ทรูปลูกป ญญาkm.ssk.in.th/2561/upload/20180730134019.pdf · 1.4 เลขยกกําลังและคุณสมบัติ 10 1.5 ... ม.2 ส วนใหญ

ทรูปลูกปญญา

หนวยงานเพื่อการศึกษา ภายใตกลุ มบริษัท ทรู

คอรปอเรชั่น จํากัด (มหาชน) ที่บูรณาการเทคโนโลยีและความ

เชี่ยวชาญดานคอนเทนต พัฒนาเปนส่ือไลฟสไตลเพื่อสงเสริม

การศึกษาและคุณธรรม สามารถเชื่อมโยงทุกมิติการเรียนรูได

อยางครบวงจร

www.trueplookpanya.com

ทรูปลูกปญญาดอทคอม คลังความรูคูคุณธรรมที่ใหญ

ทีสุ่ดในประเทศไทย อัดแนนดวยสาระความรูในรปูแบบมลัติมเีดีย

สนุกกับการเรียนรูดวยตัวเอง ทั้งยังเปดโอกาสใหทุกคนสราง

เนื้อหา แบงปนความรูรวมกัน โดยไมมีคาใชจาย

พบกับความเปนที่สุดทั้ง 4 ดานแหงการเรียนรู

• คลังความรู รวบรวมเน้ือหาการเรียนทุกระดับชั้นครบ

8 กลุมสาระการเรียน

• คลังขอสอบ ขอสอบออนไลนพรอมเฉลยที่ใหญที่สุด

ในประเทศไทย พรอมการประเมินผลสอบทางสถิติ

• แนะแนว ขอมูลการศึกษาตอ พรอมเจาะลึกประสบการณ

การเรียนและการทํางาน

• ศูนยขาวสอบตรง/Admissions ขาวการสอบทุกสนาม

ทุกสถาบัน พรอมระบบแจงเตือนเรียลไทม

ชองทรูปลูกปญญา

โทรทัศนความรูดูสนุก ทางทรูวิชั่นส 6 ทุกรายการสาระ

ความรู สาระบันเทิง และการปลูกฝงคุณธรรมจริยธรรมตลอด

24 ชั่วโมง

พบกับเรื่องราวสรางแรงบันดาลใจ

• รายการสอนศาสตร รายการสอนเสริมแนวใหมครบ 8 วิชา

ม.3 ม.6 ติวสดทุกวันโดยติวเตอรชื่อดัง

• รายการ I AM แนะนําอาชีพนาสนใจโดยรุนพี่ในวงการ

• รายการสารสังเคราะห นําขาวสารมาสังเคราะหอัพเดท

กันแบบไมตกเทรนด

นิตยสารปลูก plook

นิตยสารสงเสริมความรูคูคุณธรรมสําหรับเยาวชนฉบับแรก

ในประเทศไทย วางแผงทุกสัปดาหแรกของเดือน หยิบฟรีไดที่

True Coffee TrueMove Shop สถานศึกษา แหลงการเรียนรู

หองสมุด และโรงพยาบาล ทั่วประเทศ หรืออานออนไลนใน

www.trueplookpanya.com

แอพพลิเคชั่น Trueplookpanya.com

ตอบโจทยไลฟสไตลการเรียนรู ของคนรุ นใหม ดวยฟรี

แอพพลิเคชั่น “Trueplookpanya.com” ใหคุณพรอมสําหรับ

การเรยีนรูในทกุทีท่กุเวลา รองรบัการใชงานบน iOS (iPhone, iPod,

iPad) และ Android

: www.trueplookpanya.com

: TruePlookpanya

คำนำ

หนังสือชุด “ติวเขม O-NET Get 100”

สรางสรรคโดย

ทรูปลูกปญญา มีเดีย

โครงการเพื่อสังคมของบริษัท ทรู คอรปอเรชั่น จํากัด (มหาชน)

เลขที่ 46/8 อาคารรุงโรจนธนกุล ตึก B ชั้น 9 ถนนรัชดาภิเษก

แขวงหวยขวาง เขตหวยขวาง กรุงเทพฯ 10310

โทร : 02-647-4511, 02-647-4555

โทรสาร : 02-647-4501

อีเมล : [email protected]

: www.trueplookpanya.com

: TruePlookpanya

หนังสือชุด “ติวเขม O-NET Get 100” ใชสัญลักษณอนุญาตของครีเอทีฟคอมมอนส

แบบ แสดงที่มา-ไมใชเพื่อการคา-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย

คำนำ

การสอบ O-NET หรือชื่ออยางเปนทางการวา การจัดการทดสอบทางการศึกษาระดับชาติขั้นพื้นฐาน

(Ordinary National Educational Test) โดย สทศ. ถือเปนอีกสนามสอบที่สําคัญสําหรับนองๆ ในระดับ ป.6, ม.3,

ม.6 เพื่อเปนการประเมินผลการเรียนรูของนองๆ ในระดับชาติเลยทีเดียว และยังเปนตัวชี้วัดคุณภาพการเรียนการ

สอนของแตละโรงเรียนอีกดวย คะแนน O-NET ก็ยังเปนสวนสําคัญในการคิดคะแนนในระบบ Admissions เพื่อ

สมัครเขาคณะที่ใจปรารถนา ไดคะแนนดีก็มีชัยไปกวาครึ่ง

และเพือ่เปนอีกตัวชวยหนึง่ในการเตรยีมความพรอมใหนองๆ กอนการลงสนามสอบ O-NET ทางทรปูลูก

ปญญาจึงไดจัดทําหนังสือชุด “ติวเขม O-NET Get 100” สุดยอดคูมือเตรียมตัวสอบ O-NET สําหรับนองๆ ในระดับ

ม.3 และ ม.6 ทีเ่จาะลึกเนือ้หาทีม่กัออกสอบบอยๆ โดยเหลารุนพีเ่ซียนสนามในวงการติว รวบรวมแนวขอสอบต้ังแต

อดีตจนถึงปจจุบัน พรอมเฉลยอยางละเอียด และคําอธิบายที่เขาใจงาย จําไดแมนยํา นํานองๆ Get 100 ทําคะแนน

สูเปาหมายในอนาคต

หนังสือชุด “ติวเขม O-NET Get 100” โดยทรูปลูกปญญา ประกอบดวยวิชาคณิตศาสตร ภาษาไทย

สังคมศึกษา และภาษาอังกฤษ ที่รวบรวมเนื้อหาระดับมัธยมศึกษาตอนตน และมัธยมศึกษาตอนปลาย และวิชา

ฟสิกส เคม ีชวีวทิยาของระดับมธัยมศกึษาตอนปลาย รวมทัง้หมด 11 เลม โดยสามารถศกึษาเนือ้หาหรอืทาํขอสอบ

ออนไลนเพิ่มเติมไดจาก www.trueplookpanya.com ที่มี link ใหในทายบท

สามารถดาวนโหลดหนังสือไดฟรี ผานเว็บไซตทรูปลูกปญญา ที่ www.trueplookpanya.com/onet

ทีมงานทรูปลูกปญญา

สารบัญ สารบัญ

เร่ือง หนา

สาระที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ 7

1.1 ระบบจํานวนเต็ม 7

1.2 เศษสวนและทศนิยม 8

1.3 อัตราสวนและรอยละ 10

1.4 เลขยกกําลังและคุณสมบัติ 10

1.5 จํานวนจริงและรากที่สอง 16

1.6 แนวขอสอบ O–NET 17

สาระที่ 2 การวัดและการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรง 3 มิติ 23

2.1 การวัดและหนวยมาตรฐานตางๆ 23

2.2 พื้นที่รูปทรง 2 มิติ 27

2.3 พื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรง 3 มิติ 29


สาระที่ 3 เรขาคณิต 38

3.1 การแปลงทางเรขาคณิต 38

3.2 เสนขนาน 40

3.3 พีทาโกรัส 41

3.4 สามเหลี่ยมคลาย 42


สารบัญ สารบัญ

เร่ือง หนา

สาระที่ 4 พีชคณิต 49

4.1 สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 49

4.2 ระบบสมการเชิงเสนและระบบสมการ 50


สาระที่ 5 การวิเคราะหขอมูลทางสถิติและความนาจะเปน 61

5.1 สถิติ 61

5.2 ความนาจะเปน 64


สาระที่ 6 ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร 72

6.1 คูอันดับและกราฟ 72

6.2 แผนภูมิวงกลม 74

6.3 อสมการ 75


คุยกอนอาน

หนังสือเลมนี้ จัดทําขึ้นสําหรับนองๆ ที่กําลังศึกษาอยูในระดับมัธยมศึกษาตอนตน (ม.1-ม.3) ที่ตองการจะเตรียม

ความพรอมในการสอบ O-NET วิชาคณิตศาสตรในระดับชั้น ม.3 นั้น ทางพวกพี่ๆ เขาใจนองๆ ทุกคนเปนอยางดี ซึ่ง

นองๆ หลายๆ คนที่กําลังเตรียมตัวในการสอบ O–NET นั้น พี่ๆ เชื่อวานองๆ ทุกคนอาจจะติดปญหาและคิดวาวิชา

คณิตศาสตรเปนวชิาทีย่ากและรูสึกทอแททีจ่ะอานและทาํความเขาใจ เพราะฉะนัน้พวกพี่ๆ ทกุคนจงึไดใชประสบการณ

และความรูทั้งหมดในการรวบรวมเนื้อหาที่สําคัญ สั้นๆ ไดใจความ รวมถึงเทคนิคการคิดวิเคราะหและเฉลยขอสอบที่

ละเอียดมาชวยนองๆ ทุกคนอีกทางหนึ่งนะ

ทั้งนี้พี่ๆ ก็หวังไววาหนังสือติวคณิตศาสตรเพื่อเตรียมตัวในการสอบ O–NET เลมนี้จะชวยขจัดทุกขอสงสัยและ

แกปญหาใหกับนองๆ ทุกคนได พี่ๆ ทุกคนอยากใหนองตั้งใจ ขยัน และมุงมั่นหมั่นทบทวนเนื้อหา พี่ๆ ทุกคนจะเปน

กําลังใจใหและรับรองวาถานองๆ ทุกคนตั้งใจแลวความฝนและความสําเร็จรออยูไมไกลเกินเอื้อมแนนอนจา

ทีมงานทรูปลูกปญญา

7ติวเขม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

คุยกอนอาน

สําหรบัในสาระที ่1 นีน้องๆ ทีเ่รยีนอยูในระดับชัน้ ม.3 อาจจะลืมไปบางเพราะวาในสวนของสาระนีจ้ะอยูในระดับชัน้ ม.1 และ

ม.2 สวนใหญเปนพื้นฐานที่นองจะเคยเรียนผานมาแลวทั้งหมด ไมวาจะเปนระบบจํานวนเต็ม เศษสวนและทศนิยม อัตราสวนและ

รอยละ และสุดทายมาประกอบกันเปนจํานวนจริง เอาละเรามาทบทวนและทําความเขาใจไปพรอมๆ กันเลยนะทุกคน เริ่มตนกันที่

หัวขอที่

1.1 ระบบจํานวนเต็ม

สรุป!!

1. จํานวนเต็มบวก หมายถึง จํานวนนับ ตั้งแต 1 เปนตนไปไมสิ้นสุด และ 1 คือจํานวนเต็มบวกหรือจํานวนนับที่นอยที่สุด

แตไมสามารถหาจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุดได

2. จํานวนเต็มศูนย ไมใชจํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบ จะอยูตรงกลางระหวาง -1 กับ 1

3. จํานวนเตม็ลบ เปนจํานวนเตม็ที่ถัดจากศูนยไปทางซายและ -1 เปนจํานวนเตม็ลบทีม่ีคามากทีส่ดุ แตไมสามารถหาจํานวน

เต็มลบที่นอยที่สุดได

คุณสมบัติการบวกและการคูณจํานวนเต็มบวก

สาระที่ 1

จํานวนและการดําเนินการ

… -3 -2 -1 0 1 2 3 …

จํานวนเต็มลบ จํานวนเต็มบวกศูนย

สมบัติการสลับที่การบวกและการคูณ

สมบัติการเปลี่ยนกลุมการบวกและการคูณ

สมบัติการแจกแจง

สมบัติของศูนย

สมบัติของหนึ่ง

a+b = b+a

a×b = b×a

(a+b)+c = a+(b+c)

(a×b)×c = a×(b×c)

a×(b+c) = (a×b)+(a×c)

a+0 = 0+a = a

a×0 = 0×a = 0

1×a = a×1 = a

= a เมื่อ a แทนจํานวนใดa

1

8 ติวเขม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

ขอสรุปสําหรับการบวกจํานวนเต็ม

1. การบวกจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มบวก คือการนําคาสัมบูรณมาบวกกัน ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มบวก

2. การบวกจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ คือการนําคาสัมบูรณมาบวกกัน ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มลบ

3. การบวกจาํนวนเต็มตางชนดิกนั คือการนาํเอาจาํนวนทีม่คีาสัมบรูณมากกวาเปนตัวต้ังลบจาํนวนทีม่คีาสัมบูรณนอย ผลลัพธ

จะเปนบวกหรือลบ ก็ขึ้นกับจํานวนที่มีคาสัมบูรณมาก

ขอสรุปสําหรับการลบจํานวนเต็ม

1. การลบจํานวนเต็มหาไดจาก

ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ

ขอสรุปสําหรับการคูณจํานวนเต็ม : ใหนําตัวเลขมาคูณกัน สําหรับเครื่องหมายตามดานลางเลย

- บวก × บวก = บวก

- บวก × ลบ = ลบ

- ลบ × บวก = ลบ

- ลบ × ลบ = บวก

ขอสรุปสําหรับการหารจํานวนเต็ม : ใหนําตัวเลขมาหารกัน สําหรับเครื่องหมายตามดานลางเลย

- บวก ÷ บวก = บวก

- บวก ÷ ลบ = ลบ

- ลบ ÷ บวก = ลบ

- ลบ ÷ ลบ = บวก

1.2 เศษสวนและทศนิยม

เศษสวน คือ สวนยอยๆ ของจํานวนเต็ม

ชนิด ความหมาย ตัวอยาง

เศษสวนแท

เศษสวนเกิน

เศษสวนอยางตํ่า

เศษสวนหนวย

เศษสวนเหมือน

จํานวนคละ

เศษสวนที่มีตัวเศษนอยกวาตัวสวน

เศษสวนที่มีตัวเศษมากกวาตัวสวน

เศษสวนที่ไมสามารถตัดทอนไดอีก

เศษสวนที่มีเศษเปน 1 เสมอ

เศษสวนที่มีสวนเปนจํานวนเดียวกัน

เศษสวนที่เขียนในรูปของจํานวนเต็มกับเศษสวนแท

4 5 1

5, 8, 2

5 8 24

2, 5, 5

1 1 5 2

2, 3, 6, 3

1 1 1

2, 3, 6

15 16

20, 20

1 41 3

2, 5,2, 5,2 45 3


1. ทศนิยม

ทศนิยม หมายถึง การเขียนตัวเลขประเภทเศษสวนเปน 10 หรือ 10 ยกกําลัง ตาง ๆ แตเปลี่ยนรูปจากเศษสวนมาเปนรูป

ทศนิยม โดยใชเครื่องหมาย . (จุด) แทน

ตัวอยาง

สวนที่แรเงาคือ = 0.7

2. การอานทศนิยม

เลข ทีอ่ยูหนาทศนยิมเปนเลขจาํนวนเต็ม อานเชนเดียวกบัตัวเลขจาํนวนเต็มทัว่ไป สวนตัวเลขหลังจดุทศนยิมเปนเลขเศษของ

เศษสวนซึ่งมีคาไมถึงหนึ่ง อานตามลําดับตัวเลขไปเชน 635.1489 อานวา หกรอยสามสิบหาจุดหนึ่งสี่แปดเกา ถาเลขจํานวนนั้นไมมี

จํานวนเต็ม จะเขียน 0 (ศูนย) ไวตําแหนงหลักหนวยหนาจุดได เชน .25 เขียนเปน 0.25 ก็ได

3. การกระจายทศนิยม

การกระจายทศนิยมสามารถกระจายได ดังนี้ เชน 457.35 = 400 + 50 + 7 + 0.3 + 0.05

4. การเรียกตําแหนงทศนิยม

ถามีตัวเลขหลังจุดทศนิยมกี่ตัว ก็เรียกเทานั้นตําแหนง เชน 0.4, 15.3, 458.6 เรียกวา ทศนิยม 1 ตําแหนง

0.25 , 25.36 , 25.18 เรียกวา ทศนิยม 2 ตําแหนง

5. การปดเศษทศนิยม

5.1 ถาตัวเลขทศนิยมที่พิจารณา มีคาตั้งแต 6 ขึ้นไป จะปดทบเขากับตัวเลขหนา เชน 56.38 = 56.4

5.2 ถาตัวเลขทศนิยมที่พิจารณา มีคาตั้งแต 4 ลงมา จะปดตัวเลขนั้นทิ้งไป เชน 56.32 = 56.3

5.3 ถาตัวเลขทศนิยมที่พิจารณา มีคาเทากับ 5 มีวิธีปดทศนิยม 2 วิธีดังตอไปนี้

- ถาทศนิยมหนาเลข 5 เปนเลขคู ก็ตัดตัวเลข 5 ทิ้ง เชน 4.65 = 4.6

- ถาทศนิยมหนาเลข 5 เปนเลขคี่ ใหปดทศนิยมขึ้น เชน 0.75 = 0.8

7

10


6. ทศนิยมและเศษสวน

6.1 การเขียนทศนิยมใหเปนเศษสวน

ตัวอยาง จงเขียน 2.5 ใหเปนเศษสวน

วิธีทํา 2.5 = 2 กับ 5 ใน 10

ดังนั้น 2.5 = =

6.2 การเขียนเศษสวนใหเปนทศนิยม

- เศษสวนที่มีสวนเปน 10 หรือ 100 หรือ 10 ยกกําลัง สามารถเปลี่ยนเปนทศนิยมไดเลย

เชน 75

100= 0.75

- เศษสวนที่ไมมีสวนเปน 10 หรือ 100 หรือ 10 ยกกําลัง ใหเปลี่ยนเปนเศษสวนที่มีตัวสวนเปน 10 หรือ

100 หรือ 10 ยกกําลังกอน ตัวอยางเชน = = = 0.75

1.3 อัตราสวนและรอยละ

อัตราสวน คือ การเปรียบเทียบของสิ่งของสองสิ่งหรือจํานวนสองจํานวน

รอยละ คือ การเปรียบเทียบของจํานวนสองจํานวน โดยเทียบจากจํานวนเต็ม 100 เสมอ

1. A ตอ B เขียนแทนดวย A:B หรือ

2. ถา = แลว A×D = B×C

3. ขายไดกําไร (%) = เงินกําไรที่ขายได (บาท) × 100

ตนทุนที่ซื้อมา (บาท)

4. ขายขาดทุน (%) = เงินที่ขายขาดทุน (บาท) × 100

ตนทุนที่ซื้อมา (บาท)

1.4 เลขยกกําลังและคุณสมบัติ

ในสวนของเรื่องเลขยกกําลงัสิง่ที่สาํคญัที่สุดคือ นองจะตองจําคุณสมบัติของเลขยกกําลงัใหไดซึง่มีอยูทั้งหมด 9 ขอดวยกัน

เพื่อจะไดนําไปใชในการหาคาของตัวแปรในขอสอบไดอยางถูกตอง

an = a × a × a × a × a … × a

n ตัว

5

102

1

22

3

4

3X25

4X25

75

100

A

B

A

B

C

D


สมบัติของเลขยกกําลัง

ตัวอยางที่ 1 จงทําใหเปนผลสําเร็จ





ตัวอยางที่ 4 จงทําใหเปนผลสําเร็จ และใหเลขชี้กําลังเปนบวก






1.5 จํานวนจริงและรากที่สอง

รากที่สอง

ถาเราให a เปนจํานวนจริงบวกใดๆ หรือศูนยก็ไดนะ เราจะอธิบายคารากที่สองของ a ไดวา จํานวนจริงที่ยกกําลังสองแลว

ไดเทากับ a นองๆ อาจจะงงกันแลว ถาอยางงั้นเราลองมาดูตัวอยางกันเลยดีกวา

ตัวอยางเชน

4 เปนรากที่สองของ 16 เนื่องจากวาถานํา 42= 16 และอีกเชนเดียวกัน -4 ก็เปนรากที่สองของ 16 เหมือนกันนะ เพราะวา

(-4)2 = 16 ดังนั้นเราสามารถเขียนสัญลักษณแทนคารากที่สองของ 16 ไดวา 16 เพราะฉะนั้นพี่ขอสรุปวา 16 = ± 4

จํานวนจริง (Real Numbers)

จํานวนตรรกยะ (Rational Numbers)

จํานวนเต็ม

(Integer Numbers)

จํานวนเต็มลบ

(Negative Integers Number)

จํานวนเต็มบวก

(Positive Integer Numbers)

ศูนย

(Zero)

เศษสวนหรือทศนิยม

(Fraction & Decimal Numbers)

จํานวนอตรรกยะ (Irrational Numbers)

จํานวนตรรกยะ คือ จํานวนที่สามารถเขียนแทน

ดวยทศนิยมซํ้า หรือ เศษสวนโดยที่สวนตองไม

เปนศูนยนะ เชน -7, 3, 0, 1.111… , เปนตน

จํานวนอตรรกยะ คือ จํานวนที่ไมสามารถเขียน

แทนดวยทศนิยมซํ้า หรือ เศษสวน เชน

1.21221…, 2 , 7, π, 4 เปนตน3


แนวขอสอบ O-NET

1. จํานวนใดไมใชรากที่สอง 961

ก. 322 ข. 31 และ -31

ค. - 322 ง. (31)

2 และ (-31)

2

2. 22 = ?

ก. 16 ข. 32 ค. 64 ง. 128

3. 1415 × 25

7 มีคาเปนกี่เทาของ 3514 × 85

ก. 3 ข. 5 ค. 7 ง. 9

4. จงหาผลบวกทั้งหมดที่มีคาระหวาง 7 ถึง 20 และสามารถหารดวย 3 แลวเหลือเศษ 1 วามีคาเทาใด

ก. 67 ข. 65 ค. 63 ง.61

5. กําหนดให a = -2, b = 4 และ c = -6 จงหาคาของ (-(a+b)) (a+b-c)

ก. 8 ข. -8 ค. 16 ง. -16

6. กําหนดให 125-x = 27 จงหาคาของ 25

x

ก. ข. - ค. 9 ง. -9

7. ถา x = แลว x2 + 1 มีคาเทาใด

ก. 3+ 3 ข. 4+ 3 ค. 3 ง. 5+2 3

8. = ax คาของ x คือขอใด

ก. ข. ค. 2 ง.

9. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

ก. 0.59999... เปนจํานวนตรรกยะ

ข. (x-y)2 = x-y

ค. มีคา x ที่ทําให x = -2

ง. 4+ 27+ 32 เปนจํานวนอตรรกยะ

10. จํานวนนับที่มีคามากที่สุดที่หารดวย 2, 5 และ 7 แลวเหลือเศษ 1 เทากันทุกจํานวน คือจํานวนใด

ก. 11 ข. 15 ค. 70 ง. 71

2

1

9

15

16

29

16

28

16

1

9

3 5


11. พอคาคนหนึ่งซื้อสมมา 10 กิโลกรัม ราคากิโลกรัมละ 40 บาท ถาตองการขายใหไดกําไร 5 % จากตนทุนจะตองขายสม

กิโลกรัมละกี่บาท และไดกําไรทั้งหมดกี่บาท

ก. กิโลกรัมละ 48 บาท กําไร 80 บาท

ข. กิโลกรัมละ 50 บาท กําไร 100 บาท

ค. กิโลกรัมละ 45 บาท กําไร 50 บาท

ง. กิโลกรัมละ 42 บาท กําไร 20 บาท

12. รถไฟฟาขบวนหน่ึงมผูีโดยสาร จาํนวน 52 คน เมือ่รถไฟฟาแลนไปถงึสถานีสะพานตากสินมผูีโดยสารลงจากรถไปจาํนวน

หนึ่ง และมีผูโดยสารขึ้นมาอีก 4 คน เมื่อถึงสถานีวงเวียนใหญพบวา 1

3 ของผูโดยสารลงจากรถและผูโดยสารขึ้นมาใหมอีก 4 คน

เมื่อไปถึงปลายทางที่สถานีบางหวา ปรากฏวาเหลือผูโดยสารในรถไฟฟา BTS ทั้งหมด 30 คน จงหาวาผูโดยสารลงจากรถที่สถานี

สะพานตากสินกี่คน

ก. 17 ข. 21 ค. 25 ง. 28

13. นักเรียนหองหนึ่ง เปนนักเรียนชาย 5

9 ของนักเรียนทั้งหอง มีนักเรียนหญิงที่ชอบเลนคุกกี้รัน อยู 0.5 ของนักเรียนหญิง

ทั้งหมด ถานักเรียนหญิงในหองนี้เลนคุกกี้รัน 8 คน ถามวาจะมีนักเรียนชายในหองนี้กี่คน

ก. 18 ข. 20 ค. 22 ง. 24

14. พอใหหนงัสือเลมหนึง่กบั ด.ช.ฟลมเพือ่เอาไวอานในการเตรยีมสอบ O-Net วนัแรกเขาอานได 1

3 ของจาํนวนหนาทัง้หมด

วันตอมาอานได 1

2 ของจํานวนหนาที่เหลือ ถาวันสุดทายกอนสอบเขาอานหนังสือที่เหลือจํานวน 66 หนา จนจบพอดี แลวหนังสือนี้

มีทั้งหมดกี่หนา

ก. 160 หนา ข. 198 หนา ค. 398 หนา ง. 465 หนา

15. กําหนดให A B หมายถึง A + B - 5.5 จงหาวา 1 2 3 4 เทากับเทาไร


เฉลยขอสอบ O-NET

1. ตอบ ขอ ง. เนื่องจากคาของรากที่สองของ 961 ก็คือ 31 และ -31เนื่องจาก ขอ ง. นั้นเปนการนํา 31 และ -31 มายก

กําลังสองก็จะทําใหมีคา = 961 จึง ไมถูกตอง

2. ตอบขอ ก. เพราะ 22 = 24

= 16

3. ตอบขอ ค. เพราะ

4. ตอบขอ ข. เพราะ จากการหารแลวเราจะไดตัวเลขมาทั้งหมด 5 จํานวนที่หาร 3 แลวเหลือเศษ 1 คือ 7, 10, 13, 16 และ

19 เราสามารถสังเกตเห็นไดวาตัวเลขแตละตัวมีระยะหางเทากันเปนลําดับเลขคณิต เพราะฉะนั้นเราจับคูระหวาง 7 กับ 16 และ 10

กับ 13 จะไดเทากับ 23+23+19 = 65

5. ตอบขอ ง. เพราะจากโจทย กําหนดให a = -2, b = 4 และ c = -6

ดังนั้น (-(a+b)) (a+b-c) = (-(-2+4)). ((-2)+(4)-(-6))

= (-2).(8)

= -16

6. ตอบขอ ก. เพราะจากโจทยกําหนดให 125-x = 27 จงหาคา 25

x

จากโจทย 125-x = 27 ดังนั้นจาก 25

x = 5

2x

5-3x

= 33

5-x = 3

5x = 3

-1

เพราะฉะนั้น 25x = (3

-1)2 =

7. ตอบขอ ก. เพราะ

ถา

เพราะฉะนั้น

2

1

9


8. ตอบขอ ก. เพราะจากโจทยกําหนดให = ax ดังนั้นแปลงเปนเลขยกกําลังจะได

9. ตอบขอ ก. เพราะวา 0.59999… เปนทศนิยมไมรูจบแบบเขียนซํ้า จึงเปนจํานวนตรรกยะ

สวน ขอ ข. ผิด เพราะวา (x-y)2 = คาสัมบูรณของ x-y

ขอ ค. ผิด เพราะวา x ≥ 0 เสมอ เมื่อ x ≥ 0 จึงไมมีคา x ที่ทําให x = -2

ขอ ง. ผิด เพราะวา 4 + 27 + 32 = 2+3+2 =7 เปนจํานวนตรรกยะ

10. ตอบขอ ง. เพราะวา จากโจทยขอนี้ หาจํานวนมากที่สุด นองจะตองทําการหาอะไรเอย พอทราบไหม คําตอบคือเรา

ตองหา ค.ร.น. เราจะตองหา ค.ร.น. ของ 2, 5 ,7 = 2×5×7 = 70 แลวโจทยบอกวาเหลือเศษ 1 เทากันทุกจํานวน ดังนั้น จํานวนที่มาก

ที่สุดที่หารดวย 2,5,7 แลวเหลือเศษ 1 = 70+1 =71

11. ตอบขอ ง. เพราะวา

จากโจทย ซื้อสมมา 40 กิโลกรัม กิโลกรัมละ 10 บาท

เพราะฉะนั้น ตนทุน = 40×10 = 400 บาท

และตองการกําไร 5% เพราะฉะนั้นหมายความวา ซื้อสมมา 100 บาท

จะตองขายไป 105 บาท = 5

100 × 400 = 20 บาท

เพราะฉะนั้นเขาจะไดกําไร 20 บาท

และตองขายในราคา = (420÷10) = 42 บาท/ กิโลกรัม

12. ตอบขอ ก. ดังวิธีทําตอไปนี้

สมมุติวามีผูโดยสารลงที่สถานีสะพานตากสิน x คน

โจทยกําหนดวา รถคันนี้มีผูโดยสารทั้งหมด 52 คน

เมื่อถึงสถานีสะพานตากสิน ผูโดยสารลงไป x คน

และขึ้นมาอีก 4 คน

ดังนั้นจะเหลือผูโดยสารเมื่อออกจากสถานีสะพานตากสิน = (52-x) + 4 = 56 – x คน

เมื่อถึงสถานีวงเวียนใหญ พบวา 1

3 ของผูโดยสารลงจากรถไฟฟา

และมีผูโดยสารขึ้นมาใหมอีก 4 คน

จะเหลือผูโดยสาร 2

3(56-x)+4

เมื่อถึงปลายทางที่สถานีบางหวาเหลือผูโดยสาร 30 คน

จะไดสมการ คือ 2

3(56-x) + 4 = 30

นํา 3 คูณตลอด 112 - 2x + 12 = 90

2x = 124 - 90

2X = 34

X = 17

3 5


13. ตอบขอ ข. เพราะวา

จากโจทย มีผูหญิงอยูจํานวน 8 คน ชอบเลนคุกกี้รัน

ซึ่งเปนจํานวน 0.5 หรือครึ่งหนึ่งของผูหญิงทั้งหมด

ดังนั้นผูหญิงในหองนี้จึงมี = 8×2 = 16 คน และคิดเปน 4

9 ของนักเรียนทั้งหมด

ดังนั้น ผูชายที่มีอยู 5

9 ของนักเรียนทั้งหมดจึงมีจํานวน = 5

4 × 16 = 20 คน

14. ตอบขอ ข. ดังวิธีทําตอไปนี้

สมมุติวาหนังสือเตรียมสอบ O-Net ที่ ด.ช. ฟลมอานมี x หนา

วันแรกอานได ของจํานวนหนาทั้งหมด

แสดงวาวันแรก ด.ช. ฟลมอานได หนา

จะเหลือ x - = หนา

วันตอมาอานได ของจํานวนที่เหลือ

แสดงวาวันตอมาอานได × = หนา

เพราะฉะนั้น เหลือที่ยังไมไดอานอีก หนา

แตสวนที่เหลือมี 66 หนา

แสดงวา = 66 หนา

จํานวนหนังสือทั้งหมด x หนา 66×3 = 198 หนา

15. ตอบ -6.5 ดังวิธีทําตอไปนี้

A B หมายถึง A + B - 5.5

ดังนั้น หา 1 2 = 1+2- 5.5 = -2.5

หา -2.5 3 = -2.5 + 3 - 5.5 = -5

หา -5 4 = -5 + 4 - 5.5 = -6.5

1

3

x

3

x

3

1

2

2x

3

2x

3

1

2

x

3

x

3

x

3


• สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร 01: จํานวนจริง

http://www.trueplookpanya.com/book

/m3/onet-math/ch1-1

• สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร 02: เลขยกกําลัง


/m3/onet-math/ch1-2

• 14 : อัตราสวนและรอยละ


/m3/onet-math/ch1-3

• สอนศาสตร คณิตศาสตร

ม.3 : เลขยกกําลังไรเทียมทาน (1)


/m3/onet-math/ch1-4

• สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 :

เลขยกกําลังไรเทียมทาน (2)

http://www.trueplookpanya.com/book/

m3/onet-math/ch1-5

• จํานวนและการดําเนินการ


/m3/onet-math/ch1-6

• จํานวนจริง (Real Number)


/m3/onet-math/ch1-7 /m3/onet-math/ch1-7 /m3/onet-math/ch1-7

นองๆ สามารถศึกษาเพิ่มเติมไดที่

Tag : สอนศาสตร, คณิตศาสตร, จํานวนและการดําเนินการ, จํานวนเต็ม, เลขยกกําลัง, เศษสวน,

ทศนิยม, จํานวนจริง, ค.ร.น. และ ห.ร.ม., รากที่สอง, อัตราสวนและรอยละ


สาระที่ 2การวัดและการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรง

3 มิติ

ในบทนี้จะเปนเรื่องรูปทรงตางๆ ที่นองๆ เคยเจอกันมาตั้งแตสมัยประถมไมวาจะเปนรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมชนิดตางๆ

และวงกลมที่เปนรูปทรง 2 มิติ และตลอดจนรูปทรง 3 มิติ ไมวาจะเปนปริซึม พีระมิด กรวย ทรงกระบอก และทรงกลม สําหรับในบท

นี้ เราจะคุยกันในเรื่องของการหาพื้นที่ในรูปทรงสองมิติ และพื้นที่ผิวและปริมาตรในรูปทรงสามมิติ ตลอดจนหนวยมาตรฐานสากล

ตางๆ ที่ใชในการวัด ซึ่งบางทีนองๆ เห็นแลวอาจจะทอบางในเรื่องของการจําสูตรของการหาพื้นที่และปริมาตร และการแปลงหนวย

แตไมเปนไรพวกพี่ๆ ไดสรุปยอทั้งหมด เพื่อใหนองๆ ทุกคนไดนําไปใชไดอยางเขาใจ เพราะพวกพี่ๆ เขาใจวามันเปนการยากที่จะนําไป

ใช แตพี่คิดวามันคงไมยากจนเกินไปนักถาเราหมั่นทบทวนและเขาใจในที่มาของมันนะ เอาละเดี๋ยวเรามาเริ่มตนดูในสวนของบทเรียน

กันเลยนะ

2.1 การวัดและหนวยมาตรฐานตางๆ

ในสมัยโบราณบรรพบุรุษของเรายังไมมีเครื่องมือที่เปนมาตรฐานเกี่ยวกับการวัดระยะทาง เวลา พื้นที่ และปริมาตร การสื่อ

ความหมายของคนเกี่ยวกับการวัดในสมัยนั้นอาศัยส่ิงแวดลอมตามธรรมชาติ หรือกิจกรรมที่ทํากันเปนกิจวัตรเปนเครื่องมือในการ

บอกระยะทาง เวลา พื้นที่ และปริมาตร ซึ่งเปนการสื่อความหมายเกี่ยวกับการวัดที่ไดจากการสังเกตและการคาดคะเนอยางหยาบๆ

ทําใหบางครั้งเกิดปญหาสื่อความหมายไมตรงกัน ตอมาจึงมีการพัฒนาหนวยการวัดใหเปนมาตรฐานสากล

มาตรฐานที่นิยมใชกันมีดังนี้

- ระบบอังกฤษ กําหนดหนวยความยาวเปน นิ้ว ฟุต หลา และไมล เปนตน

- ระบบเมตริก ถือกําเนิดเมื่อป พ.ศ. 2336 ที่ประเทศฝรั่งเศส กําหนดหนวยความยาวเปน เซนติเมตร เมตร และกิโลเมตร

เปนตน

- สําหรับประเทศไทย เมื่อ พ.ศ. 2466 ไดประกาศพระราชบัญญัติมาตราชั่ง ตวง วัด โดยอางอิงระบบเมตริกรวมกับหนวย

การวัดที่เปนประเพณีไทยบางหนวย พระราชบัญญัตินี้ถูกกําหนดไวใชโดยเฉพาะการซื้อขาย เชน

2 ศอก เทากับ 1 เมตร 1 ไร เทากับ 1,600 ตารางเมตร 1 บาท เทากับ 15 กรัม

เมื่อป พ.ศ.2503 องคการระหวางประเทศวาดวยการมาตรฐาน (ISO) ไดกําหนดใหมีระบบการวัดทางวิทยาศาสตรและ

เทคโนโลยีใหเปนระบบเดียวกันทั่วโลก เรียกวาหนวยระหวางประเทศ และเรียกหนวยการวัดในระบบนี้วา หนวย SI

หนวยฐานของระบบ SI มี 7 หนวย ที่ใชวัดปริมาณ ไดแก

- เมตร (Meter : m) เปนหนวยใชวัดความยาว

- กิโลกรัม (Kilogram : kg) เปนหนวยใชวัดมวล

- วินาที (Second : s) เปนหนวยใชวัดเวลา

- แอมแปร (Ampere : A) เปนหนวยใชวัดกระแสไฟฟา

- เคลวิน (Kelvin : K) เปนหนวยใชวัดอุณหภูมิ

- แคนเดลา (Candela : cd) เปนหนวยใชวัดความเขมของการสองสวาง

- โมล (Mole : mol) เปนหนวยใชวัดปริมาณสาร


นอกจากนี้มีหนวยการวัดที่เปนมาตรฐานสากลแลว เครื่องมือที่ใชวัดก็มีความสําคัญเชนกัน จะตองเปนเครื่องมือวัดที่ได

มาตรฐาน คาที่วัดไดทุกครั้งจะตองมีความเที่ยงตรง ถึงแมวาจะมีการพัฒนาหนวยการพัฒนาหนวยการวัดและเครื่องมือที่ใชวัดใหมี

ความเที่ยงตรงเปนมาตรฐานเพียงใดก็ตาม คาที่วัดไดเหลานั้นก็เปนเพียงคาประมาณที่ไดจากการวัดที่เหมาะสมเทานั้น

อยางไรก็ตามในชีวิตประจําวันเราไมอาจนําเครื่องมือที่ใชวัดไปใชในทุกสถานที่ ทุกเวลา จําเปนตองประมาณส่ิงตางๆ ที่

ตองการทราบ การบอกคาประมาณของปรมิาณส่ิงตางๆ เรยีกวา การคาดคะเน คาทีไ่ดจากการคาดคะเนจะใกลเคียงคาทีแ่ทจรงิมาก

นอยเพียงใดขึ้นอยูกับทักษะและประสบการณของผูคาดคะเน

1. การวัดความยาว ที่นิยมใชกันในประเทศไทย ไดแก หนวยการวัดความยาวในระบบเมตริก ระบบอังกฤษ และมาตราไทย

หนวยการวัดความยาวในระบบเมตริก

10 มิลลิเมตร เทากับ 1 เซนติเมตร

100 เซนติเมตร เทากับ 1 เมตร

1,000 เมตร เทากับ 1 กิโลเมตร

หนวยการวัดความยาวในระบบอังกฤษ

12 นิ้ว เทากับ 1 ฟุต

3 ฟุต เทากับ 1 หลา

1,760 หลา เทากับ 1 ไมล

หนวยการวัดความยาวในมาตราไทย

12 นิ้ว เทากับ 1 คืบ

2 คืบ เทากับ 1 ศอก

4 ศอก เทากับ 1 วา

20 วา เทากับ 1 เสน

400 เสน เทากับ 1 โยชน

หนวยการวัดความยาวในระบบอังกฤษเทียบกับระบบเมตริก (โดยประมาณ)

1 นิ้ว เทากับ 2.54 เซนติเมตร

1 หลา เทากับ 0.9144 เมตร

1 ไมล เทากับ 1.6093 กิโลเมตร

2. การวดัพ้ืนท่ี ใชพืน้ทีใ่นการบอกขนาดเนือ้ที ่การวดัพืน้ทีใ่นระบบเมตรกิ และมาตราไทย ซ่ึงใชหนวยการวดัพืน้ทีเ่ปนตาราง

หนวย หรือ หนวย2 หนวยการวัดพื้นที่ที่สําคัญมีดังนี้

หนวยการวัดพื้นที่ในระบบเมตริก

1 ตารางเซนติเมตร เทากับ 100 ตารางมิลลิเมตร

1 ตารางเมตร เทากับ 10,000 ตารางเซนติเมตร

1 ตารางกิโลเมตร เทากับ 1,000,000 ตารางเมตร

หนวยการวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษ

1 ตารางฟุต เทากับ 144 ตารางนิ้ว

1 ตารางหลา เทากับ 9 ตารางฟุต

1 เอเคอร เทากับ 4,840 ตารางหลา

1 ตารางไมล เทากับ 640 เอเคอร หรือ 1,7602 ตารางหลา


หนวยการวัดพื้นที่ในมาตราไทย

100 ตารางวา เทากับ 1 งาน

4 งาน เทากับ 1 ไร

400 ตารางวา เทากับ 1 ไร

หนวยการวัดพื้นที่ในมาตราไทยเทียบกับระบบเมตริก

1 ตารางวา เทากับ 4 ตารางเมตร

1 งาน เทากับ 400 ตารางเมตร

1 ไร เทากับ 1,600 ตารางเมตร

1 ตารางกิโลเมตร เทากับ 625 ไร

หนวยการวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษเทียบกับระบบเมตริก (โดยประมาณ)

1 ตารางนิ้ว เทากับ 6.4516 ตารางเซนติเมตร

1 ตารางฟุต เทากับ 0.0929 ตารางเมตร

1 ตารางหลา เทากับ 0.8361 ตารางเมตร

3. การวัดปริมาตรและนํ้าหนัก ในชีวิตประจําวันเราใชพื้นฐานประสบการณเกี่ยวกับความหนาแนนของสิ่งตางๆ ในการคาด

คะเนเกี่ยวกับปริมาตรและนํ้าหนักอยูเสมอ หนวยการวัดปริมาตรและหนวยการวัดนํ้าหนักมีดังนี้

หนวยการวัดปริมาตรในระบบเมตริก

1 ลูกบาศกเซนติเมตร เทากับ 1,000 ลูกบาศกมิลลิเมตร

1 ลูกบาศกเมตร เทากับ 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร

1 ลูกบาศกเซนติเมตร เทากับ 1 มิลลิเมตร

1 ลิตร เทากับ 1,000 มิลลิเมตร

1 ลิตร เทากับ 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร

1,000 ลิตร เทากับ 1 ลูกบาศกเมตร

หนวยการวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษ

3 ชอนชา เทากับ 1 ชอนโตะ

16 ชอนโตะ เทากับ 1 ถวยตวง

1 ถวยตวง เทากับ 8 ออนซ

หนวยการวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษเทียบกับระบบเมตริก (โดยประมาณ)

1 ชอนชา เทากับ 5 ลูกบาศกเซนติเมตร

1 ถวยตวง เทากับ 240 ลูกบาศกเซนติเมตร

หนวยการวัดนํ้าหนักในระบบเมตริก

1 กรัม เทากับ 1,000 มิลลิกรัม

1 กิโลกรัม เทากับ 1,000 กรัม

1 เมตริกตัน เทากับ 1,000 กิโลกรัม

หนวยการวัดพื้นที่ในระบบเมตริกเทียบกับระบบอังกฤษ (โดยประมาณ)

1 กิโลกรัม เทากับ 2.2046 ปอนด

1 ปอนด เทากับ 0.4536 กิโลกรัม


หนวยการตวงระบบประเพณีไทยเทียบกับระบบเมตริก

กระทรวงพาณิชยไดกาํหนดการเทยีบหนวยการตวงระบบประเพณีไทยกบัระบบเมตรกิ

เพือ่การซ้ือขาย คือกาํหนดให

ขาวสาร 1 ถัง มีนํ้าหนัก 15 กิโลกรัม

ขาวสาร 1 กระสอบ มีนํ้าหนัก 100 กิโลกรัม

4. การวัดเวลา ในสมัยโบราณมนุษยเห็นดวงอาทิตยก็รูวาวันใหมเริ่มขึ้นแลว และการบอกเวลาเชา สาย บายหรือเย็นก็

อาจดูความยาวของเงาที่เปลี่ยนไป ทําใหเกิดแนวคิดในการกําหนดเวลา 1 วัน วาเปนเวลาที่โลกหมุนรอบตัวเองครบ 1 รอบพอดี เมื่อ

มนุษยไดเรียนรูทางดาราศาสตรมากขึ้น จึงมีแนวคิดในการกําหนดเวลา 1 ปทางสุริยคติ วาเปนเวลาที่โลกโคจรรอบดวงอาทิตยครบ

1 รอบเปนเวลามากกวา 365 วันเล็กนอย ระบบปฏิทินในสมัยแรกๆ ที่นิยมใชกัน ไดแกระบบปฏิทินจูเลียน ระบบนี้จึงกําหนดวา 1 ปมี

365.25 วัน เมื่อใชไปไดระยะหนึ่ง พบวาการใชปฏิทินนี้ในทุกๆ 400 ป จะนับวันมากเกินความจริงไป3 วันเศษ หลังจากนั้นจึงไดมีการ

ปรับปรุงเปนระบบปฏิทินเกรกอเรียน ซ่ึงเปนระบบปฏิทินที่ใชกันอยูทั่วโลกในปจจุบันและมีความคลาดเคล่ือนจากความจริงทาง

ดาราศาสตรนอยที่สุด

ระบบปฏิทินเกรกอเรียน กําหนดให 1 ป มี 365.2425 วัน โดยกําหนดเงื่อนไขวาในปปกตินั้น 1 ปมี 365 วัน แตในปอธิกสุรทิน

ซึ่งเปนปที่เดือนกุมภาพันธมี 29 วันนั้น 1 ปมี 366 วัน

การกําหนดปอธิกสุรทินใหเปนไปตามหลักการดังนี้

1. ถาป ค.ศ. ใดหารดวย 4 ไมลงตัว จะไมเปนปอธิกสุรทิน

2. ถาป ค.ศ. ใดหารดวย 4 ลงตัวและหารดวย 100 ลงตัวแตหารดวย 400 ไมลงตัว ป ค.ศ. นั้นจะไมเปนปอธิกสุรทิน

3. ถาป ค.ศ. ใดหารดวย 4 ลงตัวและหารดวย 100 ไมลงตัว ป ค.ศ. นั้นจะเปนปอธิกสุรทิน

4. ถาป ค.ศ. ใดหารดวย 4 ลงตัวและหารดวย 400 ลงตัว ป ค.ศ. นั้นจะไมเปนปอธิกสุรทิน

• 1 วัน มี 24 ชั่วโมง

• 1 ชั่วโมง มี 60 นาที

• 1 นาที มี 60 วินาที


2.2 พื้นที่รูปทรง 2 มิติ

รูปสามเหลี่ยม

ชื่อที่ใชเรียก รูปแสดงลักษณะ สูตรที่ใชในการหาพื้นที่

x ฐาน x สูง

x a x h

หรือ × ผลคูณดานประกอบมุมฉาก

สามเหลี่ยมทั่วไป

สามเหลี่ยมหนาจั่ว

สามเหลี่ยมดานเทา

สามเหลี่ยมที่ทราบ

ความยาวดานทั้งสาม

สามเหลี่ยมมุมฉาก

1

2

1

2

1

2

ฐาน

สูง

b

h

a

bc

a

h

A

B C

xx

x

ฐาน

สูง

a

bb

s(s-a)x(s-b)x(s-c)

s=a+b+c

2

3

4x X

2

หรือ x ดาน23

4

4b2-a

2x

a

4


รูปสี่เหลี่ยม


X × X = X2

หรือ ดาน×ดาน

X × Y

หรือ กวาง × ยาว

a × h

หรือ ฐาน × สูง

x(a+b)xh

x ผลคูณของเสนทแยงมุม

a × h

หรือ ฐาน × สูง

หรือ × สูง × ผลบวกของดานคูขนาน

สี่เหลี่ยมจัตุรัส

สี่เหลี่ยมคางหมู

สี่เหลี่ยมรูปวาว

สี่เหลี่ยมที่มีเสนทแยงมุม

ตัดกันเปนมุมฉาก

สี่เหลี่ยมดานขนาน

สี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน

สี่เหลี่ยมผืนผา

1

2

1

2

xเสนทะแยงมุมxผลบวกของ

เสนกิ่ง 2 เสน

1

2

1

2

x

x

x

y

a

a

a

a b

e

a

b

a

hb

o

b

d h

a

c

A

B

C

D


รูปอื่นๆ

2.3 พื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรง 3 มิติ

รูปทรงสามมิติมีทั้งหมด 5 รูป คือ

1. ปริซึม

2. ทรงกระบอก

3. พีระมิด

4. ทรงกรวย

5. ทรงกลม


6x x (ดาน)

~~ ~~πr2 เมื่อ π 3.14

π(R2-r

2)

หกเหลี่ยมดานเทา

วงแหวน

วงกลมรัศมี

A

R

r

OR

3

4

22

7

(ความยาวเสนรอบรูปวงกลม 2πr)


สูตรในการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรงสามมิติทั้ง 5 ชนิด


1. ผลตางของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูปเทากับ 12 ตารางเซนติเมตร ความยาวของดานสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญสั้นกวา

สามเทาของความยาวของดานสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็กอยู 2 เซนติเมตร สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญมีดานยาวเทาใด

ก. 3 เซนติเมตร

ข. 4 เซนติเมตร

ค. 5 เซนติเมตร

ง. 6 เซนติเมตร

ชื่อที่ใชเรียก รูปแสดงลักษณะ สูตรที่ใชในการหาพื้นที่ สูตรที่ใชในการหาปริมาตร

พื้นที่ผิวขางของปริซึม =

เสนรอบรูปฐาน × ความสูง

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม =

พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่หนาตัดหัวกับทาย

ปริมาตรของปริซึม =

พื้นที่ฐาน × สูง

ปริมาตรทรงกระบอก =

πr2h

ปริมาตรของพีระมิด =

× พื้นที่ฐาน × สูงตรง

ปริมาตรกรวยกลม =

πr2h

ปริมาตรทรงกลม =

πr3

พื้นที่ผิวโคงกรวย = 2πrh ; h (ความสูง)

พื้นที่หนาตัด 2 หนา = 2πr2

พื้นที่ผิวทั้งหมด = 2πrh+ 2πr2 หรือ

2πr(r+h)

พื้นที่ผิวขางของพีระมิด = × ผลบวกของ

ความยาวรอบฐาน×สูงเอียง

พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ฐาน

พื้นที่ผิวโคงกรวย = πrl ; l คือ ความสูงเอียง

พื้นที่หนาตัด =πr2

พื้นที่ผิวทั้งหมด = πrl+πr2 หรือ πr (l+r)

พื้นที่ผิวทรงกลม = 4πr2

ปริซึม

ทรงกลม

ทรงกรวย

พีระมิด

ทรงกระบอก

1

21

3

1

3

4

3

จุดยอดมุม

สัน

สูงเอียง

สูงเอียง

พื้นที่ผิวขาง

ยอด

สวนสูงเอียง

ฐาน

แกนหรือสวนสูง


2. เจาของหมูบานณัฐกานตตองการแบงเนื้อที่ 12 ไร เพื่อปลูกบานขายเปนหลังๆ ละ 100 ตารางวา และตองการสรางถนน

ภายในหมูบานคิดเปนเนื้อที่ประมาณ ของเนื้อที่ทั้งหมด จงหาวาเจาของหมูบานแหงนี้จะปลูกบานไดประมาณกี่หลัง

ก. 33 หลัง ข. 34 หลัง

ค. 35 หลัง ง. 36 หลัง

3.

จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ถา AD เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลมที่มี O

เปนจุดศูนยกลาง และมีรัศมี r หนวยแลว พื้นที่แรเงาเทากับกี่ตารางหนวย

ก. π(r2 - 4) ตารางหนวย ข. π (4-r) ตารางหนวย

ค. r2 (4 - π/2) ตารางหนวย ง. r

2 (2- π/2) ตารางหนวย

4. สนามแหงหน่ึงเปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสมีพ้ืนที่ 100 ตารางวา ตองการปกเสาทํารั้วโดยใหเสาประตูตนหน่ึงอยูหางจากมุม

จุดที่ใกลที่สุด 1.5 เมตร ประตูกวาง 2.5 เมตร เสาตนอื่นๆ ปกหางกันตนละ 2 เมตร อยากทราบวามีเสารั้วทั้งหมดกี่ตน

ก. 38 ตน ข. 39 ตน ค. 40 ตน ง. 41 ตน

5.

ถามวาพื้นดินรูปสี่เหลี่ยมดังภาพมีพื้นที่กี่งาน

ก. 2.72 งาน ข. 3.12 งาน

ค. 4.29 งาน ง. 5.90 งาน

6. ชางปูกระเบื้องไดคํานวณพื้นชั้นลางของบานหลังหนึ่ง วาถาหากใชกระเบ้ืองขนาด 20×20 ตารางเซนติเมตร จํานวน

80 กลอง กลองละ 25 แผน จะปูพื้นชั้นลางไดพอดี อยากทราบวาบานหลังนี้มีพื้นที่ชั้นลางกี่ตารางเมตร

ก. 120 ตารางเมตร ข. 80 ตารางเมตร

ค. 60 ตารางเมตร ง. 40 ตารางเมตร

7. ในการเดินทางจากสนามบินสุวรรณภูมิ ประเทศไทย โดยสายการบิน Air Asia ไปยังสนามบินฉางซา ประเทศจีน ใชเวลา

10,800 วินาที ถาเครื่องบิน Air Asia ขึ้นจากสนามบินสุวรรณภูมิเมื่อเวลา 18.30 น. จะถึงสนามบิน ฉางซา คิดเวลาในประเทศไทย

ตรงกับเวลาใด

ก. 19.00 น. ข. 20.30 น.

ค. 21.00 น. ง. 21.30 น.

8. PQR และ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา 2 รูป ซึ่งมีดานยาวดานละ

3 เซนติเมตร เมือ่นาํมาซอนกนัทาํใหเกดิรปูสามเหล่ียมดานทีเ่ทากนัทกุประการ

6 รูป พื้นที่สวนที่แรเงามีกี่ตารางเซนติเมตร

ก. 3 ข.

ค. ง.

1

4

A

D

B

C

12 วา

21 วา

26 วา

C

R

B

Q

A

P

3

2

3

2

33

1


9. นําเหล็กแทงรูปทรงส่ีเหล่ียมมุมฉาก ยาว 55 เซนติเมตร กวาง 10 เซนติเมตร หนา 6 เซนติเมตร นํามาหลอมเปน

แทงเหล็กรูปกรวยกลมตันที่มีรัศมีปากกรวย 3 เซนติเมตร ได 50 แทงพอดี กรวยเหล็กที่หลอใหมมีความสูงกี่เซนติเมตร

ก. 5 ซม. ข. 7 ซม. ค. 9 ซม. ง. 11 ซม.

10. ทอระบายนํ้าอันหนึ่งมีเสนผานศูนยกลางภายใน 0.5 เมตร เนื้อวัสดุที่ใชทําทอหนา 2 เซนติเมตร ถาตองการทาสีผิวขาง

ทั้งดานนอกและดานในจะตองทาสีทั้งหมดกี่ตารางเมตร ถาหากทอยาว 20 เมตร

ก. 20.8π ข. 21.8π ค. 22.8π ง. 23.8π 11. โลหะทรงกลมตันรัศมี 12 ฟุต นํามาหลอมเปนทรงกลมตันสามลูก ลูกที่หนึ่งรัศมี 6 ฟุต ลูกที่สองรัศมี 10 ฟุต ลูกที่สาม

จะมีรัศมียาวกี่ฟุต

ก. 7 ฟุต ข. 8 ฟุต ค. 9 ฟุต ง. 10 ฟุต

12. ชาวนาหาที่เก็บเมล็ดพืชไดเปนรูปทรงกระบอกมีขนาดเสนผานศูนยกลางภายใน 4 เมตร สูง 8 เมตร เมื่อทําการบรรจุ

เมล็ดพืชดวยอัตราเร็ว 4 ลูกบาศกเมตรตอนาที อยากทราบวาตองใชเวลากี่นาที จึงจะบรรจุเขาไปถึง 3 ใน 4 ของทรงกระบอกนั้น

ก. 17.84 นาที ข. 18.84 นาที

ค. 19.84 นาที ง. 20.84 นาที

13. ถวยไอศกรีมทรงกรวยมีความสูง 2 3 เซนติเมตร รัศมีปากกรวย 2 เซนติเมตร ทําดวยกระดาษที่วางเหลื่อมกัน 1

20

ของกระดาษทั้งหมด ถาตองการทําถวยไอศกรีมรูปกรวย 1,000 ใบ ตองใชกระดาษอยางนอยกี่ตารางเซนติเมตร

ก. 24,376 ข. 25,376 ค. 26,376 ง 27,376

14. พีระมิดรูปหนึ่งมีฐานเปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส มีความสูงเทากับรัศมีของวงกลมที่มีความยาวเสนรอบวงเทากับความยาว

รอบฐานของพีระมิด ถาพีระมิดฐานยาวดานละ 11 เซนติเมตร พีระมิดจะมีปริมาตรกี่ลูกบาศกเซนติเมตร

ก. 847

2 เซนติเมตร ข. 847

3 เซนติเมตร

ค. 847

5

เซนติเมตร ง. 847 เซนติเมตร

15. ดินนํ้ามันทรงกลม 3 กอน มีอัตราสวนของรัศมีเปน 3 : 2 : 1 นํามาปนรวมเปนกอนทรงกลม จะไดรัศมีเปนกี่เทาของรัศมี

ดินนํ้ามันกอนเล็กที่สุด

ก. 3

36 เทา ข. 3

14 เทา ค. 3

7 เทา ง. 3

6 เทา

เฉลยแนวขอสอบ O-NET


ให X แทนความยาวของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ

ให Y แทนความยาวของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก

ผลตางของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปเทากับ 12 ตารางเซนติเมตร

เราจะเขียนสมการไดวา X2 - Y

2 = 12 ……….. (1)

และความยาวของสี่เหลี่ยมใหญสั้นกวาสามเทาของความยาวของดานจัตุรัสรูปเล็กอยู 2 เซนติเมตร

เราจะเขียนสมการไดคือ 3Y-X = 2

X = 3Y-2 ………(2)

แทน X จาก (2) ลงใน (1) จะได (3Y-2)2 - Y

2 = 12

9Y2 -12Y + 4 - Y

2 -12 = 0

8Y2- 12Y -8 = 0


นํา 4 หารตลอดได 2Y2 -3Y -2 = 0

(2Y+1)(Y-2) = 0

Y = 2 , -1

2

นําคา Y ไปแทนใน (2) จะได X = 4 , -31

2

ดังนั้นเราก็สรุปไดวา สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญมีดานยาวยาว 4 ซม.

2. ตอบขอ ง. ดังวิธีทําตอไปนี้

จากเนื้อที่ 12 ไร เทากับ 12×400 = 4,800 ตารางวา

เปนเนื้อที่ถนนในหมูบาน 1

4× 4,800 = 1,200 ตารางวา

เหลือเนื้อที่ที่ใชปลูกบาน 4,800 – 1,200 = 3,600 ตารางวา

ดังนั้นจะปลูกบานได 3,600 ÷ 100 = 36 หลัง

3. ตอบขอ ค. ดังวิธีทําตอไปนี้

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม = (2r) (2r) = 4r2 ตารางหนวย

พื้นที่ครึ่งวงกลม = 1

2 πr

2 ตารางหนวย

ดังนั้น พื้นที่สวนที่แรเงา = 4r2 -

1

2 πr

2

= r2 (4 -

π2

)

4. ตอบขอ ค. เพราะวา (1 ตารางวา = 4 ตารางเมตร)

โจทยกําหนดวา สนามมีพื้นที่ 100 ตารางวา = 100 × 4 = 400 ตารางเมตร

สมมุติใหสนามรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวดานละ b หนวย

จะได b×b = 400

b2 = 400

b = 20

ดังนั้น เราจะไดสนามยาวดานละ 20 เมตร

เราจะได สนามมีความยาวรอบรูป 20×4 = 80 เมตร

เนื่องจากวาประตูกวาง 2.5 เมตร และจุด b หางจากเสาประตู 1.5 ม.

ดังนั้น ระยะที่จะปกเสา = 80 – (2.5+1.5) = 76 เมตร

โจทยบอกวาเริ่มปกเสาตอจากเสาประตูรั้วโดยปกหางกันดานละ 2 ม.

จะปกเสาได 76

2 = 38 ตน รวมกับเสาประตูอีก 2 ตน

ดังนั้นปกเสาทั้งหมด 38 + 2 = 40 ตน

5. ตอบขอ ค. ดังวิธีทําตอไปนี้

จากสูตรพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมู = 1

2 × ผลบวกของดานคูขนาน × สูง

= 1

2 × (12 + 21) × 26

= 429 ตารางวา

100 ตารางวา เปน 1 งาน

429 ตารางวา เปน 1x429

100 = 4.29 งา


6. ตอบขอ ข. (10,000 ตารางเซนติเมตร = 1 ตารางเมตร)

กระเบื้องมีขนาด 20× 20 = 400 ตารางเซนติเมตร

= 400

10,000= 0.04 ตารางเมตร

โจทยกําหนดวาจะตองใชกระเบื้องขนาดนี้ 80 กลอง กลองละ 25 แผน

เราจะไดวาบานหลังนี้มีพื้นที่ชั้นลาง 0.04×80×25 = 80 ตารางเมตร

7. ตอบขอ ง. ดังวิธีทําตอไปนี้

เวลา 3,600 วินาที = 1 ชั่วโมง

ถาหากวา 10,800 วินาที = 10,800

3,600 = 3 ชั่วโมง

ดังนั้นเราจะไปถึงสนามบินฉางซา คิดเปนเวลาไทย 18.30+3 = 21.30 น.

8. ตอบขอ ก. เพราะวา จากรูปสามเหลี่ยม ABC

หาความยาวของดาน CD

CD = 32-1.5

2

= 9-2.25 = 6.75

พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC = 1

2 × 6.75 × 3 =

3

26.75

สามเหลี่ยม DER ยาวดานละ 1 ซม.

DG = 12-0.5

2

= 1-0.25 = 0.75

พื้นที่ของสามเหลี่ยมรูปเล็ก = 1

2× 0.75 ×1

= 1

2

× 0.75 × 3 = 3

20.75

ดังนั้นพื้นที่ที่แรเงา = 3

26.75 - 3

20.75

= 3

26 = 3 3

2


อันดับแรกเรารูวาปริมาตรกรวย 50 แทง = ปริมาตรแทงเหล็ก

1

3πr

2h = กวาง×ยาว×สูง

50×1

3π(3

2)h = 55×10×6

150πh = 55×10×6

h = 55×10×6×7

150×22

h = 7

ดังนั้นความสูงของกรวยที่หลอใหมคือ 7 เซนติเมตร

10. ตอบขอ ก. ดังวิธีทําตอไปนี้

เสนผานศูนยกลางภายในคือ 0.5 เมตรดังนั้น r = 0.25 เมตร

วัสดุที่นํามาทําทอหนา 2 เซนติเมตร = 0.02 เมตร

จากตรงนี้เราจะรูทันทีวารัศมีภายนอก R = 0.25+0.02 = 0.27 เมตร

C

A 1.5 1.5

D

B

สูง 3

ฐาน

D

E 0.5 0.5

G

R

สูง 1

ฐาน


พื้นที่ที่จะทาสี = พื้นที่ผิวขางดานนอก + พื้นที่ผิวขางดานใน

= 2πRh + 2πrh

= 2π(0.27)(20) + 2π(0.25)(20)

= 20.8π ตารางเมตร


ปริมาตรทรงกลม = 4

3πr

3

ปริมาตรทรงกลมรัศมี 6 ฟุต = 4

3π (6)

3


3π (10)

3


3π (12)

3

ปริมาตรทรงกลมลูกที่สาม = 4

3π (12

3 - 6

3 -10

3) ลูกบาศกฟุต

= 4

3π (512) ลูกบาศกฟุต

= 4

3π (8

3) ลูกบาศกฟุต

เราจะไดทรงกลมลูกที่สามมีรัศมี เทากับ 8 ฟุต

12. ตอบขอ ข. เพราะ

ปริมาตรสามในสี่ของทรงกระบอกที่ใสเมล็ดพืช = 3

4× πr

2h

= 3

4× 3.14 × 2

2×8

= 75.36 ลูกบาศกเมตร

หากเราบรรจุเมล็ดพืชดวยอัตราเร็ว 4 ลูกบาศกเมตรตอนาที จะใชเวลา 75.36

4 = 18.84 นาที

13. ตอบขอ ค. เพราะ

จากโจทย เราตองหาสูงเอียง (l) จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส

l2 = (2 3 )

2 + 2

2

l = 4

พื้นที่ผิวขางถวยไอศกรีม = πrl

= π (2)(4) = 8π ตารางเซนติเมตร

กรวยทําดวยกระดาษเหลื่อมกัน 1

20 ของกระดาษทั้งหมด

กระดาษที่เหลื่อมกัน = 1

20 × 8π = 0.4π ตารางเซนติเมตร

ดังนั้น ถวย 1 ใบ ตองใชกระดาษ = 8π + 0.4π = 8.4π ตร.ซม.

= 8.4 × 3.14 = 26.376 ตร.ซม.

ถาทํากรวย 1,000 ใบ ตองใชกระดาษ = 26.376× 1,000 = 26,376 ตารางเซนติเมตร


14. ตอบขอ ข. เพราะ

จากโจทย ความยาวของเสนรอบวง = ความยาวเสนรอบฐานพีระมิด

2πr = 44

πr = 22

r = 7

ดังนั้น พีระมิดสูง 7 เซนติเมตร

ปริมาตรพีระมิด = 1

3 × พื้นที่ฐาน × สูง

= 1

3× 11 × 11 × 7

= 847

3 ลูกบาศกเซนติเมตร

15. ตอบขอ ก. เพราะ

ใหดินนํ้ามันกอนเล็กที่สุดมีรัศมี r หนวย

อัตราสวนของรัศมีของดินนํ้ามัน คือ 3 : 2 : 1

ดังนั้นปริมาตรของดินนํ้ามันทั้งหมด คือ

4

3π(3r)

3 +

4

3π(2r)

3 +

4

3π(r)

3

= 4

3π (27r

3 + 8r

3 + r

3)

= 4

3π (36r

3) ; 36r

33

= ( 363

)r

เราจะไดวารัศมีของดินนํ้ามันที่เกิดจาก 3 กอนรวมกันเปน 363

เทาของรัศมีกอนที่เล็กที่สุด


• สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร

11: ปริซึม พีระมิด

http://www.trueplookpanya.com

/book/m3/onet-math/ch2-1

• สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร

02: ทรงกลม กรวยยอดตัด




ม.3 : เทคนิคพื้นที่และปริมาตร (1)











บันทึกชวยจํา

• สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร • สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร • สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร • สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร • สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร

11: ปริซึม พีระมิด 11: ปริซึม พีระมิด 11: ปริซึม พีระมิด 11: ปริซึม พีระมิด

http://www.trueplookpanya.com http://www.trueplookpanya.com


• สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร • สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร

02: ทรงกลม กรวยยอดตัด 02: ทรงกลม กรวยยอดตัด


/book/m3/onet-math/ch2-2 /book/m3/onet-math/ch2-2


ม.3 : เทคนิคพื้นที่และปริมาตร (1) ม.3 : เทคนิคพื้นที่และปริมาตร (1) ม.3 : เทคนิคพื้นที่และปริมาตร (1)

http://www.trueplookpanya.com http://www.trueplookpanya.com http://www.trueplookpanya.com http://www.trueplookpanya.com

/book/m3/onet-math/ch2-3 /book/m3/onet-math/ch2-3 /book/m3/onet-math/ch2-3 /book/m3/onet-math/ch2-3

• สอนศาสตร คณิตศาสตร • สอนศาสตร คณิตศาสตร • สอนศาสตร คณิตศาสตร




• สอนศาสตร คณิตศาสตร • สอนศาสตร คณิตศาสตร • สอนศาสตร คณิตศาสตร • สอนศาสตร คณิตศาสตร

ม.3 : เทคนิคพื้นที่และปริมาตร (3) ม.3 : เทคนิคพื้นที่และปริมาตร (3) ม.3 : เทคนิคพื้นที่และปริมาตร (3) ม.3 : เทคนิคพื้นที่และปริมาตร (3) ม.3 : เทคนิคพื้นที่และปริมาตร (3)




Tag : สอนศาสตร, คณิตศาสตร, การวัด, การหาพื้นที่, พื้นที่ผิวและปริมาตร, พีระมิด, ปริซึม, กรวย,

ทรงกลม, ทรงกระบอก



เรขาคณิต

ในสวนของสาระที่ 3 นี้นะนองๆ จะเปนเรื่องสั้นๆ ที่เกี่ยวกับการกระทํากับรูปทรงเรขาคณิตในรูปแบบตางๆ ไมวาจะเปนการ

เล่ือนแกน, การสะทอน และการหมุน ซ่ึงเราไดถูกเรียนกันมาสมัย ม.2 และพระเอกสําหรับในสาระนี้ก็จะเปนเรื่องทฤษฏีบท

พีทาโกรัส ซ่ึงอาจจะเปนยาขมสําหรับนองๆ บางคนที่จะตองจําสูตรและนําสูตรไปใชไดอยางเขาใจและถูกตอง รวมถึงเรื่องของ

เสนขนานและสามเหลี่ยมคลายเปนเรื่องที่นองๆ จะตองเขาใจทฤษฏีและหาความสัมพันธของดานและมุมของรูปเรขาคณิตตางๆ ได

นะ แตสาํหรับความตัง้ใจแลวพวกๆ พีค่ดิวาไมยากเกินไปสาํหรบันองๆ ทกุคน ถาอยางนัน้เรามาเริ่มในสวนของเรื่องแรกในสาระนีก้นั

เลยดีกวา

3.1 การแปลงทางเรขาคณิต

การแปลงทางเรขาคณิต เปนส่ิงที่เรานํามาใชเรียกในการดําเนินการใดๆ ทางเรขาคณิตทั้งในสองมิติและสามมิติ ซ่ึงการ

แปลงทางเรขาคณิตจะมีทั้งหมด 3 ชนิด ดังตอไปนี้

1. การเลื่อนแกนทางขนาน

2. การสะทอน

3. การหมุน

ภาพที่ไดจากการแปลงลักษณะเหลานี้จะไดภาพและขนาดที่เหมือนกับรูปตนแบบทุกประการ

การเลื่อนขนาน (Translation)

การเล่ือนขนานตองมีรูปตนแบบ ทิศทางและระยะทางที่ตองการเล่ือนรูป การเล่ือนขนานเปนการแปลงที่จับคูจุดแตละจุด

ของรปูทีไ่ดจากการเล่ือนรปูตนแบบไปในทศิทางใดทศิทางหน่ึงดวยระยะทางทีก่าํหนด จดุแตละจดุบนรปูทีไ่ดจากการเล่ือนขนานระยะ

หางจากจุดสมนัยกันบนรูปตนแบบเปนระยะทางที่เทากัน การเลื่อนในลักษณะนี้เรียกอีกอยางหนึ่งวา “สไลด (slide)”

การเลื่อนขนานบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเลื่อนทุกจุดไปบนระนาบตามแนวเสนตรงในทิศทางเดียวกัน

และเปนระยะทางที่เทากันตามที่กําหนดในการบอกทิศทางและระยะทางของการเลื่อนขนาน จะใชเวกเตอรเปนตัวกําหนด

B

C

P

PO

A

B'

C'

P'

A'


การสะทอน (Reflection)

เปนการแปลงที่มีการจับคูกันระหวางจุดแตละจุดบนรูปตนแบบกับจุดแตละจุดบนรูปสะทอน โดยที่รูปเกิดจากการสะทอน มี

ขนาดและรูปรางเชนเดิม หรือรูปที่เกิดจากการสะทอนเทากันทุกประการกับรูปเดิม

เสนสะทอนจะแบงครึ่งและต้ังฉากกับสวนของเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุดแตละจุดบนรูปสะทอนที่สมนัยกัน นั่นคือระยะ

ระหวางจุดตนแบบและเสนสะทอนเทากับระยะระหวางเสนสะทอนและจุดสะทอน

สมบัติการสะทอนมีดังนี้

1. รูปตนแบบและภาพที่ไดจากการสะทอนเทากันทุกประการ

2. สวนของเสนตรงบนรปูตนแบบและภาพทีไ่ดจากการสะทอนของสวนของเสนตรงน้ัน ไมจาํเปนตองขนานกนัทกุคู

3. สวนของเสนตรงทีเ่ชือ่มจุดแตละจุดบนรูปตนแบบกบัจุดทีส่มนยักันบนภาพที่ไดจากการสะทอนจะขนานกนั และ

ไมจําเปนตองยาวเทากัน

สรุปวา ภาพสะทอนมีรูปรางและขนาดเดียวกัน แตตรงขามกับ

วตัถตุนแบบ และระยะทางของแตละดานของเสนสะทอน

จะยาวเทากัน

การหมุน (Rotation)

สมบัติของการหมุนมีดังนี้

1. รูปตนแบบกับภาพที่ไดจากการหมุนเทากันทุกประการ

2. สวนของเสนตรงบนรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการ

หมุนสวนของเสนตรงนั้นไมจําเปนตองขนานกันทุกคู

3. จุดบนรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการหมุนแตละคู

จะอยูบนวงกลมที่มีจุดหมุนเปนจุดศูนยกลางเดียวกัน แตวงกลมเหลานี้

ไมจําเปนตองมีรัศมียาวเทากัน

A

B

C

F

E

D

A'

B'

C'

A

B

C

O

K

A'

B'

C'

วัตถุจะเกิดการหมุนไปแตละจุดบนภาพที่เกิดขึ้น

ยังคงมีทิศทางเดียวกันจากจุดคงที่จุดหนึ่ง


3.2 เสนขนาน

เสนขนานจะเกดิขึน้จากเสนตรงสองเสนทีอ่ยูบนระนาบเดียวกนัขนานกนัและเสนตรงทัง้สองไมตัดกนั เมือ่ AB ขนานกบั CD

จะเขียนแทนดวยสัญลักษณ AB // CD

สมบัติตางๆของเสนขนาน

1. สมบัติของเสนขนานกับมุมภายใน ถาหาก AB // CD มี PQ เปนเสนตัด จะสรุปไดวา 1^

+ 3^

= 180o

และ 2^

+ 4^

= 180o

2. สมบัติของเสนขนานกับมุมแยง ถาหาก AB // CD มี PQ เปนเสนตัด จะสรุปไดวา 1^

= 4^

และ 2^

= 3^

3. จากรูปสมบัติของเสนขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน ถาหาก AB // CD มี PQ เปนเสนตัด จะสรุปไดวา

1^

= 5^

, 2^

= 6^

, 4^

= 8^

และ 3^

= 7^

ตัวอยางที่ 1

1) 2)

A

e

f

B

D

1

3

2

4

C

A

P

Q

B

D

1

5

3

7

2

6

4

8

C

A

X

124o

56o

Y

C

B

D

A X

94o

YC

B

D


วิธีทํา 1. AB // CD เพราะวาขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันรวมกันได = 124o+56

o= 180

o

2. AB ไมขนานกับ CD เพราะวาขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันรวมกันได = 94o+90

o

= 184o = 180

o

ตัวอยางที่ 2 กําหนดให AB // CD จงหาคา x

เนื่องจาก AB // CD จะได (x+10o)+72

o = 180

o

x+ 82o = 180

o

x = 180o-82

o

x = 98o

3.3 พีทาโกรัส

ในรปูสามเหล่ียมมมุฉากใดๆ พืน้ทีร่ปูส่ีเหล่ียมจตุัรสับนดานตรงขามมมุฉาก จะมคีาเทากบัผลบวกของพืน้ทีร่ปูส่ีเหล่ียมจตุัรสั

บนดานประกอบมุมฉากรวมกัน เราสามารถนํามาเขียนเปนสมการไดดังนี้

c2 = a

2 + b

2

ถาเมื่อไหรที่ c2 = a

2 + b

2 แลวรูปสามเหลี่ยมนั้นจะเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปแบบมาตรฐานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เรานํามาใชบอยๆ

1. 3, 4, 5 6. 11, 60, 61

2. 5, 12, 13 7. 12, 35, 37

3. 7, 24, 25 8. 20, 21, 29

4. 8, 15, 17 9. 1, 3 , 2

5. 9, 40, 41 10. 1, 1, 2

ถาหากวาเราอยากรูวารปูสามเหล่ียมนัน้ๆ เปนชนดิของรปูสามเหล่ียมมุมอะไร เรามีหลักเกณฑในการพจิารณา ตามดานลาง

นี้เลยนะ

เมื่อ c เปนความยาวของดานที่ยาวที่สุด

1. ถา c2

= a2 + b

2 แลว รูปนั้นจะเปน มุมฉาก

2. ถา c2

> a2 + b

2 แลว รูปนั้นจะเปน มุมปาน

3. ถา c2

< a2 + b

2 แลว รูปนั้นจะเปน มุมแหลม

4. ถา c = a+b แลวจะเปนเสนตรง สรางเปนรูป ไมได เชน 5, 5, 10 เปนตน

c D

A F

E

B

72o

(x+10)2

C

a

b

bc

a


3.4 สามเหลี่ยมคลาย

สามเหลี่ยมคลาย ก็คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีขนาดของมุมเทากันสามคู

และอัตราสวนของความยาวดานเดียวกัน หรือที่เรียกวา ความยาวของ

ดานคูที่สมนัยกันในทุกๆ คู จะมีอัตราสวนที่เทากัน

สรุปคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน มีดังนี้

ถา ABC ~ DEF แลว

1. มุมที่สมนัยกันจะมีขนาดเทากัน จากรูป A^

= D^

, B^

= E^

, C^

= F^

2. ดานที่สมนัยกันจะเปนสัดสวนกัน จากรูป a

d =

b

e =

c

f

เกร็ดความรู

สามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการจะเปนสามเหลี่ยมที่คลายกันเสมอ แตสามเหลี่ยมที่คลายกัน

จะไมเปน สามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ


1. ขอใดไมเกี่ยวของกับการสะทอน

ก. ภาพเสมือนที่ปรากฏในกระจกเงา

ข. ภาพเงาของตนไมในนํ้า

ค. ภาพตัวหนังสือกลับดานเมื่ออานผานกระจกมองหลัง

ง. ภาพนกหลายๆตัวบินดวยกันบนทองฟา

2. ลูกเสือออกเดินทางไปยังที่พักแรมแหงหนึ่ง ตามแผนผังการเดินทางจะตองเดินตรงไปทางทิศเหนือของโรงเรียน

11 กิโลเมตร เลี้ยวขวาตรงไปทางทิศตะวันออก 12 กิโลเมตร แลวตรงขึ้นไปทางทิศเหนืออีก 5 กิโลเมตร จึงจะถึงที่พัก ระยะทางที่สั้น

ที่สุดจากโรงเรียนไปถึงที่พักแรมยาวกี่กิโลเมตร

ก. 16 กิโลเมตร ข. 17 กิโลเมตร

ค. 20 กิโลเมตร ง. 23 กิโลเมตร

3. ถา AB // CD คาของ 2x + 1 เทากับเทาไร

ก. 50

ข. 51

ค. 52

ง. 53

4. เสาโทรทศันตนหนึง่ต้ังฉากกบัพืน้ราบ มคีวามสูง 7.2 เมตร ขงึลวดยดึเสาโทรทศันตรงกึง่กลางของเสา โดยขงึลวด 4 เสน

ระยะหางจากโคนเสาถึงปลายลวดที่พื้นคือ 2.7 เมตร จะตองใชลวดทั้งหมดยาวกี่เมตร (ไมรวมลวดที่ใชผูก)

ก. 16 เมตร ข. 18 เมตร

ค. 20 เมตร ง. 22 เมตร

A

D

F E

b c

e f

a

C B

B4x+30

o

7x-45o

D

C

A

d


5. จากรูป CD= 25 ซม. และ BC= 9 ซม. แลว (AB)2+(AC)

2+(AD)

2 มีคาเทาใด

ก. 1,381 ซม. ข. 1,251 ซม.

ค. 1,151 ซม. ง. 891 ซม.

6. เงาของตึกหลังหนึ่งทอดยาว 24 เมตร ขณะที่เสาไฟฟาตนหนึ่งสูง 2 เมตร เงาทอดยาว 3 เมตร ซึ่งไปทับเงาของปลาย

ยอดตึกพอดี อยากทราบวาตึกสูงกี่เมตร

ก. 16 เมตร ข. 17 เมตร

ค. 18 เมตร ง. 19 เมตร

7. ชางไฟฟาไดนําบันไดซึ่งยาว 15 เมตร วางพาดกับเสาไฟฟาตนหนึ่งซึ่งสูง 18 เมตรปรากฏวาปลายบันไดพาดติดเสาซึ่ง

อยูสูงจากพื้น เปนระยะ 2

3 ของความสูงของเสา ถาชางไฟฟาคนนี้ปนขึ้นไปได

3

5 ของความยาวบันได ชางไฟฟาคนนี้จะอยูสูงจาก

พื้นดินเทาไร

ก. 2.4 เมตร ข. 3.6 เมตร

ค. 7.2 เมตร ง. 8.4 เมตร

8. “….. บนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเล่ือนจุดทุกจุดไปบนระนาบตามแนวเสนตรงในทิศทางเดียวกันและ

เปนระยะทางที่เทากันตามกําหนด” ควรเติมขอความใดเพื่อใหสอดคลองกับขอความที่กําหนดให

ก. การเคลื่อนที่ ข. การหมุน

ค. การเลื่อนขนาน ง. การสะทอน

9. เด็กคนหนึ่งยืนหางจากตึก 45 เมตร มองเห็นยอดตึก 10 ชั้นเปนมุมเงย 60o เมื่อเขาเดินเขาหาตึกเปนระยะทาง 15 เมตร

แลวแหงนหนามองตึกชั้นที่หาเปนมุมเงย 30o ถาตึกชั้นที่ 5 สูงจากพื้นดิน 11.5 เมตร จงหาความสูงของตึกสิบชั้น

ก. 7.25 เมตร ข. 17.25 เมตร

ค. 27.25 เมตร ง. 37.25 เมตร

10. จากรูปกําหนดให AB // CD มี CFE^

= (2x+2y) และ DGE^

= 5y-8 จงหาคา x+y

ก. 20

ข. 40

ค. 60

ง. 80

11. ABC เปนรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมี AB = 5 นิ้ว, BC= 9 นิ้ว และ CA= 7 นิ้ว

จากจุด A ลาก AD ตั้งฉากกับ BC ที่จุด D แลว AD ยาวเทาไร

ก. 7 11

6

นิ้ว ข. 6 11

6

นิ้ว

ค. 11 7

6

นิ้ว ง. 6 7

11

นิ้ว

12. เสาอากาศทีวีสูง 24 ฟุต ถาใชลวดโยงจากยอดเสามายังหลักที่ปกอยูที่พื้นสามจุด ซึ่งหลักอยูหางจากโคนเสา 45 ฟุต,

18 ฟุต และ 32 ฟุต ตามลําดับ จะตองใชลวดยาวทั้งหมดกี่ฟุต

ก. 99 ฟุต ข. 116 ฟุต

ค. 121 ฟุต ง. 126 ฟุต

13. สมศรีสูง 160 ซม. ยืนอยูหางจากเสาไฟฟา 8 เมตร ที่ปลายเสาไฟฟามีโคมไฟอยูทําใหเห็นเงาของสมศรีทอดยาวไป

4 เมตร ถาปลายของยอดเสา ศีรษะและปลายเงาของสมศรีอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน จงหาความสูงของเสาไฟฟา

ก. 4.0 เมตร ข. 4.8 เมตร

ค. 4.5 เมตร ง. 4.2 เมตร

A

B DC

H

E

A B

C F G D

48o

32o

(2x+2y)o

(5y-8)o


14. จากรูปกําหนด BC ขนานกับ XY และ AX ยาว 6 หนวย, XB ยาว 3 หนวย,

YX ยาว 4 หนวย จงหาความยาวของ BC

ก. 4 หนวย ข. 6 หนวย

ค. 8 หนวย ง. 10 หนวย

15. ขอใดกลาวไมถูกตองเกี่ยวกับสมบัติของการเลื่อนขนาน

ก. สวนของเสนตรงบนรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของสวนของเสนตรงนั้นจะขนานกัน

ข. รูปตนแบบและภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานมีขนาดเทากันทุกประการ

ค. สามารถพลิกรูปตนแบบทับภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานไดสนิท

ง. จุดทุกจุดบนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานจะมีระยะหางจากรูปตนแบบเปนระยะทางเทากัน

เฉลยแนวขอสอบ O-NET

1. ตอบขอ ง.

“ภาพนกหลาย ๆ ตัวบินดวยกันบนทองฟา” ไมเกี่ยวของกับการสะทอน

2. ตอบขอ ค.

จากโจทยสรางแบบจําลอง ไดตามดานลางนี้

ให AB แทนระยะทางที่สั้นที่สุดจากโรงเรียนถึงที่พักแรม

จาก ทฤษฏีบทพีทาโกรัส AB2 = AC

2 + BC

2

= (12)2 + (11 + 5)

2

= 256 + 144

= 400

ดังนั้น AB = 400 = 20

เราจะได ระยะทางที่สั้นที่สุดจากโรงเรียนถึงที่พักแรมยาว 20 กิโลเมตร

3. ตอบขอ ข

จากรูป จะเห็นวามุมแยงทั้งสองมุมนี้จะมีคาเทากัน

ดังนั้นเราจะได 4x+30 = 7x-45

7x-4x = 30+45

3x = 75

X = 75

3 = 25

จากโจทยตองการหาคา 2x+1 = 25(2) +1 = 51


ใหลวด x ที่ใชแตละเสนยาว x เมตร

จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส c2 = a

2 + b

2

c2 = (3.6)

2 + (2.7)

2

c2 = 12.96+7.29

= 20.25

C = 4.5 = x

ดังนั้นตองใชลวดยาวทั้งหมดเทากับ 4.5×4 = 18 เมตร

C

Y

A X B

A

B

12 กม.

11 กม.

5 กม.

C

B4x+30

o

7x-45o

D

C

A


5. ตอบขอ ก

ใหความยาว AC = x ซม.

ความยาว AB = y ซม.

ความยาว AD = z ซม.

ACD ; x2 = z

2 – (25)

2 = z

2 – 625 .......(1)

ACB ; x2 = y

2 – (9)

2 = y

2 – 81 …….(2)

ใหนํา (1) + (2); x2 = y

2+ z

2 – 706 …….(3)

พิจารณา ABD; y2+ z

2 = (25+9)

2 = 1,156 นําไปแทนใน (3)

จะได 2x2 = 1,156 – 706 =450

x2 = 450

2 = 225

ดังนั้น x2+ y

2+ z

2 = 225+1,156 = 1,381

นั่นคือ (AB)2+ (AC)

2+(AD)

2 = 1,381


ใหตึกสูง x เมตร

จากทฤษฏีของสามเหลี่ยมคลายจะได 24

3 = x

2

คูณไขว ดังนั้น x = 48

3 = 16 เมตร

7. ตอบขอ ค

จากรูปให PQ เปนความสูงของเสาไฟฟา ซึ่ง PQ = 18 เมตร

AB เปนความยาวของบันได ซึ่ง AB = 15 เมตร

ดังนั้น BQ = 2

3PQ = 2

3 × 18 = 12 เมตร

XY เปนความสูงของชางที่ขึ้นบันไดไปได 3

5 ของความยาวบันได

เราจะได AX = 3

5 × 15 = 9 เมตร

ABQ ~ AXY จะได XY

BQ= AX

AB

XY

12= 9

15

คูณไขวกัน XY = 9x12

15= 7.2 เมตร

ดังนั้น ชางไฟฟาจะอยูสูงจากพื้นดิน 7.2 เมตร


เพราะวา การเล่ือนขนานบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเล่ือนจุดทุกจุดไปบนระนาบตามแนว

เสนตรงในทิศทางเดียวกันและเปนระยะทางที่เทากันตามกําหนด


x+11.5

11.5 = 45

30

x+ 11.5 = 17.25

ดังนั้น x = 5.75 เมตร

เนื่องจากวา x ที่เราหาไดนั้นเปนความยาวตั้งแตชั้น 5 ถึงชั้น 10

เพราะฉะนั้นตึกมีความสูง 11.5 + 5.75 = 17.25 เมตร

B

QA

x

y

P

ตึก

45 ม.

5 ม.

x ม.

11.5 ม.

60o

30o

เสา

3 ม.

2 ม.

ตึก

24 ม.



จากรูป จะเห็นวา มุม AEF = 180o - (48

o + 32

o)

= 180o - 80

o = 100

o

และ มุม BEG = 180o – (32

o + 100

o)

= 180o - 132

o = 48

o

จากทฤษฏีเสนขนาน จะไดมุม BEG + มุม DGE = 180o

48o + (5y – 8)

o = 180

o

(5y + 40)o = 180

o

5y = 140o

y = 28o

และจากทฤษฏีเสนขนาน จะไดมุม CFE + มุม AEF = 180o

(2x+2y)o + 100

o = 180

o

(2x+2y)o = 80

o

แทนคา y = 28o จะได (2x + 2(28))

o = 80

o

2x = 24o

x = 12o

ดังนั้น คา x+y = 28o + 12

o = 40

o


กําหนดให BC = 9 นิ้ว ให BD = x นิ้ว

จะไดวา CD = 9-x นิ้ว

พิจารณาจาก ADB; (AD)2 = (5)

2 – (x)

2

(AD)2 = 25 – (x)

2 ……. (1)

พิจารณาจาก ADC; (AD)2 = (7)

2 – (9-x)

2

(AD)2 = 49 – 81 + 18x - x

2

(AD)2 = -32 + 18x - x

2 ….. (2)

(1)=(2); 25 – (x)2 = -32 + 18x - x

2

18x = 57

X = 57

18, 19

6

แทนคา x = 19

6 ใน (1) ;

(AD)2 = 25 – ( 19

6)2

= 25 - 361

36 = 900-361

36 = 539

36

AD = 539

36 = 7 11

6 นิ้ว


จากรูป เราพบวา AB, BC และ BD เปนความยาวของเสนลวด

พิจารณา AOB จะได AB2 = AO

2 + OB

2

= 452 + 24

2

= 2,025 + 576 = 2,601

H

E

A B

C F G D

48o

32o

(2x+2y)o

(5y-8)o


ดังนั้น AB = 2,601 = 51

พิจารณา COB จะได BC2 = BO

2 + OC

2

= 242 + 18

2

= 576 + 324

= 900

ดังนั้น BC = 900 = 30

พิจารณา DOB จะได BD2 = BO

2 + OD

2

= 242 + 32

2

= 576 + 1,024

= 1,600

ดังนั้น BD = 1,600 = 40

เพราะฉะนั้น เราใชลวดยาวทั้งหมด 51+30+40 = 121 ฟุต


ABE ~ ACD ฉะนั้น

DC

EB= CA

BA

DC

1.6= 12

4

DC = 12

4× 1.6

DC = 4.8 ม.

ดังนั้น DC ยาว 4.8 เมตร


เนื่องจาก ABC ~ AXY

จะได BC

XY= AB

AX

BC

4= 9

6

BC = 9

6× 4

ดังนั้น BC = 6 หนวย


สมบัติของการเลื่อนขนาน มีดังนี้

1. การเล่ือนขนานบนระนาบ เปนการแปลงทางเรขาคณิตทีม่กีารเล่ือนจดุทกุจดุบนระนาบตามแนวเสนตรงในทศิทาง

เดียวกันและเปนระยะทางที่เทากันตามที่กําหนด

2. สามารถเล่ือนรปู ตนแบบทบัภาพทีไ่ดจากการเล่ือนขนานไดสนิทโดยไมตองพลิกรปู หรอืกลาววารปูตนแบบและ

ภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานจะเทากันทุกประการ

3. สวนของเสนตรงบนรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของสวนของเสนตรงนั้นจะขนานกัน

ดังนั้น ขอความในขอ ค. กลาวไมถูกตอง

A

E

D

CB4 ม. 8 ม.

1.6 ม.

A

B

C

D

24 ฟุต

32 ฟุต

45 ฟุต

18 ฟุต

O


• คลังความรู ทฤษฏีบทพีทาโกรัส


/m3/onet-math/ch3-7

• การแปลงทางเรขาคณิต – การสะทอน


/m3/onet-math/ch3-8

• เรขาคณิต


/m3/onet-math/ch3-9

• ทฤษฎีบทของปทาโกรัส

(The Pythagorean Theorem)


/m3/onet-math/ch3-10

• 15 : ความคลาย



• 16 : เรขาคณิต 1



• 17 : เรขาคณิต 2



• 20 : อัตราสวนตรีโกณมิติ



• ตอน12 ตรีโกณมิติ




Tag : สอนศาสตร, คณิตศาสตร, เรขาคณิต, การแปลงทางเรขาคณิต, การเลื่อนขนาน, การสะทอน,

การหมุน, เสนขนาน, ความคลาย, ทฤษฏีบทพีทาโกรัส


นองๆ ทกุคนในสาระที ่4 นีจ้ะเปนสาระทีค่อนขางยากอีกสาระหน่ึงทีเ่ราจะตองอาศยัความเขาใจและตีความโจทยปญหาเพือ่

ที่จะสรางเปนตัวเลขและหาคําตอบออกมาใหได ใชแลวนองๆ ทุกคนคงพอจะเดาออกแลวนะวา คําวา ‘พีชคณิต’ นี้เราจะพูดในเรื่อง

ของสมการเปนหลักเพยีงอยางเดียว ทัง้สมการเชงิเสนตัวแปรเดียวและระบบสมการทีจ่ะประกอบดวย 2 ตัวแปร พวกพี่ๆ จะเปนหวง

นองๆ ในเรื่องของการตีความโจทยปญหาของสมการ ซ่ึงบางคนยังมีปญหาเรื่องของการวิเคราะหโจทยปญหาซ่ึงแนนอนถาเรา

วิเคราะหโจทยผิดปบ จบแนนอนละสําหรับเรื่องนี้ เอาละที่พี่พูดมาอาจจะดูนากลัวไปนิดนึงแตปญหาทุกอยางมีทางแกไข วันนี้พี่ๆ ทุก

คนไดรวบรวมเนื้อหาและโจทยปญหาที่เปนแนวทางในการเตรียมตัวสอบ O-NET มาชวยเพิ่มความมั่นใจใหนองๆ ทุกคน ถา

อยางนั้นเราลองมาดูในเรื่องแรกสําหรับสาระที่ 4 นี้กันเลยดีกวา

4.1 สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

สมการ คือ ประโยคสัญลักษณที่บอกถึงความสัมพันธของจํานวนโดยใชสัญลักษณ = (เทากับ) ซึ่งสิ่งที่เกิดขึ้นนั้น อาจจะเปน

จริงหรือเท็จก็ได

สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เราจะพูดถึงสมการที่มีตัวแปรเดียวและมีดีกรีเปนหนึ่ง

รูปทั่วไปของสมการคือ ax + b = 0

เมื่อ a 0 และ a, b เปนคาคงตัวที่มี x เปนตัวแปร

ตัวอยาง สมการทั้งหมดตามดานลางนี้เปนสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

x + 7 = 11

3 (x-5) = 8

-8 + a = -2

การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ทําได 2 วิธี ดังนี้

1. โดยการแทนคาตัวแปร คือ การนําจํานวนไปแทนในสมการเพื่อใหคาที่ไดเปนจริง เชน 2x + 3 = 9 ถาเราแทนคา

x = 3 ก็จะทําใหสมการเปนจริงเราจึงไดคําตอบของสมการนี้วา x = 3

2. โดยใชสมบัติของการเทากัน ซึ่งไดแก สมบัติสมมาตร, สมบัติการถายทอด, สมบัติการบวกและการคูณ

2.1 สมบัติสมมาตร ให a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ ถา a = b แลว b = a

2.2 สมบัติการถายทอด ให a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ ถา a = b แลว a = c และ b = c

2.3 สมบัติของการบวก ให a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ ถา a = b แลว a+c = b+c

2.4 สมบัติของการคูณ ให a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ ถา a = b แลว ac = bc


พีชคณิต


ตัวอยาง จงแกสมการ 3-2x

6 - 5+x

3 = 1

2

วิธีทํา นํา ค.ร.น. 6 ไปคูณทั้งสองขางของสมการ

6(3-2x

6) – 6( 5+x

3) = 6( 1

2)

3 – 2x – 2(5 + x) = 3

3 – 2x -10 – 2x = 3

-4x – 7 = 3

-4x = 10

x = -10

4 = -5

2

หลักในการแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

1. อานโจทยปญหาใหเขาใจแลววิเคราะหโจทยเพื่อหาวา โจทยกําหนดอะไรมาให และโจทยตองการทราบอะไร

2. กําหนดตัวแปรหนึ่งตัวแทนสิ่งที่โจทยใหหาหรือแทนสิ่งที่เกี่ยวของกับที่โจทยตองการทราบ

3. สรางสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวตามความสัมพันธที่โจทยกําหนดให

4. แกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

5. วิเคราะหคําตอบของสมการ เพื่อหาคําตอบของโจทยปญหา

6. ตรวจคําตอบ

7. ในกรณีที่โจทยปญหามีความซับซอนใหใชรูปภาพเพื่อชวยในการหาคําตอบไดงายขึ้น

ตัวอยาง ฟลมมีเงินเปนครึ่งหนึ่งของอู และอูมีเงินเปน 3 เทาของแมน ทั้งสามคนมีเงินรวมกัน 110 บาท แตละคนมีเงิน

เทาใด

วิธีทํา ใหฟลมมีเงิน x บาท

อูมีเงินเปน 2x บาท

แมนมีเงินเปน 2x( 1

3) = 2x

3 บาท

ดังนั้น จะได x + 2x + 2x

3 = 110

3x + 6X + 2X = 330

11X = 330

X = 330

11 = 30

ดังนั้น ฟลมมีเงิน 30 บาท

อูมีเงิน 2(10) = 60 บาท

แมนมีเงิน 110 – 90 = 20 บาท

4.2 ระบบสมการเชิงเสนและระบบสมการ

สมการเชิงเสนสองตัวแปร คือ สมการที่มีตัวไมทราบคาหรือตัวแปรสองตัว และมีดีกรีเปนหนึ่ง

รูปทั่วไปของสมการ คือ Ax + By + C = 0 เมื่อ A,B,C เปนคาคงตัว โดยที่ A และ B ไมเปนศูนยพรอมกัน

การแกสมการเชิงเสนสองตัวแปร ทําได 3 วิธี ดังนี้

1. โดยใชกราฟ วิธีนี้จะไมคอยเปนที่นิยมเนื่องจากมีความยุงยาก


2. โดยการแทนคา มีวิธีการดังนี้คือ

x + y = 5 …….(1)

x – y = 1 …….(2)

2.1 เขียนตัวแปรหนึ่งใหอยูในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง เชน

x + y = 5 …….(1)

เขียนแทนดวย x = 5 - y ….. (3)

2.2 แทนคาตัวแปรของสมการที่ 2.1 ลงในอีกสมการหนึ่งที่ไมใชสมการเดิม

จากโจทย ก็คือแทน (3) ลงใน (2)

x – y = 1 …….(2)

แทนคาเปน (5-y)-y = 1 หลังจากนั้นก็แกสมการจะไดคา y = 2

2.3 หลังจากนั้นนําคา y ที่ไดไปแทนในสมการที่ (1) หรือ (2) ก็ได ในที่นี้จะแทนคา y = 2 ลงในสมการที่ (2)

จะได

x – y = 1 …….(2)

x – 2 = 1

x = 3

ดังนั้นคําตอบของระบบสมการคือ x = 3 และ y= 2

3. วธิกีาํจดัตัวแปรใดตัวแปรหน่ึงใหหมดไป (Eliminating)วธินีีใ้ชกาํจดัตัวแปรใดตัวแปรหนึง่ออกกอนโดยทีสั่มประสิทธิ์

ดานหนาจะตองเทากัน เชน

X + Y = 5 …(1)

X – Y = 1 …(2)

(1)-(2)

(X – X) + (Y – (-Y)) = 5 – 1

2Y = 4

Y = 2

นําผลลัพธที่ได Y = 2 แทนคาลงไปในสมการใดก็ได ในที่นี่แทนคาลงไปในสมการที่ (1)

X + Y = 5 …(1)

ไดวา X + 2 = 5

X = 5 – 2

= 3

ดังนั้นคําตอบของระบบสมการนี้ คือ X = 3, Y = 2

หลักในการแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนสองตัวแปร

1. ใหอักษรภาษาอังกฤษบางตัว เชน x แทนตัวที่ไมทราบคา

2. ใหอักษรตัวที่ไมไดใชใน (1) เชน y แทนตัวที่ไมทราบคาอีกตัวหนึ่ง

3. เขียนสมการเชิงเสนสองตัวแปร สองสมการ ที่เปนอิสระตอกัน

4. หาคําตอบของระบบสมการเชิงเสน 2 ตัวแปร

5. ตรวจคําตอบ


ตัวอยาง นําแปงสองชนิดราคากิโลกรัมละ 30 บาทและ 36 บาท ตองนําแปงมาผสมกันในอัตราสวนเทาไร จึงจะทําให

แปงผสมราคากิโลกรัมละ 34 บาท

วิธีทํา กําหนดแปงชนิดราคากิโลกรัมละ 30 บาท มี x กิโลกรัม

กําหนดแปงชนิดราคากิโลกรัมละ 36 บาท มี y กิโลกรัม

แปงผสมแลวมี 30x + 36y บาท และจํานวนแปงที่ผสมแลวมี x+y กิโลกรัม

ดังนั้นราคาแปงที่ผสมราคากิโลกรัมละ 30x+36y

x+y บาท

แตโจทยกําหนดวาใหแปงผสมราคากิโลกรัมละ 34 บาท

ไดสมการ คือ 30x+36y

x+y = 34

30x+36y = 34x+ 34y

2y = 4x

x

y = 1

2

ดังนั้นจะตองนําแปงชนิด 30 กิโลกรัมและ 36 กิโลกรัมผสมกัน ในอัตราสวน 1:2

สมการกําลังสอง เปนสมการที่มีตัวแปรหนึ่งตัวยกกําลังสอง

รูปทั่วไปของสมการกําลังสองคือ ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a 0

ถา a = 0 จะเปนสมการเชิงเสน ซึ่ง a และ b เปนสัมประสิทธิ์ของ x2 และ x ตามลําดับ สวน c คือ สัมประสิทธิ์คงตัว และ

กราฟของสมการกําลังสองสามารถวาดไดเปนรูปพาราโบลา

การแกสมการกําลังสอง ทําได 2 วิธี ดังนี้

1. โดยใชสูตร x =-b+ b-4ac

2a-

2

จะมีรากคําตอบของสมการ 2 คําตอบเสมอ

2. การแยกตัวประกอบ

ตัวอยาง 3x-y = 12 ……(1)

xy = 63 ……(2)

จาก (1); y = 3x-12 ……(3)

แทนคาจาก (3) ลงใน (2) จะไดวา

x(3x-12) = 63

3x2-12x-63 = 0

x2-4x-21 = 0

(x-7) (x+3) = 0

X = -3, 7

แทนคา x= -3 ลงใน (3) จะได y = -21

แทนคา x = 7 ลงใน (3) จะได y = 9

คําตอบของระบบสมการ คือ (-3,-21) และ (7,9)



1. เลขสองหลักจํานวนหนึ่งมีผลตางของตัวเลขหลักสิบและหลักหนวยเปน 1

2 ของผลบวกของตัวเลขสองหลักนั้น แลวผล

รวมของกําลังสองของเลขในหลักสิบและหลักหนวยตรงกับขอใด

ก. 28 ข. 38

ค. 48 ง. 58

2. เสนตรงที่มีสมการ 2x+3y = 12 ตัดแกน x และ แกน y ที่ (a,0) และ (0,b) ตามลําดับ แลวคาของ a – 2b เปนเทาไร

ก. -2 ข. -6

ค. -8 ง. -14

3. กราฟของสมการในขอใดที่ตัดแกน x และแกน y แลวไดรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว

ก. 2x + 2y = -6 ข. 2x – y = 6

ค. 5x+10y = 30 ง. 5+2x+y = 0

4. ผูใหญ 3 คนกับเด็ก 4 คน ซอมรถบรรทุกคันหนึ่งเสร็จใน 14 วัน และผูใหญ 10 คนกับเด็ก 15 คน ซอมรถคันเดียวกันนั้น

เสร็จใน 4 วัน ถาผูใหญ 7 คนกับเด็ก 6 คน จะซอมรถคันนั้นเสร็จในกี่วัน

ก. 7 วัน ข. 9 วัน

ค. 11 วัน ง. 13 วัน

5. รานขายเครื่องพิมพดีด ซื้อเครื่องพิมพดีดมาราคาเครื่องละ 3,360 บาท ขายไป 2

3 ของจํานวนเครื่องพิมพดีดที่ซื้อมา

ราคาเครื่องละ 4,620 บาท และขายอีก 2 เครื่องราคาเครื่องละ 5,000 บาท สวนที่เหลือขายไปในราคาเครื่องละ 3,840 บาท

ตรวจสอบแลวไดกําไร 12,320 บาท รานขายเครื่องพิมพดีด ซื้อเครื่องพิมพดีดมาขายทั้งหมดกี่เครื่อง

ก. 8 เครื่อง ข. 10 เครื่อง

ค. 12 เครื่อง ง. 14 เครื่อง

6. ปราณีเลี้ยงสัตว 3 ชนิด มีนกกระทา 1

4 ของสัตวทั้งหมด ไก 1

5 ของที่เหลือ นอกนั้นเปนนกขุนทองจํานวน 18 ตัว ปราณี

เลี้ยงสัตวทั้งหมดกี่ตัว

ก. 20 ตัว ข. 25 ตัว

ค. 30 ตัว ง. 35 ตัว

7. เมื่อนับขากระตาย และขานกรวมกันได 164 ขา แตนับหาง นกกับหางกระตาย จะได 44 หาง จงหาวากระตายมีกี่ตัว

ก. 42 ตัว ข. 40 ตัว

ค. 38 ตัว ง. 36 ตัว

8. กระเปาใบหนึ่ง บรรจุเหรียญบาทและเหรียญ 50 สตางค ไวจํานวนหนึ่ง ถาครึ่งหนึ่งของจํานวนเหรียญบาทเทากับหนึ่ง

ในสามของจํานวนเหรียญหาสิบสตางค และสองเทาของจํานวนเหรียญทั้งหมดมากกวาสามเทาของจํานวนเหรียญ 50 สตางคอยู 4

เหรียญ แลวในกระเปาใบนี้มีเงินทั้งหมดกี่บาท

ก. 20 บาท ข. 18 บาท

ค. 16 บาท ง. 14 บาท

9. พาราโบลา y = -2(x-1)2 + 14 ตัดกับพาราโบลา y = (x-1)

2 + 2 ที่จุด A และ B ถา C เปนจุดกึ่งกลางของ AB ขอใดเปน

สมการพาราโบลาที่มี C เปนจุดยอดและผานจุด (0,0)

ก. 6x2 + 12x + 2y = 0 ข. 6x

2 - 12x + y = 0

ค. 6x2 + 12x + y = 0 ง. 6x

2 - 12x + 2y = 0


10. โรงละครแหงหนึ่งตั้งราคาตั๋วสําหรับผูที่ตองการซื้อเพื่อชมการแสดงไว 3 ราคา คือ 300 บาท 500 บาท และ 1,000

บาท จากการจาํหนายต๋ัวพบวามยีอดเงนิรวมทีจ่าํหนายต๋ัวทัง้หมดได 11,865,000 บาท โดยจาํหนายต๋ัวราคา 500 บาท มยีอดจาํหนาย

เปน 5

4 ของยอดจําหนายตั๋วราคา 1,000 บาท และตั๋วราคา 1,000 บาท มียอดจําหนายเปน 1

4 ของยอดจําหนายตั๋วราคา 300 บาท

จงหาวาจํานวนตั๋วที่โรงละครขายไดทั้งหมดเปนเทาไร

ก. 26,000 ใบ ข. 26,250 ใบ

ค. 26,500 ใบ ง. 27,000 ใบ

11. ถาเราเฝาดูนกกระจาบบินเพื่อจับดอกบัวในสระนํ้าแหงหนึ่ง พบวาถานกกระจาบจับดอกบัว ดอกละตัว จะเหลือนกหนึ่ง

ตัวที่ไมมีบัวจับ แตถานกกระจาบบินจับดอกบัว ดอกละ 2 ตัว จะเหลือบัว 1 ดอกที่ไมมีนกจับ ถามวาในสระนี้มีนกกี่ตัว มีดอกบัวกี่ดอก

ก. นก 3 ตัว บัว 5 ดอก ข. นก 5 ตัว บัว 7 ดอก

ค. นก 4 ตัว บัว 3 ดอก ง. นก 6 ตัว บัว 4 ดอก

12. เด็กคนหนึ่งขี่จักรยานได 57 กิโลเมตร โดยใชอัตราเร็วชวงแรก 12 กิโลเมตรตอชั่วโมง และชวงตอไป 16 กิโลเมตรตอ

ชั่วโมง ถาเขาใชเวลาตลอดทางรวม 4 ชั่วโมง จงหาระยะทางที่ขี่จักรยาน ของแตละชวง ตามลําดับ

ก. 20 กม. และ 35 กม. ข. 21 กม. และ 36 กม.

ค. 22 กม. และ 37 กม. ง. 23 กม. และ 38 กม.

13. ปราณีพายเรือในนํ้านิ่งไดทาง 3 กม. ในเวลา 16 นาที หากพายเรือทวนนํ้าในระยะทางเทาเดิมจะใชเวลา 20 นาที หาก

เธอพายเรือตามนํ้าในระยะทางเทาเดิมจะใชเวลานานกี่นาที

ก. 12 นาที ข. 13 1

3 นาที

ค. 14 1

3 นาที ง. 15 นาที

14. พี่นองสองคนชวยกันเก็บสมในสวนไดสมรวมกัน 252 ผล คนพี่กองสมของตนไวกองละ 9 ผล คนนองกองไวกองละ 6

ผล นับกองสมทั้งหมดได 34 กอง จงหาจํานวนสมที่แตละคนเก็บได

ก. 112 ผล, 140 ผล ข. 130 ผล, 122 ผล

ค. 144 ผล, 108 ผล ง. 100 ผล, 152 ผล

15. ขาวสารกระสอบที ่1 มขีาวเจาปนขาวเหนยีวในอัตราสวน 8:3 ขาวสารกระสอบที ่2 มขีาวเจาปนกบัขาวเหนียวในอัตราสวน

5:1 ถานาํขาวจากกระสอบทัง้สองไปบรรจใุหเต็มถงุขนาด 35 ลิตร โดยตองการใหมขีาวเจาปนขาวเหนยีวในอัตราสวน 4:1 อยากทราบ

วาตองตักขาวมาจากกระสอบที่ 1 กี่ลิตร

ก. 8 ลิตร ข. 9 ลิตร

ค. 10 ลิตร ง. 11 ลิตร

เฉลยขอสอบทาย O-NET


ใหตัวเลขในหลักสิบแทนดวย x และตัวเลขในหลักหนวยคือ y

จะได x-y = 1

2(x+y) …….(1)

xy = 12 ……..(2)

จาก(1)x2 ; 2(x-y) = (x+y)

2x – 2y –x-y = 0

x – 3y = 0

ดังนั้น x = 3y ……..(3)


แทนคา x = 3y ใน (2)

จะได (3y)(y) = 12

3y2 – 12 = 0

3 (y2 – 4) = 0

(y-2)(y+2) = 0

y = -2, 2 (แต -2 ใชไมได)

แทนคา y=2 ใน(3); จะได x = 3(2) = 6

จะไดวา เลขหลักสิบคือ 6 และเลขหลักหนวยคือ 2

ดังนั้น x2 +y = (6)

2 + 2 = 36+2 = 38


จากโจทย 2x + 3y = 12

3y = -2x + 12

y = -2

3x + 4

x -1 0 6

y = -2

3 x + 4 4 2

3 4 0

กราฟตัดแกน x ที่ (6,0) และตัดแกน y ที่ (0,4) แสดงวา

a=6, b=4 ดังนั้นเราจะได a-2b = 6-8 = -2


กราฟของสมการที่ตัดกับแกน x และ y แลวเกิดรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วนั้น จะเปนกราฟของสมการที่ตัดแกน x ที่จุด

(0,+- a) และตัดแกน y ที่จุด (+- a,0) ถาหากเราพิจารณาตัวเลือกพบวา 2x+2y = -6 ตัดแกน x ที่จุด (0,-3) และตัดแกน y ที่จุด (-3,0)


ในเวลา 1 วัน ใหผูใหญ 1 คน ซอมรถได x หนวย

ในเวลา 1 วัน ใหเด็ก 1 คน ซอมรถได y หนวย

ในเวลา 14 วัน ผูใหญ 3 คน กับเด็ก 4 คน ซอมรถได

(14×3×x) + (14×4×y) = 42x + 56y …..(1)


(4×10×x) + (4×15×y) = 40x + 60y …..(2)

(1) = (2) จะได 42x + 56y = 40x + 60y

2x = 4y

x = 2y

แทนคา x ใน (2) ; 40(2y) + 60y = 140y


(1×7×x) + (1×6×y) = 7x + 6y …..(3)

แทน x ใน(3); 7(2y) + 6y = 20y

ผูใหญ 7 คน กับเด็ก 6 คน ซอมรถได 20y หนวย ในเวลา 1วัน

ดังนั้น ซอมรถได 140y หนวย ในเวลา 140y

20y = 7 วัน



อันดับแรกเราสมมติวาซื้อเครื่องพิมพดีดมา x เครื่อง

ซื้อเครื่องพิมพดีดมาราคาเครื่องละ 3,360 บาท

ดังนั้น ลงทุนซื้อเครื่องพิมพดีด 3,360x บาท

ขายเครื่องพิมพดีดไป 2

3 ของจํานวนที่ซื้อมา

จะไดวา ขายเครื่องพิมพดีดไป 2

3x เครื่อง

ขายเครื่องพิมพดีดไปราคาเครื่องละ 4,620 บาท

ดังนั้น ขายไปเปนเงิน 2

3x × 4,620 = 3,080x บาท

ขายอีกสองเครื่องเครื่องละ 5,000 บาท เปนเงิน 10,000 บาท

เหลือเครื่องพิมพดีด x-( 2

3x + 2) เครื่อง

เครื่องพิมพดีดที่เหลือขายไปราคาเครื่องละ 3,840 บาท

เครื่องพิมพดีดที่เหลือขายไปเปนเงิน 3,840[x-( 2

3x + 2)] บาท

เมื่อตรวจสอบแลวขายเครื่องพิมพดีดไดกําไร 12,320 บาท

สมการ 3,080x + 10,000+ 3,840[x-( 2

3x + 2)]- 3,360x = 12,320

3,080x + 10,000+ 1,280x -7,680-3,360x = 12,320

1,000x = 10,000

x = 10

ดังนั้น จึงซื้อเครื่องพิมพดีดมาทั้งหมด 10 เครื่อง


เราสมมติใหสัตวเลี้ยงของปราณีมีทั้งหมด x ตัว

มีนกกระทา 1

4 ของสัตวทั้งหมด

ดังนั้น จะเปนนกกระทา x

4 ตัว

สวนที่เหลือเปนสัตวอื่น คือ x - x

4 = 3x

4 ตัว

ไกมีอยู 1

5 ของสัตวที่เหลือ

ดังนั้นจะเปนไก 1

5 × ( 3

4x) = 3

20 x ตัว

ดังนั้น จะเปนนกขุนทอง = 3

4x- 3

20x

= 15-3

20x = 12

20x = 3

5x

แตโจทยบอกวาปราณีเลี้ยงนกขุนทอง 18 ตัว ดังนั้นจะได

3

5x = 18

x = 30

ดังนั้น ปราณีจึงเลี้ยงสัตวไวทั้งหมด 30 ตัว


ใหกระตายมีทั้งหมด x ตัว

และนกมีทั้งหมด y ตัว

จะไดวากระตายทั้งหมดมี 4x ขา


นกทั้งหมดจะมี 2y ขา

เนื่องจากขากระตายและขานกรวมกัน 164 ขา จะไดวา

4x + 2y = 164 ….. (1)

และหางกระตายและหางนกรวมกัน 44 หาง จะไดวา

x + y = 44 ……(2)

(2)×2 2x+2y = 88 ……(3)

(1)-(3) 2x = 76

x = 38

เพราะฉะนั้น จะมีกระตาย 38 ตัว และมีนก 6 ตัว

8. ตอบขอ ง

ให x เปนเหรียญบาท, y เปนเหรียญ 50 สตางค

จากโจทย 1

2x = 1

3y ……(1)

2(x+y) – 3y = 4 ……(2)

2x + 2y -3y = 4

2x – y = 4

y = 2x – 4 ……(3)

แทนคา y ใน (1) เพื่อหา x

1

2x = 1

3(2x – 4)

3x = 2(2x-4)

3x = 4x-8

X = 8

ดังนั้น y = 2(8) – 4 = 12

นั่นคือ กระเปาใบนี้มีเงินทั้งหมด 8 + 12

2 = 14 บาท


จาก y = -2(x-1)2 + 14 …… (1)

y = (x-1)2 + 2 …… (2)

(1)=(2); -2(x-1)2 + 14 = (x-1)

2 + 2

-3 (x-1)2 = -12

(x-1)2 = 4

(x-1) = +- 2

x = 3,-1

แทนคา x = 3 และ -1 ใน (2) จะได y = 6

ดังนั้น A(3,6) และ B(-1,6)

เนื่องจาก C(x,y) เปนจุดกึ่งกลางของ AB

ดังนั้นC(x,y) = C( 3+(-1)

2, 6+6

2) = C(1,6)

ดังนั้นสมการพาราโบลาที่มี C (1,6) เปนจุดยอดและผานจุด (0,0) คือ 0 = a (0-1)2 + 6

ดังนั้น a = -6


จะไดสมการคือ y = -6(x-1)2 + 6

= -6 (x2-2x+1) +6

= -6x2+12x

6x2-12x+y = 0


ตั๋วราคา 1,000 บาท ขายได x ใบ เปนเงิน 1,000x บาท

ตั๋วราคา 300 บาท ขายได 4x ใบ เปนเงิน 300(4x) บาท =1,200x บาท

ตั๋วราคา 500 บาท ขายได 5

4x ใบ เปนเงิน 500( 5

4x) บาท = 625x บาท

จะได 1,000x + 1,200x + 625x = 11,865,000

2,825x = 11,865,000

X = 11,865,000

2,825

X = 4,200

ดังนั้น โรงละครขายตั๋วไดทั้งหมด = x + 4x+ 5

4x = 25

4x

= 25

4(4,200) = 26,250 ใบ


ใหสระนี้มีนก x ตัว

มีดอกบัว y ดอก

ถานกจับบัวดอกละตัวจะเหลือนก 1 ตัว ที่ไมมีบัวจับ

สมการคือ x-y = 1 …..(1)

ถานกจับดอกบัวดอกละ 2 ตัว จะเหลือบัว 1 ดอกที่ไมมีนกจับ

แบงนก x ตัวเปนกลุม กลุมละ 2 ตัว ได x

2 กลุม

สมการ คือ y - x

2 = 1 ….. (2)

(1)+(2); x

2 = 2

x = 4

แทนคา x = 4 ใน (2) เพื่อหาคา y

y-2 = 1

y = 3

ดังนั้น จะมีนก 4 ตัว ดอกบัว 3 ดอก


ใหชวงแรกเด็กคนหนึ่งขี่จักรยานใชเวลา x ชั่วโมง

ดังนั้น ชวงสองเขาขี่จักรยานใชเวลา 4-x ชั่วโมง

ดังนั้น 12x + 16(4-x) = 57

12x + 64 -16x = 57

-4x = 57-64

X = 7

4 = 1 3

4

เพราะฉะนั้น ชวงสองใชเวลา 4 - 1 3

4 = 2 1

4 ชั่วโมง

ดังนั้น ชวงแรกขี่ไดระยะทาง 1 3

4 × 12 = 21 กิโลเมตร


ชวงสองขี่ไดระยะทาง 2 1

4 × 16 = 36 กิโลเมตร


สมมติวาปราณีพายเรือตามนํ้าในระยะทาง 3 กม. ใชเวลา x นาที

เวลา 16 นาที พายเรือในนํ้านิ่งไดทาง 3 กม.

เวลา x นาที พายเรือในนํ้านิ่งไดทาง 3x

16 กม.

เวลา 20 นาที พายเรือทวนนํ้าไดทาง 3 กม.

เวลา x นาที พายเรือทวนนํ้าไดทาง 3x

20 กม.

จากสูตร ความเร็วเรือตามนํ้า = ความเร็วเรือในนํ้านิ่ง + ความเร็วกระแสนํ้า

ความเร็วเรือทวนนํ้า = ความเร็วเรือในนํ้านิ่ง - ความเร็วกระแสนํ้า

ดังนั้น ความเร็วตามนํ้า + ความเร็วทวนนํ้า = 2×ความเร็วเรือในนํ้านิ่ง

ความเร็วเรือตามนํ้า = 2×ความเร็วเรือในนํ้านิ่ง – ความเร็วเรือทวนนํ้า

= 2 × 3x

16 - 3x

20

= 3x

8 - 3x

20

= 9x

40

ระยะทาง 9x

40 กิโลเมตร

พายเรือตามนํ้าใชเวลา x นาทีระยะทาง 3 กิโลเมตร

พายเรือตามนํ้าใชเวลา 3x×40

9x = 13 1

3 นาที

ดังนั้น พายเรือตามนํ้าจะใชเวลา 13 1

3 นาที


ใหคนพี่เก็บผลไมได x กลอง

คิดเปนผลไม 9x ผล

ดังนั้น คนนองเก็บผลไมได 34-x กอง

คิดเปนผลไม 6(34-x) ผล

ดังนั้น 9x + 6(34-x) = 252 ผล

9x + 204 -6x = 252

3x = 252-204

x = 48

3 = 16 กอง

ดังนั้น คนพี่เก็บสมได 9×16 = 144 ผล

คนนองเก็บสมได 6(34-16) = 108 ผล


ตักขาวสารจากกระสอบทั้งสองปนกันเต็มถุงได 35 ลิตร

อัตราสวนของขาวสารกระสอบที่ 1 : กระสอบที่ 2 = 4:1

หรือวามีขาวสารกระสอบที่ 1 = 4

5ของขาวสารที่ปนกัน

= 4

5× 35 = 28 ลิตร

และเปนขาวสารกระสอบที่ 2 = 35-28 = 7 ลิตร


ดังนั้น มีขาวขาวเจาปนกับขาวเหนียวเปนอัตราสวนดังนี้

ขาวสารกระสอบที่ 1 อัตราสวน = 8:3 = 8x:3x

กระสอบที่ 1 เปนขาวเจา 8x ลิตร และขาวเหนียว 3x ลิตร

ขาวสารกระสอบที่ 2 อัตราสวน = 5:1 = 5y:y

กระสอบที่ 2 เปนขาวเจา 5y ลิตร และขาวเหนียว y ลิตร

ไดสมการดังนี้ 8x+5y = 28 …..(1)

3x +y = 7 …….(2)

นํา(2) × 5 15x+15y = 35 ……(3)

นํา (3) – (1) 7x = 7

x = 1

กระสอบที่ 1 มีขาวเจาปนกับขาวเหนียวรวมกัน 8x+3x=11x

แทน x =1 ดังนั้น กระสอบที่ 1 มีขาวสารคิดเปน 11 ลิตร


ระบบสมการ (2)



• บทนําเรื่องสมการเชิงเสน

(Linear Equations)



• 03 : ระบบสมการเชิงเสน 1

http://www.trueplookpanya.com/

book/m3/onet-math/ch4-1

• 04 : ระบบสมการเชิงเสน 2




ระบบสมการ (1)




Tag : สอนศาสตร, คณิตศาสตร, พีชคณิต, สมการ, สมการเชิงเสน, ระบบสมการ


เราก็เขามาสูในสาระที่ 5 กันแลวนะนองๆ ทุกคนซึ่งในสาระนี้สวน ใหญจะเราจะเนนในเรื่องของการจําสูตรและการนําสูตร

ในทางสถิตินี้นําไปใชใหถูกตองและเราอาจจะตองนําวิทยายุทธในเรื่องของสมการที่เราไดศึกษากันไปในสาระที่แลวมาชวยในสาระนี้

ดวย เพราะวาเราจะตองใชมันในการหาตัวไมทราบคา ซึ่งในสาระนี้จะเปนพื้นฐานทางสถิติและความนาจะเปนซึ่งเปนสิ่งที่เกี่ยวของ

และใกลเคียงกับชีวิตประจําวันของเราโดยที่เราไมรูตัว อยางเชนวาเวลาที่เราไปซ้ือของเราก็จะมีการเปรียบเทียบราคาหลายๆ ยี่หอ

เพือ่เกบ็เปนขอมูล แลวเรากน็าํขอมลูนัน้มาวเิคราะหประกอบในการตัดสินใจวาเราจะซ้ือยีห่อไหนถงึจะดีและคุมคากบัเงนิทีเ่ราเสียไป

มากที่สุด สาระนี้จึงมีความสําคัญเราะวามันเปนอะไรที่ใกลตัวเรามากนั่นเอง เพราะฉะน้ันสูตรทางสถิติและความนาจะเปนจะเปน

ประโยชนกับนองๆ ทุกคนตอไปในอนาคต เอาละเรามาเริ่มเนื้อหาของสาระที่ 5 นี้ กันเลยดีกวานะ

5.1 สถิติ

สถิติ หมายถึง ตัวเลขที่แทนขอมูล ขอเท็จจริง หรือขอมูลตางๆ ที่มีการเปลี่ยนแปลงในลักษณะที่อาจจะพยากรณหรือคาด

เดาลวงหนาได

การหาคาตารางแจกแจงความถี ่จะมีสูตรตางๆ ตามขางลางนี้

พิสัย คือ ความแตกตางของขอมูลที่มีคามากที่สุดกับขอมูลที่มีคานอยที่สุด

พิสัย = Max – Min

จํานวนอันตรภาคชั้น = พิสัย

ความกวางของอันตรภาคชั้น

ถาหากหารแลวเหลือเศษใหปดขึ้นเปนจํานวนเต็ม ถาหารแลวลงตัวใหบวกเพิ่มไปหนึ่ง

ขอบลาง = คานอยที่สุดในชั้นนั้น+คามากที่สุดในชั้นที่ตํ่ากวา

2

ขอบบน = คามากที่สุดในชั้นนั้น+คานอยที่สุดในชั้นที่ตํ่ากวา

2

ความกวางของอันตรภาคชั้น = ขอบบน – ขอบลาง

จุดกึ่งกลางชั้น = คะแนนตํ่าสุดในชั้นนั้น+คะแนนสูงสุดในชั้นนั้น

2

การหาคากลางของขอมูล

การหาคากลางของขอมูล (Central Tendency) เปนการคํานวณคากลางของขอมลูเพือ่ใชเปนตัวแทนแสดงขนาดและลักษณะ

ของขอมูลแตละชุด สามารถทําไดหลายวิธีดังนี้

สาระที่ 5การวิเคราะหขอมูลทางสถิติและความนาจะเปน


คาเฉลี่ยเลขคณิต เปนคาเฉลี่ยที่นิยมใชกันมากที่สุด

คาเฉลี่ยเลขคณิต กรณีขอมูลไมมีการจัดหมวดหมู

ขอมูลตัวอยาง ถามีขอมูล x1…… x

n

คาเฉลี่ยเลขคณิต กรณีขอมูลมีการจัดหมวดหมู

ดังนั้นคาจางรายวันโดยเฉลี่ยทั้ง 4 กลุม เทากับ 165.48 บาท

คุณสมบัติของคาเฉลี่ย

1. เปนตัวแทนของขอมูลที่ใชขอมูลทุกคามาทําการคํานวณหาขนาดของคาเฉลี่ย

2. เราสามารถนําคาเฉลี่ยมาวิเคราะหขอมูลทางสถิติขั้นสูงได

3. เน่ืองจากมกีารใชขอมลูทกุคามาคํานวณ ถาหากวามขีอมลูบางตัวทีม่ขีนาดเล็กหรอืมขีนาดใหญมากจะ

กระทบกับการคํานวณขนาดของคาเฉลี่ย

มัธยฐาน (Median) เปนคาที่บอกภาพรวมของขอมูล โดยพิจารณาจากตําแหนงกึ่งกลางที่เรียงลําดับจากนอยไปหามาก

แทนดวย Me

ก. กรณีที่ขอมูลไมแจกแจงความถี่

- ขอมูลเปนเลขคี่ มัธยฐาน = คาของขอมูลลําดับที่ ( n+1

2)

- ขอมูลเปนเลขคู มัธยฐาน = [ คาของขอมูลลําดับที่(n)/2 + คาของขอมูลลาดับที่(n+1)/2 ] / 2

ข. กรณีที่ขอมูลแจกแจงความถี่

L = ขอบลางของชั้นมัธยฐาน I = ความกวางของชั้น

n = จํานวนขอมูลทั้งหมด fl = ความถี่ของชั้นที่มัธยฐานอยู

F = ความถี่สะสมของชั้นที่มีคาสังเกตตํ่ากวาชั้นมัธยฐาน

คุณสมบัติของมัธยฐาน

1. เปนการใชคาของขอมูลที่ตําแหนงตรงกลางมาเปนตวัแทน ดังนั้นขอมูลที่มีคามากหรือนอยผิดปกติจึง

ไมมีผลกระทบ หรือถาหากมีการเปลี่ยนแปลงของขอมูลบางตัวจะมีผลกระทบตอมัธยฐานนอยมาก

2. มธัยฐาน จะเปนตัวแทนของขอมลูไดใกลเคียงกบัประชากรสวนใหญมากกวาคาเฉล่ียเลขคณิต หากการ

แจกแจงขอมูลเบไปทางใดทางหนึ่ง

3. ถาขอมูลมากระจุกที่คามากหรือนอยมากเกินไป จะไมสามารถหาคามัธยฐานได


ฐานนิยม (Mode) เปนคาที่มีความถี่สูงสุดในขอมูลชุดหนึ่งอาจจะมีคาเดียวหรือหลายคาก็ไดในขอมูลชุดนั้นๆ

กรณีที่ขอมูลมีการแจกแจงความถี่

โดยที่ L = ขอบลางของชั้นที่มีความถี่สูงสุด

I = ความกวางของชั้น

d1 = ความตางระหวางชั้นที่มีความถี่สูงสุดกับชั้นตํ่ากวา

d2 = ความตางระหวางชั้นที่มีความถี่สูงสุดกับชั้นสูงกวา

คุณสมบัติของฐานนิยม

1. สามารถคํานวณไดงาย รวดเร็ว

2. ขอมูลที่มีคามากหรือนอยผิดปกติหรือถามีการเปล่ียนแปลงของขอมูลบางตัวก็จะไมมีผลกระทบตอ

ฐานนิยม

ความสัมพันธระหวาง Mean, Median, Mode

1. ขอมูลที่มีการกระจายอยางสมมาตร จะทําใหคา Mean, Median, Mode จะเทากันหรืออยูใกลเคียงกัน

2. ขอมูลที่มีการกระจายไมเทากัน ทําใหคา Mean, Median, Mode แตกตางกัน

Mean, Median, Mode

คาเฉลี่ย

มัธยฐาน

ฐานนิยม


2 ความนาจะเปน

ความนาจะเปน หมายถึง จํานวนที่แสดงใหทราบวาเหตุการณใดเหตุการณหนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นมากนอยเพียงใด

ความนาจะเปนของเหตุการณ = จํานวนเหตุการณที่เราสนใจ

จํานวนเหตุการณทั้งหมด

หรือ P(E) = n(E)

n(S)

เมื่อ P(E) = ความนาจะเปนของเหตุการณ

n(E) = จํานวนเหตุการณที่เราสนใจ

n(S) = จํานวนเหตุการณทั้งหมด

ทฤษฏีความนาจะเปน

ถาเราให S แทนแซมเปลสเปซ และ E แทนเหตุการณ ใดๆ ในแซมเปลสเปซ เราสามารถบอกไดวา

0 ≤ P(E) ≤1

P(E) = 1 เมื่อ n(E) = n(S)

P(E) = 0 แสดงวาเหตุการณนั้นไมเกิดขึ้น

ขอควรจํา

- เหตุการณที่มีการกระทําตอเนื่องกันใหนําความนาจะเปนแตละเหตุการณมาคูณกัน

P(E) = P(E1)× P(E

2)× P(E

3)×…× P(E

n)

- เหตุการณที่มีการกระทําไมตอเนื่องกัน ใหนําความนาจะเปนแตละเหตุการณมาบวกกัน

P(E) = P(E1)+ P(E

2)+ P(E

3)+…+ P(E

n)

- ถามีสิ่งของ n สิ่ง แตเลือกมาทีละ r สิ่ง จํานวนวิธี

C(n,r)

= n! /(n-r)!


1. ขอมูลชุดหนึ่งมี 4 จํานวน ไดคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน 30 มีมัธยฐานเปน 28 และมีฐานนิยมเปน 24 แลวพิสัยของขอมูลนี้คือ

ขอใด

ก. 10 ข. 12

ค. 14 ง. 16

2. กําหนดตารางแจกแจงความถี่ตารางหนึ่งมี 7 อันตรภาคชั้น โดยมีความกวางของแตละอันตรภาคชั้นเทากัน ถาชั้นแรก

และชั้นสุดทายมีจุดกึ่งกลางชั้นเปน 45 และ 87 ตามลําดับ อยากทราบวาขอบบนของอันตรภาคชั้นในชั้นที่ 5 ตรงกับขอใด

ก. 63.5 ข. 70.5

ค. 76.5 ง. 83.5

3. ในการสอบวชิาคณิตศาสตรของนกัเรยีนหองหนึง่ คาเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรยีนหองน้ีเทากบั 53 คะแนน

แตจากการตรวจสอบพบวา มีขอสอบของนักเรียนอีก 2 คน ที่ยังไมไดตรวจ เมื่อตรวจเสร็จแลวปรากฏวา คาเฉลี่ยของคะแนนสอบ

ของนักเรียนหองนี้ เทากับ 55 คะแนน และผลรวมคะแนนสอบเพิ่มขึ้นอีก 180 คะแนน จํานวนนักเรียนในหองนี้เทากับเทาใด

ก. 37 ข. 35

ค. 33 ง. 31


4. คาเฉลี่ยของคะแนนสอบของนักเรียน 10 คน เปน 72 ถาคะแนนของนักเรียน 8 คน เปนดังนี้ 39, 46, 54, 70, 83, 86, 93,

99 สวนคะแนนของนักเรียนอีก 2 คน คุณครูทําคะแนนสอบหายไป แตพอจะทราบวา 2 คนนี้มีคะแนนตางกัน 4 คะแนน แลวมัธยฐาน

ของคะแนนสอบตรงกับขอใด

ก. 69 ข. 71

ค. 73 ง. 75

5. ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูล a, 2a , a2 +2 , 10 โดยที่ a > 0 คือ 4 แลว คามัธยฐานมีคาเทาใด

ก. 2 ข. 2.5

ค. 3 ง. 3.5

6. ในการคิดคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่ง เมื่อคิดเสร็จแลวภายหลังจึงพบวาทําคะแนนผิดไป 2 คน คือ คนแรกเปน ผู

ที่ไดคะแนนตํ่าสุดนั้นตองเพิ่มคะแนนใหเคาอีก 10 คะแนน สวนคนที่ 2 เปนผูที่ไดคะแนนสูงสุดตองลดลง 5 คะแนน แตอยางไรก็ตาม

เมื่อเพิ่มลดคะแนนเรียบรอยแลว ลําดับของแตละคนไมเปลี่ยนแปลง จงพิจารณาวา

(1) คาเฉลี่ยเลขคณิตเดิมที่คิดไวใชไมได ตองคิดใหม

(2) คามัธยฐานที่หาไวเดิมใชไมได ตองหาใหม

ก. (1) ถูกขอเดียว ข. (2) ถูกขอเดียว

ค. ถูก 2 ขอ ง. ผิด 2 ขอ

7. ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของขอมูล x,y,z ใดๆ เปน m1 และ m

2 ตามลําดับ ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

ก. คาเฉลี่ยเลขคณิตของ x2, y

2, z

2 คือ m

1

2

ข. มัธยฐานของ 3x,3y,3z คือ 3 m2

ค. คาเฉลี่ยเลขคณิตของ 1

x, 1

y, 1

z คือ 1

m1

ง. มัธยฐานของ x+y, y+z, z+x คือ 2 m2

8. จากการสํารวจนักเรียนชายที่มาสมัครสอบเขาชั้น ม.4 ของโรงเรียนรัฐบาลชื่อดังแหงหนึ่ง พบวา มีนักเรียน 9 คน ที่สวม

แวนสายตา มี 7 คนที่ไวผมทรงนักเรียน ถานักเรียนที่สวมแวนสายตาหรือไวผมทรงนักเรียนรวมกันเปน 12 คน ความนาจะเปนถาหาก

สุมเลือกนักเรียนมา 1 คน แลวจะไดนักเรียนชายที่ไวผมทรงนักเรียนและสายตาปกติเปนเทาใด

ก. 1

4 ข. 2

5 ค. 3

7 ง. 4

9

9. รถกระบะคันหนึ่งเรขายของภายในหมูบาน ขายนํ้าพริก 3 ชนิด คือ นํ้าพริกปลาแหง, นํ้าพริกตาแดง และ นํ้าพริกกะป

วางรวมๆกันอยูทายรถ ขณะที่จัดเตรียมของเพื่อนําไปขาย พบวาสลากปายชื่อนํ้าพริกแตละชนิดหลุดหายไป 50 ขวด แตคนขายทราบ

วาความนาจะเปนที่จะหยิบมา 1 ขวด จะเปนนํ้าพริกตาแดง เทากับ 1

5 หรือเปนนํ้าพริกปลาแหงเทากับ 0.4 อยากทราบวามีนํ้าพริก

เผาวางขายอยูทายรถกระบะกี่ขวด

ก. 10 ขวด ข. 15 ขวด

ค. 20 ขวด ง. 25 ขวด

10. สํารวจเครื่องดื่มที่เด็กวัยรุนกลุมหนึ่งดื่มในชวงอากาศรอน เด็ก 6 คน ดื่มนํ้าอัดลม เด็ก 9 คนดื่มนํ้าชาเขียว ถาเด็กที่

สํารวจแลวมี 12 คน เลือกเด็กมา 1 คน จงหาความนาจะเปน ที่เด็กวัยรุนคนนี้จะดื่มนํ้าอัดลมเทานั้น

ก. 1

4 ข. 2

5 ค. 3

7 ง. 4

9

11. ภายในถุงใบหนึ่งบรรจุลูกแกวสีขาวจํานวน 7 ลูก มีลูกแกวสีแดงจํานวน a ลูก และมีลูกแกวสีเขียวจํานวน b ลูก ถาสุม

หยิบลูกแกวขึ้นมา 1 ลูก ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกแกวสีแดงเทากับ 3

5 และความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกแกวสีเขียวเทากับ 1

5

ถุงใบนี้มีลูกแกวสีแดงและสีเขียวรวมกันทั้งหมดกี่ลูก

ก. 18 ลูก ข. 25 ลูก

ค. 28 ลูก ง. 35 ลูก


12. มีคนงานกอสรางทั้งหมด 5 คน คํานวณอายุเฉลี่ยไดเทากับ 19 ป, คาฐานนิยมได 12 และ 13 ป ผลตางของอายุ ของ

คนที่มีอายุมากที่สุดและนอยที่สุดเปนเทาใด

ก. 11 ป ข. 22 ป

ค. 33 ป ง. 44 ป

13. ในงานฉลองวันขึ้นปใหมของนักเรียนชั้น ม.3 ของโรงเรียนแหงหนึ่งซึ่งมีอยูทั้งหมด 40 คน ทุกคนตางนําของขวัญมาจับ

สลากกัน ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะจับสลากไดของขวัญซึ่งเปนของตนเองเทากับขอใด

ก. 1

2 ข. 1

4 ค. 1

20 ง. 1

40

14. ผลการสอบปลายภาคของนักเรียนชั้น ม.3 ของโรงเรียนแหงหนึ่งซึ่งมีนักเรียนจํานวน 200 คน มีอยู 20 คน ไดเกรด 4

มีอยู 40 คน ไดเกรด 3 จํานวน 90 คน ไดเกรด 2 จํานวน 30 คน ไดเกรด 1 และมีอีก 20 คน ไดเกรด 0 เลือกนักเรียน มา 1 คน ความ

นาจะเปนที่จะไดนักเรียนที่เกรดไมตํ่ากวา 3 มีคาเทาใด

ก. 0.4 ข. 0.2

ค. 0.3 ง. 0.6

15. แมน ฟลม และ อู ไดทากันแขงวายนํ้าที่สระวายนํ้าแหงหนึ่ง ปรากฏวา แมนและฟลม วายนํ้าเร็วพอๆ กัน และทั้งสอง

คนวายนํ้าเร็วเปนสองเทาของอู ดังนั้นโอกาสที่ฟลมหรืออูจะชนะเทากับเทาไร

ก. 1

5 ข. 3

5 ค. 4

5 ง. 1

เฉลยขอสอบ O - NET


พิจารณาขอมูล 24, 24, X3, X

4

จะได Me = 24+X3

2

28 = 24+X3

2

56 = 24+X3

ดังนั้น X3 = 32

จากโจทย X = 24+24+32+X4

4

30(4) = 80+X4

X4 = 120–80 = 40

เรียงขอมูลจากนอยไปมาก 24, 24, 32, 40

ดังนั้น คาพิสัย = คามากที่สุด – คานอยที่สุด

= 40 – 24 = 16


เนื่องจากวาชั้นแรกและชั้นสุดทายมีจุดกึ่งกลางชั้นเปน 45 และ 87 ตามลําดับ เราจึงสามารถหาความกวางของ

จุดกึ่งกลางระหวางชั้นที่ติดกัน ไดจาก = 7


ดังนั้นขอบบนของอันตรภาคชั้นที่ 5 คือ 76.5


จากสูตร การหาคาเฉลี่ยเลขคณิต

53 =

ดังนั้น = 53N

มีขอสอบของนักเรียนอีก 2 คน ยังไมไดตรวจ ซึ่งทําให Xใหม

= 55

Xใหม

= 2

1801

+

+∑=

n

xn

ii

55 = 53N+180

N+2

55N +110 = 53N + 180

2N = 70

N = 35

นั่นคือ นักเรียนในหองนี้จะมีทั้งหมด 35+2 = 37 คน


X10 คน

=

72 =

ดังนั้น = 72(10) = 720 (เปนคะแนนรวม 10 คน)

เนื่องจาก = 39+46+54+70+83+86+93+99 = 570

ผลรวมของคะแนน 2 คนที่หายไป คือ 720-570 = 150

ให x1, x

2 เปนคะแนนของคนทั้งสองคนที่หายไป

นั่นคือ เราจะได x1 + x

2 = 150 ……(1)

x1 - x

2 = 4 ……(2)

นํา (1)+(2) ; 2 x1 = 154

x1 = 77

อันตรภาคชั้น จุดกึ่งกลางชั้น

ชั้น 1

ชั้น 2

ชั้น 3

ชั้น 4

ชั้น 5

ชั้น 6

ชั้น 7

42-48

49-55

56-62

63-69

70-76

77-83

84-90

45

52

59

66

73

80

87


คะแนนของคนที่ 2 = 150-77 = 73

คะแนนของคนทั้งสอง คือ 73,77

นําคะแนนมาเรียงจากนอยไปมากจะได 39,46,54,70,73,77,83,86,93,99 ; N = 10

ตําแหนงของมัธยฐาน = 10+1

2 = 11

2 = 5.5

มัธยฐาน คือ 73+77

2 = 75


เนื่องจาก X = 4

ดังนั้น เราจะได a+2a+a+2+10

4

2

= 4

a2+3a+12 = 16

a2+3a-4 = 0

(a+4)(a-1) = 0

a = -4, 1

แตโจทยกําหนดวา a > 0 ดังนั้น a = 1

เรียงขอมูลจากนอยไปมากไดดังนี้ 1, 2, 3, 10 ; N = 4

ตําแหนงมัธยฐาน คือ N+1

2 = 5

2 = 2.5

มัธยฐาน คือ 2+3

2 = 2.5


พจิารณาขอ (1) เนือ่งจากผลรวมของคะแนนใหมจะมกีารเปล่ียนแปลง ดังน้ัน แนนอน X เกาใชไมได ตองหา X ใหม

ขอ (2) เนือ่งจากคามธัยฐานเปนขอมลูทีอ่ยูตรงกลางเมือ่มีการเปล่ียนแปลงขอมูลทีม่ากทีสุ่ด และขอมูลทีน่อยทีสุ่ด

ซึ่งไมทําใหลําดับเปลี่ยนแปลง ดังนั้นคามัธยฐานเดิมที่คิดไวจึงยังใชได


เนื่องจากวา x,y,z มีมัธยฐาน คือ m2

เมื่อนํา 3 คูณขอมูลทุกตัว จะได 3x, 3y, 3z

มัธยฐานใหม คือ 3 m2


มีนักเรียนที่สวมแวนสายตา 9 คน นักเรียนที่ไวผมทรงนักเรียน 7 คน

ดังนั้นมีนักเรียนที่สวมแวนสายตาและไวผมทรงนักเรียน = 9+7 = 16 คน

เนื่องจากวา มีนักเรียนที่สวมแวนสายตาหรือไวผมทรงนักเรียนรวม 12 คน พบวา จะไดคา n(S) = 12

ดังนั้นนักเรียนที่สวมแวนสายตาและไวผมทรงนักเรียน 16-12 = 4 คน

จะมีนักเรียนที่ไวผมทรงนักเรียนและไมสวมแวนสายตา 7-4 = 3 คน จะไดคา n(E) = 3

ดังนั้น เปนนักเรียนชายและมีสายตาปกติ (ไมสวมแวน)

P(E) = n(E)

n(S) = 3

12 = 1

4


เนื่องจากโจทยบอกวา มีนํ้าพริกทั้งหมด 50 ขวด

ให นํ้าพริกกะป P(E1) = x

นํ้าพริกตาแดง P(E2) = 1

5

นํ้าพริกปลาแหง P(E3) = 0.4 = 2

5


นํ้าพริกทั้งหมด P(E) = P(E1) + P(E

2) + P(E

3)

1 = x + 1

5 + 2

5

5 = 5x + 3

x = 2

5

มีนํ้าพริกกะป = 2

5 x 50 = 20 ขวด


ใหมีเด็กวัยรุนดื่มนํ้าอัดลมและนํ้าชาเขียวในชวงอากาศรอน x คน

เด็กที่ดื่มนํ้าอัดลมอยางเดียว 6 – x คน

เด็กที่ดื่มนํ้าชาเขียวอยางเดียว 9 – x คน

เนื่องจากเราไดทําการสํารวจเด็กวัยรุนแลวมี 12 คน

ดังนั้น (6 – x) + (9 – x) + x = 12

15 – x = 12

x = 15 -12 = 3

จะไดวาเด็กที่ดื่มนํ้าอัดลมอยางเดียว = 6-3 = 3 คน

ดังนั้น จากสูตร P(E) = n(E)

n(S) = 3

12 = 1

4


เนื่องจากมีลูกแกวสีขาว 7 ลูก สีแดง a ลูก และสีเขียว b ลูก

มีลูกแกวรวม 7 + a + b ลูก

ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกแกวสีแดง P(E1) = a

7+a+b

3

5 = a

7+a+b …(1)

ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกแกวสีเขียว P(E1) = b

7+a+b

1

5 = b

7+a+b …(2)

(1) (2); ( 3

5)( 5

1) = ( a

7+a+b)(7+a+b

b)

3 = a

b

a = 3b แทนคาใน (2)

จะได 1

5 = b

7+3b+b

5b = 7+4b

b = 7

a = 3(7) = 21

ดังนั้น a+b = 21+7 = 28 ลูก


พิจารณาจากโจทยแสดงวามีคาฐานนิยม 2 คา คือ 12 และ 13 ป

ดังนั้น จะไดขอมูลคือ 12, 12, 13, 13, X5

จากโจทย คํานวณอายุเฉลี่ยไดเทากับ 19 ป


จากสูตร

X = 12+12+13+13+X5

5

19 = 12+12+13+13+X5

5

95 = 12+ 12+ 13+ 13+ X5

95 = 50 + X5

X5 = 45

ดังนั้นผลตางของคนที่มีอายุมากที่สุดและนอยที่สุด = 45-12 = 33 ป


n(S) = 40

n(E) = 1


n(S) = 1

40


จํานวนผลลัพธทั้งหมดที่จะสุมนักเรียน 1 คน เปน 200 หรือ n(S) = 200 เหตุการณที่จะสุมนักเรียนเกรดไมตํ่ากวา

3 (คือไดเกรด 3 หรือ 4) = 20 + 40 = 60


n(S) = 60

200 = 0.3


ใหโอกาสที่อูจะเปนผูชนะเปน 1

ดังนั้นโอกาสที่ฟลมและแมนจะเปนผูชนะเปน 2

n(S) = 2+2+1 = 5

n(E) = 2+1 = 3


n(S) = 3

5


• 18 : สถิติ



• 19 : ความนาจะเปน




ความนาจะเปน




สถิติ



• คามัธยฐาน




• 18 : สถิติ • 18 : สถิติ • 18 : สถิติ • 18 : สถิติ • 18 : สถิติ



• 19 : ความนาจะเปน • 19 : ความนาจะเปน



• สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 :

ความนาจะเปน


/book/m3/onet-math/ch5-3 /book/m3/onet-math/ch5-3 /book/m3/onet-math/ch5-3

• สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 :

สถิติ สถิติ สถิติ สถิติ

http://www.trueplookpanya.com http://www.trueplookpanya.com http://www.trueplookpanya.com


• คามัธยฐาน • คามัธยฐาน




Tag : สอนศาสตร, คณิตศาสตร, สถิติเบื้องตน, การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน, คากลางของขอมูล,

คาเฉลี่ยเลขคณิต, มัธยฐาน, ฐานนิยมความนาจะเปน



ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร

มาถึงสาระสุดทายกันแลวนะ นองๆทุกคน สาระนี้พี่ไดใหชื่อวา ‘ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร’ ซึ่งพี่ๆ ไดรวบรวม

เนื้อหา 3 เรื่องสุดทายไวภายในสาระนี้ ซึ่งสาระนี้ก็จะประกอบดวยเรื่อง คูอันดับและกราฟและอสมการ ทั้ง 2 เรื่องนี้เปนเนื้อหาที่เรา

เรียนในชวง ม.3 และอีกเรื่องหนึ่งคือ แผนภูมิวงกลม เปนเรื่องที่เราเรียนในชวง ม.2 และพวกพี่ๆ ไดสรุปเนื้อหาและนําตัวอยางของ

แบบฝกหัดใหนองๆ ไดฝกฝนทํากัน และพี่ก็หวังวาทั้งหมดนี้จะชวยนองๆ ทุกคนไดไมมากก็นอยในการเตรียมตัวสอบ O-NET ม.ตนนี้

สุดทายนี้พี่ก็ขออวยพรใหนองๆ ทุกคนโชคดีนะครับ เอาละคราวนี้เรามาดูเนื้อหาและแบบฝกหัดในสาระนี้กันดีกวา

6.1 คูอันดับและกราฟ

คูอันดับ คือ การแสดงถึงความสัมพันธของการจับคูระหวางสมาชิกของกลุมสองกลุม

- ถาให a เปนสมาชิกกลุมแรก และ b เปนสมาชิกกลุมหลัง เขียนแทนสัญลักษณ (a, b) อานวา คูอันดับ (a, b)

ตัวอยางเชน คูอันดับ (2, 4), (3, 9), (-2, 3) และ (-5,-1) พิจารณาไดวา 2, 3, -2, -5 เปนสมาชิกตัวหนากลุมแรก และ 4, 9, 3, -1 เปน

สมาชิกตัวหนากลุมหลัง

- ถาเรากําหนดใหคูอันดับ (a1, b

1) และ (a

2, b

2) เปนคูอันดับใดๆ แลว คุณสมบัติของคูอันดับคือ (a

1, b

1) = (a

2, b

2)

ก็ตอเมื่อ a1 = a

2 และ b

1 = b

2

โดยทั่วไปในชีวิตประจําวันเราจะเห็นเหตุการณมากมาย ซ่ึงเหตุการณตางๆ ก็จะแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณตางๆ

ระหวางสองปรมิาณอยูเสมอ เชนการเสียคาไฟฟากบัระยะเวลาในการใชไฟฟา, ระยะทางในการเดินทางกบัระยะเวลาในการเดินทาง

รวมถึงระยะเวลาในการใชโทรศัพทมือถือกับคาใชจาย ทั้งหมดน้ีสามารถแสดงในรูปของคูอันดับ และนอกจากน้ีเราก็ยังสามารถดู

ความสมัพันธในรูปของกราฟไดดวย ซึ่งจะทําใหเราเห็นแนวโนมของสิง่ตางๆที่เราใชในชีวิตประจําวัน ซึ่งกราฟและองคประกอบของ

กราฟจะแบงออกไดตามดานลางนี้

กราฟ คือ การแสดงความสัมพันธในระบบพิกัดฉาก โดยการเขียนเสนแนวนอนและแนวตั้งใหตัดกันเปนมุมฉาก

จุดกําเนิด คือ จุดที่เสนจํานวนทั้งสองตัดกัน

แกนนอน คือ เสนจํานวนในแนวนอน เรียกวา แกน x

แกนตั้ง คือ เสนจํานวนในแนวตั้ง เรียกวา แกน y

แกน x และแกน y จะอยูบนระนาบเดียวกันและจะแบงระนาบออกเปนสี่สวน เรียกวา จตุภาค

กราฟของคูอันดับ คือ จุดบนระนาบที่แทนมาจากคูอันดับ โดยการลากเสนตรงใหตัดกับแกน x แลวไปตัดกับเสนตรงที่ลาก

ตั้งฉากกับแกน y โดยที่คูอันดับคูหนึ่งจะมีกราฟเพียงจุดเดียวบนระนาบ

ชนิดของกราฟ จริงๆ แลวชนิดของกราฟมีมากมาย แตที่เราเรียนในชวง ม.ตนนี้ มีแค 2 ชนิด คือ

1. กราฟเสนตรง

รูปทั่วไปของกราฟเสนตรง คือ y = mx+c


สมการ รูปภาพตามสมการ คําอธิบาย

y = mx +c

y = -mx +c

x = k

y1 = mx

1+c

y1 = mx

1+c

y2 = mx

2+c

y2 = - x

2+c

ถา m (ความชัน) เปนบวก หรือ m>0 จะได

กราฟเสนตรงทํามุมแหลมกับแกน x ใน

ทิศทางตามเข็มนาฬกา

ถา m (ความชัน) เปนลบ หรือ m<0 จะได

กราฟเสนตรงทํามุมปานกับแกน x ใน

ทิศทางทวนเข็มนาฬกา

ถา m (ความชนั) หาคาไมได จะไดกราฟเสน

ตรงขนานกับแกน y

เสนตรงสองเสนขนานกันคือ m ของทั้ง

สองเสนเทากัน

เสนตรงสองเสนต้ังฉากกันคือ m ของทั้ง

สองเสนคูณกันแลวเทากับ -11

m

y

x

0

C

m

y = mx+c

y

x

slope=m

y

x

k0

0-2

-2

2

2

-4

-4

4

4

-6

-6

6

6

-8

-8

8

8

-10

-10

10

10

y

x

0

-0.5

-0.5 0.5 1.5

0.5

-1

-1-1.5 -1

1

1.5

2

2.5

3

y

x


2. กราฟพาราโบลา

รปูทัว่ไปของกราฟพาราโบลาคือ y = ax2+ bx+c โดยที ่a 0 ถาหากวา a = 0 จะกลายเปนสมการเสนตรง

6.2 แผนภูมิวงกลม

แผนภูมิวงกลม เปนแผนภูมิที่แสดงความถี่ของการแจกแจงดวยขนาดของมุม (หรือพื้นที่) ของสวนที่แบงของวงกลม ชื่อ

เรื่องของแผนภูมิรูปวงกลม จะบอกวาแผนภูมินี้แสดงอะไร และชื่อที่เขียนอธิบายไวภายในรูปจะบอกวาแสดงเกี่ยวกับอะไร

การหาขนาดของมุมจะแสดงความถี่แตละความถี่ ใชสูตรตอไปนี้ คือ ขนาดของมุม = f x เมื่อ f เปนความถี่

สมการ รูปภาพตามสมการ คําอธิบาย

y = ax2

c=0 , b=0

y = ax2+C

b=0

y = a(x-h)2+k

y = ax2+ bx+c

ถา a>0 จะไดกราฟหงาย

ถา a<0 จะไดกราฟควํ่า

จุดยอดคือ (0,0) แกนสมมาตร x=0

ถา a>0 จะไดกราฟหงาย ใหคาตํ่าสุด y= c

ถา a<0 จะได กราฟควํ่าใหคาสูงสุด y=c

จุดยอดคือ(0,c)

ถา a>0 จะไดกราฟหงาย ใหคาตํ่าสุด y= k

ถา a<0 จะได กราฟควํ่าใหคาสูงสุด y=k

จุดยอดคือ(h,k) แกนสมมาตร x=h

หาคา h ไดจากสูตร h = -b

2a

หาคา k ไดจากสูตร k = 4ac-b

2

4a

0-1

-1

1

1

-2

-2

2

2

-3

-3

3

3

-4 4

y

x

0-1

-1

1

1

-2

-2

2

2

-3

-3

3

3

-4 4

y

x

x

h, k

y

x

h, k

y


หลักการเขียนแผนภูมิรูปวงกลม มีขั้นตอนดังนี้

1. หาปริมาณของขอมูลทั้งหมด และใหปริมาณทั้งหมดแทนมุมรอบจุดศูนยกลางของวงกลม ที่มีขนาด 360o

2. นําปริมาณของขอมูลแตละประเภท มาเทียบหาขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม

3. เขยีนรปูวงกลม แลวลากรศัมขีองวงกลมเพือ่แบงพืน้ทีข่องรปูวงกลมเปนสวนๆ ตามขนาดของมมุทีจ่ดุศนูยกลาง

ของวงกลมที่หาได

6.3 อสมการ

อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณที่พูดถึงความสัมพันธของจํานวน โดยมีสัญลักษณ <, >, <, < หรือ ที่นํามาใชบอกความ

สัมพันธของจํานวน

อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว คือ อสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและมีดีกรีเปนหนึ่ง

ตัวอยางที่ 1 จงแกอสมการ 5(x-4) < 30

วิธีทํา 5x – 20 < 30

5x < 50

x < 10

ตัวอยางที่ 2 จงแกอสมการ 5 < 2x+1 < x+2

วิธีทํา 5 < 2x + 1 2x+1 < x+2

5-1 < 2x 2x < x+2-1

4 < 2x 2x-x < 1

2 < x x < 1

คําตอบของอสมการ คือ 2 < x < 1

โจทยปญหาอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

นองๆ ทุกคนจําไดไหมวาที่เราไดเรียนในเรื่องการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวกันมาแลวในสาระที่ 4 เรื่อง พีชคณิต ใน

ทํานองเดียวกันการแกโจทยปญหาอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวก็จะมีขั้นตอนคลายๆ กัน โดยมีขั้นตอนดังนี้

1. วิเคราะหโจทยเพื่อหาวาโจทยกําหนดอะไรมาให และโจทยตองการอะไร

2. กําหนดตัวแปรแทนในสิ่งที่โจทยใหมาหรือสิ่งที่โจทยใหหา

15%

10%

10%

5%

30%

คาอาหาร

เสื้อผา

คารักษาพยาบาล

ผอนสงบาน

คาพาหนะ

ใชเบ็ดเตล็ด

30%

แผนภูมิรูปวงกลมคาใชจายทั้งหมดภายใน 1 เดือน

ขอมูล 1% จะมีคาเทากับ 3.6o นะ


3. เขียนอสมการตามเงื่อนไขในโจทย

4. แกอสมการเพื่อหาคําตอบที่โจทยตองการ

5. ตรวจสอบคําตอบที่ได

ตัวอยาง เอกซื้อนํ้าดื่มขวดมาขายที่สถาบันกวดวิชาจํานวน 200 ขวด เปนเงิน 1,200 บาท ขายนํ้าขวดเล็กในราคาขวดละ 5

บาท ขายนํ้าขวดกลางราคาขวดละ 8 บาท หลังจากขายใหเด็กๆ และผูปกครองที่มาเรียน ปรากฏวาไดกําไร 250 บาท อยากทราบวา

เอกซื้อนํ้าขวดเล็กมาขายอยางมากกี่ขวด

วิธีทํา ใหเอกซื้อนํ้าขวดเล็กมาขาย x ขวด

จะไดวา เอกซื้อนํ้าขวดกลางมาขาย 200- x ขวด

ขายนํ้าขวดเล็ก ไดเงิน 5x บาท

ขายนํ้าขวดกลาง ไดเงิน 8(200-x) บาท

ขายนํ้าทั้งหมดไดกําไรมากกวา 250 บาท

จะไดอสมการดังนี้

5x + 8(200-x) – 1,200 > 250

5x + 1,600 – 8x – 1,200 > 250

-3x + 400 > 250

-3x > 250 – 400

-3x > -150

x < 50

ดังนั้น เอกซื้อนํ้าขวดเล็กมาขายอยางมาก 49 ขวด

ตรวจคําตอบ ถาเอกซื้อนํ้าขวดเล็กมาขายอยางมาก 49 ขวด

จะตองซื้อนํ้าขวดกลางมาขายอยางนอย 200-49 = 151 ขวด

ขายนํ้าขวดเล็ก 49 ขวด เปนเงิน 5×49 = 245 บาท

ขายนํ้าขวดกลาง 151 ขวด เปนเงิน 8×151 = 1,208 บาท

ขายนํ้าทั้งหมดไดเงิน 245+1,208 = 1,453 บาท

คิดเปนกําไร 1,453-1,200 = 253 บาท

กําไร 253 บาท มากกวา 250 บาท ซึ่งเปนจริงตามเงื่อนไขในโจทย

ดังนั้น จึงสรุปไดวาเอกขายนํ้าขวดเล็กไปทั้งหมด 49 ขวด

ตอบ 49 ขวด

คุณสมบัติของความไมเทากัน

สมบัติการถายทอด สมบัติการบวกดวยจํานวนไมเทากัน สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน

ถา a < b และ b < c

แลว a < c

ถา a < b แลว

a+c < b+c

เมื่อ c < 0 ถา a < b

แลว ac < bc



1. กราฟของ y = 4 และ 3x + 2y = 5 ตัดกันที่จุดใด

ก. (-1,4) ข. (5,-5)

ค. (1,-1) ง. (4,2)

2. กราฟของสมการในขอใดมีแกนสมมาตรเชนเดียวกับกราฟของสมการ y = 2 + 2x – x2

ก. y = x2 – 2x + 3 ข. y = x

2 – 4x + 4

ค. y = -4x2 – 4x + 3 ง. y = -x

2 + 4x – 4

3. กราฟของสมการคูใดตั้งฉากกัน

ก. 4x + 5y + 6 = 0 และ y =4

5x ข. 2x – y -3 = 0 และ 3x -2y +1 = 0

ค. 3x + 2y = 5 และ 3x – 2y = 5 ง. y + x = 3 และ 2y + 1 = 2x

4. ถาจุด A, B, C, D และ E มีคูอันดับตามลําดับดังนี้ (-4,5), (6,5), (10,2), (6,-4) และ (-4,-8) พื้นที่ของรูป ABCDE มีคาตรง

กับขอใด

ก. 126 ตารางหนวย ข. 128 ตารางหนวย

ค. 130 ตารางหนวย ง. 132 ตารางหนวย

5. b มีคาเทาไร ถาจุด (11, 3b) อยูบนกราฟของสมการ x -y = 5

ก. 4 ข. 3

ค. 2 ง. 1

ใชแผนภูมิรูปวงกลมตอไปนี้ตอบคําถามขอ 6 – 8

แผนภูมิแสดงการเดินทางมาโรงเรียนของนักเรียนโรงเรียนแหงหนึ่งในแบบตางๆ

6. นักเรยีนทีเ่ดินทางมาโรงเรยีนโดยรถประจาํทางและรถมอเตอรไซดรวมกนัคิดเปนรอยละเทาไรของจาํนวนนักเรยีนทัง้หมด

ก. 53.3% ข. 43.3%

ค. 33.3% ง. 23.3%

7. ขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางของนักเรียนที่เดินทางมาโรงเรียนโดยรถแท็กซี่ คิดเปนกี่องศา

ก. 60 องศา ข. 70 องศา

ค. 80 องศา ง. 90 องศา

8. ถามีจํานวนนักเรียนที่เดินทางมาโรงเรียนโดยรถแท็กซี่เปน x คน จะมีจํานวนนักเรียนที่เดินทางโดยรถประจําทางกี่คน

ก. X

2 คน ข. 2x คน

ค. 3x คน ง. 3X

2 คน

600 คน

รถสวนตัว

รถมอเตอรไซค

รถแท็กซี่

รถประจําทาง

300 คน200 คน

100

คน


จงใชแผนภูมิตอไปนี้ตอบคําถามขอ 9-10

แผนภูมิแสดงปริมาณสวนผสมในการทําอาหารจานดวนชนิดหนึ่ง

9. สวนผสมที่เปนเนื้อหมูในอาหารจานดวนชนิดนี้ มีขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางกี่องศา

ก. 132 องศา ข. 142 องศา

ค. 152 องศา ง. 162 องศา

10. ถาสวนผสมที่เปนไขไกของอาหารชนิดนี้มีนํ้าหนัก 120 กรัม อยากทราบวาอาหารจานดวนชนิดนี้มีนํ้าหนักทั้งหมดกี่กรัม

ก. 400 กรัม ข. 300 กรัม

ค. 200 กรัม ง. 100 กรัม

11. ถา p เปนจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่สอดคลองกับอสมการ x + 3X+1

2 <

5+8X

3 แลว p มีคาเทาใด

ก. -6 ข. -7

ค. -8 ง. -9

12. ถา 3

2 เทาของจํานวนเต็มบวกจํานวนหนึ่ง รวมกับ

1

4 เทาของจํานวนนั้น แตไมเกิน 105 จํานวน จํานวนนั้นคือขอใด

ก. 12 < x < 60 ข. 12 < x < 60

ค. 12 < x < 60 ง. 12 < x < 60

13. ในหองเรียนหองหนึ่งอัตราสวนของนํ้าหนักรวมของนักเรียนชายทุกคนตอนํ้าหนักรวมของนักเรียนหญิงทุกคนเปน 3:4

ถาน้ําหนักรวมของนกัเรยีนชายทกุคนเปน 907.5 กโิลกรมั แลวนํา้หนกัเฉล่ียของนักเรยีนหญงิ แตละคนจะนอยกวา 55 กโิลกรมั อยาก

ทราบวานักเรียนหญิงในหองนี้มีจํานวนกี่คน

ก. 21 คน ข. 23 คน

ค. 25 คน ง. 27 คน

14. ฟลมมีเหรียญหาบาทและสิบบาทในกระปุกออมสิน พอจะนําไปฝากไดนําออกมานับ พบวามีเหรียญหาบาทมากกวา

เหรียญสิบบาทอยู 8 เหรียญ นับไดจํานวนเงินทั้งหมดไมนอยกวา 175 บาท จงหาวาจะมีเหรียญสิบบาทอยางนอยกี่เหรียญ

ก. 9 เหรียญ ข. 11 เหรียญ

ค. 6 เหรียญ ง. 4 เหรียญ

15. สมชาย เลี้ยงเปด ไก และนก เปนอัตราสวน 2:1:3 หลังจากขายเปดไปจํานวน 300 ตัว และขายไกไป 200 ตัว แลวพบ

วา สัตวทั้งสามชนิดที่เหลือเหลืออยูไมถึงครึ่งหนึ่งของจํานวนเดิม จงหาวา สมชาย เลี้ยงไกอยางมากที่สุดกี่ตัว

ก. 165 ตัว ข. 166 ตัว

ค. 167 ตัว ง. 168 ตัว

ไขไก

เนื้อหมู

แครอท

ซีอิ๊วขาว

144o

9xo

2xo

xo


เฉลยขอสอบทาย O-NET


แทนคา y = 4 ลงใน 3x + 2y = 5

จะได 3x + 2(4) = 5

3x + 8 = 5

3x = -3

x = -1

ดังนั้น กราฟของ y = 4 และ 3x + 2y = 5 ตัดกันที่จุด (-1,4)


สมการ y = 2 + 2x – x2

= - x2 + 2x + 2

= - (x2 - 2x – 2)

ทําใหเปนกําลังสองสมบูรณได ดังนี้

= -[(x2 - 2x + 1)+(-1-2)]

= - (x-1)2 + 3

สมการที่เราไดคือสมการพาราโบลาที่มีจุดยอด (h,k) = (1,3)

จะไดคาของแกนสมมาตรคือ x =1

ตอมาลองพิจารณาที่ตัวเลือก ก จากสมการ

y = (x2 - 2x -3)

y = (x2 - 2x + 1)+ (-1-3)

y = (x-1)2 – 4

ดังนั้น จุดยอด คือ (1, -4) และแกนสมมาตร คือ x =1 เหมือนกัน


สมการเชิงเสนตัวแปรเดียวจะตั้งฉากกันเมื่อความชันของทั้งสองเสนคูณกันแลวมีคาเทากับ -1

จัดรูปสมการในแตละขอใหอยูในรูป y = mx+c เมื่อ (m = ความชัน) ไดดังนี้

ก. y = -4X-6

5 และ y =

4

5x ความชัน

= (-4

5)(

4

5) =

-16

25

ข. y = 2x–3 และ y = 3X+1

2 ความชัน

= (2)(3

2) = 3

ค. y = -3X+5

2 และ y =

-3X+5


= (-3

2)(-

3

2) = (

9

4)

ง. y = -x +3 และ y = x-1


= 1(-1) = -1



เขียนคูอันดับของจุด A, B, C, D และ E ลงในตารางกราฟแลวจะไดตามแบบจําลองดานบน

ลาก BD และ CF ตั้งฉากกับ BD ที่จุด F

พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABDE = 1

2× (9+13) × 10

= 110 ตารางหนวย

พื้นที่รูปสามเหลี่ยม BCD = 1

2× 9 × 4


ดังนั้น พื้นที่รูป ABCDE = 110 + 18



เนื่องจาก (11,3b) อยูบนกราฟของสมการ x-y = 5

จะไดวาคา x = 11 และ y = 3b

แทนคา x และ y ลงในสมการ

จะได 11 – 3b = 5

11 – 5 = 3b

6 = 3b

b = 2

ดังนั้น จะได b = 2


คิดเปนนักเรียนที่เดินทางมาโดยรถประจําทางและรถมอเตอรไซด รวมกัน จะได

(300+100)x100

1,200 = รอยละ 33.3


ขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางของนักเรียนที่เดินทางมาโรงเรียนโดยรถแท็กซี่ คิดเปน = 200x360

1,200 = 60 องศา


นักเรียนที่เดินทางโดยรถแท็กซี่ 200 คน คิดเปนนักเรียน x คน

นักเรียนที่เดินทางโดยรถประจําทาง 300 คน จะคิดเปนนักเรียน

= 300x

200 =

3x

2 คน


เนื่องจากมุมของสวนผสมทุกประเภท เทากับ

144 + xo + 2x

o + 9x

o = 144 + 12x

o

และในแผนภูมิรูปวงกลมขนาดของมุมรอบจุดศูนยกลางเทากับ 360o

144o + 12x

o = 360

o

12xo = 216

o

xo = 18

o

ดังนั้นสวนผสมที่เปนเนื้อหมูคิดเปน 9xo = 9(18) = 162

o

B(6, 5)A(-4, 5)

C(10, 2)

D(6, -4)

E(-4, -8)



ถาสวนผสมที่เปนไขไกของอาหารชนิดนี้มีนํ้าหนัก 120 กรัม

เนื่องจากสวนผสมไขไกมีขนาดมุม 144 องศา คิดเปน 120 กรัม

สวนผสมทั้งหมดมีขนาดมุม 360 องศา คิดเปน 120x360

144 = 300 กรัม


x +3x+1

2 <

5+8x

3

2x+3x+1

2 <

5+8x

3

5x+1

2 <

5+8x

3

3(5x + 1) < 2(8x + 5)

15x + 3 < 16x + 10

-7 < x

ดังนั้น P = -8


ใหจํานวนนั้นเปน x

จากโจทย จะได 21<3

2x+

1

4x < 105

แยกคิดออกเปนสองกรณี

กรณีที่ 1 3

2x+

1

4x > 21

7

4x > 21

x > 12

กรณีที่ 2 3

2x+

1

4x < 105

7

4x < 105

x < 60

ดังนั้น จะได 12 < x < 60


ใหนํ้าหนักรวมของนักเรียนหญิงเปน x กิโลกรัม

นํ้าหนักรวมของนักเรียนชายเปน 907.5 กิโลกรัม

จากอัตราสวน 3 : 4 จะได

x

907.5 =

4

3

x = 1,210 กิโลกรัม

ใหจํานวนนักเรียนหญิงในหองมี y คน

ดังนั้น จะได 1,210

y < 55 (y < 0)

1,210

55 < y

y > 22

ดังนั้น นักเรียนหญิงในหองนี้มีอยางนอย 23 คน



ใหฟลมมีเหรียญสิบบาท x เหรียญ

ฟลมมีเหรียญหาบาทอยู x+8 เหรียญ

คิดเปนเงิน 10x + 5(x+8) < 175

เขียนอสมการ ไดดังนี้

10x + 5(x + 8) < 175

10x + 5x + 40 < 175

15x < 135

x < 9

ดังนั้น ฟลมมีเหรียญสิบบาทอยางนอย 9 เหรียญ


ใหสมชาย เลี้ยงไกทั้งหมด x ตัว

เนื่องจากอัตราสวนของเปด : ไก : นก เปน 2 : 1 : 3

นั่นคือ จํานวนสัตวทั้งหมด 2x + x + 3x = 6x ตัว

หลังจากขายเปดไป 300 ตัว จะเหลือเปด 2x-300 ตัว

หลังจากขายไกไป 200 ตัว จะเหลือไก x-200 ตัว

เขียนอสมการไดดังนี้

3x + (2x – 300) + (x – 200) < 1

26x

6x – 500 < 3x

3x < 500

x < 500

3

x < 166.66

ดังนั้น จึงสรุปไดวา สมชายเลี้ยงไกไว 166 ตัว

• 07: สมการกําลังสองและพาราโบลา


/m3/onet-math/ch6-1

• 08 : อสมการ


/m3/onet-math/ch6-2


Tag : สอนศาสตร, คณิตศาสตร, คูอันดับและกราฟ, กราฟเสนตรง, กราฟพาราโบลาแผนภูมิวงกลม,

อสมการ, อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว


• • 09 : กราฟเสนตรง


/m3/onet-math/ch6-3

• 10 : พาราโบลา



• สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : อสมการ



• คูอันดับและกราฟ ตอนที่ 1









• คณิตศาสตร ม.ตน เรื่อง อสมการ




• 10 : พาราโบลา • 10 : พาราโบลา



• สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : อสมการ • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : อสมการ





/book/m3/onet-math/ch6-6 /book/m3/onet-math/ch6-6 /book/m3/onet-math/ch6-6

• คูอันดับและกราฟ ตอนที่ 2 • คูอันดับและกราฟ ตอนที่ 2 • คูอันดับและกราฟ ตอนที่ 2 • คูอันดับและกราฟ ตอนที่ 2



• คูอันดับและกราฟ ตอนที่ 3 • คูอันดับและกราฟ ตอนที่ 3



• คณิตศาสตร ม.ตน เรื่อง อสมการ • คณิตศาสตร ม.ตน เรื่อง อสมการ • คณิตศาสตร ม.ตน เรื่อง อสมการ • คณิตศาสตร ม.ตน เรื่อง อสมการ



• • 09 : กราฟเสนตรง• • 09 : กราฟเสนตรง

http://www.trueplookpanya.com/book http://www.trueplookpanya.com/book http://www.trueplookpanya.com/book

/m3/onet-math/ch6-3 /m3/onet-math/ch6-3 /m3/onet-math/ch6-3 /m3/onet-math/ch6-3 /m3/onet-math/ch6-3


• สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.ตน :

ตะลุยโจทยสอบเขา ม.4 1


/m3/onet-math/ch7-1


ตะลุยโจทยสอบเขา ม.4 2


/m3/onet-math/ch7-2


ตะลุยโจทยสอบเขาม.4 3


/m3/onet-math/ch7-3


ตะลุยโจทยสอบเขาม.4 4

ม.3 : เลขยกกําลังไรเทียมทาน (1)


/m3/onet-math/ch7-4


ตะลุยโจทย O Net (1)

http://www.trueplookpanya.com/book/

m3/onet-math/ch7-5


ตะลุยโจทย O Net (2)


/m3/onet-math/ch7-6


Tag : สอนศาสตร, คณิตศาสตร, ตะลุยโจทย, แนวขอสอบสอบเขาม.4 O-Net


บรรณานุกรม

ปรินทร จิระภัทรศิลปะ และคณะ. (2556). สรุปเขม ม.3 พิชิตสอบเขา ม.4. (พิมพครั้งที่ 1). นนทบุรี : ไอดีซี.

เทพฤทธิ์ ยอดใส และ อุดมศักดิ์ ลูกเสือ. (2551). ตะลุยโจทย คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2. กรุงเทพมหานคร :

พ.ศ. พัฒนา.

เทพฤทธิ์ ยอดใส และ อุดมศักดิ์ ลูกเสือ. (2550). ตะลุยโจทย คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3. กรุงเทพมหานคร :

พ.ศ. พัฒนา.

Documents

ทรูปลูกป ญญาkm.ssk.in.th/2561/upload/20180730134019.pdf · 1.4 เลขยกกําลังและคุณสมบัติ 10 1.5 ... ม.2 ส วนใหญ