คําชี้แจง - flipbooksoft.com · เฉลยแบบฝ กหัด 2.2 77 หน า บทที่ 3 ความสัมพันธ เชิงฟ งก

คาชแจง

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) ไดรบมอบหมายจากกระทรวงศกษาธการใหพฒนาหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ของกลมสาระ การเรยนรคณตศาสตร กลมสาระการเรยนรวทยาศาสตร รวมทงสาระการออกแบบและเทคโนโลย และสาระเทคโนโลยสารสนเทศในกลมสาระการเรยนรการงานอาชพและเทคโนโลย ตลอดจน จดทาสอการเรยนรตามหลกสตรดงกลาว

คมอครเลมนใชประกอบการเรยนการสอนควบคกบหนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 6 เพอใหครผสอนใชเปนแนวทางในการจดการเรยนรคณตศาสตรใหผเรยนบรรลผลการเรยนรทกาหนดไว ซงในแตละบทนนไดนาเสนอ ขอเสนอแนะเกยวกบเนอหาสาระและวธสอน กจกรรมเสนอแนะ ตวอยางแบบทดสอบประจาบท รวมทงเฉลยแบบฝกหดในหนงสอเรยน ทงนสถานศกษาสามารถนาไปปรบใชใหเหมาะสมกบหลกสตรของสถานศกษา

ในการจดทาคมอครเลมน สสวท. ไดรบความรวมมออยางดยงจากคณะอาจารยจาก โรงเรยน และมหาวทยาลย สสวท. จงขอขอบคณทกทานไว ณ ทน และหวงเปนอยางยงวาคมอครเลมนจะเปนประโยชนสาหรบครผสอนคณตศาสตรใหสามารถนาไปใชหรอปรบใชใหเหมาะสมกบศกยภาพของผเรยน

หากมขอเสนอแนะใดทจะทาใหคมอครเลมนสมบรณยงขนโปรดแจง สสวท. ทราบดวย จกขอบคณยง

(นางนงนช ชาญปรยวาทวงศ) รองผอานวยการ รกษาการแทน

ผอานวยการสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

สารบญ หนา

บทท 1 การวเคราะหขอมลเบองตนผลการเรยนรทคาดหวง 1ขอเสนอแนะ 1กจกรรมเสนอแนะ 13ตวอยางแบบทดสอบประจาบท 20เฉลยตวอยางแบบทดสอบประจาบท 25

เฉลยแบบฝกหด 1.1 (ก) 37เฉลยแบบฝกหด 1.1 (ข) 41เฉลยแบบฝกหด 1.1 (ค) 42เฉลยแบบฝกหดระคน 43เฉลยแบบฝกหด 1.2 46เฉลยแบบฝกหด 1.3 (ก) 54เฉลยแบบฝกหด 1.3 (ข) 58เฉลยแบบฝกหด 1.3 (ค) 61

บทท 2 การแจกแจงปกตผลการเรยนรทคาดหวง 67ขอเสนอแนะ 67กจกรรมเสนอแนะ 70ตวอยางแบบทดสอบประจาบท 71เฉลยตวอยางแบบทดสอบประจาบท 73

เฉลยแบบฝกหด 2.1 74 เฉลยแบบฝกหด 2.2 77

หนาบทท 3 ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

ผลการเรยนรทคาดหวง 92ขอเสนอแนะ 92กจกรรมเสนอแนะ 93ตวอยางแบบทดสอบประจาบท 102เฉลยตวอยางแบบทดสอบประจาบท 105

เฉลยแบบฝกหด 3.4 107

บรรณานกรม 122

บทท 1การวเคราะหขอมลเบองตน

(40 ชวโมง)

ผลการเรยนรทคาดหวง1. เลอกวธวเคราะหขอมลเบองตนและอธบายผลการวเคราะหขอมลไดถกตอง2. นาความรเรองการวเคราะหขอมลไปใชได

ขอเสนอแนะ1. ผสอนควรทบทวนระดบของการวเคราะหขอมลทกลาวไวในหนงสอเรยนสาระการเรยนร

พนฐาน คณตศาสตรเลม 2 ชนมธยมศกษาปท 5 กอนในหวขอ 1.2 ความหมายของสถต ทแบงออกเปนสองสวน คอ การวเคราะหขนตนทมงวเคราะหเพออธบายลกษณะกวางๆ ของขอมลชดนน (สถตเชงพรรณนา) และการวเคราะหขอมลทเกบรวบรวมไดจากตวแทนหรอตวอยางเพออางองไปถงขอมลทงหมดหรอประชากร (สถตเชงอนมาน) เนองจากในบทท 1 นจะกลาวถงวธการคานวณสถตตาง ๆโดยแยกวาเปนการคานวณเพอใชในสถตเชงพรรณนาหรอการคานวณเพอใชในสถตเชงอนมาน

2. ในบทท 1 ไดกลาวถงการวดคากลางของขอมล (คาเฉลยเลขคณต มธยฐานและ ฐานนยม)การวดตาแหนงท (ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล) และ การวดการกระจายของขอมล (การวดการกระจายสมบรณ และ การวดการกระจายสมพทธ) โดยมจดมงหมายเพอใหเลอกวธการวเคราะหขอมลดงกลาวไดอยางเหมาะสม ผสอนควรเนนผเรยนวาวธการวเคราะหขอมลในบทท 1 นนเนนเฉพาะขอมลเชงปรมาณและกลาวถงเฉพาะวธการทใชสรปขอมลในรปของตวเลข ซง การสรปขอมลนมความจาเปนโดยเฉพาะอยางยงในกรณทขอมลมจานวนมากเพอผใชจะไดเหนภาพรวมๆ ของขอมลชดนนหรอเพอใหไดจานวนจานวนหนงทสามารถเกบสารสนเทศของขอมลทงหมดนนได นอกจากนนการวเคราะหขอมลในบทท 1 นจะเนนการใชสถตในสวนของสถตเชงพรรณนา แตมการกลาวถงการคานวณคาสถตในกรณทใชกบสถตเชงอนมานควบคไปดวย เพอเปนแนวทางสาหรบนกเรยนในการศกษาตอในระดบทสงขนและการใชสถตในระดบทสงขนจะเกยวของกบสถตเชงอนมานเปนสวนใหญ ดงนนผเรยนจะเหนการคานวณสถตตวเดยวกนแตใชสตรทแตกตางกนบางขนอยกบวาเปนการคานวณเพอใชในของสถตเชงพรรณนาหรอสถตเชงอนมาน

2

การเลอกใชวธการสรปขอมลในบทท 1 น โดยทวไปแลวขนอยกบ(1) ลกษณะของขอมลวาเปนขอมลเชงปรมาณหรอขอมลเชงคณภาพ หรอระดบการ

วดของขอมล แมวาในบทท 1 จะเนนการวเคราะหขอมลเชงปรมาณกตาม แตไดกลาวถงการใชฐานนยมเพอสรปขอมลเชงคณภาพไวดวย เนองจากคากลางชนดอนนนไมสอความหมายหรอคานวณไมไดหากนามาใชกบขอมลเชงคณภาพ

(2) ลกษณะการแจกแจงของขอมล วามลกษณะสมมาตรหรอใกลเคยงแบบสมมาตรหรอมลกษณะเบเนองจากมคาทสงกวาปกตหรอมคาทตากวาปกตอยจานวนหนง ผใชจงควรสรปขอมลดวยกราฟกอนเพอใหเหนลกษณะการแจกแจงของขอมลชดนนๆ

(3) ระดบของการวเคราะหขอมลวาเปนการวเคราะหขอมลเบองตนในสถตเชงพรรณนาหรอการวเคราะหขอมลเพอใชในสถตเชงอนมาน เพอใหเลอกใชสตรการคานวณหรอเลอกฟงกชนทมในเครองคานวณไดอยางถกตอง

อนงสาหรบการวเคราะหขอมลโดยทวไปยงขนอยกบวตถประสงคของการศกษาในเรองนนๆ ดวย เชนตองการพรรณนาขอมล ตองการเปรยบเทยบคากลางของขอมลสองชด หรอตองการศกษาความสมพนธระหวางตวแปรสองตว เปนตน

3. การคานวณสถตในบทท 1 จะเหนวาแบงออกเปนสองลกษณะไดแก การคานวณสถตเมอทราบขอมลดบหรอทราบคาของขอมลแตละคาอยางแนนอน และการคานวณสถตเมอไดมการสรปขอมลชดนนในรปของตารางแจกแจงความถ (มการแบงออกเปนอนตรภาคชน) ซงในกรณทสองนอาจเกดจากผใชไดขอมลจากแหลงทตยภมทนาเสนอขอมลในรปของตารางแจกแจงความถ ใหผสอนเนนกบผเรยนวาในทางปฏบตถาทาการเกบขอมลจากแหลงปฐมภมและไดขอมลดบใหคานวณสถตจากขอมลดบททราบคาของขอมลแตละคาโดยใชเครองคอมพวเตอรประมวลผลดงนนเราจะหนมาเลอกใชวธการคานวณหรอสตรทใชสาหรบขอมลทมการแจกแจงความถไวแลวเฉพาะในกรณทไมทราบคาของ ขอมลแตละตวเทานน

สาหรบขอมลทแจกแจงความถในรปของตารางแจกแจงความถทมการใชอนตภาคชน ใหผสอนเนนผเรยนวา คาสถตใดๆ ทคานวณจากตารางแจกแจงความถนเปนคาโดยประมาณเทานน ไมใชคาทแนนอนเหมอนในกรณททราบขอมลจรงของคาสงเกตแตละคา เชน เปนคาเฉลยเลขคณตโดยประมาณ คามธยฐานโดยประมาณ เปนตน ดงนนผสอนจงไมควรเนนในเรองของสตรทยงยาก และการคานวณตางๆ หากผเรยนสามารถคาดเดาไดวาคาทตองการควรจะอยในชวงใด มคาระหวางคาใด และหมายถงอะไรนาไปใชไดอยางไรเพยงเทานนาจะเปนการเพยงพอแลว

4. การพจารณาขอมลทมคาสงผดปกตหรอขอมลทมคาตาผดปกต มวธพจารณาหลายวธวธหนงไดแก การคานวณควอรไทลทสาม (Q3) และควอรไทลทหนง (Q1) จากนนหาผลตางระหวางควอรไทลทสาม (Q3) และควอรไทลทหนง (Q1) (Interquartile Range หรอ IQR) ซงคอ Q3 – Q1

เราจะเรยกคาสงเกตนนวา คานอกกลม(outlier) ถาคาสงเกตอยในตาแหนงทสงกวาควอรไทลทสามไปเปนระยะทาง 1.5 เทาของ IQR (หรอมคามากกวา Q3 + (1.5 × (IQR))) หรออยในตาแหนงท

3

ตากวาควอรไทลทหนงไปเปนระยะทาง 1.5 เทาของ IQR (หรอมคานอยกวา Q1 – (1.5 × (IQR)))ตวอยางเชน ผจาหนายเครองใชไฟฟาบรษทหนงทาการเกบขอมลระยะเวลา (หนวยเปนวน)

ทลกคาใชในการชาระเงนนบตงแตไดรบใบสงของ เปนดงน

13 13 13 20 26 27 31 34 34 34 35 35 36 37 38 41 41 41 45 47 47 47 50 51 53 54 56 62 67 82

จากขอมลน Q1 = 33.25 และ Q3 = 50.25 ดงนน IQR = 50.25 – 33.25 = 17 นนคอ Q1 – 1.5 (17) = 7.75 และ Q3 + 1.5(17) = 75.75 เมอตรวจสอบขอมลชดน ไมมคาสงเกตใดทตากวา 7.75 แตมคาสงเกต 1 คาทมากกวา 75.75ไดแก 82 จงถอวาระยะเวลาจานวน 82 วนน เปนคานอกกลมทมคาสงผดปกต

สวนใหญในการสรางแผนภาพกลอง นยมแสดงคานอกกลมดวยเครองหมาย ดอกจนทน (*) ดงน(แผนภาพจากการใชโปรแกรมสาเรจรปทางสถต MINITAB)

5. ผสอนควรบอกใหผเรยนเขาใจตรงกนวาคาวาคาเฉลยประชากร นนเปนคาคงทสาหรบประชากรหนงๆ สวนคาวาคาเฉลยตวอยางทใชสาหรบคาดเดาหรอประมาณคาเฉลยประชากรนนจะมคาแตกตางกนไปในแตละครงของการเลอกตวอยางซงเปนการกระทาซา ๆ กนดวยขนาดตวอยางเทาเดมจากประชากรเดยวกน แมวาแตละครงนนจะใชคาเฉลยทไดจากตวอยางซงมคาไมเทากนในการเลอกตวอยางแตละครงเพอประมาณคาเฉลยประชากร (ซงมเพยงคาเดยว) กตาม ในทางปฏบตจะเลอกตวอยางเพยงชดเดยว ดงนนมกจะไมทราบวาคาเฉลยตวอยางทคานวณจากขอมลแตละชดใหคาทแตกตางกนหรอไม และแตกตางกนอยางไร

4

ตวอยางเชน บรษทแหงหนงมพนกงานทงสน 40 คน ขอมลตอไปนแสดงจานวนป (ปดเศษขนถาจานวนเดอนมากกวาหกเดอน และปดเศษลงถาจานวนเดอนนอยกวาหกเดอน) ทพนกงานทางานหรอประสบการณการทางานของพนกงานแตละคนในบรษทน

11 4 18 2 1 2 0 2 2 4 3 4 1 2 2 3 3 19 8 3 7 1 0 2 7 0 4 5 1 14

16 8 9 1 1 2 5 10 2 3

ถาขอมลขางตน (คาสงเกตจากพนกงานทงหมด 40 คา) ประกอบกนเปนประชากรทสนใจศกษา จะไดจานวนปโดยเฉลยในการทางานของพนกงานคอ

4032...18411 +++++

=µ 80.4= ป เมอ

เจาของบรษทตองการจดตงคณะกรรมการจานวน 5 คนเพอหาขอมลเกยวกบการประกนสขภาพทจะทาใหกบพนกงานทงหมด ดวยการเลอกคณะกรรมการโดยสมจานวน 5 คน หลายๆ ครงเพอพจารณาวาประสบการณการทางานโดยเฉลยของคณะกรรมการจะแตกตางจากประสบการณการทางานโดยเฉลยของพนกงานทงหมดหรอไม ตวอยางขนาด 5 คน ในแตละครงและคาเฉลยตวอยางแสดงดงน

ตวอยางกลมท ขอมลจากตวอยาง คาเฉลยตวอยาง ( X )123456789101112131415

1 9 0 19 14 7 4 4 1 3 8 19 8 2 1 4 18 2 0 11 4 2 4 7 18

1 2 0 3 22 3 2 0 211 2 9 2 49 0 4 2 71 1 1 11 12 0 0 10 20 2 3 2 162 3 1 1 13 7 3 4 31 2 3 1 4

8.63.87.67.07.01.61.85.64.43.02.84.61.64.02.2

5

ใหสงเกตวา ในทางปฏบตไมสามารถทราบขอมลทงหมดของประชากร (จานวนประชากรไมไดมขนาด 40 คนเหมอนตวอยางน) ถาอาจทาการเลอกตวอยางจานวนหนง (เชน 5 คนจากตวอยางน) แลวใชคาจากตวอยางซงในทนไดแกคาเฉลยตวอยางจากตวอยางเพยงชดเดยว เพอเปนคาประมาณของคาเฉลยประชากร ทงนคา เฉลยตวอยางทใชประมาณคาเฉลยประชากรไมจาเปนตองเทากบคาเฉลยประชากรหรอพารามเตอรเสมอไป (ในตวอยางขางตน ไมมตวอยางชดใดทใหคาเฉลยเทากบ µหรอ 4.8 ป) เพยงแตเราคาดหวงวาถามการเลอกตวอยางหลายๆ ชด คาเฉลยของคาเฉลยตวอยางจากทกๆ ชดจะมคาใกลเคยงคาพารามเตอร หรอคาเฉลยประชากร (4.8 ป)

6. ใหผสอนตระหนกวา สญลกษณ ∑ เปนอกษรกรกเรยกวา Capital Sigma หรอ “ซกมาตวอกษรตวใหญ” เมอใชรวมกบตวหอย (subscript) i จะเปนเครองหมายทแทนการบวก สวนสญลกษณ σเปนอกษรกรกเรยกวา Sigma หรอ “ซกมา” ใชทางสถตจะใชสญลกษณนแทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร การใชสญลกษณ Capital Sigma แทนการบวก เชน ∑

=

n

iiX

1 ในภาษาองกฤษจะอานวา

“Summation (ซมเมชน) iX โดยท i เทากบ 1 ถง n” ไมไดอานวา “Sigma (ซกมา) iX โดยท i เทากบ1 ถง n”

7. เนองจากสตรการคานวณทงในกรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ หรอในกรณททราบขอมลดบแตละตวและในกรณทมการแจกแจงในรปของตารางแจกแจงความถทแบงเปน k ชน ใชสญลกษณ

iX แทนคาของขอมลเหมอนกนทงสองสตร ดงนนจงควรมความระมดระวงดงตอไปน (1) สาหรบในกรณททราบคาของขอมลจรง ๆทกตว iX จะแทนคาจรงของขอมลแตละตวและตวหอย i จะเรมตงแต 1 ถง n หรอ N (จานวนคาสงเกตทงหมด)

(2) ในกรณทขอมลอยในรปตารางแจกแจงความถและมอนตรภาคชน iX จะแทนคาทใชเปนตวแทนของบรรดาขอมลในอนตรภาคชนนน หรอจดกงกลางของชนนนเองและตวหอย iจะเรมตงแต 1 ถง k (จานวนอนตรภาคชน)

8. การหาคาเฉลยเลขคณตรวม ใหผสอนเนนกบผเรยนวาตองเปนการหาคาเฉลยของขอมลเดยวกน หรอตวแปรเดยวกน และสญลกษณ k ในทนใชแทน จานวนชดขอมลทงหมด ถาเปนขอมลคนละตวแปรกน เชน ราคาซอและราคาขาย รายไดและรายจาย คะแนนสอบวชาคณตศาสตรคะแนนสอบวชาฟสกสและคะแนนสอบวชาเคม นามาเฉลยรวมกนผลลพธทไดจะไมสอความหมาย

อยางไรกตาม แมวาในบางครงจะเปนตวแปรเดยวกน เชน อาย กลาวคอ คาเฉลยเลขคณตของอายนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3, 4, และ 5 คอ 15 ป, 17 ป และ 18 ป ตามลาดบ โดยโรงเรยนแหงนมนกเรยนในแตละชนเปน 60, 50, และ 40 คน ตามลาดบ เชนน การหาคาเฉลยเลขคณตของอายนกเรยนสามชนรวมกนอาจไมเหมาะสม เนองจากเปนนกเรยนคนละกลมกน ถานกเรยนเรยนตามเกณฑ กจะทราบดอยแลววา แตละชนนนมอายหางกนประมาณ 1 ป ไมสมควรจะมาหาคาเฉลยของอาย แตถาเปนเรองคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของชนมธยมศกษาปท 3 โดยใชขอสอบชดเดยวกน

6

และทราบวา ม.3/1 ไดคะแนนเฉลย 80 คะแนน หอง ม.3/2 ไดคะแนนเฉลย 60 คะแนน และหอง ม.3/3ไดคะแนนเฉลย 75 คะแนน การหาคาเฉลยรวมของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.3สามหองรวมกนจะมความหมายมากกวาตวอยางขางตน

9. สาหรบสตรการหาคามธยฐานสาหรบขอมลทแจกแจงความถ ไมควรเนนใหทองจาหรอทาการวดผลจากสตรนน เนองจากเปนการประมาณคามธยฐานของขอมลชดนนทไมทราบคาทแทจรงของคาสงเกตแตละตว ดงนนการทผเรยนทราบหรอสามารถกะประมาณไดวามธยฐานควรมคาเทาไรในชวงใดหรอคานวณไดแบบหยาบๆ กเพยงพอแลว

10. ฐานนยมจะสอความหมายไดเมอใชสรปขอมลทเปนขอมลเชงคณภาพ เชน เพศ อาชพภมลาเนา เบอรหรอขนาดเสอ ความคดเหน ความชอบ หรอความเครยด เปนตน ไมควรเนนการหาฐานนยมสาหรบขอมลเชงปรมาณ และใหผสอนเนนกบผเรยนวาฐานนยม คอคาสงเกตทมความถสงสด แตไมใชคาความถของคาสงเกตนน เชน การวดความคดเหน ถาขอมลทสารวจมาพบวา มผเหนดวยอยางยงจานวน 22 คน มผเหนดวยจานวน 20 คน มผไมมความเหนจานวน 5 คนมผไมเหนดวย จานวน 14 คน มผไมเหนดวยอยางยงจานวน 11 คน ในทนฐานนยมคอ เหนดวยอยางยง สวนคา 22 ไมใชฐานนยม แตเปนความถของผทตอบวาเหนดวยอยางยง

11. ขอนารเพมเตมเกยวกบคาเฉลยเรขาคณต คาเฉลยเรขาคณตมประโยชนอยางยงในการหาคากลางหรอคาเฉลยของขอมลทอยในรปของรอยละ อตราสวน ดชน หรออตราการเจรญเตบโต(growth rate) ซงใชอยางกวางขวางในทางธรกจ เศรษฐศาสตร และชววทยา เนองจากมความสนใจทจะหารอยละของการเปลยนแปลงราคาขาย เงนเดอน หรอเครองชภาวะของเศรษฐกจ ประชากร เชนผลผลตมวลรวมของชาต (Gross National Product) ทสรางจากตวแปรหลายๆ ตวประกอบกน

ขอจากดของการหาคาเฉลยเรขาคณตคอคาทจะนามาหาคาเฉลยเรขาคณตแตละคาตองมคามากกวาศนย คาเฉลยเรขาคณตจะนอยกวาหรอเทากบคาเฉลยเลขคณตเสมอ ตวอยางของการตความหมายคาเฉลยเรขาคณตจะเหนไดดงตอไปน สมมตวา นาย ก ไดรบเงนเดอนเพมขนรอยละ 5 ในปท 1และไดรบเงนเดอนเพมขนรอยละ 15 ในปท 2 ถาคานวณคาเฉลยเลขคณตของการเพมขนของเงนเดอนคอ รอยละ 10 (หรอคานวณจาก (5+15)/2) แตจรงๆ แลวรอยละโดยเฉลยของเงนเดอนทเพมขนคอรอยละ 9.886 ไมใช รอยละ 10 ซงคานไดจากการหาคาเฉลยเรขาคณตของ 5 และ 15 เนองจากถามเงนเดอน 100 บาท เงนเดอนเพมรอยละ 5 คอไดเงนเดอน 105 บาทหรอ 1.05 ตอเงน 1 บาทและเงนเดอนเพมรอยละ 15 คอ 115 บาทหรอ 1.15 ตอเงน 1 บาท นนคอคาเฉลยเรขาคณตตอเงน1 บาท เทากบ (1.05)(1.15) 1.09886≈ หรอรอยละ 9.886

การตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใชคาเฉลยเรขาคณตทาไดโดยสมมตวา เงนเดอนในปท 1กอนทจะขนเงนเดอนรอยละ 5 ของนาย ก คอ 30,000 บาท ปท 1 ไดรบเงนเดอนเพมขน รอยละ 5หรอคดเปนเงน 30,000(.05) = 1,500 บาท ปท 2 ไดรบเงนเดอนเพมขน รอยละ 5 ของเงนเดอนในปแรกหรอคดเปนเงน 31,500(.15) = 4,725 บาท รวมเงนดอนเพมขนสองป 6,225 บาท เงนเดอนทเพมขน

7

รวมสองป 6,225 บาท เทากบการใชคาเฉลยเรขาคณตแทนในการคานวณรอยละทเพมขนในแตละปดงนปท 1 ไดรบเงนเดอนเพมขน รอยละ 9.886 หรอคดเปนเงน 30,000(.09886) = 2,965.8 บาทปท 2 ไดรบเงนเดอนเพมขน รอยละ 9.886 ของเงนเดอนในปแรก

หรอคดเปนเงน 32,965.8(.09886) = 3,259.0 บาท รวมเงนเดอนเพมขนสองป 6,224.8 บาท

ซงใกลเคยงหรอเทากนหากมการปดเศษ กบการใชรอยละ 5 และรอยละ 15 ในการคานวณเงนทไดรบเพมในปท 1 และ ปท 2 ตามลาดบ

ตวอยางท 1 ถาบรษทแหงหนงลงทนในปท 1 ไดกาไร รอยละ 10 ในปทสองไดกาไรรอยละ 50และในปท สามไดกาไรรอยละ 30 อตราผลตอบแทนหรอกาไรโดยเฉลยควรเปนเทาไรอตราผลตอบแทนโดยเฉลยคอ 3 )30.1)(50.1)(10.1( ≈ 1.2897 หรอรอยละ 28.97

จะเหนวาในการคานวณเงนทนในปแรกตองคณดวย 1.10 และในปทสองตองคณดวย 1.50 และในปทสามตองคณดวย 1.30 ดงนนหากตองการคาคงททจะไปคณในเงนลงทนแตละปโดยทไมตองใชคา 1.10, 1.50, และ 1.30 คณในปท 1, 2, และ 3 ตามลาดบคานนไดแกคาเฉลยเรขาคณต 1.2897 นนเอง

สมมตวามคาสงเกต 5 คา บวกกนไดผลรวมจานวนหนง สมมตเปน 100 คาเฉลยเลขคณตของคาสงเกต 5 คานน คอคาคงทคาหนงซงเมอบวกกน 5 ครงแลวจะไดผลรวมเปน 100 เทาเดมในทานองเดยวกน ถาเรามคาสงเกต 5 คาคณกนได ผลคณจานวนหนงสมมตวาเปน 550คาเฉลยเรขาคณตของ คาสงเกต 5 คานคอคาคงทคาหนงซงเมอนามาคณกน 5 ครงแลวจะไดผลคณเปน 550 เทาเดม จากตวอยางท 1 จะเหนวา (1.10)(1.50)(1.30) ≈ 2.145 และ(1.2897)(1.2897)(1.2897) ≈ 2.145 เชนกน

ตวอยางท 2 ถาเรมลงทนดวยเงนทน 1,000 บาท ในแตละปไดผลตอบแทน 13%, 22%, 12%,-5%, และ -13% ตารางตอไปนแสดงเงนรวมทไดจากการลงทนเมอสนสดของแตละป

ปท ผลตอบแทนตอป เงนรวม1 13% 1,000(1.13) ≈ 1,130 บาท2 22% 1,130(1.22) ≈ 1,379 บาท3 12% 1,379(1.12) ≈ 1,544 บาท4 -5% 1,544(0.95) ≈ 1,467 บาท5 -13% 1,467(0.87) ≈ 1,276 บาท

8

ถาตองการหาอตราผลตอบแทนตอป จะตองหาคาเฉลยเรขาคณตของผลตอบแทนแตละปแทนทจะใชรอยละผลตอบแทนในการคานวณ จะใชตวคณทแสดงถงคาของเงนเมอสนสดของแตละปนนคอ ผลตอบแทน 13% จะแทนดวยตวคณ 1.13 และผลตอบแทน –5% หรอการขาดทน จะแทนดวยตวคณ 0.95 คาเฉลยเรขาคณตของตวคณ 1.13, 1.22, 1.12, 0.95, และ 0.87 คอ5 (1.13)(1.22)(1.12)(0.95)(0.87) = 1.0499 หรอ 1.05 นนคออตราผลตอบแทนโดยเฉลยตอปคอ 5% ตารางตอไปนแสดงเงนรวมเมอสนสดในแตละปเมอใชอตราผลตอบแทนเฉลย 5% ซงจะเหนวาเมอสนสดปท 5 จะไดเงนรวมในปสดทายเทากบการลงทนทมผลตอบแทนในแตละปคอ13%, 22%, 12%, -5%, และ -13% ดงตารางขางตน

ปท ผลตอบแทนตอป เงนรวม1 5% 1,000(1.05) ≈ 1,050 บาท2 5% 1,050(1.05) ≈ 1,103 บาท3 5% 1,103(1.05) ≈ 1,158 บาท4 5% 1,158(1.05) ≈ 1,216 บาท5 5% 1,216(1.05) ≈ 1,276 บาท

ตวอยางท 3 บรษทรบเหมากอสรางแหงหนงไดรบกาไรจากโครงการ 4 โครงการทผานมาคอ รอยละ 3

รอยละ 2 รอยละ 4 และรอยละ 6 คาเฉลยเรขาคณตของกาไรคดเปนรอยละเทาใด คาเฉลยเรขาคณตคอ 4 )6)(4)(2)(3( = 4 144 ≈ 3.46 นนคอ คาเฉลยเรขาคณตของกาไรคอ รอยละ 3.46 แตถาคานวณคาเฉลยเลขคณตจะไดวา

คาเฉลยเลขคณตเทากบ (3+2+4+6)/4 หรอ รอยละ 3.75 ใหสงเกตวาถงแม คา 6 จะมคาไมสงมากกตามแตมผลทาใหคาเฉลยเลขคณตสงขนตามไปดวยในขณะทคาเฉลยเรขาคณตรอยละ 3.46 ไมมผลกระทบจากคา 6 ทมากกวาคาอนๆ น โดยทวไปคาเฉลยเรขาคณตจะไมมากกวาคาเฉลยเลขคณต ตวอยางการประยกตใชคาเฉลยเรขาคณตอกอยางหนงไดแกการหารอยละทเพมขนโดยเฉลยในชวงระยะเวลาหนง ตวอยางเชน ถานาย ข มรายไดสทธในป พ.ศ. 2537 เปน 30,000 บาท และมรายไดสทธในป พ.ศ. 2547 เปน 50,000 บาทอตรการเพมขนของรายไดสทธตอปในชวง 10 ปนคานวณจากสตรดงตอไปน

รอยละโดยเฉลยทเพมขนในชวง 10 ป คอ 13000050000

10 − ≈ 0.0524 หรออตราการเพม

ขนของรายไดสทธตอปโดยเฉลยประมาณรอยละ 5.24

9

สาหรบขอมลทางชววทยาหรอทางเคม เชน การแจกแจงของจานวนแบคทเรย จลนทรยสวนใหญมกมการแจกแจงทเบขวาหรอหางยาวทางขวาหรอมคาสงเกตสวนใหญทมคาตาและมคาสงเกตจานวนนอยทมคาสง ซงสวนใหญแลวในการวเคราะหทางสถตมกมขอตกลงวาการแจกแจงของขอมลตองมลกษณะสมมาตร เชน มการแจกแจงแบบปกต เปนตน ดงนนมกทาการแปลงขอมลทเบใหมลกษณะสมมาตรขนหรอใหคลายกบการแจกแจงแบบปกต ในกรณทขอมลมลกษณะเบขวาการแปลงขอมลโดยใชลอการทมแทนคาขอมลเดมจะชวยใหขอมลมลกษณะสมมาตรขน ถาขอมลเดมมการแจกแจงแบบเบขวา เมอแปลงขอมลแตละตวโดยใชคาลอการทมแลวทาใหการแจกแจงใหมนมการแจกแจงทประมาณไดวาเปนแบบปกตจะเรยกขอมลเดมวามการแจกแจงแบบลอกนอรมอล (log-normal) ซงคาทดทสดทใชวดคากลางของการแจกแจงแบบลอกนอรมอลกคอคาเฉลยเรขาคณตนนเอง ความจรงขอนใหพจารณาจากเหตผลตอไปน

ถาให X แทนขอมลเดม และให Y แทนขอมลทไดจากการแปลงโดยใชลอการทมกลาวคอ )ln( 11 XY = , )ln( 22 XY = , …, และ )ln( nn XY = คากลางของขอมลทแปลงแลวซงมลกษณะการแจกแจงสมมาตรขนคอ คาเฉลยเลขคณตของ Y หรอ Y เมอไดคา Y แลว สามารถตความกลบไปยงขอมลเดมไดดงน

เนองจาก Y = )ln(X ดงนนความสมพนธระหวางขอมลเดมและขอมลทแปลงแลวคอYeX = ทาใหไดวา

คากลางของขอมลเดมจงควรเปน Ye = ∑=

n

iiY

ne 1

1

= ∑=

n

iiX

ne 1

)ln(1

= )...ln(121 nXXX

ne = nXXX ne1

)...ln( 21

= nnXXX

1

21 )...( = nnXXX ...21

หรอเทากบคาเฉลยเรขาคณตของขอมลเดมทมลกษณะเบขวานนเอง นนคอ ขอมลทมลกษณะเบขวาคากลางทใชควรเปนคาเฉลยเรขาคณต

12. ขอนารเพมเตมเกยวกบคาเฉลยฮารมอนกคาเฉลยฮารมอนก (H.M.) ของจานวน n จานวน ( nXXXX ,...,,, 321 ) นยามโดย

∑=

=n

i iXnMH 1

11..

1 หรอ ∑=

= n

i iX

nMH

1

1..

กรณท n = 2 จะไดวา 1 2 1 2

1 21 2

X X 2X XH.M. 1 X X(X X )2

= =++

10

กรณท n = 3 จะไดวา 1 2 3 1 2 3

1 2 1 3 2 31 2 1 3 2 3

X X X 3X X XH.M. 1 X X X X X X(X X X X X X )3

= =+ ++ +

ถาให nwwww ,...,,, 321 คอนาหนกของ nXXXX ,...,,, 321 ตามลาดบ คาเฉลยฮารมอนกถวงนาหนกนยามโดย

∑

∑

=

== n

i i

i

n

ii

Xw

wMH

1

1..

คาเฉลยฮารมอนก นยมใชสาหรบการหาอตราเฉลยหรอใชสาหรบเฉลยขอมลทนยามสมพทธกบหนวย เชน ระยะทางตอชวโมง (กโลเมตรตอชวโมง) งานตอหนวยเวลา เปนตน ซงความเปนมาของคาเฉลยฮารมอนกอาจพจารณางายๆ ดงน

ตวอยางท 1 นาย ก ทางานหนงหนวยแลวเสรจในเวลา 4 นาท นาย ข นาย ค นาย ง และนาย จ ทางานหนวยเดยวกนนเสรจในเวลา 5, 6, 10, และ 12 นาทตามลาดบ ถาตองการหาคาเฉลยของอตราการทางานของคนทงหาคนนสามารถทาไดดงน

เนองจากนาย ก ทางาน1หนวยใชเวลา 4 นาท ดงนน ใน 1 นาท นาย ก ทางานได 14

หนวย

นาย ข ทางาน 1 หนวย ใชเวลา 5 นาท ดงนน ใน 1 นาท นาย ข ทางานได 15

หนวย

นาย ค ทางาน 1 หนวย ใชเวลา 6 นาท ดงนน ใน 1 นาท นาย ค ทางานได 16

หนวย

นาย ง ทางาน 1 หนวย ใชเวลา 10 นาท ดงนน ใน 1 นาท นาย ง ทางานได 110

หนวย

นาย จ ทางาน 1 หนวย ใชเวลา 12 นาท ดงนน ใน 1 นาท นาย จ ทางานได 112

หนวย

นนคอ ใน 1 นาท ทงหาคนทางานรวมกนได 14

15

+1 1 16 10 12

+ + + หนวย

หรอเฉลยแลวไดงาน 1 1 1 1 14 5 6 10 12

5

+ + + +หนวยตอนาท

นนคอ งาน 1 1 1 1 14 5 6 10 12

5

+ + + + หนวย ใชเวลา 1 นาท

ดงนน งาน 1 หนวยใชเวลา 121

101

61

51

41

5

++++ นาท

หรอมคาเทากบ 121

101

61

51

41

5

++++ ซงคอคาเฉลยฮารมอนกนนเอง

11

ตวอยางขางตน นกเรยนสามารถหาคาเฉลยทเหมาะสมไดโดยไมจาเปนตองจาสตรคาเฉลยฮารมอนก

ตวอยางท 2 สมมตวาแบงระยะทาง 40 กโลเมตรเปนสระยะเทาๆ กน โดย ระยะทาง 10 กโลเมตรแรก ใชอตราเรวในการขบรถ 100 กโลเมตรตอชวโมง ระยะทาง 10 กโลเมตรตอๆ ไปใชอตราเรว 110, 90, และ 120 กโลเมตรตอชวโมงตามลาดบ ตองการหาอตราเรวโดยเฉลยในการขบรถสาหรบระยะทาง 40 กโลเมตรนเนองจากอตราเรวคอ ระยะทาง / เวลา ดงนนตองหาเวลารวมทใชในการขบรถในระยะทาง40 กโลเมตรกอนขบรถ 10 กโลเมตรแรก ใชเวลาเทากบ 10/100 ชวโมง ขบรถ 10 กโลเมตร ทสองใชเวลาเทากบ 10/110 ชวโมง ขบรถ 10 กโลเมตรทสามใชเวลาเทากบ 10/90 ชวโมง ขบรถ 10 กโลเมตรสดทายใชเวลาเทากบ 10/120 ชวโมง รวมเวลาทใชทงสน 10 10 10 10100 110 90 120

+ + + ชวโมง

ดงนนอตราเรวเฉลยในระยะเวลา 40 กโลเมตร คอ 4010 10 10 10100 110 90 120

+ + +

กโลเมตรตอชวโมง หรอเทากบ 12010

9010

11010

10010

40

+++=

1201

901

1101

1001

4

+++

ซงกคอคาเฉลยฮารมอนกนนเองอยางไรกตามใหระวงคาถามในลกษณะเดยวกน ซงถาไมพจารณาใหรอบคอบจะทาใหเกดความผดพลาดได ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 3 นาย ก ขบรถในชวโมงแรกใชอตราเรว 80 กโลเมตรตอชวโมง จากนนในชวโมงทสองไดเพมอตราเรวเปน 100 กโลเมตรตอชวโมง อตราเรวเฉลยในการขบรถในชวงระยะทางทวงไดสองชวโมงน คอ (80 + 100) /2 เทากบ 90 กโลเมตรตอชวโมง หรอคอคาเฉลยเลขคณตนนเอง เนองจากระยะทางทวงไดทงหมดคอ 80 + 100 กโลเมตร และเวลาทงสนคอ 2 ชวโมง

แตถากาหนดวา ในระยะทางครงแรกของการเดนทางขบรถดวยอตราเรว 80 กโลเมตรตอชวโมง สวนระยะทางครงหลงใชอตราเรว 100 กโลเมตรตอชวโมง อตราเรวเฉลยของการขบรถในชวงทวงไดคอ 2

1 180 100

+ กโลเมตรตอชวโมง หรอคอคาเฉลยฮารมอนก

เนองจากถาสมมตวาระยะทางทวงไดในครงแรกคอ d เวลาทใชในครงแรกคอ d/80 ชวโมง สวนระยะทางทวงไดในครงหลงคอ d เชนกน และเวลาทใชในครงหลงคอ d/100 ชวโมง นนคออตราเรวเฉลยไดแก 2d / (d/80 + d/100) เทากบ 2 / (1/80 + 1/100) ≈ 88.89 กโลเมตรตอชวโมง

12

13. ใหระวงวา การหาตาแหนงของขอมล เชน ควอรไทล นนแบงขอมลออกเปนสสวนเทาๆ กน ตามความถหรอจานวนขอมล ไมใชแบงตามระยะหางของขอมล หรอระยะระหวางคานอยสดกบคามากสด แตตองพจารณาจานวนขอมลในแตละสวนใหมจานวนเทาๆ กน

14. การวดการกระจายของขอมล วดหยาบ ๆ ไดโดยใชพสย แตถาตองการใหละเอยดขนใหใชสวนเบยงเบนมาตรฐานหรอความแปรปรวน สวนการเปรยบเทยบการกระจายใหใชสมประสทธของความแปรผน นนคอการนาเขาสเนอหาควรเปนลกษณะน ไมควรนาเขาสเนอหาวาการวดการกระจาย มสองแบบ คอแบบสมบรณและแบบสมพทธ เนองจากการวดการกระจายมแบบเดยวแลวแตวาจะวดหยาบๆ หรอใหละเอยด สวนการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลสองชดขนไปกมเครองมอวดอกเชนกน การจดการเรยนการสอนในหวขอนใหเนนแคพสย สวนเบยงเบนมาตรฐาน และสมประสทธของความแปรผนกพอ

15. หนวยของสวนเบยงเบนมาตรฐานจะเปนหนวยเดยวกบขอมลทนามาวเคราะห สวนหนวยของความแปรปรวน มหนวยเชนเดยวกบขอมลทนามาวเคราะหยกกาลงสอง เชน ขอมลแทนความยาวมหนวยเปนเมตร สวนเบยงเบนมาตรฐานจะมหนวยเปนเมตร แตความแปรปรวนจะมหนวยเปน เมตร2

16. ความแปรปรวนรวม ทคานวณจากขอมลระดบประชากรหลายๆ กลมนนไมคอยจะมประโยชนในการนาไปใชเทาไรนก เชน

ขอมลประชากรกลมท 1 2

11

21 )(1 1

µσ ∑=

−=N

iiX

N


12

22 )(1 2

µσ ∑=

−=N

iiX

N


13

23 )(1 3

µσ ∑=

−=N

iiX

N

ดงนน ความแปรปรวนรวม 321

233

222

2112

NNNNNN

++++

=σσσ

σ

ใหสงเกตวาขอมลแตละกลมมคาเฉลยประชากรµ เทากน สาหรบขอมลตวอยางหลายชดทสมจากประชากรเดยวกน ซงแตละชดสามารถคานวณความแปรปรวนตวอยาง ดงน

ขอมลตวอยางกลมท 1 1n

2 21 i 1

i 11

1s (X X )n 1 =

= −− ∑

ขอมลตวอยางกลมท 22n

2 22 i 2

i 12

1s (X X )n 1 =

= −− ∑

ขอมลตวอยางกลมท 3 3n

2 23 i 3

i 13

1s (X X )n 1 =

= −− ∑

เมอใชคาความแปรปรวนทไดจากตวอยางทกชดทมาจากประชากรเดยวกนเพอประมาณคาความแปรปรวนประชากร 2σ ไดโดยความแปรปรวนรวม

13

2 2 22 1 1 2 2 3 3

1 2 3

(n 1)s (n 1)s (n 1)ss(n 1) (n 1) (n 1)− + − + −

=− + − + −

ความแปรปรวนรวมนมประโยชนและมความหมายในทางสถต กลาวคอเปนการประมาณคาความแปรปรวนประชากร 2σ โดยใชขอมลจากตวอยางหลายๆ ชดทไดมาจากประชากรนน เพอใหไดคาประมาณทดขน

17. เครองคดเลขบางชนดอาจมการคานวณ สวนเบยงเบนมาตรฐานโดยไมไดสนใจวาเปนขอมลประชากรหรอตวอยาง ควรตรวจสอบสตรในการคานวณสาหรบเครองแตละเครอง กลาวคออาจคานวณสวนเบยงเบนมาตรฐานโดยใชตวหารคอ N หรอ N-1 กได ทงนเครองบางเครองอาจใชสญลกษณ nσ หมายถง สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลระดบประชากร (σ ) และ 1−nσ หมายถงสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลตวอยาง (s) แมวาจะใชสญลกษณทไมถกตองกตาม

กจกรรมเสนอแนะกจกรรมท 1 การใช Microsoft Excel ชวยในการวเคราะหขอมล

เนองจากการวเคราะหขอมลในปจจบนใชโปรแกรมสาเรจรปทางสถตหรอโปรแกรมชวยคานวณในรปแบบอนๆ ดงนนควรใหผเรยนไดทราบถงการวเคราะหขอมลดวยเครองคอมพวเตอรโดยเฉพาะโปรแกรมทไดตดตงมากบเครองคอมพวเตอร เชน Microsoft Excel เปนตน

การวเคราะหขอมลโดยใช Microsoft Excel นนอาจใชฟงกชนในการคานวณของโปรแกรมเองหรอทาการเพมเครองมอทเรยกวา Analysis ToolPak ใหกบ Excel กได ในทนจะเสนอตวอยางการคานวณสถตพรรณนาโดยใช Analysis ToolPak ดงน

หลงจากปอนขอมล ในแผนทางานของ Excel แลว ใหไปทเมนเครองมอ โปรแกรมเพม …

14

เมอหนาจอปรากฏ กลองขอความใหเลอก ดงน ใหคลก เครองหมายถกดวยเมาส เลอกAnalysis ToolPak และ Analysis ToolPak –VBA แลว คลกท ตกลง

คลกทเครองมออกทจะเหนเมน Data Analysis เพมขนมา ใหเลอกเมน Data Analysis …น

15

เลอกเมน Descriptive Statistics จากกลองขอความทปรากฏขนมาหลงจากทไดเลอกเมน DataAnalysis … จากนนคลกท OK

คลกท ลกศรสแดงในชอง แรกทเขยนวา Input Range เพอระบทอยของขอมลทตองการวเคราะห

16

สรางสดมภทตองการวเคราะหขอมล (ปรมาณไขไก) ตงแต B1 ถง B21 คลกทลกศรสแดงอกท

คลกเครองหมายถก เลอก Labels in First Row เนองจากในการกาหนดทอยของขอมลไดรวมปายชอหรอชอสดมภ (ทเขยนวา “ปรมาณไขไก”) ในบรรทดแรกของขอมลเขาไวดวย ในกรณทไมไดเลอกชอสดมภเขามา กไมตองคลกท ชอง Labels in First Row น จากนนคลกเลอกSummary Statistics แลวคลกท OK

17

หลงจากนนจะไดผลลพธทแสดงคาสถตพรรณนาในแผนงานอกแผนหนง

จากผลลพธทได ปรมาณการบรโภคไขไกตอเดอนจากครอบครว 20 ครอบครวน รวมได989 ฟองตอเดอน ปรมาณการบรโภคนอยสดคอ 32 ฟองตอเดอน ปรมาณการบรโภคมากสดคอ 65 ฟองตอเดอนนนคอมความแตกตางกนหรอพสย 33 ฟองตอเดอน

ปรมาณการบรโภคเฉลยคอ 49.45 ฟองตอเดอน โดยมสวนเบยงเบนมาตรฐาน 8.73 ฟองตอเดอนมธยฐานของปรมาณการบรโภคไขไกเทากบ 48 ฟองตอเดอน ครอบครวทจะบรโภคไขไก

60 ฟองตอเดอนมจานวนมากทสด (ควรระบดวยวามกครอบครว)

หมายเหต การคานวณสวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนในสถตพรรณนาของโปรแกรม Microsoft Excel นเปนการคานวณของตวอยาง ใหสงเกตคาวา Sample Variance

18

กจกรรมท 2 การเกบขอมลจากแหลงปฐมภมและทตยภมเมอผเรยนสามารถทาการวเคราะหขอมลดวยคอมพวเตอรไดแลว ใหแบงกลมผเรยนเพอศกษา

และวางแผนเกบรวบรวมขอมลในเรองทผเรยนสนใจ โดยใหสมมตวาขอมลทไดมาเปนตวอยางหรอตวแทนทดจากประชากร ขอมลทรวบรวมมานอาจมาจากแหลงปฐมภมโดยการสอบถาม สมภาษณหรอจากแหลงขอมลทตยภม เชน หนงสอพมพ อนเทอรเนต เปนตน ขอมลอาจประกอบดวยตวแปรหลายตว มทงตวแปรเชงคณภาพ เชน เพศ ระดบการศกษา การอยในเขตเทศบาลหรอไม และตวแปรเชงปรมาณ เชน ระดบคะแนนเฉลยสะสม จานวนชวโมงในการอานหนงสอโดยเฉลยตอวน คาใชจายในการซออาหารกลางวน สวนสง นาหนก เปนตน จากนนใหผเรยนใชโปรแกรม Microsoft Excel ในการสรปขอมล แยกตามตวแปรทสนใจ เชน แยกเพศ แยกระดบการศกษา โดยตวแปรเชงปรมาณควรหาสถตพรรณนาตางๆ ตามแบบทเสนอในกจกรรมท 1

กจกรรมท 3 คาเฉลยและความแปรปรวนของ ตวแปรสองตวทมความสมพนธเชงเสนตรงให C เปนตวแปรแทนอณหภมทมหนวยเปนองศาเซลเซยส

และ F เปนตวแปรแทนอณหภมทมหนวยเปนองศาฟาเรนไฮตจากความสมพนธในหนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษา

ปท 5 เราทราบวา 3259

+= CF

ใหสมมตขอมลประมาณ 10 ตวเพอแทนอณหภมหนวยเปนองศาเซลเซยส จากนนแปลงขอมลแตละตวใหเปนอณหภมทมหนวยเปนองศาฟาเรนไฮต จากนนคานวณคาเฉลย ความแปรปรวนโดยใชสตรของความแปรปรวนทใชกบขอมลประชากร (อาจใชโปรแกรม Microsoft Excel ชวยในการคานวณแตตองแปลงคาความแปรปรวนจากตวอยางใหเปนความแปรปรวนของประชากร)

ตรวจสอบวาคาเฉลยของอณหภมทมหนวยเปนองศาฟาเรนไฮตและทมหนวยเปนองศาเซลเซยสสมพนธกนในรปแบบ 32

59

+= CF หรอไม นอกจากนความแปรปรวนประชากร ของอณหภม

ทมหนวยเปนองศาฟาเรนไฮตและทมหนวยเปนองศาเซลเซยสสมพนธกนในรปแบบใด (ยกเวนความ

ผดพลาดจากการปดเศษ จะไดวา 22

2

59

CF σσ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= เมอ 2

Fσ และ 2Cσ แทนความแปรปรวน

ประชากรของอณหภมทมหนวยเปนองศาฟาเรนไฮตและอณหภมทมหนวยเปนองศาเซลเซยสตามลาดบ)โดยสรป ถา Y สมพนธกบ X ในรปฟงกชนเสนตรง Y = aX + b เมอ a และ b เปนคาคง

ตวใดๆ แลว (1) bXaY +=

(2) 222XY a σσ =

19

กจกรรมท 4 คาเฉลยเลขคณตและมธยฐานกอนและหลงการเพมคาผดปกตใหเกบขอมลอายของนกเรยนในชนเรยน แลวคานวณคาเฉลยเลขคณตและมธยฐานดวย

ตนเอง และโดยการใชเครองคดเลขหรอโปรแกรม Microsoft Excel ใหสงเกตวาคาทไดไมนาจะแตกตางกนเนองจากอายของนกเรยนในชนเรยนเดยวกนไมนาจะแตกตางกนมากนก

จากนนใหนาอายของอาจารยประจาชนเพมเขาไปอก 1 คา (สมมตวาอาจารยประจาชนมอายตางจากนกเรยนมากพอสมควร) ขอมลอายของอาจารยประจาชนนสมมตวาเปนขอมลทมคาผดปกต กลาวคอมคาสงกวาปกต (อาจเกดจากการบนทกผด การเขาใจผด หรอเหตอนๆ ทไมทราบทาใหเขาใจวาเปนขอมลของนกเรยนชนน)

ใหคานวณคาเฉลยเลขคณต และมธยฐานของขอมลทมคาสงผดปกตนรวมอยดวย สงเกตความแตกตางของคาทคานวณทงสองครง คาเฉลยเลขคณตจะมคาตางกนในแตละครง แตมธยฐานมคาไมเปลยนแปลงมากนก ดงนนขอมลทมคาสงหรอตาผดปกตอยดวยหรอมลกษณะเบมากๆ ควรนาเสนอคากลางดวยมธยฐานไมใชคาเฉลยเลขคณต

การประเมนผล เนองจากในการเรยนการสอนเรอง การวเคราะหขอมลเบองตน ใหความสาคญกบการเลอกวธ

การวเคราะหขอมลเบองตน และการอธบายผลการวเคราะหขอมลใหถกตอง พรอมกบการนาความรเรองการวเคราะหขอมลไปใชได ดงนนในการประเมนผลผสอนอาจประเมนจากแบบฝกหด ขอสอบทเนนการเลอกใชวธการวเคราะหขอมล และการอธบายผลการวเคราะหขอมลตามประเภทของขอมล(เชงปรมาณหรอเชงคณภาพ) ลกษณะการแจกแจงของขอมล (สมมาตร หรอเบ มคาผดปกตหรอไม)ระดบของการวเคราะหขอมล (สถตเชงพรรณนาหรอสถตเชงอนมาน) และจดมงหมายในการสรปผล(ตองการวดคากลาง การกระจายหรอวดตาแหนงของขอมล) ไมควรเนนสตรในการคานวณโดยเฉพาะสตรทใชกบขอมลทแจกแจงความถแลวซงเปนสตรทซบซอนและไมไดแสดงวธซงเปนทมาของสตรดงกลาว โดยคาทไดกเปนคาโดยประมาณเทานน

นอกจากนนอาจประเมนผลโดยพจารณาจากผลงานทผเรยนแตละกลมทากจกรรมโดยพจารณาจากวตถประสงค การเกบรวบรวมขอมล ความถกตองนาเชอถอของขอมล การนาเสนองาน การสรปผลและการสอสารใหเปนทเขาใจงายตอผฟงทวไป

20

ตวอยางแบบทดสอบประจาบท1. ขอมลตอไปนแสดงอายโดยประมาณเมอรบตาแหนงนายกรฐมนตรครงแรกของนายกรฐมนตรไทย

(ขอมลบางสวนจากhttp://www.cabinet.thaigov.go.th/bb_main21.htm)

ลาดบ นายกรฐมนตร อายเมอไดรบตาแหนง (ป)1 พระยามโนปกรณนตธาดา (กอน หตะสงห) 482 พนเอก พระยาพหลพลพยหเสนา (พจน พหลโยธน) 463 จอมพล แปลก พบลสงคราม (แปลก ขตตะสงคะ) 414 พนตร ควง อภยวงศ 425 นาย ทว บญยเกต 416 หมอมราชวงศ เสนย ปราโมช 407 นาย ปรด พนมยงศ (หลวงประดษฐมนธรรม) 468 พลเรอตร ถวลย ธารงนาวาสวสด (หลวงธารงนาวาสวสด) 459 นาย พจน สารสน 5210 จอมพล ถนอม กตตขจร 4611 จอมพล สฤษด ธนะรชต 5112 นาย สญญา ธรรมศกด 6713 พลตร หมอมราชวงศ คกฤทธ ปราโมช 6414 นาย ธานนทร กรยวเชยร 5015 พลเอก เกรยงศกด ชมะนนท 6016 พลเอก เปรม ตณสลานนท 6017 พลเอก ชาตชาย ชณหะวณ 6818 นาย อานนท ปนยารชน 5919 พลเอก สจนดา คราประยร 5920 นาย ชวน หลกภย 5421 นาย บรรหาร ศลปอาชา 6322 พลเอก ชวลต ยงใจยทธ 6523 พนตารวจโท ทกษณ ชนวตร 52

1.1 นายกรฐมนตรของไทยทานใดทมอายนอยทสดเมอรบตาแหนงนายกรฐมนตรครงแรก 1.2 นายกรฐมนตรของไทยทานใดทมอายมากทสดเมอรบตาแหนงนายกรฐมนตรครงแรก 1.3 โดยเฉลยแลวนายกรฐมนตรของไทยรบตาแหนงนายกรฐมนตรครงแรกเมออายเทาใด

21

1.4 เมอเทยบกบนายกรฐมนตรของไทยในอดต นายกรฐมนตรคนปจจบนมอายเมอรบตาแหนงนายกรฐมนตรครงแรกนอยเกนไปหรอมากเกนไป

1.5 นายสญญา ธรรมศกด รบตาแหนงนายกรฐมนตรคนท 12 ของไทยเมอวนท 14 ตลาคม 2516 ตามพระบรมราชโองการ ซงดเหมอนวาตงแตนนมานายกรฐมนตรคนตอๆ ไปนน จะมอายเมอรบตาแหนงครงแรกมากขนกวานายกรฐมนตรสมยกอนๆ จงแสดงความ

คดเหนและใหขอมลสนบสนน2. ขอมลตอไปน (จาก http://www.fueleconomy.gov/feg/byclass/Midsize_Cars2005.shtml) เปน

จานวนไมลทวงไดตอนามน 1 แกลลอน (MPG) ของรถยนตขนาดกลางรนทผลตในป พ.ศ. 2548เมอวงในเมองและวงบนทางหลวงจาแนกตามประเภทของรถ

ประเภทรถ ในเมอง ทางหลวง1 Acura RL 6 cyl, 3.5 L, Auto(S5), Premium 18 262 Acura TL 6 cyl, 3.2 L, Manual (6 speed), Premium 20 293 Audi A6 Quattro 6 cyl, 3.1 L, Auto(S6), Premium 19 264 Audi A8 8 cyl, 4.2 L, Auto(S6), Premium 18 245 BMW 525I 6 cyl, 2.5 L, Manual (6 speed), Premium 19 286 BMW 530I 6 cyl, 3 L, Manual (6 speed), Premium 20 307 BMW 545I 8 cyl, 4.4 L, Manual (6 speed), Premium 17 258 Buick Century 6 cyl, 3.1 L, Automatic (4 speed), Regular 20 309 Buick Lacrosse/allure 6 cyl, 3.6 L, Automatic (4 speed), Regular 19 2710 Cadillac CTS 6 cyl, 2.8 L, Automatic (5 speed), Regular 18 2711 Cadillac STS 2WD 6 cyl, 3.6 L, Auto(S5), Regular 17 2412 Chevrolet Classic 4 cyl, 2.2 L, Automatic (4 speed), Regular 25 3413 Chevrolet Epica 6 cyl, 2.5 L, Automatic (4 speed), Regular 20 2814 Chevrolet Malibu 4 cyl, 2.2 L, Automatic (4 speed), Regular 24 3515 Chevrolet Monte Carlo 6 cyl, 3.4 L, Automatic (4 speed), Regular 21 3216 Chrysler Sebring 4 cyl, 2.4 L, Automatic (4 speed), Regular 22 3017 Dodge Stratus 4 Door 4 cyl, 2.4 L, Automatic (4 speed), Regular 22 3018 Ferrari 612 Scaqlietti 12 cyl, 5.7 L, Manual (6 speed), Premium 11 1719 Honda Accord 4 cyl, 2.4 L, Automatic (5 speed), Regular 24 3420 Honda Accord 6 cyl, 3 L, Automatic (5 speed), Regular 21 30

22

ประเภทรถ ในเมอง ทางหลวง21 Honda Accord Hybrid 6 cyl, 3 L, Automatic (5 speed), Regular 29 3722 Hyundai Elantra 4 cyl, 2 L, Automatic (4 speed), Regular 24 3223 Hyundai Sonata 4 cyl, 2.4 L, Automatic (4 speed), Regular 22 3024 Hyundai XG350 6 cyl, 3.5 L, Automatic (5 speed), Regular 18 2625 Infinity Q45 8 cyl, 4.5 L, Auto(S5), Premium 17 2326 Jaquar S-Type R 8 cyl, 4.2 L, Automatic (6 speed), Premium 17 2427 Kia Optima 4 cyl, 2.4 L, Automatic (4 speed), Regular 22 3028 Kia Optima 6 cyl, 2.7 L, Automatic (4 speed), Regular 20 2729 Kia Spectra 4 cyl, 2 L, Automatic (4 speed), Regular 24 3430 Lexus ES 330 6 cyl, 3.3 L, Automatic (5 speed), Regular 21 2931 Lexus GS 300/GS 430 6 cyl, 3 L, Auto(S5), Premium 18 2532 Lincoln LS 6 cyl, 3 L, Automatic (5 speed), Premium 20 2633 Mazda 6 4 cyl, 2.3 L, Manual (5 speed), Regular 23 3134 Mercedes-Benz E320 6 cyl, 3.2 L, Automatic (5 speed), Premium 20 2835 Mercedes Benz E500 8 cyl, 5 L, Auto(L7), Premium 17 2536 Mercury Sable 6 cyl, 3 L, Automatic (4 speed), Regular 20 2737 Mitsubishi Galant 4 cyl, 2.4 L, Automatic (4 speed), Regular 23 3038 Nissan Altima 4 cyl, 2.5 L, Automatic (4 speed), Regular 23 2939 Nissan Altima 6 cyl, 3.5 L, Manual (5 speed), Regular 21 2740 Nissan Maxima 6 cyl, 3.5 L, Manual (6 speed), Regular 20 2941 Pontiac Grand Prix 6 cyl, 3.8 L, Automatic (4 speed), Premium 19 2842 Rolls-Royce Phantom 12 cyl, 6.7 L, Auto(S6), Premium 12 1943 Saab 9-5 4 cyl, 2.3 L, Manual (5 speed), Premium 20 3044 Saturn L300 6 cyl, 3 L, Automatic (4 speed), Regular 21 2845 Suzuki Verona 6 cyl, 2.5 L, Automatic (4 speed), Regular 20 2846 Toyota Camry 4 cyl, 2.4 L, Automatic (5 speed), Regular 24 3447 Toyota Camry 6 cyl, 3 L, Automatic (5 speed), Regular 20 2848 Volkswagen Passat 4 cyl, 1.8 L, Manual (5 speed), Premium 22 3149 Volvo S80 AWD 5 cyl, 2.5 L, Automatic (5 speed), Premium 19 2650 Volvo S80 FWD 5 cyl, 2.5 L, Automatic (5 speed), Premium 21 30

23

ขอมลดงกลาวเปนขอมลจากตวอยางขนาด 502.1 ทานจะใชคากลางชนดใดในการสรปจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตดงกลาว

เมอวงในเมองและเมอวงบนทางหลวง เพราะเหตใด 2.2 ทานจะวดการกระจายของจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตดงกลาวเมอวงในเมอง

และเมอวงบนทางหลวงดวยสถตใด เพราะเหตใด 2.3 ใหอธบายลกษณะทสาคญ (คากลาง การกระจาย คาผดปกต (ถาม)) ของจานวนไมล

ตอแกลลอนของรถยนตดงกลาวเมอวงในเมองและเมอวงบนทางหลวง 2.4 รถยนตดงกลาวเมอวงในเมองหรอเมอวงบนทางหลวงมขอมลจานวนไมลตอแกลลอนแตกตาง

หรอกระจายมากกวากน 2.5 ถารฐบาลกาหนดวา รถทมจานวนไมลตอแกลลอนตาจะตองเสยภาษรถยนตชนดพเศษเพม

มรถกประเภททมจานวนไมลตอแกลลอนตา เมอใชเกณฑวารถชนดพเศษนมจานวนไมลตอแกลอนตากวาควอรไทลท 1 ของจานวนไมลตอแกลลอนเมอวงในเมอง และเมอวงบนทางหลวง

3. จากขอมลในขอ 2 จงอธบายวา รถยนตขนาดกลางรนทผลตในป พ.ศ. 2548 ทนามาใชเปนตวอยางมลกษณะทสาคญอยางไร เชน

- จานวนกระบอกสบ (cyl.) - ขนาดเครองยนต (L) - ประเภทของเกยร (เกยรอตโนมตหรอเกยรธรรมดา) - รถชนดธรรมดา (Regular) หรอชนดพเศษ (Premium)4. จากขอมลในขอ 2 ใหทาขอ 2.1 ถง 2.4 อกครงโดยจาแนกรถยนตตามลกษณะดงตอไปน - ประเภทของเกยร (แบบอตโนมต และแบบธรรมดา) - รถชนดธรรมดา (Regular) หรอชนดพเศษ (Premium)5. จากขอมลในขอ 2 ใหตดขอมลทมคาสงหรอตากวาปกตตอไปน ลาดบท 18 รถยนต Ferrari 612 Scaqlietti 12 cyl, 5.7 L, Manual (6 speed), Premium

ลาดบท 42 รถยนต Rolls-Royce Phantom 12 cyl, 6.7 L, Auto(S6), Premium ลาดบท 21 รถยนต Honda Accord Hybrid 6 cyl, 3 L, Automatic (5 speed), Regular

แลวทาขอ 2.1-2.5 อกครงหนง เปรยบเทยบกบผลทไดกบกรณทไมมคาผดปกต6. ขอมลตอไปนแสดงปรมาณโคเลสเตอรอลในอาหารตาง ๆ หนวยเปนมลลกรมตอปรมาณ

อาหาร100 กรม (จาก http://www.bangkokhealth.com/consumer_htdoc/consumer_health_detail.asp?umber=9072)

24

ประเภทอาหาร อาหาร ปรมาณโคเลสเตอรอล (มลลกรม/100 กรม)ไข ไขไกทงฟอง 427

ตบไก 336ตบหม 364ตบวว 218ไตหม 235หวใจหม 133หวใจวว 165หวใจไก 157

เครองใน

ไสตนหม 140หอยนางรม 231หอยแครง 195หอยแมลงภ 148กงแชบวย 192กงกลาดา 175

อาหารทะเล

กงนาง 138มนกงนาง 138มนปทะเล 361

ปมา 90ปทะเล 87

ปลาหมกกระดองหว 405ปลาหมกกระดองเนอ 322ปลาหมกกลวยหว 321ปลาหมกกลวยเนอ 251

เนอวว 65เนอไก 70เนอเปด 100

เนอหานพะโล 121เนอกบ 47ปลาดก 94ปลาชอน 44ปลากราย 77

ปลากระบอก 64

เนอสตว

ปลาท 76

25

ถาอาหารแตละอยางเปนตวแทนของอาหารประเภทนนๆ6.1 สาหรบผทตองการลดปรมาณโคเลสเตอรอลควรรบประทานอาหารประเภทใด เพราะเหตใด

6.2 อาหารประเภทเครองในและอาหารทะเลมปรมาณโคเลสเตอรอลใกลเคยงกนหรอไมอาหารประเภทอาหารทะเลมปรมาณโคเลสเตอรอลตอ 100 กรมแตกตางกนมากกวาอาหารประเภทเครองในใชหรอไม

7. ถายอดขายของบรษทแหงหนงในชวงหาปทผานมาเพมขนรอยละ 9.4, 13.8, 11.7, 11.9,และ 14.7 ใหคานวณคาเฉลยเรขาคณตของยอดขายทเพมขนในชวงเวลาดงกลาว

8. เพราะเหตใดการคานวณคากลางเชน คาเฉลยเลขคณต ของขอมลทอยในตารางแจกแจงความถคาทคานวณไดจงเปนเพยงคาโดยประมาณเทานน

เฉลยแบบทดสอบประจาบท1. 1.1 นายกรฐมนตรของไทยทานทมอายนอยทสดเมอรบตาแหนงนายกรฐมนตรครงแรก คอ หมอมราชวงศ เสนย ปราโมช (อาย 40 ป) 1.2 นายกรฐมนตรของไทยทานทมอายมากทสดเมอรบตาแหนงนายกรฐมนตรครงแรก คอ พลเอก ชาตชาย ชณหะวณ (อาย 68 ป) 1.3 โดยเฉลยแลวนายกรฐมนตรของไทยรบตาแหนงนายกรฐมนตรครงแรกเมออาย 53 ป 1.4 เมอเทยบกบนายกรฐมนตรของไทยในอดต นายกรฐมนตรคนปจจบนพนตารวจโท ทกษณ ชนวตร มอายเมอรบตาแหนงนายกรฐมนตรครงแรก 52 ป เทากบ มธยฐานของ อายของทงกลม ดงนนจงไมนอยเกนไปและไมมากเกนไป 1.5 ใหกลมท 1 คอนายกรฐมนตรลาดบท 1 ถง 11 จานวน 11 คน และกลมท 2 คอ

นายกรฐมนตรลาดบท 12 ถง 23 จานวน 12 คน

กลมท 1 มอายเฉลย 45.27 ป มธยฐานของอาย 46.00 ป

อายนอยสด 40 ป และอายมากสด 52 ป กลมท 2 มอายเฉลย 60.08 ป

มธยฐานของอาย 60.00 ป อายนอยสด 50 ป และอายมากสด 68 ป

หรอพจารณาจากแผนภาพกลองในรปท 1 จะเหนวาตงแตนายกรฐมนตรคนท 12 เปนตนไปอายเมอรบตาแหนงนายกรฐมนตรครงแรกมากกวาอายของนายกรฐมนตรสมยกอนๆ เมอรบตาแหนงครงแรก

26

รปท 1 แผนภาพกลองแสดงอายของนายกรฐมนตรเมอรบตาแหนงครงแรก แผนภาพซายคอแผนภาพของกลมท 1 สวนแผนภาพขวาคอแผนภาพของกลมท 2

2. 2.1 ใชคาเฉลยหรอมธยฐานกไดเพอเปนคากลางของขอมลดงกลาว เนองจากตวแปรทงสองเปนขอมลเชงปรมาณ และการแจกแจงของตวแปรทงสองสามารถประมาณไดวามลกษณะสมมาตร (พจารณาจากฮสโทแกรมในรปท 2 และรปท 3)

- ตวแปรจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงในเมองมคาเฉลยเลขคณต 20.24ไมลตอแกลลอนและมมธยฐาน 20.00 ไมลตอแกลลอน

- ตวแปรจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงบนทางหลวงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 28.34 ไมลตอแกลลอนและมมธยฐาน 28.00 ไมลตอแกลลอน

CITY

30.027.525.022.520.017.515.012.510.0

Histogram

Freq

uenc

y

30

20

10

0

Std. Dev = 3.03

Mean = 20.2

N = 50.00

รปท 2 ฮสโทแกรมของจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงในเมอง

1211N =

GR

2.001.00

อายเม

อไดรบต

าแหนง

80

70

60

50

40

30

27

HWY

37.535.032.530.027.525.022.520.017.5

Histogram

Freq

uenc

y

20

10

0

Std. Dev = 3.75

Mean = 28.3

N = 50.00

รปท 3 ฮสโทแกรมของจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงบนทางหลวง

2.2 วดการกระจายของจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตดงกลาวเมอวงในเมองและเมอวงบนทางหลวงดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน เพราะตวแปรทงสองเปนขอมลเชงปรมาณ โดยสวนเบยงเบนมาตรฐานใชขอมลทก ๆคามาคานวณ และตวแปรทงสองมการแจกแจงทประมาณไดวามลกษณะสมมาตร

- ตวแปรจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงในเมองมสวนเบยงเบนมาตรฐาน3.03 ไมลตอแกลลอน

- ตวแปรจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงบนทางหลวงมสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3.75 ไมลตอแกลลอน 2.3 ลกษณะของตวแปรทงสองคอ

- รถยนตดงกลาวเมอวงในเมองวงไดระยะทางนอยสด 11 ไมลตอแกลลอน และวงไดระยะทางมากสด 29 ไมลตอแกลลอน เฉลยแลววงไดระยะทาง 20.24 ไมลตอแกลลอนโดยมสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3.03 ไมลตอแกลลอน อนงถาพจารณาจากแผนภาพกลองในรปท 4 จะเหนวามขอมลทมคาตากวาปกตสองคาไดแก รถยนตลาดบท 18 (11 ไมลตอแกลลอน) และลาดบท 42 (12 ไมลตอแกลลอน) และคาสงผดปกตหนงคา ไดแกรถยนตลาดบท 21 (29 ไมลตอแกลลอน)

- รถยนตดงกลาวเมอวงบนทางหลวงวงไดเรวกวาวงในเมอง โดยวงไดระยะทางอยางนอยสด17 ไมลตอแกลลอน และวงไดระยะทางมากสด 37 ไมลตอแกลลอน เฉลยแลววงไดระยะทาง 28.34ไมลตอแกลลอนโดยมสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3.75 ไมลตอแกลลอน

อนงถาพจารณาจากแผนภาพกลองในรปท 5 จะเหนวามขอมลทมคาตากวาปกตสองคาไดแก รถยนตลาดบท 18 (17 ไมลตอแกลลอน) และลาดบท 42 (19 ไมลตอแกลลอน) และคาสงผดปกตหนงคา ไดแกรถยนตลาดบท 21 (37 ไมลตอแกลลอน)

28

ลาดบทของรถยนตทเปนคาผดปกตเมอวงบนทางหลวงนสอดคลองกบลาดบทของรถยนตทเปนคาผดปกตเมอวงในเมอง

หมายเหต ลาดบท 18 คอรถยนต Ferrari 612 Scaqlietti 12 cyl, 5.7 L, Manual (6 speed), Premium ลาดบท 42 คอรถยนต Rolls-Royce Phantom 12 cyl, 6.7 L, Auto(S6), Premium ลาดบท 21 คอรถยนต Honda Accord Hybrid 6 cyl, 3 L, Automatic (5 speed), Regular

50N =

CITY

40

30

20

10

0

4218

21

รปท 4 แผนภาพกลองของจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงในเมอง

50N =

HWY

40

30

20

10

42

18

21

รปท 5 แผนภาพกลองของจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงบนทางหลวง

29

2.4 รถยนตดงกลาวเมอวงในเมองมจานวนไมลตอแกลลอนแตกตางหรอกระจายมากกวาเมอวงบนทางหลวงเนองจาก สมประสทธของความแปรผนของขอมลเมอวงในเมองคอ (3.03/20.24) ×100 %หรอ 14.97 % แตเมอวงบนทางหลวงมคาสมประสทธของความแปรผนของขอมลเทคอ (3.75/28.34) × 100 %หรอ 13.23 % แมวาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลเมอรถยนตวงในเมองจะมคานอยกวาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลเมอรถยนตวงบนทางหลวงกตาม (ซงพจารณาจากสวนเบยงเบนมาตรฐานอยางเดยวไมได)

2.5 เนองจากควอรไทลท 1 ของ จานวนไมลตอแกลลอนเมอรถยนตวงในเมองคอ 18.75 ไมลตอแกลลอน และควอรไทลท 1 ของจานวนไมลตอแกลลอนเมอรถยนตวงบนทางหลวงคอ 26.00ไมลตอแกลลอน ดงนนจะมรถยนต 9 ประเภทขางลางนทมคาของตวแปรทงสองนอยกวาควอรไทลท 1 ของตวแปรนนๆ

- Audi A8 8 cyl, 4.2 L, Auto(S6), Premium - BMW 545I 8 cyl, 4.4 L, Manual (6 speed), Premium - Cadillac STS 2WD 6 cyl, 3.6 L, Auto(S5), Regular - Cadillac STS 2WD 6 cyl, 3.6 L, Auto(S5), Regular - Cadillac STS 2WD 6 cyl, 3.6 L, Auto(S5), Regular - Ferrari 612 Scaqlietti 12 cyl, 5.7 L, Manual (6 speed), Premium - Jaquar S-Type R 8 cyl, 4.2 L, Automatic (6 speed), Premium - Lexus GS 300/GS 430 6 cyl, 3 L, Auto(S5), Premium - Mercedes Benz E500 8 cyl, 5 L, Auto(L7), Premium - Rolls-Royce Phantom 12 cyl, 6.7 L, Auto(S6), Premium

3. รถยนตขนาดกลางรนทผลตในป พ.ศ. 2548 ทนามาใชเปนตวอยาง มลกษณะทสาคญคอ- จานวนกระบอกสบ (cyl.)

ตารางแจกแจงความถของจานวนกระบอกสบของรถยนตดงกลาว คอ

จานวนกระบอกสบ จานวนรถยนต (คน)4568

12

152

2652

รวม 50

30

รถยนตทนามาใชเปนตวอยางสวนใหญมจานวนกระบอกสบ 6 กระบอก (26 คนจาก 50 คน)รองลงมาคอ 4 กระบอก (15 คน จาก 50 คน) จานวนกระบอกสบทนอยทสดคอ 4 กระบอกและจานวนกระบอกสบทมากทสดคอ 12 กระบอก (มเพยง 2 คนจาก 50 คน)

หมายเหต มธยฐานของขอมลคอ 6 กระบอก เทากบฐานนยม สวนคาเฉลยเลขคณตเทากบ 5.80 กระบอก- ขนาดเครองยนต (L)รถยนตทนามาใชเปนตวอยางมขนาดเครองยนตตงแต 1.8 L ถง 6.7 L มคาเฉลย 3.102 L

และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.949 L

หมายเหต มธยฐานของขอมลคอ 3.00 L - ประเภทของเกยร (เกยรอตโนมตหรอเกยรธรรมดา)

รถยนตทนามาใชเปนตวอยางสวนใหญเปนรถทใชเกยรอตโนมต (40 จาก 50 คนหรอคดเปน80% ของทงหมด) รถยนตทใชเกยรธรรมดามเพยง 10 คนหรอ 20 % เทานน

- รถชนดธรรมดา (Regular) หรอชนดพเศษ (Premium) รถยนตทนามาใชเปนตวอยางสวนใหญเปนรถชนดธรรมดา (30 จาก 50 คนหรอคดเปน

60% ของทงหมด) และชนดพเศษมจานวน 20 คนหรอคดเปน 40% ของทงหมด

4. ในทนจะแสดงการอธบายขอมลเฉพาะการจาแนกรถยนตตามประเภทของเกยร (แบบอตโนมตและแบบธรรมดา) สวนการจาแนกประเภทรถยนตชนดธรรมดา (Regular) หรอชนดพเศษ (Premium)สามารถทาไดในลกษณะเดยวกน

รถยนตประเภทเกยรอตโนมต 2.1 ใชคาเฉลยเลขคณตหรอมธยฐานกไดเพอเปนคากลางของขอมลดงกลาว เนองจากตวแปรทงสองเปนขอมลเชงปรมาณ และการแจกแจงของตวแปรทงสองสามารถประมาณไดวามลกษณะสมมาตร(พจารณาจากฮสโทแกรมในรปท 6 และรปท 7) - ตวแปรจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงในเมองมคาเฉลยเลขคณต20.48 ไมลตอแกลลอนและมมธยฐาน 20.00 ไมลตอแกลลอน - ตวแปรจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงบนทางหลวงมคาเฉลยเลขคณต28.50 ไมลตอแกลลอนและมมธยฐาน 28.00 ไมลตอแกลลอน

31

CITY

30.027.525.022.520.017.515.012.5

Histogram

For GEER= a

Freq

uenc

y

20

10

0

Std. Dev = 2.95

Mean = 20.5

N = 40.00

รปท 6 ฮสโทแกรมของจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงในเมอง(ประเภทเกยรอตโนมต)

HWY

37.535.032.530.027.525.022.520.0

Histogram

For GEER= a

Freq

uenc

y

12

10

8

6

4

2

0

Std. Dev = 3.67

Mean = 28.5

N = 40.00

รปท 7 ฮสโทแกรมของจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงบนทางหลวง(ประเภทเกยรอตโนมต)

2.2 วดการกระจายของจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตดงกลาวเมอวงในเมองและเมอวงบนทางหลวงดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน เพราะตวแปรทงสองเปนขอมลเชงปรมาณ โดยสวนเบยงเบนมาตรฐานใชขอมลทกๆคา มาคานวณ และตวแปรทงสองมการแจกแจงทประมาณไดวามลกษณะสมมาตร

- ตวแปรจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงในเมองมสวนเบยงเบนมาตรฐาน2.95 ไมลตอแกลลอน

- ตวแปรจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงบนทางหลวงมสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3.67 ไมลตอแกลลอน

32

2.3 ลกษณะของตวแปรทงสองคอ - รถยนตดงกลาวเมอวงในเมองวงไดระยะทางนอยสด 12 ไมลตอแกลลอน และวงไดระยะทางมากสด 29 ไมลตอแกลลอน เฉลยแลววงไดระยะทาง 20.48 ไมลตอแกลลอนโดยมสวนเบยงเบนมาตรฐาน 2.95 ไมลตอแกลลอน ขอมลชดนมคาตากวาปกตหนงคา ไดแก รถยนตลาดบท 42 (12 ไมลตอแกลลอน)และคาสงผดปกตหนงคา ไดแกรถยนตลาดบท 21 (29 ไมลตอแกลลอน) - รถยนตดงกลาวเมอวงบนทางหลวงวงไดเรวกวาวงในเมอง โดยวงไดระยะทางอยางนอยสด19 ไมลตอแกลลอน และวงไดระยะทางมากสด 37 ไมลตอแกลลอน เฉลยแลววงไดระยะทาง 28.50ไมลตอแกลลอนโดยมสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3.67 ไมลตอแกลลอน ขอมลชดนมคาตากวาปกตหนงคา ไดแก รถยนตลาดบท 42 (19 ไมลตอแกลลอน)และคาสงผดปกตหนงคา ไดแกรถยนตลาดบท 21 (37 ไมลตอแกลลอน) ลาดบทของรถยนตทเปนคาผดปกตเมอวงบนทางหลวงนสอดคลองกบลาดบทของรถยนตทเปนคาผดปกตเมอวงในเมอง สาหรบแผนภาพกลองใหพจารณาในรปท 10 และ 11 2.4 รถยนตดงกลาวเมอวงในเมองมจานวนไมลตอแกลลอนแตกตางหรอกระจายมากกวาเมอวงบนทางหลวงเนองจากสมประสทธของความแปรผนของขอมลเมอวงในเมอง (2.95/20.48) ×100 %หรอ 14.40 % แตเมอวงบนทางหลวงมคาสมประสทธของความแปรผนของขอมล (3.67/28.50) × 100 %หรอ 12.88 %

รถยนตประเภทเกยรธรรมดา 2.1 ใชคามธยฐานเพอเปนคากลางของขอมลดงกลาว เนองจากตวแปรทงสองเปนขอมลเชงปรมาณและการแจกแจงของตวแปรทงสองมลกษณะเบซาย (พจารณาจากฮสโทแกรมในรปท 8 และรปท 9)

อยางไรกตามคาเฉลยเลขคณตในกรณนกไมตางจากมธยฐานมากนก - ตวแปรจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงในเมองมคามธยฐาน 20.00ไมลตอแกลลอน (คาเฉลยเลขคณต 19.30 ไมลตอแกลลอน) - ตวแปรจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงบนทางหลวงมคามธยฐาน29.00 ไมลตอแกลลอน (คาเฉลยเลขคณต 27.70 ไมลตอแกลลอน)

33

CITY

22.520.017.515.012.510.0

Histogram

For GEER= m

Freq

uenc

y

7

6

5

4

3

2

1

0

Std. Dev = 3.33

Mean = 19.3

N = 10.00

รปท 8 ฮสโทแกรมของจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงในเมอง(ประเภทเกยรธรรมดา)

HWY

30.027.525.022.520.017.5

Histogram

For GEER= m

Freq

uenc

y

7

6

5

4

3

2

1

0

Std. Dev = 4.19

Mean = 27.7

N = 10.00

รปท 9 ฮสโทแกรมของจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงบนทางหลวง(ประเภทเกยรธรรมดา)

2.2 อาจวดการกระจายในกรณทการแจกแจงของขอมลมลกษณะเบดวยสวนเบยงเบนมาตรฐานกไดเพราะตวแปรทงสองเปนขอมลเชงปรมาณ และสวนเบยงเบนมาตรฐานใชขอมลทกๆคา มาคานวณอยางไรกตามในการสรปขอมลไมควรใชแคคาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานเทานน ควรใชแผนภาพชวยอธบายขอมลดวย เชน ฮสโทแกรมหรอแผนภาพกลอง (กลาวถงในขอ 2.3 ถดไป) เปนตน

34

- ตวแปรจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงในเมองมสวนเบยงเบนมาตรฐาน3.33 ไมลตอแกลลอน - ตวแปรจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงบนทางหลวงมสวนเบยงเบนมาตรฐาน4.19 ไมลตอแกลลอน 2.3 ลกษณะของตวแปรทงสองคอ - รถยนตดงกลาวเมอวงในเมองวงไดระยะทางนอยสด 11 ไมลตอแกลลอน ควอรไทลทหนงคอ 18.50 ควอรไทลทสองหรอมธยฐานคอ 20.00 ควอรไทลทสามคอ 21.25 ไมลตอแกลลอน และวงไดระยะทางมากสด 23 ไมลตอแกลลอน พจารณาแผนภาพกลองในรปท 10 ขอมลชดนมคาตากวาปกตหนงคา ไดแก รถยนตลาดบท 18 (11 ไมลตอแกลลอน) - รถยนตดงกลาวเมอวงบนทางหลวงวงไดเรวกวาวงในเมอง โดยวงไดระยะทางอยางนอยสด17 ไมลตอแกลลอน ควอรไทลทหนงคอ 26.50 ควอรไทลทสองหรอมธยฐานคอ 29.00 ควอรไทลทสามคอ 30.25 ไมลตอแกลลอน และวงไดระยะทางมากสด 31 ไมลตอแกลลอน พจารณาแผนภาพกลองในรปท 11 ขอมลชดนมคาตากวาปกตหนงคา ไดแก รถยนตลาดบท 18 (17 ไมลตอแกลลอน)

ลาดบทของรถยนตทเปนคาผดปกตเมอวงบนทางหลวงนสอดคลองกบลาดบทของรถยนตทเปนคาผดปกตเมอวงในเมอง

1040N =

GEER

ma

CITY

40

30

20

10

0

1842

21

รปท 10 แผนภาพกลองของจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงในเมองแผนภาพซายมอ คอรถยนตทใชเกยรอตโนมตและแผนภาพขวามอคอรถยนตทใชเกยรธรรมดา

35

2.4 รถยนตดงกลาวเมอวงในเมองมจานวนไมลตอแกลลอนแตกตางหรอกระจายมากกวาเมอวงบนทางหลวงเนองจาก สมประสทธของความแปรผนของขอมลเมอวงในเมองคอ (3.33/19.30) ×100 %หรอ 17.25 % แตเมอวงบนทางหลวงมคาสมประสทธของความแปรผนของขอมลคอ (4.19/27.70) × 100 %หรอ 15.13 %

1040N =

GEER

ma

HW

Y40

30

20

10

18

42

21

รปท 11 แผนภาพกลองของจานวนไมลตอแกลลอนของรถยนตเมอวงบนทางหลวง แผนภาพซายมอคอรถยนตทใชเกยรอตโนมตและแผนภาพขวามอคอรถยนตทใชเกยรธรรมดา

5. เมอตดขอมลทมคาสงหรอตากวาปกต แลวใหทาเชนเดยวกนกบขอ 26. 6.1 สาหรบผทตองการลดปรมาณโคเลสเตอรอลควรรบประทานอาหารประเภทเนอสตว เนองจาก อาหารประเภทเนอสตว

มปรมาณโคเลสเตอรอลโดยเฉลย 75.80 มลลกรมตอ 100 กรม มมธยฐาน 73 มลลกรมตอ 100 กรม มคานอยสดคอ 44 และคามากสดคอ 121 มลลกรมตอ 100 กรม

สวนอาหารประเภทอนๆ ใหดจาก 6.2 6.2 อาหารประเภทเครองในและอาหารทะเลมปรมาณโคเลสเตอรอลพอๆ กน เนองจาก

อาหารประเภทเครองในมปรมาณโคเลสเตอรอลโดยเฉลย 218.50 มลลกรมตอ 100 กรม

มมธยฐาน 191.50 มลลกรมตอ 100 กรม อาหารประเภทอาหารทะเล

มปรมาณโคเลสเตอรอลโดยเฉลย 218.50 มลลกรมตอ 100 กรม มมธยฐาน 193.50 มลลกรมตอ 100 กรม

อยางไรกตาม อาหารประเภทอาหารทะเลมปรมาณโคเลสเตอรอลตอ 100 กรม

36

กระจายหรอแตกตางกนมากกวาอาหารประเภทเครองใน เพราะวาอาหารประเภทอาหารทะเลมปรมาณโคเลสเตอรอลตาสด 87 และสงสด 405 มลลกรมตอ 100 กรม

มสมประสทธความแปรผน 46.19 % อาหารประเภทเครองใน มปรมาณโคเลสเตอรอลตาสด 133 และสงสด 364 มลลกรมตอ 100 กรมมสมประสทธความแปรผน 40.70 % หรอพจารณาจากแผนภาพกลองในรปท 12

10148N =

TYPE

432

chol

estr

erol

500

400

300

200

100

0

รปท 12 แผนภาพกลองของปรมาณโคเลสเตอรอลตอ 100 กรม ของอาหารประเภทเครองใน อาหารประเภทอาหารทะเล และอาหารประเภทเนอสตว (จากซายไปขวาตามลาดบ)

7. คาเฉลยเรขาคณตของยอดขายทเพมขนในชวงเวลาดงกลาว คอ 5 (9.4)(13.8)(11.7)(11.9)(14.7) 12.16≈ %

8. เนองจากเราไมทราบคาทแทจรงของขอมลทงหลายทตกอยในแตละชนและสมมตวาคาทงหลายเหลานนมคาเทากน และเทากบจดกงกลางของแตละชน คาทคานวณไดจงเปนคาโดยประมาณเทานน

37

เฉลยแบบฝกหด 1.1 (ก)

1. (1)10

i 1c

=∑ =

10

i 12

=∑

= 10(2)= 20

(2)5

3i

i 1(x 2)

=

−∑ = (1 – 2)3 + (3 – 2)3 + (4 – 2)3 + (7 – 2)3 + (0 – 2)3

= –1 + 1 + 8 + 125 – 8= 125

(3)3

i ii 1

(f x c)=

+∑ = ((10 × 1) + 2) + ((15 × 3) + 2) + ((5 × 4) + 2)

= 12 + 47 + 22= 81

(4)4

i ii 1

(x 3)(x 3)=

− +∑ =4

2i

i 1(x 9)

=

−∑= (12 – 9) + (32 – 9) + (42 – 9) + (72 – 9)= –8 + 0 + 7 + 40= 39

หรอ 4

i ii 1

(x 3)(x 3)=

− +∑ = (1 – 3)(1 + 3) + (3 – 3)(3 + 3) + (4 – 3)(4 + 3)

+ (7 – 3)(7 + 3)= –8 + 0 + 7 + 40= 39

2.5

ii 1

(5y 50)=

−∑ =5

ii 1

5 y 50(5)=

−∑= 5(10) – 250= –200

52

ii 1

(y 3)=

−∑ =5

2i i

i 1(y 6y 9)

=

− +∑

=5 5

2i i

i 1 i 1y 6 y 9(5)

= =

− +∑ ∑= 30 – 6(10) + 45= 15

38

3.4

i ii 1

(x 1)(4y 3)=

+ −∑ =4

i i i ii 1

(4x y 3x 4y 3)=

− + −∑

=4 4 4

i i i ii 1 i 1 i 1

4 x y 3 x 4 y 3(4)= = =

− + −∑ ∑ ∑= 4(4) – 3(5) + 4(–2) – 12= –19

4. (1) 2 2 21 2 102x 2x 2x+ + +L =

102i

i 12 x

=∑

(2) 1 1 2 2 k k(x X)f (x X)f (x X)f− + − + + −L =k

i ii 1

(x X)f=

−∑

(3) 2 2 21 1 2 2 k k

1 {(y Y) f (y Y) f (y Y) f }n

− + − + + −L =k

2i i

i 1

1 (y Y) fn =

−∑

5.N

i i ii 1

(x 3y 2z 1)=

− + +∑ = (x1 – 3y1 + 2z1 + 1) + (x2 – 3y2 + 2z2 + 1)

+ ... + (xN – 3yN + 2zN + 1)= (x1 + x2 + ... + xN) – 3(y1 + y2 + ... + yN)

+ 2(z1+z2 + ... + zN) + (1 + 1 + ... + 1)

=N N N

i i ii 1 i 1 i 1

x 3 y 2 z N= = =

− + +∑ ∑ ∑

ดงนน N

i i ii 1

(x 3y 2z 1)=

− + +∑ =N N N

i i ii 1 i 1 i 1

x 3 y 2 z N= = =

− + +∑ ∑ ∑

6. จากขอมลทาตารางไดดงนชวงคะแนน จดกงกลาง จานวนนกเรยน

60 – 8090 – 100

7095

4010

(1) คาเฉลยเลขคณต µ = 70(40) 95(10)40 10

++

= 2800 95050+

= 75ดงนน คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาสถตทง 50 คน เทากบ 75 คะแนน

ม 1 อย N ตว

39

(2) คาเฉลยเลขคณต µ = 75(40) 95(10)40 10

++

= 3000 95050+

= 79ดงนน คาเฉลยเลขคณตทคานวณได (79 คะแนน) จะไมเทากบคาเฉลยเลขคณตจากขอ (1) (75 คะแนน)

(3) จากคาเฉลยเลขคณตในขอ (1) เทากบ 75 คะแนนดงนน คะแนนสอบวชาสถตรวม 50 คน เทากบ 50 × 75 = 3,750 คะแนน

7. คาเฉลยเลขคณตรวม µ = 40(165) 45(168) 50(167) 45(164)40 45 50 45

+ + ++ + +

= 6600 7560 8350 7380180

+ + +

= 29890180

= 166.06ดงนน คาเฉลยเลขคณตของสวนสงของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 ทงหมดเทากบ 166.06เซนตเมตร

8. กาหนดให S = 10 + 1.4Bจะได Si = 10 + 1.4Bi เมอ i คอ 1, 2, ..., 10ดงนน S = 10 + 1.4B

B = 80 85 70 80 75 78 82 86 79 6910

+ + + + + + + + +

= 78410

= 78.4จะได S = 10 + 1.4(78.4)

= 119.76นนคอ ราคาขายเฉลยของสนคาชนดน เทากบ 119.76 บาท

9. ราคาเฉลยของไขไก µ = 50(2.30) 30(2.00) 20(1.70)50 30 20+ +

+ +

= 209100

= 2.09นนคอ เฉลยแลวธนากรซอไขไกมาฟองละ 2.09 บาท

40

10. (1) จะแสดงวาN

ii 1

x=∑ = Nµ

เพราะวา N

ii 1

x=∑ = x1 + x2 + x3 + ... + xN

= NN

(x1 + x2 + x3 + ... + xN)

=N

ii 1

xN

N=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

= Nµ

(2) จะแสดงวาN

ii 1

(x ) 0=

−µ =∑

เพราะวา N

ii 1

(x )=

−µ∑ = 1 2 3 N(x ) (x ) (x ) (x )−µ + −µ + −µ + + −µL

= (x1 + x2 + x3 + ... + xN) – ( )µ + µ + µ + + µL

=N

ii 1

x N=

− µ∑

= Nµ – Nµ= 0

(4) จะแสดงวา xmin < µ < xmax

เนองจาก xmin + xmin + ... + xmin < x1 + x2 + x3 + ... + xN

< xmax + xmax + ... + xmax

จะได Nxmin <N

ii 1

x=∑ < Nxmax

minNxN

<N

ii 1

x

N=∑

< maxNxN

xmin < µ < xmax

ม µ อย N ตว

ม xmin อย N ตว

ม xmax อย N ตว

41

(5) จะแสดงวา Y = aX b+

เนองจาก Yi = axi + bดงนน

n

ii 1

Y=∑ =

n

ii 1

(ax b)=

+∑

=n

ii 1

a x nb=

+∑

จะไดn

ii 1

y

n=∑

=n

ii 1

a xnb

n n= +∑

ดงนน Y = aX b+

เฉลยแบบฝกหด 1.1 (ข)

1. เรยงขอมลจากนอยไปมาก จะได 11 11 15 16 18 22 22 22 28 36มธยฐานอยตาแหนงท 10 1 5.5

2+

=

ดงนน มธยฐานของขอมลชดนเทากบ 18 22 202+

= บาทนกเรยนทตองจายคาใชจายรายวนเกนกวามธยฐานมอย 5 คน

2. เรยงขอมลจากนอยไปมาก จะได44.3 466.4 974.0 1,080.8 1,724.4 2,148.8 5,270.9มธยฐานอยตาแหนงท 7 1

2+ = 4

ดงนน มธยฐานของจานวนผมงานทาจาแนกตามประเภทอตสาหกรรมในป พ.ศ. 2546เทากบ 1,080.8 พนคน หรอ 1,080,800 คน

3. x1, x2, x3, ..., xN เปนขอมลทเรยงจากนอยไปหามาก หรอมากไปหานอย1) เมอ N เปนจานวนค

ขอมลทอยตรงกลางจะม 2 จานวน คอ N2

x กบ N 12

x+

ดงนน มธยฐาน คอ N N 12 2

x x

2+

+

2) เมอ N เปนจานวนคขอมลทอยตรงกลางจะม 1 จานวน คอ N 1

2

x+

ดงนน มธยฐาน คอ N 12

x+

42

เฉลยแบบฝกหด 1.1 (ค)

1. อายของเดก 15 คน เรยงลาดบจากนอยไปมากไดดงน5 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9จะได ฐานนยมของอายเดก 15 คน คอ 7 ป

2. จานวนไขไกทใชบรโภคตอเดอนเรยงลาดบจากนอยไปมากดงน32 35 38 44 44 46 47 48 48 48 48 49 51 52 54 60 60 60 60 65จะได ฐานนยมของจานวนไขไกทแตละครอบครวบรโภคตอเดอนคอ 48 และ 60 ฟองคากงกลางพสยของจานวนไขไกทแตละครอบครวบรโภคตอเดอนคอ 48.5 ฟอง

3. เงนเดอนของพนกงาน 7 คน เรยงลาดบจากนอยไปมากดงน3400 3450 3500 3500 3500 3600 21000คาเฉลยเลขคณตของเงนเดอนเทากบ 3400 3450 3(3500) 3600 21000

7+ + + + = 5992.86

จะได มธยฐานของเงนเดอนพนกงาน 7 คน คอ 3500 บาทฐานนยมของเงนเดอนพนกงาน 7 คน คอ 3500 บาท มธยฐานและฐานนยมจะเปนตวแทนของเงนเดอนของพนกงาน 7 คน ไดดกวาคาเฉลยเลขคณตเพราะ มขอมลทมคาสงผดปกตอยคอ 21000 ถาใชคาเฉลยเลขคณตซงคอ 5992.86 บาท จะไมใชตวแทนทดเนองจากพนกงาน 6 ใน 7 คน เงนเดอนนอยกวาคาน นนคอคาผดปกตทาใหมผลกระทบตอคาเฉลยเลขคณตแตไมมผลกระทบตอคามธยฐานหรอฐานนยม

4. เนองจาก ระยะทาง = เวลา × ความเรว

จะได เวลา =

ดงนน เวลาทใชในการเดนทางระยะ d1, d2 และ d3 เทากบ 1 2

2 2

d d,v v

และ 3

3

dv

ตามลาดบ

เนองจาก อตราเรวเฉลย =

จะได อตราเรวเฉลย (v) = 1 2 3

31 2

1 2 3

d d ddd d

v v v

+ +

+ +

ซงเปนคาเฉลยฮารมอนกถวงนาหนกถา d1 = 2500, d2 = 1200, d3 = 500, v1 = 500, v2 = 400 และ v3 = 250จะได v = 2500 1200 500

2500 1200 500500 400 250

+ +

+ +

ระยะทางความเรว

ระยะทางทงหมดเวลาทใชทงหมด

43

v = 420010

= 420ดงนน v เทากบ 420 ไมลตอชวโมง

5. (1) ตองเปนคามธยฐานไมใชคาเฉลยเลขคณตเพราะสมบตของคากลางทบรรยายมานนเปนของมธยฐานไมใชคาเฉลยเลขคณต

(2)(3)(4) ฐานนยมของขอมลอาจมมากกวา 1 คากได กรณทขอมลชดใดมฐานนยมมากกวา 2 คา

อาจถอไดวาขอมลชดนนไมมฐานนยมได(5) ไมจาเปนขนอยกบการกระจายของขอมลชดนน ๆ

6.รายการทเสยหาย คาเฉลยเลขคณตของความเสยหาย(ลานบาท)

ทดนบาน/อาคารสงปลกสราง

อปกรณยานพาหนะ

อนๆ

43.75128.862.1450.6738.45

7. เราไมสามารถหาคากลางโดยใชมธยฐาน ฐานนยม หรอคากงกลางพสยไดเนองจาก วตถประสงคของการนาคากลางของขอมลในตารางมาใช คอ เพอตองการทราบขอมลเกยวกบมลคาความเสยหายโดยประมาณ ซงถาใชคามธยฐาน ฐานนยม หรอคากงกลางพสยอาจทาใหไดคากลางทมคาตาหรอสงเกนไป

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. จดเดนทแตกตางระหวางการใชคาเฉลยเลขคณต และมธยฐาน มดงน1.1 คาเฉลยเลขคณตเมอคณกบจานวนขอมลทงหมด จะเทากบผลรวมของขอมลทก ๆ คาเสมอ

แตถาใชมธยฐานคณกบจานวนขอมลทงหมดผลลพธอาจจะเทากบหรอไมเทากบผลรวมของขอมลทก ๆ คากได

1.2 ผลรวมของผลตางระหวางแตละคาของขอมลกบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนน ๆจะเทากบ 0 เสมอ แตผลรวมของผลตางระหวางแตละคาของขอมลกบมธยฐานของขอมลชดนน ๆ จะเทากบ 0 หรอไมเทากบ 0 กได

44

1.3 ผลรวมของผลตางกาลงสองระหวางแตละคาของขอมลกบคาเฉลยเลขคณตจะมคานอยทสด แตผลรวมของคาสมบรณของผลตางระหวางขอมลแตละคากบมธยฐานของขอมลชดนนจะมคานอยทสด

2. ขอมลทมการแจกแจงแบบสมมาตร คาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยม จะมคาเทากน ดงรป

ขอมลทมการแจกแจงแบบเบ คาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยม จะมคาไมเทากน ซงแยกได 2 กรณ คอ กรณท 1 แจกแจงแบบเบซาย (เบทางลบ) จะไดคาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน < ฐานนยม ดงรป

กรณท 2 แจกแจงแบบเบขวา (เบทางบวก) จะไดฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต ดงรป

คาเฉลยเลขคณตมธยฐานฐานนยม

คาเฉลยฐานนยมมธยฐาน

ฐานนยมคาเฉลยมธยฐาน

45

3. สาหรบขอมลตวอยางซงไมมคาผดปกต และเปนตวแทนของประชากร ตวอยางทนามาศกษาบางครงอาจมจานวนนอย และบางครงอาจมจานวนมากเพยงพอหรอเหมาะสม การวเคราะหขอมลจงควรพจารณาเลอกการใชคากลางใหเหมาะสมดงน1. ในกรณทขอมลมจานวนนอย ไมควรใชฐานนยม ฐานนยมอาจมคาแตกตางกนมากระหวาง

ขอมลชดหนงกบขอมลอกชดหนงทมจานวนเทากน2. ในกรณทขอมลสามารถเรยงลาดบไดและเปนขอมลตอเนองดวยควรใชคาเฉลยเลขคณตจะ

เหมาะสมกวาใชมธยฐานเปนตวแทนของคากลาง3. ในกรณทขอมลมการแจกแจงความถทมความกวางของแตละอนตรภาคชนไมเทากน ควรใช

มธยฐานเปนตวแทนของคากลาง4. ในกรณทตองการหาคากลางเพอตองนาไปใชในการคานวณทางสถตขนสงตอไป ควรใช

คาเฉลยเลขคณตเปนตวแทนของคากลางของขอมลนน ๆ เพราะคาเฉลยเลขคณตเปนคากลางทไดจากการนาทก ๆ คาของขอมลมาเฉลย

5. (1) คาเฉลยเลขคณต คอ 1 2 33

+ + = 2

มธยฐาน คอ 2

(2) คาเฉลยเลขคณต คอ 1 2 63

+ + = 3



+ + = 4



+ + = 100


(5) คาเฉลยเลขคณต คอ 1 2 3 44

+ + + = 2.5

มธยฐาน คอ 2 32+ = 2.5

(6) คาเฉลยเลขคณต คอ 1 2 3 4 55

+ + + + = 3


46

(7) คาเฉลยเลขคณต คอ 1 2 3 4 5 66

+ + + + + = 3.5

มธยฐาน คอ 3 42+ = 3.5

(8) คาเฉลยเลขคณต คอ 1 2 98 9999

+ + + +L = 495099

= 50


6. จากผลลพธทไดจากขอ 5 เมอเปรยบเทยบคาเฉลยเลขคณตและมธยฐาน จะไดวา(1), (5), (6), (7) และ (8) ไดคาเฉลยเลขคณตและมธยฐานเทากน(2), (3) และ (4) ไดคาเฉลยเลขคณตและมธยฐานไมเทากน

จากการสงเกตผลลพธจาก (4) และ (8) จะเหนวา (4) ไดคาเฉลยเลขคณตและมธยฐานไมเทากนแต (8) ไดคาเฉลยเลขคณตและมธยฐานเทากน เพราะ (4) มขอมล 247 ทสงผดปกตทาใหคาเฉลยเลขคณตและมธยฐานแตกตางกนมาก สวน (8) ไมมขอมลทผดปกตและความแตกตางของขอมลแตละหนวยมคาเทากน ดงนน คาเฉลยเลขคณตจงมคาเทากบมธยฐาน

7. จากขอมลเปนปรมาณรอยละของเมทลแอลกอฮอล ซงเปนขอมลเชงปรมาณและควรใชคาเฉลยเลขคณตเปนคากลางของขอมล ซงคานวณไดผลดงตาราง

หองปฏบตการ คาเฉลยเลขคณตLAB 1LAB 2LAB 3LAB 4

85.0684.7284.7784.24

จากคากลางทไดจะเหนวา คากลางของขอมลในหองปฏบตการ LAB 2 และ LAB 3มคาใกลเคยงกน

เฉลยแบบฝกหด 1.2

1. คะแนนสอบเรยงลาดบจากนอยไปมาก ดงน43 45 48 49 50 51 53 54 54 5455 56 56 58 60 60 62 63 65 6565 66 67 69 74 75 76 76 77 7880 80 82 84 85 92 94 96 97 98

47

(1) คะแนนสอบทมนกเรยนประมาณครงหนงของชนไดคะแนนตากวาคอ คะแนนท Q2

เนองจาก Q2 อยในตาแหนงท 2(40 1)4+ = 20.5

นนคอ Q2 = 65 652+ = 65 คะแนน

ดงนน นกเรยนจะตองสอบไดคะแนน 65 คะแนน จงจะมนกเรยนประมาณครงหนงของชนไดคะแนนตากวา

(2) คะแนนสอบทมนกเรยนประมาณหนงในสของชนไดคะแนนสงกวาคอ คะแนนท Q3

เนองจาก Q3 อยในตาแหนงท 3(40 1)4+ = 30.75

ดงนน Q3 มคาอยระหวาง 78 กบ 78นนคอ Q3 = 78 คะแนนดงนน นกเรยนจะตองสอบไดคะแนน 78 คะแนน จงจะมนกเรยนประมาณหนงในสของชนไดคะแนนสงกวา

(3) คะแนนสอบทมนกเรยนสอบไดนอยกวาอย 6 ใน 10 คอ คะแนนท D6

เนองจาก D6 อยในตาแหนงท 6 (40 1)10

+ = 24.6ดงนน D6 มคาอยระหวาง 69 กบ 74ตาแหนงตางกน 1 คะแนนเพมขน 5 คะแนนตาแหนงตางกน 0.6 คะแนนเพมขน 5 × 0.6 = 3 คะแนนนนคอ D6 = 69 + 3 = 72 คะแนนดงนน นกเรยนจะตองสอบไดคะแนน 72 คะแนน จงจะมผทสอบไดนอยกวา 6 ใน 10

2. เวลา (นาท) ทใชในการทาขอสอบเรยงลาดบจากนอยไปมาก ดงน30 35 39 40 42 43 44 45 46 4849 50 51 52 53 55 57 58 58 6061 62 63 65 69 70 72 73 75 80

(1) เวลาในการทาขอสอบทมจานวนนกเรยนซงใชเวลานอยกวาอยประมาณรอยละ 55 คอเวลาท P55

เนองจาก P55 อยในตาแหนงท 55 (30 1)100

+ = 17.05

ดงนน P55 มคาอยระหวาง 57 กบ 58ตาแหนงตางกน 1 เวลาเพมขน 1 นาทตาแหนงตางกน 0.05 เวลาเพมขน 0.05 นาท

48

นนคอ P55 = 57 + 0.05 = 57.05 นาทดงนน สมชายใชเวลาในการทาขอสอบ 57.05 นาท จงจะมนกเรยนซงใชเวลาในการทาขอสอบนอยกวาประมาณรอยละ 68เวลาในการทาขอสอบทมจานวนนกเรยนซงใชเวลานอยกวาอยประมาณรอยละ 68 คอเวลาท P68 อยในตาแหนงท 68 (30 1)

100+ = 21.08

ดงนน P68 มคาอยระหวาง 61 กบ 62ตาแหนงตางกน 1 เวลาเพมขน 1 นาทตาแหนงตางกน 0.08 เวลาเพมขน 0.08 นาทนนคอ P68 = 61 + 0.08 = 61.08 นาท จงจะมนกเรยนซงใชเวลาในการทาขอสอบนอยกวาประมาณรอยละ 68

(2) เวลาในการทาขอสอบทมจานวนนกเรยนใชเวลานอยกวาอย 8 ใน 10 คอ D8

เนองจาก D8 อยในตาแหนงท 8 (30 1)10

+ = 24.8

ดงนน D8 มคาอยระหวาง 65 กบ 69ตาแหนงตางกน 1 เวลาเพมขน 4 นาทตาแหนงตางกน 0.8 เวลาเพมขน 0.8×4 = 3.2 นาทนนคอ D8 = 65 + 3.2 = 68.2 นาทดงนน ดวงจนทรใชเวลาในการทาขอสอบ 68.2 นาท

(3) นกเรยนทใชเวลาในการทาขอสอบมากกวานกเรยนทเขาแขงขนประมาณ 3 ใน 4 คอนกเรยนทใชเวลาในการทาขอสอบมากกวาเวลาทใช Q1

เนองจาก Q1 อยในตาแหนงท 40 14+ = 10.25

ดงนน Q1 มคาอยระหวาง 48 กบ 49 นาทตาแหนงตางกน 1 เวลาเพมขน 1 นาทตาแหนงตางกน 0.25 เวลาเพมขน 0.25 นาทนนคอ Q1 = 48 + 0.25 = 48.25 นาทดงนน นกเรยนทไดรบรางวลเปนกลองดนสอใชเวลาในการทาขอสอบนอยทสด 48.25 นาท

49

3. จานวนนกเรยนจาแนกตามคะแนนสอบ

ชวงคะแนน ความถ ความถสะสม55 – 6465 – 7475 – 8485 – 9495 – 104105 – 114115 – 124125 – 134135 – 144

3217818230520981215

324102284589798879900905

(1) ตาแหนงทของ Q2 เทากบ 2 (905)4

= 452.50ตาแหนงทของ Q2 อยระหวางความถสะสม 284 กบ 589ในอนตรภาคชน 85 – 94 กบ 95 – 104ความถสะสมตางกน 305 คะแนนสอบเพมขน 10 คะแนนความถสะสมตางกน 168.5 คะแนนสอบเพมขน 10 168.5 5.52

305×

= คะแนนจะได Q2 เทากบ 94.5 + 5.52 = 100.02 คะแนนตาแหนงทของ D5 เทากบ 5 (905) 452.5

10=

ซงตรงกบตาแหนงทของ Q2

จะได D5 = Q2 = 100.03ตาแหนงทของ P50 เทากบ 50 (905) 452.5

100=


จะได P50 = D5 = Q2 = 100.02 คะแนน

(2) ตาแหนงทของ Q1 เทากบ 9054

= 226.25ตาแหนงทของ Q1 อยระหวางความถสะสม 102 กบ 284ในอนตรภาคชน 75 – 84 กบ 85 – 94ความถสะสมตางกน 182 คะแนนสอบเพมขน 10 คะแนนความถสะสมตางกน 124.25 คะแนนสอบเพมขน 10 124.25

182× = 6.83 คะแนน

จะได Q1 เทากบ 84.5 + 6.83 = 91.33 คะแนน

50

ตาแหนงทของ D1 และ D3 เทากบ 90510

= 90.5 และ 3 (905)10

= 271.5 ตามลาดบตาแหนงทของ D1 อยระหวางความถสะสม 24 กบ 102ในอนตรภาคชน 65 – 74 กบ 75 – 84จะได D1 เทากบ 10 66.574.5 ( )

78×

+ = 83.03ตาแหนงทของ D3 อยระหวางความถสะสม 102 กบ 284 ในอนตรภาคชน 75 – 84กบ 85 – 94จะได D3 เทากบ 10 169.584.5 ( )

182×

+ = 93.81ดงนน D1 + D3 = 83.03 + 93.81 = 176.84 คะแนนตาแหนงทของ P25 เทากบ 25 (905)

100 = 226.25


จะได P25 เทากบ 91.33 คะแนนนนคอ Q1 เทากบ P25 แต Q1 หรอ P25 ไมเทากบ D1 + D3

4. จานวนนกเรยนจาแนกตามหองและคะแนนสอบ

ชวงคะแนน จานวนนกเรยนหอง ก.

ความถสะสมหอง ก.

จานวนนกเรยนหอง ข.

ความถสะสมหอง ข.

จานวนนกเรยนทง 2 หอง

ความถสะสมทง 2 หอง

1 – 56 – 10

11 – 1516 – 2021 – 2526 – 3031 – 3536 – 4041 – 4546 – 5051 – 5556 – 6061 – 6566 – 7071 – 75

010322546734201

011468131723303337393940

101403455643301

112669

131823293336393940

11172599

111377502

123

101217263546596673787880

51

(1) ตาแหนงทของ P25 ของคะแนนสอบหอง ก เทากบ 25 (40) 10100

=

ตาแหนงทของ P25 ของคะแนนสอบหอง ก อยระหวางความถสะสม 8 กบ 13ในอนตรภาคชน 26 – 30 กบ 31 – 35จะได P25 ของคะแนนสอบหอง ก คอ 5 230.5 ( )

5×

+ = 32.5นนคอ P25 ของคะแนนสอบหอง ก เทากบ 32.5 คะแนนตาแหนงทของ P25 ของคะแนนสอบหอง ข เทากบ 25 (40)

100 = 10

ตาแหนงทของ P25 ของคะแนนสอบหอง ข อยระหวางความถสะสม 9 กบ 13ในอนตรภาคชน 26 – 30 กบ 31 – 35จะได P25 ของคะแนนสอบหอง ข คอ 5 130.5 ( )

4×

+ = 31.75นนคอ P25 ของคะแนนสอบหอง ข เทากบ 31.75 คะแนนตาแหนงทของ P50 ของคะแนนสอบทงหมด เทากบ 50 (80)

100 = 40

ตาแหนงทของ P50 ของคะแนนสอบทงหมดอยระหวางความถสะสม 35 กบ 46ในอนตรภาคชน 36 – 40 กบ 41 – 45จะได P50 ของคะแนนสอบทงหมด คอ 5 540.5 ( )

11×

+ = 42.77นนคอ P50 ของคะแนนสอบทงหมด เทากบ 42.77 คะแนน

(2) ตาแหนงทของ Q3 ของคะแนนสอบหอง ก เทากบ 3 (40) 304

=

ตาแหนงทของ Q3 ของคะแนนสอบหอง ก อยตรงกบความถสะสม 30 พอดในอนตรภาคชน 46 – 50จะได Q3 ของคะแนนสอบหอง ก เทากบ 50.5 คะแนนตาแหนงทของ Q2 ของคะแนนสอบหอง ข เทากบ 2 (40) 20

4=

ตาแหนงทของ Q2 ของคะแนนสอบหอง ข อยระหวางความถสะสม 18 กบ 23ในอนตรภาคชน 36 – 40 กบ 41 – 45จะได Q2 ของคะแนนสอบหอง ข เทากบ 5 240.5 ( )

5×

+ = 42.5 คะแนนจะเหนวา Q3 ของคะแนนสอบหอง ก มากกวา Q2 ของคะแนนสอบหอง ขดงนน ถานกเรยนในหอง ก สอบไดคะแนนเทากบ Q3 ถาเขาไปอยหอง ข เขาจะสอบไดคะแนนสงกวานกเรยนหอง ข มากกวาครงหอง

52

5. ความถสะสมจาแนกตามคะแนน

ชวงคะแนน 46 – 55 56 – 65 66 – 75 76 – 85 86 – 95 96 – 105ความถ 3 4 8 9 4 2

ความถสะสม 3 7 15 24 28 30

(1) ตาแหนงทของ Q1 เทากบ 304

= 7.5ตาแหนงทของ Q1 อยระหวางความถสะสม 7 กบ 15 ในอนตรภาคชน 56 – 65 กบ 66 – 75จะได Q1 เทากบ 10 0.565.5 ( )

8×

+ = 66.13 คะแนน

ตาแหนงทของ Q3 เทากบ 3 (30)4

= 22.5ตาแหนงทของ Q3 อยระหวางความถสะสม 15 กบ 24 ในอนตรภาคชน 66 – 75 กบ 76 – 85จะได Q3 เทากบ 10 7.575.5 ( )

9×

+ = 83.83 คะแนน

ตาแหนงทของ D2 เทากบ 2 (30)10

= 6ตาแหนงทของ D2 อยระหวางความถสะสม 3 กบ 7ในอนตรภาคชน 46 – 55 กบ 56 – 65จะได D2 เทากบ 10 355.5 ( )

4×

+ = 63 คะแนน

ตาแหนงทของ D9 เทากบ 9 (30)10

= 27ตาแหนงทของ D9 อยระหวางความถสะสม 24 กบ 28 ในอนตรภาคชน 76 – 85 กบ 86 – 95จะได D9 เทากบ 10 385.5 ( )

4×

+ = 93 คะแนน

(2) ตาแหนงทของ Q2 เทากบ 2 (30)4

= 15ตาแหนงทของ Q2 ตรงกบความถสะสม 15 ในอนตรภาคชน 66 – 75 พอดจะได Q2 เทากบ 75.5 คะแนนจากขอ (1) 1 3

1 (Q Q )2

+ = 1 (66.13 83.83)2

+

= 74.98 คะแนนดงนน คาของ Q2 มากกวาคาของ 1 3

1 (Q Q )2

+

53

6. จานวนนกเรยนจาแนกตามคะแนนสอบวชาคณตศาสตร

คะแนน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99จานวนนกเรยน 1 4 10 22 45 30 8ความถสะสม 1 5 15 37 82 112 120

(1) กลมนกเรยนทไดคะแนนสงสดม 20% ของนกเรยนทงหมดเทากบ 20 (120)100

= 24 คนดงนน นกเรยนทไดคะแนนตาสดในกลมนจะอยในตาแหนงท 120 – 23 = 97 ซงอยระหวางความถสะสม 82 กบ 112 ในอนตรภาคชน 70 – 79 กบ 80 – 89จะได คะแนนตาสดของกลมนกเรยนทไดคะแนนสงสดเทากบ 10 1579.5 ( )

30×

+ = 84.5 คะแนน

(2) กลมนกเรยนทไดคะแนนตาสดม 15% ของนกเรยนทงหมดเทากบ 15 (120)100

= 18 คนดงนนนกเรยนทไดคะแนนสงสดในกลมนจะอยในตาแหนงท 18 ซงอยระหวางความถสะสม15 กบ 37 ในอนตรภาคชน 50 – 59 กบ 60 – 69จะไดคะแนนสงสดของกลมนกเรยนทไดคะแนนตาสดเทากบ 10 359.5 ( )

22×

+ = 60.86 คะแนน

(3) คะแนน 75 ตรงกบอนตรภาคชน 70 – 79คะแนนตางกน 79.5 – 69.5 = 10 คะแนน ความถสะสมตางกน 82 – 37 = 45คะแนนตางกน 75 – 69.5 = 5.5 คะแนน ความถสะสมตางกน 45(5.5)

10 = 24.75

จะได คะแนน 75 ตรงกบความถสะสม 37 + 24.75 = 61.75ขอมลทงหมด 120 อยทความถสะสม 61.75ขอมลทงหมด 100 อยทความถสะสม 61.75 100

120× = 51.46

ดงนน นกเรยนทสอบได 75 คะแนน จะไดคะแนนเปนเปอรเซนไทลท 51.46

54

เฉลยแบบฝกหด 1.3 (ก)

1. กาลงผลตไฟฟาจาแนกตามเขอนเรยงจากนอยไปหามากดงน1.06 1.28 6.00 9.00 17.50 25.20 36.00 38.0040.00 72.00 136.00 240.00 300.00 500.00 720.00 743.90ตาแหนงทของ Q1 เทากบ 16 1

4+ = 4.25

ดงนน Q1 มคาอยระหวาง 9.00 กบ 17.50จะได Q1 เทากบ 9.00 (8.5 0.25)+ × = 11.125 เมกกะวตตตาแหนงทของ Q3 เทากบ 3 (16 1)

4+ = 12.75

ดงนน Q3 มคาอยระหวาง 240.00 กบ 300.00จะได Q3 เทากบ 240.00 + (60 × 0.75) = 285.00 เมกะวตตดงนน สวนเบยงเบนควอรไทลเทากบ 285.00 11.125

2− = 136.94 เมกะวตต

คาเฉลยเลขคณต = 1.06 1.28 743.9016

+ + +L = 2885.9416

= 180.37 เมกะวตต

เนองจากสวนเบยงเบนเฉลย = n

ii 1

x X

n=

−∑

ดงนน สวนเบยงเบนเฉลยเทากบ = 179.31 179.09 563.5316

+ + +L

= 3204.0816

= 200.26 เมกะวตต

2. การวดการกระจายของขอมลชดนโดยใชพสย คาทวดไดจะมความถกตองพอทจะเชอถอได เพราะคาของขอมลมคาใกลเคยงกน

3. ปรมาณการผลตไมสกในประเทศไทยจาแนกตามจงหวดในป พ.ศ. 2545 เรยงจากนอยไปมากไดดงน39 44 45 50 426 678 884 6,284

(1) พสยเทากบ 6,284 – 39 = 6,245 ลกบาศกเมตรตาแหนงทของ Q1 เทากบ 8 1

4+ = 2.25

ดงนน Q1 มคาอยระหวาง 44 กบ 45จะได Q1 เทากบ 44.25ตาแหนงทของ Q3 เทากบ 3 (8 1)

4+ = 6.75

ดงนน Q3 มคาอยระหวาง 678 กบ 884จะได Q3 มคาเทากบ 678 + (206 × 0.75) = 832.50 ลกบาศกเมตร

55

ดงนน สวนเบยงเบนควอรไทลเทากบ 832.50 44.252− = 394.125 ลกบาศกเมตร

คาเฉลยเลขคณต = 39 44 45 50 426 678 884 6,2848

+ + + + + + +

= 8,4508

= 1,056.25 ลกบาศกเมตร

เนองจากสวนเบยงเบนเฉลย = n

ii 1

x X

n=

−∑

จะไดสวนเบยงเบนเฉลย= 10,17.25 10,12.25 1,011.25 1,006.25 630.25 378.25 172.25 5,227.75

8+ + + + + + +

= 10,455.508

= 1,306.94 ลกบาศกเมตร

(2) เมอเปรยบเทยบคาพสยสวนเบยงเบนควอรไทลและสวนเบยงเบนเฉลย แลวการวดการกระจายของขอมลชดนไมควรใชพสย เพราะคาสงสดของชดนสงกวาคาอน ๆ มาก

(3) การวดการกระจายของขอมลชดนควรใชสวนเบยงเบนควอรไทลจะเหมาะสมทสดเพราะคาของขอมลมคาแตกตางกนมาก

4. การแจกแจงความถของรายได

รายได จดกงกลางxi

จานวนคนงานfi

ความถสะสม fixi ix X− i if x X−

1500 – 15991600 – 16991700 – 17991800 – 18991900 – 19992000 – 20992100 - 2199

1549.51649.51749.51849.51949.52049.52149.5

2070120100602010

2090210310370390400

309901154652099401849501169704099021495

252.5152.552.547.5147.5247.5347.5

50501067563004750885049503475

400 720800 44050

56

จากตาราง จะได X = 720800400

= 1802

ตาแหนงทของ Q1 เทากบ 4004

= 100ตาแหนงทของ Q1 อยระหวางความถสะสม 90 กบ 210ในอนตรภาคชน 1600 – 1699 กบ 1700 – 1799จะได Q1 เทากบ 1699.5 + 100 10( )

120× = 1707.83

ตาแหนงทของ Q3 เทากบ 3 (400)4

= 300ตาแหนงทของ Q3 อยระหวางความถสะสม 210 กบ 310ในอนตรภาคชน 1700 – 1799 กบ 1800 – 1899จะได Q3 เทากบ 1799.5 + 100 90( )

100× = 1889.5

ดงนน สวนเบยงเบนควอรไทลเทากบ 1889.5 1707.832− = 181.67

2 = 90.835 บาท

จากตารางสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 44050400

= 110.125 บาทพสยเทากบ 2199.5 – 1499.5 = 700 บาทเปรยบเทยบคาของสวนเบยงเบนควอรไทล และสวนเบยงเบนเฉลยกบคาพสยจะพบวาพสยมคาสงกวามากสวนเบยงเบนควอไทลและสวนเบยงเบนเฉลยมาก

5. (1) สวนเบยงเบนควอรไทลของอตราเรวในการวงของสตวเลยงเทากบ 40 302− = 5

สวนเบยงเบนควอรไทลของอตราเรวในการวงของสตวปาเทากบ 43.5 27.52− = 8

(2) สตวปามการกระจายของขอมลมากกวาสตวเลยง

6. (1) ขอมล 1 2 3 4 5 6ตาแหนงทของ Q1 เทากบ 6 1

4+ = 1.75

จะได Q1 เทากบ 1.75ตาแหนงทของ Q2 เทากบ 2 (6 1)

4+ = 3.50


4+ = 5.25

จะได Q3 เทากบ 5.25สวนเบยงเบนควอรไทลเทากบ 5.25 1.75

2− = 1.75

57

(2) ขอมล 1 2 3 4 5 6 7ตาแหนงทของ Q1 เทากบ 7 1

4+ = 2

จะได Q1 เทากบ 2ตาแหนงทของ Q2 เทากบ 2 (7 1)

4+ = 4


4+ = 6

จะได Q3 เทากบ 6สวนเบยงเบนควอรไทลเทากบ 6 2

2− = 2

(3) ขอมล 1 2 3 4 5 6 7 8ตาแหนงทของ Q1 เทากบ 8 1

4+ = 2.25


4+ = 4.5


4+ = 6.75


2− = 2.25

(4) ขอมล 1 2 3 4 5 6 7 8 9ตาแหนงทของ Q1 เทากบ 9 1

4+ = 2.5


4+ = 5


4+ = 7.5


2− = 2.5

58

เฉลยแบบฝก 1.3 (ข)

1. ราคาเครองสาอางชนดหนงทนามาเปนตวอยางจากรานคา 8 แหง เรยงจากนอยไปมากดงน400 410 410 410 410 415 425 640

พสยเทากบ 640 – 400 = 240 บาทคาเฉลยเลขคณต (X) = 400 4(410) 415 425 640

8+ + + + = 3520

8 = 440 บาท

สวนเบยงเบนมาตรฐาน (s) = n

2i

i 1(x X)

n 1=

−

−

∑

= 2 2 2 2 2( 40) 4( 30) ( 25) ( 15) (200)

8 1− + − + − + − +

−

= 460507

= 81.11 บาท

สวนเบยงเบนเฉลย =n

ii 1

x X

n=

−∑

= 40 4(30) 25 15 2008

+ + + +

= 4008

= 50 บาท

ตาแหนงทของ Q1 เทากบ 8 14+ = 2.25


4+ = 6.75

จะได Q3 เทากบ 415 + (10 × 0.75) = 422.5จะไดสวนเบยงเบนควอรไทลเทากบ 422.5 410

2− = 6.25 บาท

ดงนน การวดการกระจายของขอมลชดน ควรใชสวนเบยงควอรไทลจงเหมาะสมกบขอมลทสด

59

2. ปรมาณนาฝนจาแนกตามจงหวด

จงหวด ปรมาณนาฝน (xi) xi – X (xi – X )2

ขอนแกนชยภม

นครพนมมกดาหารรอยเอดเลย

สกลนครสรนทรหนองคายอดรธาน

1,402.6927.5

2,995.91,901.71,357.21,414.81,888.61,857.92,247.51,777.0

–374.47–849.571218.83124.63–419.87–362.27111.5380.83470.43–0.07

140227.78721769.191485546.5715532.64176290.82131239.5512438.946533.49

221304.390.005

รวม 17770.7 2910883.36

จากตวอยางท 3 จะได X = 1,777.07 มลลเมตรเนองจากความแปรปรวน s2 =

2ni

i 1

(x X)n 1=

−−∑

= 2910883.3610 1−

= 323,431.49 มลลเมตรดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 568.71 มลลเมตร

3. ราคาสนคาชนดหนงทขายตามรานตาง ๆ ในสองทองท

ราคา (บาท)ทองททหนง 50 52 45 55 54 48 53ทองททสอง 40 50 51 52 51 51 62 53 49

หา X และ s2 ของทงสองทองทรวมกนX = 50 52 45 48 53 40 50 53 49

7 9+ + + + + + + + + +

+L L = 816

16 = 51 บาท

s2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1) 1 ( 6) 4 3 ( 3) 2 ( 11) ( 1) 1 11 2 ( 2)

(7 9) 1− + + − + + + − + + − + − + + + + −

+ −

= 32815

= 21.87 ดงนนความแปรปรวนของสนคาในสองทองท เทากบ 21.87 บาท

60

4. อายของครอบครวนเปน 45 42 20 17 16 14จะไดวา คาเฉลยเลขคณตเทากบ 45 42 20 17 16 14

6+ + + + + = 154

6 = 25.67 ป

ความแปรปรวน เทากบ 2 2 2 2 2 2

245 42 20 17 16 14 (25.67)6

+ + + + +− = 4930 658.9489

6−

= 162.72 ปสวนเบยงเบนมาตรฐาน = 12.76 ปในอก 5 ปขางหนา สวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของอายสมาชกในครอบครวนจะมคาเทาเดม เนองจากขอมลแตละคาเพมขนเทาเดม

5. จากขอมล n = 20 X = 10 และ s = 2ผลรวมของขอมล

20

ii 1

x=∑ เทากบ 20 × 10 = 200

เพราะวา s2 =

n2i

2i 1

x(X)

n 1= −−

∑

จะได20

2i

i 1x

=∑ = 2 2(s (X) )(n 1)+ −

= (104)(19) = 1976แตบนทกขอมลผดพลาดจาก 12 บนทกเปน 8ดงนน

20

ii 1

x=∑ ทถกตองเทากบ 200 – 8 + 12 = 20420

2i

i 1x

=∑ ทถกตองเทากบ 1976 – 64 + 144 = 2056

จะได คาเฉลยเลขคณตทถกตองเทากบ 204 10.220

=

สวนเบยงเบนมาตรฐานทถกตองเทากบ 22056 (10.2)20 1

−−

= 4.17 = 2.04

6. จากสตร s1 =

n2

ii 1

(x X)

n 1=

−

−

∑ และ s2 =

n2

ii 1

(x X)

n=

−∑

เมอใช n – 1 เปนตวหารจะใหผลลพธมากกวาใช n เปนตวหาร

และสตร s1 =

n2

ii 1

(x X)

n 1=

−

−

∑ เปนสตรทใชประมาณสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร (σ)

61

7. จากตวอยางท 7 สวนเบยงเบนมาตรฐานและคาเฉลยของอายขยของสตวเลยงลกดวยนมเปน 4.67 ปและ 11 ป ตามลาดบ ซงกคอ สตวเลยงลกดวยนมทนามาเปนตวอยางมอายตางจาก 11 ป โดยเฉลย4.67 ป แตไมไดหมายความวาตองมตวบางตวอาย 11 – 4.67 = 6.33 ป หรอมบางตวอาย 11 + 4.67= 15.67 ป เพราะสวนเบยงเบนมาตรฐานเหมอนกบการเฉลยความแตกตาง

8. สวนเบยงเบนมาตรฐานมหนวยเปนปมธยฐานมหนวยเปนปพสยมหนวยเปนปกงชวงควอรไทลมหนวยเปนป

เฉลยแบบฝกหด 1.3 (ค)

1. อายของบตรในครอบครวทหนง (ป) 6 5 3 1อายของบตรในครอบครวทสอง (ป) 25 24 22 21 17

(1) เนองจากสมประสทธของพสย = max min

max min

x xx x

−+

ดงนน สมประสทธของพสยของครอบครวทหนง = 6 16 1−+

= 0.714

สมประสทธของพสยของครอบครวทสอง = 25 1725 17

−+

= 0.190จะได อายของบตรครอบครวทหนงมการกระจายมากกวาอายของบตรครอบครวทสอง

(2) เนองจากสมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล = 3 1

3 1

Q QQ Q

−+

ตาแหนงทของ Q1 ของครอบครวทหนงเทากบ 4 14+ = 1.25

จะได Q1 ของครอบครวทหนงเทากบ 1 + (2 × 0.25) = 1.5ตาแหนงทของ Q3 ของครอบครวทหนงเทากบ 3 (4 1)

4+ = 3.75

จะได Q3 ของครอบครวทหนงเทากบ 5 + (1 × 0.75) = 5.75สมประสทธสวนเบยงเบนควอรไทลครอบครวทหนงเทากบ 5.75 1.5

5.75 1.5−+

= 0.586

ตาแหนงทของ Q1 ของครอบครวทสองเทากบ 5 14+ = 1.5

จะได Q1 ของครอบครวทสองเทากบ 17 + (4 × 0.5) = 19ตาแหนงทของ Q3 ของครอบครวทสองเทากบ 3 (5 1)

4+ = 4.5

จะได Q3 ของครอบครวทสองเทากบ 24 + (1 × 0.5) = 24.5

62

สมประสทธสวนเบยงเบนควอรไทลทสองเทากบ 24.5 1924.5 19

−+

= 0.126จะได อายของบตรครอบครวทหนงมการกระจายมากกวาอายของบตรครอบครวทสอง

(3) เนองจากสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย = M.D.X

X ของครอบครวทหนงเทากบ 6 5 3 14

+ + + = 3.75

M.D. ของครอบครวทหนงเทากบ 2.25 1.25 0.75 2.754

+ + + = 1.75

สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลยครอบครวทหนงเทากบ 1.753.75

= 0.467

X ของครอบครวทสองเทากบ 25 24 22 21 175

+ + + + = 21.8

M.D. ของครอบครวทสองเทากบ 3.2 2.2 0.2 0.8 4.85

+ + + + = 2.24

สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลยครอบครวทสองเทากบ 2.2421.8

= 0.103จะไดอายของบตรครอบครวทหนงมการกระจายมากกวาอายของบตรครอบครวทสอง

(4) เนองจากสมประสทธของการแปรผน = sX

s ของครอบครวทหนงเทากบ 2 2 2 2(2.25) (1.25) ( 0.75) ( 2.75)

4 1+ + − + −

−

= 14.753

= 2.217สมประสทธการแปรผนของครอบครวทหนงเทากบ 2.217

3.75 = 0.591

s ของครอบครวทสองเทากบ 2 2 2 2 2(3.2) (2.2) (0.2) ( 0.8) ( 4.8)

5 1+ + + − + −

−

= 38.84

= 3.114สมประสทธการแปรผนของครอบครวทสองเทากบ 3.114

21.8 = 0.143

จะได อายของบตรครอบครวทหนงมการกระจายมากกวาอายของบตรครอบครวทสองผลของการเปรยบเทยบทไดจากขอ (1) – (4) เหมอนกนสรปไดวา อายของบตรครอบครวทหนงมการกระจายมากกวาอายของบตรครอบครวทสอง

63

2. เรยงลาดบขอมล จะไดราคาขาวเปลอก (บาท) 71 72 73 74 75 76ราคาขาวสาร (บาท) 110 112 114 115 117 118X ของราคาขาวเปลอก เทากบ 71 72 73 74 75 76

6+ + + + + = 441

6 = 73.5

s ของราคาขาวเปลอกเทากบ 2 2 2 2 2 2( 2.5) ( 1.5) ( 0.5) (0.5) (1.5) (2.5)

6 1− + − + − + + +

−

= 17.55

= 1.871

สมประสทธการแปรผนของราคาขาวเปลอกเทากบ 1.87173.5

= 0.025

X ของราคาขาวสาร เทากบ 110 112 114 115 117 1186

+ + + + + = 6866

= 114.33

s ของราคาขาวสารเทากบ 2 2 2 2 2 2( 4.33) ( 2.33) ( 0.33) (0.67) (2.67) (3.67)

6 1− + − + − + + +

−

= 45.33345

= 3.011

สมประสทธการแปรผนของราคาขาวสารเทากบ 3.011114.33

= 0.026

สมประสทธของพสยของราคาขาวสาร เทากบ 76 7176 71

−+

= 0.034

สมประสทธของพสยของราคาขาวสารเทากบ 118 110118 110

−+

= 0.035จากคาทไดจะสรปไดวา ราคาของขาวเปลอกตอถงมการกระจายนอยกวาราคาขาวสารตอถง

3. เนองจากสมประสทธของการแปรผนเทากบ sX

ดงนน สมประสทธของการแปรผนของจานวนเงนทนกเรยน ป.2 ไดเทากบ 2418

= 0.272

สมประสทธของการแปรผนของจานวนเงนทนกเรยน ป.6 ไดเทากบ 4020

= 0.316

สมประสทธของการแปรผนของจานวนเงนทนกเรยน ม.3 ไดเทากบ 4022

= 0.287

สมประสทธของการแปรผนของจานวนเงนทนกเรยน ม.6 ไดเทากบ 5125

= 0.286แสดงวา การกระจายของจานวนเงนทนกเรยน ป.2 ไดมาใชนอยทสด และการกระจายของจานวนเงนทนกเรยน ป.6 ไดมาใชมากทสด

64

4. เนองจากสมประสทธของพสยเทากบ max min

max min

x xx x

−+

จะได 0.0625 = min

min

170 x170 x

−+

10.625 + 0.0625xmin = 170 – xmin

1.0625xmin = 159.375xmin = 150

ดงนน ความสงของนกเรยนคนทเตยทสดในชนเทากบ 150 เซนตเมตร

5. เนองจากสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ M.D.X

จะได 0.12 = 8.5X

X = 8.50.12

= 70.83

เนองจากสมประสทธของการแปรผนเทากบ sX

จะได สมประสทธของการแปรผนเทากบ 1070.83

= 0.141

6. (1)(2) ไมจาเปน ขนอยกบการกระจายของขอมลทนามาคานวณ(3) ไมจาเปน เพราะเปนสวนเบยงเบนควอรไทลหาจากคาควอรไทลท 3 และ 1 จะไดผล

อยางไรอยทจานวนทงสองซงไมไดมสวนเกยวของกบมธยฐาน(4) สวนเบยงเบนเฉลยตองมคามากกวาหรอเทากบศนยเสมอเพราะสวนเบยงเบนเฉลยเปน

การเฉลยผลตางโดยใชจานวนมากเปนตวตงจานวนนอยเปนตวลบจงไมมทางนอยกวาศนย(5) สวนเบยงเบนมาตรฐานตองมคามากกวาหรอเทากบศนยเสมอ(6) เชน กรณทสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 1(7)(8)(9) สวนเบยงเบนมาตรฐานใชวดการกระจายสาหรบขอมลเพยงชดเดยว ไมสามารถนามาใช

เปรยบเทยบกบการกระจายของขอมล 2 ชด ถาตองการเปรยบเทยบขอมล 2 ชด ตองใชสมประสทธการแปรผน

65

7. ถามขอมลผดปกตจะมผลกระทบตอคากลางทคานวณ โดยการหาคาเฉลยเลขคณต เพราะตองใชทกคาของขอมลมาคานวณ สวนการวดการกระจายทมการเปลยนแปลงไปมาก เนองจากคาผดปกตคอคาพสย เพราะตองใชคามากสด และคานอยสดในการคานวณในกรณทขอมลผดปกต จะไมมผลกระทบหรอมผลกระทบนอยตอคากลางทคานวณโดยการหาคามธยฐานหรอฐานนยม สวนการวดการกระจายทไมมผลกระทบหรอมผลกระทบนอย คอ คาสวนเบยงเบนควอรไทล เพราะไมไดเอาคาตาสด หรอสงสดมาใชคานวณ

8.จงหวด ความเสยหายรวม (ลานบาท)กระบพงงาระนองตรงภเกตสตล

321.31,077.4203.343.0188.6109.2

หาสวนเบยงเบนมาตรฐาน และสมประสทธของพสยX = 321.3 1,077.4 203.3 43.0 188.6 109.2

6+ + + + +

= 323.8

จาก s =

n2

ii 1

(x X)

n 1=

−

−

∑

จะได s =2 2 2(321.3 323.8) (1,077.4 323.8) (109.2 323.8)

6 1− + − + + −

−L

= 145124.1 = 380.95

สมประสทธของพสย = max min

max min

x xx x

−+

= 1,077.4 43.01,077.4 43.0

−+

= 1034.401120.40

= 0.923

66

9. จากตาราง

หองปฏบตการหนวยทดลอง LAB 1 LAB 2 LAB 3 LAB 4

123

85.0685.2584.87

84.9984.2884.88

84.4884.7285.10

84.1084.5584.05

สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย = M.D.X

M.D =

n

ii 1

x X

n=

−∑

คาเฉลยของรอยละของเมทลแอลกอฮอลในหองปฏบตการท 1 คอคาเฉลยของรอยละเมทลแอลกอฮอลของหองปฏบตการท 3 คอ

84.48 84.72 85.103

+ + = 84.77

จะได M.D. = 84.48 84.77 84.72 84.77 85.10 84.773

− + − + −

= 0.223สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยของรอยละของเมทลแอลของหองปฏบตการท 3 คอ

0.22384.77

= 0.0026

คาเฉลยของรอยละของเมทลแอลกาฮอลของหองปฏบตการท 4 คอ84.10 84.55 84.05

3+ + = 84.23

จะได M.D. = 84.10 84.23 84.55 84.23 84.05 84.233

− + − + −

= 0.21สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยของรอยละของเมทลแอลกอฮอลของหองปฏบตการท 4 คอ

6.2184.23

= 0.0025

บทท 2การแจกแจงปกต


ผลการเรยนรทคาดหวง1. นาความรเรองคามาตรฐานไปใชในการเปรยบเทยบขอมล2. หาพนทใตเสนโคงปกตและนาความรเกยวกบพนทใตเสนโคงปกตไปใชได

ขอเสนอแนะ1. ความสาคญของคะแนนมาตรฐาน

คะแนนมาตรฐานจะบอกใหทราบวาคาสงเกตนนๆ อยหางจากคาเฉลยเลขคณตเปนกเทาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน และอยในทศทางใดเมอเทยบกบคาเฉลย เนองจาก

σµ−

=XZ

คาสงเกตทมคามากกวาคาเฉลยจะมคะแนนมาตรฐานเปนบวกสวนคาสงเกตทมคานอยกวาคาเฉลยเลขคณตจะมคะแนนมาตรฐานเปนลบ คาสงเกตทมคาเทากบคาเฉลยเลขคณตพอดจะมคะแนนมาตรฐานเปนศนย

สวนใหญแลวเราจะแปลงคาสงเกตหรอหาคะแนนมาตรฐานของคาสงเกตแตละชดทมการแจกแจงแบบสมมาตรเพอใหมมาตรวดเดยวกนเนองจากคะแนนมาตรฐานเปนคะแนนทไมมหนวยจากนนจงทาการเปรยบเทยบคาสงเกตโดยพจารณาจากคะแนนมาตรฐานของคาสงเกตนนๆ เชนเปรยบเทยบสวนสงของนกเรยนสองคนทมอายตางกนโดยการแปลงสวนสงของนกเรยนแตละคนใหเปนคะแนนมาตรฐานเมอเทยบกบคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของนกเรยนในกลมอายนน ๆ คะแนนมาตรฐานของสวนสงจะบอกใหทราบวานกเรยนแตละคนมความสงอยในตาแหนงใดในการแจกแจงของกลมนกเรยนอายเดยวกนนน

การแปลงหรอหาคะแนนมาตรฐานเปนการแปลงแบบเชงเสน (linear transformation)การแปลงแบบเชงเสนนไมทาใหการแจกแจงของคาสงเกตกอนและหลงการแปลงเปลยนแปลงไป และคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลหลงการแปลงกหาไดโดยวธงาย ๆ อนงคาทไดจากการแปลงแบบเชงเสนของขอมลทมการแจกแจงแบบปกตจะยงคงมการแจกแจงแบบปกต นอกจากนคะแนนมาตรฐานของการแจกแจงแบบใดๆ กตามทคานวณจากขอมลประชากรทงหมด(กลาวคอใชสตร

σµ−

= ii

XZ เมอ i คอ 1, 2, 3, ..., N) คะแนนมาตรฐานนนจะมคาเฉลยเลขคณต

(µ ) เปน 0 และสวนเบยงเบนมาตรฐาน (σ ) เปน 1 ทาใหไดวาคะแนนมาตรฐานจากขอมลเดมทมการแจกแจงแบบปกตมคาเฉลยเลขคณตµ และสวนเบยงเบนมาตรฐาน σ ทมคาใดๆ จะมการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลยเลขคณต µ = 0 และสวนเบยงเบนมาตรฐาน σ = 1

68

การแจกแจงของคะแนนมาตรฐานของขอมลไมจาเปนตองมการแจกแจงแบบปกต ขนอยกบลกษณะของขอมลชดนนๆ เวนเสยแตวาขอมลเดมมการแจกแจงแบบปกต

2. ตารางแจกแจงความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานมหลายแบบกลาวคอ (1) แสดงเพยงครงดานขวาการแจกแจง โดยแสดงคา z ทเปนศนยเปนตนไป (z ≥ 0)และคาทแสดงคอพนทใตเสนโคงทเรมจาก z = 0 ถง คา z ทตองการ ใหสงเกตเมอ z = 0.00 คาทแสดงคอ .0000

(2) แสดงเพยงดานขวาของการแจกแจง โดยแสดงคา z ทเปนศนยเปนตนไป และคาทแสดงคอพนทใตเสนโคงทเรมจาก z = ∞− ถง คา z ทตองการ ใหสงเกตเมอ z = 0.00 คาทแสดงคอ .5000

69

(3) แสดงการแจกแจงทงหมด โดยแสดงคา z ทเปนลบดวย เชน –3.40 เปนตนไปและคาทแสดงคอพนทใตเสนโคงทเรมจาก z = ∞− ถง คา z ทตองการ

3. การแจกแจงของขอมลมหลายชนด การแจกแจงของอายการใชงาน มกมการแจกแจงแบบอนทไมใชแบบปกต เชน การแจกแจงแบบชกาลง การแจกแจงแบบสมาเสมอ

การแจกแจงแบบปกต (normal) การแจกแจงแบบสมาเสมอ (uniform)

การแจกแจงแบบชกาลง (exponential)

70

กจกรรมเสนอแนะกจกรรมท 1 คะแนนมาตรฐาน

ใหนกเรยนเกบขอมลคะแนนสอบวชาใดวชาหนงของทกคนในหองแปลงคะแนนดบเหลานนใหเปนคะแนนมาตรฐานโดยสตร

σµ−

= ii

XZ (หรอใหนกเรยนแตละคนหาคะแนน

มาตรฐานของคะแนนสอบทตนเองได โดยผสอนคานวณคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานไวให) จากนนใหรวมกนตอบคาถามตอไปน

1. มนกเรยนกคนทไดคะแนนมาตรฐานเปนบวก คดเปนรอยละเทาใดของนกเรยนทงหมดและคะแนนมาตรฐานทเปนบวกนหมายความวาอยางไร 2. มนกเรยนกคนทไดคะแนนมาตรฐานเปนลบ คดเปนรอยละเทาใดของนกเรยนทงหมดและคะแนนมาตรฐานทเปนลบนหมายความวาอยางไร 3. ผทไดคะแนนมาตรฐานระหวาง –1 ถง 1 มกคน คดเปนรอยละเทาใดของทงหมดและผทไดคะแนนในชวงนหมายความวาอยางไร 4. ตความหมายคะแนนมาตรฐานของนกเรยนแตละคน 5. หาคาเฉลยเลขคณต (µ ) และหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน (σ ) ของคะแนนมาตรฐานของนกเรยนทงหอง (ใหใชสตรทคานวณจากขอมลระดบประชากร) สงเกตคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานวามคาเฉลยเลขคณตเปนศนยและสวนเบยงเบนมาตรฐานเปนหนงหรอไม

แนวคดในการทากจกรรมน หากนกเรยนในหองมจานวนมากพอและการแจกแจงของคะแนนสอบคอนขางสมมาตรหรอใกลเคยงกบการแจกแจงแบบปกต ผทไดคะแนนมาตรฐานเปนบวกและลบจะมพอๆ กน หรอรอยละ 50 ของนกเรยนทงหมด (ถาวามการแจกแจงเปนแบบปกตจรง) ผทมคะแนนมาตรฐานอยระหวาง –1 ถง 1 ควรมประมาณ รอยละ 68 อยางไรกตามไมวาการแจกแจงของคะแนนสอบจะเปนอยางไร คาเฉลยเลขคณตของคะแนนมาตรฐานจะตองเปนศนยและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานตองเปนหนงเสมอ

หมายเหต คาสของ Zi ขางตน อาจเรยกไดหลายชอ เชน คะแนน z (z score) หรอคา z (z value)หรอคะแนนมาตรฐาน (standard score) หรอ คามาตรฐาน ซงเปนชอกลาง ๆ ใชไดทวไปไมวาคาของ xi จะเปนคะแนนหรอไมเปนคะแนน เชนอาจเปนนาหนกตว หรอ ราคาสนคา ฯลฯ

กจกรรมท 2 รปกราฟของการแจกแจงแบบปกตหากนกเรยนสามารถเขาถงอนเทอรเนตได ใหคนและศกษารปการแจกแจงแบบปกตทม

คาเฉลยเลขคณตตางๆ และสวนเบยงเบนมาตรฐานตางๆ เปรยบเทยบกบการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานทมคาเฉลยเลขคณตเปนศนยและสวนเบยงเบนมาตรฐานเปนหนง เวบไซตทแนะนา ซงมภาพเคลอนไหวแสดงรปรางของการแจกแจงแบบปกตตางๆ รวมทงความสมพนธกบฟงกชนของการแจกแจงแบบปกตเมอกาหนดคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบน

71

มาตรฐานไดแก http://davidmlane.com/hyperstat/normal_distribution.html แลวคลกท Flash Demoby Juha Puranen ภายใตหวขอ Other Sites หรอไปท http://noppa5.pc.helsinki.fi/koe/flash/flash.htmlโดยตรง ไปทหวขอ Distributions จากนนเลอก Normal distribution

กจกรรมท 3 (เพมเตมในกรณทมเวลาพเศษ)ใหนกเรยนลองหาพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐาน กรณทมตารางแจกแจงความนาจะเปนสะสม

แบบตางๆ ตามทเสนอไวในขอเสนอแนะ

การประเมนผลเนองจากในการเรยนการสอนเรอง การแจกแจงแบบปกต ใหความสาคญกบการนาความร

เรองคามาตรฐานไปใชในการเปรยบเทยบขอมล และการหาพนทใตเสนโคงปกตและนาความรเกยวกบพนทใตเสนโคงปกตไปใชได ดงนนในการประเมนผลผสอนอาจประเมนจากแบบฝกหด ขอสอบทเนนการนาความรเรองคามาตรฐานไปใชในการเปรยบเทยบขอมล ความหมายของคามาตรฐานทคานวณได ความสมพนธระหวางคะแนนดบและคะแนนมาตรฐาน และการหาพนทใตเสนโคงปกต นอกจากนนอาจประเมนผลโดยพจารณาจากกจกรรมกลมทใหคานวณคะแนนมาตรฐาน ความหมายของคาทได และการหาพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานกรณทมตารางแจกแจงความนาจะเปนสะสมแบบตางๆ หากมเวลาในการสอนเพมเตมเกยวกบตารางเหลาน

ตวอยางแบบทดสอบประจาบท1. สมมตวา คะแนนทดสอบ IQ สาหรบผทมอายระหวาง 20 ถง 34 ป มการแจกแจงท

ประมาณไดวาเปนแบบปกตทมคาเฉลยเลขคณต (µ ) 110 และ สวนเบยงเบนมาตรฐาน (σ ) 251.1 จะมรอยละเทาใดของผทอยในชวงอายนทมคะแนน IQ มากกวา 160

1.2 รอยละ 95 ของผทมอายในชวงน ซงเปนรอยละทอยชวงกลางของการแจกแจงมคะแนน IQ อยระหวางคาใด

2. ถาคะแนนสอบ SAT ของเดกหญงคนหนงในวชาคณตศาสตรได 680 คะแนน สมมตวาคะแนนสอบ SAT นมการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลยเลขคณต 500 คะแนน และ สวนเบยงเบนมาตรฐาน 100 คะแนน ถาเดกชายคนหนงทาคะแนนสอบ ACT ในวชาคณตศาสตรได 27คะแนน สมมตวาคะแนนสอบ ACT นมการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลยเลขคณต 18 คะแนน และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 6 คะแนน ถาการทดสอบทงสองแบบวดความสามารถ เชงคณตศาสตรแบบเดยวกน เดกชายหรอเดกหญง มคะแนนสอบดกวากน

3. จงใชตารางแจกแจงปกตมาตรฐาน เขยนรปและแรเงาพนทใตโคงเพอตอบคาถามตอไปน 3.1 พนทใตโคงทมคา z < 2.85

3.2 พนทใตโคงทมคา z > 2.85

72

3.3 พนทใตโคงทมคา z > -1.66 3.4 พนทใตโคงทมคา –1.66 < z < 2.854. สมมตวาความกวางของศรษะของผขบขมอเตอรไซตรบจางมการแจกแจงแบบปกตท

มคาเฉลยเลขคณต 22.8 นวและสวนเบยงเบนมาตรฐาน 1.1 นว ในการทาหมวกกนนอคตองทาคราวละมากๆ ใหทกคนใสไดยกเวนผทมความกวางของศรษะเลกเกนไป หรอใหญเกนไป กลมละ 5%ซงจะตองสงเปนพเศษ อยากทราบวาผทมขนาดศรษะเทาใดทจะตองสงหมวกกนนอคเปนพเศษ

5. เครองกดนาอดลมเครองหนงไดถกตงไวใหจายนาอดลมโดยเฉลย 7.00 ออนซ ตอถวยสมมตวาสวนเบยงเบนมาตรฐานของนาอดลมทจายคอ 0.10 ออนซ และปรมาณนาอดลมทจายมการแจกแจงแบบปกตจงหา 5.1 เปอรเซนตทเครองกดนาอดลมนจะจายนาอดลมระหวาง 7.10 ถง 7.25 ออนซ

5.2 เปอรเซนตทเครองกดนาอดลมนจะจายนาอดลมอยางนอย 7.25 ออนซ5.3 เปอรเซนตทเครองกดนาอดลมนจะจายนาอดลมระหวาง 6.80 ถง 7.25 ออนซ

6. ถานาหนกของแฮมบรรจกระปองทฉลากขางกระปองระบนาหนก 9.00 ปอนด ซงนาเขามาจากตางประเทศมการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลยเลขคณต 9.20 ปอนดและสวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.25 ปอนด จงหาวา 6.1 จะมแฮมบรรจกระปองในสดสวนเทาใดทมนาหนกนอยกวานาหนกทระบไวบนฉลาก

6.2 ถาบรษททนาเขาตองการลดสดสวนของแฮมบรรจกระปองทมนาหนกนอยกวาทระบไวบนฉลากโดยมทางเลอกสองทางไดแก

วธท 1 เพมนาหนกโดยเฉลยใหเปน 9.25 ปอนดโดยใหสวนเบยงเบนมาตรฐานมคาคงเดม วธท 2 ลดสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 0.15 ปอนดโดยใหนาหนกเฉลยมคาคงเดมทานจะแนะนาใหใชทางเลอกใด

7. ถายอดขายประจาปของนวนยายเรองหนงมการแจกแจงแบบปกตแตไมทราบคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐาน อยางไรกตามจากขอมลทเกบมาทราบวารอยละ 40 ของยอดขายทงหมดมยอดขายเกน 470,000 บาท และรอยละ 10 ของยอดขายทงหมดมยอดขายเกน 500,000 บาทแลวคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของยอดขายควรมคาเทาใด

8. ถาคะแนนสอบเชาวปญญาของผทมอาย 20 ถง 34 ป และผทมอาย 60 ถง 64 ป มการแจกแจงปกตโดยประมาณ โดยกลมทมอาย 20 ถง 34 ป มคาเฉลยเลขคณต 110 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 25 คะแนน และกลมทมอาย 60 ถง 64 ป มคาเฉลยเลขคณต 90 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 25คะแนน

นางสาวชวนชนมอาย 30 ป สอบไดคะแนน 135 คะแนน ในขณะทนางชวนชมซงเปนแมมอาย 62 ป สอบได 120 คะแนน ใครสอบไดคะแนนดกวากนเมอเปรยบเทยบกบผสอบในกลมอายนนๆ (รอยละของผทไดคะแนนตากวาชวนชนและชวนชมในกลมอายนนๆ เปนเทาใด)

73

9. พนทใตโคงปกตมาตรฐานตงแตควอรไทลทหนงไปทางดานซายมอมพนทเทาใด ควอรไทลทหนงและควอรไทลทสามของการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานมคาเทาใด

เฉลยแบบทดสอบประจาบท1. 1.1 ประมาณ 2.28 % 1.2 ระหวาง 60 ถง 1602. เดกหญงมคะแนนมาตรฐาน 1.8 สวนเดกชายมคะแนนมาตรฐาน 1.5 ดงนนเดกหญงสอบได

คะแนนดกวาเดกชาย3. 3.1 พนทใตโคงคอ 0.9978 3.2 พนทใตโคงคอ 0.0022 3.3 พนทใตโคงคอ 0.9515 3.4 พนทใตโคงคอ 0.94934. ผทมขนาดศรษะนอกชวง 22.8± 1.81 นว หรอผทมศรษะเลกกวา 21 นว หรอใหญกวา 24.6 นว

โดยประมาณจะตองสงหมวกกนนอคเปนพเศษ5. 5.1 15.25% (จากคา z เทากบ 1 ถง 2.5) 5.2 0.62% 5.3 97.10% (จากคา z เทากบ -2 ถง 2.5)6. 6.1 รอยละ 21.19 6.2 การเพมนาหนกเฉลย ทาใหไดคา z เทากบ –1.00 และใหคาสดสวนคอ 0.1587 การลดสวนเบยงเบนมาตรฐานทาใหไดคา z เทากบ –1.33 และใหคาสดสวนคอ 0.0918 ดงนนการลดสวนเบยงเบนมาตรฐานลงจะเปนทางเลอกทดกวาเพราะทาใหมสดสวนของ แฮมบรรจกระปองทมนาหนกตากวามาตรฐานนอยกวา7. จาก 25.0000,470

=−

σµ และ 28.1000,500

=−

σµ ทาใหไดคาเฉลยเทากบ 462,719 บาท

และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 29,126 บาทโดยประมาณ8. คะแนนมาตรฐานของชวนชนคอ 1 ขณะทคะแนนมาตรฐานของชวนชมคอ 1.2 ดงนนแมของ

ชวนชนมคะแนนสมพทธทสงกวา (แตชวนชนมคะแนนดบสงกวา) หรอพจารณาจากเปอรเชนไทลของชวนชนคอ 84 ขณะทเปอรเซนไทลของชวนชมคอ 88.5 โดยประมาณ

9. พนทนบตงแตควอรไทลทหนงไปทางซายมอของการแจกแจงแบบใดๆ ตองเปน 0.2500 ควอรไทล ทหนงและควอรไทลทสามของการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานคอ –0.675 และ 0.675 โดยประมาณ

74


1. คามาตรฐานของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของวชยในชน ม.3 = 157075−

= 31

คามาตรฐานของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของวชยในชน ม.4 = 208080 −

= 0คามาตรฐานของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของวชยในชน ม.3 สงกวาคามาตรฐานของคะแนนในชน ม.4 แสดงวาวชยเรยนคณตศาสตรในชน ม.3 ไดดกวา

2. คามาตรฐานของเวลาทใชวงแขง 100 เมตร 1 = 1.112 µ−

µ = 12 – 1.1µ = 10.9

ดงนน คาเฉลยเลขคณตของเวลาทใชในการวงของนกกฬาทงหมดเปน 10.9 วนาท

3. คามาตรฐานของคะแนนสอบวชาภาษาไทย = 158580 −

= 31

−

คามาตรฐานของคะแนนสอบวชาภาษาองกฤษ = 207560−

= 43

−

คามาตรฐานของคะแนนสอบวชาวทยาศาสตร = 56570 −

= 1ดงนน จตราเรยนวชาวทยาศาสตรไดดทสดและเรยนวชาภาษาองกฤษไดดกวาวชาภาษาไทย

4. คามาตรฐานของบรษททจะรบคนทางาน 2 = 225x −

x = 4 + 25x = 29

ดงนน คนงานทมอายตงแต 29 ปขนไป จงจะมโอกาสไดรบเลอกเขาเปนคนงานของโรงงานน

5. คามาตรฐานของวชาท 1 ของนาย ก = 57070 −

= 0

คามาตรฐานของวชาท 2 ของนาย ก = 107075−

= 21

คามาตรฐานของวชาท 3 ของนาย ก = 158075−

= 31

−

ดงนน คามาตรฐานเฉลยของวชาท 1, 2 และ 3 ของนาย ก = 331

210 −+

75

= 181

คามาตรฐานของวชาท 1 ของนางสาว ข = 57075−

= 1

คามาตรฐานของวชาท 2 ของนางสาว ข = 107050 −

= –2

คามาตรฐานของวชาท 3 ของนางสาว ข = 158095−

= 1

ดงนน คามาตรฐานเฉลยอขงวชาท 1, 2 และ 3 ของนางสาว ข = 3121 +−

= 0แตเกณฑของหนวยงานผสอบคดเลอกไดจะตองไดคามาตรฐานเฉลยของคะแนนทง 3 วชา

ไมตากวา 0ดงนน นาย ก และนางสาว ข จะสอบคดเลอกไดทงสองคน

6. คะแนนมาตรฐานของประพนธ 3 = 650 − µσ

3µ + σ = 650 (1)คะแนนมาตรฐานของมะลวลย 1.9 = 540 − µ

σ1.9µ + σ = 540 (2)

จาก (1) และ (2) จะได 1.1σ = 110 σ = 100

และ µ = 650 – 300 µ = 350

ดงนน คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 350 คะแนน และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเทากบ 100 คะแนน

7. (1) คามาตรฐานของผปวยโรคหวใจในรฐอลาสกา = 5428990 −

= –3.69ดงนน โรคหวใจในรฐอลาสกาจะมความรนแรงนอยกวารฐอน ๆ

76

(2) คามาตรฐานของผปวยโรคหวใจในรฐคาลฟอรเนย = 54289240−

= –0.91

คามาตรฐานของผปวยโรคมะเรงในรฐคาลฟอรเนย = 31200166−

= –1.10

ดงนน ในรฐคาลฟอรเนยโรคหวใจมความรนแรงมากกวาโรคมะเรง เมอเทยบกบทพบในรฐอน ๆในระดบประเทศ

8. เนองจาก zi = ix −µσ

(1) 2 = 520x −

x = 10 + 20x = 30

(2) –1 = 325x −

x = –3 + 25 x = 22

(3) –1.5 = 10100x −

x = –15 + 100 x = 85

(4) 2.5 = ( )x 100.2− −

0.5 = x + 10 x = 0.5 – 10 x = –9.5

77


1. (1) ให x เปนคาของขอมล โดยกาหนดให µ = 400 และ σ = 100จาก z = x −µ

σ

จะได z = 100400538−

= 1.38

จากตารางพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1.38 เทากบ 0.4162ดงนน พนทใตเสนโคงปกตเมอ z > 1.38 เทากบ 0.5 – 0.4162 = 0.0838นนคอ มขอมล 8.38% ของขอมลทงหมด มคามากกวา 538

(2) จะได z = 100400179−

= –2.21

จะไดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = –2.21 ถง z = 0 เทากบ 0.4864ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ z > –2.21 เทากบ 0.5 + 0.4865 = 0.9864นนคอ มขอมล 98.64% ของขอมลทงหมด มคามากกวา 179

0 1.38 Z

Z0-2.21

78

(3) จะได z = 100400356−

= –0.44

จะไดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = –0.44 ถง z = 0 เทากบ 0.1700ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ z < –0.44 เทากบ 0.5 – 0.1700 = 0.3300นนคอ มขอมล 33% ของขอมลทงหมด มคานอยกวา 356

(4) จะได z = 100400621−

= 2.21

จากตารางพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 2.21 เทากบ 0.4864ดงนน พนทใตเสนโคงปก เมอ z < 2.21 เทากบ 0.5 + 0.4864 = 0.9864นนคอ มขอมล 98.65% ของขอมลทงหมด มคานอยกวา 621

0-0.44Z

Z0 2.21

79

(5) จะได z1 = 100400318−

= –0.82

z2 = 100400671−

= 2.71

จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 2.71 เทากบ 0.4966จะไดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = –0.82 ถง z = 0 เทากบ 0.2939ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ –0.82 < z < 2.71 เทากบ 0.4966 + 0.2939 = 0.7905นนคอ มขอมล 79.05% ของขอมลทงหมด มคาระหวาง 318 และ 671

(6) จะได z1 = 100400484 −

= 0.84

z2 = 100400565−

= 1.65

จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.84 เทากบ 0.2995จะไดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1.65 เทากบ 0.4505ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ 0.84 < z < 1.65 เทากบ 0.4505 – 0.2995 = 0.1510นนคอ มขอมล 15.09% ของขอมลทงหมด มคาระหวาง 484 และ 565

Z0-0.82 2.71

Z0 1.650.84

80

(7) จะได z1 = 100400249−

= –1.51

z2 = 100400297−

= –1.03

จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = –1.51 ถง z = 0 เทากบ 0.4345จะไดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = –1.03 ถง z = 0 เทากบ 0.3485ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ –1.51 < z < –1.03 เทากบ 0.4345 – 0.3485 = 0.0860นนคอ มขอมล 8.6% ของขอมลทงหมด มคาระหวาง 249 และ 297

2. (1) ให x เปนนาหนกของกาแฟ (กรม) โดยกาหนด µ = 115.5 และ σ = 0.3จาก z = x −µ

σ

จะได z1 = 3.05.115115−

≈ –1.67

z2 = 3.05.1155.115 −

= 0

จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1.66 เทากบ 0.4515 และ z = 0 ถง z = 1.67 เทากบ 0.4525

จะไดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1.667 เทากบ

0.4515 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

01.0007.0001.0

= 0.4522

Z0-1.51 -1.03

Z0-1.667

81

ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ –1.667 < z < 0 เทากบ 0.4522นนคอ มขวดกาแฟ 45.22% ชองชวดกาแฟทงหมด ทกาแฟในแตละขวดมนาหนกระหวาง 115 กรม และ 115.5 กรม

(2) จะได z1 = 3.05.1159.114 −

= –2

z2 = 3.05.1155.115 −

= 0

จะไดพนทใตเสนโคงปกต เมอ –2 < z < 0 เทากบ 0.4772นนคอ มขวดกาแฟ 47.72% ของกาแฟทงหมดทกาแฟในแตละขวดมนาหนกระหวาง114.9 กรม และ 115.5 กรม

(3) จะได z1 = 3.05.1152.115 −

= –1

z2 = 3.05.1159.115 −

≈ 1.33


จะได พนทเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1.333 เทากบ

0.4082 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

01.0003.00017.0

= 0.4087

Z0-2

Z0-1 1.333

82

และพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = –1 ถง z = 0 เทากบ 0.3413ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ –1 < z < 1.333 เทากบ 0.4087 + 0.3413 = 0.75นนคอ มขวดกาแฟ 75% ของกาแฟทงหมดทกาแฟในแตละขวดมนาหนกระหวาง 115.2 กรม และ 115.9 กรม

(4) จะได z1 = 3.05.1157.114 −

≈ –2.667

z2 = 3.05.115115−

≈ –1.667


จะได พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 2.667 เทากบ 0.4961+0.00007=0.49617และพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1.667 เทากบ 0.4522ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ –2.667 < z < –1.667 เทากบ 0.49617–0.4522 = 0.0440นนคอ มขวดกาแฟ 4.4% ของกาแฟทงหมด ทกาแฟในแตละขวดมนาหนกระหวาง114.7 กรม และ 115 กรม

(5) จะได z = 3.05.1155.115 −

= 0ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ z > 0 เทากบ 0.5นนคอ มขวดกาแฟ 50% ของกาแฟทงหมดทกาแฟในแตละขวดมนาหนกมากกวา115.5 กรม

Z0-2.667 -1.667

Z0

83

(6) จะได z = 3.05.115115−

≈ –1.667จะได พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1.667 เทากบ 0.4522ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ z < –1.667 เทากบ 0.5 – 0.4522 = 0.0478นนคอ มขวดกาแฟ 4.78% ขวดกาแฟทงหมดทกาแฟในแตละขวดมนาหนกมากกวา115 กรม

3. (1) ให x เปนคะแนนสอบของนายไผท โดยกาหนด µ = 64 และ σ = 8จาก z = x − µ

σ

จะได z = 86462−

= –0.25

จะได พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = –0.25 ถง z = 0 เทากบ 0.0987ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ z < –0.25 เทากบ 0.5 – 0.0987 = 0.4013นนคอ ตาแหนงเปอรเซนไทลของคะแนนไผท คอ 40.13 ในกลมนกเรยนชาย

Z0-1.667

Z0-0.25

84

(2) ให x เปนคะแนนสอบของอาภสรา โดยกาหนด µ = 60 และ σ = 10

จาก z = 106073−

= 1.3จะได พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1.3 เทากบ 0.4032

ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ z < 1.3 เทากบ 0.5 + 0.4032 = 0.9032นนคอ ตาแหนงเปอรเซนไทลของคะแนนอาภสรา คอ 90.32 ในกลมนกเรยนหญงคะแนนของอาภสราในกลมนกเรยนชาย โดยกาหนด

จะได z = 86473−

= 1.125


จะไดพนทใตเสนโคงระหวาง z = 0 ถง z = 1.125 เทากบ 0.3686 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

01.0005.00022.0

= 0.3697ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ z < 1.125 เทากบ 0.5 + 0.3697 = 0.8697นนคอ ตาแหนงเปอรเซนไทลของคะแนนอาภสรา คอ 86.97 ในกลมนกเรยนชาย

Z0 1.3

Z0 1.125

85

4. (1) ให x เปนคะแนนทเปนเปอรเซนไทลท 25จะไดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง P25 เทากบ 0.25

จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตเปน 0.2518 คา z เทากบ 0.68พนทใตเสนโคงปกตเปน 0.2486 คา z เทากบ 0.67

ดงนน พนทใตเสนโคงปกตเปน 0.25 คา z เทากบ 0.67 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

0032.00014.001.0

≈ 0.6744

จาก z = x − µσ

–0.6744 = 1272x −

x = 72 – 8.0928 x = 63.91

นนคอ คะแนน ทเปนเปอรเซนไทลท 25 คอ 63.91

(2) ให x เปนคะแนนทเปนเปอรเซนไทลท 90จะไดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง P90 เทากบ 0.90 – 0.5 = 0.4



⎜⎝⎛ ×

0018.00003.001.0

≈ 1.2817

Z0P25

0.25

Z0 P90

86

จาก 1.2817 = 1272x −

x = 72 + 15.3804 x = 87.38

นนคอ คะแนน ทเปนเปอรเซนไทลท 90 คอ 87.38

5. ให x เปนความหนาของแผนพลาสตกจาก z = x −µ

σ

จะได z1 = 0025.00625.00595.0 −

= –1.2

z2 = 0025.00625.00659.0 −

= 1.36

จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1.36 เทากบ 0.4131และจะไดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1.2 เทากบ 0.3849ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ –1.2 < z < 1.36 เทากบ 0.4131 + 0.3849 = 0.7980นนคอ มแผนพลาสตก 79.8% ของพลาสตกทงหมดทผลตไดมความหนาอยระหวาง 0.595

เซนตเมตร และ0.0659 เซนตเมตร

6. เพราะวา 50.04% ของนาฬกาทงหมดทผลตไดมความคลาดเคลอนระหวาง x กบ 0.136วนาทจาก z = x −µ

σ

z = 4.000.0136.0 −

= 0.34

Z0-1.2 1.36

87

จากตารางพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.34 เทากบ 0.1331จากรป จะไดพนทใตเสนโคงปกตจาก z = 0 ถง x เทากบ 0.5004 – 0.1331 = 0.3673จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตเปน 0.3686 คา z เทากบ 1.12

พนทใตเสนโคงปกตเปน 0.3665 คา z เทากบ 1.11


⎜⎝⎛ ×

0021.00008.001.0

≈ 1.1138

จะได –1.1138 = 4.000.0x −

x = –0.446นนคอ x เทากบ –0.446 วนาท

7.

จากรป จะไดพนทใตเสนโคงปกตจาก x = 11.88 ถง µ = 12.00 เทากบ 0.5–0.1151 = 0.3849จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตเปน 0.3849 คา z เทากบ 1.20จาก z = x −µ

σ

–1.20 = 11.88 12.00−σ

σ = 2.112.0

−− = 0.1

ดงนน ความแปรปรวนของนาหนกสทธของกระปองบรรจถวทผลตโดยบรษทนเทากบ 0.01

Z0 0.136X

50.04%

Zµ = 12.00X = 11.88

88

8. (1) กาหนด σ = 3, x = 6 และพนทใตเสนโคงปกตเทากบ 0.09


ดงนน พนทใตเสนโคงปกตเปน 0.09 คา z เทากบ 1.34 + 0.01 0.00010.0016×⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1.3406

จะได –1.3406 = 63−µ

µ = 6 + 4.0218 µ = 10.0218

ดงนน คาเฉลยเลขคณตประมาณ 10.0218 เปนคา a ทตองการ

(2) กาหนด µ = 10, x = 12 และพนทใตเสนโคงปกตเทากบ 0.60จากรป พนทใตเสนโคงปกตระหวาง µ ถง x = 12 เทากบ 0.6 – 0.5 = 0.1



⎜⎝⎛ ×

0039.00013.001.0

≈ 0.2533

จะได 0.2533 = 12 10−σ

σ = 20.2533

σ ≈ 7.90ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐานประมาณ 7.90 เปนคา b ทตองการ

Z0X = 6

X = 12µ

0.09

0.41

89

(3) กาหนด µ = 10, σ = 2 และพนทใตเสนโคงปกตเทากบ 0.18จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตเปน 0.1808 คา z เทากบ 0.47

พนทใตเสนโคงปกตเปน 0.1772 คา z เทากบ 0.46


⎜⎝⎛ ×

0036.00028.001.0

= 0.4678

จะได –0.4678 = 210x −

x = 10 – 0.9356 x = 9.0644

ดงนน คะแนนทสนใจศกษาประมาณ 9.06 เปนคา c ทตองการ

(4) กาหนด µ = 3, σ = 1 และ x = 2

จะได z = 132 −

= –1จากตาราง พนทใตเสนโคงปกต เมอ z < –1 เทากบ 0.5 – 0.3413 = 0.1587

ดงนน พนทใตเสนโคงปกตของคะแนนทตากวา 2 เทากบ 0.1587

X µ

z = –1 µ

90

9. (1) ให x เปนคะแนนสอบ SAT โดยกาหนด µ = 505 และ σ = 111

จาก z = x −µσ

จะได z1 = 111505400−

= –0.946

z2 = 111505600−

= 0.856จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.94 เทากบ 0.3264

พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.95 เทากบ 0.3289จะได พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.946 เทากบ

0.3264 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

01.0006.00025.0

= 0.3279

จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.85 เทากบ 0.3023พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.86 เทากบ 0.3051

จะได พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.856 เทากบ

0.3023 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

01.0006.00028.0

= 0.30398

ดงนน พนทใตเสนโคงปกตของคะแนน SAT ทอยระหวาง 400 และ 600 เทากบ 0.3279 + 0.30398 = 0.63188

(2) จะได z = 111505700−

≈ 1.757

Z-0.946 0 0.856

Z1.7570

91



0.4599 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

01.0007.00009.0

= 0.46053

ดงนน พนทใตเสนโคงปกตของคะแนน SAT ทมากกวา 700 เทากบ 0.5 – 0.46053 = 0.03947

(3) จะได z = 111505450−

≈ –0.495



0.1879 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

01.0005.00036.0

= 0.1897

ดงนน พนทใตเสนโคงปกตของคะแนน SAT ทนอยกวา 450 เทากบ 0.5 – 0.1897 =0.3103

Z-0.495 0

บทท 3ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล


ผลการเรยนรทคาดหวง1. เขาใจความหมายของการสรางความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทประกอบดวยสองตวแปร 2. สรางความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทประกอบดวยสองตวแปรทอยในรปอนกรมเวลาโดย

ใชเครองคานวณ3. ใชความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลพยากรณคาตวแปรตามเมอกาหนดตวแปรอสระให

ขอเสนอแนะ1. ขอมลทนามาศกษาความสมพนธอยในรปของคลาดบ ไมสามารถสลบสมาชกตวแรก

หรอสมาชกตวหลงของขอมลแตละตว ถามการสลบทกนจะทาใหความสมพนธเปลยนไป ตวอยางเชน ขอมลรายได (X) และรายจายของครอบครว (Y) (หนวยเปนพนบาท) ในทองทแหงหนงในรปคลาดบคอ ครอบครวท 1 2 3 4 5 6 7 8

(x,y) (1,1) (3,2) (4,4) (6,4) (8,5) (9,7) (11,8) (14,6)ไมสามารถสลบคาของ Y ระหวางครอบครวท 1 กบ 2 ไดเชน

ครอบครวท 1 2 3 4 5 6 7 8 (x,y) (1,2) (3,1) (4,4) (6,4) (8,5) (9,7) (11,8) (14,6)

แมวาในการหาคาเฉลยเลขคณตของรายไดและรายจายจะคงเดมเมอมการสลบทระหวางครอบครวท 1 กบ ครอบครวท 2 และแตในการคานวณสมการความสมพนธ ตองพจารณาความสมพนธระหวางตวแปรโดยการหาคา ผลบวกของผลคณระหวางตวแปรทงสอง (∑

=

n

iii yx

1) การสลบคา

ระหวางครอบครวท 1 กบครอบครวท 2 จะทาใหคาผลบวกผลคณนเปลยนแปลงไป และมผลถงคาสมประสทธตางๆ ในสมการความสมพนธ ตลอดจนทาใหแผนภาพการกระจายเปลยนแปลงดวยเนองจากขอมลของคลาดบเปลยนแปลงคนละจดจากจดเดม

93

2. ความสมพนธจรงทคาดหมายคอ XXfY βα +== )( สวนความสมพนธจากขอมลทสงเกตมา จะไมเทากบทคาดหวงไว โดยจะมความคลาดเคลอนรวมอยดวย กลาวคอความสมพนธระหวางขอมลทสงเกตมาจรงคอ iii xy εβα ++= โดยท ni ,...,3,2,1=

สาหรบการประมาณคา α และ β ดวยวธกาลงสองนอยทสด จะไดความสมพนธโดยประมาณคอ ii bxay +=ˆ โดยท ni ,...,3,2,1= เมอ a และ b เปนคาประมาณของ α และ βตามลาดบ

อนงคาวา “กาลงสองนอยทสด” หมายถง กาลงสองของผลรวมของความคลาดเคลอนยกกาลงสองมคานอยทสด การประมาณคาของ α และ β ดวยวธหรอสตรแบบนทาใหผลรวมของความคลาดเคลอนทยกกาลงสองนมคานอยทสด และนนหมายความวา ถาตองการความสมพนธในรป YYfX δγ +== )( หรอความสมพนธจรงของขอมลคอ iii yx *εδγ ++= โดยท

ni ,...,3,2,1= จงตองใชผลรวมของความคลาดเคลอนตวใหมยกกาลงสอง คาประมาณของ γ

และ δ จงตองคานวณใหม ไมสามารถใชการแทนคาแลวยายขางในสมการของ ii bxay +=ˆ ได

3. เมอให X แทนเวลา เพอใหงายในการคานวณจงใหคา ผลรวมของ X เปนศนยสาหรบขอมลอนกรมเวลา คาทไดโดยวธการกาลงสองนอยทสดเปนเพยงคาประมาณของแนวโนมในอนกรมเวลาเทานน เนองจากขอมลอนกรมเวลาประกอบไปดวยสวนตางๆ คอ แนวโนม ความผนแปรตามฤดกาล ความผนแปรตามวฏจกรและความผนแปรแบบผดปกต ในทนเปนการศกษาในขนตนจงประมาณเฉพาะคาแนวโนมของอนกรมเวลาเทานน

กจกรรมเสนอแนะกจกรรมท 1 การใช Microsoft Excel ชวยในการหาความสมพนธเชงฟงกชน

เนองจากการวเคราะหขอมลในปจจบนใชโปรแกรมสาเรจรปทางสถตหรอโปรแกรมชวยคานวณในรปแบบอนๆ ดงนนควรใหผเรยนไดทราบถงการวเคราะหขอมลดวยเครองคอมพวเตอรโดยเฉพาะโปรแกรมทไดตดตงมากบเครองคอมพวเตอร เชน Microsoft Excel เปนตน

การหาความสมพนธเชงฟงกชนโดยใช Microsoft Excel นนทาไดไมยากนก โดยเฉพาะกบผใชทคนเคยกบการใช Excel ในการสรางแผนภาพการกระจาย วธการใหดาเนนการตามขนตอนตอไปน

หลงจากปอนขอมล ของตวแปรทงสองในแผนทางานของ Excel แลว ใหคลกท ตวชวยสรางแผนภม ทอยดานบน ในรปน

94

จากนนจะปรากฏกลองขอความของตวชวยสรางแผนภม ใหเลอก ชนดแผนภม XY (กระจาย)

95

เมอเลอก XY (กระจาย) จากนนเลอกรปแบบแผนภมทตองการ (ภาพบนสด) แลวคลก ตอไป

หลงจากคลกตอไปจะปรากฏ ชองใหเตมชวงขอมลดงน ใหคลกทลกศรแดง ดานขวาสดของชองทเขยนวา ชวงขอมล

96

จากนนใหลากทวบรเวณตวแปรทงสองทตองการหาความสมพนธ รวมทงชอตวแปร แลวคลกลกศรแดงอกครงหนง

เมอกลบมายงกลองขอความเดมจะปรากฏรปแบบของแผนภมตามทเลอก ใหคลกทตอไป

ใสชอเรองแผนภมแกนคา (X ) และแกนคา (Y) แลวคลก ตอไป จากนนคลก เสรจสน

97

หลงจากคลกท เสรจสน จะไดแผนภมดงกลาวบนแผนงาน ผใชสามารถตกแตงใหมขนาดทเหมาะสมได

ความสมพนธระหวางรายได(X)และรายจาย(Y)

02468

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16รายได

รายจาย

98

การกาหนดใหแสดงเสนแนวโนมซงเปนสมการแสดงความสมพนธเชงฟงกชนระหวางตวแปรทงสองทาไดโดย การคลกขวาทจด จากนนเลอก เพมเสนแนวโนม

เลอกชนดของแนวโนมทตองการ (เชงเสน) แลวคลกท ตกลง

99

จากนนจะปรากฏเสนแนวโนมบนแผนภาพ

คลกขวาทเสนอกท แลวเลอก รปแบบเสนแนวโนม


02468

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16รายได

รายจาย


02468

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16รายได

รายจาย

100


y = 0.6364x + 0.5455

02468

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16รายได

รายจาย

เมอปรากฏกลองขอความใหเลอก ตวเลอก แลวคลกเลอก (เครองหมายถก) แสดงนพจนบนแผนภม จากนน คลกท ตกลง

จะไดสมการความสมพนธเชงฟงกชนบนแผนภม Y = 0.6364 X + 0.5455 หรอY = 0.5455 + 0.6364X

101

กจกรรมท 2 การเกบขอมลจากแหลงปฐมภมและทตยภมเมอผเรยนสามารถทาการสรางความสมพนธเชงฟงกชนระหวางตวแปรสองตวดวย

คอมพวเตอรไดแลว ใหแบงกลมผเรยนเพอศกษาและวางแผนเกบรวบรวมขอมลในเรองทผเรยนสนใจศกษาความสมพนธ โดยใหสมมตวาขอมลทไดมาเปนตวอยางหรอตวแทนทดจากประชากร ขอมลทรวบรวมมานอาจมาจากแหลงปฐมภมโดยการสอบถาม สมภาษณ หรอจากแหลงขอมลทตยภมเชน หนงสอพมพ อนเทอรเนต เปนตน ขอมลจะตองเปนขอมลเชงปรมาณทงสองตวแปร เชนความสมพนธระหวางขนาดของรอบคอและขนาดของรอบเอวหนวยเปนเซนตเมตร (ใหสงเกตเวลาวดขนาดกางเกงทซออาจใชวธพนรอบคอด) หรอความสมพนธระหวางคะแนนสอบกลางภาคและคะแนนสอบปลายภาค ความสมพนธระหวางระดบคะแนนเฉลยสะสมของชน ม.4 กบ ระดบคะแนนเฉลยสะสมในเทอมปจจบน ความสมพนธระหวางจานวนปในการทางานและอตราเงนเดอนสาหรบครทมวฒการศกษาสงสดเทากน ความสมพนธระหวางระดบคะแนนเฉลยสะสมและจานวนชวโมงในการอานหนงสอโดยเฉลยตอวน เปนตน จากนนใหผเรยนใชโปรแกรม Microsoft Excel ในการสรางแผนภาพแสดงความสมพนธ เสนแนวโนม และสมการแสดงความสมพนธตามตวอยางในกจกรรมท 1

อนงความสมพนธทศกษา อาจเปนขอมลอนกรมเวลากได เชน ขอมลอนกรมเวลาของคาไฟฟาทผปกครองตองจายในแตละเดอน (เกบขอมล 12 เดอนยอนหลง เปนตน) ขอมลจานวนนกเรยนทมาสมครสอบชน ม. 1 ในแตละป ขอมลจานวนผมาใชบรการหองสมดในชวงเวลาหนงของแตละวนขอมลปรมาณการขายของรานคาในโรงเรยนในแตละวน หรอแตละสปดาห เปนตน

การประเมนผลเนองจากในการเรยนการสอนเรอง ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล ใหความสาคญ

กบความหมายของการสรางความสมพนธเชงฟงกชนระหวางตวแปรเชงปรมาณสองตว ซงอาจอยในรปอนกรมเวลากได นอกจากนนยงสามารถใชความสมพนธนในการพยากรณคาตวแปรตามเมอกาหนดคาของตวแปรอสระทอยในชวงพสยของคาทเปนไปไดของตวแปรอสระทใชในการคานวณความสมพนธ ดงนนในการประเมนผลผสอนอาจประเมนจากแบบฝกหด ขอสอบทเนนการเลอกคของตวแปรทคาดวาจะมความสมพนธกน หรอมความสมเหตสมผลในการใชตวแปรหนงเพอทานายคาของตวแปรอกตวหนงซงโดยปกตวดคาไดยากกวา การสรางความสมพนธไดโดยใชเครองคานวณและการคาดทานายคาของตวแปรโดยอาศยสมการความสมพนธทได ความสมพนธอาจเปนเสนตรงหรอเสนโคงในรปแบบอนตามทเสนอในหนงสอเรยน ผสอนไมควรเนนการวดผลในเรองของการใชสตรคานวณทยงยาก เชน ขอมลมจานวนมาก หรอ สมการความสมพนธแบบอนทไมใชเสนตรง เชน สมการโพลโนเมยลทมกาลงสง เปนตน

นอกจากนนอาจประเมนผลโดยพจารณาจากผลงานทผเรยนแตละกลมทากจกรรมโดยพจารณาจากวตถประสงคของการศกษาความสมพนธ การเกบรวบรวมขอมล ความถกตองนาเชอถอของขอมล การคานวณสมการความสมพนธ การนาเสนองาน การสรปผลและการสอสารใหเปนทเขาใจงายตอผฟงทวไป

102

ตวอยางแบบทดสอบประจาบท1. พจารณาในแตละกรณของการศกษาความสมพนธตอไปน กรณใดบางทมความสมเหตสมผล

ในการกาหนดใหตวแปรหนงเปนตวแปรอสระ (ใชสาหรบทานายหรอพยากรณ) และอกตวแปรหนงเปนตวแปรตาม (ตวแปรทจะถกทานายหรอถกพยากรณ)

1.1 จานวนชวโมงตอวนโดยเฉลยทนกเรยนใชอานหนงสอหรอเตรยมตวสอบกบคะแนนสอบทจะไดในการสอบ

1.2 นาหนกและสวนสงของนกเรยน 1.3 ปรมาณฝนตกเฉลยตอปและปรมาณผลผลตทางการเกษตรในปนนๆ 1.4 คะแนนสอบวชาคณตศาสตรและคะแนนสอบวชาภาษาไทยของนกเรยน 1.5 ระดบการศกษาของบดาและของบตร (พจารณาจากจานวนปทใชศกษาในการไดรบ

วฒการศกษาสงสด)2. ขอมลตอไปนแสดงจานวนตวพะยนทถกฆาเพราะเรอเรว และจานวนเรอเรวทจดทะเบยน

(หนวยเปนพนลา) ในแตละปของรฐฟลอรดาในชวง ป ค.ศ. 1977 ถง 1990

ป ค.ศ. เรอเรวทจดทะเบยน (1,000) พะยนทถกฆา1977 447 131978 460 211979 481 241980 498 161981 513 241982 512 201983 526 151984 559 341985 585 331986 614 331987 645 391988 675 431989 711 501990 719 47

103

2.1 ถาตองการศกษาความสมพนธระหวางจานวนเรอเรวและจานวนตวพะยนทถกฆาโดยเรอเรว ตวแปรอสระคอตวแปรใด

2.2 จงสรางแผนภาพการกระจายแสดงความสมพนธระหวางตวแปรทงสองและความสมพนธทไดสามารถประมาณไดวาเปนความสมพนธเชงเสนตรงหรอไม

2.3 ทศทางของความสมพนธเปนเชนไร สามารถพยากรณจานวนพะยนทถกฆาดวยจานวนเรอเรวทจดทะเบยนไดหรอไม

2.4 จงหาสมการแสดงความสมพนธระหวางจานวนเรอเรวและจานวนพะยนทถกฆาโดยเรอเรว ในกรณทตองการพยากรณจานวนพะยนทถกฆาโดยเรอเรวในแตละป

2.5 จากสมการทไดในขอ 2.4 คาความชนทไดหมายความวาอยางไร 2.6 พยากรณจานวนพะยนทถกฆาโดยเรอเรวถามจานวนเรอเรวจดทะเบยนในปหนง 716,000 ลา

ถามขอมลเพมเตม ดงน

ป ค.ศ. เรอเรวทจดทะเบยน (1,000) พะยนทถกฆา1991 716 531992 716 381993 716 351994 735 49

นนคอรฐฟลอรดาไดหามาตรการปองกนจานวนพะยนทถกฆาโดยเรอเรว ซงจะเหนวาจานวนเรอเรวทจดทะเบยนใน 3 ปตอไปไมเพมขน

2.7 มาตรการปองกนจานวนพะยนทถกฆาโดยเรอเรวของรฐฟลอรดานไดผลหรอไม 2.8 ใหเปรยบเทยบจานวนพะยนทถกฆาททานายใน 2.5 กบคาเฉลยของจานวนพะยนทถกฆาจรง

ในป ค.ศ. 1991 ถง 1993 2.9 หากเพมขอมล ในป ค.ศ. 1991 ถง 1994 เขากบขอมลเดม ใหคานวณสมการความสมพนธ

ใหมทได3. ขอมลตอไปนแสดงระยะเวลา (นาท) ทใชในการวายนาระยะทาง 2,000 หลาของ

นกวายนาคนหนงและอตราการเตนของหวใจ (ครงตอนาท) หลงวายนาเสรจจากการเกบขอมลจานวน 23 ครง

104

ครงท ระยะเวลา การเตนของหวใจ ครงท ระยะเวลา การเตนของหวใจ1 34.12 152 13 34.85 1482 35.72 124 14 34.70 1443 34.72 140 15 34.75 1404 34.05 152 16 33.93 1565 34.13 146 17 34.60 1366 35.72 128 18 34.00 1487 36.17 136 19 34.35 1488 35.57 144 20 35.62 1329 35.37 148 21 35.68 12410 35.57 144 22 35.28 13211 35.43 136 23 35.97 13912 36.05 124

3.1 จงหาสมการแสดงความสมพนธระหวางอตราการเตนของหวใจและเวลาทใชในการวายนา เพอใชในการพยากรณอตราการเตนของหวใจ

3.2 ถาในครงตอไป นกวายนาผนใชเวลา 34.30 นาท ในการวายนาระยะทางเดยวกนนอตราการเตนหวใจของเขาหลงการวายนาควรเปนเทาใด และถาอตราการเตนของหวใจจรงๆ คอ152 ครงตอนาท การพยากรณของทานใกลเคยงเพยงใด

3.3 ถาทานทราบวาอตราการเตนของหวใจหลงวายนาคอ 152 ครงตอนาท และตองการพยากรณเวลาทใชในการวายนาครงน จงหาสมการความสมพนธเพอใชในวตถประสงคครงน ทานจะพยากรณวาเวลาทใชในการวายนาครงนเปนเทาใด แมนยาเพยงใด

3.4 จงอธบาย เหตใดสมการทไดสองสมการ (ใน 3.1 และ 3.3) จงแตกตางกน4. ขอมลตอไปนแสดงจานวนประชากร (หนวยเปนลานคน) ทอาศยในฟารมประเทศ

สหรฐอเมรกา

ป 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980จานวน 32.1 30.5 24.4 23.0 19.1 15.6 12.4 9.7 8.9 7.2

4.1 จงหาสมการความสมพนธเพอทานายจานวนประชากรทอาศยในฟารมจากขอมลรายป 4.2 จากสมการทได จงหาวาในแตละปประชากรทอาศยในฟารมลดลงโดยเฉลยปละเทาใด 4.3 จงใชสมการทไดพยากรณจานวนประชากรทอาศยในฟารมในป ค.ศ. 1990 และวจารณ

ผลจาการพยากรณทได

105

เฉลยแบบทดสอบประจาบท1. 1.1 ตวแปรอสระ คอ จานวนชวโมงตอวนโดยเฉลยทนกเรยนใชอานหนงสอหรอเตรยมตวสอบ

สวนตวแปรตามคอ คะแนนทไดจากการสอบ 1.2 ไมสมเหตสมผลทจะกาหนดใหตวแปรใดตวแปรหนงเปนตวแปรอสระ และอกตวแปร

หนงเปนตวแปรตาม ทาการศกษาความสมพนธระหวางตวแปรทงสองได แตไมตองใช ตวแปรหนงเพอทานายคาของอกตวแปรหนง

1.3 ตวแปรอสระคอ ปรมาณฝนตกเฉลยตอป สวนตวแปรตามคอ ปรมาณผลผลตทางการ เกษตรในปนน ๆ 1.4 ไมสมเหตสมผลทจะกาหนดใหตวแปรใดตวแปรหนงเปนตวแปรอสระ และอกตวแปรหนง

เปนตวแปรตาม ควรศกษาความสมพนธระหวางตวแปรทงสองโดยไมตองใชตวแปรหนงเพอพยากรณคาของอกตวแปรหนง

1.5 ตวแปรอสระคอ ระดบการศกษาของบดา สวนตวแปรตามคอ ระดบการศกษาของบตร

2. 2.1 ตวแปรอสระคอ จานวนเรอเรวทจดทะเบยน 2.2 สามารถประมาณไดวาเปนความสมพนธเชงเสนตรง 2.3 มทศทางไปในทางเดยวกนหรอความสมพนธเชงบวก ความสมพนธระหวางตวแปรทงสองอย

ในระดบกลาง สามารถทานายไดดพอควร2.4 สมการทไดคอ XY 1249.043.41ˆ +−=

2.5 คาความชน 0.1249 หมายความวา ถาจานวนเรอเรวทจดทะเบยนเพม 1,000 ลา โดยเฉลย แลวพะยนจะถกฆาตายโดยเรอเรว .125 ตว หรอ ถาจานวนเรอเรวทจดทะเบยนเพม

10,000 ลา โดยเฉลยแลวพะยนจะถกฆาตายโดยเรอเรว 1.25 ตว2.6 จานวนพะยนทถกฆาประมาณ 48 ตว

2.7 มาตรการนไดผลเนองจาก จานวนพะยนทถกฆานอยกวา 48 ตว ซงเปนคาพยากรณจากสมการความสมพนธ แมวาในป ค.ศ. 1991 จะมพะยนถกฆาตาย 53 ตวกตาม แตในป

ตอๆ มา ลดลงเปน 38 และ 35 ตวตามลาดบ2.8 คาเฉลยของจานวนพะยนทถกฆาจรงคอ 42 ตว สวนคาทพยากรณคอ 48 ตว

2.9 สมการใหมทไดคอ XY 11115.0568.34ˆ +−=

106

3. 3.1 สมการทไดในกรณทให Y แทนอตราการเตนของหวใจ และ X แทน ระยะเวลา คอ XY 695.993.479ˆ −= 3.2 การเตนของหวใจประมาณ 147.39 ครงตอนาท การพยากรณตากวาจรงประมาณ 4.6 ครง 3.3 สมการทไดในกรณทให Y แทนระยะเวลา และ X แทนอตราการเตนของหวใจ คอ XY 0574.0097.43ˆ −= และพยากรณวาเวลาทใชในการวายนาครงนคอ 34.37 นาท

ซงสงกวาคาจรงเลกนอย (คาจรง คอ34.30 นาท) 3.4 สมการทไดขนกบวาตองการพยากรณคาตวแปรใดซงจะใชหลกการใหความคลาดเคลอน

(ความแตกตางระหวางคาจรงกบคาพยากรณ) ในการพยากรณคาตวแปรนนมคานอยทสด

4. 4.1 สมการความสมพนธเพอพยากรณจานวนประชากรทอาศยในฟารมจากขอมลรายปคอ (1) XY 5868.09.1166ˆ −= ถาไมไดมการแปลงคาป ค.ศ. หรอใชคาจรงของป ค.ศ. (2) XY 2934.029.18ˆ −= ถามการแปลงคาป ดงน

ป 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980คาทแปลง -45 -35 -25 -15 -5 5 15 25 35 45

4.2 ประชากรทอาศยในฟารมลดลงโดยเฉลย 0.5868 ลานคนตอ 5 ป จากสมการท (1) หรอ0.5868 ลานคน หรอ 586,800 คนตอป หรอจากสมการ (2) ประชากรทอาศยในฟารมลดลงโดยเฉลย 0.2934 ลานคนตอ 0.5 ป ซงเทากบ 0.2934/0.5 = 0.5868 ลานคน หรอ

586,800 คนตอป 4.3 จานวนประชากรทอาศยในฟารมในป ค.ศ. 1990 จากสมการ (1) คอ –0.832 ลานคน ซง

เปนไปไมไดทไดคาตดลบ ดงนนการพยากรณนอกชวงของขอมลทเกบรวบรวมมา (ค.ศ.1935 ถง 1980) ออกไปไกลๆ จงไมควรใช

107

เฉลยแบบฝก 3.41. (1) และ (2) แผนภาพการกระจายของขอมล และกราฟทใชแสดงความสมพนธระหวางปรมาณสตวนา

แตละชนดทจบไดในป พ.ศ. 2542 และ พ.ศ. 2543

(3) เนองจากความสมพนธระหวางปรมาณสตวนาแตละชนดทจบไดอยในรปเสนตรงใหปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2543 (Y) เปนตวแปรตามและปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2542 (X) เปนตวแปรอสระสมการปกตของความสมพนธ Y = a + bx คอ

n

ii 1

y=∑ =

n

ii 1

an b x=

+ ∑

และn

i ii 1

x y=∑ =

n n2

i ii 1 i 1

a x b x= =

+∑ ∑

X พ.ศ. 254220 40 8060 1000

20406080

*

*

*

*

*

*

**

*

*

พ.ศ. 2543

120 140 160 200180

100120140

200180160

108

ตารางพจนตาง ๆ ทใชในการคานวณหาคาคงตวจากสมการปกต (1) และ (2)xi yi

2ix xiyi

164.147.951.659.910.114.144.3182.8134.7206.0

152.935.258.253.411.012.842.6164.0143.1197.9

26928.812294.412662.563588.01102.01198.811962.4933415.8418144.0942436.00

25090.891686.083003.123198.66111.10180.481887.1829979.2019275.5740767.40

10

ii 1

x=∑ = 915.50

10

ii 1

y=∑ = 871.10

102i

i 1x

=∑ = 131733.03

10

i ii 1

x y=∑ = 125179.68

แทนคา n

ii 1

y=∑ ,

n

ii 1

x=∑ ,

n2i

i 1x

=∑ และ

n

i ii 1

x y=∑ ในสมการปกตดวยคาในตาราง จะได

871.10 = 10a + 915.50b ---------- (1)125179.68 = 915.50a + 131733.03b ---------- (2)(1) × 91.55, 79749.205 = 915.5a + 83814.025b ---------- (3)(2) – (3) 45430.475 = 47919.005b

b = 0.948และ a = 0.321จะได สมการเสนตรงทแสดงความสมพนธระหวางปรมาณสตวนาแตละชนดทจบไดในป พ.ศ.2542 และป พ.ศ. 2543 คอ Y

∧

= 0.948 X∧

+ 0.321 ถาปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2542เทากบ 50,000 ตน (x = 50.00) จะได

Y∧

= 0.948(50.00) + 0.321 = 47.72นนคอ ปรมาณสตวนาชนดนถาป พ.ศ. 2542 จบได 50,000 ตน ในป พ.ศ. 2543 จะจบได47,720 ตน

109

(4) ถาตองการทานายปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2542ใหปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2542 เปนตวแปรตาม (X)และปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2543 เปนตวแปรอสระ (Y)สมการของความสมพนธ X = a + bY คอ

10

ii 1

x=∑ =

10

ii 1

an b y=

+ ∑

และ10

i ii 1

x y=∑ =

n 102

i ii 1 i 1

a y b y= =

+∑ ∑

พจนตาง ๆ ทใชในการคานวณหาคาคงตวจากสมการปกต (1) และ (2)

xi yi2iy xiyi

164.147.951.659.910.114.144.3182.8134.7206.0

152.935.258.253.411.012.842.6164.0143.1197.9

23378.411239.043387.242851.56

121163.841814.7626896

20477.6139164.41

25090.891686.083003.123198.66111.10180.481887.1829979.2019275.5740767.40

10

ii 1

x=∑ = 915.50

10

ii 1

y=∑ = 871.10

102i

i 1y

=∑ = 119493.87

10

i ii 1

x y=∑ = 125179.68

แทนคา n

ii 1

x=∑ ,

n

ii 1

y=∑ ,

n

i ii 1

x y=∑ ,

n2i

i 1y

=∑ ดวยคาในตาราง จะได

915.50 = 10a + 871.10b ---------- (1)125179.68 = 871.10a + 119493.87b ---------- (2)(1) × 87.11, 79749.205 = 871.10a + 75881.52b ---------- (3)(2) – (3),45430.475 = 43612.35b

b = 1.042และ a = 0.78

110

จะไดสมการเสนตรงทแสดงความสมพนธระหวางปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2543 กบป พ.ศ. 2542 คอ X

∧

= 1.042 Y∧

+ 0.78ถาปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2543 เทากบ 85,000 ตน (Y = 85) จะได

X∧

= 1.042(85) + 0.78 = 89.35นนคอ ปรมาณสตวนาชนดนในป พ.ศ. 2542 จะได 89,350 ตน

2. แผนภาพการกระจายของราคายางพาราแผนดบทขายไดในป พ.ศ. 2546

พจารณาจากแผนภาพการกระจายจะไดความสมพนธระหวางเวลากบราคายางพาราแผนดบอยในรปเสนตรง

ตองการทานายราคายางพาราแผนดบ ใหเวลา (X) เปนตวแปรอสระและราคายางพาราแผนดบ (Y) เปนตวแปรตาม

สมการปกตของความสมพนธ Y = a + bx คอn

ii 1

y=∑ =

n

ii 1

an b x=

+ ∑

และn

i ii 1

x y=∑ =

n n2

i ii 1 i 1

a x b x= =

+∑ ∑

X เดอน

48

40424446

0

363432

38*

*

** **

*

*

* *

ราคา (บาท/กก. )Y

ม.ค. ก.พ. ม.ค. เม.ย. พ.ค. ม.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค.

*

*

111

พจนตาง ๆ ทใชในการคานวณหาคาคงตวจากสมการปกต (1) และ (2)

เดอน xi yi 2ix xiyi

ม.ค.ก.พ.ม.ค.เม.ย.พ.ค.ม.ย.ก.ค.ส.ค.ก.ย.ต.ค.พ.ย.ธ.ค.

–11–9–7–5–3–11357911

32.4136.3240.0037.2936.6438.0336.5938.2239.4145.4143.3941.36

1218149259119254981121

–356.51–326.88–280.00–186.45–109.92–38.0336.56114.66197.05317.87390.51454.96

รวม 12

ii 1

x=∑ = 0

12

ii 1

y=∑ = 465.07

122i

i 1x

=∑ = 572

12

i ii 1

x y=∑ = 213.82

แทนคาn

ii 1

y=∑ ,

n

ii 1

x=∑ ,

n2i

i 1x

=∑ และ

n

i ii 1

x y=∑ ดวยคาในตารางจะได

465.07 = 12a ---------- (1)213.85 = 572b ---------- (2)

จาก (1) จะได a = 38.76จาก (2) จะได b = 0.37จะได สมการเสนตรงทแสดงความสมพนธระหวางเวลากบราคายางพาราแผนดบคอ

Y∧ = 38.76 + 0.37 X

∧ เมอ x = 1 แทนเดอนกรกฎาคม และ 2 หนวยของ xเทากบ 1 เดอน

ในป พ.ศ. 2547 เดอน ม.ค., x = 13 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(13) = 43.57

เดอน ก.พ., x = 15 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(15) = 44.31

เดอน ม.ค., x = 17 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(17) = 45.05

เดอน เม.ย., x = 19 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(19) = 45.79

เดอน พ.ค., x = 21 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(21) = 46.53

112

เดอน ม.ย., x = 23 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(23) = 47.27

เดอน ก.ค., x = 25 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(25) = 48.01

เดอน ส.ค., x = 27 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(27) = 48.75

เดอน ก.ย., x = 29 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(29) = 49.49

เดอน ต.ค., x = 31 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(31) = 50.23

เดอน พ.ย., x = 33 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(33) = 50.97

เดอน ธ.ค., x = 35 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(35) = 51.71

นนคอ ราคายางพาราแผนดบในป พ.ศ. 2547 ตงแตเดอนมกราคมถงเดอนธนวาคม โดยประมาณเทากบ 43.57, 44.31 45.05, 45.79, 46.53, 47.27, 48.01, 48.75, 49.49, 50.23, 50.97และ 51.71 บาทตอกโลกรม ตามลาดบ

3. แผนภาพการกระจายของปรมาณการนาเขาขาวทประเทศหนงในทวปเอเชยนาเขาจากประเทศไทยระหวางป พ.ศ. 2538 – 2545

พจารณาจากแผนภาพการกระจาย จะไดความสมพนธระหวางเวลากบปรมาณนาเขาขาวอยในรปพาราโบลาตองการทานายปรมาณการนาเขาขาวใหเวลา (X) เปนตวแปรอสระและปรมาณนาเขาขาว (Y) เปนตวแปรตามสมการปกตของความสมพนธ Y = a + bX + cX2 คอ

X พ.ศ.

25380

23

24

25

26

**

*

**

*

* *

ปรมาณขาว (หมนตน)Y

2539

2540

2541

2542

2543

2544

2545

113n

ii 1

y=∑ =

n n2

i ii 1 i 1

an b x c x= =

+ +∑ ∑n

i ii 1

x y=∑ =

n n n2 3

i i ii 1 i 1 i 1

a x b x c x= = =

+ +∑ ∑ ∑n

2i i

i 1x y

=∑ =

n n n2 3 4i i i

i 1 i 1 i 1a x b x c x

= = =

+ +∑ ∑ ∑

พจนตาง ๆ ทใชในการคานวณคาคงตวจากสมการปกต (1), (2) และ (3)

พ.ศ. xi yi 2ix 3

ix 4ix xiyi 2

i ix y

25382539254025412542254325442545

–7–5–3–11357

23.723.924.825.525.224.623.123.5

492591192549

–343–125–27–1127125343

24016258111816252401

–165.9–119.5–74.4–25.525.273.8115.5164.5

1161.3597.5223.225.525.2221.4577.51151.5

รวม 0 194.3 168 0 6216 –6.3 3983.1

แทนคาn

ii 1

x=∑ ,

n

ii 1

y=∑ ,

n2i

i 1x

=∑ ,

n3i

i 1x

=∑ ,

n4i

i 1x

=∑ ,

n

i ii 1

x y=∑ และ

n2i i

i 1x y

=∑

ดวยคาในตาราง จะได194.3 = 8a + 168c ---------- (1)–6.3 = 168b ---------- (2)3983.1 = 168a + 6216c ---------- (3)จาก (2) จะได b = –0.038 (1) × 21 4080.3 = 168a + 3528c ---------- (4)(4) – (3) 97.20 = –2688c

c = –0.036และ a = 25.04จะได สมการพาราโบลาทแสดงความสมพนธระหวางเวลากบปรมาณนาเขาขาว คอ

Y∧

= 25.04 – 0.038 X∧

– 0.0362

X∧

เมอ x = 1 แทน พ.ศ. 2542และ 2 หนวยของ x เทากบ 1 ปในป 2550, x = 17 จะได Y = 25.04 – 0.038(17) – 0.036(17)2

114

= 13.99นนคอ ปรมาณการนาเขาขาวของประเทศนจากประเทศไทยในป พ.ศ. 2550 เทากบ 13.99 หมนตนหรอประมาณ 139,900 ตน

4. แผนภาพการกระจายของตนทนการผลตสนคาตอหนวย (บาท) กบจานวนสนคาทผลตได

พจารณาจากแผนภาพกระจาย จะไดความสมพนธระหวางตนทนการผลตกบจานวนสนคาอยในรปเสนตรงตองการทานายตนทนการผลต ใหจานวนสนคา (X) เปนตวแปรอสระ

และ ตนทนการผลตสนคาน (Y) เปนตวแปรตามสมการปกตของความสมพนธ Y = a + bX คอ

n

ii 1

y=∑ =

n

ii 1

an b x=

+ ∑

และn

i ii 1

x y=∑ =

n n2

i ii 1 i 1

a x b x= =

+∑ ∑

ตนทนตอหนวย (บาท) Y

X จานวนทผลต0 1 2 3 4 5 6 7 8

10

20

30

40

50* * *

**

*

**

60

9 10

**

115

พจนตาง ๆ ทใชในการคานวณคาคงตวจากสมการปกต (1) และ (2)

xi yi2ix xiyi

12345678910

58565550454037302620

149162536496481100

58112165200225240259240234200

55 417 385 1933

แทนคา n

ii 1

x=∑ ,

n

ii 1

y=∑ ,

n2i

i 1x

=∑ และ

n

i ii 1

x y=∑ ดวยคาในตาราง

จะได417 = 10a + 55b ---------- (1)1933 = 55a + 385b ---------- (2)

(1) × 5.5, 2293.5 = 55a + 302.5b ---------- (4)(3) – (2), 360.5 = –82.5b

b = –4.37และ a = 65.73

จะได สมการเสนตรงทแสดงความสมพนธระหวางตนทนการผลตสนคาตอหนวยกบจานวนสนคาทผลตได คอ Y

∧

= –4.37 X∧

+ 65.73ถาจานวนสนคาทผลตไดเปน 7 หนวย (x = 7) จะได

Y∧

= 65.73 – 4.37(7) = 35.14นนคอ ถาจานวนสนคาทผลตไดเปน 7 หนวย ตนทนการผลตสนคาตอหนวยมคาประมาณ 35.14 บาท

116

5. (1) กราฟแสดงความสมพนธระหวางแตมทไดจากการทอดลกเตาสองลกในแตละครง

จากกราฟ ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางแตมทไดจากการทอดลกเตาสองลก ควรอยในรปเสนตรง

(2) โดยแทจรงแลวแตมทไดจากการทอดลกเตาทงสองในแตละครงไมควรมความสมพนธกน

แตมจากลกเตาลกท 2 Y

X แตมจากลกเตาลกท 1

6

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

*

*

* *

*

* *

*

*

*

117

6. แผนภาพการกระจายของมลคาของสนคาขาเขาทประเทศไทยนาเขาจากตางประเทศระหวางป พ.ศ.2536 – 2545

พจารณาจากแผนภาพการกระจาย จะไดความสมพนธระหวางเวลากบมลคาสนคาขาเขาทประเทศไทยนาเขาจากตางประเทศอยในรปเสนตรงตองการทานายมลคาของสนคา ใหเวลา (X) เปนตวแปรอสระ

และ มลคาของสนคา (Y) เปนตวแปรตามสมการปกตของความสมพนธ Y = a + bX คอ

n

ii 1

y=∑ =

n

ii 1

an b x=

+ ∑

และn

i ii 1

x y=∑ =

n n2

i ii 1 i 1

a x b x= =

+∑ ∑

X พ.ศ.

25360

10

15

20

30

*

*

***

*

**

มลคาสนคา (พนลานบาท)Y

2537

2538

2539

2540

2541

2542

2543

25

2544

2545

* *

118

พจนตาง ๆ ทใชในการคานวณคาคงตวจากสมการปกต (1) และ (2)

พ.ศ. xi yi 2ix xiyi

2536253725382539254025412542254325442545

–9–7–5–3–113579

11.7113.6918.3518.5719.2417.7419.1024.9427.5527.75

8149259119254981

–105.39–95.83–91.75–55.71–19.2417.7457.30124.70192.85249.75

รวม 0 198.64 330 274.42

แทนคา n

ii 1

y=∑ ,

n

ii 1

x=∑ ,

n2i

i 1x

=∑ และ

n

i ii 1

x y=∑ ดวยคาในตาราง จะได

198.64 = 10a ----------(1)274.42 = 330b ----------(2)

จาก (1) จะได a = 19.8จาก (2) จะได b = 0.832จะได สมการเสนตรงทแสดงความสมพนธระหวางเวลากบมลคาของสนคาขาเขาทประเทศไทยนาเขาคอ Y

∧

= 19.8 + 0.832 X∧

เมอ x = 1 แทน พ.ศ. 2541 และ 2 หนวยของ x เทากบ 1 ปในป พ.ศ. 2546, x = 11 จะได Y

∧

= 19.8 + 0.832(11) = 28.95 พ.ศ. 2547, x = 13 จะได Y

∧

= 19.8 + 0.832(13) = 30.62 พ.ศ. 2548, x = 15 จะได Y

∧

= 19.8 + 0.832(15) = 32.28 พ.ศ. 2549, x = 17 จะได Y

∧

= 19.8 + 0.832(17) = 33.94 พ.ศ. 2550, x = 19 จะได Y

∧

= 19.8 + 0.832(19) = 35.61นนคอ มลคาของสนคาโดยประมาณทประเทศไทยนาเขาระหวางป พ.ศ. 2546 – 2550 เปน

28.95, 30.62, 32.28, 33.94 และ 35.61 พนลานบาท ตามลาดบ

119

0 2 4 6 8 10 12 14

8

7. (1) ถาขอมลประกอบดวยตวแปรสองตวแลว ตวแปรทงสองนนอาจจะมความสมพนธเชงฟงกชนหรอไมมกได

(2)(3)(4) คาทไดจากการทานายสวนใหญ จะเปนเพยงคาประมาณ ซงอาจจะไมเทากบคา

ทควรเปนจรง(5) ถาขอมลมจานวนนอย ไมควรนามาสรางความสมพนธ เพราะความสมพนธทสรางขน

อาจจะไมสามารถแทนความสมพนธทควรจะเปนจรงได(6) ขอมลอนกรมเวลาจะตองประกอบดวยตวแปรอยางนอย 2 ตว โดยทมตวแปรตวหนง

ใชแทนเวลา(7) การกาหนดคาของตวแปรทใชแทนเวลา จะกาหนดคาเปนบวกหรอเปนลบกได(8) เพราะสมการ y = 0.85x จะใชทานายรายจายโดยเฉลยตอเดอนของครอบครวทอาศยอย

ในจงหวดชลบรเทานน ไมสามารถนาไปใชทานายรายจายของครอบครวทจงหวดอนได(9)(10)

8. (1) แผนภาพการกระจายของขอมล Y และ X

(2) จากสมการ Y∧

= 35.57 – 1.40 X∧

ทใชประมาณจานวนของเสย (ชนงานทคนงานทาไมสาเรจ)จากระยะเวลาฝกทกษะคนงาน พบวา เมอเรานาขอมลระยะเวลาฝกทกษะของคนงานแทนในสมการขางตน ทาใหสามารถวเคราะหขอมลไดวา

เมอระยะเวลาฝกงานของคนงานเพมมากขนจานวนของเสยจะลดนอยลง ในทานองเดยวกน ถาระยะเวลาฝกงานของคนงานนอยจานวนของเสยจะมคามาก

24

*

*

*

* *

40

16

32

X ระยะเวลาฝกงาน (สปดาห)

Y จานวนชนงานทคนงานทาไมสาเรจ

**

*

*

**

**

120

(3) จากสมการ Y∧

= 35.57 – 1.40 X∧

จะไดคา Y∧

และคา Y – Y∧

ดงน

ระยะเวลาฝกงาน

(สปดาห)7 9 6 14 8 12 10 4 2 11 1 8

Y∧ 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77

Y – Y∧ 0.23 –2.97 0.83 0.03 –1.37 –0.77 2.43 –3.97 5.23 1.83 –2.17 0.63

(4) ผลตางของ Y – Y∧

ควรมคาตา เพราะนนหมายความวา สมการ Y∧

ทใชประมาณจานวนของเสย มคาใกลเคยงกบความเปนจรงหากคาของ Y – Y

∧

มคาสง แสดงวา สมการ Y∧

นน ไมเหมาะสมใชประมาณจานวนของเสย

9. (1) แผนภาพการกระจายของขอมลปรมาณนาหนกทลดลง (DX) และปรมาณไทรกลเซอไรดทเปลยนแปลงเมอคนไขลดนาหนกเปนเวลา 8 สปดาห (DY)

-10 -5 0-200

-100

0

100

200

300

400

DX

DY *

*** *

****

*

*

**

* **

** **** **

* * *

* **

*

** *

121

(2) จากแผนภาพไมมขอมลผดปกต และลกษณะกราฟแสดงความสมพนธระหวาง DX และ DYเปนกราฟรปเสนตรง

(3) สามารถใชสมการปกต และผลรวมของขอมลจากตาราง ดงน34

ii 1

(DY)=∑ =

34

ii 1

an b (DX)=

+ ∑34

i ii 1

(DX) (DY)=∑ =

34 342

i ii 1 i 1

a (DX) b (DX)= =

+∑ ∑

แทนคา 34

ii 1

(DX)=∑ = –139.2,

34

ii 1

(DY)=∑ = –747,

34

i ii 1

(DX) (DY)=∑ = 4,545.7

342i

i 1(DX)

=∑ = 798.76

จะได สมการปกต คอ –749 = a (34) + b(–139.20) ---------- (1)4,545.7 = a(–139.20) + b(798.76) ---------- (2)

จะได a = 4.42, b = 6.46ดงนน สมการทใชประมาณคาของ DY จากคาของ DX คอ

DY∧

= 4.42 + 6.46 DX∧

หรอถานาหนกเพมขน 1 หนวย อาจทาใหปรมาณไทรกลเซอไรดเพมขนโดยเฉลย 6.46 หนวยหรอ ถานาหนกลดลง 1 หนวย อาจทาใหปรมาณไทรกลเซอไรดลดลงโดยเฉลย 6.46 หนวย

(4) จากสมการทใชประมาณคา DY ในขอ 3เมอ DX

∧

= -5 จะไดDY∧

= 4.42 + 6.46(-5)= -27.88

ดงนน DY ทพยากรณไดเมอ DX = -5 คอ -27.88หมายความวา ถานาหนกลดลง 5 กโลกรม ปรมาณไทรกลเซอไรดจะลดลงโดยเฉลย 27.88มลลกรมตอเดซลตร

หมายเหต จะเหนวาการรวมและไมรวมคาผดปกตใหผลลพธทตางกน ในบางกรณอาจใหผลลพธทตางกนมากโดยเฉพาะกรณทรวมคาผดปกตหลายคา ซงอาจมผลกระทบมากตอสมการความสมพนธจนอนตรายหรอใชในความหมายทผดได อยางไรกตามในการศกษาในระดบทสงขนเราสามารถตรวจสอบหาคาผดปกตโดยใชวธการทางสถตไดตอไป

122

บรรณานกรม

Howell, David C. (2004). Fundamental Statistics for the Behavioral Sciences. 5th ed., Thomson Brooks/Cole, Belmont, CA, USA.Lind Douglas A., Marchal William G., Mason, Robert D. (2003). Statistical Techniques in

Business and Economics. 11th ed., McGraw Hill, Boston, MA, USA.Moore, David S. (2000). The Basic Practice of Statistics. 2nd ed., W. H. Freeman and Company, New York, USA.Moore, David S. and McCabe, G. P. (1999). Introduction to the Practice of Statistics. 3rd ed., W. H. Freeman and Company, New York, USA.Watson, Collin, J., Billingsley Patrick, Croft, D. James, Huntsberger, David V. (1993). Statistics for Management and Economics. 5th ed., Allyn and Bacon, Boston, MA, USA.http://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/geomean.htmlhttp://www.cce.iastate.edu/research/lutz/dmrwqn/geomean.htmhttp://davidmlane.com/hyperstat/A33018.htmlhttp://mathforum.org/library/drmath/view/52804.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/HarmonicMean.htmlhttp://www.answers.com/main/ntquery?method=4&dsid=2222&dekey=Weighted+harmonic+mean

&gwp=8&curtab=2222_1http://maxvalue.com/tip104.htmhttp://www.cut-the-knot.org/arithmetic/Means.shtmlhttp://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366.htm

คณะกรรมการดาเนนการจดทาคมอครสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 6

นายประสาท สอานวงศ ขาราชการบานาญนายกมล บษบา มหาวทยาลยธรรมศาสตร ศนยรงสตนางวรานนท พงศาภกด มหาวทยาลยศลปากร วทยาเขตพระราชวงสนามจนทรนางสาวสรพร ทพยคง มหาวทยาลยเกษตรศาสตรนางจรรยา ภอดม โรงเรยนดอนเมองจาตรจนดานางสาวจาเรญ เจยวหวาน โรงเรยนมหดลวทยานสรณนางสาวขวญตา พนธบานแหลม โรงเรยนคงทองวทยานางสาวจารวรรณ แสงทอง สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยนางสาวอลงกรณ ตงสงวนธรรม สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยนางสาวนวลจนทร ผมอดทา สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

คณะบรรณาธการนางวรานนท พงศาภกด นางจรรยา ภอดมนางสาวจารวรรณ แสงทอง นางสาวนวลจนทร ผมอดทา

ผจดพมพตนฉบบนางสาวปยาภรณ ทองมาก สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยนางสาวระภพรรณ โคกแกว สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

Documents

คําชี้แจง - flipbooksoft.com · เฉลยแบบฝ กหัด 2.2 77 หน า บทที่ 3 ความสัมพันธ เชิงฟ งก