144

X

Y

X

Y

บทท 6 การวเคราะหการถดถอยอยางงายและสหสมพนธ

(Simple Regression Analysis and Correlation)

การถดถอยอยางงายและสหสมพนธ เปนเทคนคทางสถตทใชส าหรบการศกษาวเคราะหความสมพนธระหวางตวแปรเชงปรมาณ 2 ตว ซงมลกษณะความสมพนธกนเชงเสน โดยตวแปรหนงเรยกวา ตวแปรอสระเขยนแทนดวย x และอกตวแปรเรยกวา ตวแปรตามเขยนแทนดวย y ตวแปรอสระจะเปนตวแปรทมอทธพลตอตวแปรตาม ตวอยางเชน การวเคราะหความสมพนธระหวางคาใชจายในการโฆษณากบปรมาณสนคาทขายได การศกษาความสมพนธระหวางแรงดงกบระยะเสนผาศนยกลางของลวดสลง

การวเคราะหการถดถอยเชงเดยว เปนกระบวนการทางสถตทใชสรางสมการคณตศาสตรเชงเสนแสดงความสมพนธระหวางตวแปรอสระและตวแปรตาม ส าหรบการวเคราะหสหสมพนธเปนกระบวนการทางสถตทใชวดระดบความสมพนธเชงเสนของตวแปรอสระและตวแปรตาม วธการงายๆ ทใชส าหรบตรวจสอบรปแบบความสมพนธของตวแปรคอ แผนภาพการกระจาย (Scatter Plot)

6.1 แผนภาพการกระจาย (Scatter Plot)

เปนกราฟทชวยในการศกษาความสมพนธระหวางตวแปร 2 ตว โดยน าคาของตวแปรทงสองมาเขยนกราฟ แตละจดในแผนภาพการกระจายคอ คา x และ y เปนคๆ

a) ความสมพนธเชงเสนตรงทางบวก b) ความสมพนธเชงเสนตรงทางลบ

145

X

Y

c) ไมมความสมพนธกน ภาพท 1 แผนภาพการกระจายแสดงรปแบบความสมพนธของตวแปร x และ y

ความสมพนธเชงเสนตรงหมายถงคาของตวแปร y มการเปลยนแปลงเปนสดสวนโดยตรงกบตวแปร x สวนความสมพนธเชงเสนโคงหมายถงคาของตวแปร y เปลยนแปลงไมเปนสดสวนโดยตรงกบตวแปร x

ความสมพนธทางบวกหมายถงคาของตวแปร x และ y มการเปลยนแปลงไปในทศทางเดยวกน โดยเมอตวแปร x มคาเพมขนมผลท าใหคาของตวแปร y มคาเพมขน และเมอตวแปร x มคาลดลงมผลท าใหตวแปร y มคาลดลงดวย

ความสมพนธทางลบหมายถงคาของตวแปร x และ y มการเปลยนแปลงไปในทศทางตรงกนขามกน โดยเมอตวแปร x มคาเพมขนมผลท าใหคาของตวแปร y มคาลดลง และเมอตวแปร x มคาลดลงมผลท าใหตวแปร y มคาเพมขน

6.2 การวเคราะหสหสมพนธอยางงาย (Simple Correlation) บางครงผท าการศกษาวจยมความตองการทจะทราบถงความสมพนธระหวางตวแปร x และ y วามระดบมากนอยเพยงใด วธการทางสถตทใชวดระดบความสมพนธระหวางตวแปร คอ การวเคราะหสหสมพนธ คาทใชวดระดบความสมพนธระหวางตวแปร x และ y เรยกวา สมประสทธสหสมพนธ (Correlation Coefficient) ใชสญลกษณ xy หรอ ในกรณเปนขอมล

ของประชากร และใชสญลกษณ rxy หรอ r ในกรณเปนขอมลของตวอยาง สมประสทธสหสมพนธมคาตงแต –1 ถง +1 และไมมหนวย ถาตวแปรตาม y ขนอยกบตวแปรอสระ x เพยงตวเดยวจะเรยกวา สมประสทธสหสมพนธเชงเดยว (Simple Correlation Coefficient) ส าหรบการวเคราะหสหสมพนธไมจ าเปนตองระบวาตวแปรใดเปนตวแปรตามหรอเปนตวแปรอสระกได

146

สญลกษณทใชส าหรบการวเคราะหคาความสมพนธ จะเรยกคาทค านวณวา สมประสทธสหสมพนธ โดย แทน สมประสทธสหสมพนธของประชากร r แทน สมประสทธสหสมพนธของตวอยาง

ส าหรบคา r จะมคาอยระหวาง -1 ถง 1 r มคาเขาใกล –1 แสดงวาตวแปร x และ y มความสมพนธระดบสงมากในทางตรงกน

ขาม r มคาเขาใกล 1 แสดงวาตวแปร x และ y มความสมพนธระดบสงมากในทางเดยวกน r มคาเขาใกล 0 แสดงวาตวแปร x และ y มความสมพนธระดบนอยมาก r มคาเทากบ 0 แสดงวาตวแปร x และ y ไมมความสมพนธกน

สตรการหาคาสมประสทธสหสมพนธ

)y ny)(x nx(y x nxy

r2222

; n

xx ,

ny

y

ตวอยางท 1 บรษทแหงหนงตองการหาความสมพนธระหวางคาโฆษณากบยอดขายจงใชขอมลคาโฆษณาและยอดขายรายเดอนของปทผานมาดงน

เดอนท i

คาโฆษณา (แสนบาท) xi

ยอดขาย (แสนบาท) yi

1 5 52 2 7 80 3 8 100 4 9 90 5 11 110 6 10 114 7 15 140 8 12 128 9 8 112 10 10 104

147

11 12

11.6 16

120 160

วธท า เดอนท

i คาโฆษณา

xi

ยอดขาย yi

xiyi 2ix 2

iy

1 5 52 260 25 2,704 2 7 80 560 49 6,400 3 8 100 800 64 10,000 4 9 90 810 81 8,100 5 10 110 1,100 100 12,100 6 11 114 1,254 121 12,996 7 15 140 2,100 225 19,600 8 12 128 1,536 144 16,384 9 10 112 1,120 100 12,544 10 11 12

10 12 16

104 120 160

1,040 1,440 2,560

100 144 256

10,816 14,400 25,600

รวม x 125 y 1,310 xy 14,580 2x 1,409

2y 151,644

ค านวณ n

x x =

12125

= 10.42 , n

y y =

121,310

= 109.17

จากสตร

)y ny)(x nx(

y x nxy r 2222

)12(109.17) 644,(151)12(10.42) (1,409

109.17)12(10.42)( 14,580 22

)143,017.07 644,(151)1,302.92 (1,409

13,650.62 14,580

148

)(8,626.93)(106.08

929.38

915,144.73

929.38

956.63

929.38

0.97

คาโฆษณา มความสมพนธกบยอดขาย เทากบ 0.97

6.3 การทดสอบนยส าคญของสมประสทธสหสมพนธ

เนองจากสมประสทธสหสมพนธของตวอยาง ( r) เปนตวประมาณคาแบบจดของสมประสทธสหสมพนธประชากร ดงนนจงมความจ าเปนตองทดสอบนยส าคญของ เพอความมนใจวาตวแปร x และ y มความสมพนธกนอยางมนยส าคญในเชงสถตหรอไม โดยท าการทดสอบสมมตฐาน ทวา H0 : = 0 H1 : 0

ถาตวแปร x และ y ของประชากรไมมความสมพนธกน สมประสทธสหสมพนธประชากรจะมคาเทากบศนย นนคอ = 0 ในทางตรงกนขามถาตวแปร x และ y ตามมความสมพนธกนจรง สมประสทธสหสมพนธประชากรจะไมเทากบศนย นนคอ 0 กรณทมความประสงคจะทดสอบความสมพนธโดยเฉพาะวาตวแปรทงสองมความสมพนธในเชงบวกหรอลบสามารถกระท าไดโดยมรปแบบการตงสมมตฐานทางเลอก H1 : > 0 หรอ < 0 ซงจะเปนการทดสอบดานเดยว สถตส าหรบการทดสอบ คอ

2r12nr

t

โดย r คอ สมประสทธสหสมพนธตวอยาง

n คอ จ านวนตวอยาง df = n – 2

149

จากตวอยางท 1 ท าการทดสอบสมประสทธสหสมพนธ ทระดบนยส าคญ = 0.01

วธท า 1. ตงสมมตฐาน H0 : = 0 H1 : 0 2. ระดบนยส าคญ = 0.01 3. สถตทดสอบ

2calr1

2nr t

2(0.97)1

2120.97

9409.01100.97

0.0591

0.97(3.16)

0.24313.0652

12.61 4. เปดตาราง

ttab = t0.005, (10) =

ปฏเสธสมมตฐานวาง H0 5. สรปผล

ยอดขายและคาโฆษณาของบรษทมความสมพนธกนอยางมนยส าคญเชงสถตทระดบนยส าคญ 0.01

t 12.61

2.306 -2.306

150

6.4 สมประสทธการตดสนใจ

หมายถง อทธพลของตวแปรอสระทมผลตอตวแปรตาม เปนการน าคาสมประสทธสหสมพนธ ( r ) ทค านวณไดมายกก าลงสอง

สมประสทธการตดสนใจ = 2r จากตวอยางท 1 จงหาคาสมประสทธการตดสนใจ

2r = (0.97)2

= 0.9409 นนคอ คาโฆษณามอทธพลตอยอดขาย 94.09 % สวนทเหลออก 5.91 % เปนอทธพล

เนองจากสาเหตอน

6.5 วธก าลงสองนอยทสด (Least Square Method) วธก าลงสองนอยทสด (Least Square Method) เปนวธทใชในการสรางสมการ

คณตศาสตรเชงเสนซงแสดงความสมพนธของตวแปรอสระและตวแปรตาม โดยมตวแบบเชงคณตศาสตรทแสดงความสมพนธเชงเสน เรยกวา ตวแบบการถดถอย (Regression Model) ดงน

y = 0

+ 1

x +

โดย y คอ คาตวแปรตาม x คอ คาตวแปรอสระ

0 คอ จดตดแกน y ของเสนตรง

0 +

1 x

1

คอ ความชนของเสนตรง 0

+ 1

x

คอ คาคลาดเคลอน ระหวาง y และเสนตรง 0

+ 1

x

วธก าลงสองนอยทสด เปนวธการหาเสนตรงทเหมาะสมทสดในการประมาณความสมพนธระหวางตวแปรอสระและตวแปรตาม โดยมรปแบบสมการเสนตรงซงเรยกวา สมการประมาณการถดถอย (Estimated Regression Equation) ดงน

bxay ˆ โดย

151

y คอ ตวประมาณคาของตวแปรตาม a คอ จดตดแกน y ของเสนตรงประมาณการถดถอย

b คอ ความชนของเสนตรงประมาณการถดถอย โดย

a = y - b x

b =

22 xnxy x nxy

bx a y ˆ

จากตวอยางท 1 จงสรางสมการพยากรณ

วธท า

จาก b =

22 xnxy x nxy

= 212(10.42) 1,409109.17)12(10.42)( 14,580

= 106.08929.38

= 8.76

a = y - b x = 109.17 - 8.76(10.42) = 109.17 - 91.28 = 17.89

bx a y ˆ = 17.89 + 8.76x

152

ดงนนสมการ พยากรณ ซงใชประมาณความสมพนธระหวางคาโฆษณาและ ยอดขายของบรษท คอ 17.89 + 8.76x

จากตวอยางท 1 ถาบรษทจะเพมคาใชจายในการโฆษณาเปน 500,000 บาท จงหาแนวโนมของยอดขายมคาเทากบเทาใด

จาก = 17.89 + 8.76x โดยท x = 5 แทนคา x = 5 ในสมการพยากรณ = 17.89 + 8.76(5) = 61.69 ดงนนแนวโนมของยอดขายมคาเทากบ 6,169,000 บาท

6.6 คาคลาดเคลอนของคาประมาณ

จากตวอยางท 1 สมการประมาณการถดถอยทแสดงความสมพนธระหวางคาโฆษณาและยอดขาย คอ = 17.89 + 8.76x ค านวณหาผลรวมก าลงสองของคลาดเคลอน ไดดงน

เดอนท i

คาโฆษณา xi

ยอดขาย yi

คาพยากรณ = 17.89 + 8.76x

iii yy ˆε 2

iε

1 5 52 61.69 -9.69 93.90 2 7 80 79.21 0.79 0.62 3 8 100 87.97 12.03 144.72 4 9 90 96.73 -6.73 45.29 5 10 110 105.49 4.51 20.34 6 11 114 114.25 -0.25 0.06 7 15 140 149.29 -9.29 86.30 8 12 128 123.01 4.99 24.90 9 10 112 105.49 6.51 42.38 10 11 12

10 12 16

104 120 160

105.49 123.01 158.05

1.49 -3.01 1.95

2.22 9.06

38.02 รวม

2

iε 498.75

ผลรวมก าลงสองของความคลาดเคลอน เทากบ 498.75

y

153

แบบฝกหดทายบทท 6

1. การศกษาความสมพนธระหวางคะแนนสอบปลายภาคและเวลาทใชในการอานหนงสอโดยสมตวอยางนกเรยนชนม.6 มา 9 คน ไดขอมลดงน จงหาคาความสมพนธระหวางเวลาทใชในการอานหนงสอและคะแนนสอบปลายภาค และสรางสมการพยากรณ โดยมขอมล ดงน

นกเรยนคนท เวลาทใชในการอานหนงสอ

xi

คะแนนสอบปลายภาค yi

1 8 35 2 12 38 3 15 32 4 16 38 5 18 45 6 19 42 7 22 50

8 25 55 9 26 58

ก) จงหาสมประสทธสหสมพนธและสมประสทธการตดสนใจของ เวลาทใชในการอานหนงสอกบคะแนนสอบปลายภาค

ข) จงทดสอบนยส าคญของสมประสทธสหสมพนธ ทระดบนยส าคญ 0.10 ค) จงหาสมการพยากรณ ง) จงหาสมประสทธการตดสนใจ จ) จงหาคาความคลาดเคลอนของการประมาณ

154

2. การศกษาความสมพนธระหวางอตราคาเชากบเปอรเซนตพนทวางของอาคารส านกงานใหเชา จงสมอาคารส านกใหเชามา 15 แหง ไดขอมลดงน

อาคารท พนทวาง (%) คาเชาตอตารางเมตร

1 16.1 241 2 19.2 170 3 20.1 253 4 14.6 194 5 12.5 351 6 18.2 210 7 22.7 197 8 21.9 185 9 15.9 187 10 19.8 277 11 20.1 182 12 17.2 298 13 10.7 370 14 11.2 286 15 14.6 197

ก) จงหาสมประสทธสหสมพนธและสมประสทธการตดสนใจของอตราคาเชากบ

เปอรเซนตพนทวางของอาคารส านกงานใหเชา ข) จงทดสอบนยส าคญของสมประสทธสหสมพนธ ทระดบนยส าคญ 0.10 ค) จงหาสมการพยากรณ ง) จงหาสมประสทธการตดสนใจ จ) จงหาคาความคลาดเคลอนของการประมาณ

155

3. การศกษาหาความสมพนธระหวางก าลงตานทานกบขนาดเสนผานศนยกลางของนอต จงสมตวอยางนอตมา 10 ตว และจดบนทกขนาดเสนผานศนยกลางหนวยเปนนว และก าลงตานทานหนวย 1,000 ปอนด ไดขอมลดงน

นอตตวท 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 เสนผานศนยกลาง 2.4 1.8 1.6 1.0 1.2 1.1 2.8 1.6 1.5 2.3 ก าลงตานทาน 7.0 5.3 4.2 3.3 3.8 6.6 8.5 6.6 4.5 8.8

ก) จงหาสมประสทธสหสมพนธและสมประสทธการตดสนใจของก าลงตานทานกบขนาด

เสนผานศนยกลางของนอต ข) จงทดสอบนยส าคญของสมประสทธสหสมพนธ ทระดบนยส าคญ 0.05 ค) จงหาสมการพยากรณ ง) จงหาสมประสทธการตดสนใจ จ) จงหาคาความคลาดเคลอนของการประมาณ

4. การศกษาหาความสมพนธระหวางอายการใชงานของรถโดยสารและคาใชจายในการ

บ ารงรกษาตอป จงสมตวอยางรถโดยสารมาจ านวน 10 คน ไดขอมลดงน

อายการใชงาน (ป) คาใชจายบ ารงรกษาตอป (บาท)

1 3,500 2 3,700 2 4,800 2 5,200 2 5,900 3 5,500 4 7,500 4 8,000 5 7,900 5 9,500

156

ก) จงหาสมประสทธสหสมพนธและสมประสทธการตดสนใจของอายการใชงานของรถโดยสารและคาใชจายในการบ ารงรกษาตอป

ข) จงทดสอบนยส าคญของสมประสทธสหสมพนธ ทระดบนยส าคญ 0.05 ค) จงหาสมการพยากรณ ง) จงหาสมประสทธการตดสนใจ จ) จงหาคาความคลาดเคลอนของการประมาณ