Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
วทคม ๒๓๐ เคมีเชิงฟสิกส ๑ SCCH 230 Physical Chemistry I
รศ.ดร.อรอุมา เขยีวหวาน
ภาควิชาเคมี คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยมหิดล ปการศึกษา ๒๕๕๔ ภาคตน
บทท่ี 6 อะตอมไฮโดรเจน (Hydrogen Atom)ในบทน้ีเราจะมาเรียนรูเกี่ยวกับการนําความรูทางกลศาสตรควอนตัม มาอธิบายโครงสรางอะตอมไฮโดรเจน ซึ่งเปนอะตอมที่มีอิเล็กตรอนเดียว
ซึ่งสมการชโรดิงเจอรของอะตอมไฮโดรเจนสามารถหาผลเฉลยไดโดยตรงในเชิงวิเคราะห (แกสมการได) อยางแมนตรง (exact)
สําหรับอะตอมทั่วไปท่ีมีหลายอิเล็กตรอน เราแกสมการโดยตรงไมได ตองใชการประมาณ (approximation) (จะเรียนในบทถัดไป)
Hydrogen AtomPage 255:
ความรูท่ีไดจะปูพื้นแนวคิดในการอธิบายโครงสรางอะตอมทั่วไปดวย
6.1 สมการชโรดงิเจอรของอะตอมไฮโดรเจน
ในการพิจารณาปญหาของอะตอมไฮโดรเจน เราจะประมาณวาโปรตอน (ซึ่งมีขนาดใหญกวาอิเล็กตรอน ประมาณ 1800 เทา) อยูน่ิงกับท่ี ท่ีจุดกําเนิด (origin) ของพิกัด
(6.1)
ในขณะท่ีอิเล็กตรอนจะเคลื่อนท่ีไปรอบ ๆ ดวยอันตรกิริยาคูลอมบ (Coulomb interaction)
= −2
0
Ze(r) 4 r
Schrodinger EquationPage 256: :
ดังน้ัน จึงทําใหเราสามารถลดรูปปญหาวัตถุสองช้ิน (two-body problem) คืออิเล็กตรอนและโปรตอน มาเปนปญหาที่มีวัตถุเดียว (อิเล็กตรอน) ได
ภาพแสดงอะตอมไฮโดรเจนในพิกัดทรงกลม
r Nm em
Schrodinger EquationPage 257: :
จากสมการชโรดิงเจอรแบบไมขึ้นกับเวลา (time-independent Schrodinger equation):
− + =∇2
2 (x, y,z) E2mและ Laplacian operator, ในพิกัดทรงกลม (spherical coordinates)
2
2 2 22 2
2 21 1 1r sin
r rr r sin r sin= + +∇
2∇
Schrodinger EquationPage 258: :
ดังน้ัน สมการชโรดิงเจอรในพิกัดทรงกลม ของอะตอมไฮโดรเจน คือ
(6.2)
โดยท่ี คือ มวลลดรูป (reduced mass) ระหวาง อิเล็กตรอนและนิวเคลียส
+
+ + + =
2
2
2 2 20
2
22
2
1 1r sinr rr r sin
21 ZeE (r, , ) 04 rr sin
=+e N
e N
m mm m
Schrodinger EquationPage 259: :
2
ในการหาผลเฉลยของสมการ (6.2) จะใชวิธีแยกตัวแปร โดยจะสมมุติผลเฉลย
(6.3)
แทนคาลงในสมการ (6.2) แลวหารดวย
=(r, , ) R(r) ( ) ( )
R(r) ( ) ( )
+
+ + + =
2
2
2 2 20
2
22
2
1 1 d dR 1 1 d dr sinR(r) dr dr ( ) d dr r sin
21 1 d ZeE 0( ) 4 rr sin d
Schrodinger EquationPage 260: :คูณตลอดดวย เพื่อแยกตัวแปรในฟงกชันของ
กําหนดคา separation constant
(6.4)
22r sin
+
+ + + =
2
22
2 20
2
2
2
sin d dR sin d dr sinR(r) dr dr ( )d d
2 r sin1 d ZeE 0( ) 4 rd
22
21 d m( ) d
= −
Schrodinger EquationPage 261: :
ดังน้ันสมการสวนท่ีเหลือจะเปน
หารตลอดดวย
+
+ + =
2
22
20
2
2
2
sin d dR sin d dr sinR(r) dr dr ( )d d
2 r sin ZeE m4 r
+
+ + − =
2
2 20
2
2
2
1 d dR 1 1 d dr sinR(r) dr dr ( )sin d d
2 r Ze mE 04 r sin
2sin
Schrodinger EquationPage 262: :
กําหนดให
(6.5)
ดังน้ัน
(6.6)
จะเห็นวาเมื่อแยกตัวแปรสําเร็จ จะไดสมการยอย (6.4) ในฟงกชันของ , (6.5) ในฟงกชัน , และ (6.6) ในฟงกชัน
+ + = +
2
0
222 2 r1 d dR Zer E ( 1)
R(r) dr dr 4 rl l
2
21 1 d d msin ( 1)( )sin d d sin
− = − +l l
( )( ) R(r)
Schrodinger EquationPage 263: :
สรุปไดวา สมการชโรดิงเจอรของอะตอมไฮโดรเจนในพิกัดทรงกลม (6.2) สามารถเขียนแยกเปน 3 สมการยอย คือ
22
21 d m( ) d
= −
+ + = +
2
0
222 2 r1 d dR Zer E ( 1)
R(r) dr dr 4 rl l
2
21 1 d d msin ( 1)( )sin d d sin
− = − +l l
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Schrodinger EquationPage 264: :
−=+
m m1/2(2 + 1) ( m)!( ) P (cos )2 ( m)! l ll l
l
− ++
− −= −+
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
r na 2 1n
3
n(n 1)!2 2r 2rR (r) e Lna 2n (n )! na na
ll
ll
ll
เมื่อแกสมการท้ัง 3 แลวจะไดผลเฉลยดังตอไปนี้
หนังสือ : อรอุมา เขียวหวาน, คณิตศาสตรสําหรับเคมีเชิงฟสิกส, 2551
(6.7)
(6.8)(6.9)
Schrodinger EquationPage 265: :
= = ± ± imm ( ) 1 2 e , m 0, 1, 2, …
3
ดังน้ัน ผลเฉลยรวมของสมการชโรดิงเจอรของอะตอมไฮโดรเจน คือ
= m
n m n m(r, , ) R (r) ( ) ( )l l l
− ++
− −= −+
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
r na 2 1n
3 (n 1)!2 2r 2re Lna 2n (n )! na nall
lll
+ −+
× ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
m1/2(2 1) ( m)! P (cos )2 ( m)! ll l
l
× ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
i m1 e2
(6.10)
=
20
0 2
4; a
e
Schrodinger EquationPage 266: :
= 0; a a Z
พหุนามเลอช็องดร (Legendre polynomials)สมการเลอช็องดร
22
2d y dy(1 x ) 2x n(n 1)y 0dxdx
− − + + =
ผลเฉลยของสมการเลอช็องดร ; พหุนามเลอช็องดร N j n 2j
n nj 0
( 1) (2n 2j)!xy(x) P (x)
2 j!(n 2j)!(n j)!
−
=
− −= =
− −
โดยท่ี N = n/2 เมือ่ n เปนเลขคู, N = (n-1)/2 เมื่อ n เปนเลขคี่
Schrodinger EquationPage 267: :
พหุนามเลอช็องดรสมทบ (associated Legendre polynomials)
สมการเลอช็องดรสมทบ 2 222 2
d y dy m(1 x ) 2x n(n 1) y 0dxdx 1 x− − + + − =
−
ผลเฉลยของสมการเลอช็องดรสมทบ ; พหุนามเลอช็องดรสมทบ m
nm m 2 m/2 n m
d P (x)y(x) P (x) ( 1) (1 x )
dx= = − −
โดยท่ี เปนเลขจํานวนเต็ม (ถา แลว )m nP (x) 0=≤m n m n>
Schrodinger EquationPage 268: :
พหุนามลาแกร (Laguerre polynomials)สมการลาแกร
2
2d y dyx (1 x) ny 0dxdx
+ − + =
ผลเฉลยของสมการลาแกร ; พหุนามลาแกร
=
−= =
−
n jj
n 2j 0
( 1) n!y(x) L (x) x
(n j)!(j!)
Schrodinger EquationPage 269: :
พหุนามลาแกรสมทบ (associated Laguerre polynomials)
สมการลาแกรสมทบ 2
2d y dyx (k 1 x) (n k)y 0dxdx
+ + − + − =
ผลเฉลยของสมการลาแกรสมทบ ; พหุนามลาแกรสมทบ
kkn nk
dy(x) L (x) L (x)
dx= =
Schrodinger EquationPage 270: :
ตัวอยางฟงกชันคล่ืนของอะตอมไฮโดรเจน
−=
0
3/2
1001 Z ea
−= −
0
3/2 /2200
1 Z (2 )ea4 2−=
0
3/2 /2210
1 Z e cosa4 2
= 0
Z ra
=
20
0 2
4a
e
−= ∓ ±±
0
3/2 /221 1
1 Z e sin ea8
Bohr radius
Schrodinger EquationPage 271: :
4
ผลเฉลยรวมของสมการชโรดิงเจอรของอะตอมไฮโดรเจนสามารถแบงออกเปนสองสวน คือสวนท่ีขึ้นกับรัศมีและสวนท่ีขึ้นกับมุม
= m
n m n m(r, , ) R (r) ( ) ( )l l l
m ( , )lY
radial solution
spherical harmonics,
angular solution
= m m
m( , ) ( ) ( )l lYฟงกชันคล่ืนท่ีขึ้นกับมุม เรียกวา spherical harmonics
(6.11)
Schrodinger EquationPage 272: :ตัวอยางฟงกชัน และ ของอะตอมไฮโดรเจน
−= 0
3/2
10ZR 2 ea
−= −
0
3/2 /220
1 ZR (2 )ea2 2−=
0
3/2 /221
1 ZR ea2 6
=± ±∓
1
13 sin e2 2Y
nR (r)l m ( , )lY
=
00
12Y
=
00
12Y
=
01
3 cos2Y
−=
0
3/2 /221
1 ZR ea2 6
Schrodinger EquationPage 273: :
6.2 ผลเฉลยตามแนวรัศม,ี
ในหัวขอน้ี เราจะวิเคราะหรูปรางลักษณะของผลเฉลยตามแนวรัศมี (radial solution) ของอะตอมไฮโดรเจน
nR (r)l
จาก slide หนา 273 จะเห็นวา radial solution ทุกตัวประกอบดวย exponential term ท่ีเลขชี้กําลังเปนลบ ซึ่งจะทําใหผลเฉลยมีคาเขาสูศูนย เมื่อรัศมีมคีามากๆ (หางจากนิวเคลียส)
เพื่อใหเห็นภาพของผลเฉลยชัดเจนขึ้น เราจะ plot กราฟ probability density เทียบกับรัศมี ซึ่ง =* d 1all space
Radial SolutionPage 274:
volume element
rddr
rsin d
r sin
d
dr
r sin dr d
z
x
y
dr
sphericalcoordinates
=
2d r sin d d dr
Radial SolutionPage 275:
probability density
= =
2
20 0 0
* *d d d sin dr r ( ) 1all space
r *
แตในท่ีน้ี เราสนใจเฉพาะสวนของรัศมี น่ันคือ
= 2
0*r dr 1
2 2rprobability density
2 2nr R (r)l
Radial SolutionPage 276:
2 4 6 8 10 12 14
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 16
2 2 2
n 0r R (r) al
0r a
probability density ตามแนวรัศมี 101s (R )
202s (R ) 212p (R )
Radial SolutionPage 277:
5
จงคํานวณหาคารัศมีอะตอมของไฮโดรเจนในสถานะ 1s ซึ่งมี normalized wave function เปนตัวอยาง 6.1
03 2
01s
-r a1 1= ea
วิธีทํา เราสามารถคํานวณรัศมีอะตอมไดจากสมการ
เมื่อ คือรัศมีของบอหร (Bohr Radius)0a
*r (operator)= dซึ่งในกรณีน้ี operator คือ รัศมี r
Example 6.1Page 278:
พิกัดท่ีเหมาะสมสําหรับการพิจารณาอะตอมของไฮโดรเจน คือพิกัดทรงกลม (spherical coordinates)
ในพิกัดทรงกลม volume element ท่ีใชในการอินติเกรดมีคาเปนd
d = (r sin d )(r d )(dr)2= r sin dr d d
แทนคา , , และ d*
1s 1s* =
ซึ่งในกรณีน้ี (เน่ืองจาก เปนจํานวนจริง)1s
Example 6.1Page 279:
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
0
0 0 0
23 2 2
0
2-r ar 1 1= (r)(r sin dr d d )ea
0
0 0 0
-2r a 330
21= e r sin dr d da
0
0 0 0
-2r a 330
21= e r dr sin d da
f( ) f( )f(r)
Example 6.1Page 280:
00
-2r a 3e r dr = ?
ในการอินติเกรตอินติกรัลอันแรกน้ี ใหใชสูตร
0n -bx
n+1n!x e dx =b
ซึ่งในท่ีน้ี และ ดังน้ัน จะได x = r, n = 3 0b = 2/a
0
0
-2r a 34
0
3!e r dr =(2 a )
Example 6.1Page 281:
พิจารณาอินติกรัลท่ีเหลือ
[ ]00
22 2d = =
[ ]0 0sin d = - cos
= -cos( ) - (-cos(0))= -(-1) - (-1)= 2
และ
Example 6.1Page 282:
ดังน้ัน
3 40 0
r 2 21 3!=a (2/a )
0r 3= a2น่ันคือ ระยะหางเฉล่ียของอิเล็กตรอนจากนิวเคลียส ในสถานะ 1s ของอะตอมไฮโดรเจนมีคาเทากับ 3/2 เทาของรัศมีของบอหร a0
อยางไรก็ตาม ‘ระยะหางเฉล่ีย’ น้ีจะไมเทากับ ‘ระยะท่ีจะมีโอกาสพบอิเล็กตรอนมากที่สุด’ (ซึ่งเทากับ a0)
Example 6.1Page 283:
6
2 4 6 8 10 12 14
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 16
2 2 2
n 0r R (r) al
0r a
probability density ตามแนวรัศมี
1s
0a
01.5a
Example 6.1Page 284:
6.3 ผลเฉลยเชิงมุม,
ในหัวขอน้ี เราจะศึกษาผลเฉลยเชิงมุม (angular solution) ของอะตอมไฮโดรเจน
ผลเฉลยสวนน้ีจะมีความซับซอนมากกวาผลเฉลยเชิงรัศมี เพราะประกอบดวยพารามิเตอรถึง 2 ตัว คือ และ
m ( , )lY
สวนใหญจะไมมีสมมาตรทรงกลม (spherical symmetry)
ตัวอยางของ spherical harmonics ในหนา 273 สามารถแสดงดวยsurface plot ไดดังน้ี
Angular SolutionPage 285:
SphericalHarmonics
2 00Y
2 01Y
±
2
11Y
2 02Y
Angular SolutionPage 286:
6.4 ออรบิทัลเชิงอะตอม (Atomic Orbital)
จากความรูท่ีผานมาเราทราบวา เมื่อนําฟงกชันคล่ืนมายกกําลังสอง ( ) จะหมายถึงโอกาสหรือความนาจะเปนท่ีจะพบอิเล็กตรอนในบริเวณหน่ึงๆรอบนิวเคลียส
เราเรียกบริเวณท่ีมีความนาจะเปนหรือความหนาแนนอิเล็กตรอน (electron density) สูงวา ออรบิทัล (orbital) หรือออรบิทัลเชิงอะตอม (atomic orbital)
2
เราใชเลขควอนตัมในการระบุออรบิทัล เชนเดียวกับการระบุฟงกชันคล่ืน
Atomic OrbitalPage 287:
เลขควอนตัม (Quantum Number)
การแกสมการชโรดิงเงอรเพื่อหาฟงกชันคล่ืน จะมีตัวเลขจํานวนเต็มสามชนิดเขามาเกี่ยวของ คือ
1. เลขควอนตัมหลัก (principal quantum number, n)2. เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมมุ (angular momentum quantum
number, l)3. เลขควอนตัมแมเหล็ก (magnetic quantum number, ml) (ตัว
เดียวกับ m ในหัวขอท่ีผานมา)
Atomic OrbitalPage 288:
แตจากการทดลองของสเติรนและเจอรลาค (Stern-Gerlachexperiment) พบวาอิเล็กตรอนท่ีอาศัยอยูในออรบิทัลมีพฤติกรรมเสมือนเปนแทงแมเหล็กแทงเล็กๆ ท่ีหมุนรอบนิวเคลียสและขณะเดียวกันก็หมุนรอบแกนตัวเองดวย
การหมุนน้ีทําใหประจุลบของอิเล็กตรอนเหน่ียวนําใหเกิดสนามแมเหล็ก
ดังน้ันจึงตองมีเลขควอนตัมตัวท่ี 4 เพื่ออธิบายโมเมนตัมสปนของอิเล็กตรอนที่อยูในออรบิทัล
4. เลขควอนตัมสปน (spin quantum number, ms)
Atomic OrbitalPage 289:
7
1. เลขควอนตัมหลัก (n)
n เปนเลขจํานวนเต็มมีคาตงแต 1, 2, 3, …, เมื่อ n เพิ่มขึ้น ออรบิทัลจะมีขนาดใหญขึ้นในอะตอมท่ีมีอิเล็กตรอนมากกวาหน่ึงตัว อาจมีอิเล็กตรอนที่มีคา n เดียวกัน เรียกวามี ชั้นอิเล็กตรอน (electron shell) เดียวกัน โดยแตละชั้นจะมีอิเล็กตรอนเขาอยูไดจํานวน 2n2
= …n 1 2 3 4 5 6 7 …K L M N O P Q Shell
Atomic OrbitalPage 290:
2. เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมมุ (l)
l เปนเลขจํานวนเต็มมีคา = 0, 1, 2, 3, …, (n-1)l เปนตัวกําหนดรูปรางเฉพาะตัวของออรบิทัลมักแสดงดวยตัวอักษรมากกวาตัวเลข
= …0 1 2 3 4 l…s p d f g Subshell
Atomic OrbitalPage 291:
3. เลขควอนตัมแมเหล็ก (ml)
ml มีคาเปนเลขจํานวนเต็มตั้งแต l ถึง -lml มีจํานวน = 2l + 1 คาใชอธิบายการจัดตัวของออรบิทัลในท่ีวาง
4. เลขควอนตัมสปน (ms)
ms มีคาเทากับ หรือ +
12 −
12
ใชอธิบายโมเมนตัมสปนของอิเล็กตรอนท่ีอยูในออรบิทัล
Atomic OrbitalPage 292:
= − =n 20 0
2 2Z eE , n 1, 2, …8 n a
ระดับพลังงาน (Energy Level)
ในการแกสมการชโรดิงเงอรท่ีขึ้นกับรัศมี สมการ (6.5) นอกจากจะไดฟงกชันคล่ืน R(r) แลว เรายังสามารถคํานวณคาพลังงาน E ออกมาไดดวย ดังน้ี
(6.12)
ซึ่งระดับพลังงานของอะตอมไฮโดรเจนน้ีขึ้นกับเลขควอนตัมหลัก n เพียงตัวเดียวเทาน้ัน (ท่ีเหลือเปนคาคงท่ี)
Atomic OrbitalPage 293:
ระดับพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน
1 1s [1]
2s [1]3s [1]
Energy
2p [3]3p [3] 3d [5]
23
n s p d f
จํานวนออรบิทัล
Atomic OrbitalPage 294:
ออรบิทัล s (s Orbitals)
ออรบิทัล s เปนออรบิทัลท่ีมีพลังงานต่ําสุดมีลักษณะเปนทรงกลมลอมรอบนิวเคลียสความนาจะเปนท่ีจะพบอิเล็กตรอนมีคาเทากันหมดทุกทิศทาง (มีสมมาตรทรงกลม)มีขนาดใหญขึ้นตามลําดับเลขควอนตัมหลัก n ท่ีเพิ่มขึ้น เน่ืองจาก l = 0 (และ m = 0 เทาน้ัน) ทําให และ ในสมการ (6.10) มีคาเปนคาคงท่ี ดังน้ัน จึงขึ้นกับรัศมี r เทาน้ันn ml
m ml
Atomic OrbitalPage 295:
8
1 2 3 4 50.00 60r a
0.1
0.4
0.2
0.3
2
1s
Orbital 1s= =n 1, 0l
1 2 3 4 5
0.2
0.4
0.6
0.00 6
2 2 2
10 0r R (r) a
0r a1 2 3 4 5
0.2
0.4
0.6
0.00 60r a
1s
Atomic OrbitalPage 296:
0.0
0.1
2 4 6 8 10 12 140
0r a
2s
-0.1
0.2
2 4 6 8 10 12 14
0.05
0.10
0.15
0.20
0 160.00
0.25
2 2 220 0r R (r) a
0r a
Orbital 2s= =n 2, 0l
2 4 6 8 10 12 14
0.1
0.2
0.3
0 160.0
0.4
0r a
2
2s
> 0
< 0
Atomic OrbitalPage 297:
5 10 15 20 25
0.05
0.10
300
0.15
0.00
2 2 2
30 0r R (r) a
0r a
Orbital 3s= =n 3, 0l
5 10 15 20 2500.00
0.02
0.04
-0.02
3s
0r a
5 10 15 20 25 300
1
2
3
0
X10-4
0r a
2
3s
Atomic OrbitalPage 298:
ขอสังเกต
ในชวง จะมีความขัดแยงระหวางกราฟ radial distribution และกราฟ probabilityท่ีตําแหนงของนิวเคลียส ขณะท่ี probability มีคาสูงสุด แต radial distribution กลับมีคาเปนศูนย
ทําไมจึงเปนเชนน้ัน กราฟไหนใหคาท่ีถูกตอง?
< < 00 r a
2 2 2
nl 0r R (r) a 2
1s=r 0
กราฟท้ังสองบอกถึงความนาจะเปนท้ังคู แตมีวิธีการคํานวณ(อินติเกรต) ท่ีไมเหมือนกัน
Atomic OrbitalPage 299:
สําหรับ probability อินติเกรต โดยเทียบกับ volume element
สําหรับ radial distribution อินติเกรต โดยเทียบกับ dr
d= *Prob dall space
= 2
0*Prob r dr
เปนการคํานวณ prob ท่ีอยูในเปลือกทรงกลมรัศมี r หนา dr
ซึ่งถา r มีคานอยมากๆหรือเปนศูนย ก็จะทําใหเปลือกทรงกลมท่ีใชในการอินติเกรตน้ันเล็กมาก ทําใหได prob ท่ีนอยมากหรือเปนศูนยได
Atomic OrbitalPage 300:
ซึ่งในความเปนจริงแลว ความนาจะเปนท่ีจะพบอิเล็กตรอนบริเวณใกลๆนิวเคลียสน้ันมีคาสูงมาก และไมไดเปนศูนย
การท่ีกราฟ radial distribution มีจุดสูงสุดแรกท่ี น้ันเกิดเน่ืองจากอิทธิพลของ term
= 0r a
* exp (-f(r))กับอิทธิพลของขนาดของเปลือกทรงกลม (ยิ่ง r เพิ่ม ยิ่งมีคามาก)
(ยิ่ง r เพิ่ม ยิ่งมีคานอย)
ชวงแรก ขนาดของเปลือกทรงกลมมีอิทธิพลมากกวา (สังเกตไดจาก กราฟท่ีเร่ิมตนจากศูนยและเพิ่มขึ้นเร่ือยๆตามขนาดของรัศม)ี
< 0r a
Atomic OrbitalPage 301:
9
แตเมื่อ term จะมีอิทธิพลมากกวา (จะเห็นวา กราฟเร่ิมมีจุดสูงสูดแลวปรับลดลง)
> 0r a exp(-f(r))
ทําใหเกิดจุดสูงสุด(ชั่วคราว)ท่ี = 0r a
เราไมนับจุด วาเปน node (node คือบริเวณท่ีโอกาสพบอิเล็กตรอนเปนศูนย)
=r 0
ออรบิทัล 1s ไมมี node, ออรบิทัล 2s มี 1 node, ออรบิทัล 3s มี 2 node
Atomic OrbitalPage 302:
ออรบิทัล p (p Orbitals)
ออรบิทัล p ไมมีสมมาตรทรงกลม ดังน้ันความนาจะเปนท่ีจะพบอิเล็กตรอนจะขึ้นกับท้ังระยะทาง (r) และทิศทาง
มีลักษณะเปนพู (lobe) สองพูอยูคนละขางของนิวเคลียส บางคร้ังเรียกวามีรูปรางแบบดัมเบล (dumbbell shaped)
( , )
ซึ่งอิเล็กตรอนจะเคลื่อนทีอยูในพูท้ังสองเปนเวลาเทาๆ กัน และตรงบริเวณนิวเคลียสจะไมพบอิเล็กตรอนเลยมีทิศทางตางกัน 3 ทิศทาง เรียกวา px, py และ pz ออรบิทัล
Atomic OrbitalPage 303:
xy
z
pzpypx
ออรบิทัล px, py และ pz จะวางตัวในแนวแกน x, y, และ z, ตามลําดับ
xy
zx
y
z
ซึ่งท้ังสามออรบิทัลน้ีจะตั้งฉากซึ่งกันและกัน
Atomic OrbitalPage 304:
http://www.webelements.com/
จงพิสูจนวาฟงกชันคล่ืน orthogonal กับตัวอยาง 6.2
วิธีทํา เงื่อนไขของคุณสมบัติเชิงตั้งฉาก (orthogonality) คือ
เมื่อ
Example 6.2Page 306:
210 200
−= −
0
3/2 /2200
1 Z (2 )ea4 2−=
0
3/2 /2210
1 Z e cosa4 2
=n m n m nn mm* dall space l l ll
โดยท่ี คือ Kronecker delta ซึ่งมีคุณสมบัติ
= i j
i j
0 เมื่อ ≠i j1 เมื่อ =i j
0 0 0
22
r dr sin d d=210 200* dall space
−×⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
32
0
/21 Z e cosa4 2−−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
32
0
/21 Z (2 )ea4 2
Example 6.2Page 307:
10
210 200* dall space
−= −
0
0 0 0
3
0 0
Zr/a2
41 Z Zrr dr 2 e cos sin d d32 a a
Example 6.2Page 308:
0
ดังน้ัน =210 200
* d 0
สรุปวา ฟงกชันคล่ืน orthogonal กับ210 200
Problem Set VII
1. จงคํานวณหาความนาจะเปนท่ีจะพบอิเล็กตรอนของอะตอม ไฮโดรเจน ในออรบิทัล 1s ภายในรัศมี 2a0 หางจากนิวเคลียส
Problem Set VII
2. จงหาคาเฉล่ียของ r ในออรบิทัล 2s
3. จงพิสูจน และ สําหรับ อิเล็กตรอนในออรืบิทัล 2p0
= 2 E = −T 2
4. จงคํานวณหาจุดสูงสุดของกราฟ 2 2
20r R (r)
Page 309:
22 (x, y,z) i2m− + = t
สมการชโรดิงเจอรในพิกัดคารทีเซียนสมการชโรดิงเจอรในพิกัดคารทีเซียน คือ
ใชวิธีแยกตัวแปรในการแยกสมการน้ีออกเปน 2 สวน คือสวนท่ีเปนฟงกชันของตําแหนงซึ่งไมขึ้นกับเวลา (time-independent) และสวนท่ีเปนฟงกชันของเวลา (time-dependent)
เร่ิมจากสมมติฟงกชนัคล่ืนในรูป (x, y,z, ) (x, y,z) ( )= Tt t
Insert 1: Schrodinger equation:
time dependenttime independent
หารดวย
ผลเฉลยของสวนท่ีเปนฟงกชันของเวลา คือ
แทนคา ในสมการ (3.1)2
2 d(x, y,z) i2m d− + = TT tT
221 1 d(x, y,z) i E2m d− + = ≡T
T t
( )T t i E( ) exp= −T C tt
(x, y,z, ) (x, y,z) ( )= Tt t
Insert 1: Schrodinger equation:
และสวนท่ีเหลือคือ สมการชโรดิงเจอรแบบไมขึ้นกับเวลา (time-independent Schrodinger equation)
ตัวอยางเชน สําหรับตัวแกวงกวัดฮารมอนิก (harmonic oscillator) 1 มิติ ซึ่งมีพลังงานศักย , สมการชโรดิงเจอร (แบบไมขึ้นกับเวลา) จะเขียนดังน้ี
:
22 (x, y,z) E2m− + =
21(x) kx2=
22
2 2d 2m 1E kx 02dx
+ − =
Insert 1: Schrodinger equation:
ตัวอยางการคํานวณ 100
= m
n m n m(r, , ) R (r) ( ) ( )l l l
+ −=+
m m1/2(2 1) ( m)!( ) P (cos )2 ( m)! l ll l
l
− ++
− −= −+
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
r na 2 1n
3
n(n 1)!2 2r 2rR (r) e Lna 2n (n )! na na
ll
ll
ll
= = ± ±
im
m1( ) e , m 0, 1, 2, …2
Insert 2: Calculation of Wave Function
11
สําหรับ 100
= = =n 1 ; l 0 ; m 0
= 12
= = ± ±
im
m1( ) e , m 0, 1, 2, …2
= i (0)0
1( ) e2
Insert 2: Calculation of Wave Function
− ++
− −= −+
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
r na 2 1n
3
n(n 1)!2 2r 2rR (r) e Lna 2n (n )! na na
ll
ll
ll
−= −
r a 11
32 1 e L (2r/a)a 2
− ++
− −= −+
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
r a 2(0) 11 0
3 0
10(1 0 1)!2 2r 2rR (r) e La 2 (1 0)! a a
−= −
r a 113/2
2 e L (2r/a)a
Insert 2: Calculation of Wave Function
คํานวณ
11L (2r/a)
=
−=
−
n jj
n 2j 0
( 1) n!L (x) x
(n j)!(j!)=k
kn nk
dL (x) L (x)
dx
=1
11 11
dL (x) L (x)
dx=
−=
−
1 jj
1 2j 0
( 1) 1!L (x) x
(1 j)!(j!)
− −= +
− −
0 10 1
2 2( 1) 1! ( 1) 1!
x x(1 0)!(0!) (1 1)!(1!)
= −1 x
= −11
dL (x) (1 x)
dx= −1
Insert 2: Calculation of Wave Function
ดังน้ัน −= −
r a 113/210
2R (r) e L (2r/a)a
−= − − r a3/22 e ( 1)a
−= r a3/22 ea
Insert 2: Calculation of Wave Function
= −
11L (2r/a) 1
+ −=+
m m1/2(2 1) ( m)!( ) P (cos )2 ( m)! l ll l
l+ −=
+
0 00 0
1/2(2(0) 1) (0 0)!( ) P (cos )2 (0 0)!
= 00
1/21 P (cos )2
= − −
m nm m 2 m/2
n m
d P (x)P (x) ( 1) (1 x )
dx
Insert 2: Calculation of Wave Function
= − −
0 00 0 2 0/2
0 0
d P (x)P (x) ( 1) (1 x )
dx= 0P (x)
−
=
− −=
− −
N j n 2j
n nj 0
( 1) (2n 2j)!xP (x)
2 j!(n 2j)!(n j)!−
=
− −=
− −
0 j 0 2j
0 0j 0
( 1) (2(0) 2j)!xP (x)
2 j!(0 2j)!(0 j)!−− −
=− −
0 0 2(0)
0( 1) (2(0) 2(0))!x2 0!(0 2(0))!(0 0)!
= 1
Insert 2: Calculation of Wave Function
12
= 00P (x) 1
=
0 00 0
1/21( ) P (cos )2
= m
n m n m(r, , ) R (r) ( ) ( )l l l
−= r a3/21002 1 1(r, , ) e 2 2a
= 12
Insert 2: Calculation of Wave Function
=00; P (cos ) 1
−= r a3/2100
1 1(r, , ) ea
แทนคา = 0a a Z
−=
0
0
3/2 rZ a100
1 Z(r, , ) ea
แทนคา = 0Zr a
−= 0
3/2
1001 Z(r, , ) ea
Insert 2: Calculation of Wave Function
ตัวอยางฟงกชันคล่ืนของอะตอมไฮโดรเจน
Insert 2: Calculation of Wave Function Insert 2: Calculation of Wave Function