การสํารวจด วยคล ื่นสั่นสะเท ือน ทฤษฎีและหล ักการ · 354 ธรณีฟ สิกส เพื่อการส

การสํารวจดวยคลื่นสั่นสะเทือน: ทฤษฎี และหลักการ 353

การสํารวจดวยคลื่นส่ันสะเทือน: ทฤษฎีและหลักการ

(Seismic Exploration: Theory and Concepts)

5.1 บทนํา

การสํารวจดวยคลื่นสั่นสะเทือน หรืออีกชื่อหนึ่งนิยมเรียกวา “การสํารวจดวยคล่ืนไหวสะเทือน” หรือเรียกทับศัพทวา “การสํารวจไซสมิก” ผูเขียนเห็นดวยกับชื่อภาษาไทยที่เรียกวา การสํารวจดวยคล่ืนสั่นสะเทือน เพราะคําวา “สั่น” จะทําใหเกิดภาพลักษณของการเคลื่อนที่ของอนุภาคตัวกลางแบบอัดและขยายไปตามทิศทางของคลื่นที่เคลื่อนที่ ลักษณะการเคลื่อนที่ของอนุภาคจะเปนแบบขึ้น-ลง ของคลื่นอัด (compressional wave) หรืออีกชื่อหนึ่งคือ คล่ืนปฐมภูมิ (primary wave) อันเปนคลื่นที่ผูเขียนตองการกลาวถึง โดยศึกษาเฉพาะกรณีของการสะทอนและหักเหกลับของคลื่นอัดขึ้นมาสูผิวดิน สวนคําวา “ไหว” เขาใจวานาจะมาจากความรูสึกของการรับรูจากคลื่นตามขวาง (transitional wave) ซ่ึงเดินทางมาชากวากวาคลื่นอัด ในจังหวะที่คล่ืนเคลื่อนผานตัวกลางจะทําใหอนุภาคตัวกลางเคลื่อนในทิศทางตั้งฉากหรือทํามุมกับทิศทางที่คล่ืนที่ผาน ไดแก คล่ืนเฉือน (shear wave or secondary wave) และคลื่นผิวดิน (surface wave) ซ่ึงไมใชลักษณะของคลื่นปฐมภูมิ (คล่ืนแรก) ที่ตองการกลาวถึง ดังนั้นคําวา “สั่นสะเทือน" จึงเหมาะสมและเกิดภาพลักษณที่สอดคลองกับคุณสมบัติ

ของคลื่นที่สํารวจไดถูกตองมากกวา แตหากสํารวจดวยคลื่นเฉือนแลวเรียกวา "ไหวสะเทือน" ผูเขียนจึงจะเห็นวาเหมาะสมกับภาพลักษณของการเดินทางของคลื่นที่ใชสํารวจมากกวา หรือหากจะแปลจากรากศัพท “seismic” มาจาก “seismos” หมายถึง “shock” อาการของ shock นาจะเปนการ “ส่ัน” มากกวา

การสํารวจดวยคล่ืนสั่นสะเทือนมีสองประเภท ไดแก การสํารวจดวยคล่ืนสั่นสะเทือนแบบหักเห (refraction seismic survey) และ การสํารวจดวยคลื่นสั่นสะเทือนแบบสะทอน (reflection seismic survey) เปนการสํารวจโดยอาศัยคุณสมบัติของคลื่นที่เมื่อเคลื่อนที่ผานตัวกลางตางชนิดชนิดกันจะเกิดปรากฏการณที่เรียกวา "การหักเหและการสะทอน" คํานิยามของการสํารวจวัดคลื่นสั่นสะเทือนแบบหักเหและแบบสะทอน (รูปที่ 5.1 และ 5.2) จากหนังสือพจนานุกรมการสํารวจทางธรณีฟสิกสของ Sheriff (1991) กลาวไวดังนี้

354 ธรณีฟสิกสเพื่อการสํารวจใตผิวดิน

(1) การสํารวจดวยคล่ืนสั่นสะเทือนแบบหักเห (Refraction Seismic Survey) การสํารวจดวยคล่ืนสั่นสะเทือนแบบหักเห (รูปที่ 5.1 และ 5.2) เปนการสํารวจลักษณะสภาพทางธรณีวิทยาใตผิวดิน โดยอาศัยคุณสมบัติการหักเหของคลื่น เมื่อเคล่ือนผานผิวรอยตอของตัวกลางตางชนิดกัน นั่นคือ ตัวกลางที่หนึ่งและตัวกลางที่สอง โดยที่เมื่อคล่ืนเคลื่อนผานตัวกลางหนึ่งเขาไปยังตัวกลางที่สอง และตัวกลางที่สองมีความเร็วคล่ืนสูงกวาตัวกลางที่หนึ่ง คล่ืนจะเกิดการเปลี่ยนแปลงทางเดินคลื่นเมื่อเคลื่อนเขาสูตัวกลางที่สอง ซ่ึงเราเรียกการเปลี่ยนทางเดินของคลื่นวา "การหักเห" คล่ืนจากการหักเหชนิดที่ทํามุมตั้งฉากกับเสนสมมุติแนวฉากกับ

ระนาบรอยตอระหวางตัวกลางที่หนึ่งและตัวกลางที่สอง เรียกวา “คล่ืนเฮด (head wave)” และมุมที่คล่ืนตกกระทบทําใหเกิดคลื่นหักเหทํามุมตั้งฉากกับเสนสมมุติแนวฉากกับระนาบรอยตอ เรียกวา "มุมวิกฤติ (critical angle)" คล่ืนเฮดจะเคลื่อนขนานไปกับระนาบรอยตอดวยความเร็วเทากับความเร็วคล่ืนของตัวกลางที่สองพรอมๆ กับเดินทางกลับสูตัวกลางที่หนึ่ง (ยกเวนถาทิศทางของคลื่นตกกระทบตั้งฉากกับรอยตอระหวางตัวกลาง ทิศทางของคล่ืนในตัวกลางที่สองจะไมมีการเปลี่ยนแปลง การหักเหจะไมเกิดขึ้น) ดังนั้นในการสํารวจดวยคล่ืนสั่นสะเทือนแบบหักเห เราจะสรางคลื่นสั่นสะเทือนดวยตัวกําเนิดคลื่น และคลื่นที่เคลื่อนออกจากตัวกําเนิดคลื่น เรียกวา “คล่ืนสัญญาณ (seismic signal)” เมื่อคล่ืนเคลื่อนผานรอยตอระหวางสองตัวกลาง นั่นคือ ช้ันหินตางชนิดกัน หากทิศทางของการเคลื่อนที่ของคลื่น จะเปลี่ยนแปลงทิศทางเมื่อเคลื่อนเขาสูตัวกลางที่สอง แสดงวาเกิดการหักเหที่จะตองมีการหักเหกลับสู ผิวดิน จากปรากฏการณดังกลาวนี้ เราสามารถนํามาหาความสัมพันธเทียบกับเวลา และระยะทางหลังจากปลอยคล่ืนออกจากตัวกําเนิดคลื่นลงสูตัวกลางใตผิวดิน และจับเวลาตั้งแตปลอยคล่ืนสัญญาณจนกระทั่งปรากฏของคลื่นหักเหกลับขึ้นมาสูผิวดินมาที่ตัวรับคลื่น จากการทราบระยะทางและเวลาของคลื่น สามารถนํามาคํานวณหาความลึกของรอยตอที่ทําใหคล่ืนหักเหและแปลความหมายหาชั้นดิน-หิน

(2) การสํารวจดวยคล่ืนสั่นสะเทือนแบบสะทอน (Reflection Seismic Survey) การสํารวจดวยคล่ืนสั่นสะเทือนแบบสะทอน (รูปที่ 5.1 และ 5.2) เปนการสํารวจลักษณะสภาพธรณีวิทยาใตผิวดิน โดยอาศัยคุณสมบัติการสะทอนของคลื่น เมื่อคล่ืนถูกปลอยออกไปกระทบกับรอยตอของตัวกลางสองตัวกลางที่มีคาอคูสติกสอิมพลีเดนส (acoustic impedance) แตกตางกัน (คาอคูสติกสอิมพลีเดนส คือ คาผลคูณของคาความเร็วคล่ืนและคาความหนาแนนของตัวกลาง) คล่ืนจะสะทอนกลับขึ้นมาสูผิวดินหลังจากที่คล่ืนสัญญาณถูกปลอยจากตัวกําเนิด


รูปท่ี 5.1 ภาพจําลองลักษณะธรณีวิทยาแบบสองชั้น ทําการสํารวจโดยมีตัวกําเนิดคลื่นปลอยคลื่นสัญญาณลงสูใตดิน เมื่อคลื่นกระทบกับรอยตอระหวางชั้นบนและชั้นลาง จะเกิดลักษณะการหักเหของคลื่นว่ิงเขาสูตัวรับคลื่นที่วางอยูบนผิวดิน

รูปท่ี 5.2 กราฟเสนทางเดินคลื่น (travel time curve) ที่เกิดจากลักษณะธรณีวิทยาคลายรูปจําลองในรูปที่ 5.1 ซึ่งมีคลื่นตรง (direct wave) คลื่นหักเห (refracted wave) คลื่นสะทอน (reflected wave) คลื่นผิวดิน (surface wave or ground roll) และ คลื่นอากาศ (air wave) ที่เดินทางจากจุดกําเนิดคลื่นไปยังตัวรับคลื่นที่เวลาแตกตางกันตามระยะหางที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ


คล่ืน จากนั้นทําการบันทึกคาของเวลา และแอมพลิจูด (amplitude) ของคลื่นที่สะทอนกลับขึ้นมาดวยตัวรับคลื่นที่อยูบนพื้นดิน จากคาความแตกตางของเวลาและแอมพลิจูด สามารถแปลความหมายหาความลึกของชั้นดิน-หิน จากผลการสะทอนกลับของคลื่น

ตารางที่ 5.1 เปรียบเทียบขอดีและขอดอยของการสํารวจแบบดวยคล่ืนสั่นสะเทือนแบบหักเหและแบบสะทอน สวนตารางที่ 5.2 แสดงขอดีและขอดอยของการทําการสํารวจดวยวิธีคล่ืนสั่นสะเทือนกับวิธีการสํารวจธรณีฟสิกสประเภทอื่น

ตารางที่ 5.1 ขอดีและขอดอยของการสํารวจคลื่นสั่นสะเทือนแบบหักเหและแบบสะทอน

ขอดีของการสํารวจแบบหักเห ขอดอยของการสํารวจแบบสะทอน (ใชจํานวนตัวรับคลื่นและตัวกําเนิดคลื่นนอยกวา (ใชตัวรับคลื่นและตัวกําเนิดคลื่นมากกวา (ใชเวลาในการปรับปรุง แกไขขอมูลนอยกวา และไมตองใชกับคอมพิวเตอรที่มีประสิทธิภาพสูง

( ตองทําการแกไข ปรับปรุงขอมูลมากกวา และตองใชกับคอมพิวเตอรที่มีประสิทธิภาพความเร็วสูง

(การแปลความหมาย ทําไดงายและรวดเร็ว อาจจะไมตองใชคอมพิวเตอรชวยถาขอมูลการสํารวจไมมากนัก

(จํานวนขอมูลที่ เก็บมา จะตองมากและตองอาศัยเทคนิคปรับปรุง ขอมูล และในการแปลความหมายขึ้นอยู กับ การ เก็บขอมูลและการแกไขขอมูลที่จําเปนตอง ถูกตองเหมาะสมเพื่อจะทําใหการแปลความถูกตอง

ขอดอยของการสํารวจแบบหักเห ขอดีของการสํารวจแบบสะทอน (การสํารวจแบบหักเหตองใชระยะทางของตัวกําเนิดคลื่นและตัวรับ คลื่นหางกันมากนอยขึ้นอยูกับความลึกที่ ตองการจะทําการสํารวจ

(การเก็บขอมูล ไมจําเปนตองใชระยะทางระหวางตัวกําเนิดคลื่น และตัวรับคลื่นมาก และความลึกของผลการสํารวจไมไดขึ้นตรงกับระยะหางของการวางจุดกําเนิดคลื่นและตัวรับคลื่น

(วิเคราะหตรวจสอบได เฉพาะบริเวณที่มีความเร็วของอนุภาคในชั้นใตผิวดินที่มีความเร็วเพิ่มขึ้น

(วิ เคราะหตรวจสอบได ไมวาจะมีความเร็วของอนุภาคในชั้นใตผิวดินเพิ่มขึ้นหรือลดลงตาม ความลึก

(จะแปลความหมายได ในรูปของชั้นดิน-หินที่มีโครงสรางไมซับซอน เชน มีการเอียงเทแบบงายๆ

(จะแปลความหมายไดในลักษณะภาพตัดขวางทางธรณีวิทยาที่มีโครงสรางทั้งซับซอนและไมซับซอน (มีการเอียง เท มีการคดโคง มีรอยเลื่อน)

(ดูเฉพาะคลื่นแรกที่เขา มายังตัวรับคลื่นเทานั้น (ดูคลื่นทุกตัวที่เขามาสู ตัวรับคลื่นเทียบกับเวลา (แปลความหมายไดโดยการสรางแบบจําลองขึ้นมาตรวจ สอบเพื่อความแมนยํา

(แปลความหมายไดโดยตรงจากภาพที่รับไดในรูปคลื่นที่มีความแตกตางกัน


ตารางที่ 5.2 ขอดีและขอดอยของการทําการสํารวจดวยคล่ืนสั่นสะเทือน

วิธีสํารวจดวยคล่ืนสั่นสะเทือน

ขอดี ขอดอย (สามารถหาขอบเขตการเปลี่ยนแปลงของชั้นดิน-หิน ในแนวระดับดานขาง และในแนว ดานความลึก โดยอาศัยความเร็วตอการถายทอดพลังงานของอนุภาคองคประกอบของชั้นดิน-หิน ที่มีความแตกตางกัน (สามารถแสดงขอมูลธรณีวิทยาโครงสรางใตผิวดินในรูปของคลื่นที่มีความแตกตางทางชวงกวางของคลื่น และความถี่ ( สามารถใชแบงช้ันดิน-หิน และในบางครั้งสามารถแปลความหมายเพื่อบงบอกถึงการตกสะสมตัวของตะกอนตางๆได จากภาพของคลื่นที่สะทอนผานกลับขึ้นมา (ผลของการสํารวจขึ้นอยูกับการตอบสนองตอคลื่นที่เคลื่อนที่ผานอนุภาคของชั้นดิน-หิน ที่มีคุณสมบัติทางความยืดหยุน และความหนาแนน ดังนั้นเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงชองวาง การกดอัด หรือชองวางถูกแทนที่ดวยน้ํา จะสามารถตรวจวัดได และแปลความหมายเชิงปริมาณไดคอนขางแมนยํา (การตรวจสอบจําพวกไฮโดรคารบอนอาจสามารถตรวจวัดได

(ตองบันทึกขอมูลเปนจํานวนมาก ในการที่จะแปลความ (เปนการสํารวจที่เสียคาใชจายสูง และตองเก็บขอมูลอยางเปนระบบที่มีความยุงยากกวาวิธีสํารวจทางธรณีฟสิกสประเภทอื่น ๆ ( การจัดเก็บและปรับแกขอมูลเสียเวลามาก และตองใชคอมพิวเตอรที่มีความเร็วสูง ในการทํางาน เนื่องจากมีขอมูลมาก (อุปกรณตางๆ ในการสํารวจจะมีราคาแพงมากกวาการสํารวจแบบอื่นๆ เปนอยางมาก (ตรวจหาสารพิษที่ปนเปอนไมได

5.2 ทฤษฎีความยืดหยุน (Theory of Elasticity) การสํารวจธรณีฟสิกสดวยคลื่นสั่นสะเทือน อาศัยหลักการที่คล่ืนเคลื่อนผานตัวกลางยืดหยุน การที่คล่ืนเคลื่อนไดชาหรือเร็ว จึงขึ้นอยูกับคุณสมบัติของความยืดหยุนของตัวกลาง ทฤษฎีความยืดหยุนกลาวถึงปริมาณของแรง (force) ภายนอกที่กระทําตอตัวกลางหรือวัตถุ ทําใหเกิดการเปลี่ยน


ลักษณะ (deformation) ซ่ึงจะเปนการเปลี่ยนขนาด รูปราง หรืออยางใดอยางหนึ่งหรือทั้งสองอยาง สวน

ใหญนิยมเรียกการเปลี่ยนลักษณะที่ถูกแรงกระทําสัมพันธกับความเคน (stress, σ) และความเครียด

(strain, ε) จนเปนที่พูดกันติดปากทั่วไปๆ คือ "เม่ือเกิดความเคนจะเกิดความเครียด" เมื่อกลาวถึงการเปลี่ยนลักษณะแบบยืดหยุนจะหมายถึง การเปลี่ยนลักษณะที่ไมเปนแบบถาวร

คือ เมื่อความเคนหายไปผลของการเปลี่ยนแปลงหรือความเครียดจะหายตามไปดวย ทั้งนี้วัตถุหรือตัวกลางจะกลับคืนสูสภาพเดิม ไมพบรองรอยวาเคยถูกความเคนมากอน ซ่ึงถาวัตถุมีการคืนสภาพเดิมทันทีที่ความเคนหายไป ถือวาวัตถุนั้นมีคุณสมบัติของความยืดหยุนแบบสมบูรณ ในการสํารวจวัดคลื่นส่ันสะเทือน สวนใหญจะสมมุติให ช้ันดิน-หินถือวามีคุณสมบัติยืดหยุนแบบสมบูรณ ในกรณีที่ออกแรงมากๆ หรือมีความเคนมาก จนทําใหหินแตก แสดงวาแรงกระทํานั้นกระทําตอหินเกินกวาขอบเขตของคาความยืดหยุนของหินที่จะรับแรงได จึงเกิดการเปลี่ยนลักษณะแบบถาวร ไมเปนไปตามทฤษฎีความยืดหยุน

5.2.1 ความเคน (Stress,σ)

ความเคน (stress,σ) คือ ปริมาณของแรงตอหนึ่งหนวยพื้นที่ (σ = F/A) ถาปริมาณของแรงเปล่ียนแปลงไป คาความเคนเปลี่ยนตามไปดวย หรือถาพื้นที่ที่กระทํามีขนาดเปลี่ยนไป คาความเคนเปลี่ยนไปดวยเชนกัน เราเรียกความเคนที่กระทําตั้งฉากกับพื้นผิววัตถุ (รูปที่ 5.3) วา “ความเคนตั้งฉาก

(normal stress)” และความเคนกระทําแบบสัมผัสและขนานไปกับพื้นผิววัตถุ วา “ความเคนเฉือน

(shears stress)” (รูปที่ 5.4) แตถาแรงกระทําแบบไมใชทั้งแบบตั้งฉากกับพื้นผิววัตถุ หรือขนานไปกับพื้นผิววัตถุ เราจําเปนตองแยกออกมาใหอยูในรูปขององคประกอบความเคนเฉือนและความเคนตั้งฉาก ตามหลักของการแยกแรง ถาวัตถุอยูในสภาวะที่สมดุลแสดงวาผลลัพธของความเคนที่เกิดจากแรงกระทําเทากับศูนย

5.2.2 ความเครียด (Strain, ε)

ความเครียด (strain, ε) คือ ปริมาณการเปลี่ยนลักษณะของวัตถุ เชน การเปลี่ยนแปลงรูปรางหรือการเปลี่ยนแปลงขนาดความกวาง ความยาว หรืออยางใดอยางหนึ่ง เมื่อวัตถุถูกความเคนเขามากระทํา ความเครียดไมมีหนวย แตจะพูดในปริมาณการเปลี่ยนลักษณะเปนรอยละหรือเปอรเซ็นต เพื่อใหงายและสัมพันธกับคลื่นสั่นสะเทือนที่เรากําลังใหความสนใจ ในที่นี้ขอยกตัวอยางแบบสองมิติของการพิจารณาความเครียด ดังแสดงในรูปที่ 5.4 ในระนาบ xy


รูปท่ี 5.3 ความเคนตั้งฉาก (σxx) และความเคนเฉือน (σyxและ σzx) ของวัตถุรูปแทงสี่เหลี่ยม สําหรับ σxx , σyx

หรือ σzx ในการใชตัวอักษรหอยทาย มีหลักการดังนี้ ตัวหอยตัวแรกจะใชบงบอกความเคนขนานไปกับแกนที่ถูกกระทํา ตัวที่สองจะบงบอกผิวหนา ที่ความเคนกระทําตั้งฉาก

จากรูปที่ 5.4 ถาลากเฉพาะเสน จาก P′R′ และ P′R พบวามีการหมุนของรูปดวยนั่นคือเกิดมุมเล็กๆ ขึ้น และถาสมมุติให u(x, y) และ v(x, y) พิกัดของแตละจุดเขียนไดดังนี้

),(:),(

);,(:),(

dyyvdx

xvvdyydy

yudx

xuudxxRdyydxxR

dyyvvdyydy

yuuxSdyyxS

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

++++++++′++

+++++′+

);,(:),(

);,(:),(

dxxvvydx

xuudxxQydxxQ

vyuxPyxP

∂∂

∂∂

+++++′+

++′


รูปท่ี 5.4 ผลความเครียดทําใหเกิดการเปลี่ยนลักษณะของวัตถุ จากรูปสี่เหลี่ยมผืนผา PQRS กลายเปนรูป

สี่เหลี่ยมขาวหลามตัด P′Q′S′R′ สี่เหลี่ยมที่ลากดวยเสนประมีขนาดเทากับรูปสี่เหลี่ยม PQRS ทับจุด P′' เพื่อใหเห็นการเปลี่ยนลักษณะเดนชัดมากขึ้น การกระจัด คือ u(x, y) และ v(x,y)

จากทฤษฎีความยืดหยุนจริงๆ แลว u และ v จะเปลี่ยนไปนอยมากๆ โดยเฉพาะดวยคลื่นที่เราใช

สํารวจ การเปลี่ยนลักษณะของตัวกลาง เราไมสามารถมองเห็นดวยตาเปลา ขนาดของการเปลี่ยนเกิดขึ้นประมาณ 10-8-10-11 % (Dobrin and Savit, 1988) เมื่อเปนเชนนี้ เราจึงสามารถที่จะกําหนดขอสมมุติพื้นฐาน (assumption) ขึ้นมาได คือ “หากมีความเครียดท่ีเกิดนอยกวาขนาดของปริมาตรที่เราใหความ

สนใจ เราสามารถกําหนดไดวา ผลคูณของจํานวนนอยๆ (หรือเขาหาศูนย) สองจํานวนหรือมากกวาสอง

จํานวน จะคูณหรือไมคูณก็ไมมีผลเพราะมีคานอยเกินพออยูแลว (คูณเขาไปก็นอยลงไปอีก ซ่ึงก็เกินกวา

ท่ีเราจะสนใจ)” จากรูป 5.4 การเคลื่อนของระยะ u และ v นั้นนอยมาก ดังนั้นเราสามารถพิจารณาไดดังนี้

(1) PQ และ PS ถูกทําใหยืดหรือหดดวยขนาด (∂u/∂x )dx และ (∂v/∂y)dy แต จะถือเอาผล

การเปลี่ยนขนาดความยาว (ความเครียด) คือ ∂u/∂x และ ∂v/∂y เทานั้นเพราะเปนผลคูณ

ของ ∂u/∂x และ ∂v/∂y กับขนาดของความยาว คือ dx และ dy ซ่ึงมีคานอยมาก ดังนั้นจะ


คูณหรือไมคูณก็ไดเพราะคานอยเกินไปอยูแลว จึงถือวาความเครียดที่เกิดขึ้นคือ ∂u/∂x

และ ∂v/∂y

(2) มุม δ1 และ δ2 จะเทากับ ∂v/∂x และ ∂u/∂y ตามลําดับ ถาไมถือตามเงื่อนไขพื้นฐาน จะไดวา

1tan

v dxxudx dxx

∂∂δ =∂

+∂

2tan

u dyyvdy dyy

∂∂δ =

∂+∂

แตในความจริงมีคานอยมาก และ tan ของมุมนอยมากๆ จะเทากับคาของมุมนั้นนั่นเอง ดังนั้นจึงกําหนดไดวา

1 2;v ux y

∂ ∂δ δ∂ ∂

= =

(3) มุมฉากของจุด P ถูกทําใหลดลงไป คือ (δ1+δ2)=(∂v/∂x)+(∂u/∂y) และ

(4) รูปสี่เหล่ียมถูกทําใหหมุนแบบทวนเข็มนาฬิกาดวยมุม (δ1-δ2)=(∂v/∂x)-(∂u/∂y)

ความเครียดตั้งฉากในที่นี้จะถือใหเทากับปริมาณ ∂u/∂x และ ∂v/∂y สวนความเครียดเฉือน

กําหนดใหเทากับปริมาณ (∂v/∂x)+(∂u/∂y) ปริมาณการหมุน คือ (∂v/∂x)-(∂u/∂y) และไมถือเปน

ความเครียดเพราะไมมีการเปลี่ยนขนาดหรือรูปราง ใชสัญลักษณ θz และกรณีสามมิติ จะไดความเครียดตั้งฉาก และความเครียดเฉือนดังนี้

; ;xx yy zzu v wx y z

∂ ∂ ∂ξ ξ ξ∂ ∂ ∂

= = =


xy yxv ux y

∂ ∂ξ ξ∂ ∂

= = +

yz zyw vy z

∂ ∂ξ ξ∂ ∂

= = +

zx xzu wz x

∂ ∂ξ ξ∂ ∂

= = +

และการหมุน

; ;x y zw v u w v uy z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ θ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − = − = −

การเปลี่ยนขนาดและรูปรางจากผลของความเคนตั้งฉาก ทําใหเกิดความเครียด ถาการเปลี่ยน

ปริมาตรตอหนึ่งหนวยปริมาตร เรียกวา “ไดเลทเทชัน (dilatation)” ใชสัญลักษณรูปสามเหลี่ยม (Δ)

xx yy zzu v wx y z

∂ ∂ ∂ξ ξ ξ∂ ∂ ∂

Δ = + + = + +

5.2.3 กฎของฮุค (Hooke' s law) ถาเมื่อพูดถึงทฤษฎีความยืดหยุน คงหลีกเลี่ยงไมไดที่จะไมพูดถึง กฎของฮุคที่กลาววา “ความเครียดเปนสัดสวนโดยตรงกับความเคน (stress is proportional to strain)” ถามีความเคนหลายๆ ความเคน และความเคนทําใหเกิดความเครียด และแตละความเคนไมขึ้นตรงตอกัน ผลความเครียดรวมจึงเกิดจากผลความเครียดรวมแตละคา รวมเขาดวยกันเปนคาเดียว ความเครียดมีความสัมพันธแบบเสนตรงกับความเคน กฎของฮุคจะมีความยุงยากมากถาตองคิดถึงทิศทางในแตละทิศทางที่มีการกระทําของแรง นั่นคือ ในแกนสามมิติ ความเคนมี 9 แนว และความเครียดก็มี 9 แนว แตเนื่องจากมีความ

สมมาตร ε12=ε21 , σ12=σ21 , ε23=ε32 , σ32=σ32 , ε31=ε13 และ σ31=σ13 ความเคนลดลงเหลือ 6 แนว และความเครียดลดลงเหลือ 6 แนวเชนกัน จะได 6 สมการ และมี 36 คาคงตัวดังนี้

σxx = C11 εxx+ C12 εyy+ C13 εzz+ C14 εyz+ C15 εzx+ C16 εxy

σyy = C21 εxx+ C22 εyy+ C23 εzz+ C24 εyz+ C25 εzx+ C26 εxy


σzz = C31 εxx+ C32 εyy+ C33 εzz+ C34 εyz+ C35 εzx+ C36 εxy

σxy = C41 εxx+ C42 εyy+ C43 εzz+ C44 εyz+ C45 εzx+ C46 εxy

σzx = C51 εxx+ C52 εyy+ C53 εzz+ C54 εyz+ C55 εzx+ C56 εxy

σzy = C61 εxx+ C62 εyy+ C63 εzz+ C64 εyz+ C65 εzx+ C66 εxy นั่นคือเราพิจารณาวัตถุแบบไมเปนเนื้อเดียวไมเทากันทุกทิศทาง (anisotropic) แตถาเราสมมุติใหวัตถุเปนเนื้อเดียวเทากันทุกทิศทาง หรือเรียกทับศัพทวา ไอโซโทรปค (isotropic) แลว ความสัมพันธก็จะงายขึ้น ดังแสดงขางลาง สําหรับกรณีวัตถุเปนเนื้อเดียวเทากันทุกทิศทาง

σxx = λΔ + 2μεxx

σyy = λΔ + 2μεyy

σzz = λΔ + 2μεzz

σxy = μεxy

σyz = μεyz

σxz = μεxz

เมื่อ λ คือ คาคงตัวของลาเม และ μ คือ คามอดูลัสเฉือน ขอย้ําอีกครั้งหนึ่งวา กฎของฮุคใชกับทฤษฎียืดหยุน ถาวัตถุถูกแรงกระทําเกินขอบเขตของความ

ยืดหยุน จนทําใหวัตถุเปลี่ยนไปไมคงสภาพเดิม กฎของฮุคยอมใชไมไดอีกตอไป ดังนั้นความเครียดไมเปนสัดสวนโดยตรงกับความเคน และคาคงตัวของความยืดหยุน ไดแก คามอดูลัสของยัง คาบัคลมอดูลัส คามอดูลัสเฉือน คาปวซองสเรโช และคาคงตัวของลาเม ซ่ึงจะไดกลาวรายละเอียดใหหัวขอที่ 5.12

5.3 การเคลื่อนที่ของคลื่น (Wave Motion) 5.3.1 คลื่นส่ันสะเทือนเกิดไดอยางไร

คล่ืนสั่นสะเทือนเกิดขึ้นเมื่อมีการถูกรบกวนของอนุภาค ทําใหอนุภาคมีการเปลี่ยนแปลงแบบยืดหยุน เชน เมื่อมีคล่ืนกระแทกเกิดขึ้น อนุภาคในบริเวณที่ถูกกระแทกหรือถูกรบกวน จะเกิดการเปล่ียนแปลง แตอนุภาคไมไดเคลื่อนที่ไปกับคลื่น มีเพียงพลังงานที่ถูกถายทอดหรือเคลื่อนที่ออกไป


การเปลี่ยนแปลงของอนุภาคสามารถกลับคืนสูรูปเดิมได โดยไมมีการเปลี่ยนแปลงใหเห็นเมื่อคล่ืนเคลื่อนผานไปแลว ตัวอยางที่ทําใหเกิดภาพลักษณอธิบายการเกิดคลื่นและการเคลื่อนที่ของคลื่นไดดีคือ เมื่อโยนกอนหินลงในสระน้ํานิ่ง โดยที่กอนหินที่โยนลงไปเปนตัวกําเนิดคลื่น ผิวน้ําบริเวณนั้นถูกรบกวนดวยกอนหิน และคลื่นจะเกิดจากกอนหินกระแทกกับผิวน้ํา คล่ืนเดินทางออกจากจุดกําเนิดคลื่น โดยเริ่มจากการแพรกระจายออกไปรอบๆ ลักษณะคลื่นน้ําที่แพรกระจายออกไป (รูปที่ 5.5) หากจะกลาวเชิงปริมาณก็สามารถใชฟงกชันทางคณิตศาสตรงายๆ ที่เรียกวา ซายน (sine) หรือโคซายน (cosine) อธิบายลักษณะการเคลื่อนที่ของคลื่นน้ําได ดังแสดงในรูปที่ 5.6 (ก) และ (ข) ลักษณะของคลื่นสามารถเทียบไดในเชิงของระยะทาง (รูปที่ 5.6 (ก)) หรือเทียบไดเชิงของเวลา (รูปที่ 5.6 (ข)) ซ่ึงทั้งในเชิงของระยะทางและเวลามีความสัมพันธกัน นั่นคือ ความเร็ว (velocity) จากรูปที่ 5.6 (ก) ความกวางของแอมพลิจูด (amplitude) วัดจากทองคลื่นถึงยอดคลื่นหารดวยสอง สวนความยาวคลื่น (wave length) คือระยะตั้งแตยอดคลื่นแรกทับกับยอดคลื่นตัวที่ถัดมา (รูปที่ 5.6)

รูปท่ี 5.5 ลักษณะของคลื่นน้ําที่เมื่อโยนกอนหินลงในบริเวณน้ํานิ่ง คลื่นจะกระจายออกเปนรูปวงกลมที่ผิวน้ํา

ทุกทิศทุกทาง

5.3.2 คลื่นส่ันสะเทือนเคลื่อนที่ไดอยางไร (How Seismic Waves Propagate?)

การเคลื่อนที่ของวัตถุเราใชกฎขอสองของนิวตัน (Newton's second law) มาคํานวณเชิงปริมาณของการเคลื่อนที่ การเคลื่อนที่ของคลื่นก็เชนเดียวกัน ซ่ึงเราเริ่มจากฎขอที่สองของนิวตัน ดังนั้นเราจึงตองหาสมการการเคลื่อนที่ของคลื่นในเบื้องตน ซ่ึงในที่นี้จะแสดงทั้งหนึ่งมิติและสามมิติ หมายเหตุ:


กรณีที่ตองการศึกษารายละเอียดเพิ่มเติม หนังสือของ Lay and Wallace (1995) ที่เขียนอธิบายคอนขางละเอียดเกี่ยวกับสมการคลื่นทั้งหนึ่งมิติและสามมิติ

รูปท่ี 5.6 ลักษณะของคลื่น (ก) ระยะทางของคลื่นกับความกวาง คลื่นจะมียอดคลื่น (peak) ทองคลื่น (trough) ชวงความกวางของคลื่น (amplitude) ความยาวคลื่น (wave length) ในรูปชวงกวางของคลื่น (amplitude) รูปแสดงขณะที่เวลาที่สังเกตชวงใดชวงหน่ึง (fixed time) (ข) ความสัมพันธเวลากับความกวางของคลื่น และแสดงเวลาที่อนุภาคของตัวกลางสั่นกลับไปมาครบหนึ่งรอบ ซึ่งเรียกวา คาบ (period) ในรูปแสดงขณะสังเกตที่ระยะใดระยะหนึ่ง (fixed distance)

5.3.2.1 สมการคลื่นแบบหนึ่งมิติ (One-Dimensional Wave Equation)

สมการคลื่นสามารถแสดงวิธีการหาไดงายๆ โดยพิจารณาในหนึ่งมิติ ดังรูปที่ 5.7 โดยสมมุติใหออกแรงกระทําตอแทงลูกบาศก แทงลูกบาศกมีการเปลี่ยนลักษณะแบบยืดหยุน เกิดการกระจัด u(x,t) และสามารถเขียนสมการโดยอาศัยกฎขอสองของนิวตันไดดังนี้คือ

0F ma∑ = ≠ และเพราะวา

FA

σ =


เมื่อ F คือ แรง มีหนวยเปน นิวตัน m คือ มวล (ปริมาตร x ความหนาแนน) A คือ พื้นที่ a คือ ความเรง

รูปท่ี 5.7 แทงลูกบาศก เมื่อมีแรงกระทําทําใหเคลื่อนที่เปนระยะทาง ΔX1 มีคามอดูลัสของยัง (E) และ ความ

หนาแนน (ρ ) ออกแรงในทิศทาง X1 ซึ่ง X2 และ X3 หรือ Y และ Z เปนศูนย

แทนคาความเคนรวม มวล (m) และอัตราเรง (a) จากรูปที่ 5.7 จะได

2

11 11 2( 1) 1xx

x

ux dA x dAx t

∂σ ∂σ σ ρ∂ ∂

⎡ ⎤+ Δ − = Δ⎢ ⎥

⎣ ⎦

แกสมการและยายคา

211

21

1 1 ux xx t

∂σ ∂ρ∂ ∂

Δ = Δ

211

21

ux t

∂σ ∂ρ∂ ∂

=

แทนคาของความเคนจากกฎของฮุค แบบหนึ่งมิติ

2 2

11 112 21 1

;u u uE E Ex t x

∂ ∂ ∂ρ δ ξ∂ ∂ ∂

= ∴ = =


ดังนั้นจะได

2 2 2

2 2 2 2

1 ;u u u EVx E t V t

∂ ρ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ρ

= = ∴ =

เมื่อให 2 21/c V= ดังนั้น สมการคลื่น คือ

2 2

22 2

u ucx t∂ ∂

=∂ ∂

(5.1)

5.3.2.2 สมการคลื่นแบบสามมิติ (Three-Dimensional Wave Equation)

สมการคลื่นแบบสามมิติสามารถแสดงวิธีการหาได จากรูปที่ 5.3 ถาสมมุติใหออกแรงตอแทงลูกบาศก แทงลูกบาศกมีการเปลี่ยนลักษณะแบบยืดหยุน เกิดการกระจัด u(x,y,z,t), v(x,y,z,t) และ w(x,y,z,t) และเขียนสมการโดยอาศัยกฎขอสองของนิวตันเชนเดียวกันกับหนึ่งมิตินั่นคือ

0F ma∑ = ≠ จากรูปที่ 5.3 กําหนดใหความเคนที่ผิวหนาที่สนใจ CDEF คือ

, ,yxxx zxxx yz zxdx dx dx

x x x∂σ∂σ ∂σσ σ σ

∂ ∂ ∂+ + +

ดังนั้นความเคนของฝงที่อยูตรงกันขามที่กระทําตรงกันขาม ABGO ผลลัพธที่ได คือ

, ,yxxx zxdx dx dxx x x

∂σ∂σ ∂σ∂ ∂ ∂

ความเคนกระทําที่ผิวที่มีพื้นที่ dydz และกระทําตอปริมาตร dxdydz ผลลัพธตอหนึ่งหนวยปริมาตรในทิศทาง x , y และ z คือ


, ,yxxx zx

x x x∂σ∂σ ∂σ

∂ ∂ ∂

ดังนั้นแรงรวมในทิศทาง x คือ

yxxx zx

x x x∂σ∂σ ∂σ

∂ ∂ ∂+ +

ถานําเอามาแทนคาใน กฎขอสองของนิวตัน จะได

2

2yxxx zx udxdydz dxdydz

x x x t∂σ∂σ ∂σ ∂ρ

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞

+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

เพราะ m=ρ(dxdydz) และ F=σ(dxdy) จากจุดนี้จะพิสูจนใหเห็นในหัวขอตอไปวา เมื่อแทนคา σxx,

σyx และ σzx จากความสัมพันธกับความเครียด (กรณีที่เปนไอโซโทรปค จะแทนดวยสมการขางลาง (ถาเปนเอนไอโซโทรปคพบวามีความซับซอนมากขึ้นเพราะคาความยืดหยุนคงที่มี 36 คา ที่เขามา

เกี่ยวของกับสมการคลื่น ขณะที่ไอโซโทรปคมีเพียง λ และ μ เทานั้น ปจจุบันในการประยุกตใชงาน เราไมพิจารณาเอนไอโซโทรปคสําหรับคลื่นอัด แตจะพิจารณาเอนไอโซโทรปคสําหรับคลื่นเฉือน เพราะพบวาคลื่นเฉือนเดินทางไดชา-เร็ว แตกตางกันในตัวกลางเดียวกัน ถาคลื่นเดินทางเขามาคนละทิศทาง รูจักกันทั่วๆไปวา “การแยกตัวของคลื่นเฉือน (shear wave splitting)”

σxx = λΔ + 2μεxx

σyx = μεyx

σzx = μεzx แทนคา และแกสมการจะได

2

22 xyxx xz ux x y z t

∂ξ∂ξ ∂ξ∂ ∂λ μ μ μ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Δ+ + + =


เพราะวา εyx =(∂v/∂x) +(∂u/∂y), εzx =(∂u/∂z) +(∂w/∂x) และ Δ=(∂u/∂x)+(∂v/∂y)+(∂w/∂z) ดังนั้นจะได

2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 u v u w u ux x x y y x z z t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂λ μ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ+ + + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2 2 2 2

2 2 2 2

u v u u v u ux x y z x x y z t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂λ μ μ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ+ + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

ถา ∇2 = ลาปลาชโอเปอรเรชัน (Laplacian operation) โดยที่

2 2 22

2 2 2x y z∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∇ = + + 2 2 2

22 2 2

u u uux y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∇ = + +

แทนคาจะได

22

2

uux x t

λ μ μ ρ∂Δ ∂Δ ∂+ ∇ + =

∂ ∂ ∂

22

2( ) uux t

λ μ μ ρ∂Δ ∂+ + ∇ =

∂ ∂ (5.2)

ถาจะหา v และ w ในทิศทาง y และ z ก็จะไดในทํานองเดียวกันคือ

22

2( ) vvx t

∂ ∂λ μ μ ρ∂ ∂Δ

+ + ∇ = (5.3) 2

22( ) ww

x t∂ ∂λ μ μ ρ∂ ∂Δ

+ + ∇ = (5.4)

ในที่สุดเราสามารถเขียนสมการของคลื่นไดโดยการหาอนุพันธจากสมการ 5.2, 5.3 และ 5.4 เทียบกับ x, y และ z ตามลําดับ จากนั้นรวมผลลัพธเขาดวยกัน จะได


2 2 2 22

2 2 2 2( ) u v w u v wx y z x y z t x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂λ μ μ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ Δ Δ+ + + + ∇ + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

สามารถเขียนสั้นๆไดคือ

22

2( 2 )t

∂λ μ ρ∂Δ

+ ∇ Δ = 2

22

( 2 )t

λ μ ∂ρ ∂+ Δ

∇ Δ =

จากสมการดังกลาวขางตน จะไดคาคงตัว λ, ρ และ μ นั่นคือ คาเหลานี้สมพันธกับความเร็วคล่ืนอัดหรือคล่ืนพี ดังสมการ

2 ( 2 )pV

λ μρ+

= (5.5)

กรณีของการหมุน ถาหาอนุพันธของสมการ 5.3 เทียบกับ z และ สมการ 5.4 เทียบกับ y จะได

22

2

w v w vy z t y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂μ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22

2x

xt∂ θμ θ

ρ ∂= ∇

นั่นคือ คาของความเร็วคล่ืนเฉือน หรือคล่ืนเอส ดังสมการ

2sV

μρ

= (5.6)

ในที่สุด สมการทั่วไปของคลื่นอัด-ขยายแบบสามมิติจะเขียนดังนี้


22 2

2

uc ut

∂∂

∇ = (5.7)

และสมการคลื่นอัด-ขยายทั่วไปหนึ่งมิติที่ไดกลาวมาแลว คือ

2 22

2 2

u ucx t

∂ ∂∂ ∂

=

เมื่อ 2 21/c V= บางครั้งจะเขียน c ก็ไดเพราะถือเปนเพียงคาคงตัวใดๆ 5.3.2.3 การหาคําตอบเชิงปริมาณของสมการคลื่น (General Solution for Wave Equation)

สมการคลื่นเปนสมการอนุพันธยอยเชิงเสนอันดับที่สอง (second partial differential equation) การหาคําตอบของสมการ จะสามารถหาคําตอบไดหลายคําตอบ เพราะเปนลักษณะของสมการอนุพันธยอยเชิงเสน คําตอบของสมการที่จะเลือกใชคือคําตอบที่ เปนไปตามกฎของฟสิกสและเกิดจริงในธรรมชาติ การแกปญหาและหาคําตอบ จะตองพิจารณาเงื่อนไขเริ่มตน (initial conditions) และเงื่อนไขขอบเขต (boundary conditions) เชน เมื่อเวลาเริ่มตน t=0 คือ การพิจารณาเงื่อนไขเริ่มตน และ x=0, x=L คือ การพิจารณา เงื่อนไขขอบเขต เร่ิมตนคือที่ 0 และขอบเขตสุดทายคือที่ระยะ L ที่ตองการหาคําตอบ การหาคําตอบมีหลายวิธีจะแสดงวิธีที่เขาใจไดงาย คือ วิธีแกสมการคลื่นแบบแยกตัวแปร (separation of variables) ซ่ึงวิธีการนี้ถือวาคาแตละตัวในสมการเชิงอนุพันธยอย ไมขึ้นตรงตอกัน สามารถแยกออกจากกันไดดังนี้

( , ) ( ) ( )u x t X x T t= จากสมการทั่วไปของคลื่น

2 2

2 2 2

1u ux V t

∂ ∂∂ ∂

=

แทนคา u(x,t) ที่แยกตัวแปรแลว


2 2

2 2 2

( ) ( ) 1 ( ) ( )d X x T t d X x T tdx V dt

=

ยายคามายังฝงที่มีตัวแปรเหมือนกัน

2 2

2 2 2

1 1( ) ( )d X d T

X x dx V T t dt=

เมื่อฝงของตัวแปรทั้งสองขางไมเหมือนกัน โดยที่ซายมือขึ้นกับตัวแปร x และอีกฝงขวาขึ้นกับคาตัวแปร t ดังนั้นสามารถกําหนดใหเทากับคาคงตัว คือ c โดยท่ีเมื่อพิจารณาคาคงตัวนี้แลว ในความเปนจริง

เทียบเคียงไดกับ -ω2/V2 จึงเขียนใหมไดคือ

2 2

2 2 2

1 1( ) ( )d X d T c

X x dx V T t dt= =

2 2 2

2 2 2 2

1 1( ) ( )d X d T

X x dx V T t dt Vω

= = −

แกสมการเทียบกับคาคงตัว

2 2

2 2

( ) 0d X X xdx V

ω− = (5.8)

22

2 ( ) 0d T T tdt

ω= = (5.9)

จากสมการ 5.8 และ 5.9 สามารถหาคําตอบไดจากการแทนคาลงในฟงกชัน ที่เรียกวาฟงกชันฮารมอนิค (harmonic function) ดังมีคําตอบดังนี้

( ) cos( ) sin( )X x A x V B x Vω ω= +

( ) cos sinT t C t D tω ω= +


เมื่อ A, B, C, และ D คือคาคงตัว ดังนั้นเราสามารถเขียน u(x,t) ไดคือ

( , ) ( cos( ) sin( ))( cos sin )u x t A x V B x V C t D tω ω ω ω= + + (5.10) กําหนดเงื่อนไงขอบเขต โดยที่ x=0 และ x=L ดังนั้น u(0,t)=u(L,t)=0 ใหนึกถึงเสนลวดยาว L ขึงใหตึงพอสมควร จากนั้นดึงเสนลวด เสนลวดจะสั่นเปนลูกคลื่น แตความยาวของลวดที่เราตึงไวที่ปลายทั้งสองขาง คือ ปลายหนึ่งที่ระยะ 0 อีกปลายที่ระยะ L ทั้งสองจุดจะไมมีการเคลื่อนที่ (การกระจัด) จึงเทากับ 0 ไมวากรณีใดๆ พิจารณาสมการที่ 5.10 แทนคา x = 0 คา sin(0)=0 คา cos(0)=1 ดังนั้น จะได

( , ) ( cos sin ) 0u x t A C t D tω ω= + = ถาจะให สมการขางบนเปน 0 คาของ A ตองเทากับ 0

(0, ) 0, 0u t A= = พิจารณา u(L,t) = 0 แทนคา L ลงในสมการ 5.10 จะไดสมการที่สอดคลองกับความจริง โดยที่ A=0 ไปแลว ดังนั้นจะเหลือคา

( , ) sin( )( cos sin )u L t B L V C t D tω ω ω= + (5.11)

เพื่อใหสอดคลองกับความเปนจริง

( , ) 0, sin 0, 0u L t B x V Bω= = ≠ จะกําหนดให B=0 ไมได เพราะสมการทั้งหมดจะเปน 0 ทําใหไมสามารถหาคําตอบได ดังนั้นจะตองกําหนดให

sin 0; / sin 0L V L V n n V Lω ω π π= = → =


/ ; / 1, 2,3,...L V n n V L nω π ω π= = → = คําตอบที่สอดคลองกับเงื่อนไงขอบเขต คือ

( , ) ( cos sin ) sin n xu x t C t D t BLπω ω= +

เมื่อ B, C และ D เปนคาคงตัว ดังนั้น B คูณเขาในวงเล็บและเรียกคาคงตัวใหมเปน A1 และ A2 ที่เรียกเปน “A” จริงๆ แลวคาคงตัวนี้ก็คือคาความสูงของคลื่นหรือแอมพลิจูด (amplitude) ตัวยอคือ A นั่นเอง

1 2( , ) ( cos sin )sin 1,2,3,...n xu x t A t A t nLπω ω= + → =

และกรณีคล่ืนมีหลายคลื่น การกระจัดไมไดมีคาเดียว คล่ืนเดินทางแบบตอเนื่อง ดังนั้นจะได

1 2( , ) cos sin sin , 1,2,3,...n n nn xt n xt n xu x t A A nL L Lπ π π⎛ ⎞= + → =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1

( , ) ( , )nn

u x t u x t∞

=

=∑

เมื่อพิจารณาเงื่อนไขเริ่มตน ซ่ึง t = 0 จากสมการที่ 5.10 แทนคา t=0 จะได

1( ,0) sinn

n

n xu x ALπ∞

=

=∑

เพราะ cos(0) =1 และ sin(0) =0 เหลือ C คูณกับ B กําหนดใหมใหเทากับ A จากสมการที่แสดงมาขางตน และเพื่อใหสอดคลองกับเงื่อนไข การแกหาคําตอบของอนุกรมอนันต จากสมการสามารถใชอนุกรมฟูเรียรเขามาชวย ในที่นี้จะไมแสดงใหเห็น หากสนใจควรศึกษาเพิ่มเติมจากตําราคณิตศาสตรทั่วไปที่มีเกี่ยวกับอนุกรมฟูเรียร เชน ของ Hildebrand (1976) อยางก็ตามจะไดคําตอบของปญหาคือ


1 1

1 1( , ) sin ( ) sin ( )2 2n nn n

n nu x t A x Vt A x VtL Lπ π∞ ∞

= =

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= − + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

∑ ∑ (5.12)

จากรูปอนุกรมของสมการขางบน สามารถเขียนในรูปใหมโดยให ƒ เปน ฟงกชันใดๆ จะมีรูปแบบของ

การเปลี่ยนแปลงที่ (x±Vt) เชน

[ ]1( , ) ( ) ( )2

u x t f x Vt f x Vt= − + + (5.13)

ดังนั้นเมื่อหาอนุพันธสมการคลื่น หากอยากจะทราบคา u(x,t) ใดๆ ภายใตเงื่อนไขกําหนด คือ 0<x<L จากสมการที่ 5.13 แสดงตัวอยางในรูปที่ 5.8 โดยที่จากรูปกราฟเปนการเลื่อนไปของคลื่น โดยที่

กําหนดให y =ƒ(x) (y เปนฟงกชันคณิตศาสตร มีตัวแปรคือ x)

รูปท่ี 5.8 ฟงกชันคณิตศาสตรของ y=ƒ(x), y=ƒ(x +a) และ y=ƒ(x-a) เมื่อดูจากรูป ในความเปนจริงเปนเพียงการเคลื่อนยายตําแหนงของ y จาก จุด x ไปที่ (x+a) และ (x-a) รูปกราฟ คงรูปเดิม

จากรูปที่ 5.8 ถาให a=Vt เมื่อ V คือ ความเร็ว และ t คือ เวลา แทนคา a ใน y = ƒ(x+a) เราจะ

ได y = ƒ(x +Vt) ในที่นี้เรียก V วา ความเร็วเฟส (phase velocity) ซ่ึงก็คือ หนาคลื่นที่สนใจ โดยที่มี

เฟสที่เลือกเทากันนั่นเอง ดังนั้น y= ƒ(x+a) หรือ y = (x, t) คือ y ฟงกชันที่สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของคลื่น ที่เมื่อเคลื่อนไปแลว และจะคงสภาพของรูปรางเชนเดิมไวตลอดเวลา ดังตัวอยางเชน ถาเราให y (x,t) คือ ฟงกชันใด ๆ เราจะสามารถเขียน สมการของคลื่นไดดังนี้

ฟงกชันของโคไซน เชน y = A cos (x + vt )


ฟงกชันของไซน เชน y = A sin (kx + ωt ) ฟงกชัน exponential เชน y = e - (x + vt )

เมื่อ k คือ จํานวนลูกคลื่น (wave number)

ω คือ อัตราเร็วเชิงมุม (angular frequency) A คือ ความสูงของคลื่น

ตัวอยางเชน สมมุติให y = Acosωt การกระจัดของ y(0,t) จะได

(0, ) cosy t A tϖ=

เพราะวา ω=2π/T ดังนั้นจะได

2(0, ) cos ty t ATπ

=

จากรูปที่ 5.9 การกระจัดที่จุด O เคลื่อนไปที่จุด P เปนระยะทาง x เมื่อเวลา x/v เมื่อ v คือความเร็วคล่ืน กลาวอีกนัยหนึ่งคือ อนุภาค P จะเริ่มเคลื่อนเมื่อเวลา x/v จากอนุภาคจุด O ดังนั้นการกระจัดที่จุด P เวลา t จะเหมือนกับที่จุด O เวลา x/v ยอนหลังนั่นคือ (t-x/v) การกระจัดที่จุด P ของเวลา t จะได

2( , ) cos xy x t A tT vπ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

รูปท่ี 5.9 กราฟระหวางการกระจัดและระยะทาง


จากสมการ

( , ) cos 2 t xy x t AT vT

π ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

เมื่อ v=fλ=λ/T เพราะฉะนั้น

( , ) cos 2 t xy x t AT

πλ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

2( , ) cosy x t A xT

π λλ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2( , ) cosy x t A vt xπλ

= −

ความเร็วกระจัดของอนุภาค (particle velocity) คํานวณไดจาก หาอนุพันธของ y(x,t) เทียบกับ t นั่นคือ

2( ) sin 2dy A t xV tdt T T

π πλ

⎛ ⎞= = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

เราเรียกคาของ 2πA/T วา “ความเร็วของแอมพลิจูด (velocity amplitude)” สวนอัตราเรงกระจัดของอนุภาค หาจากอนุพันธกําลังสองเทียบกับ t จะได

2 2 2

2 2 2

4 4( ) cos 2d y t xa t A ydt T T T

π ππλ

⎡ ⎤⎛ ⎞= = − − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

นอกจากนี้เมื่อคล่ืนเคลื่อนที่ออกไปจะมีพลังงานถายทอดออกไปดวย พลังงานที่ถายทอดออกไปที่เกิดจากการสั่นกลับไปมา ซ่ึงเกิดทั้งระหวางพลังงานจลน (kinetic energy) และพลังงานศักย (potential energy) เชนในกรณีของจากสมการคลื่นที่พึ่งกลาวมาคือ

2( , ) cos ( )y x t A vt xπλ

= −


ความเร็วกระจัดของอนุภาค คือ 2 2sin ( )dy AV vt x

dtπ πλ λ

= = − −

พลังงานจลน (Ek) คํานวณจากสมการ

212kE mV=

ดังนั้นพลังงานจลนตอหนึ่งหนวยปริมาตร จะได

221 1

2 2kmVE Vvolume

ρ= =×

เพราะวา มวล (m) = ปริมาตร (volume) x ความหนาแนน (ρ) และแทนคา V จะได

21 2 2sin ( )2k

vAE vt xπ πρλ λ

−⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 2 22

2

2 2sin ( )kv AE vt xπ ρ πλ λ

−= −

และความเรงกระจัดของอนุภาคหาไดจาก

[ ]2 2 2 2 2

2 2 2

4 4( ) cos 2 ( )d y v A v Aa t vt x ydt

π ππλ λ

= = − − = −

เพราะวา

F ma= แทนคา a จะได


2 2

2

4( )v AF m yπλ

= −

ดังนั้นงานที่เกิดขึ้นจากการกระจัด dy คือ

| | .dW F dy= 2 2

2

4 v mdW ydyπλ

=

งานทั้งหมดหาไดจาก

2 2

20

4y v mW ydyπλ

= ∫ 2 2 2

2

42

v m yW πλ

=

และพลังงานศักย (Ep) ที่ใชคิดหนึ่งหนวยปริมาตรจะได

pWE

volume=

2 2 2 2 2 2

2 2

4 22p

v m y v yEvolumeπ π ρ

λ λ= =

×

2 2 22

2

2 2cos ( )pv AE vt xπ ρ πλ λ

= −

ดังนั้นพลังงานทั้งหมดจะได

k pE E E= +

2 2 2 2 2 22 2

2 2

2 2 2 2sin ( ) cos ( )v A v AE vt x vt xπ ρ π π ρ πλ λ λ λ

= − + −


2 2 22 2 2

2

2 2v AE f Aπ ρ π ρλ

= =

พลังงานที่ถายทอดออกไปจากหนึ่งหนวยพื้นที่ตอวินาทีเรียกวา ความเขม (intensity, I) ซ่ึง

I E Volume= × 2 2 22I f A Vπ ρ=

ตัวอยางที่สอง เชน สมมุติใหฟงกชัน y = A sin (kx-ωt) แสดงการเคลื่อนที่หรือการกระจัด ของคลื่นที่ระยะ x ใดๆ เราจะไดความเร็วกระจัด V(t) และอัตราเรงกระจัด a(t) ที่เวลา t ใดๆ ดังนี้

( ) cos( )yV t A kx tt

∂ ω ω∂

= = − − 2

2 22( ) sin( )ya t A kx t A yt

∂ ω ω ω∂

= = − − = −

จากสมการ 5.12 เราจะสังเกตเห็นวามีการรวมคลื่นเริ่มจากคาของ n = 0 ถึง α เพื่อใหเกิดภาพลักษณและปูพื้นฐานเกี่ยวกับการรวมคลื่นอยางงายๆ แสดงในรูปที่ 5.10 โดยกําหนดใหคา n = 1-20 คล่ืนจะซอนทับกันในลักษณะของความแตกตางกันของเฟส โดยกําหนดให y = cos (nx) ซ่ึงแอมพลิจูดของคลื่น = 1 ในกรณีที่เฟสแตกตางกัน ควรศึกษาเพิ่มเติมในหนังสือของ Yilmaz (2001) ซ่ึงมีภาพแสดงรายละเอียดที่เปนพื้นฐานที่ดี ที่จะชวยทําใหเขาใจธรรมชาติของคลื่นไดดียิ่งๆ ขึ้น

5.3.2.4 คํานิยามที่ควรทราบเกี่ยวกับคลื่น

คํานิยามที่ควรทราบเกี่ยวกับคลื่นจากรูปที่ 5.6 (ก) และ (ข) แสดง คํานิยามตางๆ ของคลื่นในคําอธิบายประกอบรูปบางสวนมาแลว ดังนั้นในสวนนี้จะเปนการเพิ่มเติมจากรูปดังนี้

(1) ความถี่ (Frequency) นิยมใชสัญลักษณแทนดวย “f” หมายถึงจํานวนรอบที่อนุภาคของตัวกลางสั่นกลับไปมาในหนึ่งวินาที ซ่ึงมีหนวยเปนเฮิรตซ (Hertz, Hz) หรือรอบตอวินาที (ดูตารางที่ 5.3 ประกอบ ระหวางความสัมพันธของความถี่กับคาอื่นๆ)


รูปท่ี 5.10 ลักษณะของคลื่นจากสมการ y = cos(nx) (ก) เมื่อเขียนคาของ n=1-4 (ข) เมื่อเขียนคาของ n = 1-10

(ค) เมื่อรวมคาแอมพลิจูด n=1-10 (ง) เมื่อคาแอมพลิจูดจาก n=1=20 หมายเหตุ: คาแอมพลิจูดในรูป (ข) และ (ค) เปนคาเฉลี่ยที่หารดวยจํานวน

ตารางที่ 5.3 แสดงความสัมพันธระหวางตัวแปรตางๆ ของคลื่น

ตัวแปร ความสัมพันธ คาบ, T T=1/f=2π/ω ความถี่, f f=ω/2π=v/λ

ความยาวคลื่น, λ λ=v/T=2π/k จํานวนลูกคลื่น, k k=2π/λ=ω/v ความเร็วคลื่น, v v=fλ=ω/k

(2) ความเร็วคล่ืน (Velocity) นิยมใชสัญลักษณแทนดวย “V” หมายถึงระยะทางคลื่นเคลื่อนที่ไปไดใน 1 หนวยเวลา ซ่ึงอาจจะมีหนวยเปน เมตรตอวินาที หรือ กิโลเมตรตอวินาที เปน

ตน ดังนั้นความเร็วคล่ืน เทากับ คาความถี่ (f) คูณกับคาความยาวคลื่น (λ) โดยที่ V = fλ


(3) เฟส (Phase) เฟสของจุดใดจุดหนึ่งบนคลื่นหมายถึง มุมที่ทําเปนองศาหรือเรเดียนสบนแนวกึ่งกลางระหวางทองคลื่นกับยอดคลื่น

(4) อัตราเร็วเชิงมุม (Angular Frequency) คือ มุมที่คิดเปนเรเดียนสในการเคลื่อนที่ไปกลับ

ของอนุภาคในเวลาหนึ่งวินาที มีหนวยเปนเรเดียนสตอวินาที ใชสัญลักษณ “ω” (5) คาบ (Period) คือ เวลาที่อนุภาคของตัวกลางสั่นไปมาครบหนึ่งรอบ ใชสัญลักษณ “T” (ดู

ตารางที่ 5.3 ประกอบ) (6) เดซิเบล (Decibel, dB) คือ หนวยของกําลัง หรือหนวยของความเขม ซ่ึงคํานวณจาก

อัตราสวนระหวางกําลังหรือความสูงของคลื่น โดยที่ถาคํานวณจากอัตราสวนของกําลัง จะเทากับ 10 คูณดวย log10 ของอัตรากําลัง (10 log10 of power ratio) ถาคํานวณจากอัตราสวนของความสูงของคลื่น จะเทากับ 20 คูณดวย log10 ของอัตราสวนความสูงของคลื่น (20 log10 of amplitude ratio) ตัวอยางเชน ความสูงของคลื่นตัวที่หนึ่งเทากับสองเทาของตัวที่สอง คาหนวยความเขม มีคาเทากับ 6 เดซิเบล

(7) ออกเตท (Octave) คือ ชวงหางระหวางคาความถี่ของคลื่นสองคลื่นที่คล่ืนหนึ่งมีคาเปนสองยกกําลัง n เทา เชน 120 เฮิรตซ เปน 1 ออกเตทของ 60 เฮิรตซ หรือ 120 เฮิรตซ เปน 2 ออกเตทของ 30 เฮิรตซ คํานวณ คาความถี่ตัวที่หนึ่ง ตอคาความถี่ตัวที่สอง เทากับ สองยกกําลัง n ( f1/f2 =2n)

เพื่อทบทวนความเขาใจในหัวขอที่กลาวมาแลว ควรพลิกไปทําแบบฝกหัดทายบทขอท่ี 1-6

กอนที่ศึกษาในลําดับตอไป

5.4 หลักการของฮอยเกนส (Huygens’ Principle) Christian Huygens (1626-1695) ผูที่เปนทั้งนักคณิตศาสตร นักดาราศาสตร และนักฟสิกส ชาวเนเธอรแลนด ผูที่กลาววาแสงเปนคลื่น และไดตั้งเสนอขอสังเกต เกี่ยวกับคลื่นแสงงายๆ วา “ทุกๆ จุด

บนหนาคล่ืนสามารถถือไดวาเปนจุดกําเนิดคล่ืนตัวใหม ซ่ึงทําใหคล่ืนเคล่ือนออกไปไดทุกทิศทุกทาง

ดวยอัตราเร็วเทากับอัตราเร็วของคล่ืนเดิม” และตอมาพบวา ขอสังเกตของฮอยเกนส สามารถนํามาใชอธิบายหนาคลื่น (wavefronts) ดังนั้นเมื่อกลาวถึงหลักการของฮอยเกนส รูปที่ 5.11 ที่แสดงหนาคลื่นรูป


วงกลม (sperical wavefront) และหนาคลื่นเสนตรง (plane wavefront) คงเปนที่คุนเคยของเรามาแลวตั้งแตมัธยม อยางไรก็ตามยังมีหนาคลื่นรูปทรงกระบอก (cylindical wavefront) อีกดวยเชนกัน

รูปท่ี 5.11 หนาคลื่นวงกลมและหนาคลื่นเสนตรง

5.5 หลักการของเฟอรแมท (Fermat's Principle) Pierre de Fermat (1601-1665) นักคณิตศาสตรชาวฝร่ังเศสไดกลาวถึง หลักการเคลื่อนที่ของคล่ืนและเปนที่รูจักกันทั่วไปวา “หลักการของเฟอรแมท (Fermat's principle)” หรือ “หลักการของเวลา

ของการเดินทางที่สั้นท่ีสุด (principle of least time)” ซ่ึงกลาววา “การเดินทางของคลื่นจากจุดหนึ่งไป

อีกจุดหนึ่ง ระยะทางท่ีถือเปนทางเดินคลื่น คือระยะทางที่สั้นท่ีสุดท่ีคลื่นใชเดินทาง (minimum path)” จากหลักการนี้ เราสามารถลากทางเดินของคลื่นเปนเสนตรงจากจุดหนึ่งไปจุดหนึ่ง เพราะเสนตรงเปนเสนที่ส้ันที่สุดเมื่อเทียบกับเสนโคง หรืออ่ืนๆ เสนตรงทําใหไดระยะทางสั้นที่สุด ดังนั้น รังสีคล่ืนจึงเปนเสนตรง และใชแสดงทางเดินของคลื่นนั่นเอง 5.6 หนาคลื่นและทางเดินคลื่น (Wavefronts and Raypaths) ความสัมพันธระหวางหนาคลื่น (wavefront) และทางเดินคลื่น (raypath) ซ่ึงทางเดินคลื่นอาจเรียกวา “รังสีคล่ืน” ก็ได หนาคลื่นและทางเดินคลื่นดังแสดงในรูปที่ 5.12 จะเห็นวาทางเดินคลื่นเปนเพียงเสนที่แสดงถึงทิศทางการเคลื่อนที่ออกไปของคลื่น สําหรับคลื่นใดๆ ทางเดินคลื่นมีไดมากมายโดยมีหลักการลากทางเดินคลื่นดังนี้คือ ลากเสนตรงออกจากตัวกําเนิดคลื่นและตั้งฉากกับหนาคลื่น ซ่ึงสามารถลากไดทุกทิศทุกทาง หากคลื่นเดินทางออกจากจุดกําเนิดเปนรูปทรงกลม ดังนั้นการที่จะลากทางเดินคลื่นอยางไรจึงขึ้นอยูกับจุดที่สนใจ ในรูปที่ 5.12 แสดงทางเดินคลื่นเพียงบางสวนเทานั้น แมจะสามารถลากไดรอบทิศทางที่มีคล่ืนเคลื่อนที่ออกไป สวนหนาคลื่นคือแนวที่เชื่อมตอของจุดตางๆ บน


คล่ืนที่มีเฟสเทากัน เชน แนวของทองคลื่นหรือยอดคลื่น เปนตน หนาคลื่นจะตั้งฉากกับทางเดินคลื่นเสมอ ดังนั้นเมื่อทราบหนาคลื่นสามารถหาทางเดินคลื่นได หรือในทางกลับกันเมื่อทราบทางเดินคลื่นก็สามารถหาหนาคลื่นได ในการสํารวจดวยคลื่นสั่นสะเทือน เราใชทางเดินคลื่นเพื่อแสดงการเคลื่อนที่ของคลื่น เพราะจะงายกวาการบงบอกโดยใชหนาคลื่นเปนหลัก เราสามารถกําหนดทิศทางการเคลื่อนที่ของคลื่นที่วิ่งลงสูพื้นดิน กอนที่จะกลับขึ้นมาที่ตัวรับคลื่นไดงายกวาการพิจารณาหนาคล่ืนเปนหลัก (รูปที่ 5.13 และ 5.14) ยิ่งถาชั้นดิน-หินมีลักษณะไมเปนเนื้อเดียว ขาดความตอเนื่อง หรือมีโครงสรางธรณีวิทยาซับซอนขึ้นมา การแสดงทางเดินคลื่นก็จะมีความยุงยากซับซอนแตก็ไมยุงยากซับซอนเทากับแสดงดวยหนาคลื่น

รูปท่ี 5.12 รูปจําลองใตผิวดินที่มีเนื้อดินเปนเนื้อเดียวและมีความเร็วคลื่นคงที่ แสดงหนาคลื่นที่เดินทางออกเปนรูปวงกลม (กรณีที่เปนสองมิติ ถาเปนสามมิติจะเปนรูปทรงกลม) และทางเดินคลื่น (raypath) หนาคลื่นเปนแนวที่เช่ือมตอของจุดตางๆ บนคลื่นที่มีเฟสเทากัน สวนทางเดินคลื่นเปนเสนที่ลากตั้งฉากกับหนาคลื่น

จากรูปที่ 5.13 และ 5.14 จะเห็นวาการแสดงการเดินทางของคลื่นดวยการเขียนหนาคลื่นนั้น

เขียนไดคอนขางยุงยาก แตถาแสดงการเดินทางคลื่นดวยรังสีคล่ืนหรือแนวทางเดินคลื่นสามารถเขียนแสดงไดงายและรวดเร็ว เชนในรูปที่ 5.14 ที่สนใจเฉพาะคลื่นสะทอนก็สามารถแสดงไดเพียงหนึ่งเสนทางเดินคลื่น นั้นคือลักษณะของเสนทึบที่มีลูกศรแสดงการเดินทางไปกลับดังแสดงในรูปที่ 5.14 กรณีช้ันดิน-หิน มีลักษณะแบบเนื้อเดียว (homogenous) และไอโซโทรปคจะไดหนาคลื่นเปนวงกลมแตกรณีช้ันดิน-หิน ไมเปนเนื้อเดียว (inhomogenous) และแอนไอโซโทรปค จะไดลักษณะหนาคล่ืนดังตัวอยางแสดงในรูปที่ 5.15 อยางไรก็ตามในการประยุกตสํารวจสวนใหญสําหรับคลื่นพีหรือ


คล่ืนอัด เรากําหนดใหเปนแบบไอโซโทรปคทั้งหมดจึงไมคอยยุงยากมากนัก แตถาสํารวจดวยคลื่นเฉือนนั้นคอนขางจะพบความเร็วคล่ืนในที่เดินทางมาในทิศทางตางๆ จะมีความเร็วตางกันพบเปนแบบเอนไอโซโทรปค

รูปท่ี 5.13 รูปจําลองใตผิวดินที่มีช้ันดิน-หิน แบบสองชั้น หนาคลื่นว่ิงออกจากจุดกําเนิดคลื่นเปนรูปทรงกลม

เมื่อถึงรอยตอระหวางชั้นดิน-หินสองชนิดจะเกิดปรากฏการณการหักเห มีหนาคลื่นที่เปลี่ยนทิศทาง การลากทางเดินคลื่นตามทิศทางที่ต้ังฉากกับหนาคลื่นแสดงดวยเสนประ

รูปท่ี 5.14 รูปจําลองใตผิวดินที่มีช้ันดิน-หินแบบสองชั้น หนาคลื่นว่ิงออกจากจุดกําเนิดคลื่นเปนรูปทรงกลมเมื่อถึงรอยตอระหวางชั้นดิน-หินสองชนิดจะเกิดปรากฏการณการสะทอน หนาคลื่นเปลี่ยนทิศทางยอนกลับ ในรูปแสดงเฉพาะมุมของหนาคลื่นต้ังฉากกับรอยตอเพียงมุมเดียวเทานั้น ซึ่งหนาคลื่นตกกระทบแสดงดวยเสนทึบที่มีลูกศรบงบอกการเดินทางขึ้นและลงที่ตําแหนงเดียวกัน และหนาคลื่นสะทอนแสดงดวยเสนประ


รูปท่ี 5.15 ลักษณะหนาคลื่น (ก) หนาคลื่นจะเปนวงกลมเมื่อเดินทางในตัวกลางที่เปนแบบไอโซโทรปค (ข) หนาคลื่นจะเปนวงรีเมื่อตัวกลางเปนแบบเอนไอโซโทรปค

5.7 คลื่นส่ันสะเทือน (Seismic Waves) หากพิจารณาการจัดแบงประเภทของคลื่นโดยอาศัยคุณสมบัติของตัวกลางเปนหลักในการ

จัดแบง ซ่ึงแบงออกเปนสองประเภทใหญๆ คือ คล่ืนที่ตองอาศัยตัวกลางในการเคลื่อนที่ หรือ “คล่ืนกล

(mechanical wave)” เชน คล่ืนในเสนเชือก คล่ืนน้ํา คล่ืนเสียง เปนตน และคลื่นที่ไมตองอาศัยตัวกลาง

ในการเคลื่อนที่ หรือ “คล่ืนแมเหล็กไฟฟา (electromagnetic wave)” เชน คล่ืนแสง คล่ืนวิทยุ คล่ืนโทรศัพท เปนตน คล่ืนสั่นสะเทือนจัดเปนคลื่นประเภทที่อาศัยตัวกลางในการเคลื่อนที่ (รูปที่ 5.16) ดังนั้นคลื่นสั่นสะเทือนเดินผานสุญญากาศไมได ถาหากพิจารณาเฉพาะคลื่นสั่นสะเทือน โดยอาศัยความสัมพันธระหวางทิศทางการเคลื่อนของอนุภาคของตัวกลางกับทิศทางที่คล่ืนเคลื่อนผาน แบงเปน 2 พวก คือ คล่ืนที่เคลื่อนผานตัวกลาง เรียกวา “คล่ืนตัวกลาง (body waves)” และคลื่นที่เคลื่อนผาน

ตัวกลางและขนานไปกับผิวดิน เรียกวา “คล่ืนผิวดิน (surface waves)”

5.7.1 คลื่นตัวกลาง (Body Waves) แบงยอยเปน 2 พวก คือ

(1) คล่ืนตามยาว (Longitudinal Wave) เปนคลื่นที่ทําใหอนุภาคของตัวกลางที่คล่ืนเคลื่อนผาน มีการสั่นแบบอัด (compression) และขยาย (rarefaction) ในทิศทางเดียวกันกับคลื่นเคลื่อนที่ไป ดังแสดงในรูปที่ 5.16 หรือจากตัวอยางของคลื่นที่เกิดจากการอัดและขยายของขดลวดสปริง คล่ืนสั่นสะเทือนที่มีลักษณะแบบนี้บางที่เรียกวา “คล่ืนปฐมภูมิ (primary

wave)” หรือเรียกทับศัพทวา “คล่ืนพี (P-wave)” หรือยังมีอีกชื่อหนึ่งที่ใชบอยคือ “คล่ืนอัด

(compressional wave)”


รูปท่ี 5.16 ลักษณะการเดินทางของคลื่น (ก) คลื่นพีเมื่อเคลื่อนออกจากจุดกําหนดคลื่นอนุภาคจะมีการอัด

ขยายขนานไปตามทิศทางที่คลื่นเคลื่อนที่ (ข) คลื่นเอสอนุภาคจะมีการเคลื่อนขึ้นลงตั้งฉากกับทิศทางที่คลื่นเคลื่อนที่ (ดัดแปลงจาก Dobrin and Savit, 1988)

(2) คล่ืนตามขวาง (Transverse Wave) เปนคลื่นที่ทําใหอนุภาคของตัวกลางที่คล่ืนเคลื่อนที่

ผาน มีการเคลื่อนในทิศทางตั้งฉากกับทิศทางที่คล่ืนเคลื่อนที่ ดังแสดงในรูปที่ 5.16 หรือจากตัวอยางของคลื่นที่ผิวน้ํา คล่ืนนี้นาจะเรียกวาคลื่นไหวสะเทือน เพราะอนุภาค มีการเคลื่อนที่ขึ้นหรือลงตั้งฉากกับทิศทางที่คล่ืนเคลื่อนที่ และอีกชื่อหนึ่งของคลื่นนี้เรียกวา “คล่ืนทุติยภูมิ (secondary wave)” หรือเรียกทับศัพทวา “คล่ืนเอส (S-wave)” หรือมีอีกชื่อ

คือ “คล่ืนเฉือน (shear wave)” คล่ืนเฉือนยังสามารถแยกออกเปน 2 พวก คือ “คล่ืนเฉือน

แนวดิ่ง (SV-component)” และ “คล่ืนเฉือนแนวนอน (SH-component)” ดังแสดงในรูปที่ 5.17


รูปท่ี 5.17 ลักษณะของคลื่นเอสที่มีการเคลื่อนที่ในแนวนอน (SH-wave) และในแนวดิ่ง (SV-wave) ใหสังเกตการสั่นของอนุภาคซึ่ง จะตั้งฉากซึ่งกันและกัน (ดัดแปลงจาก Graul, 1975 อางถึงจาก Roy A. Johnson)

5.7.2 คลื่นผิวดิน (Surface Waves) มีอยู 2 แบบใหญๆ คือ

(1) คล่ืนเรลีย (Rayleigh Wave) คล่ืนพวกนี้ตองอาศัยตัวกลางและมีการเคลื่อนขนานไปกับผิวดิน การเคลื่อนที่ของอนุภาคจะเปนแบบวงรี สามารถแยกองคประกอบของทิศทางของคล่ืนออกไดทั้งในแนวดิ่งและแนวนอน (รูปที่ 5.18 (ก))

(2) คล่ืนเลิฟ (Love Wave) คล่ืนนี้จะเคลื่อนที่ตามขวางขนานไปกับผิวสัมผัสของอากาศและพื้นดิน (รูปที่ 5.18 (ข))

รูปท่ี 5.18 การเคลื่อนที่ของอนุภาค (ก) คลื่นเรลียเปนวงรีไปตามทิศทางการเคลื่อนที่ (ข) คลื่นเลิฟเปนแนวระนาบไปตามทิศทางการเคลื่อนที่


การสํารวจทางธรณีฟสิกสประยุกตคล่ืนพีที่มีการเคลื่อนที่ของอนุภาคขึ้นลงหรืออัดขยายตามทิศทางที่คล่ืนเคลื่อนที่ (รูปที่ 5.19) โดยทําการวัดหาการเคลื่อนตัวของอนุภาคดวยเครื่องมือที่เรียกวา ตัวรับคลื่น (receiver) ที่มีความไวตอการอัดและขยายตัวของอนุภาค เมื่อมีคล่ืนสะทอนหรือหักเหเคลื่อนกลับมาสูผิวดิน หลังจากที่มีตัวกําเนิดคลื่นปลอยคลื่นสัญญาณลงสูผิวดิน

รูปท่ี 5.19 การเคลื่อนที่ของอนุภาค (ก) อนุภาคของตัวกลางยังไมเปลี่ยนลักษณะเพราะไมมีแรงกระทํา (ข)

เมื่อตัวกลางที่แรงกระทําใหเกิดคลื่นสั่นสะเทือนเกิดการอัดและขยายของอนุภาคตามแรงกระทํา (ค) ลักษณะปรากฏ

เปนรูปคลื่น (ง) เมื่อเวลาผานไปคลื่นจะเดินทางลงไปในระดับลึกลงเรื่อยๆ ดังแสดงดวยเสนประ

ความแตกตางของความเร็วระหวางคลื่นปฐมภูมิและทุติยภูมิ (1) กรณีที่เปนหินแข็งมาก

ความเร็วของคลื่นทุติยภูมิจะแตกตางโดยประมาณ 0.6 เทาของคลื่นปฐมภูมิ เชน ถาคลื่นปฐมภูมิ มีความเร็ว 2,500 เมตร/วินาที คล่ืนทุติยภูมิจะมีความเร็ว ประมาณ 1,440 เมตร/วินาที (2) ถากรณีที่เปนหินผุและหินตะกอน คล่ืนทุติยภูมิจะมีความเร็ว โดยประมาณ 0.5 เทาของคลื่นปฐมภูมิ และ (3) ถากรณีที่เปนดิน คล่ืนทุติยภูมิจะมีความเร็ว โดยประมาณ 0.4 เทาของคลื่นปฐมภูมิ (Burger, 1992)

คล่ืนผิวดินถือเปนคลื่นรบกวน (noise) ในการสํารวจคลื่นสั่นสะเทือน บางครั้งตองมีการแยกหรือกรอง (filter) ออกจากคลื่นปฐมภูมิ คล่ืนผิวดินจะมีลักษณะของความกวางของคลื่นมาก แตความถี่ของคลื่นจะนอย ในการสํารวจแบบหักเหปญหาของคลื่นผิวดินนั้นไมเปนอุปสรรค เพราะคลื่นผิวดินมีความเร็วที่นอยกวาคลื่นปฐมภูมิซ่ึงผานเขามายังเครื่องรับ ความเร็วของคลื่นเรลีย ประมาณ 0.9 ของคลืน่เฉือน สวนคลื่นเลิฟจะมีความเร็วเทากับคลื่นเฉือนที่วิ่งในแนวราบ (SH-component)


5.8 กฎของการสะทอนและการหักเหของคลื่น การเปลี่ยนทางเดินของคลื่นสามารถใชกฎของสเนลลมาอธิบาย จากรูปที่ 5.1 แสดงทางเดิน

ของคลื่นหักเห คล่ืนสะทอน และคลื่นตรง เพียงบางสวน ซ่ึงตามความเปนจริงสามารถแสดงไดมากมายทุกทิศทาง แตสวนใหญเราจะแสดงเฉพาะที่สนใจ โดยเฉพาะในการสํารวจจะแสดงเฉพาะทางเดินคลื่นที่ใชเวลานอยท่ีสุดในการเดินทาง ระหวางจุดกําเนิดคลื่นกับตัวรับคลื่นที่กําหนด 2 จุด จากกฎของ สเนลล รูปที่ 5.20 จะตองมีมุมหักเห มีคานอยกวามุมตกกระทบเสมอ เพราะความเร็วของชั้นลางนอยกวาชั้นบน แตถาความเร็วของชั้นลางมากกวาชั้นบนแลว กฎของสเนลลตรงกันขามกับที่กลาวมาแลว นั่นคือมุมหักเหยอมมากกวามุมตกกระทบ ดังนั้นถาชั้นดิน-หินที่มีความเร็วสูงอยูบนชั้นที่มีความเร็วต่ํา เราจึงไมเห็นคลื่นหักเหกลับขึ้นมาสูผิวดิน มีเฉพาะคลื่นหักเหที่เคลื่อนลง เพียงอยางเดียว

รูปท่ี 5.20 กฎของสเนลลที่กลาววา อัตราสวนของไซน ของมุมตกกระทบ i ตอไซนของมุมหักเห r มีคาเทากับดัชนีหักเหของวัตถุซึ่งเทากับ V1/V2

กฎของการสะทอน กลาวสรุปอยางสั้นๆ วา “มุมของคล่ืนตกกระทบเทากับมุมของคล่ืน

สะทอนเสมอ” เราสามารถพิสูจนกฎของการสะทอน โดยใชหลักการของฮอยเกนสไดดังแผนภาพในรปูที่ 5.21


รูปท่ี 5.21 ลักษณะการสะทอนแสดงดวยหนาคลื่นเสนตรง

จากรูปเราใชลักษณะของหนาคล่ืนตรงจะไดหนาคลื่น ABC เปนหนาคลื่นตกกระทบ ที่มุม

ACA′ = i เมื่อเวลา t=0 ที่จุด A ไปถึงจุด A′ เมื่อเวลา tV ดังนั้น หนาคลื่นที่ ABC ไปที่ตําแหนง A′B′C′ ที่เวลา t หากไมมีระนาบ CA′ ตามหลักการของฮอยเกนส และ AC // A′C′ แตเมื่อมีระนาบ CA′ ขวางอยูจะเกิดเปนตัวกําเนิดคลื่นใหมเชนกัน ดังนั้นเมื่อเวลา t หนาคลื่นที่จุด A′ จะเริ่มเกิดขณะที่คล่ืนจากจุด

C มีรัศมี CD=AA′ และ E ที่มีรัศมี EF ถา A′FD สัมผัสกับ A′ ดังนั้น A′FD จะเปนหนาคลื่นสะทอนที่

เวลา t มีมุม CA′D = r ดังนั้นจาก สามเหลี่ยม ACA′ และ DCA′ เปนสามเหลี่ยมมุมฉาก

CA′ เปนดานรวม

CD=AA′ และ ∠CAA′=∠CDA′=90°

ΔACA′ = ΔDCA′ ∠ACA′ = ∠CA′ นั่นคือ i = r ในทํานองเดียวกันกับกฎของการหักเห กลาววา “อัตราสวนของไซนมุมตกกระทบตอมุมไซน

ของมุมหักเหมีคาคงท่ีท่ีเทากับอัตราสวนของความเร็วคล่ืนของตัวกลางมุมตกกระทบตอความเร็วคล่ืน

ของตัวกลางของมุมหักเห” เราสามารถใชหลักการของฮอยเกนสมาชวยในการพิสูจนไดแผนภาพในรูปที่ 5. 22

จากรูปที่ 5.22 ให ABC เปนหนาคลื่นเสนตรง มุม ACA′=i กําหนดใหความเร็วคล่ืนของ

ตัวกลางที่หนึ่ง คือ V1 ความเร็วคล่ืนของตัวกลางที่สองคือ V2 เมื่อหนาคลื่นกระทบรอยตอที่ A′ ในเวลา t นั่นคือ ระยะ AA′ = V1t ถาไมมีตัวกลางที่สองหนาคลื่น ABC จะผานลงไปที่ตําแหนง A′B′C′ ที่เวลา t และ A′C′ // AC แตเมื่อมีรอยตอ CA′ ขวาง หนาคลื่นกระทบที่รอยตอ รอยตอจะเปนตัวกําเนิดคลื่น


ใหม เมื่อเวลา t คล่ืนใหมจาก A′ กําลังที่จะเกิดขณะที่ C สมมุติใหมีระยะ CD=V2t เกิดไปแลว และ

ทํานองเดียวกันกับกรณีของ E ที่มีระยะ EF ซ่ึง A′FD เปนหนาคลื่นใหมเมื่อเวลา t และมุม CA′D = r

จากรูปที่ 5.22 เพราะวา ΔACA′ และ ΔDCA′ จะได

รูปท่ี 5.22 ลักษณะการหักเหแสดงดวยหนาคลื่นเสนตรง

5.9 การเลี้ยวเบน (Diffraction) นิยามของการเลี้ยวเบน คือ การเคลื่อนผานของพลังงานคลื่นที่ไมเปนไปตามลักษณะที่เปนจริงปรากฏของตามตัวกลาง หรือไมเปนไปตามกฎของสเนลล เชน เมื่อคล่ืนเดินผานสิ่งกีดขวางจะมีการปรากฏของคลื่นทางดานหลังของสิ่งกีดขวางในบริเวณที่นอกเหนือจากทางเดินคลื่นเดิม ซ่ึงบงบอกถึงการเลี้ยวเบนของคลื่น กระบวนการเลี้ยวเบนจะทําใหมีรูปคลื่นปรากฏที่เปนผลจากความไมตอเนื่อง ดังแสดงในรูปที่ 5.23 5.10 การสูญเสียพลังงานของคลื่น (Energy Loss)

คล่ืนที่สงลงไปจากผิวดิน จะมีการสูญเสียพลังงาน กระบวนการสูญเสียพลังงาน บางที่เรียกวาการทําใหลดลงของความสูงของคลื่น เพราะพลังงานคลื่นมีความสัมพันธกับความสูงของคลื่น ซ่ึงความสูงของคลื่นเปนรากที่สองของพลังงานคลื่นนั่นเอง กระบวนการที่ทําใหสูญเสียพลังงานแบงได เปน 4 จําพวกคือ

2

1

2

1

sinsin

VV

tVtV

CDAA

ACCDACAA

ri

==′

=′′′

=


รูปท่ี 5.23 การเลี้ยวเบนที่เกิดจากหนาคลื่น กระทบกับจุดหักมุมของชั้นตัวกลางที่สอง จะมีคลื่นเดินทาง

ขึ้นมาเนื่องจากปรากฏการณเลี้ยวเบน

(1) การสะทอนและการสงผาน (Reflection and Transmission) ทําใหเกิดการสูญเสียพลังงาน เชน ถาสมมุติให 98% ของความสูงของคลื่นถูกสงผานชั้นหิน ถาชั้นหินมี 100 ช้ัน หลังจากชั้นที่ 100 คล่ืนที่สงลงไปจะเหลือ ความสูงของคลื่น 0.13 เทาของ ความสูงเดิม โดยคํานวณจาก (0.98)100 = 0.13

(2) การกระจายผกผันทรงกลม (Spherical Divergence) เปนการสูญเสียพลังงานเนื่องจาก ระยะทางที่คล่ืนแพรกระจายออกเปนทรงกลม ในทุกขณะที่คล่ืนเดินทางออกหางจากจุดกําเนิด คาความสูงของคลื่นจะถูกลดลงเปนระยะสวนกลับของระยะทาง (1/r, r =รัศมี)

เพื่อใหเกิดภาพลักษณใหพิจารณาการที่เราปลอยกอนหินลงไปตรงๆ กลางอางน้ํานิ่ง จะพบวาคล่ืนที่แพรกระจายออกจากจุดกําเนิดเปนวงกลม (รูปที่ 5.5) และความสูงของคลื่นจะคอยๆ ลดลงตามลําดับ ทั้งนี้เพราะคลื่นสูญเสียพลังงานไปเมื่อกระจายตัวกวางออกไป การลดลงพบวาเทากับสวน

กลับยกกําลังสองของรัศมีวงกลมจากพื้นที่ผิวของรูปทรงกลม เราคํานวณไดจาก 4πr ระยะรัศมีของวงกลม ยกกําลังสอง ดังนั้นพลังงานที่สูญเสียไปที่ระยะรัศมีตางกัน จะเทากับ พลังงานที่สูญเสีย (energy loss, E) โดยที่

2122

44rEr

ππ

=


ถาให r1 = 1 ดังนั้น พลังงานที่สูญเสีย คือ 1/r22ซ่ึง E≈ A2

(3) การกระจาย (Scattering) เปนการสูญเสียพลังงานคลื่นแต ยังไมสามารถหาฟงกชันทางคณิตศาสตรมาอธิบาย การสูญเสียดวยวิธีการนี้ได

(4) การดูดกลืน (Absorption) เปนการที่คล่ืนเคลื่อนที่ลงไปจากผิวดิน และมีการสูญเสียพลังงานไปในรูปการดูดกลืนเกิดขึ้นเมื่อคล่ืนเคลื่อนผานตัวกลาง ทําใหตัวกลางเปลี่ยนลักษณะแบบยืดหยุน แตชวงเวลาที่คล่ืนเคลื่อนผาน จะมีพลังงานถูกดูดกลืนไวขณะถายทอดออกไปสูตัวกลางอีกตัวกลางหนึ่ง พลังงานจะสูญเสียไปในรูปของ (1) ความรอนที่เกิดจากการเสียดสีของเม็ดดินหิน (2) ความรอนที่เกิดจากความหนืด กรณีมีของเหลวอยูในชองวางของเม็ดดินหิน และ (3) การคลายตัว (relaxation) เม็ดดินหิน

เมื่อพลังงานของรูปคลื่นถูกเปลี่ยนไปเปนรูปของพลังงานความรอน คล่ืนจึงเกิดการสูญเสียพลังงาน สมการที่อธิบายการดูดกลืนของคลื่นมีดังนี้ คือ

0xI I e α−=

เมื่อ Io คือ ความเขมของพลังงานเริ่มตน

I คือ ความเขมของพลังงานที่จุดสนใจ x x คือ ระยะทางจากจุดเริ่มตน

α คือ สัมประสิทธิ์การดูดกลืนของพลังงานมีหนวยเปนเดซิ

เบลตอความยาวคลื่น (dB/λ) จากสมการคาการดูดกลืนคลื่นพบวาคาความเร็วคล่ืนและคาความถี่ของคลื่น ซ่ึงสองคาเปนตัว

แปรกับความยาวคลื่น และระยะทางจากจุดเริ่มตนสูจุดสุดทายที่สนใจ มีผลตอการสูญเสียพลังงานคลื่น ถาความถี่สูงจะสูญเสียพลังงานมากกวาความถี่ต่ํา ตัวอยางเชน ถาพบวาคาสัมประสิทธิ์การดูดกลืนมีคา 0.55 เดซิเบลตอความยาวคลื่น คาความเร็วของคล่ืนมีคา 4,000 เมตรตอวินาที คาระยะทางที่สนใจ 240 เมตร ที่คาความถี่ 10 และ 100 รอบตอวินาที จะไดคาการสูญเสียพลังงานที่ 1.404 และ 14.04 เดซิเบล ตามลําดับ ดังนั้นจะพบวาถาใชคล่ืนที่มีความถี่สูงมาก จะมีการถูกดูดกลืนมาก ความลึกที่คล่ืนเดินทางลงสูตัวกลาง จะเคลื่อนลงไปไดนอยกวาการใชความถี่ต่ํา ในกรณีที่พิจารณาเฉพาะการสูญเสียพลังงานเทานั้น



กอนที่ศึกษาในลําดับตอไป 5.11 สัดสวนของพลังงานคลื่นที่ผิวรอยตอ (Energy Partitioning at an Interface) เมื่อคล่ืนพีหรือคล่ืนเอส กระทบกับรอยตอของตัวกลางตางชนิดกัน จะเกิดการสะทอนและหักเหของทั้งคลื่นพีและคลื่นเอสดังแสดงในรูปที่ 5.24 (ก) และ (ข)

รูปท่ี 5.24 ลักษณะการเกิดคลื่นสะทอนและคลื่นหักเห (ก) เมื่อมีคลื่นพีตกกระทบ (ข) เมื่อมีคลื่นเอสตกกระทบ

จากรูปกฎของสเนลลอธิบายความสัมพันธไดดังนี้

1 2 1 2

1 2 1 2

sin sin sin sin

p p s s

pV V V Vθ θ φ φ

= = = =

โดยที่ p คือ คาคงที่ เรียกวา “เรยพารามิเตอร (ray parameter)”


จากรูปที่ 5.24 (ก) แอมพลิจูดคลื่นหักเหเอส (B2) แอมพลิจูดคลื่นหักเหพี (A2) แอมพลิจูดคลื่นสะทอนพี (A1) และแอมพลิจูดคลื่นสะทอนเอส (B1) เมื่อมีแอมพลิจูดคลื่นตกกระทบ (A0) กระทําที่มุม

ใดๆ (0-90°) สามารถคํานวณไดจากสมการของซีพพริทซ (Zoepprtitz’s equation) ซ่ึงสมการของซีพพริทซมีดังนี้

1 1 1 1 2 2 2 2 0cos sin cos sin cosA B A B Aθ φ θ φ θ− + + = (5.14)

1 1 1 1 2 2 2 2 2 1sin cos sin cos sinA B A B Aθ φ θ φ θ+ − + = − (5.15) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 1 1 1

cos 2 sin 2 cos 2 sin 2

cos 2p s p s

p

A V B V A V B V

A V

ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ

ρ φ

− − − =

− (5.16)

1 21 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

10 1 1 1

1

sin 2 cos 2 sin 2 cos 2

sin 2

s ss s s s

p p

ss

p

V VA V B V A V B VV V

VA VV

ρ θ ρ φ ρ θ ρ φ

ρ θ

+ + − = (5.17)

จากสมการที่ 5.14-5.17 มีตัวไมทราบคาอยูส่ีตัว ดังนั้นหาสามารถแกสมการหาคาทั้งสี่คาได ซ่ึง

หากใชคอมพิวเตอรในการชวยคํานวณก็สามารถทําไดอยางรวดเร็ว และเมื่อมุมตกกระทบเทากับ 0° (normal incidence) ตัวแปรจะลดลงไปเหลือเพียง

เมื่อ R คือ สัมประสิทธิ์ของการสะทอน และ

เมื่อ T คือ สัมประสิทธิ์ของการสงผาน

RVVVV

AA

i

refl =+−

=1122

1122

ρρρρ

TVV

VAA

i

refr =+

=1122

112ρρ

ρ


ลักษณะของแอมพลิจูดของคลื่นพีที่เปลี่ยนไป เมื่อมีมุมตกกระทบที่เปลี่ยนไป ดังแสดงในรูปที่ 5.25 (สวนคลื่นอื่นๆ ก็สามารถคํานวณไดและเห็นการเปลี่ยนแปลงคาของแอมพลิจูดเชนเดียวกันกับรูปที่ 5.25 หรือดูไดจาก Figure 2.15 ใน Dobrin and Savit, 1988 หรือ จาก Figure 4.17 ใน Telford et al., 1990) การที่มีแอมพลิจูดเปลี่ยนไปตามขนาดของมุมตกกระทบ หรือระยะหางของตัวกําเนิดคลื่นและตัวรับคลื่นที่แตกตางกัน รูจักกันทั่วไปวา เอวีโอ (AVO ยอมาจาก Amplitude Variation with Offset) สามารถนําไปประยุกตเพื่อบงบอกรอยตอระหวางผิวสะทอนที่มีน้ํา น้ํามัน หรือกาซ ได ในปจจุบันการประยุกตใชหลักการของเอวีโอเปนที่สนใจกันมากสําหรับการสํารวจหาปโตรเลียม ซ่ึงสามารถอานเพิ่มเติมไดจากวารสารทางธรณีฟสิกส ตั้งแตป ค. ศ 1980 เปนตนไป

รูปท่ี 5.25 คาของแอมพลิจูดของคลื่นพีที่มีมุมตกกระทบเปลี่ยนแปลงไป คาแอมพลิจูดเปลี่ยนแปลงตามไปดวย คํานวณจากสมการของซีพพริทซ โดยกําหนดใหความเร็วคลื่นพีของตัวกลางที่หนึ่ง = 2,500 เมตรตอวินาที และคลื่นเอส = 1,443 เมตรตอวินาที ความหนาแนน = 2,400 กิโลกรัมตอลูกบาศกเมตร ความเร็วคลื่นพีของตัวกลางที่สอง = 4,500 เมตรตอวินาที ความเร็วคลื่นเอส = 3,000 เมตรตอวินาที และความหนาแนน = 2,700 กิโลกรัมตอลูกบาศกเมตร


กอนที่ศึกษาในลําดับตอไป 5.12 ความเร็วคลื่นส่ันสะเทือน (Seismic Velocity)

ในการสํารวจดวยคลื่นสั่นสะเทือนสวนใหญเราสนใจ คล่ืนพี (VP) สวนคลื่นเอส (VS) หรือคล่ืนเฉือน ปจจุบันยังอยูในขั้นของการวิจัยเพื่อประยุกตสํารวจบางพื้นที่เทานั้น ยังไมนิยมทํากันอยาง


แพรหลายเหมือนการสํารวจดวยคล่ืนพี มีรายงานการวิจัยที่แสดงถึงผลการประยุกตสํารวจดวยคลื่นเอสเพื่อหาน้ํามัน แตยังพบวามีขีดจํากัดอยูมาก โดยเฉพาะเมื่อทําการสํารวจในทะเลจะตองวางตัวรับคลื่นที่ทองทะเล (สําหรับคลื่นพีไดมีการสํารวจชนิดที่วางตัวรับคลื่นที่ทองทะเล และพบวาขอมูลที่สํารวจไดชัดเจนมากกวา มีคล่ืนรบกวนนอยกวา แตคาใชจายคอนขางสูง) คล่ืนเฉือนจึงยังอยูในขั้นของการวิจัยเพื่อทําใหสามารถนํามาประยุกตสํารวจไดงายๆ เชนเดียวกับคลื่นพี ความเร็วคล่ืนพีและคลื่นเอสจะขึ้นอยูกับคุณสมบัติของการยืดหยุน ดังไดกลาวมาแลวบางสวนในหัวขอ 5.2 และ 5.3 โดยเราแบงวัตถุในโลกออกเปนสามประเภทใหญๆ คือ ของแข็ง ของเหลว และกาซ หรืออาจจะแบงออกเปนเพียงสองประเภท คือ ของแข็ง และของไหล (รวมเอาของเหลวและกาซเขาดวยกันเรียกวาของไหล) วัตถุที่เปนของแข็งจะตองมีคุณสมบัติยืดหยุน โดยที่วัตถุแตละชนิดจะมีคุณสมบัติของการยืดหยุนมากนอยตางกัน กฎของฮุค (Hooke’s law) อธิบายความสัมพันธของการยืดหยุนเชิงปริมาณ คล่ืนพีและคลื่นเอสมีความสัมพันธกับคาคุณสมบัติความยืดหยุน ดังสมการแสดงอยูในรูปที่ 5.26 โดยที่คาคงตัวของคุณสมบัติความยืดหยุนประกอบดวย

(1) มอดูลัสของยัง (Young’s Modulus) ใชสัญลักษณ “E” เปนคุณสมบัติที่เมื่อวัตถุถูกความ

เคน (σ) จะเกิดความเครียด (ε) ซ่ึงคาความเคนและความเครียดแปรผันกับคาคงตัวของวัตถุที่เรียกวา “คามอดูลัสของยัง” ดังสมการ

E σε

=

(2) ปวซองสเรโช (Poisson’s Ratio) ในทางธรณีฟสิกสนิยมใชสัญลักษณ “σ” ซ่ึงจะซ้ํากับสัญลักษณความเคน ดังนั้นขอใหพึงระวังไวในจุดนี้ สวนทางวิศวกรรมจะใชสัญลักษณ

“ν (นิว)” แทนปวซองสเรโช เพื่อปองกันไมใหสับสนกับสัญลักษณของความเคน

อยางไรก็ตามในหนังสือเลมนี้ใชสัญลักษณดวย σ แทนปวซองสเรโช เพราะเปนที่ยอมรบัของนักธรณีฟสิกสโดยทั่วไป คาปวซองสเรโชเปนอัตราสวนระหวางความเครียดในแกน

ขวาง (ΔW) ตอความเครียดในแกนยาว (ΔL) เมื่อวัตถุยาว L และหนา W ถูกความเคนกระทําในแกนยาว สมการการหาปวซองสเรโช คือ

//

W WL L

σ Δ=−Δ


มอดูลัสของยัง ปวซองสเรโช

E σ

คาคงตัวของลาเมและคามอดูลัสเฉือน ความเร็วคล่ืนพี ความเร็วคล่ืนเอส

อัตราสวนของคลื่นเอสและคลื่นพี

รูปท่ี 5.26 ความสัมพันธระหวางคุณสมบัติความยืดหยุนกับคาความเร็วคลื่นพีและคลื่นเอส (ดัดแปลงจาก FIG.11.0-1 ของ Yilmaz, 2001)

)1(2

)21)(1(

σμ

σσσλ

+=

−+=

E

E

ρμλ 2+

=PV ρμ

=SV

σσ

−−

=15.0

P

S

VV


คาของปวซองสเรโชมีคาตั้งแต 0-0.5 น้ําจะมีคาปวซองสเรโช = 0.5 และปวซองสที่เปนของแข็งจะประมาณ = 0.25

(3) บัคลมอดูลัส (Bulk Modulus, k) ใชสัญลักษณ “k” คือ ความสามารถคงทนตอการกดอัดตัวไดของวัดสุตางๆ เชน สมมุติวาเรามีแทงหินทรายและแทงฟองน้ําขนาดเทากัน ถาเราออกแรงบีบแทงหินทรายและแทงฟองน้ํา เราจะพบวาแทงฟองน้ําออกแรงบีบเพียงเบาๆ ก็เปลี่ยนแปลงรูปรางและสังเกตไดงายกวาแทงหินทราย ดังนั้นเรากลาวไดวาคาบัคลมอดูลัสของแทงฟองน้ําจะนอยกวาคาบัคลโมดูลัสของแทงหินทราย จากตัวอยางนี้โดยทั่วไปแลวเราพอที่จะอนุมานไดวาคาบัคลมอดูลัสของหินแข็งมีคามากกวาดินรวนเปนตน คาบัคลมอดูลัสคํานวณไดจากสมการ

/PkV VΔ

=Δ

เมื่อ ΔP คือคาความดันที่เปลี่ยนไป ΔV คือปริมาตรที่เปลี่ยนไป และ V คือปริมาตรของวัตถุ

(4) มอดูลัสเฉือน (Shear Modulus, μ) ใชสัญลักษณ “μ” มอดูลัสเฉือนบอกถึงความสามารถในการตอตานการเปลี่ยนแปลงของวัตถุเมื่อถูกแรงเฉือนมากระทํา ซ่ึงอากาศกับของเหลวไมสามารถจะตอตานแรงเฉือนไดเลย โมดูลัสคาเฉือนจึงมีคาเทากับศูนย คล่ืนเฉือนจึงไมสามารถผานอากาศและน้ําได สมการของมอดูลัสเฉือนคือ

shearσμε

=

(5) คาคงตัวของลาเม (Lame’s Constant) ใชสัญลักษณ “λ” เปนคาความสัมพันธที่เกิดจากคาของมอดูลัสของยังและคาปวซองสเรโช ดังสมการที่แสดงอยูในรูปที่ 5.26

สมการของคลื่นพีที่แสดงอยูในรูปที่ 5.26 ที่แสดงความสัมพันธกับคาคงตัวของลาเม สามารถเขียนใหอยูในรูปความสัมพันธกับของคาบัคลมอดูลัสไดใหมดังนี้


42 3

P

kV

μλ μρ ρ

++= =

จากสมการของ VP และ VS จะเห็นวาคาความเร็วของคลื่นพีและคลื่นเอสจะขึ้นอยูกับคาความ

หนาแนน (density, ρ) ของวัตถุดวย เชน ระหวางดินแหงกับดินเปยก คาความหนาแนนยอมไมเทากัน คามอดูลัสของยังและคาปวซองสเรโชไมเทากันอีกเชนกัน ดังนั้นคาความเร็วคล่ืนระหวางดินแหงจึงแตกตางจากดินเปยก หรือระหวางหินทรายกับหินปูน คาความหนาแนนของหินทรายที่มีแรควอตซเปนองคประกอบกับหินปูนที่มีแรแคลไซดเปนองคประกอบแตกตางกัน คาของมอดูลัสของยัง และคาปวซองสเรโชแตกตางกัน ดังนั้นคาความเร็วคล่ืนยอมแตกตางกัน เปนตน ตารางที่ 5.4 แสดงคาความเร็วคล่ืนพีและคลื่นเอสของดินและหินที่สําคัญๆ ตารางที่ 5.5 แสดงความสัมพันธของคาคงตัวยืดหยุนกับคาความเร็วของคลื่นพีและคลื่นเอส คาความยืดหยุนของวัตถุที่สําคัญบางชนิดแสดงในตารางที่ 5.6 จากตารางที่ 5.6 จะพบวาเมื่อทราบคาความสัมพันธและรูคาบางคา สามารถคํานวณหาคาอื่นตามมาได จากตารางนี้ทําใหสามารถนําเอาการสํารวจวัดคลื่นพีและคลื่นเอสมาใชในงานที่ศึกษาเกี่ยวกับ การหาคาความแข็งแรงของวัตถุ การเปลี่ยนลักษณะของวัตถุ เชน มีการประยุกตสํารวจหา Vp และ VS เพื่อหาคาปวซองสเรโช สําหรับงานวิศวกรรมโครงสราง ดังสมการของความสัมพันธที่แสดงอยูในรูปที่ 5.26 ตารางที่ 5.4 คาความหนาแนน คาความเร็วของคลื่นสั่นสะเทือนของคลื่นพีและคลื่นเอส (รวมรวมจาก Clark, 1966 อางถึงใน Dobrin and Savit (1988); Press, 1966 อางถึงใน Burger, (1992); Gardner et al., 1974 )

วัตถุ ความหนาแนน (กิโลกรัมตอลูกบาศกเมตร)

ความเร็วคล่ืนพี (เมตรตอวินาที)

ความเร็วคล่ืนเเอส (เมตรตอวินาที)

อากาศ - 330-350 - น้ํา 1,000 1,400-1,600 0 หินแกรนิต 2,600-2,700 4,500-5,500 2,500-3,300 หินไนส 2,500-2,700 3,500-4,800 1,700-2,800 หินควอรตไซต 2,500-2,700 5,000-5,800 2,900-3,600 หินทัฟฟ 1,800-2,000 2,800-3,500 1,100-1,900 หินบะซอลต 2,800-2,900 5,000-6,000 2,800-3,600 หินแอนดีไซต 2,500-2,700 3,500-4,800 2,300-2,980


หินไรโอไลต 2,500-2600 3,800-5,000 2,400-3,050 หินออน 2,700-2,800 3,500-5,800 2355-3250 หินชีสส 2,700-2,800 4,500-5,200 2,900-2,860 หินแกบโบร 2,900-3,050 5,000-5,500 3,200-3,500 หินทรายแปง 2,400-2,500 2,200-2,500 1,520-1,750 หินทราย 2,400-2,700 1,400-4,200 700-2,200 หินปูน 2,200-2,800 3,000-4,800 1,800-2,800 หินโดโลไมต 2,400-2,800 3,500-4,800 2,000-3,000 หินดินดาน 2,200-2,700 1,800-2,800 800-1,600 หินโคลน 2,000-2,400 1,500-2,400 - เกลือ 2,100-2,200 4,200-5,000 2,100-2,800 แอนไฮไดรต 2,800-3,000 5,500-6500 - ทรายเปยก 1,600-2,200 800-2,200 300-750 ทรายแหง 1,600-2,200 200-1,800 100-800 ทรายปนกรวดเปยก 1,600-2,200 500-1,800 200-700 ทรายปนกรวดแหง 1,600-2,200 400-1,500 160-600 ดินปนทราย 1,400-1,800 250-600 120-300 ดินเหนียวเปยก 1,900-2,000 1,200-1,800 400-600 ดินเหนียวแหง 1,900-2,000 700-1,200 300-600 ดินมอดินแดง 1,400-1,600 600-800 - ดินเหนียวปนทรายแปง 1,400-1,600 400-850 -

ตารางที่ 5.5 ความสัมพันธระหวางคาความยืดหยุนกับคาความเร็วของคลื่นพีและคลื่นเอส (จาก FIG. E-6 จาก Sheriff, 1991)

μ K λ E ν

3(k-λ)/2 λ+(2μ/3) k-(2μ/3) 9kμ/(3k+μ) λ/(2(λ+μ)

λ((1-2ν)/2ν) μ((2(1+ν)/3(1-2ν)) 2μν/(1-2ν) 2μ(1+ν) λ/(3k-λ)

3k((1-2ν)/(2+2ν)) μ ((1+ν)/3ν) 3k(ν/(1+ν)) μ((3λ +2μ)/(λ +μ) 3k-2μ/2(3k+μ)

E/2(1+ν) E/3(1-2ν) Eν/(1+ν)(1-2ν) 3k(1-2ν) 3k-E/6k

ρVs 2 ρ(Vp2- (4/3)Vs 2) ρ(Vp2-2Vs 2 ) ρVs 2⎨(3Vp2- 2Vs2)

/(Vp2- (1/3)Vs 2 )⎬

Vp2- 2Vs 2 /2(Vp2- Vs 2)


ตารางที่ 5.6 ตัวอยางคาคงตัวเฉพาะของความยืดหยุนบางชนิด (จาก TABLE 2.3 จาก Lay and Wallace, 1995: TABLE 2-1 จาก Burger, 1992)

วัตถุ K(Gpa) μ (Gpa) λ (Gpa) σ ρ(kg/m3) น้ํา 2.1 0 2.1 0.50 1,000 หินดินดาน 12 0.5 2.9 0.04 2670 หินทรายแปง 13 2 3.5 0.12 2500 หินทราย 17 7 5.0 0.30 2,600 หินปูน 33 18 39 0.34 2,710 หินบะซอลต 63 28 30 0.27 2740 หินแกรนิต 41 22 36 0.26 2,660 หินไนส 55 20 31 0.20 2,640 หินออน 48 40 38 0.27 2,870 แรโอริวีน 129 82 74 0.24 3,200 แรเพอรอฟสไกต 266 153 164 0.26 4,100 หมายเหตุ Gpa คือ จิกะปาสคาล (giga Pascal)

Burger (1992) แนะนําเกี่ยวกับการประมาณคาของคลื่นเอส เมื่อทราบคาของคลื่นดังตอไปนี้ ถาเปนหินอัคนีหรือหินแปร คาของคลื่นเอสจะมีคาประมาณ 0.6 เทาของคลื่นพี ถาเปนหินตะกอนคลื่นเอสจะมีคาประมาณ 0.5 เทาของคลื่นพี และถาเปนดิน หรือหินผุคาความเร็วของคลื่นเอสจะประมาณ 0.4 เทาของคลื่นพี สวนคลื่นเรลียจะมีคาประมาณ 0.9 เทาของคลื่นเอส นอกจากนี้คล่ืนพีและคลื่นเอสพบวาคาความเร็วมีความสัมพันธกับคาความหนาแนน สมการความสัมพันธนี้นําเสนอโดย Gardner et al. (1974) รูจักกันโดยทั่วไปเรียกวา “สมการการดเนอร (Gardner's equation)” แตสมการนี้ใชไดกับหินตะกอนเทานั้น โดยที่

1/ 4paVρ =

เมื่อ a คือ คาคงตัวเทากับ 0.31 ถาความหนาแนนมีหนวยเปน g/cm3 และ

ความเร็วมีหนวยเปนเมตรตอวินาที หรือ a = 0.23 ถาความหนาแนนมีหนวยเปน g/cm3 และความเร็วมีหนวยเปนฟุตตอวินาที


5.13 ตัวอยางการเดินทางของคลื่นผานรูปจําลองใตผิวดินสองและสามชั้น ตัวอยางของรูปที่แสดงแบบจําลองใตผิวดิน 2 ช้ัน จากรูปที่ 5.27 จะสังเกตเห็นความแตกตาง

เมื่อคล่ืนวิ่งผานขอบเขตรอยตอ เมื่อเวลาผานไปที่ 80 มิลลิวินาที (รูปที่ 5.27 (ข)) เราจะเห็นหนาคลื่นของคลื่นตรงเคลื่อนออกมาจากจุดกําเนิดคลื่น และกระทบกับรอยตอเกิดการหักเหลงสูช้ันที่สอง คล่ืนสะทอนปรากฏแตยังไมชัดเจน เมื่อเวลา ผานไปที่ 110 มิลลิวินาที (รูปที่ 5.27 (ค)) เราจะเห็นคลื่นหักเหและคลื่นสะทอน คล่ืนเฮดยังไมปรากฏเพราะยังไมเกิดมุมวิกฤตที่คล่ืนจะไมหักเหลงสูชั้นลางอีกตอไป แตคล่ืนจะวิ่งที่ผิวรอยตอพรอมๆ กับการหักเหกลับสูผิวดิน และเมื่อเวลา 140 มิลลิวินาที (รูปที่ 5.27 (ง)) เราจึงสามารถสังเกตเห็นคลื่นเฮด ที่วิ่งกลับสูผิวดิน โดยที่คล่ืนตรงจะสังเกตเห็นวามีแอมพลิจูดสูงกวาคล่ืนหักเหมาก นั่นแสดงใหเราเห็นวาคล่ืนหักเหที่ปรากฏในเสนคลื่นที่บันทึกได (seismogram) จะมีแอมพลิจูดต่ํากวาคลื่นตรง ซ่ึงคลื่นเฮดจะเคลื่อนที่ขนานไปกับขอบเขตรอยตอและเคลื่อนดวยความเร็วของชั้นลางและหักเหกลับกลับขึ้นสูผิวดิน สวนรูปที่ 5.28 แสดงกรณีของ 3 ช้ัน

รูปท่ี 5.27 ภาพจําลองการเคลื่อนที่ของคลื่น (ก) แบบจําลองของชั้นใตผิวดิน 2 ช้ัน โดยช้ันแรกมีความเร็ว

1,500 เมตรตอวินาที และชั้นที่สองมีความเร็ว 5,000 เมตรตอวินาที ขอบเขตรอยตอระหวางชั้นบนกับช้ันลางอยูที่ความลึก 100 เมตรจากผิวดิน จุดกําเนิดคลื่นอยูที่วงกลม (ข) เมื่อเวลาผานไปที่ 80 มิลลิวินาที (ค) เมื่อเวลาผานไปที่ 110

มิลลิวินาที (ง) เมื่อเวลาผานไปที่ 140 มิลลิวินาทีตามลําดับ (ภาพจากความเอื้อเฟอของ Thomas Boyd)


รูปท่ี 5.28 ภาพจําลองการเคลื่อนที่ของคลื่น (ก) แบบจําลองของชั้นใตผิวดิน 3 ช้ัน โดยช้ันแรกมีความเร็ว 1,500 เมตรตอวินาที ช้ันที่สองมีความเร็ว 3,000 เมตรตอวินาที และชั้นที่สามมีความเร็ว 4,500 เมตรตอวินาที ขอบเขตรอยตอระหวางชั้นบนกับช้ันลางอยูที่ความลึก 100 และ175 เมตรจากผิวดิน ตามลําดับ จุดกําเนิดคลื่นอยูที่วงกลม (ข)

เมื่อเวลาผานไปที่ 30 มิลลิวินาที (ค) เมื่อเวลาผานไปที่ 155 มิลลิวินาที (ง) เมื่อเวลาผานไปที่ 198 มิลลิวินาทีตามลําดับ (ภาพจากความเอื้อเฟอของ Thomas Boyd)

การคํานวณหาเวลาใชในการเดินทางของคลื่นตรงนั้น ทําไดโดยหาระยะทางจากตัวกําเนิดคลื่น

ไปยังตัวรับคลื่นแลวหารดวยความเร็วของชั้นดิน-หินที่คล่ืนเคลื่อนผาน แตสําหรับคลื่นเฮด เราจะตองดูทางเดินคลื่นที่ออกมาจากตัวกําเนิดคลื่นและวิ่งเขาสูตัวรับ ซ่ึงคลื่นนี้มีคุณสมบัติ ที่จะตองวิ่งผานขอบเขตรอยตอของชั้นบนและชั้นลาง โดยช้ันลางจะตองมีความเร็วมากกวาชั้นบน ซ่ึงรายละเอียดจะไดกลาวในบทที่ 6 ในที่นี้กลาวเพียงคราวๆ เพื่อเปนบทนําไปสูบทที่ 6 และ 7 ตอไป

จากกฎของสเนลล ที่กลาววา อัตราสวนของไซนของมุมตกกระทบตอไซนของมุมหักเห มีคา

เทากับดัชนีหักเหของวัตถุซ่ึงเทากับ V1/V2 เมื่อมุมหักเหเทากับ 90° ตามลักษณะคุณสมบัติของคลื่นเฮด จากแนวทางเดินของคลื่นเฮด พลังงานจะถูกถายทอดลงไปสูขางลางจากจุดกําเนิดคลื่น ดวยความเร็วของชั้นดิน-หินบน เมื่อถึงขอบเขตรอยตอของชั้นบนและชั้นลางดวยมุมวิกฤต จะเกิดการหักเหที่ทําให

แนวทางเดินคลื่นเปลี่ยนทิศทางโดยทํามุม 90° กับเสนสมมุติตั้งฉากกับขอบเขตรอยตอทําใหคล่ืนหักเหชนิดนี้ วิ่งขนานไปกับขอบเขตรอยตอ ดวยความเร็วของชั้นที่อยูขางลาง และพรอมกับสงผานกลับชั้น


มาสูช้ันบน คล่ืนที่ถูกสงผานพื้นมาจะเดินทางดวยความเร็วของชั้นบน คล่ืนเฮดจะเดินทางผานขึ้นสูผิวดินไดเร็วกวาคลื่นตรง

ถาหากระยะทางที่พิจารณาระหวางตัวกําเนิดคลื่นและตัวรับคลื่นแตกตางกันมากขึ้นเรื่อยๆ และเพราะความเร็วของชั้นลางที่คล่ืนเฮดวิ่งผานมีความเร็วมากกวา จึงทําใหคล่ืนนี้เคลื่อนถึงกอนคลื่นตรง และเพราะคลื่นตรงวิ่งดวยความเร็วของชั้นบนเพียงชั้นเดียว ในกรณีที่มีมากกวาสองชั้นก็มีวิธีการคิดเชนเดียวกับสองชั้น ดวยหลักการจากปรากฏการณและคุณสมบัติของคลื่นเฮดนี้เองที่เรานํามาประยุกตสํารวจคลื่นสั่นสะเทือนแบบหักเห สวนรูปที่ 5.28 แสดงแบบจําลองใตผิวดิน 3 ช้ัน และลักษณะของคล่ืนเมื่อเคลื่อนผานตัวกลาง จะสังเกตเห็นความแตกตางเมื่อคล่ืนวิ่งผานขอบเขตรอยตอ 3 ช้ัน (ดูเปรียบเทียบกับ 2 ช้ัน ในรูปที่ 5.27) ใหสังเกตดูรูปคลื่นหักเห คล่ืนสะทอน และคลื่นตรง ในแตละชัน้จะเห็นคลื่นเฮดของชั้นที่ 2 และ 3 เมื่อช้ันดิน-หิน มีหลายชั้นมากขึ้นความซับซอนของคลื่นจะเพิ่มตามลําดับ

เพื่อทบทวนความเขาใจในหัวขอที่กลาวมาแลว ควรพลิกไปทําแบบฝกหัดทายบทขอท่ี 13-14 กอนที่ศึกษาในลําดับตอไป 5.14 เครื่องมือที่ใชในการสํารวจ (Seismic Equipment)

เครื่องมือที่ใชในการสํารวจประกอบดวย ตัวกําเนิดคลื่น ตัวรับคล่ืน และเครื่องบันทึกขอมูล เครื่องมือสํารวจนี้มีทั้งแบบที่ใชในการสํารวจบนบกและทางทะเล ซ่ึงในที่นี้จะกลาวโดยรวมอยางคราวๆ

(1) ตัวกําเนิดคล่ืน (Seismic Source) จะตองมีคุณสมบัติทําใหเกิดการกระแทกเพื่อถายทอดพลังงานออกไป เชน ฆอนทุบ หรือการสั่นตามชวงความถี่ที่ตองการดวยรถส่ันสะเทือน (รูปที่ 5.29) หรือ จุดระเบิด (dynamite) หรืออัดอากาศแลวปลอยออกมาโดยเร็วเพื่อใหเกิดแรงระเบิด (air gun)

(2) ตัวรับคล่ืน (Receiver) จะตองมีความไวสูงมากในการที่จะรับพลังงานที่เคลื่อนกลับขึ้นมาสู ผิวดิน เพราะการเปลี่ยนแปลงแบบยืดหยุนที่ เกิดจากคลื่นสั่นสะเทือนจะมีการเปลี่ยนแปลงประมาณ 10-8-10-11 (Dobrin and Savit, 1988) ของอัตราสวนการเปลี่ยนแปลง จึงมองไมเห็นดวยตาเปลา ตัวรับคลื่นที่เรียกวา “จีโอโพน (geophone)” มีหลักการงายๆ คือ ตัวรับคลื่นจะประกอบดวยขดลวดและแมเหล็ก โดยอาศัยหลักการของการเคลื่อนขดลวด


ผานสนามแมเหล็ก เมื่อมีการสั่นของอนุภาคใตผิวดิน ขดลวดหรือแมเหล็กอันใดอันหนึ่งเทานั้นที่จะตองมีความไวสูงตอการสั่น และเมื่อส่ันเนื่องจากพลังงานถูกถายทอดออกมาตามการเคลื่อนของคลื่น ทําใหขดลวดและสนามแมเหล็กเกิดการเคลื่อนที่ตัดกัน จะเกิดกระแสไฟฟาขึ้น ซ่ึงสามารถวัดกระแสไฟฟาและแปลงกลับมาสูการสั่นสะเทือน ซ่ึงจะมากหรือนอยขึ้นอยูกับการสั่นแบบอัดและขยายของอนุภาคนั่นเอง

(ก) (ข)

รูปท่ี 5.29 ตัวกําเนิดคลื่น (Vibrator) แบบสั่นตามชวงความถี่ (ก) รถสั่นสะเทือนแบบพวงตัวกําเนิดคลื่นสามเครื่องเขาดวย ทั้งสามเครื่องจะตองทํางานพรอมกันที่ความถี่เทากัน ขอดีของการใชตัวกําเนิดคลื่นชนิดนี้ คือสามารถกําหนดความถี่ของคลื่นไดตามตองการ (ข) ลักษณะแผนเหล็กที่ออกแบบเพื่อการสั่นเปนจังหวะ ตามความถี่ที่ตองการ

รูปที่ 5.30 (ก) และ (ข) แสดงตัวอยางของตัวรับคลื่นบนพื้นดิน และรูปที่ 5.30 (ค) แสดง

แผนภาพอยางงายภายในของตัวรับคลื่น รูปที่ 5.31 แสดงตัวรับคลื่นที่ใชสําหรับสํารวจในน้ํา (hydrophone) มีลักษณะแตกตางจากตัวรับคลื่นบนพื้นดินเล็กนอย แตหลักการของการทํางานคลายกัน ตัวรับคลื่นที่ใชสําหรับสํารวจในน้ําจะประกอบดวย ผลึกแกวตัวนําไฟฟา (piezoelectric crystals) ที่ทําหนาที่เปนตัวรับการอัดและขยายกลับขึ้นมาของคลื่นผานน้ํา ซ่ึงการอัดและขยายเปนสัดสวนกับความเร็วของคลื่นเคลื่อนที่กลับขึ้นมา ในการออกแบบตัวรับคลื่นนิยมออกแบบใหรับในทิศทางเดียว เชน แนวดิ่ง หรือแนวระนาบ (แนวนอน) ดังนั้นถาหากทําการสํารวจดวยคล่ืนเอสที่เดินทางขวางกับทิศทางที่คล่ืนเคลื่อนที่ จะตองเลือกตัวรับคลื่นในแนวนอน แตหากตองการสํารวจทั้งคลื่นพีและคลื่นเอสจะตองใชตัวรับคลื่นที่รับไดทั้งแนวดิ่งและแนวนอน เรียกวา “ตัวรับคล่ืนแบบ 3 แกน (3-

component geophone)” ดังแสดงในรูปที่ 3.30 (ข) โดยที่ในแนวนอนจะมีสองแกนตั้งฉากกัน การเลือก


คาความถี่ธรรมชาติ (natural frequency) ของตัวรับคลื่นมีความสําคัญมากโดยเฉพาะการสํารวจแบบสะทอนจะตองทําการเลือกใหเหมาะสมกับวัตถุเปาหมาย (target) ที่ตองการสํารวจ

(ก)

(ข) (ค)

รูปท่ี 5.30 ตัวรับคลื่นที่เรียกวาจีโอโพน (geophone) (ก) ลักษณะของตัวรับคลื่นที่ใชในพื้นดินแหง (land

case) และที่ช้ืนแฉะ (marsh case) (ข) ลักษณะของตัวคลื่นแบบสามแกน (3-component geophone) (ค) ลักษณะภายในของตัวรับคลื่น ประกอบดวยขดลวดและแมเหล็ก (รูป (ก) และ (ข) จากภาพโฆษณาจําหนายตัวรับคลื่นทางอินเตอรเน็ตของบริษัทจีโอสเปส)

ในการสํารวจแบบหักเหจะไมคอยมีปญหามากนักในการเลือกคาความถี่ธรรมชาติของตัวรับ

คล่ืนคือ ควรเลือกที่ความถี่ต่ําๆ (low frequency geophone) เชน 15, 20, 25 เฮิรตซ สวนการสํารวจแบบสะทอนควรเลือกที่ความถี่สูงๆ (high frequency geophone) เชน 100, 200 เฮิรตซ เปนตน คาความถี่ธรรมชาติของตัวรับคลื่นจะบงบอกถึงขีดจํากัดของตัวรับคลื่น สมมุติตัวรับคลื่นมีคาความถี่ธรรมชาติ

V


25 เฮิรตซ หมายความวา คาแอมพลิจูดของคลื่นที่เขามากับความถี่ที่ต่ํากวา 25 เฮิรตซ จะแปรผันกับความถี่ (รูปที่ 5.32) ในการสํารวจแบบสะทอนเราพิจารณาทั้งคาของเวลาและคาแอมพลิจูดของคลื่น ดังนั้นเราไมตองการใหคาความแอมพลิจูดของตัวรับคลื่นแปรผันกับความถี่ เราตองการใหคาแอมพลูแปรผันกับลักษณะธรณีวิทยาของชั้นดิน-หินเพียงอยางเดียว ดังนั้นเราจะกรองชวงความถี่ที่ต่ํากวาคาความถี่ธรรมชาติของตัวรับคลื่นออกไป

(ก) (ข)

รูปท่ี 5.31 ตัวรับคลื่นที่ใชในทะเลที่เรียกวาไฮโดรโพน (hydrophone) (ก) ภาพขยายของกลุมตัวรับคลื่น (ข)

ภาพโดยรวมของ ตัวรับคลื่นที่ใชในทะเล เปนสายเคเบิลยาว ซึ่งจะตองวางใหจมอยูในน้ําประมาณ 5-8 เมตร เพื่อลดการรบกวนของคลื่นที่ผิวน้ํา

รูปท่ี 5.32 กราฟแสดงผลตอบสนองสัมพันธกับความถี่ของตัวรับคลื่น จะมีคาคงที่เมื่อหางจากคาความถี่ธรรมชาติ ในรูปคือต้ังแต 45 เฮิรตซไปแลว และคาความหนวงที่ดีคือ 70%


(3) เคร่ืองบันทึกขอมูล (Recorder) เปนเครื่องที่ตอกับตัวรับคลื่นทุกตัวที่ใชในการสํารวจ ถาเปนการสํารวจที่ความลึกไมมากโดยวิธีสํารวจแบบหักเห จํานวนของตัวรับคลื่น อาจจะใช 12, 24, 48 หรือมากกวาก็ได แตถาเปนการสํารวจแบบสะทอนจํานวนตัวรับคลื่นอาจจะเริ่มตั้งแต 12, 24, 48, 96, 124 หรือมากกวา โดยทุกตัวตอเขาเครื่องรับดวยสายเคเบิล เวลาที่ปลอยคล่ืนออกจากจุดกําเนิดจะตองสัมพันธกับการบันทึกขอมูล แผนภาพแสดงการเก็บขอมูลแบบงายๆ ดังแสดงในรูปที่ 5.33

รูปท่ี 5.33 แผนภาพการสํารวจโดยมีตัวกําเนิดคลื่น ตัวรับคลื่นและเครื่องบันทึกขอมูล มีสายเคเบิลตอเขากับตัวรับคลื่นทุกตัว

5.15 การเลือกชวงการเก็บขอมูล (Sampling Rate) การเดินทางของคลื่นตั้งแตออกจากตัวกําเนิดคลื่น จะมีการเดินทางในลักษณะแบบตอเนื่อง และเมื่อคล่ืนกระทบกับตัวกลางตางชนิด ที่ทําใหเกิดการสะทอนและหักเหกลับของคลื่น การเดินทางก็ยังคงเปนแบบตอเนื่อง แตเครื่องมือที่ตอเขากับตัวรับคลื่นไมสามารถที่จะทําการบันทึกขอมูลการเดินทางของคลื่นแบบตอเนื่องได เครื่องสามารถบันทึกขอมูลในลักษณะที่เปนชวงของเวลา เชน เก็บขอมูลทุกๆ ชวง 0.001, 0.002, 0.003, …วินาที (ht) ดังตัวอยางแสดงในรูปที่ 5.34 ซ่ึงการเก็บขอมูลเปนชวงๆ เชนนี้มีผลตอคาความถี่ของคลื่น หากเราทําการเก็บขอมูลดวยชวงวินาทีที่แคบๆ เราจะสามารถเก็บขอมูลของคลื่นที่มีความถี่สูง แตถาเราเก็บขอมูลดวยชวงวินาทีกวาง เราจะไดขอมูลของคลื่นที่มีความถี่ต่ํา เชน ในกรณีที่เราเก็บขอมูลดวยชวงการเก็บขอมูลทุกๆ 0.004 วินาที เราสามารถคํานวณความถี่สูงสุดไดจากสมการ


12nF t

=Δ

เมื่อ Fn คือ ความถี่สูงสุดที่จะเก็บไดจากชวงการเก็บขอมูล (Nyquist frequency) มีหนวยเปนเฮิรตซ ht คือ ชวงการเก็บขอมูล มีหนวยเปน วินาที

รูปท่ี 5.34 ชวงการเก็บขอมูล (ก) เก็บขอมูลทุกๆ 0.004 วินาที (ข) เก็บขอมูลทุกๆ 0.008 วินาที

ดังนั้นเมื่อแทนคา 0.004 วินาทีลงในสมการดังกลาวขางตน จะไดความถี่สูงสุด 125 เฮิรตซ

ลักษณะชวงการเก็บขอมูลแสดงในรูปที่ 5.34 (ก) ถาเราเปลี่ยนชวงการเก็บขอมูลเปนทุกๆ 0.008 วินาที เมื่อแทนคาลงไปในสมการ จะไดความถี่สูงสุด 62.5 เฮิรตซ และถาคลื่นที่เดินทางเขามามีความถี่ 100 เฮิรตซ แตชวงการเก็บขอมูลเก็บทุก 0.008 วินาที คล่ืนความถี่ 100 เฮิรตซ จะบันทึกไดเปนคลื่น 25 เฮิรตซ ดังแสดงในรูปที่ 5.34

การเลือกชวงเก็บขอมูล เปนสิ่งจําเปนที่ตองพิจารณาโดยเฉพาะอยางยิ่งในการสํารวจแบบสะทอน หากเก็บขอมูลดวยชวงการเก็บขอมูลแคบๆ จํานวนของขอมูลจะมาก ยอมสงผลทําใหการประมวลผลเสียเวลามาก แตหากเก็บดวยชวงกวางๆ ความถี่ของคลื่นจะนอย จะมีผลตอการแปลความหมายในสวนของการแบงแยกชั้นหิน หากเก็บที่ชวงแคบๆ จะไดความถี่ของคลื่นสูง ช้ันหินบาง


(thin bed) สามารถตรวจสอบได เมื่อเก็บขอมูลดวยความชวงการเก็บใดๆ แลว หากจะนํามากําหนดชวงการเก็บใหมใหละเอียดขึ้น เชน เก็บขอมูลจากสนามทุกๆ 0.002 วินาที ตอมานําขอมูลมาแปลงเปนชวง 0.001 วินาที เปนสิ่งที่ไมควรทํา เพราะไมทําเกิดประโยชนตอคุณภาพของขอมูล แตหากจะแปลงใหหยาบลง สามารถทําได ขอดีคือ จํานวนขอมูลลดนอยลง สวนคุณภาพของขอมูลลดลง 5.16 การบันทึกขอมูล (Record of Ground Motion) จากหัวขอที่ 5.1 ไดอธิบายถึงหลักการสํารวจแบบหักเหและสะทอนมาแลว ดังนั้นเราคงจะเห็นแลววา คล่ืนสัญญาณของการสั่นสะเทือนเมื่อเคลื่อนที่ออกจากจุดกําเนิดคลื่น พบกับขอบเขตรอยตอ (interface) จะสะทอนกลับขึ้นมาสูผิว เรียกวา คล่ืนสะทอน (reflected wave) หรือวิ่งไปตามขอบเขตรอยตอพรอมๆ กับหักเหกลับขึ้นสูผิวดิน เรียกวา คล่ืนเฮด หรือคล่ืนหักเหกลับ (head wave or refracted wave) แตทวาในทางปฏิบัติเราไมสามารถจะบันทึกขอมูล ที่ออกไปจากตัวกําเนิดคลื่นไดทุกจุดอยางตอเนื่อง เหมือนกับรูปจําลองที่แสดงใหเห็น เราเก็บขอมูลเปนชวงๆ ตามระยะหางของตัวรับคลื่นที่เราวางเรียงกันไวเปนแนวยาว ดังแสดงในรูปที่ 5.35

รูปท่ี 5.35 ลักษณะของเสนคลื่นที่ควรบันทึกไดแบบอุดมคติ ไมมีคลื่นรบกวน โดยมีตัวกําเนิดคลื่นอยูที่ระยะทางเทากับศูนย การบันทึกขอมูลจากตัวรับคลื่นที่แสดงในรูปนี้เรียกวา ชอทเรคคอรด (shot record) ขอมูลที่ไดไมมีคลื่นรบกวน และแสดงแบบเสนหยักหรือเรียกทับศัพทวาวิกเกลเทส (wiggle trace) (ภาพจากความเอื้อเฟอของ Thomas Boyd)

รูปที่ 5.35 เปนตัวอยางแบบอุดมคติของเสนคลื่นที่บันทึกได (seismograph) ของกรณีช้ันดิน-

หินมีสองชั้น โดยมีตัวรับคลื่นอยูบนผิวดิน เมื่อคล่ืนวิ่งออกจากตัวกําเนิดคลื่น ตัวรับคลื่นจะสามารถรับ


ไดเฉพาะคลื่นที่เดินทางออกจากจุดกําเนิดคลื่นกระจายออกเปนรูปทรงกลม แลวเกิดการสะทอนหรือหักเหกลับขึ้นมาสูผิวดิน เมื่อคล่ืนเดินทางลงไปกระทบกับรอยตอที่มีความเร็วคล่ืนไมเทากันของชั้นดิน-หิน ในระดับตางๆ ส่ิงที่เราบันทึกคือการเคลื่อนที่ของอนุภาคขึ้นลงหรืออัด-ขยายของคลื่นพี รูปที่ 5.36 เปนรูปที่เสนคลื่นบันทึกไดจากสนามจริง

รูปท่ี 5.36 ขอมูลของเสนคลื่นที่บันทึกไดในสนาม โดยใชตัวรับคลื่นจํานวน 24 ตัว วางเรียงเปนแนวเสนตรง แตละตัวหางกัน 7.5 เมตร การแสดงผลของเสนคลื่นเปนแบบระบายสีทึบในชวงของแอมพลิจูดที่มีคาบวกทับกับเสนหยัก (variable-density superimposed on wiggle trace)

จากรูปที่ 5.36 ที่แสดงเสนคลื่นจากสนาม ซ่ึงจะเห็นทั้งคลื่นสะทอนและหักเห ซ่ึงในการสํารวจเราจะตองทําการสํารวจโดยใชตัวรับคลื่นหลายๆ ตัว เพราะหากเก็บขอมูลโดยการใชตัวรับคลื่นเพียงหนึ่งตัว ดังแสดงเสนคลื่นในรูปที่ 5.37 เราจะไมสามารถ แปลความหาความลึกและความเร็วของชั้นดนิ-หิน ไดอยางแมนยําในทุกๆ คร้ังที่ทําการสํารวจ เพราะการที่จะพิจารณาลักษณะของคลื่นที่พบวาเปนคล่ืนประเภทใดนั้นทําได แตอาจจะไมถูกตอง และไมมั่นใจ


รูปท่ี 5.37 เสนคลื่นจากตัวรับคลื่นหนึ่งตัว พบวามี 2 คลื่นที่รับได คลื่นตัวแรกเขามาที่เวลา 100 มิลลิวินาที คลื่นตัวที่ 2 เขามาที่เวลา 150 มิลลิวินาที (ภาพจากความเอื้อเฟอของ Thomas Boyd)

จากรูปที่ 5.37 พบวามี 2 คล่ืนที่รับไดโดยคลื่นตัวแรกเขามาที่เวลาประมาณ 100 วินาที คล่ืนตัวที่ 2 เขามาที่เวลา 150 วินาที จากรูปนี้เปนไปไดที่คล่ืนตัวแรกจะเปน คล่ืนตรง หรือคล่ืนหักเห การที่จะบอกไดวาเปนคลื่นชนิดใดจําเปนตองดูขอมูลที่บันทึกไดจากตัวรับคลื่นขางเคียงหลายๆ ตัวประกอบกัน ดังตัวอยางในรูปที่ 5.36 คล่ืนแรกที่พบเปนคลื่นตรงและตอมาเปนคลื่นหักเห ดวยเหตุนี้เมื่อทําการสํารวจดวยคลื่นสั่นสะเทือนไมวาจะเปนการสํารวจแบบสะทอนหรือแบบหักเห จําเปนอยางยิ่งที่ควรจะเก็บขอมูลที่มีระยะหางของ ตัวรับคลื่นแตกตางกัน และวางเปนแนวเสนตรง เพราะจะทําใหงายในการพิจารณาวาเปนคลื่นชนิดใด และสามารถคํานวณหาความเร็วคล่ืนได สวนคลื่นสะทอนจะเดินทางมาหลังจากคลื่นตรงและคลื่นหักเห ดังรูปตัวอยางอุดมคติรูปที่ 5.35 ลักษณะคลื่นสะทอนจะเปนเสนโคงไฮเปอรโบลา

การวางระยะหางของตัวรับคลื่นขึ้นอยูกับเปาหมายที่ตองการสํารวจ สวนการอานคาเวลาหรือการพิจารณาคลื่นที่ผานเขาสูตัวรับคลื่นสําหรับกรณีของการสํารวจแบบหักเห มีหลักพิจารณาเฉพาะคล่ืนแรก ดังรูปที่ 5.38 และจากรูปที่ 5.35 และ 5.36 สามารถบอกถึงความเร็วที่คล่ืนใชเวลาในการเดินทางผานชั้นดิน-หิน โดยคํานวณจากสวนกลับของความลาดชันของเวลาและระยะทางที่ปรากฏจากคลื่นตัวแรก โดยทั่วไปการแสดงเสนคลื่นที่บันทึกไดจากสนามนิยมแสดงในรูปของเสนหยัก (wiggle traces) หรือแบบระบายสีดานที่มีแอมพลิจูดเปนบวก (variable density traces) หรือ แบบซอนทับระหวางเสนหยักและระบายสีดานที่มีแอมพลิจูดเปนบวก (รูปที่ 5.39)


รูปท่ี 5.38 การพิจารณาคลื่นที่เคลื่อนเขาสูตัวรับคลื่น โดยจะเลือกอานเวลาที่จุดเปลี่ยนจุดแรก (first break) สําหรับการสํารวจแบบหักเห สวนการสํารวจแบบสะทอนจะพิจารณาคลื่นสะทอนที่เกิดตามมาที่หลังซึ่งมีลักษณะเปนเสนโคงไฮเปอรโบลา

รูปท่ี 5.39 ลักษณะการแสดงเสนคลื่นที่บันทึกได (ก) แบบเสนหยัก (wiggle traces) (ข) แบบระบายสีดานที่มี

แอมพลิจูดเปนบวก (variable density traces) (ค) แบบซอนทับระหวางแบบ (ก) และ (ข)


แบบฝกหดัทายบทที่ 5

1. จงหาความเร็วคล่ืนของ (ก) เสนลวดทองแดง ยาว 100 เมตร มีความหนาแนน 8,900 กิโลกรัมตอลูกบาศกเมตร มีคามอดูลัสของยัง 1.1 x 1011 N/m2 (ข) แทงแกวยาว 100 เมตร มีความหนาแนน 2,650 กิโลกรัมตอลูกบาศกเมตร คามอดูลัสของยัง = 0.55 x 1011 N/m2

2. คล่ืนอากาศมีความถี่ 1,000 Hz มีแอมพลิจูด 0.25 x 10-5 เมตร จงหาความเร็วของแอมพลิจูด (velocity amplitude) และพลังงานคลื่น (กําหนดใหความเร็วของอากาศ 350 เมตรตอวินาที และความหนาแนน 1.3 กิโลกรัมตอลูกบาศกเมตร)

3. จงหาแอมพลิจูด ความยาวคลื่น ความเร็วคล่ืน จากสมการ

4. จงหาแอมพลิจูด ความถี่ ความเร็วคล่ืน ความเร็วของการขจัด อัตราเรงของการขจัด และพลังงาน

จากสมการ

5. จงหาความยาวคลื่น แอมพลิจูด คาบ ความถี่ อัตราเร็วเชิงมุม ความเร็ว และจํานวนลูกคลื่นในรูปที่

5.6 พรอมเขียนสมการการขจัดทั่วไปของคลื่นในรูปที่ 5.6 6. จงเขียนกราฟแสดงความถี่ของคลื่นไซน ความถี่ 1, 10 และ 100 Hz เขียนกราฟใหอยูในรูปเดียวกัน 7. คล่ืนที่จุด A สมมุติใหมีพลังงานเทากับ 10 หนวย เมื่อเดินทางไปถึงจุด B, C และ D ที่หางจากจุด A

เปนระยะทาง 50, 500 และ 5,000 เมตร ตามลําดับ จงหาพลังงานและแอมพลิจูดที่สูญเสียไปของคล่ืนเนื่องจากการเดินทาง

8. แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการสมมุติใหวัตถุเปนไอโซโทรปค ในการสํารวจดวยคลื่นสั่นสะเทือน 9. เนื่องจากการสั่นของคลื่นพีและคล่ืนเอสแตกตางกัน หากออกแบบเครื่องมือใหรับไดเฉพาะทิศ

ทางการสั่นเดียวกันกับคลื่นพี คล่ืนเรลีย และคลื่นเลิฟ จะสามารถรับไดหรือไม อธิบาย

)86sin(5.2),( xttxu −= π

)25.9300cos(5.1),( xttxu −=


10. จงเขียนทางเดินคลื่นสะทอนและคลื่นหักเห ที่มีมุมตกกระทบ i=10°, 20°, 45° และ 60° (ก) ตัวกลางที่หนึ่งมีความเร็ว 1,000 เมตรตอวินาที และตัวกลางที่สองมีความเร็ว 5,000 เมตรตอวินาที (ข) ตัวกลางที่หนึ่งมีความเร็ว 5,000 เมตรตอวินาที และตัวกลางที่สองมีความเร็ว 1,000 เมตรตอวินาที

11. ถาตัวกลางที่หนึ่งมีความเร็วคล่ืนพี 2,500 เมตรตอวินาที คล่ืนเอส 1,500 เมตรตอวินาที ตัวกลางที่สองมีความเร็วคล่ืนพี 4,200 เมตรตอวินาที และคลื่นเอส 3,000 เมตรตอวินาที ถามีมุมตกกระทบ

ของคลื่นพี เทากับ 10° และ 20° จงหามุมหักเหของคลื่นพีและคลื่นเอส 12. จงหาสัมประสิทธิ์ของการสะทอนและการสงผาน จากรอยตอของชั้นดิน-หิน ดังแสดงในรูปที่ 5.40

(ก)-(ง) โดยมีมุมตกกระทบเทากับ 0°

รูปท่ี 5.40 สําหรับคําถามขอที่ 12

13. จงคํานวณหาคาความเร็วของคลื่นเฉือนจากคาความเร็วที่แสดงในรูปที่ 5.40 โดยกําหนดใหคาปว

ซองสเรโช = 0.25 14. จงเติมตัวเลขที่เหมาะสมลงในตารางที่ 5.7 15. จงหาคาคุณสมบัติยืดหยุนของคา บัคลมอดูลัส มอดูลัสเฉือน และ คาคงตัวของเลเม จากขอมูลใน

ตารางที่ 5.8 16. จงหาแอมพลิจูดที่คล่ืนมีแนวทางเดินดังรูปจําลองที่ 5.41 กําหนดใหไมการสูญเสียพลังงานและ

คล่ืนเดินทางในแนวดิ่ง (มุมตกกระทบ = 0°)


ตารางที่ 5.7 สําหรับคําถามขอที่ 14

คุณสมบัติยืดหยุน น้ํา ดินเหนียว หินทราย หินปูน หินแกรนิต

มอดูลัสของยัง (x109 Pa) 18 50 55

บัคลมอดูลัส (x109 Pa) 2.1

มอดูลัสเฉือน (x109 Pa)

คาคงตัวของเลเม (x109 Pa)

ปวซองสเรโช 0.50 0.43 0.20 0.34 0.25

ความหนาแนน (kg/m3) 1,000 1,500 2,000 2,600 2,750

ความเร็วคลื่นพี (m/s) 1,500 1,600

ความเร็วคลื่นเอส (m/s)

ตารางที่ 5.8 สําหรับคําถามขอที่ 15

ชื่อ ความหนาแนน (kg/m3)

มอดูลัส ของยัง (x1011N/m2)

ปวซองเรโช

Vp (m/s)

Vs (m/s)

คาคงตัวของลาเม

บัลมอดูลัส

มอดูลัสเฉือน

หินควอรตไซต 2666 0.636 0.115 4965 3274 หินไดอะเบส 2960 1.020 0.271 6569 3682 หินแกบโบร 3050 0.727 0.162 5043 3203 หินออน 2870 0.717 0.270 5587 3136 หินแกรนิต 2650 0.354 0.096 3693 2469 หินชนวน 2670 0.487 0.115 4336 2860 หินดินดาน 2670 0.120 0.040 2124 1470 หินทราย 2400 0.28 2800 ไพรอกซีไนต 3300 6000 4000 เกลือหิน 2200 0.36 4500 เพริโดไทต 3200 0.26 7800 ไดอะเบส 2800 6500 3500 หินดินเหนียว 2100 0.38 2200 หินปูน 2800 0.29 3600


รูปท่ี 5.41 สําหรับคําถามขอที่ 16


เอกสารที่ควรศึกษาเพิ่มเติม (Suggested reading) Burger, H. R. 1992. Exploration geophysics of the shallow subsurface. New Jersey: Prentice-Hall,

Inc. Dobrin, M. B., and Savit, C. H. 1988. Introduction to geophysical prospecting. 4th ed., New York:

McGraw-Hill. Geldart, L.P. and Sheriff, R. E. 2004. Problems in exploration seismology and their solutions.

Geophysical reference series, no. 14. Tulsa: Society of Exploration Geophysicists. Lay, T. and Wallace, T. C. 1995. Modern global seismology. San Diego: Academic Press, Inc. Sheriff, R.E., and Geldart, L. P. 1982. Exploration seismology, Volume 1: History, theory, data

acquisition. Cambridge: Cambridge University Press. Telford, W. M., Geldart, L.P. and Sheriff, R.E. 1990. Applied geophysics. 2nd ed., Cambridge:

Cambridge University Press.

Documents

การสํารวจด วยคล ื่นสั่นสะเท ือน ทฤษฎีและหล ักการ · 354 ธรณีฟ สิกส เพื่อการส