A3 Chuong 2 TichPhanBoi

7/18/2019 A3 Chuong 2 TichPhanBoi

http://slidepdf.com/reader/full/a3-chuong-2-tichphanboi 1/61

Chương 2

TÍCH PHÂN BI

ĐH Tôn Đc ThngKhoa Toán – Thng kê

Toán A3 - MS: C01003

Chương 2: Tích phân bi Toán A3 - MS: C01003 1 / 60



Ni dung1 Tích phân hai lpTích phân trên hình ch nht

Tích phân trên min tng quátĐi bin sang ta đ cc

Mt s ng dng ca tích phân hai lp2 Tích phân ba lp

Tích phân trên hình hp ch nhtTích phân trên khi b chnMt s ng dngTích phân ba lp trong ta đ trTích phân ba lp trong ta đ cu

3

Công thc đi bin tng quátHuỳnh Văn Kha (Ngày 20/07/2012) Chương 2: Tích phân bi Toán A3 - MS: C01003 1 / 60



Bài toán tìm th tíchCho hàm s f xác đnh trên: R = [a, b ] × [c , d ] =

(x , y ) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d

Gi s f (x , y ) ≥ 0, ∀(x , y ) ∈ R . Ta cn tính th

tích V ca khi S :S =

(x , y , z ) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ f (x , y ), (x , y ) ∈ R

Huỳnh Văn Kha (Ngày 20/07/2012) Chương 2: Tích phân bi Toán A3 - MS: C01003 2 / 60



Phân hochGi s P 1 = {x 0, x 1, . . . , x n; x ∗1 , . . . x ∗n}, vàP 2 = { y 0, y 1, . . . , y m; y ∗

1, . . . y ∗m} là các phân hoch ca

[a, b ] và [c , d ]. Thì P = P 1 × P 2 gi là mt phân hochca R = [a, b ]

×[c , d ]




Tng RiemannTng Riemann ca hàm s f ng vi phân hoch P nhưtrên đưc đnh nghĩa là:

S (f , P ) =m

i =1

n

j =1

f (x ∗ij , y ∗ij )∆x i ∆ y j

Vi ∆x i = x i − x i −1 và ∆ y j = y j − y j −1




Đnh nghĩa tích phân hai lpGi P (R ) là tp các phân hoch ca R = [a, b ] × [c , d ].Vi P ∈ P , đt:|P | = max{(x i − x i −1)( y j − y j −1) : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}

Đnh nghĩaHàm f gi là kh tích Riemann trên R nu có α ∈ R sao cho vi mi ε > 0, tn ti δ > 0 tha:

|S (f , P ) − α| ≤ ε, ∀P ∈ P (R ), |P | < δ Khi đó ta gi α là tích phân ca f trên R và ký hiu:

R f (x , y )dx d y = α



Mt s tính chtTích phân hai lp có các tính cht sau:

1. R

[f (x , y ) + g (x , y )] dx d y

= R

f (x , y )dx d y + R

g (x , y )dx d y

2. R

cf (x , y )dx d y = c R

f (x , y )dx d y

3. Nu f (x , y ) ≤ g (x , y ) vi mi (x , y ) ∈ R thì:

R

f (x , y )dx d y ≤

R

g (x , y )dx d y




Tích phân lpCho f là hàm xác đnh trên R = [a, b ] × [c , d ]C đnh x ∈ [a, b ], ly tích phân theo y , ta đưc:

A(x ) = d

c

f (x , y )d y

Sau đó ly tích phân A(x ) t a ti b ta đưc:

b

a

A(x )dx = b

a

d

c

f (x , y )d y dx

≡ b a

d c

f (x , y )d y dx

Tích phân trên gi là mt tích phân lp Huỳnh Văn Kha (Ngày 20/07/2012) Chương 2: Tích phân bi Toán A3 - MS: C01003 7 / 60



Tương t, ly tích phân theo x trưc, ri sau đó lytích phân theo y ta cũng đưc mt tích phân lp:

d

c

b

a

f (x , y )dx

d y ≡

d

c

b

a

f (x , y )dx d y

Ví d: 3

0

2

1

x 2 y d y dx =

3

0

x 2 y 2

2

y =2

y =1

dx

= 30

3

2x

2d

x =

1

2x

33

0 =

27

2

2

1 3

0

x 2 y dx d y = 2

1

y

x 3

3 x =3

x =0

d y =

2

1

9 y d y = 27

2




Đnh lý Fubini

Đnh lýNu f liên tc trên hình ch nht R = [a, b ] × [c , d ] thì:

R

f (x , y )d

x d

y = b a d c f (x , y )

d

y d

x

= d

c b

a

f (x , y )dx d y




Ví d

1. Tính tích phân hai lp R x

−3 y 2 dx d y vi

R = {(x , y ) : 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}2. Tính tích phân hai lp

R 2x sin2 y dx d y vi

R = [1, 2] × [0, π]Chú ý:

Nu R = [a, b ]×

[c , d ] thì: R

g (x )h( y )dx d y =

b a

g (x )dx

d c

h( y )d y




Tích phân hai lp - min tng quátCho D là min b chn bt kỳ, đưc gii hn trong hìnhch nht R

Ta đnh nghĩa hàm s mi xác đnh trên R như sau

F (x , y ) = f (x , y ), (x , y ) ∈ D

0, (x , y ) ∈ R \ D Huỳnh Văn Kha (Ngày 20/07/2012) Chương 2: Tích phân bi Toán A3 - MS: C01003 11 / 60



Đnh nghĩaNu F kh tích trên R ta nói f kh tích trên D và đnh

nghĩa: D

f (x , y )dx d y = R

F (x , y )dx d y




Mt s tính cht1.

D

[f (x , y ) + g (x , y )] dx d y

= D

f (x , y )dx d y + D

g (x , y )dx d y

2.

D

cf (x , y )dx d y = c

D

f (x , y )dx d y

3. Nu f (x , y ) ≤ g (x , y ) vi mi (x , y ) ∈ D , thì:

D

f (x , y )dx d y ≤ D

g (x , y )dx d y




4. Nu D = D 1 ∪ D 2, và D 1, D 2 không che ph nhau(ngoi tr biên). Thì:

D

f (x , y )dx d y =

D 1f (x , y )dx d y +

D 2

f (x , y )dx d y

5. Din tích min D là:

S =

D

dx d y

6. Th tích ca khi tr có đáy là min D và gii hntrên bi mt z = f (x , y ) ≥ 0 là:

V = D

f (x , y )dx d y




Min đơn gin theo Oy (loi I)Min phng D đưc nói là đơn gin theo Oy (loi I) nunó nm gia đ th ca hai hàm liên tc , tc là:

D = {

(x , y ) : a ≤

x ≤

b , g 1(x ) ≤

y ≤

g 2(x )}

Vi g 1, g 2 là các hàm liên tc trên [a, b ]




Nu f liên tc trên min:D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b , g 1(x ) ≤ y ≤ g 2(x )}

Thì D

f (x , y )dx d y = b a

g 2(x )g 1(x )

f (x , y )d y dx




Ví d

Tính I = D

(x + 2 y )dx d y vi D là min gii hn bi

các đưng y = 2x 2 và y = 1 + x 2




Min đơn gin theo Ox (loi II)

Min phng D gi là đơn gin theo Ox (loi II) nu:D = {(x , y ) : c ≤ y ≤ d , h1( y ) ≤ x ≤ h2( y )}Vi h1( y ) và h2( y ) là các hàm liên tc

Nu f liên tc thì:

D

f (x , y )dx d y = d

c

h2(y )

h1(y )

f (x , y )dx d y Huỳnh Văn Kha (Ngày 20/07/2012) Chương 2: Tích phân bi Toán A3 - MS: C01003 18 / 60

Ví d



Ví d

1. Tính

D

xy dx d y , vi D là min gii hn bi cácđưng y = x

−1 và y 2 = 2x + 6

2. Tính th tích khi nm bên dưi mt parabol trònxoay z = x 2 + y 2 và trên min D , vi D là mintrong mt phng Oxy gii hn bi các đưng

y = 2x và y = x

2







Ta đ cc

r =

x 2 + y 2

x = r cos θ, y = r sin θ

Hình ch nht trong ta đ cc là tp có dng:R = {(x , y ) :

a ≤ r ≤ b , α ≤ θ ≤ β }Huỳnh Văn Kha (Ngày 20/07/2012) Chương 2: Tích phân bi Toán A3 - MS: C01003 21 / 60



Din tích ca R ij :

∆Ai = 12r 2i ∆θ − 1

2r 2i −1∆θ = 1

2

r 2i − r 2i −1

∆θ

= 1

2(r i + r i −1)(r i − r i −1)∆θ = r ∗i ∆r ∆θ

Vi r ∗i = (r i −1 + r i )/2




Đi bin sang ta đ cc (1)mi =1

n j =1

f (r ∗i cos θ j , r ∗i sin θ j )∆Ai =mi =1

n j =1

f (r ∗i cos θ j , r ∗i sin θ j )r ∗i ∆r ∆θ

Nu f liên tc trên min:

R : 0 ≤ a ≤ r ≤ b , α ≤ θ ≤ β Trong đó 0 ≤ β − α ≤ 2π.Thì ta có:

Đi bin sang ta đ cc (1)

R f (x , y )dx d y = β

α b

a

f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ


Ví d



Ví d

1. Tính R (3x + 4 y 2)dx d y , vi R là min trong na

mt phng trên, gii hn bi các đưng x 2 + y 2 = 1và x 2 + y 2 = 4

2. Tính th tích ca khi gii hn bi mt phng

z = 0 và parabol tròn xoay z = 1 − x 2

− y 2




Đi bin sang ta đ cc (2)

Nu f liên tc trên min có dng:D =

(x , y ) : α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)

Thì:

D

f (x , y )dx d y =

β

α

h2(θ)

h1(θ)

f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ

Ví dTìm th tích vt th nm bên dưi parabol tròn xoayz = x 2 + y 2, bên trên mt phng Oxy và bên trong mt

tr x

2

+ y

2

= 2xHuỳnh Văn Kha (Ngày 20/07/2012) Chương 2: Tích phân bi Toán A3 - MS: C01003 25 / 60

2 2



V =

D

(x 2 + y 2)dx d y

D = {(x , y ) : −π/2 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ 2 cos θ}

V = D

(x 2 + y 2)dx d y = π/2

−π/2

2 cos θ

0

r 2r dr dθ = 3π

2Huỳnh Văn Kha (Ngày 20/07/2012) Chương 2: Tích phân bi Toán A3 - MS: C01003 26 / 60

Bài Tí h á í h hâ



Bài tp: Tính các tích phân sau.

1. D

(x + y )dx d y , D gh bi: y = √

x , y = x 2.

2.

D

xy dx d y , D gh bi trc Oy , x + y = 1 và

x − 2 y = 4

3.

D y 3dx d y , D là tam giác vi các đnh:

(0, 2), (1, 1), (3, 2).

4. D 4 −

x 2−

y 2dx d y , D : x 2 + y 2≤

4, y ≥

x

5.

1

0

1

x

e x /y d y dx




Mt s ng dng

Xét vt th phng D có hàm mt đ ρ(x , y ), nghĩa là:ρ(x , y ) = lim

∆m∆A

Trong đó, ∆m, ∆A là khi lưng và din tích ca hình

ch nht nh cha (x , y ) và gii hn đưc ly khi kíchthưc hình ch nht tin v 0


k l



Có th xp x: m ≈k

i =1

l j =1

ρ(x ∗ij , y ∗ij )∆A

Khi lưng vt phng: m =

D

ρ(x , y )dx d y

Tâm khi lưng ca vt phng D có hàm mt đ ρ(x , y )là đim (x m, y m) đưc tính như sau:

x m = 1m

D x ρ(x , y )dx d y , y m = 1m

D y ρ(x , y )dx d y

Trong đó m là khi lưng ca D




Moment quay ca vt th gm hu hn cht đim mi

cách trc quay khong r i là: I = i

mi r 2i

Moment quay ca vt phng D có mt đ ρ(x , y ) là:

I =

D ρ(x , y )[r (x , y )]2d

x d

y

Trong đó r (x , y ) là khong cách t trc quay đn đim(x , y ) trên vt phng D .




Tích phân trên hình hp ch nht

Xét hàm f xác đnh trên hình hp ch nht:B = {(x , y , z ) : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d , r ≤ z ≤ s }Nu P x , P y , P z là các phân hoch ca ca [a, b ],[c , d ], [r , s ]. Thì P = P x

×P y

×P z gi là mt phân

hoch ca B


S(f P)l m n

f ( ∗ ∗ ∗ )∆V



S (f , P ) =i =1

j =1

k =1

f (x ∗ijk , y ∗ijk , z ∗ijk )∆V ijk

gi là tng Riemann ca f ng vi P Ký hiu P (B ) là tp các phân hoch ca B và:|P | = max{∆V ijk }. Ta có đnh nghĩa.

Đnh nghĩaHàm f gi là kh tích Riemann trên B nu có α ∈ R sao cho vi mi ε > 0, tn ti δ > 0 tha:

|S (f , P )

−α

| ≤ ε,

∀P ∈ P

(B ),

|P

| < δ

Khi đó ta gi α là tích phân ca f trên B và ký hiu:

B f (x , y , z )dx d y dz = α




Đnh lý Fubini

Đnh lýNu f liên tc trên hình hp ch nht B = [a, b ] × [c , d ] × [r , s ], thì:

B f (x , y , z )dx d y dz =

s r

d c

b a

f (x , y , z )dx d y dz

1. Tích phân v phi gi là tích phân lp

2. Có 6 th t ly tích phân trong tích phân lp vphi, và tt c các cách ly th t đó đu cho kt qunhư nhau. Ví d, mt cách khác là:

B f (x , y , z)

d

xd

yd

z = b a s r d c f (x , y , z)

d

yd

zd

xHuỳnh Văn Kha (Ngày 20/07/2012) Chương 2: Tích phân bi Toán A3 - MS: C01003 33 / 60

Ví d



Tính tích phân ba lp

B

xyz 2dx d y dz , vi B là:

B = {(x , y , z ) : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} B

xyz 2dx d y dz =

3

0

2

−1

1

0

xyz 2dx d y dz

=

3

0

2

−1

yz 2 x 22

x =1

x =0

d y dz =

3

0

2

−1

yz 22 d y dz

= 30 z

2 y 2

4y =2

y =−1

d

z = 30

3z 2

4 d

z

= z 3

4

3

0

= 27

4




Tích phân trên khi b chn

Nu E là khi b chn bt kỳ, ta bao E bi hình hp chnht B . Tip theo, ta đnh nghĩa hàm F bng vi f trênE và bng 0 ti nhng đim trong B nhưng ngoài E .

Nu F kh tích trên B thì ta nói f kh tích trên E

và đnh nghĩa:

E f (x , y , z )dx d y dz =

B F (x , y , z )dx d y dz

Nói chung, nu f liên tc trên E và biên ca E "đtrơn" thì tích phân nói trên là tn ti.Tích phân ba lp cũng có các tính cht ging như

ca tích phân hai lpHuỳnh Văn Kha (Ngày 20/07/2012) Chương 2: Tích phân bi Toán A3 - MS: C01003 35 / 60



Khi đơn gin theo Oz (loi I)

Khi E gi là đơn gintheo Oz (loi I) nu có u 1và u 2 liên tc sao cho:

E = {(x , y , z ) : (x , y ) ∈ D , u 1(x , y ) ≤ z ≤ u 2(x , y )}Nu f liên tc và E như trên thì:

E

f (x , y , z )dx d y dz = D

u 2(x ,y )

u 1 x

f (x , y , z )dz

dx d y




E = {(x , y , z ) : a ≤ x ≤ b , g 1(x ) ≤ y ≤ g 2(x ),u 1(x , y ) ≤ z ≤ u 2(x , y )}

E

f (x , y , z )dx d y dz =b a

g 2(x )

g 1(x )

u 2(x ,y )

u 1(x ,y )

f (x , y , z )dz d y dx




E = {(x , y , z ) : c ≤ y ≤ d , h1( y ) ≤ x ≤ h2( y ),u 1(x , y ) ≤ z ≤ u 2(x , y )}

E

f (x , y , z )dx d y dz =

d c

h2(y ) h1(y )

u 2(x ,y ) u 1(x ,y )

f (x , y , z )dz dx d y


Ví d



Ví d

Tính E

z dx d y dz , vi E là khi t din gii hn bi

bn mt phng x = 0, y = 0, z = 0 và x + y + z = 1




Khi đơn gin theo Ox (loi II)

E =

(x , y , z ) : ( y , z ) ∈ D , u 1( y , z ) ≤ x ≤ u 2( y , z )

E

f (x , y , z )dx d y dz = D

u 2(y ,z )

u 1(y ,z )

f (x , y , z )dx

d y dz




Khi đơn gin theo Oy (loi III)

E =

(x , y , z ) : (x , z ) ∈ D , u 1

(x , z ) ≤ y ≤ u 2

(x , z )

E f (x , y , z )dx d y dz = D

u 2(x ,z )

u 1(x ,z )

f (x , y , z )d y

dx dz




Ví d

Tính E x 2 + z 2dx d y dz , vi E là khi b chn bi

parabol tròn xoay y = x 2 + z 2 và mt phng y = 4




Mt s ng dng

Th tích ca khi E là:V (E ) =

E dx d y dz

Vt th E có hàm mt đ là ρ(x , y , z ) thì khi lưng là:

m =

E ρ(x , y , z )dx d y dz

M yz =

E

x ρ(x , y , z )dx d y dz , M xz =

E

y ρ(x , y , z )dx d y dz

M xy =

E z ρ(x , y , z )dx d y dz

Tâm khi lưng ca E là đim (x , ¯ y , z ), vi:

x =

M yz

m , y =

M xz

m , z =

M xy

mHuỳnh Văn Kha (Ngày 20/07/2012) Chương 2: Tích phân bi Toán A3 - MS: C01003 43 / 60



Tích phân ba lp trong ta đ tr

x = r cos θ y = r sin θz = z

r 2 = x 2 + y 2 tan θ = y x z = z

Xét khi:E =

(x , y , z ) : (x , y ) ∈ D , u 1(x , y ) ≤ z ≤ u 2(x , y )

Vi:D = (r , θ) : α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)



E f (x , y , z )dx d y dz = D

u 2(x ,y )

u 1(x ,y )

f (x , y , z )dz

dx d y

=

β α

h2(θ)

h1(θ)

u 2(r cos θ,r sin θ)

u 1(r cos θ,r sin θ)

f (r cos θ, r sin θ, z )r dz dr dθ

Ví dTính I =

x2 + y2dxdydz Trong đó E là khi



Tính I =

E

x + y dx d y dz . Trong đó E là khi

nm bên trong mt tr x 2 + y 2 = 1, bên dưi mt z = 4

và bên trên parabol tròn xoay z = 1 − x 2

− y 2

E = (r , θ, z ) : 0 ≤

θ ≤

2π,

0 ≤ r ≤ 1, 1 − r 2 ≤ z ≤ 4

I = 12π

5



Tích phân ba lp trong ta đ cu

x = ρ sin φ cos θ

y = ρ sin φ sin θ

z = ρ cos φ

ρ2 = x 2 + y 2 + z 2



Hình ch nht trong ta đ cu E {( θ φ) ≤ ≤ b ≤ θ ≤ β ≤ φ ≤ d}



E = {(ρ,θ,φ) : a ≤ ρ ≤ b , α ≤ θ ≤ β, c ≤ φ ≤ d }

Th tích ca E ijk :

∆V ijk ≈ ρ2

i sin φk ∆ρ∆θ∆φ

Tng Riemann:i , j ,k

f (x ∗ijk , y ∗ijk , z ∗ijk )∆V ijk



Đi bin trong ta đ cu

E f (x , y , z )dx d y dz =

d

c

β

α

b

a

f (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ)ρ2 sin φdρdθdφ

Vi min tng quát hơn, chng hn:

E =

(ρ,θ,φ) : α ≤ θ ≤ β, c ≤ φ ≤ d , g 1(θ, φ) ≤ ρ ≤ g 2(θ, φ)

Thì:

E

f (x , y , z )dx d y dz

= d

c β

α g 2(θ,φ)

g 1(θ,φ)


Ví dTính th tích ca khi nm trên mt nón z

x2 + y2



Tính th tích ca khi nm trên mt nón z =

x 2 + y 2

và dưi mt cu x 2 + y 2 + z 2 = z





Bài tp: Tính các tích phân 3 lp sau



Bài tp: Tính các tích phân 3 lp sau

1. E

(x + y ) dx d y dz , vi E là phn ca khi tr

x 2 + y 2 ≤ 1 nm gia 2 mt z = 3 và z = x .

2. E

z dx d y dz , vi E là khi: 0 ≤ z ≤ x 2 + y 2,

(x , y ) ∈ D , vi D là min trong Oxy gii hn bi y = x 2 + 2x và trc Ox

3. E x 2 + y 2dx d y dz , vi E là khi

1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2, z ≥ 0, x ≥ 0.


Cô h đi bi á



Công thc đi bin tng quátXét phép bin đi T t mt phng uv ti mt phng xy :

T (u , v ) = (x , y )Trong đó x = g (u , v ), y = h(u , v ), mà thnh thong tavn vit x = x (u , v ), y = y (u , v )


Đ h th J bi



Đnh thc Jacobi

Đnh nghĩaĐnh thc Jacobi ca phép bin đi T cho bi x = x (u , v ), y = y (u , v ) đưc đnh nghĩa là:

∂ (x , y )∂ (u , v )

=

∂ x ∂ u

∂ x ∂ v

∂ y

∂ u

∂ y

∂ v

= ∂ x ∂ u

∂ y ∂ v

− ∂ x ∂ v

∂ y ∂ u

Phép bin đi T gi là thuc lp C 1 nu x và y đu cócác đo hàm riêng cp 1 liên tc

Đi bi h tí h hâ bi



Đi bin cho tích phân bi

Đnh lýCông thc đi bin cho tích phân bi Cho T là phép bin đi đi t S trong mt phng uv ti R trong mt

phng xy, trong đó R và S là các min loi I hoc II. Gi s T thuc lp C 1 và đnh thc Jacobi ca nó khác 0 ti mi (u , v ). Gi s T là song ánh (có th ngoi tr biên)và f là liên tc trên R . Khi đó:

R

f (x , y )dA =

S

f (x (u , v ), y (u , v ))

∂ (x , y )∂ (u , v )

du dv


Xét x = r cos θ và y = r sin θ, thì:

∂( ) θ i θ



∂ (x , y )∂ (u , v )

= cos θ −r sin θsin θ r cos θ = r > 0

Và ta có công thc đi bin trong ta đ cc

R f (x , y )

d

x d

y =

S f (r cos θ, r sin θ)r d

r d

θ


Đi bin cho tích phân ba lp



Đi bin cho tích phân ba lpT đi t không gian uvw ti không gian xyz :x = g (u , v , w ), y = h(u , v , w ), z = k (u , v , w )

Đnh thc Jacobi là đnh thc cp 3:

∂ (x , y , z )∂ (u , v , w )

=

∂ x

∂ u

∂ x

∂ v

∂ x

∂ w ∂ y ∂ u

∂ y ∂ v

∂ y ∂ w

∂ z

∂ u

∂ z

∂ v

∂ z

∂ w

Vi gi thit tương t đnh lý trên, ta có: R

f (x , y , z )dV =

f x u, v , w , y u, v , w , z u, v , w

∂(x , y , z)dudvdw

Xét x = ρ sin φ cos φ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ, thì:∂(x y z)



∂ (x , y , z )∂ (ρ,θ,φ)

= −ρ2 sin φ

Vì 0 ≤ φ ≤ π nên sin φ ≥ 0. Do đó:

∂ (x , y , z )∂ (ρ,θ,φ) = ρ2 sin φ

Và ta có công thc đi bin cho ta đ cu

R

f (x , y , z )dV = S



Ví d

1 Tính

(x + y)dxdy vi



1. Tính

D

(x + y )dx d y , vi

D =

(x , y ) : x 2

16 + y 2

9 = 1, x ≤ 0

2. Tính

D

e x +y x −y dx d y , vi D là hình thang vi các đnh

ln lưt là (1, 0), (2, 0), (0, −2), (0, −1).

Documents

A3 Chuong 2 TichPhanBoi