A változatlan

A változatlanInvariánsok a matematikában

Szakács Nóra

Bolyai Intézet

Egyetemi Tavasz

2017. 04. 22.

A változatlan

Egy egyszer¶ kérdés

Át tud-e haladni egy futó egysakktábla összes mez®jén úgy,hogy

szabályosan lép, és

minden mez®t csakegyszer érint?

Nem: akárhogyan is lép, amez® színe változatlan.

A változatlan

Egy egyszer¶ kérdés

Át tud-e haladni egy futó egysakktábla összes mez®jén úgy,hogy

szabályosan lép, és

minden mez®t csakegyszer érint?

Nem: akárhogyan is lép, amez® színe változatlan.

A változatlan

Egy nehezebb kérdés

Át tud-e haladni egy huszáregy sakktábla összes mez®jénúgy, hogy

szabályosan lép, és

minden mez®t csakegyszer érint?

Igen.

A változatlan

Egy nehezebb kérdés

Át tud-e haladni egy huszáregy sakktábla összes mez®jénúgy, hogy

szabályosan lép, és

minden mez®t csakegyszer érint?

Igen.

A változatlan

Egy nehezebb kérdés

És van-e olyan útvonal, amelyaz egyik sarokból indul, és azátellenesbe érkezik?

A huszár minden lépéssel színtvált, tehát

minden páros sokadiklépése fehér,

minden páratlan sokadiklépése fekete mez®reérkezik.

Ha minden mez®t pontosan egyszer érint, akkor az utolsólépése a 63. � fekete kellene legyen.

A változatlan

Egy nehezebb kérdés

És van-e olyan útvonal, amelyaz egyik sarokból indul, és azátellenesbe érkezik?A huszár minden lépéssel színtvált, tehát

minden páros sokadiklépése fehér,

minden páratlan sokadiklépése fekete mez®reérkezik.

Ha minden mez®t pontosan egyszer érint, akkor az utolsólépése a 63. � fekete kellene legyen.

A változatlan

Egy nehezebb kérdés

És van-e olyan útvonal, amelyaz egyik sarokból indul, és azátellenesbe érkezik?A huszár minden lépéssel színtvált, tehát

minden páros sokadiklépése fehér,

minden páratlan sokadiklépése fekete mez®reérkezik.

Ha minden mez®t pontosan egyszer érint, akkor az utolsólépése a 63. � fekete kellene legyen.

A változatlan

Invariánsok

A két meggondolásban közös, hogy kerestünk egy olyantulajdonságot (a mez® színe), amely a lépések során

változatlan (a futó esetén), vagy

kontrollált módon változik (a huszár esetén).

Ezen tulajdonság segítségével bizonyítottuk, hogy bizonyosmez®k között nincsen a kért szabályoknak megfelel® lépéssor.

A változatlan

Invariánsok

A két meggondolásban közös, hogy kerestünk egy olyantulajdonságot (a mez® színe), amely a lépések során

változatlan (a futó esetén), vagy

kontrollált módon változik (a huszár esetén).

Ezen tulajdonság segítségével bizonyítottuk, hogy bizonyosmez®k között nincsen a kért szabályoknak megfelel® lépéssor.

A változatlan

A Rubik-kocka

Tény: a Rubik-kockának nem lehet csak egy élkockájátmegfordítani (a kocka szétszedése nélkül)

A bizonyítás: keressünk olyan tulajdonságot, amelyet aRubik-kocka forgatásai nem változtatnak, az élfordítás viszontigen.

A változatlan

A Rubik-kocka

Tény: a Rubik-kockának nem lehet csak egy élkockájátmegfordítani (a kocka szétszedése nélkül)

A bizonyítás: keressünk olyan tulajdonságot, amelyet aRubik-kocka forgatásai nem változtatnak, az élfordítás viszontigen.

A változatlan

A Rubik-kocka

Tény: a Rubik-kockának nem lehet csak egy élkockájátmegfordítani (a kocka szétszedése nélkül)

A bizonyítás: keressünk olyan tulajdonságot, amelyet aRubik-kocka forgatásai nem változtatnak, az élfordítás viszontigen.

A változatlan

A Rubik-kocka

Tény: a Rubik-kockának nem lehet csak egy élkockájátmegfordítani (a kocka szétszedése nélkül)

A bizonyítás: keressünk olyan tulajdonságot, amelyet aRubik-kocka forgatásai nem változtatnak, az élfordítás viszontigen.

A változatlan

Permutációk

Permutáció:

sorbaállított elemek egy átrendezése

A változatlan

Permutációk

Permutáció: sorbaállított elemek egy átrendezése

A változatlan

Permutációkat végrehajthatunk egymás után:

... és így újabb permutációt kapunk.

A változatlan

Permutációkat végrehajthatunk egymás után:

... és így újabb permutációt kapunk.

A változatlan

Permutációkat végrehajthatunk egymás után:

... és így újabb permutációt kapunk.

A változatlan

Permutációkat végrehajthatunk egymás után:

... és így újabb permutációt kapunk.

A változatlan

A forgatás, mint permutáció

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12 19 20 21 28 29 30

13 14 15 22 23 24 31 32 33

16 17 18 25 26 27 34 35 36

37 38 39

40 41 42

43 44 45

46 47 48

49 50 51

52 53 54

1 2 21

4 5 24

7 8 27

10 11 12 19 20 39 34 31 28

13 14 15 22 23 42 35 32 29

16 17 18 25 26 45 36 35 30

37 38 48

40 41 51

43 44 54

46 47 3

49 50 6

52 53 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

1 2 21 4 5 24 7 8 27 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 39 22 23 42 25 26 45 34 31 28 35 32 29 36 35 30 37 38 48 40 41 51 43 44 54 46 47 3 49 50 6 52 53 9

A változatlan

A forgatás, mint permutáció

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12 19 20 21 28 29 30

13 14 15 22 23 24 31 32 33

16 17 18 25 26 27 34 35 36

37 38 39

40 41 42

43 44 45

46 47 48

49 50 51

52 53 54

1 2 21

4 5 24

7 8 27

10 11 12 19 20 39 34 31 28

13 14 15 22 23 42 35 32 29

16 17 18 25 26 45 36 35 30

37 38 48

40 41 51

43 44 54

46 47 3

49 50 6

52 53 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

1 2 21 4 5 24 7 8 27 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 39 22 23 42 25 26 45 34 31 28 35 32 29 36 35 30 37 38 48 40 41 51 43 44 54 46 47 3 49 50 6 52 53 9

A változatlan

A forgatás, mint permutáció

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12 19 20 21 28 29 30

13 14 15 22 23 24 31 32 33

16 17 18 25 26 27 34 35 36

37 38 39

40 41 42

43 44 45

46 47 48

49 50 51

52 53 54

1 2 21

4 5 24

7 8 27

10 11 12 19 20 39 34 31 28

13 14 15 22 23 42 35 32 29

16 17 18 25 26 45 36 35 30

37 38 48

40 41 51

43 44 54

46 47 3

49 50 6

52 53 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

1 2 21 4 5 24 7 8 27 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 39 22 23 42 25 26 45 34 31 28 35 32 29 36 35 30 37 38 48 40 41 51 43 44 54 46 47 3 49 50 6 52 53 9

A változatlan

Permutációk a Rubik-kockán

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12 19 20 21 28 29 30

13 14 15 22 23 24 31 32 33

16 17 18 25 26 27 34 35 36

37 38 39

40 41 42

43 44 45

46 47 48

49 50 51

52 53 54

45 24 12

42 5 49

39 20 9

36 35 34 27 8 21 28 13 19

17 14 38 26 23 11 4 32 53

1 47 37 18 15 3 54 51 43

25 22 30

44 41 33

10 6 16

52 29 46

40 50 2

48 31 7

A Rubik-kocka egy összekeverése: olyan permutáció, amelyforgatások egymásutánjaként áll el®

A változatlan

A forgatások egy invariánsa

Számoljuk meg azokat az elempárokat, amelyek sorrendjeegymáshoz képest az új elrendezésben más:

1. 2.

A változatlan

A forgatások egy invariánsa

Számoljuk meg azokat az elempárokat, amelyek sorrendjeegymáshoz képest az új elrendezésben más:1.

2.

A változatlan

A forgatások egy invariánsa

Számoljuk meg azokat az elempárokat, amelyek sorrendjeegymáshoz képest az új elrendezésben más:1. 2.

A változatlan

A forgatások egy invariánsa

Azt mondjuk, hogy egy permutáció páros (páratlan), ha azonelempárok száma, amelyek sorrendjét egymáshoz képestmegváltoztatja, páros (páratlan).

Az el®z® példában szerepl® permutáció páros.

A Rubik-kocka forgatásaihoz tartozó permutációk szinténpárosak.

A változatlan

A forgatások egy invariánsa

Azt mondjuk, hogy egy permutáció páros (páratlan), ha azonelempárok száma, amelyek sorrendjét egymáshoz képestmegváltoztatja, páros (páratlan).

Az el®z® példában szerepl® permutáció páros.

A Rubik-kocka forgatásaihoz tartozó permutációk szinténpárosak.

A változatlan

A forgatások egy invariánsa

Azt mondjuk, hogy egy permutáció páros (páratlan), ha azonelempárok száma, amelyek sorrendjét egymáshoz képestmegváltoztatja, páros (páratlan).

Az el®z® példában szerepl® permutáció páros.

A Rubik-kocka forgatásaihoz tartozó permutációk szinténpárosak.

A változatlan

Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után,

páros permutációt kapunk?

A változatlan

Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után,

páros permutációt kapunk?

A változatlan

Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után,

páros permutációt kapunk?

A változatlan

Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után,

páros permutációt kapunk?

=

A változatlan

Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után,

páros permutációt kapunk?

Tegyük fel, hogy az els® permutáció n, a második pedig melem sorrendjét �rontja el�, ahol n és m páros.

Az els® permutáció végrehajtása után

a második permutációban egysorrendcsere vagy

kijavít egy rossz sorrendet

elront egy jót.

A végén a rossz sorrend¶ elempárokszáma:n− k +(m− k) = n+m− 2k , páros.

A változatlan

Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után,

páros permutációt kapunk?

Tegyük fel, hogy az els® permutáció n, a második pedig melem sorrendjét �rontja el�, ahol n és m páros.

Az els® permutáció végrehajtása után

a második permutációban egysorrendcsere vagy

kijavít egy rossz sorrendet

elront egy jót.

A végén a rossz sorrend¶ elempárokszáma:n− k +(m− k) = n+m− 2k , páros.

A változatlan

Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után,

páros permutációt kapunk?

Tegyük fel, hogy az els® permutáció n, a második pedig melem sorrendjét �rontja el�, ahol n és m páros.

Az els® permutáció végrehajtása után

a második permutációban egysorrendcsere vagy

kijavít egy rossz sorrendet, vagy

elront egy jót.

A végén a rossz sorrend¶ elempárokszáma:n− k +(m− k) = n+m− 2k , páros.

A változatlan

Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után,

páros permutációt kapunk?

Tegyük fel, hogy az els® permutáció n, a második pedig melem sorrendjét �rontja el�, ahol n és m páros.

Az els® permutáció végrehajtása után

a második permutációban egysorrendcsere vagy

kijavít egy rossz sorrendet, vagy

elront egy jót.

A végén a rossz sorrend¶ elempárokszáma:n− k +(m− k) = n+m− 2k , páros.

A változatlan

Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után,

páros permutációt kapunk?

Tegyük fel, hogy az els® permutáció n, a második pedig melem sorrendjét �rontja el�, ahol n és m páros.

Az els® permutáció végrehajtása után

a második permutációban egysorrendcsere vagy

kijavít egy rossz sorrendet (k)

elront egy jót (m − k).

A végén a rossz sorrend¶ elempárokszáma:n− k +(m− k) = n+m− 2k , páros.

A változatlan

Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után,

páros permutációt kapunk?

Tegyük fel, hogy az els® permutáció n, a második pedig melem sorrendjét �rontja el�, ahol n és m páros.

Az els® permutáció végrehajtása után

a második permutációban egysorrendcsere vagy

kijavít egy rossz sorrendet (k)

elront egy jót (m − k).A végén a rossz sorrend¶ elempárokszáma:n

− k +(m− k) = n+m− 2k , páros.

A változatlan

Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után,

páros permutációt kapunk?

Tegyük fel, hogy az els® permutáció n, a második pedig melem sorrendjét �rontja el�, ahol n és m páros.

Az els® permutáció végrehajtása után

a második permutációban egysorrendcsere vagy

kijavít egy rossz sorrendet (k)

elront egy jót (m − k).A végén a rossz sorrend¶ elempárokszáma:n− k

+(m− k) = n+m− 2k , páros.

A változatlan

Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után,

páros permutációt kapunk?

Tegyük fel, hogy az els® permutáció n, a második pedig melem sorrendjét �rontja el�, ahol n és m páros.

Az els® permutáció végrehajtása után

a második permutációban egysorrendcsere vagy

kijavít egy rossz sorrendet (k)

elront egy jót (m − k).A végén a rossz sorrend¶ elempárokszáma:n− k +(m− k)

= n+m− 2k , páros.

A változatlan

Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után,

páros permutációt kapunk?

Tegyük fel, hogy az els® permutáció n, a második pedig melem sorrendjét �rontja el�, ahol n és m páros.

Az els® permutáció végrehajtása után

a második permutációban egysorrendcsere vagy

kijavít egy rossz sorrendet (k)

elront egy jót (m − k).A végén a rossz sorrend¶ elempárokszáma:n− k +(m− k) = n+m− 2k , páros.

A változatlan

Egy élkocka megfordítása

A forgatásokkal el®állítható összekeverések, mint permutációk,tehát mindig párosak.

És az élfordítás?

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12 19 20 21 28 29 30

13 14 15 22 23 24 31 32 33

16 17 18 25 26 27 34 35 36

37 38 39

40 41 42

43 44 45

46 47 48

49 50 51

52 53 54

1 2 3

4 5 6

7 20 9

10 11 12 19 8 21 28 29 30

13 14 15 22 23 24 31 32 33

16 17 18 25 26 27 34 35 36

37 38 39

40 41 42

43 44 45

46 47 48

49 50 51

52 53 54

A változatlan

Egy élkocka megfordítása

A forgatásokkal el®állítható összekeverések, mint permutációk,tehát mindig párosak. És az élfordítás?

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12 19 20 21 28 29 30

13 14 15 22 23 24 31 32 33

16 17 18 25 26 27 34 35 36

37 38 39

40 41 42

43 44 45

46 47 48

49 50 51

52 53 54

1 2 3

4 5 6

7 20 9

10 11 12 19 8 21 28 29 30

13 14 15 22 23 24 31 32 33

16 17 18 25 26 27 34 35 36

37 38 39

40 41 42

43 44 45

46 47 48

49 50 51

52 53 54

A változatlan

Egy élkocka megfordítása

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 … 53 54

1 2 3 4 5 20 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 21 22 23 24 … 53 54

A 7, 8, . . . , 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendetcserél =⇒ páros sok csereEzen felül még a 6 és a 20 egymással sorrendet cserélnek

=⇒ páros +1 = páratlan sok sorrendcsere

Forgatások segítségével csak páros permutációkat tudunkel®állítani, tehát a megfordított élkockát nem.

A változatlan

Egy élkocka megfordítása

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 … 53 54

1 2 3 4 5 20 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 21 22 23 24 … 53 54

A 7, 8, . . . , 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendetcserél

=⇒ páros sok csereEzen felül még a 6 és a 20 egymással sorrendet cserélnek

=⇒ páros +1 = páratlan sok sorrendcsere

Forgatások segítségével csak páros permutációkat tudunkel®állítani, tehát a megfordított élkockát nem.

A változatlan

Egy élkocka megfordítása

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 … 53 54

1 2 3 4 5 20 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 21 22 23 24 … 53 54

A 7, 8, . . . , 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendetcserél =⇒ páros sok csere

Ezen felül még a 6 és a 20 egymással sorrendet cserélnek

=⇒ páros +1 = páratlan sok sorrendcsere

Forgatások segítségével csak páros permutációkat tudunkel®állítani, tehát a megfordított élkockát nem.

A változatlan

Egy élkocka megfordítása

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 … 53 54

1 2 3 4 5 20 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 21 22 23 24 … 53 54

A 7, 8, . . . , 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendetcserél =⇒ páros sok csereEzen felül még a 6 és a 20 egymással sorrendet cserélnek

=⇒ páros +1 = páratlan sok sorrendcsere

Forgatások segítségével csak páros permutációkat tudunkel®állítani, tehát a megfordított élkockát nem.

A változatlan

Egy élkocka megfordítása

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 … 53 54

1 2 3 4 5 20 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 21 22 23 24 … 53 54

A 7, 8, . . . , 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendetcserél =⇒ páros sok csereEzen felül még a 6 és a 20 egymással sorrendet cserélnek

=⇒ páros +1 = páratlan sok sorrendcsere

Forgatások segítségével csak páros permutációkat tudunkel®állítani, tehát a megfordított élkockát nem.

A változatlan

Egy élkocka megfordítása

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 … 53 54

1 2 3 4 5 20 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 21 22 23 24 … 53 54

A 7, 8, . . . , 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendetcserél =⇒ páros sok csereEzen felül még a 6 és a 20 egymással sorrendet cserélnek

=⇒ páros +1 = páratlan sok sorrendcsere

Forgatások segítségével csak páros permutációkat tudunkel®állítani, tehát a megfordított élkockát nem.

A változatlan

Csomók

Ki lehet-e bogozni a fent látható csomókat anélkül, hogyelszakítanánk ®ket? (Vagy �átbogozhatóak�-e egymásba?)

Keressünk olyan tulajdonságot (invariánst), amely a �bogozás�során nem változik!

A változatlan

Csomók

Ki lehet-e bogozni a fent látható csomókat anélkül, hogyelszakítanánk ®ket?

(Vagy �átbogozhatóak�-e egymásba?)

Keressünk olyan tulajdonságot (invariánst), amely a �bogozás�során nem változik!

A változatlan

Csomók

Ki lehet-e bogozni a fent látható csomókat anélkül, hogyelszakítanánk ®ket? (Vagy �átbogozhatóak�-e egymásba?)

Keressünk olyan tulajdonságot (invariánst), amely a �bogozás�során nem változik!

A változatlan

Csomók

Ki lehet-e bogozni a fent látható csomókat anélkül, hogyelszakítanánk ®ket? (Vagy �átbogozhatóak�-e egymásba?)

Keressünk olyan tulajdonságot (invariánst), amely a �bogozás�során nem változik!

A változatlan

Csomók a valóságban

Egy korai atommodell (Kelvin, ∼1860): az atom az éterösszecsomósodása

Az elszakadt, majd összekötött DNS-szálban islétrejöhetnek csomók:

A csomó invariánsai segítségével biológusok a DNS-javítóenzimek m¶ködését vizsgálják.

A változatlan

Csomók a valóságban

Egy korai atommodell (Kelvin, ∼1860): az atom az éterösszecsomósodása

Az elszakadt, majd összekötött DNS-szálban islétrejöhetnek csomók:

A csomó invariánsai segítségével biológusok a DNS-javítóenzimek m¶ködését vizsgálják.

A változatlan

Csomók a valóságban

Egy korai atommodell (Kelvin, ∼1860): az atom az éterösszecsomósodása

Az elszakadt, majd összekötött DNS-szálban islétrejöhetnek csomók:

A csomó invariánsai segítségével biológusok a DNS-javítóenzimek m¶ködését vizsgálják.

A változatlan

Csomók

Ki lehet-e bogozni a fent látható csomókat anélkül, hogyelszakítanánk ®ket? (Vagy �átbogozhatóak�-e egymásba?)

Keressünk olyan tulajdonságot (invariánst), amely a �bogozás�során nem változik!

A változatlan

A �bogozás� a következ® három lépés használhatát jelenti:

A változatlan

A �bogozás� a következ® három lépés használhatát jelenti:

A változatlan

A �bogozás� a következ® három lépés használhatát jelenti:

A változatlan

A �bogozás� a következ® három lépés használhatát jelenti:

A változatlan

Diagramok

A csomókat általában két dimenzióban szoktuk ábrázolni:

Az ábrázolás szabályai: minden keresztezésen legfeljebb két ághaladjon át (az egyik fent, a másik lent).

A változatlan

Háromszínezhet®ség

Azt mondjuk, hogy egy csomó háromszínezhet®, hakiszínezhet® három színnel úgy, hogy legalább két színtfelhasználunk, és

minden keresztezésnél atalálkozó három szál

mind különböz® szín¶,vagy

mind egyforma szín¶,

és a szálak csak keresztezésnélváltanak színt.

A változatlan

Háromszínezhet®ség

Azt mondjuk, hogy egy csomó háromszínezhet®, hakiszínezhet® három színnel úgy, hogy legalább két színtfelhasználunk, és

minden keresztezésnél atalálkozó három szál

mind különböz® szín¶,vagy

mind egyforma szín¶,

és a szálak csak keresztezésnélváltanak színt.

A változatlan

Háromszínezhet®ség

Azt mondjuk, hogy egy csomó háromszínezhet®, hakiszínezhet® három színnel úgy, hogy legalább két színtfelhasználunk, és

minden keresztezésnél atalálkozó három szál

mind különböz® szín¶,vagy

mind egyforma szín¶,

és a szálak csak keresztezésnélváltanak színt.

A változatlan

A lépések során a háromszínezhet®ség nem változik:

tegyük fel, hogy kiszíneztük a csomót. A lépések után is jólszínezhet® csomót kapunk:

A változatlan

A lépések során a háromszínezhet®ség nem változik:

tegyük fel, hogy kiszíneztük a csomót. A lépések után is jólszínezhet® csomót kapunk:

A változatlan

A lépések során a háromszínezhet®ség nem változik:

tegyük fel, hogy kiszíneztük a csomót. A lépések után is jólszínezhet® csomót kapunk:

A változatlan

A lépések során a háromszínezhet®ség nem változik:

tegyük fel, hogy kiszíneztük a csomót. A lépések után is jólszínezhet® csomót kapunk:

A változatlan

Tehát: háromszínezhet® csomóból csak háromszínezhet®tlehet bogozni.

(a triviális csomó) nem háromszínezhet®

(a lóhere) háromszínezhet®

(a nyolcascsomó) nem háromszínezhet®

A változatlan

Tehát: háromszínezhet® csomóból csak háromszínezhet®tlehet bogozni.

(a triviális csomó) nem háromszínezhet®

(a lóhere) háromszínezhet®

(a nyolcascsomó) nem háromszínezhet®

A változatlan

Tehát: háromszínezhet® csomóból csak háromszínezhet®tlehet bogozni.

(a triviális csomó) nem háromszínezhet®

(a lóhere) háromszínezhet®

(a nyolcascsomó) nem háromszínezhet®

A változatlan

Tehát: háromszínezhet® csomóból csak háromszínezhet®tlehet bogozni.

(a triviális csomó) nem háromszínezhet®

(a lóhere) háromszínezhet®

(a nyolcascsomó) nem háromszínezhet®

A változatlan

Azaz a lóhere nem bogozható ki, és nem is bogozható át anyolcasba.

A nyolcascsomót sem lehet kibogozni, de ennek abizonyításához bonyolultabb invariánsokra van szükség.

A változatlan

Azaz a lóhere nem bogozható ki, és nem is bogozható át anyolcasba.

A nyolcascsomót sem lehet kibogozni, de ennek abizonyításához bonyolultabb invariánsokra van szükség.

A változatlan

Köszönöm a �gyelmet!