เฉลยข้อสอบ

วชิา NP 205 การวเิคราะห์วงจรไฟฟ้า ปีการศึกษา 3/2560 สอบเวลา 9.00-12.00 น. ห้อง 7207

ข้อ 1 ในรูปท่ี 1 วงจรไฟฟ้า 3 เฟส จงหาก าลงัเฉล่ียท่ีโหลดแบบเดลตา้ขนาด 21 24Z j = +

100 0 rmsV1

100 120 rmsV−1

100 120 rmsV1

0.5j

0.5j

0.5j

Z

Z

Z

รูปท่ี 1 วงจรไฟฟ้า 3เฟส

Step 1 แปลงวงจรไฟฟา้ 3 เฟส แบบY −ในรูปท่ี 1 ให้เป็นวงจรสมมลู 1 เฟส แบบ Y Y− โดย

ท่ี 3 YZ Z =

100 0 rmsV

1 0.5j

3Y

ZZ =

รูปท่ี 1.1 วงจรสมมูล single phase

ดงันั้น 21 247 8

3Y

jZ j

+= = +

Step 2 หา total load impedance

( ) ( )1 0.5 7 8 8 8.5TZ j j j= + + + = +

Step 3 หา กระแสไฟฟ้าในเฟส a

11.67262

100 0 100 08.567 46.74

8 8.5 46.74aI

j

= = = −

+ −

Step 4 หาก าลงัเฉล่ียท่ีโหลด

2 23 Re 3 8.567 7 1.541a YP I Z kW= = =

ในวธิีอ่ืนๆ การใช้ mesh analysis ในการแก้ปัญหา

Step 1 แปลงโหลด YZ Z → จะได้รปขา้งล่างน้ี

100 0 rmsV1

100 120 rmsV−1

100 120 rmsV1

0.5j

0.5j

0.5j

Z

Z

ZYZ

YZ

YZ

Step 2 ใช้ mesh analysis ในการวน loop ทัง้ 2 loop โดยก าหนดทิศทางของ I1 และ I2 จะ

ได้

100 0 rmsV1

100 120 rmsV−1

100 120 rmsV1

0.5j

0.5j

0.5j

1I

2I

YZ

YZ

YZ

Step 3 เขียนสมการ mesh analysis

Mesh ของ loop 1 ตามทิศทางของ I1 คือ

( ) ( )1 21 0.5 100 0 12 2 00 120Y YI j Z Ij Z − + + = − −+ +

เม่ือ 21 247 8

3 3Y

Z jZ j +

= = = +

( ) ( )1 28 8.516 17 01 0 30I jj I− + = −+ (1)

Mesh ของ loop 2 ตามทิศทางของ I2คือ

( ) ( )1 22 2 100 120 100 1201 0.5 Y YI j Z Ij Z− + + + = − − + +

( ) ( )1 216 178 8 5 0. 100 3 9j I j I+− + + = − (2)

Step 4 น าเอาสมการ (1-2) มาเขียนเมตริกซ์ จะได้ดงันีคื้อ

1

2

16 17 8 8.5

8 8

100 3 30

. 100 3 95 16 017

Ij j

Ij j

+ − − =

− − +

−

−

(3)

Step 5 หาค่า I1 โดยใช้ determinant ใน (3) ดงัแสดงต่อไปนี ้

ดงันัน้ 1

100 3 30 8 8.5

100 3 90 16 17 2400 +2550j8.567 46.74

16 17 8 8.5 -24.750 +408j

8 8.5 16 17

a

j

jI I A

j j

j j

− − −

− += = = = −

+ − −

− − +

Step 6 หาก าลงัเฉล่ียท่ีโหลด

2 23 Re 3 8.567 7 1.541a YP I Z kW= = =

ข้อ 2 ส าหรับวงจร RLC ของรูปท่ี 2 จงหาทรานเฟอร์ฟังกช์นั (Transfer function)

H(s) = Vo(s)/Vs(s) โดยสมมุติใหค่้าเร่ิมของกระแสไฟฟ้าในขดลวด L และ ค่าเร่ิม

แรงดนัไฟฟ้าคร่อม C มีค่าเป็นศูนย ์( ( ) ( ) 000 == cL vi )

sk v

21H

0.1F ov

+

−

4

รูปท่ี 2 วงจร RLC

Step 1 แปลงวงจรไฟฟา้ RLC ให้อยู่ใน s-domain จะได้

( )skV s

2S

10

S

( )oV s

+

−4

รูปท่ี 2.1 วงจร RLC

Step 2 ใช้วงจรแบ่งแรงดนัในการหา Transfer function จะได้

( )( )

( )4 / /(10 / )

2 4 / /(10 / )o s

sV s V s

s s=

+ +

จดัรูปใหม่

( )

( ) ( )2

40

404 1040 4 18 60

24 10

o

s

V s s

V s s ss

s

+= =+ +

+ ++

ข้อ 3 จงสเกต็กราฟ Bode ของสมการ ( )H ลงในกรดาษกราฟ Semi-Logarithmic Graph Paper

( )( )( )10 1

10H

j j

+ +=

Step 1 จดัรูป ( )H เพ่ือให้เข้ากบัรูปในตารางท่ี 2 จะได้

โดยท่ี ( )H ถกูหารด้วย10ทัง้เศษและส่วน

( )( )

( ) ( )

10

110

101

101 11

0

Hjj

jj

= =

++ ++

เม่ือใช้โปรแกรม MATLAB หาผลค าตอบของ Bode (H())ให้ผลลัพธ์ ดังนี ้

การประมาณค่าจากตารางท่ี 2 ได้ดังนี ้

0.1 1 10 100

-20

-40

-60

20

Mag

nit

ud

e (

dB

)P

hase

(d

eg)

-45

-90

-135

-180

1000

-80

-100

0.1 1 10 100 1000

Frequency (rad/s)

Frequency (rad/s)

10

120log

1 j+

10

120log

110

j+

( )1020log H

1tan10

−−

1tan −−

1 )tan (H −−

ข้อ 4 จงสเกต็กราฟ Bode ของ Vo(s)/Vi(s) จากรูปวงจร active filter ขา้งล่างน้ี

(10 คะแนน)

R

Vi(t)Vo(t)C

Step 1 หา Transfer function ของ Vo(s)/Vi(s) โดยแปล่ียนวงจรให้อยู่ใน s-domain

R

Vi(s)Vo(s)1/Cs

Vo(s)

Vo(s)

Step 2 ใช้ Node analysisจดัรูป Vo(s)/Vi(s) เพ่ือให้เข้ากบัรูปในตารางท่ี 2 แสดงได้ดงัต่อไปนี ้

คิด KCL ท่ี node Vo(s) คือ

01

o i oV V V

R

Cs

−+ =

1 io

VCs V

R R

+ =

1 io

VCRsV

R R

+ =

เพราะฉะนัน้ 1 1

11

1

o

i

V

sV CRs

CR

= =+

+

Step 3 เขียนกราฟ Bode ดงัแสดงได้ในตารางท่ี 2 ดงันี ้

เม่ือ 1p

CR= และ N=1

ข้อ 5 จงพิสูจนค์วามเสถียรภาพของ Vo(s)/Vs(s) จากรูปวงจร Op-amp ในรูปท่ี 5 เม่ือก าหนดให ้

R = 60 K และ C= 10 pF

Vs(t)

R

C

Vo(t)

R

2C

รูปท่ี 5

Step 1 แปลงรูปท่ี 5 ให้อยู่ใน s-domain

R

1/Cs

Vo(s)

R

1/2CsVs(s)

Vo(s)

Vo(s)

e1

Step 2 ใช้ Node analysis ในการพจิารณา KCL ของ node e1 และ Vo(s)

พจิารณา KCL node e1 จะได้

1 1 1 01

s o oe V e V e V

R R

Cs

− − −+ + = (1)

จดัรูปสมการ (1) จะได้

1

1 1 1 so

VCs e Cs V

R R R R

+ + − + =

1

2 1 so

VCRs CRse V

R R R

+ + − =

เอา R คณูตลอด

( ) ( )12 1 o sCRs e CRs V V+ − + = (2)

พจิารณา KCL node Voจะได้

1 01

2

o oV e V

R

Cs

−+ = (3)

จดัรูปสมการ (3) จะแสดงได้คือ

1 12 0o

eCs V

R R

− + + =

1 1 20o

e CRsV

R R

+ − + =

( )1 1 2 0oe CRs V− + + = (4)

น าสมการ (2)และ (4) มาเขียนเมตริกซ์ จะได้ดงันี ้

( ) ( )( )

12 1

1 1 2 0

s

o

CRs CRs e V

CRs V

+ − + = − +

(5)

ในสมการ(5) สามารถหา Vo ได้คือ

( )

( ) ( )( )

2

1 0

2 1

1 1 2

s

o

CRs V

VCRs CRs

CRs

+

−=

+ − +

− +

( )( ) ( ) ( )( )22 1 2 1 2 4 2 1

s so

V VV

CRs CRs CRs CRs CRs CRs CRs= =

+ + − + + + + − −

เพราะฉะนัน้ Transfer function ของระบบคือ

( )( )2 2

1

2 4 1

o

s

V

V CR s CRs=

+ + (6)

ในการพจิารณาความเสถียรภาพของระบบ

จะพจิารณาจาก Characteristic equation ของสมการ (6)เพ่ือหารากของ s ท่ีตกอยู่ในแกน

นอนเป็นค่าจ านวนจริงและแกนตัง้เป็นค่าของจินตภาพ ดงันัน้ Characteristic equation ของ

ระบบคือ ( )2 22 4 1CR s CRs+ +

จาก Characteristic equation เพ่ือหารากของ s ได้ดงันี ้

( )

( )

2 2

22

1,2

2 4 1 0

4, 2 , 4 , 1

2

CR s CRs

b b acs a CR b CR c

a

+ + =

− −= = = =

แทนค่า

( ) ( )

( )

( )2 2 2

1,2 2

4 4 8 4 4 8 4 16 8

4 44

CR CR CRs

CR CRCR

− − − − − −= = =

1,2

4 8 4 2 2 2 2 2 1

4 4 2 2s

CR CR CR CR

− − − − = = = =

1 2

2 1 2 1,

2 2s s

CR CR

− + − −= =

พจิารณาราก s1และ s2 อยู่บนเส้นจ านวนจริงทางด้าน ลบทัง้ s1และ s2 ดงันัน้ระบบเสถียรภาพ

ตารางที ่1

ตารางที ่2