บทที่ 6 · 2020. 1. 20. · 6.4 แนวเดิน วิถี วงจร และวัฏจักร (Trail, Path, Circuit, and Cycle) บทนิยามที่

เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ

90 ทฤษฎกราฟเบองตน

บทท 6

ทฤษฎกราฟเบองตน 6.1 ความรเบองตนทฤษฎกราฟ (Introduction to Graph Theory) เมอกลาวถง “กราฟ” ในวชาคณตศาสตร โดยทวๆไปเรามกจะนกถงกราฟของฟงกชนทพลอตบนระบบ

พกดฉากเสยเปนสวนใหญ เชน 2y x เราสามารถพลอตรปของฟงกชนนไดโดยใชคอนดบ ,x y บนระบบ

พกดฉาก ในหวขอนกลาวถงทฤษฎกราฟ (Graph Theory) ซงค าวา “กราฟ” จะมความหมายแตกตางจากกราฟ

ทกลาวมาในขางตน กราฟในทฤษฎกราฟนนจะประกอบไปดวย จด 1 2 3, , ,A A A และ มเสนเชอมทเชอม

ระหวางจดตอจด โดยหวขอทฤษฎกราฟนจะไมค านงถงรปรางลกษณะของเสนเชอม แตจะค านงถงการมเสนเชอม

หรอไมมเสนเชอมมากกวา เชน

ขอสงเกตจากกราฟ G

1.............................................................................................

2.............................................................................................

การศกษาเกยวกบทฤษฎกราฟนนเรมตนจากปญหาสะพานเคอนกสเบรก (Konigsberg Bridge

Problem) ดงภาพ



จากภาพจะพบวามเกาะ A และ B อยกลางแมน า และมสะพานเชอมระหวางเกาะตอเกาะ และเกาะตอแผนดน

ทงหมด 7 สะพาน ปญหามอยวา “จะเรมตนจากทแหงหนงบนแผนดนและเดนขามสะพานทงเจดเพยงครงเดยว

แลวกลบมายนทจดเรมตนไดหรอไม” ปญหาดงกลาวไดถกแปลงใหเปนกราฟโดย เลออนฮารด ออยเลอร

(Leonhard Euler) ในป ค.ศ. 1736 ซงเปนนกคณตศาสตรชาวสวสเซอรแลนด ดงภาพ

ออยเลอรไดก าหนดใหจดแทนพนดน และเสนเชอมแทนสะพาน

เขาไดแสดงใหเหนวาปญหาดงกลาวเปนไปไมได ตอจากนนทาน

ยงใหแนวคดในการตอบค าถามประเภทเดยวกนน ซงเปนทรจก

ในปจจบนคอ “กราฟแบบออยเลอร”

ตวอยางท 1 ก าหนดแปลนบานดงภาพ

จงแปลงภาพใหอยในรปกราฟ



6.2 นยามและทฤษฎกราฟเบองตน (Definition and Theorem)

บทนยามท 6.2.1 กราฟ G ประกอบดวยเซตจ ากดสองเซต คอ V G และ E G

เมอ V G คอ เซตของจดยอด (Vertex) และ

E G คอ เซตของเสนเชอม (Edge)

บทนยามท 6.2.2 เราจะกลาววากราฟ G เปนกราฟอนดบ (Order) ท n

เมอ n คอจ านวนจดยอดของกราฟ เขยนแทนดวย v G n

เราจะกลาววากราฟ G เปนกราฟขนาด (Size) ท n

เมอ n คอจ านวนเสนเชอมของกราฟ เขยนแทนดวย e G n

ตวอยางท 1 ก าหนดใหกราฟ G ดงภาพ

V G

E G v G และ e G


V G

E G v G และ e G


V G และ E G

v G และ e G



บทนยามท 6.2.3 เราจะเรยกเสนเชอมทเชอมระหวางจดยอด 1 คทมมากกวาหนงเสนขนไปวา

เสนเชอมหลายชน (Multiple Edges)

บทนยามท 6.2.4 เราจะเรยกเสนเชอมทจดปลายทงสองดานทมจดยอดเปนจดเดยวกนวา

วงวน (Loop)

บทนยามท 6.2.5 กราฟอยางงาย (Simple Graph) คอ กราฟทไมมวงวนและเสนเชอมหลายชนในกราฟ

บทนยามท 6.2.6 กราฟหลายชน (Multiple Graph) คอ กราฟทมวงวนหรอเสนเชอมหลายชนในกราฟ

ตวอยางท 4 ก าหนดกราฟใหดงตอไปน

กราฟใดเปนกราฟอยางงาย........................................................................................................................................

กราฟใดเปนกราฟหลายชน........................................................................................................................................



บทนยามท 6.2.7 ก าหนดให u เปนจดยอดในกราฟ G

ดกร (Degree) ของจด u ในกราฟ G คอ จ านวนของเสนเชอมทเชอมจด u

ไปยงจดตางๆในกราฟ G เขยนแทนดวย Gd u หรอ d u

ขอควรจ า....................................................................................................................................................................

ตวอยางท 5 จงหาดกรของจดยอดแตละจดของกราฟตอไปน พรอมทงหาผลรวมของดกรทกจดยอดในแตละกราฟ

Gd A , Gd B , Gd C

Gd D , Gd E , Gd F

v V G

d v

เปนกราฟ....................................................................................

กราฟ G

Md A , Md B , Md C

Md D , Md E , Md F

Md G , Md H , Md I

v V M

d v

เปนกราฟ.....................................................................................

กราฟ M

Nd A , Nd B , Nd C

Nd D , Nd E , Nd F

v V N

d v

เปนกราฟ.....................................................................................

กราฟ N



6.3 ทฤษฎบทการจบมอทกทาย (Handshaking Theorem)

ทฤษฎบทท 6.3.1 ก าหนดใหกราฟ G เปนกราฟใดๆ จะไดวา

2v V G

d v e G

“ผลรวมของดกรทกๆจดยอดในกราฟเทากบสองเทาของจ านวนเสนเชอม”

ทฤษฎบทท 6.3.2 กราฟ G ใดๆ จะมจ านวนจดยอดทมดกรเปนเลขคอยเปนจ านวนค

ตวอยางท 1 ถากราฟ G มขนาดเทากบ 30 และดกรของทกๆ จดใน G เทากบ 6 จงหาวากราฟ G มอนดบเทากบเทาใด วธท า จากโจทยทราบวา 30e G ดงนนจากทฤษฎบทท 6.3.1 จะทราบวา ผลรวมของดกรทงหมด 2 30 60

และเราทราบวาดกรแตละจดยอดตองเทากบ 6 ดงนนจะไดวา จ านวนจดยอดในกราฟ 60 6 10

สรปไดวากราฟ G มอนดบ v G เทากบ 10 ตวอยางท 2 ถากราฟ H ม 40e H และมจดทมดกร 2 อย 14 จด นอกนนดกร 4 จงหา v H วธท า ตวอยางท 3 หองประชม มจพ.ระยอง มนกศกษาเขารวมประชมทงหมดสามคณะดงน คณะบรหารจ านวน 365

คน คณะวทยจ านวน 216 คน และคณะวศวะจ านวน 61 คน เปนไปไดหรอไมวาผเขารวมประชมแตละคนจบมอ

ทกทายผเขารวมประชมคนอนเพยง 5 คน

วธท า



ตวอยางท 4 งานประชมวชาการแหงหนง ผมาถงงานคนแรกจบมอทกทายกบเจาภาพ (มสองคนและเจาภาพ

ไมจบมอกนเอง) คนทมาถงงานคนทสองจบมอทกทายกบเจาภาพทงสองคนและผทมาถงงานคนแรก ผทมาถงงาน

คนทสามจบมอทกทายกบเจาภาพทงสองคนและผทมาถงงานคนแรกและคนทสอง ในท านองเดยวกนผทมาถงงาน

คนตอๆไปกจะไดจบมอทกทายกบเจาภาพและผทมากอนเขาทงหมด ถาในงานเลยงนมผมารวมงานทงหมดสบคน

จงหาจ านวนครงทงหมดทมการจบมอกนและแปลงปญหาดงกลาวใหอยในรปกราฟ

วธท า

ตวอยางท 5 ถากราฟ G ม 10e G และดกรของทกจดยอดในกราฟเทากนทงหมด จงหาจ านวนจดยอดท

เปนไปไดทงหมด

วธท า

ตวอยางท 6 อ าเภอหนงมต าบล 9 ต าบล ตองการสรางถนนโดยใหแตละต าบลมถนนเชอมกบต าบลอนๆ 4 สาย

จงหาวาจะตองสรางถนนทงหมดกสาย

วธท า ก าหนดให n แทนจ านวนเสนเชอม และ จดยอดของกราฟแทนต าบลทง 9 ต าบล

กราฟนมจดยอด 9 จด โดยแตละจดมถนนเชอม 4 สาย จากทฤษฎบทท 6.3.1 จะไดวา

2v V G

d v e G

9 4 2n

18n สรปไดวาจะตองสรางถนนทงหมด 18 สาย



6.4 แนวเดน วถ วงจร และวฏจกร (Trail, Path, Circuit, and Cycle)

บทนยามท 6.4.1 ก าหนดให u และ v เปนจดยอดใดๆในกราฟ (หรอ u และ v เปนจดเดยวกน)

แนวเดน u v คอ ล าดบจ ากดทสลบกนระหวางจดยอดและเสนเชอมโดยสามารถเดนซ าได

(ความยาวของแนวเดนคอจ านวนเสนเชอมในแนวเดน)

วถ u v คอ แนวเดน u v โดยทไมใชจดยอดซ ากน

วงจร คอ แนวเดนทมจดเรมตนและจดสนสดเปนจดเดยวกนโดยไมมเสนเชอมซ ากน

วฏจกร คอ วงจรทไมมจดยอดซ ากนยกเวนจดเรมตนของวงจร

ขอควรจ า....................................................................................................................................................................

ตวอยางท 1 ก าหนดกราฟดงภาพ

1.1 จงเขยนแนวเดน A D และบอกความยาวของแนวเดนทเขยน

...............................................................................................................

...............................................................................................................

...............................................................................................................

...............................................................................................................

1.2 จงเขยนวถ A D และบอกความยาวของวถ

...............................................................................................................

....................................................................................................................... .............................................................

............................................................................................................................. .......................................................

1.3 จงเขยนวงจรทมจดเรมตนและจดสนสดเปนจดยอด E

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

........................................................................ ............................................................................................................

1.4 จงเขยนวฏจกร E

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................



6.5 กราฟยอย กราฟเชอมโยง กราฟออยเลอร และกราฟตนไม

บทนยามท 6.5.1 กราฟ H ถกเรยกวาเปน กราฟยอย (Subgraph) ของกราฟ G กตอเมอ

V H V G และ E H E G เขยนแทนดวย H G

กราฟ H ถกเรยกวา กราฟยอยแผทว (Spanning Subgraph) ของกราฟ G

กตอเมอ H G โดยท V H V G

ตวอยางท 1 พจารณากราฟทก าหนดใหตอไปน

1.1 กราฟยอยของกราฟ A คอ

.....................................................................

1.2 กราฟยอยแผทวของกราฟ A คอ

.....................................................................

1.3 กราฟใดไมเปนกราฟยอยของกราฟ A

.....................................................................

บทนยามท 6.5.2 กราฟ G จะถกเรยกวา กราฟเชอมโยง (Connected Graph) กตอเมอ

ทกๆ คจดยอด u และ v ในกราฟ G มวถ u v

กราฟ G จะถกเรยกวา กราฟไมเชอมโยง (Disconnected Graph) กตอเมอ

ทกๆคจดยอด u และ v ในกราฟ G ไมมวถ u v

กราฟเชอมโยง กราฟเชอมโยง กราฟไมเชอมโยง กราฟไมเชอมโยง



บทนยามท 6.5.3 ก าหนดใหกราฟ G เปนกราฟเชอมโยง กราฟ G ถกเรยกวา กราฟออยเลอร

(Eulerian Graph) เมอ มวงจรทผานทกเสนเชอมในกราฟ G

วงจรดงกลาวถกเรยกวาวงจรออยเลอร (Eulerian Circuit)

.................................... ................................ ................................

ในกรณทกราฟเรมมจดยอดและเสนเชอมทมากขนท าใหการพจารณาวงจรออยเลอรท าไดยากขน จงไดม

ทฤษฎบทของออยเลอรทน ามาชวยในการพจารณากราฟทซบซอนวากราฟดงกลาวนนเปนกราฟออยเลอรหรอไม

ทฤษฎบทท 6.5.1 ก าหนดใหกราฟ G เปนกราฟเชอมโยง กราฟ G จะเปน กราฟออยเลอร เมอ

ทกๆ จดยอดในกราฟ G มดกรเปนเลขค

ตวอยางท 2 จงพจารณากราฟทก าหนดใหตอไปนเปนกราฟออยเลอรหรอไม



ตวอยางท 3 กอยเดนทางไปฮนนมนทจงหวดระยอง โดยวางแผนเดนทางไปทงหมด 5 สถานทดงภาพ

จงพจารณาวาเปนไปไดหรอไมทกอยจะเรมตนเดนทางทชายหาดแลวกลบมาทเดมโดยเดนทางผานเสนทางทกเสน

เพยงเสนทางละหนงครงเทานน ถาเปนไปไดจงอธบายพรอมทงยกตวอยางเสนทางการเดนทางของกอย

หากเปนไปไมไดจงใหเหตผล

ตวอยางท 4 จากแผนผงของบานหลงหนงทก าหนดให เปนไปไดหรอไมทจะเดนจากนอกตวบานเขาไปในบานโดย

เดนผานประตตางๆเพยงแคครงเดยวแลวกลบมายนทเดม ถาเปนไปไดจงอธบายพรอมทงยกตวอยางเสนทางการ

เดน หากเปนไปไมไดจงใหเหตผล



บทนยามท 6.5.4 กราฟ G จะถกเรยกวา กราฟตนไม (Tree) กตอเมอ

กราฟ G เปนกราฟเชอมโยง และ ไมมวงจรในกราฟ G

บทนยามท 6.5.4 กราฟตนไมแผทว (Spanning Tree) ของกราฟ G คอ

กราฟยอยของกราฟตนไม G ทบรรจจดยอดทกจดของกราฟ G

ตวอยางท 5 จงพจารณากราฟทก าหนดใหตอไปน

5.1 กราฟใดคอกราฟตนไม.......................................................................................................... ...............................

5.2 กราฟใดคอกราฟตนไมแผทวของ C ...................................................................................................................

5.3 กราฟใดคอกราฟตนไมแผทวของ E ...................................................................................................................

5.4 กราฟใดคอกราฟออยเลอร........................................................................................................ ...........................

5.5 กราฟใดคอกราฟไมเชอมโยง................................................................................................................................

บนทกชวยจ า

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................



การประยกตของกราฟตนไม

หลายๆปญหา อาทเชน ปญหาการขนสงหรอกระจายสนคา การสรางถนนเชอมระหวางเมอง การวางสาย

เคเบล ฯลฯ ปญหาเหลานเราจะสามารถจ าลองปญหาไดดวยกราฟทมน าหนก (เสนเชอมทมจ านวนจรงทไมเปน

ลบก ากบอย) และสามารถแกปญหาโดยใชกราฟตนไมแผทวทมน าหนกรวมนอยทสด ซงการหาน าหนกทนอยทสด

สามารถท าไดหลายวธ แตในบทเรยนนเราจะขอกลาวถง ขนตอนวธของครสกาวล (Kruskal’s Algorithm)

ขนตอนวธของครสกาวล (Kruskal’s Algorithm)

คอ การเลอกเสนเชอมทมน าหนกนอยทสดจากกราฟเชอมโยงทมน าหนกเรยงตอกนไปเรอยๆ

โดยเสนเชอมทเลอกตองไมท าใหเกดวงจรในกราฟ และการเลอกจะสนสดลงเมอไดกราฟยอย

บรรจทกจดยอดในกราฟแลว กราฟยอยทไดเราจะเรยกวากราฟตนไมแผทวทมน าหนกรวม

นอยทสด

ตวอยางท 6 จงหากราฟตนไมแผทวทมน าหนกรวมนอยทสดจากกราฟทก าหนดใหโดยใชขนตอนวธของครสกาวล

น าหนกรวมนอยสดของกราฟน

คอ............................................

ตวอยางท 7 จงหากราฟตนไมแผทวทมน าหนกรวมนอยทสดจากกราฟทก าหนดใหโดยใชขนตอนวธของครสกาวล


คอ............................................



ตวอยางท 8 ก าหนดใหทกเสนเชอมของกราฟมน าหนกเทากบ 2

จงหากราฟตนไมแผทวทมน าหนกรวมนอยทสดโดยใชขนตอนวธของครสกาวล


คอ............................................

ตวอยางท 9 ก าหนดตารางแสดงคาใชจายในการขนสงสนคาของบรษท B ดงน

ระยอง ชลบร จนทบร ตราด กรงเทพฯ ระยอง - 4 9 15 6 ชลบร 4 - 11 12 10 จนทบร 9 11 - 8 14 ตราด 15 12 8 - 17 กรงเทพฯ 6 10 14 17 -

คาใชจายในการขนสงสนคาของบรษท B ทนอยทสดคอเทาใด..................................................................................



6.6 ปญหาวถทสนทสด (Shortest Path Problem)

ปญหาวถทสนทสดทเราเหนไดชดเจน เชน เสนทางการขนสงสนคา การกระจายสนคาของบรษทตางๆ

เสนทางการบนของสายการบนแตละแหง ปญหาการจราจรตามเมองตางๆ เราสามารถน ามาจ าลองดวยกราฟ

ทมน าหนก โดยใหน าหนกแทนระยะทางหรอคาใชจายทใชในการขนสงหรอเวลาทใชในการเดนทาง ดงนนการหา

วถทสนทสดในกราฟทมน าหนกจะสามารถบอกถงการหาระยะทางหรอคาใชจายหรอระยะเวลาทสนทสด หรอ

คาใชจายนอยทสด ขนอยกบปญหาทเราก าหนดวาใหน าหนกของกราฟแทนอะไร และดวยเหตนจงมนกวทยาการ

คอมพวเตอรทานหนงชอ แอดสเคอร ไดคสตรา (Edsger Dijkstra) ชาวเนเธอรแลนด ไดเสนอขนตอนวธในการวถ

ทสนทสดในกราฟทมน าหนก ปจจบนถกเรยกวา “ขนตอนวธของไดคสตรา (Dijkstra's algorithm)”

ตวอยางท 1 ก าหนดกราฟถวงน าหนกดงภาพ

จากกราฟถวงน าหนกสามารถน ามาเขยนขนตอนวธของไดรสตราทสนทสด A E ไดดงน

ขนตอนท 1 เขยนชอจดยอดทกจดลงในตารางแนวนอนดงภาพ ก าหนดใหจดเรมตนเปน 0 และ

จดทเหลอแทนดวย บรรทดตอไปใหเขยนจดเรมตนไวทางซายมอ



ขนตอนท 2 พจารณาจากกราฟทก าหนดใหและใสน าหนกใหครบทงแถว กรณทจดเรมตนไมมเสนเชอมไปถง

ใหใสเปน

ขนตอนท 3 เลอกคาทนอยทสดแลวน าจดทเลอกไปเรมเขยนบรรทดใหม

ขนตอนท 4 ใสน าหนกใหครบทกจดเชนเดม โดยการใสจะตองน าน าหนกทเลอกไวบวกเพมกบ

น าหนกใหมทก าลงจะเดนไปดงภาพ

1A

1A



ขนตอนท 5 เลอกคาทนอยทสดแลวน าจดทเลอกไปเรมเขยนบรรทดใหม

ขนตอนท 6 ท าซ าดวยการใสน าหนกใหครบทกจดเชนเดม

ขนตอนท 7 ท าซ าดวยการใสน าหนกใหครบทกจดเชนเดมไปเรอยๆจนกระทงครบทกจดยอดในแนวตง

1A



จากขนตอนทงหมดเราจะเลอก 9 ,7 ,4 ,3 ,1B H G C A

วถทสนทสดคอ 1 2 1 3 2

A C G H B E

น าหนกรวมทนอยทสดจาก A E คอ

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

ตวอยางท 2 ก าหนดกราฟถวงน าหนกดงภาพ

จงหาวถทสนทสด A D โดยใชขนตอนวธของไดรสตรา



แบบฝกหดทายบทท 6 1. ก าหนดใหกราฟ Z ดงน

จงตอบค าถามตอไปน

1.1 V Z

1.2 {.................................................E Z

................................................} 1.3 อนดบของกราฟ Z v Z คอ ....................

1.4 ขนาดของกราฟ Z e Z คอ ....................

1.5 กราฟ Z เปนกราฟอยางงาย หรอ กราฟหลายชน เพราะเหตใด

............................................................................................................

1.6 จงหาดกรของแตละจดและผลรวมดกรของกราฟ Z คอ..................................................................................

1.7 จงเขยนแนวเดน A K พรอมทงบอกความยาว (อยางนอย 5 แนวเดน)

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

1.8 จงเขยนวถ A J พรอมทงบอกความยาว (อยางนอย 3 แนวเดน)

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

1.9 กราฟ F มวงจร B ทงหมด............................วงจร ไดแก

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

2. ถากราฟ G มขนาดเทากบ 100 ซงมจดทมดกรหาอย 10 จด นอกนนเปนจดทมดกรสอง

จงหาอนดบของกราฟ G



3. มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ วทยาเขตระยองจดงานรบนองใหนกศกษาชนปท 1

ทงหมดโดยมนกศกษาชนปท 1 เขารวมดงน คณะบรหารธรกจ 375 คน คณะวทยาศาสตรพลงงานและสงแวดลอม

236 คน และคณะวศวกรรมศาสตร 533 คน เปนไปไดหรอไมวานกศกษาทเขารวมงานแตละคนจบมอทกทายคน

อนเพยง 51 คน

4. ถาใหกราฟ G มเสนเชอมจ านวน 15 เสน และมจดทมดกร 3 อย 4 จด นอกนนดกร 2 ขอใดคอจ านวนจด

ยอดทงหมดของกราฟ G

5. ก าหนดใหกราฟดงตอไปน

5.1 กราฟใดคอกราฟตนไม.......................................................................................................... ...............................

5.2 กราฟใดคอกราฟตนไมแผทวของ D ...................................................................................................................

5.3 กราฟใดคอกราฟออยเลอร........................................................................................................ ...........................

5.4 กราฟใดคอกราฟไมเชอมโยง...................................................................................................................... ..........

5.5 กราฟใดคอกราฟยอยของกราฟ D .....................................................................................................................

5.6 กราฟใดคอกราฟอยางงาย....................................................................................................... ............................

5.7 กราฟใดคอกราฟหลายชน........................................................................................................ ...........................

A B C

D E F

G H I



6. ก าหนดกราฟถวงน าหนกดงภาพ

น าหนกรวมนอยสดของกราฟตนไมแผทวคอ..................................................................................... ..........................


น าหนกรวมนอยสดของกราฟตนไมแผทวคอ..................................................................................... ..........................


น าหนกรวมนอยสดของกราฟตนไมแผทวคอ...............................................................................................................

A

B

C

D

E F

H

I

G

1

1

1

1

1

1

1 1

1

1

1 1




จงหาวถทสนทสด A D โดยใชขนตอนวธของไดรสตรา

Documents

บทที่ 6 · 2020. 1. 20. · 6.4 แนวเดิน วิถี วงจร และวัฏจักร (Trail, Path, Circuit, and Cycle) บทนิยามที่