a b (a b)(a b)


24

การหาผลหารของกรณฑ

กรณท 1 : สวนทมกรณฑเพยงตวเดยว

เชน b

a นกเรยนสามารถคณ a ทงเศษและสวน โดยคณสมบต 2a a a a

ซงท าใหสวนไมตดกรณฑดงน 2

b b a b a b a

aa a a a

ตวอยางท 20 จงหาผลหาร (ท าใหสวนไมตดกรณฑ)

1. 3

3 2. 4 108

3


1. 2 3 19 8 36

3 2 6 2. 5 2 1

6 10 202 5 10

กรณท 2 : สวนทมกรณฑ 2 พจนบวกกน

เชน c

a b หรอ c

a b สามารถแกโดยใชหลกการ ผลตางก าลงสอง 2 2a b (a b)(a b)

ซงเรยก (a b) กบ (a b) วาเปนคสงยค (conjugate) ซงกนและกน

ตวอยางท 22 จงท าใหสวนไมตดกรณฑ

1. 2

3 1 2. 6

5 2


25

3. 2 7 3

7 3

ตวอยางท 23 จงหาคาของจ านวนตอไปน

1. 3 2 3 2 2

3 2 3 2

2. 2 3 1 1 4 3

3 1 2 3

แบบฝกหด จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปตวสวนไมตดกรณฑ (แสดงวธท าลงสมด)

1.) 2

5 3 2.) 2

3 1 3.) 1 3

23 4.) 1

2

5.) 2 3 10

6 5

6.) 2 3

2 3

7.) 6 3

3 2 2 3 8.) 2 1 2 1

2 1 2 1


26

ตอนท1 : จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปตวสวนไมตดกรณฑ

1. 3

2

3a 10x 1 7a

5 21a 6 3x 2. 2

4 4 41 1 1

(1 ) (2 ) (5 )2 2 2

3. 1 1 1 1 1 1 1 13

2 3 3 4 4 5 5 6 4.

55 5 31 5

1.2 0.5 5 4 22 4

xyxy x y x x y

Worksheet 4 เรอง การคณและการหารของกรณฑ



27

5. 6 3

2 6

6. 4 3 7

7 3

7. 3 3 2 2

3 3 2 2

8. 8 3 3 5

9 3 4 5

ตอนท 2 : จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปตวสวนไมตดกรณฑ

1. 1

2 2 3 2. 7 6 3 5

4 6 5


28

3. 10 6 2 7

3 6 2 7

4. 2 a

5 a 3 x

ตอนท 3 : จงท าใหอยในรปอยางงาย

1. 3 1 3 1

3 1 3 1

2. 18 12

3 2 3 2

3. 7 5 7 5

7 5 7 5

4.

2 2(1 5) (1 5)

4 5


29

โจทยทบทวน

จงท าใหเปนผลส าเรจ

1. 3 34 73 327 3 8 125a a a

a

2. 5 5 52 2 7 232 3a b b a b

3. 3 3 33 4 3 42b a b a b a b

4. 54 4 41 132 2 162 2

2 3m m m

m

5. 2 2 3 2 2 4(a b ) (a b) (a b)a b b

a b ba b a b

6. 2 2 2 22 4 2 9 18 9 2 4 2 9 18 9x x y y x x y y

จงท าผลคณใหอยในรปอยางงาย

1. (2 12 75) 3

2. (5 0.02 8) 2

3. 2 3 3 2(3 6 4 )

3 8 2 3

4. 3 3 3 39 16 4 4

(15 36 6 18 )4 81 3 9

5. (4 6)(5 2 2 3)

6. (6 3 3 5)(6 3 3 5)x x

7. (5 15)(5 15)

8. 3 32 2 3 3( )( )a b ab a b

9. 3 33 3 31

( 16 4 2 4 54)(3 5 4)2

10. ( 7 3)( 7 3)

11. ( 1)( 1)x x x x

12. 3 3 3 3( 25 16)( 25 16)

13. 4 4 4 4( 10 5)( 10 5)

14. 3 34 2 2 4 2 2

15. 5 517 46 17 46

16. ( 9 15 25)( 3 5)

17. ( 11 3)(11 33 3) 18. 3 33 3 3( 9 6 4)( 3 2)

19. 3 33 3 3( 25 10 4)( 5 2)

20. 3 32 23 3 3( )( )a ab b a b

21. 3 32 2 4 2 2 43 3 3( )( )x y x x y y


30

เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ

บทนยาม เมอ a เปนจ านวนจรง n เปนจ านวนเตมทมากกวา 1 และ a มรากท 1

nna = a

จากบทนยาม จะไดวา 1

na เปนคาหลกของรากท n ของ a และจะไดวา 1

nn(a ) = a

ตวอยางท 24 1

24 4 และ 2

1

24 4

1

338 8 และ 3

1

38 8

บทนยาม ให a เปนจ านวนจรง m และ n เปนจ านวนเตมท n >1 และ m

n เปนเศษสวนอยางต า

จะไดวา

mm 1

mnn na = a = ( a )

nm 1

mnn ma = a = a

ตวอยางท 25 จากบทนยาม 2

2 12

33 32 2 2

และ 2 1

2 33 32 2 4

หมายเหต จากบทนยามของ m

na ถา m<0 แลว a ตองไมเปน 0

เชน a = 0 , m = 1 และ n =2

จะได m 1 1

1 1n 2 21

a 0 (0 ) 00

ซง 1

0 ไมมความหมายทางคณตศาสตร

ตวอยางท 26 จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปเลขยกก าลง

1.) 3 = ………………….… 2.) 3 23 = ……………………… 3.) 3 25 3x y = ……………………………

4.) 24 5x y = ………………… 5.) 6 57x = ……………………… 6.) 5 37 19x y = ……………………………


31

ตวอยางท 27 จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปกรณฑ

1.) 1

416 = ……………………………………….……..…… 2.) 7

57 = ……………………………………………..…………….............

3.) 1

3( 8) = ……………………………………….………. 4.) 1

22 = ………………………………………………..……..……………..

5.) 3

45 = ……………………………………….……..…….. 6.) 2

3(3xy) = ……………………………………………………….........

7.) 3

2 5(4 x y) = ……………………………………….…... 8.) 2

4 3 5(13x y ) = …………………………………………………………

ตวอยางท 28 จงหาคาของเลขยกก าลงตอไปน

1.) 2

6(27) = ………………………………………………………………………………………………………………………………

2.) 4

5( 32)

= ……………………………………………………………………………………………………………………………

3.) 4

62 = ………………………………………………………………………………………………………………………………

สมบตของเลขยกก าลง ถา a, b เปนจ านวนจรงทไมเปน 0 และ m, n เปนจ านวนเตม จะได 1. m n m+na a =a

2. m n mn(a ) =a

3. n n n(ab) =a b

4. n n

n

a a=

b b

โดยท b 0

5. m

m n

n

a=a

a

โดยท a 0

ตวอยางท 29 จงหาคาของ 2

1

3125

= ……..…………………………………………………………………………………………………...

= …………………………………………………………………………………………………………..

ตวอยางท 30 จงหาคาของ 3 1

2 48 4 = ……………………………..……………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………………………..

ตวอยางท 31 จงหาคาของ 5

664 = ……………………………………….………………………………………………………………….

= ……………………………………..……………………………………………………………………


32

ตวอยางท 32 จงหาคาของเลขยกก าลงตอไปน

1. 3

225

4

2. 1 1

3 21 25

8 4

3. 2 21

0 23 321

5 (0.25) (8 )(2 ) ( )27

4. 1 1

82 4

1 1

63 6

(2a b )

(4a b )

5.

31 1 1

23 6 3

1 21

6 32

8 a b c

2a b c


33

1. จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปกรณฑ

1.1 1

38 = …………………………….……………………….. 1.2. 1

464 = …………………………….………………………………….……….

1.3. 3

4( 5) = …………………………….………………………. 1.4. 1

5( 243) = …………………………….………………..………………………..

1.5. 2

3(27) =…………………………….……………………….. 1.6. 3

416 =…………………………….…………………………….…….………………

1.7. 3

2(144) =…………………………….………………………

2. จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปเลขยกก าลง

2.1 3 26 =…………………………….…….……………………. 2.2 41

256 = …………………………….…………………………………….

2.3 34 64 = ……………………………….………………………… 2.4 3 512 = …………………………….…………………………………….

2.5 3 125 = …………………………….……………………… 2.6 51

32 = …………………………….………………………………………

3. จงหาคาจ านวนตอไปน

3.1 3

4(81) = …………………………….……………………….. 3.2 2

5(1024) = …………………………….……………………………..

3.3 1

4 6( 8) = …………………………….………………………..

Worksheet 5 เรอง เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ



34

4. จงหาคาของเลขยกก าลงตอไปน

4.1 2

327

64

4.2 3

4625

81

4.3 2

5243

32

4.4 3

4256

625

4.5 3

416

81

4.6 1 2

2 31 343

144 64


35

4.7 1 3 3

03 4 41

(0.125) (16) (17 ) ( )81

4.8

3 5

42 4

1 2

93 9

(9a b )

(3a b )

4.9

3 51 3

5 64 4

1 2 2 1

3 3 5 4

(8a b c )

(4a b c )


36

รปแบบรากทควรทราบ : รากของจ านวนทตดราก

รปแบบ (a+b) ± 2 ab ถา a และ b เปนจ านวนเตมบวกจะได

ทฤษฎบท ให x =a+b , y=ab

ดงนน รากทสองของ x ± 2 y = รากทสองของ 2( a + b) = ±( a ± b)

และ (a+b) ± 2 ab หรอ x ± 2 y = a ± b

หลก 1. ตองหาจ านวนจรง a และ b ซงท าให x =a+b , y =ab

2. รากทสองของ x ± 2 y คอ ±( a ± b)

3. x ± 2 y มค าตอบเดยวคอ a ± b

ตวอยางท 33 จงหาคาตอไปน

โจทย หา a,b โดย x =a+b , y=a b จะได (a+b) ± 2 a b ค าตอบ = ( a b)

1. 4 2 3 a b 4 และ ab = 3 a 3 ,b 1

= (3 1) 2 3 1 = ( 3 1) = 3 1

2. 8 2 15

3. 12 2 35

4. 13 2 22

5. 16 2 39

6. 11 2 24

7. 17 2 60

8. 24 2 80

2( a ± b) = a ± 2 ab+b

= (a+b) ± 2 ab


37

กรณทไมเขาฟอรม (a+b) ± 2 ab เนองจากถารปแบบไมเขาฟอรม เราจงไมสามารถหาคาได จงตองเกดการจดรปใหมไดดงน แบบท 1 หนา ab มตวเลขมากกวา 2 สามารถกระจายตวทเกนเขาไปขางใน ab ได เชน

18 8 5 =

แบบท 2 หนา ab มคา 1 และ ab มตวรวมสามารถดงออกนอกรากได เชน

9 80 =

แบบท 3 หนา ab มคา 1 และ ab ไมสามารถดงตวรวมออกมาได จดการโดยคณ 2 เขาไปทงเศษและสวน เชน

4 15 =

แบบฝกหด (แสดงวธท าลงสมด)

1. 22 2 105 2. 17 2 72

3. จงหารากทสองของ 11 2 24 4. 18 8 5

5. 12 6 3 6. 32 24


38

1. จงท าใหเปนผลส าเรจ

1.) 13 2 30 2.) 6 2 5

3.) 9 2 20 4.) 13 4 10

5.) รากทสองของ 8 4 3 6.) รากทสองของ 8 2 7

7.) 7 4 3 8.) 6 35

Worksheet 6 เรอง รากของจ านวนทตดราก



39

การแกสมการทมเครองหมายกรณฑ

การแกสมการหาค าตอบของสมการในรปเครองหมายกรณฑ จะมหลกในการแกดงน

1. ถากรณเปนรากทสอง จะใชวธยกก าลงสองทงสองขางเพอท าลาย " " เชน 2( a ) =a

2. ถาเปนรากทมากกวา 2 ใหใชวธการยกก าลงตามล าดบของราก เพอท าลายราก

เชน 44( a ) =a , 1010( a ) =a เปนตน

3. เมอก าจดรากแลว กแกสมการหาคาตวแปร โดยวธการทวๆไป

ตวอยางท 34 จงหาคา x จากสมการ x 1 x 2 วธท า

ตวอยางท 35 จงหาคา x จากสมการ x 3 x 3 วธท า

ตวอยางท 36 จงหาคา x จากสมการ x 12+ x = 2 วธท า


40

ตวอยางท 37 จงหาคา x จากสมการ 3x+7 = x+1 วธท า

ตวอยางท 38 จงหาคา x จากสมการ 2x x+1+ = 2

x+1 2x

วธท า


41

ตวอยางท 39 จงหาคา x จากสมการ 2 2y y 3 2 y y 21 21

วธท า

แบบฝกหด จงหาค าตอบของสมการตอไปน (แสดงวธท าลงสมด)

1. x 7 x 5 2. 5x 15 2x 5 3x 2

3. 2 3x 6 4x 104 4. 5x 1 6 10

5. 2x 1 x 1 6. 11 x x 14 1

7. x 3 1 2 x 8. 3x 4 3x 5 1

9. x 7 3x 1 10. 2x 21 x 2


42

การแกสมการทอยในรปเลขยกก าลง

การแกสมการทอยในรปเลขยกก าลง สามารถท าไดโดยการปรบฐานของเลขยกก าลงใหเทากนหรอการปรบเลขชก าลง ของเลขยกก าลงใหเทากน โดยใชสมบตตางๆ ของเลขยกก าลงมาชวยในการปรบใหเทากน ซงหลกทส าคญคอ ตองท าใหฐานของเลขยกก าลง ของทงสองขางใหเทากนจากนนจบก าลงใหเทากน

ดงสมบตตอไปน สมบตของเลขยกก าลง เมอ a,b 0 และ a 1 , b 1

ถา x ya = a แลว x= y

สมบตของเลขยกก าลงเพมเตม

1. m n(a ) mn n m(a ) = (a )

2. -n

n

1= a

a และ n

-n

1b =

b

3. n -n

a b=

b a

ตวอยางท 40 จงหาคา x จากสมการตอไปน

1. x2 4 2. x 12

8

3. x2 1 4. x2 4

5. x 13

81 6. x5 125

7. x7 49 8. x2 5 x


43

ตวอยางท 41 จงหาคา x จากสมการ x

2 3

3 2

ตวอยางท 42 จงหาคา x จากสมการ x+1 x+13 7

ตวอยางท 43 จงหาคา x จากสมการ 2x10 0.0001

ตวอยางท 44 จงหาคา x จากสมการ 81 729x

ตวอยางท 45 จงหาคา x จากสมการ 16 1024x


44

ตวอยางท 46 จงหาคา x จากสมการ 3

4 64

9 729

x

ตวอยางท 47 จงหาคา x จากสมการ 2 2

1 1

4 226

x

ตวอยางท 48 จงหาคา x จากสมการ 22x x 1

327


45

ตวอยางท 49 จงหาคา x จากสมการ 2

2x 4

x 2x5 3( 5 3)

2

ตวอยางท 50 จงหาคา x จากสมการ x+2 x+1 4x9 6(9 ) = 3

แบบฝกหด จงหาคา x ทท าใหสมการเปนจรง

1. 2 3 15

25

x 2. 3 1 5

2 4

3 9

x

3. 2 3

825 4

2 25

x

4. 3 2 6 42 3x x

5. 4

3 2 25 3

5 3

x

6. 3 5

3

110

1000

x


46

การประยกตของเลขยกก าลง

อตราเงนเฟอคอ ภาวะทราคาสนคาและบรการโดยทวไปในระบบเศรษฐกจสงขนเรอย ๆ ซงกจะมผลท าใหคาของเงนทเราถออยลดลง

การค านวณหาอตราเงนเฟอ

โดยใชสตร

1

1nq

rp

เมอ r แทนอตราเงนเฟอ p แทนราคาสนคาเมอ n ปทแลว q แทนราคาชนดเดยวกนในเวลาปจจบน n แทนจ านวนป

ตวอยางท 51 จงหาอตราเงนเฟอจากราคาทดนแปลงหนง ซงปจจบนราคา 500,000 บาท โดยเมอ 12 ปทแลวทดนแปลงนราคา 80,000 บาท วธท า ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


47

การค านวณอตราดอกเบยเงนก

โดยใชสตร (1 r)tA P เมอ A แทนจ านวนเงนตนพรอมดอกเบย P แทนเงนตน r แทนอตราดอกเบยเงนกตอป t แทนจ านวนปท ตวอยางท 52 บรษทกเงนจากธนาคารจ านวน 900,000 บาท โดยจะตองจายดอกเบยเงนก 8.5% ตอป ถาธนาคารยอมใหบรษทยงไมตองจายดอกเบย โดยใหผอนช าระเงนตนอยางเดยว แตตองจายดอกเบยดงกลาวเมอครบ 2 ป 6 เดอน อยากทราบวา บรษทแหงนจะตองจายดอกเบยเงนกเทาใด เมอครบก าหนด วธท า ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


48

Documents

เอกสารประกอบการเรียนวิชา ...elsd.ssru.ac.th/.../835/course/summary/MATH3-EXPONENTIAL.pdfว ชาคณ ตศาสตร 3 ม ธยมศ