ก

การแยกตวประกอบของผลรวมปะตดของ คอปลาเฟรเชตสองตวแปร

Factorization of Patched Bivariate Fréchet Copulas

นายนพดล ก านจอย

โครงงานนเปนสวนหนงของการศกษาระดบปรญญาตร สาขาวชาคณตศาสตร ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร

คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ปการศกษา 2554

ข โครงงาน การแยกตวประกอบของผลรวมปะตดของคอปลาเฟรเชตสองตวแปร Factorization of Patched Bivariate Fréchet Copulas โดย นายนพดล ก านจอย รหสประจ าตวนสต 5133567523 อาจารยทปรกษา ผชวยศาสตราจารย ดร.ทรงเกยรต สเมธกจการ ผชวยศาสตราจารย ทพวลย สนตวภานนท

__________________________________________________________________________________ ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย อนมตใหนบโครงงานนเปนสวนหนงของการศกษาระดบปรญญาตร ในรายวชา 2301499 SENIOR PROJECT

________________________________ (ศาสตราจารย ดร. กฤษณะ เนยมมณ)

หวหนาภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร

________________________________ (ผชวยศาสตราจารย ดร.ทรงเกยรต สเมธกจการ)

อาจารยทปรกษา

________________________________ (ผชวยศาสตราจารย ทพวลย สนตวภานนท)

อาจารยทปรกษา

________________________________ (ผชวยศาสตราจารย ดร. ณฐกาญจน ใจด)

กรรมการสอบ

________________________________ (อาจารย ดร. กตตพฒน วอง)

กรรมการสอบ

ค

บทคดยอภาษาไทย

ในโครงงานน เราศกษาบทนยามและสมบตตาง ๆ ของคอปลาสองมต รวมถงตวอยางของคอปลาทส าคญ เชน คอปลาขอบเขตบน คอปลาขอบเขตลาง คอปลาผลคณและคอปลาเฟรเชต อกทงยงตวด าเนนการผลคณ บนเซตของคอปลาและพจารณาผลรวมปะตดของคอปลา ซงสามารถแยกตวประกอบออกเปนผลคณ ของสองคอปลา ใด ๆ ทอยในรปอยางงาย

ง

Abstract

In this project, we study the definition and properties of 2-dimensional copulas, including important examples such as the Fréchet-Hoeffding upper and lower bounds, the product copula and Fréchet copulas. We also study the -product on the set of copulas, and consider patched copulas which can be factored into the -product of two simple copulas.

จ

กตตกรรมประกาศ

ในการด าเนนโครงงานครงนไดรบความอนเคราะหและความชวยเหลอจากบคคลหลายทานดวยกนจงขอ ขอบคณไว ณ โอกาสน ขอขอบพระคณอาจารยทกทานทไดใหความร ใหค าแนะน าและอบรมขาพเจาตลอดระยะเวลาทเขามาศกษาทจฬาลงกรณมหาวทยาลยจนถงบดน โดยเฉพาะอยางยงขอขอบพระคณผชวยศาสตราจารย ดร.ทรงเกยรต สเมธกจการ และผชวยศาสตราจารย ทพวลย สนตวภานนท อาจารยทปรกษาโครงงานในครงนทไดกรณาถายทอดความร ใหค าปรกษา และดแลเอาใจใสเปนอยางดตลอดมาจนท าใหโครงงานนส าเรจบรรลตามจดประสงคทตงไว ตลอดจนขอขอบพระคณผชวยศาสตราจารย ดร.ณฐกาญจน ใจด และอาจารย ดร.กตตพฒน วอง กรรมการคมสอบทไดกรณาใหค าปรกษาและแกไขปรบปรงโครงงานนใหมความถกตองสมบรณมากยงขน นอกจากน ขอขอบพระคณคณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย และโครงการพฒนาและสงเสรมผมความสามารถพเศษทางวทยาศาสตรและเทคโนโลย (พสวท.) ทไดใหทนสนบสนนส าหรบการท าโครงงานในครงน สดทายน ขอขอบพระคณพอ แม และขอขอบคณพสาว พชาย เพอน ๆ นองๆ ทกคนทคอยใหก าลงใจ รวมทงค าแนะน าตาง ๆ มาตลอดการท าโครงงานครงน

นายนพดล ก านจอย นสตภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร

คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 1 มนาคม 2555

ฉ

สารบญ หนา บทคดยอ ภาษาไทย ค บทคดยอ ภาษาองกฤษ ง กตตกรรมประกาศ จ สารบญ ฉ สารบญรป ช บทท 1 บทน าและความรพนฐาน 1 บทท 2 สมบตทางพชคณตและผลรวมปะตดของคอปลา 9 บทท 3 การแยกตวประกอบของผลรวมปะตดของคอปลา 33 รายการอางอง 51 ภาคผนวก 52

ช

สารบญรป

หนา รปท 1.1 กราฟของคอปลาขอบเขตบน 5 รปท 1.2 5 รปท 1.3 กราฟของคอปลาขอบเขตลาง 6 รปท 1.4 6 รปท 1.5 กราฟของคอปลาผลคณ 7 รปท 1.6 กราฟของคอปลาเฟรเชต 8 รปท 2.1 กราฟแสดงการแบง เปน ชองยอย 17 รปท 2.2 กราฟแสดงการแบง เปน ชองยอย 19 รปท 2.3 21 รปท 2.4 กราฟของ 24 รปท 2.5 24 รปท 2.6 กราฟของ 27 รปท 2.7 27 รปท 2.8 กราฟของ 30 รปท 2.9 30 รปท 2.10 กราฟของ เมอ 33 รปท 3.1 กราฟของ 34 รปท 3.2 กราฟของ 36

1

บทท 1 บทน าและความรพนฐาน

คอปลา ( Copula ) คอ ฟงกชนทบงบอกถงความสมพนธระหวางตวแปรสมทไมขนกบการแจกแจงของตว

แปรสมนน นนคอเราสามารถบอกความสมพนธของตวแปรสมไดโดยไมตองพจารณาการแจกแจงมารจนล ดงนนเราจง

สนใจทจะศกษาเกยวกบคอปลา รวมถงตวอยางทส าคญของคอปลา 2 ตวแปร

กอนทเราจะมารจกกบคอปลา เราจะมาทบทวนบทนยามและทฤษฎบทตาง ๆ ทจะใชในการศกษาดงตอไป

น ก าหนดให , - และ , - , -

บทนยาม 1.1 ให เปนเซตใด ๆ ทไมใชเซตวาง เราจะเรยกเซต ซงมสมาชกเปนเซตยอยของเซต วา

พชคณตซกมา ( -algebra ) บน ถา

1.

2. ถา แลว

3. ถา แลว ⋃

บทนยาม 1.2 ให เปนเซตใด ๆ ทไมใชเซตวางและ เปนพชคณตซกมาบน

ถา มสมบต

1. ( )

2. ถา และ เมอ แลว

(⋃

+ ∑ ( )

เราจะเรยก วาเปน เมเชอรความนาจะเปน ( a proability measure ) บน ( )

เรยก วาเปน ปรภมตวอยาง ( sample space ) เรยกสมาชกของ วา เหตการณ ( event ) บน

และเรยก ( ) วา ปรภมความนาจะเปน ( probability space )

บทนยาม 1.3 ให เปนเซตในเอกภพสมพทธ นยามให * +

2 ทฤษฎบท 1.4 ( ทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส )

ถา เปนฟงกชนตอเนองบนชวง , - และ เปนฟงกชนซง ( ) ( ) ทก

, - แลว

∫ ( )

( ) ( )

ทฤษฎบท 1.5 ก าหนด * + เปนเซตของเหตการณซงเปนผลแบงกนของปรภมตวอยาง และ

( ) ทก

ถา เปนเหตการณหนงของ แลวจะไดวา

( ) ∑ ( )

( )

บทนยาม 1.6 ขอความ ( ) เปนจรงเกอบทกจด กตอเมอ * ( ) เปนเทจ+ มสมบตดงน

*, -+ ซง ⋃, -

และ ∑

บทนยาม 1.7 ให และ * + นยามโดย ( ) 2

บทนยาม 1.8 ให เปนเมทรกซจตรส โดยท เปนเวกเตอรแถวของเมทรกซ

ไมเปนอสระเชงเสน กตอเมอ ม ทท าให

ทฤษฎบท 1.9 ให เปนเมทรกซจตรส จะไดวา ไมเปนอสระเชงเสน กตอเมอ

ตอไปเราจะท าความรจกกบบทนยามและทฤษฎบทตาง ๆ ทเกยวของกบคอปลา รวมทงตวอยางทส าคญ

ของคอปลา 2 ตวแปร โดยให แทนเซตของคอปลา 2 ตวแปรทงหมด

บทนยาม 1.10 ฟงกชน เปนคอปลา 2 ตวแปร กตอเมอ

1. ( ) ( ) ส าหรบทก

2. ( ) และ ( ) ส าหรบทก

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ส าหรบทก , - , -

3 ขอสงเกต 1.11 คอปลา เปนฟงกชนตอเนอง

สญลกษณ 1.12 (, - , -) ( ) ( ) ( ) ( )

ทฤษฎบท 1.13 มสมบตปดภายใตผลบวกนน ( Convex Combination ) นนคอส าหรบ

และ ซง จะไดวา

พสจน ให และ ซง

ให จะแสดงวา

( ) ∑ ( )

∑

และในท านองเดยวกน ( )

ดงนน ( ) ( ) ส าหรบทก

( ) ∑ ( )

∑

∑

และในท านองเดยวกน ( )

ดงนน ( ) และ ( ) ส าหรบทก

( ) ( ) ( ) ( )

∑ ( )

∑ ( )

∑ ( )

∑ ( )

∑ , ( ) ( ) ( ) ( )-

(เพราะวา และ ส าหรบทก )

จากบทนยาม 1.10 จะไดวา

สญลกษณ 1.14 ( )

( ) และ ( )

( )

ทฤษฎบท 1.15 ก าหนดให ส าหรบทก จะไดวา ( ) มคาเกอบทกจด และ

( )

4 ในท านองเดยวกนจะไดวา ส าหรบทก จะไดวา ( ) มคาเกอบทกจด และ

( )

พสจน การพสจนของทฤษฎบทน ตองใชความรเรองทฤษฎเมเชอรซงอยนอกเหนอความรของผท าโครงงาน ผสนใจ

สามารถศกษาไดจาก [2] หนา 13-14

ตอไปเราจะกลาวถงทฤษฎบททส าคญมากส าหรบผทศกษาคอปลา นนคอ ทฤษฎบทของสกลารซง

ไดบงชถงความสมพนธระหวาง 2 ตวแปรสมผานทางฟงกชน ซงไมขนกบการแจกแจงของตวแปรสมทง 2 นน

ทฤษฎบท 1.16 ทฤษฎบทของสกลาร ( Sklar’s Theorem )

เปนฟงกชนการแจกแจงรวมของตวแปรสม กตอเมอ มคอปลา ทท าให

( ) ( ( ) ( ))

โดยท ซง และ เปนฟงกชนการแจกแจงของตวแปรสม และ ตามล าดบ

พสจน เราจะขอขามบทพสจนนไป ผสนใจสามารถศกษาไดจาก [2] หนา 21

ทฤษฎบท 1.17 ก าหนดให จะไดวา

( ) ∫ ( )

∫ ( )

ส าหรบ

พสจน ให

ดงนน ∫ ( )

∫

( )

( ) ( ) (โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส)

( )

ในท านองเดยวกน ∫ ( )

( )

บทนยาม 1.18 Support ของคอปลา นยามโดย

.⋃*, - , - (, - , -) +/

5 ตอนนเราไดรจกกบนยามและทฤษฎบททเกยวกบคอปลามาพอสมควรแลว ตอไปจะเปนตวอยางของ

คอปลาทส าคญ ๆ ทจะท าใหผอานไดเหนภาพของคอปลามากยงขน พรอมทงรปภาพประกอบดงตอไปน

คอปลาขอบเขตบน ซงนยามโดย ( ) ( ) ส าหรบ

รปท 1.1 กราฟของคอปลาขอบเขตบน

รปท 1.2

6 คอปลาขอบเขตลาง ซงนยามโดย ( ) ( ) ส าหรบ

รปท 1.3 กราฟของคอปลาขอบเขตลาง

รปท 1.4

7 คอปลาผลคณ ( Product Copula ) ซงนยามโดย ( ) ส าหรบ

รปท 1.5 กราฟของคอปลาผลคณ

ขอสงเกต 1.19 โดยทฤษฎบทของสกลาร และ อสระตอกน กตอเมอ

นนคอ ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )

ขอสงเกต 1.20 สงเกตวาคอปลา นนยามบน ไมใชฟงกชนการแจกแจง เนองจากโดเมนของคอปลาไม

เทากบ แตเราสามารถขยายโดเมนของคอปลา ใดๆไปยง เพอใหเกดเปนฟงกชนการแจกแจงไดเสมอดงน

( ) {

และ และ และ หรอ

คอปลาเฟรเชต ( Fréchet Copula ) นยามโดย

( ) ( ) ( ) ( ) ส าหรบ

เมอ โดยท

8

รปท 1.6 กราฟของคอปลาเฟรเชต

ทฤษฎบท 1.21 ให และ ( ) จะไดวา ( ) ( ) ( )

พสจน ให ( )

เนองจาก เปนฟงกชนเพม ดงนน ( ) ( ) และ ( ) ( )

เพราะฉะนน ( ) ( ) ( ) ( )

เนองจาก เปนฟงกชนเพมสองมตบน ( - ( -

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

นนคอ ( )

และเนองจาก ( )

เพราะฉะนน ( ) ( ) ( ) ( )

จาก ( ) และ ( ) จะไดวา ( ) ( ) ( ) บทนยาม 1.22 ก าหนดให และ คอ ทรานสโพสของคอปลา นยามโดย

( ) ( ) ส าหรบทก

และจะกลาววา สมมาตร กตอเมอ ( ) ( ) ส าหรบทก

9 ทฤษฎบท 1.23 คอปลา มสมบตสมมาตร พสจน ให

1. มสมบตสมมาตร

ดงนน ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2. มสมบตสมมาตร

ดงนน ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3. มสมบตสมมาตร

ดงนน ( ) ( ) ( )

10

บทท 2 สมบตทางพชคณตและผลรวมปะตดของคอปลา

บทนยาม 2.1 ให เปนตวด าเนนการผลคณของคอปลา ( Product of Copulas )

นยามโดย

( )( ) ∫

( )

( )

( )

ส าหรบ

ทฤษฎบท 2.2 ให จะไดวา

พสจน ให และ

(1) เนองจาก ( ) ( ) ส าหรบทก

จะไดวา ( )( ) ∫ ( ) ( ) ∫

และท านองเดยวกนได ( )( )

ดงนน ( )( ) ( )( )

(2) เนองจาก ( ) ( ) ส าหรบทก

จะไดวา ( )( ) ∫ ( ) ( )

∫ ( )

( ( ) )

( ) ( ) (โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส)

และท านองเดยวกนได ( )( )

ดงนน ( )( ) และ ( )( )

11 (3) พจารณาสเหลยม ( - ( - จะไดวา

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫, ( ) ( ) ( ) ( )-

∫, ( ) ( ) ( ) ( )-

∫ ( ), ( ) ( )-

∫ ( ), ( ) ( )-

∫, ( ) ( )-, ( ) ( )-

∫ , ( ) ( )- , ( ) ( )-

( และ เปนฟงกชนเพมเมอเทยบกบ และ ตามล าดบ )

จากบทนยาม 1.10 จะไดวา

ทฤษฎบท 2.3 ตวด าเนนการ บน มสมบตการแจกแจงทางขวาและการแจกแจงทางซายของผลบวกนน

( Right and Left Distributive over Convex Combinations ) นนคอ

( ) ( ) ( ) และ

( ) ( ) ( )

เมอ และ โดยท

พสจน ให และ และ จะไดวา

12

,( ) -( ) ∫ ( )( ) ( )

∫, ( ) ( )- ( )

∫, ( ) ( ) ( ) ( )-

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

, ( ) ( )-( )

, ( )-( ) ∫ ( ) ( )( )

∫ ( ), ( ) ( )-

∫, ( ) ( ) ( ) ( )-

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

, ( ) ( )-( )

ทฤษฎบท 2.4 ตวด าเนนการ บน มสมบตการเปลยนกลม ( Associative ) นนคอ

( ) ( )

เมอ และ ส าหรบ โดยท ตอเนองสมบรณบน

พสจน การพสจนของทฤษฎบทน ตองใชความรเรองทฤษฎเมเชอร ผสนใจสามารถศกษาไดจาก [3] หนา 600-608

ทฤษฎบท 2.5 ก าหนดให และ จะไดวา

1. ( )( ) ( ) ( )( )

2. ( )( ) ( ) ( )( )

3. ( )( ) ( )

13 4. ( )( ) ( )

5. ( )( ) ( )

พสจน ให และ

( )( ) ∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( )

, ( ) ( )- (โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส)

( )

ในท านองเดยวกน ( )( ) ( )

เนองจาก ( ) 2

และ ( ) 2

จะไดวา ( )( ) ∫ ( ) ( )

∫( ) ( )

∫( ) ( )

∫ ( )

( ) ( ) (โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส)

( )

ในท านองเดยวกน ( )( ) ( )

เนองจาก ( ) 2

จะไดวา ( )( ) ∫ ( ) ( )

14

∫ ( ) ( )

∫( ) ( )

∫ ( )

( ) ( ) (โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส)

( )

เนองจาก ( ) 2

จะไดวา ( )( ) ∫ ( ) ( )

∫ ( )( )

∫ ( )( )

∫ ( )

( ) ( ) (โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส)

( )

จาก ( )( ) ( )

ดงนน ( )( ) ( )

( )

{ ( )

2

( )

( )

ขอสงเกต 2.6 ( ) เปนโมนอยดทม เปนเอกลกษณ

นนคอ มสมบตปดภายใต , มสมบตการเปลยนกลม และม เปนเอกลกษณ

ทฤษฎบท 2.7 ก าหนดให และ

และ จะไดวา

15

พสจน

(

)( ) ∫

, ( ) ( ) ( ) ( )-

, ( ) ( ) ( ) ( )-

∫

( )

( )

( )∫

( )

( )

∫

( )

( )

( ) ∫

( )

( )

( )( )∫

( )

( )

( ) ∫

( )

( )

∫

( )

( )

( )∫

( )

( )

∫

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

16 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

ทฤษฎบท 2.8 ก าหนดให และ จะไดวา ( )

พสจน ให และ

ดงนน ( ) ( ) ( )( )

∫

( )

( )

∫

( )

( )

∫ ( )

( )

( )( )

บทนยาม 2.9 ให เราจะกลาววา

1. มตวผกผนทางซายได กตอเมอมคอปลา ซง

2. มตวผกผนทางขวาได กตอเมอมคอปลา ซง

3. มตวผกผน กตอเมอ มตวผกผนทางซายและทางขวา

ทฤษฎบท 2.10 ให ซง มตวผกผนเปน เพยงตวเดยว แลว

1. มตวผกผนทางซาย กตอเมอ ส าหรบ ( ) * + เกอบทกจด

2. มตวผกผนทางขวา กตอเมอ ส าหรบ ( ) * + เกอบทกจด

พสจน การพสจนของทฤษฎบทน ตองใชความรเรองทฤษฎเมเชอร ผสนใจสามารถศกษาไดจาก [1] หนา 432

ขอสงเกต 2.11 ( ) ไมใชกรป เพราะการทจะเปนกรปไดนนจะตองเปนโมนอยดและมตวผกผน

แตมคอปลา ซงส าหรบคอปลา ใด ๆ นนคอ ไมมตวผกผน

17 หลงจากทเราไดศกษาสมบตตางๆของคอปลามาพอสมควรแลวตอไปเราจะนยามการประมาณคอปลาอก

รปแบบหนง ซงวธการนเรยกวา ผลรวมปะตดของคอปลา ( Patched Copula ) นนคอ ผลจากการน าคอปลาใด ๆ ท

ผานการปรบอตราสวนดวยฟงกชนการแจกแจงทเหมาะสมมาวางบนแตละชองสเหลยมในผลแบงกนหนง ๆ ของ

โดยเราสามารถประมาณคอปลาใด ๆ ไดดวยผลรวมปะตดของคอปลาเฟรเชตไดเสมอ

ก าหนดให เปนตวแปรสมยนฟอรมบนชวง , - ซงมฟงกชนการแจกแจงรวมคอ คอปลา

ให ℕ 0 1 .

1 ส าหรบ แลว * + เปนผลแบง

กนของ ซงแบงเปน ชองยอยโดยแตละชองมขนาดเทากน และ { } เปนผลแบง

กนของ ซงแบงเปน ชองยอยโดยแตละชองมขนาดเทากน ส าหรบ

รปท 2.1 กราฟแสดงการแบง เปน ชองยอย

ให *( ) + ดงนน { } เปนผลแบงกนของปรภมความนาจะเปน

( ) ( )

∑ ∑ ( )

∑ ∑ ( ) ( )

( โดยทฤษฎบท )

18 และสงเกตไดวา

( ) ( )

(

*

(

* (

*

(

* (

*

(

* (

* (

* (

*

ให และ เปนฟงกชนการแจกแจงบน และ ตามล าดบ

ส าหรบทก ๆ ซง ( )

( ) ( )

{

(

* ( )⁄

พจารณา

จะไดวา

( ) [ (

* (

* (

* (

*] ( )⁄

และ

( ) ( )

{

(

* ( )⁄

พจารณา

จะไดวา

( ) [ (

* (

* (

* (

*] ( )⁄

โดยทฤษฎบทของสกลาร จะไดวาม ทท าให

19

( ) . ( ) ( )/

นนคอ

. ( ) ( )/ [ ( ) (

* (

* (

*] ( )⁄

ดงนน

( ) ∑ ∑ ( ) . ( ) ( )/

จากการประมาณคอปลาดวยวธขางตนจะเหนไดวาการแบงแตละสวนนนมขนาดเทา ๆ กน แตในความเปน

จรงแลวไมจ าเปนทจะตองใหมขนาดและสวนแบงทเทากน ซงจะไดแสดงใหเหนตอไป

ก าหนดให เปนตวแปรสมยนฟอรมบนชวง , - ซงมฟงกชนการแจกแจงรวมคอ คอปลา

ให ℕ ให , - ( - ส าหรบ โดยท

แลว * + เปนผลแบงกนของชวง ซงแบงเปน ชวงยอย

ให , - ( ] ส าหรบ โดยท

แลว * + เปนผลแบงกนของชวง ซงแบงเปน ชวงยอย และ

{ } เปนผลแบงกนของ ซงแบงเปน ชองยอย และส าหรบ

รปท 2.2 กราฟแสดงการแบง เปน ชองยอย

20 ให *( ) + ดงนน { } เปนผลแบงกนของปรภม

ความนาจะเปน

( ) ( )

∑ ∑ ( )

∑ ∑ ( ) ( )

( โดยทฤษฎบท )

และสงเกตไดวา

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ให และ เปนฟงกชนการแจกแจงบน และ ตามล าดบ

ส าหรบทก ๆ ซง ( )

( ) ( )

,

( ) ( )⁄

พจารณา จะไดวา

( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

และ

( ) ( )

,

( ) ( )⁄

พจารณา จะไดวา

( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

21 โดยทฤษฎบทของสกลาร จะไดวาม ทท าให

( ) . ( ) ( )/

นนคอ

. ( ) ( )/ [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

ดงนน

( ) ∑ ∑ ( ) . ( ) ( )/

เพอใหงายตอการเขาใจในเรองผลรวมปะตดของคอปลา ดงนนจะขอยกตวอยางประกอบดงตอไปน

ตวอยาง 2.12

ให ( ) {

รปท 2.3

นนคอ และ จะไดวา

( ) ∑ ( ) . ( ) ( )/

( ) . ( ) ( )/ ( )

. ( ) ( )/

ตอไปเราจะหา ( ) ( ) และ

22 1) จาก ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2) จาก ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

, - ⁄

3) จาก ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

, - ⁄

⁄

4) จาก . ( ) ( )/ [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

. ( ) ( )/ , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

23 ( ) ⁄

( )

เพราะฉะนน ( ) ( )

ดงนน ( ) . /

กรณท 1

นนคอ ( ) . /

กรณท 2

นนคอ ( ) . /

เพราะฉะนน ( ) ( ) นนคอ ( ) ( )

. ( ) ( )/ , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

, ( ) - ⁄

( )

เพราะฉะนน ( ) ( )

ดงนน ( ) ( *

กรณท 1

นนคอ ( ) (

* .

/

กรณท 2

นนคอ ( )

เพราะฉะนน ( ) ( ) นนคอ ( ) ( )

ดงนน ( )

( )

( ) เมอ , -

ดไดจากขอสงเกต 1.20

24

รปท 2.4 กราฟของ

ตวอยาง 2.13

ให ( ) {

รปท 2.5

นนคอ และ จะไดวา

( ) ∑ ( ) . ( ) ( )/

( ) . ( ) ( )/ ( )

. ( ) ( )/

25 ตอไปเราจะหา ( ) ( )

และ

1) จาก ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2) จาก ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

, - ⁄

3) จาก ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

, - ⁄

⁄

26

4) จาก . ( ) ( )/ [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

. ( ) ( )/ , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

( ) ⁄ ( )

เพราะฉะนน ( ) ( )

ดงนน ( ) . /

กรณท 1

นนคอ ( )

กรณท 2

นนคอ ( ) (

*

เพราะฉะนน ( ) ( ) นนคอ ( ) ( )

. ( ) ( )/ , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

, ( ) - ⁄

( )

เพราะฉะนน ( ) ( )

ดงนน ( ) ( *

กรณท 1

นนคอ ( ) .

/

กรณท 2

นนคอ ( ) (

*

เพราะฉะนน ( ) ( ) นนคอ ( ) ( )

ดงนน ( )

( )

( ) เมอ , -

27

รปท 2.6 กราฟของ

ตวอยาง 2.14

ให ( ) {

รปท 2.7

นนคอ และ จะไดวา

( ) ∑ ( ) . ( ) ( )/

( ) . ( ) ( )/ ( )

. ( ) ( )/

28 ตอไปเราจะหา ( ) ( )

1) จาก ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2) จาก ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

, - ⁄

3) จาก ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

, - ⁄

⁄

29

4) จาก . ( ) ( )/ [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

. ( ) ( )/ , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

( ) ⁄

( )

เพราะฉะนน ( ) ( )

ดงนน ( ) .

/

กรณท 1

นนคอ ( ) .

/

กรณท 2

นนคอ ( ) .

/

เพราะฉะนน ( ) ( ) นนคอ ( ) ( )

. ( ) ( )/ , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

, ( ) - ⁄

( )

เพราะฉะนน ( ) ( )

ดงนน ( ) ( *

กรณท 1

นนคอ ( ) .

/

กรณท 2

นนคอ ( ) (

*

เพราะฉะนน ( ) ( ) นนคอ ( ) ( )

30

ดงนน ( )

( )

( ) เมอ , -

รปท 2.8 กราฟของ

ตวอยาง 2.15

ให ( ) {

( )

( )

รปท 2.9

31 นนคอ และ จะไดวา

( ) ∑ ( ) . ( ) ( )/

( ) . ( ) ( )/ ( )

. ( ) ( )/

ตอไปเราจะหา ( ) ( )

1) จาก ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2) จาก ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

( ) ( )

3) จาก ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

⁄

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

( ) ( )

32

4) จาก . ( ) ( )/ [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )⁄

. ( ) ( )/ , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ⁄

( ) ⁄

เพราะฉะนน .

/

( )

ดงนน ( )

( )

กรณท 1 ⁄

นนคอ ( )

( )

กรณท 2 ⁄

นนคอ ( )

( )

เพราะฉะนน ( ) ( ) นนคอ .

/ .

/

. ( ) ( )/ , ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) ( ) ( ) ( )- ( )⁄

, ( ) - ( )⁄

เพราะฉะนน .

/

( )

ดงนน ( )

(( ) )

กรณท 1 ( ) ( )

นนคอ ( )

( )

กรณท 2 ( ) ( )

นนคอ ( )

,( ) -

33

เพราะฉะนน ( ) ( ) นนคอ .

/ .

/

ดงนน ( ) .

/ ( ) .

/ เมอ , -

รปท 2.10 กราฟของ เมอ

34

บทท 3 การแยกตวประกอบของผลรวมปะตดของคอปลา

การแยกตวประกอบนนหลาย ๆ คนคงเคยไดยนมาบางแลวเกยวกบการแยกตวประกอบของพหนาม ซง

เมอแยกตวประกอบไดแลวกจะท าใหเราทราบถงความสมพนธของพหนามนนได ส าหรบในโครงงานนเราสนใจศกษา

การแยกตวประกอบผลรวมปะตดของคอปลา

เพอความงายในการศกษาการแยกตวประกอบนนเราจะแสดงวธการคณของ เปนอนดบแรก

จากตวอยางในบทท 2 สงเกตวา คอปลาทเกดจากการแบงตามแนวแกน สามารถเขยนไดเปน

( ) .

/ ( ) .

/

และคอปลาทเกดจากการแบงตามแนวแกน สามารถเขยนไดเปน

( ) .

/ ( ) (

*

โดยท

ตวอยาง 3.1 ให ( ) ( )

( ) จงหา และ

วธท า เนองจาก ( ) ( ) ( )

( )

รปท 3.1 กราฟของ

35

( )( ) ∫ ( ) ( )

∫

[

( )

( )]

[

( )

( )]

∫

( )

( )

∫

( )

( )

∫

( )

( )

∫

( )

( )

จาก

( ) 2

( ) 2

นนคอ

( )

,

) เมอ

และ

( )

(

) เมอ

เมอแทนคาจะได

( )( )

∫( )

( )

∫( )

( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

∫

( )

∫

( )

โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส

( )( )

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

( )

และ ( )( ) ∫ ( ) ( )

36

∫

[

( )

( )]

[

( )

( )]

∫

( )

( )

∫

( )

( )

∫

( )

( )

∫

( )

( )

จาก

( ) 2

( ) 2

( )( )

∫

( )

∫

( )( )

∫

( )

∫

( )

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

( )

( )

( )

( )

รปท 3.2 กราฟของ

37

ตวอยาง 3.2 ให ( ) . / ( ) .

/ และ

( ) .

/ ( ) (

* จงหา

วธท า

( )( ) ∫ ( ) ( )

∫

0 .

/ ( ) .

/1

[ .

/ ( ) (

*]

∫

.

/

.

/

( )∫

.

/

(

*

( ) ∫

.

/

.

/

( )( )∫

.

/

(

*

( ) .

/ ( )( ) (

*

( ) ( ) .

/ ( )( )( ) (

*

ตวอยาง 3.3 ให ( ) .

/ ( )

. / และ

( ) .

/ ( )

(

* จงหา

วธท า จากตวอยาง 3.2 จะไดวา

( )( ) (

) .

/ ( )(

) (

*

38

( ) (

) .

/

( )( )(

) (

*

จากทฤษฎบท 2.7 จะไดวา

( )( ) .

/ ( )

(

*

( ) .

/

( )( ) (

*

เนองจากผลรวมปะตดของคอปลาสามารถเขยนใหอยในรปของเมทรกซได แตการจะใสคอปลาใด ๆ เขาไป

ตรง ๆ อาจไมสอใหเหนภาพมากนก เนองจากเมทรกซปกตจะใหความส าคญกบแถวกอน ถงจะตอดวยหลก แตส าหรบ

คอปลาแลว จะใหความส าคญกบหลกกอนถงจะตอดวยแถว

บทนยาม 3.4 ให เปนคอปลา และ

โดยท และ เรานยามคอปลา โดยให

( ) .

/ ( ) (

*

( ) (

*

( ) (

* ( )( ) (

*

( )( ) (

*

( ) (

*

( )( ) (

*

( )( ) (

*

เราสามารถเขยน ใหอยในรป เมทรกซของผลรวมปะตดของคอปลา ( Matrix of Patched Copulas ) ดงน

39

[

]

( ) ( )

นนคอ ถา

, -( )

ถา

[

]

( )

ตวอยาง 3.5 จากตวอยาง 3.2 เขยนคอปลาใหอยในรปเมทรกซของผลรวมปะตดของคอปลาไดดงน

, -( ) [

]( )

และ [

]( ) ( )

ตวอยาง 3.6 จากตวอยาง 3.3 เขยนคอปลาใหอยในรปเมทรกซของผลรวมปะตดของคอปลาไดดงน

[

]( )

*

+

( )

และ

*

+( ) ( )

ทฤษฎบท 3.7 ให , -( ) และ [

]

( )

แลว

[

]

( ) ( )

พสจน ( )( ) ∫ ( ) ( )

∫

[ (

* ( ) (

*

( ) (

*]

40

[ (

* ( ) (

*

( ) (

*]

∫

(

*

(

*

( )∫

(

*

(

*

( )∫

(

*

(

*

( ) ∫

(

*

(

*

( )( )∫

(

*

(

*

( )( )∫

(

*

(

*

( ) ∫

(

*

(

*

( )( )∫

(

*

(

*

( )( )∫

(

*

(

*

( ) .

/ ( )( ) (

*

( )( ) (

*

( ) ( ) (

*

( )( )( ) (

*

41

( )( )( ) (

*

( ) ( ) (

*

( )( )( ) (

*

( )( )( ) (

*

ดงนน

[

]

( ) ( )

ตวอยาง 3.8 จากตวอยาง 3.1 จะไดวา

0

1.

/ , -

.

/ , -

, -.

/ 0

1.

/ 0

1.

/ .

/

ตวอยาง 3.9 ให , -( ) และ 0

1( )

จงหา

, -( ) 0

1( )

0

1( ) ( )

0

1( ) ( )

ตวอยาง 3.10 ให , -( ) และ [

]

( )

หา

, -( ) [

]

( )

[

]

( ) ( )

[

]

( ) ( )

เนองจากผลคณ ของคอปลามสมบตตามทฤษฎบท 2.5 นนคอ เปนเอกลกษณการคณ , คณกบ

คอปลาใด ๆ แลวได และ จะเหนไดวา * + มสมบตการคณเหมอนกบ * +

กลาวคอมฟงกชนหนงตอหนงและทวถง * + * + ทนยามโดย

( ) ( ) ( ) และ มสมบต

( ) ( ) ( )

42 เราสามารถพสจนโดยพจารณาทกกรณทเปนไปไดดงน

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

และ ให [

]

( ) ( )

เปนคอปลา

เรานยามให ( )

[ ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ]

จะสงเกตไดวาเมทรกซ ( ) เกดจากการน า ( ) มาจดเรยงใหมโดยทรานสโพสเทยบกบแนว

และเมอก าหนดวธการแบงชวง ในแกน และ นนคอก าหนด ( ) และ ( ) มา

ให สงเกตวาฟงกชน น เปนฟงกชนหนงตอหนงและทวถง จากเซตของคอปลาของผลรวมปะตดทเกดจากการแบง

โดยวธขางตน และคอปลาภายในเมทรกซเปน เทานน ไปสเซตของเมทรกซ ทมสมาชกเปน

ทฤษฎบท 3.11 ก าหนดให เปนผลรวมปะตดของคอปลา จะไดวา ( ) ( ) ( )

พสจน จากทฤษฎบท 3.7 เมอ

, -( ) และ [

]

( )

43

แลว [

]

( ) ( )

ดงนน ( ) [

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

]

[

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

]

[

( )

( )

( )

] , ( ) ( ) ( )-

( ) ( )

ตวอยาง 3.12 จากตวอยาง 3.9 จะไดวา ( ) 0

1 และ ( ) , - จงหา

( ) 0

1 , - [( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

] 0

1 (0

1( ) ( )

)

เนองจากเปน ฟงกชนหนงตอหนง ดงนน 0

1( ) ( )

ตวอยาง 3.13 จากตวอยาง 3.10 จะไดวา ( ) 0

1 และ ( ) , - จงหา

( ) 0

1 , - 0

1 ([

]

( ) ( )

)

เนองจากเปน ฟงกชนหนงตอหนง ดงนน [

]

( ) ( )

เมอเราเขาใจการคณ ของคอปลาในรปของเมทรกซแลวเราจะมาดในทางตรงกนขามบางวา ถาเราม

คอปลาใด ๆ แลวเราจะแยกคอปลานนออกเปนสองคอปลาใด ๆ คณกนดวย ไดหรอไม ถาสามารถแยกตวประกอบ

ได คอปลาทงสองนนควรจะเปนอยางไร

44

บทนยาม 3.14 ให [

]( ) ( )

เปนผลรวมปะตดของคอปลา จะเรยก วา แยกตวประกอบได

ถาม * + ซง , -( ) [

]( )

ทฤษฎบท 3.15 ให [

]( ) ( )

เปนผลรวมปะตดของคอปลา แลว แยกตวประกอบได กตอเมอ

( )

พสจน ให ( ) 0

1 โดยท และ * +

( ) สมมต แยกตวประกอบได

ดงนน ม * + ซง , -( ) [

]( )

จะไดวา

( ) (, -( ) [

]( )

) (, -( )) ([

]( )

) 0

1 , -

[

]

เมอ ( ) ( ) ( ) ( )

ดงนน ( )

( ) สมมต ( ) 0

1

โดยทฤษฎบท 1.9 , , - , - ไมอสระเชงเสนตอกน

โดยบทนยาม 1.8 , , - , - , - โดยท และ ไมเปน พรอมกน

ถา แลว , -

, -

ถา แลว , - , -

โดยไมเสยในทวไป จะพจารณา กรณท

เนองจากแตละ * + ดงนน

* +

นนคอ ม * + ซง ( )

จะไดวา

( ) 0

1 *

+ *

+ , -

45

(, -( )) ([

]( )

)

(, -( ) [

]( )

)

ดงนน , -( ) [

]( )

ผลคณจากการแยกตวประกอบของผลรวมปะตดของคอปลา นนมไดหลายค าตอบ ดงจะเหนได

จากตวอยางดงตอไปน

ตวอยาง 3.16 ให 0

1( ) ( )

จงพจารณาวา แยกตวประกอบไดหรอไม ถาไดจงหาคอปลาทงสองนน

วธท า เนองจาก (0

1( ) ( )

) 0

1

จะไดวา 0

1

โดยทฤษฎบท 3.15 จะไดวา แยกตวประกอบได และสามารถแยกไดเปน

(0

1( ) ( )

) 0

1

0

1 , -

(, -( )) (0

1( )

)

(, -( ) 0

1( )

)

นนคอ 0

1( ) ( )

, -( ) 0

1( )

หรอ

(0

1( ) ( )

) 0

1

0

1 , -

(, -( )) (0

1( )

)

46

(, -( ) 0

1( )

)

นนคอ 0

1( ) ( )

, -( ) 0

1( )

ตวอยาง 3.17 ให 0

1( ) ( )

จงพจารณาวา แยกตวประกอบไดหรอไม ถาไดจงหาคอปลาทงสองนน

วธท า เนองจาก (0

1( ) ( )

) 0

1

จะไดวา 0

1

โดยทฤษฎบท 3.15 จะไดวา ไมสามารถแยกตวประกอบได

ตวอยาง 3.18 ให 0

1( ) ( )

จงพจารณาวา แยกตวประกอบไดหรอไม ถาไดจงหาคอปลาทงสองนน

วธท า เนองจาก (0

1( ) ( )

) 0

1

จะไดวา 0

1

ดงนน แยกตวประกอบได

(0

1( ) ( )

) 0

1

0

1 , -

(, -( )) (0

1( )

)

(, -( ) 0

1( )

)

นนคอ 0

1( ) ( )

, -( ) 0

1( )

หรอ

(0

1( ) ( )

) 0

1

0 1 , -

(, -( )) (0

1( )

)

47

(, -( ) 0

1( )

)

นนคอ

0

1( ) ( )

, -( ) 0

1( )

ตอไปเราจะท าการแยกตวประกอบของผลรวมปะตดของคอปลา โดยทคอปลาภายในเมทรกซเปน

คอปลาเฟรเชต

ก าหนดให { }

, - นยามโดย

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ทฤษฎบท 3.19 (

) ( ) (

)

พสจน โดยทฤษฎบท 2.7 จะไดวา

ดงนน (

)

( )( )

( ) (

)

บทนยาม 3.20 ให *

+( ) ( )

เปนผลรวมปะตดของคอปลา จะเรยก วา แยกตว

ประกอบไดในคอปลาเฟรเชต ถาม

และ

ซง

[

]( )

*

+

( )

ทฤษฎบท 3.21 ก าหนดให และ เมอ

ถา *

+( ) ( )

แยกตวประกอบไดในคอปลาเฟรเชต

แลว ( ( )) ( ) และ

โดยท ([

]( ) ( )

) และ ([

]( ) ( )

)

48 พสจน สมมต แยกตวประกอบไดในคอปลาเฟรเชต

นนคอ ม

และ

ซง [

]( )

*

+

( )

เนองจาก ([

]( ) ( )

) 0

1

และ ([

]( ) ( )

) 0

1 ดงนน

1) ( ) (*

+( ) ( )

+ 0

1

และ ( ) .[

]( )

/ (*

+

( )

+ 0

1 , -

[( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )]

( ) ( ) [( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )]

( )( )( )( )

( )( )( )( )

2) จาก [

]( )

*

+

( )

*

+( ) ( )

จาก

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

จาก

( )( ) ( )( )

49 ( ) ( )

( )( )

( )( )

ดงนน

ทฤษฎบท 3.22 ก าหนดให และ เมอ

ซง *

+( ) ( )

โดยท ([

]( ) ( )

)

และ ([

]( ) ( )

)

ถา ( ) และ แลว มเมทรกซขนาด ซง

และ

นนคอ แยกตวประกอบไดในคอปลาเฟรเชต โดย เมอ และ เปนผลรวมปะตดของคอปลา ซง

( ) และ ( )

พสจน สมมต ( ) และ

( ) ( )( ) ( )( )

ดงนน

โดยไมเสยนยทวไป จะเหลอกรณท และ กบ และ

กรณท 1 และ

โดยทฤษฎบท 1.9 และบทนยาม 1.8

, - , - ซง และ

, - , - ซง

ดงนน

( ) ( )

ถา นนคอ

50 ดงนน , - , - และ , - , -

นนคอ 0

1 0

1 , - 0

1 , -

0

1 0

1 , - 0

1 , -

ถา จะไดวา

นนคอ 0

1

โดยไมเสยนยทวไป ให

โดยวธเดยวกบทฤษฎบท 3.15 หนา 44 , - , - ซง

นนคอ 0

1 0

1 0

1 , - 0 1 , -

0

1 0

1 , - 0

1 , -

กรณท 2 และ

โดยทฤษฎบท 1.9 และบทนยาม 1.8

, - , - ซง และ

, - , - ซง

ดงนน

( ) ( )

ถา นนคอ

ดงนน , - , - และ , - , -

นนคอ 0

1 0

1 , - 0

1 , -

0

1 0

1 , - 0

1 , -

ถา จะไดวา

นนคอ 0

1

โดยไมเสยนยทวไป

โดยวธเดยวกบขางตน , - , - ซง

นนคอ 0

1 0

1 0

1 , - 0 1 , -

51

0

1 0

1 , - 0

1 , -

ตวอยาง 3.23 ให *

+

( ) ( )

จงพจารณาวา แยกตวประกอบไดในคอปลาเฟรเชตหรอไม

ถาไดจงหาคอปลาทงสองนน

วธท า เนองจาก ( ) (*

+

( ) ( )

, *

+ *

+

จะไดวา ( ) .

/

.

/

และ *

+ *

+

ดงนน . / .

/ .

/ .

/ และ . / .

/ .

/ .

/

โดยทฤษฎบท 3.22 จะไดวา แยกตวประกอบไดในคอปลาเฟรเชต

จาก 0

1 0 1 และ 0

1

0 1

ดงนน

นนคอ

*

+ *

. /

. /

+ * + 0

1 0

1 0

1

และ

*

+ *

. /

. /

+ * + 0

1 0

1 0

1

ดงนน 0

1( )

*

+

( )

ตวอยาง 3.24 ให *

+

( ) ( )

จงพจารณาวา แยกตวประกอบไดในคอปลาเฟรเชตหรอไม

ถาไดจงหาคอปลาทงสองนน

วธท า เนองจาก ( ) (*

+

( ) ( )

, *

+

52 จะไดวา ( )

จาก *

+ .

/ .

/ .

/ . /

และ

*

+ . / .

/ .

/ .

/

แต *

+

( ) ( )

0

1( )

*

+

( )

นนคอ แยกตวประกอบไดในคอปลาเฟรเชต

เราสามารถแยกตวประกอบของผลรวมปะตดของคอปลาเฟรเชตสองตวแปรใหอยในรปอยางงายไดโดย

ทฤษฎบท 3.22 ส าหรบตวอยาง 3.24 นนสอดคลองกบบทกลบของทฤษฎบท 3.21 ซงยงไมทราบวาจรงหรอไม และ

ขอบเขตงานในครงนยงจ ากดอยในเมทรกซขนาด ซงอาจจะขยายไปยง ได ดงนนจะมการศกษาผล

การแยกตวประกอบของผลรวมปะตดของคอปลาเฟรเชตตอไปในอนาคต

51

รายการอางอง [1] P.A. Stoimenov and K.F. Siburg, A scalar product for copulas, J. Math. Anal. Appl. Vol.344 (2008)

429–439. [2] R.B. Nelsen, An Introduction to Copulas. Spinger, New York, 1999. [3] W.F. Darsow, B. Nguyen and E.T. Olsen, Copulas and Markov processes, Illinois

Journal of Mathematics, Vol.36, No.4, (1992) 600-608. [4] Y. Zheng, J. Yang and J.Z. Huang, Approximation of bivariate copulas by patched bivariate Fréchet copulas, Insurance: Mathematics and Economics Vol.48 (2010) 246-256.

52

ภาคผนวก แบบเสนอหวขอโครงงานรายวชา 2301399 Project Proposal

ภาคตน ปการศกษา 2554 ชอโครงงาน(ภาษาไทย) การแยกตวประกอบของผลรวมปะตดของคอปลาเฟรเชตสองตวแปร ชอโครงงาน(ภาษาองกฤษ) Factorization of Patched Bivariate Fréchet Copulas อาจารยทปรกษา ผชวยศาสตราจารย ดร.ทรงเกยรต สเมธกจการ ผชวยศาสตราจารย ทพวลย สนตวภานนท ผด าเนนการ นายนพดล ก านจอย รหสประจ าตว 5133567523

หลกการและเหตผล

คอปลา คอ ฟงกชนทบงบอกถงความสมพนธระหวางตวแปรสมไมขนกบการแจกแจงของตวแปรสมนนๆ ตวอยางทส าคญของคอปลาสองตวแปร เชน เปนคอปลาของตวแปรสม และ ทเปนฟงกชนเพมของกนและกน, เปนคอปลาของตวแปรสม และ ทเปนฟงกชนลดของกนและกน และ เปนคอปลาของตวแปรสม และ ทอสระตอกน โดยผลบวกนนของคอปลาทงสามเปนตวแบบหนงของคอปลาทมความสมพนธระหวางตวแปรสมทหลากหลาย ซงมชอเรยกวาคอปลาเฟรเชต

Zheng, Yang และ Huang นยามผลรวมปะตดของคอปลา (Patched Copula) เปนผลจากการน าคอปลาใด ๆ ทผานการปรบอตราสวนดวยฟงกชนการแจกแจงทเหมาะสมวางบนแตละชองสเหลยมในผลแบงกนหนง ๆ ของ , - และแสดงวาเราสามารถประมาณคอปลาใด ๆ ไดดวยผลรวมปะตดของคอปลาเฟรเชตไดเสมอ

Darsow, Nguyen และ Olsen นยามการคณของคอปลาทคลายกบการคณเมทรกซ ซงมสมบตทส าคญ เชน สมบตการเปลยนกลม, สมบตการแจกแจง, เปนเอกลกษณการคณ, เปนฟงกชนทคณกบคอปลาใด ๆ แลวได และ สมบตเหลานสงผลใหผลคณของคอปลาเฟรเชตเปนคอปลาเฟรเชต เราจงสนใจทจะศกษาวธในการเขยนผลรวมปะตดของคอปลาเฟรเชตหนง ๆ ในรปผลคณของคอปลาทมรปงาย ๆ

วตถประสงค

1. เพอศกษาความรเบองตนและทฤษฎบทของคอปลา 2. เพอศกษาคอปลาทสามารถเขยนใหอยในรปของผลรวมปะตดของคอปลา 3. เพอศกษาการคณของคอปลาทนยามโดย Darsow, Nguyen และ Olsen 4. เพอหาวธการแยกตวประกอบของผลรวมปะตดของคอปลาใหอยในรปของผลคณของคอปลางาย ๆ

ขอบเขตของโครงงาน

1. ศกษานยามและสมบตพนฐานของคอปลาสองตวแปร 2. ศกษาการแยกตวประกอบของผลรวมปะตดของคอปลาใหอยในรปของผลคณของคอปลางาย ๆ

53 ตารางเวลาด าเนนงาน

ขนตอนการด าเนนการ เดอน

ม.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค. ม.ค. ศกษาเนอหาทเกยวของ เสนอหวขอโครงงาน ด าเนนการ เขยนรายงาน และตรวจสอบ ความถกตอง น าเสนอโครงงาน

ประโยชนทคาดวาจะไดรบ

1. ท าใหรจกคอปลาและสมบตตาง ๆ ของคอปลาสองตวแปร รวมถงตวอยางทส าคญของคอปลา 2. ท าใหไดวธการแยกตวประกอบของผลรวมปะตดของคอปลาใหอยในรปผลคณของคอปลาทมรปงาย ๆ อปกรณและเครองมอทใช

Microsoft Word, Microsoft PowerPoint, Adobe Reader และ Mathematica