• Home

  • Documents

  • A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó
34
2012. November 6. A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lovász László Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest [email protected] 1

A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

  • Upload
    marged

  • View
    26

  • Download
    4

Tags:

Embed Size (px)

DESCRIPTION

A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó Eötvös Loránd Tudományegyetem , Budapest [email protected]. Szemerédi Regularit ási Lemma. Szemerédi Endre  1974. Szemerédi Regularit ási Lemma. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?)

Lovász László

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest

[email protected]

1

Page 2: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

Szemerédi Endre 1974

2012. November 6. 2

Szemerédi Regularitási Lemma

Page 3: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6. 3

Szemerédi, E.: On sets of integers containing no four elements in arithmetic progression. Acta Math. Hung. 20 (1969) 89–104.

Szemerédi, E.: On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression, Acta Arith. 27 (1975), 199–245.

Ruzsa, I. Z.; Szemerédi, E.: Triple systems with no six points carrying three triangles. Combinatorics (Proc. 5th Hung. Colloq., Keszthely, 1976), 939–945.

Szemerédi, E.: Regular partitions of graphs, Probl. Combin. et Théorie des Graphes, (Colloq. Internat. CNRS, Orsay, 1976); 399–401.

Szemerédi Regularitási Lemma

Page 4: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6. 4

Az Erdős-Turán probléma

rk(n) = max(|A|: A{1,...,n}, A nem tartalmaz

k tagú számtani sorozatot}

Erdős-Turán sejtés (1936): minden k-ra,

rk(n)/n 0

k=3: Roth 1953k=4: Szemerédi 1969 k>4: Szemerédi 1975

Page 5: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

12012. November 6. 5

Kis gráf (hálózat)

Page 6: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

22012. November 6. 6

Nagy gráf

Page 7: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

32012. November 6. 7

Nagyon nagy gráf

Page 8: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

G

0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 10 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 01 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 10 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 00 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 00 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 00 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 01 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 10 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 00 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 11 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0

AG

WG

A Lemma képekben

2012. November 6. 8

Page 9: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

A Lemma képekben

9

Page 10: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

ha megfelelően rendezzüka csúcsokat

véletlenszerű

2012. November 6.

A Lemma képekben

10

Page 11: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

A Lemma

Minden gráf csúcsai beoszthatók

kevés számú

lényegében egyforma osztályba

úgy, hogy

a legtöbb osztály-pár közötti páros gráf

véletlenszerű

(különböző sűrűséggel)..≤ k2 kivétellel

XVi,YVj

X és Y közötti élek száma pij|X||Y| ± (n/k)2

Adott >0

22

21 12 }ke e

£ £N

különbség ≤1

11

Page 12: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

A Lemma

Eredeti Regularitási Lemma Szemerédi 1976

“Gyenge” Regularitási Lemma Frieze-Kannan 1999

“Erős” Regularitási Lemma Alon-Fisher-Krivelevich -M.Szegedy 2000Tao 2006L-B.Szegedy 2007

12

Page 13: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

Elhagyási Lemma

Következményei: Erdős-Turán probléma k=3 esete

Háromszögmentesség tesztelhető

>0 ’>0

háromszögek száma ’n3

elhagyható n2 él úgy, hogy ne maradjon háromszög.

Ruzsa - SzemerédiAz 1/' érték ,,csak”

log(1/) magas torony

Fox 2010

13

Page 14: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6. 14

Elhagyási Lemma

X

Page 15: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

A Lemma, mint általános séma

Nagy, bonyolult struktúra

egyszerűstruktúra

véletlenszerűmódosítás

(kis)hiba

megérthetőleirható, kezelhető

nagy számoktörvényealkalmazható

becsülhető

15

Page 16: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

A Lemma, mint általános séma

16

Ritka gráfok Kohayakawa, Rödl, Łuczak, Scott, ...

Hipergráfok Frankl, Rödl, Skokan, Schacht, Gowers, ...

Abel-csoportok Green, Tao, Szegedy

Permutációk Cooper, Kohayakawa, ...

Boole-függvények Green, Mossel, Schramm, ...

Kategóriák L

...

Page 17: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

A Lemma más megfogalmazásban

- adjacencia-mátrix kis rangú közelítése

- 2-változós függvény közelítése

lépcsősfüggvénnyel

- sorfejtés Hilbert-térben

- gráf-limeszek terének kompaktsága

- pontok hasonlóságának (majdnem) véges

dimenziója

17

Page 18: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

A ,,gyenge’’ Lemma

1,..., kV V

pij: Vi és Vj közti élsűrűség

S

2

,ij i j

i j

p S V S V neÇ Ç ±åS-beli élek száma:

18

21/2k e£

Page 19: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6. 19

S

2( [ ]) ( '[ ])E G S E G S ne- £

G’: a Vi és Vj közötti éleketvéletlenül behúzott

élekkel helyettesítjük

A Megszámlálási Lemma

Megszámlálási Lemma: G-ben és G’-ben minden,,kis’’ részgráfnak kb. ugyanannyi példánya van

Page 20: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

Sorfejtés Hilbert térben

1 2

1

1

0

0

2

1

, ,... nem üres,

1

...,

1, ...

i i

m m

f

g f f f

f

n

f f g

n

n

f

g

f f f

m

K

K

K K H H

R

+

" Í "

$ + + +

$ £

Î

Î - -

Î

" - - £

" ³

×

:

{ }1 2

,,gyenge''

: ( ) ( ) mátrixok, ..

Lemma

. 1S SV G V GH K K ´´ = =

Þ

=

20

{ }2: ( ) ( ) mátrixok, 2 csupa-1 blokk

eredeti Lemma

i

iV G V GH K´ = £

Þ

i: i-edfokú polinomok, intervallumok, ...???

Page 21: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

Approximáció lépcsősfüggvénnyel

,,Gyenge’’ Lemma: [ ] [ ][ ] [ ]

2

2 lépcsőj

: 0,1 0,

1melyr

ű : 0,

e .log

1

1

0,1

1

k U

W k

U Wk

- £

®

" ® " ³

$

W

21

vágásnorma, vagy LL1 operátornorma, vagy Neumann-Schatten norma

Page 22: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

ha megfelelően rendezzüka csúcsokat

véletlenszerű

2012. November 6.

A Lemma képekben

22

Page 23: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]2 2

0

2

0

1

1

0 0

' 0,1 0,1 , lépcsőjű : 0,1

, ,. 1

mely

.. 0 : 0,1 0

0,1

re ' és '

,1

.k

W

W k k U

W W U W

ke

e

e

e

$ Î ® $ £

" > "³

-

®

£

®

- £

$

W

23

Approximáció lépcsősfüggvénnyel

,,Erős’’ Lemma:

Page 24: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

sim : E P ( , ) P (, ) , )( v u wsu E uv E tw E wv Ed s t = Î Î - Î Î

st

v

wu

Reprezentatív halmaz:

s,tU, dsim(s,t) >

legtöbb v csúcsra, dsim(U,v)

Geometriai változat

24

Hasonlósági távolság: L-Szegedy B.

Page 25: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

Voronoi diagramm= gyenge regularitási partíció

25

Geometriai változat

Page 26: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

Minden gráfban van elemű

reprezentatív halmaz.

Alon

A hasonlósági távolságra nézveminden gráf

,,majdnem’’ véges dimenziójú.

2

1og

1exp lO

ee

æ ö÷ç ÷ç ÷çæ ö÷ç ÷ç ÷ç øøè è ÷

26

Geometriai változat

Page 27: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6. 27

Algoritmus

Alon, Duke, Lefmann, Rödl, Yuster 1994

Frieze, Kannan 1999

A regularitási partíció polinomiális időben

kiszámítható.

Page 28: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6. 28

Algoritmus

L- Szegedy B.

Egy reprezentatív halmaz konstans időben

kiszámítható.

Page 29: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

És végül...

29

Page 30: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

Analytic version 2. Distance of graphs

'2, ( )

| (( , '

, ) ( , ) |ma) x G G

S T V G

e S T e S TG

nd GX Í

=-

(a) V(G) = V(G')

(b) |V(G)| = |V(G')|

'

* min ( , '( , ') )G G

d GG G GX Xd«

=

(c) |V(G)| =n, |V(G')|=m

(blow up nodes, or fractional overlay)

cut distance

( , ')G GXd

30

Page 31: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

Analytic version 2. Distance of graphs

24/and with 2 nodes

such that ,

0

( ) .

G

H

H

GX

e

d e

e" " > $ £

£

“Weak" Regularity Lemma (approximation form):

31

Page 32: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

Analytic version Graphons

t(F,WG) = t(F,G): Probability that random map

V(F)V(G) preserves edges

W0 = {W: [0,1]2 [0,1], symmetric, measurable}

( ) ( )[ , ]

( ,( , ) )0 1

i jV F ij E F

W x x dxt F WÎ

= Õò

"graphon"

32

Page 33: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

Analytic version 2. Distance of functions

:[0,1] [0,1]measure preserving

( , ) infW WU U

X

'( , ') ( , )G GG G W WX Xd d=

, [0,1]sup

S T S T

W W

X

33

Page 34: A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

2012. November 6.

Counting Lemma Subgraph densities

(Can be defined for weighted graphs G)

t(F,G): Probability that random map V(F)V(G) preserves edges

If □(G,H) is small, then G and G’ are similar in many other respects...

|t(F,G) - t(F,H)| |E(F)| □(G,H)

34


On set of integers containing no k elements in arithmetic progression E. Szemerédi Acta Arithmetica, 1975 Shuchi Chawla

On set of integers containing no k elements in arithmetic progression E. Szemerédi Acta Arithmetica, 1975 Shuchi Chawla

Documents
Lev Tolstoy etiraflarim-engpages.erau.edu/~andrewsa/sci_fi_projects_spring... · Á Á x Á§ " Á Á Á Á¥~¦¦ Ú¦~ Á Á Á Á Á Á g Á Á Á Á Á u 60.p6u gdu .=p

Lev Tolstoy etiraflarim-engpages.erau.edu/~andrewsa/sci_fi_projects_spring... · Á Á x Á§ " Á Á Á Á¥~¦¦ Ú¦~ Á Á Á Á Á Á g Á Á Á Á Á u 60.p6u gdu .=p

Documents
Inset B LEGEND á á áá á á - Police · á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á

Inset B LEGEND á á áá á á - Police · á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á

Documents
H á á á - Home Affairs Department

H á á á - Home Affairs Department

Documents
D OS IE R' AP B T N - Vieillevigne 44...á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á

D OS IE R' AP B T N - Vieillevigne 44...á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á á

Documents
Ká á O á – Rá N á: A á á á á á á á á á á á á á á báeffect.tka.hu/documents/HU_pilot/zarojelentes_EFFeCT.pdf · Az értékelés folyamata és a használt értékelési

Ká á O á – Rá N á: A á á á á á á á á á á á á á á báeffect.tka.hu/documents/HU_pilot/zarojelentes_EFFeCT.pdf · Az értékelés folyamata és a használt értékelési

Documents
á á - Zürich · 2018. 6. 11. · Á  ¿¾ ¿¿ ¿Á ¿Å ¿Æ ¿Ç À¾ À¿ ÀÀ À Àà ÀÆ ÀÇ Á¾ Á¿ ÁÀ á 7 7 ! ! ! á

á á - Zürich · 2018. 6. 11. · Á  ¿¾ ¿¿ ¿Á ¿Å ¿Æ ¿Ç À¾ À¿ ÀÀ À Àà ÀÆ ÀÇ Á¾ Á¿ ÁÀ á 7 7 ! ! ! á

Documents
Direzione Generale Politiche Territoriali, Ambientali e ... fileÁ® ®Á ®Á ®Á ®Á ®Á Á® Á® Á® Á® ®Á®Á Á® ®Á ®Á Á® ®Á ®Á ®Á Á® ®Á ®Á ®Á ®Á

Direzione Generale Politiche Territoriali, Ambientali e ... fileÁ® ®Á ®Á ®Á ®Á ®Á Á® Á® Á® Á® ®Á®Á Á® ®Á ®Á Á® ®Á ®Á ®Á Á® ®Á ®Á ®Á ®Á

Documents
Helyi Építési Szabályzat használatának GISegítése · 2019-11-29 · Helyi Építési Szabályzat rajzi és leíró adatait integrálni HRSZ alapon Közérthetően Költséghatékonyan

Helyi Építési Szabályzat használatának GISegítése · 2019-11-29 · Helyi Építési Szabályzat rajzi és leíró adatait integrálni HRSZ alapon Közérthetően Költséghatékonyan

Documents
Robust Statistics and Arrangements David Eppsteineppstein/pubs/Epp-DIMACS-03...[Cole, Salowe, Steiger, and Szemerédi, SICOMP 1989] • Randomly chosen arrangement intersection [Matousek,

Robust Statistics and Arrangements David Eppsteineppstein/pubs/Epp-DIMACS-03...[Cole, Salowe, Steiger, and Szemerédi, SICOMP 1989] • Randomly chosen arrangement intersection [Matousek,

Documents
凡例 - Toyonaka...Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á 蛍池西町2丁目 蛍池西町3丁目 箕輪3丁目 走井3丁目 走井1丁目 南空港町 走井2丁目 勝部3

凡例 - Toyonaka...Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á 蛍池西町2丁目 蛍池西町3丁目 箕輪3丁目 走井3丁目 走井1丁目 南空港町 走井2丁目 勝部3

Documents
Q} Ö² ' j|,U­ !Ö ,S $ $Q h !Ö - jsme.or.jp · PDF file¸·Á·· ¸·Á·· ¸¸Á·· ¸¸Á·· ¸¹Á·· ¸¹Á·· ¸ºÁ·· ¸ºÁ·· ¸»Á·· ¸»Á

Q} Ö² ' j|,U­ !Ö ,S $ $Q h !Ö - jsme.or.jp · PDF file¸·Á·· ¸·Á·· ¸¸Á·· ¸¸Á·· ¸¹Á·· ¸¹Á·· ¸ºÁ·· ¸ºÁ·· ¸»Á·· ¸»Á

Documents
1á ¡á ¢á á ¢á á ¡á ¢á á á £á á á á á á á á á 2019 · Title: Microsoft PowerPoint - 1á ¡á ¢á á ¢á á ¡á ¢á á á £á á á á á á á á á _2019

1á ¡á ¢á á ¢á á ¡á ¢á á á £á á á á á á á á á 2019 · Title: Microsoft PowerPoint - 1á ¡á ¢á á ¢á á ¡á ¢á á á £á á á á á á á á á _2019

Documents
Á Á Á X Á ] o u ]Xv

Á Á Á X Á ] o u ]Xv

Documents
Módulo Instruccional: WhatsApp? Didáctico...Paso 1: Iniciar Discusión ... 14 Assessment Final ... Pá , 2013) á á á áá WáA á á á . P á, Dá á Káá ( á A , 2014) á

Módulo Instruccional: WhatsApp? Didáctico...Paso 1: Iniciar Discusión ... 14 Assessment Final ... Pá , 2013) á á á áá WáA á á á . P á, Dá á Káá ( á A , 2014) á

Documents
Edri Mantiqua: Ubari - HumanitarianResponse€¦ · 31.05.2017  · &á &á &á &á &á &á &á &á &á &á &á &á &á &á &á &Ü &Ü &Ü!( !( !(!(!(!!(!(!(!(!(!(!(!(!(!(!(!(Ubari

Edri Mantiqua: Ubari - HumanitarianResponse€¦ · 31.05.2017  · &á &á &á &á &á &á &á &á &á &á &á &á &á &á &á &Ü &Ü &Ü!( !( !(!(!(!!(!(!(!(!(!(!(!(!(!(!(!(Ubari

Documents
Introduction to Szemerédi regularity lemma

Introduction to Szemerédi regularity lemma

Software
KÖZÉRTHETŐEN AZ EURÓPAI UNIÓ SZAKPOLITIKÁIRÓL …...Digitális menetrend és információs társadalom Egészségpolitika Éghajlat-politika Élelmiszer-biztonsági politika

KÖZÉRTHETŐEN AZ EURÓPAI UNIÓ SZAKPOLITIKÁIRÓL …...Digitális menetrend és információs társadalom Egészségpolitika Éghajlat-politika Élelmiszer-biztonsági politika

Documents
Az ökológiai gazdálkodásról gazdáknak, közérthetően · Az ökológiai gazdálkodás helyzete a világon és itthon („Az ökológiai gazdálkodás alapjai kiadvány alapján”,

Az ökológiai gazdálkodásról gazdáknak, közérthetően · Az ökológiai gazdálkodás helyzete a világon és itthon („Az ökológiai gazdálkodás alapjai kiadvány alapján”,

Documents
Endre Szemerédi & TCS Avi Wigderson IAS, Princeton

Endre Szemerédi & TCS Avi Wigderson IAS, Princeton

Documents
平成30 年度実施事業概要 · B ¤ > º 24 z ¸J¹º» í ¼ » Á Á Á Á Á Á Á Á Á 174,300 ½ B* ¤ > º 6 z ¸J¹º» í ¼ » Á Á 1,222,100 ½ B* ¤ >

平成30 年度実施事業概要 · B ¤ > º 24 z ¸J¹º» í ¼ » Á Á Á Á Á Á Á Á Á 174,300 ½ B* ¤ > º 6 z ¸J¹º» í ¼ » Á Á 1,222,100 ½ B* ¤ >

Documents
Á Á »Á Á Á - htz.hr KUĆA_0.pdf · b lsp[ okv npäfuf tb[obuj j twf p npsj j gbvoj lpkb kf plsvävkf $*+&/" 0esbtmj lo 6ëfojdj tuvefouj vnjspwmkfojdj lo Á Á »Á Á Á wjtju

Á Á »Á Á Á - htz.hr KUĆA_0.pdf · b lsp[ okv npäfuf tb[obuj j twf p npsj j gbvoj lpkb kf plsvävkf $*+&/" 0esbtmj lo 6ëfojdj tuvefouj vnjspwmkfojdj lo Á Á »Á Á Á wjtju

Documents
Közérthetően a WADA Tiltólistában bekövetkező, a TUE …antidopping.hu/editor_up/tiltolista valtozas_2016.pdf · 2016-01-05 · 3 A WADA 2013-tól kezdődően a formoterol

Közérthetően a WADA Tiltólistában bekövetkező, a TUE …antidopping.hu/editor_up/tiltolista valtozas_2016.pdf · 2016-01-05 · 3 A WADA 2013-tól kezdődően a formoterol

Documents
¬ 1 - Manara Brasserie Constantaá á á á á

¬ 1 - Manara Brasserie Constantaá á á á á

Documents
CHOFER REPARTIDOR...AGENTE DE VENTAS ã á ã t w v r S á ã á A V á á á A á s S á V á

CHOFER REPARTIDOR...AGENTE DE VENTAS ã á ã t w v r S á ã á A V á á á A á s S á V á

Documents
 · Sabato 12 marzo Auditorium Pollini ore 18.00 á á á á á Ú á

 · Sabato 12 marzo Auditorium Pollini ore 18.00 á á á á á Ú á

Documents
ဘာလဲဟဲ့လူ႔ငရဲ - á

ဘာလဲဟဲ့လူ႔ငရဲ - á

Documents
Erdősi Péter Máté, - NJSZT...Erdősi Péter Máté, CISA Solymos Ákos, CISM, CRISC IT biztonság közérthetően verzió: 4.0 2019. szeptember Kiadja a Neumann János Számítógép-tudományi

Erdősi Péter Máté, - NJSZT...Erdősi Péter Máté, CISA Solymos Ákos, CISM, CRISC IT biztonság közérthetően verzió: 4.0 2019. szeptember Kiadja a Neumann János Számítógép-tudományi

Documents
Main Menu 2019 - storage.googleapis.com...á á á á

Main Menu 2019 - storage.googleapis.com...á á á á

Documents
òò ××××× á á á áá á - Lengua4esosmnarancoav · îîê òòò¿ ¿ á á á á á ò ò ¾ ò á á á á á ò ò ò

òò ××××× á á á áá á - Lengua4esosmnarancoav · îîê òòò¿ ¿ á á á á á ò ò ¾ ò á á á á á ò ò ò

Documents