- 1 -

1. สเหลยมจตรสรปนยาวดานละ 20 เมตร แลวพนทสวนทแรเงามคาประมาณเทาใด (ใชคา π ประมาณ 3.14) 1. 42 ตารางเมตร 2. 10.25 ตารางเมตร 3. 30.75 ตารางเมตร 4. 21.5 ตารางเมตร

วธท ำ

= -

= S2 - 90360 πr2

= 102 - 𝜋(102)

4

= 100 - 25π = 100 – 78.5 = 21.5 ตอบ

คมอเฉลย : 152 ตวฟร ! วชาคณตศาสตร

วนท 3 ม.ค. 61

10

10

10 10

20

10 20

- 2 -

2. รายการตอไปนเปนสวนผสมในการท าขาวไขเจยวหมสบส าหรบแขก 1 คน

ไขไก 2 ฟอง ซอสปรงรส 8 มลลลตร หมสบ 42 กรม ขาวสวย 180 กรม มะเขอเทศ 0.2 ลก ตนหอมซอย 13 กรม

น ามนชนดใดกได 70 ลกบาศกเซนตเมตร

ในงานเลยงเกษยณอายของพนกงานในบรษทหนง มสามภรรยา 14 ค และ เดก 12 คน เขารวมงานเลยงในครงน แลวตวเลอกใดตอไปนไมถกตอง 1. ถาไขฟองละ 4.50 บาท ตองจายเงนซอไข 360 บาท 2. ใชขาวสวยมากกวา 7 กโลกรม 3. หากซอสปรงรส 1 ขวด มความจ 160 มลลลตร จะตองใชซอส 2 ขวด 4. ถาหมสบกโลกรมละ 50 บาท ตองจายเงนซอหมสบอยางนอย 85 บาท วธท ำ มแขกในงานเลยง (2 × 14) + 12 = 40 คน - ใชไข 80 ฟอง ฟองละ 4.5 บาท = จายเงนซอไข 80 × 4.5 = 360 บาท (40 × 2) - ใชขาวสวย 180 × 40 = 7,200 กรม = 7.2 กโลกรม (ซงมากกวา 7 กโลกรม) - ใชซอสปรงรส 8 × 40 = 320 มลลลตร

ซอสปรงรสขวดละ 160 มลลลตร ตองใช 320160 = 2 ขวด

- ใชหมสบ 40 × 42 = 1,680 กรม = 1.68 กโลกรม หมสบกโลกรมละ 50 บาท ∴ จายเงน 1.68 × 50 = 84 บาท (ซงไมถง 85 บาท) ตอบ

- 3 -

3. จากภาพ พนทแรเงามคาประมาณเทาใด (ใชคา π ประมาณ 3.14) 1. 14.57 ตารางเซนตเมตร 2. 15.57 ตารางเซนตเมตร 3. 14.58 ตารางเซนตเมตร 4. 15.58 ตารางเซนตเมตร วธท ำ = 4 x 6 = 24 22 x 3.14 = 12.56 12 x 3.14 = 3.14 ∴ พนทแรเงา = 24 – 12.56 + 3.14 ≈ 14.58 ตร.ซม. ตอบ

6

1

2

6

4

2

1

- 1 -

- 4 -

4. ก าหนดสามเหลยม ABC ทมมม A เปนมมฉาก มดานประกอบมมฉากยาว (x – 5) และ 2x หนวย ถาดานตรงขามมมฉากยาว (3x – 11) หนวย แลวสามเหลยมรปนจะมพนทกตารางหนวย 1. 84 ตารางหนวย 2. 168 ตารางหนวย 3. 42 ตารางหนวย 4. 126 ตารางหนวย วธท ำ C จากทฤษฎบทพทาโกรส (AB)2 + (AC)2 = (BC)2 2x (3x – 11) (x – 5)2 + (2x)2 = (3x – 11)2 A B (x – 5) x2 – 10x + 25 + 4x2 = 9x2 – 66x + 121 5x2 – 10x + 25 = 9x2 – 66x + 121 0 = 4x2 – 56x + 96 0 = x2 – 14x + 24 0 = (x – 12)(x – 2) x = 12 หรอ 2 แตถา x = 2 จะได 2 – 5 = -3 ซงความยาวตดลบไมได ดงนน x = 12 จะไดดาน AB ยาว 12 – 5 = 7 (ฐาน) ดาน AC ยาว 12(2) = 24 (สง) ดาน BC ยาว 3(12) – 11 = 25

พนท ABC = 12 x 24 x 7 = 84 ตารางหนวย ตอบ

- 5 -

5. ถาอรพนทขายพนททแรเงาตารางหนวยละ 25 บาท เธอจะไดเงนเทาไร 1. 350 บาท 2. 500 บาท 3. 400 บาท 4. 300 บาท วธท ำ

90360 π x 4 x 4 = 4π

4 4 + 4 4

90360 x 4 x 4π = 16 - 4π

พนทแรเงา = 16 - 4π + 4π = 16 ตารางหนวย อรพนทขายตารางหนวยละ 25 บาท เธอจะไดเงน 16 x 25 = 400 ตอบ

4 4

4

4

4 x 4 = 16

- 6 -

6. เดมอตราสวนนกเรยนชายตอนกเรยนหญงเปน 3 : 7 ตอมามนกเรยนชายมาเพม 14 คน และม นกเรยนหญงออกไป 4 คน ท าใหอตราสวนนกเรยนหญงตอนกเรยนชายเปลยนเปน 9 : 7 เดมม นกเรยนชายกคน 1. 49 คน 2. 21 คน 3. 35 คน 4. 45 คน วธท ำ พจารณาอตราสวน ชาย หญง 3k = 7k + 14 - 4 7 : 9 k คอ คาคงท เพราะเราจะหาจ านวนนกเรยนชายเดม เขยนเปนสดสวนได

3k + 147k - 4 =

79 =

ชายหญง

9(3k + 14) = 7(7k – 4) 27k + 126 = 49k – 28 154 = 22k 7 = k นกเรยนชายม 3k คน = 3 x 7 = 21 คน ตอบ

- 7 -

7. ก าหนดให A = 2733 x 10100

ก าหนดให B = 3101 x 1098

ก าหนดให C = 950 x 1099 ตวเลอกใดเรยงล าดบจ านวนทงสามไดถกตอง จากนอยไปมาก 1. B < C < A 2. A < B < C 3. C < A < B 4. B < A < C วธท ำ A = 2733 x 10100 = (33)33 x 10100 = 399 x 10100

B = 3101 x 1098 C = 950 x 1099 = (32)50 x 1099

= 3100 x 1099 พจารณา B และ C 3101 x 1098 x 10 x 3-1 = 3100 x 1099

B 103 > 1 C

ดงนน B < C

พจารณา C และ A 3100 x 1099 x 10 x 3-1 = 399 x 10100

C A

ดงนน C < A ∴ B < C < A ตอบ

- 8 -

8. จากชดแบบรปดานลาง คาของ x คอเทาใด 23420 – 79348 – 55550 – 17812x

1. 500 2. 400 3. 300 4. 600 วธท ำ พจารณาชดของแบบรป 2 3 4 20 (2 + 3) x 4 = 20 7 9 3 48 (7 + 9) x 3 = 48 5 5 5 50 (5 + 5) x 5 = 50 17 8 12 x (17 + 8) x 12 = 300 ตอบ 9. ทรงกรวยตนมเสนผานศนยกลาง 20 เซนตเมตร มสวนสงตรง 24 เซนตเมตร ตองการทาสรอบ นอกทรงกรวยตนน โดยส 1 หลอด ทาได 50 ตารางเซนตเมตร และสราคาหลอดละ 20 บาท ตองใชเงนซอสทงหมดกบาท 1. 440 บาท 2. 480 บาท 3. 500 บาท 4. 460 บาท วธท ำ จากทฤษฎบทพทาโกรส 102 + 242 = x2

x 24 100 + 576 = x2 676 = x2 26 = x พนทผวทงหมด = พนทวงกลม + พนทผวขาง = πr2 + πrl = πr (r + l) = 3.14 (10) (10 + 26) = 31.4(36) = 1,130.4 ตร.ซม. ส 1 หลอด ทาได 50 ตร.ซม.

ส 1130.4

50 หลอด ทาได 1130.4 ตร.ซม.

= 22.608 = 23 (ไมมใครขายสครงขวดให) ส 1 หลอด 20 บาท ส 23 หลอด 20 x 23 = 460 บาท ตอบ

20

พนท 50 ตร.ซม. ใชส 1 หลอด พนท 1130.4 ตร.ซม.

ใชส 1130.4

50 หลอด = 22.608 = 23 หลอด

- 9 -

10. จ านวนนบสองจ านวนม ห.ร.ม. เปน 18 เทาของ ค.ร.น. และสองจ านวนนคณกนได 162 แลวสอง จ านวนนตางกนเทาใด 1. 51 2. 9 3. 21 4. 79 วธท ำ ให a, b เปนจ านวนนบ ค.ร.น. ของ a, b เขยนแทนดวย [a, b] = 18x (18 เทาของ ห.ร.ม. = ค.รน.) ห.ร.ม. ของ a, b เขยนแทนดวย (a, b) = x จากความสมพนธระหวาง ห.ร.ม., ค.ร.น. กบจ านวนสองจ านวน ห.ร.ม. x ค.ร.น. = เลข 2 ตวคณกน (a, b) x [a, b] = ab (x) x (18x) = 162 18x2 = 162 x2 = 9 x = 3, -3 ห.ร.ม. ของ a, b = 3 ค.ร.น. ของ a, b = 54 (3 x 18) แยกตวประกอบของ 162 162 9 18 3 2 2 9 3 3 162 = 2 x 3 x 3 x 3 x 3 พบวา ถา a = 2 x 3 = 6 b = 3 x 3 x 3 = 27 (6, 27) = 3 [6, 27] = 54 3 ) 6 27 3 ) 6 27 2 9 2 9 สองจ านวนดงกลาวคอ 6, 27 ซงตางกน 27 – 6 = 21 ตอบ

ใชไมไดเพราะจะท าให ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ตดลบ (ถา a, b เปนจ านวนนบแลว (a, b) และ [a, b] ตองเปนจ านวนนบดวย)

- 10 -

11. ให 7x = 2 แลวคาของ 2(2,401)-x + (343) - 2x3 คอเทาใด

1. 0.625 2. 0.375 3. 0.875 4. 0.5 วธท ำ 7x = 2

2(2,401)-x + (343) - 2x3

= 2(74)-x + (73) - 2x3

= 2(7-4x) + 7-2x

= 2

74x + 1

72x

= 2

(7x)4 + 2

(7x)2

= 224 +

122

= 216 +

14

= 0.125 + 0.250 = 0.375 ตอบ 12. บรษทแหงหนงรบซอรถยนตในราคา 70% ของราคาทผใชรถซอมาแตแรก และเมอรบซอแลว ราคาจะลดลง 10% ทกป จนกวารถยนตคนนจะขายได แพทยหญงเปดตองการขายรถยนตใหกบ บรษทน โดยเธอซอรถยนตมาในราคา 2,000,000 บาท หลงจากนน 3 ป นายแพทยวรชกมาซอ รถยนตไป อยากทราบวานายแพทยวรชซอรถยนตคนดงกลาวมาในราคาเทาไร 1. 1,134,000 บาท 2. 918,540 บาท 3. 1,020,600 บาท 4. 980,000 บาท วธท ำ สาระส าคญ (เงอนไขจากโจทย) คอ - บรษทรบซอรถในราคา 70% ของราคาทผใชรถซอมาแตแรก - ราคาลด 10% ทกป จนกวาจะขายได - 3 ป ตอมา มคนซอ แพทยหญงเปด ขายรถใหบรษทน โดยแพทยหญงเปดซอรถมาในราคา 2,000,000

บรษทรบซอรถในราคา 70% 70100 x 2,000,000 = 1,400,000

ราคาลด 10% ทกป (จะเหลอราคาขาย 90% ของราคาเดมแตละป)

ปท 1 90100 x 1,400,000 = 1,260,000 ปท 2

90100 x 1,260,000 = 1,134,000

ปท 3 90100 x 1,134,000 = 1,020,600 (มคนซอรถแลว) ตอบ

- 11 -

13. จากแผนภมรปวงกลมดานลาง ตวเลอกใดไมถกตอง

1. มมทรองรบสวนโคงของจ านวนคนทชอบภาษาฝรงเศส กางนอยกวา มมทรองรบสวนโคงของ คนทชอบภาษาเยอรมน อย 18 องศา 2. จ านวนคนทชอบภาษาจน คดเปนหนงในหาของจ านวนคนทงหมด 3. ถาจ านวนคนทชอบภาษาฝรงเศส เยอรมน และ องกฤษ มารวมกน คดเปน 60% ของจ านวน คนทงหมด 4. ผลบวกมมทรองรบสวนโคงของจ านวนคนทชอบภาษาจน และ ญปน นอยกวาขนาดของมมตรง 18 องศา

วธท ำ สตร แปลงคาขอมลเปนองศา 360o x คาขอมลนนๆ

คาขอมลทงหมดรวมกน

พจำรณำทละภำษำ

1. ฝรงเศส 6,00060,000 = 0.1 (10%) 0.1 x 360o = 36o

2. ญปน 15,00060,000 = 0.25 (25%) 0.25 x 360o = 90o

3. องกฤษ 18,00060,000 = 0.3 (30%) 0.3 x 360o = 108o

4. เยอรมน 9,00060,000 = 0.15 (15%) 0.15 x 360o = 54o

5. จน 12,00060,000 = 0.2 (20%) 0.2 x 360o = 72o

- 12 -

พจารณาตวเลอก 1) ✓ เพราะมมของฝรงเศส กางนอยกวามมของเยอรมน 54o – 36o = 18o

2) ✓ เพราะคนชอบจนเปน 0.2 (210 หรอ

15) ของทงหมด

3) เพราะฝรงเศส + เยอรมน + องกฤษ คดเปน 55% ของทงหมด 10% + 15% + 30% 4) ✓ เพราะมมของญปน + มมของจน 162o นอยกวามมตรง (90o + 72o) (180o – 162o = 18o) ตอบ 14. ระยะหางทสนทสดระหวางจด S(-6,3) และจด K(2,9) เทากบกหนวย 1. 12 หนวย 2. 8 หนวย 3. 9 หนวย 4. 10 หนวย วธท ำ วางจด ตามภาพ ตอเสนจากจดทงสองโดยมจดตดใหได 1 จด ซงตองเปนเสนตรงทตดกนเทานน K (2, 9) ลากเสนตงคา x คงเดม S (-6, 3) (2, 3) * ระยะทางจากจด S ถง A = 2 – (-6) = 2 + 6 = 8 * ระยะทางจากจด A ถง K = 9 – 3 = 6 จากทฤษฎบทพทาโกรส SA2 + AK2 = SK2 82 + 62 = SK2 64 + 36 = SK2 100 = SK 10 = SK ตอบ

9

-6 2

K (2, 9) S (-6, 3)

A จดนคอจดทมพกดเปนคาของ x จากจด K และคาของ y จากจด S นนกคอจด (2, 3) สมมตเปนจด A

- 13 -

15. จากภาพ คาของมมกลบ AMB คอเทาใด 1. 230 องศา 2. 220 องศา 3. 210 องศา 4. 240 องศา วธท ำ 1. AEO = 180o – 26o – 88o = 66o (มมภายในของ รวมกนตองได 180o) 2. AEB = 180o – 16o = 114o (มมประชดรวมกนได 180o) 3. EMB = 180o – 114o – 26o = 40o (จากขอ 1.) 4. AMF = 40o (มมตรงขามยอมเทากน) 5. EMF = 180o – 40o = 140o (จากขอ 2.) 6. AMB = 140o (จากขอ 4.) ไดมม AMB = 140o โจทยถามมมกลบตองเอา 360o - AMB = 360o – 140o = 220o ตอบ

หรอ มมกลบ AMB = AMF + FME + EMB = 40o + 140o + 40o

= 220o เชนเดยวกน

0

0

- 14 -

16. โรงเรยนกวดวชา 152 ZERO TO HERO มอตราสวนครตอนกเรยนเปน 4 : 9 และมอตราสวน ภารโรงตอครเปน 7 : 3 หากโรงเรยนนมอตราสวนภารโรงตอนกเรยนตอครเทากบ 4x : y3 : 6z แลวคาของ yz – x คอเทาใด 1. -2 2. -1 3. 1 4. 0 วธท ำ คร : นกเรยน : ภารโรง 4 : 9 : 3 : : 7 ค.ร.น. = 12

คร : นกเรยน = 4 x 3 : 9 x 3 = 12 : 27

คร : ภารโรง = 3 x 4 : 7 x 4 = 12 : 28

ภารโรง : นกเรยน : คร 28 : 27 : 12 4x : y3 : 6z x = 7 y = 3 z = 2

yz – x = 3(2) – 7 = 6 – 7 = -1 ตอบ 17. เรอดวน 3 ล า เทยบทาเรอปากคลองตลาดทกๆ 6, 8 และ 12 นาท หากเรอทง 3 ล า เทยบทา พรอมกน ครงแรกในเวลา 09.12 น. แตในวนน เนองจากมการขดลอกแมน าเจาพระยา ท าใหไมมเรอแลนหลงเวลา 13.00 น. อยากทราบวาเรอดวนทง 3 ล า จะเทยบทาพรอมกนเปนครงสดทายเมอเวลากนาฬกา 1. 12.36 น. 2. 12.12 น. 3. 12.48 น. 4. 12.24 น. วธท ำ ค.ร.น. ของ 6, 8, 12 คอ 24 นาท 09.12 09.36 10.00 10.24 10.48 12.48 12.24 12.00 11.36 11.12 ตอบ

0

0

0

0

- 15 -

18. เทน า 1.5 ลตร ลงไปในกลองทรงสเหลยมมมฉากไมมฝาปด โดยทกลองกวาง 20 เซนตเมตร และ ยาว 0.3 เมตร ปรากฏวาน าปรมขอบกลองพอด มารโกะตองการทาสรอบกลองทงหมด โดยส 1 กระปอง ทาได 170 ตารางเซนตเมตร มารโกะตองใชสกกระปองจงจะทาสครบทกดาน (ไมทาดานในกลอง) 1. 5 กระปอง 2. 6 กระปอง 3. 7 กระปอง 4. 8 กระปอง วธท ำ 1.5 ลตร น าปรมกลอง (ปรมาตร = 1.5 l) h 30 cm 20 cm 1 l = 1,000 ml 1.5 l = 20 x 30 x h 1,000 ml = 1,000 cm3 1,500 cm3 = 20 x 30 x h

156 cm = h

2.5 cm = h พนทผวทงหมด = (20 x 2.5) 2 + (30 x 2.5) 2 + (30 x 20X = 100 + 150 + 600 = 850 cm2 ส 1 กระปอง 170 cm2

ส 850170 กระปอง 850 cm2 = 5 กระปอง ตอบ

0

0

- 16 -

19. สนามเดกเลนแหงหนงเปนรปสเหลยมผนผา มพนท 5,600 ตารางเมตร ดานกวางของ สนามเดกเลน สนกวาดานยาวอย 10 เมตร หากเตชนทตองการวาดสนามเดกเลนแหงน ลงบนกระดาษ A4 โดยใชมาตราสวน 1 เซนตเมตร : 20 เมตร แลวตวเลอกใดไมถกตอง 1. สนามเดกเลนในกระดาษมเสนรอบรป 15 เซนตเมตร 2. สนามเดกเลนในกระดาษมพนท 14.5 ตารางเซนตเมตร 3. ดานยาวของสนามเดกเลนบนกระดาษ ยาวกวาดานกวาง 0.5 เซนตเมตร 4. ดานกวางของสนามเดกเลนบนกระดาษ ยาวไมนอยกวา 3.5 เซนตเมตร วธท ำ x -10 5,600 m2

x x(x – 10) = 5,600 x(x – 10) = 80 (80 – 10) x = 8 ; x – 10 = 70 น ามาเขยนโดยใชอตราสวน 1 cm : 20 m

7020 = 3.5

804 = 4

เสนรอบรป = (4 + 3.5) x 2 = 7.5 x 2 = 15 ซม. ตวเลอก 1. ✓ พนท = 3.5 x 4 = 14 ซม.2 ตวเลอก 2. ดานยาวยาวกวาดานกวาง = 4 – 3.5 = 0.5 ซม. ตวเลอก 3. ✓ ดานกวางยาวไมนอยกวา 3.5 ซม. ตวเลอก 4. ✓ ตอบ

0

0

- 17 -

20. พจารณาจ านวนนบตงแต 1 ถง 20 และเงอนไขตอไปน ก. ผลรวมของจ านวนทสามารถถอดรากทสองแลวเปนจ านวนนบ ข. ผลรวมของจ านวนทม 3 เปนตวประกอบ ค. ผลรวมของจ านวนเฉพาะ ง. ผลรวมของจ านวนนบ 3 ตวแรก และ 3 ตวสดทาย เงอนไขในขอใดมผลรวมเทากน 1. ข. และ ค. 2. ก. และ ง. 3. ก. และ ค. 4. ข. และ ง. วธท ำ จากจ านวนนบตงแต 1 – 20 ก. ผลรวมของจ านวนทถอดรากทสองแลวเปนจ านวนนบ = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 ข. ผลรวมของจ านวนทม 3 เปนตวประกอบ = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 63 เทากน ค. ผลรวมของจ านวนเฉพาะ = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 = 77 ง. ผลรวมของจ านวนนบ 3 ตวแรก และ 3 ตวสดทาย = 1 + 2 + 3 + 18 + 19 + 20 = 63 ตอบ

0

0

0

0

0

0