การเคลอนทใน 2 มต

การเคลอนทใน 2 มต

การเคลอนทบนระนาบ (Motion in a plane) การเคลอนทในระนาบเปนการเคลอนทใน 2 มต ซงเราสามารถแสดงตาแหนง ความเรว และความเรงของอนภาคใดๆทเคลอนทบนระนาบไดดงน ตาแหนงใดๆ jyixr ˆˆ +=

r

r

ความเรว jvivdtrdv yx

ˆˆ +==r

ความเรง jaiadtvda yx

ˆˆ +==r

r

ซงการเคลอนทในระนาบทเราจะศกษาน ไดแกการเคลอนทแบบโปรเจกไทล และการเคลอนทแบบวงกลม 1. การเคลอนทแบบโปรเจกไทล (Projectile motion) การเคลอนทแบบโปรเจกไทลเปนการเคลอนทบนระนาบแบบหนงทมแนวการเคลอนทเปนแนวโคง ซงจะ

มการเคลอนทในแนวดงและแนวระดบเกดขนพรอมๆ กน โดยท 1. การเคลอนทในแนวดงเปนการเคลอนทดวยความเรงเนองจากแรงโนมถวง 2. การเคลอนทในแนวระดบเปนการเคลอนทดวยความเรวคงท เนองจากไมมแรงลพธมากระทา

การพจารณาการเคลอนทแบบโปรเจกไทลน สามารถพจารณาการเคลอนททงสองแนวแยกกนได

รปท 1 แสดงวถการเคลอนทและความเรวของการเคลอนทแบบโปรเจกไทล

จากรปท 1 พจารณาวตถทเคลอนทจออกจากตาแหนง A ดวยความรวตน u โดยทามมกบแนวระดบเปน จะไดวา θ

1

การเคลอนทใน 2 มต

ความเรวตนในแนวระดบ u (1) θcosux =

ความเรวตนในแนวดง u (2) θsinuy =

เนองจาก ความเรงในการเคลอนทนมเฉพาะในแนวดง ( เมตร/วนาท) สวนในแนวระดบความเรงเปนศนย (a เมตร/วนาท) ดงนนทเวลาใดๆ จะได

gay =

0=x ความเรวในแนวระดบทเวลาใดๆ

dtadvdtdva xx

xx =⇒=

∫∫ =tv

ux dtdv

x

0cos

)0(θ

v 0cos =− θux

∴ v (3) θcosux =

ความเรวในแนวดงทเวลาใดๆ

dtadvdtdv

a yyy

y =⇒=

∫∫ =t

y

v

uy dtadv

y

0sinθ

tauv yy =− θsin

v (4) tau yy += θsin

ในกรณรปท 1 u มทศขน และ มทศลงในแนวดง ดงนน กรณรปท 1 จะได θsinuy = gay =

∴ (5) gtuvy −= θsin

ความเรวของวตถทเวลาใดๆ จะเปน jvivv yxˆˆ +=

r

และมขนาดเทากบ 22yx vvv +=

r ถามม เปนมมทความเรวกระทากบแนวระดบ ณ เวลาใด ๆ จะไดวา β

yv

xv

=βtan

การกระจดในแนวระดบทเวลาใดๆ

dtdSx

x =v ⇒ dtvdS xx =

∫ =x ∫tS

dtudSx

00

)cos( θ

(6) tuSx )cos( θ=

2

การเคลอนทใน 2 มต

การกระจดในแนวดงทเวลาใดๆ

dtdS

v yy = ⇒ dtvdS yy =

∫ =dS ∫ +t

y

S

y dttauy

00

)sin( θ

2

21)sin( tatuS yy += θ (7)

ในกรณรปท 1 u มทศขน และ มทศลงในแนวดง ดงนน กรณรปท 1 จะได θsinuy = gay =

2

21)sin( gttuy −= θS (8)

จาก สมการท 6 แล

จะเหนวาสมการท ซงเปนสมการของ

การเคล

การหารพจารณา

ตกลงมาทพนในแการท 9 จะไดวา

การกระจดของวตถทเวลาใดๆ สามารถเขยนไดเปน jSiSS yx

ˆˆ +=r

และมขนาดเทากบ 22 SSS +=r

yx

ะ 8 จะได

( )( )

22cos2

tan xxy SugSSθ

θ −= (9)

9 นอยในรปของ 2bxaxy +=พาราโบลา (Parabola) แสดงวา วถการเคลอนทของการเคลอนทแบบโปรเจกไทลเปนรปพาราโบลา

อนทแบบโปรเจกไทลบนพนราบ

รปท 2

ะยะการกระจดทวตถตกไกลทสด รปท 2 จะเหนวาในชวงเวลาทวตถเคลอนทไดไกลทสด เปนชวงเวลาทวตถเรมเคลอนทจนกระทงนวระดบเดม (เมอวตถตกในแนวระดบเดม การกระจดในแนวแกน y เปนศนย ) จากสม0=yS

3

การเคลอนทใน 2 มต

( ) 2

21sin0 gttu −= θ

เวลาทวตถใชในการเคลอนทจากเรมตนจนตกมาทในแนวระดบเดม จะเปน

gu θsin2

=t (10)

ดงนนระยะทางทวตถเคลอนทไดในแนวระดบ จากตาแหนงเรมตนจนถงตาแหนงทวตถตกมาทแนวระดบเดมจะเปน

( )

=

guuSx

θθ sin2cos

จาก 2 ( )θθθ 2sincossin =

ดงนน ระยะทวตถเคลอนทไดไกลทสด( พสย ) เมอยงวตถออกไปดวยความเรว u และทามมกบแนวระดบ คอ θ

( θ2sin2

gu

x = )

)

S (11)

จากสมการท 11 นจะเหนไดวา ระยะทวตถตกไกลทสดกตอเมอ มคามากทสด ซงเทากบ 1 ดงนนจะไดวา

( θ2sin045=θ

การหาระยะทวตถสามารถขนไปไดสงสด

เมอวตถเคลอนทขนไดสงสด แสดงวาวตถนนไมมความเรวในแนวดง ( )0=yv ดงนน จากสมการท 5 จะได เวลาทวตถเคลอนทไดถงจดสงสด ดงสมการท 12

g

utgtu θθ sinsin0 =→−= (12)

จะเหนวาจากสมการท 10 และ 12 เวลาทวตถเคลอนทถงจดสงสดเทากบเวลาครงหนงของเวลาทงหมดทวตถเคลอนทตกลงมาถงแนวระดบเดม ระยะสงสดทสามารถเคลอนท เมอยงวตถออกไปดวยความเรว u และทามมกบแนวระดบ คอ θ

( )2

sin21sinsin

−

=

gug

guuy

θθθS

g

uy 2

sin 22 θ=S (13)

จากสมกาท 13 น การกระจดในแนวดงนมากทสด เมอ ซงจะไดวา 1sin 2 =θ 090=θ

4

การเคลอนทใน 2 มต

การเคลอนทแบบโปรเจกไทลบนพนเอยง

รปท 3 วตถเคลอนทแบบโปรเจกไทลบนพนเอยง

จากรปท 3 แสดงการเคลอนทของวตถแบบโปรเจกไทลบนพนเอยง ซงพจารณาแกน X และ Y วตถจะมสมการการเคลอนท ดงน

gmdtvdm rr

=

]ˆ)cos(ˆ)sin[()ˆˆ( jgigmjvivdtdm yx ββ −+−=+

ซงจะไดวา ความเรงในแนวแกน X คอ มทศทางพงลงเขาสจดกาเนด ดงรปท 3 βsingax =

ความเรงในแนวแกน Y คอ มทศทางพงลงเขาสจดกาเนด ดงรปท 3 βcosgay =

เพจารณารปท 3 เมอยงวตถดวยความเรวตน u ในทศทามม กบแนวแกน X จะได θความเรวตนในแนวแกน X u θcosux =

ความเรวตนในแนวแกน Y u θsinuy =

ซงเราสามารถหาคาความเรวทเวลาใดๆ ทงสองแนวแกน ดงน ความเรวตนในแนวแกน X (14) tguvx )sin(cos βθ −=

ความเรวตนในแนวแกน Y (15) tguvy )cos(sin βθ −=

และการกระจดทเวลาใดๆ ทงสองแนวแกน ดงน การกระจดในแนวแกน X

2)sin(21)cos( tgtuSx βθ −= (16)

การกระจดในแนวแกน Y

2)cos(21)sin( tgtuS y βθ −= (17)

ซงจากสมการท 14-17 นเราสามารถหาระยะทวตถตกไกลสดบนพนเอยง ( พสย ) เมอยงวตถออกไปดวยความเรว และทามม กบแนวแกน X ไดดงน u θ

5

การเคลอนทใน 2 มต

2

2

)(cossin)cos(2

βθβθ +

=guR (18)

*** นกเรยนคดวา เราตองยงวตถทามมกบแนวแกน X เทาไร จงทาใหวตถตกไกลทสด และ ระยะทไกลทสดนเปนเทาไร ? ***

เราสามารถหาระยะทวตถอยหางจากพนเอยงมากทสด เมอยงวตถออกไปดวยความเรว และทามม กบแนวแกน X ไดดงน

u θ

)(cos2

sin22

βθ

guh = (19)

*** นกเรยนคดวา เราตองยงวตถทามมกบแนวแกน X เทาไร จงทาใหวตถหางจากพนเอยงมากทสด และ ระยะหางจากพนเอยงมากทสดนเปนเทาไร ? ***

2. การเคลอนทแบบวงกลม (Circular motion)

วตถทเคลอนทเปนวงกลม บนระนาบใดๆ อตราเรวขณะใดขณะหนงของวตถจะคงทหรอไมกได แตความเรวของวตถไมคงทแนนอน เนองจากวามการเปลยนทศาทางของการเคลอนท ตลอดเวลา ซงเมอวตถทมการเปลยนทศทางการเคลอนทแสดงวา วตถนตองมองคประกอบของแรงมากระทาในทศทางทตงฉากกบเสนทางการเคลอนทดวย และกรณทการเคลอนทมอตราเรวไมคงท แสดงวาตองมองคประกอบของแรงในทศทางทขนานกบแนวการเคลอนทดวย พจารณา รปท 4

รปท 4 การเคลอนทแบบวงกลม

จากรปท 4 วตถมวล เคลอนทดวยความเรง a ซงมองคประกอบในแนวสมผส และแนวตงฉาก (เขาสจดศนยกลางวงกลม) กบการเคลอนท โดยท

m rtar

car

tc aaa rrr+= (20)

การเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอ

6

การเคลอนทใน 2 มต

การเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอ เปนการเคลอนทเปนวงกลมทมอตราเรวคงท (ขนาดของความเรวคงท ) ซงการเคลอนทแบบนจะไมมความเรงในแนวสมผสวงกลม ( ) ดงนน จะได 0=ta

r

caa rr= (21)

พจารณาวตถ ซงเคลอนทดวยอตราเรวคงท แสดงเวกเตอรความเรว ดงรปท 5

ก. รปท 5 แสดงความเรวเมอนภาคเคลอนทแบบว

จากรป 5 ก. และ รป 5ข. วตถเคลอนทจากจด P1 ไปจด P2 จะไดสามเหลยมคล

1vv

Rs

r∆

=∆ ⇒ v∆r

ดงนน ขนาดความเรงเฉลย ระหวางเวลา คอ ava t∆r

tRsv

tv

aav ∆∆

=∆

∆= 1

พจารณา ขนาดความเรงทจด P1 (ใหจด P2 เขาใกลจด P1 มากๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ

tRsv

t ∆∆

→∆

1

0lima =

ts

Rv

t ∆∆

=→∆ 0

1 lim

เนองจาก 10lim v

ts

t=

∆∆

→∆ ซงเปนอตราเรวของวตถทจด P1 นนเอง ดงนน

Rv 2

1a =

เนองจากการเคลอนททกาลงพจารณานเปนการเคลอนทเปนวงกลมแบบสมา

ไดวา Rv

c

21a =

“ การเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอ จะมความเรงเฉพาะความเเรยกความเรงนวา ความเรงสศนยกลาง ( Centripetal acceleration ) ” ดงนนจะมความเรงเขาสศนยกลาง เปน

7

ข. งกลม

ายโดยท

Rsv ∆

= 1

ๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ)

เสมอ (อตราเรวคงท) จากสมการท 21 จะ

รงทมทศเขาสศนยกลางเทานน ซงเรา หากพจารณาทใดๆ ซงมความเรว v

การเคลอนทใน 2 มต

Rv

ac2

= (22)

และหากวตถทเคลอนทนมมวล เทากบ จะได m

Rmv

maF cc

2

== (23)

สมการท 23 นแสดงใหเหนวา การทวตถสามารถเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอไดนน ตองมแรงมากระทาในทศทเขาสจดศนยกลางเสมอ เราเรยกแรงนวา แรงสศนยกลาง (Centripetal Forces) การเคลอนทเปนวงกลมอยางไมสมาเสมอ ในกรณทวตถเคลอนทปนวงกลมอยางสมาเสมอ (อตราเรวไมคงท ) นนวตถจะมความเรงในแนวสมผสการเคลอนทดวย โดยท ขนาดของความเรงในแนวสมผส เทากบ ta

r

dtvd

at = (24)

เราสามารถเขยนไดวาความเรงของวตถทเคลอนทเปนวงกลมแบบไมสมาเสมอ เทากบ

ctct eRve

dtvd

aaa ˆˆ2

+=+=r

rrr (25)

เมอ และ e เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศสมผสวงกลม และเขาสศนยกลางวงกลม ตามลาดบ te cˆ

การเคลอนทแ

8

อตราเรวเชงมม ( Angular velocity)

ซงหากการเคลอนทนกวาดมมไปได ในเวลา t จะไดวา θ

tθ

=ω

ถาวตถเคลอนทครบ 1 รอบ มมทรศมกวาดไปไดคอ เรเดยน จะไดเวลาทใชในการเคลอนท 1 รอบ คอ คาบ ดงนน

π2

TT

ω 2=

π (ก)

และในการเคลอนทครบ 1 รอบ จะเคลอนทไดระยะทาง ดงนน rπ2

Trv π2

= (ข)

จากสมการ (ก) และ (ข ) จะไดความสมพนธระหวาง และ เปน v ω rv ω=จาก สมการท (14 ) จะได (ค) rac

2ω=

และจะได (ง) rmFc2ω=

สมการ (ค) และ (ง) นเปนการเขยนความเรงสศนยกลางและแรงสศนยกลางในรปของอตราเรวเชงมม

เมอวตถเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวคงท ระยะทางท เคลอนทไดในหนงหนวยเวลาเรยกวา อตราเรวเชงเสน(Linear velocity) นอกจากขณะทเคลอนทนรศมยงกวาดมมไปได และ มมทกวาดไปไดในหนงหนวยเวลา เรยกวา อตราเรวเชงมม สญลกษณทใช คอ ω

เมอ rS

=θ

การเคลอนทใน 2 มต

การประยกตการเคลอนทแบบวงกลม 1. การเคลอนทบนถนนโคง กรณทรถยนตเคลอนทไปตามถนนโคงนนตองมแรงมากระทาทรถในทศทางเขาสศนยกลางความโคง (เพอ

เปลยนทศทางการเคลอนทของรถ) เราเรยกแรงนวา แรงสศนยกลาง ซงในการเคลอนทของรถบนถนนโคงนแรงททาหนาทเปนแรงสศนยกลาง คอ แรงเสยดทาน ทกระทากบดานขางของยางรถ นนเอง

- รถทเลยวโคงบนถนนราบดวยอตราเรวสงจะตองใชแรงสศนยกลางมากกวาการเลยงโคงดวยอตราเรวตาในบรเวณโคงเดยวกน และมโอกาสทจะไถลออกนอกทางไดมากกวา เพราะการเลยวโคงดวยอตราเรวสงนนตองใช

แรงสศนยกลางมากตามสมการ rmvFa

2

= แตแรงเสยดทานระหวางพนถนนกบลอรถททาหนาทเปนแรงสศนย

กลางมคาสงสดคาหนงและแรงเสยดทานระหวางพนถนนกบลอรถททาหนาทเปนแรงสศนยกลางในกรณทรถเลยวโคงดวยอตราเรวสงขนอาจทาใหรถมโอกาสไถลออกนอกทางไดมากกวาการเลยวโคงดวยอตราเรวตา

- รถยนตทแลนบนถนนราบเมอเลยวโคงทมรศมความโคงสนมาก กบเลยวโคงทมรศมความโคงยาวมาก โดยอตราเรวเทากน กรณแรกจะมโอกาสไถลออกนอกทางไดมากกวากรณหลงทงนเพราะถนนทมรศมความโคงสน

ตองใชแรงสศนยกลางมาก ดงสมการ rmvFa

2

= จงมโอกาสไถลออกนอกทางไดมากกวาการเลยวบนโคงทม

รศมความยาวดวยอตราเรวเทากน เพราะการเลยวโคงทมรศมสนนนแรงเสยดทานททาหนาทเปนแรงสศนยกลางอาจจะมขนาดไมเพยงพอ

- แรงเสยดทานระหวางยางรถกบถนนททาหนาทเปนแรงสศนยกลาง จะมคามากหรอนอยขนอยกบ นาหนกรถ ผวถนน และยางรถ

- อตราเรวสงสดทเลยวโคงไดเมอฝนไมตกมคามากกวาเมอฝนตกผวสมผสระหวางบางรถกบถนนจะเปยก ลน ทาใหแรงเสยดทานททาหนาทเปนสศนยกลางมคาลดลง กรณการเคลอนทของจกรยานยนตบนทางโคงราบ

ก.แลนทางตรงราบ ข.แลนทางโคงราบ

รปท 6 แสดงแรงทกระทาตอรถจกรยานยนต กรณรถจกยานหรอรถจกรยานยนตแลนทางตรงบนถนนราบ ดงรป6 ก. จะมแรงเสยดทานมากระทากบลอ

เพอใหรถเคลอนทไปขางหนา และแรงจากนาหนกของรถ+คน (mg ) และแรงทพนกระทาตอรถ (N ) ในแนวทผานจดศนยกลางมวล ทาใหไมมโมเมนตของแรงรอบจดศนยกลางมวล จงทาใหรถไมลม

กรณรถจกยานหรอรถจกรยานยนตแลนเลยวโคงบนถนนราบ ดงรปท 6 ข. แรงสยงทานทพนถนนกระทาตอรถจะมอย 2 แนว ซงแรงเสยดทานในแนวแรกคอ แรงเสยดทานททาใหรถเคลอนทไปขางหนา สวนแรงเสยด

9

การเคลอนทใน 2 มต

ทานในอกแนวหนงคอแรงเสยดทานททาหนาทเปนแรงสศนยกลางผลกใหรถเลยวโคง ทาใหตองเอยงตว เพอไมใหมโมเมนตของแรงรอบจดศนยกลางมวล และทาใหรถไมลม หากกรณนไมเอยงรถจะทาใหมโมเมนตของแรงรอบจดศนยกลางมวลเนองจากแรง

r ซงเปนแรงลพธระหวาง

rและ

r และจะทาใหการหมนรอบจดศนยกลางมวลและ

มผลทาใหรถลมได R N f

พจารณารปท 6 ข. จะไดวา

rmvR

2

sin =θ (26.1)

(26.2) mgR =θcos

(26.1)/(26.2) ; rgv 2

tan =θ (27)

จากสมการท 27 นเราจะไดความสมพนธระหวางมม ซงเปนมมทรถจกยานยนตและคนตองเอยงเทยบกบแนวดง เมอรถเลยวโคงซงมรศมความโคง ดวยความเรว v

θr

กรณการเคลอนทของรถยนตและรถจกรยานยนตบนทางโคงเอยง ในปจจบนลกษณะของถนนโคงตางจะมลกษณะเอยงทามมกบแนวระดบคอขอบถนนดานนอกจะถกยกใหสงกวาขอบถนนดานใน เพอใหการเลยวโคงดวยความเรวไดปลอดภยมากขน

ก.แลนบนพนเอยงทไมมแรงเสยดทาน ข. แลนบนพนเอยงทมแรงเสยดทาน

รปท 7 แสดงแรงทกระทาตอรถทแลนบนทางโคงเอยง

กรณทรถเลยวโคงบนถนนทเอยงทามมกบแนวระดบ และทพนเอยง แรงสศนยกลางททาใหรถเลยวโคงได เกดจากองคประกอบของแรงทพนดนรถในแนวระดบ และองคปประกอบของแรงเสยดทานในแนวระดบ ดงรปท 7ข ซงจะไดวา

θ

rmvfN

2

cossin =+ θθ (28)

สาหรบการสรางถนนบรเวณเลยวโคงทามมกบพนระดบโดยทวไปจะคดแรงองคประกอบในแนวระดบของแรงทพนดนรถ เพยงแรงเดยวเทานนททาหนาทเปนแรงสศนยกลาง ใหรถเลยวโคงไดในอตราเรวทกาหนด ทงนเปนเพราะแรงเสยดทาน ขนอยกบลกษณะของผวถนน ดงนนเราเมอไมคดองคประกอบของแรงเสยดทานจะไดดงรปท 7ก ซงจะไดวา

θsinNθcosf

rmvN

2

sin =θ (29.1)

10

การเคลอนทใน 2 มต

(29.2) mgN =θcos

(29.1)/(29.2) ; rgv 2

tan =θ (30)

จากสมการท 30 นเราสามารถหาไดวาจะตองยกขอบถนนดานนอกสงกวาขอบถนนดานในเทาไรในการสรางถนน

2. การเคลอนทแบบวงกลมในแนวดง รปท 8 แสดงการเคลอนทของลกกลมบนทางโคงกลมตามแนวดง

วตถทเคลอนทเปนวงกลมตามแนวดง ดงรปท 8 จะตองมแรงสศนยกลางซงเกดจากแรงทรางดนวตถและองคประกอบของนาหนก โดยทตาแหนงตางๆ จะมแรงสศนยกลางดงน

ทตาแหนง A mgNrmvFc −==

2

(31.1)

ทตาแหนง B mgNrmvFc +==

2

(31.2)

ทตาแหนง C NrmvFc ==

2

(31.3)

ทตาแหนง D θcos2

mgNrmvFc −== (31.4)

3. การเคลอนทของดาวเทยม

รปท 9 แสดงการเคลอนทของดาวเทยมมวล m รอบโลกมวล M

11

การเคลอนทใน 2 มต

การโคจรรอบโลกของดาวเทยม หรอการเคลอนทรอบดวงอาทตยของดาวเคราะหนนจะมแรงดงดดระหวางมวลทมากระทาตอดาวเทยมหรอดาวเคราะหนนเปนแรงสศนยกลาง ดงนนหากพจารณา ดาวเทยมมวล ทโคจรรอบโลกมวล ดวยความเรว v ทตาแหนงวงโคจรหางจากจดศนยกลางของโลกเปนระยะ จะไดวา

mM r

2

2

rGMm

rmvFc ==

rGMv =2 (32)

จากสมการท 32 นน ดาวเทยมทมวงโคจรตางกนนนจะตองเคลอนทดวยอตราเรวเชงเสนตางกน ซงการสง

ดาวเทยมขนสวงโคจรนนไดทาการกาหนดรสมวงโคจรไวกอน แลวคานวณหาแรงสศนยกลางทกระทากบดาวเทยมและอตราเรวเชงเสนในวงโคจรนนๆ และเมยงดาวเทยมขนไปจนมความสงตามทตองการแลวจงปรบทศทางและอตราเรวของดาวเทยมเพอใหเขาสวงโคจร

PhysicsPhysicsPhysics PhysicsPhysicsPhysics PhysicsPhysicsPhysics

12